Matematik D Martina Bengtsson Donnergymnasiet

REDOVISNINGSUPPGIFTER Eleven får en mer omfattande uppgift som under eget ansvar ska analyseras, genomföras och redovisas, såväl muntligt som skriftligt. Uppgiften kräver kunskaper från olika områden av matematiken och svarar mot samtliga betygsnivåer.

Den skriftliga rapporten bör innehålla:

• problemformulering • beräkningar • resultat • diskussion • källförteckning

Följande kommer att bedömas:

• de matematiska beräkningarnas korrekthet • resultatets rimlighet • det matematiska språket i den skriftliga rapporten • hur diskussionen knyts an till resultatet • det muntliga framträdandet

BETYGSKRITERIER

Kriterier för betyget Godkänd

• Eleven använder lämpliga matematiska begrepp, metoder och tillvägagångssätt för att lösa uppgiften.

• Eleven genomför matematiska resonemang. • Eleven använder matematiska termer och symboler samt utför beräkningar på ett sådant

sätt att det är möjligt att följa, förstå och pröva de tankar som kommer till uttryck. • Eleven skiljer gissningar och antaganden från givna fakta och härledningar eller bevis.

Kriterier för betyget Väl Godkänd krävs förutom Godkända kunskaper att • Eleven visar kunnande som spänner över olika kunskapsområden som ingår i kursen. • Eleven gör matematiska tolkningar och redovisar sitt arbete med logiskt resonemang. • Eleven visar säkerhet beträffande beräkningar och lösningar av problemet.

Kriterier för betyget Mycket Väl Godkänd krävs förutom att Väl Godkända kunskaper uppnåtts att • Eleven närmar sig en vetenskaplig redovisning. • Eleven väljer generella metoder och modeller för problemlösningen. • Eleven genomför matematiska bevis. • Eleven analyserar och tolkar resultatet.

Matematik D Martina Bengtsson Donnergymnasiet • Eleven bedömer slutsatsens rimlighet och giltighet. • Eleven använder ett korrekt matematiskt språk. FÖRDELNING Namn Uppgift Redovisningstid Andrea 1 12/1 kl 12:30-14 Caroline 2 15/1 kl 10:30-12 LisaE 3 12/1 kl 12:30-14 Sanjin 4 14/1 kl 9-10:30 Oscar 5 15/1 kl 9-10:30 ElinJ 6 12/1 kl 12:30-14 ElinP 7 14/1 kl 9-10:30 JohannaD 8 14/1 kl 9-10:30 Cornelia 9 15/1 kl 9-10:30 Gustav 10 14/1 kl 10:30-12 Klara 11 14/1 kl 9-10:30 Niklas 12 12/1 kl 12:30-14 Anna 13 14/1 kl 10:30-12 ElinT 14 14/1 kl 9-10:30 Puria 15 14/1 kl 10:30-12 Amy 16 15/1 kl 10:30-12 JohannaL 17 15/1 kl 9-10:30 Veronica 18 15/1 kl 10:30-12 Johannes 19 14/1 kl 10:30-12 Alexandra 21 15/1 kl 10:30-12 Daniel 22 15/1 kl 10:30-12 Matilda 23 15/1 kl 9-10:30 Victor 24 15/1 kl 9-10:30 Jonathan 25 15/1 kl 10:30-12 Marcus 26 15/1 kl 9-10:30 Johan 27 12/1 kl 12:30-14 Linn 28 14/1 kl 10:30-12 Obligatorisk närvaro på det egna redovisningstillfället, frivilligt att delta på övriga redovisningar. Kursavslut den 16 januari kl 9 för samtliga, då är det även uppsamling för missade redovisningar. Skriftlig inlämning senast den 23 januari.

