RCポリフェーズフィルタとヒルベルトフィルタの関係性の考察

群馬大学電気電子工学科 小林研究室

関山燎 田村善郎 浅見幸司 小林春夫

電気学会群馬・栃木支部 2016/3/2

1

2

目次

• 研究の動機

• RCポリフェーズフィルタ

• ヒルベルトフィルタ

• RCポリフェーズフィルタ特性解析手法

• RCポリフェーズフィルタとヒルベルトフィルタの関係性

1次

2次

3次、4次

一般のn次

• まとめ

3

目次

• 研究の動機

• RCポリフェーズフィルタ

• ヒルベルトフィルタ

• RCポリフェーズフィルタ特性解析手法

• RCポリフェーズフィルタとヒルベルトフィルタの関係性

1次

2次

3次、4次

一般のn次

• まとめ

4

研究の動機

RCポリフェーズフィルタ

● 無線通信回路で使用

● 特性に未知の部分あり

● ヒルベルトフィルタの特性に類似性ありと考察

RCポリフェーズフィルタの特性を解析

ヒルベルトフィルタとの関連性を示す

5

目次

• 研究の動機

• RCポリフェーズフィルタ

• ヒルベルトフィルタ

• RCポリフェーズフィルタ特性解析手法

• RCポリフェーズフィルタとヒルベルトフィルタの関係性

1次

2次

3次、4次

一般のn次

• まとめ

6

RCポリフェーズフィルタとは

RCポリフェーズフィルタ・受動素子R, Cで構成・アナログバンドパスフィルタ

・多入力多出力で複素信号処理

1次RCポリフェーズフィルタ

7

なぜRCポリフェーズフィルタを用いるか

重要な役割・直交波形生成・イメージ信号の除去

→通常のフィルタでは扱わない負の周波数の問題を考慮

通常の実フィルタ回路

正の周波数を取り扱う

複素フィルタ回路

正の周波数と負の周波数を取り扱う

8

RCポリフェーズフィルタの役割1

単一信号からのI, Q 信号（直交信号）発生

Iout = Acos ωt + θ

Qout = Asin(ωt + θ)

入力に実数部であるI𝑖𝑛のみ入力→出力には、位相が90°異なったcos波, sin波を生成

出力信号は、ミキサー等に使用

9

RCポリフェーズフィルタの役割2

イメージ信号（負の周波数成分）除去

tjAe tjtj BeAe 信号成分 信号成分イメージ成分

10

目次

• 研究の動機

• RCポリフェーズフィルタ

• ヒルベルトフィルタ

• RCポリフェーズフィルタ特性解析手法

• RCポリフェーズフィルタとヒルベルトフィルタの関係性

1次

2次

3次、4次

一般のn次

• まとめ

11

ヒルベルトフィルタ

特徴・もとの信号(𝜔 ≥ 0)から位相が𝜋/2遅れた信号を生成

→ ヒルベルト変換・1入力2出力・デジタルフィルタで実装されることが多い

用途・Single Side Band通信の90度移相・デジタル通信の周波数シフト・ジッタ測定アルゴリズムの複素信号導出

12

ヒルベルト変換

実数信号𝑥 𝑡 から複素信号を求めたい

𝑥 𝑡 → 𝑥 𝑡 + 𝑗𝑦 𝑡

ヒルベルト変換

𝑦 𝑡 =1

𝜋

−∞

∞𝑥(𝜏)

𝑡 − 𝜏𝑑𝜏 = 𝑥 𝑡 ∗

1

𝜋𝑡

インパルス応答をフーリエ変換

ℎ 𝑡 =1

𝜋𝑡𝐻 𝜔 =

−𝑗 (𝜔 ≥ 0)𝑗 (𝜔 < 0)

周波数特性𝐻 𝜔

𝑌 𝜔 = 𝐻 𝜔 𝑋(𝜔) = −𝑗𝑋 𝜔 (𝜔 ≥ 0)

