rezolvarea cu ajutorul ecuatiilor

30
REZOLVAREA PROBLEMELOR CU AJUTORUL ECUAŢIILOR OBIECTIVELE ACESTUI CAPITOL Prin rezolvarea problemelor cu ajutorul ecuaţiilor, cunoştinţele de algebră ale elevilor se încheagă, în sensul că aici se aplică aproape tot ce au învăţat ei la algebră: calcul algebric, rezolvarea ecuaţiilor şi a sistemelor de ecuaţii şi, mai ales, ei învaţă să aplice aceste cunoştinţe la situaţii concrete cât mai variate. Trebuie, totuşi, subliniat că, dacă este adevărat că aceste probleme au un conţinut concret, cele mai multe dintre ele nu sunt cu adevărat practice. Când parcurgi zecile de probleme care se găsesc în manuale şi în culegeri, vei găsi cu greu o problemă care să fi izvorât efectiv din activitatea practică din zilele noastre. Cele mai multe dintre ele datează din Evul Mediu sau sunt şi mai vechi. În lumea şcolară, temele vechi au fost reluate şi amplificate, uneori li s-a schimbat haina, aşa că astăzi dispunem de un stoc imens de probleme, dintre care unele sunt foarte complicate. Trebuie să ne ferim de exagerări. Să nu transformăm aceste probleme într-un scop în sine. Ele sunt un exerciţiu util al spiritului, dar numai atât. Pentru studiile de mai târziu, aceste probleme nu sunt absolut necesare. În aplicaţii, ori de câte ori trebuie scrisă ecuaţia care descrie o anumită situaţie, se dau toate explicaţiile. De exemplu, la fizică apare, în legătură cu calorimetrul, o ecuaţie destul de lungă care exprimă că cantitatea de căldură pe care o cedează un corp este egală cu cantitatea de căldură pe care o primeşte un alt corp. Această problemă, pusă într-o culegere de probleme de algebră, ar fi considerată ca o problemă uşoară. Totuşi, în cărţile de fizică se explică amănunţit cum se ajunge la ea. Din aceste motive nu se poate formula precis care sunt obiectivele acestui capitol. Se poate spune doar atât: elevii să fie în stare să rezolve cu ajutorul ecuaţiilor probleme de greutate mijlocie; nu se poate spune precis ce este o problemă de greutate mijlocie, dar se poate face recomandarea ca profesorul să păstreze măsura. CE ESTE O PROBLEMĂ DE ALGEBRĂ 1. Ce este o problemă de algebră? 2. Problemele inverse 3. În ce constă dificultatea de a rezolva unele probleme pe cale aritmetică? 4. Caracterul relativ al acestei clasificări În lumea şcolară se face distincţie între probleme de aritmetică, ce se pot rezolva pe baza cunoştinţelor care se capătă la aritmetică şi probleme de algebră, care se rezolvă cu ajutorul ecuaţiilor, sau între soluţia aritmetică şi soluţia algebrică a unei probleme. În ultimă analiză, orice problemă care se poate rezolva cu ajutorul unei ecuaţii de gradul I sau a unui sistem de două ecuaţii de gradul I cu două necunoscute se poate rezolva şi pe

Upload: lazymarius

Post on 27-Oct-2015

194 views

Category:

Documents


4 download

DESCRIPTION

ecuatii

TRANSCRIPT

Page 1: Rezolvarea Cu Ajutorul Ecuatiilor

REZOLVAREA PROBLEMELOR CU AJUTORUL ECUAŢIILOR

OBIECTIVELE ACESTUI CAPITOL

Prin rezolvarea problemelor cu ajutorul ecuaţiilor, cunoştinţele de algebră ale elevilor se încheagă, în sensul că aici se aplică aproape tot ce au învăţat ei la algebră: calcul algebric, rezolvarea ecuaţiilor şi a sistemelor de ecuaţii şi, mai ales, ei învaţă să aplice aceste cunoştinţe la situaţii concrete cât mai variate. Trebuie, totuşi, subliniat că, dacă este adevărat că aceste probleme au un conţinut concret, cele mai multe dintre ele nu sunt cu adevărat practice. Când parcurgi zecile de probleme care se găsesc în manuale şi în culegeri, vei găsi cu greu o problemă care să fi izvorât efectiv din activitatea practică din zilele noastre. Cele mai multe dintre ele datează din Evul Mediu sau sunt şi mai vechi. În lumea şcolară, temele vechi au fost reluate şi amplificate, uneori li s-a schimbat haina, aşa că astăzi dispunem de un stoc imens de probleme, dintre care unele sunt foarte complicate. Trebuie să ne ferim de exagerări. Să nu transformăm aceste probleme într-un scop în sine. Ele sunt un exerciţiu util al spiritului, dar numai atât. Pentru studiile de mai târziu, aceste probleme nu sunt absolut necesare. În aplicaţii, ori de câte ori trebuie scrisă ecuaţia care descrie o anumită situaţie, se dau toate explicaţiile. De exemplu, la fizică apare, în legătură cu calorimetrul, o ecuaţie destul de lungă care exprimă că cantitatea de căldură pe care o cedează un corp este egală cu cantitatea de căldură pe care o primeşte un alt corp. Această problemă, pusă într-o culegere de probleme de algebră, ar fi considerată ca o problemă uşoară. Totuşi, în cărţile de fizică se explică amănunţit cum se ajunge la ea. Din aceste motive nu se poate formula precis care sunt obiectivele acestui capitol. Se poate spune doar atât: elevii să fie în stare să rezolve cu ajutorul ecuaţiilor probleme de greutate mijlocie; nu se poate spune precis ce este o problemă de greutate mijlocie, dar se poate face recomandarea ca profesorul să păstreze măsura.

CE ESTE O PROBLEMĂ DE ALGEBRĂ

1. Ce este o problemă de algebră? 2. Problemele inverse 3. În ce constă dificultatea de a rezolva unele probleme pe cale aritmetică?

4. Caracterul relativ al acestei clasificări

În lumea şcolară se face distincţie între probleme de aritmetică, ce se pot rezolva pe baza cunoştinţelor care se capătă la aritmetică şi probleme de algebră, care se rezolvă cu ajutorul ecuaţiilor, sau între soluţia aritmetică şi soluţia algebrică a unei probleme. În ultimă analiză, orice problemă care se poate rezolva cu ajutorul unei ecuaţii de gradul I sau a unui sistem de două ecuaţii de gradul I cu două necunoscute se poate rezolva şi pe

Page 2: Rezolvarea Cu Ajutorul Ecuatiilor

cale aritmetică. Acest lucru este uneori foarte anevoios, dar este totdeauna posibil. Care este atunci deosebirea dintre problemele de aritmetică propriu-zisă şi problemele de algebră? De ce este uneori foarte greu să rezolvi pe acestea din urmă pe cale aritmetică?

1. Ce este o problemă de algebră? Mijlocul cel mai bun de a clasifica problemele la care ne referim este de a examina ce fel de relaţii între date şi necunoscute intervin în ele. Acest lucru se vede cel mai bine pe ecuaţiile respective. Orice problemă de aritmetică poate fi pusă în ecuaţie. Cazurile cele mai banale sunt, de exemplu, probleme ca: O ladă are a kg, o altă ladă are b kg; cât au cele două lăzi împreună? sau: O ladă conţine a kg; cât conţin b lăzi? cărora le corespund ecuaţiile: x = a + b şi x = ab. Aceste cazuri sunt banale fiindcă ecuaţia apare gata rezolvată. Lucrurile se schimbă îndată ce ecuaţia conţine o operaţie în care unul din componenţi este necunoscut, ca în problemele inverse celor de mai sus: Două lăzi au împreună a kg, iar una din ele are b kg; cât are cealaltă? respectiv: O ladă conţine a kg, câte lăzi conţin b kg? De data aceasta, ecuaţiile sînt respectiv: a + x = b şi ax = b, şi trebuie rezolvate în raport cu x. Totuşi, aceste probleme sunt privite ca probleme de aritmetică, nu de algebră. Aceasta se datoreşte faptului că în şcoală lucrurile se prezintă altfel. Ecuaţiile a + x = b şi ax = b nu sunt prezentate ca ecuaţii. Cu ajutorul lor se definesc două operaţii noi: în loc de: a rezolva ecuaţia a + x = b, se spune: a scădea a din b; această operaţie se notează „–” şi i se dă o semnificaţie concretă (a scoate b obiecte dintr-o colecţie de a obiecte, a micşora a cu b ş.a.m.d.). Tot aşa, în loc de a rezolva ecuaţia ax = b, se spune: a împărţi b prin a; această operaţie se notează „:” şi are o semnificaţie concreta (de câte ori se cuprinde a în b, câte părţi de măsură a se pot face dintr-un obiect de măsură b ş.a.m.d.).

Datorită operaţiilor inverse, se ocoleşte noţiunea de ecuaţie şi cu ajutorul celor patru operaţii aritmetice se pot rezolva un număr mare de probleme puse de practică. Problemele complexe se descompun în probleme simple, care duc la forma x = a + b, x = a - b, x = ab, x = a:b, unde a şi b sunt numere date sau care se află în prealabil tot prin probleme de acest tip. În cadrul aritmeticii se rezolvă şi probleme a căror ecuaţie este mai complicată. Cele mai importante sunt cazurile când ecuaţia are forma: x:a = b:c sau a:x = b:c. Aceste probleme sunt obiectul unui capitol special – „Regula de trei”. La

capitolul „Procente” apare nevoia de a rezolva ecuaţia: 100

NpP = în raport cu N sau în raport

cu p (aflarea întregului când se cunoaşte un număr de procente din el, aflarea raportului procentual a două numere); la probleme de amestec şi aliaj apare nevoia de a rezolva ecuaţia bft := (t - titlul, f - greutatea metalului preţios, b - greutatea (brută) a întregului aliaj). Aceste probleme se rezolvă prin regula de trei simplă sau pe baza „proprietăţilor operaţiilor”. Comun acestor ecuaţii este faptul că necunoscuta figurează o singură dată.

Să considerăm în schimb problema: Ce număr trebuie să adăugăm la ambii termeni ai

fracţiei 18

11 ca să obţinem o fracţie egală

3

2? Este drept că problema se poate rezolva pe

2

Page 3: Rezolvarea Cu Ajutorul Ecuatiilor

cale aritmetică (aflarea a doi termeni când se cunoaşte diferenţa 18 – 11 = 7 şi raportul 2:3), dar în mod obişnuit această problemă este privită ca problemă de algebră. Ecuaţia ei este:

3

2

18

11 =++

x

x.

Deosebirea esenţială dintre această ecuaţie şi cele precedente constă în faptul că necunoscuta figurează aici de două ori. În general, se poate spune că: dacă în ecuaţia unei probleme necunoscuta figurează cel puţin de două ori, avem de-a face cu o problemă de algebră. Acest fapt a fost verificat pe un număr mare de probleme din diferite manuale de algebră. Aici avem în vedere problemele cu o singură necunoscută. Problemele cu două sau mai multe necunoscute sunt, în general, probleme de algebră - în afară de cazul când problema se reduce uşor la o problemă cu o singură necunoscută, valorile celorlalte necunoscute fiind uşor de aflat îndată ce s-a aflat valoarea uneia din ele. Nu avem în vedere aşa-numitele probleme tipice, nici problemele care se rezolvă prin metode speciale (metoda ipotezelor, metoda retrogradă etc).

2. Problemele inverse. Deosebirea dintre problemele de aritmetică şi problemele de algebră cu o singură necunoscută se poate pune în evidenţă şi cu ajutorul noţiunii de problemă inversă. Am arătat mai sus că ecuaţiile cele mai simple apar la definirea operaţiilor inverse. Această idee se poate generaliza. Fiind dată o problemă în care intervin n numere cunoscute, a1, a2, ..., an şi un număr necunoscut x, o problemă inversă faţă de cea dată este aceeaşi problemă, dar în care x şi numerele a1, a2,..., ak-1, ak+1, ..., an sunt date, iar ak este necunoscut. O problemă admite atâtea probleme inverse câte numere cunoscute intervin în enunţul ei.