Matematik D Martina Bengtsson Donnergymnasiet REDOVISNINGSUPPGIFT 1: REELLA RÖTTER Undersök sannolikheten för att andragradsekvationen

€

x 2 + px + q = 0

har reella rötter, om p och q väljs slumpvis som reella tal i intervallet

a) mellan 0 och 1 b) mellan 0 och 5 c) mellan 0 och N, där N→∞

REDOVISNINGSUPPGIFT 2: CIRKELNS TANGENT En cirkel med medelpunkt i origo och radie 5 l.e. beskrivs av

€

x 2 + y 2 = 52 . Om man drar en tangent till cirkel, så blir denna alltid vinkelrät mot motsvarande radie (en s.k. normal). • I punkten (4,3) på cirkeln dras en tangent. Bestäm tangentens riktningskoefficient! • Dra istället en tangent i punkten (x,y). Vad blir tangentens riktningskoefficient? Visa detta

dels genom att betrakta tangenten som en normal till radien, dels genom att ta fram derivatan

€

′ y . REDOVISNINGSUPPGIFT 3: SKATEBOARDRAMP En skateboardramp har en profil som beskrivs av funktionen

€

f (x) =2

1+1,3x 2

där x≥0 och 1 enhet motsvarar 1 meter.

• Hur hög är rampen? • Bestäm rampens lutning i grader för x = 2. • Var är rampen som brantast? • Hur ser rampen ut?

• Undersök generellt rampen

€

f (x) =a

1+ bx 2

Matematik D Martina Bengtsson Donnergymnasiet REDOVISNINGSUPPGIFT 4: ASTROIDEN Figuren visar en s.k. astroid, som skär x- och y-axeln i punkten a respektive -a. Ekvationen för astroiden är

€

x23 + y

23 = a

23 .

Beräkna längden av hela astroidkurvan. Längden L av en kurva mellan x-värderna x1 och x2 beräknas enligt formen

€

L = 1+ ′ y (x)( )2x1

x2

∫ dx

Härled formeln för L genom att utnyttja Pythagoras sats. REDOVISNINGSUPPGIFT 5: MÄTSTICKAN En familj har i sin villa en stor, liggande cylinderformad oljetank. Hela tanken rymmer 4,0 m3. Diametern på tanken är 1,20 m. Tyvärr har mätstickan till tanken kommit bort… Hur mycket olja finns kvar då oljedjupet är 0,45 meter? Hjälp familjen hur de ska gradera sin egentillverkade mätsticka!

Matematik D Martina Bengtsson Donnergymnasiet REDOVISNINGSUPPGIFT 6: PARTIALBRÅKSUPPDELNING Det finns integraler som kan lösas med hjälp av partialbråksuppdelning. Ta reda på hur denna metod fungerar och lös följande integraler:

€

2x +1x 2 + 3x + 2

dx∫

xx 2 − x − 2

dx∫

8x − 93x 2 − 5x − 2

dx∫

3x 2 − 3x − 4x 3 − 4x 2 + 5x − 2

dx∫

3x 2 − 3x − 8x − 3( ) x 2 +1( )∫ dx

REDOVISNINGSUPPGIFT 7: ELLIPSEN

En ellips är en plan kurva med ekvationen

€

x 2

a2+y 2

b2=1

• Beräkna ellipsens area. • Bestäm volymen av den ellipsoid som uppstår om ellipsen roterar kring y-axeln.

Jämför dina resultat med cirkelns area och klotets volym!

Matematik D Martina Bengtsson Donnergymnasiet REDOVISNINGSUPPGIFT 8: HYPERBOLISKA FUNKTIONER De trigonometriska funktionerna kallas ibland för cirkulära (härleds ur enhetscirkeln). Det finns en annan grupp av funktioner som kallas hyperboliska. De tre viktigaste av dessa är cosinus hyperbolicus (cosh), sinus hyperbolicus (sinh) och tangens hyperbolicus (tanh). De defineras på följande sätt:

€

cosh t =et + e− t

2

sinh t =et − e− t

2

tanh t =sinh tcosh t

De hyperboliska funktionerna har tydligt släktskap med de cirkulära funktionerna. Finn så många likheter du kan! Studera också derivatan av de hyperboliska funktionerna. Bevisa motsvarigheten till den trigonometriska ettan, som kallas den hyperboliska ettan

€

cosh2 t − sinh2 t =1. Visa att

€

cosh2 x + sinh2 x = cosh2x och 2sinh x ⋅ cosh x = sinh2x . Härled formler för cosh (x+y), sinh (x+y) och tanh (x+y) . REDOVISNINGSUPPGIFT 9: DAGSLJUS Du ska beskriva hur antalet timmar med dagsljus beror på tiden, enligt funktionen

€

y = A ⋅ sink x + v( ) där y är antalet timmar dag x (x = 1 den 1 januari). Gå in på www.stjarnhimlen.se/stjh för att få data för Göteborg.

