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Quantum-Gym(Ejercicios a discreción)

Por: WILLY PREGLIASCO

INÉs SAMENGO

CRISTIAN DENTON

JUANA GERVASONI

RAúL BARRACHINA

"Don'! feel bad about falsifying!he solu!ion. I falsified !he problem."

INSTITUTO BALSEIRO~ Otoño 1993 ~

•

Indice1 Interpretación de la Mecánica Cuántica 1

2 Matriz Densidad 4

3 Momento Cinético y Wigner-Eckart 8

4 Emisión y Absorción de Radiación 12

5 Pert ur baciones 17

6 Aproximación WKB 21

7 Atomos de Uno y Dos Electrones 23

8 Atomos Multielectrónicos 27

9 Moléculas 30

10 Colisiones 32

11 Un Baldazo de Problemas 37

12 Tablas y Machetes 51

13 Referencias Agradecidas 59

1

1 Interpretación de la Mecánica Cuántica

La siguiente es una encuesta realizada a los alumnos el primer día de clases. La ideaes enfrentarlos directamente al problema y utilizar sus respuestas para ilustrar la claseteórica correspondiente.

2

p

t!-I 02""

""""'"

'"'" ,- Barrera de Potencial

7t~O7

O. Considere el experimento que se detalla en la figura. Enviamos una partícula, at = to, contra una barrera de potencial que tiene un coeficiente de reflección R < 1.Transcurrido un lapso de tiempo, a t = tI, detectamos la partícula en uno de los dosdetectores DI y D2, con probabilidades R y 1 - R respectivamente. La pantalla Pes probable que no la usemos para nada. Si la partícula es detectada en DI, decimosque fue reflejada por la barrera de potencial. Si se la detecta en D2 decimos que setransmite.¿Cuándo se transmite o refleja la partícula? Elija una de estas opciones:

(a) Qué ganas de preguntar pavadas, la partícula se refleja o se transmite al chocarcon la barrera de potencial. Con DI y D2 sólo detectamos lo que sucediórealmente.

(b) La pregunta no tiene sentido. Es típica de una mente enferma de mecánicaclásica. La partícula no se refleja ni se transmite.

(c) Se ve que nunca leyeron textos de divulgación, cualquiera sabe que la partículano se transmite ni se refleja antes de la medición. La misma medición provocael colapso de la función de onda.

(d) Yo soy un tipo con ideas propias y ninguna de estas respuestas estereotipadasva conmIgo.

Si su respuesta fue (a)Considere ahora que en lugar de DI y D2 colocamos sendos espejitos. Sobre lapantalla P la distribución de probabilidades presenta un patrón de interferencia.;,Cómo es que se produce?Si su respuesta fue (b)¿Por qué siempre detectamos la partícula de uno (y sólo de uno) de los dos lados?

Si su respuesta fue (e)Bien, hilemos más fino: ¿Qué provoca el colapso de la función de onda?:

(i) La presencia de los detectores DI y D2.

(ii) La interacción de la partícula con los detectores DI y D2.(iii) La toma de conciencia del resultado por parte de un observador.

Si su respuesta fue (i)Considere ahora que los detectores son también sistemas cuánticos.¿Qué es lo que produce el colapso de los detectores?Si su respuesta fue (ii)Considere ahora la siguiente variante: retiramos el detector D2.Lanzamos la partícula en to Y luego de esperar hasta tI no detec-tamos nada en DI. Podemos decir entonces que la partícula fuetransmitida, pero ¿qué interacción produjo el colapso?Si su respuesta fue (iii)Ya que eligió esta opción, ahí van dos preguntas: Suponga que aldetector anda perfectamente, salvo porque se le rompió la aguja.¿Se colapsa de todas formas la función de onda?Si cuando t = tI yo estaba en el baño, pero un amigo vió el com-portamiento de DI y D2, ¡,Colapsa para mí la función de onda?

Si su respuesta fue (d)Bueno, ya que sos tan piola, nos interesa saber qué es lo que se te ocurrió.

~ Gracias por jugar ~

3

2 Matriz Densidad

"1 realize it has no value, bu! 1s!nmgly believe in basic research."

4

5

1. Desarrollar en la base {I+z) , I-z)} el espinor de un electrón de proyección deespín 1/2 en una dirección arbitraria n (usar coordenadas esféricas).

2. Demostrar:

(a) (A) = Tr(pA)

(b) Para un sistema de espín 1/2:

(i=x,y,z)

(c) También para un espín 1/2:

3. Considere los siguientes estados de un haz de particulas de espín 1/2:

(a) Todo el haz está en el estado I+y).(b) El haz es una mezcla por partes iguales de dos haces: uno en estado /+z) y

otro en I-z).(e) El haz es una mezcla por partes iguales de dos haces: uno en estado I+y) Y

otro en I-y).

(d) El haz es una mezcla por partes iguales de dos haces: uno en estado I+y) Yotro en I+z).

Calcule en todos los casos la matriz densidad y el vector de polarización. Discutaen qué tipo de caso se encuentra y calcule la proporción de haz que atravesaría unfiltro en la dirección +y.

4. Sobre un sistema cuyo estado de mezcla está descrito por el operador densidad p,efectuamos la medición de un observable A de autoestados In) no degenerados.

(a) ¿ Cuál es la probabilidad de que el resultado de tal medición sea un dadoautovalor an?

(b) Si no conocemos el resultado de la medición, ¿ cómo describimos posteriormenteel estado del sistema?

5. Tubo de DeBroglie

(a) Confinamos unidimensionalmente una partícula en un tubo de logitud 1. Lacolocamos (vaya uno a saber cómo) en un autoestado Iw T) antisimétrico deenergía ET. Colocamos una divisoria al medio del tubo y separamos las dosmitades. La función de onda queda dividida en su parte derecha Iw D) y su parteizquierda /W 1)' La probabilidad de encontrar la partícula en cada semitubo esobviamente 1/2.

6

(b) Ahora comenzamos con los dos semitubos vacíos. Pedimos a un amigo quearroje una moneda. Si sale cara colocará una partícula en el semitubo izquierdoen el estado /lJi¡). Si sale ceca la colocará en el semitubo derecho en el estado/lJi n). Cerrará ambos semitubos y me los dejará sobre la mesa. Gracias amigo.

• ¿Existe alguna diferencia entre ambas situaciones? ¿Puedo diferenciadas ex-perimentalmente?

• Escriba la matriz densidad y su cuadrado para ambas situaciones.

• Ahora mi amigo se lleva a la China uno de los semitubos y me deja el otroa mí (qué macana, siempre quise conocer China). Abro mi semitubo y mefijo qué hay. El estado colapsa. ¿Tiene el mismo significado el colapso en lassituaciones (a) y (b)?

Ayuda (usar sólo en caso de emergencia)

Juntamos nuevamente ambas mitades. ¿Qué sucede si medimos la energía del sis-tema?

6. Sean {11) , /2) , oo., 1M) } una serie de vectores de norma 1, pero no necesariamenteortogonales. Muestre que la condición necesaria y suficiente para que el operadordensidad:

1 MP = M L li) {i/

;==1

represente a un estado puro es que estos M vectores sean iguales salvo una fase.

7. Demostrar que para que el operador p represente un caso puro, es necesario y sufi-ciente que Tr (p2) = 1.

8. Demostrar que los elementos de matriz del operador densidad satisfacen la relación:

pnn Ppp :::::/Pnp/2

(De este resultado se deduce que si una población es O J entonces no tiene coheren-cias).

9. La matriz densidad de un haz de partículas de espín 1/2 (en la base de estados deespín definido en la dirección z) está dada, en el instante t=O, por

(p++ p+_) 1(3 1)p_+ p__ = 4" 1 1

(a) ¿Representa un estado puro o de mezcla? Interprételo.

(b) Si el sistema se encuentra en I?resencia de un campo magnético B en la direcciónz, encuentre la dependencia temporal de su matriz densidad.

(e) Encuentre la dependencia temporal del valor medio de la proyección x del,

espm.

7

(iv) Encuentre la dependencia temporal del valor medio de la proyección z del espín.

(v) ¿ Cuál es la probabilidad de que el resultado de la medición de la proyección zdel espín sea ti /2?

(vi) Si no conocemos el resultado de tal medición, ¿cómo describimos posterior-mente el estado del sistema?

10. Un gas de átomos es excitado al nivel n por el impacto de un haz de iones. Si unacolisión con parámetro de impacto b genera un estado puro I \]i n (b)), definimos eloperador densidad del gas después de la colisión (operador sección eficaz) por:

Pn = J /Wn (b)) (Wn (b)/ db

Utilizar las simetrías del problema para reducir el número de elementos independi-entes de la matriz densidad en una base Inlm) con eje de cuantización en la direcciónde incidencia del haz. ¿Cuántos números reales independientes se necesitan paraespecificar completamente el estado de excitación del gas al nivel n = 3 ?

3 Momento Cinético y Wigner-Eckart

r

"But thís is lhe slmpllfied verslon lor the general publlc."