La aritmetică, problema inversă se foloseşte deseori pentru a face proba. De cele mai multe ori, o problemă de algebră este inversa unei probleme de aritmetică (v. şi I, § 4; 3, unde acest fapt a apărut într-o ordine de idei apropiată). Vom verifica această afirmaţie pe un exemplu. Considerăm situaţia următoare: Şoseaua care uneşte două localităţi A şi B urcă tot timpul. Un biciclist merge la deal cu o viteză v kmloră, iar când merge la vale viteza sa este cu v’ kmloră mai mare. El face drumul de la A la B în t ore, iar de la B la A în t’ ore.

Când merge la deal, biciclistul are viteza v şi parcurge drumul AB în t ore, deci AB = vt; când merge la vale, el are viteza v + v’ şi parcurge distanţa AB în t’ ore, deci AB = (v + v’)t’. Scriind că cele două expresii ale distanţei AB sunt egale, obţinem relaţia:

( ) .'' tvvvt += Aici intră patru numere v, v’, t, t’, deci se pot compune patru probleme, după cum se cere unul sau altul dintre aceste numere, şi anume:

a) Se dă: v = 9, v' = 6, t = 5; se cere t. Aceasta corespunde unei probleme uşoare de aritmetică, şi anume: Biciclistul merge la deal cu 9 km/oră şi parcurge un drum AB în 5

3

Page 4: Rezolvarea Cu Ajutorul Ecuatiilor

ore. Viteza cu care merge la vale este cu 6 km/oră mai mare. În cât timp va parcurge

biciclistul drumul de la B la A”? Se obţine uşor pe cale aritmetică: .369

59' oret =+⋅=

Dacă privim această problemă ca directă, celelalte probleme sunt:b) Se dă v = 9, v’ = 6, t’ = 3 şi se cere t.c) Se dă v = 9, t = 5, t’ = 3 şi se cere v’.d) Se dă v’ = 6, t = 5, t’ = 3; se cere v. Textul corespunzător se compune uşor.Problemele b) şi c) sunt probleme uşoare de aritmetică. Problema d) însă este o

problemă de algebră. Ecuaţia ei este: ( ).635 += xx

Aşadar, din cele patru probleme posibile, trei sunt de aritmetică şi una este de algebră. Acest lucru se putea vedea direct pe ecuaţia (1). Se constată că t’, t şi v’ figurează câte o singură dată, iar v figurează de două ori. Mai observăm că, dacă pornim de la problema d), toate problemele inverse sunt uşoare. Acest fapt va fi folosit ca mijloc de a-i învăţa pe elevi să pună probleme în ecuaţie (v. § 3; 2).

Independent de scopul urmărit aici, acest procedeu poate fi folosit pentru a compune probleme de algebră.

3. În ce constă dificultatea de a rezolva unele probleme pe cale aritmetică? În mod obişnuit, pentru a rezolva o problemă de aritmetică, se procedează astfel: problema propusă se descompune în probleme simple, care se rezolvă printr-o singură operaţie, astfel încât fiecare din ele să se poată rezolva pe baza datelor din problemă sau folosind rezultatele problemelor simple rezolvate în prealabil, iar rezultatul ultimei probleme simple să constituie totodată răspunsul la problema propusă. Să luăm, de exemplu, problema următoare care nu este dintre cele mai uşoare.

Într-un camion s-au încărcat 2 200 kg de cereale, şi anume: 11 saci de grâu de cîte 80 kg sacul, 7 saci de orz şi 12 saci de porumb; 3 saci de orz cântăresc cu 20 kg mai mult decît 2 saci de grâu. Cât cântăreşte 1 sac de porumb?

Această problemă se descompune în următoarele probleme simple care îndeplinesc condiţiile de mai sus:I. Cât cântăresc cei 11 saci de grâu? kg8801180 =⋅II. Cât cântăresc 2 saci de grâu? kg160280 =⋅III. Cât cântăresc 3 saci de orz? 160 + 20 = 180 kgIV. Cât cântăreşte 1 sac de orz? 180 : 3 = 60 kgV.Cât cântăresc 7 saci de orz? 60 – 7 = 420 kgVI.Cât cântăresc cei 11 saci de grâu şi cei 7 saci de orz împreună? 880 + 420 = 1300 kgVII. Cât cântăresc cei 12 saci de porumb? 2200 – 1300 = 900 kgVIII. Cît cîntăreşte 1 sac de porumb? 900:12 = 75 kgSoluţia problemei este dată de expresia: VII I VI II III IV V VIII ( )[ ]{ }{ } ,12:73:2028011802200 ⋅+⋅+⋅−=x în care cifrele romane puse deasupra semnelor operaţiilor indică problema la care se răspunde prin operaţia respectivă. Pentru ca elevii să poată rezolva astfel de probleme, se face o

4

Page 5: Rezolvarea Cu Ajutorul Ecuatiilor

pregătire în două direcţii. În primul rând, pe măsură ce se înaintează în predarea aritmeticii, în decursul anilor, se rezolvă în prealabil multe probleme simple. Datorită acestei pregătiri, elevii rezolvă cu mare uşurinţă fiecare dintre problemele simple şi, mai mult, ei parvin să recunoască şi să pună astfel de probleme atunci când este cazul. Se creează astfel un anumit fond de „prefabricate”, de piese gata făcute pentru a fi asamblate. În al doilea rând, nu se trece de-a dreptul la probleme atât de lungi ca cea de mai sus. Astfel de probleme se dau abia după ce s-au rezolvat probleme care se descompun în două, apoi în trei probleme simple ş.a.m.d. şi unde problemele simple componente se rezolvă prin operaţii felurite: o adunare şi o împărţire, o înmulţire şi o scădere ş.a.m.d. În felul acesta, elevii învaţă treptat să descompună o problemă în probleme simple. Această descompunere este de multe ori înlesnită de ordinea în care apar datele în enunţul problemei şi de faptul că problemele de aritmetică au de cele mai multe ori o formă narativă. La nevoie, îi dăm noi această formă, căutăm să vedem „cum s-au petrecut lucrurile”. În cazul problemei de faţă, se consideră că s-au depus în camion întâi sacii de grâu, apoi sacii de orz - căci putem afla greutatea lor - , iar la urmă sacii de porumb, care figurează în întrebare. Astfel, apar problemele I şi V de mai sus, iar problema a V-a ne obligă să ne punem şi să rezolvăm problemele II-IV. Acţiunile concrete din care se compune încărcarea camionului corespund problemelor simple în care trebuie să descompunem problema propusă şi ne arată cum să facem descompunerea.

Aşadar, elevii parvin să rezolve probleme aritmetice obişnuite datorită unei duble pregătiri îndelungate: rezolvarea problemelor simple şi descompunerea problemelor complexe în probleme simple, această descompunere fiind de multe ori înlesnită de un anumit paralelism cu nişte acţiuni concrete. Aceste probleme sunt obişnuite nu prin caracterul lor propriu, ci prin faptul că în şcoală se obişnuieşte să se rezolve astfel de probleme - lucru determinat în parte de faptul că ele sunt apropiate de probleme ce apar în practică.

Alta este situaţia problemelor care se rezolvă cu ajutorul ecuaţiilor. Exemplu: „Şoseaua care uneşte localităţile A şi B urcă mereu. Viteza cu care un biciclist merge la vale este cu 6 km/oră mai mare decât viteza cu care merge la deal. El face drumul de la A la B în 5 ore, iar drumul de la B la A în 3 ore. Cu ce viteză merge biciclistul la deal?”

Soluţia aritmetică nu este deloc uşoară. Problema se poate descompune în probleme simple astfel:

I. Dacă biciclistul merge la deal timp de 3 ore, câţi kilometri îi mai rămân de făcut ca să ajungă în B? ............ .1836 km=⋅ (căci, dacă merge la vale, ar parcurge în 3 ore tot drumul; mergând la deal el face în fiecare oră cu 6 km mai puţin, deci în 3 ore - cu

.1836 km=⋅ mai puţin decât tot drumul)II. În cât timp face el acest drum? .............. 5 – 3 = 2 oreIII. Cu ce viteză merge? ............ 18 : 2 = 9 km/orăSoluţia problemei este dată de expresia: I III II 6 – 3 : (5 – 2), unde cifrele romane

indică problema simplă corespunzătoare. Această problemă se rezolvă prin aceeaşi metodă 5

Page 6: Rezolvarea Cu Ajutorul Ecuatiilor

ca şi cea precedentă, şi anume: prin descompunere în probleme simple. Ea este mai scurtă, căci se rezolvă doar prin trei operaţii. Totuşi, ea este cu mult mai grea. Care este cauza?

Este o chestiune de obişnuinţă. Am arătat mai sus că elevii reuşesc să descompună probleme complexe în probleme simple datorită faptului că au rezolvat în prealabil multe probleme simple şi astfel ajung să le recunoască cu uşurinţă atunci când se ivesc, în cazul de faţă, această condiţie nu este îndeplinită, căci elevii nu au rezolvat în prealabil o problemă cu enunţul următor: şoseaua care uneşte două localităţi A şi B urcă mereu. Viteza cu care un biciclist merge la vale este cu 6 km/oră mai mare decât viteza cu care merge la deal. Biciclistul parcurge drumul de la B la A în 3 ore.

Câţi kilometri îi mai rămân de făcut dacă merge la deal timp de 3 ore? Dacă elevii ar fi obişnuiţi cu probleme de acest fel, ca de exemplu: 1 kg de piersici costă cu 6 lei mai mult decât 1 kg de prune. Dacă, în loc de 3 kg de piersici, cumpăr 3 kg de prune, câţi bani îmi rămân? Sau: O ladă mare conţine cu 6 kg mai mult decât o ladă mică. În loc de 3 lăzi mari, am primit 3 lăzi mici. Câte kilograme de marfă mai am de primit? - formularea problemei simple I ar fi mult uşurată. Dar în practica şcolară astfel de probleme se pun rareori; de cele mai multe ori se cunoaşte viteza, preţul unui kilogram de fructe, greutatea unei lăzi, nu diferenţa de viteze, de preţuri, de greutate; de aceea ne vine greu să desprindem din problema în cauză prima problemă simplă.

Aşadar, deosebirea dintre problemele de aritmetică şi cele de algebră nu este esenţială. Totul depinde de felul problemelor simple cu care suntem obişnuiţi. Unui elev care a făcut foarte puţine probleme simple, prima problemă îi pare tot atât de grea ca a doua. În general, greutatea de a rezolva unele probleme pe cale aritmetică se datoreşte faptului că nu suntem destul de familiarizaţi cu problemele simple în care ele se pot descompune.

4. Caracterul relativ al acestei clasificări. Împărţirea unui anumit cerc de probleme în două clase: probleme de aritmetică şi probleme de algebră, nu are aşadar nici un temei obiectiv. Totul depinde de gradul de familiarizare a rezolvitorului cu problemele simple corespunzătoare. Dacă în şcoală s-ar cultiva mai mult unele tipuri de probleme, hotarul dintre problemele de aritmetică şi cele de algebră s-ar deplasa în favoarea primelor. Pentru a arăta şi mai bine cât de relativă este această clasificare, să punem şi ipoteza inversă. Să presupunem pentru un moment că la aritmetică s-ar învăţa cele două operaţii directe, adunarea şi înmulţirea, iar scăderea şi împărţirea nu ar fi cristalizate ca operaţii deosebite. Atunci probleme atât de simple ca: un muncitor are de făcut 38 de piese şi a făcut până în prezent 15 piese; câte mai are de făcut? Sau: un muncitor face 15 piese pe oră; în cât timp face el 180 de piese? ar fi privite ca probleme de algebră, care se rezolvă cu ajutorul ecuaţiilor 3815 =+ x şi 18015 =x . În aceste condiţii, prima dintre problemele de mai sus ar fi o problemă de algebră care se rezolvă cu ajutorul sistemului de ecuaţii:

=+⋅++⋅=

,22007118012

202803

yx

y

6

Page 7: Rezolvarea Cu Ajutorul Ecuatiilor

unde y reprezintă greutatea unui sac de orz, iar x greutatea unui sac de porumb (să se observe că în aceste ecuaţii intervin numai adunări şi înmulţiri, nici o operaţie inversă).

