rによる計量分析：データ解析と可視化 -...

Rによる計量分析：データ解析と可視化第 4回

伊藤岳

富山大学経済学部 2017 年度後期

Email: [email protected]

November 6, 2017

伊藤岳 (Toyama/NIHU) R による計量分析 (第 4 回) November 6, 2017 1 / 41

Agenda

1 社会のデータ，解析と可視化

2 標本，母集団，母数

3 中心極限定理

4 RStudioでの演習とシミュレーション


社会科学の難しさ

本当のような「怪しい」話

▶ 「広告費を倍増した結果，アイスクリームの売り上げが 50%伸びた」▶ 「新社長の改革の成果によって，株価が 30%上昇した」▶ 「政府の補助金政策の効果で，地域経済が活性化した」▶ 「マンションの高層階に住むと，妊娠しにくくなる」

▶ 出所：伊藤公一朗「Google検索の『青色』に隠された最強の分析力：世界の勝ち組企業はビッグデータをこう使う」(http://toyokeizai.net/articles/-/171160)


http://toyokeizai.net/articles/-/171160

なぜ「難しい」のか？

▶ 問題：「X と Y の動きに関連があった」という主張 (相関関係) と，「X が Yに影響する」という主張 (因果関係) の区別

▶ 上の例は，なんとなく「ぽい」し，図を描くと「関係ありそう」に見える▶ 相関関係は因果関係とは限らない▶ 内生変数の問題

▶ 「難しい」根本的な理由の 1つは，実験ができないから (困難だから)▶ 適切な実験ができれば，「X が Y に影響する」か否かを適切に評価できる▶ 実験をするにも，費用・倫理的な問題がある▶ 社会や個人による (割り当ての) 選択の問題

▶ たとえば，「東大卒」や「大学卒」といった処置 (treatment) は，ランダムに (無作為に) 割り当てられる訳ではない

▶ 優秀な人が，そうした割り当てを得るはず (入試してるから！)▶ 特に後者の点 (非ランダムな処置割り当て) は，実験室での実験とは対照的

▶ Rubin の「完璧な医者」


相関関係と因果関係

▶ なぜ，ときに相関関係 ̸= 因果関係なのか？▶ 単なる偶然▶ 「第 3の変数」の存在：欠落変数バイアス (omitted variable bias)▶ 逆の因果関係：同時性バイアス (simultaneity bias)

etc.

次回講義では，図を描いて実感する

▶ 海賊の数と温暖化：偶然▶ ゲーム時間と学業成績：欠落変数バイアス▶ 警察官数と犯罪認知件数：同時性バイアス


実験と擬似実験

▶ 自然科学に比べ，社会科学の研究では上記のような問題 (バイアス) に直面しやすい

▶ バイアスを除去する常套手段 = 実験が，費用・倫理的に難しい▶ 18世紀のヒューム，20世紀初頭のネイマンとフィッシャー，20世紀後半のルービンとパールの伝統

▶ ランダム化比較試験 (randomized controlled trial, RCT)▶ RCTができたとしても，注意すべき問題もある：標本の欠落 (脱落)，標本の代表性，ホーソン効果


実験と擬似実験

▶ この講義では扱わないが，擬似実験的手法 (quasi-experimental approach) と呼ばれる方法が，現在の研究では存在感を高めている

▶ 擬似／自然実験：実際には実験を行なうことなく，擬似的な実験的状況を作り出して (自然に生じた実験的状況を利用して) 分析する手法

▶ 例：統計的マッチング (statistical matching)，不連続回帰／回帰分断デザイン(regression discontinuity design, RDD)，差 (分) の差 (分)(difference-in-difference, DiD)，操作変数法 (instrumental variable, IV)

▶ 11/15 (Wed.) の環境塾 (手元の資料) では擬似実験的手法を扱う▶ この講義 + 環境塾で基礎 (考え方と Rのスキル) は身につく (はず)

