relações tensão deformação - divisÃo de engenharia

RelaçõesTensão Deformação

Instituto Tecnológico de Aeronáutica

Divisão de Engenharia Mecânica

MT-717: Introdução a materiais e processos de fabricação

Dr. Alfredo R. de Faria

Dr. Ronnie Rego

2

Relações Plásticas Tensão Deformação3.

Conceitos de Tensão e Deformação2.

Introdução1.

Agenda

3

Processos de Fabricação: Estrutura do Curso

Plasticidade Fundamentos da Conformação

Tecnologias de Conformação

Processos Não-Convencionais

Comportamento mecânico

Tipos de Falhas Análise de tensão

e deformação Relações plásticas Escoamento

plástico

Classificação Modelos

preditivos Influências: atrito,

temperatura; taxa de deformação e anisotropia.

Ensaios de conformabilidade

Trefilação Laminação Forjamento Extrusão Estampagem Estiramento Repuxamento

Soldagem a Ponto Metalurgia do Pó

F

dx

4

Relações Plásticas Tensão-Deformação3.


Introdução1.

Agenda

5

Tensões principais e suas invariantes

P P

m

m m´

m´

A A´

O estado de tensões em um ponto é único. No entanto, esse estado de tensões pode ser descrito em diferentes sistemas de coordenadas

Exemplo: um vetor em 2D cujas componentes são descritas em dois sistemas de referência diferentes

x

yy

6

O

x

z

y

dAz

zxzy

resultante de tensão

plano de corte

Tensões de cisalhamento no plano z: zx e zy

Tensão normal no plano z: z

zzyzyxzx eeet

ez

ex

ey


Tensões diferentes surgem dependendo do plano de corte

7

xx

xy

xz

yxyz

y

z

zx

zy

y

yzyx

xy

xz

z

zyzx

z

x

y

zzyzx

yzyyx

xzxyx

][

A B

A B

O


Convenção de sinais e notação para tensões em um ponto

8

x

y

yzyx

xy

xz

z

zyzx

z

x

y

dy

dx

dz

dyy

yy

dyyyx

yx

dyyyz

yz

dxxxz

xz

dxxxy

xy

dxx

xx

dzz

zz

dzzzx

zx

dzzzy

zy


Equações de equilíbrio (volume infinitesimal)

9

yxxy

zxxz zyyz

02

)(2

)(2

)(2

)(

2)(

2)(

2)(

2)()()(

dydydzdxx

dydydzdxdxdzdxdxdzdyy

dydxdydzz

dydxdy

dxdxdydxdxdydzz

dydxdzdyy

dxdydzdxx

xxxy

yy

zxzxzx

zyzy

zyyx

yxxy

xy


Equilíbrio de momento em torno do eixo z

Analogamente, equilíbrio de momento em torno dos eixos x e y

10

0

dxdydzbdxdydxdydzz

dydzdydzdyy

dydzdydzdxx

xzxzx

zx

yxyx

yxxx

x

0

xzxyxx bzyx

0

y

yzyxy bzxy

0

zzyzxz byxz


Equilíbrio de força: eixo x

Equilíbrio de força: eixo y

Equilíbrio de força: eixo z

11

y

xz

n

Any

AnxAnz

yzzyxzzxzzz

zyyzxyyxyyy

zxxzyxxyxxxn

nAnnAnnAnnAnnAnnAnnAnnAnnAnA

)()()()()()()()()(

n direção dada pelo vetor normal unitário {n} = {nx ny nz}T

t direção dada pelo vetor tangente unitário {t} = {tx ty tz}T

t

)()()(

yzzyyz

xzzxxz

xyyxxy

zzzyyyxxxt

tntntntntntn

tntntn

}]{[}{ nt Tt }]{[}{ nn T

n


Mudança do sistema de coordenadas

12

z

yx

y

z

x

yz

yx

zx

zy

xy

xz

y

z

x

yz

zxzy

xy

xz

z

y

z

y

]][[][][ ll T }]{}{}{[][ zyx nnnl

Mudança do sistema de coordenadas


13

Obter os extremos de n = {n}T[]{n} sujeito a {n}T{n} = 1.

Definição da função estendida: n* = n ({n}T{n} 1)

}0{}]){[]([

021

021

021

*

*

*

nI

nnnnn

nnnnn

nnnnn

zzzyzyxzxz

n

yzyzyyxyxy

n

xzxzyxyxxx

n

problema de autovalor

A solução do problema de autovalor fornece as tensões principais

1 2 3 e suas respectivas direções {n1}, {n2} e {n3}.No sistema de coordenadas principal não há tensões de cisalhamento.


