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Resistência dos Materiais, MA, IST, 2013-2014
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3ª Aula
Conceito de Tensão
Admita-se uma estrutura reticulada articulada (barras sujeitas apenas a esforços normais),
coloca-se questão de saber se as barras correm ou não o risco de rotura (por tracção ou
compressão).
Para tal deve comparar-se a tensão aplicada (tensão normal, , ou simplesmente )
com a tensão resistente, que depende do material (determinada por ensaios, por exemplo).
Essa tensão corresponde a um valor médio (admite-se uma distribuição uniforme na secção).
Vejam-se os exemplos seguintes (secção circular e rectangular).
Distribuição uniforme de tensões normais: secção circular (esqª) e prismática (dirª). BEER, 4ª Edição.
Em rigor a tensão (pontual) é definida pelo seguinte limite:
podendo o seu valor variar ao longo da secção.
Habitualmente adopta-se a mesma convenção de sinais do esforço normal, ou seja, a tensão
(normal) é positiva quando de tracção.
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Distribuição não uniforme de tensões normais. BEER, 4ª Edição.
Pode, pelo processo inverso, relacionar-se o esforço normal com a tensão:
∫
Ou seja, o esforço normal é a resultante das tensões normais na secção.
A tensão constitui assim uma medida alternativa dos esforços, correspondente à força por
unidade de superfície. A unidade de tensão no Sistema Internacional é o Pascal, ou seja, N/m2,
sendo comuns os seguintes múltiplos:
P: Considere-se uma barra tubular (ext=60mm, int=50mm) de aço com uma tensão admissível
de 235 MPa, sujeita a um esforço normal de 150 kN (tracção). Verifique se esta sofre rotura.
Determine o esforço axial máximo a que essa barra pode estar sujeita.
R: Não, o esforço normal máximo é de 203 kN.
Valores típicos de tensão resistente:
Aço A235 – 204 MPa Aço A500- 435 MPa
Betão C12/15 – 8 MPa (c)/0.73 MPa(t) Betão C45/55 – 30 MPa (c) / 1.84 MPa(t)
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De forma igual à estabelecida anteriormente (tensão normal versus esforço normal) pode
introduzir-se o conceito de tensão tangencial média, .
Por vezes esta componente do tensor das tensões1 (desenvolver) é referida por ou .
Também aqui se poderia fazer uma distinção entre o valor da tensão tangencial pontual.
A distribuição de tensões tangenciais na secção é relevante para barras sujeitas a esforços
transversos ou momentos torsores. Também é relevante para a verificação de segurança de
ligações de corte.
Tensões tangenciais (corte simples). BEER, 4ª Edição.
Tensões tangenciais (corte duplo) [].
Conceito de Extensão
Considerando uma barra com uma secção A e comprimento (inicial) L0 constituída por um
determinado material, sujeita a um esforço normal de tracção N, esta barra sofre um
alongamento . Pode observar-se que se, porventura, a barra tivesse o dobro da secção (2A), o
1 O termos genérico desse tensor tem o significado de componente segundo a direcção n na faceta
elementar cuja normal é segundo m
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mesmo comprimento inicial (L0) e estivesse sujeita ao dobro do esforço normal (2N), o
alongamento seria igual.
Introduz-se então o conceito de deformação média, ou extensão média, como sendo a
seguinte grandeza adimensional:
Para um corpo de prova (amostra ou provete) sujeito a um ensaio de tracção o diagrama
é uma característica do material que o constitui, não sendo dependente das dimensões
(comprimento, secção) do corpo de prova.
Também se poderia definir a extensão pontual através do seguinte limite:
ou, inversamente, calcular o alongamento total de uma barra.
∫
Como referido a deformação média é uma grandeza adimensional, não dependente do
sistema de unidades. Por vezes utiliza-se uma unidade convencional chamada mícron () que
corresponde a 10-6 (m/m, mm/mm, pol/pol, etc).
À semelhança do verificado com as tensões, pode também definir-se um tensor de
deformações, em que os termos diagonais indicam a extensão segundo as 3 direcções e os
termos não diagonais indicam a distorção (variação de ângulo) entre os vários pares de eixos
principais.
P: Considere a mesma barra tubular da pergunta anterior com um comprimento de 3m.
Admita que essa barra sofre um alongamento de 6 mm. Determine a extensão média.
R: 0.002 (ou 2000).
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4ª Aula
Diagramas tensão-deformação
Como referido o diagrama tensão-deformação constitui uma característica única do material,
não sendo afectado pelas dimensões do corpo de prova (com algumas reservas).
Estes ensaios são realizados sujeitando o corpo de prova (amostra ou provete) a uma história
incremental de tensões, até se observar a rotura.
Corpo de prova e instalação de ensaio de tracção. BEER, 4ª Edição.
Diagrama tensão-deformação típico de provete de aço macio[].
