sayisal suzgec tasarimi ve uygulamalari digital filter design and applications
TRANSCRIPT
BAKENT NVERSTES FEN BLMLER ENSTTS
SAYISAL SZGE TASARIMI VE UYGULAMALARI
E. ANIL AOLU
YKSEK LSANS TEZ 2008
SAYISAL FLTRE TASARIMI VE UYGULAMALARI
DIGITAL FILTER DESIGN AND APPLICATIONS
E. ANIL AOLU
Bakent niversitesi Lisansst Eitim retim ve Snav Ynetmeliinin ELEKTRK-ELEKTRONK Mhendislii Anabilim Dal in ngrd YKSEK LSANS TEZ olarak hazrlanmtr 2008
Fen Bilimleri Enstits Mdrl'ne, Bu alma, jrimiz tarafndan ELEKTRK-ELEKTRONK MHENDSL ANABLM DALI'nda YKSEK LSANS TEZ olarak kabul edilmitir.
Bakan (Danman)
: Prof. Dr. Turhan iftiba
ye
: Yrd. Do. Dr. Mustafa Doan
ye
: Yrd. Do. Dr. Hamit Erdem
ONAY Bu tez 09/06/2008 tarihinde Enstit Ynetim Kurulunca belirlenen yukardaki jri yeleri tarafndan kabul edilmitir.
...../06 /2008 Prof.Dr. Emin AKATA FEN BLMLER ENSTTS MDR
TEEKKR
Bu almann ortaya kmasnda ynlendirici ve belirleyici rolleriyle en byk paya sahip olan Sayn Prof. Dr. Turhan FTBAIna, bana gstermi olduu zveri ve yardmlar iin, Sayn Yrd. Do. Dr. Mustafa DOANa karlatm sorunlarn almasnda yardmc olduu ve bu almay titizlikle takip edip deerli tecrbelerini paylamay esirgemedii iin, Sayn Yrd. Do. Dr. Hamit Erdeme bu almay zenle deerlendirip yapt katklar iin, sevgili kzm Elif ve eim Zeynepe maddi manevi her trl destekleri iin en iten teekkrlerimi sunarm.
Z
SAYISAL FLTRE TASARIMI VE UYGULAMALARI E. Anl AOLU Bakent niversitesi Fen Bilimleri Enstits Elektrik-Elektronik Mhendislii Anabilim Dal Sinyal szme; veri iletiimi, biyomedikal uygulamalar, askeri ve sivil elektronik sistemler, endstriyel uygulamalar gibi ierisinde deiik sinyal ileme yntemlerinin bulunduu sistemlerde yaygn bir biimde kullanlr. Bu almada saysal sinyal ilemenin en temel dayana olan Ayrk Zamanl Fourier Dnm ve bu dnmn zayf taraf olan zamanda yerellik sorununu zen Ksa Zamanl Fourier Dnm ve frekansa gre uyarlamal zaman leklemesi ile ne kan Dalgack Dnm ayrntl incelenecektir. Daha sonra bnyesinde istatistiksel szme yaklamlarn da ieren ve birok eniyileme algoritmas barndran Optimal Szge tasarm yntemleri incelenecektir. Teorik altyaps hazrlanan IIR saysal szge tasarm teknikleriyle MATLAB ortamnda benzetim almas yaplacak ve szge tasarmlar iin etkileimli bir program gelitirilecektir. kinci aamada ise nceden tantlan tekrarsz Optimal Wiener Szge tasarm teknikleri kullanlarak, gnlk hayatta kullanlabilecek fetal ECG sinyallerinin anne ECG sinyalinden ve dier grlt unsurlarndan ayrt edilmesi tasarlanacak bir programla hedeflenmitir. Ayrm sonucu ortaya kacak olan grltnn dalgack dnm ile temizlenmesi ve bu sonularn dier yntemlerle salkl karlatrlabilmesi iin eitli baarm ltleri gelitirilip, yorumlanmtr. Anahtar Szckler: Saysal Szge Tasarm, Dalgack Dnm, Optimal Szgeler, Ksa Zamanl Wiener Szge, Fetal ECG Ayrm Danman: Prof. Dr. Turhan FTBAI, Bakent niversitesi, ElektrikElektronik Mhendislii Blm.
i
ABSTRACT
DIGITAL FILTER DESIGN AND APPLICATIONS E. Anl AOLU Bakent University Institute of Science Department of Electrical-Electronics Engineering Signal filtering, is frequently used at data communication, biomedical systems, military and civilian electronic systems, industrial applications in which different variety of signal processing techniques are applied. In this study, Discrete Fourier Transformation, the most important foundation support of the digital signal processing, will be inquired. In order to overcome the time localization problem of Fourier Transform Short Time Fourier Transform and with the distinct property of adaptive time scaling with respect to frequency Wavelet Transform will be introduced respectively. With the theoretical foundations of digital IIR filters, interactive digital filter design program will be developed at MATLAB environment. At the second stage with the knowledge of optimal Wiener filter design techniques, as an example of real life problems, it is aimed to design a program which extracts fetal ECG from mother ECG signal and other noise sources. Noise at the extracted results will be cancelled by wavelet methods and for the accuracy of the compared results some performance criteria developed and interpreted. Keywords: Digital and Analog Filter Design, Wavelet Transformation, Optimal Filter, Short Time Wiener Filter, Fetal ECG Extraction Advisor: Prof. Dr. Turhan FTBAI, Bakent University, Department of Electrical-Electronics Engineering
ii
NDEKLER LSTES Sayfa Z...........................................................................................................................i ABSTRACT............................................................................................................ii NDEKLER LSTES ......................................................................................... iii EKLLER LSTES ...............................................................................................v ZELGELER LSTES ....................................................................................... viii SMGELER VE KISALTMALAR LSTES..............................................................ix 1. 2. GR ............................................................................................................. 1 SAYISAL SZGE TASARIMI ..................................................................... 4 2.1. Saysal Szgecin zellikleri ....................................................................... 4 2.2. Szgelerin Snflandrlmas...................................................................... 6 2.1.1. Butterworth szge .............................................................................. 6 2.2.2. Chebyshev szge............................................................................... 9 2.2.3. Chebyshev tip 2 szge..................................................................... 11 2.2.4. Eliptik szge (Cauer szge) ........................................................... 12 3. SAYISAL FLTRELERN TANIMLANMASI VE GEREKLETRLMES.. 14 3.1. Saysal Szgecin Aktarm levi ............................................................... 15 3.1.1. Tekrarl ve tekrarsz szgecin zellikleri ............................................ 16 3.2. Tekrarl Szge Tasarm ......................................................................... 17 3.2.1. ift dorusal dnm ....................................................................... 19 3.3. Saysal Filtrelerin Gerekletirilmesi......................................................... 21 3.3.1. Direkt (transversal) yap..................................................................... 22 3.3.2. Kafes yaps ....................................................................................... 23 3.3.3. Direkt form 1 yaps......................................................................... 24 3.3.4. Direk form 2 yaps.......................................................................... 24 3.3.5. Seri (cascade) yap ............................................................................ 25 3.3.6. Paralel gerekletirme ....................................................................... 26 4. OPTMAL VE UYARLAMALI STATSTKSEL SZGELER.................... 27 4.1. Wiener Szge ......................................................................................... 27 4.2. Dorusal Tahmin ...................................................................................... 30 4.3. Grlt Temizleme ................................................................................... 32 4.4. Uyarlamal Szgeler ............................................................................... 33
iii
5.
DALGACIK (WAVELET) DNM ....................................................... 36 5.1. Fourier Analizi ve Fourier Dnm ....................................................... 36 5.2. Duraan ve Srekli Sinyallerin Fourier Dnmleri ................................ 38 5.3. Ksa Zamanl Fourier Dnm.............................................................. 41 5.4. lek ve Srekli Dalgack Dnmnn Hesaplanmas ........................ 47 5.5. Dalgack Teoremine Matematiksel Yaklam............................................ 51 5.5.1. arpm ,diklik ,ortanormallik............................................................ 52 5.6. Dalgack eitlerine rnekler................................................................... 54 5.7. Kesikli Dalgack Dnm - Alt bant kodlamas ..................................... 55 5.8. Dalgack Dnmnn Kullanm Alanlar ............................................... 58 5.9. Dalgack Yntemiyle Grlt Giderme ..................................................... 58
6.
UYGULAMALAR......................................................................................... 61 6.1. Szge Tasarm Program........................................................................ 61 6.1.1. rnek szge tasarm....................................................................... 65 6.2. Fetal ECG Ayrm ..................................................................................... 68 6.2.1 Elektrokardiyogram ECG ................................................................. 68 6.2.2. Veri kmesi ........................................................................................ 70 6.2.3. Ksa zamanl Wiener Szgecin fetal ECG ayrmnda kullanlmas..... 71 6.2.4. Bamsz bileenler analizi (ICA) ....................................................... 75 6.3. Szge Tasarm Program........................................................................ 77 6.4. Fetal ECG Ayrm Sonular ...................................................................... 77
7.
SONULAR ................................................................................................ 99
KAYNAKLAR LSTES..................................................................................... 102 EKLER LSTES ............................................................................................... 105 EK 1. MSE tablosu ........................................................................................ 105 EK 2. Referans MSE tablosu......................................................................... 109
iv
EKLLER LSTES Sayfa ekil 2.1 Analog sinyalin saysal ilenmesi ........................................................... 4 ekil 2.2 N=1 iin (a) Kutuplarn gsterimi (b) Kutuplarn kararl blgede gsterimi ............................................................................................................... 8 ekil 2.3 N=2 iin (a) Kutuplarn gsterimi (b) Kutuplarn kararl blgede gsterimi ............................................................................................................... 8 ekil 2.4 Grup gecikmesi ve genlik deiimi ......................................................... 9 ekil 2.5 Deien derecelere gre kazan frekans grafii .................................... 9 ekil 2.6 Chebyshev szgeci kazan frekans karekteristii ................................ 10 ekil 2.7 Grup gecikmesi ve genlik deiimi ....................................................... 11 ekil 2.8 Chebyshev 2 szgeci kazan frekans karakteristii ............................ 12 ekil 2.9 Eliptik szge kazan frekans karakteristii ......................................... 13 ekil 3.1 Tekrarl szge tasarm....................................................................... 17 ekil 3.2 ift dorusal dnm ......................................................................... 20 ekil 3.3 Gerekletirme elemanlarnn gsterimleri ........................................... 21 ekil 3.4 Direkt yapl gerekletirme .................................................................. 22 ekil 3.5 Kafes yapl gerekletirme .................................................................. 23 ekil 3.6 Direkt Form 1 Yaps ......................................................................... 24 ekil 3.7 Direkt Form 2 Yaps ......................................................................... 25 ekil 3.8 Seri Yap .............................................................................................. 25 ekil 3.9 Direkt form 2 yapsnn seri kullanlmas............................................... 26 ekil 3.10 (a)Paralel gerekletirme (b) Direkt form 2 yapsnn paralel kullanlmas ......................................................................................................... 26 ekil 4.1 Wiener Szge..................................................................................... 28 ekil 4.2 Dorusal Tahmin .................................................................................. 31 ekil 4.3 Grlt Temizleme ............................................................................... 32 ekil 4.4 Uyarlamal yap .................................................................................... 35 ekil 5.1 J.B.J. Fourier (1768-1830) ................................................................... 37 ekil 5.2 Duraan bir sinyal rnei ..................................................................... 38 ekil 5.3 Duraan sinyalin Fourier dnm .................................................... 39 ekil 5.4 Duraan olmayan bir sinyal rnei ....................................................... 39 ekil 5.5 Duraan olmayan sinyalinin Fourier dnm ................................... 40 ekil 5.6 Ksa zamanl Fourier dnm .......................................................... 42 v
