si-kombinatorika 13s082vs - milan...

SI-KOMBINATORIKA

13S082VS

Verovatnoća i Statistika-proleće 2019

Milan Merkle Kombinatorika ETF Beograd 1 / 12

SLUČAJAN IZBOR

Iz konačnog skupa:Iz skupa S , |S | = n, bira se k elemenata. Kažemo da je izbor slučajan akosvaki podskup od k elemenata ima istu verovatnoću da bude izabran.(p = 1/

(nk

)).

Iz neprebrojivog skupa: Izbor iz beskonačnog skupa koji se možepredstaviti kao deo prave, ravni ili prostora je slučajan ako su verovatnoćeizbora pojedinih podskupova proporcionalne njihovoj meri (dužini, povřsiniili zapremini), tj. ako dva podskupa iste mere imaju istu verovatnoću. Uovom slučaju verovatnoće se odred̄uju po pravilu geometrijske verovatnoće.

Iz prebrojivog skupa nije moguć slučajan izbor!!.

SLUČAJAN IZBOR

(nk

)).

SLUČAJAN IZBOR

(nk

)).

Pravilo zbira i pravilo proizvoda

Pravilo zbira. Ako se predmet jedne vrste može izabrati na n1 načina apredmet druge vrste na n2 načina tada se jedan predmet (bez obzira navrstu) može izabrati na n1 + n2 načina.Primer: 5 belih i 10 crvenih kuglica

Pravilo proizvoda. Ako se predmet jedne vrste može izabrati na n1načina i zatim predmet druge vrste na n2 načina, tada se dva predmetajedan za drugim mogu izabrati na n1 · n2 načina.Primer: 5 belih i 10 crvenih kuglica. Izvlačimo dve kuglice- sa vraćanjem, bez vraćanja.

Primer 17. Jovan je u društvu od 10 osoba koje organizuje lutriju tako štosvako ubaci papirić sa svojim imenom u šešir iz koga se zatim izvlače trirazličite nagrade. Naći verovatnoću da će Jovan dobiti jednu od nagrada.

Kombinacije

Iz bubnja u kome su kuglice numerisane brojevima 1- 39 izvlači se 7kuglica. Naći verovatnoću da su izvučene kuglice sa brojevima1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. (R: 6.501554489 · 10−8)

Binomni koeficijenti - osobine:(n

k

)=

n!

k!(n − k)!,

(n

k

)=

(n

n − k

),

(n

0

)=

(n

n

)= 1,

(n − 1k − 1

)+

(n − 1k

)=

(n

k

),

n∑k=0

(n

k

)= (1 + 1)n = 2n.

Kombinacije

Iz bubnja u kome su kuglice numerisane brojevima 1- 39 izvlači se 7kuglica. Naći verovatnoću da su izvučene kuglice sa brojevima1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. (R: 6.501554489 · 10−8)

Binomni koeficijenti - osobine:(n

k

)=

n!

k!(n − k)!,

(n

k

)=

(n

n − k

),

(n

0

)=

(n

n

)= 1,

(n − 1k − 1

)+

(n − 1k

)=

(n

k

),

n∑k=0

(n

k

)= (1 + 1)n = 2n.

Kombinacije sa ponavljanjem

Primer 30. Koliko ima rešenja (x1, . . . , xk) jednačine

x1 + x2 + · · ·+ xk = n ,

gde je n dati prirodan broj, a x1, . . . xk su nenegativni celi brojevi?

Rešenje zadatka:

a) Koliko ima pozitivnih rešenja? Za n = 9, k = 4

Rešenje:(n−1k−1)

Opšti slučaj se svodi na a) :

x1 + x2 + · · ·+ xk = n ⇐⇒

(x1 + 1) + (x2 + 1) + · · ·+ (xk + 1) = n + k

Rešenje u opštem slučaju:(n+k−1

k−1)

=(n+k−1

n

).

Rešenje zadatka:

x1 + x2 + · · ·+ xk = n ⇐⇒

(x1 + 1) + (x2 + 1) + · · ·+ (xk + 1) = n + k

k−1)

=(n+k−1

n

).

Rešenje zadatka:

x1 + x2 + · · ·+ xk = n ⇐⇒

(x1 + 1) + (x2 + 1) + · · ·+ (xk + 1) = n + k

k−1)

=(n+k−1

n

).

Rešenje zadatka:

x1 + x2 + · · ·+ xk = n ⇐⇒

(x1 + 1) + (x2 + 1) + · · ·+ (xk + 1) = n + k

k−1)

=(n+k−1

n

).

Rešenje zadatka:

x1 + x2 + · · ·+ xk = n ⇐⇒

(x1 + 1) + (x2 + 1) + · · ·+ (xk + 1) = n + k

k−1)

=(n+k−1

n

).

