Siete jednosmerného prúdualebo

79 odporných príkladov

Juraj TekelKatedra teoretickej fyziky a didaktiky fyzikyFMFI UKMlynska Dolina842 48 Bratislava

juraj(a)tekel(b)gmail(c)com

http://fks.sk/~juro/phys_materials.html

Celožnice 2009, Letná Škola FKS 2013, Letná Škola FKS 2014Aktualizované 14. júla 2014

Poznámky k semináru o tom, ako sa vysporiadať s príkladmi o jednosmernom prúde, ako vypočítaťviac či menej zložité siete a veľa príkladov na precvičenie.

Obsah

1 Úvod 2

2 Kombinácie sériového a paralelného zapojenia 2

3 Ohmov zákon v úlohach 4

4 Spájanie a rozpájanie v elektrických sieťach 7

5 Úlohy na Kirchhofove zákony 11

6 Siete jednosmerného prúdu s kondenzátormi 13

7 Nekonečné odporové siete 17

8 Za obzorom týchto poznámok 21

9 Použitá a odporúčaná literatúra 22

1

1 Úvod

Tento text stručne zhŕňa problematiku elektric-kých sieti jednosmerného prúdu v stredoškolskomrozsahu. Okrem stručných poznámok a zhrnutiaužitočných vzťahov pre každú z častí ponuka veľkémnožstvo príkladov na precvičenie. Mnohé prí-klady sú doplnene návodom k riešeniu, komplet-ným riešením alebo výsledkom. Ako je zvykom, jeviac ako odporúčané nad príkladom porozmýšľať apotrápiť sa s ním pred tým, ako si skúsime pomôcťnávodom alebo riešením.

Príklady sú zoradene do niekoľkých tematic-kých časti, pričom veľmi často treba na vyriešeniepríkladu znalosti zo skoršej časti, veľmi zriedka na-opak. V rámci časti sú príklady zoradenie podľanáročnosti a vyriešenie úvodných príkladov môžepomôcť k vyriešeniu príkladov z konca časti.

Zdroje príkladov ako aj odporúčané čítanie ktejto problematike je uvedené na zaver textu. Prí-klady pochádzajú zväčša zo zbierok FKS, FX, Ná-boja FKS, semináru Fykos a úloh Fyzikálnej Olym-piády, autorom ktorých patri veľká vďaka.

2 Kombinácie sériového a para-lelného zapojenia

• dva odpory s odpormi R1 a R2 zapojene zasebou sa dajú nahradiť jedným odporom veľ-kosti R = R1 +R2

dva odpory s odpormi R1 a R2 zapojenevedľa seba sa dajú nahradiť jedným odpo-rom veľkosti R = R1R2

R1+R2

• to znamená, že medzi svorkami nahradenéhoodporu bude v oboch prípadoch pri rovna-kom napätí pretekať rovnaký prúd ako v prí-pade pôvodného zapojenia

• je užitočne pamätať si, že dva rovnaké od-pory zapojené paralelne dávajú odpor, ktorý

je polovičný

• obe tieto tvrdenie sa dajú odvodiť s Oh-movho zákona pripadne Kirchhofovych zá-konov a neskôr si ich aj odvodíme

Príklad 1. Ak dva odpory zapojíme sériovo, do-staneme odpor 9 Ω, ak paralelne dostaneme odpor2 Ω. Aké sú tieto odpory?

Výsledok. 6 Ω a 3 Ω

Príklad 2. Ak každé dva odpory z trojice odpo-rov zapojíme paralelne, dostaneme postupne za-pojenie s odporom 30 Ω, 40 Ω, 60 Ω. Aký odpordostaneme keď zapojíme všetky tri odpory para-lelne?

Návod. Dobre si napísať rovnice, ktoré z toho vy-plývajú a iba s nimi dostatočne zažonglovať.

Výsledok. 803 Ω = 26, 667 Ω

Príklad 3. Z drôtu postavíme domček. Aký je od-por takéhoto zapojenia medzi vrcholmi ’pri zemi’?A aký je odpor medzi vrcholmi ’pod strechou’?Odpor jednej hrany je R.

Výsledok. 811R a 8

11R

Príklad 4. Do elektrického obvodu sme zaradilišesť rezistorov s odpormi R. Sústava rezistorovtvorí šesťuholník ako na obrázku.

a. Určte výsledný odpor sústavy rezistorov me-dzi bodmi A a D?

2

b. Medzi body A a D pripojíme ďalší rezistors odporom R. Aký bude výsledný odpor sú-stavy medzi bodmi A a D v tomto prípade?

c. Do obvodu pripojíme ešte ďalšie dva re-zistory s odporom R, a to jeden medzibody A, C a druhy medzi body A, E. Akýbude výsledný odpor sústavy rezistorov me-dzi bodmi A a D v tomto prípade?

Príklad 5. Rezistory s odpormi R a 2R sú za-pojene podľa schémy na obrázku. Určte výslednýodpor medzi koncovými bodmi A a B.

Návod. Keďže majú vodiče nulový odpor, mô-žeme miesta spojenia vodičov ľubovoľne premiest-ňovať, pokiaľ nepreskočíme nejaký odpor. Takto sada schéma zjednodušiť.

Riešenie. Podlá pravidla o dvoch rovnakých od-poroch môžeme nahradiť dva paralelne zapojeneodpory 2R pri bode A odporom R, a dostávameparalelne zapojenie dvoch odporov 2R, ktoré mapodľa toho istého pravidla odpor R.

Je doležíte si uvedomiť, že vďaka nekonečnejvodivosti (=nulovému odporu) ktorý sa vo všet-kých úlohách mlčky predpokladá, môžeme všetkytri vrcholy na ľavej strane zapojenie (bod A a dvavrcholy pod nim) spojiť do jedného, kde už para-lelnosť zapojenia odporov 2R bije do oči.

Príklad 6. Nájdite odpor nasledujúceho zapoje-nia.

Návod. Jedna sa len o sériovo a paralelne zapo-jene odpory, schému si treba vhodne prekresliť.

Výsledok. 5R/8

Príklad 7. Aký je výsledný odpor tohto zapo-jenia? (V miestach, kde sa vodiče pretínajú bezbodky nie sú vodivo spojene.)

Návod. Jedna sa len o sériovo a paralelne zapo-jene odpory, schému si treba vhodne prekresliť.

Výsledok. 172/75 Ω

Príklad 8. Do schémy na obrázku vkladáme namiesto odporu RX odpory s rôznou hodnotou ameriame celkový odpor medzi bodmi A a B. Vakom rozsahu ich nameriame. Aká bude minimálnaa maximálna takto dosiahnutá hodnota?

Výsledok. 43R,

32R

Príklad 9. Na hranách štvorca sú umiestnené od-pory, tri s odporom R a jeden s odporom R′. Vy-myslite spôsob, ako na čo najmenej meraní ohm-metrom zistiť, ktorá hrana ma odpor R′ a aká jenumerická hodnota tohto odporu ak vieme, aká jehodnota odporu R.

Návod. Očividne to sa to da na tri merania, kdezmeriame odpor na každej hrane. Vieme to ale ajjednoduchšie?

3

Riešenie. Je doležíte si uvedomiť, že ak meriameodpor na uhlopriečke, vždy nameriame tu istú hod-notu Ru = 2R(R+R′)

3R+R′ . To nám pomôže pri hľadanínumerickej hodnoty odporu R′. Avšak preto námmeranie na uhlopriečke nepomôže pri pátraní popolohe odporu R′. Odpor R′ vieme nájsť na tri me-rania. Odmeriame odpor na troch hranách štvorca.Ak majú všetky tri rovnaký odpor, hľadaný odporje na zvislej hrane, ak mali dve rovnaký a jedna inýodpor, tato iná hrana ma odpor R′. Na menej akotri merania sa to nedá, nakoľko keď odmeriame ľu-bovoľne dve hrany, vždy môžeme vymeniť odporyna dvoch hranách (tých ktoré sme nemerali) beztoho, aby sme zmenili predchádzajúce výsledky.

