review of chapter 3 - 已學過的 rules( 回顧 )-

Review of Chapter 3 - 已學過的 rules( 回顧 )-

朝陽科技大學資訊管理系李麗華教授

2

3.2 (p.115)

1. Derivative of a constant in zero (p.115 上 )

2. Power Rule (p.115 下 )

3.

0dc

dx

1( )n ndx nx

dx n: real

[ ( )] ( )d dc f x c f x

dx dx (p.116 中 )

3

3.2 (p.115)

4. Sam & Difference Rules (p.117 下 )

即

即

[ ( ) ( )] ( ) ( )d d df x g x f x g x

dx dx dx

'( ) '( )f x g x

[ ( ) ( )] ( ) ( )d d df x g x f x g x

dx dx dx

'( ) '( )f x g x

4

3.2 (p.115)

5. Product Rule (p.140 上 )

6. Quotient Rule (p.142 中 )

7. Chain Rule (p.140 下 )

( ) ' 'du v u v v u

dx

2

' '( )

d u u v uv

dx v v

dy dy du

dx du dx

5

3.2 (p.115)

8. General Power Rule

1n nd duu n u

dx dx

or 1'( ) [ ( )] '( )nf x n u x u x

6

3.5 The Product ( 積 ) & Quotient Rule ( 商 )

1. 由於函數與函數間的、、、和冪次等諸多變化，茲將為分的法則分別介紹。

2. 已在前面學了和、差法則，即

然而積與商法則都不是可以分開帶入計算的。

/

[ ( ) ( )]df x g x

dx

( ) ( )d df x g x

dx dx

EX:2( )f x x ( )g x x , 則 [ ( ) ( )]' '( ) '( )f x g x f x g x

3 2( ) ' 3x x 2 1 2x x

7


3. Product Rule

Let ( )u u x , ( )v v x then ( ) ' 'du v u v u v

dx

即 ( ) [ ( )] [ ( )] ( )d d

f x g x f x g xdx dx

,

( 或 ( ) ' 'df g f g f g

dx )

8


3. Product Rule

proof：已知0

( ) ( ) ( ) ( )[ ( ) ( )] lim

x

d u x x v x x u x v xu x v x

dx x

加入一個[ ( ) ( ) ( ) ( )]u x v x x u X v x x

加入項0

( ( ) ( ) ( ) ( )) ( ( ) ( ) ( ) ( ))limx

u x x v x x u x v x x u x v x x u x v x

x

拆兩項0 0

( ( ) ( ) ( ) ( )) ( ( ) ( ) ( ) ( ))lim limx x


x x

提出共同項0 0

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )lim limx x


x x

拆0 0 0 0

( ) ( ) ( ) ( )[ lim ] lim ( ) lim ( ) [ lim ]x x x x

u x x u x v x x v xv x x u x

x x

'( ) ( ) ( ) '( )u x v x u x v x 得証

9

3.5 The Product & Quotient Rule 範例

EX ： 2( ) (3 5)( 7 )f x x x x '( )f x, 求

sol ：2 2'( ) (3 5) ( 7 ) ' (3 5) '( 7 )f x x x x x x x

2(3 5) (2 7) (3)( 7 )x x x x 2 26 21 35 10 3 21x x x x x

9 2 32 35x x

EX ：

sol ：

1( ) (2 1)(1 )f x x

x '( )f x, 求

1 1'( ) (2 1) '(1 ) (2 1)(1 ) 'f x x x

x x

212(1 ) (2 1) ( )x x

x

2 2

2 2 2

2 2 1 2 2 2 1 2 12

x x x x x

x x x x

10

上台練習

EX1 ：

EX2 ：

3 2( ) ( 1)( 3)f x x x

3 2( ) (1 )(1 )f x x x

EX3 ：2( 5)(1 2 )y x x

EX4 ：1

(4 1)(1 )y xx

11


4. Quotient Rule

2

' '( )

d u u v uv

dx v v

EX ：

sol ：

5 1( )

1 2

xf x

x

, find the derivative of ( )f x

2

(5 1) '(1 2 ) (5 1)(1 2 ) ''( )

(1 2 )

x x x xf x

x

2 2

5 10 10 2 7

(1 2 ) (1 2 )

x x

x x

EX ：

sol ：

1( )

4 3

xf x

x

2 2 2

( 1) '(4 3) ( 1)(4 3) 4 3 4 4 7'( )

(4 3) (4 3) (4 3)

x x x x x xf x

x x x

, find the derivative of ( )f x

12

上台練習

EX1 ：

EX2 ：

EX3 ：

EX4 ：

24( )

1 5

t ts t

t

4 2

( )3

tf t

t

12

4 1( )

xf x

x

2

3 1( )

2

xf x

x x

13

3.6 The Chain Rule

• 前面已學 power rule ，即，但這個法則並不能直接套在這樣的式子，即

，若將視為另一個函數，即，故，那麼微分應該是，即 chain rule 。

• Chain Rule ：若 y is func. of u and u is func. of x

1n ndx n x

dx

2 3( 1)x 2 3 2 2( 1) 3( 1)

dx x

dx 2 3( 1)x

2 1u x 3( )f x udy dy du

dx du dx

dy dy du

dx du dx

14

3.6 The Chain Rule 範例

EX ：

sol ：

若 2 8( 1)y x

let 2 1u x 8y u

7 2 7 28 ( 1) 8 2 16 ( 1)dy dy du

u x u x x xdx du dx

EX ：

sol ：

2 4y x 求dy

dx

let 2 4u x 12y u

1 12 22

2

1(2 ) ( 4)