ekil 5.7 Deien a deerlerinin penceredeki etkisi............................................ 43 ekil 5.8 s=0.01 deeri iin STFT ....................................................................... 44 ekil 5.9 s=0.1 deeri iin STFT ......................................................................... 44 ekil 5.10 s=1 deeri iin STFT .......................................................................... 45 ekil 5.11 STFT ve Dalgack dnm znrlk ilikisi (a) STFT (b) Dalgack Dnm ...................................................................................... 47 ekil 5.12 Deien lek s deerlerinin penceredeki etkisi .............................. 47 ekil 5.13 s=1 ; = 2, 40, 90, 140 iin dalgack dnm ................................ 49 ekil 5.14 s=5 ; = 2, 40, 90, 140 iin dalgack dnm ................................. 49 ekil 5.15 Srekli sinyalin dalgack dnm lek bak ............................ 50 ekil 5.16 Srekli sinyalin dalgack dnm zaman bak .......................... 51 ekil 5.17 Dalgack trlerine rnekler ................................................................. 54 ekil 5.18 Detay ve yaklaklk katsayllar ........................................................ 55 ekil 5.19 Ayrmda kullanlan szgeler (a) alak geiren (b) yksek geiren............................................................................................... 56 ekil 5.20 512 rnekli bir sinyalin ayrm basamaklar....................................... 57 ekil 5.21 Eik deeri ......................................................................................... 59 ekil 5.22 (a) yumuak eik deeri (b) sert eik deeri....................................... 60 ekil 6.1 Szge tasarm programnn al sayfas .......................................... 61 ekil 6.2 Analog ve saysal tasarm sonular..................................................... 62 ekil 6.3 Tasarlanan Szgecin test edilmesi....................................................... 63 ekil 6.4 Tasarlanan Szgecin test edilmesi / ftest=20 Hz, k Genlii 0 ....... 64 ekil 6.5 Tasarlanan Szgecin test edilmesi / ftest=14 Hz, k Genlii 0.5 .... 64 ekil 6.6 Szgelerin kesme zellikleri arasndaki ilikiler .................................. 67 ekil 6.7 ECG sinyalindeki dalgacklar................................................................ 69 ekil 6.8 Elektrotlarn yerleimi ........................................................................... 70 ekil 6.9 Kullanlan veri kmesi .......................................................................... 71 ekil 6.10 Wiener grlt temizleme................................................................... 72 ekil 6.11 Ksa Zamanl Wiener grlt temizleme............................................. 72 ekil 6.12 Ak emas Ksa Zamanl Wiener Szge ..................................... 74 ekil 6.13 Ak emas ICA.............................................................................. 76 ekil 6.14 Szge Tasarm programnn hesaplanan deerlerle karlatrmas..................................................................................................... 77 ekil 6.15 Karn blgesi ECG sinyali................................................................... 78 vi
ekil 6.16 Gs blgesi ECG sinyali................................................................. 78 ekil 6.17 MSE & z ilinti matris boyutu - 50 rnek adm.. .... 80 ekil 6.18 SNR & z ilinti matris boyutu - 50 rnek adm ................................... 80 ekil 6.19 MSE & z ilinti matris boyutu - 100 rnek adm................................. 81 ekil 6.20 SNR & z ilinti matris boyutu - 100 rnek adm ................................. 81 ekil 6.21 MSE & z ilinti matris boyutu - 125 rnek adm................................. 82 ekil 6.22 SNR & z ilinti matris boyutu - 125 rnek adm ................................. 82 ekil 6.23 MSE & z ilinti matris boyutu -250 rnek adm.................................. 83 ekil 6.24 SNR & z ilinti matris boyutu - 250 rnek adm ................................. 83 ekil 6.25 MSE & z ilinti matris boyutu - 500 rnek adm................................. 84 ekil 6.26 SNR & z ilinti matris boyutu - 500 rnek adm ................................. 84 ekil 6.27 Fetal ECG sinyali - 40x40 z ilinti matrisi ve 100 adm rnekli ........... 86 ekil 6.28 Fetal ECG sinyali Wiener, 400x400 z ilinti matrisi ......................... 86 ekil 6.29 Fetal ECG sinyali ICA zm ........................................................ 87 ekil 6.30 STWF FECG ayrm sonucu (100 adm 40x40 zilinti matrisi) ............ 88 ekil 6.31 WF FECG ayrm sonucu (250x250 z ilinti matrisi)............................ 89 ekil 6.32 ICA FECG ayrm sonucu.................................................................... 90 ekil 6.33 Fetal ayrm yntemlerinin 2.8 ve 3.35 saniyeler aralnda karlatrmas (a)STWF (b)WF (c)ICA ............................................................... 91 ekil 6.34 Dalgack ayrm ............................................................................... 93 ekil 6.35 ICA zm iin Dalgack Dnm ile grltleri temizlenen FECG sinyali ....................................................................................................... 95 ekil 6.36 WF (250x250 z ilinti matrisi) zm iin Dalgack Dnm ile grltleri temizlenen FECG sinyali .................................................................... 96 ekil 6.37 STWF zm (40x40 z ilinti matrisi) iin Dalgack Dnm ile grltleri temizlenen FECG sinyali .................................................................... 97
vii
ZELGELER LSTES Sayfa izelge 6.1 MSE tablosu..................................................................................... 85 izelge 6.2 Dalgack hata analizi ........................................................................ 92 izelge 6.3 ICA referansl MSE matrisi............................................................... 98
viii
SMGELER VE KISALTMALAR LSTES
0 rdx Rx wn a s
:Standart sapma :n arplma frekans :Grup gecikmesi :Kesme frekans :Dalgack katsays :Seicilik katsays :apraz ilinti :z ilinti :Wiener arlk fonksiyonu :STFT penceresi :WT lei :Ana dalgack :Dalgack katsays :Baz vektr :Analog Saysal Dntrc :Saysal Analog Dntrc :Sonlu Darbe Tepkisi :Sonsuz Darbe Tepkisi :Geni Anlamda Duraan :Ortalama Karesel Hata :Sinyal Grlt Oran :Fourier Dnm :Ksa Zamanl Fourier Dnm :Dalgack Dnm :Wiener Szge :Ksa Zamanl Wiener Szge :Bamsz Bileenler Analizi :Elektrokardiyografi
ADC DAC FIR IIR WSS MSE SNR FT STFT WT WF STWF ICA ECG
ix
1. GR
Sinyal szme; veri iletiimi, biyomedikal sistemler, askeri ve sivil elektronik sistemler, endstriyel uygulamalar gibi ierisinde deiik sinyal ileme yntemlerinin bulunduu sistemlerde yaygn bir biimde kullanlr. Genel anlamda, bir sinyalin seilen szge karakteristiine gre istenen frekans bileenlerine ayrlmas (grlt gibi) ve sinyalin genel yapsnn (kazan, genlik, faz ve grup gecikmesi vb.) gelitirilmesi olarak tanmlanr [1;2]. Szgeler ilk olarak geni anlamda 19. ve 20. yzyllarda, pasif elemanlar olan diren, bobin ve kapasitrler kullanlarak tasarlanm ve o zamanki telefon alarnda kullanlmlardr. Daha sonra bipolar transistrler ieren ve aktif devre eleman olan ilemsel ykselteler gelitirilmitir. Bylelikle gereklenen aktarm ilevine kazan elemann eklememize olanak tannmtr. 20. yzyln ikinci yarsnda anahtarl kapasitor szgeci olarak adlandrlan, ierisinde sadece kapasitr ve CMOS ilemsel ykselteler ieren szgeler gelitirilmitir. Bu szgecin zellii diren ve bobin iermemesi ve tm devrenin VLSI teknolojisiyle retilmesidir. Bu teknoloji ile analog sinyallerden belirli zaman aralklarnda rnekler alnp ilenebilir hale getirilebilmitir [3]. Bylelikle szme ilk defa saysal sinyal ileme ile birlikte gndeme gelmitir. Saysal sinyal ilemde iki temel bulutan sz edilir. lki, Nyquist Shannonun rnekleme teoremi, dieri Cooley-Tukeyin hzl Fourier dnmdr. Shannon Teoremi zet olarak, bant genilii snrl olan srekli sinyalin ierdii en byk frekansn iki katnda rneklenmesi koulu ile saysallatrlmasndan sonra, kayba uramadan tekrar srekli biime dntrlebileceini syler. Hzl Fourier dnm ise, kesikli Fourier dnmn bilgisayar ortamnda hzl hesaplanmasn salayan algoritma olarak tanmlanabilir [4]. Fourier dnmnn gelimi bir eidi olarak kabul edebileceimiz dalgack dnm ve istatistiksel veri analizi yntemlerinin saysal szme ilemlerinde kullanlmas, saysal dnyadaki gelimelerin belirgin rneklerindendir. Dalgack dnm Fourier dnmndeki zamanda yerellik sorununu zerken [5], Wiener Szge, istatistiksel veriler iin grlt giderme ve dorusal tahmin yapma gibi zellikleri bilime kazandrmtr.
1
Fetal ECG ayrm gnmzde gelien teknoloji ile erken tehis ve tedaviye olanak tanmaktadr. Fetal seslerin annenin karn ve gs blgesinden kaypsz ayrt edilmesi ok zordur. Bunun sebebi fetal seslerin genliklerinin zellikle R dalgas genliinin genel grlt seviyesinin altnda kalmasdr. Bu gibi sorunlarn stesinden gelebilmek iin genellikle birden fazla yntem ard ardna kullanlr. Bu nedenle fetal ECG ayrm genel olarak iki alt blme ayrlr. Bunun iin ilk olarak sinyalin ayrtrlmas, daha sonra ise grltden temizlenmesi gerekir. Ayrm ileminde sinyaller arasndaki istatistiksel ilikilerden faydalanmak en yaygn yntemdir. Bamsz Bileenler Analizi (ICA) yntemi bu i iin olaslk dalmnn ikinci ve drdnc kmlantlarn kullanrken [6], Wiener Szge sinyaller arasndaki apraz ilinti ve z ilinti ilikilerinden faydalanp, en kk hata ayrm yapar [7]. Duraan olmayan sinyallerde istatistiksel zellikler zamanla nemli lde deiiklikler gsterir. statistiksel yntemlerin baarl olabilmesi iin istatistiksel parametrelerin sinyal sresince ok az deiim geirmesi veya sabit olmas gerekmektedir. Wiener Szme ynteminde bu amala sinyal paralara blnerek ilenir. Bylelikle sinyalin yaps ksmen duraanlatrlabilir. Bu yntem Ksa Zamanl Wiener Szge olarak bilinmektedir [8]. ICA ynteminde ise daha farkldr. Bu yntem grltl veri kmelerinin beyazlatlmas ve istatistiksel olarak bamsz hale getirilmesi ile sinyali ilemeye balar [9;10;11]. Ayrm ileminde kullanlabilecek bir dier yntem de istatistiksel olarak bulunan veya rasgele atanan arlk deerlerinin yapay sinir alar gibi uyarlamal bir yap ierisinde sonularn bu deerleri gncellemesiyle bulunmas zerinedir [12;13;14]. Bu gelimi yntemlerin haricinde bant geiren szgeler ve basit karma ilemleriyle de ayrm yaplabilir. Fakat ECG sinyalinin morfolojik zelliklerinden dolay bu yntemler iyi sonu vermezler [8]. Grlt temizleme ileminde basit frekans szc szgeler kullanlabilir. Ancak en yaygn ve gvenilir yntem sinyalin tm frekans bileenlerine ayrt edebilmemize olanak tanyan dalgack dnmdr [15]. Bu yntem ile sinyalin, grlt bileenleri uygulanan eik deerleri ile snrlanabilir veya tamamen kartlabilir [16]. Ardndan gncellenmi olan bu sinyal bileenleri birletirilerek zgn sinyalin grltden temizlenmi hali bulunur [17;18].
2
Uygulamalar blmnde tantlan saysal szge tasarm programnn teorik altyapsn oluturmak amacyla 2. ve 3. blmlerde saysal szgelerin tasarm teknikleri ve gerekletirme yntemleri detayl incelenmitir. Fetal ECG sinyallerinin anne ECG sinyallerinden ayrt edilmesi amacyla hazrlanan programn hangi temellere dayand 4. ve 5. blmlerde tantlmtr. 4. blmde ayrma ilemini gerekletirmek amacyla kullanlan FIR optimal bir szge olan Wiener yaps, detayl olarak incelenmitir. 5. blmde geliimi ile tantlmtr. 6. blmde ise uygulama Wiener sonularnda sonular ayrntl ortaya kan grltnn temizlenmesi iin dalgack dnm yntemi tarihsel karlatrlmtr.
3
2. SAYISAL SZGE TASARIMI
Sinyal ileme uygulamalarnda genel olarak ilem grecek olan sinyal, nce analog alak geiren bir szgeten geirilir. Bylece kta bizim belirlediimiz bant ile snrl bir analog sinyal elde ederiz. rneklenen ve ADCde saysallatrlan sinyal, ngrlen aktarm ilevi ile ilem grdkten sonra tekrar DAC ile analog hale getirilir. Son olarak DACdeki rnekli sinyali yumuatmak iin son bir szgeten geirilir. Bylelikle analog bir sinyal, saysal bir sistemle ilenmi olur.
ekil 2.1 Analog sinyalin saysal ilenmesi 2.1. Saysal Szgecin zellikleri Saysal szgelerin temel bileenleri; toplayclar, arpclar ve geciktirme elemanlardr. Bu elemanlar, aktarm ilevinin karakteristiine gre algoritmada belirlenen toplama arpma ve kaydrma ilevlerini yerine getirirler. Bu zelikler sayesinde saysal szgeler, analog szgelere gre aktarm ilevi tasarmnda daha esnek ve kullanl hale gelirler. Bunun sebebi, aktarm ilevinin katsaylar ve giri sinyalinin rneklenen deerleri saysal szgete donanmsal olarak depolanabilmesidir. Bylece, istediimizde katsaylar deitirerek yeni bir aktarm ilevi tasarlayabilir ve giri sinyalinin rnekleme zelliklerini deitirip, sistemin herhangi bir giri sinyaline nasl tepki vereceine karar verebiliriz. Saysal szgeler ile zamanla deien szgeler de tasarlanabilir. Bunun iin rnekleme frekansn ve katsaylar zamana bal bir fonksiyon olarak tanmlamak ve algoritmay buna gre uyarlamak mmkndr. Saysal szge yksek gvenilirlik ve doruluk zelliine sahiptir. zellikle giri sinyalinin ve aktarm ilevinin katsaylarnn tanmlanmasnda kullanlan bit saysnn arttrlmas buna olanak tanr. 4
Analog szgelerde kullanlan elemanlar, saysal szgete olduu gibi yksek doruluk deerlerine sahip deillerdir. Ayrca fiziksel koullardan etkilendikleri iin sahip olduklar zellikler s, nem ve zamanla deiime urarlar. Saysal szgelerin toplama, arpma ve kaydrma gibi zellikleri zamanla ve d etkilerle deimeyeceinden ok daha gvenilirdir. Saysal szgelerdeki bilgi deiik depolama birimlerinde uzun sreli saklanabilirken, analog szgete bilgi zamanla bozulur. Saysal szgeler ile analog szgelerle gereklenemeyecek transfer fonksiyonlar gereklenebilir. Saysal szgeler ile dorusal fazl sonlu darbe tepkili sistemler modellenebilirken analog szgete bu mmkn deildir. Saysal szgeler ile Programlanabilen Szge, oklu Oran Szge, ok Boyutlu Szge ve Uyarlamal Szge tasarm yaplabilmektedir. Programlanabilen Szge, szgecin frekans seme zelliine sahip olmas anlamna gelir. oklu Oran Szgeci, karmak sinyallerin farkl oranlardaki dalgalanmalarnn analizine olanak tanyan szge eididir. ok Boyutlu Szge, imge ilemede kullanlr. Uyarlamal Szge ise alc ve verici arasndaki transfer ortam deitiinde kullanlan, geri besleme ile szge karakteristiinin gncellenebilmesine olanak tanyan szge eididir. Transfer hatt deiik alclara ynlendirilmi olabilir veya bu deiim alc ve vericiler arasnda srekli hale gelmi olabilir. Bu duruma, cep telefonunun hareket halindeyken farkl baz istasyonlarndan servis almas srasnda ortaya kan bozulmalarn giderilmesini rnek gsterebiliriz.