▶ なんだかんだいっても，この講義で扱う回帰分析 (特に OLS) や基礎的な手法が中心／前提になる

▶ 回帰分析との繋がりがわかりやすい RDDは，この講義でも時間があれば扱う


データの可視化と解析，解析の可視化

可視化と解析

▶ データを得たら，まず可視化して「あたりを付ける」▶ それだけだと間違っているかもしれないので，解析に進む

▶ 上述の「本当のような『怪しい』話」が例示する落とし穴

解析の可視化

▶ 適切に解析したとしても，「解析自体も可視化」しなければ分かりにくく，信頼もできない

▶ 解析過程の可視化：解析の過程 (・手順) を，1年後に再現できる？▶ 解析結果の可視化：「よく見る回帰分析の表」を見て，普通の人が理解できる？

▶ 解析の過程や結果を報告する上でも，可視化が必要になる▶ 講義の副題「データ解析と可視化」の意味


母集団と標本

母集団 (population)研究において，興味がある／理解したい対象のこと．一般的に，母集団を直接観察することはできない

1 有限の集団例有権者全体，日本人全体，人類全体

2 データ生成過程 (data generating process)，確率分布▶ 観察されたデータ (標本)，分析対象のデータを生み出したメカニズム

標本 (sample)データとして観察された，母集団の一部

▶ 標本抽出 (sampling)：母集団から標本を得ること▶ 標本サイズ (sample size): 標本の大きさ．ある標本に含まれる (変数の) 観察値の数のこと．一般的に nといわれる数

▶ 標本数 (number of samples): 標本 (群) の数．観測値の集合の数


有限の集団としての母集団と標本


確率分布としての母集団と標本

教科書第 2章の例

▶ 日本人の所得が，ある確率分布 (e.g., 正規分布) に従って生成されると考える▶ 元の確率分布が分かれば，日本人の (無限の) 所得を知ることができたことになる▶ このとき，確率分布に従って実現した値が標本，確率分布そのものが母集団


母集団と母数

▶ 母数 (parameter)：母集団・分布を特徴付けるパラメータ▶ 分母ではない！▶ 誤った用法：「文科省の調査は母数を『就職希望者』としているのに対し，今回の調査は卒業生全体を母数に取っている」

▶ 出所：「今春大卒 2割，進路未定学部間差，最大 5倍」『朝日新聞』「『ひらく日本の大学』2011年度調査結果報告」(http://www.asahi.com/edu/hiraku/hiraku2011/article01.html)

▶ 統計的推定：一定の誤差を許容した上で，手元にある標本 (部分) から母集団 (全体) を知ること．パラメータを推定すること例 1 標本として得られた有権者の情報 (政権支持率) を用いて，日本の有権者全体

の政権支持率を推定する例 2 標本として得られた国家の情報を用いて，経済状況が内戦の発生確率に与える

影響を推定する


http://www.asahi.com/edu/hiraku/hiraku2011/article01.html

母集団と標本

母集団は観察できない

▶ データとして観察できる (手に入る) のは母集団ではなく標本▶ 母集団：データ生成過程，確率分布 (有限の集合とは考えない)▶ 母数：母集団を特徴付ける数値，パラメータQ では，「現実に起こったすべてのデータ」が標本として得られた場合は？A 「現実に起こったすべてのデータ」は母集団とは考えない．仮に「全データ」が得られたとしても，それを母集団とは考えない (！)


母集団と標本

実現したデータと可能性

▶ 「現実に起こった現象／データ」=「無数にあった可能性のうちの 1つ」▶ 全小選挙区のデータは「母集団」？(副読本の浅野・矢内本，第 6章)

▶ 現象を繰り返せば，実現する現象には違いが出る▶ 選挙の例でいえば，偶然にも左右される (e.g., 天気や個人の気まぐれ)

▶ 言い換えれば，現実に観察されたデータは「標本」にしかならない▶ 今日の後半で行なうシミュレーションでの標本抽出で実感できる (はず)

統計的推定の目的に繋がる

▶ 知りたいのは，「実現したデータや値」 (= 標本) ではなく，それを生み出すメカニズム (= 母集団) とそれを特徴付ける (未知の) 母数

▶ 母数について知識を得るために，統計的推定が必要になる▶ 中心極限定理は，統計的推定の基礎の 1つ


大数の法則と中心極限定理

大数の法則 (law of large numbers)ある同一の分布から独立に得られた大きさ (標本サイズ) nの標本X1, X2, . . . , Xn の標本平均をXn とする．また，この分布に従う確率変数X の期待値を E[X]とする．n → ∞のとき，Xn は E[X]に近づく．

