TATISTIKA

Zkladn pojmytatistick sborRozsah sboruKvantitatvny znakKvalitatvny znakARITMETICK PRIEMER Geometrick, Harmonick priemerMODUSMEDINGrafy -Polygn poetnosti a histogramSMERODAJN ODCHLKADISPERZIA-ROZPTYLtatistick zvislos znakov-KOEFICIENT KORElCIE

Pr.1 Vypotajte priemern prospech iaka Janka Hraka na konci roka ak dosiahol takto vsledky z jednotlivch predmetovOBSAH

SjDRjMFBioTv2132321x1x2x3x4x5x6x7

Aritmetick priemer znmok je:OBSAH

_1105744849.unknown

_1105744850.unknown

_1105745293.unknown

_1105744597.unknown

Def: tatistickm sborom rozumieme dan konen neprzdnu mnoinu M.(napr. mnoina predmetov, resp.znmok)

Poet n vetkch prvkov mnoiny M sa nazva rozsah sboru.(poet predmetov-znmok.....n=7)Kvantitatvnym znakom sboru M nazvame ubovon funkciu f, ktor zobrazuje mnoinu M do mnoiny R.(Jednotlivm predmetom prirad znmku, teda relne slo) (Hodnoty tejto funkcie ozname x1, x2, ....xn)

ARITMETICK PRIEMERAk hodnoty mnoiny M ozname x1, x2, x3 xn , tak aritmetickm priemerom znaku x je slo

OBSAH

Ven priemerAbsoltna poetnos Relatvna poetnos

_1105746297.unknown

_1105746090.unknown

_1105832202.unknown

Pr 2. V triede je 9 chlapcov, ktorch vky s uveden v tabuke:Vypotajte priemer (ven)Modus MedinSmerodajn odchlkuZostrojte histogramOBSAH

Chcch1ch2ch3ch4ch5ch6ch7ch8Ch9vka160168174171174179174190179

TabukyOBSAH

Vkaxi160X1168X2171X3174X4174X5174X6179X7179X8190X9

VkaXjPoetNj160 x11 n1168 x21 n2171 x31 n3174 x43 n4179 x52 n5190 x61 n6

Priemer

OBSAH

_1105746297.unknown

List1

VkaxiVkaxivkaxjpoetnj

160x1171x1160x11n1

168x2174x2168x21n2

171x3160x3171x31n3

174x4174x4174x43n4

174x5174x5179x52n5

174x6179x6190x71n6

179x7190x7

179x8179x8Ven priemer

190x9168x9

Priemer174.3333333333Priemer174.3333333333

List2

List3

_1105832202.unknown

Geometrick priemer

Harmonick priemer

Pr. Vypotajte AP, VP, GP, HP danho tatistickho sboru:

2, 3, 5, 7, 9

3, 4, 5, 8, 10, 11, vsledky

MODUSJe najastejie sa vyskytujca hodnota spomedzi x1, x2, .....xn.

Oznaenie: mod(x)=xj0, nj

MEDINJe prostredn hodnota medzi slami x1, x2, x3, .......xn ak ich usporiadame poda vekosti.

Oznaenie: med(x)Poznmka: Ak rozsah sboru n je prne slo, potom s prostredn hodnoty dve a za medin sa berie ich aritmetick priemer.OBSAH

List1

VkaxiVkaxivkaxjpoetnj

160x1171x1160x11n1

168x2174x2168x21n2

171x3160x3171x31n3

174x4174x4174x43n4

174x5174x5179x52n5

174x6179x6190x71n6

179x7190x7

179x8179x8Ven priemer

190x9168x9

Priemer174.3333333333Priemer174.3333333333

List2

vkaxjpoetnjVkaxi

160x11n1171x1

168x21n2174x2

171x31n3160x3

174x43n4174x4

179x52n5174x5

190x71n6179x6

190x7

179x8

168x9

Modus174

List3

Vkaxivkaxjpoetnj

160x1160x11n1

168x2168x21n2

171x3171x31n3

174x4174x43n4

174x5179x52n5

174x6190x71n6

179x7

179x8

190x9

Medin174

Grafick znzornenie tatistickho sboruHistogramSpojnicov diagramKruhov diagram

HISTOGRAM Je stpcov diagram, tvoren obdnikmi, ktorch obsahy s mern prslunm poetnostiam, ktorch strana na osi x = hodnota znaku, strana na osi y = jeho poetnos.

loha 1: Znzornite pomocou histogramu hodnoty danho tatistickho sboru. ( xj je vka chlapcov)

Xj150165170180nj2314

Polygn poetnosti = Spojnicov diagrampolygn poetnosti = spojnicov diagram, zskame spojenm bodov, u ktorch: sradnica x je hodnota sledovanho znaku, sradnica y = jeho poetnos, t.j. bodov

loha 2: Znzornite pomocou polygnu poetnosti spojnicovho diagramu dan tatistick sbor.

