SPECIALNI TEORIE RELATIVITY

text k prednasce pro MFF UK

Oldrich Semerak

Ustav teoreticke fyzikyMatematicko-fyzikaln fakultaUniverzita Karlova v Praze

PRAHA, AKTUA LNE 2012

Obsah

Predmluva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vii

1 U vod 11.1 Msto specialn teorie relativity ve fyzice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2 Pripomnka historie: zapletka s eterem a rychlost svetla . . . . . . . . . . . . . 2

1.2.1 Michelsonuv-Morleyuv experiment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2.2 Bradley, Fizeau, Hoek, Airy a dals. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2.3 Lorentzova & Fitzgeraldova kontrakce . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2.4 Stav na jare roku 1905 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.3 Albert Einstein a zrod nove fyziky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.3.1 Einstein a eter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.3.2 Relativita soucasnosti a dals efekty . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.3.3 Zpusob myslen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2 Vychoz principy specialn teorie relativity 132.1 Lorentzova transformace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.2 Bezprostredn dusledky Lorentzovy transformace . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.2.1 Relativita soumstnosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.2.2 Relativita soucasnosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.2.3 Kontrakce delek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.2.4 Dilatace casu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.2.5 Transformace trrozmerne rychlosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.2.6 Invariance prostorocasoveho intervalu a skalarnho soucinu vektoru . . 19

2.3 Muj cas tednema valne hodnoty. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

3 Minkowskeho prostorocas 233.1 Indexovy formalismus v IE3 pripomenut . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233.2 Indexovy formalismus v Minkowskeho prostorocasu . . . . . . . . . . . . . . 25

3.2.1 Prechod mezi vektory a kovektory: snizovan a zvysovan indexu . . . 273.3 Lorentzovy transformace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283.4 Tenzory a principy specialn relativity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3.4.1 Poctan s tenzory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293.5 Invariance intervalu z vychozch principu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

3.5.1 Lorentzova transformace z invariance intervalu . . . . . . . . . . . . . 333.6 Prostorocasove diagramy, kauzaln struktura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

3.6.1 Lorentzova transformace na prostorocasovych diagramech . . . . . . . 363.6.2 Kauzaln struktura Minkowskeho prostorocasu . . . . . . . . . . . . . 373.6.3 Vlastn vzdalenost a klidova delka, vlastn cas . . . . . . . . . . . . . . 383.6.4 No space, no future. . . Svetlo! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

iii

iv OBSAH

3.7 Paradoxy specialn relativity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393.7.1 Paradox hodin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

4 Relativisticka mechanika 434.1 Svetocara, ctyr-rychlost, ctyr-zrychlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

4.1.1 C tyr-rychlost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 444.1.2 C tyr-zrychlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

4.2 Vlastnosti hmotnosti a ctyr-hybnost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 454.2.1 Relativisticke srazky a zavislost hmotnosti na rychlosti . . . . . . . . . 454.2.2 C tyr-hybnost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

4.3 Pohybova rovnice, ctyr-sla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 484.3.1 Prcna a podelna hmotnost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

4.4 (Ne)konstantnost klidove hmotnosti, prace a E = mc2 . . . . . . . . . . . . . 504.4.1 Einsteinuv vztah ekvivalence hmotnosti a energie . . . . . . . . . . . . 514.4.2 Vztah energie a hybnosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 524.4.3 Kovariantn vztah pro energii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

4.5 Otazka nadsvetelnych rychlost a princip kauzality . . . . . . . . . . . . . . . 534.5.1 Zvlastnosti nadsvetelnych rychlost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 534.5.2 Oddelene svety {v < c}, {c}, {v > c} . . . . . . . . . . . . . . . . . . 544.5.3 Hyperbolicky pohyb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 554.5.4 Tachyony a princip kauzality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

5 Elektrodynamika ve vakuu 595.1 C tyrrozmerny proud, potencial a tenzor EM pole . . . . . . . . . . . . . . . . 595.2 Maxwellovy rovnice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

5.2.1 Rovnice kontinuity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 625.2.2 Nejednoznacnost ctyr-potencialu kalibracn invariance teorie . . . . 635.2.3 Vlnova rovnice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

5.3 Dualn tenzor a invarianty elektromagnetickeho pole . . . . . . . . . . . . . . 655.3.1 Kovariantn vyjadren elektrickeho a magnetickeho pole . . . . . . . . 66

5.4 Lorentzova ctyr-sla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 675.4.1 Lorentzova ctyr-sla nemen klidovou hmotnost . . . . . . . . . . . . . 685.4.2 Hustota Lorentzovy ctyr-sly . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

5.5 Rovinna harmonicka vlna. Vlnovy ctyr-vektor . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

6 Vzhled objektu 716.1 Doppleruv jev a aberace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

6.1.1 Doppleruv jev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 726.1.2 Aberace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

6.2 Jak dlouhou se jev letc tyc? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 747 Variacn principy 77

7.1 dAlembertuv princip, Lagrangeovy rovnice 1. druhu . . . . . . . . . . . . . . 787.2 Hamiltonuv princip, Lagrangeovy rovnice 2. druhu . . . . . . . . . . . . . . . 797.3 Nalezen Lagrangeovy funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

7.3.1 Lagrangian nabite castice v elektromagnetickem poli . . . . . . . . . . 837.4 Klasictejs formulace Hamiltonova principu (d = 0) . . . . . . . . . . . . 84

7.4.1 . . . a odpovdajc lagrangian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 857.5 Variacn odvozen Maxwellovych rovnic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

OBSAH v

8 Tenzor energie a hybnosti 898.1 Svazany system nabiteho hmotneho prachu a EM pole . . . . . . . . . . . . . 89

8.1.1 T pro nabity hmotny prach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 898.1.2 Fyzikaln vyznam T prach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 908.1.3 T pro elektromagneticke pole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 908.1.4 Fyzikaln vyznam T EM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 918.1.5 Zakony zachovan pro T . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

8.2 Tenzor energie a hybnosti rovinne elektromagneticke vlny . . . . . . . . . . . 93

Literatura 95

PR EDMLUVA: c

O Slunce! Ty vids vsechno, ty tvors zari a pohybujes se velmi rychle. Cele nebe osvetlujes.C tvrty vers zpevu 1:50 jednoho z nejstarsch spisu Rigveda nen nijak vyjimecny induskakosmologie se od nepameti tocila kolem Slunce. Ucenec a politik Sayan

.a, zijc v letech

1315-1387 na kralovskem dvore Vijayanagarske rse v jizn Indii, si pri studiu a vykladan Vedk tomuto versi pripsal: Budiz pripomenuto: Slunce uraz 2202 yojany za pul nimesy. Sayan

.a

nebyl astronomem, v poznamce se odvolava na tradici a ma patrne na mysli kosmologickepredstavy zachycene ve starych nabozenskych textech zvanych Purany. Yojana je stara indickadelkova mra, jejz hodnota je udavana v oblasti 1316 km, a nimesa je stara indicka casovajednotka, jejz hodnotu historikove prepoctavaj na 16/75 s. Za vterinu by tedy Slunce melourazit kolem 300000 km. . .

Sayan.a se trefil docela presne, ackoliv o pohybu svetla asi moc nevedel. Ani nemohl

rychlost svetla nen lehke urcit a bez dalekohledu ji nejde ani odhadnout. V pomerech vesmruje zoufale mala, ale pro pozemske mry moc velika. 22. srpna 1634 pse Rene Descartes svemuprteli Isaacu Beeckmanovi, ze rychlost svetla je jiste nekonecna, a dodava: Je to tak jiste, zepokud by se ukazalo, ze to nen pravda, jsem pripraven uznat, ze z filosofie nevm vubec nic.Descartes chtel prtele usetrit zbytecne namahy ten totiz travil dost casu tm, ze vytahovalna pole delo, o mli dal stavel zrcadlo a snazil se zaznamenat, s jakym zpozdenm v nem budevidet zablesk vystrelu.

Nekonecna rychlost svetla byla soucast aristotelske tradice, ale ani ve staroveku se k nvsichni neklonili. Jiz predtm vyvinul EMPEDOKLE S z Akragasu (492-432 BC) vlivnou hypotezuo viden (pomoc svetla vyslaneho okem) a tvrdil naopak, ze rychlost svetla je konecna. Stejnehonazoru byli i o neco mlads atomiste patrc k DZ INISTICKE FILOSOFII v Indii (svetlo bylo podlenich zpusobeno pohybem malych castic). Prvn soustavnejs vyzkum vsak provedl az prvnvedec Abu Al al-Hasan ibn al-Hasan ibn al-Haytham z Basry (pusobil ovsem v Kahire),znamy pod latinskym jmenem ALHACEN (965-1039). Jeho sedmisvazkova Kniha optiky prinaskrome mnoha dalsch zjisten i experimentaln dukaz, ze svetlo se sr prmocare a ze zdrojedo oka (nikoli naopak) a take presvedcen, ze se tak deje konecnou rychlost. To bylo vsakprokazano az v 17. stolet.

22. srpna 1676 oznamil na jednan francouzske Kralovske akademie ved Giovanni Do-menico Cassini, tou dobou reditel Parzske observatore, ze s kolegy Jeanem Picardem a OleRmerem provedli radu meren zakrytu Jupiterova mesce Io a zjistili, ze zacatky a koncezakrytu behem roku postupne kolsaj kolem hodnot odpovdajcch vypoctane draze mesce.Cassini dokonce oznamil, ze naprklad 16. listopadu toho roku vyjde mesc z Jupiterova stnu o10 minut pozdeji nez podle vypoctu. Jako pravdepodobnou prcinu nesouladu uvedl to, ze Zemeje behem roku od Jupiteru ruzne daleko a ze svetlu trva 10 nebo 11 minut, nez uraz vzdalenostrovnou polomeru zemske drahy. Ostatn (tehdy tri) Jupiterovy mesce byly pozorovany s menspresnost a podobny efekt u nich nebyl rozeznan, Cassini proto zahy od dumyslneho vysvetlenMons. Rmera pomoc konecne rychlosti svetla upustil. RMER byl naopak presvedcen o jehospravnosti a 7. prosince ho (jiz samostatne) dukladne popsal v Journal des Scavans. V r. 1728 sekonecnost rychlosti svetla potvrdila, kdyz s jej pomoc James BRADLEY vysvetlil aberaci svetlastalic (rovnez) jako dusledek obehu Zeme kolem Slunce.

Roku 1864 James C. MAXWELL definitivne shrnul elektricke, magneticke a opticke jevydo jednotne Dynamicke teorie elektromagnetickeho pole. Zahy se ukazalo, ze teorie neninvariantn vuci Galileiho transformaci, a do centra pozornosti se dostala otazka, jak nejlepezjistit absolutn pohyb Zeme pohyb vuci nosici svetelnych rozruchu, eteru. Roku 1887,po letech prace na novem typu interferometru, Albert A. MICHELSON konecne pripravil s

viii PR EDMLUVA

pomoc Edwarda W. MORLEYE dostatecne citlivy experiment, jmz melo byt mozno presnezmerit anizotropii rychlosti svetla a z n odvodit okamzitou rychlost Zeme vuci eteru. Merenjiz probhala, kdyz Heinrich R. HERTZ experimentalne potvrdil existenci elektromagnetickychvln.1 Michelson s Morleyem ovsem nezjistili v rychlosti svetla zadnou anizotropii, zadnouzavislost na denn ci rocn dobe a na orientaci prstroje. Michelson ani Morley (stejne jakoMaxwell ci Hertz) o eterove teorii svetla nepochybovali a svuj experiment jeste nekolikratzopakovali. Po nich pak mnoz dals az do dnesnch dnu. V r. 2009 byla pomoc Michelsonovausporadan dutinovych rezonatoru a zaznejove kontroly vyladen jejich frekvenc omezenaprpadna anizotropie rychlosti svetla na c

c < 1017.Kdyz kolem roku 1630 Galileo GALILEI vyplouval na more (mozna jen v duchu), aby

zjistil, zda jeho asistenti proti smeru pohybu lodi nedoskoc dal nez ve smeru opacnem, tezkotusil, ze Prroda dba na rovnopravnost inercialnch systemu tak extremne dusledne. Kdyz 7.ledna 1610 nad kupole baziliky sv. Antonna (v Padove) vysel Jupiter a on u nej svym neustalevylepsovanym, tehdy asi tricetkrat zvetsujcm dalekohledem spatril tri (pozdeji ctyri) satelity,take asi netusil, ze jeste v temze stolet povede stejne pozorovan k dobremu odhadu rychlostisvetla. A co kdyz o dalsch 20 let drve v Pise odmeroval pad predmetu v gravitacnm poli?Einstein na principu ekvivalence zalozil svou teorii gravitace; na pocatku 20. stolet byl principoveren s relativn presnost 109, dnes je to 1014. Ale o tom az v obecne relativite. . .