𝑗𝑋 𝜔 (𝜔 < 0)

𝐹𝑜𝑢𝑟𝑖𝑒𝑟

𝑗 = 𝑒𝑗𝜋2 , −𝑗 = 𝑒−𝑗

𝜋2

David Hilbert （独）1862-1843

13

ヒルベルトフィルタ デジタル構成例

𝑧−1 𝑧−1 𝑧−1 𝑧−1

𝑅𝑒

𝐼𝑚

2

2

𝑎0 𝑎1−𝑎0−𝑎1

振幅特性 位相特性

14

目次

• 研究の動機

• RCポリフェーズフィルタ

• ヒルベルトフィルタ

• RCポリフェーズフィルタ特性解析手法

• RCポリフェーズフィルタとヒルベルトフィルタの関係性

1次

2次

3次、4次

一般のn次

• まとめ

15

RCポリフェーズフィルタ：解析手法

RC

polyphase

filter

𝑥 𝑡 𝑥 𝑡 − 𝜏

𝑗 𝑥 𝑡 − 𝜏

RC

polyphase

filter

𝑥 𝑡

𝑗𝑦 𝑡

𝑥 𝑡 − 𝜏 − 𝑦 𝑡 − 𝜏

𝑗 𝑦 𝑡 − 𝜏 + 𝑥 𝑡 − 𝜏

𝑥 𝑡 + 𝑗𝑦 𝑡 ⊗ ℎ𝑟𝑒 𝑡 + 𝑗ℎ𝑖𝑚 𝑡

= 𝑥 𝑡 ⊗ ℎ𝑟𝑒 𝑡 − 𝑦 𝑡 ⊗ ℎ𝑖𝑚 𝑡 + 𝑗 𝑦 𝑡 ⊗ ℎ𝑟𝑒 𝑡 + 𝑥 𝑡 ⊗ ℎ𝑖𝑚 𝑡

ℎ 𝑡 = ℎ𝑟𝑒 𝑡 + 𝑗ℎ𝑖𝑚 𝑡

⊗は畳込み演算

インパルス応答フィルタ出力

16

RCポリフェーズフィルタ: 周波数解析

𝐻(𝑗𝜔) = 𝐻𝑟𝑒 𝑗𝜔 + 𝑗𝐻𝑖𝑚 𝑗𝜔

𝑋 𝑗𝜔 + 𝑗𝑌 𝑗𝜔 ∙ 𝐻𝑟𝑒 𝑗𝜔 + 𝑗𝐻𝑖𝑚 𝑗𝜔

= 𝑋 𝑗𝜔 𝐻𝑟𝑒 𝑗𝜔 − 𝑌 𝑗𝜔 𝐻𝑖𝑚 𝑗𝜔 + 𝑗 𝑌 𝑗𝜔 𝐻𝑟𝑒 𝑗𝜔 + 𝑋 𝑗𝜔 𝐻𝑖𝑚 𝑗𝜔

𝑋 𝜔 ,𝑌 𝜔 ,𝐻𝑟𝑒 𝜔 ,𝐻𝑖𝑚 𝜔 は、複素関数

RC

polyphase

filter

𝑥 𝑡 𝑥 𝑡 − 𝜏

𝑗 𝑥 𝑡 − 𝜏

RC

polyphase

filter

𝑥 𝑡

𝑗𝑦 𝑡

𝑥 𝑡 − 𝜏 − 𝑦 𝑡 − 𝜏

𝑗 𝑦 𝑡 − 𝜏 + 𝑥 𝑡 − 𝜏

フィルタ出力

17

伝達関数：実部と虚部の導出

𝐻𝑟𝑒 𝑗𝜔 と𝐻𝑖𝑚 𝑗𝜔 のふるまいを調べる

𝐻 𝑗𝜔 の特性(伝達関数)から𝐻𝑟𝑒 𝑗𝜔 と𝐻𝑖𝑚 𝑗𝜔 の特性を抽出

𝑋 𝜔 , 𝑌 𝜔 , 𝐻𝑟𝑒 𝜔 ,𝐻𝑖𝑚 𝜔 は、複素関数

𝐻𝑟𝑒 𝑗𝜔 =1

2𝐻 𝑗𝜔 + 𝐻∗(−𝑗𝜔)