14

Problema de autovalor

0)2()(

)(0

222

222

23

xyzxzyyzxxzyzxyzyx

xzyzxyzxzyyx

zyx

zyzxz

yzyxy

xzxyx

As raízes da equação polinomial cúbica correspondem às três tensões principais 1, 2 e 3

Uma vez que a equação característica não pode variar, definem-se seus coeficientes como invariantes de tensão:

x + y + z = I1

xy + yz + xz xy2 yz

2 xz2 = I2

xyz + 2xyyzxz xyz2 yxz

2 zxy2 = I3


15

Exemplo: determine as tensões principais do estado de tensões

MPa 28000020024002400


I1 = x + y + z = 200 280 = 80 MPa

I2 = xy + yz + xz xy2 yz

2 xz2 = 200(280) (240)2 = 113600

I3 = xyz + 2xyyzxz xyz2 yxz

2 zxy2 = 16128000

3 + 802 113600 16128000 = 0

1 = 360 MPa, 2 = 160 MPa, 3 = 280 MPa

16

Tensões principais (máximas) de cisalhamento

Trabalhando no sistema de coordenadas principais 123


1

3

2 nta

tb

Há uma direção normal: {n}

Há duas direções tangentes: {ta} e {tb}

A matriz de transformação e sua inversa são

bzbybx

azayax

zyxT

bzazz

byayy

bxaxx

ttttttnnn

llttnttnttn

l ][][,][ 1

As seguintes relações são válidas:

taxtay + tbxtby + nxny = 0 tax2 + tbx

2 = 1 nx2 = ny

2 + nz2

taxtaz + tbxtbz + nxnz = 0 tay2 + tby

2 = 1 ny2 = nx

2 + nz2

taytaz + tbytbz + nynz = 0 taz2 + tbz

2 = 1 nz2 = nx

2 + ny2

17


A resultante do cisalhamento ao quadrado é dada por

2 = a2 + b

2 =

nx21

2tax2 + ny

222tay

2 + nz23

2taz2 +

2nx1taxny2tay + 2nx1taxnz3taz + 2ny2taynz3taz +

nx21

2tbx2 + ny

222tby

2 + nz23

2tbz2 +

2nx1tbxny2tby + 2nx1tbxnz3tbz + 2ny2tbynz3tbz


Aplicando as relações do slide anterior

2 = (1 2)2nx2ny

2 + (1 3)2nx2nz

2 + (2 3)2ny2nz

2

18


As tensões principais de cisalhamento ocorrem nas seguintes combinações:


nx ny nz

0 1/2 1/2 1 = (2 3)/2

1/2 0 1/2 2 = (1 3)/2

1/2 1/2 0 3 = (1 2)/2

Tensão de cisalhamento máxima max = (1 3)/2

19

Tensor desviante e esférico

O tensor de tensões pode ser dividido em dois: tensor desviante e tensor esférico (também denominado hidrostático ou médio)

O tensor desviante (´ij) envolve tensões de cisalhamento e, por isso, resulta em deformação plástica

O tensor esférico (m) produz apenas mudanças elásticas de volume e não resulta em deformação plástica

y

x

xy

m

(x y)/2

xy

m

(y x)/2

20

Tensor desviante e esférico

O tensor desviante possui componentes principais dadas pela equação

(´)3 J´1(´)2 J´2´ J´3 = 0onde

J´1 = ´x + ý + ´z = (x m) + (y m) + (z m) = 0

J´2 = xy2 + xz

2 + yz2 ´xý ´x´z ý´z =

= [(x y)2 + (x z)2 + (y z)2 + 6(xy2 + xz

2 + yz2)]/6

J´3 é o determinante de [´]