Rychlost sren elektromagnetickeho zaren ve vakuu se zda byt jednou z centralnch vlast-nost naseho vesmru. Hodnota nezavis na case, mste ani smeru, je stejna vuci vsem inercialnm(a lokalne i vuci vsem urychlenym) vztaznym soustavam. Je to nejvets rychlost, jakou se muzesrit informace, takze svetelne paprsky urcuj kauzaln strukturu prostorocasu. Jako o dals zdulezitych vlastnost naseho vesmru budeme v techto poznamkach hovorit o Albertu Einstei-novi. Predevsm jako o tvurci teorie relativity, i kdyz Einstein prispel i k rade dalsch oblast.Tradicne je pripomnana jeho neduvera ke kvantove mechanice, ale stejnou pozornost zaslouzi to, jak od sveho clanku O heuristickem hledisku tykajcm se produkce a premeny svetla, kteryvysel v r. 1905 v Annalen der Physik jen o 4 csla pred prac obsahujc specialn relativitu,az do samotneho roku 1925 Einstein po vytvoren kvantove teorie (konkretne kvantove teoriesvetla) naopak volal a jak v tom byl po celou tu dobu osamocen.

Kvantova elektrodynamika dnes patr k universitnmu fyzikalnmu vzdelan, ale vets pro-blemy jsou s kvantovou teori gravitacn interakce kvantovou obecnou relativitou. Kvanto-van gravitacnho pole znamena po prekladu do geometrickeho jazyka kvantovan prostorocasu,takze samotny prostor a cas by po rozkvantovan mely byt na velmi male (Planckove) skalediskretn. Fyzikaln procesy probhajc na velmi malych rozmerech by tuto zrnitost mely ctit.Na prostorocasovych nehomogenitach by se naprklad melo rozptylovat a zpomalovat svetlovelmi kratkych vlnovych delek. Kvantove teorie gravitace tak efektivne predpovdaj mrnenarusen lorentzovske invariance, spocvajc v tom, ze rychlost svetla by mela zaviset na jehofrekvenci. Efekt je velmi slaby, ale mel by byt patrny u velmi vzdalenych zdroju, ktere vyslaj conejsirs oblast elektromagnetickeho spektra vcetne co nejtvrds slozky, a jejichz svetelna krivkaobsahuje co nejvyraznejs a casove dobre lokalizovatelna vzplanut. Presne takovymi zdrojijsou kratke zablesky gamma, pravdepodobne provazejc gravitacn kolaps binarnho systemuneutronovych hvezd. V kvetnu 2009 se podarilo zachytit zaren sirokeho rozsahu energi (odrentgenove po tvrdou gamma oblast) z kratkeho zablesku GRB 090510. Zablesk vykazal posunvlnove delky z .= 0.9, takze jeho fotony k nam cestovaly vce nez miliardu let. Vsechny dorazilyv rozsahu necele vteriny. . .

1 Kdyz se ho ptali, jaky ma jeho vysledek vyznam, odpovedel: Myslm, ze vubec zadny, . . . jen se prokazalo,ze Maestro Maxwell mel pravdu.

PR EDMLUVA ix

Podkovn

Nejdrve omluva. Tento text k uvodnmu kursu specialn relativity nen zdaleka dukladny,tak jako nemuze byt moc dukladny ani samotny kurs. Modern pohled na teorii relativity jepohledem geometrickym, ale v takovemto uvodu se po nem muzeme spse poohlzet nez jejporadne pestovat. Nektere partie uplne chybej; mozna je nekdy doplnme, ale tedse mi zdalodulezite, aby posluchaci konecne meli text, ktery odpovda prednasene latce. Psan skript jeovsem dvousecna (v Minkowskeho prostorocasu ctyrsecna) aktivita. Autor se priuc predmetu,ale na prednasce pak ma pocit, ze by nemel jen reprodukovat, co uz je napsano. Studenti se majdo ceho podvat, ale na druhe strane ct mens potrebu chodit do skoly (a vnmat). Navc sepredmet uz ponekud dlouho uc stejnym zpusobem a mozna by bylo na mste to nejak zmenit. Vtom prpade snad budou poznamky k soucasnemu vykladu na mste. Mohou pomoci, a pritomna nove prednasce pujde rct: ale my to udelame lp.

Sam jsem mel zrdkakdy potrebu (a vubec ne nadeji) neco delat lp, protoze jsem na MFFUK chodil na skvele prednasky. Na relativitu hlavne k profesoru Jirmu Bicakovi a docentuJirmu Langerovi, mam sesit i z legendarnho kladvkoveho kursu docenta Kurta Fisera.Prirozene jsem behem tech let cerpal take z knih. Kanonickou ceskou ucebnic jsou staleZaklady specialn teorie relativity prof. Vaclava Votruby [7]. Maj 440 stran a nekterymi z nichse neprokousava uplne snadno. Rovnez duraz na jednotlive partie, styl vykladu, matematickekonvence i znacen jsou dnes trochu jine. Po fakticke strance vsak kniha zatm nema nahradua pro hlubs studium ji lze rozhodne doporucit. Obsahuje i dukladny rozbor rady experimentu,ktere prokazaly nezavislost rychlosti svetla na inercialnm systemu. Experimenty jsou detailneprobrany take v kvalitnch skriptech doc. Leose Dvoraka [1]. Nektere casti latky je moznokonzultovat i v knihach [3, 4, 6], i kdyz v trochu jinych formalismech. Vedle toho existuje radaanglicky psanych ucebnic, ktere jsou vsak hure dostupne a nekdy se i ony od prazskeho podan(a mezi sebou) ve formalnch detailech lis.

Krome ucitelu jsem vdecny take studentum, prednaska se utvarela i dky jejich reakcm a vzdy v prjemne spolecnosti. Nejvets dk ovsem patr kolegum z ustavu a z Relativistickehoseminare, za prubezne odborne a pedagogicke podnety, ale predevsm za kulturn a kamaradskeprostred. Dr. Otakar Svtek text procetl a vylepsil, nekolik nedostatku odhalil take Mgr. T.Franc. Budu rad, kdyz udelate totez. . .

OS, 12. prosince 2010

x PR EDMLUVA

Zkladn konvence a znaen

Pokud nen receno jinak, uzvame standardnho slozkoveho jazyka, Einsteinova sumacnho pra-vidla a notace obvykle v teorii relativity. Veliciny uvadme v normalnch, fyzikalnch (nikoligeometrizovanych) jednotkach, konkretne v soustave SI. Metricky tenzor g ma signaturu(+++), recke indexy nabyvaj hodnot 03, latinske indexy hodnot 13. Zapis X reprezentujevsechny, resp. kteroukoliv slozku veliciny X , tj. X (X0, X1, X2, X3) (analogicky pro veli-ciny libovolneho tenzoroveho typu a radu); konkretn hodnoty indexu budou specifikovany csly03 nebo prmo psmeny znaccmi prslusne souradnice (takze napr. X2 Xy). V obecnostije dobre indexy chapat jako abstraktn, tedy nikoli jako oznacen slozek a jako signalizaci toho,ze je nutno pracovat ve slozkach, ale proste jako vyhodny zpusob, jak zapsat veliciny (tak, zeje i bez kontextu mozno na prvn pohled odhadnout jejich typ) a tenzorove operace s nimi. Tojest: je dobre predstavovat si pod X i sps ~X nez (X1, X2, X3). Specialn relativitu je vsak velmivyhodne probrat v inercialnch systemech, a ty jsou kartezske, proto v konkretnch prpadechjiz budou indexy skutecne casto reprezentovat slozky; napr. Minkowskeho tenzor dokonceznac jen specialn tvar, ktereho nabyva metricky tenzor plocheho prostorocasu v nejakem iner-cialnm systemu. Parcialn derivace je znacena nebo carkou v indexove pozici, X

x X,

(v literature se vyskytuje take znacen X, prpadneX my si ale schovame az prokovariantn derivaci, se kterou se setkame v obecne relativite).

KAPITOLA 1

Uvod

Nedavno jsme na Wikipedii nasli strojovy preklad, ze Special relativity je lekarska prohldkapublikovana v r. 1905 Albertem Einsteinem v jeho clanku K elektrodynamice dojemnychtel. . . Je to mens move (posun), nez jakeho se teto teorii dostava od lid. Einstein musel pulzivota trpet, ze je spojovan s prupovdkou vsechno je relativn a jeho teorie prekrucovana vargument pokleslych postoju relativismu. Od pocatku zduraznoval, ze neprichaz s teori, ale sheuristickym principem (ktery by mely splnovat vsechny teorie). A kdyz uz, tak navrhovalhovorit o teorii invariantu. Max Planck vsak jeho praci nazval relativn teori, a to prestozev n spolu s autorem predevsm spatroval cestu k tomu, co je absolutn, obecne anemenne. Behem r. 1907 byla relativn teorie v kuloarech upravena na teorii relativity. Toudobou jiz pracoval na jej eleganci hlavne Hermann Minkowski. Uvedl ji do ctyrrozmerneho,geometrickeho havu, v nemz jej absolutn prvky vystupuj zvlaste zretelne. Pri predstavennoveho pohledu na prostor a cas take msto principu relativity rkal postulat absolutnhosveta. . .

Indicky matematik a astronom ARYABHATA (476-550) ve svem spisu Aryabhatiya shrnulinduske i pozdejs (hlavne dzinisticke) vysledky; mnohe z nich byly zskany (ci alespon tipo-vany) davno pred Evropou. Pse take: Stejne jako vid clovek na jedouc lodi, ze se stromyna brehu pohybuj v opacnem smeru, vid pozorovatel na rovnku stalice pohybovat se presnena zapad. O tiscilet pozdeji se vydaval na more G. GALILEI1 (1564-1642), ale msto abytam odtud vzhlzel ke stromum a hvezdam, zavrel se v kabine a sledoval tam uvnitr poletovanmotylu, rybky v akvariu, pad vodnch kapek, pohyb koure a sportovn vykony svych asistentu.Jeho zaver ze vse probha stejne jako v klidu na sousi je citovan jako Galileiho prin-cip relativity, ale ve spisu Dialog (1632) zjistte, ze on sam na nem nezduraznoval relativitupohledu na svet (totiz zavislost merenych hodnot velicin na pozorovateli), ale naopak stejnost,nerozlisitelnost (neurychlenych, inercialnch) systemu. Podobne pro Einsteina bylo sice pocho-pen relativity casu tm nejdulezitejsm klcem k nove fyzice, ale pro samotnou relativitupohledu na svet, obecne zrejmou odnepameti, to bylo jen male upresnen. Kde vsak fyzika poEinsteinovi nachaz skutecne bohatstv, je pri hledan invariance velicin a teori vuci urcitymtransformacm. Symetrie se zdaj byt jednou z nejhlubsch vlastnost vesmru.

Navzdory svemu jmenu je tedy teorie relativity predevsm o invarianci zakonu vuciurcitym prostorocasovym transformacm: Lorentzovym v prpade specialn relativity aobecnym diffeomorfismum v prpade obecne relativity. Popularn zkracovan tyc a prodluzovancasovych intervalu, paradoxy s garaz a dvojcaty jiste probereme, ale meli bychom mt stale na

1. . . ve skutecnosti mozna jen prostrednictvm sveho literarnho hrdiny Salviatiho. . .

1

2 1. U VOD

pameti, ze se jedna jen o nevyhnutelne dusledky principu, podle nehoz jsou vsechny inercialnsystemy z hlediska fyzikalnch zakonu ekvivalentn. To tento princip by nas mel prubezneudivovat. Nejen ze nen vubec samozrejmy, dokonce by bylo prirozene predpokladat, ze kdyzveci kolem nas zjevne preferuj urcite sve klidove systemy, budou to cinit i prrodn zakony,tedy fyzikaln pravidla hry. Privilegovanym je jiste klidovy system Vaseho notebooku, systemspojeny se Zem, se Sluncem, s Galaxi. . . Izotropie reliktnho zaren dnes opravnuje hovoritdokonce o klidovem systemu naseho vesmru a potvrzuj to i studie mapujc rozlozen hmoty.Tezko najt privilegovanejs system, ale presto v nem fyzika chod podle stejnych pravidel, jakov jakemkoli jinem.

1.1 Msto speciln teorie relativity ve fyziceSpecialn relativita je tedy spse principem (nekdy se oznacuje jako principialn teorie cimeta-teorie) nez obvyklou (tzv. konstruktivn) fyzikaln teori: pozaduje, aby fyzikalnteorie nerozlisovaly mezi inercialnmi systemy, aby byly invariantn vuci transformaci mezinimi. My se v teto uvodn prednasce budeme venovat pouze mechanice a elektrodynamice vevakuu. Zatmco elektrodynamika bude, jak uvidme, automaticky spravne (specialn relativitadky n vlastne vznikla), mechaniku budeme muset odvodit novou. Odchylky relativistickychpredpoved od klasickych (newtonovskych) v n rostou s tm, jak se rychlost zkoumanehotelesa zvysuje a blz rychlosti svetla. Specialn relativita bude tedy nepostradatelna tam, kde seveci pohybuj velmi rychle predevsm v casticove fyzice (kosmicke zaren, urychlovace) a vastrofyzice. Krome novych predpoved v konkretnch situacch vsak specialn relativita prinasi zasadn novou zpravu: ze casova souradnice nen absolutn a ze je provazana s prostorovymisouradnicemi; vysoka symetrie tohoto provazan navc ukazuje, ze navzdory nasemu rozlisovanmezi polohou a casem je vyhodne a prirozene na fyzikaln svet pohlzet jako na ctyrrozmernyprostorocas.

