Presentacin de PowerPoint

MTODOS NUMRICOS Sistemas de ecuaciones no lineales por el mtodo de newton raphson.INTEGRANTES:NNNNKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKBAEZ JIMENEZ JOSE ARTURO

BELLO SANCHEZ ERICK

MARCIAL NOYOLA MIGUEL 11MTODO DE NEWTON RAPHSON EN SISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALESConsiste en elegir las coordenadas de un punto (x1, y1) como aproximacin del punto de interseccin de las funciones u(x, y) y v(x,y) que hacen que stas se anulen.2MTODO DE NEWTON RAPHSON EN SISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALESu(x, y)v(x, y)xy

x1y13MTODO DE NEWTON RAPHSON EN SISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALESConsiste en elegir las coordenadas de un punto (x1, y1) como aproximacin del punto de interseccin de las funciones u(x, y) y v(x,y) que hacen que stas se anulen.Obtener los valores de las funciones u(x, y), v(x, y) valuadas con las coordenadas (x1, y1) y localizar los cuatro puntos u(x1, y), v(x1, y), u(x, y1) y v(x, y1).4MTODO DE NEWTON RAPHSON EN SISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALESu(x, y)v(x, y)xy

x1y1v(x, y1)v(x1, y)u(x, y1)u(x1, y)5MTODO DE NEWTON RAPHSON EN SISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALESConsiste en elegir las coordenadas de un punto (x1, y1) como aproximacin del punto de interseccin de las funciones u(x, y) y v(x,y) que hacen que stas se anulen.Obtener los valores de las funciones u(x, y), v(x, y) valuadas con las coordenadas (x1, y1) y localizar los cuatro puntos u(x1, y), v(x1, y), u(x, y1) y v(x, y1).Trazar una recta tangente paralela a la secante que une los puntos u(x1, y) y u(x, y1) y otra tangente paralela a la secante que une los puntos v(x1, y) y v(x, y1)6MTODO DE NEWTON RAPHSON EN SISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALESu(x, y)v(x, y)xy

x1y1v(x, y1)v(x1, y)u(x, y1)u(x1, y)77MTODO DE NEWTON RAPHSON EN SISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALESConsiste en elegir las coordenadas de un punto (x1, y1) como aproximacin del punto de interseccin de las funciones u(x, y) y v(x,y) que hacen que stas se anulen.Obtener los valores de las funciones u(x, y), v(x, y) valuadas con las coordenadas (x1, y1) y localizar los cuatro puntos u(x1, y), v(x1, y), u(x, y1) y v(x, y1).Trazar una recta tangente paralela a la secante que une los puntos u(x1, y) y u(x, y1) y otra tangente paralela a la secante que une los puntos v(x1, y) y v(x, y1)El punto de interseccin de estas dos tangentes constituye una segunda aproximacin (x2, y2) del punto de interseccin de las dos funciones8MTODO DE NEWTON RAPHSON EN SISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALESu(x, y)v(x, y)xy

x1y1x2y29MTODO DE NEWTON RAPHSON EN SISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALESConsiste en elegir las coordenadas de un punto (x1, y1) como aproximacin del punto de interseccin de las funciones u(x, y) y v(x,y) que hacen que stas se anulen.Obtener los valores de las funciones u(x, y), v(x, y) valuadas con las coordenadas (x1, y1) y localizar los cuatro puntos u(x1, y), v(x1, y), u(x, y1) y v(x, y1).Trazar una recta tangente paralela a la secante que une los puntos u(x1, y) y u(x, y1) y otra tangente paralela a la secante que une los puntos v(x1, y) y v(x, y1)El punto de interseccin de estas dos tangentes constituye una segunda aproximacin (x2, y2) del punto de interseccin de las dos funcionesEl proceso se repite n veces hasta que las coordenadas del punto de interseccin (xn, yn) coincida prcticamente con el valor exacto de la interseccin entre las dos curvas.10MTODO DE NEWTON RAPHSON EN SISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALESu(x, y)v(x, y)xy

x1y1x2y211MTODO DE NEWTON RAPHSON EN SISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALESEste procedimiento corresponde, analticamente, a extender el uso de la derivada, ahora para calcular la interseccin entre dos funciones no lineales.Al igual que para una sola ecuacin, el clculo se basa en la expansin de la serie de Taylor de primer orden, ahora de mltiples variables, para considerar la contribucin de ms de una variable independiente en la determinacin de la raz.Para dos variables, la serie de Taylor de primer orden se escribe, para cada ecuacin no lineal:

12MTODO DE NEWTON RAPHSON EN SISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALESPero ui+1 = vi+1 = 0 :

Que reescribiendo en el orden conveniente:

13Solucion del sistema por determinantes

14MTODO DE NEWTON RAPHSON EN SISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALESLa solucin del sistema es:

Donde J es el determinante jacobiano del sistema

15Ejemplo 1:Calcule las races con xi=1.5,yi=3.5

ITERACION 116iteracinxiyiuiviui/xui/yvi/xvi/yJacobiano11.53.5-2.51.6256.51.536.7532.5156.12522.03602.8438x2 + xy - 10 = 0y + 3xy2 - 57 = 0xi = 2.0360yi = 2.8438Tabla iteracin 117

ITERACION 218iteracinxiyiuiviui/xui/yvi/xvi/yJacobiano11.53.5-2.51.6256.51.536.7532.5156.12522.03602.8438-0.0647-4.75966.91582.036024.261635.7399197.7731.99873.0023x2 + xy - 10 = 0y + 3xy2 - 57 = 0xi = 1.9987yi = 3.0023Tabla iteracin 219

ITERACION 320

ITERACION 4Tabla de iteraciones y grfica de la solucioniteracinxiyiuiviui/xui/yvi/xvi/yJacobiano11.53.5-2.51.6256.51.536.7532.5156.12522.03602.8438-0.0647-4.75966.91582.036024.261635.7399197.7731.99873.0023-0.00450.04996.99971.998727.041437.0042204.970742.00003.000000x2 + xy - 10 = 0y + 3xy2 - 57 = 0El proceso se para debido a que los valores de ui y de vi son cero, lo cual indica que se ha llegado a la raz.21

Ejemplo 2:Calcule las races de

ITERACION 1

22ITERACION 2

23ITERACION 3

24Iteracin 4

iteracinxiyiuiviui/xui/yvi/xvi/yJacobiano123.50,25-0,25-4-7412422,06253,5--0,5039--0,0039-4,125-73,87512332,08563,4144-0,0079-0,0079-4,1712-6,82883,82881,171221,260842,088573,41140,00020,0000

25Ejemplo 3:Calcule las races aproximadas con tres iteraciones

ITERACION 1

26ITERACION 2

27ITERACION 3

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iteracinxiYiuiViui/xui/yvi/xvi/yJacobiano11.41.4.26.362.8-1-12.86.8421.21461.2409.0343.02522.4292-1-12.48185.028731.19271.2220.0025.00062.3854-1-12.44402.428941.19141.2212-0.0017-0.00007

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