Xj150165170180nj2314

Kruhov diagramdiagram tvoren kruhom rozdelen, na kruhov vseky. Poet vsekovzodpoved potu tatistickch tried. Vekosti stredovch uhlov tchto vsekov s priamo mern poetnosti danho znaku.

loha 3: Znzornite pomocou polygnu poetnosti spojnicovho diagramu dan tatistick sbor.

Xj150165170180nj2314

PRKLADYOBSAHK 13, K14, K17

K13

K 13: Nasledujci graf znzoruje spotrebu vybranch druhov potravn v rokoch 1990-2001:

Rok199019911992199319941995199619971998199920002001Priemer

Zelenina1001101051081071061061071081099491104.25

Chlieb a peivo899391971061151101009688838395.92

Zemiaky86917889747480787572676477.33

Mso84776965646465666665605866.92

Ovocie54606364666868666758605462.33

Na zklade dajov z grafu mono usdi, e :

(A): spotreba chleba a peiva klesla v roku 2001 v porovnan s rokom 1995 takmer o 50%.

(B): v roku 1996 bola spotreba chleba a peiva dvakrt vyia ako spotreba zemiakov.

(C): priemern spotreba zeleniny za cel sledovan obdobie prevyuje priemern spotrebu ubovonej inej sledovanej potraviny.

(D): spotreba ovocia dosahovala v celom sledovanom obdob najniie hodnoty.

K13

Zelenina

Chlieb a peivo

Zemiaky

Mso

Ovocie

spotreba vybranch druhov potravn na jednho obyvatea na rok

K14

K 14 V ktorom z nasledujcich stpcovch diagramov zodpovedaj percentulne daje o pote prijatch tudentov dajom z kruhovho diagramu ?

technika119

prvo104

ekonmia54

medicna36

in47

(hodnoty v stupoch)

Z kruhovho diagramu vidme, e tudenti prijat na techniku tvoria 1/3 vetkch tudentov,

preto meme s uritosou poveda, e dajom z kruhovho diagramu percentulne zodpovedaj daje v grafe (A).

technika33

prvo29

ekonmia15

medicna10

in13

technika35

prvo29

ekonmia15

medicna10

in13

K14

K17

V

poet prijatch tudentov v percentch

V graf (A)

K17 Nasledujce tri grafy znzoruj hlavn zistenia Americkej automobilovej asocicie, ktor v rokoch 1995-98 analyzovala priny pribline 26 000 dopravnch nehd.

hlavn priny dopr. nehdnehody spsoben nepozornosou vodia

nepozornos vodia60prina mimo vozidla20

in priny40prina vntri vozidla80

priny vntri vozidla

jedlo,pitie25

rdio,CD15

spolucestujci11

in priny vntri vozidla49

Pribline koko percent vetkch dopravnch nehd v USA v sledovanom obdob (1995-98) zavinili vodii tm, e sa venovali obsluhe rdia i CD prehrvaa?

vetkch dopravnch nehd: X

nepozornos vodia : 60% zo vetkch = 0,6*X

prina vntri vozidla : 80% z nehd spsobench nepozornosou vodia = 0,8*(0,6*X)

rdio,CD : 15 % z nehd, kt, prina bola vntri vozidla = 0,15*[0,8*(0,6*X)]

Zo vetkch dopr. nehd boli zavinen obsluhou rdia i CD : 0,15*0,8*0,6=0,072 ... 7,2%

(A):

(B):

(C): 15%

(D): 18%

in priny

nepozornos vodia

% zo vetkch dopr. nehd

hlavn priny dopr. nehd

prina vntri vozidla

prina mimo vozidla

% z nehd zaprinench nepozornosou

nehody spsoben nepozornosou vodia

% z nehd (prina vntri vozidla)

priny vntri vozidla

PrkladyK12, K14

K14

Vktorom znasledujcich stpcovch diagramov zodpovedaj percentulne daje opote prijatch tudentov dajom zkruhovho diagramu?

A.)

B.)

C.)

D.)

K12

Pr.: 20% tudentov hlsiacich sa na ist fakultu bolo prijatch bez prijmacej skky. spenos zvynch 80 % uchdzaov je znzornen na kruhovom diagrame.

Ktor zuvedench tvrden ovsledkoch prijmacieho konania je nepravdiv.

(A) 40% uchdzaov, ktor urobili prijmaciu skku, bolo prijatch.

(B) 28% vetkch uchdzaov prijmaciu skku urobilo, ale neboli prijat.

(C) 20% vetkch uchdzaov prijmaciu skku neurobilo.