Co budeme k prednasce potrebovat? Zhruba 1905 gramu tenzorove algebry (abychomzajistili matematicke naplnen principu relativity) a podobne mnozstv ctyrrozmerneho forma-lismu (abychom mohli v prostorocasu prakticky poctat). Uvidme, ze kdyz tyto dve ingrediencedobre promchame, zard vlastne vsechno za nas. Jeste jsem zapomnel, ze ze zacatku budememuset take obcas premyslet to kdyz budeme skutecnost nahlzet jeste z 3+1 (prostor +cas) pohledu, nez si zvykneme v prostorocasu.

1.2 Pipomnka historie: zpletka s terem a rychlost svtlaNewtonova fyzika umoznila urcit na zaklade znalosti siloveho pusoben pohyb daneho telesa.Urcit pohyb znamena rci, kde se teleso v kterem okamziku nachaz pohyb je urcen vreci polohy a casu. Vuci cemu ovsem polohu a cas vztahovat? Isaac Newton (Principia, 1687)postuloval, ze jevistem fyzikalnho den je nepohyblivy absolutn prostor, ktery je geometrickytrrozmernym eukleidovskym prostorem. Dale postuloval existenci absolutnmu casu, kteryplyne sam od sebe a dky sve povaze rovnomerne. Oba tyto pojmy jsou absolutn tm,ze jsou nezavisle na hmote, tedy na fyzikalnm den. Prvn Newtonuv zakon tvrd, ze existujealespon jeden inercialn system, a z jeho definice je ihned jasne, ze takovych systemu existujenekonecne mnoho; navzajem se pohybuj rovnomerne prmocare, tedy jsou svazany Galileihotransformac. Newtonuv druhy zakon a nasledne cela jeho teorie plat ve stejnem tvaru ve vsechinercialnch systemech je invariantn vuci Galileiho transformaci. (Pri teto transformacizustava cas stejny, tedy je absolutn i v tom smyslu, ze nezavis na tom, zda a jak se pozorovatel

1.2. PR IPOMINKA HISTORIE: ZA PLETKA S E TEREM A RYCHLOSTI SVE TLA 3

pohybuje vuci absolutnmu prostoru.) Dky galileiovske invarianci nelze mezi inercialnmisystemy mechanicky rozlisit, tedy specialne mezi nimi nelze najt system, ktery je v klidu vuciabsolutnmu prostoru.

S uvahami o svetle se vsak na scene objevil eter (ther). Ve starorecke mytologii znamenal prvotn substanci, ktera vyplnovala nebesky svet bohu. Od te doby se pojem objevoval valchymii a prrodn filosofii jako zprostredkujc medium, dnes bychom rekli pole. Pro nasje zde dulezita konkretne predstava eteru jako nosice svetelnych signalu. Do fyziky prichaz svlnovou teori Christiana Huygense (Pojednan o svetle, 1678).2 V letech 1817-21 pak vytvorilAugustin-Jean Fresnel detailn teorii svetla jako prcneho vlnen eteru. Postupne ji dale roz-pracovali napr. Ampe`re, Faraday, Maxwell, Lorentz a Poincare. Potykali se s radou problemu.Predevsm musel mt eter velmi zvlastn vlastnosti: predstava svetelneho vlnen byla mecha-nisticka (eterem se srily vlny elastickeho napet), avsak na druhe strane musel eter vsmprostupovat bez mechanicke interakce (nesmel napr. klast odpor pohybu nebeskych teles) a bylpredpokladan nehmotny. Klidova soustava eteru by kazdopadne mela byt privilegovana; byloprirozene predpokladat, ze je inercialn a ze je dokonce v klidu vuci Newtonovu absolutnmuprostoru.

V r. 1864 J. C. Maxwell zavrsil a propojil vyzkumy svetla, elektriny a magnetismudo jednotne teorie. Tato teorie mj. definitivne predpovedela existenci elektromagnetickehovlnen, ktere se v souladu s jiz drve ucinenymi optickymi merenmi sr konecnourychlost (c). Existenci elektromagnetickych vln pak v r. 1887 potvrdil H. Hertz. Maxwellovateorie nen invariantn vuci Galileiove transformaci, dava ruzne vysledky v ruznych inercialnchsoustavach. To poslilo snahy o identifikaci klidove soustavy eteru. Zeme se pravdepodobnevuci eteru pohybuje, navc v ruznych rocnch dobach ruzne (krome toho dana laborator i vruznych dennch dobach ruzne), takze by melo stacit zmerit rychlost svetla v ruznych smerech:sr-li se svetlo vuci eteru rychlost c, pak jeho rychlost vuci laboratori bude dana slozenms rychlost laboratore. Klidovou soustavou eteru bude zrejme ta, vuci nz se svetlo sr vsemismery stejne rychle. Ke zjisten pohybu Zeme vuci eteru bylo navrzeno a provedeno mnozstvexperimentu, rada jiz za zivota teorie relativity, ale probrat je dnes je kapanek nadbytecne3a k teorii relativity by nas to nijak zvlastnepriblzilo. Z duvodu historickeho vyznamu a tehdyprekvapiveho vysledku vsak zaradme alespon ten, ktery definitivne rozhodl.

1.2.1 Michelsonv-Morleyv experiment

Merit v laboratori prmocare rychlost svetla je kapanek nepohodlne, navc zde nejde o hodnotute rychlosti, ale o to, zda je izotropn nebo ne. Proto se vyuzva interference: monochromatickypaprsek ze zdroje se rozdel ve dva, ty se nechaj v ruznych (nejlepe kolmych) smerech trochucestovat a pak se zase svedou a nechaj interferovat. Obrazec, ktery vznikne, je dan rozdlemmezi dobami, za ktere paprsky urazily sve drahy. Nyn se ramena interferometru, podel nichzpaprsky cestovaly, pootoc (avsak cele usporadan se nijak nedeformuje ramena zustavajstejne dlouha a navzajem kolma). V dusledku skladan rychlosti svetla s rychlost laboratore (oberychlosti vztahujeme k eteru) se tm obecne zmen doby, za ktere paprsky projdou sve drahy,

2 Newton predlozil naopak korpuskularn teorii svetla. I on poukazoval na eter, avsak nikoli jako na prostred,jehoz excitacemi jsou svetelne korpuskule, nybrz jako na prostred, ktere korpuskule rozptyluje totiz abyvysvetlil jevy ohybu a lomu. V r. 1672 publikoval Newton clanek, v nemz uvazoval, ze castice svetla rotuj av dusledku toho pri pohybu eterem zatacej; prisel na to udajne pri pozorovan tenistu na sve Trinity College vCambridge (takze vlastne popsal tzv. Magnusuv efekt 180 let pred H. Magnusem).

3 Vsimnete si, ze prslovce kapanek zde znamena podobne vysokou mru jako ve vyroku Jason byl ze sdlistea mluvil kapanek sproste ve filmu Terkel ma problem.

4 1. U VOD

tedy zmen se take interferencn obrazec. U strednm prvkem experimentu tak bylo polopropustnezrcatko:

obrazek...???Predpokladejme pro jednoduchost usporadan podle obrazku ??: laborator se vuci eteru

pohybuje rychlost ~v v kladnem smeru ramena 1. Pro vysledek interference je podstatny rozdlmezi dobami t1 a t2, po ktere rozdelene paprsky cestuj oddelene, tedy za ktere projdou vlaboratori vzdalenosti l1 a l2. Prvn z casu spoctame v soustave spojene s laborator. Tam sesvetlo pohybuje doprava rychlost c v a zpatky rychlost c+ v, takze celkove mu to trva

t1 =l1

c v +l1

c+ v=

2cl1c2 v2 =

2l1c

1

1 v2c2

.

Cas letu kolmeho paprsku se lepe pocta v soustave eteru: z nacrtu jeho cesty (obr. ?? vpravo)a Pythagorovy vety mame(

ct22

)2= (l2)

2 +

(vt22

)2= t2 = 2l2

c

11 v2

c2

.

Rozdl dob prchodu je tedy

t t2 t1 = 2c

l21 v2

c2

l11 v2

c2

. (1.1)Nyn laborator otocme o 90. Paprsky si jednoduse vymen role, takze vzorecek prvnho tvaruse tedbude tykat druheho paprsku a naopak. Rozdl prchodu je tedy tentokrat

t t2 t1 = 2c

l21 v2

c2

l11 v2

c2

. (1.2)O zmene interferencnho obrazce behem otocen rozhoduje to, o kolik se zmenil rozdl prchodupaprsku, tedy rozdl tech rozdlu,

tt = 2(l1 + l2)c

11 v2

c2

11 v2

c2

.= l1 + l2c

v2

c2. (1.3)

Pri uprave jsme vyuzili toho, ze ocekavana rychlost pohybu Zeme vuci eteru bude radove zhrubarovna rychlosti jejho obehu kolem Slunce, a ta je 30 km/s = 104c, takze v2/c2 .= 108; kdyzcleny ve velke zavorce rozvedeme v teto male velicine do linearnho radu, dostaneme

1

1 v2c2

.= 1 +

v2

c2,

11 v2

c2

.=

1

1 v22c2

.= 1 +

v2

2c2,

a odsud ihned uvedeny vysledek.Meli bychom jeste odhadnout, zda by posun dany vysledkem (1.3) vubec byl prakticky

pozorovatelny. Spoctejme, za jakych parametru by se interferencn vzor pri otocen experimentuposunul prave o jeden prouzek. Posun o jeden prouzek znamena vzajemny posun skladajcchse vlnen o jednu vlnovou delku, tedy zmenu casoveho rozdlu prchodu paprsku o

tt = c

(l1 + l2) v2

c2= .

1.2. PR IPOMINKA HISTORIE: ZA PLETKA S E TEREM A RYCHLOSTI SVE TLA 5

Dosazenm v2c2

= 108 a = 500 nm = 50 108m (zelene svetlo) vychaz podmnka na delkuramen: l1 + l2 = 50m. To ovsem nen zadny problem, ramena mohou byt zhruba takto dlouha,navc pomoc vcenasobnych odrazu je lze ucinit efektivne i delsmi. A to posun o cely prouzekje skutecnym luxusem pozorovatelne je i posunut o malou cast vlnove delky.

Michelson meril v roce 1881 sam (dost nepresne) a v r. 1887 pak s Morleyem, v obouprpadech s interferometrem, jehoz ramena byla stejne dlouha (l1 = l2). Pozdeji byl experimentruznymi skupinami nekolikrat opakovan. Experiment s ruzne dlouhymi rameny vsak provedliaz v r. 1932 Kennedy a Thorndike. Nikdo nenameril NIC!

1.2.2 Bradley, Fizeau, Hoek, Airy a dal. . .

E ter mel dost podivuhodnych vlastnost na to, aby vznikly take uvahy o jeho moznem strhavanprostredm (nejakym neznamym mechanismem): pokud by napr. byl eter strhavan Zem nebojej atmosferou (vzduchem), stacionarn laborator by se vuci nemu nikdy nepohybovala, a tedysnahy o zjisten rychlosti takoveho pohybu by samozrejme byly marne. V dobe, kdy byl poprveproveden Michelsonuv-Morleyuv pokus, se uz ale vedelo, ze eter patrne strhavan nen, neboze aspon nen strhavan tak, jak by k vysvetlen bylo treba. Vyplynulo to hlavne z pozorovanBradleyho a Airyho a ze dvou experimentu, ktere provedli Fizeau a Hoek. Bradley objevil vr. 1727 jev aberace stalic (pozorovana poloha hvezd se behem roku nepatrne men); Fizeaumeril rychlost svetla v proudc vode (1851), Hoek rychlost svetla ve stojc tekutine a jejzavislost na smeru (1868); a Airy pak v r. 1871 zjistil, ze pozorovana hodnota aberace se vubecnezmen, pokud se dalekohled napln vodou. Experimentu vsak byla rada a jejich domnelavysvetlen se nezrdka navzajem vylucovala.4 Nebudeme je zde probrat (viz napr. ucebnici [7]nebo skripta [1]), jen rekneme, ze navzdory jejich vetsinou negativnm vysledkum byl teprvenulovy vysledek Michelsona & Morleyho skutecnym prekvapenm. Vsechny experimenty bylyposleze vysvetleny na zaklade relativistickeho skladan rychlost, doplneneho o znalost srensvetla v optickem prostred. Ale nakonec i jedno eterove vysvetlen bylo prece jen uspesne auniverzaln; vlastne jiz predznamenavalo specialn relativitu, ackoli pouze matematicky.

1.2.3 Lorentzova & Fitzgeraldova kontrakce

H. A. Lorentz vytvoril pred koncem 19. stolet tzv. elektronovou teorii. Bylo to vlastne rozpra-covan Maxwellovy teorie na zaklade urcite predstavy eteru. Elektronova teorie se samozrejmechova jinak v klidovem systemu eteru a jinak v systemech, ktere se vuci eteru pohybuj (trans-formuje se Galileiho transformac!), ale je treba zardit, aby to nebylo mozno namerit. Podarilose to pomoc dvou hypotez, v nichz vystupuje Lorentzuv faktor 1

1 v2c2

:

predmety, ktere se vuci eteru pohybuj, jsou v podelnem smeru -krat zkraceny; hodiny, ktere se vuci eteru pohybuj, jdou -krat pomaleji.

