trigonometriski funkcii

Trigonometriski funkcii od ostar agol

str.1

Interesot na ~ovekot datira u{te od najrani vremiwa. Toa e prirodno, osobeno ako se ima predvid negovata primena vo izu~uvaweto na drugite

geometriski figuri i pri re{avaweto na golem broj prakti~ni problemi vo grade`ni{tvoto, geodezijata itn. Triagonikot }e bide predmet na razgleduvawe

i vo ovaa tema. Pokonkretno }e se nekoi zavisnosti me|u elementite na pravoagolniot triagolnik i niz re{avawe na karakteristi~ni primeri }e ja

sogledame prakti~nata primena na istite.

Poim za agol.Merewe na agli

Definicija 1: Dve polupravi OH i OU so zaedni~ki po~etok ja

delat ramninata na dva dela. Sekoj od ovie delovi zaedno so

dvete polupravi se narekuva agol; so oznaka HOU.(crt.1).

Zaedni~kata to~ka na polupravite se OH i OU vika teme na

agolot HOU. Polupravite OH i OU gi narekuvame kraci na

HOU. Eden agol e napolno opredelen so to~ka R {to

ne leì na kracite. To~kata R {to ne leì na kracite ja narekuvame vnatre{na

to~ka, a mnoèstvoto vnatre{ni to~ki go narekuvame vnatre{nost na agol

HOU, a delot od ramninata koj ne ja sodeì R go narekuvame nadvore{enost na

agolot HOU (ja sodarì to~kata M). Kako {to moème da zabeleìme, so

pomo{ na to~kata R ednozna~eno se opredeleni vnatre{nosta na agolot }e

koristeme kruèn lak (crt.2).

Definicija 2: Za DCE }e veleme deka e ramen agol, ako polupravite CD

i CE obrazuvaat prava (crt.3.). Za agolot koj e polovina od ramniot agol }e

veleme deka e prav agol. Za agolot }e veleme deka e ostar, ako toj e pomal od

prviot agol, a ako e pogolem od prviot agol i pomal od ramniot agol, toga{ }e veleme deka e tap agol. Prakti~nite potrebi nalagaat merewe na

geometriskite figuri, {to zna~i i merewe na aglite. Vo osnovnoto

obrazovanie se zapoznavame so stepenot, koj go ozna~uvame so o, kako merena

edinica za agol i istiot go opredelivme kako eden devedesetti del od praviot

agol. Isto taka, voveduvame i pomali edinici od stepenot za merewe na agli i

toa, minuta i sekunda koi gi ozna~uvame so ’

i ’’,soodvetno. Pritoa minutata ja

definirame kako {eesetti del od stepenot, t.e. 1o=60’, a sekundata ja

definirame kako {eesetti del od minutata, t.e. 1’ = 60

’’.

Definicija 3: Za agolot }e veleme deka e konvesken ako toj e pomal ili

ednakov na ramniot agol(crt 4a), t. e. pomal od ili ednakov na 1800, a ako toj e


str.2

Crte` 4a

pogolem od ramniot agol go narekuvame konkavan

(crt 4b).

Primer 1: a) Pretvori go vo minuta agolot = 120 45’.

b) Pretvori go vo stepeni agolot = 450 15’36

’’.

Re{enie: a) Stepenite gi pretvorame vo minuti i dobivame = 120 45’=12.

60’+45

’=720

’+45

’=765

’.

b) Prvo sekundite gi pretvorame vo minuti, a potoa minutite gi pretvorame vo stepeni i dobivame

=45015’36

’’=450+15

’’+

'

60

36=450 +15

’+0,6

’=450+15,6

’’=450+

0

60

615

,=450+0,260=45,260.

Za merewe na aglite vo matematikata postoi u{te edna merna edinica,

koja detalno }e ja objasnime pri izu~uvaweto na dolìna na lak na kru`nicata, a ovde istata }e ja vovedime bez detalni objasnuvawa.

Definicija 4: Neka e dadena kru`nica (O, r). Za centralniot agol }e

veleme deka ima golemina od eden radijan, vo oznaka 1rad, ako dolìnata na pripadniot kruèn lak e ednakva na radiusot na kru`nicata.

Od definicija 3 sleduva deka, za da ja opredeleme goleminata na agolot ,

izrazena od radijani, dovolno e dolìnata l na pripadniot kruèn lak da ja

podeleme so ridusot na kru`niot lak, t.e. =r

l rad (crt. 5).