Príklad 10. Je odpor nasledujúcej schémy väčšíalebo menší ako odpor jedného rezistoru R? Mô-žeme dosiahnuť odpor menší ako R pridávanímďalších odporov rovnakým spôsobom? Ako a koľkonajmenej odporov treba pridať do zapojenia, abyjeho odpor bol menší ako R?

Návod. Všimnite si odpor úplne naľavo hore.

Riešenie. Po tom ako sme si všimli odpor naľavohore vidíme, že schéma je vlastne jeden odpor ak nemu v sérii zapojene divne (a pridávaním od-porov čim divnejšie) zapojenie odporov, ktoré mavždy nenulový odor. Výsledok bude teda vždy za-pojenie s odporom väčším ako R. Tu je aj riešeniena druhu otázku. Musíme sa zbaviť sériového zapo-jenia všimnutého odporu, najlepšie tak, že k nemučosi paralelne priradíme. Stačí teda jeden odporzvislo pred neho. Konkrétne hodnoty odporov sauž ľahko dopočítajú.

Príklad 11. Nájdite odpor nasledujúceho zapo-jenia. Každý rezistor ma odpor R.

Návod. To, že sme niektoré body vodivo spo-jili znamená, že ich môžeme poväzovať že jedenbod. Takto mame schému s troma bodmi A,B,Ca piatimi odpormi. Teraz už len zostava prekresliťschému a uvidieť paralelne a sériovo zapojene od-pory. Ak to nie je jasne, skúste si najskôr schému stromi odpormi, kde sú vodivo spojene body ’predprvým’ a ’medzi druhým a tretím’ a body ’medziprvým a druhým’ a ’za posledným’.

Výsledok. R/2

Príklad 12. Tento príklad je zovšeobecnenímpredchádzajúceho. Majme nepárny počet odporov2n − 1 zapojených v rade za sebou, n ≥ 1. Terazvodivo spojím bod pred prvým vodičom s bodommedzi vodičom n a n+ 1. Potom postupujeme od-por za odporom a vo výslednom zapojení sú vždyvodivo spojene body, ktoré majú medzi sebou n

vodičov. Aký je odpor výsledného zapojenia me-dzi koncovými bodmi?

Návod. Postup ako v predchádzajúcom príklade.Výsledné zapojenie ma vlastne n bodov, treba me-dzi ne dokresliť odpory a potom už len zrátaťsériovo-paralelne zapojenie.

3 Ohmov zákon v úlohach

• experimentálne zistená závislosť medzi prú-dom a napätím, jeden z mnohých lineárnychzákonov fyziky

• verzia 1 : prúd (tj. množstvo náboja zajednotkový čas), ktorý prejde rezistorom jepriamo úmerný napätiu, na ktoré je odporpripojený, pričom konštanta úmernosti jeprevrátená hodnota odporu rezistora

I =1

RU

4

verzia 2 : ak rezistorom s odporom R pretekáprúd I, rozdiel napätí na jeho koncoch je

U = RI

verzia 3 : ak rezistorom, napojeným na na-pätie U prechádza prúd I, jeho odpor je

R =U

I

• síce všetky verzie sú jedna a ta istá rovnica,treba vidieť ich rozdielny význam

• sériovo zapojene odpory : dva odpory R1 aR2, keďže náboj sa zachováva, oboma pre-chádza rovnaký prúd I; napätie na odpore jeU1,2 = IR1,2; odpory chceme nahradiť jed-ným odporom R, pre ktorý platí R = U/I

keďže U = U1 +U2 dostávame R = R1 +R2

• paralelne zapojene odpory : dva odpory R1

a R2, pričom napätie na každom z nich jerovnaké U ; prúd prechádzajúci odpormi jeI1,2 = U/R1,2, opäť chceme nahradiť jed-ným odporom, pre ktorý R = U/I čo spolus I = I1 + I2 (zachovanie náboja) dáva oča-kávaný výsledok

• toto sa da pekne odvodiť ale tu to budemebrat ako fakt : výkon , ktorý sa uvoľni narezistore (tj. energia, ktorú elektróny pri po-hybe týmto odporom stratia za jednotkovýčas), ktorým prechádza prúd I a pod napä-tím U je P = UI

Príklad 13. Mame zdroj s napätím U , ku kto-rému sme pripojili rezistor. Týmto rezistorom pre-chádzal prúd 3A. Potom sme spravili to iste siným rezistorom a dostali sme prúd 10A. Aký prúdbude tiecť, oboma rezistormi zapojenými za sebouk tomu istému zdroju?

Výsledok. 30/13A

Príklad 14. Ak zapojíme elektricky obvod podľaobrázka na zdroj konštantného napätia U0, volt-meter ukáže hodnotu U1.

a. Aký prúd I1 prechádza ampérmetrom?

b. Aká je hodnota napätia U0 zdroja napätia?

c. Akú hodnotu napätia U2 a prúdu I2 name-riame voltmetrom a ampérmetrom, ak volt-meter pripojíme paralelne k rezistoru s od-porom R2?

Riešenie. Tato úloha je veľmi dôležitá pre po-chopenie toho, o čom v sieťach vlastne ide. Od-porúčam teda nepokračovať ďalej, pokiaľ sme sanepopasovali s úlohou ozaj dobre.

Ak je na odpore R1 napätie U1, podľa prvejverzie Ohmovho zákona nim preteká prúd I1 =

U1/R1. Keďže sa nikde náboj nemôže strácať, hro-madiť ani vznikať, prúd tečúci cez odporR2 je opäťI2 = I1. Zapojenie ma odpor R = R1 +R2, ak nimma teda tiecť prúd I1, musí byt pod napätím

U0 = I1R =R1 +R2

R1U1

Prúd I2 sme už vyriešili. Ostáva napätie U2. Po-tenciálový rozdiel medzi svorkami odporu R1 jeU1, celkový potenciálový rozdiel na zapojení je U0,potenciálový rozdiel na odpore R2 musí byt tedaU2 = U0 − U1. Tu pre pochopenie veľmi pomôžeanalógia medzi elektrickým a gravitačným polom,potenciálom a výškou. Tuto analógiu dokonale abez slov vystihuje nasledujúci obrázok

5

Príklad 15. a. Dva odpory R1 a R2 zapojímedo série a k nim paralelne pripojíme odporR3. Ak takúto schému zapojíme na napätieU , aký veľký prúd bude prechádzať každýmz odporov a aké veľké napätie na nich bude?

b. Podobne ako v predchádzajúcej úlohe, ale vovymenenom garde. Dva odpory R1 a R2 za-pojíme paralelne a k nim do série pripojímeodpor R3.

Príklad 16. Akú hodnotu bude ukazovať voltme-ter v nasledujúcej schéme?

Príklad 17. Majme zapojenie ako na obrázku,pričom R4 < R2 = R5 < R3 < R1. Zoraďte od-pory podľa prúdu, ktorý prechádza odporom, akodpory pripojíme na zdroj napätia U .

Návod. Stačí si poriadne premyslieť, kde sú rov-naké napätia, kadiaľ potečú rovnaké prúdy a čo toznamená pre každý z odporov.

Riešenie. IR2 = IR4 < IR3 = IR5 < IR1 . Všim-nite si, že odporom R1 potečie najväčší prúd bezohľadu na jeho veľkosť.

Príklad 18. Sieť zo zadania úlohy 4 pripojímena zdroj napätia U . Vypočítajte prúdy, ktoré tečúkaždým z odporov a napätia na odporoch v prípa-doch a),b),c).

Príklad 19. Mame dva variče (každý z nich sasprava ako rezistor s nemenným odporom) a zapá-jame ich do siete s konštantným napätím. Keď ichzapájame samostatne, jeden z nich ma výkon P1,druhy výkon P2. Aký celkový výkon dostaneme,keď ich zapojíme sériovo?

Návod. Zo vzťahu pre výkon a ohmovho zákonavyjadriť odpor cez napätie a výkon. Potom už lensériové zapojenie odporov.

Výsledok. P1P2P1+P2

Príklad 20. Pre zdroj napätia U je výkon uvoľ-nený na vonkajšom odpore rovnaký pre hodnotyodporu R1 a R2. Aký vnútorný odpor zdroja?