4 Naprklad W. Wien zahajoval v zar 1898 na zasedan Spolecnosti nemeckych prrodovedcu a lekaru zvlastnjednan venovane eteru take slovy: Otazka, zda se svetelny eter ucastn pohybu teles ci nikoli a zda je mu vubecmozno nejaky pohyb pripsat, zamestnava fyziky uz dlouho a nescetne jsou nazory a domnenky, ktere pokladajstanoven vlastnost nositele elektromagnetickych jevu za nutne. Wien pak vypoctava 13 experimentu, usilujccho zjisten pohybu Zeme vuci eteru, a take radu rozporu panujcch mezi rozdlnymi koncepcemi eteru. A. Folsing vesvem krasnem zivotopisu Einsteina prirovnava situaci ke stredovekemu problemu s neunosne slozitou soustavouepicyklu, ktera byla navrsena k zachrane klidne Zeme.

Dodejme, ze predstava eteru jako nosice interakce se z optiky a elektromagnetismu rozsrila i na uvahy o jehoroli pri prenosu gravitace a ze i ty byly prirozene spojeny s konecnou rychlost sren.

6 1. U VOD

Byly to hypotezy vcelku prirozene. Ma-li byt elektronova teorie konzistentn s Maxwellovymirovnicemi, mus byt totiz tvar ekvipotencialnch ploch bodoveho naboje zavisly na pohybunaboje vuci eteru: pro naboj v klidu jsou to sfery, zatmco pokud se naboj pohybuje, jsou torotacn elipsoidy zplostele ve smeru pohybu faktorem . Jsou-li sly rozhodujc o tvaru telesve sve podstate elektromagneticke povahy, je prirozene predpokladat, ze se telesa budou vesmeru pohybu zkracovat stejnym faktorem. Nejaky efekt je mozno ocekavat i u chodu hodin.Pokud si predstavme hodiny zalozene na kmitan svetelneho paprsku mezi dvema zrcadly auvedomme si, ze vuci eteru se svetlo pohybuje rychlost c a vuci jinemu systemu (dle Galileihotransformace) jinak, zjistme, ze v pohybujcch se hodinach mus svetlo urazit dels drahu, atedy takove hodiny musej jt pomaleji nez hodiny stojc. Podvejme se nyn zpet na vztah (1.1),rozhodujc pro vysledek Michelsonova-Morleyova experimentu. Muzeme dosadit

l2 = lklid2 , l1 = l

klid1

1 v

2

c2,

ponevadz rameno delky l2 je kolme na smer pohybu laboratore vuci eteru, kdezto rameno l1mr ve smeru tohoto pohybu. Po dosazen vztah nabyva podoby

t =2

c1 v2

c2

(lklid2 lklid1

).

Je treba zduraznit, ze merenymi delkami ramen jsou lklid1 a lklid2 (protoze telesa se v dusledkupohybu vuci eteru zkracuj stejne jako meridla, tedy zkracovan nen meritelne), takze je skutecnevhodne vztah psat pomoc nich. Za druhe, cas merme na hodinach, ktere se vuci eteru pohybuj,a tedy jdou pomaleji nez hodiny stojc (na kterych ubehne t). Pokud pujdou pomaleji prave-krat, zmerme na nich casovy rozdl

tmen = t

1 v

2

c2=

2

c

(lklid2 lklid1

).

Tento vyraz jiz vubec nezavis na rychlosti v, takze tato rychlost (Zeme vuci eteru) ani nemuzebyt experimentem zjistena.

Lorentzova elektronova teorie se tm dostava do situace, kdy se klidova soustava eteruneda identifikovat ani mechanickymi, ani elektromagnetickymi pokusy. Fyzikaln pojem, kekteremu se nelze experimentalne vyjadrit, je ovsem nadbytecny.

1.2.4 Stav na jae roku 1905

Na pocatku 20. stolet nebyla fyzika rozhodne v zakladnm stavu. Lorentz a Poincare se snazilidynamicky vysvetlit, proc se eter tak dobre maskuje proc se systemy, ktere se vuci nemupohybuj, zkracuj a jejich vnitrn procesy zpomaluj, a to navc presne tak, ze se klidovy systemeteru zdanlive nicm nevyznacuje. Pri svych uvahach meli specialn relativitu vyslovene vrukou, ale predstavy pevne fixovane na medium eteru jim nedovolily ji rozeznat. Zvlaste Poincarese dostal jiz na prelomu stolet natolik daleko, ze se dnes uz mozna ani neda pochopit, procklc k novemu pohledu na prostoro-cas nenasel on. V r. 1898 premyslel o synchronizaci sadyvzajemne klidnych hodin telegrafnmi signaly a jako postulat prijmal konstantn a izotropnrychlost svetla. O dva roky pozdeji poctal, jaky vliv na synchronizaci ma translacn pohybsady hodin vuci eteru, pricemz rozlisoval pravy a zdanlivy cas. V kvetnu 1904 pak Lorentz

1.3. ALBERT EINSTEIN A ZROD NOVE FYZIKY 7

nasel presnou podobu transformace, vuci nz je Maxwellova teorie invariantn.5 Poincare ukazal,ze Lorentzuv mstn cas je totozny s jeho zdanlivym casem, a dovodil, ze vznikne zcelanova mechanika, ktera bude charakterizovana skutecnost, ze zadna rychlost neprekroc rychlostsvetla a zadna teplota nebude nizs nez absolutn teplota nuly. (Wilhelm Wien i jin v ramciLorentzovy elektronove teorie a predstavy o elektromagneticke povaze hmoty potvrzovali, zeby bylo treba nekonecne prace k tomu, aby elektron prekrocil rychlost svetla.) V knize Veda ahypoteza z r. 1902 (zrejme jedine veci, kterou od nej Einstein pred r. 1905 cetl) predpovda, ze eterje pro vysvetlen rady jevu pohodlny, ale jednou bude jako neuzitecny pojem opusten. Podobneskepticky se vyjadruje i o absolutnm case a konceptu soucasnosti na ruznych mstech. V r.1905 pak Poincare publikoval dals dva clanky, jeden mesc pred a druhy mesc po Einsteinoveprelomove praci. V nich spojil prostorove souradnice a cas do polohoveho ctyrvektoru,ukazal, ze Lorentzova transformace odpovda otacen tohoto ctyrvektoru ve ctyrrozmernemeukleidovskem prostoru a ze velicina (x)2 + (y)2 + (z)2 c2(t)2 se pri n nemen,odvodil odpovdajc transformaci rychlost, dokazal, ze Lorentzovy transformace tvor grupu( Poincareho grupa) a diskutoval jej elektromagneticke invarianty; dokonce pozadoval, abyprincip relativity platil i pro gravitaci, a uvazoval o gravitacnch vlnach. . .

I mimo oblasti zasazene debatami o vlastnostech eteru se na prelomu stolet dely prevratneveci. V kineticke teorii a statisticke mechanice hlavne dky L. Boltzmannovi a J. W. Gibbsovi,ale take A. Einsteinovi. A Max Planck nasel 8. zar 1900 nad ranem vzorec pro zaren cernehotelesa. Kdyz se ho v nasledujcch tydnech snazil poradne odvodit, musel pouzt predstavu, zezaren vyslaj jednotlive atomy (oscilatory, ktere se chovaj podle Boltzmannovy statistiky), a tonikoli spojite, ale po urcitych kvantech. Pozdeji svuj postup nazval pouhym aktem zoufalstva na ucinkove kvantum h vzpomnal jen jako na ciste formaln predpoklad, pri nemz nemelnic zvlastnho na mysli a ktery se pak v dalsch letech snazil nejak prizpusobit ramci klasicketeorie to znamena Maxwellove teorii a vlnove povaze svetla, o nz podobne jako ostatnnepochyboval. Ale byl zde jeste laik na patentovem uradu v Bernu. . .

1.3 Albert Einstein a zrod nov fyzikyKoncem kvetna 1905 pse Einstein dopis svemu kamaradovi Conradu Habichtovi: Mily Ha-bichte, zavladlo mezi nami tak velebne mlcen, ze se ctm skoro jako bych se dopoustelsvatokradeze, kdyz ho tedprerusuji bezvyznamnym plkanm. Ale nen to vzdy osudem vznese-nych tohoto sveta? Tak co delate, Vy mrazena velrybo, Vy uzeny, suseny, konzervovany kouskuduse ci co bych Vam jeste rad hodil na hlavu, jsa ze 70% naplnen zlobou a ze 30% ltost!Jen tem 30% muzete dekovat, ze Vam neposlam plechovku plnou krajene cibule a cesnekupote, co jste se tak zbabele neukazal o Velikonocch. Ale proc jste mi stale jeste neposlal svoudisertaci? Cozpak nevte, ze bych byl jednm z 1 a 1/2 manku, kter by si ji precetli se zajmema potesenm, Vy bdnku? Slibuji Vam na oplatku ctyri clanky, prvn bych mohl poslat brzy,protoze zahy dostanu reprinty. C lanek se zabyva zarenm a energetickymi vlastnostmi svetla aje velmi revolucn, jak uvidte, pokud mi nejdrve poslete svou praci. Druhy clanek je urcenmskutecnych velikost atomu z difuse a viskosity zredenych roztoku neutralnch latek. Tret do-kazuje, z predpokladu molekularn teorie tepla, ze telesa velka radove 1/1000mm, rozptylena vkapalinach, uz mus konat pozorovatelny nahodily pohyb, jenz je vyvolan tepelnym pohybem;fyziologove skutecne pozorovali (nevysvetlene) pohyby rozptylenych malych, nezivych telsek,

5 S predbeznou podobou transformace prisel jiz v r. 1887 Woldemar Voigt, ale Lorentz se o tom dovedel azpote, co ji mezitm (r. 1905) odvodil i Einstein jako soucast sveho noveho pohledu. Z Lorentzovy transformacebychom Voigtovu dostali vydelenm pravych stran faktorem : t = t vx/c2, x = x vt, y = y/, z = z/.

8 1. U VOD

kterezto oznacuj jako brownovsky molekularn pohyb. C tvrty clanek je zatm jen hrubymnacrtem a je o elektrodynamice pohybujcch se teles, ktera uzva modifikace teorie prostoru acasu; ciste kinematicka cast tohoto clanku Vas bude urcite zajmat. Solo dava soukrome hodinyjako drv, nedokaze se primet k tomu, aby udelal zkousku; je mi ho velice lto, nebot vedesmutnou existenci. Vypada take docela vycerpane. Nemyslm ale, ze je mozne ho nasmerovatke snesitelnejsm zivotnm podmnkam - vte, jaky je! Pozdravy od Vaseho A.E. / PozdravujeVas zena a ptacek zpevacek, jemuz je tedrok. Poslete svou praci brzy!

Habicht bude pozdeji strasne rad, ze si dopis uschoval. V prvnm, revolucnm clankusveho prtele mohl posleze cst: Podle predpokladu, ktery zde bude uvazovan, nen pri srensvetelneho paprsku z bodu energie spojite roznasena do stale se zvetsujcch prostor, ale skladase z konecneho mnozstv energetickych kvant, ktera jsou lokalizovana v prostorovych bodech,pohybuj se, aniz by se delila, a mohou byt absorbovana a emitovana pouze cela. Einsteinzde jako prvn vzal vazne Planckovu kvantovou hypotezu ze zar 1900 a navazal na sva studiaspecifickeho tepla a fotoelektrickeho jevu. Max Planck, jak vme, sam videl svuj ciste formalnpredpoklad uplne jinak a je pikantn, ze mezi spoustou chvaly, kterou v r. 1913 (!) zanesl donavrhu na prijet Einsteina do Pruske akademie ved, nalezneme i vetu: Nezazlvejme mu prlis,ze ve svych spekulacch nekdy prestrelil, jako napr. s hypotezou svetelnych kvant; nebotani vnejexaktnejs z prrodnch ved nen pokrok mozny bez rizika. Po 9 letech dostane Einstein zaprestrelen Nobelovu cenu. Po uspokojive kvantove teorii vsak bude osamele volat az do r. 1925( a pak jeste dalsch 30 let. . . ).

Druhou praci, kterou Einstein Habichtovi v dopisu slibuje, posleze podal jako doktorskoudisertaci. Jmenovala se Nove urcen rozmeru molekul, mela 17 stran, byla venovana byva-lemu spoluzakovi, matematikovi Marcelu Grossmannovi a prinasela atomisticke argumenty -z makroskopickeho chovan roztoku urcovala velikost castic rozpustene latky. Navazovala nani prace tret, O pohybu castic rozptylenych v klidnych kapalinach, ktery si zada molekularne-kineticka teorie tepla, v nz Einstein zurocil sve znalosti Boltzmannovy kineticke teorie. Ihnedvyvolala ohlas prednch laborator i nekterych odbornku z biologickych a lekarskych kruhu.Einstein po pul roce pridal jeste clanek K teorii Brownova pohybu a tema ho neprestalo tesit aniv dalsch letech; pochvaloval si, ze v Brownove pohybu lze bezprostredne nahlzet neuspora-dane elementarn procesy. Za prspevky k molekularne-kineticke teorii byl na Nobelovu cenunavrzen nekolikrat, poprve uz v r. 1910, ale nikdy ji nedostal.