𝑗𝐻𝑖𝑚 𝑗𝜔 =1

2𝐻 𝑗𝜔 − 𝐻∗(−𝑗𝜔)

𝐻𝑖𝑚 𝑗𝜔 = −𝑗1

2𝐻 𝑗𝜔 − 𝐻∗(−𝑗𝜔)

))()()()(())()()()((

))()(())()((

jHjXjHjYjjHjYjHjX

jHjHjjYjX

imreimre

imre

フィルタ出力

18

目次

• 研究の動機

• RCポリフェーズフィルタ

• ヒルベルトフィルタ

• RCポリフェーズフィルタ特性解析手法

• RCポリフェーズフィルタとヒルベルトフィルタの関係性

1次

2次

3次、4次

一般のn次

• まとめ

19

1次RCポリフェーズフィルタ：伝達関数

11

111

1

1)(

CRj

CRjH

R1

R1

R1

R1

C1

C1

C1

C1

Iin+

Qin+

Iin-

Qin-

Iout+

Qout+

Iout-

Qout-

11

1

CR

𝑅1 = 1𝑘Ω 𝐶1 = 10𝑝𝐹

ゼロ点 :

通過域阻止域

20

1次RCポリフェーズフィルタ：周波数特性

振幅特性 位相特性

RCj

jHjHjH re

1

1

2

)()()(

RCj

RCj

jHjHjH im

12

)()()(

)()()( jjHjHjH imre

実部：

虚部：

21

1次RCポリフェーズフィルタの解析

Hre, Himの位相は

𝜔 > 0 で 90°位相遅れ

𝜔 < 0 で 90°位相進み

Hの振幅特性は

𝜔 > 0 で 𝐻𝑟𝑒 + 𝐻𝑖𝑚

𝜔 < 0 で 𝐻𝑟𝑒 − 𝐻𝑖𝑚

𝜔＝0𝐻𝑟𝑒 − 𝐻𝑖𝑚 𝐻𝑟𝑒 + 𝐻𝑖𝑚

𝜋

2遅れ

𝐻𝑟𝑒 = 𝐻𝑖𝑚

𝜋

2進み

22

1次RCポリフェーズフィルタの解析

𝐻𝑟𝑒 − 𝐻𝑖𝑚 𝐻𝑟𝑒 + 𝐻𝑖𝑚

𝜋

2遅れ

𝐻𝑟𝑒 = 𝐻𝑖𝑚

𝜋

2進み

振幅特性はゼロ点のみヒルベルトフィルタ

位相特性は完全にヒルベルトフィルタ振幅特性はゼロ点のみヒルベルトフィルタ

位相特性は完全にヒルベルトフィルタ

23

目次

• 研究の動機

• RCポリフェーズフィルタ

• ヒルベルトフィルタ

• RCポリフェーズフィルタ特性解析手法

• RCポリフェーズフィルタとヒルベルトフィルタの関係性

1次

2次

3次、4次

一般のn次

• まとめ

24

2次RCポリフェーズフィルタ：伝達関数

R1

R1

R1

R1

C1

C1

C1

C1 C2 C2

C2

C2

R2

R2

R2

R2

a

b

c

d

Iin+

Qin+

Iin-

Qin-

Iout+

Qout+

Iout-

Qout-

2211

1,

1

CRCR

)2(1

)1)(1()(

2122112211

2

22112

CRCRCRjCRCR

CRCRjH

ゼロ点 :