Návod. Zdroj si predstaviť ako ideálny zdroj a knemu pripojený odpor Ri.

Výsledok.√R1R2

Príklad 21. Každý odpor tejto siete ma veľkosť1 Ω. Cez posledný odpor prechádza prúd 1A. Akéje napätie na vstupe?

Návod. Na každom zvislom odpore musí bytrovnaké napätie ako na celom zvyšku napravood neho (Prečo?). Každým vodorovným odporommusí prechádzať rovnaký prúd, ako celým zvyškomnapravo od neho (Prečo?).

6

Výsledok. 34V , všimnite si Fibbonaciho postup-nosť

Príklad 22. Aký prúd preteká v tejto schémeideálnym ampérmetrom? Aké bolo napätie medzibodmi, v ktorých je zapojený ampérmeter?

Návod. Porozmýšľať nad tým, ako s touto sché-mou súvisí schéma, v ktorej je ampérmeter nahra-dený vodičom. Úloha sa da riešiť aj pomocou Kir-chofovych zákonov.

Riešenie. Majme teda schému, kde je medzidvomi vetvami siete vodič. Odpor celého zapoje-nia je potom R

2 + 2R3 = 7

6R a sieťou teda tečieprúd I = 6U

7R . V prvej časti siete majú obidva od-pory rovnakú veľkosť a preto každým potečie rov-naký prúd I/2. V druhej časti siete sa rozdelí prúdmedzi odpory R a 2R tak, aby na nich bolo rov-naké napätie IRR = I2RR a v súčte musia daťprúd IR + I2R = I. Vyriešime tuto sústavu a uve-domíme si, že cez spájajúci vodič potečie rozdieltýchto dvoch prúdov. A to je náš výsledok.

Výsledok. U7R , prečo to nie je hodnota (potenciá-

lový rozdiel)/(odpor medzi dvoma bodmi)?

Príklad 23. Ako máme do nasledujúcej schémyzapojiť odpory veľkosti 1 Ω, 1 Ω, 3 Ω, 5 Ω, 5 Ω takaby výsledný odpor bol čo najmenší?

4 Spájanie a rozpájanie v elek-trických sieťach

• základom je nasledovný fakt : medzi bodmi,ktoré majú rovnaký potenciál netečie prúd;tak isto ako žiadne teleso sa samovoľne ne-hýbe po rovnej zemi

• to znamená, že aj keď medzi takými dvomabodmi je vodič, môžeme ho kľudne rozpojiť,nakoľko by tadiaľ aj tak prúd netiekol; aktam bol rezistor, môžeme ho predať a kúpiťsi žuvačku

to znamená, že ak medzi dva takéto bodyvodič pridáme, nič nepokazíme, lebo tadiaľaj tak nikdy žiadny prúd nepotečie

to znamená, že ak rozpojením schémy v neja-kom bode vzniknú dva body, ktoré majú rov-naký potenciál, opäť sme nič nepokazili, tejtokrok je vlastne pridanie vodiča, prekresleniea jeho následné vypustenie

• všetky tieto veci robíme, keď prekresľujemeschémy, pri tom predpokladáme, že potenciálsa mení iba na odporoch (pripadne neskôriných súčiastkach) a vo vodičoch je všaderovnaký

• ako prísť na to, že dva body budú mat rov-naký potenciál

– výpočtom z Ohmovho zákona

– ak ma schéma symetriu (tj. transformá-ciu, ktorá ju nezmení, prevedie na takúistú), ktorá zachováva body zapojenia,tak body, ktoré sa zobrazia jeden nadruhy majú rovnaký potenciál

dôvod - pred transformáciou potenciálφ1, po transformácii potenciál φ2, alekeďže symetria je to ta istá schéma,takže φ1 = φ2

7

– ak ma schéma symetriu, ktorá vymeníbody zapojenia, tak body, ktoré sa zo-brazia samé na seba majú všetky rov-naký potenciál

dôvod - takáto symetria zobrazí naseba vždy body s opačným potenciá-lom, lebo v bodoch zapojenia môžemezobrať potenciály φ,−φ a potom z Oh-movho zákona a symetrie pretekajúcichprúdov dostaneme toto tvrdenie (pre-myslieť), pre body, ktoré sa zobraziasamé na seba platí φpred = φpo aleφpred = −φpo takže φpred,po = 0 avšetky majú rovnaký (=nulový=presnemedzi bodmi zapojenia) potenciál

všetky tieto argumenty je dobre si poriadnepremyslieť, da sa pri tom pochopiť veľa ofungovaní sveta

• mnohé zložite schémy sa dajú takýmto tri-kom previesť na schému, ktorá je už iba pa-ralelné a sériové zapojenie odporov

Príklad 24. Vrcholy štvorca spojíme každý s kaž-dým odporom veľkosti R. Aký odpor nameriamemedzi protiľahlými vrcholmi? Aký medzi vrcholmina jednej hrane?

Návod. Takýto štvorec je vlastne sieťou štvors-tenu, ktorá ma úžasné symetrie.

Riešenie. Keď uvidíme v štvorci štvorsten, rie-šenie je už priamočiare. V prvom rade vidíme žeobe zapojenia sú vlastne to iste zapojenie. Potomvidíme že zvyšné dva vrcholy majú rovnaký poten-ciál. To vidno z oboch možných symetrii a tiež zOhmovho zákona, nakoľko prúdy tečúce k týmtobodom musia byt vďaka symetrii rovnaké. Odpor,ktorý spája nezapojene body teda môžeme vypus-tiť a body rozpojiť. Rovnako ich môžeme spojiť.Overte, že takto získane výsledky sú rovnaké.

Ak v štvorci štvorsten neuvidíme, môžemesi všimnúť symetriu podľa priamky, ktorá spájabody zapojenie v prvom prípade. Žiaľ, v druhomprípade by sme symetriu v rovine hľadali ťažko.

Výsledok. R/2 v oboch prípadoch

Príklad 25. Šesť rezistorov s odporom R smezapojili do schémy tvaru „Trojstenu". Aký veľkýprúd preteká zdrojom?

Výsledok. 2U/R0

Príklad 26. Aký prúd tečie cez zdroj, ak jehonapätie je U a každý odpor má veľkosť R?

Výsledok. 4U/R

Príklad 27. Osem rovnakých odporov je zapoje-ných podľa obrázku. Aký je odpor medzi bodmiA a B.

Výsledok. 715R

8

Príklad 28. Kostra štvorstenu ABCD je vyro-bená z drôtu tak, že každá hrana ma odpor R, ibahrana AB ma odpor 2R. Aký prúd bude pretekaťobvodom, ak na tuto hranu privedieme napätie U?

Návod. Úloha 24.

Výsledok. 3U2R

Príklad 29. Z drôtenej kostry kocky odstrihnemetri hrany vychádzajúce z jedného vrcholu. Aký jeodpor medzi vrcholmi A a B, ak odpor každejhrany je R0?

Výsledok. 910R0

Príklad 30. Aký je odpor medzi bodmi A a B vtakomto zapojení, ak je odpor vodiča úmerný jehodĺžke.

Riešenie. Ak rozpojíme zapojenie v strednombode vodorovne (tj. dostaneme štvorec s dvomatrojuholníkmi, jeden vrcholom nahor a druhy na-dol), dostaneme schému, ktorá je symetrická podľazvislej osy štvorca. Preto majú oba body, ktorévznikli rozpojením rovnaký potenciál a to dávanášmu rozpojenie za pravdu. Dopočítať výslednýodpor je už potom malina. Zamyslite sa, prečonemôžeme rozpojiť zapojenie v tom istom miestezvislo?

podľa rovnakej symetrie môžeme spojiť bod vstrede a stredy vodorovných hrán. Overte, že taktodostaneme rovnaký výsledok!

Výsledok. 0, 478 Ω

Príklad 31. Nájdite odpor medzi bodmi A a Bv týchto schémach. Každé dva uzly sú spojene od-porom veľkosti R.