Einstein psal o prvnm clanku (O heuristickem hledisku tykajcm se produkce a premenysvetla) jako o velmi revolucnm a i z pozdejsho pohledu to bylo zcela na mste. Navc, dneslze jen stez docenit, jakou odvahu musel v r. 1905 mt k heuristickemu hledisku! Jak ale pakoznacit posledn v dopisu zmneny text, draft teorie, ktera bude po letech znama jako specialnrelativita? Einstein zde neprichaz s novym tematem, sklouben Maxwellovy elektrodynamikys Newtonovou mechanikou bylo na poradu jiz desetilet a Lorentzova transformace byla znama.Zatmco vsak o Maxwellovych rovnicch se nepochybovalo 40 let, na koncept casu jakoztoinherentn strukturu vesmru se uvahy samozrejme spolehaly po tiscilet. Jeste pred vsemirovnicemi sveho clanku K elektrodynamice pohybujcch se teles Einstein navrhuje nahraditposvatny parametr casu polohou rucicky na svych hodinach. . .

1.3.1 Einstein a ter

Einsteina trapily predstavy spojene s Maxwellovou elektrodynamikou jiz od universitnch let.Co by se stalo, kdyby se vydal za elektromagnetickou vlnou rychlost svetla? Podle Galileihotransformace a bezne intuice by videl stojc, nepohyblive vlny. Meren ale davala rychlostsvetla stejnou vuci vsem systemum. Jsou vsechny ty experimenty spatne? Nebo byla vubec

1.3. ALBERT EINSTEIN A ZROD NOVE FYZIKY 9

spatne zmerena rychlost svetla? Vsichni se chytaj kontrakcn (a dilatacn) hypotezy a snaz sevymyslet, co za sly to pusob na vse, co se vuci eteru pohybuje, ze se to chova tak podivne.Podivne chovan velmi podivneho prostred. . . Pokud je hypoteza spravne, nejde nijak najtklidovou soustavu eteru. David Hume a Ernst Mach by rekli, ze pojem, o kterem nelze niczjistit, nema ve fyzikaln teorii msto. Je treba mluvit o tom, co je aspon v zasade moznozmerit. A co kdyz je kontrakcn hypoteza spatne? Pak Newtonova fyzika nen slucitelna selektrodynamikou!

Rozporny obraz ostatne skytala rada predpoved elektrodynamiky. Naprklad Faradayovaelektromagneticka indukce, k nz dochaz pri vzajemnem pohybu vodive smycky a magnetu:kdyz se jev popisuje z hlediska smycky, vytvor se v n proud dky elektrickemu poli, ktereje generovano casove promennym magnetickym polem pohybujcho se magnetu; z hlediskamagnetu zadne elektricke pole nevznika, proud ve smycce vyvola Lorentzova elektromotorickasla, ktera pusob na volne naboje ve smycce, protoze se pohybuj v magnetickem poli magnetu.Jsou oba pohledy stejne opravnene? Pokud ano, pak existence elektrickeho pole zavis napozorovateli je relativn. Podobne je to zrejme s polem magnetickym. Jen urcite spolecnejednote elektrickeho a magnetickeho pole lze priznat objektivn, na vztaznem systemu nezavislouexistenci. Einstein pozdeji vzpomnal, ze to byl prave jev magnet-elektricke indukce, co hoprivedlo k vysloven principu specialn relativity.

Jiz koncem studi byl presvedcen, ze pojem eteru je zbytecny, ze proudy a elektromagne-ticke pole (vlny) jsou svebytne nepotrebuj materialn nosic. Sve spoluzacce a budouc zeneMileve Maricove zacatkem srpna 1899 pse: Jsem stale vce presvedcen, ze elektrodynamikapohybujcch se teles, tak jak se dnes predklada, nen spravna a ze by ji melo byt mozno podatjednoduseji. Zaveden termnu ether do teori o elektrine vedlo k predstave prostred, o jehozpohybu se da mluvit, aniz by vsak, myslm, slo s takovym vyrokem spojit nejaky fyzikalnsmysl. Domnvam se, ze elektricke sly mohou byt prmo definovany jen pro prazdny prostor,coz zduraznuje i Hertz. Dale, elektricke proudy bude treba pojmat nikoli jako vymizen elek-tricke polarisace v case, ale jako pohyb skutecnych elektrickych hmot, jejichz fyzikaln realitase zda byt potvrzena elektrochemickymi ekvivalenty. Einstein se stale vce klonil k nazoru,ze nejenze neexistuje eter, ale take ze Mach ma pravdu, kdyz tvrd, ze neexistuje vubec zadnyabsolutn klid (ani absolutn pohyb) a ze ma smysl mluvit jen o relativnm pohybu telesa vucijinym telesum.

Pak je na mste vratit se k principu relativity, tedy k rovnocennosti inercialnch systemu.Jak se ale muze svetlo vuci vsem z nich srit stejnou rychlost? Jak muze byt rychlost svetla ne-zavisla na pohybu systemu, vuci nemuz je merena?! Nen tento zcela proti-intuitivn vyrok jesteneprijatelnejs nez eter se vsemi jeho zvlastnostmi? Einstein mozna neznal posledn vysledkyLorentze a Poincareho, ale dovedl si predstavit, ze matematicky jiste lze zskat transformaci,vuci nz je Maxwellova teorie invariantn. I kdyby Lorentzovu transformaci explicitne znal,stejne by mu ale nestacilo, kdyby proste jej derivac obdrzel pro skladan rychlost formuli,ktera ponechava c invariantnm. Vzdytbez zasadn revize pojmu zustavala nova transformacejen sikovnou matematickou hrou. Na zacatku kvetna 1905 byl Einstein ponoren do uvah omeren delek, casu a rychlosti svetla v ruznych inercialnch soustavach. Se svym prtelem z pa-tentoveho uradu Michelem Bessoem se v debatach postupne zamerili na otazku synchronizaceinercialnch hodin svetelnym signalem a na Lorentzovy a Poincareho pojmy absolutnho cipraveho casu a na druhe strane casu mstnho ci zdanliveho. O 17 let pozdeji Einsteinvzpomnal, jak po jednom krasnem dni opet zasel za Bessoem: Diskutovali jsme o problemuze vsech stran. A najednou jsem vedel, v cem to vez. V duchu principu relativity bylo trebavsechny ty prvlastky vynechat a hovorit jen o case pro kazdy inercialn system sice spe-cifickem, ale vsude plnohodnotnem pojmu casu. Druheho rana pribehl Einstein do prace a hned

10 1. U VOD

volal: Micheli, dky tobe jsem problem beze zbytku vyresil! Klcem je analyza pojmu casu.Cas nelze definovat absolutne a mezi casem a rychlost signalu existuje neodvolatelny vztah.

1.3.2 Relativita souasnosti a dal efekty

Specificnost inercialnch casu je videt na pojmu soucasnosti. Pouzijme jako Poincare k synchro-nizaci souboru stejnych hodin, ktere jsou v klidu vuci nejake inercialn soustave, svetelnehosignalu. Svetlo se k takovemu ucelu hod nejlepe, protoze jeho rychlost je ve vsech systemechstejna a izotropn, takze vsichni inercialn pozorovatele se na n shodnou a synchronizacn me-todu si nebudou navzajem zpochybnovat. Neshodnou se ovsem na jejm vysledku. Mezi kazdoudvojic navzajem klidnych hodin vymerme bod v polovine jejich vzdalenosti, tam bliknemea pote, co paprsek hodin dosahne, na nich na obou nastavme predem smluveny cas. Nyn po-rovnejme takto zavedenou soucasnost mezi ruznymi dvema soustavami; Einstein pracoval vBernu u nadraz, tak si predstavoval klidovy system nadraz a system spojeny s projzdejcmvlakem. Blikne-li pruvodc v polovine vlaku, pak podle souboru hodin spojenych s peronemdosahne svetlo zadn konec vlaku drve nez predn, protoze rychlost c je konecna a vlak behemletu paprsku kousek popojede. Soubor hodin spojeny s vlakem je ale prave takto svetlem syn-chronizovan, takze z hlediska vlaku dosahne paprsek obou jeho koncu definitoricky soucasne.Soucasnost je tak nutne relativnm pojmem: soubor hodin, ktery je synchronizovan vzhledemk vlaku, nen synchronizovan vzhledem k nadraz, konkretne cm jsou hodiny ve vlaku vcevzadu/vpredu, tm ukazuj brano podle souboru hodin synchronizovanych vuci nadraz vc/mn. Dulezite je, ze k uplne stejnemu (lepe receno opacnemu, symetrickemu) zaverubychom dosli, kdybychom naopak posoudili soustavu nadraznch hodin z vlaku, jak je zrejmez toho, ze pojmy vlak a nadraz nejsou dky relativite jejich vzajemneho pohybu podstatne.Uvedeny myslenkovy experiment ukazuje i obecnejs zaver ze mezi danymi dvema uda-lostmi (napr. vyslanm svetelneho signalu ze stredu vlaku a jeho prjmem hodinami na nekteremz koncu) uplyne v ruznych inercialnch soustavach ruzna doba.

Predstava s vlakem a nadrazm se i snadno kvantifikuje6 a daj se na n odvodit relativistickeefekty jen z invariance rychlosti svetla a z toho, co znamena synchronizovat hodiny a merit delku.Oznacme inercialn soustavu nadraz jako necarkovanou; jej osu x natocme ve smeru pohybuvlaku a jej cas t bude udavat soustava hodin, ktere jsou vuci nadraz (takze i vuci sobe navzajem)v klidu a jsou navzajem svetelne synchronizovany. Delku vlaku vuci teto soustave oznacme la rychlost ~v = d~x

dt= (v, 0, 0). Inercialn soustavu vlaku oznacme jako carkovanou, jej osu x

nastavme podel vlaku (a orientujeme smerem dopredu), tj. podel x; rychlost nadraz vuci nje samozrejme ~v = d~x

dt= (v, 0, 0) = (v, 0, 0) = ~v a delka vlaku xAB l. Jak jsme

uz rekli, v soustave vlaku doraz svetlo vypustene z prostredka vlaku k obema jeho koncumsoucasne (tyto udalosti znacme A, B), za dobu tA = tB = x

AB

2c l

2c, zatmco v soustave

nadraz to bude za tA < tB, pricemz pro rozdl konkretne dostaneme

ctA = l2 vtA tA = l2(c+v)ctB = l2 + vtB tB = l2(cv)

}= tB tA =

2vl

c2. (1.4)

Dve udalosti, ktere se v carkovane soustave staly soucasne ve vzdalenosti l od sebe, tedy vnecarkovane soustave del nenulovy casovy interval 2vl

c2. Je dobre zduraznit, ze l nen necar-

kovana vzdalenost mezi temito udalostmi (tedy polohami koncu vlaku v danem case t). Jiste,

6 Ve skutecnosti je toto rozmyslen na prstech (kdo co presne namer mezi kterymi dvema udalostmi) naspecialn relativite tm nejobtznejsm. Geometricke vypocty ve ctyrrozmernem prostorocasu jsou proti tomu po zvladnut nekolika malo jednoduchych pravidel rutinnm cvicenm s indexy. . .

1.3. ALBERT EINSTEIN A ZROD NOVE FYZIKY 11

l je prece vzdalenost mezi konci vlaku v danem okamziku casu t, ale z hlediska tohoto casunedorazily fotony ke koncum soucasne msta, kde ke koncum doletely, jsou v necarkovanesoustave nadraz vzdalena l plus v krat doba (tB tA), o kterou let svetlo ze stredu vlakudele k jeho prednmu konci (nez k zadnmu), to jest l + 2v2

c2l = 2l.

Ale jak je tedy vlastne vlak dlouhy jaky je vztah mezi l a l? Merit delku vzhledemk danemu systemu znamena urcit polohu obou koncu predmetu ve stejnem okamziku danehocasu. V soustave spojene s vlakem je to jedno, konce lze zaznamenat kdykoliv, protoze se vucin nepohybuj, ale podstatne je to v necarkovane soustave spojene s nadrazm. Poznacme si tedyv teto soustave v nejakem okamziku t polohu koncu vlaku a delku l urcme jako rozdl techtohodnot. Jak uz vme, hodiny, ktere jedou na koncch vlaku, vsak pri tomto odectu neukazujstejne ty vpredu ukazuj mene nez ty vzadu. To znamena, ze vuci soustave vlaku neprobehlodecet polohy jeho koncu soucasne, zadek byl zaznamenan pozdeji nez predek. Z toho lzeocekavat, ze l bude mens nez l. U vahu jeste zahy upresnme, zatm si jen budeme pamatovat,ze delka predmetu zavis na jeho pohybu vuci soustave, vzhledem k nz ji merme; konkretnev podelnem smeru (podel relativn rychlosti) je predmet patrne krats nez vzhledem ke sveklidove soustave.