32

32

32

][,3

yxzyzxz

yzzxy

xy

xzxyzyx

ijmijijzyx

m

21

Círculo de Mohr

Duas dimensões: estado plano de tensão z = xz = yz = 0y

x

xyxy x

y

T

z

Ty

Tx

n

nn

}100{}{

}0cossin{}{}0sincos{}{

2cos2sin2

)sin(coscossin)(

2sin2cos22

cossin2cossin

2sin2cos22

cossin2sincos

1000cossin0sincos

00000

1000cossin0sincos

22

22

22

xyxy

xyxyyx

xyyxyx

xyyxy

xyyxyx

xyyxx

yxy

xyxT

zzyzx

zyyyx

zxyxx

22

Círculo de Mohr

22

22

22

2cos2sin2

2sin2cos22

xyyx

yxyx

x

xyxy

yx

xyyxyx

x

equação de uma circunferência

Um ângulo de rotação corresponde a um ângulo 2 no círculo de Mohr

O mesmo sentido de rotação deve ser usado

Tensões de cisalhamento que causam rotação no sentido horário ficam acima do eixo horizontal do círculo de Mohr

y

x

1

2

maxxy

xy

O

A

B

DE 2

y

x

xy

23

-60

-40

-20

0

20

40

60

80

100

0 45 90 135 180

Tens

ões,

σx

e τx

y [M

Pa]

Rotação, ϴ [°]

σ'x τ'xy

Círculo de Mohr

45° 45°

24

Círculo de Mohr

Círculo de Mohr em três dimensões

Todos os possíveis estados de tensão estão na área sombreada

1

2

3

3

21

1

23

25

Diferentes processos, diferentes estados de tensão

Círculo de Mohr: Processos de Conformação

1

2

3

4

51 Estiramento

2 Forjamento de matriz aberta

3 Estampagem profunda

4 Laminação

5 Corte

26

y

x

z

P p

XY

Z

trajetória de um ponto material

configuraçãoinicial

configuraçãoatual

t0

t

X, Y, Z coordenadas Lagrangeanasx, y, z coordenadas Eulerianas

),,,(),,,(),,,(

tZYXzztZYXyytZYXxx

A mudança de configuração de um corpo é denominada transformação

Transformações envolvendo mudança de forma e volume são deformações

Deformações principais e invariantes

Configuração de um corpo: transformação

27

X

Y

Z

C

A

B

O

c

a

b

o

dYdX

dZw u

v

dZZuu

dXXuu

dYYuu

dXXvv

dYYvv

dZZvv

dXXww

dYYww

dZZww

(/2 xz)

A(X + dX, Y, Z)

B(X, Y + dY, Z)

C(X, Y, Z + dZ)

uA = u + (u/X)dXvA = v + (v/X)dXwA = w + (w/X)dX

uB = u + (u/Y)dYvB = v + (v/Y)dYwB = w + (w/Y)dY

uC = u + (u/Z)dZvC = v + (v/Z)dZwC = w + (w/Z)dZ


Deformação: problema geométrico Independe de propriedades mecânicas → válido em regime elás co e plás co

28

dXdXoa

OAOAoa

x

XudX

XudX

Xw

Xv

XudXoa

wdXXwwvdX

XvvudX

XuudXoa

1211

)(

2/1222

2222

Zw

Yv

Xu

zyx

,,


Interpretação geométrica das deformações Deformações normais

29

))((2)()()(ˆcos

222

ocoaacocoacoa

222)(,1,1

dZZudXdX

XwdZac

ZwdZoc

XudXoa

Zu

Xw

dXdZdXdZZudXdZXwcoa

2

)/(2)/(2ˆcos

Zv

Yw

Yu

Xv

Zu

Xw

yzxyxz

,,


Interpretação geométrica das deformações Deformações de cisalhamento

30

y

x

z

PpX

),,,(),,,(),,,(

tZYXzztZYXyytZYXxx

Qq

dx

u

u + du

dX

dZdYdX

Zz

Yz

Xz

Zy

Yy

Xy

Zx

Yx

Xx

dzdydx

XFx dd

configuraçãoatualconfiguração

inicial


Configuração de um corpo: transformação

31

XFx dd

gradiente da transformação

XHu ddZdYdX

Zw

Yw

Xw

Zv

Yv

Xv

Zu

Yu

Xu

dwdvdu

d

Xxu

HIF


Gradiente da transformação

32

y

x

z

PpXP

Qq

xX

XFx ΔΔ

)()()()()()( XFFXxxXX TTTT

0)]([)( XFFIX TT IFF T

xp

)()( PPPp XXFuXXXFxx

Translação pura u = xp XP seguida de rotação pura F(X XP)