Hotarul dintre problemele de aritmetică şi cele de algebră s-ar deplasa astfel sen-sibil în favoarea acestora din urmă. Practic, acest hotar - care nu este foarte precis - a rezultat din condiţiile de organizare a învăţământului. Chestiunea are şi un aspect social. Înainte de Reforma învăţământului din 1948, exista în ţara noastră şcoala primară închisă, fără perspectiva ca absolvenţii ei să poată trece în învăţământul mediu şi apoi în cel superior. La această şcoală primară se preda numai aritmetica, algebra fiind rezervată pentru licee (până şi în fostele şcoli normale se făcea foarte puţin algebră). Sunt însă unele probleme care nu sunt aplicaţii imediate ale celor patru operaţii aritmetice şi se rezolvă mai uşor cu ajutorul ecuaţiilor, dar care trebuie incluse în programa şcolii primare din cauza caracterului lor practic (procentele, problemele de amestec şi aliaj). Aceste chestiuni au fost incluse în programa de aritmetică. Un exemplu caracteristic sunt problemele de sută mărită şi sută micşorată. Ele sunt probleme tipice de algebră, ecuaţia

este de forma bax

x =+100

(necunoscuta intervine de două ori), iar la aritmetică ele

formează un capitol deosebit.Încheiem aceste consideraţiuni cu observaţia că în condiţiile generalizării

învăţământului, când toţi copiii capătă şi cunoştinţe de algebră, devine actuală reexaminarea conţinutului aritmeticii şcolare. Toate problemele „tip” care se rezolvă prin metode speciale ar urma să fie trecute la algebră - unde îşi găsesc locul firesc - chiar dacă rezolvarea lor pe cale aritmetică este un prilej de a stimula inventivitatea unora dintre elevi. Mai mult, şi o serie de teme care fac parte din programa tradiţională de aritmetică ar putea fi trecute la algebră.

INDICAŢII METODICE

1. Consideraţii generale 2. Regula fundamentală 3. Exerciţii parţiale 4. Analiza ecuaţiei unei probleme 5. Una sau mai multe necunoscute 6.

Întocmirea unor tabele 7. Probleme care duc la ecuaţii de aceeaşi formă 8. Lecţii speciale de punere a problemelor în ecuaţie

1. Consideraţii generale. În multe manuale de algebră se spune că nu se poate da nici o regulă după care se pun probleme în ecuaţie. Acest lucru este adevărat. Este şi firesc să fie aşa. Ecuaţiile însele sunt un instrument de rezolvare a problemelor. Un instrument matematic, ca orice instrument, este util numai dacă ştim să-l mânuim. În această mânuire intervine totdeauna un element viu, gândirea omului, care nu poate fi eliminat - cel puţin în învăţământ. Punerea problemelor în ecuaţie constituie tocmai acest element viu, care nu

7

Page 8: Rezolvarea Cu Ajutorul Ecuatiilor

poate fi turnat în tipare. De aceea, ne vom mărgini în cele ce urmează la câteva indicaţii sistematice cu caracter didactic. În multe manuale se dă un plan de rezolvare a problemelor cu ajutorul ecuaţiilor (alegerea necunoscutei, punerea problemei în ecuaţie, rezolvarea ecuaţiei, proba). Acest plan este de puţin folos. El dă o imagine falsă a realităţii prin faptul că pune punctul al doilea - formarea ecuaţiei - pe acelaşi plan cu celelalte, când, de fapt, acest punct conţine aproape totul. Singura indicaţie care s-ar putea da în această privinţă ar fi următoarea: se exprimă sub formă de ecuaţie relaţiile dintre datele problemei şi necunoscute. Dar această indicaţie este prea generală pentru a fi utilă. În cele ce urmează facem, într-o ordine întâmplătoare, unele recomandări.

2. Regula fundamentală. Greutatea principală pe care o întâmpină elevii la punerea problemelor în ecuaţie se datoreşte nu atât de mult faptului că ei nu-şi dau seama ce relaţii există între mărimile ce intervin în problemă, cât faptului că nu sunt obişnuiţi să exprime aceste relaţii cu ajutorul necunoscutei sau necunoscutelor. De exemplu, în cazul relaţiei S = vt, orice elev ştie să calculeze drumul parcurs de un mobil care are o mişcare uniformă când cunoaşte viteza şi timpul, dar pentru aceasta v şi t trebuie să fie daţi numeric; le vine greu „să exprime” drumul parcurs când v sau t conţine necunoscuta. De aceea, punerea problemelor în ecuaţie este mult uşurată dacă se ia mai întâi pentru necunoscută un număr luat la întâmplare şi se rezolvă problema inversă, apoi se pune în locul numărului arbitrar litera x, ca în exemplele următoare:1) Două maşini pleacă în acelaşi timp din oraşul A şi merg spre oraşul B. Prima maşină merge cu viteza de 60 km/oră, a doua merge cu o viteză de 40 km/oră şi ajunge în oraşul B mai târziu cu două ore decât prima. Se cere distanţa dintre cele două oraşe.

Presupunem că am rezolvat problema, că am aflat că distanţa este de 300 km, de exemplu, şi facem proba, calculând cu cât ajunge maşina a doua mai târziu - trebuie să dea două ore. Se obţine:

timpul în care prima maşină face drumul: ore560

300 = ;

timpul în care maşina a doua face drumul: ore217

40

300 = ;

întârzierea: .221252

1760

300

40

300 ≠=−=−

Bineînţeles, proba nu a ieşit - nu am ghicit rezultatul. Acum notăm cu x distanţa

dintre cele două localităţi. În loc de ;60

apare60

300 x în loc de .

40

xapare

40

300 Facem scăderea

6040

xx − şi punem condiţia ca diferenţa să fie egală cu 2. Obţinem ecuaţia: ,26040

=− xxcare

dă x = 240. Lucrările se pot aşeza pe două coloane astfel:

8

Page 9: Rezolvarea Cu Ajutorul Ecuatiilor

26040

40

60

25217

217

40

300

560

300

300

=−≠−

=

=

xx

x

x

x

Mai frumos este dacă rezultatul problemei numerice se exprimă direct printr-o formulă, apoi se taie peste tot numărul 300 şi se înlocuieşte cu x. Pe tablă apare direct

ecuaţia problemei: .26040

=− xx

Să observăm că, dacă notăm cu V şi v vitezele, cu d distanţa dintre cele două oraşe,

iar cu i întârzierea, între aceste mărimi există relaţia: .V

d

v

di −= În problema propusă,

necunoscuta este d. Problema preliminară rezolvată de noi a fost o problemă uşoară de aritmetică în care necunoscuta era i; v şi V intră de asemenea câte o singură dată, deci luând aceste mărimi ca necunoscute, obţinem de asemenea probleme de aritmetică. Este greu de spus de ce am preferat problema în care necunoscuta este i.2) În magazia unui restaurant se găsesc 1-20 kg de orez, 150 kg de griş. S-a consumat de 3 ori mai mult griş decât orez şi în magazie a rămas de două ori mai mult griş decât orez. Cât orez s-a consumat?

Presupunând că s-au consumat 20 kg de orez, lucrările se prezintă astfel:

.36,23150

1202

3150

120

3150

3

120

290

100

9060150

60320

10020120

20

==−−=

−−

=−=⋅=−

xx

x

x

x

x

x

x

x

În cazul când se foloseşte o formulă numerică, se obţine: .2203150

20120 ≠⋅−

3) Să luăm şi o problemă destul de grea, cu două necunoscute: A spune lui B: „Eu am acum de 2 ori mai mulţi ani decât ai avut tu când eu am avut vârsta ta de acum, iar când tu vei avea vârsta pe care o am eu acum, vom avea împreună 36 de ani”. Ce vârstă are fiecare din ei?

Presupunând că A are, de exemplu, 14 ani, iar B are 10 ani se poate judeca astfel: A a avut vârsta lui B în urmă cu 14 – 10 = 4 ani; atunci B a avut 10 – 4 = 6 ani. Raportul dintre vârsta lui A de acum şi vârsta lui B de atunci este de 26:14 ≠ ş.a.m.d. Se obţine schema:

9

Page 10: Rezolvarea Cu Ajutorul Ecuatiilor

( )

( )( ) 362

2

22

2

;

36321418

18414

41014

26

14

6410

41014

10;14

=+−−=−+

=−

−=−−−

≠=+=+=−

=−=−

xyx

yxyxx

yx

xy

x

xyyxy

yx

yxaniani

Se obţine sistemul:

==

=−=

12

16

363

43

y

x

yx

yx.

Dat fiind caracterul neobişnuit al acestei probleme, în clasă se simte nevoia de a face lucrările din stânga liniei verticale de 2 ori, luând pentru x şi y alte valori. Acest procedeu izvorăşte din însăşi metoda algebrică de a aborda problemele şi din faptul că orice problemă de algebră poate fi privită ca problema inversă a unei probleme de aritmetică.Dăm şi soluţia aritmetică a problemei, care este interesantă prin faptul că prima ecuaţie se obţine pe cale intuitivă, fără calcul algebric, iar ecuaţia a doua nu apare de loc. Fie OA vârsta lui A, iar OB vârsta lui B. În fiecare an, fiecare dintre punctele A şi B se deplasează spre dreapta cu o unitate. Când punctul A se găsea în B, B se găsea într-un punct B’, astfel încât B’B = BA.

Din prima parte a enunţului rezultă că OA = 2OB’, adică OB’ = B’A. Dar B’A este format din două segmente, BB’ = BA. Atunci OB este format din 3 segmente egale cu BA, iar OA din 4 segmente egale cu BA (adică OB:OA = 3:4 sau 3OA = 4OB ⇔ 3x = 4y - prima ecuaţie a sistemului). Când B va fi în A, adică atunci când va fi înaintat cu BA, A va fi înaintat şi el cu un segment egal cu BA şi se va găsi într-un punct A’. Atunci vârstele lor vor fi: OB’ = 4 segmente, OA’ = 5 segmente, suma vârstelor lor va fi reprezentată de 4 + 5 = 9 segmente. Această sumă este 36, deci un segment reprezintă 36: 9 = 4. B are 4 – 3 = 12 ani, iar A are 4 – 4 = 16 ani.

Totuşi, nu trebuie abuzat de acest procedeu, căci duce la diluări inutile. Procedeul trebuie folosit cu tact, şi anume: la început, când se începe un gen nou de probleme (probleme de mişcare, de amestec etc.) şi ori de câte ori punerea unei probleme în ecuaţie merge greu.

10

O B A B’ A’

AO B B’ A’

Page 11: Rezolvarea Cu Ajutorul Ecuatiilor

3. Exerciţii parţiale. De multe ori elevii nu reuşesc să pună o problemă în ecuaţie nu din cauza unei ignoranţe totale, ci pentru că nu ştiu să folosească una sau alta din datele problemei. De aceea, sunt utile exerciţii de exprimare sub formă algebrică a unor relaţii sau de formare a unor expresii algebrice ca următoarele:

a) Să începem cu transcrierea cu semne matematice a afirmaţiilor: a este mai mare (mai mic) decât b cu... şi a este mai mare (mai mic) decât b de... ori. Elevii fac deseori greşeala de tipul următor: pentru a exprima că a este mai mare decât b cu 2, ei scriu a + 2 = b. Aceasta se datoreşte unei confuzii între a este mai mare decît b cu 2 şi a mărit cu 2 este b, şi faptului că se poate folosi semnul „+” sau „ –”.

7 este mai mare decât 5 cu 2; acest lucru se poate exprima în trei moduri: 7 – 5 = 2, 5 + 2 = 7, 7 – 2 = 5. După acest model se fac exerciţii ca următoarele:

x este cu 5 mai mare decât 17... x = 17 + 5 sau x – 5 = 17 sau x – 17 = 5;x este cu 8 mai mic decât a ... x = a – 8 sau a = x + 8 sau a – x = 8;5(x + 1) este cu 18 mai mare decât 3(x – 2) ... 5(x + 1) = 3(x – 2) + 18 sau 5(x + 1) –

3(x – 2) = 18 sau 5(x+ 1) – 18 = 3(x – 2).Trebuie continuate exerciţiile de tipul ultimului până când elevii dau rapid şi sigur

răspunsurile sub cele trei forme. Un sfat practic şi simplu este următorul: pentru a scrie, de exemplu, că a este cu 5 mai mare decât b, se scrie provizoriu a = b; apoi se adaugă 5 la numărul mai mic, adică la b, şi apare a = b + 5; sau se scade 5 din numărul mai mare şi apare a – 5 = 6. Se recomandă să se procedeze la fel pentru expresiile: mai mare (mai mic) de ... ori. Aici, mai mult decât în cazul precedent, este util ca elevii să ştie să exprime relaţia în două moduri, astfel încât ea să apară şi sub forma de raport. De exemplu: 2x + 5 este de 3 ori mai mare decât x – 2 se scrie: 2x + 5 = 3(x – 2) sau x – 2 = 3.