8

9

11. S = SI + S2 es el espín total de dos sistemas de espín 1/2 que no interactúan.¿Cuáles son los posibles au tovectores de I S 1

2 y Sz ? Expréselos como combinaciónlineal de los vectores propios ImI, m2).Demuestre que éstas también son autofunciones del operador SI· S2 .Ayuda: utilizar los operadores adjuntos J+ y J_ .

12. Muestre que para el espinor Ix) del problema anterior correspondiente al espín totalS = O se verifica:

13. Veta.

14. Las componentes del operador momento angular J son observables que verifican lasrelaciones de conmutación [Ji, Jj] = in tijk Jk .

Demuestre las siguientes reglas de conmutación:[J,J2] = O[Jz, J±J = ±n J±[J+, J_] = -n Jz

(c) Si Ijm) es un autovector de j2 y Jz, mostrar que:

(a) Mostrar que el operador L = -in r x V' verifica la definición anterior.

(b)

J± IJm) = =FnV(j =Fm)(j ± m + 1)/2 Ij m ± 1)

15. Muestre que los coeficientes de Clebsch-Gordan verifican la siguiente relación derecurrenCla:

v(J ± M)(J =F M + 1) Ul,j2, mI, m21J,M =F 1) =V(jl =F md(jl ± mI + 1) Ul,j2, mI ± 1, m2/J, M)

+ v(h =F m2)(h ± m2 + 1) Ul,j2, mI, m2 ± 11J, M)

16. Para expresar los estados de una partícula de espín 1/2 resultan útiles las siguientesrelaciones:

+

IL -! M)+

Demuéstrelas.Ayuda: Pruebe la primera de ellas por inducción a partir del caso M = L + !yutilizando el operador J_. Para la segunda relación piense en la ortogonalidad y enun buen café con leche.

10

Hay una linda tabla de los coeficientes Clebsch-Gordan en la revista:

Rev. Mod. Phys, Vol 48, No. 2, Part Il, 536 (1976)

En el apéndice pusimos una copia. Reclámela a su ayudante ¡Gratis!

17. Calcule explícitamente el elemento de matriz reducida (j IIJII j).Resultará de ayuda la igualdad:

(~J-m 0

1 ) = (_l)j-m m

Jj (j + 1)(j + 2)

18. Los armónicos esféricos Yím son la representación en coordenadas de los estados11m).Demuestre que las componentes Glm = J( 47r )/(21 + 1) y;m del denominado ten-sor de Racah Gl representan las componentes standard de un operador tensorialirreducible de rango l. Más precisamente debe pensarse la definición como:

19. Supongamos que un átomo de hidrógeno sufre una perturbación dada por un ope-rador tensorial irreducible de rango 2.¿Cuántos elementos de matriz reducidos tendría que calcular para describir todaslas transiciones posibles entre los niveles n = 5 y n = 1?

20. (a) Utilice el teorema de Wigner-Eckart para demostrar que la 'integral de Gaunt':

es proporcional a (_1)m3 (h, 12,mI, m2113, -m3) siendo el coeficiente de pro-porcionalidad independiente de mI, m2, Y m3·

(b) Utilice el resultado anterior y la identidad:

para calcular explícitamente la integral de Gaunt.

11

(c) Paradoja de HassanI: ¿Qué es incorrecto en este razonamiento?Partimos de la siguiente relación para la adición de armónicos esféricos (ec.106.9 del Landau de Cuántica):

y podemos invertida, obteniendo:

m

con lo cual:

J Y¡~1 (B, <p) Y¡:2 (B, <p) Y¡~3 (B, <p) dD =

L (l1,l2,mI,m2Il,m) J y¡m(B,'P) Y;:3(B,'P) dO1m

L (l1, l2, mI, m2ll, m) (-1 )m3 8113 8m-m31m

(_1)m3 (l1,l2,mI,m2Il3,-l3)

Si esto estuviera bien, debería ser igual al resultado de (b).

21. Sea 1 el momento angular orbital de una partícula sin spin, y A un operador cuyascomponentes cumplen las reglas de conmutación:

(i,j,k = x,y,z)

(a) Usando el teorema de Wigner- Eckart encuentre los elementos de matriz delas componentes del operador A en la representación {[2, l z} . Puede dej arloexpresado en términos de los coeficientes de Clebsch-Gordan que hagan falta.

(b) Encuentre las reglas de selección para las transiciones "permitidas" (son aque-llas con elementos de matriz no nulos en primer orden) debidas a una pertur-bación oAz y a una perturbación oAx.

(c) Calcule explícitamente los elementos (lml Aq 12m') (q = -, O,+) usando unatabla de Clebsh-Gordan.

(d) Si el sistema se encuentra en el estado 120) y sufre una perturbación a(Ax+Az).¿Cuáles son las poblaciones de los estados 11m) luego de la perturbación?

lSergio Hassan, alumno del Instituto, nos dejó este hermoso problemita.

4 Emisión y Absorción de Radiación

"It's unified and it's a theory, but ¡t's not the unified theory we've all beenlooking for." ,

12

13

22. (a) Calcule la matriz de polarización y los parámetros de Stokes para un haz deintensidad lo Y polarización lineal en una dirección arbitraria respecto de el.

(b) Demuestre que un haz completamente polarizado verifica r¡2 = O si y sólo siéste está polarizado linealmente.

(c) Deduzca la ley de Malus utilizando el resultado de (a).

23. Muestre que un electrón libre no puede absorber ni emitir un fotón.

24. Efecto FotoeléctricoUn campo de radiación con N(k, e) fotones actúa sobre un átomo hidrogénico decarga Z que se encuentra en su estado fundamental. El átomo se ionizará cuandoel electrón efectue una transición a algún estado del continuo. Demuestre que laprobabilidad de ionización por unidad de tiempo es proporcional a:

Para simplificar los cálculos suponga que el electrón en el estado final está descritopor una onda plana de vector de onda kf. Analice la dependencia de esta probabil-idad con la dirección de salida del electrón emitido.

25. Considere un átomo hidrogenoide sin considerar su estructura fina (los autoestadosestán descritos por los números cuánticos n, l, m, ms).

(a) Indique en un diagrama las transiciones permitidas entre los niveles con n =1,2 Y 3.

(b) Para la transición 2P(m) -+ 18(0) :

1. Calcule la distribución angular de la radiación emitida.ii. ¿ Cuál es la distribución angular y la polarización si tengo un gas de átomos

distribuidos aleatoreamente?

(c) Si se coloca un campo magnético B muy fuerte en la dirección z se produce undesdoblamiento de los niveles de energia según la expresión:

Considere las transiciones 2p -+ 18 :

1. ¿Cuáles son permitidas?11. ¿Cuántas líneas se observan?

111. Calcule la intensidad relativa y la polarización de cada línea en la direcciónde B y en una dirección perpendicular.

14

26. Considere ahora los niveles del átomo de hidrógeno con estructura fina mostrados enel diagrama. Indique entre qué niveles son posibles transiciones dipolares eléctricas.

EnergfaNotación:

25+ 1LJ

~D512 }2°3/2n =32P3/2

51122 Pt/2

3p 1253/2 n=22 3/2P1/2

251/2 } n=l

27. Indique en el diagrama adjunto las transiciones dipolares eléctricas permitidas entrelos niveles del Oxígeno.

~...;~:!p.l '~I')

(-I"~1_3()I...,n-I)---~-~-~-- __ -IS,.iO eVIS

2s:! 2Jl-l1~J)}liS 11]' r¡d

l-I:W,,-'}--!n ('lll~r) ~ - ~ ~ _

liS IIp lid

/ 2.:::; ~ ~ ~[~~s.:?i~,7_'::!r!....-~) _

.1

11;,0:3

¡:¡,lil

J:?

!IJ

lONiveles de cncrf.;Í;1 •.h:l {¡loll}o tlt.: oxi;l'lIo.

15

28. ¿Qué consideraciones deben hacerse al usar el tratamiento semiclásico de la interac-ción de un sistema cuántico con el campo de radiación para un haz de luz: (a) muy

intenso, ó (b) muy débil?

29. (a) La matriz de polarización para un haz de luz en la base de estados de helicidaddefinida, dada por:

¿ representa un estado puro o de mezcla?

(b) Interprétela.

30. (a) ¿Cuáles son los posibles caminos de desexcitación para pasar del nivel 4p allsde un átomo de hidrógeno?

(b) ¿Cuál de estos mecanismos es el más probable? ¿Por qué?

(c) Compare los anchos de línea natural de las transiciones3p -+ 2s y 3p -+ ls. Justifique su respuesta.

31. Ley de Planck:

(a) Considere un conjunto de átomos iguales a una tempertaura T que interactuacon un campo de radiación de N(w) fotones. En estas condiciones se cumple:

p dWem = po dWabsdt dt

Donde P y po son las poblaciones de los niveles excitados y desexcitados res-pectivamente, y dWem/dt y dWabs/dt las probabilidades por unidad de tiempode emisión y absorción de radiación. Calcule N (w) en función de T.

(b) Ahora suponga que el campo de radiación está encerrado en una caja de vo-lumen V con átomos de varias clases capaces de absorber y emitir fotones encualquier frecuencia. Si el número de estados de fotones con frecuencia enW,w + dw es

f( )d = Vw2dww w 2 3

7r e

calcule la energía del campo de radiación en el intervalo w, w + dw por unidadde volumen (Ley de Planck).