Burada saylanlar gibi ierisinde saysal sinyal ilemenin ve szmenin kullanld daha birok alan ve saysallamann analog sistemlere gre stnlkleri saylabilir. Gnmz teknolojisi ile artk telefonumuz iersindeki tek bir DSP yongas ile gerek zamanl ses video sktrma, eko ve grlt yok etme, ses tanma, ses kaydetme gibi ilevler yerine getirilebilir. Saysal szgecin bu avantajlarnn yan sra baz dezavantajlar da vardr. Saysal szgeler analog szgelere gre daha maliyetlidir. Ayrca srekli bir enerji kaynana ihtiya duyarlar. Pasif analog szgelerde byle bir gereklilik yoktur.
5
2.2. Szgelerin Snflandrlmas Szgeler zelliklerine gre snflandrlrlar. Bir szgecin en nemli zelliklerinden birisi, szgecin gei ve durma bandndaki kazan deerleridir. Kazan basit olarak k sinyalinin giri sinyaline orandr. Kazan 1den byk ise k sinyali giri sinyalinden byktr. Kazan 1den kk ise k sinyali giri sinyalinden kktr. Durma bandndaki kazan ok kk olabildiinden desibel (db) cinsinden ifade edilir. Geirme bandndaki kazan: 0.707 = -3.0103db Durdurma bandndaki kazan: 0.0001 = -80db
2.1.1. Butterworth szge Gei bandnda ve durdurma bandnda dalgalanma yoktur. Fonksiyon tekdze olarak azalr. Butterworth szge dier szgelerden farkl olarak, derecesi arttnda durma bandndaki sert d dnda frekans genlik erisinde eklini korur. Butterworth szge, Chebyshev ve Eliptik szgelere gre daha geni gei blgesine (transition region) sahip olduundan, durma band zelliklerinin doru olarak uygulanabilmesi iin yksek derecelere ihtiya duyar. Chebyshev ve Eliptik szgelere gre daha dorusal bir frekans tepkisine sahiptir. Aktarm ilevi aadaki ilem basamaklaryla bulunur.
B( jw) = B( jw) B * ( jw) =2
1 + ( jw / jwc )
1
2N
(2.1)
B * ( jw) = B( jw) ;B( jw).B( jw) = B (s ).B ( s ) = 1 + ( jw / jwc ) 12N
1
2N
(2.2)
1 + (s / jwc )
s = ( 1)
1/ 2N
( jwc ) ;
( 1)1 / 2 N
= e j / 2 N ;
jwc = wc .e j / 2
(2.3)
s p = wc
6
s p = wc exp
(2k + 1) j + 2 2N
(2.4)
Aktarm ilevi bu kutuplar kullanlarak yle yazlabilir,
B( s) =
n p =1
Bo ( s sp ) / wc
(2.5)
B(s ).B( s ) nin kutuplar iin u gzlemler yaplabilir.
1. 2.
s dzleminde 2N adet eit aralkl kutup vardr. Bir kutup asla sanal eksen zerine denk gelmez, reel eksen zerine ise sadece kutup says tek ise gelir.
3.
Kutuplar arasndaki mesafe
N kadardr.
Kutuplar iftler halinde bulunduundan (eer s=sp de bir kutup var ise onun kar ekseninde s=-sp de de bir kutup vardr), B(s) nin aktarm ilevini bulabilmek iin bu iftlerden nedensel ve kararl olan seilir. Bunun iin de seilen kutuplarn sanal eksenin sol tarafnda olmas gerekmektedir. N=1 iin; Kutuplar aras mesafe:
Aktarm ilevi :
B(s ) =
wc s + wc
(2.7)
7
ekil 2.2 N=1 iin (a) Kutuplarn gsterimi (b) Kutuplarn kararl blgede gsterimi N=2 iin; Kutuplar aras mesafe: Aktarm ilevi:
2
B (s ) =
(
wc j ( / 4 ) s + wc e s + wc e j ( / 4 )
2
)(
)
(2.8)
ekil 2.3 N=2 iin (a) Kutuplarn gsterimi (b) Kutuplarn kararl blgede gsterimi
Grup gecikmesi fazn asal frekansa gre trevidir ve farkl frekanslar iin sinyalde meydana gelen faz kaymalarnn neden olduu bozulmalarn ls niteliindedir. Grafik 2.4te, 3. derecen bir Butterworth fitrenin grup gecikme ve genlik karakteristii, deien frekansa gre gsterilmitir
(2.9)
8
ekil 2.4 Grup gecikmesi ve genlik deiimi Butterworth fitlenin deiik szge dereceleri iin kazan-frekans gsterimi ekil 2.5te grlmektedir. Aktarm ilevin derecesi arttnda gei band ksalmaktadr.
ekil 2.5 Deien derecelere gre kazan frekans grafii 2.2.2. Chebyshev szge Geirme band Butterworth szgece gre daha dardr ve geirme (veya durdurma) bandnda dalgacklar vardr. Chebyshev szgeci mevcut dalgacklar dnda bu zellii sayesinde ideal szgece daha yakndr. Eer szgete dalgacklar geirme bandnda ise bu Chebyshev 1. tipi szgetir. Eer dalgacklar durdurma bandnda ise Chebyshev 2. tip szge olarak isimlendirilir. Eer dalgacklar her iki bantta ise bu durumda ortaya kan szgece Eliptik szge
9
denir. Eliptik szgelerin gei band iki eit szgeten de daha ksadr. Dolaysyla ideale en yakn szgetir. Ancak tasarm zordur. Chebyshev tip1 szgecin tanm:
(2.10)
Burada dalgack parametresidir ve geirme bandnda e dalgacklarn karakteristiini belirler. Tn() ise n. dereceden Chebyshev okterimlisidir. Deien frekansa gre 0 ve 1 arasnda deien bir tepki retir. Bu deikenlerle szgecin kazanc en fazla G=1 ile en az olmak zere geirme bandnda
deiir. Kesim frekansna gelindiinde kazan geirme bandndaki en az deerindedir. Bu zellikler grafik 2.6da grlmektedir.
ekil 2.6 Chebyshev szgeci kazan frekans karekteristii Chebyshev szgecin derecesi, analog tasarmda kullanlan reaktif elemanlarn (L ve C ) saysna eittir. Butterworth szgeten farkl olarak Chebyshev szgecin kutuplar s dzleminde elips eklinde konumlanr. Szgecin kararll ve nedensellii iin sanal eksenin sol tarafndaki kutuplar (negatif kutuplar) seilir. Aksi takdirde aktarm ilevi sonsuza gider veya ar salnmlar meydana gelir, bu da szgecin gereklenmesini olanaksz klar. Nedensel ve kararl szgecin aktarm ilevi aadaki gibidir. Buradaki negatif kutuplar temsil eder.
10
(2.11)
3. dereceden Chebyshev (tip1) szgecin grup gecikme ve kazan erileri =0.5 iin aadaki grafikte verilmitir.
ekil 2.7 Grup gecikmesi ve genlik deiimi
2.2.3. Chebyshev tip 2 szge Bu szgecin kullanm pek yaygn deildir. nk gei band dier tipine gre daha uzundur. Chevbyshev tip 2 szgecinde 1. tipin aksine geirme bandndaki dalgacklar durdurma bandndadr. Tekdze (monotonic) azalma durdurma band yerine geirme bandndadr. Chebyshev tip2 szgecin tanm:
(2.12)
Durdurma bandnda Chebyshev okterimlisi 0 ile 1 arasnda salnm yapar. Dolaysyla kazan 0 ile arasnda deiir.
11
ekil 2.8 Chebyshev 2 szgeci kazan frekans karakteristii
2.2.4. Eliptik szge (Cauer szge) Eliptik szge, geirme ve durma bandnda saylar birbirinden bamsz olarak deitirilebilen, e dalgacklar barndran bir elektronik szge eididir. Ayn dereceden baka bir szgece gre gei blgesi daha ksadr. Eliptik szge, tantlan dier szgelere bu dalgacklarn karakteristiklerinin deitirilmesiyle dnebilir. Durma bandndaki dalgacklar sfra yaklatnda Chebyshev tip1, geirme bandndaki dalgacklar sfra yaklatnda Chebyshev tip2, her iki banttaki dalgacklar sfra yaklatnda da Eliptik szge Butterworth szgece dnebilir. Eliptik szgecin aktarm ilevi denklem 2.13te verilmitir.
(2.13)
Rn : n. dereceden Eliptik rasyonel fonksiyonu o :Kesme frekans, :dalgack katsays , :seicilik katsays Gei bandndaki, ve durdurma bandndaki dalgack karakteristiini belirlemede kullanlr. 4.dereceden eliptik szgecin =0.5 ve =1.05 iken kazanfrekans gsterimi ekil 2.9da olduu gibidir.
12
ekil 2.9 Eliptik szge kazan frekans karakteristii Geirme bandnda, eliptik fonksiyon 0 ve 1 arasnda deiirken; kazan 1 ve arasnda deer alr. Durdurma bandnda eliptik fonksiyon ve ayrm katsays Ln arasnda deiirken; kazan 0 ile arasnda deer alr.
limitinde iken Eliptik fonksiyonu Chebyshev okterimlisine dnr, dalgack katsays ile Chebyshev tip1 szgece dnr. , 0 ve wo 0 iken, olur. Dolaysyla
dolaysyla szge Benzer ekilde limit
szge Butterworth szgece dnr. Yine ayn limitlerde 0 = 1 ve Ln = olduunda szge Chebyshev tip 2ye dnr. [19]
13
3. SAYISAL FLTRELERN TANIMLANMASI VE GEREKLETRLMES
Analog szgeler diferansiyel denklemlerle tanmlanrlar. Saysal szgeler ise fark denklemleri ile tanmlanrlar. Saysal szgeler szgecin giriine kar verdii cevaba gre tekrarl ve tekrarsz szgeler olarak iki snfa ayrlrlar. Giriine x(nT) verilen saysal szgecin yant, Y(nT) = f{,x(nT-T), x(nT), x(nT+T),} eklinde yalnzca girie ait bilgilerden oluuyorsa, bu tip szgelere tekrarsz szgeler denir. Dorusal zamanla deimeyen bir tekrarsz szgecin yant genel olarak
y (nT ) =
i =
a .x(nT iT )i
(3.1)
eklinde ifade edilir. Burada ai deeri sabit deerdir. Genel olarak saysal sistemlerin nedensel olmas istenir. Bylece N. Dereceden dorusal, tekrarsz ve zamanla deimeyen szgecin cevab eklinde olur.
y (nT ) = a i .x(nT iT )i =0
N
(3.2)
Eer szgecin knda elde edilen y(nT) dizisi, giri iaretine ek olarak kn da geciktirilmi bilgilerinden oluuyorsa, bu tip szgeler tekrarl szgeler olarak tanmlanr. Dorusal, zamanla deimeyen, nedensel ve N. Dereceden bir tekrarl szgecin k;
y (nT ) = a i .x(nT iT ) bi . y (nT iT )i =0 i =1
N
N
(3.3)
eklinde ifade edilir. Eer i=1,2,3.. N iin bi=0 ise, szge tekrarsz szgece dnr.
14
3.1. Saysal Szgecin Aktarm levi Dorusal, zamanla deimeyen nedensel sistemlerde k bilgisinin, giri ve birim rnek cevap fonksiyonu cinsinden ifadesi,
y (nT ) = x(iT )h(nT iT )i =0
N
(3.4)
evriim toplam ile verilir. Bu ifadeye z dnm uygulanrsa
Y ( z ) = H ( z ). X ( z )
(3.5)
halini alr. Burada aka grld gibi saysal szgelerde aktarm ilevi, kn z dnmnn giriin z dnmne orandr. Aslnda bir saysal szgecin aktarm ilevi szgecin birim rnek cevabnn z dnmdr. z etki alanndaki transfer fonksiyonu olan H(z), szgecin fark denklemlerinden yararlanarak da elde edilir.
y (nT ) = a i .x(nT iT ) bi. y (nT iT )i =0 i =1
N
N
(3.6)
denkleminin z dnm:
N N Y ( z ) = a i. z i X ( z ) bi. z i Y ( z ) i =0 i =0Y ( z) = H ( z) = X ( z)
(3.7)i
a i. z ii =0
N
1 + bi .z ii =0
N
a = N bN
(z s ) (z p )i =1 i i =1 N
N
(3.8)
Tekrarsz szgelerde i=1,2,3 N iin bi=0 olduundan,
15
H ( z) =
ai =0
N
i.
z N 1(3.9)
zN
Grld gibi bu tip szgelerde kutuplarn hepsi z dzleminin merkezindedir. Dorusal, zamanla deimeyen sistemlerde H(z) aktarm ilevi kararl olmaldr. Bunun ii u artlar salanmaldr. 1. 2. 3. Aktarm ilevinin kutuplar, birim ember iersinde olmaldr. Birim ember zerinde kutup varsa, tek katl basit kutup olmaldr. Payda okterimlisinin derecesi, pay okterimlisinin derecesinden byk veya ona eit olmaldr. Szge uygulamalarnda salnmn nlenmesi iin birim ember zerindeki kutuplara basit de olsa msaade edilmez.