Aceste exerciţii, ca şi cele precedente, pot fi puse în legătură şi cu modul în care o ecuaţie se transformă într-o altă ecuaţie echivalentă cu ea. De exemplu, în cazul x = a + 8, celelalte relaţii se deduc din prima, trecând termenul a sau 8 în partea stângă.

Exerciţii de acest fel, ca şi de felul celor care urmează se pot face sistematic sau atunci când se simte nevoia, adică înainte de a aborda problemele în care intervin asemenea expresii sau atunci când apar greşeli. În ultimul caz se întrerupe problema, se dau explicaţiile necesare şi se face un număr suficient de exerciţii.

b) La problemele în care intervin procente apar greutăţi din cauză că elevii ştiu să calculeze cu procente numai în cazuri numerice. Sunt recomandabile exerciţii ca următoarele:

( ) ( )

( ) ( )100

7203203din%7

100

2150150din%2;

100

483483din%

100

5din%5;

100

5483483din%5

++

++

xx

xx

xx

xx

11

Page 12: Rezolvarea Cu Ajutorul Ecuatiilor

c) Situaţia este asemănătoare la problemele în care intervine concentraţia unei soluţii sau titlul unui aliaj, dar puţin mai grea, fiindcă nu toţi elevii au idei clare despre aceste noţiuni. Înainte de a trece la probleme de acest fel trebuie să revenim asupra no-ţiunilor respective şi să-i învăţăm pe elevi să folosească formule - nu regula de trei. De exemplu, concentraţia unui amestec dintr-o substanţă oarecare (alcool sau un acid) şi apă este dată în procente (grade) de formula:

.1000

:aliajunuititluliar,100

⋅=

⋅=

brutagreutatea

fina greutateatitlul

totalagreutatea

alcooluluigreutateaiaconcentrat

După ce elevii au înţeles bine aceste formule sunt necesare exerciţii ca următoarele:Concentraţia unei soluţii care conţine:

15 g de sare şi 250 g de apă.................................................... 10015250

15 ⋅+

a grame de sare şi 100 g de apă..............................................100

100100

100 +=⋅

+ a

a

a

a

(x + 20) kg de alcool şi y kg de apă.........................................( )

20

10020

++⋅+

yx

x

(x + 3y) kg de alcool şi câtăreşte în total (15x + y) kg.............( )

yx

yx

+⋅+

15

1003

De asemenea:titlul unui aliaj care conţine 12 g de aur

şi a g de cupru.............................................................................. 100012

12 ⋅+a

titlul unui aliaj care conţine 3 kg de nichel

şi cântăreşte x kg............................................................................ 10003 ⋅x

titlul unui aliaj care cântăreşte (a + 12) kg,în care greutatea metalului fin este cu b kg

mai mică decât greutatea totală...................................................... 100012

12 ⋅+

−+a

ba ş.a.m.d.

Poate nu este necesar să se facă şi exerciţii inverse, de exemplu, să se exprime greutatea fină ca funcţie de titlu şi greutatea totală.

d) Situaţia este asemănătoare cu formula S = vt. Elevii trebuie să înveţe să o folosească şi atunci când S, v şi t sunt expresii algebrice. De data aceasta sunt necesare toate formele (şi t = s : v şi v = s: t).

12

Page 13: Rezolvarea Cu Ajutorul Ecuatiilor

Exemple de exerciţii:1) Un mobil merge timp de t + 2 secunde cu viteza v – 3; se cere drumul parcurs.2) Un automobil parcurge distanţa de 380 km în t – 2 ore în loc de t ore; cu cât şi-a

mărit el viteza?3) Un motociclist trebuia să facă un drum mergând timp de t ore cu o viteză de v

km/oră. El a mers o oră mai puţin, dar viteza sa a fost cu 12 km/oră mai mare. Să se afle diferenţa dintre drumul pe care trebuia să-l parcurgă şi cel parcurs.

Răspunsuri: ( )( ) ( )( ) .1212112)3;380

2

380)2;32)1 −−=−+−−

−−+ vttvvt

ttvt

e) Menţionăm, în sfârşit, problemele cu privire la cifrele unui număr scris în sistemul zecimal, în care intervine, de exemplu, suma cifrelor unui număr, răsturnatul unui număr ş.a. înainte de a aborda aceste probleme sunt utile exerciţii ca următoarele - dacă nu au fost făcute în cadrul capitolelor anterioare:

Să se scrie numărul în care cifra zecilor este x, iar cifra unităţilor este y; să se scrie răsturnatul numărului care se scrie cu cifrele x, y, z (luate de la stânga spre dreapta); un număr este format din cifrele x, y, z; să se calculeze numărul care se obţine scăzând din el suma cifrelor sale (apare regula de divizibilitate cu 9) ş.a.

În legătură cu aceste probleme, dar în altă ordine de idei, menţionăm că ele au un oarecare dezavantaj. Dat fiind că necunoscutele pot lua numai valori cuprinse între 0 şi 9, sistemele corespunzătoare se pot rezolva şi dacă numărul ecuaţiilor este cu 1 mai mic decât numărul necunoscutelor. Obligându-i pe elevi să le rezolve numai prin metoda obişnuită, încurajăm tendinţa lor de a aplica mereu metodele învăţate, fără a ţine seama de specificul problemei pe care o au în faţă. Probleme cu această temă pot fi date cu folos în legătură cu soluţiile unei singure ecuaţii cu două necunoscute.

4. Analiza ecuaţiei unei probleme.a) În primul rând trebuie respectată regula, general valabilă, de a nu trece la

rezolvarea unei probleme înainte de a ne asigura că elevii cunosc bine enunţul ei - ceea ce nu se face totdeauna. Pentru aceasta se scriu datele schematic pe tablă şi se cere unui elev să repete enunţul ei cu cuvinte proprii, eventual se mai repetă o dată, apoi se stabileşte bine ce se dă şi ce se cere. Abia pe urmă se trece la rezolvare.

b) La fixarea necunoscutei se foloseşte de obicei o exprimare prescurtată, ca: notăm cu x timpul sau: notăm cu x grâul şi cu y porumbul. Acest lucru nu este rău. Este însă mai bine să obligăm elevii, cel puţin la început, să se exprime complet, să spună: notăm cu x numărul care arată câte ore merge..., respectiv: notăm cu x numărul care arată câte kilograme de grâu... şi cu y câte kilograme de porumb... Aceasta nu înseamnă să fim pedanţi. Aceste formulări, deşi sunt lungi, îi fac pe elevi să vadă mai clar lucrurile.

c) Trebuie să avem grijă ca elevii să-şi dea perfect seama de semnificaţia fiecărui factor şi a fiecărui termen din ecuaţie. Să luăm, de exemplu, problema următoare (alegem înadins o problemă uşoară, căci ne referim aici în special la primele probleme): Pentru a

13

Page 14: Rezolvarea Cu Ajutorul Ecuatiilor

transporta nişte cereale de la magazia unei cooperative agricole de producţie la gară se foloseşte o camionetă şi un camion... În camion încap cu 700 kg mai mult decât în camionetă. Camioneta a făcut de 5 ori drumul, camionul l-a făcut de 3 ori şi au fost trans-portate în total 16500 kg de cereale. Ce capacitate are fiecare din aceste vehicule?

După ce s-a scris ecuaţia: ( ) ,1650070035 =++ xx ea trebuie analizată prin întrebări ca: „Ce reprezintă factorul 5?”, „Factorul x?”, „Ce arată termenul 5x?”, „Ce exprimă ecuaţia?” (cantitatea de cereale pe care le transportă camioneta şi cea transportată de camion fac împreună 16500 kg).

Am considerat cazul când această analiză se face după ce ecuaţia a fost scrisă. Ea este utilă în primul rând celorlalţi elevi, care au avut un rol receptiv – dacă nu chiar pasiv – la formarea ecuaţiei, dar ea este utilă şi elevului de la tablă căci astfel el îşi dă şi mai bine seama de ceea ce a făcut. Ar fi enervant să-l obligăm să dea toate explicaţiile acestea în timp ce scrie ecuaţia, dar ele pot deveni utile când elevul se poticneşte. De exemplu, în cazul ecuaţiei de mai sus, elevul a scris 5X şi nu vede clar cum trebuie să continue. Atunci este utilă întrebarea: „Ce reprezintă 5x?” – pentru a fi urmată de recomandarea: „Exprimă în acelaşi fel cantitatea de cereale pe care o transportă camionul”.

Dacă această analiză face apel la posibilităţile elevilor de a se exprima, întrebări ca următoarele merg mai direct la ţintă: „Cum se schimbă ecuaţia problemei dacă camioneta face de 7 ori drumul?”, „Dacă camionul face de 4 ori drumul?”, „Dacă capacitatea camionului este cu 1200 kg mai mare decât a camionetei?”, „Dacă s-au transportat în total 25000 kg de cereale?”. Pentru a rezolva o problemă ca aceasta, s-a format ecuaţia:

( ) ;300001200811 =++ xx care a fost problema?La aceste întrebări în afară de ultima, s-ar putea întâmpla ca un elev să răspundă

înlocuind mecanic numărul corespunzător din ecuaţie. Profesorul va şti să deosebească răspunsurile gândite de celelalte.

Se poate trece apoi la întrebări ca următoarele, care privesc operaţiile: „Cum se schimbă ecuaţia dacă în camion se încarcă cu 300 kg mai puţin decât în camionetă?”, „Dacă capacitatea camionului este de două ori mai mare decât a camionetei?”, „Dacă se foloseşte şi o căruţă cu cai care are o capacitate cu 800 kg mai mică decât camioneta şi căruţa face de 4 ori drumul?”.

Astfel de exerciţii sunt foarte bine primite de clasă. Elevii au satisfacţia pe care ţi-o dă înţelegerea deplină a unui lucru. Răspunsurile fiind scurte, se pot antrena mulţi elevi.

d) Trebuie să explicăm elevilor că se pot aduna (sau scădea) numai expresii care reprezintă mărimi de acelaşi fel şi că se obţine o mărime tot de acelaşi fel. Astfel, în exemplul de mai sus, 5x reprezintă o masă exprimată în kilograme, expresia 3(x + 700) - de asemenea, tot aşa şi 16500. Acest lucru este util când se formează ecuaţia. Se evită o greşeală frecventă: având de rezolvat problema: Apa unui râu curge cu o viteză de 2,5 km/oră. Un vapor parcurge o anumită distanţă la deal în 6 ore, iar la vale în 8 ore. Care este viteza proprie a vaporului?

14

Page 15: Rezolvarea Cu Ajutorul Ecuatiilor

Un elev scrie ecuaţia: 5,285,26 −⋅=+⋅ xx , în loc de ( ) ( )5,285,26 −=+ xx . El a adunat x – 6, care reprezintă o lungime, cu 2,5, care reprezintă o viteză - aceeaşi greşeală în partea dreaptă a ecuaţiei.

e) De mare importanţă este ca elevii să exprime în cuvinte relaţia care duce la formarea ecuaţiei. Exemple: în cazul problemei de mai sus cu privire la transportarea cerealelor la c), s-a arătat cum se exprimă ecuaţia în cuvinte.