Návod. Spájajte a rozpájajte čo vám hrdlo ráči.Skúste vypočítať každú schému viac ako jednýmspôsobom a porovnať výsledky.

Výsledok. a) 43R, b)

45R, c)

1110R, d)

32R, e)

53R

Príklad 32. a. Aký je odpor zapojenie trochkruhov z drôtu konštantnej dĺžkovej vodi-vosti medzi bodmi A a B? Drôt ktorý tvoríjeden kruh má odpor R, stredy kruhov ležiavo vrcholoch rovnostranného trojuholníka av miestach kde sa prekrývajú sú vodivo spo-jené.

9

b. Aký je odpor zapojenie piatich kruhov zdrôtu konštantnej dĺžkovej vodivosti medzibodmi A a B? Drôt ktorý tvorí jeden kruhmá odpor R, kruhy sú romiestnené podľa ob-rázka, najdlhší oblúk má dĺžku 3/4 obdovdukruhu, najkratší 1/4 a v miestach dotyku aprekryvu sú kruhy vodivo spojené

Výsledok. a) R/14, b) 829R

Príklad 33. Z vodiča urobíme štvorec. Stredystrán tohto štvorca spojíme takým istým vodičom,čim dostaneme štvorec v štvorci. Aký je odportohto čuda, ak ho zapojíme za protiľahlé vrcholyveľkého štvorca. A aký ak za vrcholy ležiace na jed-nej hrane? Ako sa zmení odpoveď na obe otázky,ak podobne pridáme ešte jeden štvorec do men-šieho štvorca?

Príklad 34. Podobne ako v úlohe 33 ale s troju-holníkom. Odpor vypočítajte pri zapojení v dvochvrcholoch veľkého trojuholníka a vo vrchole a vstrede protiľahlej strany.

Príklad 35. Nájdite odpor medzi bodmi A a B vtejto schéme.

Návod. Ktoré dva odpory sú paralelne zapojenea dajú sa nahradiť jedným, čim úloha získa symet-riu?

Výsledok. 20 Ω

Príklad 36. V schéme na obrázku je čierny štvor-ček dokonale vodivý. Aký odpor nameriame medzibodmi A a B?

Riešenie. Najskôr môžeme cely štvorček zcucnútdo jedného bodu, nakoľko ma všade rovnaký po-tenciál. Potom môžeme tento bod porozpájat tak,aby mali rozpojene body rovnaký potenciál a do-staneme zrátateľné zapojenie.

Výsledok. 8R/5

Príklad 37. Ako to už býva v príkladoch o kockez drôtu, mame z drôtu s konštantnou dĺžkovou vo-divosťou poskladanú sieť kocky. Jedna hrana máodpor R0. A ako to už býva v príkladoch o od-poroch, chceme vedieť, aký odpor bude mat kockamedzi dvoma vyznačenými bodmi.

Výsledok. 7R0/8

Príklad 38. Rezistory s odporom R sú pozapá-jane v hranách pravidelného osemstena. Okremtoho spojíme každú dvojicu protiľahlých vrcholovvodičom s nulovým odporom. Aký je odpor medzidvoma susednými vrcholmi?

Výsledok. R/6

Príklad 39. Vypočítajte odpor kocky, ktorá mana každej hrane odpor 1 Ω medzi vrcholmi

10

a. na telesovej uhlopriečke,

b. na jednej hrane kocky,

c. na uhlopriečke steny.

Riešenie. a. Najskôr si ukážme metódu, ktorávyužíva symetriu úlohy, ale nie spájanie arozpájanie. Ak do bodu zapojenia prichádzaprúd I, rozdelí sa (zo symetrie) na tri rov-naké prúdy I/3. Tie sa potom rozdelia nadva prúdy I/6. Každú možnú cestu z jed-ného bodu zapojenia do druhého teda tvoriadve hrany s prúdom I/3 a jedna s prúdomI/6. Celkový potenciálový rozdiel je potomI(2/3 + 1/6) = I5/6. Hľadaný odpor je teda5/6. Odporúčam premyslieť na nakreslenejkocke, pripadne kocke cukru.

Kocka ma pri takomto zapojení dve sady bo-dov, ktoré majú rovnaký potenciál. Sú tobody, ktoré sú na jednej hrane s prvým bo-dom zapojenia a na jednej hrane s druhýmbodom zapojenia. Da sa na to prísť naprí-klad výpočtom z Ohmovho zákona (zo sy-metrie každou z týchto hrán preteká rovnakýprúd), alebo dvoma rovinnými symetriamiproblému. To potom vedie na sériové zapo-jenie troch paralelných zapojení, a to troch,šiestich a opäť troch odporov.

b. Tu už žiaľ Ohmom zákon nepomôže. Zatosymetria áno.

c. Použitím symetrie úlohy podľa uhloprieč-nej roviny, ktorá neobsahuje body zapoje-nia dostaneme jednoduchú schému odporov1 Ω a 0, 5 Ω. Všimnite si, že použitím symet-rie podľa uhlopriečnej roviny, ktorá obsa-huje body zapojenia nedostaneme jednodu-chú schému. Ta sa ale da previesť podobneako v úlohe 35 na to iste zapojenie ako vprvom prípade.

Príklad 40. Rovnako ako predchádzajúci príklad,ale s pravidelným osemstenom.

Príklad 41. Rezistory s odporom R sú pozapá-jane v hranách pravidelného dvanásťstena. Určteodpor medzi jeho dvoma protiľahlými vrcholmi.

Návod. Úloha 39a s o čosi zložitejšou geometrioudvanásťstenu.

Výsledok. 7R/6

Príklad 42. Mame pravidelný N uholník, kde jekaždý vrchol spojený s každým odporom R. Akýje odpor medzi dvomi vrcholmi?

Výsledok. 2R/N , po tom ako vyriešite úlohu po-mocou symetrie a rozpájania skúste úlohu vyriešiťodhadnutím výsledku z prvých niekoľko prípadova dokázaním indukciou, pripadne naopak

Príklad 43. Vypočítajte odpor N -rozmernejkocky, ktorá ma na každej zo svojich hrán odporR. Odpor meriame na protiľahlých vrcholoch, t.j.medzi bodmi (0, . . . , 0) a (1, . . . , 1).

Návod. Úloha 39a s o čosi zložitejšou geometriouN -rozmernej kocky.

5 Úlohy na Kirchhofove zákony

• Kirchofove zákony v sebe vtipne a účinneskrývajú dve vcelku jednoduché tvrdenia

• prvý : súčet prúdov vchádzajúcich do uzla jerovnaký, ako súčet prúdov vychádzajúcich zuzla

inak povedane náboj sa zachováva, lebo uvä-zujeme ustálený stav, kde sa náboj nikde ne-hromadí a keďže chudák nemôže vzniknúťani zaniknúť, ten čo pritečie musí aj odtiecť

• druhý : v uzavretej slučke elektrického ob-vodu je súčet napätí rovnaký ako úbytoknapätí IR na odporoch (všade zobraté zna-mienko do úvahy)

11

inak povedane potenciál v tomto bode saozaj rovná potenciálu v tomto bode, nakoľkoak sa po uzavretej slučke vrátim do toho is-tého bodu, zmena potenciálov musí byt nu-lová, takže prírastky vďaka zdrojom musiabyt rovnaké, ako úbytky na odporoch (prí-rastok proti smeru je úbytok a naopak)

tu opäť vyhráva analógia s gravitačným po-lom, vozením sa na výťahu (zdroj) a kráča-ním dolu schodmi (odpor)

• tieto dva zákony sú ťažká delostrelecká zbraňproti ľubovoľnému elektrickému nepriate-ľovi a vrelo odporúčam premyslieť, ako bysa predchádzajúce úlohy pomocou nich rie-šili

to že sa každá úloha takto da riešiť ešte ne-znamená, že ju tak vždy budeme riešiť, lebozväčša dostávame veľa rovníc o veľa nezná-mych a každé obídenie steny namiesto jejzdemolovania hlavou je vítane

tak ci onak najmä so silou počítačov a zloži-tejšími schémami to nie je neschodná cesta

Príklad 44. Z rezistorov s odporom 1 kΩ a dvochzdrojov s napätím 9V postavíme schému akona obrázku. Aký prúd tečie rezistorom medzizdrojmi?