• Bestäm A, k och v. • Ta reda på vad begreppen vårdagjämning, höstdagjämning, vintersolstånd och

sommarsolstånd innebär, samt ta reda med hjälp av din graf när detta inträffar. • Vid vilka tidpunkter ökar respektive minskar antalet dagsljustimmar som mest?

Matematik D Martina Bengtsson Donnergymnasiet REDOVISNINGSUPPGIFT 10: SYMMETRISKA EKVATIONER

• I ekvationen

€

ax 5 − bx 4 + cx 3 + cx 2 − bx + a = 0 är koefficienterna parvis lika. Utnyttja detta för att finna en rot till ekvationen.

• Visa att om ekvationen

€

ax 4 + bx 3 + cx 2 − bx + a = 0 a ≠ 0( )

har en rot

€

x = r så är också

€

x = −1r

en lösning till ekvationen.

• Lös ekvationen

€

6x 4 − 35x 3 + 62x 2 − 35x + 6 = 0 genom att dividera båda leden med x2 samt sammanföra termer med samma

koefficient och sätta

€

x +1x

= y .

• Lös ekvationen

€

x 6 − 3x 5 − x 4 + 6x 3 − x 2 − 3x +1= 0 REDOVISNINGSUPPGIFT 11: FÖRÄNDRINGSHASTIGHET Arean av ett klot ökar med den konstanta hastigheten 32 cm2/min. Med vilken hastighet ökar klotets volym då radien är 5,5 cm? En upp och nedvänd kon med höjden 60 cm och bottenradien 12 cm är delvis fylld med vatten. Vattnet läcker ut genom konen med en hastighet som är proportionell mot den area som är i kontakt med vattnet. Man fyller på vatten i konen uppifrån. Om påfyllnads-hastigheten är 100 cm3/min kommer vattenytan att sjunka med 0,6 cm/min då vattenhöjden i konen är 24 cm. Hur stor ska påfyllnadshastigheten vara ifall man vill att vattenytan skall hålla sig konstant på en nivå? En annan upp och nedvänd kon med toppvinkeln 90° fylls med vatten med hastigheten q m3/s. Med vilken hastighet stiger vattenytan då vattendjupet är y m? Hur ser uttrycket ut för en godtycklig toppvinkel α?

Matematik D Martina Bengtsson Donnergymnasiet REDOVISNINGSUPPGIFT 12: TÄLTET Ett tält har formen av en halv sfär med en regelbunden sexhörning som basyta. Dela tältet i ett antal skivor som får en regelbunden sexhörning som basyta. Bestäm sedan volymen genom integration. Vilka mått får tältet för olika volymer mellan 1,5 m3 och 2,0 m3? REDOVISNINGSUPPGIFT 13: SINUSKVADRATICUS De vanliga trigonometriska funktionerna sin v och cos v definieras som bekant av enhetscirkeln. Byt ut enhetscirkeln mot en kvadrat och definiera de nya funktionerna sink v (sinuskvadraticus) och cosk v (cosinuskvadraticus). y 1 -1 1 x -1 Din uppgift blir att undersöka de nya funktionerna! Hur beräkna man funktionsvärdena? T.ex. sink 10° och cosk 175°. Hur ser graferna ut? Är funktionerna periodiska och i så fall vad är perioden? Hur löser man ekvationer av typen sink v = 1 och cosk v = 0,8? Har t.ex. trigonometriska ettan och formlerna för dubbla vinkeln någon motsvarighet för de nya funktionerna? Går det att göra ett program som ger funktionsvärdet då vinkeln är given och omvänt ger vinkeln då funktionsvärdet är givet?