Predstavme si nyn, ze ve vlaku i na nadraz je cas realizovan soustavou velmi jednodu-chych, tzv. svetelnych hodin, v nichz mezi dvema rovnobeznymi zrcadly ve vzdalenosti yod sebe kmita svetelny paprsek. Umsteme hodiny ve vlaku tak, aby paprsek kmital kolmo kesmeru jeho pohybu vuci nadraz. Je jasne, ze mame na mysli polohu zrcadel rovnobeznou spohybem vlaku, a take proc jsme ji zvolili protoze uz vme, ze s delkou pohybujcch sepredmetu se v podelnem smeru neco deje, a nechceme, aby se nam to sem pletlo, tj. chceme zdepro jednoduchost y = y. Vuci nadraz se ovsem paprsek hodin ve vlaku nebude pohybovatpresne kolmo k zrcadlum, protoze behem kazdeho kmitu vlak o kousek popojede. Oznacme-liperiodu jednoho kmitu hodin ve vlaku t = 2y

c= 2y

c, pak j odpovdajc interval necarkova-

neho casu zjistme z jednoduche Pythagorovy vety (stejne jako pri vypoctu casu letu druhehopaprsku u Michelsonova-Morleyova experimentu)(

ct

2

)2= y2 +

(vt

2

)2= t = 2y

c

11 v2

c2

= t (> t) . (1.5)

Vsimneme si, ze dve udalosti, jejichz casove odlehlosti jsme porovnavali totiz dva po sobenasledujc tiky hodin jedoucch ve vlaku , se z hlediska vlaku staly na stejnem mste(takovyto casovy interval mezi soumstnymi udalostmi nazyvame intervalem vlastnho casu),kdezto z hlediska nadraz se staly ve vzdalenosti vt od sebe. U vahu bychom ovsem mohliobratit a prepoctat naopak (vlastn) periodu nadraznch hodin na casovy usek uplynuly vevlaku; postupovali bychom uplne stejne (oba inercialn systemy jsou rovnocenne) a vysel bystejny (symetricky) vysledek, t = t. Obecny zaver tedy je, ze casy spojene s inercialnmisystemy, ktere se vuci sobe pohybuj, jdou navzajem vuci sobe -krat pomaleji nastava tzv.dilatace casu. Oznacme-li interval vlastnho casu , muzeme toto zjisten zapsat t = ; zcasovych useku, namerenych mezi danymi dvema udalostmi v ruznych inercialnch soustavach,je tedy interval vlastnho casu tm nejkratsm. (Dodejme, ze vztah mus fungovat i pro jinenez svetelne hodiny, protoze v opacnem prpade by slo porovnanm chodu ruznych typu hodinrozlisit mezi inercialnmi systemy.)

Nyn se muzeme vratit ke kontrakci a vycslit ji presne. Porovnejme samozrejme vztahy,ktere plat pro interval mezi prujezdy koncu vlaku urcitym mstem nadraz. Z hlediska vlaku jel = vt, z hlediska nadraz l = vt. Z hlediska nadraz jsou prujezdy koncu soumstnymiudalostmi, takze t je usekem vlastnho casu mezi nimi a prepocet zn (jak jsme zjistili v

12 1. U VOD

predchozm odstavci) t = t ( ). Dosazenm do l ihned vidme, ze tudzl = vt = vt = l . (1.6)

Delkove mry spojene s inercialnmi systemy, ktere se vuci sobe pohybuj, jsou tedy navzajemvuci sobe v podelnem smeru ( smeru rovnobeznem se vzajemnou rychlost) -krat zkraceny nastava tzv. kontrakce delek. Upresneme jeste, ze l je delkou vlaku v jeho klidovem systemu,tzv. klidovou nebo vlastn delkou, pro niz budeme uzvat znacen l0. Vztah pro kontrakcitedy muzeme zapsat l0 = l: z delek vlaku, namerenych v ruznych inercialnch soustavach, jeklidova/vlastn delka tou nejvets.

1.3.3 Zpsob mylen

Cesta k poznan obycejne zacna zkusenostmi (observacn a experimentaln data), ta se prenesoudo souboru csel, mezi temi se (pokud mozno) najdou pravidelnosti, ktere se vystihnou za-konem (ve fyzice rovnic). Jak poznamenava napr. Richard Feynman ve svych Prednaskach,proniknut k Prrode vsak nen uplne, pokud se nenalezne zpusob myslen, v ramci nehoz jsouobjevene zakony prirozene pochopitelne. Jestlize jste predtm prijali observacn a experimentalnfakta (rovnocennost inercialnch soustav a konecnost a invarianci rychlosti svetla), doufame,ze jiz nyn vam analyza pojmu soucasnosti na prujezdu vlaku nadrazm pomohla jako kdysiAlbertu Einsteinovi najt zpusob myslen, v ramci nehoz by mely byt vsechny nasledujcuvahy prirozene (pocho)pitelne. Pokud ano, muzeme v nasledujc kapitole odpocvat. Vlastnev n jen shrneme predchoz zeleznicn uvahy do axiomatictejs podoby: predpoklady utrdmedo vychozch principu a z nich pak odvodme deduktivne zakladn dusledky. Ale abychom simohli specialn relativity nalezite uzt, budeme se pote jeste muset prestehovat za HermannemMinkowskim, do ctyrrozmerneho prostorocasu!

KAPITOLA 2

Vychoz principyspecialn teorie relativity

Chceme-li popsat pohyb hmotneho bodu, zadame jeho souradnice jako funkce casu. Melibychom vsak pamatovat, ze aby mel takovy matematicky popis fyzikaln smysl, musme nejdrvevyjasnit, co zde rozumet casem. Uvedomme si, ze vsechny nase usudky zahrnujc cas jsouvzdy usudky o soucasnych udalostech. Kdyz napr. reknu vlak sem prijzd v 7 hodin, znamenato vcemene, ze to, ze mala rucicka na mych hodinach mr na sedmicku, a prjezd vlaku jsousoucasne udalosti.Redakce Annalen der Physik obdrzela Einsteinuv clanek K elektrodynamice pohybujcch seteles 30. cervna 1905 a zaradila ho na stranky 891-921 rocnku 17.1 Jak podotykaj historikove,tezko v odborne literature najt praci s trivialnejsm uvodem. O par stranek dale a anizby narocnost uvah nejak vyrazne vzrostla je vsak fyzika postavena na nove zaklady. Podefinici inercialnho casu pomoc sady navzajem klidnych hodin, synchronizovanych signalemkonecne a absolutn rychlosti, Einstein ukazuje relativitu casovych meren. Tato myslenka jeklcem k teorii relativity, dovoluje totiz sloucit princip relativity s invarianc rychlosti svetla. Odtretho oddlu clanku jiz Einstein postupuje axiomaticky, rozvj svou novou teorii deduktivne zvychozch principu.

Principy jsou tri a jsou na cele teorii tm nejvce prekvapivym. Jedna se vlastne o estetickepredpoklady jednoduchosti (symetrie), chcete-li harmonie sveta, ke ktere se Einstein vzdy hlasil a zaroven upozornoval na jej nesamozrejmost (Nejnepochopitelnejs vec na svete je, zesvet je pochopitelny.). Od Einsteinovych dob vytezila teoreticka fyzika z teto vry nerozumnemnoho a dnes na n stoj vsechny fundamentaln fyzikaln teorie. Vychoz principy specialnrelativity jsou vsak opravdu specialne jednoduche:

1. Newtonv zkon

(Galileiho princip setrvacnosti) Existuje kartezsky referencn system, vuci nemuz se kazdy volnyhmotny bod pohybuje rovnomerne prmocare. Nazveme jej inercialnm systemem. Je jasne, ze pokud existuje jeden inercialn system, existuje jich dokonce nekonecne

mnoho, protoze vsechny kartezske systemy, ktere se vuci tomu prvnmu pohybuj1 Dals dve Einsteinovy prace jeho zazracneho roku (o nichz jsme cetli v dopisu C. Habichtovi) vysly v temze

rocnku na stranach 132-184 (o svetelnych kvantech) a 549-560 (molekularne-kineticka teorie tepla).

13

14 2. VY CHOZI PRINCIPY SPECIA LNI TEORIE RELATIVITY

rovnomerne prmocare, jsou nutne take inercialn. Inercialn soustavy jsou realizovanyidealnmi tuhymi tycemi a sadami idealnch hodin (cas je treba merit v kazdem bodeprostoru), ktere jsou navzajem v klidu a jsou svetelne synchronizovany.

Komentar k pouzitym pojmum:Volnym hmotnym bodem mame na mysli hmotny bod, na ktery nepusob zadne pravesly. Tato predstava je problematicka u gravitacnho pusoben, ponevadz gravitace jeuniverzaln a nejde tm padem odstnit. Je proto treba predpokladat, ze gravitacn polezadne nen. (Presneji receno by slo pripustit pole homogenn, ale budeme pro jednoduchostod gravitace odhlzet.)Idealnmi tuhymi tycemi jsou tuhe tyce, na ktere nepusob zadne sly. Prvlastek tuhe je vtuto chvli treba chapat intuitivne, protoze abychom ho upresnili, museli bychom nejdrverozvinout celou teorii a v ramci n zformulovat teorii tuhych teles. (Tento problem jepro vystavbu fyzikalnch teori obvykly; v zasade se po dokoncen teorie muze dokonceukazat, ze s n vychoz pojmy nejsou konzistentn.)Idealnmi hodinami nazyvame sadu stejnych (tedy take stejne jdoucch) hodin, kterenejsou vystaveny pusoben sil.

Princip speciln relativity

Vsechny inercialn systemy jsou z hlediska fyzikalnch zakonu rovnocenne. Tj. vsechny fyzikalnzakony je mozno formulovat ve tvaru, ktery je ve vsech inercialnch soustavach stejny. Jak jsme jiz zduraznovali drve, postuluje se zde principialn rovnocennost rovno-

cennost vuci pravidlum hry, nikoli vuci vlastnostem konkretnch fyzikalnch systemu.Je zrejme, ze rozmsten hmoty ani nemuze byt z hlediska vsech inercialnch systemustejne, takze prirozene urcuje ruzne prakticky privilegovane systemy (klidova soustavaGalileiho plavidla, klidova soustava Zeme, system, v nemz je izotropn reliktn zaren).

Princip mj. znamena, ze fyzikaln zakony musej byt nezavisle na mste a smeru a nesmejse menit s casem. Jeho praktickym dusledkem je to, ze vsechny fyzikaln experimentyby mely vuci vsem inercialnm soustavam dopadnout stejnym zpusobem, pokud byly vucivsem stejne pripraveny (stejne podmnky).

Princip invariance (a konenosti) rychlosti svtla

Ve vakuu se svetlo sr vuci vsem inercialnm systemum rovnomerne prmocare konecnourychlost c.

Tento princip se zda byt dusledkem Maxwellovy teorie, ale je logictejs zde odhlednoutod historicke navaznosti a uvedomit si, ze princip relativity je obecnejsm pozadavkem,nevztahujcm se jen na oblast elektromagnetickych jevu, a ze by jej v zasade melo bytmozno sloucit i s jinymi teoriemi sren svetla. Tudz je vhodne princip formulovat jakosvebytny postulat, nezavisly na Maxwellove ci jine konkretn teorii.

Princip lze take nahlzet jako dusledek principu relativity. Bez ujmy na obecnosti lze totiztvrdit, ze v prrode existuje urcita maximaln rychlost, na kterou lze libovolne hmotneteleso urychlit. Tato rychlost mus byt stejna vuci vsem inercialnm systemum, protozev opacnem prpade by nebyly fyzikalne rovnocenne byl by dokonce jasny praktickyzpusob, jak je odlisit. Jsou jen dve moznosti: je-li tato maximaln rychlost nekonecna, pak

2.1. LORENTZOVA TRANSFORMACE 15

princip relativity vede k tomu, ze inercialn systemy jsou svazany Galileiho transformac,je-li maximaln rychlost konecna, vede k transformaci Lorentzove. Podstatne sdelenprincipu tak vlastne zn: maximaln prrodn rychlost je konecna a je to rychlost, se kterouse ve vakuu sr svetlo.

2.1 Lorentzova transformaceJestlize je rychlost svetla konecna a stejna vuci vsem inercialnm soustavam, nemuze se mezisoustavami prechazet Galileiho transformac, protoze podle te by se rychlost svetla skladalase vzajemnou rychlost soustav (c = c v) jako kazda jina (konecna) rychlost. Musme tedyodvodit novou transformaci, ktera bude ponechavat c invariantn. Mohli bychom ji zskat nazaklade poznatku, ke kterym jsme jiz dospeli premyslenm o prujezdu vlaku nadrazm v kapitole1.3.2, ale pojdme znovu prmo od vychozch principu.

Predpokladejme, ze dve inercialn soustavy, IS a IS, se navzajem pohybuj rychlost v.Jejich osy muzeme vzdy nastavit tak, ze vzajemny pohyb bude smerovat jen podel os x a x;konkretne nechtse IS pohybuje vuci IS rychlost v v kladnem smeru osy x a nechtosa x mastejnou orientaci jako x (takze IS se naopak vuci IS pohybuje rychlost v = v ve smerux).2 Pocatky soustav lze volit libovolne a ucinme to tak, aby sebou v urcitem okamzikuprosly. Dale budeme predpokladat, ze osy y, z v tomto okamziku splyvaj s osami y, z a casyjsou nastaveny na t = 0 a t = 0 (tedy necarkovane inercialn hodiny v pocatku IS ukazuj vtom okamziku nulu a stejne tak i carkovane inercialn hodiny v pocatku IS). Tato nastavenjsou samozrejme ujmou na obecnosti tvaru hledane transformace (uzva se proto oznacenspecialn Lorentzova transformace), ale nikoliv ujmou na obecnosti sledovaneho fyzikalnhoden to je na vztaznem systemu zcela nezavisle. Navc je jasne, ze systemy lze uvedenymnejjednodussm zpusobem nastavit vzdy a ze podstatne rysy nove transformace se pri tomtonastaven projev v nejcists podobe.

