sis - odgovori na temeljna pitanja

7/25/2019 SiS - Odgovori Na Temeljna Pitanja

1/25

1. Definicija signala i sustava.

SIGNAL

- signal je funkcija jedne ili vie nezavisnih varijabli

- nosi informaciju (nekakav podatak)

- signal, kao vremensku funkciju, oznaavamo malim slovima: u (ulazni signal), v (stanje), x (stanje), y(izlazni signal), ...

- domena: vremenska os, ili T - kodomena: U podruje amplituda ili trenutnih vrijednosti signala

SUSTAV

- sustav je cjelina sastavljena od meusobno povezanih objekata gdje svojstva objekata i njihovo

meudjelovanje odreuju svojstvo i vladanje cjeline

- proizvodi ili obrauje signale, pa predstavlja funkcional (funkcija koja djeluje na funkciju)

- sustav je funkcija ija je domena i kodomena skup signala


2/25

u y

2. Vremenski kontinuirani sustav prvog reda (formulacija jednadbi, blok dijagram, stanje

ravnotee, stabilnost).

FORMULACIJA JEDNADBI:

Implicitna diferencijalna jednadba: (y', y, u) = 0

Eksplicitna diferencijalna jednadba: y'(t) = (u(t), y(t))

Vremenski promjenjiv linearni sustav: y'(t) + a(t)y(t) = u(t)

Vremenski stalan (nepromjenjiv) linearni sustav: y'(t) + ay(t) = u(t)

BLOK DIJAGRAM:

f, g - funkcijski blokovi

STANJE RAVNOTEE:

Stanje ravnotee je stanje sustava u kojem sustav moe ostati neodreeno dugo.

Ako nema pobude (autonomni sustav) stanje ravnotee je: = 0 = ( )

Ako je pobuda konstanta u = u0 = konst.(neautonomni sustav) stanje ravnotee xeje:

(xe,u0) = 0

STABILNOST:

Stanje ravnotee xe moe biti:

stabilno ako se sustav iz bilo kojeg stanja x0vraa u stanje ravnotee xe

nestabilno ako se sustav iz stanja ravnotee xeudaljuje na najmanji mogui poremeaj

polustabilno ako se sustav iz nekih stanja x0vraa, a iz nekih ne u stanje ravnotee xe

f g


3/25

3. Vremenski kontinuirani sustavi drugog i vieg reda - model s ulazno-izlaznim varijablama

(formulacija jednadbi, klasifikacija, blok dijagram, rjeavanje [rijeiti i komentirati primjer koji

mora odgovarati zadanom modelu]).


Sustav drugog reda: (y'', y', y, u) = 0o -> funkcija sustava (moe biti linearna ili nelinearna)

o y'' -> ulaz prvog integratora

o y' -> ulaz drugog integratora

o y -> izlaz drugog integratora

o u -> ulaz

Sustav n-tog reda: (y(n), ..., y', y, u) = 0

o (ne mora svaka derivacija biti prisutna, vana je ona najveeg reda jer definira red

sustava)

KLASIFIKACIJA:1. Linearni

a. Vremenski promjenjivi (1 ulaz, 1 izlaz)

an(t)y(n)(t)+...+ a1(t)y'(t)+ a0(t)y(t)= bn(t)u

(n)(t)+...+ b1(t)u'(t)+ b0(t)u(t)

an, bn, y i u su kontinuirane funkcije

b. Vremenski nepromjenjivi (1 ulaz, 1 izlaz)

any(n)(t)+...+ a1y'(t)+ a0y(t)= bnu

(n)(t)+...+ b1u'(t)+ b0u(t)

y i u su kontinuirane funkcije, a an i bn konstante

2. Nelinearni

BLOK DIJAGRAM:

Sustav drugog reda:

Sustav n-tog reda:

f, g, h - funkcijski blokovi


4/25

RJEAVANJE:


5/25

4. Vremenski kontinuirani sustavi drugog i vieg reda - model s varijablama stanja (formulacija

jednadbi, klasifikacija, blok dijagram, rjeavanje [rijeiti i komentirati primjer koji mora odgovarati

zadanom modelu]).


Za sustav drugog reda postoje dvije diferencijalne jednadbe prvog reda, te jedna algebarskajednadba. Za sustave n-tog reda postoje n diferencijalnih jednadbi prvog reda, te jedna algebarska

jednadba. Jednadbe su napisane za sustav drugog reda, analogno se izvodi za vieg reda.