大数の法則と中心極限定理の関係

▶ 大数の法則は，標本平均の振舞い：n → ∞のとき，Xn が E[X]に近づく▶ 中心極限定理は，標本平均と期待値の誤差の振舞い：n → ∞のとき，

Xn − E[X]は正規分布N (0, σ2X/n)に近づく

▶ つまり，nを大きくすると，Xn − E[X]は小さくなり (大数の法則)，Xn − E[X]の分布は正規分布N (0, σ2

X/n)に近づく (中心極限定理)▶ これを意識すると，以下の内容を理解しやすい▶ 確率変数や正規分布については，補足スライドを参照 (次回も扱う)


中心極限定理

中心極限定理 (central limit theorem, CLT)ある同一の分布から独立に得られた大きさ (標本サイズ) nの標本X1, X2, . . . , Xn の平均をXn, 分散を σ2

X とする．また，この分布に従う確率変数X の期待値を E[X]とする．標本の大きさ nが大きくなるにつれ (n → ∞の極限で)，以下の統計量 Zn (Xn − E[X]は標本平均と母平均の誤差) は，平均 0,標準偏差 1の正規分布 (標準正規分布) N (0, 1)に近づく (弱収束する)．

Zn = Xn − E[X]√σ2

X/n(1)

▶ 標本サイズ nが十分に大きければ，元の分布どんなものであれ，誤差Xn − E[X]がN (0, σ2

X/n)に近付く，でも同じ意味▶ 正規分布の標準化を使えば，(1)式が得られる (補足スライド)▶ ただし，元の分布に平均値と分散が存在すれば▶ 平均 µ, 標準偏差 σ (分散 σ2) の正規分布を，一般的に N (µ, σ2)と書く


中心極限定理

中心極限定理の帰結 (正規分布が出てくると何が嬉しいのか)ある同一の分布から独立に得られた大きさ (標本サイズ) nの標本X1, X2, . . . , Xn の平均をXn, 分散を σ2

X とする．また，この分布に従う確率変数X の期待値を E[X]とする (ここまではさっきと同じ)．標本の大きさ nが大きいとき (n → ∞の極限で)，以下の不等式が，95%の確率で近似的に成立する．

Xn − 1.96√

σ2X/n ≤ E[X] ≤ Xn + 1.96

√σ2

X/n (2)

標本平均 Xn の分布は，正規分布N (E[X], σ2X/n)に従う

▶ 母数を 95%の精度で含む 95%信頼区間を計算できる！ (解釈に注意)▶ 統計的推定・検定の基礎になる定理 = 正規分布が「大事にされる」理由


信頼区間

中心極限定理と信頼区間

▶ (2) 式の区間を E[X]の 95%信頼区間 (confidence interval, CI) と呼ぶ▶ 標準誤差 (standard error, SE): さっきからよく出てきた

√σ2

X/n = σX/√

n▶ (不偏) 標準偏差 σX を

√n (標本サイズ nの平方根) で割った値

▶ つまり，95% CI は [Xn − 1.96SE, Xn + 1.96SE]▶ 95%信頼区間を使って，母数を推定できる

▶ 統計的推定で問題になるのは，標本統計量と母数の誤差▶ 誤差 (Xn − E[X]) が正規分布に従うなら，正規分布の性質を利用して信頼区間を計算できる

▶ nが大きくない場合は，(正規分布ではなく) t分布で近似する▶ t分布については，「なぜ 1.96が出てくるのか」とあわせて次回以降で説明


正規分布と信頼区間

正規分布の性質平均 µ, 標準偏差 σの正規分布N (µ, σ2)に従う確率変数X について，事象(event) µ − 1.96σ ≤ X ≤ µ + 1.96σが成立する確率は，ほぼ 95%である．

▶ 中心極限定理より，Zn = Xn−E[X]√σ2

X/n

∼ N (0, 1)

▶ したがって，事象 −1.96 ≤ Zn ≤ 1.96が成立する確率は，(ほぼ) 95%(Zn ∼ N (0, 1)に注意)