În cazul ultimei probleme, trebuie spus: exprimăm în două moduri distanţa pe care o parcurge vaporul şi egalăm expresiile. Asemenea formulări nu se pot obţine la început. Elevul, chiar când scrie ecuaţia, nu este în stare să arate în cuvinte ce exprimă ecuaţia. El lucrează corect, dar îi vine greu să spună ce face. De aceea, este util ca, la început, să cerem elevilor să dea formularea după ce au scris ecuaţia. Ar fi bine ca şi la problemele pe care le rezolvă acasă să dea asemenea formulări în scris, de exemplu, după ce au rezolvat ecuaţia. Treptat, însă, trebuie să ajungem ca elevii să formuleze relaţia în cuvinte, înainte de a scrie ecuaţia: „Voi scrie că... este egal cu...”.

5. Una sau mai multe necunoscute. Dacă parcurgem problemele dintr-o culegere oarecare, găsim probleme care sunt, categoric, probleme cu o singură necunoscută şi probleme care sunt, tot atât de categoric, cu două sau mai multe necunoscute. Există însă probleme care se află la hotarul dintre aceste două feluri de probleme, ca de exemplu: O pârghie AB de genul I are o lungime de 40 cm. La capătul A acţionează o forţă de 50 N, iar la capătul B de 30 N. La ce distanţă de punctul A trebuie să fie punctul de sprijin ca pârghia să fie în echilibru?

În cazul acestei probleme se poate proceda în două feluri:1) M fiind punctul de sprijin al pârghiei, se pune AM = x, MB = y şi se obţine

sistemul x + y = 40, 5X =3y.2) Dacă braţul AM are lungimea x, celălalt braţ va avea lungimea 4 – x. Legea bine

cunoscută din fizică ne dă ecuaţia 5x = 3(40 – x). Considerăm că o asemenea problemă trebuie rezolvată cu ajutorul unui sistem din următorul motiv: avantajul metodei algebrice de rezolvare a problemelor constă în faptul că ea ne scuteşte de raţionamente care variază de la o problemă la alta, de artificii. Enunţul problemei se traduce în limbajul ecuaţiilor şi cu aceasta problema este în principiu rezolvată, căci tot restul se face pe baza unor reguli bine stabilite. Metoda algebrică se foloseşte din plin atunci când această traducere este cât mai fidelă, orice transformare prealabilă a enunţului constituie o abatere de la metoda algebrică. În învăţământ este util să păstrăm puritatea metodei. Şi aceasta nu de dragul ei, ci din motive didactice: în felul acesta, elevii îşi însuşesc mai bine metoda algebrică.

Or, pentru a rezolva această problemă printr-o singură ecuaţie, enunţul ei trebuie transformat în prealabil. Când avem în faţa ochilor un segment AB şi un punct interior O, relaţia dintre părţile OA, OB şi segmentul întreg AB pe care o sugerează este OA + OB =

15

Page 16: Rezolvarea Cu Ajutorul Ecuatiilor

AB, (x + y = 40). Când notăm lungimea unuia dintre segmente cu x şi scriem că lungimea celuilalt este 40 – x, folosim o relaţie dedusă, care nu este dată direct în enunţul problemei.

Considerăm că o problemă trebuie rezolvată cu ajutorul unei singure ecuaţii cu o singură necunoscută numai atunci când enunţul ei permite să se exprime direct toate mărimile din problemă prin expresii liniare în funcţie de una din ele. Spunem că mărimea y se exprimă direct în funcţie de x; atunci simpla transcriere cu semne matematice a părţii corespunzătoare din enunţ dă o relaţie de forma y = f(x), fără o explicitare prealabilă.

Vom lămuri aceasta prin trei exemple:1) O maşină a făcut în 3 ore 187 km. În ora a doua ea a făcut cu 7 km mai mult decât în prima oră, iar în ora a treia - dublul drumului făcut în prima oră. Să se afle drumul pe care l-a făcut maşina în prima oră.

- notăm cu x drumul parcurs în prima oră; celelalte mărimi sunt: drumul parcurs în ora a doua 7+= x , drumul parcurs în ora a treia x2= ; condiţia este îndeplinită, deci problema se rezolvă printr-o singură ecuaţie: ( ) .18727 =+++ xxx

2) O maşină a parcurs un drum de 210,5 km în patru ore. În ora a doua a făcut cu 21 km mai mult decât în prima oră, în ora a treia - două treimi din drumul făcut în ora a doua, iar în ora a patra - cât media dintre drumurile parcurse în primele două ore. Să se afle drumul parcurs de maşină în prima oră.

- dacă notăm cu x drumul parcurs în prima oră, celelalte mărimi sunt:( ) ( )

.2

212

2

21,

3

212,21

+=+++⋅+ xxxxx

Şi această problemă, deşi este mai grea, se rezolvă printr-o singură ecuaţie:

( ) ( ) ( ).5,210

2

212

2

21

3

21221 =++++++⋅+++ xxxx

xx

Dacă introducem mai multe necunoscute, obţinem sistemul:

( )

=+++

+=

+=

+=

5,2102

2123

212

21

uzyx

xu

xz

xy

care se reduce prin simple substituţii la ecuaţia de mai sus. Observaţie analogă cu privire la prima problemă.3) Problema următoare este extrasă dintr-o culegere de probleme, unde figurează înainte de sistemele de ecuaţii: „În trei clase sunt în total 119 elevi. În clasa întâi sunt cu 4 elevi mai mult decât în clasa a doua şi cu 3 elevi mai puţin decât în a treia. Câţi elevi sînt în fiecare clasă?”

- această problemă duce la sistemul:

16

Page 17: Rezolvarea Cu Ajutorul Ecuatiilor

−=+=

=++

3

4

119

zx

yx

zyx

Problema nu îndeplineşte condiţia. Ea trebuie considerată ca o problemă cu trei necunoscute. În legătură cu chestiunea discutată aici, mai observăm următoarele: dacă pornim pe drumul de a transforma în prealabil enunţul, deosebirea dintre problemele de algebră şi cele de aritmetică se şterge uneori complet. De exemplu, în cazul ultimei probleme, dacă suntem obligaţi să folosim o singură necunoscută, trebuie să judecăm astfel: notăm cu y numărul elevilor din clasa a doua; atunci în clasa întâi vor fi y + 4 elevi; apoi, dacă în clasa întâi sunt cu 3 elevi mai puţin decât în clasa a treia, atunci în clasa a treia sunt cu 3 elevi mai mult decât în clasa întâi, deci (y + 4) + 3 = y + 7 elevi; acum ecuaţia problemei este (y + 4) + y + (y + 7) = 119; transformarea informaţiei cu privire la clasa a treia revine, de fapt, la următoarele: din ecuaţia x = z – 3 se scoate z = x + 3, iar x se înlocuieşte cu y + 4; se fac în mod camuflat transformări ale sistemului; de aici până la rezolvarea sistemului pe cale aritmetică nu este decât un pas, căci acum enunţul problemei sună astfel: „În clasa întâi sunt cu 4 elevi mai mult decât în clasa a doua, în clasa a treia cu 7 elevi mai mult decât în clasa a doua, iar în total sunt 119 elevi; nu avem decât să scădem din totalul de 119 elevi 4 + 7 = 11 elevi, diferenţa 119 – 11 = 108 să o împărţim prin 3 ş.a.m.d.

Pe de altă parte, s-a spus mai sus că există probleme care sunt categoric probleme cu o singură necunoscută. Acest lucru este adevărat numai în cazul problemelor foarte simple. Când rezolvăm o problemă „compusă” de aritmetică (care se rezolvă prin mai multe operaţii), introducem, de fapt, nişte necunoscute ajutătoare. Situaţia este aceeaşi la problemele de geometrie când trebuie aplicată o formulă şi nu se dau direct toate elementele necesare. De exemplu, într-un trapez dreptunghic se dau bazele B = 11 cm, b = 7 cm şi latura oblică c = 5 cm. Se cere aria trapezului. Pentru a afla aria, se află în prealabil diferenţa bazelor şi (prin teorema lui Pitagora) înălţimea. Deci şi această problemă ar putea fi privită ca problemă cu mai multe necunoscute, dar sistemele corespunzătoare sunt foarte simple.

Toate acestea arată că clasificarea problemelor după numărul necunoscutelor este relativă, ca şi împărţirea problemelor în probleme de aritmetică şi probleme de algebră. În şcoală există tendinţa de a rezolva printr-o singură ecuaţie cu o singură necunoscută şi unele probleme în care enunţul trebuie transformat în prealabil, de exemplu, prima problemă de la acest punct cu privire la pârghie. Pregătirea elevilor are numai de câştigat dacă rezolvarea acestor probleme se amână cu câteva săptămâni, până ce elevii vor fi învăţat şi sisteme de ecuaţii. Dacă mai târziu, când elevii şi-au format o oarecare dexteritate în punerea problemelor în ecuaţie, un elev sau altul preferă să lucreze cu o singură ecuaţie, nu există nici un motiv să-l împiedicăm.

17

Page 18: Rezolvarea Cu Ajutorul Ecuatiilor

6. Întocmirea unor tabele. Uneori este recomandabil să se întocmească tabele, fie pentru a pune în evidenţă ce se dă şi ce se cere în problemă, fie pentru a urmări mai uşor transformările la care sunt supuse mărimile din problemă. Dăm două exemple:

a) Distanţa dintre două localităţi A şi B este de 48 km. Din A pleacă spre B un biciclist şi un motociclist. Viteza motociclistului este de 4 ori mai mare decât viteza biciclistului. Motocictistul pleacă cu 2

11 ore mai târziu decât biciclistul şi ajunge în B cu 211 oră

înaintea lui. Să se afle viteza fiecăruia dintre ei. Se formează următorul tabel:

v t SBiciclistul x y 48Motociclistul 4x y -

348

Urmărind enunţul, se completează întâi coloana a treia, apoi prima şi la sfârşit a doua (expresia y – 3 se obţine adunând în prealabil 2

11 cu 211 ). Cele două ecuaţii ale

problemei se obţin apoi scriind că în fiecare rând S = vt. Ele sunt: xy = 48, 4x(y — 3) = 48 şi dau x = 12, y = 48. Asemenea tabele sunt utile în cele mai multe probleme de mişcare.

Soluţia aritmetică. Viteza motociclistului este de 4 ori mai mare decât a biciclistului. În acelaşi timp, motociclistul ar parcurge un drum de 4 ori mai mare decât biciclistul, adică km192448 =⋅ . El ar ajunge astfel într-un punct C situat dincolo de B, unde AC = 192 km, deci BC = 192 – 48 = 144 km. Pentru a parcurge drumul AB îi trebuie cu 3 ore mai puţin decât biciclistului. În aceste 3 ore, el poate să parcurgă drumul BC, care este de 144 km, deci viteza sa este de 144 : 3 = 48 km/oră. Viteza biciclistului este de 4 ori mai mică, deci de 48 : 4= 12 km/oră.

b) Avem două vase A şi B, care conţin fiecare o anumită cantitate de lichid. Turnăm din A în B jumătate din cît conţine B, apoi turnăm din B în A jumătate din cît conţine A şi în sfîrşit turnăm din A în B jumătate din cît conţine B. După aceste trei operaţii, în fiecare vas se găsesc 27 l. Cît se găsea la început în fiecare dintre aceste vase?

Vasul A Vasul BLa început

După prima operaţie

După operaţia a II-a

x

2

2

2

yxyx

−=−

4

36

2

2

2

1

2

2 yxyxyx −=−⋅+−

8

1314

4

27

2

1

4

36 yxxyyx −=−⋅−−

y

2

3

2

yyy =+

4

27

2

2

2

1

2

3 xyyxy −=−⋅−

8

621

4

27

2

1

4

27 xyxyxy −=−⋅+−

18

Page 19: Rezolvarea Cu Ajutorul Ecuatiilor

După operaţia a III-a

Nu rămâne decât să se scrie că fiecare dintre expresiile obţinut după operaţia a treia este egală cu 27. Se obţine sistemul:

==

=−

=−

20

34

278

621

278

1314

y

x

xy

yx

În cursul lucrărilor care merg destul de greu în clasă, este util să se facă proba după fiecare operaţie; suma celor două expresii din aceeaşi linie trebuie să fie egală cu x + y. Se pot compune diferite variante. De exemplu, se dă că după operaţia a treia cele două vase conţin cantităţi egale de lichid (ceea, ce dă ecuaţia 10x=17y), sau se dă raportul dintre aceste cantităţi şi încă o relaţie dintre x şi y, de exemplu cele două vase conţineau la început 54 l. De asemenea, numărul operaţiilor se poate mări oricât de mult.Problemele de acest tip se rezolvă uşor prin „metoda retrogradă”. Se ştie că după a treia operaţie, fiecare din cele două vase conţineau câte 27 l. La această situaţie s-a ajuns adăugând la vasul B jumătate din conţinutul lui. Deci, cei 27 din B reprezintă o dată şi jumătate, adică 3 jumătăţi din cât se găsea în el înainte de ultima operaţie; 27 : 3 = 9; 9 – 2 = 18. Prin operaţia a treia s-au adăugat la vasul B = 27 – 18 = 91, care s-au luat din vasul A, deci în vasul A se găseau înainte de operaţia a treia 27 + 9 = 36 l. Aşadar, după operaţia a doua, în vasul A se găseau 36 l, iar în B 18 l. Acum raţionamentul se repetă: 36 : 3 = 12; 12 - 2 = 24; 36 – 24 = 12; 18 + 12 = 30; după prima operaţie în A se găseau 24 l, iar în B 30 l. Apoi 30 : 3 = 10; 20210 =⋅ ; 30 – 20 = 10; 24 + 10 = 34.