Crte` 5

Primer 2: a) Najdi ja goleminata na agolot , izrazena vo radijani, ako

dolìnata na kru`niot lak soodveten na agolot i dvapati pogolem od radiusot.

b) Presmetaj ja goleminata na praviot agol nzrazena vo redijan. Re{enie: a) Od uslovot na zada~ata imame l =2r, pa zatoa goleminata na

agolot izrazena vo radijani e =r

l rad =

r

r2 rad =2 rad.

b)Kako {to znaeme, dolìnata na kru`nicata so ridus r e ednakva na 2 r ,

i bidej}i polniot agol e zbir na ~etiri pravi agli dobivame deka dolìnata na


str.3

kru`niot lak soodveten na praviot agol e l =4

r2=

2

r. Spored toa, goleminata

na praviot agol izrazena vo radijani e =r

l rad =

r

2

πr

rad =r2

r rad=

2

π rad.

Komentar : Od primerot 2 b) i faktot deka merata na aglot od 00 izrazena

vo radijani e 0 rad , zaklu~uvame deka ako 00 90o, toga{

20, , i

obratno.

Definicija na trigonometriski funkcii od ostar agol

Pri izu~uvaweto na pravoagolniot triagolnik vidoveme

deka negovite osnovni elementi se katetite a i b, hipotezata c i ostrite agli i . Pri standarno obeleùvawe na

elementite na pravoagolniot triagolnik za agolot

veleme deka e sprotiven na katetata a , a za agolot katetata a e nalegnata (crte 6). Ponatamu, bidej}i agolot

pri temeto S e prav agol , od teoremata za zbir na agli vo

Crte` 6 triagolnikot dobivame deka

+=90o (1) Isto taka, znaeme deka za stranite na pravoagolniot triagolnik va i Pitagorovata

teorema , t.e. deka 222 cba (2)

{to zna~i deka vo pravoagolen triagolnik zbirot na kvadratite na katetite e

ednakov na kvadratot na hipotenuzata.

Kako {to znaeme deka triagolnici se sli~ni, ako imat ednakvi agli. Bidej}i kaj pravoagolnite triagolnici edniot agol e prav, od (1) tie se sli~ni ako imaat ednakov

eden ostar agol. Taka na pr. od crte 7 imame deka triagolnicite AVS i A1V1S1 se

sli~ni, {to zna~i 1

1

1

1

1

1

b

a

b

a

c

b

c

b,

c

a

c

a i .

b

V

S

A

a

c

b1

V1

S1

A1

a1

c1

Crte` 7

Neka e daden pravoagolniot triagolnik AVS i preku temiwata V i S da gi

prodolìme kracite na ostriot agol SAV (Crte` 8). Na krakot AS proizvolno izbirame to~ki S1, S2, S3 ,... i vo ovie to~ki povlekuvame pravi normalni na AS koi go se~at krakot AV vo to~ki V 1, V2, V3 ,... soodvetno. Od

prethodno kaànoto sleduva deka triagolnicite AVS , A1V1S1, A2V2S2, A3V3S3,... se sli~ni, {to zna~i deka nivnite soodvetni strani se proporcionalni. Taka, gi imame

slednive ravenstva :


str.4

Crte` 8

Od predhodnite ravenstva zaklu~uvame deka, za daden ostar agol

odnosite na soodvetnite strani vo pravogolnite triagolnici, ~ij eden agol se

konstantni. No, {to stanuva so koli~nicite, ako ostriot agol se menuva (crte` 9a).

O~igledno, ako agolot se menuva, toga{ pravoagolnite triagolnici imaat ista

nalegnata kateta, a razli~ni hipotenuzi i sprotivni kateti, {to zna~i deka odnosot na katetite i odnosot na nalegnatata kateta i hipotenuzata se menuva,

t.e. AC

CB

AC

BC 1 i 1AB

AC

AB

AC . Sli~no, od crt.9b), bidej}i za site pravoagolni

triagolnici hipotenuzata e konstantna, a sprotivnata kateta se menuva zaklu~uvame deka pripromena na ostriot agol odnosot na sprotivnata kateta i

hipotenuzata t.e. AB

AC

AB

AC 1 . So drugi zborovi, odnosot na dvete strani na

pravoagolniot triagolnik se menuva ako se menuva ostriot agol na toj

triagolnik. Zna~i, na eden ist ostar agol ili na ednakvi ostri agli sekoga{ im

soodvetstuvaat ednakvi brojni vrednosti na stranite na pravoagolen

triagolnik na koj mu pripa|a ostriot agol, a na razli~ni ostri agli im soodvetstuvaat razli~ni brojni vrednosti na stranite na soodvetnte

pravoagolni triagolnici. Spored toa, so pomo{ na koli~nicite na stranite na pravoagolniot triagolnik mo`eme da definirame funkcii od ostar agol, koj gi

narekuvame trigonometriski funkcii.

Definicija 5: Odnosot na sprotivnata kateta a na ostriot agol i hipotenuzata

s vo pravoagolniot triagolnik go narekuvame SINUS od agolot i go ozna~uvame

sinα t.e. c

asinα .

.a

b...

b

a...

c

b...

c

a...

