solucionario libro matemática

Capitulo 1.-

Ejercicios propuestos:

1. Dado el conjunto A={1,{2},3,{1,2}}. ¿cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas?

Afirmaciones Resultado

-1∈A Falsa

2∈A Falsa

{1,2} ∈A Verdadero

{1} ∉A Verdadero

3∉A Verdadero

{3}∉A Falsa

{1} ∈A Falsa

2. Escriba por extensión y por comprensión los siguientes conjuntos:

Conjunto Extensión Compresión

Las letras vocales A={a,e,i,o,u} A={x∈ vocales}

Los números naturales impares menores de 11

B={1,3,5,7,9} B={x∈# impares <11}

Los números naturales mayores que 5 y menores que 13

C={6,7,8,9,10,11,12} C={x∈# N>5<13}

Los números naturales múltiplos de 6 y menores que 50

D={6,12,18,24,30,36,42,48} D={x∈# N múltiplos de 6<50}

3. Utilice el método de comprensión para describir los conjuntos cuyos elementos se enumeran:

Conjuntos Comprensión

a) A={4,6,8,10,12,14}; A={x∈# pares del 4 al 14}

b) B={1,4,9,16,25}; B={x∈b/1+(2+1)}1

c) C={49,42,35,28,21,14}; C={x∈c/# del 49 al 14 incluidos restando 7}

d) D={1/2,1/5,1/10,1/17,1/26}; D={1/(x2+1):x∈N y x≥1 y x≤5}

e) E={10000,100,10,1000}. E={10n∈N: n≥1 y n≤4}

4. Dados los conjuntos A={{1},2} y B={{1},2,{1,1}}, diga cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas .

Conjuntos Respuesta

1∈A; Falsa

{1} ⊆A; Falsa

{1} ∈A; Verdadero

2∈A; Verdadero

A=B; Verdadero

B⊆A; Verdadero

B⊂A; Falso

∅⊂A. Verdadero

5. Dadas las siguientes notaciones: a∈A, a∉A, C⊂D, ∅⊂A ,F⊃ E, A=B, A∪B=C, A∩B=D, A\B=E.Dé un ejemplo que ilustre cada notación.

Notaciones Ejemplo

a∈A a={1,2,3} A={1,2,3,4,5} a∈A

a∉A a={b,c,d} A={x,y,z,w} a∉A

C⊂D C={2,4,6} D={8,10,1,2,4,6} C⊂D

∅⊂A A={{∅},(4)(2)} ∅⊂A

F⊃ E E={5,2,3} F={1,2,3,4,5} F⊃ E

A=B A={m,n,o,p} B={m,n,o,p} A=B

A∪B=C A={?,γ,ϕ,α} B={θ,ϐ,γ} = C={?,γ,ϕ,α, θ,ϐ} A∪B=C

2

A∩B=D A={1,2,3,4} B={2,4,6,8} = D={2,4} A∩B=D

A\B=E E={3,2} A={1,0,5,6} B={1,2,3,0,5,6} A\B=E

6. ¿Cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas y por qué?

Afirmaciones Justificaciòn

{a,b}⊂{a,b,c,d}; Si por que los elementos a,b son elementos de un conjunto formado por a,b,c por lo tanto {a,b,c}⊂{a,b,c,d} es verdad.

{{d}}⊂{a,b,d,c}; Es falso porque el primer conjunto tiene como elemento al conjunto{d} y este no puede ser subconjunto de {a,b,d,e} ya que solo se encuentra el elemento d, no al conjunto{d}.

{a,{b}}⊂{a,b,d,c}; Es falso porque el primer conjunto contiene al elemento a y al conjunto{b} y este no puede ser subconjunto del conjunto{a,b,d,c}.

7. Dados los conjuntos A={4,6,8,10,12}, B={3,5,7,8,10,11}, C={4,7,5,10,11} y U={x∈N:2<x<13}. Halle:a) A∪B;

A∪B={3,4,5,6,7,8,9,10,12}b) (A∩B)∪C;

(A∩B)={8}(A∩B)∪C={4,5,7,8,10,11}

c) (A\B)∩(C\B);(A\B)={4,6,10,12}(C\B)={4,10,11}(A\B)∩(C\B)={4,10}

d) (A\C)c\Bc;(A\C)={6,8,12}U={12,11,10,9,8,7,6,5,4,3}Bc={4,6,10,11,12}(A\C)c={3,4,5,7,9,10,11}(A\C)c\Bc={6,12}

e) [(A∪B)c∩(C\B)]c.U={3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}(C\B)={4,10,11} (A∪B)c={11,12}(A∪B)c∩(C\B)={11}[(A∪B)c∩(C\B)]c={3,4,5,6,7,8,9,10,12}

8. En un círculo está inscrito un cuadrado. Sea A el conjunto de puntos del círculo dado y B el conjunto de los puntos del cuadrado. Halle:

3

a) A∪B; b) A∩B=B;

c) A\B=A∩Bc; d) B\A=∅;

e) Ac=∅; f) Bc=A\B;

AΔB=(A∪B)∩((A∩B)c= AΔB.

9. Mediante utilización del diagrama de venn, determine por medio de un rayado los siguientes conjuntos:

a) (A∩B)∪C; c) (A∩Bc)∪(C∩B);

4

b) (A∩B∩C)c∩(A∩C);d) (A∪B)\C;

e) (B\C)∪A; f) (B\C)Δ(B∩A);

g) (B∪A)Δ(C∩A); h) [(A\B)c∩C]c;

i) [(A∩Bc)c∪(Cc∪A)]c; j) Cc∩( AΔB);

k) [(A∪B)ΔC]c∪A; l) (Cc\B)Δ(Ac∪Cc).

5

10. ={x∈Z:-5<x<5}, A={x∈Z:x≥1} y B={x∈Z:x<2}. Realice los diagramas de ven de:

a) Ac∩Bc;U={-4, -3, -2, -1, 0,1,2,3,4}A={1,2,3,4}B={1,0,-1, -2, -3, -4}Ac∩Bc={-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4}

b) Ac\B;Ac\B={-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4}

a) (A∩B)c;(A∩B)c={-4,-3,-2,-1,2,3,4}

a) (Bc\Ac)c.(Bc\Ac)c={-1,-2,-3,-4}

11. Sea n U={x∈Z:-6≤x<9}, A={x∈Z:x≤0 o x>2} y B={x∈Z:x>3 y x<5}. Realice los diagramas de ven de:

a) A∪B;U={-6,-5,-4,-3,-2,-

1,0,1,2,3,4,5,6,7,8}A={-6,-5,-4,-3,-2,-

1,0,3,4,5,6,7,8}B={-6,-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2}A∪B={-6,-5,-4,-3,-2,-

1,0,1,2,3,4,5,6,7,8}

b) Ac\Bc;Ac\Bc={1,2}

c) (A∪B)c;d) (Ac∩B)\A.

(Ac∩B)\A={1,2}

6

(A∪B)c=∅

12. Se dan los siguientes conjuntos: U={x∈Z:-2≤x<6}, A={x∈Z:-1≤x<2}, B={x∈Z:1≤x<3 o x=4} y C={x∈Z:x≤-1 o x>2}. Determine el diagrama de ven de:

U={-2,-1,0,1,2,3,4,5}A={-1,0,1}B={1,2,4}C={-2,-1,3,4,5}

(Ac\B)∩(CΔA);(Ac\B)∩(CΔA)={1,4}

A∩(B\Cc);A∩(B\Cc)= ∅

(Cc∩B)∪(B\A);(Cc∩B)∪(B\A)={2}

(B∪C)Δ(Ac\C).(B∪C)Δ(Ac\C)={4}

13. SeanA={-4,-3,-2,-1,0,1,2,3},B={{4,3,2,1,0,-1,-2},C={-4,-3,…,3,4}.

Halle los conjuntos:

7

Condicion Conjunto

a) A∪B; A∪B={-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4}

b) A∩B; A∩B={-2,-1,0,1,2,3}

c) C∩A; C∩A={-4,-3,-2,-1,0,1,2,3}

d) A\C; A\C=∅e) C\A; C\A={4}

f) B∪C. B∪C={-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4}

14. Dados los conjuntos:A={x2:x∈N y x es menor que 5},B={x+1:x∈N y x2-3x=0},U=A∪B.Encuentre:

A=(1)2=1 (2)2=4 (3)2=9 (4)2=16A={1,4,9,16}B={4}

Datos Conjunto

a) A∪B; A∪B={1,4,9,16}

b) A∩Bc; A∩Bc={1,9,16}

c) Ac\B; Ac\B={}

d) AxB. AxB={(1,4),(4,4);(9,4);(16,4)}

15. Dados los conjuntos U={x:x∈R,-6≤x<8}, A={x:x∈R,(x≤0 o x>2)} y B={ x:x∈R,x>3 y <<5}. Determine:

U={-6, -5, -3, -2, -1, 0,1,2,3,4,5,6,7}A={-6, -5, -3, -2, -1, 0,3,4,5,6,7}

Datos Conjunto

a) A∪B; {-6,-5,-3,-2,-1,0,1,2,3,5,6,7}

b) Ac\Bc; {1,2}

8

c) (A∪B)c; {1,2}

d) (Ac∩B)\A {}

16. Si A={x:x∈R, x≥1}, B={x:x∈R, x<2} y U={x:x∈R, -2<x<3}, determine:U={-3,-4,-5,-6,2,1,0}A={1,2,3,4,5,6}B={1,0,-1,-2,-3,-4}

Datos Conjunto

a) Ac∩Bc; Ac∩Bc={-5,-6}

b) Ac\B; Ac\B={-5,-6,1,-1,-2,-3,-4}

c) (A∩B)c; (A∩B)c={-3,-4,-5,-6,2,0}

d) (Bc\Ac)c. (Bc\Ac)c={-5,-4,-3,1,0}

17. Determine los conjuntos A,B y D que cumplen las siguientes condiciones:a) D⊂A∪B y A∩B⊂D;b) AΔD={3,4};c) (A∪B)ΔD={3,5,6};d) (A∩D)Δ(B∩D)={1,2,4};e) A∩B∩D={0}.

A={0,1,2,3}B={0,4,5,6}C={0,1,2,4}18. Dados los conjuntos A={1,2,3} y B={2,6}, C={2,5,6} y U={1,2,3,4,5,6,7,8}. Encuentre

los conjuntos solicitados:

Conjuntos

a) (Ac∪Bc)∩(Ac∩B)c;=[(4,5,6,7,8)∪(1,3,4,5,7,8)]∩[(4,5,6,7,8)∩(1,3,4,5,7,8)]={4,5,7,8}

b) (A∪B)c\C;=[(1,2,3)∪(2,6)]c\(5,6)={4,7,8}

c) (AΔC)c;=[(1,3)∪(5,6)]c

9

={2,4,7,8}

d) Cc∩C;=(1,3,4,7,8)∩(2,5,6)={}

e) (A∪B)\(BΔC);=(1,2,3,6)\( ∅∪(5))={1,2,3,6}

f) [(A∩C)ΔB]c.=[2Δ(2,6)]c

=[∅∪(6)]c

={1,2,3,4,5,7,8}

19. Para los conjuntos A,B yC del ejercicio anterior, escriba su conjunto potencia. ¿Cuántos elementos tiene el conjunto P(U)?A={1,2,3} 23=8P(A)={{},{1,2}.{1,3},{2,3},{1},{2},{3},{1,2,3}}B={2,6} 22=4P(B)={{},{2,6},{2},{6}}C={2,5,6} 23=8P(B)={{},{2,5},{2,6},{5,6},{2,5,6},{2},{5},{6}}P(U) tiene 256 elementos (28 = 256)

20. Dado A un conjunto con 6 elementos. ¿Cuántos elementos tiene P(A)?A={a,b,c,d,e,f}P(A)= 26

P(A)=6421. Si B={2,4}, determine P(B).

P(B)={{},{2,4},{2},{4}}22. Determine P(P(∅)) y P(P(P(∅))).

P(P)={{},P}P(P(P))=P(P{{},P})P({},P)=P{{},{},{P},{{},P})

23. Sea M el conjunto de todos los valores de la expresión 5-2ª para a=1,2,3. Escriba todos los subconjuntos de M.Sea A={1,2,3}a→2af1(1)=5-2(1)=3f2(2)=5-2(2)=1f3(3)=5-2(3)=-1M={3,1,-1}

24. Sea P el conjunto de todos los valores de la expresión 3+a2 para a=-2,-1,0,1. Escriba todos los subconjuntos de P.3-5=-2; 3-1=2; 3=3; 3+1=4; P={-2,2,3,4}P={{},{-2},{2},{3},{4},{-2,2},{-2,3},{-2,4},{2,3},{2,4},{3,4},{-2,2,3},{-2,3,4},{-2,2,4},{2,3,4},{-2,2,3,4}}

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25. Si U es un conjunto universo, determine cuál de las siguientes proposiciones son incorrectas y corríjalas:

B∩∅=B; B∩∅=∅(A∪B)∪Ac=U; V

(Dc)c∩Dc=U\D; D∩Dc=∅(A\D)c=Ac\D. (A∩Dc)c= Ac\D

26. Determine A yB si se conoce que A∪B={a,b,d,e}, A∩B={b,d} y B\A={e}.

A = {a, b ,d}B={e, b ,d}27. Consideremos 3 conjuntos, A,B yC, tales que A⊂C, B⊂C, n(C)=120, n(A∪B)=90,

n(A∩B)=30 y n(A)=n(B)+30. Halle:

a) n[(C\B)∩A];=[(120-30)∩C]=90

b) n[(A∪B)\(A∩B)].=[90-30]=60

28. De un grupo de 240 personas, 90 no estudian ni trabajan; 60 estudian; 18 estudian y trabajan. ¿Cuántas personas solamente trabajan?