▶ ここから，(2)式 (95%信頼区間) が導出できる

−1.96 ≤ Zn = Xn − E[X]√σ2

X/n≤ 1.96

⇐⇒ −1.96√

σ2X/n ≤ Xn − E[X] ≤ 1.96

√σ2

X/n

⇐⇒ Xn − 1.96√

σ2X/n ≤ E[X] ≤ Xn + 1.96

√σ2

X/n


確認：中心極限定理と信頼区間のありがたみ

中心極限定理と信頼区間の整理

▶ 標本サイズ nが十分に大きければ，元の分布がどんなものであれ，▶ 標本平均の分布：Xn ∼ N (E[X], σ2

X/n)▶ 標本平均と期待値の誤差の分布：Xn − E[X] ∼ N (0, σ2

X/n)▶ Zn = Xn−E[X]√

σ2X

/n∼ N (0, 1) (正規分布の標準化)

▶ ただし，元の分布に平均値と分散が存在すれば▶ つまり，例外的な分布もある：e.g., コーシー分布，一部のベキ乗分布

▶ 信頼区間を使って，母数を (区間) 推定できる▶ SE =

√σ2

X/nと正規分布の性質を踏まえると，E[X]の 95%信頼区間[Xn − 1.96SE, Xn + 1.96SE] が得られる

▶ 統計的推定で問題になるのは，標本統計量と母数の誤差▶ 誤差が正規分布なら，正規分布の性質を利用して統計的推定・検定ができる


補足：信頼区間

▶ α%信頼区間の αを信頼係数 (confidence coefficient)と呼ぶ▶ 慣習的な信頼係数：95%, 90%, 99% (原理的には，94%, 96%, etc.でもよい)▶ それぞれ，5%有意，10%有意，1%有意に対応する▶ つまり，p < 0.05, p < 0.1, p < 0.01 (「第一種過誤 (Type I/α error)」(偽陽性)をおかす危険率が 5%, 10%, 1%)

▶ 「第一種過誤 (Type I/α error)」：帰無仮説 H0 (e.g.,「病気ではない」) が真にもかかわらず，H0 を棄却してしまう誤り

▶ 区間推定 (interval estimation)：「幅」を持たせた推定▶ ざっくりした例：「母集団から 100回標本をとってきて，各々の標本平均 (あるいは，他の統計量) から母平均の 95%信頼区間を求めるという作業を繰り返したとき，95回については 95%信頼区間の中に母平均が含まれる」

▶ 「幅」を持たせる区間推定に対して，1つの値で母数を推定することを点推定(point estimation) と呼ぶ


標準偏差と標準誤差

▶ SD = σX , SE = σX/√

nなのだから，常に SD > SE▶ 標本サイズ nが分母にあるのだから，nを大きくすればするほど，SEは小さくなる

▶ 標本サイズ nが大きいほど，誤差を正確に推定できる (信頼区間の幅を狭くできる)

▶ Xn ∼ N (E[X], σ2X/n)なので，SEは標本平均の標準偏差

▶ nが大きいほど，SE = σX/√

nは小さくなる▶ SEが小さくなれば，95%信頼区間 [Xn − 1.96SE, Xn + 1.96SE]も狭くなる


信頼区間の解釈と注意何の信頼度合いかα%信頼区間：1つの標本から得られた区間の信頼度ではなく，区間を求める手続きの信頼度を示す誤「手元の標本から 95%信頼区間を計算した．この信頼区間の中に母数が含まれる確率は 95%だ」

ざっくりした例 (再掲) と解釈「母集団から 100回標本をとってきて，各々の標本平均 (あるいは，他の統計量)から母平均の 95%信頼区間を求めるという作業を繰り返したとき，95回については 95%信頼区間の中に母平均が含まれる」

▶ 標本数が 100だから，100個の 95%信頼区間が得られる▶ 100個の 95%信頼区間のうち，95個は母平均を含み，5個は含まない▶ 「各々の 95%信頼区間が母平均を含む確率」は，0か 1 (！)▶ 手元の標本から得た信頼区間は，「たまたま」母平均を含まないかも知れない (この点は次回以降のシミュレーション)


中心極限定理のシミュレーション

▶ 中心極限定理が本当なのか，Rを使ったシミュレーションで確かめる▶ 図にしないとシミュレーション結果を理解できないので，R(Studio) での図の作り方も学ぶ