Diferencijalne jednadbe:

= (, , ) () = = (, , ) () =

Algebarska jednadba:

y = g(, , )

KLASIFIKACIJA:

1.

Implicitni:

a. Pobueni (vremenski promjenjivi i nepromjenjivi)

b. Nepobueni (vremenski promjenjivi i nepromjenjivi)

2.

Eksplicitni (vremenski promjenjivi i nepromjenjivi)

BLOK DIJAGRAM:

t vrijeme

t0 poetni trenutak

1,2, g f-je realnih vrijednostix10, x20 poetni uvjeti

x1, x2 varijable stanja


6/25

RJEAVANJE:


7/25


8/25

u(k) y(k)

5. Vremenski diskretni sustav prvog reda (formulacija jednadbi, blok dijagram, stanje

ravnotee, stabilnost)


( + 1) = ((), (), )() = ((), (), )

BLOK DIJAGRAM:

f, g - funkcijski blokovi

STANJE RAVNOTEE:

Stanje ravnotee je stanje sustava u kojem sustav moe ostati neodreeno dugo.

Stanje ravnotee xe moe biti:

stabilno ako se sustav iz bilo kojeg stanja x0vraa u stanje ravnotee xe

nestabilno ako se sustav iz stanja ravnotee xeudaljuje na najmanji mogui poremeaj

polustabilno ako se sustav iz nekih stanja x0vraa, a iz nekih ne u stanje ravnotee xe

STABILNOST:

Diskretni sustav moe biti:

Stabilan svi polovi se nalaze unutar jedinine krunice

Na granici stabilnosti svi polovi se nalaze na jedininoj krunici

Nestabilan barem jedan pol se nalazi izvan jedinine krunice

x(k) stanje

u(k) ulaz (pobuda)

y(k) izlaz (odziv)

k korak

f, g funkcije

f E-1 g


9/25

6. Vremenski diskretni sustav drugog i vieg reda - model s ulazno-izlaznim varijablama ( formulacija

jednadbi, klasifikacija, blok dijagram, rjeavanje [rijeiti i komentirati primjer koji mora odgovarati zadanom

modelu]).


Sustav drugog reda:( + 2) =(( + 1), (), ( + 2), ( + 1),())ili

() =(( 1), ( 2), (), ( 1),(2)) Sustav n-tog reda (m n):

( + ) = (( + 1), , (),( + ),( + 1), ,())ili

() = (( 1), ( 2), , ( ), (), ( 1), ( 2), , ( ))

KLASIFIKACIJA:

1. Linearni

a.

Vremenski promjenjivi

()( + ) + + ()( + 1) + ()()= ()( + ) + + ()( + 1) + ()()

an, bn, y i u su diskretne funkcije

b.

Vremenski nepromjenjivi( + ) + + ( + 1) + () = ( + ) + + ( + 1) + ()y i u su diskretne funkcije, a an i bn konstante

2.

Nelinearni

BLOK DIJAGRAM:

Sustav drugog reda:

Sustav n-tog reda:

f, g, h - funkcijski blokovi

u(k) ulaz (pobuda)

y(k) izlaz (odziv)

k korak

f funkcija


10/25

RJEAVANJE:

Primjer: rijeiti jednadbu diferencija

[] 4[ 2] =[] (1)[] =(1)

uz poetne uvjete [0] = 0, [1] = 0.

1. Homogeno rjeenje

Iz poetne jednadbe diferencija (1) uz [] = 0dobije se homogena jednadba diferencija:[] 4[ 2] = 0

Treba uvrstiti supstituciju [] = u homogenu jednadbu diferencija: 4 = 0

( 4) = 0ne moe biti jednak nuli, stoga je umnoak jednak nuli tek kada je polinom unutar zagrada

jednak nuli. Dobije se karakteristini polinom jednadbe diferencija s dva korijena, i : 4 = 0

Polovi i su 2i 2pa je homogeno rjeenje:[] = (2) + (2)

2. Partikularno rjeenje

Na temelju pobude [] =(1)pretpostavlja se partikularno rjeenje te se odreuje konstanta.[] = (1)[ 2] =(1) =(1)(1) = (1)Uvrstimo dobivene izraze u poetnu jednadbu diferencija (1):

(1) 4(1) = (1)

3 = 1

= 13Partikularno rjeenje:

[] = 13 (1)