33

33

22

22

11

11

3

33

2

22

1

11

3

33

2

22

1

11

3

33

2

22

1

11

CB

CA

CB

CA

CB

CA

BC

AC

AC

CB

AC

CB

AC

CB

AC

BC

AB

CA

AB

CA

AB

CA

AB

AC

AB

CB

AB

CB

AB

CB

AB

BC

i


str.5

Definicija 6: Odnosot na nalegnata kateta b na ostriot agol i hipotenuzata s

vo pravoagolniot triagolnik go narekuvame KOSINUS od agolot i go

ozna~uvame cos t.e. c

bcosα .

Definicija 7: Odnosot na sprotivnata kateta a na ostriot agol i nalegnata

kateta b vo pravoagolniot triagolnik go narekuvame TANGENS od agolot i go

ozna~uvame tg t.e. b

aα tg .

Definicija 8: Odnosot na nalegnata kateta b na ostriot agol i sprotivnata

kateta a vo pravoagolniot triagolnik go narekuvame KOTANGENS od agolot i go

ozna~uvame ctg t.e.a

bα ctg .

Definicija 9: Odnosot na hipotenuzata s na ostriot agol i nalegnatata

kateta b vo pravoagolniot triagolnik go narekuvame SEKANS od agolot i go

ozna~uvame αsec t.e.b

csecα .

Definicija 10: Odnosot na hipotenuzata s na ostriot agol i sprotivnata

kateta a vo pravoagolniot triagolnik go narekuvame KOSEKANS od agolot i go

ozna~uvame cosecα t.e.a

cα cosec .

Zabele{ka: Od definiciite 7 i 8 imame ctgα

tgαtgα

b

aa

bα ctg

111 odnosno .

Prou~uvaweto na trigonometriskite funkci, soodnosot me|u niv, re{avaweto

na takanare~enite trigonometriski ravenki i primenata na trigonometriskite

funkcii pri re{avaweto na triagolnik ja so~inuvaat matemati~kata oblast trigonometrija(zborot trigonometrija doa|a od gr~kite zborovi”trigonon”-

triagolnik i ”metro”- izmeruvam" {to zna~i merewe na triagolnik) .

Primer 3: Presmetaj gi vrednostite na trigonometriskite funkcii na

ostriot agol vo pravoagolniot triagolnik so kateti cm32bcma i 2 .

Re{enie: Prvo }e ja presmetame hipotenuzata na pravoagolniot triagolnik. Od Pitagorovata teorema imame:

cmcmcmba 4124)32(2c 2222 .

Sega od definiciite na trigonometriskite funkcii dobivame:

,c

asinα

2

1

4

2 ,

c

bcosα

2

3

4

32 ,

b

aα

3

3

32

2tg .

a

bα 3

2

32ctg

Vrednosti na trigonometriskite funkcii za aglite 30o, 45o i 60o Dali od nekoi agli mo`eme ednostavno da gi presmetuvame vrednostite

trigonometriskite funkcii? Odgovorot na ovaa pra{awe e pozitiven i kako {to }e vidime toa }e go napravome za agli so golemina 30o, 45o i 60o.

Prvo }e gi opredelime vrednostite na trigonometriskite funkcii od

agolot =45o. Za taa cel }e go razgledame ramnokrakiot pravoagolen triagolnik so kateti a=b=1(crte` 10).Ostrite agli na ovoj triagolnik se

==45o, a od Pitagorovata teorema za negovata hipotenuza nao|ame 2c 22 ba .

Od definiciite na trigonometriskite funkcii nao|ame:


str.6

,c

asin

2

2

2

145o ,

c

bcos

2

2

2

145o ,

b

a145tg o 145ctg o

a

b

Crte` 10

Zabele{ka: Od prethodnite razgleduvawa zaklu~uvame deka o45sin = o45cos i o45tg = o45ctg . Va`no e da napomeneme deka ova e edinstveniot ostar agol za koj

sinusot e ednakov na kosinusot, a tangensot e ednakov na kotangensot. Za da gi opredelime vrednostite na trigonometriskite funkcii od 30o i

60o }e go iskoristime ramnostraniot triagolnik AVS so strana 1 (crte` 11). Ja povlekuvame visinata CD i go dobivame pravoagolniot triagolnik CAD ~ii

ostri agli se CAD= 60o i DCA= 30o. Za stranite na ovoj triagolnik imame

2

3

2

11CD

2

1AD1AC

2

2

i , .