2 4

dy dy du xu x x x

dx du dx x

15

3.6 The Chain Rule

• 因此若前面的 power rule 中的 x是另一個函數的話，則可修改如下：– General Power Rule

1n nd duu nu

dx dx 1 'ndy du

nu udu dx

u is a differentiable function of x and n is a real number

16

上台練習

EX1 ：

EX2 ：

EX3 ：

EX4 ：

2 3

1( )

( 5)f x

x

4 3( ) (1 )f x x

5( ) (3 )f x x

1( )

6 5f x

x

, {

2 5u x

let

∴

13( )f x u

, {41u x

3( )f x u

, {

, {

3u x

6 5u x

5( )f x u

12( )f x u

, 求

, 求

, 求

, 求

'( )f x

'( )f x

'( )f x

'( )f x

17

综合練習

EX1 ：

sol ：

2 2 2 5( ) (4 1) ( 3)f x x x

let 2 2(4 1)u x , 2 5( 3)v x 2 2 2 5 2 2 2 5'( ) (4 1) [( 3) ]' [(4 1) ]' ( 3)f x x x x x 2 2 2 4 2 2 5(4 1) [10 ( 3) ] [2(4 1)8 ] ( 3)x x x x x x

2 2 2 4 2 2 510 (4 1) ( 3) 16 (4 1) ( 3)x x x x x x

18

综合練習

EX2 ：

sol ：

4 3( ) (2 3) ( 7)f t t t , 求 '( )f t

4 3 4 3'( ) (2 3) [( 7) ]' [(2 3) ]'( 7)f t t t t t 4 2 3 3(2 3) 3( 7) 1 [4(2 3) 2] ( 7)t t t t

4 2 3 33(2 3) ( 7) 8(2 3) ( 7)t t t t

EX3 ：

sol ：

同理利用 Quotient Rule 應用 ,

5(2 1)( )

3 1

xf x

x

, 求 '( )f x

5 5

2

[(2 1) ]'(3 1) (2 1) (3)'( )

(3 1)

x x xf x

x

4 5

2

[5(2 1) 2](3 1) 3(2 1)

(3 1)

x x x

x

5

2

10(2 1)(3 1) 3(2 1)

(3 1)

x x x

x

19

上台練習

EX1 ：

EX2 ：

EX3 ：

3( 4)

1

xy

x

3( 3)(2 1)y x x

32(2 5)(2 1)y x x

20

3.7 High-Order Derivatives ( 高階導函數 )

• 前面所學均為一次微分，即，而高階即指多階微分之意，例：

'( )f x

''( )f x '''( )f x, …

寫法： 'y 'f dy

dxor xD y

''y ''f 2

2

d y

dxor 2

xD y

'''y '''f 3

3

d y

dxor 3

xD y

( ＊ ) 計算式即逐次對前一個微分結果再做微分即可得高一階的微分

21


EX ： 5y x

則dy

dxor 'y or 4'( ) 10f x x

3''( ) 40f x x2'''( ) 120f x x

(4) ( ) 240f x x

EX ： 3 2( ) 7f x x x x , 求 (3)f , (4)f

2'( ) 2 7 1f x x x

''( ) 4 7f x x (3) ( ) 4f x ,

(4) ( ) 0f x

22


• 二階微分即，我們通常稱為一階函數的變化率，日常生活中常見的例子即”加速度”(Acceleration) 。

''( )f x

23


EX ：若一球往上丟之距離公式為，則請求出這個球在216 80S t t

3t 的速度及加速度。

sol ： ' 32 80S t

'' 32S

∴ 時的速度為3t '(3) 32(3) 80 96 80 16S

3t 的加速度為 32

24


EX ：若一公司生產物品的成本為，請求出當2( ) 800 50 0.04C x x x

35x 的邊際成本 (marginal cost) 的 rate of change 。

sol ： marginal cost 即求，而求 marginal cost 的 rate of change'( ) 0.08 50C x x

即 ( 即遞減的固定變化量 ) 。''( ) 0.08C x

25

3.8 Implicit Differentiation ( 隱微分 )

1. 若遇這類式子，因為無法寫出所以無法直接套用所學的微分方法。對這類函數應採 Implicit Differentiation 。

2. 已知若，。若像上面的式子，我們將或均視為這樣的替代變數 ( 事實上本來就是變數項的替代函數 ) ，則微分方法其實是一樣的。

3 2 3y x xy y

ny u 1nd duy n u

dx dx

3y y nu y

x

26


EX ： 2 2 3y xy x

sol ：各別做

2 2[ ]' [3]'y xy x

2 2d dyy y

dx dx

[ ( )]d d d dyx y x y x y x y

dx dx dx dx

2 2dx x

dx

∴ 2 2[ ] 3dy xy x

dx

2 2 3dy dy dy x y xdx dx dx

2 2dy dyy x x ydx dx

(2 ) 2dy

y x x ydx

2

2

dy x y

dx y x

27


EX ：324 2 2xy y y , 求微分

dy

dx

sol ： 4 4 4 3 4( ) 4d d d dyx y x y y x xy y

dx dx dx dx

d dyy

dx dx

3 12 2(2 ) 3

d dyy y

dx dx

1234 3 0

dy dy dyxy ydx dx dx

123[4 3 ] 0dy

xy ydx

123

1

4 3

dy

dx xy y

28


EX ：求的斜率 [ 或切線於 (1,3)]

sol ：

2 23 12x y

2 2(3 ) 12d d d

x ydx dx dx

6 2 0dy

x ydx

2 6dyy xdx

3dy x

dx y

∴截點 (1,3) 的斜率為：3

13

dy

dx

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