3.1.1. Tekrarl ve tekrarsz szgecin zellikleri 1. FIR szgeler tam olarak dorusal fazl ve nceden belirlenmi genlik frekans 2. FIR ve karakteristiklerini IIR szgeler salayacak hem tekrarl ekilde hem tasarlanabilirler. de tekrarsz IIR szgelerin faz cevab zellikle bant kenarlarnda dorusal deildir. olarak gerekletirilebilirler. Ancak genellikle IIR szgeler tekrarl, FIR szgeler tekrarsz olarak gerekletirilir. 3. 4. Tekrarsz olarak gerekletirilen bir FIR szge daima kararl iken IIR szgeler daima kararl deildir. IIR szgelerin gerekletirilmesinde doal olarak nicemleme ve yuvarlama hatalar ortaya kar. Ancak FIR szgelerin tekrarsz gerekletirilmesinde bu hatalar nemsizdir. 5. Analog szgeler, benzer artlar yerine getiren IIR saysal szge denklemlerine kolayca dntrlebilirler. FIR szgelerin analog karl olmad iin bu durum FIR szgeler iin mmkn deildir.
16
3.2. Tekrarl Szge Tasarm Tasarm ilemindeki benzerlikler nedeniyle bu tip szgeleri analog szgelerin saysal uygulamas olarak dnebiliriz. Bu szgecin k gemiteki (y(n-k) k=1,..M) szge knn, imdiki ve gemiteki szge giriinin (x(n-k) k=0,1..N) bir fonksiyonudur. Bundan dolay tekrarl szgeler adeta geri beslemeli bir sisteme benzemektedir. Tekrarl szgeler ayn artlardaki tekrarsz bir szgece gre daha az katsay gerektirirler. Keskin bir frekans ve yksek bir doruluk istendiinde bu szgeler kullanlr. Aktarm ilevi arpanlarna ayrldnda payda bulunan kendisini sfr yapan deerler H(z) nin sfrlar, paydada bulunan ve H(z) yi sonsuz yapan deerler ise, H(z) nin kutuplar olarak isimlendirilir. Tasarm aamasnda izlenen yol u ekildedir;
ekil 3.1 Tekrarl szge tasarm
1. Szge zelliklerini tanmlayan parametreler girilir. 2. Verilen giri koullar yardm ile analog szge tasarm teknikleriyle, aktarm ilevi H(s) elde edilir. 3. ift dorusal dnm yntemiyle ayrk zamanda szge aktarm ilevi, H(z) elde edilir. 4. Ayrk zamanda hassasiyeti arttrmak iin eitli tasarm teknikleri uygulanr.
17
Dnm srasnda dikkat edilmesi gereken iki nokta vardr. Birincisi, s dzlemindeki sanal eksenin, z dzleminde birim ember zerine denk gelmesi ve bu ilem srasnda sinyalin frekans karakteristiinin bozulmamasdr. kincisi ise, s dzleminde, sol yar eksenin, z dzleminde birim emberin iindeki blgeye denk gelmesi ve bu ilem srasnda sistemin karallnn bozulmamasdr. Saysal szgecin zellikleri genlik karakteristii, faz karakteristii ve performans zelliklerinden (sinyal karakteristii, sonlu kelime uzunluu, frekans cevap karakteristii vb..) olumaktadr. Ancak gerek bir tasarmda karallk, nedensellik ve basitlik koullarndan dolay sadece genlik karakteristii ele alnr. Bylece tasarm problemi H(w)nin istenen karakteristiini salayacak ak ve bk katsaylarnn bulunmasna indirgenebilir. Saysal tasarm iin aktarm ilevinim s dzleminden z dzlemine gemesi gerekmektedir. Bunun iin birok yntem vardr: 1. 2. 3. Deimeyen birim rnek yant yntemi Dzenlenmi deimeyen birim rnek yant yntemi ift dorusal Dnm Bu yntemlerden en yaygn kullanlan ift Dorusal Dnm yntemidir. Bu dnm kararllk zelliiyle dntrd srekli sinyalin tm frekans bileenlerini eksiksiz olarak kesikli sinyale haritalar. Bunun anlam analog sinyalde grnen kazan ve faz kaymas saysal sinyalde deimez. Eer sinyal analog etki alannda kararlysa (kutuplar s dzleminin sol tarafndaysa) saysal etki alannda da kararldr (kutuplar z dzlemi birim emberinin iine haritalanr). Eer sinyal minimum fazda ise (sfrlar s dzleminin sol tarafnda ise) dnm sonras saysal etki alannda da minimum fazdadr (sfrlar z dzlemi birim emberinin iine haritalanr). Sadece arplma etkisiyle frekanslarn yerleri deiebilir. Bu durum daha ok yksek frekans bileenlerinde gerekleir. Ancak n arplma teknii ile dzeltilebilir.
18
3.2.1. ift dorusal dnm Bu yntemde Ha(a) analog aktarm ilevi yerine
s = k . (z-1/z+1); k= 1 veya =2/T
(3.10)
konularak Hd(z) saysal szge fonksiyonu elde edilir. arasnda kalan ksm, yaplan dnm ilemi
Bu yntemde dikkat
edilmesi gereken bir husus vardr. S dzleminde s=jw ekseninin [-w/2,+w/2] sonucunda z dzleminde birim emberin tmne denk gelmez. -w/2 ile +w/2 arasndaki B-D blgesi, B-D blgesine skmaktadr. Bu durum arplma etkisi olarak adlandrlmaktadr. Bu etki, verilen frekans giri karakteristiine
=(2/T) tan(wT/2)
(3.11)
eklindeki n arplma formlnn uygulanmas ile ortadan kaldrlabilir. O zaman ekil 3.2 de grld gibi B-D blgesi, z dzleminde z=-1 noktasnda yani E veya A noktasnda birleirler. Bu ekilde elde edilen H(s) iin de,
Ha(s)= H(s)s= s/
(3.12)
uygulanr ve saysal szge fonksiyonu elde edilir;
H(z)= Ha(s) s = (2/T) . (z-1/z+1)
(3.13)
19
ekil 3.2 ift dorusal dnm ift dorusal dnmn temel zellikleri aada zetlenmitir; 1. 2. 3. s dzleminde sa yar dzlem blgesi, z dzleminde z=1 birim emberi dndaki noktalara kar der s dzleminde sanal eksen zerindeki noktalar z=1 birim emberi zerine kar der. s dzleminde sol yar dzlem blgesi, z dzleminde z=1 birim emberi iindeki noktalara kar der. 2. zellik sayesinde Ha(jw)nn maksimum ve minimum deerleri H(e(j)
) iinde
korunacaktr. Sonu olarak analog szgecin geirme ve durdurma bandna ait zellikler, saysal szgecin bu bantlarnda grnecektir. 3. zellik kararl analog szgelerin, kararl saysal szge aktarm ilevi vereceini gsterir. Dnm sonucunda elde edilen H(z) nin pay derecesi payda derecesi ile ayn olacaktr. O halde H(z) gereklenebilir nedensel bir fonksiyondur. Szge tasarmnda yaplmas gereken ilk i tekrarl ve tekrarsz szgeler arsnda bir seim yapmaktr. Tekrarl szgete kutuplar birim ember iinde serbestken, tekrarsz szgete bu kutuplar sabit ve kat bir ekilde bulunurlar. Ancak tekrarsz szge tasarmnda ayn zelliklerdeki tekrarl bir szgece gre szgecin derecesi 5-10 kat byk olmaldr. Veri iletiimi gibi sabit grup gecikmesi istenen uygulamalarda tekrarl szgeler kullanlr [20].
20
3.3. Saysal Filtrelerin Gerekletirilmesi Saysal szgecin gerekletirilmesi yazlm ve donanm olmak zere ikiye ayrlr. Yazlm ynteminde szge bilgisayar kullanlarak benzetimi yaplr. Donanmda ise birim geciktirme, eleman kaydrma (shift registers), toplama ve arpcdr (NAND ve NOR kaplar ieren kombinasyonlar veya ardk devre elemanlar kullanlr). Bu elemanlar ve balantlar szgecin aktarm ilevini belirler. Bu elemanlarn matematiksel ifadeleri ekil 3.3 de gsterilmitir.
ekil 3.3 Gerekletirme elemanlarnn gsterimleri
Gerekletirme iin birok yntem vardr. Bunlardan en nemlileri: 1. 2. 3. 4. 5. 6. Direk Gerekletirme Direk Doal Gerekletirme Seri (Kaskad) Gerekletirme Paralel Gerekletirme Basamak Gerekletirme Kafes Gerekletirme Bu yntemler genellikle tekrarl szgeler iin kullanlrken tekrarsz szgeler iin direk, dorusal fazl, hzl evriim, kafes gibi yaplar kullanlr. Bu yntemlerin her birinde deiik sayda eleman kullanlmakta ve bu elemanlar deiik ekillerde birbirine balanmaktadr.
21
3.3.1. Direkt (transversal) yap Bu gerekletirme ekilde grld gibi, girii x(n) olan szge, tekrarsz FIR szgecin karakteristik denklemini, y(n) k ile verir.
y (k ) = h(n ).x(k n )i =0
N 1
(3.14)
ekil 3.4 Direkt yapl gerekletirme
Bylece x(n-1) bir rnek ile geciktirilmi x(n) dir. Saysal gereklemede kutu iinde isimlendirilen z-1 kaydrmal kaydedici (shift register) veya RAM deki bir hafza yerini temsil eder. kn hesaplanmasnda aadaki elemanlara ihtiya vardr:
N-1 giri rneini saklamak iin N-1 hafza yerine, N katsayy saklamak iin N hafza yerine N tane arpcya N-1 toplaycya
22
3.3.2. Kafes yaps Kafes yap genellikle uyarlamal szge ve ses ileme uygulamalar iin kullanlr. Temel kafes yaps tek giri ift k ile karakterize edilir.
ekil 3.5 Kafes yapl gerekletirme
N=1 iin;
y1(n)=x(n)+k1x(n-1) w1(n)=k1x(n)+x(n-1)
N uzunluklu bir tekrarsz Kafes yapnn denklemleri,
y n (n) = ai x(n i ) ve wn (n) = a N i x(n i ) ( a0=1 )i =0 i =0
N
N
(3.15)
Z dnm ile birim rnek cevaplar,
YN (n) = ai z i ve W N (n) = a N i z ii =0 i =0
N
N
(3.16)
olur.
23
3.3.3. Direkt form 1 yaps Tekrarl IIR szge iin direk form-1 yaps ile gerekletirme aadaki gibidir. N. dereceden bir szge iin z-1 ile temsil edilen 2N tane gecikme eleman vardr (N=2 iin 4 gecikme eleman).
ekil 3.6 Direkt Form 1 Yaps
y (n) = ak .x(n k ) bj. y (n j )k =0 j =1
N
M
(3.17)
H ( z) =
ak.zk =0 M j =1
N
k
1 + bj.z
(3.18)j
3.3.4. Direk form 2 yaps Bu yapdaki gerekleme form-I yapsnn eleman saysnn yars ile elde edilebilir.
24
x(n)
b0
a0
y(n)
z-1-b1 a1
z-1-b2 a2
ekil 3.7 Direkt Form 2 Yaps
3.3.5. Seri (cascade) yap Aktarm ilevinin pay bl payda olarak sadeletirilip arpmlar cinsinden yazlabilir ve H(z)=CH1(z)H2(z)..Hr(z) eklini alr. Matematiksel adan pay ve payda faktrlerinin k sonucu etkilemez.
x(n)
H1(z)
H2(z)
H3(z)
Hr(z)
y(n)
ekil 3.8 Seri Yap
Bu sayede kark ve yksek dereceden olan gerekletirmeler bu yapnn dahil edilmesiyle kolaylar. rnek olarak ekilde iki adet 2. dereceden direkt form2 gerekletirmesinin seri balanarak 4. dereceden aktarm ilevinin elde edilmesi grlmektedir.