Crte` 11

Da gi presmetame vrednostite na trigonometriskite funkcii za negovite ostri agli. Za agolot od 30o imame:

,c

asin

2

1

1

2

1

30o ,c

bcos

2

3

1

2

3

30o

,b

a

2

3

3

1

2

3

2

1

30tg o a

bo30ctg 3

2

12

3

,

a za agolot od 60o imame:

,c

asin

2

3

1

2

3

60o ,c

bcos

2

1

1

2

1

60o


str.7

b

ao60tg 3

2

12

3

.a

b

2

3

3

1

2

3

2

1

60ctg o

Kako {to moèmeme da zabeleìme, za presmetuvawe na vrednostite na trigonometriskite funkcii od spomenatite agli dovolno e da gi znaeme

definiciite na trigonometriskite funkcii i svojstvata na ramnokrakiot pravoagolen i ramnostraniot triagolnik. Me|utoa, zaradi polesno pomnewe i

poednostavna primena }e ja sostavime slednava tabela.

sin cos tg ctg rad Stepeni

/6 30 2

1

2

3

3

3 3

/4 45 2

2

2

2 1 1

/3 60 2

3

2

1 3

3

3

Primer 4: Presmetaj ja vrednosta na izrazot:

a) oooo 60ctg6030tg303 cossin

b) oo 45

1

45

1

cossin

Re{eni: a) oooo 60ctg6030tg303 cossin =32

1

3

3+

2

1

3

3=

2

3+

6

3=

6

32

b) oo 45

1

45

1

cossin =

2

2

1+

2

2

1=

2

2+

2

2= 2

Vrednostite na trigonometriskite funkcii od proizvolen agol moàt da se odreduvaat so pomo{ na tablica na vrednosti na trigonometriskite funkcii

i so pomo{ na kalkulator.

Isto taka so pomo{ na tablica na vrednosti na trigonometriskite funkcii i so pomo{ na kalkulator moàt da se odreduvaat aglite ako se

poznati vrdnostite na trigonometriskite funkcii, t.e. da se odredi nepoznatiot agol za koj se dobiva odredena vrednost na trigonometriskite

funkcii.

Trigonometriskite funkcii od komplementni agli

Kako {to vidovme porano za ostrite agli na pravoagolniot triagolnik

vaì relacijata +=90o t.e. aglite i se komplementni agli, {to zna~i za niv

vaàt relaciite =90o - , =90o - . Sega da vidime kakvi vrski postojat me|u

trigonometriskite funkcii od komplementnite agli i na pravoagolniot

triagolnik.

Teorema 1: Ako eostar agol , toga{

)90( o cossin , )90( o sincos , )90ctg(tg o , )90tg(ctg o (1)

Dokaz:Neka e daden pravoagolniot triagolnik AVS so ostri agli i

(crte` 12). Vrednostite za trigonometriskite funkcii za agolot se:


str.8

c

asinα ,

c

bcosα ,

b

atgα

a

bα ctg . (2)

a vrednostite za trigonometriskite funkcii za agolot se:

c

bsin ,

c

acos ,

a

b tg ,

b

atg c . (3)

Crte 12 Od ravenstvata (2) i (3) gi dobivame ravenstvata

sinα cos , cosα sin , tgα tgc i α ctg tg . (4)

Ako sega vo ravenstvoto (4) ja zamenime relacijata =90o - gi dobivame ravenstvata:

)90( o cossin , )90( o sincos , )90ctg(tg o , )90tg(ctg o

{to i treba{e da se doka`e.

Primer 5: Opredeli go ostriot agol ako:

a) o28sinsinα b) o42cossinα v) oo 20)30( cosαsin g) )10(α)10(α oo cossin

Re{enie: a) Ako 1 i 2 se ostri agli i 1sinα 212 ααsinα . Od

prethodnoto, sleduva deka =28o.

b) Od teorema 1 sleduva deka o42cossinα = ooo 48)4290( sinsin , pa zatoa

=48o.

v) Od teorema 1 sleduva deka oo 20)30( cosαsin = ooo 70)2090( sinsin , od

kade {to sleduva deka =70o.

g) Od teorema 1 sleduva deka

)10(α)10(α oo cossin = α)80())10(α90( ooo sinsin , od kade {to sleduva

)10(α o = α)80( o , pa zatoa =35o.

Primer 6: Uprosti go izrazot: a) oo

oo

70ctg20tg3

70ctg220tg8

b) triagolnik npravoagole vo agli ostri se i {to kade

2

2

sincos

cossin.

Re{enie: a) 520tg2

20tg10

20tg20tg3

20tg220tg8

70ctg20tg3

70ctg220tg8o

oo

oo

oo

oo

oo

b) Bidej}i =90o - i od teorema 1 sleduva

1)90(

)90( 2

o2

2o

2

2

coscos

coscos

coscos

coscos

sincos

cossin .

Menuvawe na trigonometriskite funkcii pri promena na agolot od 0o do 90o

Da razgledame kako se menuvaat vrednostite trigonometriskite so promena na agolot, t.e. dali so zgolemuvaweto na agolot, vrednostite na

trigonometriskite funkcii se zgolemuvaat ili namaluvaat. Prvo da razgledame kako se menuvaat trigonometriskite funkcii sinus i

kosinus. Za taa cel }e go razgledame delot od kru`nicata so radius r, vo koj

vpi{uvame pravoagolni triagolnici OA1 V1, OA2 V2, OA3 V3, ..... OAn Vn (crte` 13),

za koi hipotenuzite se ednakvi, t.e. .......... n321 OBOBOBOBr , a za aglite


str.9

vo temeto O vaì ...... n321.