A∩B=18U=240A=60-(A∩B)A=42A+B+(A∩B)+90=24042+B+18+90=240B=90

29. En una encuesta realizada a 180 ahorristas sobre el destino de sus futuros préstamos se verificó que 120 se comprarían una vivienda y 90 se comprarían un automóvil. ¿Cuántos comprarán las dos cosas?

A=120 , B=90 , U-A=60 , U-B=90A∩B=U-(60+90)A∩B=30

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30. Suponga que una persona toma café o jugo en el desayuno cada mañana del mes de octubre. Si toma café durante 25 mañanas y toma jugo durante 18 mañanas. ¿Cuántas mañanas toma solamente jugo?

U-A=6U-B=13A∩B=U-(6+13)A∩B=12A=25B=18U=31 R: 13 mañanas toma solo jugo

31. En un colegio, 48 alumnos que reprueban el curso por física, 25 por matemáticas y 30 por inglés. Si el total de alumnos repetidores es 68 y de ellos hay 6 que reprueban las 3 materias, encuentre:a) ¿Cuántos repiten exactamente una materia?;b) ¿Cuántos repiten exactamente 2 materias?.

A+b+a=42B+b+c=19C+c+a=242a+2b+2c+A+B+C+85a+b+c+A+B+C+6=62A+B+C=62-a-b-c2a+2b+2c-62-a-b-c=85A+b+c=23 repiten 2 materias23+A+B+C+6=68A+B+C=39 repiten solo una

32. De los 78 socios de un club, 50 juegan fútbol, 32 básquet y 23 volley. Además, 6 practican los 3 deportes y 10 no practican ninguno. Halle:a) El número de personas que practican exactamente dos deportes;b) El número de personas que practican exactamente un deporte.

U=78A=50B=32C=23A+a+b=44B+b+c=26C+a+c=17A+B+C+2a+2b+2c=87A+B+C+a+b+c+16=78-2a-2b-2c+87+16=78A+b+c=25 los 2 deportesA+B+C=37 solo uno

33. De 120 personas de una universidad se obtuvo la siguiente información: 72 alumnos estudian Matemática; 64 alumnos estudian Biología; 36 alumnos estudian computación; 12 alumnos estudian las tres materias.

12

¿Cuántos alumnos estudian exclusivamente dos materias?

A=72

B=64

C=36

A∩B∩C=12

U=120

A+a+b=60

B+b+c=52

C+a+c=24

A+B+C+2a+2b+2c=136

A+B+C+a+b+c+12=120

-2a-2b-2c+36+a+b+c+12=120

A + b + c=28 practican 2 materias34. En el ensamblaje de autos han resultado 120 con fallas de embrague, dirección o

frenos. Sabiendo que a 68 les falta por lo menos el embrague, a 32 por lo menos les falta la dirección, a 40 les falla solamente el embrague, 5 tienen fallas en el embrague y la dirección pero no en los frenos, 17 tienen fallas en la dirección y los frenos pero no en el embrague. Además, ningún auto presenta conjuntamente las tres fallas.a) ¿A cuántos les falla solamente los frenos?;b) ¿A cuántos les falla al menos los frenos?

U=120A=68B=32C=4068=40+5+xX=2332=n[n\(A∪B)]+5+0+17n[n\(A∪B)]=10120=4+5+10+0+23+17+n[C\(A∪B)]n[C\(A∪B)]=2523+0+17+25=n(C)N(C)=65

35. En una encuesta realizada a 63 personas sobre el uso de dentífrico se obtuvo la siguiente información: 10 usan solo de la marca A, 15 solo utilizan la marca B, 12 solo usan de la marca C, 8 usan las marcas A y B, 5 usan las marcas B y C, 15 usan las marcas A y C. ¿Cuántos usan las tres marcas?

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U=63A=10xB=15MC=12z(A∪B∪C)=A+B+C-(8+5+15+(A∩B∩C))63=33+x+28+x+32+x-28-x63=654-2x-2=-2xX=1

36. De 150 personas consultados sobre el deporte que practican, manifestaron lo siguiente: 82 juegan fútbol, 54 juegan básquet, 50 solo juegan fútbol, 30 solo juegan básquet. Además, el número de quienes juegan solo básquet y tenis es la mitad de las que juegan solo fútbol y tenis; el número de personas que juegan solo fútbol y básquet es el triple de las que juegan los tres deportes; las personas que no practican ningún deporte son tantos como las que solo practican tenis. Halle el número de personas que:a) Solo practican dos deportes;b) No practican ninguno de los tres deportes.

50+30+z+3y+x+x/2 + y + z =1502z+4y+3x/2 =7050+3y+x=82 4y+x=3230+3y+y+ x/2 =54 4y+ x/2=24x/2 = 8x=164y+16=324Y=16Y=42z+4(4)+3(16)/2 =702z=70-16-242z=30Z=1516+12+8=36

37. En una investigación realizada a 370 personas, sobre el tipo de películas que ellas prefieren, se determinó que: a 20 solamente les gusta las de acción, a 40 solamente les gusta las de terror y las cómicas, a 10 solo les gusta las de acción y las de terror. El número de personas que prefieren las de los tres tipos son: el doble de las personas que solo les gusta las películas de terror y es 8 veces mayor que las que solamente les gusta las películas de acción y las cómicas. Halle el número de personas que les gusta:a) Solamente las películas de terror;b) Solamente las películas cómicas.

n(C∪A∪B)=n(U)-n(C)-n(A∩B)-n(C∩A)=370-20-40-10=3002n(A)=80n(C∩A∩B)=2n(A)=2(80)

14

=160n(A)=80n(C)=370-n(C)-n(A)-n(C∩A)-n(A∩B)-n(C∩B)-n(C∩A∩B)n(C)=370-20-80-10-40-20-160n(C)=40

38. De un grupo de 90 personas se conoce lo siguiente: 8 hombres tienen 20 años, 22 hombres no tienen 19 años, 34 hombres no tienen 20 años y 26 mujeres no tienen ni 19 ni 20 años. ¿Cuántas mujeres tienen 19 o 20 años?

Hombres8=20 años22=no 19 años34=no 20 años26=19 y 20 añosMujeres22= 19 años34= 20 años26= no 19 y 20 añosMujeres= 34+22=56Hombres=26+8=3456-34=22 mujeres de 19 o 20 años

39. Realice el producto cartesiano AxB si:a) A={a,b,c} y B={d,e,f};

AxB={(a,d),(a,e),(a,f),(b,d),(b,e),(b,f),(c,d),(c,e),(c,f)}

b) A={4,6,8} y B={1,3,5,12};

AxB={(4,1),(4,3),(4,5),(4,12),(6,1),(6,3),(6,5),(6,12),(8,1),(8,3),(8,5),(8,12)}

c) A={2,3,5,8} y B={8,5,3,2};

AxB={(2,8),(2,5),(2,3),(2,2),(3,8),(3,5),(3,3),(3,2),(5,8),(5,5),(5,3),(5,2),(8,8),(8,5),(8,3),(8,2)}

d) A={x∈N: x<10 y x es primo} y B={x∈N:x<10 y x es múltiplo de 3}.

A={2,3,5,7} y B={3,6,9}AxB={(2,3),(2,6),(2,9),(3,3),(3,6),(3,9),(5,3),(5,6),(5,9),(7,3),(7,6),(7,9)}

40. Determine los valores de x y de y en los siguientes pares ordenados:a) (x,4)=(-2,y);

X=-2 y=4 (-2,4)b) (y-2,2x+1)=(x-1,y+2);

y-2=x-1 2x+1=y+2 x-y+1=0 x-y+1=0x-y+1=0 2x-y-1=0 (-1) -2x+y+1=0 2-y+1=0 x=2 y=3 (2,3)

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c) (4,2x-10)=(x-1,y+2);4=x-1X=52x-10=y+22(5)-10=y+2Y=-10+10-2Y=-2 (5,-2)

d) (x+4,6)=(10,y-x);X+4=10X=66=y-xY=12 (6,12)

e) (4,2x-10)=(x-1,y+2);4=x-1x=52x-10=y+22(5)-10=y+210-10-2=yY=-2 (5,-2)

f) (5x+2y,-4)=(x+y+1,2x+y);5x+2y=x+y+14x+y=1-4=2x+y2x+y=-4 (-1)4x+y=1-2x-y=42x=5X=5/22(5/2)+y=-45+y=-4Y=-9 (5/2,-9)

g) (x+5,3-y)=(7,2);X+5=7X=23-y=2-y=-1Y=1 (2,1)

h) (((x+y)/2)-1,((x-y)/2)+1)=(((y-x)/2)+2,((x+y)/2)-2).((x+y)/2)-1=((y-x)/2)+2(x+y-2)/2=(y-x+4)/2X+y-2=y-x+42x=6X=3((x-y)/2)+1=((y+x)/2)-2(x-y+2)/2=(y+x-4)/2x-y+2=x+y-4-2y=-6Y=3 (3,3)

16

41. Si A={4,6,8}, B={1,2,3,4} y C={3,4,5,6}, verifique que se cumplen las siguientes propiedades:a) Ax(B∪C)=(AxB)∪(AxC);

{4,6,8}x{1,2,3,4,5,6}=({4,6,8}x{1,2,3,4})∪({4,6,8}x{3,4,5,6}){(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6),(8,1),(8,2),(8,3),(8,4),(8,5),(8,6)}={(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(8,1),(8,2),(8,3),(8,4)}∪{ (4,3),(4,4),(4,5),(4,6),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6),(8,3),(8,4),(8,5),(8,6)}{(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6),(8,1),(8,2),(8,3),(8,4),(8,5),(8,6)}={(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6),(8,1),(8,2),(8,3),(8,4),(8,5),(8,6)}

b) (A∪B)xC=(AxC)∪(BxC);{1,2,3,4,6,8}x{3,4,5,6}={(4,6,8)x(3,4,5,6)}∪{(1,2,3,4)x(3,4,5,6)}{(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6),(8,3),(8,4),(8,5),(8,6)}={(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6),(8,3),(8,4),(8,5),(8,6)}∪{(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6)}{(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6),(8,3),(8,4),(8,5),(8,6)}={(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6),(8,3),(8,4),(8,5),(8,6)}

c) Ax(B∩C)=(AxB)∩(AxC);{4,6,8}x{3,4}={(4,6,8)x(1,2,3,4)}∩{(4,6,8)x(3,4,5,6)}{(4,3),(4,4),(6,3),(6,4),(8,3),(8,4)}={(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(8,1),(8,2),(8,3),(8,4)}∩{(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6),(8,3),(8,4),(8,5),(8,6)}{(4,3),(4,4),(6,3),(6,4),(8,3),(8,4)}={(4,3),(4,4),(6,3),(6,4),(8,3),(8,4)}

d) (A∩B)xC=(AxC)∩(BxC).{4}x{3,4,5,6}={(4,6,8)x(3,4,5,6)}∩{(1,2,3,4)x(3,4,5,6)}{(4,3),(4,4),(4,5),(4,6)}={(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6),(8,3),(8,4),(8,5),(8,6)}∩{(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6)}{(4,3),(4,4),(4,5),(4,6)}={(4,3),(4,4),(4,5),(4,6)}

42. Realice las demostraciones de las siguientes propiedades del producto cartesiano:a) AxB=BxA↔(A=B∨A=∅∨B=∅);

Demostración 1Como: a=∅ ; B≠∅EntoncesAxB=∅xB=∅BxA=Bx∅=∅Se deduce que:∅=∅AxB=BxAEn este caso la proposición es verdaderaDemostración 2Como: a=∅ ; B=∅EntoncesAxB=Ax∅=∅BxA=∅xA=∅Se deduce que:∅=∅AxB=BxA

17

En este caso la proposición es verdaderaDemostración 3Como: A=BEntoncesAxB=AxA=A2