▶ 図を描くためには Rに慣れないといけないので，R自体の練習もする▶ まずはシミュレーションの手順と結果を確認する

▶ うまくいけば次スライド以降の結果が出てくる▶ 信頼区間のシミュレーションは，次回講義


中心極限定理のシミュレーション

1 連続一様分布 X ∼ U(−10, 10)から，大きさ (標本サイズ) nの標本を抽出▶ U(−10, 10)は，最小値 −10, 最大値 10の連続一様分布

▶ X ∼ U(a, b), f(x) ={ 1

b−aa ≤ x ≤ b

0 x < a or x > b▶ 期待値 (母平均) は，(−10 + 10)/2 = 0

2 標本平均Xn を計算して，記録する3 以上の作業をm回繰り返す4 m回の結果をまとめて，標本平均Xn の分布をプロットする5 標本サイズ nを変化させ，以上の作業を繰り返す

▶ 中心極限定理に従えば，nが大きいとき，Xn の分布は正規分布に近付くはず▶ nが大きいほど，誤差を正確に推定できるはず▶ シミュレーション回数はm = 10, 000に固定する


シミュレーションで用いる連続一様分布U(−10, 10)D

ensi

ty

−10 −5 0 5 10

0.00

0.02

0.04

0.06

0.08

0.10

▶ この図では，標本平均は −0.014 (期待値 E[X] = (−10 + 10)/2 = 0)▶ 標本平均の分布：Xn ∼ N (E[X], σ2

X/n)▶ 標本平均と期待値の誤差の分布：Xn − E[X] ∼ N (0, σ2

X/n)


シミュレーションで用いる連続一様分布U(−10, 10)

ヒストグラムについて補足

▶ ヒストグラム：度数分布表を棒グラフにした図のこと▶ 度数分布表：変量をいくつかの階級に区分して，各階級を代表する階級値，各階級に属する個数 (度数) とそれが全体の中で締める割合 (相対度数) をまとめたもの

▶ ヒストグラムの「棒の場所」は階級値，「棒の高さ」は (相対) 度数あるいは確率密度を示す

▶ Rでは，hist()関数で簡単に作成できる▶ 分布の形状やデータが分布する範囲を視覚的に示す

シミュレーションの結果もヒストグラムで示す

▶ 分布の形状：標本サイズ nを大きくすると，標本平均の分布はどう変わる？▶ 分布の範囲：標本サイズ nを大きくすると，横軸はどう変わる？


シミュレーション結果：n = 1D

ensi

ty

−10 −5 0 5 10

0.00

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

n=1, m=10000



ensi

ty

−10 −5 0 5 10

0.00

0.02

0.04

0.06

0.08

0.10

n=2, m=10000



ensi

ty

−6 −4 −2 0 2 4 6

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

n=10, m=10000



ensi

ty

−2 −1 0 1 2

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

n=100, m=10000



ensi

ty

−0.5 0.0 0.5

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

n=1000, m=10000

▶ 標本サイズ nを大きくすると，標本平均の分布は正規分布に近付く▶ 標本サイズ nを大きくすると，横軸は狭くなる (目盛りに注意)▶ Xn ∼ N (E[X], σ2

X/n)


指数分布 (exponential distribution) にも通用する？D

ensi

ty

0 1 2 3 4 5

0.0

0.5

1.0

1.5

▶ 「歪んだ」分布の典型例：X ∼ E(λ), f(x) =

{λe−λx x ≥ 00 x < 0

▶ ただし，λ > 0▶ 指数分布の期待値 (母平均) は E[X] = 1

λ , 分散は( 1

λ

)2 = 1λ2

▶ 上の指数分布は λ = 2なので，E[X] = 1λ = 0.5



ensi

ty

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

n=10, m=10000



ensi

ty

0.44 0.46 0.48 0.50 0.52 0.54 0.56

05

1015

2025

n=1000, m=10000


双峰型分布D

ensi

ty

0 20 40 60

0.00

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

▶ もっと「変に」する：「山」が 2つある分布 (双峰型分布)▶ 上の例は，正規分布を 2つ足し合わせた分布：N (0, 4)とN (30, 10)