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Características específicas do aço macio (baixo teor de carbono):
Regime elástico;
Cedência;
Patamar de cedência (escoamento);
Endurecimento (encruamento);
Resistência convencional máxima;
Rotura
Há materiais (não isotrópicos, anisotrópicos) que apresentam características diferentes
dependentemente da direcção de carregamento. Por vezes apresentam duas direcções
ortogonais completamente distintas (ortotrópicos). Dê-se o exemplo da madeira (paralelo ao
fio ou perpendicular ao fio).
Há um conjunto de propriedades que podem decorrer da observação dos diagramas tensão-
deformação, como sejam:
Fragilidade – há materiais com características frágeis, ou seja que sofrem rotura sem
aviso prévio (ex: ferro fundido, vidro e pedra). Geralmente a deformação na rotura não
é muito elevada (1% ou inferior).
Ductilidade – propriedade oposta à anterior. O material sofre grandes deformações
antes de romper e dá avisos. Um material dúctil caracteriza-se por uma deformação na
rotura elevada (10% ou superior).
Elasticidade – certos materiais apresentam um domínio elástico no qual as descargas
permitem recuperar totalmente as deformações (deformação residual nula). As
variações de tensão são proporcionais às variações de deformação.
Plasticidade – característica apresentada por certos materiais em certas gamas de
tensões/deformações, nas quais as tensões permanecem aproximadamente
constantes enquanto as deformações aumentam. Está geralmente associada a
descargas com deformação residual (deformação não recuperada).
Fadiga – ocorrência de rotura após muitos ciclos (tipicamente milhões) para valores de
tensão inferiores àqueles que caracterizam a resistência para um só ciclo
(monotónica).
Lei de Hooke: Módulo de Elasticidade
Em alguns materiais existe uma gama de deformações para a qual as tensões são
proporcionais (regime elástico). O declive do diagrama tensão-deformação é constante e o seu
valor é designado de módulo de elasticidade (ou de Young) do material, sendo representado
por E. Valores típicos do módulo de elasticidade: betão 30 GPa (dependente da resistência à
compressão), aço 200 GPa (mais ou menos invariável).
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No regime elástico
É curioso notar-se que embora os tratamentos térmicos, inclusão de ligas tenham e processo
de fabrico influenciem significativamente as características de resistência e ductilidade dos
aços, o seu módulo de elasticidade permanece praticamente inalterado (200 GPa).
Nota-se também que em alguns materiais (por exemplo o aço) as descargas e recargas se
realizam de forma elástica (lineares, com um declive - idêntico ao declive da fase elástica da
carga).
Ainda no caso dos aços, refere-se que os aços com elevado teor de carbono tendem a não
apresentar uma cedência nítida, razão pela qual se define o conceito (equivalente) de tensão
limite convencional de proporcionalidade a 0,2%.
P: Para uma barra prismática de secção A, comprimento L, apoiada superiormente e livre
inferiormente, constituída pelo material com um módulo de elasticidade de E, determine a
expressão para o seu alongamento quando sujeito a uma força descendente (tracção) de valor
P. Explorando a analogia com uma mola, determine a expressão para a constante de rigidez da
mesma (K).
R:
Nota sobre as unidades: na expressão anterior que permite calcular o alongamento d sugere-
se a seguinte regra:
[
]
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5ª Aula
Voltando ao ensaio de tracção de um provete, para além da deformação longitudinal
(alongamento do provete) existe um conjunto de deformações transversais que conduzem a
um estreitamento da secção (não confundir com a estricção, fenómeno que só surge muito
depois do regime elástico). As deformações transversais, 11 e 22 relacionam-se com a
deformação longitudinal mediante o coeficiente de Poisson (), que é, à semelhança do
módulo de elasticidade E uma característica do material.
As dimensões da secção transversal são afectadas fazendo com que, para um dado valor do
esforço normal N, a área possa ser expressa por:
( ) (
)
no caso de uma barra prismática cujas dimensões iniciais da secção transversal eram b10Xb20.
P: Para uma barra prismática de secção A, comprimento L, apoiada superiormente e livre
inferiormente, constituída pelo material com peso específico determine os seguintes efeitos
do peso próprio: diagrama de esforço normal N(x), distribuição de tensões normais (x),
alongamento (x) (em particular indicar o alongamento da barra, (x=L)).
R: ( )
Considere-se agora uma barra heterogénea (constituída por vários materiais) composta pela
associação em série de N segmentos homogéneos, cada um dos quais com um comprimento
Ln, secção An e módulo de elasticidade En.
O alongamento total (L) pode ser obtido somando o alongamento de todos os seus
segmentos, ou seja:
∑
No caso particular da barra estar sujeita a um esforço normal constante ( ) a
equação anterior toma a seguinte forma:
∑
Em que, por analogia com o estudo de uma barra homogénea, se pode falar da rigidez total da
barra como sendo:
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(∑
)
Exemplo 2.1, BEER 4ª Edição
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6ª Aula
Problema resolvido 2.1, BEER 4ª edição
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P: Considere agora uma pirâmide quadrada com as dimensões de 200X200m2 (base) e altura
de 150m. Admita que a pirâmide é constituída por betão (E=29GPa, =25kN/m3). Determine o
assentamento do vértice superior.