BxA=AxA=A2

Se deduce que:A2=A2

AxB=BxAEn este caso la proposición es verdadera

43. Demuestre por las propiedades de los conjuntos que:a) (Ac∩C)∪(B∩Bc)=[C\(A∪B)]∪[(B∩C)\(A∩B∩C)];

(Ac∩C)∪∅=[C∩(A∪B)c]∪[((B∩C)∩(A∩B∩C)c] complemento, diferencia(Ac∩C)=[C∩(Ac∩Bc)]∪[(B∩C)∩(Ac∪Bc∪Cc)] identidad, morgan=[C∩(Ac∩Bc)]∪[((B∩C)∩(Bc∪Cc))∪((B∩C)∩Ac)] distributiva=[C∩(Ac∩Bc)]∪{ [((B∩C)∩Bc)∪((B∩C)∩Cc)]∪((B∩C)∩Ac)} distributiva=[C∩(Ac∩Bc)]∪{[((B∩Bc)∩C)∪((B∩(C∩Cc))]∪((B∩C)∩Ac)} asociativa=[C∩(Ac∩Bc)]∪{[( ∅∩C) ∪(B∩∅)]∪((B∩C)∩Ac)} complemento=[C∩(Ac∩Bc)]∪{[∅∪∅]∪((B∩C)∩Ac)} identidad=[C∩(Ac∩Bc)]∪{ ∅∪((B∩C)∩Ac)} unión= Ac∩(Bc∩C)c∪((B∩C)∩Ac) identidad, asociativa= Ac∩(Bc∩C)c∪(B∩C) distributiva, inversa= Ac∩(C∩(Bc∪B)) distributiva, inversa= Ac∩(C∩U) complementoAc∩C= Ac∩C identidad

b) (A∪Bc)∩(Cc∪A)=A∪(B∪C)c;(A∪Bc)∩(A∪Cc)= A∪(B∪C)c conmutativa(A∪Bc)∩(A∪Cc)= A∪( Bc∩Cc) morganA∪( Bc∩Cc)= A∪( Bc∩Cc) distributiva inversa

c) [(A∩Bc)∩(A∩B)]∪{(A∩Ac)∪[((A∩B)∩C)∪(B∪C)]}=(A∪B∪C)∩(B∪C);[A(∩Bc∩B)]∪{(A∩Ac)∪[((A∩B)∩C)∪(B∪C)]}= distributiva, inversa[(A∩∅)∪{∅∪[((A∩B)∩C)∪(B∪C)]}= complemento∅∪[((A∩B)∩C)∪(B∪C)]= identidad[((A∩B)∩C)∪(B∪C)]= identidad[(A∩(B∩C))∪(B∪C)]= asociativa[(B∪C)∪A]∩[(B∪C)∪(B∩C)]= distributiva[A∪B∪C]∩[(B∪C)∪(B∩C)]=

conmutativa[A∪B∪C]∩[((B∪C)∪B)∩((B∪C)∪C)]= distributiva[A∪B∪C]∩[((B∪B)∪C)∩((C∪C)∪B)]= asociativa[A∪B∪C]∩[(B∪C)∩(C∪B)]= idempotencia(A∪B∪C) ∩(B∪C)=(A∪B∪C) ∩(B∪C) idempotencia

d) (A\B)∩C=(A∩C)\(B∩C);(A∩Bc)∩C=(A∩C)∩(B∩C)cdiferencia(A∩Bc∩C)=(A∩C)∩(B∩C)c asociativa=(A∩C)∩(Bc∪Cc) morgan=[(A∩C)∩Bc]∪[(A∩C)∩Cc] distributiva

18

=(A∩C∩Bc)∪(A∩(C∩Cc)) asociativa=(A∩C∩Bc)∪(A∩∅) complemento=(A∩C∩Bc)∪∅ identidad(A∩C∩Bc)=(A∩C∩Bc) identidad

e) (A∩B)\(A∪B)=∅;(A∩B)∩(A∪B)c= diferencia(A∩B)∩(Ac∩Bc)= Morgan(A∩Ac)∩(B∩Bc)= asociativa∅∩∅= complemento∅=∅ intersección

f) (Ac∪Bc)∩Cc=(Bc\Ac)\C;((Ac)c∩Bc)∩Cc=(Bc\Ac)\C Morgan(A∩Bc)∩Cc=(Bc\Ac)\C complemento=(Bc∩(Ac)c)\C diferencia=(Bc∩A)\C complemento=(Bc∩A)∩Cc diferencia(A∩Bc)∩Cc=(A∩Bc)∩Cc conmutativa

g) A∩(BΔC)=(A∩B)Δ(A∩C);A∩[(B\C)∪(C\B)]=[(A∩B)\(A∩C)]∪[(A∩C)\(A∩B)] diferencia simétricaA∩[(B∩Cc)∪(C∩Bc)]=[(A∩B)∩(A∩C)c]∪[(A∩C)∩(A∩B)c] diferencia=[(A∩B)∩(Ac∪Cc)]∪[(A∩C)∩(Ac∪Bc)] Morgan=[((A∩B)∩Ac)∪((A∩B)∩Cc)]∪[((A∩C)∩Ac)∪((A∩C)∩Bc)] distributiva=[((A∩Ac)∩B)∪(A∩B∩Cc)]∪[((A∩Ac)∩C)∪((A∩C∩Bc)] asociativa=[(∅∩B)∪(A∩B∩Cc)]∪[(∅∩C)∪((A∩C∩Bc)] complemento=[∅∪(A∩B∩Cc)]∪[∅∪((A∩C∩Bc)] identidad=(A∩B∩Cc)∪(A∩C∩Bc) identidad=A∩(B∩Cc)∪A∩(C∩Bc) conmutativa, asociativaA∩[(B∩Cc)∪(C∩Bc)]= A∩[(B∩Cc)∪(C∩Bc)] distributiva inversa

h) [(AΔB)\(BcΔA)]∩A=A\B;{[(A\B)∪(B\A)]\[(Bc\A)∪(A\Bc)]}∩A=A\B diferencia simétrica{[(A∩Bc)∪(B∩Ac)]\[(Bc∩Ac)∪(A∩(Bc)c)]}∩A= diferencia{[(A∩Bc)∪(B∩Ac)]\[(Bc∩Ac)∪(A∩B)]}∩A= complemento{[((A∩Bc)∪B)∩((A∩Bc)∪Ac)]\[((Bc∩Ac)∪A)∩((Bc∩Ac)∪B)]∩A= distributiva{[((A∪B)∩(Bc∪B))∩((A∪Ac)∩(Bc∪Ac))]\[((Bc∪A)∩(Ac∪A))∩((Bc∪B)∩(Ac∪B))]∩A=A\B distributiva<< no tiene solución>>

i) [Ac∪(B∪A)c]c∩Ac=∅;[Ac∪(Bc∩Ac)]c∩Ac= Morgan[Ac]c∩Ac= absorciónA∩Ac= complemento∅=∅ complemento

j) A∩(B\C)c=(A\B)∪(A\Cc);A∩(B∩Cc)c=(A∩Bc)∪(A∩(Cc)c) diferenciaA∩(Bc∪C)=(A∩Bc)∪(A∩C) Morgan, complementoA∩(Bc∪C)=A∩(Bc∪C) distributiva, inversa

k) AcΔBc=(A∩B)c\(Bc\A);(Ac∪Bc)\(Ac∩Bc)=(A∩B)c\(Bc\A) diferencia simétrica(Ac∪Bc)∩(Ac∩Bc)c=(A∩B)c∩(Bc∩Ac)c diferencia

19

(Ac∪Bc)∩(A∪B)= (Ac∪Bc)∩(A∪B) Morgan, complemento, conmutatival) Ax(B∪C)c=(AxBc)∩(AxCc);

Ax(Bc∩Cc)= Morgan(AxBc)∩(AxCc)=(AxBc)∩(AxCc) dist. del prod. Cartesiano con intersec.

m) (A∪B)xAc=(AxAc)∪(BxAc);(AxAc)∪(BxAc)=(AxAc)∪(BxAc) dist. del prod. Cartesiano con unión

n) (Ac\Bc)xC=(AxB)∪(BcxC);(Ac∩(Bc)c)xC= diferencia(Ac∩B)xC= complemento(AxB)∪(BcxC)=(AxB)∪(BcxC) dist. Prod. cartesiano

o) [(A∪B)xC]c=(AxC)c∩(BxC)c;(Ac∩Bc)xCc=(AcxCc)∩(BcxCc) Morgan(AcxCc)∩(BcxCc)= (AcxCc)∩(BcxCc) dist. Del prod. cartesiano

p) (AxB)\(AxCc)=Ax(B∩C).Ax(B\Cc)=Ax(B∩C) distributiva inversaAx(B∩(Cc)c)= diferenciaAx(B∩C)= Ax(B∩C) complemento

44. Dados los conjuntos A y B. Grafique los productos cartesianos AxB y BxA.a) A={-2, -1, 2, 3}, B={-1, 0, 2, 5};

AxB={(-2,-1),(-2,0),(-2,2),(-2,5),(-1,-1),(-1,0),(-1,2),(-1,5),(2,-1),(2,0),(2,2),(2,5),(3,-1),(3,0),(3,2),(3,5)}

BxA={(-1,-2),(-1,-1),(-1,2),(-1,3),(0,-2),(0,-1),(0,2),(0,3),(2,-2),(2,-1),(2,2),(2,3),(5,-2),(5,-1),(5,2),(5,3)}

b) A={-3, -1, 0, 1/3}, B={-1, 2/5, 3/2, 5};

20

AxB={(-3,-1),(-3,2/5),(-3,3/2),(-3,5),(-1,-1),(-1,2/5),(-1,3/2),(-1,5),(0,-1),(0,2/5),(0,3/2),(0,5),(1/3,-1),(1/3,2/5),(1/3,3/2),(1/3,5)}

BxA={(-1,-3),(-1,-1),(-1,0),(-1,1/3),(2/5,-3),(2/5,-1),(2/5,0),(2/5,1/3),(3/2,-3),(3/2,-1),

(3/2,0),(3/2,1/3),(5,-3),(5,-1),(5,0),(5,1/3)}c) A=]-2,3], B=[-3,5];

AxB={(-2,-3),(-2,5),(3,-3),(3,5)}

21

BxA={(-3,-2),(-3,3),(5,-2),(5,3)}

d) A=[1,4[, B=]-1,1[;AxB={(1,-1),(1,1),(4,-1),(4,1)}

BxA={(-1,1),(-1,4),(1,1),(1,4)}

e) A=]-1,1], B=]-2,3]∪{-3};AxB={(-1,-2),(-1,3),(1,-2),(1,-3)}∪{-3}

22

BxA={(-2,-1),(-2,1),(3,-1),(3,1)}∪{-3}

f) A=]-4,0]∪{1}, B=[1,2];AxB={(-4,1),(-4,2),(0,1),(0,2)}∪{1}

B x A={(1,-4),(1,0),(2,-4),(2,0)}∪{1}

23

g) A=]1,2]∪{3}, N={1,2,3};AxB={(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3)}

B x A={(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3)}

h) A=[-3, ½]∪{3/2, 5/2}, B=]1,2[∪{3/2, 5/2};AxB={(-3,1),(-3,3/2),(-3,2),(-3,5/2),(1/2,1),(1/2,3/2),(1/2,2),(1/2,5/2),(3/2,1),(3/2,3/2),(3/2,2),(3/2,5/2),(5/2,1),(5/2,3/2),(5/2,2),(5/2,5/2)}

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BxA={(1,-3),(1,1/2),(1,3/2),(1,5/2),(2,-3),(2,1/2),(2,3/2),(2,5/2),(3/2,-3),(3/2,1/2),(3/2,3/2),(3/2,5/2),(5/2,-3),(5/2,1/2),(5/2,3/2),(5/2,5/2)}

45. Diga si son verdaderas las siguientes afirmaciones y justifique su respuesta:a) (A\B)x(C\D)⊂(AxC)\(BxD);

Es verdadera.Por que se distribuye(AxC)\(BxD)⊂(AxC)\(BxD)

b) (AxC)\(BxD)⊂(A\B)x(C\D).Es falsaPor que la multiplicación de conjuntos, y al restarse los productos, no está incluído en el conjunto del producto cartesiano de la diferencia de cuatro conjuntos.

46. Determine gráficamente AxB y BxA para los conjuntos A y B dados:a) A={-2, -1, 2, 3}, B={-1, 0, 2, 5};b) A={-3, -1, 0, 1/3}, B={-1, 2/5, 3/2, 5};c) A=]-2,3], B=[-3,5];d) A=[1,4[, B=[-1,1];e) A=]-1,1], B=]-2,3]∪{-3};f) A=]-4,0]∪{1}, B=[1,2];g) A=]1,2]∪{3}, B={1,2,3};h) A=[-3, ½]∪{3/2, 5/2}, B=]1,2[∪{3/2, 5/2}.

Todos estos literales son del número 45 que ya están resueltos47. Demuestre por las propiedades de los conjuntos que:

Card(AΔB)=Card(A)+card(B)-2Card(A∩B).Card[(A∪B)\(A∩B)]=card[(A∪B)\(A∩B)∪(A∩B)] diferencia simétricaCard[(A∪B)\(A∩B)]=Card[(A∪B)\(A∩B)] identidad

48. Si A={x∈N: x=((2k-1)/3),k∈N}, B={x∈N: x2+1≤18}. Halle (A∩B)x(B\A).(A∩B)x(B\A)={(1,2),(1,4),(3,2),(3,4)}

49. Dados los conjuntos A={x∈N: x=((2k+1)/3),k∈N}, B={x∈N: x2-14x+40=0}, C={x∈N: x2-1=0}. Halle el número de elementos de [(A∩B)∪C]x(B\C).[(A∩B)∪C]x(B\C)={(1,4),(1,10)}

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1. Entre las siguientes afirmaciones halle las que son proposiciones e indique cuales son verdaderas o falsas.

a) Simón Bolívar nació en 1783;Respuesta: Es una proposición, Es verdadera.

b) La Tierra es satélite de la Luna; Respuesta: Es una proposición, Es falsa.

c) 2 + √5; Respuesta: No es una proposición.

d) 3 x 5 + 4 = 19; Respuesta: Es una proposición, Es verdadera.

e) 6 ≥ 2 + 4; Respuesta: Es una proposición, Es verdadera.

f) Hay un número natural que es negativo ;Respuesta: Es una proposición, Es falsa.

g) Existen diversas razas de perros; Respuesta: Es una proposición, Es verdadera.

h) Eloy Alfaro no impulso la educación laica; Respuesta: Es una proposición, Es falsa.

i)Se fueron de viaje. Respuesta : No es una proposición.

2. Se dan dos proposiciones: p: <<el número 3 es divisor de 174>>y q: <<llueve>>. ¿En qué consisten las proposiciones:

a)~ p;R. El numero 3 NO es divisor de 174.

b)(p v q); R. El número 3 es divisor de 174 O llueve.

c)(p ˄ q);R. El número 3 es divisor de 174 Y llueve.

d)p → q;R. Si el número 3 es divisor de 174, ENTONCES llueve.

e)~ p→ q;R. Si el numero 3 NO es divisor de 174, ENTONCES llueve.

f)p→~ q?R. Si el número 3 es divisor de 174, ENTONCES NO llueve.