ensi

ty

13 14 15 16 17

0.0

0.2

0.4

0.6

n=1000, m=10000


Rスクリプト

Rコードを保存する

▶ Rスクリプト：1行以上の Rコードを保存したファイル▶ 拡張子は .r or .R▶ 例：第 2回講義で，パッケージの一括インストールに使った

install_packages_fall_1016_2017.R

▶ 実体はある種のテキストファイル

Rスクリプトのありがたみ

▶ コードを Rスクリプトとして保存しておくことで，複数の処理 (行) を一括実行したり，他の環境で同じ作業を再現したりできる

▶ 例：伊藤が用意した Rの処理を，各自の PCで実行・再現する▶ 今日は演習のついでに，Rスクリプト作成も練習する


RStudioでの演習

中心極限定理のシミュレーションを行なうまずはブラウザで次の作業をする

1 講義資料ウェブページ内の「演習資料」にアクセス (URL:http://cfes-project.eco.u-toyama.ac.jp/education/education_2017/r_2017/rcode_fall2017/)

2 「Rコード」の下の「3. 基礎概念のシミュレーション」の見出しの下にある，simulating_clt.R を開く


http://cfes-project.eco.u-toyama.ac.jp/education/education_2017/r_2017/rcode_fall2017/

http://cfes-project.eco.u-toyama.ac.jp/education/education_2017/r_2017/rcode_fall2017/

RStudioでの演習

中心極限定理のシミュレーションを行なう (続き)RStudioで次の作業をする

4 RStudioを開き，command + shift + N (m)/control + shift + N (w) して，新しい Rスクリプトを開く (作成する)

5 command + S (m)/control + S (w) して，(真っ白な) Rスクリプトを分かりやすい場所に保存

▶ ファイル名は半角文字のみにすること！▶ 例：clt_simulation.R

6 ブラウザで開いている simulating_clt.Rの中身を，今作成した Rスクリプトにコピペ

7 command + S (m)/control + S (w) して，Rスクリプトを (上書き) 保存8 冒頭のディレクトリ指定の部分を，自分の環境にあわせて修正9 指示する部分を選択し，command + enter (m)/control + enter (w) で実行


次回講義と課題

▶ 次回講義 (休講の都合で，講義内容／順番を多少変更)▶ 今日の続きと大数の法則・信頼区間のシミュレーション▶ 確率論の導入▶ データの基礎的な可視化

▶ 文献と課題必須星野・田中『Rによる実証分析』第 1–3, 6章 (教科書，前回と同じ)推奨 Gelman & Hill. Data analysis. Chap. 1–2 (教科書，前回と同じ)推奨浅野・矢内『Stataによる計量政治学』第 3, 5–9章 (副読本，章追加)推奨伊藤『データ分析の力』第 1–2章 (副読本，前回と同じ)推奨森田『実証分析入門』第 1–2章 (副読本)課題 (1) 講義資料「R言語の基礎，オブジェクトとその要素へのアクセス」と「R

によるデータの読み込みと書き出し」を RStudioで練習しておくこと．(2) 中心極限定理のシミュレーションを再度行ってみること (できれば nを変えて)

▶ 中間課題 (1) もそろそろ出るので注意 (11月後半)▶ 出題から提出までは 1–2週間とります▶ 休講追加の加減で，シラバスの予定から時期が 1週間ずれます (たぶん)


補足：確率変数の期待値と分散確率変数の期待値 (母集団分布の平均)離散型確率変数 (discrete random variable) X のとりえる値の集合が S = {x1, x2, . . .}であり，確率質量関数を fX(xi) = Pr(X = xi)と表すとき，X の期待値 E[X]は次のように定義される (e.g., サイコロの目)．

E[X] = µ =∑

i

xifX(xi) (3)

連続確率変数 (continuous random variable) X の確率密度関数を fX(x)とするとき，Xの期待値 E[X]は次のように定義される (e.g., 身長)．

E[X] = µ =∫ ∞

−∞xfX(x)dx (4)

確率変数の分散確率変数 X の (母集団分布の) 分散 V (X)を，次式で定義する．

V (X) = σ2 = E[(X − E[X])2] = E[X2] − (E[X])2 (5)

