1

Arsiã Miodrag 53/08

Prsten i Polje

Uvod Algebarska struktura je ureðeni par (ö, F), gde je ö skup elemenata, a F skup operacija u skupu elemenata ö. Algebarska struktura koja se sastoji od jednog skupa elemenata i jedne operacije (G,○), naziva se grupoid. Grupoid èija je operacija asocijativna naziva se asocijativni grupoid ili semigrupa. Ako je (G,○) grupoid sa osobinama:

1) Asocijacije 2) (eG)( aG) e ○ a = a ○ e = a (tj. postoji neutralni element) 3) ( aG)(a-1G) a-1○ a = a ○ a-1 = e (tj. postoji inverzni element) 4) i ako je ○ komutativna operacija

tada se algebarska struktura (G,○) naziva Abelova (komutativna) grupa.

Definicije Neka su u skupu S definisane dve binarne operacije, + i * sa osobinama:

1) (S, +) je Abelova grupa 2) (S, *) je semigrupa 3) ( x,y,z S) x * (y+z) = (x*y) + (x*z) ( x,y,z S) (x+y) * z = (x*z) + (y*z) (tj. va�i distributivnost)

tada se struktura (S, +, *) naziva prsten. Primeri:

(Z, +, *) skup celih brojeva gde je definisano sabiranje i mno�enje je prsten

Skup svih realnih polinoma je prsten

2

Komutativni prsten je prsten kod koga je operacija * komutativna. Prsten sa jedinicom je onaj prsten kod koga operacija * ima neutralni element. Neka je (S, +, *) prsten i a S. Ako postoji b S tako da je a * b = 0 (nula prstena), tada se a naziva levi delilac nule prstena (S, +, *). Analogno se defini�e desni delilac nule. Primer: S = {0,1,2,3,4,5}; (S, +, *), + i * po modulu 61; 2 * 3 = 0 Prsten bez delilaca nule naziva se oblast celih (integralni domen). Primer: S = {0,1,2}; (S, +, *) nema delilaca nule Neka su u skupu S definisane dve binarne operacije, + i *, sa osobinama:

1) (S, +) je Abelova grupa 2) (S\ {0}, *) je grupa 3) Va�i leva i desna distributivnost

tada se algebarska struktura (S, +, *) naziva telo. Neka su u skupu S definisane dve binarne operacije, + i *, sa osobinama:

1) (S, +) je Abelova grupa 2) (S, *) je Abelova grupa 3) Va�i leva i desna distributivnost

tada se algebarska struktura (S, +, *) naziva polje. Primer: S = {0,1,2,......, p-1}, p je prost broj (S, +, *) jeste polje ako su operacije + i * po modulu p

1 Sabiranje i mno�enje po modulu p, podrazumeva da se dva broja prvo saberu ili pomno�e a zatim izraèuna ostatak pri deljenju sa brojem p.

3

Teoreme U prstenu (S, +, *) va�i: ( x S) x * 0 = 0 * x = 0. Dokaz:

0*0*0*0*)00(*0

00*0*0*)00(*0*

xxxxx

xxxxx

Ako je:

1) (S, +) je Abelova grupa 2) (S, *) je komutativna semigrupa 3) vazi leva (ili desna) distributivnost (napomena: ne va�e obe

distributivnosti, veã samo jedna) tada je struktura (S, +, *) prsten. Dokaz: Na osnovu komutativnosti koja proistièe iz taèke 2, lako mo�emo iz leve distributivnosti da doka�emo desnu i obratno. U prstenu (S, +, *) gde ( x,y S) va�i: -(x * y) = (-x) * y = x * (-y) Prsten sa jedinicom u kome su svi elementi razlièiti od nule invertibilni, jeste telo. Dokaz:

00*)*(

0**)*()*(*

0*

0,

11

11

abaa

bbcbaabaa

ba

ba