𝑅1 = 1𝑘Ω 𝐶1 = 10𝑝𝐹𝑅2 = 3𝑘Ω 𝐶2 = 1𝑝𝐹

2

25

2次RCポリフェーズフィルタ：周波数特性

)2()1(

)1(

2

)()()(

21221122112

22112

CRCRCRjCRCR

CRCRjHjHjH re

)2()1(

)(

2

)()()(

21221122112

2211

CRCRCRjCRCR

CRCRj

jHjHjH im

振幅特性 位相特性

𝜋

2遅れ

𝐻𝑟𝑒 = 𝐻𝑖𝑚

𝜋

2進み

26

目次

• 研究の動機

• RCポリフェーズフィルタ

• ヒルベルトフィルタ

• RCポリフェーズフィルタとヒルベルトフィルタの関係性

1次

2次

3次、4次

一般のn次

• まとめ

27

3次、4次RCポリフェーズフィルタ：周波数特性

3次

4次

28

解析結果のまとめと考察

振幅特性はゼロ点のみヒルベルトフィルタ

位相特性は完全にヒルベルトフィルタ

1次－４次RCポリフェーズフィルタの解析結果

一般の n 次 (n=1, 2, 3, 4, 5, …) でも成立することが予想できる

29

目次

• 研究の動機

• RCポリフェーズフィルタ

• ヒルベルトフィルタ

• RCポリフェーズフィルタとヒルベルトフィルタの関係性

1次

2次

3次

4次

一般のn次

• まとめ

30

RCポリフェーズフィルタのn次伝達関数

)()()(

)()()(

)()()(

)()()(

jjHjHjH

js

sjHsHsH

imnrenn

imnrenn

n

nn sasasD 1)( 1)()(

1

)()(

1

)(sD

js

sHn

n

k k

n

ゼロ点や、位相は伝達関数の分子より導き出すことができる

分子に着目

31

RCポリフェーズフィルタのn+1次伝達関数

)()()()(

1)()()()(1)()(

''1)(

1)()(

11)(

)(

)(

)(

1

)(

)(

1

)()(

1

)(

1

)()()1()1(

1

)()1(

1

11)1(

1

)(

)1(1

)(

)1()1(

1

1

)1(

sNs

sNjsNs

sN

jssjNsNsjNsN

jssNsN

sasasD

jssN

sD

jssH

sD

sD

sD

js

sH

ren

n

imnimn

n

ren

n

imnrenimnren

n

nn

n

nn

n

n

nn

n

n

n

n

n

k k

n

)()1( sN n

32

RCポリフェーズフィルタの2次の伝達関数 (n=1)

21

2

212121

)1(

2

)1()1(

2

)1(

)2(

11

)()()()(

)(

　　ss

jss

sNs

sNjsNs

sN

sN

reimimre

)2(1

)1)(1()(

2122112211

2

2211)2(

CRCRCRjCRCR

CRCRjH

21

2

2121

2211)2(

111

)1)(1(

CRCRN

33

RCポリフェーズフィルタの3次の伝達関数 (n=2)

　

　

321

3

13

2

32

2

21

2

321

21

2

32121321

2

)2(

3

)2()2(

3

)2(

)3(

1

11

)()()()(

)(

ssssj

ssss

sNs

sNjsNs

sN

sN

reimimre

)( )(

)1)(1)(1()(

33

332211

)3(

IRDjD

CRCRCRjH

321

3

13

2

32

2

21

2

321

321

332211)3(

1

111)1)(1)(1(

CRCRCRN

34

RCポリフェーズフィルタの4次の伝達関数 (n=3)