(c) Encuentre la frecuencia para la cual la densidad de energía dada por la ley dePlanck es máxima (Ley de Wien).

16

(iv) ¿Cómo depende con la temperatura la desidad total de energía (integrada enw)? (Ley de Stefan-Boltzmann).

32. En la clase de emisión de radiación se vio que los coeficientes Gn(t) cumplen con la. ,ecuaClOn:

A partir de esta expresión verifique que si la frecuencia w de la radiación incidenteestá muy cerca de Wij para dos estados no degenerados li} y Ij} (donde li) es elestado inicial) el sistema de ecuaciones acopladas puede ser reemplazado por:

dGi

dtdC J

dtdCndt

( e Aa \.\ ik-r A ni') e'" ---- z e e· v J .2m J

( e A~ / ., -ik-r A* n/') e'" - 2m \ J e e· v Z i

Luego realice la aproximación dipolar y resuelva las ecuaciones obteniendo Gi(t) yCj (t) para todo tiempo. Identifique en este resultado para qué tiempos se cumpleque la probabilidad de transición es lineal con el tiempo.

5 Perturbaciones

"Just checking."

17

18

33. Una partícula de masa m se encuentra en un pozo infinito unidimensional de anchoa:

V(x)= O

V(x) = +00

O<x<a

x<Ü x>a

Se la somete a una perturbación de la forma:

(a) Calcule la modificación introducida por W( x) en los niveles de energía de lapartícula, a primer orden en Wo•

(b) Sin embargo, el problema con el potencial V (x) + W (x) se puede resolverexactamente. Muestre que en este caso, los posibles valores de la energía estándeterminados por las ecuaciones:

(Fi1-a)sen ---2

=0

o

tan (Fi1-a) = _h~2 maWo

(c) Discuta la dependencia de los resultados obtenidos en (b) con el parámetroWo. En particular, ¿en qué límite se obtiene el resultado de (a) ?

34. Considere una partícula P de masa JL que se mueve en el plano XOY en un círculode radio fijo p y centro en O.

y

x

19

(a) Escriba el hamiltoniano de la partícula y encuentre sus autoestados. Verifiquesi son degenerados o no.

(b) Suponga que la partícula tiene carga q e interactúa con un campo eléctricouniforme E paralelo a x. Escriba el hamiltoniano perturbativo y calcule lasmodificaciones en la energía y la función de onda del estado fundamental aprimer y segundo orden en E.

(c) Clásicamente se define a la susceptibilidad X como el coeficiente que hace queX E = p, donde p es el dipolo eléctrico. Dé una definición equivalente entérminos de la función de onda. Con ella, calcule X usando el resultado obtenidoen (b).

(d) Calcule la corrección a la energía del primer estado excitado a primer orden enE.

35. Efecto ZeemanConsidere un atomo hidrogénico en presencia de un campo magnético externo uni-forme.

(a) Escriba la ecuación de Schrodinger y desprecie los términos de segundo ordenen el campo.

(b) Muestre que el campo magnético introduce una perturbación de la forma:

1{' = /-lB L· Bf¿

(c) Calcule la corrección a la energía que introduce dicha perturbación.

En estos cálculos no se considera el espín electrónico de ninguna forma. El resultadoes conocido como Efecto Zeeman Normal.

36. Considere dos partículas distintas de espín !cuya interacción está dada por:

W(t) = a(t) SI . S2 con a(ltl 2: T /2) ~ O

(a) Calcule exactamente el estado para t = +00 sabiendo que en t = -00 el sistemase encuentra en el estado 1+-)· Calcule P (1+-) -----+ 1-+))·

(b) Calcule ahora lo mismo pero a primer orden perturbativo.Verifique la validez de la aproximación.

37. Una partícula de espín 1/2 se encuentra inicialmente en un estado

de proyección de espín f¿/2 (en la dirección z) en presencia de un campo magnéticoexterno Bz. Se varía la intensidad del campo B en función del tiempo, como semuestra en la figura.¿Bajo qué condiciones aplicaría la aproximación súbita? ¿Y la adiabática?

20

t

38. Un electrón en un potencial armónico unidimensional es perturbado por la acciónde un campo eléctrico cuya dependencia temporal es:

(a) Si a t = - 00 el electrón está en el estado fundamental, ¿Qué estados puedenser ocupados a primer orden perturbativo?

(b) ¿Cuál es la probabilidad de excitación para t = +00 a primer orden?

(c) ¿Qué condición debe cumplir A para que la aproximación sea válida?

(d) ¿En qué condiciones es válida la aproximación adiabática?

(e) Si en t = -00 el electrón se encuentra en el estado fundamental, calcule laprobabilidad de encontrado en un estado excitado en t = +00 suponiendoadiabaticidad.

39. Calcule la probabilidad de excitación al nivel 28 de un átomo tipo hidrogenoide sise produce un cambio repentino de su carga nuclear Z -+ Z + 1 (decaimiento (3 ).

40. La figura muestra las líneas de emisión Balmer medidas como función del campoeléctrico aplicado a un sistema atómico. Explique los resultados observados .

.,

.!

----- r-- IFig.26. STARK efíect on some of th(' BAUIER li!les (expcrimcnts byRAuseH v. TRAUBENBERG). The eleetric ficld str('ngth inerrasesfrom the bottom of the picture upwards, the maximum value (a littlebp)ow the top of the picture) is 1.14 million VoItjcm, the horizontal

white linps are linps of constant firld strpngth.

6 Aproximación WKB

"I'm afraid that's not the way to bridge the communications gap betweenscientists and non-scientists."

21

22

41. Utilice el método WKB para encontrar los niveles de energía de un oscilador armó-nico. Compare con el resultado exacto. ¿Sería tan amable de dibujar las funcionesde onda con una computadora?

42. Considere una partícula en un campo gravitatorio uniforme limitado por debajo porun piso horizontal perfectamente reflejante.

(i) ¿Cómo se modifica la regla de cuantización de WKB?

(ii) Calcule el espectro de energías.

(iii) Dibuje algunas funciones de onda WKB.

7 Átomos de U no y Dos Electrones

"I'm on the verge of a major breakthrough, bul I'm also al lhat poinl wherechemistry leaves off and pllysics begins, so 1'11have lo drop the whole lhing."

l'

23

24

43. Modelo de BohrEn 1913 Niels Bohr desarrolló el primer modelo atómico capaz de explicar los es-pectros de emisión de átomos hidrogenoides.

Consideró órbitas circulares clásicas del electrón alrededor del núcleo y postuló queel impulso angular estaba cuantizado en múltiplos enteros de ñ.

(a) Obtenga las predicciones en dicho modelo para la velocidad del electrón, elradio de su órbita, el período orbital y las energías cinética, potencial y totalde los estados. Observe con atención la dependencia en n y Z.

(b) ¿ Cuándo es importante un tratamiento relativista?

Observaciones

• En trabajos posteriores, A.Sommerfeld generalizó el modelo para órbitas no cir-culares y calculó las correcciones relativistas. A este desarrollo se lo denominala vieja mecánica cuántica y fue superado por los trabajos de E. Schrodinger,W. Heisenberg y otros, siguiendo las ideas de 1. de Broglie.

• Unidades AtómicasEn física atómica se suelen usar las llamadas unidades atómicas que consisteen tomar el sistema gaussiano para electromagnetismo y como unidades:El radio de Bohr ao = 5.2917710-11 mImpulso Angular f¿ = 1.0545910-34 J sCarga del Electrón e = 1.6021910-19 eMasa del Electrón me 9.1095310-31 kgEn este sistema:ao = 1 'U.a. 1i = 1 'U.a. e = 1 'U.a. me = 1 'U.a. e = 137 'U.a.

Trabajar en unidades atómicas ayuda a simplificar las expresiones pero sepierde la posibilidad de verificar la dimensionalidad de un resultado.

44. (a) Calcule (,), (,2) Y (1/,) para el estado fundamental de un átomo hidrogenoide.

(b) Demuestre que:cPnlm(P) = Fn1(p) lím(f»

Ayuda: Usar el desarrollo00 m=l

eik-r = 47r L L i1 jl(k,) lí:n(l~) lím(r)1=0 m=-l

(c) Calcule explicitamente cP(p) para el estado fundamental de un átomo hidroge-noide.Ayuda 1:

¡OO e-ax jl(bx) xl+1 dx

Si esta ayuda no lo ayuda Ayuda 11:

(2b)ll!(a2 + b2)1+1

V -ax-eva-ax-xe

25

(d) También para el estado fundamental calcule (p) y (p2).Ayuda:

i!.('Xi xJ.L-l d = _1_ (r) v r(/1/I/) f(l + n - /1/1/)

lo (p+qxv)n+l x vpn+l q f(l+n)

O<~<n+lv

45. Teorema del Virial

(a) Demuestre que dado un operador A que no depende explícitamente del tiempo,su valor medio en un estado del sistema, evoluciona de la forma:

iñ d ~:) = ([A, H])

(b) Utilizando A = r . p, para un estado estacionario del sistema, demuestre que:

2 (T) = (r . VV)

(e) Si V(,\r) = AS V(r)2 (T) = s (V)

(d) Verifique el teorema del virial :

l. con el modelo de Bohr.ii. para el estado fundamental con los resultados del problema anterior.