7. Probleme care duc la ecuaţii de aceeaşi formă. Pentru a învăţa pe elevi să pună problema în ecuaţie este util să se rezolve în aceeaşi oră mai multe probleme care duc la ecuaţii sau la sisteme de aceeaşi formă, sau unele dintre ele să se lucreze în clasă, iar altele să se dea ca temă pentru acasă. În felul acesta ei învaţă mai uşor să desprindă dintr-o situaţie concretă relaţiile matematice - când aceeaşi relaţie apare în diferite situaţii, ei o recunosc mai uşor. În unele manuale şi culegeri, problemele sunt chiar grupate în acest fel, dar este bine ca profesorul să le poată compune singur - aşa cum vom arăta în exemplele următoare.1) Să luăm, de exemplu, problema a) de la pagina anterioară care duce la sistemul: xy = 48, 4x(y — 3) = 48, adică la un sistem de forma xy = a, bx(y – c) = a. Aici produsele apar datorită relaţiei S = vt. Unde mai există relaţii asemănătoare? Producţia totală = (producţia în unitatea de timp) x timpul; costul = (preţul unitar) x cantitatea; suma totală = (contribuţia fiecăruia) x (numărul celor care contribuie) - când se face o colectă; cantitatea de material transportat = (capacitatea unui camion) x (numărul camioanelor), aria dreptunghiului sau a paralelogramului = baza x înălţimea ş.a.m.d. Se obţin probleme noi

19

Page 20: Rezolvarea Cu Ajutorul Ecuatiilor

înlocuind mărimile din problema dată cu altele. Analogia este deosebit de vizibilă dacă se iau producţia totală, producţia în unitatea de timp şi timpul; muncitorul face piese, iar biciclistul sau motociclistul „face” kilometri, producţia totală corespunde drumului total parcurs. Obţinem astfel enunţul:a) Doi muncitori trebuie să confecţioneze câte 48 de piese. Primul muncitor face de 4 ori mai multe piese pe oră decât al doilea (piesele lui se fac mai uşor); el începe lucrul cu 2

11

ore mai târziu decât al doilea şi-l termină cu 211 ore înaintea lui. Câte piese face fiecare

din ei pe oră?’Dacă se ia dreptunghiul, se obţine enunţul:

b) Aria unui dreptunghi este de 48 m2. Dacă mărim baza de 4 ori şi suprimăm 2 fâşii paralele cu baza, late de câte 1,5 m, obţinem un dreptunghi care are aceeaşi arie. Să se afle dimensiunile dreptunghiului.c) Este util şi enunţul sub forma abstractă: Produsul a două numere este 100. Dacă mărim unul din ele de 5 ori şi-l micşorăm pe celălalt cu 4, produsul rămâne neschimbat. Să se afle cele două numere.

Dacă se păstrează în diferite variante aceleaşi date - aşa cum am procedat la variantele a) şi b) - elevii văd mai uşor asemănarea dintre probleme, dar ei se orientează şi după criterii neesenţiale - ceea ce este, poate, admisibil la început; la variantele următoare, datele numerice trebuie neapărat schimbate. Pentru a obţine rezultate rotunde, se poate proceda astfel: se rezolvă ecuaţia literală, apoi se înlocuiesc în expresia soluţiei literele prin valori convenabile. De cele mai multe ori, condiţiile concrete ne obligă să dăm literelor valori cuprinse între anumite limite. De exemplu, în problema aceasta se

obţine ( )

.1

bc

bax

−= Parametrul b nu poate varia prea mult (viteza cu care merge un

motociclist este de 3 - 6 ori mai mare decât viteza cu care merge un biciclist); am luat b =

4. Atunci formula devine .4

3

c

ax = Pentru a nu se putea lua o valoare prea mare, un drum

de 48 km este destul de mult pentru un biciclist, rămâne să se aleagă şi c, astfel încât să se obţină pentru x un număr întreg, am ales c = 3.

2) Considerăm problema: A are 29 de lei, B are 11 lei. Fiecare din ei capătă câte 1 leu pe zi. După câte zile va avea A de două ori mai mult decât B? Aritmetic, problemele de acest fel se rezolvă observând că diferenţa dintre banii lui A şi banii lui B rămâne constantă. Problema revine la aflarea a două numere când se cunoaşte diferenţa lor (= 29 – 11 = 18) şi raportul (=2).

Se obţine ecuaţia:

;211

29 =++

x

xadică de forma: .k

xb

xa =++

Variante:

20

Page 21: Rezolvarea Cu Ajutorul Ecuatiilor

a) Într-un vas se găsesc 29 l de apă, iar în alt vas 11 l. În fiecare vas intră câte 1 l de apă pe minut. Peste cât timp va conţine primul vas de două ori mai multă apă decât al doilea?b) A are 29 de ani, B are 11 ani. Peste câţi ani va fi vârsta lui A de două ori mai mare decât vârsta lui B?

Această variantă este ceva mai grea, căci în enunţ nu se spune că în fiecare an se adaugă un an la vârsta fiecăruia. Cu această ocazie, menţionăm că aceste probleme, atât de răspândite în manuale, sunt cât se poate de nefireşti. Când se compară vârstele a doi oameni se întreabă cu cât, nu de câte ori este mai mare unul decât celălalt.c) Într-o clasă au fost 17 băieţi şi 7 fete. Au venit acelaşi număr de băieţi şi de fete şi acum sunt în clasă de două ori mai mulţi băieţi decât fete. Câţi băieţi au venit?

Varianta următoare are o formă mai abstractă.

d) Ce număr trebuie să adunăm la ambii termeni ai fracţiei 39

19ca să obţinem o fracţie

egală cu ?5

3

Pentru a potrivi datele numerice, se poate folosi, aşa cum am arătat în exemplele

precedente, soluţia literală .1−

−=k

kbax Când ni-l dăm pe k dinainte, se poate proceda mai

simplu. În cazul de faţă am luat la întâmplare o fracţie egală cu 2, şi anume 18

36, apoi am

scăzut din ambii termeni numărul 7 (luat la întâmplare, dar având grijă să obţinem o fracţie ireductibilă).

Foarte util este să cerem elevilor să compună ei variante. Prin aceasta stimulăm imaginaţia lor şi, totodată, ei ajung să pătrundă mai bine legătura dintre enunţul unei probleme şi ecuaţia corespunzătoare. Dacă punerea problemelor în ecuaţie poate fi comparată cu o traducere dintr-o limbă în alta, compunerea unei probleme care să corespundă unei ecuaţii date corespunde cu o retroversiune şi este ştiut cât de utile sunt retroversiunile în învăţarea unei limbi străine.

Procedeul recomandat aici are două avantaje. Primul: elevii învaţă mai uşor să desprindă dintr-o situaţie concretă relaţiile matematice – când aceeaşi relaţie apare în diferite situaţii concrete, ei o recunosc mai uşor. Al doilea: procedeul pune în evidenţă caracterul general al relaţiilor matematice. Prin aceeaşi ecuaţie sau prin acelaşi sistem de ecuaţii se rezolvă probleme care, la prima vedere, nu au nimic comun.

Se poate da variantelor o altă direcţie, compunând probleme care duc la ecuaţii asemănătoare, nu chiar de aceeaşi formă. De exemplu, în cazul problemei 1) de mai sus, datele se pot schimba astfel: a) în loc de: viteza motociclistului este de 4 ori mai mare decât viteza biciclistului, se poate da că viteza motociclistului este cu 36 km/oră mai mare decât a biciclistului (ecuaţia a doua devine (x + 36)(y — 3) = 48; b) în locul datelor cu privire la momentul plecării şi momentul sosirii motociclistului, din care rezultă că timpul în care motociclistul parcurge drumul este y – 3, se poate da că timpul în care

21

Page 22: Rezolvarea Cu Ajutorul Ecuatiilor

motociclistul parcurge drumul este 1/4 din timpul necesar biciclistului - diferenţa vitezelor fiind de 36 km.

Mai multe posibilităţi oferă problema a doua, de exemplu:a) A are 60 de lei, iar B are 154 de lei. Fiecare din ei cheltuieşte câte 1 leu pe zi.

După câte zile va avea B de 3 ori mai mult decâ A? [15 zile]b) A are 27 de lei, iar B are 78 de lei. A capătă în fiecare zi câte 1 leu, iar B

cheltuieşte în fiecare zi câte 1 leu. După câte zile va avea B de două ori mai mult decât A? [8 zile]

Problema devine ceva mai grea dacă întrebarea se formulează astfel: cât trebuie să dea B lui A ca B să aibă de 2 ori mai mult decât A?

Elevii au tendinţa să scrie: micşorează numărătorul, dar omit să mărească numitorul sau fac greşeala inversă.

c) A are 33 de lei şi B are 49 de lei. Ei primesc în fiecare zi câte 3 lei. Peste câte zile va fi raportul dintre banii lor egal cu 3/4? [5 zile]

d) A are 50 de lei, iar B 221 de lei. A capătă în fiecare zi câte 4 lei, iar B cheltuieşte în fiecare zi câte 6 lei. Peste câte zile va fi raportul dintre banii lor egal cu 2/5? [6 zile]

e) Doi drumeţi A şi B merg pe aceeaşi şosea care trece printr-o localitate O. La un moment dat, distanţele de la localitatea O sunt: OA = 50 km, OB = 221 km. Drumeţul A se depărtează de localitatea O cu 4 km/oră, iar B se apropie de O cu 6 km/oră. După câte

ore va fi raportul dintre aceste distanţe egal cu ?5

2

8. Lecţii speciale de punere a problemelor în ecuaţie. Se ştie că la problemele ce se rezolvă cu ajutorul ecuaţiilor, partea cea mai importantă este formarea ecuaţiei sau a sistemului. De aceea este util ca unele lecţii să fie consacrate numai acestor lucrări. Problema se consideră rezolvată în momentul în care a fost pusă în ecuaţie, în felul acesta se concentrează efortul asupra greutăţii principale şi densitatea lecţiilor creşte pentru că se elimină munca, mai puţin interesantă în acest moment, de rezolvare a ecuaţiei sau a sistemului. Totodată se ridică nivelul lecţiilor. Se pot face diferite comentarii, aceeaşi problemă se poate pune în ecuaţie în mai multe feluri, se pot rezolva mai multe probleme asemănătoare ş.a.m.d. În special, exerciţii ca cele indicate la punctul precedent nici nu se pot face cu spor dacă se duc calculele până la capăt. Bineînţeles, acest procedeu nu poate fi folosit permanent, ci numai când elevii sunt mai avansaţi şi în mod sporadic.

22

Page 23: Rezolvarea Cu Ajutorul Ecuatiilor

ALTE RECOMANDĂRI

1. Comparaţia dintre soluţia aritmetică şi cea algebrică 2. Probleme în care trebuie făcute unele operaţii suplimentare 3. Probleme cu date în

litere 4. Probleme în aparenţă nedeterminate 5. Observaţii finale

În paragraful precedent am indicat o serie de mijloace prin care îi putem învăţa pe elevi să pună probleme în ecuaţie. În cele ce urmează dăm unele recomandări speciale, prin care se urmăreşte o adâncire a cunoştinţelor elevilor, dincolo de limitele obişnuite.