3. Determine el valor de verdad de cada una de las siguientes proposiciones:

a)Si 5 + 4 = 11, entonces 6 + 6 = 12;Respuesta:F → V= V

b)No es verdad que 3 +3 = 9 si y solo si 5 + 5 = 10;Respuesta:~(F ↔ V) = ~(F) = V

c)No es verdad que 2 – 3 = 1 o que 3 + 4 = 7;Respuesta:~(F ↔ V) = ~(F) = V

d)6 + 4 = 10 y 9 – 4 = 5;Respuesta:(V ˄ V) = V

e)8/2 = 4 y 8 + 2 = 12;Respuesta:(V ˄ F) = F

f)La sede del congreso está en Quito o está en Macas;Respuesta:(V ˅ F) = V

g)Si 3 x 7 = 21, entonces 9 – 7 = 2;Respuesta:(V → V) = V

h)Si Roma esta en Italia, entonces Bogotá está en Panamá. Respuesta:(V → F) = F

26

4. Indique el valor de verdad de las siguientes proposiciones:

a)(8 > 3) v (2 – 6 < 3), Respuesta:(V v V) = V

b)(3 < 7) ˄ (√22+32< 10);Respuesta:(V ˄ V) = V

c)(1 + 3 + 5 + 7 = 42) → (72+22<82 ¿ ;Respuesta:(V → V) = V

d)(42>62 ¿↔ (122+52=132¿;Respuesta:(F ↔V) = F

5. Realice las tablas de verdad de las siguientes proposiciones compuestas.

a) [(p v q) → ~ p];

[(p v q) → ~ p]

V V V F F V

V V F F F V

F V V V V F

F F F V V F

b) [(p v q) ˄ ~ (p ˄ q) ↔ r]→ ~ q;

[(p ˅ q) ˄ ~ (p ˄ q) ↔ r] → ~ qV V V F F V V V F V V F VV V V F F V V V F F V F VV V F V V V F F V V V V FV V F V V V F F F F V V FF V V V V F F V V V F F VF V V V V F F V F F V F VF F F F V F F F F V V V FF F F F V F F F V F V V F

c) (r → q) ˄ ~ [q → r];

(r → q) ˄ ~ [q → r]V V V F F V V VF V V V V V F FV F F F F F V VF V F F F F V F

d) ~ [r →(p v r) ˄ ~ (p ˄ r)] v [(p v q) → ~p];

~ [r → (p v r) ˄ ~ (p ˄ r)] v [(p V q) → ~ p]V V F V V V F F V V V V V V V F F V

F F V V V F V V V F F F V V V F F V

V V F V V V F F V V V V V V F F F V

27

F F V V V F V V V F F F V V F F F V

F V V F V V V V F F V V F V V V V F

F F V F F F F V F F F V F V V V V F

F V V F V V V V F F V V F F F V V F

F F V F F F F V F F F V F F F V V F

e) [p → (~ q v r) ˄ ~ (~ q ˄ r)] ↔ [r ↔ ~ (p v q)]

[p → (~ q v r) ˄ ~ (~ Q ˄ r)] ↔ [r ↔ ~ (p v q)]

V V F V V V V V F V F V F V F F V V V

V F F V F F F V F V F F F F V F V V V

V V V F V V F F V F V V V V F F V V F

V V V F V F V V V F F F V F V F V V F

F V F V V V V V F V F V F V F F F V V

F V F V F F V V F V F F V F V F F V V

F V V F V V F F V F V V F V V V F F F

F V V F V F V V V F F F F F F V F F F

6. Demuestre si las siguientes proposiciones son lógicamente equivalentes:

a)p v p con p

*(p v p) → p Idempotencia *p → p Condicionante *(~p v p) Complemento Respuesta: V, Es Tautología por lo tanto si son equivalentes.

b)~ (p ↔ q) con (p ˄ ~ q) v (~ p v q)

*[~ (p ↔ q)] → [(p ˄ ~ q) v (~ p v q)] Condicionante

*[~ (p → q) v (p → q)] → [(p ˄ ~ q) v (~ p v q)] Condicionante

*[(p ˄ ~ q) v (~ p v q)] → [(p ˄ ~ q) v (~ p v q)] Condicionante *~ [(p ˄ ~ q) v (~ p v q)] v [(p ˄ ~ q) v (~ p v q)]Asociativa *~ {[(p ˄ ~ q) v (~ p v q)] ˄ ~ [(p ˄ ~ q) v (~ p v q)]}Complemento *~ {F}Complemento Respuesta: V, Es Tautología por lo tanto si son equivalentes.

c) (p v ~ q) ˄ (~ r v p) ↔ p v [~ (q v r)]

28

*[(p v ~ q) ˄ (~ r v p)] ↔ [p v [~ (q v r)]] Condicionante *{[(p v ~ q) ˄ (~ r v p)] →[p v [~ (q v r)]]} ˄ {[p v [~ (q v r)]] → [p v ~ q) ˄ (~ r v p)]} Condicionante *{~ [(p v ~ q) ˄ (~ r v p)] v[p v [~ (q v r)]]} ˄ {~[p v [~ (q v r)]] v [p v ~ q) ˄ (~ r v p)]} Morgan *{[~(p v ~ q) v(~ r v p)] v[p v(~(q v r)} v {~[p v ~(q v r)] v ~ [(p v ~ q) v (~ r v p)]} Destrucción de Paréntesis *~(p v ~ q) v~ r v p vp v~(q v r)v ~[p v ~(q v r)] v ~ [(p v ~ q) v ~ r v p]Morgan

*~ rvp v ~p ˄q vp v~q˄~ rv~p˄~q˄~ rv~ p˄ q˄~ rv pAsociativa *(~ r v ~ r) ˄ (p v ~p) ˄ (q v ~q) v (p v ~p) ˄(~ r˄~ r) v (~q˄ q) ˄ (~ p v p) Complemento *~ r ˄ (V) ˄ (V) v (V) ˄ ~ r v ~(V) ˄ ~(F) Complemento/ Identidad/ Asociativa *(~r ˄~ r) ˄ (V) ˄(V) v (V) v (F) ˄ (V)Idempotencia *~ r ˄ (V) ˄(V) v (V) v (F ) ˄ (V) Identidad *~ r v (V) v (F ) ˄ (V) Absorción *~(r ˄ F) v (F ) ˄ (V) Identidad/Complemento *V v (F ) ˄ (V) Disyunción

*(V) ˄ (V) Conjunción Respuesta: V, Es Tautología por lo tanto si son equivalentes.

7. Verifique, mediante una tabla de verdad, que las siguientes proposiciones son contradicciones:

a)(p ˄ q) ˄ ~ (p v q)

(p ˄ q) ˄ ~ (p v q)V V V F F V V VV F F F F V V FF F V F F F V VF F F F V F F F

Respuesta: Por lo tanto se verifica que es una Contradicción.

b) ~ [p v (~ p v ~ q)]

~ [p v (~ P v ~ q)]F V V F V F F VF V V F V V V FF F V V F V F VF F V V F V V F

Respuesta: Por lo tanto se verifica que es una Contradicción.

8. La proposición (p v ~ q) → ~ p es falsa. Señale el valor de verdad de las siguientes proposiciones:

a) (~ p ˄ q) → p

(~ P ˄ q) → PF V F V V VF V F F V VV F V V F FV F F F V F

Respuesta: La proposición es verdadera, pero cuando el primer valor sea Verdadero y el segundo Falso, esta será Falsa.

b) ~ (p ˄ q) → p

29

~ (p ˄ q) → PF V V V V VV V F F V VV F F V F FV F F F F F

Respuesta: La proposición es verdadera, pero cuando el primer valor sea Verdadero y el segundo Falso, esta será Falsa.

c) ~ p ˄ (q → p)

~ P ˄ (q → p)F V F V V VF V F F V VV F F V F FV F V F V F

Respuesta: La proposición es falsa, pero cuando el primer valor sea Verdadero y el segundo Verdadero, esta será Verdadera.

9. ¿Para qué valores de p, q y r la siguiente proposición es verdadera?

(~ p ˄ ~ q) →[~ (p v q) ˄ ~ r]

(~ P ˄ ~ q) → [~ (p v q) ˄ ~ r]F V F F V V F V V V F F VF V F F V V F V V V F V FF V F V F V F V V F F F VF V F V F V F V V F F V FV F F F V V F F V V F F VV F F F V V F F V V F V FV F V V F F V F F F F F VV F V V F V V F F F V V F

Respuesta: Son verdaderas: cuando p es verdadero y q y r toman cualquier valor y cuando p, q y r son las tres falsas a la vez.

(~ p ˄ ~ q) →[~ (p v q) ˄ ~ r]

(~ p ˄ ~ q) → [(~p v ~q) ˄ ~ r] Distributiva

~ (~ p ˄ ~ q) v [(~p v ~q) ˄ ~ r] Complemento

(p v q) v (~p v ~q) ˄ ~ r De Morgan complemento

(p v ~p) v (q v ~q) ˄ ~ r Asociativa

V v V ˄ ~ r Asociativa

V ˄ ~ r Identidad

~ r

10. Sean s: <<Voy al trabajo>>y t: <<Camino 30 cuadras>>. Suponiendo que t es falsa y s es verdadera, señale el valor de verdad de las siguientes proposiciones:

30

a)No voy al trabajo o no camino 30 cuadras;~ (s ˄ t) ~ (V ˄ F) ~ (F) Respuesta:V; La proposición es Verdadera.

b)Voy al trabajo o no camino 30 cuadras;(s) v ~ (t) (V) v ~ (F) V vVRespuesta:V; La proposición es Verdadera.

c) Camino 30 cuadras si voy al trabajo;(s → t) (V → F) Respuesta: F, La proposición es Falsa.

d) Si voy al trabajo camino 30 cuadras.(s → t) (V → F) Respuesta: F, La proposición es Falsa.

11. La proposición <<Luis juega, ya que Marco duermey Ana estudia>> es falsa. Determine la verdad o falsedad de las siguientes proposiciones:

a)Si Luis juega, Marco duerme;(p → q) V → V Respuesta:V; La proposición es Verdadera.

b)Ana estudia y Marco no duerme;(r ˄ ~ q) V ˄ F Respuesta: F, La proposición es Falsa.

c)Ana no estudia y Marco no duerme;~(r ˄ q) ~ (F ˄ V) Respuesta:V; La proposición es Verdadera.

d)Marco duerme, cuando Luis juega o Ana estudia.(p v r) → q (V v V) → V Respuesta:V; La proposición es Verdadera.

12. Indique cuales de las proposiciones son equivalentes:

A ~ [(~ p v q) v (q ˄ (~ p v r))];

~ [(~ p v q) v (q ˄ (~ p v r))]F F V V V V V V F V V VF F V V V V V F F V F FV F V F F F F F F V V VV F V F F F F F F V F FF V F V V V V V V F V VF V F V V V V V V F V FF V F V F V F F V F V VF V F V F V F F V F V F

Respuesta: La proposición es Equivalente.

31

qrp

~ [(~ p v q) v (q ˄ (~ p v r))];

~ [(~ p v q) v ( (~ p ˄ q) v(q ˄ r))]; Distributiva

(p ˄ ~ q) ˄ (~ p v q) ˄ (q ˄ r) Distributiva

(p v ~p) v (q v ~q) ˄ (q ˄ r) Asociativa

V v V ˄ (q ˄ r) Identidad

(q ˄ r)


b)(p ˄ ~ q) ˄ [~ q v (~ r v p)];

(p ˄ ~ q) ˄ [~ q v (~ r v p)]V F F V F F V V F V V VV F F V F F V V V F V VV V V F V V F V F V V VV V V F V V F V V F V VF F F V F F V F F V F FF F F V F F V V V F V FF F V F F V F V F V F FF F V F F V F V V F V F


(p ˄ ~ q) ˄ [~ q v (~ r v p)];

(p ˄ ~ q) ˄ (p ˄~ q) v (~q ˄~ r) Distributiva

(p ˄~ q) v (~q ˄~ r) Idempotencia


c) ~ (~ q → ~ p) ˄ [q → ~ (p → r)]

~ (~ q → ~ p) ˄ [q → ~ (p → r)]F F V V V V F V F F V V VF F V V V V F V V V V F FV V F F F V V F V F V V VV V F F F V V F V V V F FF F V V V F F V F F F V VF F V V V F F V F F F V FF V F V V F F F V F F V VF V F V V F F F V F F V F


~ (~ q → ~ p) ˄ [q → ~ (p → r)]

~ (~(~ q) v ~ p) ˄ [q → ~ (~p v r)] Condicional

~ (~(~ q) v ~ p) ˄ [~q v (p ˄ ~ r)] Condicional y distributiva

(~ q v p) ˄ (~q v p) ˄ (~q v ~ r) Identidad y distributiva

32

(~q v p) ˄ (~q v ~ r) Idempotencia


13. Simplifique las siguientes proposiciones compuestas:

a)(~ p ˄ ~ p) v ~ q ↔ ~ (p ˄ q)Idempotencia *~ p v ~ q ↔ ~ (p ˄ q) Asociativa *~ (p ˄ q) ↔ ~ (p ˄ q) Condicionante * [~ (p ˄ q) → ~ (p ˄ q)] ˄ [~ (p ˄ q) → ~ (p ˄ q)]Condicionante * [~(~ (p ˄ q)) v ~ (p ˄ q)] ˄ [~(~ (p ˄ q)) v ~ (p ˄ q)] Morgan * [ (p ˄ q) v ~ (p ˄ q)] ˄ [ (p ˄ q) v ~ (p ˄ q)] Morgan * [ (p ˄ q) v ~ p v ~ q] ˄ [ (p ˄ q) v ~ p v ~ q] Absorción * ~ {[(~p v~q)v ~ p v ~ q] v [(~p v~q)v ~ p v ~ q]} Destrucción de Paréntesis *~{~p v ~q v ~ p v ~ q v ~p v ~q v ~ p v ~ q}Asociativa