また，σ =√

V (X)を (母集団分布の) 標準偏差という．


補足：累積分布関数と確率密度関数累積分布関数 (cumulative distribution function, CDF)確率変数 X に対して，ある値 xについて事象「X ≤ x」が成立する (X が x以下になる) 確率を示す関数 FX(x)を，累積分布関数と呼ぶ

FX(x) = Pr(X ≤ x) =∫ x

−∞fX(x)dx (6)

確率密度関数 (probability density function, PDF)連続型確率変数 X が従う確率分布を表す関数 fX(x)のこと．連続型確率変数 X に対して，X が区間 [a, b]の値をとる確率が

Pr(a ≤ x ≤ b) =∫ b

a

fX(x)dx (7)

で与えられるときの fX(x)を，確率密度関数と呼ぶ．

fX(a) = limh→0

FX(a + h) − FX(a)h

= FX(x)dx

= F ′X(x) (8)

すなわち，PDFは CDFの導関数である．伊藤岳 (Toyama/NIHU) R による計量分析 (第 4 回) November 6, 2017 2 / 6

補足：正規分布と確率密度関数

▶ 正規分布N (µ, σ2)の確率密度関数は，

f(x) = 1√2πσ2

exp(

− (x − µ)2

2σ2

)(9)

▶ 連続型確率変数 X が，a 以上 b 以下 (区間 [a, b]) の値をとる確率は

Pr(a ≤ x ≤ b) =∫ b

a

fX(x)dx (10)

▶ 連続型確率変数 X が特定の値 xに完全に一致する確率 Pr(X = x) = 0 (意味がない) なので，「a ≤ X ≤ b となる確率 Pr(a ≤ x ≤ b)」を考える (e.g., 正規分布から抽出された標本の値)

▶ 離散型確率変数 X なら確率質量関数 (probability mass function, PMF)fX(x) = Pr(X = x)を用いる (e.g., サイコロの目)

▶ µ ± σの区間の値をとる確率は，約 68%▶ µ ± 1.96σの区間の値をとる確率は，約 95%


補足：標準正規分布と正規分布の標準化▶ N (0, 1)を，標準正規分布 (standard normal distribution) と呼ぶ▶ 標準正規分布は µ = 0, σ = 1なので，PDFは (11)式

f(x) = 1√2π

exp(

−x2

2

)(11)

▶ 確率変数 X について，X ∼ N (µ, σ2) (12)

ならば，X − µ√

σ2= X − µ

σ= z ∼ N (0, 1) (13)

が成り立つ▶ すなわち，正規分布 N (µ, σ2)に従う確率変数 X は，定数倍・平行移動すると，標準正規分布 N (0, 1)に従う

▶ (1)式で出てきた正規分布の標準化は，この性質 (定理) のこと▶ Xn − E[X] ∼ N (0, σ2

X/n)を標準化すれば，Zn = Xn−E[X]√σ2

X/n

∼ N (0, 1)となる


再掲：R言語の基本的発想▶ オブジェクト：「何かしらの情報を保持する，名前をつきの入れ物」「Rで作成・操作したもの全般」

▶ R言語では，常にオブジェクトを用いてデータや解析結果を管理する▶ オブジェクトの単純な例は，下記の “x”

1 > x <- 1 + 1

▶ “<-” (ここでは “=” でもよい) は，「代入する」という意味▶ Rでは，統計処理を念頭に，複数の種類 (「型」) のオブジェクトが用意されている (演習資料で体験)

▶ よく使う「型」：vector, matrix, data.frame (tibble), list

▶ オブジェクトの「型」によって，保持できるデータ・情報や，可能な処理が異なる

▶ 一旦保持したオブジェクトの操作・加工や，一定の処理 (e.g., 数値の変換や回帰分析) を行なうことで，データを整理・可視化・解析する

1 > x2 <- x/22 > x23 [1] 1


再掲：R言語の基本的発想

▶ Rでは，上述のデータの「種類／尺度」に対応する形で，データの「型」が複数用意されている

▶ よく使うデータの「型」：double (実数), integer (整数), logical (論理値),character (文字列), factor (因子)

1 > x_num <- 1 + 12 > x_num3 [1] 24 > x_chr <- "2"5 > x_chr6 [1] "2"7 > class(x_num)8 [1] "numeric"9 > class(x_chr)

10 [1] "character"


rによる計量分析：データ解析と可視化 -...

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