46. Toda región del espacio en la que la energía cinética de una partícula se hace negativaestá prohibida para un movimiento clásico. Para un átomo hidrogenoide en el estadofundamental calcule la probabilidad de encontrar el electrón en la zona prohibidaclásicamente.

47. Estructura finaConsidere transiciones dipolares eléctricas para átomos hidrogenoides.

(a) Demuestre que la serie Lyman (n -t n'=l):i. está separada en dobletes debido a los términos de estructura fina.

ii. que dicho desdoblamiento disminuye con n.

(b) Demuestre que la serie Balmer (n -t n' = 2) está desdoblada en cinco líneas.Estudie cómo se agrupan en función de n.

26

48. Efecto ZeemanUn átomo hidrogenoide con estructura fina está en un campo magnético uniforme.Sufre una perturbación:

Tí' = 11B (J + S) .Bti

Calcule el desdoblamiento perturbativo (bajos campos) de los niveles.Haga el esquema de transiciones (n = 2 -+ n' = 1). ¿ Cuántas líneas aparecen?

Observacion: Como los experimentos fueron realizados antes de la introduccióndel espín electrónico en la mecánica cuántica, a este desdoblamiento que no conduceal triplete de Lorentz se lo llamó Efecto Zeeman Anómalo.

49. Para el estado fundamental del He calcule los valores medios de:

Utilizando:

(a) La función (de orden cero) producto de funciones hidrogénicas con Z = 2.(b) La función variacional que se obtiene usando el producto de funciones hidrogénicas

dejando el Z variable. Z = 27/16.(c) La función de onda de Byron y Joachain

'l/JO(rl, r2) = uls(rl)uls(r2)

donde el orbital Uls está dado por

uls(r) = (41frl/2 (Ae-ar + Be-f3T)

con A = 2.60505 , B = 2.08144 , a = 1.41 Y (3 = 2.61.

Compare sus resultados con los valores 'exactos' (en u.a.):

(ri + rD = 2.39 0.106

50. ¿ Cuál es el sentido físico del nivel 2s2 del Helio?

51. Un átomo de He es excitado desde su estado fundamental a un estado autoionizante2s4p por absorción de luz ultravioleta. Suponiendo que el electrón 2s se mueve enel campo del núcleo sin apantallar y que el electrón 4p se mueve en el potencialcoulombiano completamente apantallado -l/r :

(a) Obtenga la energía del estado autoionizante y la correspondiente longitud deonda de la radiación ultravioleta.

(b) Encuentre la velocidad con que es emitido el electrón en el proceso de autoion-ización, cuando el estado metaestable 2s4p decae en un electrón libre y un ionH e+ en su estado fundamental.

52. (a) Escriba las funciones de onda, autoestados de los operadores L2, Lz, S2 ySz, del átomo de Helio en la configuración 1s2s, como combinación lineal dedeterminantes de Slater (en la aproximación de electrones independientes).

(b) Muestre que esas cuatro funciones de onda pueden factorizarse en una parteespacial y otra espinorial.

Figure 1.

8 Atomos Multielectrónicos

27

"1 think you should be more explicit here in step two."

28

53. Explique cuáles son las condiciones de validez del modelo de Thomas-Fermi.

54. Usando el modelo de Thomas-FermÍ, mostrar que la mayor parte de los electronesen un átomo de número atómico Z, se encuentran a una distancia del núcleo que esdel orden de 1/ Zl/3.

55. Usando el modelo de Thomas- Fermi, mostrar que la energía total de ionización E,es decir la energía necesaria para separar todos los electrones del átomo neutro,depende del numero atómico Z como Z7/3.

56. Usando el modelo de Thomas-Fermi, mostrar que la velocidad media v de los elec-trones en el átomo es proporcional a Z2/3.

57. Identifique en la deducción del modelo de Thomas-Fermi dónde se hacen aproxima-ciones clásicas, y por qué se dice que se trata de un modelo estadístico.

58. Compare la densidad electrónica radial que se obtiene con el modelo de Thomas-Fermi con la de Hartree-Fock, para el He, Ne, Ar y Kr. Estudie similitudes ydiferencias.

(a) ¿ A partir de qué valor de Z el acuerdo es razonable?

(b) ¿En qué rango de T' para cada caso?

(c) ¿De qué manera se podría intentar escalear las funciones de onda de Hartree-Fock para obtener una curva similar para cada elemento? Inténtelo.

Para el cálculo utilice los hermosos programitas TF y HF que proveerá la cátedra.

59. Para el átomo de 80:

(a) Usando las reglas de Madelung encontrar la configuración electrónica corres-pondiente al estado fundamental.

(b) Encontrar todos los términos espectrales para esta configuración.

(c) Usando las reglas de Hund, encontrar el término espectral del estado funda-mental.

(d) Encontrar la paridad del mismo.

60. (a) Use las reglas de Madelung para encontrar la configuración electrónica delátomo de 163.

(b) Encuentre los términos espectrales 28+1 LJ correspondientes a dicha configu-ración.

(c) Indique el estado fundamental. Justifique.

(d) Considere el estado excitado en el cual un electrón 3s es promovido al nivel 3p.Encuentre los términos espectrales correspondientes.

(e) ¿Désde cuáles de ellos puede decaer el átomo al estado fundamental medianteuna transición dipolar eléctrica?

29

61. Encontrar el término espectral del estado fundamental para el átomo de 27CO.

62. Sabiendo que el RU44(Ruthenio) tiene la configuración [Kr36]4d75s, encuentre eltérmino espectral de su estado fundamental.

63. (a) Escriba las funciones de onda, autoestados de los operadores L2,Lz,S2 Y Sz,del átomo de Helio en la configuración ls2s, como combinación lineal de de-terminantes de Slater (en la aproximación de electrones independientes).

(b) Muestre que esas cuatro funciones de onda pueden factorizarse en una parteespacial y en una parte espinorial.

64. Encuentre los decaimientos (dipolares eléctricos) permitidos para un átomo de Heen un estado inicial descrito por la configuración ls3p.

9 Moléculas

30

- - ~

31

65. Obtenga las paridades de los siguientes orbitales moleculares:

66. Explicar por qué la distancia internuclear del H2 es menor que la del Hi , Y porqué la energía de disociación del Hz es menor que el doble de la del Hi.

67. En la molécula de OlAl el potencial iónico puede aproximarse por:

U(r) =

Exprese la energía necesaria para disociar la molécula en dos <itomos neutros(e l + Al) en función de las energías de ionización del Cloro ECI- Y del Aluminioson EAI+ y del parámetro a.

68. El grafito y el diamante son dos estructuras cristalinas que puede formar el carbono.En la estructura del grafito, el e se ubica en planos con simetría hexagonal. Lainteracción entre planos es muy débil. En la estructura del diamante, en cambio,cada e tiene cuatro vecinos simétricamente ubicados.Deduzca el tipo de hibridización que presenta el O en cada caso.

69. ¿Qué números cuánticos es necesario especificar para caracterizar completamente alestado de una molécula diatómica homonuclear?

70. ¿El orbital molecular 1rg2p es ligante o antiligante? Justifique.

71. Explique cualitativamente la estructura de la banda principal de absorción del HCl.

FIG. 32. !<'ine Structure of the Principal Absorption Band (Fundamental) of Hel in the Nearlnfrared [after lmes (354)]. The ordillares gi\'e the percentage absorption. calculated from thegalvanOlucter deflcctiolls.

10 Colisiones

. "Wake up, Dr. Erskine-you're being transferred lo low energy physics."

32

33

72. Considere una colision elastica entre dos partículas. Conocido el potencial es posible,

al menos en principio, calcular la sección eficaz diferencial. Esta se suele expresaren función del ángulo de salida del proyectil en el sistema CM. Sin embargo, losexperimentos se realizan en el sistema laboratorio, que es aquel en el cual el blancoestá en reposo. Para comparar la teoría con el experimento es necesario contarcon una relación entre el ángulo de salida del proyectil en uno y otro sistema dereferencia.

(a) Encuentre tal relación.

(b) Con ella, fíjese cómo relacionar las secciones eficaces diferenciales en uno y otrosistema.

73. Un haz de partículas incide sobre una esfera rígida, reflejándose especularmente.

(a) Calcule la sección eficaz diferencial clásica.

(b) Calcule la sección eficaz total y compárela con el área efectiva de la esfera.

74. Haga las cuentas que llevan a la sección eficaz de Rutherford clásica. ¿Cuánto valela sección eficaz total?

75. Encuentre la sección eficaz diferencial clásica para un potencial de la forma a/r2.

Analice el comportamiento para distintos valores de a.

76. Se produce efecto Arco-Iris cuando el ángulo de deflexión en función del parámetrode impacto pasa por un extremo. ¿Qué condiciones debe cumplir el potencial paraque esto ocurra?

77. En la figura se muestra un potencial que se suele usar para describir la interacciónentre dos átomos. R es la distancia entre ellos. Dibuje una curva ángulo de deflexiónV5. parámetro de impacto que sea razonable. Dibuje las trayectorias correspondi-entes. ¿Qué efectos se producirían?