*~{(~p v ~ p) v(~q v ~ q) v (~p v ~p) v (~ q v ~ q)}Idempotencia

*~{(~p v ~ q) v (~p v ~ q)} Idempotencia Respuesta : ~p v ~ q.

b)p ↔[(p v q) ˄ (p ˄ q)]Conmutativa

*p ↔ [(p ˄ q) ˄ (p v q)]Asociativa *p ↔ {[p ˄ [q ˄ (p v q)]} Conmutativa *p ↔ {[p ˄ [q ˄ (q v p)]} Absorción

*p ↔ (p ˄ q) Condicionante *[~ p v(p ˄ q)] ˄ [~(p ˄ q) v p] Morgan *[~ p v(p ˄ q)] ˄ [~p v ~ q v p] Conmutativa *[~ p v(p ˄ q)] ˄ [(~p v p) v ~ q] Complemento *[~ p v(p ˄ q)] ˄ [(V) v ~ q] Identidad *[~ p v(p ˄ q)] ˄ (V) Identidad *[~ p v(p ˄ q)] Distributiva

*[(~ p vp) ˄ (~ p vq)] Complemento *[(V) ˄ (~ p vq)] Identidad Respuesta: ~ p v q

c) {~ [~ p → (~ p v q)]} v ~ p → (p → r) Condicionante

*{~ [p v (~ p v q)]} v ~ p → (~p v r) Asociativa *{~ [(p v ~ p) v q)]} v ~ p → (~p v r) Complemento *{~ [(V) v q)]} v ~ p → (~p v r) Identidad *~ [V] v ~ p → (~p v r) Identidad

*[(F) v ~ p] → (~p v r) Identidad

*~ p → (~p v r) Condicionante * p v (~p v r) Asociativa * (p v ~p) v r Complemento * (V) v r Identidad

Respuesta: V, Es una Tautología.

33

d) [(p ˄ ~ q) ˄ (p ˄ q)] v {(p ˄ ~ p) v [((p ˄ q) ˄ r) v (q v r)]}Asociativa *[(p ˄ p) ˄ (~ q ˄ q)] v {(p ˄ ~ p) v [~ ((~p v ~ q) v ~ r) v (q v r)]}

*[p ˄ (F)] v {(V) v [~ ((~p v ~ q) v ~ r) v (q v r)]} Complemento * (F) v {(V) v [~ ((~p v ~ q) v ~ r) v (q v r)]} Destrucción de Paréntesis

* (F) v (V) v p ˄q ˄ r v q v r Disyunción *(V) v p ˄q ˄ r v q v r Asociativa

*(V) v p ˄(q v q) ˄ (r v r) Conmutativa/ Idempotencia

*(V) v p ˄q ˄ r Complemento Respuesta: p ˄ q ˄ r

e)[~(p → q) ˄ ~ q] ↔ [q v (q → ~ p)] ˄ ~ [q ˄ (q → ~ p)]Condicionante *[~ (~p v q) ˄ ~ q] ↔ [q v (~q v ~ p)] ˄ ~ [q ˄ (~q v ~ p)] Morgan/ Aso.

*[p ˄ (~ q ˄ ~ q)] ↔ [(q v ~q) v ~ p)] ˄ ~ [(q ˄ ~q) v ~ p)] Complemento

*[p ˄ ~ q] ↔ [(V) v ~ p)] ˄ ~ [(F) v ~ p)] Identidad

*[p ˄ ~ q] ↔ (V) ˄ (~ p) Identidad

*[p ˄ ~ q] ↔ (~ p) Condicionante

*{[p ˄ ~ q] → (~ p)} ˄ {(~ p) → [p ˄ ~ q] } Condicionante

*{~(p ˄ ~ q) v (~ p)} ˄ {~(~ p) v (p ˄ ~ q)} Morgan *{~p v q) v (~ p)} ˄ {p v (p ˄ ~ q)} Asociativa

*{ q v (~p v ~ p)} ˄ {(p ˄ p) v~ q)} Idempotencia

*(q v ~ p) ˄ (p v~ q) Asociativa

*(q v ~ q) ˄ (p v ~ p) Complemento

*(V) ˄ (V) ConjunciónRespuesta: V, Es Tautología.

f) [~ (p → q) ˄ ~ (~ q v p)] v [~ (q → p) v ~ p]Condicionante *[~ (~p v q) ˄ ~ (~ q v p)] v [~ (~q v p) v ~ p] Morgan *[p ˄~ q ˄ q ˄~p)] v [(q ˄ ~ p) v ~ p] Asociativa

*[(p ˄~ p) ˄ (q ˄~q)] v [(q ˄ ~ p) v ~ p] Idempotencia/Complemento

*[(F) ˄ (F)] v [(q ˄ ~ p) v ~ p]Conjunción *(F) v [(q ˄ ~ p) v ~ p]Complemento

Respuesta: (q v ~ p) ˄ ~ p

14. Si p, q, y r son proposiciones. Escriba las negaciones de las siguientes proposiciones:

a) p ˄ q; Respuesta: ~ p v ~ q.

b) (p v q) ˄ r; Respuesta: (~ p ˄ ~ q) v ~ r.

c) (p ˄ q) ˄ r; Respuesta: (~ p v ~ q) v ~ r.

34

d) (p ˄ q) → p; ~(p ˄ q) v p;Respuesta: (p ˄ q) ˄ ~ p.

e) [(~ p v ~ q) ˄ q] → (~ p); ~ [(~ p v ~ q) ˄ q] v (~ p);Respuesta: (p ˄ q) v ~ q] ˄ p.

f) (p v q) →r; ~ (p v q) v r;Respuesta: (p v q) ˄ ~ r.

15. Demuestre, justificando cada paso, que:

a) p v (p ˄ q) ↔ p Asociativa *(p v p) ˄ q ↔ pIdempotencia

*(p ˄ q) ↔ p Condicionante

*[(p ˄ q) → p] ˄ [p → (p ˄ q)] Condicionante * [~ (p ˄ q) v p] ˄ [~ p v (p ˄ q)] Morgan * [~ p v ~ q v p] ˄ [~ p v (p ˄ q)] Asociativa

* [(~ p v p) v ~ q] ˄ [~ p v (p ˄ q)] Complemento * [(V) v ~ q] ˄ [~ p v (p ˄ q)] Complemento * (V) ˄ [~ p v (p ˄ q)] Complemento Respuesta: ~ p v (p ˄ q)

b) [(p ˄ q) → r] ↔ [p → (q → r)] Condicionante

*[~ (p ˄ q) v r] ↔ [~p v (~q v r)] Condicionante

*[~ p v ~ q v r] ↔ [~p v ~q v r] Condicionante * {[~ p v ~ q v r] → [~p v ~q v r]} ˄ {[~p v ~q v r] → [~p v ~q v r]} Cond.

* {~ [~ p v ~ q v r] v [~p v ~q v r]} ˄ {~ [~p v ~q v r] v [~p v ~q v r]}

* (V) ˄ (V) Complemento Respuesta:V, Es Tautología.

c) [(p ˄ q) → r] ↔ [(p → q) → (p → r)] Condicionante

*[~ (p ˄ q) v r] ↔ [(~ p v q) → (~ p v r)] Condicionante *[~ (p ˄ q) v r] ↔ [~ (~ p v q) v (~ p v r)] Morgan

*[~ p v~ q v r] ↔ [(p ˄~ q) v (~ p v r)] Condicionante * {[~ p v ~ q v r] → [(p ˄~ q) v (~ p v r)]} ˄ {[(p ˄~ q) v (~ p v r)] → [~ p v ~ q v r]} Condicionante

* {~ [~ p v ~ q v r] v [(p ˄~ q) v (~ p v r)]} ˄ {~ [(p ˄~ q) v (~ p v r)]v[~ p v ~ q v r]} Morgan

* {[p ˄ q ˄~ r] v [(p ˄~ q) v (~ p v r)]} ˄ {[(~p v q) ˄ (p ˄~ r)] v [~ p v ~ q v r]} Asociativa

* {[p ˄ q ˄~ r] v [(p v~ p) ˄ (~ q v r)]} ˄ {[(~p v p) ˄ (q ˄~ r)] v [~ p v ~ q v r]} Complemento

* {[p ˄ q ˄~ r] v [(V) ˄ (~ q v r)]} ˄ {[(V) ˄ (q ˄~ r)] v [~ p v ~ q v r]}

* {[p ˄ q ˄~ r] v [(~ q v r)]} ˄ {[(q ˄~ r)] v [~ p v ~ q v r]}

35

d) p ˄ (p → q) → q Condicionante *p ˄ (~p v q) → q Condicionante *p ˄ ~ (~p v q) v q Morgan *(p ˄ p) ˄(~ q v q) Idempotencia/Complemento

*p ˄(V) Identidad Respuesta: p

16. Sean p y q proposiciones. Determine en cada uno de los siguientes casos si q es verdadera.

a) v(p) = V y v(p → q) = V;

b) v[(~q) → (p ˄ ~p) = V;

c) v(p ˄ q) = Fyv(p) = V;

d) v(q →(~p) = Fyv(p) = V

17. Sea r ≡~ (~ p ˄ q) → q. Encuentre el valor de verdad de r cuando:

a) v(p) = Fy v(q) = V

b) v(p) = Vy v(q) = F

18. Determine en qué casos es verdadera la proposición: ~ [(p → q) v r] ↔ p, sabiendo que r es la proposición <<2 es un número impar>>.

19. Sean p, q, r proposiciones y supongamos que p es falsa, q falsa y r verdadera. ¿Cuálesde las siguientes proposiciones son verdaderas?

a) (p ˄ q) → r;

* (F ˄ F) → V *(F) → V Respuesta:V; La proposición es Verdadera.

b) (~ q) → (~ r); * (~F) → (~V)

* (V) → (F) Respuesta: F, La proposición es Falsa.

c) [p v (~ q)] ↔ (q ˄ r);

* [F v (~F)] ↔ (F ˄ V)

* [F v (V)] ↔ (F ˄ V) * [V] ↔ (F) Respuesta: F, La proposición es Falsa.

d) (~ p v r) ˄ (q v r);

* (~F v V) ˄ (F v V)

36

* (V v V) ˄ (V)

* (V) ˄ (V)

Respuesta:V; La proposición es Verdadera.

20. Si q es la proposición <<2 + 1 = 3>>, ¿Para qué valores de p y r la siguiente proposición es falsa?

(p ˄ ~ q) →{[(~ r ˄ ~q) v p] ˄ ~ [(~ r ˄ ~ q) ˄ ~p]}

(p ˄ ~ q) → {[(~ R ˄ ~ q) v p] ˄ ~ [(~ r ˄ ~ q) ˄ ~ p]}V F F V V F V F F V V V V V F V F F V F F VV F F V V V F F F V V V V V V F F F V F F VV V V F V F V F V F V V V V F V F V F F F VV V V F V V F V V F V V V V V F V V F F F VF F F V V F V F F V F F F V F V F F V F V FF F F V V V F F F V F F F V V F F F V F V FF F V F V F V F V F F F F V F V F V F F V FF F V F V V F V V F V F F F V F V V F V V F

Respuesta:La proposición es Falsa, cuando p es Verdadera y r es Falsa.

21. Demuestre que las siguientes proposiciones son tautologías:

a) (p → q) ˄ (~ q → ~ p) Condicionante *(~ p v q) ˄ (q v ~ p) Conmutativa *(~ p v q) ˄ (~ p v q) Distributiva Inversa

*~ p ˄ (q v q) Idempotencia

Respuesta: ~ p ˄ q; NO es Tautología.

b) p ˄ (p → q) → q Condicionante *p ˄ (~ p v q) → q Distributiva

*(p ˄ ~ p) v (p v q) → q Complemento

*(F) v (p v q) → q Identidad *(p v q) → q Condicionante *~(p v q) v q Morgan *~p ˄ ~ q v q Asociativa *~p ˄ (~ q v q) Complemento

*~p ˄ (V) Identidad

Respuesta: ~p; NO es Tautología.

c) [~ (p → ~ q) → r] ↔ [(q ˄ ~ r) → ~ p] Condicionante *[(~ p v ~ q) v r] ↔ [~ (q ˄ ~ r) v ~ p] Morgan

*[~ p v ~ q v r] ↔ [~ q v r v ~ p] Conmutativa

* {[~ p v ~ q v r] → [~ p v ~ q v r]} ˄{[~ p v ~ q v r] → [~ p v ~ q v r]} Cd.

37

* {~ [~ p v ~ q v r] v [~ p v ~ q v r]} ˄{~ [~ p v ~ q v r] v [~ p v ~ q v r]}

* {[p ˄ q ˄~ r] v [~ p v ~ q v r]} ˄{[p ˄ q ˄~ r]v [~ p v ~ q v r]}Absor.

* {[p ˄ q ˄~ r] v ~ [p ˄ q ˄~ r]} ˄{[p ˄ q ˄~ r] v~ [p ˄ q ˄~ r]} Compto.