Ponatamu .......... nn332211 BABABABA pa zatoa

.......... n

nn

3

33

2

22

1

11

OB

BA

OB

BA

OB

BA

OB

BA, od {to sleduva

..sin....sinsinsin n321

Od dosega iznesenoto sleduva deka so zgolemuvaweto na

vrednosta na agolot , se zgolemuva i vrednosta na

sin, {to zna~i deka funkcijata sin monotono raste na

intervalot

20, . Od crteòt se gleda deka ako agolot

se pribliùva do 0o toga{ se namaluva doìnata na sprotivnata kateta na

vpi{anite triagolnici i taa se pribliùva kon 0. Spored toa od definicijata

na sinus od ostar agol vo pravoagolen triagolnik sleduva deka sin0o=0.

Ponatamu, ako se pribliùva do 90o , toga{ dolìnata na sprotivnata kateta

na vpi{anite triagolnici se pribliùva do dolìnata na hipotenuzata i

bidej}i dolìnata na hipotenuzata e konstantna, zaklu~uvume deka koli~nikot na sprotivnata kateta i hipotenuzata se pribliùva kon 1,t.e. sin90o=1.

Od prethodno iznesenoto sleduva to~nosta na slednavateorema.

Teorema 2: Funkcijata sin monotono raste na intervalot

20, i pritoa

2010 ,,sin

Primer 7: a) Bez da presmetuva{, podredi gi po golemina sin15o, sin75o, sin35o,

sin43o.

b) Bez da presmetuva{, odredi go znakot na izrazot sin35o- sin42o.

Re{enie: Od teorema 2 i neravenstvata 15o<35o<43o<72o, sleduva

sin15o< sin35o < sin43 o<sin75o. b) Od teorema 2 i neravenstvata 35o<42o sleduva sin35o < sin42 o, {to zna~i

sin35o- sin42o<0.

Povtorno da go razgledame crte` 13.

O~igledno .......... n21 OAOAOA pa zatoa

.......... n

n

3

3

2

2

1

1

OB

OA

OB

OA

OB

AO

OB

OA, od {to sleduva

..cos....coscoscos n321

Od dosega iznesenoto sleduva deka so zgolemuvaweto na vrednosta na agolot ,

se namaluva i vrednosta na cos, {to zna~i deka funkcijata cos monotono

opa|a na intervalot

20, . Od crteòt se gleda deka ako agolot se

pribliùva do 0o toga{ se zgolemuva doìnata na nalegnatata kateta na vpi{anite triagolnici i taa se pribliùva do dolìnata na hipotenuzata i

bidej}i dolìnata na hipotenuzata e konstantna, zaklu~uvume deka koli~nikot na nalegnatata kateta i hipotenuzata se pribliùva kon 1,t.e. cos0o=1.

Ponatamu, ako se pribliùva do 90o , toga{ dolìnata na nalegnatata kateta

na vpi{anite triagolnici se pribliùva do 0. Spored toa od definicijata na

Crte` 13


str.10

kosinus od ostar agol vo pravoagolen triagolnik sleduva deka cos90o=0.

Od prethodno iznesenoto sleduva to~nosta na slednava teorema.

Teorema 3: Funkcijata cos monotono opa|a na intervalot

20, i pritoa

2010 ,,cos

Primer 8: Bez da presmetuva{, podredi gi po golemina cos15o, cos82o, cos75o,

cos53o.

Re{enie: Od teorema 2 i neravenstvata 15o<53o<75o<82o, sleduva cos15o> cos53o >cos75 o>cos82o.

Da go razgledame crte` 14, na koj se nacrtani nekolku pravoagolni

triagolnici so zaedni~ka nalegnata kateta ACi za aglite vo temeto A vaì

321 .

O~iglidno 321 CBCBCB pa zatoa

AC

CB

AC

CB

AC

CB 221 , od {to sleduva

321 tgtgtg .

Od dosega iznesenoto sleduva deka so zgolemuvaweto na vrednosta na

agolot , se zgolemuva i vrednosta na tg , {to zna~i deka funkcijata tg

monotono raste na razgleduvaniot intervalot

20, .

Od crte` 14 se gleda deka ako agolot se pribliùva do 0o toga{ se

namaluva doìnata na sprotivnata kateta na vaka konstruiranite triagolnici i taa se pribliùva kon 0, a bidej}i dolìnata na nalegnatata kateta e

konstantna, zaklu~uvame deka koli~nikot na sprotivnata i nalegnatata kateta

se pribluùva kon nulata , {to zna~i tg0o=0. Ponatamu, ako se pribliùva do

90o , toga{ dolìnata na sprotivnata kateta na vaka konstruiranite

triagolnici neograni~eno raste, a bidej}i dolìnata na nalegnatata kateta e konstantna, zaklu~uvame deka koli~nikot na sprotivnata i nalegnatata kateta

neograni~eno raste. Poslednoto moème da go iskaème na sledniov na~in:

Ako agolot raste i se stremi kon 90o , toga{ na tg neograni~eno raste i se

stremi kon beskone~nost, t.e. 90o, toga{ tg .