R

34

78. Se tiene una barrera de potencial infinita, donde ocurre la colisión mostrada en lafigura:Dibuje cualitativamente IW)in' Iwtut' U( 7)Iw) y U( -7 )Iw), donde 7 > > TI

Xl

t:O t: T,

Xl

79. Este problema se compone de sugerencias para analizar. No se pretenden demostra-ciones, sino discutir un poco los casos que se presentan. Puede ser que algunos nosean del todo necesarios para la vida diaria.

(a) Operadores isométricos y operadores unitarios: He aquí varias defini-ciones equivalentes de operadores isométricos y unitarios:-+ A es isométrico si:

1. Es lineal y tal que /wl = IAwl, \fW.11. Es lineal y tal que (<I>lw) = (A<I>IAW), \fw, \f<I>.

111. Es lineal y tal que AtA = l.

-+ A es unitario si:

1. Es isométrico y biyectivo.

11. Es isométrico y tal que A A t = l.En espacios de dimensión finita basta que un operador sea inyectivo y linealpara que sea biyectivo. (Es necesario que los operadores que preservan lanorma sean inyectivos). Esto no ocurre en dimensión infinita. Piense algúnejemplo. Verifique que los operadores de evolución son unitarios y los de Mollerisométricos, ya sea a partir de consideraciones físicas como matemáticas.

(b) Dada la definición de IW)in y /w)out como asÍntotas del estado actual a tiempocero, y la de los operadores de Moller como límite de un producto de operadoresde evolución, verifique que las igualdades

Iw) = D+lw)in

IW) = D-Iw)outson razonables.

35

(c) Escriba el operador de Green en la base de los autoestados del hamiltonianototal, o equivalentemente, en su descomposición espectral.

(d) Proyecte la ecuación

(zI - H)G(z) = 1

en la base de las coordenadas. Advierta que el operador de Green escrito enesta base da la función de green asociada a la ecuación de Schrodinger.

(e) Del resultado de los dos puntos anteriores, fíjese que escribir explícitamenteel operador de Green es equivalente a resolver el problema de autovalores delhamiltoniano total.

80. Calcule la sección eficaz diferencial para un potencial de la forma l/rn con la primeraaproximación de Born. Analice el resultado.

81. La primera aproximación de Born para el potencial coulombiano da la sección eficazexacta. Sin embargo, el potencial coulombiano no verifica la condición asintótica,que es necesaria para la validez de esta teoría. Como chequeo, calcule la seccióneficaz dada por la primera aproximación de Born para los potenciales:

(a) V(r) = ze~ar

(b) V(r)=ra~l(c) V(,) = ~ ' si , < ~ V(,) = O , si , < ~

Luego haga tender o: a cero, tratando de re-obtener el potencial coulombiano.

82. Supongamos el caso de un potencial de corto alcance (nulo a partir de , = a). Sepuede demostrar que en la parte exterior la función de onda radial se puede escribiren forma general:

R¡ (,) = A¡[cos8¡.j¡ (k.r) - sin8¡.7]¡ (k.,)]

Usando la continuidad de R¡(r) dd;r) expresar los desfasajes en función de ,¡ (derivadalogarítmica de la función de onda interior en r = a)(si lo necesita ver el apéndice de funciones de Bessel)

notaSuponga que 1 es dato: si se le diera una forma explícita al potencial, se podríacalcular la función de onda interior y su derivada logarítmica.

83. Calcular los desfasajes para el scattering contra una esfera perfectamente rígida.Obtener la sección eficaz diferencial y total en el límite de energías muy bajas.Comparar con el cálculo clásico. Calcular la corrección que agrega la onda l = 1 ala sección eficaz total cuando k.a = !. Demostrar que la sección eficaz total en ellímite de altas energías tiende a dos veces el valor clásico. Porqué cree que en estelímite no se obtiene el resultado clásico?

36

84. Suponer un pozo esférico de potencial como indica la figura:

V( r)

o ar

- Vo '------- ...•

Comprobar que si k.a < < 1 se obtiene para los primeros dos desfasajes:

,ok.a2tan 80 rv - ---

1+,oa

( (k.a)3 1 -'l.atan V1 rv -- ---

3 2 + 'l.aObservar que si ,/ es tal que los denominadores sean muy pequeños, la onda 1 sedice en resonancia con el potencial y domina el scattering.

11 Un Baldazo de Problemas

Examen Final de Cuántica II (1993).

37

38

1. Sobre un sistema cuyo estado de mezcla está descrito por el operador densidadp, efectuamos la medición de un observable A de autoestados In) no degenerados.¿Cuál es la probabilidad Pn de que el resultado de tal medición sea un dado autovalor

?ano

(a) (nlpln)

(b) (nIApln)(c) tr(Apln)(nJ)(d) tr(Ap)

(e) Ninguna de las opciones anteriores es correcta

2. Si en el ejemplo anterior no conocemos el resultado de la medición, ¿cómo describi-mos posteriormente al sistema?

(a) Usamos la función de onda l\]i) = ¿n anln)(b) Usamos el mismo operador densidad que teníamos antes de la medición.

(c) Usamos la función de onda ¡\]i) = ¿n In) (nlpln).

(d) Definimos un nuevo operador densidad p = ¿n In) tr(pln)(nl) (ni.(e) Ninguna de las opciones anteriores es correcta.

3. El hecho de que un estado sea puro o de mezcla:

(a) Depende de la ortogonalidad de los estados de la base.

(b) Depende de la completitud de la base.

(c) Depende de que la base sea de autoestados del hamiltoniano.

(d) No depende de la base de representación.

(e) Ninguna de las opciones anteriores es correcta.

39

4. Un átomo de hidrógeno descrito por los números cuánticos n, 1,m, ms sufre unaperturbación dada por un operador tensorial irreducible de rango 3. ¿Cuántos e-lementos de matriz tiene que calcular para describir todas las transiciones posiblesentre los niveles n = 6 Y n = 2 ?

(a) 2(b) 4(c) 5

(d) 8(e) 9

5. Considere la matriz de polarización para un haz de luz en la base de estados dehelicidad definida, dada por:

(a) Puesto que tr(p) = 1, representa un estado puro.

(b) Representa un estado de mezcla formado por dos haces polarizados linealmentede intensidades 1/2.

(c) Representa un estado de mezcla formado por dos haces polarizados circular-mente de intensidades 1/2.

(d) Representa un estado de mezcla formado por un haz con polarización circulary otro con polarización lineal, ambos de intensidad 1/2.


6. La aproximación dipolar eléctrica para la emisión o absorción de luz por un átomoes válida cuando

(a) el campo de radiación es poco intenso.

(b) la longitud de onda de la radiación es mucho menor que las dimensiones delátomo.

(c) la frecuencia de la radiación es mucho menor que la diferencia de energía entrelos estados inicial y final.

(d) la frecuencia de la radiación es muy grande comparada con la frecuencia ca-racterística del movimiento electrónico en el átomo.


40

7. La polarización de la radiación emitida para una transición con 6m = 1 dependede:

(a) La frecuencia de la radiación.

(b) Nada.

(e) El momento angular 1 de los niveles transicionantes.

(d) La dirección de observación.


8. Se tiene un átomo de dos niveles, inicialmente en su estado fundamental. Se loilumina con radiación con la frecuencia correspondiente a la diferencia de energíasde sus niveles. La probabilidad de encontrar al átomo en su estado excitado:

(a) A tiempos grandes alcanza un valor estacionario igual a 1/2.(b) A tiempos grandes tiende asintóticamente a cero.

(c) A tiempos grandes crece indefinidamente.

(d) Oscila en el tiempo.

(e) Depende de la diferencia de fase entre la función de onda y el campo de ra-diación.

9. Decir lo que no es correcto de las siguientes afirmaciones:

(a) El ancho de línea natural se debe a que los autoestados del hamiltonianoatómico pueden decaer.

(b) El ancho debido a colisiones aumenta al aumentar la presión del gas.

(c) El ensanchamiento por efecto Doppler toma una forma gaussiana debido a ladistribución de velocidades del gas.

(d) En condiciones normales de presión y temperatura, el ancho por colisionesdomina sobre el ancho natural.

(e) El ancho de línea natural es directamente proporcional a la vida media de losestados intervinientes.

41

10. Suponga que por algún mecanismo la carga nuclear de un átomo hidrogenoide varíaen forma continua de Z = 1 a Z = 2 en un tiempo T = 10-18 seg. ¿Utilizaría laaproximación súbita para estudiar las correspondientes transiciones entre estadosdiscretos? .

(a) Siempre, independientemente de la transición ni ---t nf que se quiera estudiar.

(b) Sólo la utilizaría para transición ni ---t nf entre estados excitados.

(c) Sólo la utilizaría para transición ni ---t n f con ni i- 1.

(d) Nunca, cualquiera sea la transición ni ---t n f que se quiera estudiar.


11. Se tiene un hamiltoniano dependiente del tiempo de la formaH(r, p, t) = a(t)Ho(r, p) donde da/dt i- Osólo para Itl < T. ¿Cuál de las siguientesafirmaciones es correcta?

(a) La aproximación adiabática será una buena descripción sólo si a(t) varía enforma suficientemente lenta.