Riešenie. Ak cez tento rezistor tečie prúd I, po-tom cez pravú aj ľavú vetvu tečie prúd I/2, čovedie na rovnicu 3IR/2 + IR = 2U .

Výsledok. 7, 2mA, po tom ako to vypočítate po-mocou Kirchhofovych zákonov si skúste schémuprekresliť

Príklad 45. Aký je potenciálový rozdiel (napätie)medzi uzlami A a B na obrázku?

Výsledok. 27 V

Príklad 46. Majme rezistor s odporom R a dvazdroje s napätím U1, resp. U2 a vnútornými od-pormi R1, resp. R2. Zapojme ich podlá obrázka.Aké je napätie na rezistore s odporom R.

Riešenie. Sústava rovníc, na ktorú vedú Kirch-hofove zákony je U1 + I1R1 = U2 + I2R2, IR =

U2 + I2R2, I = I1 + I2, z ktorej už ľahko dopočí-tame prúd I a potom napätie IR

Výsledok. U1R2+U2R1R1R2+R(R1+R2)

R

Príklad 47. Hrana jedného štvorca na obrázkuma odpor R. Aký odpor nameriame medzi bodmiA a B?

Návod. Úloha sa da riešiť bez akýkoľvek fínt hru-bou silou. Vrelo odporúčam precvičiť, na začiatoknapríklad so zapojením z dvoch štvorcov.

12

Avšak da sa všimnúť si symetria úlohy a po-tom zjednodušiť cele počítanie, nakoľko nájdemebody, ktoré majú opačný potenciál. Nezabudnemena vzťah I = ∆φ/R a vystačíme len s prvým zá-konom.

Riešenie. Stredová symetria podľa stredu pro-stredného štvroca vymení body zapojenia aleschému nechá nezmenenú. To znamená, že poten-ciály budú vyzerať nasledovne (Prečo?)

Prúd, ktorý težie medzi bodmi A a X je (−φ2 +

U)/R, z čoho dostávame prvý zákon v tvare

−φ1 + U

R+−φ1 − φ2

R+−φ1 + φ2

R= 0

a podobne pre bod s potenciálom φ2. Riešenímtýchto dvoch rovníc potom dostávame hodnotyφ1, φ2 a z nich celkový prúd

I =U − φ1R

+U + φ2

2R

Odpor zapojenia je potom jednoducho U/I

Výsledok. 158 R

Príklad 48. Vypočítajte odpor medzi dvoma su-sednými bodmi štvorca, ktorého strany majú od-por R a ktorého uhlopriečky majú odpor R/2.

Návod. Opäť môžeme bezhlavo rátať dva zákony.Avšak rohy, v ktorých nezapájame majú zo symet-rie a Ohmovho zákona opačné potenciály. Potomuž podobne ako v úlohe 47 zapíšeme prvý zákonpre jeden z nezapojených vrcholov, čim sa úplnevyhneme druhému zákonu.

Výsledok. 512R

Príklad 49. Vo štvorci ABCD je na každej hranejeden odpor, veľkosti R1,2,3,4 a okrem toho sú bodyB,C spojene odporom R5. Aký je odpor medzibodmi AD?

Návod. Áno, ozaj treba veľmi veľa počítať. Alebopoužiť počítač.

Príklad 50. Vypočítajte odpor medzi dvoma hra-nami siete štvorstenu, pričom na každej hrane jerôzny odpor R1,2,3,4,5,6. To iste pre kocku a R1,...,12.

6 Siete jednosmerného prúdu skondenzátormi

• do obvodov nám pribudne nová súčiastka,kondenzátor, ktorý ma tieto najdôležitejšievlastnosti

– v ustálenom stave nim netečie prúd asprava sa ako dokonalý izolant1

– na jeho doskách sa môže hromadiť ná-boj, na jednej klady a na druhej zá-porný

– môže na ňom byt potenciálový rozdiela ak je na nim potenciálový rozdiel U ,tak je na nim nahromadený náboj

Q = CU

kde C je konštanta, ktorá je charakte-ristikou konkrétneho kondenzátora

– dva kondenzátory zapojene paralelne sasprávajú ako jeden kondenzátor, ktorýma kapacitu

C = C1 + C2

dôvod - na oboch kondenzátoroch je na-pätie U , takže náboje na nich sú Q1 =

1Ak sa zaujímame o nestacionárne prúdy, toto nie je pravda a pri nabíjaní kondenzátora nim prúd tečie. Dokonca nazačiatku nabíjania sa kondenzátor sprava ako ideálny vodič.

13

UC1, Q2 = UC2, celkový nazhromaž-dený náboj je teda Q = Q1 +Q2 = CU

– dva kondenzátory zapojene do serie sasprávajú ako jeden kondenzátor, ktorýma kapacitu

C =C1C2

C1 + C2

dôvod - zapojme také dva kondenzátoryna napätie U , potom napätie na kon-denzátoroch je U1 + U2 = U , náboj navnútorných doskách majú opačný a rov-nakej veľkosti, takže C1U1 = C2U2 =

Q, pričom takýto náboj sa nazhromaždíaj na ’novom’ kondenzátore, pre kapa-citu ktorého C = Q/U

• s kondenzátormi sa da zväčša vysporiadaťpomocou sedliackeho rozumu alebo druhéhokirchhofovho zákona

• do potenciálového spádu zarátame aj napä-tie na kondenzátore

Príklad 51. Dva kondenzátory s kapacitou C1 aC2 zapojíme do série a k nim paralelne pripojímekondenzátor s kapacitou C3. Ak takúto schému za-pojíme na napätie U , aký veľký náboj sa nahro-madí na každom z kondenzátorov?

Príklad 52. Koľkokrát sa zmení náboj na kon-denzátore C3, ak sa kondenzátor C2 prebije(=stane sa nevodivým)?

Návod. Poriadne si premyslieť, ako to je s týmisériovými a paralelnými kondenzátormi.

Riešenie. Treba vypočítať náboje na kondenzáto-roch pred a po prebití jedného z nich. Cele zapoje-nie pred prebitím ma kapacitu C = (C1+C2)C3

C1+C2+C3, po

prebití C ′ = C1C3C1+C3

. V prvom prípade je na kon-denzátore C3 náboj CU , v druhom C ′U (prečo?).

Výsledok. C1(C1+C2+C3)(C1+C2)(C1+C3)

Príklad 53. Určte náboj, ktorý sa v tejto schémenahromadí na kondenzátore.

Riešenie. Kirchhofove zákony nám dávajú

−2E+RI+Q/C+E = 0 , −E−Q/C+2RI+E = 0

Výsledok. Q = 23CE

Príklad 54. Aký náboj sa nahromadí na konden-zátore, ak pripojíme body A a B na potenciálovýrozdiel U .

Riešenie. Kirchhofove zákony pre pravú slučkunám dávajú IR + IEFR = Q/C, ostáva už len zkirchofovho zákona pre ľavú slučku určiť prúd IEF

Výsledok. 45UC, všimnite si, že výsledok úlohy je

taký istý, ako keby sme rátali obvod bez kondenzá-tora, vypočítali rozdiel potenciálov medzi bodmi Ea B a potom na taký potenciálový rozdiel napojilikondenzátor (prečo?)

14

Príklad 55. Aké napätia ukazuje voltmeter naobrázku?

Návod. Voltmeter ukáže potenciálový rozdiel me-dzi dvoma miestami, kam sme ho zapojili. Aký jepotenciál v hornom bode? Aký je potenciál v dol-nom bode?

Výsledok. U(

C2C1+C2

− R1R1+R2

)Príklad 56. Aký náboj pretečie ampérmetrom,keď v schéme na obrázku zapneme spínač?

Návod. Ako sa zmení náboj na kondenzátore skapacitou 2C a čo to znamená pre náboj, ktorýpretečie cez ampérmeter?