Matematik D Martina Bengtsson Donnergymnasiet REDOVISNINGSUPPGIFT 14: PARABOLISKA SEGMENTET En vågrät linje skär en andragradskurva i punkterna A och B. Linjen AB och andragradskurvan innesluter ett område. Detta område kallas ett paraboliskt segment. Den tangent till kurvan som är parallell med kordan AB tangerar kurvan i C. Den grekiske matematikern, fysikern och uppfinnaren Arkimedes (287-212 f.Kr.) upptäckte att arean av triangeln ABC och arean av det paraboliska segmentet alltid har samma förhållande. • Undersök vilket förhållandet är genom att beräkna det paraboliska segmentet och den

inskrivna triangeln som begränsas av funktionen

€

y = −x 2 + 2x samt x-axeln. • Visa att sambandet gäller generellt. • Andragradsfunktionen

€

y = −x 2 skärs av linjen

€

y = kx + m i punkterna A och B. Sträckan AB är en korda till andragradsfunktionen. Punkten C bestäms som ovan av att tangenten till andragradsfunktionen i C ska vara parallell med kordan AB. Undersök om Arkimedes samband gäller även då kordan inte är parallell med x-axeln.

Matematik D Martina Bengtsson Donnergymnasiet REDOVISNINGSUPPGIFT 15: HÖGAKUSTENBRON En kedja som hänger mellan två punkter får formen av en kedjelinje som har den allmänna ekvationen

€

f (x) = A ⋅ cosh xA

+ B

+ C

där cosh kallas för cosinus hyperbolicus och definieras av

€

cosh x =ex + e−x

2.

Högakustenbron norr om Härnösand i Ångermanland är en av världens längsta hängbroar. Kablarna bildar en kurva som approximativt kan beskrivas med funktionsuttrycket

€

y =1360 ⋅ cosh x1360

− 0,4448

−1317

där x är horisontella avståndet från ena tornet och y är höjden över vattenytan.

• Vilken definitionsmängd har funktionen? • Hur långt är det mellan brotornen? • Beräkna hur högt upp kablarnas upphängningspunkter ligger. • Uppskatta den segelfria höjden. • Vilket motsvarande funktionsuttryck får brokablarna till Golden Gate bron i San

Fransisco där avståndet mellan brotornen är 1280 m, tornens höjd är 227 m och den segelfria höjden är 67 m?

• Jämför kablarnas längder i de båda broarna. Formeln för längden L av grafen till f(x)

från x = a och x = b ges av formeln

€

L = 1+ ′ f (x)( )2a

b

∫ dx .

REDOVISNINGSUPPGIFT 16: CYKLOMETRISKA FUNKTIONER De inversa funktionerna till de trigonometriska funktionerna kallas arcussin x, arcuscosinus x och arcustangens x. Ett gemensamt namn för dessa funktioner är cyklometriska funktioner.

• Studera hur graferna till de cyklometriska funktionerna ser ut. Förklara varför de ser ut som de gör! Bestäm definitions- och värdemängd för funktionerna.

• Visa att

€

arcsin x = arccos 1− x 2 för 0 ≤ x ≤1.

• Visa att

€

arcsin x = arctan x1− x 2

för −1< x <1.

• Härled derivatan till de cyklometriska funktionerna samt ange deras definitionsmängd.

• Bestäm andraderivatan och tredjederivatan för y = arctan x.

Matematik D Martina Bengtsson Donnergymnasiet REDOVISNINGSUPPGIFT 17: PARTIALINTEGRATION Omvändningen av produktregeln vid derivering används när man gör s.k. partialintegration:

€

f (x)g(x)dx = F(x)g(x) − F(x) ′ g (x)dx∫∫ Härled denna formel och använd metoden för att göra följande integralberäkningar (svara exakt):

€

x 2 ⋅ ln x dx1

2

∫

x 2 ⋅ sin 2x( )0

π

∫ dx

x ⋅0

2

∫ e2x dx

REDOVISNINGSUPPGIFT 18: BRÅKIGA VINKLAR En vinkel α är ”bråkig” om både sin α och cos α kan skrivas i bråkform.