1. Comparaţia dintre soluţia aritmetică şi cea algebrică. Nu este cazul să se rezolve în mod sistematic problemele de algebră şi pe cale aritmetică. Aceasta ar constitui o imensă risipă de timp şi de energie. Mai mult, într-un anumit sens acest lucru este chiar con-traindicat. Scopul acestor probleme este să-i învăţăm pe elevi să mânuiască instrumentul algebric. Rezolvând în paralel problemele sau un mare număr dintre ele pe cale aritmetică riscăm să avem soarta vânătorului care aleargă după doi iepuri. Considerăm că uneori este, totuşi, util să se compare metoda algebrică cu cea aritmetică, atunci când elevii cunosc şi pe aceasta din urmă, şi să se dea interpretări concrete ale metodelor de rezolvare a sistemelor liniare.

1) În primul rând vin în consideraţie problemele care se rezolvă printr-o ecuaţie de forma

Nncbaundenc

x

b

x

a

x ∈=++ ,,,,, . Asemenea probleme se rezolvă în număr mare la

aritmetică şi calculele care se fac sunt foarte asemănătoare cu cele care se fac pentru a rezolva ecuaţia. Să luăm, de exemplu, problema: Cineva a avut o sumă de bani. El a cheltuit pe rând 1/3, 1/6 şi 2/9 din ea şi i-au rămas 85 de lei. Câţi bani a avut?

La aritmetică, această problemă se rezolvă prin operaţiile următoare:

,30618

5:85;

18

5

18

131;

18

13

9

2

6

1

3

1 ==−=++ iar ecuaţia problemei este: 859

2

63=

++− xxx

x

sau .859

2

63x

xxx =+++

Pentru a pune în evidenţă analogia cu soluţia aritmetică, este mai bine să se efectueze unele calcule înainte de a scrie ecuaţia, astfel:

.306;8518

5;

18

5

18

13;

18

13

9

2

63===−=++ x

xxxx

xxxx

23

Page 24: Rezolvarea Cu Ajutorul Ecuatiilor

Calculele sunt aceleaşi ca la soluţia aritmetică (în clasă, lucrările se pot aşeza

frumos pe două coloane). Faptul că ecuaţia 8518

5 =xse rezolvă de obicei prin doi paşi

( )306,18855 =⋅= xx , iar la aritmetică se face o singură operaţie

18

5:85 nu are

importanţă; se poate scrie 18

5:85;85

18

5 == xx sau în prima soluţie, ultima lucrare se poate

descompune în două: se află întâi 18

1 din sumă, apoi toată suma, ceea ce revine la

simplificarea ecuaţiei cu 5. Rămâne numai operaţia a doua. Descăzutul este x în loc de 1. În privinţa aceasta, se poate observa că la soluţia aritmetică acest punct este cel mai greu. Elevii scriu cu uşurinţă diferitele fracţii, înţelegând că fiecare fracţie este o fracţie din ceva, care nu se menţionează niciodată la calculele cu fracţii, dar se împacă greu cu ideea de a scrie 1 pentru suma întreagă, căci această sumă nu este de 1 leu. În soluţia algebrică, această dificultate nu apare, se scade din toată suma partea cheltuită.

2) Se poate da metodei comparaţiei o interpretare concretă. Considerăm, de exemplu, problema: 16 caiete şi 15 creioane costă împreună 58 de lei, 12 caiete şi 7 creioane costă împreună 38,40 de lei. Cât costă un caiet? Cât costă un creion?

Problema se rezolvă cu ajutorul sistemului:

=+=+

40,38712

581516

yx

yx

Pentru a rezolva sistemul, se înmulţeşte prima ecuaţie cu 3 şi a doua cu 4, apoi se scade ecuaţia a doua din prima. În loc să spunem că înmulţim prima ecuaţie cu 3, putem spune că aflăm cât am plăti dacă am cumpăra de 3 ori mai multe caiete şi de 3 ori mai multe creioane; în mod analog se interpretează înmulţirea ecuaţiei a doua cu 4.

Punem faţă în faţă lucrările prin care se rezolvă sistemul şi soluţia aritmetică:

lei 1,20 costacreion .....1........................................1,20......

lei 20,40 costa creioane ..17........................................20,40.....17

lei 153,60 costa creioane 28 si caiete ....48....................153,60....2848

lei 174 costa creioane 45 si caiete ......48....................174.......45 48

lei 38,40 costa creioane 7 si caiete ......12....................38,40.....7 12

lei 58 costa creioane 15 si caiete16...................................581516

==

=+=+

=+=+

y

y

yx

yx

yx

yx

În partea dreaptă, rândul al 5-lea se obţine comparând cele două rânduri precedente. De fiecare dată s-a cumpărat acelaşi număr de creioane, 48; diferenţa de preţ se datorează faptului că s-a cumpărat a doua oară cu 45 – 28 = 17 creioane mai puţin şi de aceea s-a plătit cu 174 – 153,60 = 20,40 lei mai puţin. Deci, 17 creioane costă 20,40 lei. De aici se obţine costul unui creion.

24

Page 25: Rezolvarea Cu Ajutorul Ecuatiilor

În aritmetică, procedeul folosit în coloana din dreapta se numeşte uneori „metoda egalării termenilor”. Fie că elevii îl cunosc de la aritmetică, fie că nu-l cunosc, el poate fi folosit pentru a da o frumoasă interpretare intuitivă metodei eliminării prin reducere.

3) În mod asemănător se poate interpreta metoda eliminării prin substituţie. Fie, de exemplu, problema: La o cantină iau masa 80 de copii şi 24 de adulţi. Raţia de lapte a unui copil este cu 100 ml mai mare decât dublul raţiei unui adult. Într-o zi se consumă 54 l de lapte. Care este raţia de lapte a unui copil? A unui adult?

Sistemul corespunzător este:

+==+1,02

542480

yx

yx, el se rezolvă prin metoda

substituţiei: ( ) .25,0;46184;548184;54248160;54241,0280 ===+=++=++ yyyyyyy

Aritmetic, problema se rezolvă astfel: se presupune că tot laptele este împărţit în porţii, 80 de porţii de copii şi 24 porţii de adulţi, şi se cere să se transforme totul în porţii de adult. Din datele problemei rezultă că din fiecare porţie mare se fac două porţii mici şi rămân 100 ml, care se strâng într-un vas. Se obţine astfel 80 – 2 = 160 de porţii mici şi în vas se strâng 0,1 – 80 = 8 l de lapte. Mai sunt 24 de porţii mici şi în total sunt 54 l de lapte, deci 160 + 24 = 184 de porţii mici şi 8 l reprezintă în total 54 l; prin urmare, cele 184 de porţii reprezintă 54 – 8 = 46 l; o singură porţie mică are 0,250 l. Substituirii lui x din prima ecuaţie prin 2y + 0,1 îi corespunde operaţia concretă de a înlocui porţiile de copil prin porţii de adult. Calculele care se fac când se dă soluţia aritmetică corespund întocmai celor care se fac pentru a rezolva sistemul, aşa cum ele au fost prezentate desfăşurat.

2. Probleme în care trebuie făcute unele operaţii suplimentare. Elevii, când se găsesc în faţa unei probleme la algebră, trec imediat la punerea ei în ecuaţie. Aşa îi obişnuim noi. Pentru dezvoltarea intelectuală a elevilor este util să dăm şi unele probleme care să nu fie gata aranjate pentru a fi puse în ecuaţie. Bineînţeles, aceasta se poate face abia când elevii sunt mai avansaţi în rezolvarea problemelor.

În manuale şi în culegeri, asemenea probleme sunt foarte rare – dacă nu inexistente, profesorul trebuie să şi le compună singur, complicând probleme cunoscute. Dăm câteva exemple:

1) Pornim de la o problemă care duce la o ecuaţie de forma date,numere,, bakxb

xa =−−

de

exemplu:A are un salariu de 1380 de lei, B are un salariu de 1650 de lei. Fiecare din ei cheltuieşte aceeaşi sumă de bani şi la sfârşitul lunii îi rămâne lui B de 2 ori mai mult decât lui A. Cât cheltuieşte fiecare din ei într-o lună?

Complicăm enunţul, înlocuind prima frază prin următoarea: A a avut un salariu de 1200 de lei şi B de 1500 de lei; salariul lui A s-a mărit cu 15%, iar salariul lui B cu 10%.

25

Page 26: Rezolvarea Cu Ajutorul Ecuatiilor

Înainte de toate trebuie să aflăm ce salariu are fiecare din ei acum; abia pe urmă

se poate trece la punerea problemei în ecuaţie. Se obţine ecuaţia ,2

1

1650

1380 =−−

x

x care dă x =

1110.2) O secţie a unei uzine trebuie să livreze la un termen anumit o anumită cantitate de piese. Dacă se fac câte 80 de piese pe zi, se produc până la termenul stabilit cu 36 de piese mai puţin decât trebuie. Dacă, însă, producţia zilnică se măreşte cu 12 piese, lucrarea se termină cu 3 zile înainte de termen şi se fac chiar cu 12 piese mai mult. De câte piese a fost comanda şi în cât timp trebuiau fabricate piesele comandate?

Problema se poate rezolva cu ajutorul sistemului: ( )

==

+=−−=

.2196

27

12392

3680

y

x

yx

yx

Se poate introduce, de exemplu, următoarea complicaţie. În loc să se dea că producţia zilnică se măreşte cu 12 piese, se dă că ea se măreşte cu 15%; iar în loc de: se fac chiar cu 12 piese mai mult, se dă că se fac cu 48 de piese mai mult decât s-ar fi făcut dacă se produceau numai câte 80 de piese pe zi; sau: se fac mai multe piese decât se cere în comandă, şi anume 1/3 din numărul pieselor care ar lipsi dacă s-ar produce numai câte 80 de piese pe zi.3) La o cooperativă agricolă de producţie se cultivă grâu pe 2 loturi de pământ. Recolta de pe primul lot a fost evaluată la 1600 kg/ha, cea de pe lotul al doilea la 2000 kg/ha şi s-a calculat că în felul acesta recolta totală va fi de 32 de vagoane. În realitate, recolta de pe primul lot a fost cu 10% mai mare, iar recolta de pe lotul al doilea a fost cu 5% mai mică şi a conţinut 6% corpuri străine. Producţia totală a fost cu 112 kg mai mică decât s-a prevăzut. Câte hectare are fiecare din aceste loturi?

Problema se rezolvă cu ajutorul sistemului:

==

=+=+

.7

10

3188817861760

3200020001600

y

x

yx

yx

Calculele suplimentare intervin în calcularea coeficienţilor din ecuaţia a doua: 10% din 1600 = 160; 1600 + 160 = 1760; 5% din 2000 = 100; 2000 – 100 = 1900; 6% din 1900 = 114; 1900 – 114 = 1786 (ar fi greşit să se ia dintr-o dată 5% + 6% = 11%); 32000 – 112 = 31888.

Complicaţii mici de acest fel se pot introduce aproape în toate problemele, exprimând mărimile date în unităţi diferite: kilograme şi grame, metri şi centimetri ş.a.m.d. Ceva mai greu este cazul când, în aceeaşi problemă, viteza se exprimă în km/oră şi m/min. Subliniem că toate calculele acestea trebuie să aibă un caracter aritmetic, adică ele trebuie să intervină în aflarea constantelor care intervin în ecuaţia sau în sistemul de ecuaţii ale problemei. Aceluiaşi scop, dar în măsură mai mică, îi servesc problemele care cer un mic calcul după ce ecuaţia sau sistemul a fost rezolvat.

Aceste complicaţii, oricât de mici, sunt utile prin faptul că datorită lor elevii sunt obligaţi să iasă din tiparele obişnuite. La un examen s-a dat o problemă în care trebuia aflat în cât timp se face o anumită lucrare, dar întrebarea a fost formulată cam astfel: lucrarea trebuia să fie terminată la data de 5 septembrie; la ce dată va fi terminată? (Din

26

Page 27: Rezolvarea Cu Ajutorul Ecuatiilor

ecuaţie rezultă că lucrarea se termină cu un anumit număr de zile înainte de termen. Foarte mulţi elevi au rezolvat bine problema, dar au greşit la aflarea datei - nu au ţinut seama că luna august are 31 zile.)