Riešenie. Pred zapnutim je na oboch kondenza-toroch náboj 6CU/5. Po zapnutí spínača je celkovýnáboj na kondenzátoroch 9CU/6, čo dá potenciálna treťom kondíku U/2. Na zvyšných kondenzáto-roch mnusí byť potom rovnaké napätie, ktoré totodopĺňa do celkového napätia U , čo dá náboj nadruhom kondenzátore po zapnutí CU .

Výsledok. 15CU

Príklad 57. Na obrázku je schéma kondenzáto-rov pripojených k zdroju jednosmerného napätiaU . Vypočítajte napätia medzi bodmi A a B.

Návod. V akom vzťahu sú náboje na kondenzá-toroch v každej vetve? V akom vzťahu sú napätiana nich?

Výsledok. U/3

Príklad 58. Aký náboj sa nahromadí na každomz kondenzátorov a aký prúd potečie každým z vo-dičov v nasledujúcej schéme?

Príklad 59. Všetky kondenzátory na obrázkumajú kapacitu C a na začiatku sú nabite na po-tenciál U a s polaritou ako na obrázku. Aké budúnapätia na kondenzátoroch keď sa po uzavretí ob-vodu obvod ustali?

Návod. Na častiach obvodu, ktoré sú oddeleneplatí zákon zachovania náboja.

Riešenie. Zachovanie náboja dá rovnicu CU +

CU − CU = U1C + U2C − U3C (predpokladame

15

polaritu ako v pri pôvodnom nabití) plus dva krátdruhý kirchofov zákon U1 − U2 = U2 + U3 = 0

Výsledok. U/3, U/3,−U/3 s polaritou ako pripôvodnom nabití, všimnite si, že odpory v zapo-jení nemajú žiadny vplyv na výsledok (prečo?)

Príklad 60. V obvode prepneme prepínač z po-lohy 1 do polohy 2. Aká energia sa pri tom uvoľni,ak toto prepnutie trvá nulový čas?

Návod. Aké je rozloženie nábojov pred a po pre-pnutí spínača? Aký potenciálový rozdiel prekonalnáboj, ktorý prešiel z jedného na druhy kondenzá-tor? Tu sa opäť hodí analógia medzi elektrickým agravitačným polom.

Výsledok. U2C/3

Príklad 61. Mame dva kondenzátory s kapacitouC1 a C2, ktoré postupne nabijeme na napätia U1

a U2. Vodivo spojíme platne, na ktorých je rov-naké znamienko náboja. Koľko percent energie sastratí, keď sa sústava ustali?

Návod.

Riešenie.

Výsledok. C1C2(U1−U2)2

(C1+C2)(C1U21+C2U2

2 )

Príklad 62. Sústava kondenzátorov je zapojenápodľa schémy na obrázku.

a. Určte celkovú kapacitu sústavy medzi uzlamiA a D.

b. K uzlom A a D pripojíme zdroj konštant-ného napätia U . Určte, na aké napätia sa popripojení zdroja nabije kondenzátor C3.

Riešenie. Priveďme na schému napätia U . Nakaždom kondenzátore sa ustali nejaké napätia anejaký náboj, pričom Qi = CiUi pre každý kon-denzátor. Zákon zachovania náboja v uzatvore-ných častiach obvodu nám da dve rovnice. Ďalšietri rovnice dostaneme keď napíšeme tri kirchho-fove zákony pre uzavreté slučky. Inak povedane,medzi bodmi A a D je vždy napätia U , nech satam dostanem cez ľubovoľne kondenzátory. Taktomame 5 rovníc o piatich neznámych, ktoré hravovyriešime. Dokonca ich nemusíme vyriešiť úplne,nám totiž stačí vedieť U1 a U2, lebo

C =Q

U=Q1 +Q2

U=U1C1 + U2C2

U

Na úlohu b. nám treba z tejto sústavy vypočítaťU3. Pripadne si stačí uvedomiť, že U3 = U1 − U2.

Príklad 63. Vypočítajte kapacitu kocky, ktoráma na každej svojej hrane kondenzátor s kapaci-tou C, ak ju zapojíme do obvodu vo vrcholoch natelesovej uhlopriečke.

Návod. Úloha 39a s o čosi iným pravidlom prezapájanie kondenzátorov.

Výsledok. 6C/5

Príklad 64. Určte napätia U na výstupe siete na-kreslenej na obrázku, ak na vstup pripojíme zdrojs napätím U0.

16

Pre kapacity kondenzátorov uväzujte dva prípady:

a. C2 = 2C1,

b. C2 = C1.

Návod. a. Schému si trochu prekresliť a po-tom si všimnúť podobnosť s úlohou 5.

b. Rátať kapacity do zblaznenia

Výsledok. a. U0/8, b. U0/21

Príklad 65. Na obrázku je elektricky obvod tvo-rený rezistormi a kondenzátormi. Elektrický zdrojs vnútorným napätím Ui ma zanedbateľne malývnútorný odpor. Kondenzátory s kapacitou C súna začiatku vybite. Aký náboj prejde cez spojovacívodič AB so zanedbateľným odporom (Rx = 0)počas nabíjania kondenzátorov, ak zapneme spí-nač S? Aká je odpoveď na predchádzajúcu otázku,ak ma spojovací vodič AB odpor Rx = R?

7 Nekonečné odporové siete

• tato časť je veľmi ťažká :)

• budeme potrebovať dva nove poznatky, ktorévšak platia všeobecne, nie len pre nekonečnézapojenia

– superpozícia - majme zapojenie, ktoréma N vývodov A1, . . . , AN

keď na ne privedieme potenciályφ(1)1 , . . . , φ

(1)N , budú z nich vytekať

prúdy I(1)1 , . . . , I

(1)N , keď na ne prive-

dieme potenciály φ(2)1 , . . . , φ(2)N , budú z

nich vytekať prúdy I(2)1 , . . . , I(2)N

potom keď na ne privedieme potenciályφ(1)1 +cφ

(2)1 , . . . , φ

(1)N +cφ

(2)N , budú z nich

vytekať prúdy I(1)1 + cI

(2)1 , . . . , I

(1)N +

cI(2)N

veľmi pekne o superpozicii píše Bzdusovo vzoráku k úlohe FX 3.12 v zbierke,pozor, je to vlastne príklad 72, takže ne-čítať ak sa s nim chcete potrápiť sami

– čierna skriňa - majme zapojenie, ktoréma N vývodov A1, . . . , AN

potom toto zapojenie môžeme nahradiťN bodmi, ktoré sú každý s každým spo-jene jedným odporom Rij , pričom tietodve zapojenia majú rovnaký odpor me-dzi každou dvojicou vývodov

pozor, odpor medzi bodmi Ai, Aj v no-vom zapojení, teda Rij , nemusí byt rov-naký ako odpor, ktorý nameriame me-dzi Ai a Aj

toto je veľmi netriviálne tvrdenie, ktoréje dôsledkom superpozicie a tiež sa oňom čosi píše v spomínanom vzoráku

• okrem toho špeciálne pre nekonečné odporymôžeme využiť, že časť obvodu sa často po-doba na obvod cely

• vhodne žonglovanie s týmto a tým, čo smesa naučili doteraz by malo viest k zdarnémukoncu

• spomeňme ešte, že v skutočnosti nič ako ne-konečné situácie neexistuje; v prírode je ko-nečne veľa materiálu a konečne veľa pries-toru; ak sa pýtame na nejakú vlastnosť ne-konečnej situácie, mysli sa tým toto : mame

17

postupnosť konečných situácii ktoré sa po-stupne približujú k nasej nekonečnej. k čomusa približuje postupnosť vlastnosti týchto ko-nečných situácii?

Príklad 66. Vypočítajte odpor medzi bodmi Aa B v nasledujúcich nekonečných schémach. Je-den rezistor ma vždy odpor R. Pri počítaní každejďalšej schémy zabudnite, že ste počítali predchá-dzajúce, teda napríklad nepoväzujte tretiu schémuza sériové zapojenie druhej a odporu R. Na druhejstrane je to fajn spôsob, ako si overiť výsledok.