Tvar hledane transformace muzeme omezit na zaklade nekolika pozadavku, ktere jsouvlastne mlcky obsazeny v 1. Newtonove zakonu a v principu relativity:

Pokud ma mt 1. Newtonuv zakon dobry smysl, mus se vuci sobe inercialn systemy pohy-bovat rovnomerne prmocare. Rovnomerny prmocary pohyb se tedy mus transformovatopet na rovnomerny prmocary. To znamena, ze transformace mus byt linearn.

Vsechny prostorove body a casove okamziky jsou v principu rovnocenne (predpoklad ho-mogenity prostoru a casu). Dky tomu musej byt rovnocenne i vsechny prostorove smerykolme ke smeru vzajemneho pohybu nasich dvou soustav. Spojenm techto pozadavkus principem relativity (tedy s tm, ze transformace mus mt stejny tvar smerem tam,ISIS, i smerem zpatky) zjistujeme, ze osy y, z se musej transformovat identicky(y = y, z = z) a ze tyto souradnice se nesmej plest do transformace t a x.

Transformaci tedy budeme hledat ve tvaru

t = At+Bx, x = Ct +Dx, kde A,B,C,D jsou konstanty .

Jeden vztah mezi konstantami plyne okamzite z definice vzajemne rychlosti soustav: pocatekIS se vuci IS pohybuje rychlost v, tedy podle rovnice x = vt (cas t je nastaven na nulu v

2 Rychlost je samozrejme definovana jako podl prrustku polohy dx x2 x1 a prrustku casu dt t2 t1v danem inercialnm systemu. Je dobre uvedomit si i dals samozrejmost, totiz ze casy t2 a t1 jsou odecteny naruznych hodinach t1 na hodinach nachazejcch se v mste x1 a t2 na hodinach v mste x2. (Tyto hodiny jsousamozrejme navzajem v klidu a synchronizovany.)

16 2. VY CHOZI PRINCIPY SPECIA LNI TEORIE RELATIVITY

okamziku, kdy pocatky splyvaj), tudz mus pro nej podle druhe transformacn rovnice platit0 (= x = Ct + Dx) = Ct + Dvt. Odtud vidme, ze C = Dv, takze druhy vztah nabyvapodoby x = D(x vt). Nyn vyuzijeme vychozch principu: Rovnocennost IS a IS vyzaduje, aby inverzn transformace mela stejny tvar jako trans-

formace prma, tedy specialne x = D(x vt) = D(x + vt). Pokud v okamziku, kdy sebou pocatky prochazej, v nich blikneme, mus se svetlo srit

podel x i podel x stejnou rychlost c, tedy podle rovnic x = ct a x = ct. Tyto rovnicetedy musej byt podle transformace konzistentn. Jejich dosazenm do prmeho a zpetnehovztahu x = D(x vt), x = D(x + vt) dostavame ct = Dt(c v), ct = Dt(c + v).Vynasobenm obou a vydelenm tt vychaz c2 = D2(c2 v2). Pri odmocnen volmekladne znamenko, protoze prpad v = 0 mus odpovdat identite (x = x), tedy D = 1:

D =1

1 v2c2

. (2.1)

Tento vyraz, dany vzajemnou rychlost uvazovanych dvou inercialnch soustav, se nazyvaLorentzuv faktor. Jiz nas nikdy neopust.

Transformacn vztah pro cas uz ted vyplyva ze vztahu x = (x vt), x = (x + vt) stac z nich vyloucit x a vyjadrit t. Naprklad vynasobenm prvn rovnice a sectenm oboudostaneme

x + x = 2x 2vt+ x + vt = vt = 2vt+ (1 2)x = t = (t v

c2x)

(toti 1 2 = v2

c22)

.

Muzeme tedy shrnout, ze specialn Lorentzova transformace ve smeru x je dana

t = (t v

c2x), x = (x vt), y = y, z = z. (2.2)

2.2 Bezprostedn dsledky Lorentzovy transformaceZa dusledek Lorentzovy transformace lze povazovat vlastne cely dals obsah specialn teorierelativity, ale zde si vsimneme jen nejjednodussch dusledku noveho vztahu mezi inercialnmisystemy pro prostorova a casova meren. Vetsinu z nich zname uz z zeleznicn kapitoly 1.3.2.Budeme uvazovat dve inercialn soustavy, IS a IS, nastavene podle minule kapitoly, a tudzsvazane specialn Lorentzovou transformac ve smeru x. A budeme predpokladat, ze se vse, ocem bude dale rec, odehrava na stejnych y = y a z = z, naprklad prmo na ose x, resp. x(proste ze smery y, z jsou nepodstatne).

2.2.1 Relativita soumstnosti

Mejme (napr.) dve udalosti, ktere se v IS stanou na temze mste, x2 = x1, takze jejichcarkovana prostorova odlehlost je nulova, x x2 x1 = 0. Polohy udalost se transformujpodle Lorentzovy transformace

x2 = (x2 vt2), x1 = (x1 vt1) = x = (x vt) ,

2.2. BEZPROSTR EDNI DU SLEDKY LORENTZOVY TRANSFORMACE 17

a tedy v nasem prpade

0 = (x vt) = x = vt .Pokud se tedy udalosti nestanou ve stejnem case (t t2 t1 6= 0), je jejich necarkovanaprostorova odlehlostx x2x1 nenulova. Tento vysledek je prirozeny, protoze uplne stejnevychaz i pro Galileiho transformaci soumstnost je relativnm pojmem jiz v newtonovskefyzice.

2.2.2 Relativita souasnosti

Mejme nyn dve udalosti, ktere se v IS stanou ve stejny cas, t2 = t1, takze jejich necarkovanacasova odlehlost je nulova, t t2 t1 = 0. Casy udalost se transformuj podle Lorentzovytransformace

t2 = (t2 v

c2x2

), t1 =

(t1 v

c2x1

)= t =

(t v

c2x),

a tedy v nasem prpade

t = vc2

x .

Pokud se tedy udalosti nestanou v IS i na stejnem mste (x 6= 0), je jejich carkovana casovaodlehlost t nenulova. Tento vysledek je na rozdl od relativity soumstnosti novy;podle Galileiho transformace nenastava, ponevadz podle te je cas absolutn (transformuje seidenticky), a tedy absolutn (na systemu nezavislou) je i casova odlehlost udalost.

2.2.3 Kontrakce dlek

Mejme idealn tyc, ktera je vuci IS v klidu a mr ciste ve smeru x. Jej delka v IS je tedyx x2 x1 a je zaroven klidovou delkou tyce, x l0. Pro polohy koncu plat Lorentzovatransformace

x2 = (x2 vt2), x1 = (x1 vt1) = x = (x vt) .Merit delku tyce v IS znamena zaregistrovat vzhledem k tomuto systemu soucasnou polohukoncu tyce. Udalosti 2 zapis polohy prednho konce a 1 zapis polohy zadnho koncetyce tedy musej probehnout ve stejnem case t, tj. mus byt t t2 t1 = 0. Dosazenm dotransformace mame okamzite

l0 x = x l (> l ) . . . kontrakce dlek . (2.3)Jak jiz vme, tyc ma tedy nejvets delku vuci svemu klidovemu systemu.

Poznamka: Je jasne, ze k meren delky je treba nejmene dvojice (inercialnch, navzajemstojcch a synchronizovanych) hodin u kazdeho konce tyce musej byt (prave v okamzikuregistrace jeho polohy) jedny. Jak jsme jiz nekolikrat zduraznili (naposledy v minulem odstavci),co je soucasne vuci IS, nen obecne soucasne vuci IS. Z transformace casu muzeme dopoctat,ze odecet poloh koncu tyce, soucasny vzhledem k IS, nen soucasny vuci IS:

t2 t1 t = (t v

c2x)= v

c2x v

c2l ,

tedy z hlediska IS probha meren delky vuci IS tak, ze poloha prednho konce tyce jezaznamenana drve nez poloha zadnho konce.

18 2. VY CHOZI PRINCIPY SPECIA LNI TEORIE RELATIVITY

2.2.4 Dilatace asu

Mejme idealn hodiny, ktere jsou v klidu vuci IS, a uvazujme nejaky casovy interval t t2 t1, ktery na nich ubehne. Pocatecn i koncovy tik tohoto casoveho intervalu se v IS stalyna stejnem mste (hodiny v IS stoj!), tedy je mezi nimi prostorova odlehlostx x2x1 = 0.Pro odpovdajc interval necarkovaneho casu tak zjistme z inverzn Lorentzovy transformace

t = (t +

v

c2x

)= t (> ) . . . dilatace asu . (2.4)

(Casovou odlehlost namerenou na stojcch hodinach jsme jiz drve oznacili jako interval vlast-nho casu, , a rkali jsme, ze je to ze vsech casovych intervalu, ktere se daj namerit meziurcitymi dvema udalostmi, ten nejkrats.)

Poznamka: Z hlediska IS se pocatecn a koncovy tik carkovanych hodin odehraly naruznych mstech (vzdalenych od sebe vt), takze zatmco t je usek odecteny na jednech hodi-nach, t je rozdl udaju na dvou ruznych (navzajem synchronizovanych) hodinach, vzdalenychod sebe vt.

2.2.5 Transformace trozmrn rychlosti

Predstavme si, ze se neco pohybuje vuci IS tr-rychlost ~w d~xdt

a ptejme se, jaka budeodpovdajc rychlost ~w d~x

dtvuci IS.3 Ze specialn Lorentzovy transformace zjistme

wx dx

dt=

d[(x vt)]d[(t v

c2x)] = d(x vt)

d(t v

c2x) = dx vdt

dt vc2dx

=dxdt v

1 vc2

dxdt

wx v1 v

c2wx

, (2.5)

wy dy

dt=

dy

d[(t v

c2x)] = dy

(dt v

c2dx) = 1

dydt

1 vc2

dxdt

1

wy1 v

c2wx

, (2.6)

wz dz

dt=

dz

d[(t v

c2x)] = . . . (stejn) . . . = 1

wz1 v

c2wx

. (2.7)

Vyuzili jsme jen toho, ze vzajemna rychlost soustav v a tedy i odpovdajc Lorentzuv faktor jsou konstantn (jinak by aspon jeden ze systemu nebyl inercialn!). Pokud se IS pohybujevuci IS v zapornem smeru x, je treba vsude u transformacn rychlosti v zmenit znamenko. Prov 0 jde 1 a transformacn vztahy nabyvaj galileiovske podoby

wx = wx v, wy = wy, wz = wz .

Zkouka

Zkontrolujme, jak se vztahy chovaj pro rychlosti blzke c. Nechtse tedy vuci IS pohybuje ISrychlost v = c(1 ) v zapornem smeru osy x a sledovany predmet rychlost wx = c(1 )

3 Zde poprve se setkavame s mrnou notacn potz, spocvajc v tom, ze v teorii se vyskytuje vcero rychlost:jednak trrozmerna rychlost nejakeho objektu (castice, pozorovatele, . . . ) merena vuci nejakemu inercialnmusystemu, prpadne vuci dvema takovym systemum (IS a IS), v dalsm vykladu se objev take jej ctyr-rozmernaobdoba (tu budeme znacit u), a konecne vzajemna rychlost pohybu IS vuci IS (ta bude vzdy znacena v). Vetsinoubudeme ~v znacit i prvne zmnenou tr-rychlost studovaneho objektu a temer nikde snad nedojde k nejasnostem, alev tomto odstavci radeji pouzijeme psmena ~w.

2.2. BEZPROSTR EDNI DU SLEDKY LORENTZOVY TRANSFORMACE 19

v kladnem smeru x. Zajma nas rychlost predmetu vuci IS. Galileiho aditivn formule davawx = c(2 ), specialne pro 0, 0 tedy 2c, kdezto Lorentzova transformace vede k

wx =wx + v

1 + vc2wx

=c(2 )

1 + (1 )(1 ) = c2

2 + =

= c2 +

2 + = c(1

2 + ).

Tato hodnota je pro jakakoliv nezaporna a mens nez c, takze slozenm dvou podsvetelnychrychlost nikdy nevznikne rychlost nadsvetelna. Pokud je kterakoliv ze skladanych rychlostpresne rovna c (tedy pokud plat = 0), pak ji transformace ponecha presne stejnou. Overilijsme tedy, ze transformace skutecne vyhovuje principu invariance rychlosti svetla.

Poznmka: co je to vlastn rychlost vi systmu?