Gradiente da transformação e movimento de corpo rígido

configuraçãoatual

configuraçãoinicial


33

22][

}{2

}{2)(2

)()(

)]([)()()()()()()()(

)()()(

2

22

22

2

2

HHHHIFF

IFFXIFFX

XIFFXXFFXxx

XX

TTT

TT

TT

TT

TTT

T

nndSd

dSd

dSdSds

dddSdsddddds

dddS

}]{[}{}]{[}{ nnnn TT }]{[}{ nln

TT llll ]][][[][]][[][][


Tensor de deformações de Green: Opção para representação da deformação, seguindo mesmo método aplicado

para transformação do tensor de tensões

34

Relações deformação deslocamento

Sendo:


zyzxz

yzyxy

xzxyx

][

222

222

222

21

21

21

Zw

Zv

Zu

Zw

Yw

Yv

Yu

Yv

Xw

Xv

Xu

Xu

z

y

x

2][ HHHH TT

Zw

Yw

Xw

Zv

Yv

Xv

Zu

Yu

Xu

H

Tensor de Deformações

35

Relações deformação deslocamento


zyzxz

yzyxy

xzxyx

zyzxz

yzyxy

xzxyx

2/2/2/2/2/2/

][

Yw

Xw

Yv

Xv

Yu

Xu

Xv

Yu

Zw

Xw

Zv

Xv

Zu

Xu

Xw

Zu

Zw

Yw

Zv

Yv

Zu

Yu

Yw

Zv

xyxy

xzxz

yzyz

2

2

2

deformação de deformação decisalhamento de cisalhamentoengenharia matemática

xy xy

xy

36

Yu

Xv

Zu

Xw

Zv

Yw

Zw

Yv

Xu

xyxzyz

zyx

Pequenas deformações

Hipótese: |ui/Xj| << 1

Embora |ui/Xj| << 1 leve a pequenas deformações, nada pode ser afirmado a respeito dos deslocamentos. Existem casos práticos relevantes onde as deformações são pequenas, mas os deslocamentos são grandes.


37

x, X

y, Y

LL

uP(X, Y, Z)

p(x, y, z)

sincossincos XYyYXx

00001cossin0sin1cos

1000cossin0sincos

1000cossin0sincos

HF

ZYX

zyx

[] = [0]. Porém, o tensor de pequenas deformações é

00001cos0001cos

Exemplo de rotação pura


38


Deformações se transformam segundo a mesma regra das tensões. Logo, é possível também obter deformações principais assim como foi feito com tensões.

0)2()(

)(0

222

222

23

xyzxzyyzxxzyzxyzyx

xzyzxyzxzyyx

zyx

zyzxz

yzyxy

xzxyx

As raízes da equação polinomial cúbica correspondem às três deformações principais 1, 2 e 3

Uma vez que a equação característica não pode variar, definem-se seus coeficientes como invariantes de deformação:

I1 = x + y + z

I2 = xy + yz + xz (xy2 + yz

2 + xz2)/4

I3 = xyz + (xyyzxz xyz2 yxz

2 zxy2)/4

39


As raízes da equação cúbica 3 I12 + I2 I3 = 0 correspondem às deformações principais. As direções principais de deformação {nxi nyi nzi}T são obtidas pela solução do sistema indeterminado

000

zi

yi

xi

izyzxz

yziyxy

xzxyix

nnn

As deformações de cisalhamento principais são dadas por

1 = 2 3 2 = 1 3 3 = 1 2

onde a deformação de cisalhamento máxima é dada por 2

40


Em geral as deformações em um sólido envolvem uma combinação de mudança de volume e mudança de forma

A deformação volumétrica é a mudança de volume por unidade de volume

1)1)(1)(1()1)(1)(1(

zyxzyx

dxdydzdxdydzdxdydz

Para pequenas deformações

equivalente ao primeiro invariante I1 do tensor de deformações

Define-se m em como deformação média (ou esférica)

zyx

33

zyxm

41


32

32

32

][

yxzyzxz

yzzxy

xy

xzxyzyx

mzzyzx

yzmyyx

xzxymx

ijmijij

Mudança de forma: tensor de deformações desviante [´]

42

Definição: variação da deformação ao longo do tempo do processo

Taxa de deformação

Faixa de taxa de deformação [s-1]

Tipo de ensaio

10-8 a 10-5 Ensaio de fluência com carregamento ou tensão constante

10-5 a 10-1 Ensaios de tração "estáticos"(equipamento acionado hidraulicamente ou por fuso)

10-1 a 102 Ensaios dinâmicos de tração ou compressão

102 a 104 Ensaios de alta velocidade, com barras de impacto (considerando efeito de propagação de onda)

104 a 108 Impacto de hipervelocidade, usando pistolas a gas ou projéteis movidos por explosão (ondas de choque)

Lv

dtdu

LdtLud

dtLLd

dtd

1)]/1[ln()]/[ln( 00

43

Influência no escoamento, particularmente a temperaturas elevadas Relação com tensão: temperatura e deformação constantes:

– Onde C e m são constantes

Taxa de deformação

1

2

T

mC,

)(

)/ln(/)/( 12 m

44

Relações Plásticas Tensão Deformação3.