* {V} ˄{V} Conjunción


d) ~ [(~ p v q) ˄ ~ (r ˄ ~ q)] ↔ [(p v r) ˄ ~ q] Morgan *~ [(~ p v q) ˄ (~ r v q)] ↔ [(p v r) ˄ ~ q] Conmutativa *~ [(q v ~ p) ˄ (q v ~ r)] ↔ [(p v r) ˄ ~ q] Absorción

*~ [q v (~ p ˄ ~ r)] ↔ [(p v r) ˄ ~ q] Morgan

*[~ q ˄ (p v r)] ↔ [(p v r) ˄ ~ q] Conmutativa

*[(p v r) ˄ ~ q] ↔ [(p v r) ˄ ~ q] Condicionante *{[(p v r) ˄ ~ q] → [(p v r) ˄ ~ q]} ˄ {[(p v r) ˄ ~ q] → [(p v r) ˄ ~ q]} Cd.

*{~ [(p v r) ˄ ~ q] v [(p v r) ˄ ~ q]} ˄ {~ [(p v r) ˄ ~ q] v [(p v r) ˄ ~ q]}C.

*{[(p v r) ˄ ~ q] v ~ [(p v r) ˄ ~ q]} ˄ {[(p v r) ˄ ~ q] v ~ [(p v r) ˄ ~ q]}C.

*{V} ˄ {V} Conjunción


22. Determine por cualquier método cuáles de las siguientes proposiciones son tautologías.

a) (p ˄ p) ↔ p Idempotencia * (p) ↔ p Condicionante * [p → p] ˄ [p→ p] Condicionante * [~ p v p] ˄ [~ p v p] Complemento * [V] ˄ [V] Conjunción


b) (p v p) ↔ p Idempotencia * (p) ↔ p Condicionante * [p → p] ˄ [p→ p] Condicionante * [~ p v p] ˄ [~ p v p] Complemento * [V] ˄ [V] Conjunción


c) (p v q) ↔ (q v p) Conmutativa

*(p v q) ↔ (p v q) Condicionante*[(p v q) → (p v q)]˄ [(p v q) → (p v q)] Condicionante *[~ (p v q) v (p v q)]˄ [~ (p v q) v (p v q)] Conmutativa *[(p v q) v ~ (p v q)]˄ [(p v q) v ~ (p v q)] Complemento *[V]˄ [V] Conjunción

38


d) [(p ˄ q) ˄ (~ p)] →q Asociativa *[(p ˄ ~ p) ˄ q] → q Complemento *[(F) ˄ q] → q Identidad *[F] → q Condicionante *~[F] v q Identidad *[V] v q Identidad


e) p → p v q Condicionante *~ p Asociativa/ Conmutativa *(p v ~ p) v q Complemento

*(V) v q Identidad Respuesta: V, Es una Tautología.

f) (p ˄ q) ↔ (q ˄ q) Idempotencia

*(p ˄ q) ↔ q Condicionante

*[(p ˄ q) →q] ˄ [q → (p ˄ q)] Condicionante *[~ (p ˄ q) vq] ˄ [~ q v (p ˄ q)] Morgan *[~ p v ~ q vq] ˄ [~ q v (p ˄ q)] Asociativa/Conmutativa *[~ p v (q v ~ q)] ˄ [~ q v (p ˄ q)] Complemento *[~ p v (V)] ˄ [~ q v (p ˄ q)] Identidad *[V] ˄ [~ q v (p ˄ q)] Identidad

Respuesta: ~ q v (p ˄ q), NO es una Tautología.

g) [(p ˄ q) ˄ r] ↔ [p ˄ (q ˄ r)] Asociativa *[(p ˄ q) ˄ r] ↔ [(p ˄ q) ˄ r)] Condicionante

*{[(p ˄ q) ˄ r] →[(p ˄ q) ˄ r]} ˄ {[(p ˄ q) ˄ r] →[(p ˄ q) ˄ r]} Condnte.

*{~ [(p ˄ q) ˄ r] v [(p ˄ q) ˄ r]} ˄ {~ [(p ˄ q) ˄ r] v [(p ˄ q) ˄ r]} Ctativa.

*{[(p ˄ q) ˄ r] v ~ [(p ˄ q) ˄ r]} ˄ {[(p ˄ q) ˄ r] v ~ [(p ˄ q) ˄ r]} Cplmnto.

*{V} ˄ {V} Conjunción Respuesta: V, Es una Tautología.

h) [(p → q) ˄ (q → ~ r)] → (p → r)

[(p → q) ˄ (q → ~ r)] → (p → r)V V V F V F F V V V V VV V V V V V V F F V F FV F F F F V F V V V V VV F F F F V V F V V F FF V V F V F F V V F V VF V V V V V V F V F V FF V F V F V F V V F V VF V F V F V V F V F V F

Respuesta: No es Tautología.

i)[(p v q) v r] ↔ [p v (q v r)] Asociativa39

*[(p v q) v r] ↔ [(p v q) v r]Condicionante

*{[(p v q) v r] →[(p v q)v r]} ˄ {[(p v q) v r] →[(p v q)v r]}Condicionante

*{~ [(p v q) v r] v [(p v q)v r]} ˄ {~ [(p v q)v r] v [(p v q)v r]} Cnmtativa.

*{[(p v q)v r] v ~ [(p v q) v r]} ˄ {[(p v q) v r] v ~ [(p v q) v r]} Cplmnto.


j) [p ˄ (q v r)] ↔ [(p ˄ q) v (p ˄ r)] Absorción *[p ˄ (q v r)] ↔ [(p ˄ (q v r)] Condicionante *{[p ˄ (q v r)] →[p ˄ (q v r)} ˄ {[ p ˄ (q v r)] →[p ˄ (q v r)} Condicionante

*{~ [p ˄ (q v r)] v [p ˄ (q v r)} ˄ {~ [p ˄ (q v r)] v [p ˄ (q v r)]} Conmtativa.

*{[p ˄ (q v r)] v ~ [p ˄ (q v r)]} ˄ {[p ˄ (q v r)] v ~ [p ˄ (q v r)]} Cplmnto.


k) [p v (q ˄ r)] ↔ [(p v q)˄ (p v r)] Absorción *[p v (q ˄ r)] ↔ [p v (q ˄ r)] Condicionante *{[p v (q ˄ r)] →[p v (q ˄ r)} ˄ {p v (q ˄ r)] →[p v (q ˄ r)} Condicionante

*{~ [p v (q ˄ r)] v [p v (q ˄ r)} ˄ {~ [p v (q ˄ r)] v [p v (q ˄ r)} Conmtativa.

*{[p v (q ˄ r)] v ~ [p v (q ˄ r)]} ˄ {[p v (q ˄ r)] v ~ [p v (q ˄ r)]} Cplmnto.


l) ~ (p ˄ q) ↔ [(~ p) ˄ (~ q)] Absorción *~ (p ˄ q) ↔ [~ (p v q)] Condicionante

*{~ (p ˄ q) → [~ (p v q)]} ˄ {[~ (p v q)] → ~ (p ˄ q)} Condicionante

*{(p ˄ q) v [~ (p v q)]} ˄ {~ [~ (p v q)] v ~ (p ˄ q)} Morgan

*{(p ˄ q) v [~ (p v q)]} ˄ {[(p v q)] v ~ (p ˄ q)} Morgan

*{(p ˄ q) v [~p ˄ ~q]} ˄ {[(p v q)] v ( ~ p v ~ q)} Asociativa/Conmutativa

*{(p ˄ q) v [~p ˄ ~q]} ˄ {[(p v ~ p)] v (q v ~ q)} Complemento

*{(p ˄ q) v [~p ˄ ~q]} ˄ {[V] v (V)} Disyunción *{(p ˄ q) v [~p ˄ ~q]} ˄ {F} Identidad *(p ˄ q) v (~p ˄ ~ q) Respuesta:(p ˄ q) v (~p ˄ ~ q); No es Tautología.

m) (p → q) ↔[(~ q) → (~ p)]

(p → q) ↔ [(~ q) → (~ p)]V V V V F V V F V

40

V F F V V F F F VF V V V F V V V FF V F V V F V V F

Respuesta: Es una Tautología.

n) p → (p ˄ q) Condicionante *~ p v (p ˄ q)

Respuesta: ~ p v (p ˄ q); No es Tautología.

o) (p ˄ q) → ~ p Condicionante *~ (p ˄ q) v ~ p Morgan

*~ p v ~ qv ~ p Asociativa *(~ p v ~ p)v ~ q Idempotencia

*~ pv ~ q Respuesta: ~ p v ~ q; No es Tautología.

p) [(p v q) ˄ (p → r) ˄ (q → s)] →(r v ~ s) Condicionante

*[(p v q) ˄ (~ p v r) ˄ (~ q v s)] → (r v ~ s) Condicionante

*~ [(p v q) ˄ (~ p v r) ˄ (~ q v s)] v (r v ~ s) Morgan

*[(~p ˄~q) v (p ˄ ~ r) v (q ˄~ s)] v (r v ~ s) Absorción

*[~(p v q)v~(~p v r) v~ (~ q v s)]v (r v ~ s) Destrucción de Paréntesis

*~(p v q) v ~(~p v r) v ~ (~ q v s) v r v ~ s Morgan

*~p ˄~q v p ˄ ~ r v q ˄~ s vr v ~ s Asociativa

*(~p ˄p) v (~q˄ q) v ~ r ˄~ s vr v ~ s Complemento/Conmutativa

*(F) v (F) v (~ r ˄ r) v(~ sv ~ s) Disyunción/ Complemento/Conmutativa

*(F) v (F) v (~ s) Disyunción

*(F) v (~ s) Identidad *~ s

Respuesta: ~ s; No es Tautología.

q) [p ˄ (p → q)] → q Condicionante

*~ [p ˄ (~ p v q)] v q Morgan

*~p v (p ˄ ~ q) v q Asociativa

*~ (p ˄ ~ q) v (p ˄ ~ q) Conmutativa

*(p ˄ ~ q) v ~ (p ˄ ~ q) Complemento


41

r) ~ (p → q) ↔[p ˄ ~ q] Condicionante

*~ (~p v q) ↔ [p ˄ Morgan *(p ˄ ~ q) ↔ [p ˄ ~ q] Condicionante

*{(p ˄ ~ q) → [p ˄ ~ q]} ˄{(p ˄ ~ q) → [p ˄ ~ q]} Condicionante

*{~ (p ˄ ~ q) v [p ˄ ~ q]} ˄ {~ (p ˄ ~ q) v [p ˄ ~ q]} Morgan

*{~ (p ˄ ~ q) v [p ˄ ~ q]} ˄ {~ (p ˄ ~ q) v [p ˄ ~ q]} Conmutativa

*[(p ˄ ~ q) v~(p ˄ ~ q)] ˄ [(p ˄ ~ q) v ~(p ˄ ~ q)] Complemento

*[V] ˄ [V] Conjunción Respuesta: V, Es una Tautología.

s) [~ (p ↔ q)] ↔ [(p ˄ ~ q) v (q ˄ ~ p)]

[~ (p ↔ q)] ↔ [(p ˄ ~ q) v (q ˄ ~ p)]F V V V V V F F V F V F F VV V F F V V V V F V F F F VV F F V V F F F V V V V V FF F V F V F F V F F F F V F


[~(~p v q) ˄(p v~ q)) ] ↔ [(p ˄ ~ q) v (q ˄ ~ p)] Condicional

(p ˄ ~ q) v (q ˄ ~ p) ↔ (p ˄ ~ q) v (q ˄ ~ p) Distributiva

(p ˄ ~ p) v (q ˄ ~ q) ↔ (p ˄ ~ p) v (q ˄ ~ q) Asociativa

F v F ↔ F v F Identidad

F ↔ F Idempotencia

(~ F v F) ˄( ~ F v F) Condicional

V ˄ V Identidad

V

t) [~ (p → ~ q) → r] ↔ [(q ˄ ~ r) → ~ p]

[~ (p → ~ q) → r] ↔ [(q ˄ ~ r) → ~ p]V V F F V V V V V F F V V F VV V F F V F F V V V V F F F VF V V V F V V V F F F V V F VF V V V F V F V F F V F V F VF F V F V V V V V F F V V V FF F V F V V F V V F V F V V FF F V V F V V V F F F V V V FF F V V F V F V F F V F V V F


42

u) (r → s)→[(r v t) → (s v t)] Condicionante *~ (~ r v s) v [~ (r v t) v (s v t)]Morgan

*(r ˄ ~ s) v [(~ r ˄ ~ t) v (s v t)] Asociativa

*[(r ˄ ~ s) v (~ r ˄ ~ t)] v (s v t) Asociativa

*[(r ˄ ~ r) v (~ s ˄ ~ t)] v (s v t)

Respuesta: [(r ˄ ~ r) v (~ s ˄ ~ t)] v (s v t); No es Tautología.

v)(p ˄ q) → (p v q) Condicionante

*~(p ˄ q) v (p v q) Morgan *(~ p v ~ q) v (p v q) Asociativa/Conmutativa *(p v ~ p) v (q v~ q) Complemento *(V) v (V) Disyunción


w) [p → (q ˄ r)] ↔ [(p → q)˄ (p → r)]

[p → (q ˄ r)] ↔ [(p → q) ˄ (p → r)]

V V V V V V V V V V V V VV F V F F V V V V F V F FV F F F V V V F F F V V VV F F F F V V F F F V F FF V V V V V F V V V F V VF V V F F V F V V V F V FF V F F V V F V F V F V VF V F F F V F V F V F V F


x) [p v (p ˄ q)] ↔p Condicionante *{[p v (p ˄ q)] → p} ˄ {p → [p v (p ˄ q)]} Condicionante *{~ [p v (p ˄ q)] v p} ˄ {~ p v [p v (p ˄ q)]} Morgan *{[~p ˄ (~p v~q)] v p} ˄ {~ p v [p v (p ˄ q)]} Asociativa

*{[(~p ˄p) v (~p v~q)]} ˄ {~ p v [p v (p ˄ q)]} Complemento

*{[(F) v (~p v~q)]} ˄ {~ p v [p v (p ˄ q)]} Identidad *(~p v~q) ˄ {~ p v [p v (p ˄ q)]} Distributiva *[(~p v~q) ˄ ~ p] v {(~p v~q) ˄ [p v (p ˄ q)]} Asociativa *[(~p v~p) ˄ ~ q] v {(~p v~q) ˄ [p v (p˄q)]} Idempot/Distributiva

*[~p ˄ ~ q] v {[(~p v~q) ˄ p] v[(~p v~q) ˄ (p ˄ q)]} Asociativa *[~p ˄ ~ q] v {[(~p vp) ˄ ~q] v[~(p ˄ q) ˄ (p ˄ q)]} Complemento

*[~p ˄ ~ q] v {[(V) ˄ ~q] v[F]} Identidad *[~p ˄ ~ q] v {[~q] v[F]} Identidad *[~p ˄ ~ q] v [~q]

Respuesta: (~p ˄ ~ q) v (~q); No es Tautología.

