Relaciones y Funciones

Relaciones y Funciones

El concepto de Relación-Función es uno de los más importantes en Matemáticas. Comprenderlo y aplicarlo se verá retribuido muchas veces.

Correspondencia

La noción de correspondencia desempeña un papel fundamental en el concepto de Relación – Función.

En nuestra vida cotidiana frecuentemente hemos tenido experiencia con

correspondencias o RELACIONES.

Ejemplos de Correspondencias o RELACIONES

En un almacén, a cada artículo le corresponde un precio.

A cada nombre del directorio telefónico le corresponde uno o varios números.

A cada número le corresponde una segunda potencia.

A cada estudiante le corresponde un promedio de calificaciones

Definición de Relación y de Función

Relación es la correspondencia de un primer conjunto, llamado Dominio, con un segundo conjunto, llamado Rango, de manera que a cada elemento del Dominio le corresponde uno o más elemento del Recorrido o Rango.

Una Función es una relación a la que se añade la restricción de que a cada valor del Dominio le corresponde uno y sólo un valor del recorrido.

(Todas las funciones son relaciones, pero no todas las relaciones son funciones)

Ejemplos de Correspondencia (Relaciones – Funciones)

Toda ecuación es una Relación, pero no toda ecuación es una Función

Esta afirmación la podemos ilustrar mediante la siguiente animación

¿Por qué se produjo el error?

Haga clic en las ecuaciones que están ubicadas en el recuadro de la derecha, las que Ud. considere que son funciones.

¿Por qué algunas de las ecuaciones son Funciones?

Todas las Relaciones pueden ser graficadas en el Plano Cartesiano

valor absoluto

La función valor absoluto f(x)=½x½, asocia a cada número su valor absoluto, es decir, su valor sin tener en cuenta el signo.

  De acuerdo con la definición, x puede ser

cualquier número real, por lo tanto, el dominio está representado por los números reales.  Las imágenes de x, corresponden a los no negativos, por lo que el rango está determinado por todos reales no negativos.

Función Constante

x

y F(x) = a

a

Se llama función constante a la que no depende de ninguna variable, y la podemos representar como una función matemática

Ejemplos particulares de la función polinomial son, la función lineal (función polinomial de grado uno), la función cuadrática (función polinomial de segundo grado), función cúbica (función polinomial de tercer grado).

Función Polinomial

Función Polinomial (Lineal)

y

F(x) = ax + b

x

b

- b/a

es la expresión algebraica que representa a laslíneas rectas.

Función Polinomial (Cuadrática)

Función Polinomial (Cúbica)

F(x) =ax3+bx2+cx+d

representa el volumen de un cubo cuyo lado mide igual a la función que se está elevando.Por ejemplo. En la función (x+4)^3, cada lado del cubo mediría x+4.Desde el punto de vista algebraico, la función cúbica representa el producto de multiplicar el

elemento por si mismo 2 veces.

son funciones obtenidas al dividir un polinomio por otro polinomio no idénticamente nulo. Para una única variable x una función racional se puede escribir como:

P(x)/Q(x)

donde P y Q son polinomios y x es una variable indeterminada siendo Q un polinomio no nulo. Existe la posibilidad de encontrar valores de x tales que Q(x) sea nulo. Por este motivo las funciones racionales están definidas en todos los números que no anulan el polinomio denominador, es decir, en el cuerpo de coeficientes menos una cantidad finita, que será igual al número de raíces reales del polinomio denominador

Función Polinomial (Racional)

Función Trascendente

Las  funciones que no son algebraicas se llaman funciones trascendentes.

Son funciones trascendentales elementales

Función exponencial:Función exponencial:  f(x)=ax; a > 0, a ¹ 1.

Función logarítmica:Función logarítmica: f(x)=loga(x); a > 0, a ¹ 1. Es inversa de la exponencial.

Funciones trigonométricas:Funciones trigonométricas: También llamadas circulares. f(x)=sen(x); f(x)=cos(x); f(x)=tg(x);

f(x)=cosec(x);f(x)=sec(x) y f(x)=cotg(x)

La fórmula explícita de una función permite calcular la variable dependiente (usualmente "y") cuando se conoce el valor de la variable independiente (usualmente x).

Por ejemplo la fórmula y=x3-x

Función Explicita

Una función y(t) se llama implícita cuando está definida de la forma f(y,t)=0 en lugar de la habitual y= f(t).

En ocasiones, sobre todo al resolver ecuaciones diferenciales, la función estará expresada de esta manera porque no hay forma posible de despejar la y.

Por ejemplo, y+arctg(x+yex)=0 es una función implícita de la cual no es posible despejar la y.

Función Implícita

Intuitivamente una función es continua en un punto cuando a incrementos muy pequeños de la variable independiente, x, le corresponden incrementos muy pequeños de la variable dependiente, y. Dicho de otra forma, no se necesita levantar el lápiz del papel para dibujar la gráfica de la función.

Función Continua

Función Discontinúa

Una discontinuidad es evitable en un punto x = a si existe         y éste es finito.

Una discontinuidad es inevitable o de primera especie si existen los límites laterales en x = a, pero son distintos.

Una discontinuidad es esencial o de segunda especie si no existe alguno de los límites laterales en x = a.

Con lo expuesto ya podemos saber que es una función y una relación, y

diferenciar entre ambas