Rychlost vuci danemu systemu rozumme ~w d~xdt

, tedy drahu, kterou predmet vuci systemuuraz za casovou jednotku vymerenou mnozinou hodin tohoto systemu. Z praxe jsme zvyklzamenovat takto definovanou rychlost s drahou, kterou predmet vuci vztazne soustave uraz zajednotku jeho vlastnch hodin, tedy s hodnotou d~x

dt. (Viz napr. kdyz sledujete na patncch podel

dalnice, kolik ujedete za [svou] minutu kilometrovych useku.) Nyn vsak vme, ze dky dilatacicasu nejsou tyto dva pojmy rychlosti ekvivalentn,

d~x

dt d~x

d=

d~x

dt

dt

d= ~w

zde 11 w2

c2

.Hybridn rychlost d~x

dtma tedy vzdy vets velikost nezw, muze byt i nadsvetelna a prow blzc

se rychlosti svetla jde dky faktoru dokonce do nekonecna!4Aby nevznikl pocit, ze tady neco nehraje, uvazte, ze z hlediska vaseho klidoveho systemu

je ovsem vzdalenost mezi patnky u silnice -krat zkontrahovana, takze kdybyste krome svychhodin pouzili k meren rychlosti i sveho metru, zjistili byste spravne

d~x

dt=

1

d~x

dt=

1

d~x

dt = ~w .

2.2.6 Invariance prostoroasovho intervalu a skalrnho souinu vektor

Vuci Galileiho transformaci t = t, ~x = ~x ~vt je invariantn casova odlehlost dt (cas jeabsolutn).5 Lorentzova transformace ponechava naproti tomu invariantn rozdlc2 dt2+dl2 tzv. (prostorocasovy) interval ds2. Skutecne,6

ds2 c2dt2 + dx2 + dy2 + dz2 = 2(c dt v

cdx)2+ 2 (dx v dt)2 + dy2 + dz2 =

4 Vsimnete si, ze porovnate-li udaj na svetelne tabuli na zacatku obce s okamzitym udajem na svem tachometru,zjistte u sebe vets hodnotu. Nechceme vas stroj podcenovat, ale v tomto prpade nejde o relativisticky efekt.

5 Prostorova vzdalenost dl =dx2 + dy2 + dz2 je invariantn vuci transformaci prostorovych souradnic v IE3

(jedna se o specialn prpad invariance skalarnho soucinu dvou vektoru), nikoli vsak vuci Galileiho transformaci.(Viz vyse diskusi efektu relativity soumstnosti a relativity soucasnosti.) Dekuji doc. J. Obdrzalkovi za upozornenna tuto samozrejmou, take vsak samozrejme prekrucovanou skutecnost.

6 Standardne uzvanym zapisem dt2 apod. se mysl (dt)2, nikoli d(t2).

20 2. VY CHOZI PRINCIPY SPECIA LNI TEORIE RELATIVITY

= 2(c2dt2 + 2v dt dx v

2

c2dx2 + dx2 2v dt dx+ v2dt2

)+ dy2 + dz2 =

= 2(1 v

2

c2

)(c2dt2 + dx2)+ dy2 + dz2 = c2dt2 + dx2 + dy2 + dz2 ds2 .Invariance intervalu je ve skutecnosti specialnm prpadem mnohem obecnejs symetrie.

V prst kapitole budeme pro popis fyzikalnho den ve ctyrrozmernem Minkowskeho prosto-rocasu zavadet pojem ctyrrozmernych vektoru a tenzoru. C tyr-vektor bude v souradnicove bazireprezentovan ctyrmi slozkami, ktere se pri zmene baze transformuj stejne jako diferencialysouradnic, v nasem prpade tedy podle Lorentzovy transformace. Snadno overme, ze tato trans-formace ponechava invariantnm skalarn soucin libovolnych dvou ctyr-vektoru (napr. V ,W ); skalarn soucin pseme v uvozovkach, protoze je odlisny od skalarnho soucinu v IE3 vkartezskych souradnicch, v nichz budeme pracovat, je generovany nikoliv jednotkovou matic,ale matic diag(1, 1, 1, 1). Oznacme-li slozky ctyr-vektoru indexy nahore, jak to budeme delatv dals kapitole, tj. (V t, V x, V y, V z), pak tedy jejich specialn Lorentzova transformace zn

V t = (V t v

cV x), V x =

(V x v

cV t), V y = V y, V z = V z

(pro W obdobne), a tudz skalarn soucin se transformuje1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 1

V t

V x

V y

V z

W t

W x

W y

W z

= V tW t + V xW x + V yW y + V zW z == 2

(V t v

cV x)(W t v

cW x)+ 2

(V x v

cV t)(

W x vcW t)+ V yW y + V zW z =

= 2(V tW t + v

cV tW x +

v

cV xW t v

2

c2V xW x + V xW x v

cV xW t v

cV tW x +

v2

c2V tW t

)+ V yW y + V zW z =

= 2(1 v

2

c2

)(V tW t + V xW x)+ V yW y + V zW z == V tW t + V xW x + V yW y + V zW z .Specialnm prpadem prave dokazane invariance je prpad W = V , tedy skalarn soucin ctyr-vektoru se sebou samym neboli kvadrat prostorocasove normy ctyr-vektoru. Invarianceprostorocasoveho intervalu je pak specialne invarianc kvadratu prostorocasove normy pr-rustku polohoveho ctyr-vektoru, tedy ctyr-vektoru s kartezskymi slozkami (c dt, dx, dy, dz).

2.3 Muj cas tednema valne hodnoty. . .Doufame, ze prvn, kinematicka cast Einsteinova prukopnickeho clanku vas zaujala podobnejako Conrada Habichta. Einstein v n jeste na zaklade relativity soucasnosti a dilatace casupoprve uvazuje o paradoxu dvojcat a dovozuje, ze hodiny na zemskem rovnku jdou vucistejnym hodinam na polu nepatrne pomaleji. Slovo kinematicka je v souvislosti se specialnrelativitou dulezite. Pri pohledu zpet do historie se totiz znovu a znovu vynoruje otazka, jak to,ze Lorentz a hlavne Poincare neobjevili specialn relativitu, kdyz matematicky ji vlastnemeli vce nez pripravenou. A dale: proc si Einsteinovy teorie ani po r. 1905 temer nevsmali?(S Poincarem se Einstein temer neznal, ale Lorentz se s nm velmi pratelil.) Odpovedje zrejme

2.3. MUJ CAS TED NEMA VALNE HODNOTY. . . 21

takova, ze z jejich hlediska nebyl Einsteinuv postup uspokojivy: Einstein dostal Lorentzovutransformaci automaticky z ciste kinematickeho principu relativity, kdezto oni usilovali ojej hlubs, dynamicke vysvetlen (pomoc vlastnost eteru).

Kazdopadne po kinematicke casti clanku zacna Einstein s elektrodynamikou. Nejdrvedokazuje lorentzovskou invarianci bezzdrojovych Maxwellovych(-Hertzovych) rovnic, odvo-zuje vztahy pro Doppleruv jev a aberaci a pro tlak zaren, pote transformuje poln rovnice zaprtomnosti zdroju a dovozuje, ze elektricky naboj je invariant, a konecne analyzuje pohybovourovnici pro elektron z jejch prumetu naleza podelnou a prcnou hmotnost a navrhuje, jakchovan elektronu overit experimentalne. V zaveru neuvad zadnou literaturu, jen dekuje zadiskuse prteli M. Bessoovi.

V zar 1905 prisel z patentoveho uradu Conradu Habichtovi dals dopis: . . . Muj casted nema valne hodnoty; nen vzdy nametu zralych k premtan. Aspon ne tech doopravdyvzrusujcch. Bylo by tu samozrejme tema spektralnch car; ale myslm, ze jednoduchy vztahmezi temito jevy a temi uz prozkoumanymi vubec neexistuje, takze se mi ty veci zdaj prozatmmalo slibne. Napadl me dusledek toho studia elektrodynamiky. Totiz princip relativity ve spojens Maxwellovymi fundamentalnmi rovnicemi vyzaduje, aby hmotnost byla prmou mrou energieobsazene v telese; svetlo s sebou nese hmotnost. V prpade radia by melo dochazet ke znatelnemuubytku hmotnosti. Zabavna a svudna uvaha; ale pokud vm, Vsemohouc Buh se mozna celezalezitosti smeje a vod me za nos. O smchu nen nic znamo, ale vedl Einsteina k rovniciE = mc2. Den predtm, nez se v Annalen der Physik (28. zar 1905) objevila Einsteinova praceK elektrodynamice pohybujcch se teles, byl k publikaci tamtez prijat trstrankovy doplnekZavis setrvacnost telesa na jeho energetickem obsahu?; vysel tehoz roku v rocnku 18 nastrankach 639-641. Souvislost mezi hmotnost a elektromagnetickou energi elektronu byla naprelomu stolet studovana a Friedrich Hasenorl dokazal, ze zaren v dutine je mozno pripsathmotnost umernou jeho energii. Nyn vsak Einstein nalezl zcela universaln vztah mezi obemavelicinami. Dostaneme se k nemu az v odstavci 4.4, ale uz tedpredesleme, ze to byla bomba prenesene, ale tak trochu i doslova. . .

22 2. VY CHOZI PRINCIPY SPECIA LNI TEORIE RELATIVITY

KAPITOLA 3

Minkowskeho prostorocas

Toho bych se od Einsteina nenadal, divil se Hermann Minkowski, kdyz sledoval, jak se v 17.rocnku prestiznho casopisu Annalen der Physik (r. 1905) objevuje jeden clanek jeho byvalehostudenta za druhym. Presto jeste netusil, ze ty clanky obrat fyziku naruby. Einstein 5 let predtmstudoval na curysske Polytechnice, ale jeho profesori matematiky Minkowski a Hurwitz ho z tedoby moc neznali. (Nikdo me nikdy neprimeje, abych chodil na matematicke seminare!)

Minkowski si procetl hlavne clanek O elektrodynamice pohybujcch se teles, ktery prinasnovou interpretaci Lorentzovy transformace a odvozuje radu jejch podivuhodnych dusledku.Einsteinovo zpracovan tematu se vsak Minkowskemu zdalo matematicky prlis rozvlacne.1V roce 1907 pak Minkowski zacal behem seminare venovanem elektrodynamice, ktery poradalna gottingenske universite spolu s Davidem Hilbertem, formulovat zpracovan nove, geome-tricke. Predevsm si vsiml, ze na rozdl od Galileiho transformace t = t, x = x vt sev transformaci Lorentzove vyskytuj casova a prostorova souradnice zcela symetricky a jsouvzajemne provazany:

ct = (ct v

cx), (3.1)

x = (x v

cct). (3.2)

Znamena to, ze zijeme ve ctyr-rozmernem eukleidovskem prostoru-casu, jehoz tri rozmery jsouprostorove a jeden casovy? Nikoliv, jak ukaze struktura invariantu.

3.1 Indexov formalismus v IE3 pipomenut

Nejdrve pripomeneme (velmi pragmatickym zpusobem!) par zakladnch vec z trrozmernehoeukleidovskeho prostoru. Zavadme tam ruzne typy souradnic xi (x1, x2, x3) naprkladkartezske (x, y, z), sfericke (r, , ) ci cylindricke (, , z). Pri prechodu od jedne souradnicovebaze k jine, xj xi = xi(xj), se veliciny transformuj pomoc dvou matic: Jacobiho maticeprechodu x

i

xja matice k n inverzn xj

xk

. Slozky vektoru se transformuj pres prmou matici

1 Einsteinovu reakci na tento postreh neuvadme, je do 21 let neprstupna.

23

24 3. MINKOWSKE HO PROSTOROCAS

a jejich prototypem je diferencial polohy,2

dxi =xixj

dxj stejn vechny vektory : V i (x) =xixj

Vj(x) . (3.3)

Slozky linearnch funkcionalu (= linearnch forem = kovektoru), tedy objektu k vektorumdualnch, se transformuj pres inverzn matici a jejich prototypem je gradient,

xk=

xjxk

xj stejn vechny kovektory : C k(x) =

xjxk

Cj(x) . (3.4)

Vektory a kovektory lze nahlzet jako specialn prpady tenzoru. Tenzory jsou abstraktne defino-vany jako multilinearn zobrazen z kartezskeho soucinu urciteho poctu ( r) kovektorovych aurciteho poctu ( s) k nim dualnch (vektorovych) prostoru do realnych csel. Drevorubeckyreceno, tenzory jsou jako skrne, ktere maj na jedne strane r zasuvek, do nichz se daj zastrcitkovektory, a na druhe strane s zasuvek, do nichz se daj strcit vektory. Kdyz se to provede azatoc se klikou, vypadne cslo. Pokud se chce sdelit, kolik ma tenzor kterych zasuvek, reknese, ze je typu (r, s), nebo tez r-krat kontravariantn a s-krat kovariantn celkove paktenzor (r + s)-teho radu. V souradnicch jsou tenzory reprezentovany dr+s slozkami, kde dje dimenze prostoru (u nas zatm d = 3) a r+ s je pocet indexu. Definicn operace zapusobentenzorem T na r kovektoru C, D, . . . a s vektoru V , W (tedy zasunut argumentu do jehozasuvek a zatocen klikou) ma ve slozkach podobu vnitrnho soucinu

Tij...mn...CiDj . . . VmWn . . . (= slo) .

Slozky tenzoru typu (r, s) se pri prechodu mezi souradnicovymi bazemi transformuj pres rprmych Jacobiho matic a s matic inverznch (vektorove indexy se transformuj pres prmematice a kovektorove indexy pres inverzn matice),

T i...m...(x)