3. Ukupno rjeenje

Ukupno rjeenje je zbroj homogenog i partikularnog rjeenja:

[] = [] + []

[] = (2) + (2) 13 (1)Iz poetnih uvjeta[0] = 0, [1] = 0odreujemo konstante i :

[0] = 0 + = 0[1] = 0 2 + 2 + = 0

Rjeavanjem sustava od dvije jednadbe sa dvije nepoznanice dobivamo:

(1) + = 0 = (2)

(2) 2 + 2 + 1

3= 0


11/25

2 13 + 2 +13 = 0

23 + 2 + 2 +13 = 0

4 = 1

3/: 4

= 112

= 13 1

12 =14

= , =

Prema tome, ukupno rjeenje jednadbe diferencija je:

[] = 1

4(2) + 1

12(2) 1

3(1)


12/25

7. Vremenski diskretni sustav drugog i vieg reda - model s varijablama stanja ( formulacija jednadbi,

klasifikacija, blok dijagram, rjeavanje [rijeiti i komentirati primjer koji mora odgovarati zadanom modelu]).


( + 1) = [(), ()]() = [(), ()](0) =

KLASIFIKACIJA:

1. Implicitni:

a. Pobueni

b. Nepobueni

2.

Eksplicitni

BLOK DIJAGRAM:

,


13/25

RJEAVANJE:


14/25


15/25


16/25

8. Superpozicijski integral i sumacija (definicija, svojstva, primjena).

DEFINICIJA:

Superpozicijski integral (za vremenski kontinuirane sustave):

() = ()(, )

Superpozicijska sumacija (za vremenski diskretne sustave):

() = ()(,)

SVOJSTVA:

Sustav s jednim ulazom i jednim izlazom (y=F(x)) je linearan ako vrijedi:

uvjet homogenosti: () =()

uvjet aditivnosti: ( + ) = () +()Uvjet homogenosti i uvjet aditivnosti zajedno daju princip superpozicije:( + ) = () +().Princip superpozicije je nuan i dovoljan uvjet linearnosti sustava.

PRIMJENA:

Analiza vremenski promjenjivih sustava.

(, )- odziv zakanjele

-funkcije (t-)u() funkcija pobude


17/25

9. Konvolucijski integral i sumacija (definicija, svojstva, primjena).

DEFINICIJA:

Konvolucija je operacija preslikavanja funkcije (u funkcija pobude) u funkciju (y funkcija odziva).

Konvolucijski integral (za vremenski kontinuirane sustave):

() = ()( ) = ()( )

Konvolucijska sumacija (za vremenski diskretne sustave):

() = ()( ) = ()( )

SVOJSTVA:

Pretpostavka: signali u, z, hdefinirani na cijeloj vremenskoj osi (-,+)

Komutativnost

=

Asocijativnost ( ) = ( ) Distributivnost ( + ) = + Multiplikacija s konstantom ( ) = () = ( ) Diferenciranje ( ) = =

PRIMJENA:

Analiza vremenski nepromjenjivih sustava.


18/25

10.Laplaceova transformacija (definicija, svojstva, primjena).

DEFINICIJA:

Jednostrana Laplaceova transformacija:

() = ()

Inverzna Laplaceova transformacija:

() = 12 ()

SVOJSTVA:

Linearnost {() + ()} = () +() Vremenski pomak

{( )} =()

Frekvencijski pomak {()} = ( ) Konvolucija u vremenu {() ()} = ()() Frekvencijska konvolucija {()()} = () () Derivacija u vremenu () = () (0) Frekvencijska derivacija {()} = ()

PRIMJENA:

Analiza i obrada kontinuiranih signala i sustava, te svoenje rjeavanja linearnih diferencijalnih

jednadbi na rjeavanje algebarskih jednadbi prelaskom iz vremenske (t) domene u frekvencijsku (s)

domenu.


19/25

11. Z-transfomacija (definicija, inverzna Z-transformacija, svojstva, primjena).

DEFINICIJA:

Z-transformacija je operatorski postupak pogodan za rjeavanje jednadbi diferencija. Njome se

transformira niz brojeva u funkciju kompleksne varijable z.

() = ()

={()}

INVERZNA Z-TRANSFORMACIJA:

() = 12 ()

SVOJSTVA:

Linearnost

{() + ()} = () +()

Pomak unaprijed za n koraka {( + )} = () () Pomak unazad za n koraka {( )} = () + () Konvolucijska sumacija kauzalnih nizova { } = ()() Multiplikacija s () = () {()} = () Multiplikacija s () = () () = ()( ) Multiplikacija s k {()} = ()

Multiplikacija s {()} =( )()

PRIMJENA:

Koristi se za lake rjeavanje jednadbe diferencija i za prijelaz u z domenu.