4321

4

214

3

143

3

432

3

321

3

42

2

31

2

14

2

43

2

32

2

21

2

4321

13

2

32

2

21

2

4321

3

321

321

3

321413

2

32

2

21

2

)3(

4

)3()3(

4

)3(

)4(

1

1

1

)()()()(

)(

　ssssssss

j

ssssssss

sNs

sNjsNs

sN

sN

reimimre

)( )(

)1)(1)(1)(1()(

44

44332211

)4(

IRDjD

CRCRCRCRjH

4321

4

214

3

143

3

432

3

321

3

42

2

31

2

14

2

43

2

32

2

21

2

4321

4321

44332211)4(

1

1111)1)(1)(1)(1(

CRCRCRCRN

35

RCポリフェーズフィルタの1次の伝達関数

1

)1( 1)(

sjsN 1)()1( sN re

1

)1(

1

)1(

)(

)(

jjN

ssN

im

im

imre NN )1()1( の位相差はと 90)1()1( imre NN

1 1

)()1( sN re)()1( sN im

1)( 1)1( jN re

jjN im )( 1)1(

1)( 1)1( jN re

jjN im )( 1)1(

36

RCポリフェーズフィルタの2次の伝達関数

)()()()(1)()(1)()( )1(

2

)1()1(

2

)1(

2

)1()1(

2

)1()2( sNs

sNjsNs

sNjs

sjNsNjs

sNsN reimimreimre

)(2 sN re )(2 sN im

21

2

)2(

21

2

)2( 1)(1)(

jN

ssN rere

21

)2(

22

)2( )()(

jjN

sssN imim

0)()2()2( kimre jHNN

ajN kre )()2(

の位相差はと 90)2()2( imre NN

2

11)2( 1)(

jN re

2

11)2( 1)(

jjN im

1

2

11)2( 1)(

jN re

2

11)2( 1)(

jjN im

1

1

21)2( 1)(

jN re

1

21)2( 1)(

jjN im

2

1

22)2( 1)(

jN re

1

22)2( 1)(

jjN im

2

と置くjajN kim )()2(

ajN kre )()2( と置くjajN kim )()2(

0

02,1k

37

RCポリフェーズフィルタの3次の伝達関数

)()()()(1)()(1)()( )2(

3

)2()2(

3

)2(2

3

)2()2(

3

23 sNs

sNjsNs

sNjs

sjNsNjs

sNsN reimimreimre

)()3( sN re )()3( sN im

)()()( )2(

3

)2()3( sNs

sNsN imrere

)()()( )2(

3

)2()3( sNs

sNsN reimim

3

11)3( )(

aajN re

3

11)3( )(

aajjN im

1

3

11)3( )(

aajjN im

1

3

11)3( )(

aajN re

3

22)3( )(

aajN re

3

22)3( )(

aajjN im

2

3

22)3( )(

aajjN im

2

3

22)3( )(

aajN re

21

2

3

2

3

1

3

3)3( 1)(

jN re

21

2

3

2

3

1

3

3)3( 1)(

jjN im

3

3

21

2

3

2

3

1

3

1)3( 1)(

jN re

21

2

3

2

3

1

3

3)3( 1)(

jjN im

0)()3()3( kimre jHNN

の位相差はと 90)3()3( imre NN

)()()( )2(

3

)2()2(

jN

jjNjN imrere )()()( )2(

3

)2()3(

jN

jjNjN reimim

38

RCポリフェーズフィルタの4次の伝達関数

)()()()(1)()(1)()( )3(

4

)3()3(

4

)3(

4

)3()3(

4

34 sNs

sNjsNs

sNjs

sjNsNjs

sNsN reimimreimre

)()4( sN re)()4( sN im

)()()( )3(

4

)3()4( sNs

sNsN imrere

)()()( )3(

4

)3()4( sNs