Návod. Všade funguje zvyčajná finta s nahrade-

ním časti siete odporom R′, ktorý je rovnaký akoodpor siete a potom riešiť už len paralelne/sériovozapojene odpory. Prečo je odpor v prvom prí-pade nulový a ostatných nie? Prečo je výsledok predruhu a siestu sieť rovnaký? Bol by rovnaký aj presieť podobnú tej druhej, ale kde by boli odpory napreskáču hore/dole?

Výsledok. Posledné štyri : 2R, 1.62R, 1.37R, 1.46R

Príklad 67. Vypočítajte odpor tejto nekonečnejschémy.

Návod. Opäť bude fungovať finta ako v predchá-dzajúcom prípade.

Výsledok. (1 +√

17)/2R

Príklad 68. Vypočítajte kapacitu tejto nekoneč-nej schémy, ak kapacita jedného kondenzátora jeC.

Výsledok. (1 +√

5)/2R

18

Príklad 69. Z vodiča spravíme štvorec. Rovna-kým vodičom spojíme stredy strán tohto štvorca,čim vznikne menší štvorec. Stredy jeho hrán spo-jíme rovnakým spôsobom a takto postupujeme donekonečna. Strana veľkého štvorca ma odpor 1 Ω.Aký odpor nameriame medzi vrcholmi pôvodnéhoštvorca, ktoré

a. ležia na uhlopriečke,

b. ležia na tej istej hrane?

Návod. Na vhodných miestach vďaka symetriirozpojiť a potom nahradiť stredný štvorec odpo-rom, ktorý je vhodným násobkom celého odporuR. Tento násobok zistiť z toho, že dva krát kratšíkábel ma dva krát menší odpor. V druhej častibude treba výsledok prvej.

Príklad 70. Z vodiča spravíme rovnostranný tro-juholník. Rovnakým vodičom spojíme stredy strántohto trojuholníka, čim vznikne menší trojuholník.Stredy jeho hrán spojíme rovnakým spôsobom atakto postupujeme do nekonečna. Strana veľkéhotrojuholníka ma odpor 1 Ω. Aký odpor nameriamemedzi

a. vrcholmi pôvodného trojuholníka,

b. vrcholom pôvodného trojuholníka a stredomprotiľahlej strany?

c. Vrcholy najväčšieho trojuholníka vodivo spo-jíme. Aký bude odpor medzi vrcholom a stre-dom najväčšieho trojuholníka?

Návod. Podobne ako predchádzajúci príklad. Vposlednej časti pomôže Ohmov zákon a rozmyslieťsi, aké prúdy potečú vo vetvách siete ... a potomsčítať nekonečný rad.

Výsledok. a)√7−13 Ω

Príklad 71. Z vodiča spravíme n-uholník. Doneho umiestnime menší n-uholník tak, že každý

vrchol malého je stredom strany veľkého a tietobody u vodivo spojene. Takto postupujeme do ne-konečna. Aký nameriame odpor medzi

a. susednými vrcholmi najväčšieho n-uholníka,

b. vrcholom najväčšieho n-uholníka a proti-ľahlým vrcholom, resp. stredom protiľahlejstrany?

c. Vrcholy najväčšieho n-uholníka vodivo spo-jíme. Aký bude teraz odpor medzi vrcho-lom pôvodného n-uholníka a jeho stredomútvaru?

Príklad 72. Majme dvojitý a nekonečný odpo-rový rebrík, tak ako na obrázku. Každý z odporovma odpor R.

a. Vypočítajte odpor medzi bodmi A a C.

b. Vypočítajte odpor medzi bodmi A a B, aksú body A a C vodivo spojene (vodičom snulovým odporom).

c. Vypočítajte odpor medzi bodmi A a B.

Návod. V prvých dvoch prípadoch využiť symet-riu a vhodne rozpojí/spojiť. V tretej úlohe použiťsuperpoziciu predchádzajúcich dvoch alebo čiernuskrinku.

Riešenie. Nasleduje skrátene riešene časti c) akovo vzoráku zo zbierky Fx. Pomôže superpoziciapredchádzajúcich dvoch časti. V prípade a) súpotenciály na bodoch A,B,C postupne φA =

φ1, φB = φ1/2, φC = 0 (prečo?) a IA = I, IB =

0, IC = −I, prípad b) je φA = φC = 0, φB = φ2 aIA = IC = I/2, IB = −I (prúdy vytekajú, takžezáporný prúd znamená vtekanie)

19

čo nás privedie k rovnici

Rc = Rb +Ra/4.

Príklad by sa dal riešiť aj čiernou skrinkou. Medzibodmi A,B,C by sme si predstavili trojuholník ztroch odporov. Z úloh a)b) a zo symetrie by smeurčili hodnoty každého odporu a potom získať vý-sledok časti c) nie je ťažké.

Výsledok. a) (√

5 − 1)R, b)√21−34 R, c)(√

5+√21

4 − 1)R

Príklad 73. Majme nekonečnú štvorcovú sieť, vktorej je na každej hrane odporR. Aký je odpor ta-kejto siete medzi vrcholmi ktoré sú na jednej hranejedného zo štvorcov siete. Aký by bol výsledok, akby bola sieť trojuholníková?

Návod. V prvom prípade vhodná super pozíciavtekania do bodu A a vytekania z bodu B..

Riešenie. Ukážka toho, ako funguje superpoci-zia. Označme naše dva body A a B. Teraz naj-skôr priveďme na bod A potenciál U , čim do sietebude vtekať prúd I. Zo symetrie úlohy bude vkaždom smere tiecť z bodu A prúd I/4. V bodeB bude teda potenciál U − RI/4. Nulový poten-ciál priveďme do nekonečna. Nekonečno teda budeakýmsi tretím vývodom, označme ho N. Mameteda zapojenie, kde je v bode A potenciál U , vbode B potenciál U − RI/4 a v bode N poten-ciál 0, pričom z týchto bodov vytekajú postupneprúdy −I, 0, I. Záporne znamienko znamená, žeprúd vteká.

Majme teraz iné zapojenie, kde do bodu B pri-vediem potenciál −U a do bodu N dáme nulovýpotenciál. Zo symetrie celej siete bude týmto za-pojením tiecť opäť prúd I, a opäť z každého smeru

vtečie do bodu B prúd I/4. To znamená, že v bodeA je potenciál −U+IR/4. Celkovo teda mame po-tenciály v bodoch A,B,N rovne−U+IR/4, 0,−U avytekajúce prúdy 0, I,−I. A teraz z veľkou slávouzistime, že keď tieto dve situácie skombinujeme(spravíme ich superpoziciu), dostaneme zapojenie,kde sú potenciály IR/4, 0,−IR/4 a prúdy −I, 0, I.Medzi bodmi A a B teda tečie prúd I, pričom jena nich potenciálový rozdiel IR/2. Odpor medzinimi je teda R/2.

Príklad 74. Nekonečna sieť je vytvorená z pra-videlnej štvorcovej siete vynechaním niektorýchpriečok (výsledná sieť je na obrázku znázornená pl-nou čiarou). Strana elementárnej štvorcovej bunky(napr. AB) ma odpor R.

Aký odpor nameriame, ak pripojíme ohmmeter

a. k uzlom siete A a B,

b. k uzlom siete B a C,

c. k uzlom siete A a C,

d. k uzlu označenému čiernou bodkou a uzlu C?

Návod. V prvých troch častiach pomôže predchá-dzajúca úloha a prekresliť schému na šesťuholní-kovú. V poslednej časti verzia čiernej skrinky.