Teorema 4: Funkcijata tg monotono raste na intervalot

20, i pritoa

200 ,,tgα

Primer 9: a) Bez da presmetuva{, podredi gi po golemina tg13o, tg82o, tg75o, tg53o.

b) Bez da presmetuva{, podredi gi po golemina ostrite agli , , , , ako

tg =0,437, tg =5,678, tg =1,0234,tg =25,786.

Re{enie: Od teorema 4 i neravenstvata 15o<53o<75o<82o, sleduva tg15o< tg 53o < tg 75 o< tg 82o.

Crte` 14


str.11

b) Od 0,437<1,0234 < 5,678<25,786, sleduva deka tg < tg <tg < tg , pa od teorema 4

sleduva deka < < < .

Vo prethodnoto razgleduvawe vidovme deka 0<321 , sleduva deka

0<321 tgtgtg . No, za pozitivni realni breoevi h i u od h<u sleduva

321 tg

1

tg

1

tg

1

y

1

x

1

zatoa pa , i ako go iskoristemi deka za sekoj ostar agol

ctgtg

1 dobivame deka

321 ctgctgctg .

Od crte` 15 se gleda deka ako agolot se pribliùva do 0o toga{ se zgolemuva doìnata na nalegnatata kateta na vaka konstruiranite triagolnici

neograni~eno raste, a bidej}i dolìnata na sprotivnata kateta e konstantna,

zaklu~uvame deka koli~nikot na nalegnatata i sprotivnata kateta neograni~eno raste. Poslednoto moème da go iskaème na sledniov na~in:

Ako agolot raste i se stremi kon 0o , toga{ na ctg neograni~eno raste i se

stremi kon beskone~nost, t.e. 0o, toga{ ctg .

Ponatamu, ako se pribliùva do 90o , toga{ dolìnata na nalegnatata

kateta na vaka konstruiranite triagolnici i taa se pribliùva kon 0, a

bidej}i dolìnata na sprotivnata kateta e konstantna, zaklu~uvame deka koli~nikot na nalegnatata i sprotivnata kateta se pribluùva kon nulata ,

{to zna~i ctg90o=0.


Teorema 5: Funkcijata ctg monotono opa|a na intervalot

20, i pritoa

200 ,,ctgα

Primer 10: a) Bez da presmetuva{, odredi go znakot na izrazot ctg28o-1.

b) Bez da presmetuva{, odredi go znakot na izrazot oo

oo

45ctg37ctg

25tg55tg

.

Re{enie: Znaeme deka ctg45o=1 i bidej}i 45o>28o od teorema 5 sleduva ctg28o> ctg 45o , t.e. ctg28o-ctg 45o>0. Spored toa , ctg28o-1= ctg28o-ctg 45o>0.

b) Bidej}i 55o >25o od teorema 4 dobivame deka tg55o> tg25o t.e. tg55o- tg25o>0.

No, 37o <45o od teorema 5 dobivame deka ctg37o> ctg45o ,t.e. ctg37o- ctg45o>0.

Kone~no izrazot oo

oo

45ctg37ctg

25tg55tg

e koli~nik na dva pozitivni broja , pa zatoa

oo

oo

45ctg37ctg

25tg55tg

>0.

Primer 10: Za koi vrednosti na ostriot agol vaì ctg <1, a za koi ctg >1.

Crte` 15


str.12

Re{enie: Znaeme deka ctg45o=1 . Sega od teorema 5 sleduva:

- ako 0o< <45o, toga{ ctg >1, a

- ako 45o < <90o ,toga{ ctg <1.

Vrski me|u trigonometriskite funkcii od ist agol

Pred da gi razgledame vrskite {to postojata me|u trigonometriskite

funkcii od ist ago da go razgledame sledniov

Primer 11: Presmetaj: a) o2o2 4545 cossin b) o2o2 3030 cossin

Re{enie: a) 14

2

4

2)

2

2()

2

2(4545 22o2o2 cossin

b) 14

3

4

1)

2

3()

2

1(3030 22o2o2 cossin

Ovoj prime ne naveduva na pretpostavkata deka zbirot od kvadratite na funkciite sinus i kosinus od eden ist agol e ednakov na eden. Vo slednava

teorema }e pokaème deka na{ata pretpostavka e to~na. Teorema 6: Zbirot od kvadratite na sinus i kosinus od edne ista agol e

ednakov na edinica, t.e. 122 cossin (1)

Dokaz: Neka AVS e pravoagolen triagolnik so ostar

agol . Od definicijata na sinus i kosinus imame

c

bcosα,

c

asinα ,{to zna~i

2

222222

c

ba)

c

b()

c

a(

cossin . No triagolnikot

AVS e pravoagolen, pa od Pitagorovata teorema

imame 222 cba i ako zamenime vo poslednoto

ravenstvo dobivame 1c

c

c

ba2

2

2

2222

cossin {to i treba{e da se dokaè.