R: vértice=-3.23mm.
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Considere-se agora uma barra heterogénea (constituída por vários materiais) composta pela
associação em paralelo de 2 materiais (material 1 e 2), Exemplo 2.2 Beer 4ª Edição.
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7ª Aula
Da análise do problema anterior, generalizado para a associação em paralelo de (N) materiais
(esforço normal constante e todos os materiais com o mesmo comprimento) extraem-se as
seguintes conclusões:
A determinação da parcela do esforço normal imputado a cada material Pn é um
problema estaticamente indeterminado (hiperestático), ou seja dispõe-se de apenas 1
equação de equilíbrio a N variáveis:
∑
A indeterminação da equação anterior pode ser eliminada considerando (N-1)
equações de compatibilidade do tipo:
ou, equivalentemente (considerando que n=n L)
que, conjugadas com as relações constitutivas (comportamento elástico), do tipo
permitem reescrever as (N-1) equações adicionais anteriores sob a forma
Resumindo, conjugando a equação de equilíbrio com as (N-1) equações adicionais que
resultam da conjugação das equações de compatibilidade e relações constitutivas
obtém-se um conjunto de N equações a N variáveis, cujo resultado final é
(exemplificado para um dos materiais, m):
∑
Ou seja, o esforço normal reparte-se pelos vários materiais na proporção directa da
rigidez axial da (sub) barra constituída por cada um dos materiais, comparativamente
com a rigidez axial da barra composta. De facto pode constatar-se que a rigidez da
barra composta pode ser determinada
∑
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Barras estaticamente indeterminadas. Princípio da sobreposição dos efeitos (elásticos).
Beer, 4ª edição
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Variação de temperatura
Considere-se agora uma barra homogénea de dilatação livre de comprimento L que é sujeita a
uma variação de temperatura T. A observação permite concluir que a barra dilata
linearmente com a temperatura, sofrendo um alongamento térmico :
Em que é mais uma característica do material que constitui a barra e é designado de
coeficiente de dilatação térmica (linear), vindo expresso (no SI) em ºC-1. Apresentam-se de
seguida os valores típicos dos coeficientes de dilatação térmica dos materiais mais comuns:
aço (13X10-6 /ºC), alumínio (23X10-6 /ºC), betão (10X10-6 /ºC), vidro(8X10-6 /ºC) e cobre
(16X10-6 /ºC).
Pode ainda definir-se a extensão (ou deformação térmica) T da seguinte forma:
Dado se tratar de uma barra de dilatação livre não surgem tensões.
Quando uma barra é sujeita a uma variação de temperatura não surgem tensões apenas
quando a barra tem dilatação livre e é constituída por um só material (barra homogénea).
Quando a barra tem a dilatação impedida (ou limitada) e/ou quando a barra é constituída por
uma associação de materiais em paralelo vão surgir tensões.
Considere-se a título de exemplo o que acontece quando uma barra homogénea é sujeita a
uma variação de temperatura (positiva, aquecimento) T.
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8ª Aula
Pelo princípio da sobreposição dos efeitos pode afirmar-se que vai surgir um esforço normal P
de compressão que conduz a um encurtamento igual e oposto ao alongamento que a barra
apresentaria caso tivesse dilatação livre, ou seja:
Ou seja:
Ou, equivalentemente:
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Caso a variação de temperatura seja imposta a uma barra de dilatação livre mas constituída
por uma associação de materiais em paralelo também vão surgir tensões.
P: 1º Problema, Exame 17 Janeiro 2009
R: B=2,2mm; 1=-0,8 MPa, 2=1,6 MPa
Conceito de pré-esforço
O pré-esforço é uma técnica utilizada no betão armado, tendo por objectivo contrariar a fraca
resistência do betão à tracção (protelando a abertura de fendas) ou controlando as
deformações (introduzindo um estado de deformação contrário àquele que resulta das
restantes cargas).
Pode distinguir-se o betão pré-esforçado pré-tensionado (caso em que as armaduras de pré-
esforço são tensionadas previamente e é feita a transferência de cargas quando o betão
endurece, situação comum na pré-fabricação) e o betão pós-tensionado (aderente ou não
aderente), caso em que o pré-esforço é aplicado após o endurecimento do betão e depois é
feita a transferência de cargas para a peça (amarrações de pré-esforço).
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P: Considere a viga de betão pré-esforçado representada na figura. A viga é sujeita a um pré-
esforço inicial de Fp=10 kN. Calcule a máxima força F que pode ser aplicada.
Dados:
Aa=1cm2; Ab=10cm2; Ea=210 GPa; Eb=30 GPa; adm,a=200 MPa; adm,bt=3 MPa; adm,bc=-30 MPa
R: Fmax=22,1 kN