20/25

12.Fourierov red (definicija, spektar, svojstva [nije dovoljno samo navesti nazive svojstava],

primjena).

DEFINICIJA:

() = ()

()= 1 ()

/

/

() , = 2

SPEKTAR:

Spektar je diskretan i aperiodian jer je signal kontinuiran i periodian.

SVOJSTVA:

Svojstva Vremenska domena Frekvencijska domena

Linearnost ()+() () + ()Vremenska inverzija () ()Vremenski pomak (+) ()

Frekvencijski pomak () ( + )Konvolucija u

vremenskoj domeni() () ()()

Konvolucija ufrekvencijskoj domeni

()() () ()Parsevalova jednakost

= 1 |()|/

/ = |()|

PRIMJENA:

Analiza i obrada signala i sustava u frekvencijskoj domeni.


21/25

13.Vremenski diskretni Fourierov red (definicija, spektar, svojstva [nije dovoljno samo navesti

nazive svojstava], primjena).

DEFINICIJA:

() = ()

()= 1 ()

() [] , = 2

SPEKTAR:

Spektar je diskretan i periodian jer je signal diskretan i periodian.

SVOJSTVA:Svojstva Vremenska domena Frekvencijska domena

Linearnost ()+() () + ()Vremenska inverzija () ()Vremenski pomak (+) ()




()() () ()Parsevalova jednakost

= 1 |()|

= ()

PRIMJENA:



22/25

14.Fourierova transformacija (definicija, spektar, svojstva [nije dovoljno samo navesti nazive

svojstava], primjena).

DEFINICIJA:

() = 12 ()

() = ()

SPEKTAR:

Spektar je kontinuiran i aperiodian jer je signal kontinuiran i aperiodian.

SVOJSTVA:


Linearnost ()+() () + ()Vremenska inverzija () ()Vremenski pomak ( +) () Frekvencijski pomak () ( + )

Konvolucija uvremenskoj domeni

() () ()()Konvolucija u

frekvencijskoj domeni()() () ()

Parsevalova jednakost = |()|

= 12 |()|

PRIMJENA:



23/25

15.Vremenski diskretna Fourierova transformacija (definicija, spektar, svojstva [nije dovoljno

samo navesti nazive svojstava], primjena).

DEFINICIJA:

() = 12 ( )

( ) = ()

2

SPEKTAR:

Spektar je kontinuiran i periodian jer je signal diskretan i aperiodian.

SVOJSTVA:


Linearnost ()+() () + ()Vremenska inverzija () ()Vremenski pomak ( +)




()() ()Parsevalova jednakost

= |()|

=1

2

PRIMJENA:



24/25


25/25

16. Ekvivalencija vremenski kontinuiranih i diskretnih signala (otipkavanje, obnavljanje,

aliasing).

OTIPKAVANJE:

Postupak uzimanja uzorka ili tipkanja kontinuiranog signala f moemo matematiki modelirati kao

pridruivane funkciji f niza impulsa f*, iji intenzitet je proporcionalan trenutnim vrijednostimakontinuiranog signala.

() = {()}

() = ()(

OBNAVLJANJE:

Diskretni se signal moe smatrati ekvivalentnim kontinuiranom samo ako je mogue rekonstruirati

izvorni signal f iz otipkanog f*, odnosno ako se iz spektra F* moe dobiti originalni F. Postupakrekonstrukcije pretpostavlja izdvajanje osnovne sekcije spektra filtriranjem. To e biti mogue nainiti

bez pogreke samo ako je spektar F ogranien na , te ako je frekvencija otipkavanja 2.

ALIASING:

Fenomen gdje visokofrekvencijske komponente poprime identitet (alias) nie frekvencije. Predstavlja

preklapanje sekcija spektra. Ako je funkcijaftakva da je njeno trajanje 2tg> t0nastupit e preklapanje

(aliasing) u vremenu. Pri otipkavanju signala moe doi do ponavljanja spektra s p= 0(aliasing u

FD), a pri otipkavanju spektra ponavljanje signala s Tp= t0(aliasing u VD).

sis - odgovori na temeljna pitanja

Documents