Od ravenstvoto (1) sleduvaat relacii so koi moè da se presmeta vrednosta na sinus od ostar agol ako e poznata vrednosta na kosinus od istiot

agol formula (2) i da se presmeta vrednosta na kosinus od ostar agol ako e poznata vrednosta na sinus od istiot agol formula (3).

)3(1)2(1 22 .....sincos....cossin

Primer 11: a) Za ostriot agol najdi cos ako sin =0,6. b) Uprosti go izrazot (2- cos )(2+cos )-3

Re{enie: a)Od formulata (3) sleduva 80640)6,0(11 22 ,,sincos b) (2- cos )(2+cos )-3=22- cos2 -3=4- cos2 -3=1- cos2 = sin2 .

Kako {to znaeme,to~na e formulata

ctg

1tg od koja sleduvaat

formulite )5(1tg)ctg4(tg

1ctg ..........

.

Od druga strana, od c

bcosα,

c

asinα sleduva tg

b

a

c

bc

a

cosα

sinα, t.e. to~na

Crte` 16


str.13

e formulata cosα

sinαtg (6).

Sega od formulite (4) i (5) dobivame sinα

cosα

cosα

sinαtgαctg

11, t.e. to~na e

formulata sinα

cosαctg (7).

Ravenstvata (1), (5),(6) i (7) vo literaturata se poznati kako osnovni

trigonometriski identiteti.

So koristewe na osnovnite trigonometriski identiteti moè da se odredi vrednosta na drugite(tri) trigonometriski funkcii od daden agol ako

se znae vrednosta na edna od niv od istiot agol (nivnoto presmetuvawe e moè da se izvr{i so slednive formuli).

sin

cos sin

sin

cos

1

1

2

tg

ctg tg

α tg

1α ctg

αtg1

1cosα

αtg1

α tgsinα

α tg2

2

α tg

1α ctg

cosα

sinαα tg

α2

cos1sinα

cosα

ctg

ctg

ctg

ctg

tg ctg

sin

cos

1

1

1

1

2

2

Sega da ja razgledame primenata na osnovnite trigonometriski

identiteti preku nekolku primeri.

Primer 11: Za ostriot agol presmetaj cos , sin , i ctg ako tg =5

12.

Re{enie: Od formulata (4) sleduva

12

5

5

12

1

tg

1ctg

13

12

5

13

5

12

25

169

5

12

25

1441

5

12

2

5

121

5

12

21

αtg

α tgsinα

13

5

169

25

169

1441

13

1211

2

2

sincos .

Primer 12: Dokaì go dentitetot :

a) 222 21 coscossin


str.14

b) cosα

tgα

sinαsinα

2

1

1

1

1

Re{enie: Dokaùvaweto na vakvi identiteti moè da se utvrdi na dva

na~ina:

1. So transformacija,ednata strana na ravenstvoto se sveduva na drugat

2. Se transformiraat i ete strain na ravenstvoto se do nivno sveduvawe na o~igledno ravenstvo

a) 22222 211 coscoscoscossin

αcos

sin

αcos

sinα

αcos

sin

αsin

sinα

cosα

cos

sin

sinαsinα

sinαsinα

cosα

tgα

sinαsinα

22

22

22

2

1

2

2

)1)(1(

)11

2

1

1

1

1

b)

so {to identitetot e dokaàn.

Re{avawe na pravoagolen triagolnk i re{avawe na prakti~ni problemi

Sega koga gi vovedivme trigonometriskite funkcii i znaej}i gi vrskite me|u niv moème da re{ime daden pravoagolen triagolnik. Sega se nametnuva

potrebata da odgovorime na slednovo pra{awe: [to zna~i da se re{i

pravoagolen triagolnik? Odgovorot na ova pra{awe se sostoi vo toa {to po dadeni dva elementi na parvoagolen triagolnik( razli~ni od praviot agol i eden element mora da bide strana) da se odredat ostanatite

elementi(elementi na triagolnik se negovite strain i agli) na pravoagolniot triagolnik.

Od gore kaànoto sleduva deka postojat ~etiri tipa na zada~i za

re{avawe na pravoagolen triagolnik i toa: 1. poznati se hipotenuzata i eden agol

2. poznati se kateta i eden agol

3. poznati se kateta i hipotenuzata i 4. poznati se dvete kateti.