• Visa att om α är bråkig så är även komplementvinkeln bråkig. • Visa att om α är bråkig så är även α/2 bråkig. • Visa att om α är bråkig så är även 2α bråkig. • Visa att om α och β är bråkiga så är även α+β och α-β bråkig. • Visa att det inte finns en minsta bråkig vinkel.

En konvex månghörning (alla vinklar är mindre än 180°) är bråkig om alla dess vinklar är bråkiga. Visa att om sidorna i en triangel kan skrivas i bråkform så är triangelns alla vinklar bråkiga.

Matematik D Martina Bengtsson Donnergymnasiet REDOVISNINGSUPPGIFT 19: KONVERGENT OCH DIVERGENT Om en integral är integrerbar över ett viss intervall och ett gränsvärde existerar säger man att integralen är konvergent. Om däremot gränsvärdet inte existerar säger man att integralen är divergent. Visa följande satser:

€

1xα1

∞

∫ dx är konvergent om α > 1.

1xα0

1

∫ dx är konvergent om α < 1.

Visa att följande integraler är konvergenta samt beräkna dess värde:

€

e−x0

∞

∫ dx

x ⋅ e−x2

dx0

∞

∫

Visa att följande integraler är divergenta:

€

2x1+ x 2 dx

0

∞

∫

sin x dx0

∞

∫

Matematik D Martina Bengtsson Donnergymnasiet REDOVISNINGSUPPGIFT 20: LOGISTISK TILLVÄXT En population av en djurart inom ett avgränsat område växer till en början exponentiellt. Men blir tillgången på näring sämre är inte längre förändringsfaktorn konstant. Då börjar tillväxttakten att avta och når till slut värdet 0 när miljöns bärförmåga har uppnåtts. Tillväxten kan beskrivas med den logistiska ekvationen

€

xn+1 = k ⋅ xn 1− xn( ) Konstanten k sammanfattar egenskaper som bestämmer populationens utveckling. Det gäller dessutom att

€

xn =N(n)Nmax

vilket betyder att xn är antalet individer, N, vid tidsenheten n dividerat med det möjliga antalet individer Nmax.

• Ta reda på historien bakom logistisk populationstillväxt – vem formulerade lagen? • Undersök hur olika värden på k och x1 bestämmer hur tillväxten kommer att utvecklas. • För vissa värden på k sker förändringar i det sätt på vilket populationen utvecklas.

Försök att bestämma några av dessa k-värden. REDOVISNINGSUPPGIFT 21: LOGARITMISK DERIVERING Härled deriveringsregeln för

€

f (x) = ln g(x)( ) . Derivera funktionen

€

f (x) = xx . Har funktionen några extrempunkter? Motivera! Härled deriveringsregeln för

€

f (x) = loga x Bestäm andraderivatan till funktionen

€

f (x) = lg x . Visa att den primitiva funktionen till

€

f (x) = ln x är

€

F(x) = x ⋅ ln x − x + C . Använd detta för

att bestämma a så att

€

ln x dx =11

a

∫ .

Ta fram den primitiva funktionen till

€

f (x) = tan x . Bestäm också definitionsmängden.

Matematik D Martina Bengtsson Donnergymnasiet REDOVISNINGSUPPGIFT 22: NUMERISKA METODER Ekvationen

€

ln x = 2 − x kan inte lösas algebraiskt. Använd den numeriska metoden Newton-Raphson för att lösa problemet.

Förklara hur metoden går till och förklara iterationsformeln

€

xn +1 = xn −f (xn )′ f (xn )

.

Hur kan Newton Raphson´s metod användas med miniräknaren?

Använd Simpsons formel för att beräkna integralen

€

x 2 +10

2

∫ dx . Förklara hur metoden är

uppbyggd! REDOVISNINGSUPPGIFT 23: ANTAL RÖTTER Undersök algebraiskt antalet rötter till ekvationen

€

x 2

x +1= a ⋅ ex

för olika värden på konstanten a. REDOVISNINGSUPPGIFT 24: LJUSSTAKE För att få en välsvarvad ljusstake kan man låta funktionen rotera kring x-axeln i intervallet . Vilken blir ljusstakens volym? Vilken blir volymen då man generellt låter rotera kring x-axeln?