H ( z) =
(a01 + a11 z 1 + a21 z 2 )(a02 + a12 z 1 + a22 z 2 ) (1 + b11 z 1 + b21 z 2 )(1 + b12 z 1 + b22 z 2 )
(3.19) (3.20)
(a01 + a11 z 1 + a21 z 2 ) (a02 + a12 z 1 + a22 z 2 ) H ( z) = (1 + b11 z 1 + b21 z 2 ) (1 + b12 z 1 + b22 z 2 )
25
x(n) C
b01
w1(n)
a01
y1(n)
b02
w2(n)
a02
y(n)
z-1-b11 a11 -b12
z-1a12
z-1-b21 a21 -b22
z-1a22
ekil 3.9 Direkt form 2 yapsnn seri kullanlmas
3.3.6. Paralel gerekletirme Tekrarl szgecin aktarm ilevi ksmi kesirlere ayrlnda ve fonksiyonun toplamlar cinsinden yazldnda H(z)= C+H1(z)+H2(z)+..+Hr(z) alm elde edilir. Bu alt fonksiyonlar 1. veya 2. dereceden olabilir. N. derecen aktarm ilevi:
H ( z) = C +
0,5 N
(a0i + a1i z 1 + a2i z 2 ) (1 + biz 1 + b z 2 ) i =1 2i
(3.21)
ekil 3.10 (a)Paralel gerekletirme (b) Direkt form 2 yapsnn paralel kullanlmas
26
4. OPTMAL VE UYARLAMALI STATSTKSEL SZGELER
Sinyal ileme uygulamalarnda bir sinyali baka bir sinyalin verilerinden tahmin etmek nemli bir problemdir ve ok geni bir uygulama alanna sahiptir. Optimal szgeler ile saysal szge kavram artk frekans szme amacn amtr. Saysal olarak sinyal biimlendirme; kanal bozukluklarnn telafisi, yank giderme, grlt giderme gibi zellikler kazanmtr. llen ne eit bir sinyal olursa olsun (grnt veya ses) belirli nedenlerden dolay istenen bilgi ilk aamada elde edilemeyebilir. Bunun sebebi ortamn grltl olmasndan kaynaklanabilecei gibi, lm srasnda kullanlan ekipmann ancak snrl znlrlk salayabilmesinden kaynaklanan bozulmalar da olabilir. Bu gibi durumlarda klasik olarak kullandmz alak geiren, yksek geiren ve bant geiren szgelerin kullanm yetersiz kalabilir. Bu yzden bozulmu sinyalden en iyi tahminle doru sinyali kartabilecek szgelere ihtiya duyarz. Bu tip szgeler Optimal statistiksel Szge olarak adlandrlr.
4.1. Wiener Szge Genellikle grlt temizleme ve dorusal tahmin gibi saysal sinyal ileme yntemlerinde kullanlan optimal bir saysal szgetir. Ama giri sinyalinden istenen ierii yine giri sinyalinin imdiki ve gemi istatistiksel verilerinden faydalanarak kartmaktr. Bu yntemde kullanlan istatistiksel ilikiler aadaki ekilde zetlenebilir. Bu tanmlarn formlleri ve uygulamalar konu anlatm iinde yer alacaktr. linti (Korelasyon): ki bamsz deiken arasndaki dorusal ilikinin ynn ve kuvvetini belirtir. Bamszlk durumundan ne kadar uzaklaldn gsterir. apraz linti (apraz Korelasyon): ki rastsal deiken arasndaki istatistiksel benzerliin lsdr. apraz ilinti evriim (convolution)e ok benzer. Evriim sinyalin tersini aldktan sonra kaydrp arparken, apraz ilinti tersini almadan kaydrp dier fonksiyonla arpar.
27
z linti (Oto Korelasyon): apraz ilintiden fark baka bir deiken yerine sinyalin kendi kendisiyle olan iliiini verir. Ortalama (Beklenen) Deer: Bir rastsal deikeninin alabilecei btn deerlerin, olaslklaryla arplmas ve bu ilemin btn deerler zerinden toplanmasyla elde edilen deerdir. Ortalama Karesel Hata: Tahmin edilen deerle istenen deer arasndaki farkn, yani hatann ortalama (beklenen) deeridir. Wiener Szgete istenen sinyale en yakn olan sinyali seebilmek iin MSEnin en aza indirgenmesi gerekmektedir.
x ( n) = d ( n) + v ( n)
(4.1)
Denklemde d(n) ve v(n)nin istatistiksel olarak birbiriyle ilikili ve geni anlamda duraan olmas istenir. Bir sinyalin geni anlamda duraan olmas beklenen deerinin zamanla deimemesi ve z ilinti ilevinin sadece zaman farkna bal olmas anlamna gelmektedir. Ayrca varyansnn da sonlu olmas gerekir.
d(n) x(n)W(z)
e(n) d ( n)
ekil 4.1 Wiener Szge
FIR szgecin aktarm ilevi, (w(n) szge katsaylar)p 1
W ( z ) = w(n) z nn=0
(4.2)
k d (n) , giriin x(n) ve w(n) nin evriimine eittir.
28
d (n) = w(l ) x(n l )l =0
p 1
(4.3)
Daha nce de belirtildii gibi ama MSE yi minimize eden szge katsaysn, w(n)yi bulmaktr. Optimizasyon teorisinde gerel x deikenli, f(x) gibi skalar bir fonksiyonun trevinin sfra eitlenmesinin, fonksiyonun global en kk deerinin elde edilmesini saladn biliyoruz. Bunun iin MSEyi w(n)nin eleniine gre trevini alp sfra eitlememiz gerekir.
= E . e( n )
{
2
}{
e( n ) = d ( n) d ( n)2
(4.4) (4.5) (4.6)
= E . e( n ) = d ( n ) d ( n ) E e(n)e(n)* e* (n) = = E e(n) * = 0 w* (k ) w* (k ) w (k ) e(n) = d (n) w(l ) x(n l )l =0 p 1
}
(4.7) (4.8) (4.9)
e* (n) = x* ( n k ) w* (k )
E {e(n) x* (n k )} = 0 ; k = 0,1,2...., p 1E d (n) x* (n k ) w(l ) E x(n l ) x* (n k ) = 0l =0
{
}
p 1
{
}
(4.10)
x(n) ve d(n) WSS olduunu kabul edersek
E x(n l ) x* (n k ) = rx (k l ) ve E d (n) x* (n k ) = rdx (k )
{
}
{
}
(4.11) (4.12)
w(l )r (k l ) = rl =0 x
p 1
dx
(k ) ; k = 0,1,2...., p 1
Bu denklem bize p bilinmeyenli p adet denklemi z ilinti matrisinden kartabilmemize olanak salar.
29
rx (0) r * x (1) rx (0) rx (1) rx (2) rx (1) M M r ( p 1) r ( p 2) x x
L L r * x ( p 1) w(0) rdx (0) L L r * x ( p 2) w(1) rdx (1) L L r * x ( p 3) . w(2) = rdx (2) M M w( p 1) rdx ( p 1) L L rx (0)
(4.13)
Bu matris eitliine Wiener-Hopf denklemleri olarak belirtilmektedir. Vektrel olarak ifadesi 4.14 de belirtilmitir.
Rxw=rdx
(4.14)
Buradaki Rx z ilinti pxp Hermitian Toeplitz matrisidir. W szge katsaylar vektr, rdx ise d(n) ve x(n) arasndaki apraz ilinti vektrdr. Ortalama karesel hata (MSE) aadaki ekilde hesaplanr;
min = E{ e(n) } min = E e(n).(d (n)* w(l ) x(n l )) 2l =0
p 1
.
(4.15)
min = E . e(n).d (n)* . min = E d (n) w(l ).x(n l ).d (n)* l =0
{
}
p 1
(4.16)
min = E (d (n).d (n)* w(l ).x(n l ).d (n)* l =0
p 1
(4.17)
min = rd (0) w(l )r * dx (l )l =0
p 1
(4.18)
4.2. Dorusal Tahmin x(n+1)in x(n)nin imdiki ve gemi deerlerinin kombinasyonlar ile ifade edilmesidir.
30
x(n + 1) = w(k ) x(n k )l =0
p 1
k = 0,1,2...., p 1
(4.19)
Bu problemi daha nce anlatlan Wiener szme probleminde d(n) yerine x(n+1) koyduumuzda ve benzer zmle, Wiener Hopf denklemi optimal dorusal tahmini iin aadaki gibi olur.
rx (0) r * x (1) rx (0) rx (1) rx (2) rx (1) M M r ( p 1) r ( p 2) x x
L L r * x ( p 1) w(0) rx (1) L L r * x ( p 2) w(1) rx (2) L L r * x ( p 3) . w(2) = rx (3) M M w( p 1) rx ( p 1) L L rx (0)
(4.20)
MSE yine benzer ekilde aadaki gibi hesaplanr.
min = rd (0) w(k )r * x (k + 1)l =0
p 1
(4.21)
Daha gereki bir sistem iin grltl ortamda yaplan dorusal tahmini inceleyelim.
v(n) x(n + 1)
x(n)
y(n)
W(z)
ekil 4.2 Dorusal Tahmin
y(n)=x(n)+v(n)
x(n + 1) = w(k ) y (n k ) = w(k )[x(n k ) + v(n k )]l =0 k =0
p 1
p 1
(4.22)
31
Wiener Hopf vektrel denklemi:
Ryw = rdy
(4.23)
Eer v(n), x(n) ile ilikili deilse, y(n)nin z ilinti matrisi, ikisinin toplamlar cinsinden yazlabilir.
Ry(k)=rx(k)+rv(k)
(4.24)
d(n) ve y(n) arasndaki apraz ilinti ise rdy=rx(k+1) e eittir.
4.3. Grlt Temizleme Wiener Szgecin en nemli kullanm alan grlt yok etmektir. Buradaki ama grltl bir ortamdan istenen temiz sinyali elde etmektir. Fakat szmede olduu gibi grltnn z ilintisi verilmek yerine, bu bilgi sadece grlty kaydeden ikincil bir alglayc tarafndan alnr. Fakat birincil ve ikincil alglaycdan alnan grltler eitli sebeplerden dolay (alglayc karakteristii, yaylma paterni gibi) ayn olmadklarndan sadece karma ilemi ile sinyali temizlemek mmkn deildir. Bu yzden Wiener szge ikincil alglayc tarafndan llen grlt ile birincil alglaycdan llecek sinyali tahmin eder.
d(n) Ses kayna v1(n) Grlt kayna
x(n)=d(n)+v1(n) v1 (n)
e(n) = x(n) v1 (n)
v(n)
v2(n)
W(z)
ekil 4.3 Grlt Temizleme
Bu sistemin en ok kullanm alan uak-helikopter telsiz haberleme sistemlerindedir. Pilotlar aras veya pilot kule aras haberleme, pilot kk
32
iindeki motor ve rzgr sesinden konumalarn anlalmas zordur. Bu zorluu gidermek iin pilot kkne yerletirilen ikincil bir mikrofon ile konumalardaki grlt tahmin edilip, ses sinyali temizlenmeye allr. Grlt tahmini iin Wiener-Hopf denklemleri aadaki gibidir.
Rv2 w = rv1v2
(4.25)
Rv2 ikincil alglayc tarafndan llen grltnn z ilinti matrisidir. Rv1v2 ise istenen grlt k v1(n) ile llen grlt knn v2(n) apraz ilinti vektrdr. Eer d(n) ile v2(n) ilikili deilse rxv2 olarak da yazlabilir.
Rv2 w = rxv2
(4.26)
4.4. Uyarlamal Szgeler Uyarlamal szgelerin en yaygn ve bilinenleri LMS ve RLS algoritma tabanl saysal szgelerdir. Bu szgeler ayrca ilerinde kullandklar adaptasyon algoritmasndaki kk deiikliklerle ve ileyecekleri sinyalin karakteristiine gre alt kmelere ayrlrlar. Uyarlamal yaplar bu almann kapsam dnda fakat yakn iliki iinde olduundan bu konuyla ilgili sadece zet bilgi verilip temellerine deinilecektir. Daha nce anlatlan Wiener yaklamnda sisteme giren sinyallerin duraan olduunu ngrmtk. Duraan bir sistem stokastik yapdadrlar. Sistem parametrelerinin olaslk dalm ( ortalama deer veya varyans ) srecin banda ve sonunda ayndr. Buna rnek olarak beyaz grlty (white noise) verebiliriz. Gerek hayattaki ou sre duraan deildir yani Power spectrum density sinyalin tm bantlarnda eit g seviyelerinde deildir. Buna rnek olarak renkli grlty, (colored noise) verebiliriz. Hareketli srelerin uyarlamal olmayan optimal szgelerle zmlenme imkan olsa da birok sebepten tr tercih edilmemektedir. Bu yntemler hareketli sreleri duraan olduu varsaylan blmlere ayrp, ilgili parametrelerin hesaplanp birletirilmesi zerine kurulmutur. Ancak hzl deien sistemlerde znrlk, etkinlik ve adm deiiklikleri ile sorunlar, doru bir modelin her koulda oluturulmasn
33
engellemektedir. D(n) ve x(n) duraan ise szge k aadaki gibi tanmland daha nce belirtilmiti.
d (n) = w(k ) x(n k )k =0
p
(4.27)
Ancak bu sreler srekli olursa denklemi aadaki gibi olacaktr
d (n) = wn (k ) x(n k )k =0
p
(4.28)
n zamanndaki arlk vektr katsaylar;wn = [wn (0), wn (1),...........wn ( p )]
T
(4.29)
Giri sinyali:
x(n) = [x(n), x(n 1),............., x(n p )]
T
(4.30)
Duraan
olmayan
srelerin
zmlenmesi
duraan
srelerin
zmlenmesinden daha zordur. Bunun sebebi duraan olmayan srete her n deeri iin wn(k) , k=0,1, . ,p hesaplanmas gerekmektedir. Bu ilem her seferinde srecin parametrelerinin batan hesaplanmas yerine gncelleme teknii ile kolaylatrlmtr. Bu teknik uyarlamal yapnn temel dayanadr.
wn+1 = wn + wn
(4.31)
34
Burada wn n zamannda wne uygulanan dzeltme veya gncelleme etkisi olarak adlandrlr.
d(n) x(n)=d(n)+v1(n)
d (n)Wn(z) WUyarlamal Algoritma
e(n)
ekil 4.4 Uyarlamal yap
35
5. DALGACIK (WAVELET) DNM
Dalgack konusu yeni saylabilecek bir konudur. Aslnda temelleri bir asr ncesinde JBJ Fouriere dayansa da, son 15 sene ierisinde (1982-Morlet, Ares, Fourgeau ve Giard , 1983- Morlet, 1984-Grossmann ve Morlet) asl gelimesini gstermitir. Dalgack dnmnn bu kadar baarl olmasnn birka sebebi vardr. Birincisi dalgack konusu 20-30 sene ierindeki mhendislik (alt bant kodlamas), fizik (badak durumlar, tekrar normalletirme gruplar ) ve saf matematik (Calderon-Zygmund ilemleri) konularnn sentezinden meydana gelmektedir. Disiplinler aras bu ilikinin sonucu olarak da farkl gemi birikimlere sahip mhendis ve bilim adamlarnn ura konusu olmutur. kinci sebep ise dalgack konusu kendisine ok geni uygulama alan bulabilmitir. Sinyal ilemede (imge ve ses) ve nmerik analiz (integral dnm iin hzl algoritmalar) konusunda heyecan verici gelimelere nc olmutur (srasyla; 1987-KronlandMartinent, Morlet ve Grossmann 1991- Beylkin, Coifman ve Rokhlin) [21]. zetle Dalgacklar ok geni ve temelleri birok disiplinin bir araya gelmesiyle olumu bir konudur. Yaplan tez almasnda dalgack konusu mhendislik bak ayla tantlacak olup ok gerekli grlmedii takdirde matematiksel ispatlardan ve anlatmlardan uzak durulmaya allacaktr.