Zabele{ka: Poèlno e site elementi na triagolnikot da se presmetuvaat so

prvi~nite podatoci so cel da se izbegnat pogolemi gre{ki vo presmetuvawata. Sega }e gi re{ime ovie zada~i so konkretni podatoci i nekoi prakti~ni

problemi koi vo su{tina se sveduvaat na re{avawe na nekoj pravoagolen triagolnik.

Primer13: Re{i go pravoagolniot triagolnik zadaden so hipotenuzata

c=56 cm i agolot =53o28’. Re{enie : Dadeni se c=56 cm i =53o28’. Treba da se odredat a,b i .

Agolot se odreduva od relacijata + =90o od kade {to sleduva deka

=90o- =90o-53o28’=36o32’.

Ponatamu od cm45285356 o 'sincsinαac

asinα


str.15

a od c

bcosα cm333285356 o ,coscosαcb ' .

Primer14: Re{i go pravoagolniot triagolnik zadaden so kateta a= 123 cm

i agolot =41o12’. Re{enie : Dadeni se a= 123 cm i =41o12’. Treba da se odredat b,c i .

Agolot se odreduva od relacijata + =90o od kade {to sleduva deka =90o- =90o- 41o12’=48o48’.

Ponatamu od cm51631241

123o

,coscos

ac

c

acos

'

a od a

btgα cm71071241123 o ,tgatgb ' .

Primer15: Re{i go pravoagolniot triagolnik zadaden so kateta a= 24 cm

i hipotenuzata c=30 cm. Re{enie : Dadeni se a= 24 cm i c=30 cm. Treba da se odredat b, i .

Od Pitagorovata teorema imame

cm183245769002430 2222 acb .

Ponatamu od ,,c

acos 80

30

24 pa sleduva deka =arccos0,8=36o52’ i

=90o- =90o- 36o52’=53o8’. Primer16: Re{i go pravoagolniot triagolnik zadaden so kateti a= 2,4 cm

i b=3,5 cm. Re{enie : Dadeni se a= 2,4 cm i b=3,5 cm. Treba da se odredat c, i .

Od Pitagorovata teorema imame

cm24011825127655342 2222 ,,,,,,bac .

Ponatamu od 53

42

,

,

b

atgα pa sleduva deka

'

,

,arctg 2634

53

42 o i

=90o- =90o- 34o26’=55o34’.

Zabele{ka: Funkciite arccosa, arccosa, arctga i arcctga (se ~ita

"arkussinus od a" , "arkuskosinus od a”, "arkustangens od a" i "arkuskotangens od a" se koristat za odreduvawe na agolot ako e poznata vrednosta na

trigonometriskata funkcija a.

Primer17: Ramnokrakiot trapez e zadaden so pogolemata osnova a=42 cm i krakot c =25cm i agolot pri dadenata osnova =47o20’. Da se najde drugata osnova

visinata. Re{enie : Od crte` 17 se gleda deka 2x=a-b, t.e. b =a-2x . Zna~i, od

pravoagolniot tragolnik ADD1 treba da gi odredime x i h, odnosno:

cm41873531025204725 o ,,sincsinαh ' ;

cm1767773025204725 o ,coscosαcx ' .Baranite elemrnti na trapezot se

h=18,4cm i b=42-2.17=8,b=8cm .


str.16

Crte` 17

Primer18: Pilot na avionot mu javuva na kapetanot na ribarskiot brod deka pod sebe zabeleàl golemo jato ribi i deka se nao|a na visina od 1200m. Od

brodot go merat agolot sprema moreto pod koj go gledat avionot i nao|aat deka

iznesuva 18o30’. Kolku e daleku brodot od jatoto ribi?(Crte` 18a)

Re{enie : Situacijata vo zada~ata moè da se prikaè so pravoagolniot

triagolnik na crte` 18b, kade {to baranoto rastojanie e ozna~eno so h; od

ctreòt se gleda deka

m43586988721200301812001200

x3018 oo ,,ctgxctg '' t.e. . Zna~i brodot

e oddale~en od jatoto ribi 3586,4m.

Crte` 18a Crte` 18b Primer19: Na konec zakrepen so eden kraj i dolg l= 1,2 cm obesena e te{ka

topka(ni{alo) . Za kolkav agol e otkloneto ni{aloto od ramnote`nata

polo`ba ako e napraven oklon(aplituda) a=17 cm.(Crte` 19) Re{enie : Od crte` 19 sleduva deka

Crte` 19

.,arcsin

l

asinα

'98141660 o

deka sleduva {to kade od

0,14166120

17


str.17

Primer20: Odredija visinata na drvoto na ctre 20, spored dadenite elementi.

Re{enie :

Visinata na dr voto e h=1,5m+x.

m758x

54673016402816

16

x4028

o

o

,

,tgx

tg

'

'

t.e.

Spored toa visinata na drvoto e h 1,5m +8,75m=10,25

Crte` 20

trigonometriski funkcii

Documents