43

y)([p → (p v q)] ˄ p) → (p v q) Condicionante *~ ([~ p v (p v q)] ˄ p) v (p v q) Asociativa *~ ([(~ p v p) v q] ˄ p) v (p v q) Complemento *~ ([(V) v q] ˄ p) v (p v q) Identidad *~ ([V] ˄ p) v (p v q) Identidad *~ p v (p v q) Asociativa *(~ p v p) v q Complemento *(V) v q Identidad

Respuesta: V; Es una Tautología.

z) [(~ p → q) ˄ (~ q → r)]→ (p → r) Condicionante

*~ [(p v q) ˄ (q v r)] v (~ p v r) Absorción/Conmutativa

*~ [q v (p ˄ r)] v (~ p v r) Morgan

*[~ q ˄ (~ p v ~r)] v (~ p v r) Conmutativa/Asociativa *[(~ p v r) v ~ q] ˄ [(~ p v ~r) v (~ p v~ r)] Idempotencia *[(~ p v r) v ~ q] ˄ [(~ p v ~r)]

Respuesta: [(~ p v r) v ~ q] ˄ [(~ p v ~ r)] ; NO es una Tautología.

23. Simplifique las proposiciones correspondientes a los circuitos dados:

Proposición: p v {(p v ~ q) v [q ˄ (p → q)]} Condicionante *p v {(p v ~ q) v [q ˄ (~ p v q)]} Distributiva *p v {[(p v ~ q) v q] ˄ [(p v ~ q) v (~ p v q)]} Asociativa *p v {[p v (~ q v q)] ˄ [(p v ~ p) v (qv~ q)]} Complemento *p v {[p v (V)] ˄ [(V) v (V)]} Identidad/Disyunción *p v {[V] ˄ [V]} Conjunción *p v {V} Identidad Respuesta: p.

Proposición:

{[((p → q) v p) ˄((q → p) v q)] v ~ p} ˄ ~pCondicionante

44

* {[((~ p v q) v p) ˄ ((~ q v p) v q)] v ~ p} ˄ ~p Asociativa * {[((~ p vp) v q) ˄ ((~ q v q) v p)] v ~ p} ˄ ~p Complemento

* {[((V) v q) ˄ ((V) v p)] v ~ p} ˄ ~p Identidad

* {[(V) ˄ (V)] v ~ p} ˄ ~p Conjunción * {[V] v ~ p} ˄ ~p Identidad * {~ p} ˄ ~p Idempotencia

Respuesta: ~ p.

Proposición:

{[~ s ˄ t v ((t v ~ r) ˄ ~ s) ˄ ~ t] v r} Asociativa *{[~ s v ((t v ~ r) ˄ ~ s) ˄ (t ˄ ~ t)] v r} Complemento/Distributiva *{[(~ s v (t v ~ r)) ˄ (~ s v ~ s) ˄ (F)] v Idempotencia *{[(~ s v (t v ~ r)) ˄ (~ s) ˄ (F)] v r} Identidad *{[(~ s v (t v ~ r)) ˄ (F)] v r} Identidad *{[F] v r} Identidad Respuesta: r.

Proposición:

{[((~ s v~ t) ˄ (s v t)) v ((s → t) ˄ (t → s)] ˄ s} Condicionante *{[((~ s v ~ t) ˄ (s v t)) v ((~ s v t) ˄ (~ t v s)] ˄ s} Absorción

*{[((~s v ~ t) ˄ (s v t)) v (~ (s ˄~ t) ˄ ~ (t ˄~ s)] ˄ s} Asociativa

*{[(F) v (~ (s ˄~ s) ˄ ~ (t ˄~ t)] ˄ s} Complemento *{[(F) v (~ (F) ˄ ~ (F)] ˄ s} Complemento *{[(F) v ((V) ˄ (V)] ˄ s} Idempotencia *{[(F) v (V)] ˄ s} Disyunción *{[V] ˄ s} Identidad Respuesta: s.

45

Proposición:

{[(((p → q) v p) ˄ p) v q]} ˄{[(p v ~ q) ˄ (q → p)] v p} Cndnte *{[(((~ p v q) v p) ˄ p) v q]} ˄ {[(p v ~ q) ˄ (~ q v p)] v p} Asociativa

*{[(((~ p v p) v q) ˄ p) v q]} ˄ {[(p v ~ q) ˄ (~ q v p)] v p} Complemento

*{[(((V) v q) ˄ p) v q]} ˄ {[(p v ~ q) ˄ (~ q v p)] v p} Identidad *{[(((V) ˄ p) v q]} ˄ {[(p v ~ q) ˄ (~ q v p)] v p} Identidad *{[p v q]} ˄ {[(p v ~ q) ˄ (~ q v p)] v p} Conmutativa *{[p v q]} ˄ {[(p v ~ q) ˄ (p v ~ q)] v p} Idempotencia *{[p v q]} ˄ {[p v ~ q] v p} Asociativa *{[p v q]} ˄ {[p v p] v ~ q } Idempotencia *{[p v q]} ˄ {p v ~ q } Absorción * p v {q ˄ ~ q } Identidad * p v {F}

Respuesta: p.

24. Escriba en forma simbólica los siguientes enunciados:

a) El cuadrado de todo número real es positivo. Respuesta: (∀x ∈ Ɍ) donde (x2>0¿

b) x2=16para algún número natural. Respuesta: (∋x ∈ Ɍ) donde (x2=16¿

c) Todo número natural es par o es impar. Respuesta: (∀x ∈ N) donde (∋k∈ N) se cumple que [(x = 2k) v (x = 2k + 1)]

d) Hay números reales que no son múltiplos de 3. Respuesta: (∋x ∈ Ɍ) donde (∀x ∈ Z) se cumple que (x = 3y)

25. Se dan dos proposiciones sobre el conjunto de los números naturales n que satisfacen 3≤n ≤ 12, p(n): <<el número 3 es divisor del numero n>>y q(n): <<el número n no supera 6>>. Halle el conjunto de verdad para las proposiciones:

a)p(n). Respuesta: (3, 6, 9, 12)

b) q(n). Respuesta: (1, 2, 3, 4, 5, 6)

c) ~p(n). Respuesta: (1, 2, 4, 5, 7, 8, 10, 11)

46

d) ~q(n). Respuesta: (7, 8, 9, 10, 11, 12)

e) p(n) ˄ ~q(n). Respuesta: (9, 12)

f) ~ p(n) → q(n). p(n) v q(n). Respuesta: (1, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 12)

26. Niegue las proposiciones:

a) (∀z) (z2≥0¿Respuesta: (∃z) y se cumple que (z2≥0¿

b) (∀x) (∀y) (x+ 1y=1¿Respuesta: (∃x) (∃y) y se cumple que (x+ 1y

=1¿

c) (∃s) (∀t) (s− t=0¿Respuesta: (∀s) (∃t) y se cumple que (s−t=o¿

d) (∀x) (∃y) (x+ y esnumero par ¿Respuesta: (∃x) (∀y) y se cumple que (x+ y esnumero impar ¿

27. Sean p, q, r proposiciones y supongamos que p es falsa, q falsa y r verdadera. ¿Cuáles de las siguientes proposiciones son verdaderas?

a) (p ˄ q) → r; (F ˄ F) → V (F) → V

Respuesta: V,La proposición es verdadera.

b) ~ (q) → (~ r); ~ (F)→ ~ (V) (V) → (F)Respuesta: F, La proposición es falsa.

c) [p v ~ (q)]↔ (q ˄ r); [F v ~ (F)] ↔ (F ˄ V)[F v V] ↔ (F)[V] ↔ (F)Respuesta: F, La proposición es falsa.

d) (~p v r)˄ (q v r); [~(F) v V] ˄ (F v V)[VvV] ˄ (V)[V] ˄ (V)Respuesta: V,La proposición es verdadera.

28.Determine el valor de verdad de las siguientes afirmaciones y niéguelas:

a) ∀x ∈ Ɍ, x2 = x

Respuesta: La afirmación es Falsa. Negación: (∃x ∈ Ɍ) donde (x2 = x).

b) ∃x ∈ Ɍ, 2x = x

Respuesta: La afirmación es Verdadera. Negación: (∀x ∈ Ɍ) se cumpleque (2x = x).

c) ∃x ∈ Ɍ, x2+3 x−2=0

47

Respuesta: La afirmación es Verdadera. Negación: (∀x ∈ Ɍ) se cumpleque (x2+3x−2=0).

d) ∀x ∈ Ɍ, x−3<x

Respuesta: La afirmación es Falsa. Negación: (∃x ∈ Ɍ) donde (x−3<x).

e) ∃x ∈ Ɍ, x2−2 x+5=0

Respuesta: La afirmación es Verdadera. Negación: (∀x ∈ Ɍ) se cumpleque (x2−2 x+5=0).

f) ∀x ∈ Ɍ, 2 x+3 x=5 x

Respuesta: La afirmación es Verdadera. Negación: (∃x ∈ Ɍ) se cumpleque (2 x+3 x=5 x).

g) ∃x ∈ Z, x2=5

Respuesta: La afirmación es Verdadera. Negación: (∀x ∈ Z) se cumpleque (x2≠5).

h) ∀x ∈ Ɍ, x2≥ x

Respuesta: La afirmación es Falsa. Negación: (∃x ∈ Ɍ) se cumpleque (x2< x).

i) ∀x ∈ Z, x2≥ x

Respuesta: La afirmación es Verdadera. Negación: (∃x ∈ Z) se cumpleque (x2≥ x).

j) ∀x ∈ N, x x 1=1

Respuesta: La afirmación es Falsa. Negación: (∃x ∈ N) donde (x x 1≠1).

29. Sea U = {1, 2, 3, 4} el conjunto universo. Determine el valor de verdad de cada enunciado:

a)∀x ∈U, x+3<6

Respuesta: El enunciado es Falso.

b) ∃x ∈U, x+3<6

Respuesta: El enunciado es Verdadero.

c)∀x ∈U, x2−10≤8

48

Respuesta: El enunciado es Verdadero.

d) ∃x ∈U, 2 x2+x=15

Respuesta: El enunciado es Falso.

30. Dado el conjunto A = {0, 2, 4, 6, 8}, indique el valor de verdad de las proposiciones:

a) ∀x ∈A, x+4<10

Respuesta: La proposición es Falsa.

b) ∃x ∈A, x+4<6

Respuesta: La proposición es Verdadera.

c) ∀x ∈A, xx+1

>0


d) ∀x ∈A, ∃y∈A, x≥ y


31. Dados los conjuntos

A ={x: x2−5 x+6=0} y B ={x: ( x−5 ) ( x−7 )=0}

Halle el valor de verdad de las siguientes proposiciones:

Siendo los conjuntos: A = {2, 3} y B = {5, 7}

a) (∀x ∈A), x>5


b) (∃x ∈B), (x2−3=0)


c) (∃x ∈AU B), x>1


d) (∃x ∈ B), x−5=0→ (∀ x∈ A ) , xespar .


32. Dadas las siguientes proposiciones, indique su valor de verdad y escriba su negación.

a) (∃n ∈ N) (n2=19 )49

Respuesta: La afirmación es Falsa.

Negación: (∀n∈ N) se cumpleque (n2≠ 19 ).

b) ∀n∈ N, 2n es un número par

Respuesta: La afirmación es Verdadera. Negación: (∃n∈ N) se cumpleque (2n es un número impar).

c) (∃y∈ N) (∀x ∈ N), y+x=x

Respuesta: La afirmación es Falsa. Negación: (∀y∈ N) (∃x ∈N), se cumpleque (y+x≠ x).

33. Dados los conjuntos A = {0, 1} y B = {1, 2}. Halle el valor de verdad y construya la negación de la proposición:

(∃x ∈ A) (∀y ∈ B) (x + y ≠ x → x * y ≠ y)

V →FF

La proposición (∃x ∈ A) (∀y ∈ B) (x + y ≠ x → x * y ≠ y)es Falsa.