3. Probleme cu date în litere. Se pare că aceste probleme sunt prea grele pentru şcoala generală. Sunt, totuşi, recomandabile câteva probleme care se rezolvă efectiv la aritmetică şi unde ele nu sunt privite ca simple exerciţii, ci fiecare formează un tip special, care se rezolvă prin metode speciale. Este vorba de următoarele trei probleme:1) Să se afle două numere, cunoscând suma lor s şi diferenţa lor d.

2) Să se afle două numere cunoscând suma lor s şi raportul lor q

p.

3) Să se afle două numere cunoscând diferenţa lor d şi raportul lor q

p.

Aceste probleme au avantajul că scot elevii din labirintul de metode pe care le-au învăţat la aritmetică. Acest lucru se poate arăta elevilor, ca ei să devină conştienţi de progresul pe care l-au făcut prin faptul că au învăţat algebra. Au dispărut metodele spe-ciale. Acum, fiecare din aceste probleme este o problemă ca oricare alta, care se rezolvă cu ajutorul unui sistem de ecuaţii. Pe de altă parte, revenirea asupra procedeelor din aritmetică are avantajul că, şi în cadrul lor, se folosesc litere - ceea ce nu se face la arit-metică.

4. Probleme în aparenţă nedeterminate. Deosebit de instructive sunt problemele care duc la un sistem în care numărul ecuaţiilor este mai mic decât numărul necunoscutelor şi care se pot, totuşi, rezolva. În unele cazuri, aceasta se datoreşte faptului că în problemă nu se cere să se afle valorile necunoscutelor x şi y, ci o anumită expresie, cum ar fi x + y sau xy, care este determinată de datele problemei; în alte cazuri, una dintre necunoscute se reduce. Aceste probleme sunt interesante, pentru că ies din cadrul problemelor obişnuite şi îi obligă pe elevi să reflecteze. Dăm câteva exemple:1) Un dreptunghi are însuşirea următoare: dacă mărim una dintre laturile sale cu 25 cm, iar cealaltă cu 15 cm, perimetrul lui devine de 180 cm. Se cere perimetrul dreptunghiului.

( ) ( )[ ]cmdeesteperimetrulyxyx 100;10022;180152252 =+=+++Variante: ambele laturi se micşorează; o latură se măreşte şi cealaltă se micşorează.

2) Dacă mărim o latură a unui dreptunghi de 3 ori, iar cealaltă de 4 ori, aria sa devine de 132 cm2. Se cere aria dreptunghiului.

( )211;11;13243 cmdeesteariaxyyx ==⋅Variante analoge cu cele de la problema precedentă.3) Aria unui trapez este de 70 cm2, iar înălţimea sa este de 7 cm. Se cere linia mijlocie a trapezului.4) O barcă merge pe un râu. Dacă viteza cu care curge apa ar fi cu 0,5 km/oră mai mare, iar viteza proprie a bărcii ar fi cu 6 km/oră mai mare, barca ar merge la vale cu o viteză de 18,5 km/oră. Cu ce viteză merge barca la vale?

27

Page 28: Rezolvarea Cu Ajutorul Ecuatiilor

( ) ( )[ ]orakmcuvalelemergebarcayxyx /12;12;5,1865,0 =+=+++ Problema analogă când barca merge la deal ( ) ( )[ ] ./13;12;5,185,06 orakmxyxy =−=+−+ 5) Doi biciclişti A şi B trec peste un pod MN mergând cu viteze egale. Biciclistul A merge de la M spre N, iar B de la N spre M şi ei se întâlnesc într-un punct P, unde MP este 85 - din lungimea podului. O maşină trece peste acelaşi pod de la M spre N. Ea intră pe pod în acelaşi timp cu biciclistul A şi se întâlneşte cu biciclistul B în momentul când acesta intră pe pod. Viteza maşinii este de 60 km/oră. Se cere viteza bicicliştilor.

Fie a lungimea podului socotită în kilometri, t momentul întâlnirii (timpul fiind socotit în ore, de la momentul în care biciclistul A intră pe pod), iar x viteza bicicliştilor în km/oră. Timpul necesar maşinii pentru a parcurge podul este 60a , deci biciclistul B intră pe pod cu 60a ore mai târziu decât A. Până în momentul întâlnirii, biciclistul A merge timp de t ore, iar B timp de ( )60at − ore şi ei parcurg, respectiv MP = tx km şi NP = ( )60at − x km. Se obţine o primă ecuaţie, scriind că suma acestor drumuri este de a km:

.60

axa

ttx =

−+ A doua ecuaţie se obţine scriind că MP este 85 din lungimea

podului: .8

5atx = Avem astfel un sistem de două ecuaţii cu trei necunoscute: t, x şi a.

Totuşi, problema se poate rezolva.Se înlocuieşte în prima ecuaţie tx prin 85 a, se împarte ecuaţia prin a ( )0≠a şi se

obţine x = 15. Bicicliştii merg cu o viteză de 15 km/oră. Este remarcabil că a şi t rămân nedeterminaţi (legaţi prin relaţia a = 24 t), ceea ce înseamnă că viteza bicicliştilor este aceeaşi oricare ar fi lungimea podului.

Soluţia aritmetică: studiem mişcarea bicicliştilor din momentul în care biciclistul A intră pe pod. În acest moment, biciclistul B se află într-un punct N’. Deoarece ei merg cu aceeaşi viteză, ei trebuie să se întâlnească la mijlocul drumului, deci MP=PN’. Cum MP este egal cu 5 diviziuni (o diviziune este a 8-a parte din pod), PN este de asemenea de 5 diviziuni, deci NN’ este de două diviziuni. Pe de altă parte, se dă că maşina şi bibiclistul B se întâlnesc în N, iar când maşina se află în M, B se află în N’ (A se află în M). Rezultă că în timpul în care maşina parcurge tot podul, care este de 8 diviziuni, B parcurge drumul N’N, care este de numai două diviziuni, deci de 4 ori mai mic. Rezultă că viteza biciclistului este a patra parte din viteza maşinii.6) Un înotător înoată pe Neva împotriva curentului. În dreptul podului Republica pierde o ploscă goală. După ce mai înoată 20 min îşi dă seama de pierdere; se întoarce şi ajunge plosca în dreptul podului Schmidt. Să se afle cu ce viteză curge apa, dacă distanţa dintre cele două poduri este de 2 km.

Fie S podul Schmidt, R podul Republica, T punctul în care se găseşte înotătorul în momentul când îşi dă seama că a pierdut plosca, t timpul (în ore) cât merge înotătorul în sensul apei după ce a pierdut plosca (în care face drumul RT), SR - d km, v şi x, respectiv viteza înotătorului şi a apei (în km/oră). Înotătorul merge în sensul apei cu viteza v – x, iar în jos cu viteza v + x; plosca merge cu viteza x.

28

Page 29: Rezolvarea Cu Ajutorul Ecuatiilor

Avem: RT = (v — x)t, ST = (v — x)t + d. Scriem că timpul în care înotătorul face drumul de la R la T şi de aici înapoi la S (cu viteza v + x) este egal cu timpul în care plosca

face drumul RS (cu viteza x) şi obţinem ecuaţia: ( )

.x

d

xv

dtxvt =

++−+

În problemă se dau numai d = 2 km şi t = 31 ore, deci ecuaţia conţine două necunoscute: v şi x. Totuşi, problema se poate rezolva, căci, făcând calculele, v se reduce

şi se obţine t

dx

2= . Cu datele din problemă: x = 3 km/oră.

Soluţie aritmetică: Presupunem că totul s-ar petrece într-o apă stătătoare. Atunci lucrurile ar fi foarte simple. Înotătorul ar merge un timp t până într-un punct T şi de aici s-ar întoarce până în punctul R, unde ar găsi plosca, care stă pe loc. Deci, el ar găsi plosca după 2t ore (t ore pentru a merge din R până în T şi tot atât pentru a merge înapoi). Acest rezultat rămâne valabil şi într-o apă curgătoare, căci distanţa dintre înotător şi ploscă rămâne neinfluenţată de faptul că apa curge la vale. Într-adevăr, fie v viteza înotătorului, iar x viteza apei (a ploştii). Într-o apă stătătoare, înotătorul, când merge în sus, s-ar depărta de ploscă într-o unitate de timp cu o distanţă v; datorită faptului că apa curge la vale, înotătorul parcurge numai drumul v – x, în schimb plosca parcurge la vale un drum de lungime x, deci distanţa dintre ei creşte tot cu v. Când merge la vale, înotătorul parcurge într-o unitate de timp un drum v + x, dar plosca parcurge un drum de lungime x, deci distanţa dintre înotător şi ploscă scade cu v – ca într-o apă stătătoare (acest lucru devine mai clar dacă ne închipuim o plută foarte lungă, de la R la T, şi că înotătorul, în loc să înoate, ar merge pe plută de la R la T şi înapoi, unde ar găsi plosca; faptul că pluta este antrenată de apă la vale nu are nici o influenţă).

Rezultă că şi într-o apă curgătoare înotătorul prinde plosca după 2t ore, timp în care plosca parcurge drumul d. Dacă viteza ploştii este d:2t. Aceasta este şi viteza apei.

Acum devine clar de ce rezultatul este independent de viteza înotătorului, căci s-a dat timpul cât merge înotătorul în susul apei, din R până în T, nu distanţa RT. Dacă viteza proprie a înotătorului devine mai mare sau mai mică, distanţa RT creşte sau scade, dar timpul necesar înotătorului pentru a face drumul de la R la T şi înapoi rămâne acelaşi, 2t. Viteza v intervine numai când, pentru a pune problema în ecuaţie, calculăm lungimea segmentului RT.

5. Observaţii finale.a) La acest capitol, mai mult de cât la altele, se aplică proverbul: „Nu multe, ci mult”. La partea care se referă la calculul algebric sunt în adevăr necesare multe exerciţii, ca elevii să ajungă să calculeze rapid şi sigur. Aici, însă, situaţia este alta. Contează mai puţin cantitatea problemelor rezolvate, important este ca elevii să înţeleagă bine problemele care se rezolvă.b) Pe cât posibil, să nu se considere o problemă terminată în momentul în care s-a aflat valoarea necunoscutei, chiar dacă se face proba - în enunţ, nu în ecuaţie. Este util să se facă, de la caz la caz, observaţii, să se discute alte posibilităţi de a pune problema în

29

Page 30: Rezolvarea Cu Ajutorul Ecuatiilor

ecuaţie ş.a.m.d. Acest lucru devine mai clar dacă ne închipuim o plută foarte lungă, de la R la T, şi că înotătorul, în loc să înoate, ar merge pe plută de la R la T şi înapoi, unde ar găsi plosca. Faptul că pluta este antrenată de apă la vale nu are nici o influenţă.c) Faptul că nu există o metodă de a pune problema în ecuaţie nu înseamnă că, în clasă, putem rezolva probleme luate la întîm-plare. Tocmai aici, unde ordinea de predare nu este bine determinată de conţinut, ca la alte capitole, organizarea predării joacă un rol mai mare. Problemele trebuie grupate pe criterii; greutatea de a le pune în ecuaţie, forma ecuaţiei, conţinutul ş.a.d) Să nu pierdem din vedere ce este esenţial la acest capitol: punerea în ecuaţie. Asupra acestei laturi să ne îndreptăm atenţia, atât la problemele pe care le rezolvăm în clasă, cât şi la cele pe care le dăm ca teme pentru acasă. În special la acestea din urmă, la verificare, să discutăm cu toată clasa cum au fost puse problemele în ecuaţie.e) Problemele ce se rezolvă cu ajutorul ecuaţiilor nu sînt un scop în sine, ele sunt exerciţii de a aplica algebra la descrierea unor situaţii şi relaţii din realitate. Aceluiaşi scop îi servesc şi alte exerciţii şi probleme, care nu duc la ecuaţii ci la ua simplu calcul algebric. Asemenea exerciţii trebuie făcute tot anul, în cadrul calculului algebric.

30