(b) La aproximación súbita será una buena descripción sólo si a( t) varía en formasuficientemente lenta.

(c) La aproximación adiabática siempre dará el resultado exacto.

(d) La aproximación súbita siempre dará el resultado exacto.

(e) La aproximación súbita será necesariamente mala.

12. Las correcciones de estructura fina en el átomo de hidrógeno (corrección relativistade la energía cinética, interacción espín - órbita y término de Darwin)

(a) mantienen la degeneración en f y m¿.

(b) mantienen la degeneración en f y mj.

(c) mantienen la degeneración en j y m j.

(d) mantienen la degeneración en mj, pero no en e o j.


42

13. Los niveles de energía del átomo de He dependen del valor del espín total. ¿ Cuáles la principal causa de esta dependencia?

(a) La interacción espín-órbita.

(b) La interacción espín-espín.

(c) La interacción espín-núcleo.

(d) La interacción puerco-espín.


14. El modelo de Thomas-Fermi para un átomo multielectrónico neutro no da una buenadescripción

(a) de la energía de ionización.

(b) del radio del átomo.

(c) de la distribución de carga.

(d) de las tres cantidades anteriores.

(e) de las dos primeras cantidades.

15. El modelo de Thomas-Fermi:

(a) Obtiene una función de onda \]! (rl ,...,rn) que se parece a la exacta para Z :::::10.

(b) Puede describir la densidad a grandes distancias.

(c) Funciona mejor para los estados excitados que para el fundamental.

(d) Supone que la energía de Fermi es mucho menor que la de ionización.

(e) Ninguna de las opciones anteriores es correcta ..

16. La aproximación que hace la teoría de Hartree-Fock es:

(a) Despreciar la repulsión inter-electrónica.

(b) Despreciar el intercambio.

(c) Proponer orbitales electrónicos de tipo hidrogenoide.

(d) Proponer un único determinante de Slater.


43

17. Los términos espectrales 25+1 L correspondientes a una configuración p3 de electronesequivalentes son

(a) 45, 2p Y 2D.(b) 45, 2p Y ID.

(c) 4S,3PylD.(d) IS,3py1D.


18. Los términos espectrales 28+1 L correspondientes a una configuración formada por 2electrones p no equivalentes son

(a) 4S, 2p y 2D.(b) 4S,2Py1D.(c) 4S,3py1D.(d) IS,3py1D.


19. La primera regla de Hund señala cuál es el estado fundamental entre:

(a) Distintos términos espectrales debido a la repulsión inter-electrónica.

(b) Distintas configuraciones.

(c) Distintos orbitales electrónicos debido al acoplamiento espín-órbita.

(d) Distintos orbitales electrónicos de forma que el de mínima energía tenga lafunción de onda lo más antisimétrica posible.


20. ¿ Cuáles de los términos espectrales 28+1 L de la configuración del Rhodio:[J{ r] 4d8 5s es el fundamental?

(a) 4G.(b) 4F.(c) 4D.(d) 3F.(e) lG.

44

21. ¿En un átomo de He puede haber transiciones dipolares entre términos espectralesde una misma configuración electrónica?

(a) Siempre.

(b) A veces, si en la configuración electrónica no son todos estados s.

(c) A veces, pero si además de la condición anterior puede haber estados triplete.

(d) A veces, cuando la nieve cae sobre los techos de mi ciudad.

(e) Nunca.

22. ¿Cuántas líneas de emisión de tipo dipolar eléctrica se observarán como producto deldecaimiento directo desde estados excitados de configuración (1821) al fundamental,en un átomo de He ?

(a) O.

(b) 1.(c) 2.

(d) 3.(e) 4.

23. ¿Por qué los elementos de transición tienen propiedades químicas similares?

(a) Porque todos ellos están completando la misma capa.

(b) Porque los orbitales d son muy direccionales, entonces el número de electronesd que tenga no influye para formar un enlace químico.

(c) Porque el orbital que se llena no es el más externo.

(d) No es cierto que tengan propiedades similares.

(e) Ninguna de las opciones anteriores es la correcta.

24. Los átomos alcalinos poseen, en su estado fundamental:

(a) La misma configuración.

(b) El mismo término espectral.

(c) La misma energía de ionización.

(d) El mismo radio.

(e) Ninguna de las opciones anteriores es la correcta.

45

25. ¡W) es una función de onda de un átomo multielectrónico construída con un deter-minante de Slater de orbitales hidrogenoides In 1m ms).

(a) Necesariamente 1'l1) es autoestado del operador momento angular total, y dadoslos orbitales In 1 m ms) el autovalor está determinado.

(b) Necesariamente 1'l1) es autoestado del operador momento angular total, peroel autovalor no está unÍvocamente determinado por los orbitales In 1 m ms).

(c) N O necesariamente I \lJ) es autoestado del operador momento angular total.

(d) Nunca /'l1) es autoestado del operador momento angular total.

(e) 1'l1) es autoestado del operador momento angular total, y sus autovalores estándados por todos los posibles términos espectrales que se pueden construir conlos orbitales In l m ms).

26. El único orbital molecular incompleto de la molécula de B2 es el 7ru2p, con doselectrones. ¿Cuáles son sus posibles términos espectrales?

(a) lÓ, 3Ó, lIT, 3IT, 32:;Y 12:;.

(b) lÓ,3~yl~.(c) lÓ, lIT, 12:;Y 32:;.(d) 32:;.


27. Considere la molécula de Etileno: H2C2H2 ¿Qué tipo de hibridizacÍón tiene el Car-bono y cuántos electrones participan de la ligadura C - -C?

(a) Hibridización sp. Participan 2 electrones.

(b) Hibridización sp. Participan 4 electrones.

(c) Hibridización Sp2. Participan 2 electrones.

(d) Hibridización Sp2. Participan 4 electrones.

(e) Hibridización Sp3. Participan 2 electrones.

46

J(I() .-----"

"O,,

,2"(10

Barna l' \

I2;[)1)

'o";r.

0: lllll ef O de onda, ("\ll-I

Figura 1: Problema 29. Espectro de absorción roto-vibracional de la molécula de GlH.

28. Tenemos una molécula diatómica descrita por una función de onda de la formaW(Rcm, R, rl, ... , rn) = Wl(Rcm)W2(R)W3(rl, ..., rn), donde Rcm es la coordenadadel centro de masa, R es la coordenada internuclear y rl, ... ,rn son las coordenadaselectrónicas medidas desde el centro de masa.

(a) El número cuántico l que caracteriza la rotación molecular se refiere a lasimetría de la función W l.

(b) El número cuántico l que caracteriza la rotación molecular se refiere a lasimetría de la función W 2.

(c) El número cuántico l que caracteriza la rotación molecular se refiere a lasimetría de las funciones W 1 y W 2.

(d) Fijada la función W3 ya está determinado l, independientemente de Wl y W2.(e) Ninguna de las opciones anteriores es correcta.

29. En la figura 1 se muestra un espectro de absorción de radiación por transicionesroto-vibracionales. Todos los mínimos corresponden a:

(a) Distintas transiciones vibracionales dentro de una misma configuración elec-trónica.

(b) Distintas transiciones vibracionales para una dada transición en la configu-ración electrónica.

(c) Distintas transiciones electrónicas dentro de un dado estado roto- vibracional.

(d) Transiciones entre distintos niveles rotacionales para una dada transición vi-bracional.

47

ex . G>--0---0W

I

(3

(a)

Figura 2: Problema 30. Modos normales de la molécula de CO2•

(e) Transiciones entre distintos niveles vibracionales para una dada transición rota-cional.

30. En la figura 2 se muestran los modos normales de la molécula de CO2:

(a) Sólo I es ópticamente activo.

(b) Sólo a y f3 son ópticamente activos.

(c) Sólo I y f3 son ópticamente activos.

(d) Sólo a y I son ópticamente activos.

(e) Ningún modo es ópticamente activo, ya que la molécula no tiene momentodipolar permanente.

31. El principio de Frank-Condon

(a) Selecciona cuáles son las transiciones entre niveles electrónicos que puedenocurrir en una molécula.

(b) Selecciona entre qué niveles rotacionales puede ocurrir una dada transiciónelectrónica.

(c) Selecciona entre qué niveles rotacionales puede ocurnr una dada transiciónvibracional.

(d) Selecciona entre qué niveles vibracionales puede ocurrir una dada transiciónelectrónica.


48

32. Para que valga la primera aproximación de Born en un potencial de corto alcance:

(a) La función de onda libre debe ser una buena descripción del estado estacionariode dispersión.

(b) La función de onda libre debe ser una buena descripción del estado estacionariode dispersión a distancias grandes del centro dispersor.

(c) La velocidad del proyectil debe ser mucho menor que c.

(d) Sólo deben dar contribuciones importantes a la sección eficaz los momentosangulares pequeños.


33. Decir lo que no es correcto sobre el desarrollo de la amplitud de dispersión enpolinomios de Legendre:

(a) Sólo vale para energías bajas.

(b) Permite caracterizar completamente a la sección eficaz a través de los des-fasajes.