sNsN reimim

)()()( )3(

4

)3()4(

jN

jjNjN imrere )()()( )3(

4

)3()4(

jN

jjNjN reimim

4

11)4( )(

bbjN re

4

11)4( )(

bbjjN im

1

4

11)4( )(

bbjjN im

1

4

11)4( )(

bbjN re

4

22)4( )(

bbjN re

4

22)4( )(

bbjjN im

2

4

22)4( )(

bbjjN im

2

4

22)4( )(

bbjN re

4

3

3)4( )(

bbjN re

4

3

3)4( )(

bbjjN im

3

4

3

3)4( )(

bbjjN im

3

4

3

3)4( )(

bbjN re

39

RCポリフェーズフィルタの4次の伝達関数

4

0)()4()4( kimre jHNN の位相差はと 90)4()4( imre NN

321

3

4

31

2

4

32

2

4

21

2

4

3

4

2

4

1

44)4( 1)(

jN re

321

3

4

31

2

4

32

2

4

21

2

4

3

4

2

4

1

44)4( 1)(

jjN im

321

3

4

31

2

4

32

2

4

21

2

4

3

4

2

4

1

44)4( 1)(

jN re

321

3

4

31

2

4

32

2

4

21

2

4

3

4

2

4

1

44)4( 1)(

jjN im

)()()()(1)()(1)()( )3(

4

)3()3(

4

)3(

4

)3()3(

4

34 sNs

sNjsNs

sNjs

sjNsNjs

sNsN reimimreimre

)()4( sN re)()4( sN im

)()()( )3(

4

)3()4( sNs

sNsN imrere

)()()( )3(

4

)3()4( sNs

sNsN reimim

)()()( )3(

4

)3()4(

jN

jjNjN imrere )()()( )3(

4

)3()4(

jN

jjNjN reimim

4

40

目次

• 研究の動機

• RCポリフェーズフィルタ

• ヒルベルトフィルタ

• RCポリフェーズフィルタ特性解析手法

• RCポリフェーズフィルタとヒルベルトフィルタの関係性

1次

2次

3次、4次

一般のn次

• まとめ

41

1~4次RCポリフェーズフィルタ：振幅特性

1次 2次

3次 4次

42

まとめ：振幅特性

• ゼロ点のωでは,

𝐻𝑟𝑒 𝜔 と 𝐻𝑖𝑚 𝜔 の振幅が

等しい

• 高次であるほど,

ゼロ点の数が増加

広範囲でReal partと

Imaginary partの振幅特性が

近くなる

理想ヒルベルト変換に近づく

43

まとめ：位相特性

• 1~4次まで入出力間に完全な

90度位相差があることを確認

• 次数にかかわらず，広帯域で

ヒルベルト変換の条件を満たす

4次位相特性

44

まとめ：考察

高次になるほど, ヒルベルトフィルタの理想特性に近づく

45

応用

RCポリフェーズフィルタ特性がヒルベルト変換に近似

高速、広帯域な通信や第5世代のミリ波通信で、デジタル処理が追い付かない高速・高周波信号処理に

役立つと期待

複素信号処理をアナログ信号のまま行える

数あるフィルタの中で，お互いは何の関連性もない全く別のものだと考えられていたが…

R1

R1

R1

R1

C1

C1

C1

C1

Iin+

Qin+

Iin-

Qin-

Iout+

Qout+

Iout-

Qout-

RCポリフェーズフィルタとヒルベルトフィルタは仲間だった！

47

Q&A

Q1

RCポリフェーズフィルタが提案されているということは、特性が既にわかっているのではないか。またヒルベルトフィルタとの関係性に着目した理由は何か。

→振幅特性はいろいろな論文に載っているが、位相特性に関しての論文は見つからなかった。ヒルベルトフィルタとの関係性を示したことから、デジタル処理で行っていたところをアナログで処理できるという利点があげられる。

Q2

デジタルのほうが高速に処理できるのではないか。

→デジタル処理するには必ずアナログをデジタルに変換するADCが必要になり、高周波、高速信号だとADCで問題が起こる。そのためRCポリフェーズフィルタはアナログ信号をアナログのまま処理できるという利点がある。

Q3（神奈川工科大学斉藤先生）

RCポリフェーズフィルタで容量Cが使われているが、寄生容量等による影響は出るのか。

→出力の影響は出る。RCポリフェーズフィルタの寄生容量を考慮したに論文があるので読んでいただければ詳しくわかると思う。