Introdução1.

Agenda

45

Relações Plásticas de Tensão e Deformação

Regime Elástico: Relação entre tensões e deformações Lei de Hooke ( = E)

independentemente de como esse estado de tensão foi atingido

Regime Plástico: Deformações dependem do histórico das tensões

Evolução da deformação demanda abordagem incremental

determinar os incrementos de deformação plástica ao longo do carregamento

obter deformação total por meio de integração ou soma dos incrementos

46

Equações de Levy-Mises Deformações elásticas são desprezíveis (sólido idealmente plástico)

No escoamento uniaxial1 0, 2 = 3 = 0, m = 1/3 e as tensões desviantes são 1´ = 1 m = 21/3e 2´ = 3´ = 1/3

Conservação de volume: d1 = 2d2 = 2d3 → d1/d2 = 1´/2´ Generalizando:

Incrementos de deformação plástica são proporcionais às tensões desviantes

– Geometricamente o vetor de tensões desviantes e o vetor de deformações plásticas incrementais são paralelos.

Relações Plásticas de Tensão e Deformação: Equações de Levy-Mises

dddd

3

3

2

2

1

1

321 22

47

Equações de Levy-Mises

As equações de Levy-Mises podem ser escritas como

d1 = d1´ = d(21 2 3)/3

d2 = d2´ = d(22 1 3)/3

d3 = d3´ = d(23 1 2)/3

Da definição do conceito de deformação efetiva d = 2d/3

Isolando o termo d, a substituição nas equações de Levy-Mises produz

)(

21,)(

21,)(

21

213331223211

dddddd

48

Semelhanças com a Lei de Hooke:

I. No lugar de 1/E está a razão de proporcionalidade d/ . A razão de proporcionalidade pode ser obtida da curva de tensão deformação efetiva

II. No lugar de está 1/2


)(

21,)(

21,)(

21

213331223211

dddddd

)]([1zyxx E

49


Exemplo: cilindro de parede fina (raio/espessura = 20) sob pressão de 7 MPa. Encontrar a deformação plástica circunferencial. A curva de tensão deformação plástica é dada por = 170 0.25.

Tensão circunferencial: = 1 = pr/t

Tensão longitudinal: l = 2 = pr/2t = 1/2

Tensão radial: r = 3 = 0

Volume constante: d1 + d2 + d3 = 0, conclui-se que d2 = 0

Do conceito de tensão efetiva ou equivalente:

43)(

21,

43)(

21 1

21331

3211

dddddd

12/12

312

322

21 23])()()[(

22

50

Equações de Levy-Mises

Tensão circunferencial: 1 = pr/t = 7(20) = 140 MPa

Tensão efetiva: = 3(140)/2 = 121 MPa

Deformação efetiva: = (121/170)1/0.25 = 0.257

Deformação efetiva incremental:

Deformação circunferencial:

12/12

132

322

21 32])()()[(

32 dddddddd

222.0)257.0(23

23

23

011

ddd

51

As equações de Levy-Mises se aplicam somente a casos onde as deformações elásticas são desprezíveis

No caso de problemas elasto-plásticos é necessário considerar tanto as deformações plásticas como as elásticas: Equações de Prandtl Reuss

A deformação total é então dividida em duas parcelas:

dij = deijE + dij

P

Pela lei de Hooke, o incremento nos deformações elásticas é

O incremento nas deformações plásticas é

Relações Plásticas de Tensão e Deformação: Equações Prandtl-Reuss

ijkk

ijijkkijEij

dE

dE

dE

dE

de 3

2111

ijijPij

ddd

23

52

Trabalho de deformação plástica

No regime plástico o trabalho das tensões é dado por

dWP = ijdijP = (ij´ + mij)dij

P = ij´dijP

A última igualdade decorre de d1P + d2

P + d3P = 0

Pelas relações de Levy-Mises dijP = ij´d. Logo,

dddddW ijijPijij

P 2

32

relações tensão deformação - divisÃo de engenharia

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