5.1. Fourier Analizi ve Fourier Dnm Doadaki tm periyodik fonksiyonlar, birbirine dik iki farkl periyodik fonksiyonun artan frekanslardaki deerlerinin toplam eklinde gsterilebilir. Fourier bu toplam sins ve kosins fonksiyonlarn kullanarak gstermitir. Gnmzde Euler bants kullanlarak sins ve kosins fonksiyonlar yerine karmak sl saylar kullanlmaktadr.
36
ekil 5.1 J.B.J. Fourier (1768-1830)
Fonksiyonlarn karmak sl saylarn toplam olarak gsterilmesine Fourier serisi gsterimi denir. Fourier alm sayesinde sinyallerin frekans bileenleri kolaylkla belirlenebilir. Fourier sz konusu seri almn iki farkl yzeyi farkl slarda olan kat bir cismin scaklk dalmn hesaplamak iin kullanmtr. Bu yaklam youn bir ilem abas gerektirdiinden ve sonuta yaklak sonu verdiinden kullanlmamaktadr. Gnmzde Fourier analizi bilgi ve sinyal ileme ve titreim analizinde kullanlmaktadr. Fourier dnm, srekli ve ayrk olarak ikiye ayrlabilir. ki dnm de bir nesneyi ortogonal iki uzay arasnda eler. Srekli ve kesikli nesneler iin dnm:
(5.1)
(5.2)
(5.3)
(5.4)
37
eklinde verilir. Yukardaki dnmde grld zere x uzayndaki bir nesne k uzaynda tanmlanmtr. Bu dnm diferansiyel denklemlerin zmnde ok byk rahatlk salar. Zira bu dnm sayesinde x uzayndaki diferansiyel denklemler k uzaynda dorusal denklemler olarak ifade edilirler. K uzaynda bu denklemin zm bulunduktan sonra ters dnmle x uzayndaki karl elde edilir. Bu ilem diferansiyel denklemin zmdr.
5.2. Duraan ve Srekli Sinyallerin Fourier Dnmleri Fourier dnm srekli sinyaller iin tercih edilmez. Bunun sebebini anlamak iin nce duraan ve srekli sinyalleri karlatrmak gerekir.
ekil 5.2 Duraan bir sinyal rnei ekilde 10Hz, 25Hz, 50Hz ve 100 Hz sinyal bileenlerinden oluan duraan bir sinyal vardr. Bahsedilen frekanslar zaman ekseninin tamamna yaylmtr. Yani herhangi bir zaman annda tm frekanslar mevcuttur, sinyalin balangcndaki frekanslar zaman iinde deimez. Bu eit sinyaller duraan sinyaller olarak isimlendirilir. Bu sinyalin Fourier dnm ekil 5.3te grld gibi frekans bileenlerini baarl bir ekilde gsterebilmektedir.
38
ekil 5.3 Duraan sinyalin Fourier dnm ekil 5.4teki sinyal 5.3teki sinyal ile ayn frekans bileenlerine sahip ancak duraan olmayan yani srekli bir sinyaldir. Srekli sinyallerin frekanslar duraan sinyallerde olduu gibi zamandan bamsz deildir. Biyolojik sinyallerin ou bu ekildedir (ECG, EMG, EEG gibi). rnek olarak aadaki sinyal (ekil 5.4) 0300ms arasnda 100 Hz, 300-600ms arasnda 50 Hz, 600-800ms arasnda 25 Hz ve son olarak 800-1000ms aras 10 Hz sinzoidallerden olumaktadr.
ekil 5.4 Duraan olmayan bir sinyal rnei
Duraan olmayan bu sinyalin Fourier dnm ekil 5.5te gsterilmitir. Frekanslar arasndaki dalgacklar ve genlik farkllklar dlmezse, sonu
39
duraan sinyalin Fourier dnm ile ayndr. Aradaki dalgacklarn sebebi frekanslardaki ani deiikliklerden kaynaklanmaktadr. 100 Hz ve 50 Hz frekansndaki sinyallerin genliklerinin byk olmasnn sebebi ise dier frekanslara gre zaman ekseninde daha uzun sre yer almalardr.
ekil 5.5 Duraan olmayan sinyalinin Fourier dnm
Duraan olmayan sinyallerin Fourier dnmne uygun olmamasnn sebebi, aslnda dnmn kendisinden ok srekli sinyalin yapsndan kaynaklanyor olmasdr. Srekli sinyalin Fourier dnmnde sinyalin tm frekanslarn grebiliriz yani frekans znrl kusursuzdur, ancak zaman yerellii yoktur. Yani hangi frekansn hangi zamanda olduuna dair elimizde hibir bilgi yoktur. Duraan sinyallerde byle bir sorunun olmamasnn sebebi frekanslarn zamanla deimiyor olmasdr, bir baka deyile bu tip sinyallerde zaman yerellilii nemli deildir nk her frekans zaten her zaman mevcuttur [22].
40
5.3. Ksa Zamanl Fourier Dnm Bu yntem Fourier dnmnn srekli sinyallerde de uygulanabilmesi iin gelitirilmitir. Fourier dnmnn srekli sinyallerde zaman bilgisini kaybettii iin tercih edilmedii belirtilmiti. Bu sorunun stesinden gelebilmek iin, dnm yaplacak olan sinyal nce konumu t = da olan bir pencere fonksiyonu ile arplr. lemin geri kalannn Fourier dnmnden fark yoktur. Yani karmak stsel ifadenin karl olan sin ve cos bileenleri f frekans iin giri sinyali ile tm zamanlarda arplr. Bu arpm ileminin sonucu byk karsa (sinyaller ilikili ise) f frekans o sinyal iersisinden yakalanm olur. Bu frekans, sinyalin hkim frekans olarak isimlendirilir. Eer sonu kk veya sfr karsa f frekans sinyal ierisinde ksa bir aralk srmtr veya hi yoktur. Sonuta dnm frekansn bir fonksiyonu olduundan, sinyal zerindeki tm frekanslar ayrtrlabilir hale gelirler. Ksa Zamanl Fourier dnmnde tek fark bu ilemin zaman ekseninde kayarak ilerleyen pencerelerin ierisinde gerekleiyor olmasdr. Bu ilemin zaman pencerelerinde gerekleiyor olmas bize ksmen zaman bilgisi (zaman aral bilgisi) salasa da frekans znrl kazanlan zaman znrl ile ters orantl olarak azalmaktadr. Bunun sebebi dnm srasnda alnan integralin tm sinyal iin deil, sadece pencere ierisini kapsamasdr. Yani sinyalin genelinden gelecek frekans bilgisinden yoksun bir ekilde blgesel olarak ilem yaplmaktadr. Anlatlan bu ilemler denklem 5.5 ile zetlenebilir.
(5.5)
STFT dnm sayesinde artk frekans - genlik bilgisine ek olarak zaman bilgisi de elde edilebilir olmutur. Bu durum grafiksel olarak boyutla gsterilir. Daha nce FT iin kullanlan rnek sinyal (ekil 5.4) bu kez STFT iin kullanlr ise ekil 5.6daki grafik elde edilir.
41
ekil 5.6 Ksa zamanl Fourier dnm
ekilde frekans ekseninin tam ortadan simetrik olduu grlmektedir, bunun sebebi sinyalin Fourier dnmnn negatif sinyal bileenlerinden tr her zaman simetrik kmasdr. Ksa zaman Fourier dnm aslnda pencerelenmi Fourier dnmnden baka bir ey olmadndan sonucun byle kmas artc deildir. Zaman eksenindeki farkllklarn sebebi uygulanan normalizasyondan kaynaklanmaktadr. Burada asl incelenecek olan grafiin bu zelliklerinden ok sinyalin zaman frekans ilikisidir. Sinyalin drt ayr frekans drt farkl tepe eklinde grlebiliyor, tpk Fourier Dnm gibi. Fakat bunlara ek olarak artk zaman bilgisi de mevcuttur. Frekanslarn hangi aralkta olduklarn grlebiliyor. Buradaki kstlama znrlklerle ilgilidir. Sorun u ki, zaman bilgisi sadece belli bir arala ait, yani tam olarak hangi anda hangi frekansa sinyalin sahip olunduu bilinmiyor. Bu belirsizlie Heisenberg belirsizlik kural denir. zetle bu kural yledir; hareket eden bir nesnenin momentumu ve konumu ayn anda bilinemez. Konuyla bu sylem ilikilendirecek olunursa, frekans ve zaman znrl ayn anda arttrlamaz (veya azaltlamaz), zaman znrl arttnda frekans, frekans znrl arttnda ise zaman znrl azalr.
42
znrlk, dnm ilemi srasnda kullanlan pencerenin boyu ile ilgilidir. Pencere boyu arttnda frekans znrl artar STFT, FTa yaklar. ntegral ksa pencereye gre daha uzun zamana yayldndan sinyalin tamamna ait frekans bilgisine daha yakn bir sonu kar. Ancak zaman znrl azalr nk zaman ekseni eskisine gre daha az paraya blnmtr. Pencere boyu daraltldnda ise frekans znrl azalrken zaman znrl artar. Bu durumu grafiklerle anlatmak daha kolaydr. rnek olarak STFT iin pencere olarak basit bir gauss fonksiyonu tanmlanabilir, w(t)=e deeriyle aadaki gibi geniler veya daralr.(-a*(t^2)/2)
. Pencereler deien a
ekil 5.7 Deien a deerlerinin penceredeki etkisi ekil 5.8de a deerinin 0.01 olduu durum grlmektedir. Pencere kk olduundan zaman znrlnn iyi frekans znrlnn ise dk olmasn bekleniyor. Gerekten de drt frekansa ait tepeler birbirlerinden zaman ekseninde iyi ayrlmlardr (dalgalar arasnda her frekans iin fark belirgindir). Ancak frekans ksmna baktmzda tepeler tek bir frekans yerine belirli bir frekans
43
araln kapsamaktadr. Yani tam olarak o blgede hangi frekans olduu bilinmemektedir. Bu durum frekans znrlnn kt olduunu gstermektedir.
ekil 5.8 s=0.01 deeri iin STFT
ekil 5.9 de artan pencere boyu ile zaman znrlnn, zaman eksenindeki aralklarn birbirlerinin blgelerine girmeye balamasyla azald grlyor. Ancak artk tepeler daha az frekans bileeni iermektedir.
ekil 5.9 s=0.1 deeri iin STFT
44
ekil 5.10 da ise frekans znrlnn en yksek seviyede olduunu ancak artk zaman bilgisinin kaybedildiini, yani zaman znrlnn seilen pencere boylar iin en dk seviyesinde olduu grlyor.
ekil 5.10 s=1 deeri iin STFT
Yksek frekanslar zaman ekseninde daha kararldr. Bunun sebebi Nyquist frekansnn daha yksek olmas, dolaysyla rnekleme zamannn daha ksa srelerle gereklemesi ve rnek saysnn daha fazla olmasdr. Daha fazla rnek says bir sinyalin daha kararl ve hatalara kar daha korunakl olmasna sebep olur. rneklemenin bu kadar ok yaplabilmesi iin zaman znrlnn iyi olmas gerekmektedir. Dk frekanslar ise yksek frekanslar kadar ok rnekleme gerektirmediklerinden zaman znrlnden ok frekans znrl n plana kmaktadr. Bu yzden yksek frekanslarda dar pencereler, dk frekanslarda ise geni pencereler seilmelidir. Ancak STFT deiken yapl pencerelere sahip deildir. Hem yksek hem de dk frekanslar ayn pencere boyu ile ilenirler. Bu da yksek frekanslarda dk zaman znrlne, alak frekanslarda ise dk frekans znrlne sebep olur. Bu znrlk sorunun stesinden gelmek iin STFT yerine dalgack dnm gelitirilmitir.