Matematik D Martina Bengtsson Donnergymnasiet REDOVISNINGSUPPGIFT 25: VARIABELSUBSTITUTION För att lösa vissa typer av integraler behöver man göra s.k. variabelsubstitution. Anta att man

önskar beräkna integralen

€

f (x) dxa

b

∫ . Om

€

g(α) = a och g(β) = b så gäller att

€

f (x) dx = f g(t)( )α

β

∫a

b

∫ ⋅ ′ g (t) dt

Förklara vad metoden innebär!

Lös integralen

€

1− x 2 0

1

∫ dx genom att ersätta x = sin t.

Lös integralen

€

1x + x

dx1

4

∫ genom att ersätta x = t2.

Lös följande integraler genom lämplig variabelsubstitution:

€

x 2

1+ 4x 3dx

0

3

∫

€

cos 1+ x( )1+ x

dx0

8

∫

€

Matematik D Martina Bengtsson Donnergymnasiet REDOVISNINGSUPPGIFT 26: POTENSFUNKTIONER Figuren föreställer grafen till funktionen

€

y = xn, x ≥ 0, där n är ett reellt tal större än noll. Från den punkt på kurvan där x-koordinaten är c (där c är en positiv konstant) dras linjer parallellt med de båda koordinataxlarna. Dessa linjer avgränsar tillsammans med koordinataxlarna och grafen två områden med areorna A1 och A2.

• Sätt n = 2 och undersök för olika värden på c vad kvoten

€

A1A2

blir. Formulera en

slutsats! Visa att denna slutsats gäller för alla värden på c när n = 2.

• Sätt c = 1 och undersök för olika värden på n vad kvoten

€

A1A2

blir. Formulera en

slutsats! Visa att denna slutsats gäller för alla värden på n när c = 1.

• Låt nu både c och n variera. Formulera en slutsats om kvoten

€

A1A2

och visa att din

slutsats gäller för alla värden på c och n. REDOVISNINGSUPPGIFT 27: MacLaurins FORMEL En godtycklig funktion kan approximeras med MacLaurins formel, förutsatt att funktionen är deriverbar.

- Ta reda på hur formeln ser ut, och förklara varför den ger bättre och bättre uppskattningar ju fler termer man tar med.

- Bestäm MacLaurinserien för f(x) = cos x och jämför grafiskt cosinusfunktionen med MacLaurinpolynomet av grad 1, 2, 3 o.s.v.

- Gör detsamma för f(x) = ex

Matematik D Martina Bengtsson Donnergymnasiet REDOVISNINGSUPPGIFT 28: DIFFERENTIALEKVATIONER Inom naturvetenskapen formulerar man teorier utgående från observationer och experiment. Man tar fram matematiska modeller som beskriver olika förlopp, och med hjälp av dessa modeller kan man ofta dra slutsatser om verkligheten i nya situationer. Vanligtvis ingår differentialekvationer i de matematiska modellerna. Ta reda på vad en linjär differentialekvation innebär. Vad anger differentialekvationens ordning? Man skiljer mellan homogena och inhomogena differentialekvationer, vad är definitionen för detta? Antag att r är en reell rot till

€

r2 + ar + b = 0. • Visa att

€

y = Cerx är en lösning till

€

′ ′ y + a ′ y + by = 0 . • Visa att om r är en dubbelrot så är även

€

Cxerx en lösning till

€

′ ′ y + a ′ y + by = 0 . En kropp startar vid tiden t = 0 från stillastående i origo och drivs i y-axelns riktning av den konstanta kraften k. Bromskraften är proportionell mot hastigheten med proportionalitetskonstanten p varigenom rörelsens differentialekvation blir

€

d2ydt 2

+ p dydt

= k

Visa att differentialekvationen har lösningen

€

y =kp2

e− pt −1( ) +ktp