(c) El desfasaje para un dado 1 y un dado k es la diferencia de fase entre la funciónde onda asintótica solución del potencial efectivo con el 1 y k dados respectode la correspondiente función de onda asintótica en ausencia de potencial.

(d) Los desfasajes D¡ a energía cero dependen del número de estados ligados delmomento angular 1 que tiene el potencial.

(e) El efecto Ramsauer Townsend ocurre cuando el desfasaje de 1 = O cruza 1r aenergías bajas.

34. Indique cuál de las siguientes propiedades de una resonancia no es necesariamentecierta:

(a) La función de Jost F¡ se anula cerca del eje real.

(b) La sección eficaz diferencial presenta un máximo.

(c) Uno de los desfasajes D¡ se incrementa en 1r en forma brusca, si 1 =1- O.

(d) El comportamiento del desfasaje es diferente si 1 = O de si 1 =1- o.(e) La resonancia a energía cero no distingue entre estados virtuales y estados

ligados.

49

35. Experimentalmente se observa que la sección eficaz diferencial en el sistema centrode masa para una dada colisión elástica entre dos partículas puede parametrizarsede la forma:

d(JdO = A + B cos B + e cos2 B

¿Qué podría decir de los coeficientes A, B Y e si la colisión es entre partículasidénticas? .

(a) El coeficiente A es nulo.

(b) El coeficiente B es nulo.(c) El coeficiente e es nulo.(d) Los coeficiente B y e son nulos.


36. El problema fundamental con la ecuación de Klein-Gordon es:

(a) No es una ecuación covariante.

(b) No tiende a la ecuación de Schrodinger a bajas velocidades.

(c) Sus soluciones no verifican el principio de superposición.

(d) Las densidades pueden ser negativas.

(e) No se puede escribir la ecuación de continuidad.

37. Para una partícula que se mueve a velocidades relativistas:

(a) El operador momento angular L es una constante de movimiento.

(b) El operador de espín S es una constante de movimiento.

(c) El operador L + S es una constante de movimiento, sólo en ausencia de po-tencial.

(d) El operador L + S es una constante de movimiento en presencia de potencialescentrales.


50

38. Un electrón libre tiene proyección de espín definido 1/2 en la dirección z en el sistemade referencia propio, y se mueve con velocidad v en una dirección no necesariamenteparalela a z.

(a) Ambas componentes fuertes de proyección de espín 1/2 y -1/2 en la direcciónz en el sistema propio son no nulas.

(b) Ambas componentes débiles son no nulas independientemente de la direcciónde movimiento.

(c) Para alguna dirección de movimiento ambas componentes débiles son nulas.

(d) No existe ninguna dirección de movimiento para la cual ambas componentesdébiles se anulan simultáneamente.


39. La ausencia de un electrón libre de energía E negativa, impulso p y helicidad eJ sepuede interpretar como un positrón de

(a) Energía -E, impulso -p y helicidad -(J.

(b) Energía -E, impulso -p y helicidad (J.

(c) Energía -E, impulso p y helicidad -(J.

(d) Energía -E, impulso p y helicidad (J.


40. Un electrón de masa m incide con energía E sobre un escalón de potencial de alturaVa. La onda transmitida es oscilatoria sólo cuando:

(a) Va < E < ~ + mc2

(b) E > ~ + mc2

(c) E > ~ + mc2 Ó E < ~ - mc2

(d) E > ~ ó E < ~ - 2mc2


51

12 Tablas y Machetes

TIBTiA VA \aA \lilA WI&0/" J!jj ~~

WMP.~ilio

&Po •• _ •••••••• _~ _

lt1

TIA

CALCIO

52

ClEBSCH-GORDAN COEFFICIENTS, SPHERICAl HARMONICS, AND d FUNCTIONS

Note: A ,rls to be understood over every coefficient; e.g., for -8/15 read -";8/15,

o J 3Y 1" {;- e08 O

MM

rn J lllZ

Notatian:

5/ Z 3/2-I/Z -1;' Z

5;' Z 31 ,1 -

- J/Z - 3/2

-1 _1/ Z 4/5 1/ S 5/ Z-2 1) /2 l/S -4/5 - 5/ 2

-2 - 1/ ¿ 12O

2 I-1 -1

- 2

(J 1j~~-;;;~lT;J~--:j-M)-

J - j 1 - i= (-1) ?'(jzil"'¿"'IIJIJIJ t.1

¡-3

1

Y 1 J J . 8 iq,1 = - 8,T sIn e

1O

1/2 1/3O O 2/3 O -1/3 2 1

-1 111/6 -1/2 1/1 -1 -1

IJ -1 1/ l 1/"-1 01/2 -1/ I

-1 -1

1

~ inOd ~.IJ

3 2-1 - t

1/5 1/2

OO

1 1+ COA Adl•1·-2--

1/20 1/4 9/20 1;49/20 1/4 - 1/20 - 1/49/20 -1/4 -1/20 1;'41/20 -1/4 9/20 -1/4

1 2 jI-J ! 1 11

1/5 1/2 3/103/5 O -2/51/5 -1;2 3;10

13/2 -1/211/2 -1/2-1/2 -+ 1/2- 3/2 •.3/2

2/5-1/10 _

O1/10

-2/5

3 212 '21/2 1/21/2 -1/2

13/2 -1/2+ 1/2 + 1/2- 1/2 ¡ 1, 2

110 7/72/li 1/'4

O -2/7.2/5 1/14-1/10 2/7

1/2 5/2 3/2 1/211/2 11/2 '1/2 '1/2

1/35 6/35 2/5 2/512/35 5/14 O -3/1018/35 -3/35 -1/5 1/5 7;'2 S/24135 -21/,'0 2/5 -1'10 -1/2 -1/2 -1/2 -1;2

11 -3/2 00/3527/,0 2/5 1<100-1/2 18/35 3/15 -1/5 -1/51 1>2 1(./35 -5/14 O 3(10

-2 3/2. llF¡ -(l35 2/5 -2; 5

O -3/2-1 -1;2- 2 1/2

111

'2 -211 -1O O 1

..1 1-2 2

f 2 -3/?-¡ 1 -1/2O 1/2

-1 3/2

211

5/2 3/2+V2 +3/2

16/35 ~/5

311

3; 1O 3/7 1/5li5 -1/,", -3/10

-1;5 -1/14 3/10-3/10 ~i'7 -1/5

411

1;'143/73/71/14

3 212 12

1/2 2/7() -j/7

l/? 7/ I

, 2 -1¡ 1 O

O I- 1 2

3/144,/71: 1-1

1/2 4-1/2 12

J _ 1 rn -tr)' dj - dJdrn" nl - (~ ) nl, ¡n' -In, -nl

':V2 -j-cosA A 2d~/2._1/2 "-"'\,/3 -Z-cnsZ d¿,j

3/2 1tcos8, ,0d 3/2.3/2 = ----y- 'o,;:

~/2 .J- 1 ¡cosO ,O dI,uj,/¿,1/Z - ] ---z- sin! 2,2

Table 2.1 The first few spherical harmonics Y/m(e, </J)

o

2

3

ni

o

o

±1

o

±1

±2

o

±1

±2

±3

Splzerical lzannonic Y/mee, </J)

1Yo,o = ---(4íT)I/2

(3 )1/2

Y1,o = 4íT cos e

(3 )1/2- . -i~

Y1,=,:1 = + 8íT sm e e-

(5 )1/2

Y2,o = - (3 cos2 e - 1)16íT

(15)1/2

Y2,=,:1 = :; 8íT sin ecos ee=':l~

(15 )1/2 .Y _ = -- sin2 e e=':214>

2,_2 32rr

(7 )1/2

Y3,o = 16rr (5 cos3 o - 3 cos O)

(21 )1/2

Y3,=,: 1 = :; 64íT sin 0(5 cos2 e -

(105)1/2 .Y _ = -- sin2 e cos e e=':21~

3,_2 32rr

(35 )1/2 .

Y _ =:; -- sin3 e e=':31~3,_3 64rr

Table 3.1 The complete normalised hydrogenic wave functions corresponding to the tirst three sheIls, for an 'intinitely heavy' nucleus. The quantityao = 47TEoh2jme2 is the tirst Bohr radius. In order to take into account the reduced mass effect one should replace ao by a..; = ao(m/¡.t)

Shell Quanrum numbersn 1 m

Speetroseopíenotatíon

Wave fune tíon Wnlm (r, (J, 1»

K

L

1 O

2 O

O

O

Is

2s

2 1 O

2 1 ±1

M 3 O O 3s

3 1 O

3 1 ± 1

320

3 2 ±1

3 2 ±2

2,2---- (Z/aot2(1 - Zr/6ao)(Zr/ao) exp(-Z" 3ao) cos fJ27, 7T

2:;:27./; (Z/ao)3!2(1 - Zr/6ao)(Zr/ao) exp -Zr/3ao) sin (}exp(±im;

• too (_1/Ct)'+2tFunCIOnes de Bessel: J¡(x) = ¿t=o t!r(l:ttl)

Funciones esféricas de Bessel:

j/(x) ¡;;J/t~(X)T7I(X) (-l)I{fJ_I-~(X)

LÍMITES:

Para x -+ O:

55

j¡(x) -+

Para x -+ +00:

T]/ (x)

(2l+1)"(2l + 1)!!