Primena: Jedan test slučajnosti

Da li je dati niz brojeva slučajan?

Da li je dobijen na slučajan način?

U teoriji slučajnosti koristi se definicija Kolmogorova: niz je slučajanako njegova dužina u bitima nije veća od dužine najkraćeg algoritmapo kome se on može konstruisati.

Statistički testovi hipoteza: Hipoteza se odbacuje ako se skupe dokaziprotiv nje.

Dokaz je svaki ekstremni dogad̄aj koji bi se dogodio sa veoma malomverovatnćom da je hipoteza tačna.

Test serija jedan od mnogobrojnih testova slučajnosti.

Serije

Pod serijom u binarnom nizu podrazumevamo uzastopno ponavljanjeiste cifre. Niz

0010100111001 = 00 1 0 1 00 111 00 1

ima 4 serije nula i 4 serije jedinica. Za niz od m nula i n > 0 jedinica,najveći broj serija jedinica je min (m + 1, n), jer izmed̄u svake dveuzastopne serije jedinica mora stajati bar jedna nula.

Zadatak: Naći verovatnoću da u slučajnom nizu od m nula i njedinica bude r serija jedinica.

Rešenje: Broj povoljnih dogad̄aja je(m+1

r

)(n−1r−1)

Ukupan broj

slučajnih nizova sastavljenih od m nula i n jedinica je(m+n

n

). Odavde

je

Pr =

(m+1r

)(n−1r−1)(m+n

n

) , r = 1, . . . ,min (m + 1, n).Kompletno rešenje na stranama 24-25 udžbenika.

Serije

0010100111001 = 00 1 0 1 00 111 00 1

r

)(n−1r−1)

Ukupan broj

n

). Odavde

je

Pr =

(m+1r

)(n−1r−1)(m+n

n

Serije

0010100111001 = 00 1 0 1 00 111 00 1

r

)(n−1r−1)

Ukupan broj

n

). Odavde

je

Pr =

(m+1r

)(n−1r−1)(m+n

n

Serije

0010100111001 = 00 1 0 1 00 111 00 1

r

)(n−1r−1)

Ukupan broj

n

). Odavde

je

Pr =

(m+1r

)(n−1r−1)(m+n

n

Test serija

Ovaj niz sa mnogo serija može da bude slučajan

01010101010101010101010101

a takod̄e i ovaj sa samo dve serije

00000000000001111111111111

Da li bi neko poverovao u to?

Test serija

01010101010101010101010101

00000000000001111111111111

Test serija

01010101010101010101010101

00000000000001111111111111

Test serija

01010101010101010101010101

00000000000001111111111111

U tabeli su prikazane verovatnoće Pr da slučajni niz sa 13 jedinica i 13nula ima r serija jedinica. Zbog m = n = 13 imamo da jeP8 = P6,P9 = P5, . . . ,P13 = P1, i prvih 7 vrednosti su dovoljne:

r 1 2 3 4 5 6 7Pr 1.35 · 10−6 1.05 · 10−4 0.00231 0.02117 0.09528 0.22868 0.30490

Najverovatnije je da je r = 7. Ako se r nalazi daleko od 7,odbacujemo hipotezu slučajnosti. Kriterijum koliko daleko jeverovatnoća greške testa (odbacivanje hipoteze koja je tačna).

Neka je r = S broj serija jedinica. Ako kao kriterijum odbacivanjaslučajnosti uzmemo |S − 7| ≥ 3, verovatnoća greške je

P(|S − 7| ≥ 3) =4∑

r=1

Pr +13∑

r=10

Pr = 2(P1 + P2 + P3 + P4) = 0.047.

Ovaj niz prolazi kao slučajan (7 serija)

10111000111100100010010110

dok ovaj ne prolazi (10 serija)

01011001101101010010100101

P(|S − 7| ≥ 3) =4∑

r=1

Pr +13∑

r=10

Pr = 2(P1 + P2 + P3 + P4) = 0.047.

10111000111100100010010110

01011001101101010010100101

P(|S − 7| ≥ 3) =4∑

r=1

Pr +13∑

r=10

Pr = 2(P1 + P2 + P3 + P4) = 0.047.

10111000111100100010010110

01011001101101010010100101

P(|S − 7| ≥ 3) =4∑

r=1

Pr +13∑

r=10

Pr = 2(P1 + P2 + P3 + P4) = 0.047.

10111000111100100010010110

01011001101101010010100101

Za vežbanje: primeri 15-29. Primer 30 (Kombinacije sa ponavljanjem)Zadaci 4-28. Zadatak 3 zadaci 226-233.

si-kombinatorika 13s082vs - milan...

Documents