45
Dalgack dnmnde kullanlan yntemin ismi
oklu znrlk
Analizi dir. Bu yntem STFT deki pencerenin boyutlarn, sinyaldeki frekans bileenine gre deitirmesi zerine kurulmutur. Bylelikle birden fazla znrlkle allabilir. Sistem yksek frekanslarda iyi zaman znrl, kt frekans znrl; dk frekanslarda ise iyi frekans znrl, kt zaman znrl salayacak ekilde pencereyi srasyla daraltp kalnlatrr. STFT ve Dalgack dnm arasnda iki temel fark vardr. 1. 2. STFT pencerenin altnda kalan negatif frekanslar ileme almazken dalgacklarn yaps salnml olduundan negatif ksm da ileme girer. Srekli dalgack dnmnde frekansla orantl deiken boyutta pencereler kullanlrken, STFT de pencere genilii sabittir. Ksa Zamanl Fourier Dnm ile Dalgack dnmnn frekans ve zaman znrl asndan karlatrmas ekil 5.11de verilmitir. Ksa zamanl Fourier Dnmnde frekansn sabit olduu farkl frekanslardaki sinyaller iin ayn znrl kulland grlrken, Dalgack Dnmnde deien dalgacklarn (pencerelerin) farkl zaman ve frekans znrlkleri oluturduu grlmektedir. Bu konu rneklerle biraz daha detaylandrlacaktr. Bu iki grafikte dikkat edilmesi gereken bir dier nokta da znrlk drtgenlerin kapladklar alanlarn deimediidir. Bunun sebebi Heisenberg Belirsizliinde anlatld gibi kesin olarak zaman ve frekansn sonsuz znrlkte olamaddr. Bir baka deile birbirlerine ters orantl olan iki deikenden biri deiirken teki sabit tutulamaz. Yani frekansla zaman znrl ayn anda arttrlamaz veya azaltlamaz.
46
ekil 5.11 STFT ve Dalgack dnm znrlk ilikisi (a) STFT (b) Dalgack Dnm
5.4. lek ve Srekli Dalgack Dnmnn Hesaplanmas lek kavram dalgack dnmyle birlikte kullanlmaya balanlmtr. STFT den farkl olarak frekans bileeni lekle tantlr. Kabaca frekansn tersidir. Aada grld gibi lek s arttka frekans azalm, sinyalde genleme olmutur. lek kldke sinyal skm, yani frekans artmtr
ekil 5.12 Deien lek s deerlerinin penceredeki etkisi
47
lek dalgacn zaman eksenindeki geniliidir. Byk lek dk frekanstaki sinyalleri yakalamak iin kullanlr. nk byk dalgacn frekans, dk frekans bileeni ile arpldnda sinyaller aktndan, yksek frekansl sinyalin arpm sonucuna gre daha byk sonu verir. Bu durum yksek frekans bileenli sinyal ile kk lekli dalgacn genililiinin arplma sonucu iin de geerlidir. Srekli dalgack dnmnn forml STFTye ok benzer. STFT deki pencere fonksiyonun yerini alan , ana dalgack olarak isimlendirilir. nk dier dalgacklar deien s yani lek deerine gre bundan tretilir. Ayrca ierisinde dalgacn konumunu belirten zaman parametresi de mevcuttur.
(5.6)
Dalgack dnm, isminde de belirtildii gibi bir dnmdr. Yani analiz ileminden sonra tekrar oluturulmas sentezlenebilir olmas gerekmektedir. Sentezleme aadaki formlle gereklemektedir. Formln bandaki katsay kullanlan dalgack tipine gre farkl deerler alr.
(5.7)
Analiz ilemi ana dalgacn, sinyalin t=0 zamanna yerletirilmesiyle balar. s=1 iin dalgack sinyalle arplr. Sonuta kalan, pencerenin boyu dnda sfr olmak zere, sinyal ile dalgacn o alandaki tm zamanlar iin olan arpmdr. Bu alandaki arpmn sonucu, normalizasyon iin baka bir katsay ile arplr. Bu ilem sinyal kaydrlarak t= ya kadar devam eder. Daha sonra deien ocuk dalgacklarla (deien lek parametresi ile) bu ilem tekrarlanarak farkl frekanslar bileenlerindeki sinyaller de teker teker orijinal sinyalden ayklanr. ekil 5.13 ve 5.14te dalgack yntemi ile frekans ayrtrmasnn zeti verilmitir. lei 1e eit olan dalgack sinyal zerinden geerken kendi frekansndaki yksek frekans bileenlerini ayrmaktadr. lek deeri 5 olan dalgack kendi frekansndaki dk frekans bileenlerini, sinyali her lek deeri iin tarayarak karmaktadr.
48
ekil 5.13 s=1 ; = 2, 40, 90, 140 iin dalgack dnm
ekil 5.14 s=5 ; = 2, 40, 90, 140 iin dalgack dnm
49
Aadaki iki grafik ekil 5.4 deki srekli sinyalin dalgack dnmdr. ekil 5.15 grafiin lek ksmna, 5.16 ise zaman ksmna dikkat ekmitir.
ekil 5.15 Srekli sinyalin dalgack dnm lek bak
Eksenler normalize edildiinden dnm grafiklerinin eksen saylar ile birbirlerini tutmamaktadr. Zaman ilerledike azalan frekansa gre dalgacklarn sadaki grafikte zaman ekseninin sonuna doru genilerken ters ynde azaldn grebiliyoruz. Geni dalgacklarn iyi frekans kt zaman znrl verdii daha nce belirtilmiti. Bu grafikte ise geni dalgacklarn kt lek znrl gstererek, aslnda iyi frekans znrl sergiledii ak bir ekilde grlmektedir. Dar dalgacklarn ise geni dalgacklara gre daha iyi lek znrl, yani daha kt frekans znrl gsterdii yine ekil 5.15te grlmektedir.
50
ekil 5.16 Srekli sinyalin dalgack dnm zaman bak
ekil 5.16 ise, ekil 5.15in zaman ekseni tarafndan baklan halidir. Geni dalgacklarn kt zaman kk dalgacklarn iyi zaman znrl gsterdiini zaman eksenindeki kapladklar alandan grebilmektedir.
5.5. Dalgack Teoremine Matematiksel Yaklam Fourier dnmnde Fourier baz vektrleri sinyali analiz etmek ve yeniden oluturmak iin kullanlmaktadr. Vektr uzaynda her vektr baz vektrlerinin dorusal kombinasyonlar eklinde yazlr. Bu ilem, vektrleri baz sabit saylarla arpp, sonra da arpmlarn toplam cinsinden yazlmas ile gerekletirilir. Baz vektr aadaki gibi tanmlanr.
(5.8)
Bu formlde bk baz vektrn yerine baz fonksiyonu ve v vektr yerine de f(t) fonksiyonunu koyarak genelletirebiliriz.
51
(5.9)
Fourier dnmnde sins ve kosinsler baz fonksiyonlardr ve diktirler. Fonksiyonlarn diklik zellii bize yeni fonksiyonlar olutururken kolaylk salamaktadr. Diklik zellii bir sonraki konu balnda tantlacaktr. ki fonksiyonun a-b aralndaki i arpm aada verilmitir.
(5.10)
Baz fonksiyonu () ile giri test sinyalinin i arpmlarn benzer ekilde yazarsak Dalgack Dnm denklemini elde etmi oluruz.
(5.11)
5.5.1. arpm ,diklik ,ortanormallik Eer iki vektrn i arpm sfrsa bu iki vektr diktir.
(5.12) Ayn durum fonksiyonlarn i arpm iin de geerlidir.
(5.13) Byklkleri bire eit olan dik vektr kmesine de ortanormal kme denir.
52
(5.14) ki fonksiyonun ortanormal olmas ise aadaki koullarla gerekleir,
(5.15) k ve l deeri birbirlerine eitse fonksiyonlar ortanormal, deilse diktir. Ortanormallik zellii sayesinde denklemdeki analiz katsays fonksiyonlarn i arpm eklinde yeniden yazlabilir.
(5.16) Bylece daha nce tasarladmz f fonksiyonu katsaysnn yeni tanm ile olmadan yazlabilir.
(5.17) Bu ve bu gibi ilemlerin benzerleri, dalgack dnmnde katsaylarn hesaplanmasnda kullanlr. Dalgack matematii ok geni ve ileri dzey matematiksel altyap gerektiren uzun bir konudur. Zaten Dalgack Dnm ile ilgili yaynlarn ou matematikiler tarafndan yaymlanmtr. Bu almada dalgack teoreminin mhendislik ksm ve uygulamalarn incelemek, matematiksel ispatlar ve formlleri irdelemeye ye tutulmutur.
53
5.6. Dalgack eitlerine rnekler Teorik olarak sfr ortalamal ve sonlu enerjiye sahip herhangi bir fonksiyon dalgack saylabilir. Ancak dalgac semek iin birok lt vardr. Dalgacn zaman ve frekans ortamndaki snmlemesi nemlidir. Zaman ve frekans ortamnda iyi konumlanmas iin dalgack, zaman ve frekans ortamnda hzl snmlemelidir. Dalgack dnmnn, ksa zamanl Fourier dnmnden farklar tantlrken, dalgack dnmnde kullanlan pencerenin Fourierdeki gibi sabit olmad, deien lek deerine gre kendisini deitirerek Fourierdeki sabit frekans ve zamanda yerelilik probleminin stesinden geldii belirtilmiti. Aada bahsedilen dalgack yaplarnn bir ksm rnek olarak verilmitir. Uygulamalar ksmnda yaplan ayrtrma ilemleri ve hata sonular ile bu dalgack yaplarn karlatrma imkn bulunacaktr.
ekil 5.17 Dalgack trlerine rnekler
54
5.7. Kesikli Dalgack Dnm - Alt bant kodlamas Srekli Dalgack Dnmnde, zaman ekseninde kayarak ilerleyen ve deien lek parametresi ile bu ilemi tm frekanslar iin tekrarlayan dalgacktan bahsedilmiti. Bu dalgack blgesindeki sinyallerin ilinti bilgisi bize frekanslar ayrma olana tanyor idi. Bu ilem saysal dnyada farkl kesme frekansndaki szgelerle gerekletirilir. Giri sinyali bu szgeler ile alak ve yksek frekans bileenlerine ayrtrlr ve znrlklerini dzenler.
ekil 5.18 Detay ve yaklaklk katsayllar Yksek frekans katsaylarna yaklaklk, dk frekans katsaylarna da
ayrnt katsaylar denir. Daha nce ska bahsettiimiz lek kavram ise burada sinyalin yukar veya aa rneklenmesi ile deitirilir. Aa rnekleme bilindii gibi orijinal sinyalden baz rneklerin kartlmasdr. Yukar rnekleme ise sinyaldeki rnek saysn arttrmaktr. rnek saysn artrmann birok yolu vardr. Sinyalde rnek yerine sfr konulabilecei (zero padding) gibi deiik ara deerleme teknikleri (dorusal, sabit, okterimli) ile sinyale yakn deerler tahmin etmek mmkndr. Aadaki forml FIR szgecin tanmdr. ekiller ise kullanlan alak ve yksek geiren szgelerin frekans genlik grafikleridir.
(5.18)
55
ekil 5.19 Ayrmda kullanlan szgeler (a) alak geiren (b) yksek geiren Prosedr x(n) i h(n) darbe tepkisine sahip saysal bir szgeten geirmekle balar. Bilindii zere bu ilem giri sinyali ile darbe yantnn evriimidir. Giri sinyali, yar bant alak geiren szgeten geirilir. Yar bant alak geiren szge, sinyalin en byk frekansnn yarsna eit kesme frekansna sahip saysal szgetir. Yani bu ilem sonucunda en byk frekans 1000Hz olan sinyalin szge knda en byk frekans 500Hz e der. Kesikli sinyallerde frekans radyan cinsinden ifade edilir. Eer kesikli bir sinyal Nyquist frekansnda rneklenirse rnekleme frekans radyan olur. Nyquist rnekleme frekans sinyalin tekrar oluturulmasnda bilgi kaybna uramamak iin orijinal sinyalin en byk frekansndan iki kat byk seilen snr, rnekleme frekansdr. Bu frekansn altnda yaplacak rneklemeler, sinyalin yeniden oluumunda aliasing denilen bilgi kayplarna sebep olacaktr.
56
ekil 5.20 512 rnekli bir sinyalin ayrm basamaklar
Bu sinyal alak geiren szgeten geirildiinde en byk frekans bileeni sinyalde /2 kadardr. Bu durumda rnekleme frekansnn 2 de kalmasnn bir anlam yoktur. Yani fazladan ve gereksiz bilgiyi sistemden kartp ilem kalabaln azaltmak iin yine bu sinyali 2 ile aa rnekleyerek yeni Nyquist frekans olarak belirlenir. Bylece 1. seviyede rnek says 256ya dm orijinal sinyalin yksek ve alak frekans bileenleri elde edilmi olur. Bu ilem sinyalin zaman znrln azaltr. nk rnek says yar yarya der. Yani zaman ekseninde yar yarya bilgi kayb meydana gelir. Frekans znrl ise artar. nk bir nceki duruma gre frekans eitlilii yar yarya azaldndan kalan frekanslar daha iyi gzlemlenebilir. rnekte verildii gibi daha nceden 0 aralna bulunan sinyalleri imdi daha dar bir frekans aralnda 0- /2 ve /2- inceleme imkanna sahip olunur. Benzetme yapmak gerekirse, haritada bulmak istenilen adrese bytele bakld veya bu i iin daha byk lekli bir harita kullanld dnlebilir. lek, yani dalgack boyu artar. Bunun anlam en st seviyeli katmanda dalga geniliinin en byk olaca, dolaysyla en byk
57
frekans bileenlerinin burada ayrtrlacadr. Tersi, yksek frekans bileenlerinin ilk yaplan ayrtrmada ortaya kmasdr. Sinyaldeki frekans belirsizliini azaltmak iin (frekans znrln arttrmak iin) bu ilem rnek says Nyquist frekansnn olanak tand snra kadar tekrarlanr. Sonra da yaplan tm ilemler tersinden tekrarlanarak sinyal sentezlenir. lemlerin tersten yaplmas, nce sinyalin yukar rneklenmesi ardndan yksek geiren ve alak geiren szgelerin birbirlerinin tersi olmas zelliinin kullanlmasyla sinyallerin szlp bir araya getirilmesini ierir.