-+ ----xl+l

EJEMPLOS:

h(x)

T]O(x)

T]l (x)

j¡(x)

T]I (x)

1 . ( l7r )-+ - sIn x --

x 21 l7r

-+ -;:-cos(x-2)

SIn X

xSIn X COS X-----x2 x

(3 1). 3- - - SIn X - - cos Xx3 X x2

COS xx

COS x SIn X-7--x-- (~ - ~) cos x - ~ sin x

x3 x x2

Table Al1.2 Atomic units

56

Quantity

Mass

Charge

Unic

e

P hysical significance

Electron mass

Absolute value ofelectron charge

Value

9.109 53 x 10 - 31 kg

1.60219 X 10-19 C

Angular momentum Ií Planck's constantdivided by (27T)

1.05459 X 10-34 J S

Length

Vclocity

Momentum

Time

Vo = ue

Po = mvo

Bohr radius for atomic 5.29177 x 10- II mhydrogen (with infinitenuclear mass)

Magnitude of electron 2.18769 x 106 m s I

velocity in firstBohr orbit

l"lagnitude of electron 1.992 88 x 10 24 kg m s 1

momentum in firstBohr orbit

Time required for electron 2.41889 x 10-17 sin first Bohr orbit totravel one Bohr radius

Frequency

Energy e2

--- = c/mc2

47TEoao

Angular frequency ofelectron in first Bohrorbit (vol ao) dividedby (27T)

Twice the ionisationpotential of atomichydrogen (with infinitenuclear mas s)

6.57968 X 1015 s 1

4.35981 X 10-18 J= 27.2116 eV

Wave number O:' --- = 2R(oo)27Tao

Twice the Rydberg 2.19474 x 107 m I

constant, i.e. twice thewave number correspondingto the ionisation potentialof atomic hydrogen(with infinite nuclear mass)

IMpV

57

100

_0" 109 Hard109

19

10

106 ==",106 '" "c» LO

1016 o ~Z'-I 111 u

lkeV CIIIH .~~

10 J07

la'Jol1 Soft

K ~

100 1110

100 106 .~ TI-1:

106 111·-L~1016 E

;;¡ ~

).0'c o

103 lOS --....E~111 :J.-

105 e - ~'-:=; o <{

1015 U.Y.111 111 '-:;.c~

leV YisibleoU'l~

'" •.10' 10' •• c

10"u oc '-"'-lO'" - u." ~~•.

-9.' '- •.I

105 103 ~ ~'"103 :s o c-o:J:;:;:

1013 Uo~ •. ~

,.:.01 -D

Q; 0._~>

106 100 ~100 '"c10'1 E 2

D (;_10-3 :> o

íVl o:la' 10

~ '"10O« ..• •• c

JO" J: ;§~10-' >

L •. ,; mm L ';¡;D •• C- •. '" E u "o>: 106 1: :> 1: :t'z~ e •.

2' ~ •. •. :> ."> > CI cm e•. te ..: o o c.

W "" 3: 3: LL. :n

Fig. J.4. Charts 01 units o[ energy. t!l/ergy leve/s, wavelengthJ, WQve numbt'rs, frequenci~#and parame/ers proporlional fa energ)'

O

0·5

30O

;; ~190I

29

500 02522 . 180

Ne 500 ;:so21 170

35

20160 ~5CHe

19 Is2p 600150 3 6

18

17 140 F ~OO 200

16 130 2~ ~O800 -Ar

25l~; J~¡O110 Il

-14 110 :~r -f- ~5Il~!E9 _.-13 H 300 150 5

1000-Cl 05

12 100 H Xe 2Lyman 8r

11 90 jJ ;; e CQ 250 20LiF "9 1 NO10 H 1300 , Hg

80Lyman o Be NI9 " -5 15

701 500 ~ B 200 100 30

8 4

60 1 600 /'" ~7 Ouartzí NO oi 150 15 150 2000 16 ¡;

"ª Li·015 ~O 2500 Na_ 3

3000 ~ el_ K u ~~100 50 20

4 -RhI 12530 Ho GlaS5 " F C. e¡

3 ~= -4 000 ¡.'.v CH· 05 -102

-20 -G Hi- Cl¡ 50 2 152 NaO 6000 r¡R'~ 3 110 Ha: 10000 6 10 6 2

1-3,0000

~ H- -1.1,0

1n n U O, n 3 5

•.E.;;

"D_

E'~ Ee u>•.,.:~"ew

.~ ~~.~ ~ ~ ~ ~ ~~11I e E v >. o

g ~ .~g.~ 3 -~ ; ~ ~ lO ~

5} g 2 ~ -'< ~. : ¡¡ ~ ~ e:g ~o~ ~.~ ~. ~ ~ 12 '-E gE·;~~ ~ Q.I e U') " Q.I ••• ~ •••••u O\Du > E

Vl ~ w.~ o ~ ~ ~ W 52 el: S? '=> E~----~------En~rgies---------------_

Fig. 1.4. comillued

58

Table 7.3 The periodietableof the elements

Pcriod lA IlA IlIB IVB VB VIB VIlBNoble

VIIIB VIIIB lB IlB I1IA IV A VA VIA VIlA gases

2

3

4

5

6

7

.-- -1 2H

1He

1.008I 4.003

3 4 5 6 7 8 9 10Li Be B C N O F Ne6.939 9.012 10.811 12.011 14.007 15.999 18.998 20.183

11 12 13 14 15 16 17 18Na Mg Al Si P S CI ArlllrXJ l·) .1Il 26.981 280&6 30.'J74 32064 35.4\3 3~.948

19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36K Ca Se Ti V Cr Mn Fe Co Ni Cu Zn Ga Ge As Se Br Kr39.101 40.08 44.956 479() 50942 51.996 14.938 55847 '8933 ~8 i I 63.54 65 37 69.72 72.59 74.922 78.96 79.909 83.80

37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54Rb Sr Y Zr Nb Mo Te Ru Rh Pd Ag Cd In Sn Sb Te I Xe85.47 87.62 88.9()5 9122 92.906 95.94 (99) 101.07 102.91 106.4 107.87 11240 114.82 118.69 121.75 127.60 126.9() 131.30

55 56 57t 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86Cs Ba La Hf Ta W Re Os Ir Pt Au Hg TI Pb Bi Po At Rn132.91 137.34 138.91 178.49 180.95 183.85 186.2 19()1 1922 19509 196.97 200.59 204.37 107.19 208.98 (210) (210) (222)

87 88 89+ 104 105\Fr Ra Ae

(2231 (li6) mi)

t

Lanthanides

tAetinidcs

58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71Ce Pr Nd Pm Sm Eu Gd Tb Dy Ho Er Tm Yb Lu140.12 140.91 144.24 f14S¡ 15035 151.96 ISi.1S 158,<;2 162.50 IM.9] 16726 16H9] 173.04 174.97

90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103Th Pa U Np Pu Am Cm Bk Cf Es Fm Md No Lr232.(4 \2311 23803 ')37) )42, '243; .247) ,249) ílSI) (254) (253) (256) (lB; 1257)

13 Referencias Agradecidas

~- -

"There's lhe slrong force, the weak force, gravlty, electromagnetism, anoIhen lhere's thal cerlain somelhing I feel when I see you."

59

60

De la misma forma en que el arte no representa solo una vivenciapersonal sino que refleja todo un ambiente cultural, estos problemas noson fruto exclusivo de nuestra inspiración. Así corno Van Gogh deambu-laba por Arlés registrando sus praderas y sus soles, nosotros paseamospor las páginas de ciertos 'clásicos' de donde tornamos ideas impune ydesprejuiciadamente. Afortunadamente aún conservamos ambas orejas.

Nuestra principal referencia es el hermoso libro de B.H. Bransdeny C.J. Joachain Physics of Atoms and Molecules (Longman, New York1983), que nos gustó tanto que tornamos de allí muchas de las tablasy figuras. También consultamos el libro de problemas de A. Galindo yP. Pascual Mecánica Cuántica (Eudema Universidad, Madrid 1989) quenos alegró con su acento español. Otros libros de problemas que habitanen el Hades de los clásicos son el de F. Constantinescu y E. MagyariPT'oblems in Quantum Mechanics (Pergamon Press, New York 1971) Y ellibro de S. Flügge Practical Quantum Mechanics (Springer- Verlag, NewYork 1974).

Los chistes fueron involuntariamente cedidos por S. Harris (tomadosdel CUT'T'ent Contents) y la fabulosa tabla periódica de la página 51 porRafael García Molina (Universidad de Murcia, España).

Nos sentimos agradecidos hacia aquellos que nos precedieron enel dictado de la materia 'Cuántica II' y nos dejaron allanado parte deltrabajo; Vienen a nuestra memoria los nombres de P. Fainstein, P. Focke,C.R. Garibotti y L. Salem.

Gracias a Mirta Rangone por haber realizado los gráficos.Gracias tambien a los alumnos que sufrieron con nuestra fecundidad

de problemas. Ellos ayudaron a seleccionarlos y corregirlos.Finalmente agradecemos al Instituto Balseiro que siempre nos brindó

su apoyo y un amable ambiente de trabajo.

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