Riešenie. Ukážeme si riešenie prvých časti čier-nou skrinkou.

a) toto zapojenie ma vlastne tri vývody, A,Ba nekonečno (N), mame teda trojuholník, v kto-rom RAB = R,RAN = RBN = R′, keď privedieme

20

potenciál U do bodu A a nulu do bodu N , platíIAN = 2I, IAB = I, IAB = I, IBN = I, kircho-fov zákon da potom R′ = R, takže celkový odpormedzi A a B je 2

3R

c) toto je zapojenie čo ma 4 vývody A,B,C,N(mohlo by mat aj tri ACN, ale tam by sme tohoveľa nevedeli), pričom RAB = RBC = R,RAN =

RCN = R1, RBN = R2, opäť zapojíme do A poten-ciál U a do N nulový potenciál, pričom teraz platíIAB = I, IAN = 2I, IBN = IBC = I/2, ICN = I/2,z čoho kirchof dáva R1 = R a teda odpor medzi Aa C je R

časť c) inak : opäť si toto zapojenie prekreslimeako 4 vývody s RAB = RBC = R,RAN = RCN =

R1, RBN = R2, ale tentoraz nebudeme uvažovaťžiadne prúdy, namiesto toho napíšeme podmienky: odpor medzi A a B je 2R/3, odpor medzi A a Nje taký istý ako odpor medzi B a N

2

R1 +R+

1

R2=

1

R+ (R+R1)R2

R1+R2+R

+1

R1

3

2R=

1

R1 + (R+R1)R2

R1+R2+R

+1

R

tieto rovnice dávajú R2 = 2R,R1 = R, čo dávaočakávaný výsledok odporu medzi A a C

d) bude to chcieť čiernu skriňu čo ma 5 vývo-dov

Príklad 75. Majme nekonečnú štvorcovú sieť, vktorej je na každej hrane odporR. Aký je odpor ta-kejto siete medzi vrcholmi ktoré sú na uhlopriečkejedného zo štvorcov siete. Aký by bol výsledok, akby bola sieť trojuholníková?

Návod. Rovnice vyzerajú veľmi podobne ako včasti c) prechádzajúcej úlohy, s malou zmenou preštvorcovú sieť. Mame teda 4 vývody A,B,C,N sRAB = RBC = R,RAN = RCN = R1, RBN = R2

a2

R1 +R+

1

R2=

1

R+ (R+R1)R2

R1+R2+R

+1

R1

2

R=

1

R1 + (R+R1)R2

R1+R2+R

+1

R

Tieto rovnice majú riešenie R1 = R2 , R2 = 3R

4 ,ostáva teda porátať zapojenie do štvorca, ktoré idenapríklad transformáciou na hviezdu abo kircho-facmi

Príklad 76. Majme nekonečnú kockovú sieť od-porov, pričom každý z odporov ma odpor R. Akýnameriame odpor medzi

a. dvoma susednými vrcholmi

b. vrcholmi, ktoré ležia ne uhlopriečke štvorca,

c. vrcholmi, ktoré ležia na uhlopriečke kocky.

8 Za obzorom týchto poznámok

Naučili sme sa počítať vcelku širokú paletu rôznenáročných a rôzne zameraných príkladov. Na za-ver už len stručné zhrňme, čo v týchto poznám-kach bolo viac či menej nahlas zamlčané a kam bysa štúdium elektrických problémov mohlo uberaťďalej.

V celom texte sme považovali súčiastky za ide-álne. V skutočnosti všetky ampérmetre, voltmetre,zdroje a iné súčiastky ideálne nie sú. To sa do istejmiery dá napraviť pridaním súčiastky, napríkladodporu, ktorá bude tieto neideálne vlastnosti na-hrádzať.

Ideálne však nie sú ani vodiče. Tu je problémo čosi väčší, nakoľko tým strácajú na platnostivšetky prekreslovacie, spájacie a rozpajacie finty,nakoľko menia odpor schémy, pripadne vôbec ne-platia a schému menia úplné. Tu nezostává kon-štatovať nič iné, ako že pri rozumných rozmerocha prúdoch sa odpory s dobrou presnosťou pova-žovať za ideálne dajú a ľuďom, ktorí ich za také

21

považovať nemôžu (silnoprúdový inžinieri, projek-tanti vedení vysokého napätia) alebo nechcú (rý-pali) popriať veľa šťastia.

V neposlednom rade ma asi väčšina čitateľovpocit, že úlohy boli síce pekne, ale slušne povedanéakademické. Opäť námietka, na ktorú sa odpovedáťažko inak ako pokrčením pliec. Pravda je. Sku-točné siete, ktoré sa vyskytuje v elektrotechnike aktoré náš obklopujú všade naokolo, sú oveľa kom-plikovanejšie a na výpočet ich vlastnosti sa pou-žívajú často veľmi zložité a niekedy iba približnémetódy. Avšak pre potreby stredoškoláka, na ilus-tráciu a pochopenie toho, čo sa v obvodoch deje,by mali tieto príklady slúžiť dokonale.

V texte sme vynechali jednu vcelku štandardnútechniku, ktorej sa hovorí transformácia trojuhol-níka na hviezdu. je to účinná zbraň v boji s prí-kladmi, v ktorých sa nedá rozumným spôsobompoužiť nejaká finta a nič iné ako hrubá sila ne-zostává. Pomocou tohto triku môžme zjednodu-šiť zapojenie a previesť schému, ktorá inak nie jeiba paralelne a sériové zapojenie odporov na niečozrátateľné. Transformáciu si môže čitateľ naštudo-vať napríklad v študijnom texte českej FO. Potomsa môže pokúsiť vypočítať pomocou nej napríkladúlohy 47, 48 a 49.

Tak isto sme vo všetkých príkladoch uväzovaliustálené prúdy. Avšak pri zapojení obvodu istý častrvá, kým sa ustali. Tak isto počas nabíjania kon-denzátora nim nejaký čas prúď tečie. Keď do od-poru zapojíme cievku, tak nejaký čas brzdi prúď vobvode. Všetky tieto javy si na svoj systematickypopis vyžadujú jazyk diferenciálnych rovníc avšakkvalitatívne sa dajú popísať aj na stredoškolskejúrovni.

Okrem súčiastok, ktoré sme tu popísali sado obvodov dajú zapájať polovodičové súčiastky,ktoré svojimi vlastnosťami otvárajú v elektrotech-nike dvere nekonečným možnostiam. Na tomtomieste však len spomeňme, že také súčiastky exis-

tujú a ich správanie a vlastnosti sú veľmi široké avcelku náročné témy.

A na úplný zaver pripomeňme, že obvodmimôžu tiecť prúdy striedavé, ktorých možnosti nateoretické štúdium a praktické využitie ďaleko pre-sahujú jednosmerný prúd.

A ak sa nájde niekto, kto už všetky príkladyvypočítal a málilo sa mu, na zaver niekoľko ozajvýnimočných príkladov.

Príklad 77. Nájdite zapojenie, zložené s rezisto-rov s odporom 1 Ω, ktorého odpor sa od numerickejhodnoty čísla π líši o menej ako 0, 00001 Ω. Vy-myslite takéto zapojenie z čo najmenšieho pocturezistorov.

Príklad 78. Zoberiem 3n odporov, vyrobím znich n zapojení v tvare písmena U a zapojím ichza seba. Na obrázku je zapojenie pre n = 3. Terazvodivo spojím body 1 a 3 a body 2 a 4, čím dosta-neme valec odporov. Aký je odpor medzi bodmi1 a 2? Potom vodivo spojíme body 1-4 a 2-3, čímvznikne Mobiov pásik odporov. Aký bude medzibodmi 1 a 2 odpor teraz? Výsledky vypočítajtepre všeobecné n.

Príklad 79. Predstavte si, že pred sebou mate11 rezistorov. Z nich ma desať odpor 10 Ω, jeden(chybný) ma veľkosť 30 Ω. Najmenej koľkými me-raniami ste zaručene schopní nájsť medzi rezis-tormi ten, ktorého odpor je väčší? Prečo je tentopočet meraní minimálny?

9 Použitá a odporúčaná litera-túra

• Zbierky riešených úloh Náboja FKS, 1999 az2013

22

• Zbierka riešených úloh FX, 1. a 3. rocnik

• Zbierky riešených úloh Fyziklani Fykosu2011 az 2014

• Archív úloh Fyzikálnej Olympiády

• Študijné texty českej FO - Miroslava Ja-resova, ELEKTRICKE OBVODY (Stejno-smerný proud)

• Andrej Tirpák - Elektromagnetizmus

23