5.8. Dalgack Dnmnn Kullanm Alanlar Dalgack dnmn saysal sinyal ileme teknikleri ierisinde iki temel kullanm alan vardr. Bunlardan ilki veri sktrma ikincisi grlt gidermedir. Bunlarn dnda da birok kullanm alan vardr. rnek olarak devamszlk tespiti, olaslk dalm tahmininin nmerik zm, nitelik ayrt etme ve eitli veri analizi yntemleri saylabilir. Veri sktrmann elverili olmasnn sebebi dalgack dnmnn yapsndan kaynaklanmaktadr. nk kesikli dalgack dnm ayrtrma ilemi srasnda her seviyede rnek saysn azaltlp, fazlalk bilgiyi eledii iin, orijinal sinyale gre tekrar sentezlenmi hali olduka az yer kaplar. Bu yntem kullanlan deiik kodlama teknikleri ile gerekletirilir. Kodlama eitlerine rnek olarak aritmetik kodlama, RLE kodlama ve Huffman Algoritmas saylabilir. Veri sktrma kapsam dnda olduundan bu yntemlerle ilgili bilgi verilmeyecektir.
5.9. Dalgack Yntemiyle Grlt Giderme Grlt giderme zetle basamakta gerekletirilir.
1. Analiz : n. Seviye dalgack ayrtrmas;
Y=Wy
(5.19)
2. Eik deeri: Dnm katsaylarna uygun eik deerleri seilip uygulanmas
58
ekil 5.21 Eik deeri
3.
Sentezleme: Eik deeri uygulanm katsaylarla sinyalin yeniden oluturulmasdr
(5.20)
Grlt kabaca renkli ve renksiz (beyaz) olmak zere ikiye ayrlr. Beyaz grlt sinyal zerinde tm frekanslarda eit gte bulunan ve zamanla bu zellikleri deimeyen bir sinyal eididir. Renkli grltler ise gerek hayatta daha sk karlatmz, sinyalin frekanslar zerinde farkl glerde bulunabilen sinyallerdir. Eik deeri frekans bileenlerine ayrlm sinyaller iin hesaplanrken grltnn yaps nemlidir. Eer grlt beyaz ise eik deerinin her frekans iin hesaplanmasna gerek yoktur, tm katmanlarda kullanlabilir. Ancak eer kaynamz renkli grltlerle kirlenmise tm katsaylar iin eik deeri hesaplanr. Eik deeri aadaki formlle hesaplanr;
(5.21)
Burada , sinyaldeki standart sapmay gstermektedir, n ise rnek saysdr. Bu eik deerine VisuShrink eik deeri denir. Evrensel eik deeri de bir baka ismidir. Bunun dnda birka yntem daha olsa da en ok kullanlan budur. ki eit eik deeri vardr.
1. Sert geili eik deeri:
(5.22)
59
2. Yumuak geili eik deeri:
(5.23)
ekil 5.22 (a) yumuak eik deeri (b) sert eik deeri Sinyale (y=x) yumuak ve sert eik deerleri 0.4 deeri iin uygulandnda yukardaki sonular grlr. ki fonksiyonda 0.4 zerindeki sinyallere izin verirken altndakilere geit vermemektedir. Sinyalin negatif tarafnda ise eik deerinin boyu kadar bir devamszlk oluur. Eik deeri hep pozitif deerlerden seilir. Yumuak eik deeri grlt gidermede daha etkili bir zmdr. Ancak veri kayplar sinyalde genel deiiklikten tr sert eik deerine gre daha fazladr. ekilden de grlecei gibi hibir k deeri, eik deerinin stnde de olsa, girile ayn deildir. Bu kayplar sinyalin yksek frekans bileenlerinde meydana gelir. mgelerde eer ke detaylar nemli deilse uygulanabilir. Detayn n planda olduu imge, temizleme uygulamalarnda tavsiye edilmez [23].
60
6. UYGULAMALAR
Yaplan almalar iki ana balkta zetlenebilir. Birincisi saysal ve analog fitre tasarm programnn tantlmas ikincisi ise Wiener ve Dalgack yntemiyle fetal ECGnin anne ECGsinden ayrt edilmesi.
6.1. Szge Tasarm Program Yazlm, Mathworks firmasnn bir rn olan Matlab program ile hazrlanmtr. Yazlan programn daha kullanl hale gelebilmesi iin ayrca programa grafik ara yz eklenmitir. Program szge eitlerinin seilmesine olanak tanyacak ana men ile balar [24].
ekil 6.1 Szge tasarm programnn al sayfas
Kullanc tasarlamak istedii szge eidini buradan setikten sonra ana men kapanr ve yerine seilen tasarm yerine getirecek baka bir men kar. Burada
61
ilk deerler hazr olsa da kullanc isterse bu deerleri gncelleyebilir. Srasyla bu deerler alak ve yksek geiren szgeler iin aadadr. 1. rnekleme Frekans: Asal frekanslarn hesaplanmasnda kullanlmak iin istenir. Ayrca bu frekans test blmnde tantlacak olan test sinyalinin de rnekleme frekans olacaktr. Bundan sonra seilen tm frekans deerlerinin rnekleme frekansnn Aksi yarsndan halde byk olmamasna oranna dikkat edilmesi gerekmektedir. sinyalde Nyquist uyulmadndan
doabilecek bozulmalar olaandr. 2. Geirme Frekans: Tasarlanacak olan szgecin hangi frekanstan sonra geirmeye balayacan belirler. 3. Durdurma Frekans: Tasarlanacak olan szgecin hangi frekanstan sonra giri sinyalini szeceini belirtir. 4. Dalgack Katsaylar: Szge karakteristiinde gei ve durdurma blgelerindeki genlik deiikliklerinin db cinsinden bykln belirtir.
ekil 6.2 Analog ve saysal tasarm sonular
62
Programda kullancdan istenen bu bilgilerin yan sra bant geiren ve durduran szgelerde fazladan bant snrlar belirlenir. Bilgiler anlatld ekilde girildikten sonra Filtreyi Tasarla komutu verilir. Daha sonra ayn mennn sol tarafnda analog tasarm ve saysal tasarm alt balklarnda sonular grlr. Analog tasarm ksmnda szgecin normalize frekans tepkisinin yan sra en kk szge derecesine gre hesaplanan aktarm ilevi, analog frekanslar yer alr. Saysal ksmda ise ift dorusal dnm metodu ile analog deerlerden hesaplanan saysal szge tasarm ve frekans tepkisi, faz deiimi ve kutup-sfr gsterim grafikleri yer alr.
ekil 6.3 Tasarlanan Szgecin test edilmesi
Tasarlanan szgecin nasl altn grebilmek iin Filtreyi test et komutuyla baka bir ara yz ortaya kar. Bu ara yzdeki mende bir nceki mende istenen deerlere ek olarak test sinyalinin (sins) frekansnn girilmesi gerekmektedir. Bu ilem srasnda sinyalin Nyquist frekansna yine dikkat edilmesi gerekir. Seilen frekansa gre oluturulan sins sinyali ekrann en stnde giri
63
sinyali bal altnda oluacaktr. Bu sinyalin altnda oluan k sinyali, en altta verilen szme karakteristiine gre giri sinyalinin hangi frekanslarda nasl frekans tepkisi vereceini gsterecektir.
ekil 6.4 Tasarlanan Szgecin test edilmesi / ftest=20 Hz, k Genlii 0
ekil 6.5 Tasarlanan Szgecin test edilmesi / ftest=14 Hz, k Genlii 0.5
64
6.1.1. rnek szge tasarm Bir nceki konu anlatmnda kullanlan deerlerin, sonularn
karlatrlmas iin bu blmde teorik olarak hesaplanmas yaplacaktr. Bu hesaplamalar, daha nce szge tasarm blmnde aktarlan karakteristik denklemlerden kmaktadr. Gsterilen grafikler alak geiren analog ve saysal szgecin tasarm sonulardr. Geirme Frekans (fp) : 10Hz Durdurma Frekans (fs) : 20Hz rnekleme Frekans (fsamp) : 50Hz Gei Band Dalgack Katsays(dp): 0.45db Durdurma Band Dalgack Katsays(ds): 28db Asal Frekanslar;
wp = 2
10 = 0,4 50
(6.1) (6.2)
ws = 2
20 = 0,8 50
rneklem Frekans 1 alnp normalize analog frekanslar n arplma yaparak bulunmakta:
p = 2 tan( s = 2 tan(
wp 2
) = 1,4531
(6.3) (6.4))
ws ) = 6,1554 21 1+ 2
d p = 0,45 = 20 log(
=0,3303
(6.5)
1 d s = 28 = 20 log( ) , A=25,1188 A
(6.6)
65
N=
log( A2 1 / ) = 2,98 3 log( s / p )
(6.7)
Butterworth genel formlnde yerine c yazlrsa;
H ( jw) =
1 1 1 = = 2N 2N 2 1 + ( / c ) 1 + (c / c )
(6.8)
Bulunan deeri kesim frekansn bulmak iin ayn formlde yerine c yazlrsa;
1 1 = 2 2 1 + ( / p )2 N2 = 1 + 2 ( c / p ) 6 , 1 = 2 ( c / p ) 6 ,
(6.9)
c = p / 2 , c = p / 3 , c =2,16 6
(6.10)
3. dereceden butterworth analog szgecin normalize aktarm ilevi aada yazlmtr.
H an ( s) =
1 ( s + 1)( s 2 + s + 1)
(6.11)
Bu formlde s yerine s/ c konularak denormalizasyon yaplmakta;
Hlp( s) = Han( s / c )(1/ c =0,476)
(6.12)
Han( s ) =
1 1 = 3 2 2 ( s + 1)( s + s + 1) s + 2s + 2 s + 1 1 9,1 = 3 2 s 0,11 + 2 s 0,23 + 2.s.0,476 + 1 s + 4.2s + 8,7 s + 0,913 2 2
(6.13) (6.14) (6.15)
Han( s.0,476) = Hlp ( s) =
9,1 s + 4.2s + 8,7 s + 0,913
66
Saysal Szge aktarm ilevi, aadaki ifade (ift dorusal Dnm), analog aktarm ilevinde yerine konulduunda ve uygun sadeletirmeler yapldnda bulunur.
(1 z 1 ) H ( z ) = H lp 2. (1 + z 1 ) H ( z) = H ( z) = 0179 + 0,538 z 1 + 0,53 z 2 + 0,179 z 3 1 + 0,0913 z 1 + 0,3355 z 2 + 0,0083 z 3 0179 z 3 + 0,538 z 2 + 0,53z + 0,179 z 3 + 0,0913 z 2 + 0,3355 z + 0,0083
(6.16)
(6.17)
Bu hesaplamalar karlatrmal olarak sonular ksmnda verilecektir. Szge tasarm ilemsel olarak olduka ardr. zellikle yksek dereceli szgeler sz konusu olduunda pratik olarak bu hesaplamalar yapmak mmkn deildir. Bilgisayarlar, sahip olduklar ilem gc ve hz sayesinde bu tr hesaplamalarda bavurulacak alternatifsiz kaynaklardr.
ekil 6.6 Szgelerin kesme zellikleri arasndaki ilikiler
rnek olarak sadece alak geiren szgecin verilmesinin zel bir sebebi var. Tm szgeler uygun dnm formlleri ile birbirlerine dnebilirler:
Yksek Geiren = 1 - Alak Geiren
(6.18)
67
Alak Geiren = 1- Yksek Geiren Bant Geiren = 1- Bant Durduran Bant Durduran = 1- Bant Geiren Bant Durduran = Alak Geiren + Yksek Geiren Bant Geiren= 1 - (Alak Geiren + Yksek Geiren)
(6.19) (6.20) (6.21) (6.22) (6.23)
Dnm formlleri transfer fonksiyonlarndan darbe yantnn kartlp frekans etki alanndaki uygun kaydrma ilemleri ile elde edilir. Bu ilemin yan sra verilen rnekte teknik anlamda fark olmadndan, dier frekans yantndaki szgeler iin rnekler verilmemitir. Chebyshev, Eliptik ve Butterworth szgelerde ise fark, hesaplanan genel formllerden ibarettir. Bunlarla ilgi bilgiler ise konu balklarnda detayl olarak incelenmitir.
Uygulamalar blmndeki ikinci almamz anne karnndaki bebein ECG sinyallerinin, annenin ECGsinden Ksa Zamanl Wiener szge kullanarak ayrt edilmesi ve Dalgack Dnm ile oluan grltnn temizlenmesi ile ilgili olacaktr.
6.2. Fetal ECG Ayrm Fetal ECG ayrm, anne karnndaki fetsn ECG sinyallerinin erken tan ve tedavi amacyla annenin ECG sinyallerinden, akcier ve dier organlardan kaynakl seslerden temizlenerek ayrt edilmesi ilemidir. Bu amala gelitirilmi birok yntem vardr. En yaygn yntem kr sinyal analizi olarak da bilinen bamsz bileenler analizidir (ICA). Yaplan almann amac bu ynteme alternatif olabilecek daha basit bir yntemi tasarlamaktr. Bu yntem Ksa Zamanl Wiener Szme ve Dalgack Temizleme olmak zere iki basamaktan olumaktadr. almalarda ICA referans olarak alnm olup sonular karlatrlmtr.
6.2