Negación: (∀x ∈ A) (∃y ∈ B) (x + y ≠ x ˄ x * y ¿ y)

34. Niegue las siguientes proposiciones:

a) (∀x ∈ Ɍ) (∀y ∈ Ɍ), (x≤ y o y ≤ x )

Respuesta: (∃x ∈ Ɍ) (∃y ∈ Ɍ), (x> y y y>x )

b) (∃x ∈ Ɍ) (∃y ∈ Ɍ), (x+ y≠1)

Respuesta: (∀x ∈ Ɍ) (∀y ∈ Ɍ), (x+ y=1)

c) (∀x ∈ Ɍ) (∀y ∈ Ɍ) (∃z∈ Ɍ), (z>x+ y)

Respuesta: (∃x ∈ Ɍ) (∃y ∈ Ɍ)(∀z ∈ Ɍ), (z ≤ x+ y )

35. Dados los conjuntos A = {0, 1, 2}y B = {1, 2}. Determine el valor de verdad y escriba la negación de la proposición:

(∀x ∈A) (∃y ∈B) (y=x2−2 x+2¿v ¿B) (∀y ∈A) (y+1≠ (2 x−1 ) ( x−1 ))

F v VV

Respuesta: La proposición (∀x ∈A) (∃y ∈B) (y=x2−2 x+2¿v ¿B) (∀y ∈A) (

y+1≠ (2 x−1 ) ( x−1 ))es Verdadera.

Negación: (∃x ∈A) (∀y ∈B) (y ≠x2−2 x+2¿˄ ¿B) (∃y ∈A) (y+1= (2 x−1 ) ( x−1 ))

36. Halle los conjuntos de validez V p de las siguientes funciones lógicas, si X = {-1, 0, 1, 2, 3, 5}

50

a) (x ∈X) p (x) :x2−1≥x

Respuesta: V p=¿{-1, 2, 3, 5}

b) (x ∈X) p (x) :|2 x−3|<3

Respuesta: V p=¿ {1, 2}

c) Es verdadero o falso y por qué: (∀x ∈X) (p (x):2 x−1>3)

Respuesta: Es Falso, porque {-1, 0, 1, 2} no cumple que (p (x):2 x−1>3).

d) Es verdadero o falso y por qué: (∃x ∈X) (p (x):x2−1≠3)

Respuesta: Es Verdadero, porque {-1, 0, 1, 3, 5}cumple que (p (x):2 x−1>3).

37.Dé el valor de verdad de la siguiente proposición (justifique):

(∀x ∈ Ɍ) (∃y ∈ Ɍ) (x+1≠ y ˄x∗y ≠12¿ .

V ˄ V

V

Respuesta: La respuesta es Verdadera porquetodos los elementos que pertenecen a los Ɍ cumplen con estas dos condiciones: Por ejemplo:

(−3+1≠2˄2∗(−3)≠12¿V ˄ V Verdadero

38. ¿Es verdadera la proposición A = B→Ac x B=A x B c? (Justifique su respuesta)

Respuesta: La proposición A = B→Ac x B=A x Bc es Falsaporque los elementos de ambos conjuntos pueden no ser simétricos en valores por lo tanto sus complementos no serían los mismos.

39. Diga si es verdad que:

a) D⊆A∩B→ (A ¿ )∩D=∅


b)D⊆A∪B→ (A ¿ )∩D=∅


c) A ∩ B= A ∩ C → B = C.


d) A \ B = A \ C → B ∩ C = B51


e)(A \ B) ∩C ⊆ (A U B) ∩(A U C)


40.Demuestre analíticamente que:

a) A∩B=∅ si y solo si AC∩B=B

*A∩B=∅↔AC∩B=B*∅↔B=B*∅↔B*V ↔VRespuesta: Verdadero.

b) A∩B=∅ siysolosiAC BC

*A∩B=∅↔AC BC*∅↔∅ *∅↔B*V ↔VRespuesta: Verdadero.

c) ( ACC )˄ (BC D )→ (A∪B )C (C∪D )* (A) v (B) → (A∪B ) ¿(C∪D¿)* (A) v (B) → (A∪B )*( A∪B )→ (A∪B )

52

A B

A∩B=∅

A B

A∩B=∅

A B

C D

c) ( A⊆B )→A ¿=∅ * (A) → (A ∩BC )* (A) → (A∩ A )* (A) →(A)

e) (A∪B)C∩C=∅→B∩C=∅ * (AC∩BC) ∩C →B∩C*AC∩BC∩C →B∩C˄ A∩C*∅→∅ *∅=∅

41. Si x ∈A= {1, 2, 3}, demuestre – mediante contraejemplos- la falsedad de las siguientes proposiciones:

53

( A∪B )C (C∪D )

B

A ¿=∅

A

B

B∩C=∅

AC

∅ ∅

A∩C=∅

* Cumple* No Cumple

a) (∀x ∈A) (x2=x)

Respuesta: La proposición es Falsa.1. (12=1)2. (22≠2)

3. (32≠3)

b)(∃x ∈A) (x = 2x)

Respuesta: La proposición es Falsa.1. (1≠2) 2. (2=4)3. (3≠6)

c)(∀x ∈A) (x + 2 = 5)

Respuesta: La proposición es Falsa. 1. (1+2≠5) 2. (2+2≠5)3. (3+2=5)

d)(∀x ∈A) (x+1≥4)


1. (1+1≠≥4)

2. (2+1≠≥4)3. (3+1≥4)

e) ~ (∃x ∈A) (x2 = 4)


1. (12≠ 4) 2. (22=4)3. (32≠4)

f) (∃x ∈A) (x>4)


1. (1≠>4)

2. (2≠>4) 3. (3≠>4)

42.Pruebe que si α es múltiplo de 6, entonces α es múltiplo de 3.

*α6

= α3

*3α = 6α

*6α3α

= 2

Respuesta: Entonces tres es dos veces seis por lo que los múltiplos de 6 son 2 veces los múltiplos de 3.

43.Sean α, b, c números enteros, demuestre por reducción al absurdo que si α divide a (b + c) y α divide a b, entonces α divide a c. (Sugerencia: Se dice que α divide a b, si existe un entero n tal

54

que b = αn)*αb+c

+ αb

= αc

*αb+ab+acb2+bc

=αc

*abc+abc+ac2= ab2+abc*

abc+abc−abc=ab2−ac2* abc=ab2−ac2abc≠ a(b¿¿2−c2)¿

Respuesta: abc ≠a(b¿¿2−c2) ,¿Se demostró queNo se puede dividir aparac ,luego de realizar la operación solicitada.

44. Utilizando el método de la contraposición, pruebe que si n es múltiplo de 3, entonces n – 2 es múltiplo de 3.

*n3 = n−23 *n – n + 2 = 0 *2 = 0

Respuesta: 2≠ 0, por tanto si n es múltiplo de 3 entonces n – 2 no puede serlo ya que plantea un absurdo al momento de realizar la operación.

45. Demuestre que ∀n∈ Z, n2 + 2 no es divisible por 4.

*n2 + 2 ∈ Z (suponiendo cualquier número entero x)

*((3¿¿¿2+2)∈ Z*(9+2¿∈ Z*(11¿∈ Z*(11 /4¿ ~ ∈ Z Respuesta: (11 /4¿ ~ ∈ Z, por tanto queda demostrado que todo número entero que realice la operación n2 + 2 dará como resultado otro entero, pero este al dividirlo para 4 no arrojara un valor exacto y posteriormente el numero dejaría de ser un entero.

46. Pruebe que si x, y son enteros impares entonces x2+ y2 no es divisible por 4.

Si x = 2j +1 y y = 2k +1 , entonces: *(2 j+1)2+(2k+1)2*4 j2+4 j+1+4 k2+4 k+1*4 j2+4 j+4 k2+4 k+2*4 ( j¿¿2+ j+k2+k )+2¿ (Suponiendo a j y k como números enteros cualesquiera) *4 (3¿¿2+3+62+6)+2¿ , Tenemos: *

4 (9+3+36+6)+2*4 (54)+2*216+2*218; Ahora demostramos mediante una operación matemática si el resultado es divisible de forma exacta para 4 o no. *218 / 4 = 54.5 ~ ∈ Z.

Respuesta: (x2+ y2/4¿ ~ ∈ Z, por tanto queda demostrado que todo número entero que realice la

operación x2+ y2, solo si x e yson enteros impares dará como resultado otro entero, pero este al dividirlo para 4 no arrojara un valor exacto por lo cual se dice el número no pertenece a los enteros.

47. Demuestre que si m es un entero par y n es un entero impar, entonces m2+n2es impar.

Si m= 2x y n = 2y +1 , entonces: *(2 x)2+(2 y+1)2*4 x2+4 y2+4 y+1*4 x2+4 y2+4 y+1*4 (x¿¿2+ y2+ y)+1¿ (Suponiendo a x ey como números enteros cualesquiera) *4 (5¿¿2+32+3)+1¿ , Tenemos:

*4 (25+9+3)+1*4 (37)+1*148+ 1 *149

55

Respuesta: 149, por tanto queda demostrado que todo número entero par elevado al cuadrado de su potencia sumado al cuadrado de otro número impar cualesquiera, siendo enteros los dos siempre nos dará como resultado otro número impar.

48. Si x, y son números enteros múltiplos de 3, pruebe que x2+ y2 es divisible por 9.

*x3

+y3

= R/9*x + y = R/3*x2 + y2 (Siendo x e ynúmeros enteros múltiplos de 3, tenemos)

*62 + 122*36 + 144*180 (Con este resultado se procede a realizar la división para 9 y así demostrar que es o no es posible hacerlo de manera exacta) *180 / 9 = 20

Respuesta:180 / 9 = 20, por tanto si x e y son múltiplos de 3 entonces al realizar la suma de sus respectivos cuadrados podemos demostrar que este resultado siempre podrá ser dividido de manera exacta para 9.

49. Sea n un numero entero, pruebe que: n (n + 1) (2n + 1) es divisible por 6.

*n (n + 1) (2n + 1)*(n2+¿n ) (2n + 1)*2n3+n2+ 2n2 + n

*2n3+¿3n2 + n

*n (2n2+¿3n + 1) (Tomamos cualquier número entero que pueda ser reemplazado por la variable n y realizamos la posterior demostración)

*7 (2(7)2+¿3(7) + 1)

*7 (2(49)+¿21 + 1) *7 (98+¿21 + 1) *7 (120) * 840 (Con este resultado se procede a realizar la división para 6 y así demostrar que es o no es posible hacerlo de manera exacta) *840 / 6 = 140

Respuesta: 840 / 6 = 140, por tanto si n es un numero entero entonces al realizar el reemplazo de cualquier variable entera en la formula “n (2n2+¿3n + 1)” podemos demostrar que este resultado siempre podrá ser dividido de manera exacta para 6.

50. Sea n un número entero, pruebe que: n2(n+1)2 es divisible por 4.

*n2 ¿n + 1¿2 (Tomamos cualquier número entero que pueda ser reemplazado por la variable n y

realizamos la posterior demostración) *(1)2¿1 + 1¿2*(1) (2¿2*(1) (4) *4 (Con este resultado se procede a realizar la división para 4 y así demostrar que es o no es posible hacerlo de manera exacta) *4 / 4 = 1

Respuesta: 4 / 4 = 1, por tanto si n es un numero entero entonces al realizar el reemplazo de cualquier variable entera en la formula “n2(n+1)2” podemos demostrar que este resultado siempre podrá ser dividido de manera exacta para 4.

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51. Supongamos que m=7n+1para algún entero n, demuestre que m2se escribe en la misma; es

decir: m2=7n+1 para algún entero k.

*1.m2=7n+1 ˄ 2.m2=7k+1; m2=m2*7n+1=7 k+1*7n+1−1=7k*7n=7k*n=7k /7*n=k , Si n = k, entonces reemplazamos en 1.

*1.m2=7k+1 ˄ 2.m2=7 k+1;1=2 ;m2=m2*1.m2=7k+1 (Ahora reemplacemos kpor un entero cualesquiera) *m2=7 (6)+1*m2=43

Respuesta: m2=m2, por tanto queda demostrado que m2 puede escribirse de la misma manera aun si cambian su variable por un entero cualesquiera k.

52. Sea x un numero entero, pruebe que x2 es de la forma 3n, o bien 3n+1 para algún entero n, pero no de la forma 3n+2 . (Sugerencia: Todo numero entero m es de alguna de las siguientes formas: m = 3k, m = 3k + 1 o m = 3k + 2.

53. Muestre que el producto de dos números impares es otro número impar.

Si m = 2p + 1 y n= 2l + 3 y ambos son impares, entonces tenemos que m * n = impar: * (2p + 1) (2l+ 3)* (4pl + 6p + 2l + 3) (Suponiendo que p y l son enteros cualesquiera, reemplazar en la formula anterior) * (4(5)(9) + 6(5) + 2(9) + 3) * (180 + 30 + 18 + 3)*231Respuesta: 231, por tanto queda demostrado que el producto de dos números impares siempre nos dará como resultado otro numero impar.

54. Demuestre que n2−n es divisible por 2 para todo entero n. *n2−n2

(Reemplazamos la variable

npor cualesquier entero positivo) *112−112

*121−112 *

1102 * 55

Respuesta: 231, por tanto queda demostrado que el cociente de una variable n que puede ser reemplazada con un entero positivo, sumada a su cuadrado y posteriormente dividida entre 2 siempre nos dará como resultado otro número entero exacto.

55. Muestre que si n es múltiplo de 5, n2 puede calcularse mediante la relación (n - 5) (n + 5) + 25. Utilice esta fórmula para calcular mentalmente los cuadrados de 15, 25 y 65. Luego aplique este resultado para calcular el cuadrado de cualquier número múltiplo de 5.

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solucionario libro matemática

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