(D) 68% zo vetkch uchdzaov na fakultu neprijali.

UP urobili skku aboli prijat

UN urobili skku, ale neboli prijat

N - neurobili skku, ateda neboli prijat

_1202149502.xls

_1202149518.xls

_1202149751.xls

_1202149861.xls

_1202149510.xls

_1202149449.xls

Rozptyl a smerodajn odchlka Okrem charakteristiky polohy je dobr vedie aj to, nakoko sa jednotliv hodnoty od tejto charakteristiky odchyuj. Na to sa obvykle pouva tzv. smerodajn odchlka resp. rozptyl. OBSAH

Def.: Nech x1, x2, ....xn s vetky hodnoty danho znaku x. Potom sa slo s nazva SMERODAJN ODCHLKA, priom:OBSAH

Resp.

Poznmka:m je slo s menie, tm s menie rozdiely

a tm s sla xi rozmiestnen bliie okolo aritmetickho priemeru.

Veta:Interval obsahuje aspo

vetkch lenov x1,2, x3, .....xn.

OBSAH

_1105831086.unknown

_1105831336.unknown

Druh mocnina sla s sa nazva DISPERZIA alebo ROZPTYL

resp.OBSAH

Poznmka:Rozptyl, podobne ako smerodajn odchlka, poukazuje na to, nakoko sa odchyuj jednotliv sla ( hodnoty tatistickho sboru) od priemeru. OBSAH

Rieme prklad 2: V triede je 9 chlapcov, ktorch vky s uveden v tabuke:

OBSAH

Chcch1ch2ch3ch4ch5ch6ch7ch8Ch9vka160168174171174179174190179

List1

Smerodajn odchlka

xjnjPriemer xxj-x(xj-x)2nj(xj-x)2

1601160-14.3205.4205.4

1681168-6.340.140.1

1711171-3.311.111.1

1743522-0.30.10.3

17923584.721.843.6

190119015.7245.4245.4

91569546.0

174.3333333333

60.67

7.79

graf

graf

111321

xj

Vka iakov

List2

160

168

174

1717.79

174

179

174

190

179

7.79

MBD000666CE.unknown

MBD0006F87B.unknown

MBD000666C3.unknown

Smerodajn odchlkaVpoetTabukaKalkulaka

smerodajn odchlka

23577892.4159335036

STDEVP

smerodajn odchlka

zpis do tabuky

Smerodajn odchlka

xjnjxj*njxj-x(xj-x)2nj(xj-x)2

212-3.857114.877614.8776

313-2.85718.16338.1633

515-0.85710.73470.7347

72141.14291.30612.6122

8182.14294.59184.5918

9193.14299.87769.8776

0-5.857134.30610.0000

741-5.857142857134.30612244940.85714

Priemer5.8571428571

5.8367347

2.415934

kalkulaka

Kalkulaka - tatistika(CASIO fx - 85ES)

(smerodajn odchlka)

1.)Zapnutie do reimu (modu) STAT a prprava na vkladanie dt

mode2(stat)1(1-var)

2.)Vloenie dt

Data22=3=....

3

5

7

7

8

9

3.)Ukonenie vkladania dt

AC

4.)Vber poadovanej funkcie

SHIFT1(STAT)5(VAR)3(xon) - smer. odch.=2.4159

2(X) - aritmetick priemer

Databza loh pr. 9

Smerodajn odchlka

xjnjxj*njxj-x(xj-x)2nj(xj-x)2

2.0112.01-0.05000.00250.0025

2.0212.02-0.04000.00160.0016

2.0324.06-0.03000.00090.0018

2.0524.1-0.01000.00010.0002

2.0912.090.03000.00090.0009

2.112.10.04000.00160.0016

2.1124.220.05000.00250.0050

1020.6-2.064.24360.01360

Priemer2.06

0.0013600

0.036878

MBD00031D96.unknown

MBD000515E4.unknown

MBD000515E3.unknown

MBD00031D95.unknown

tatistick zvislos znakov

Zoit 3/str. 30 -33KOEFICIENT KORELCIE(korelan odchlka)

V mnohch prpadoch sa na prvkochzkladnho sboru sleduj dva znaky X, Y.

Jednou z loh matematickej tatistiky je kvantitatvne charakterizova mieru zvislosti medzi tmito dvoma znakmi veliinami

napr. medzi vkou a hmotnosou tudentov,

V aplikciach matematickej tatistiky obbenou charakteristikou zvislosti je

KOEFICIENT KORELCIE

(korelan odchlka)

Def:Nech x1, x2, ......xn s hodnoty znaku XNech y1, y2, ......yn s hodnoty znaku Y vo vberovom sboreNech

s aritmetick priemery, resp. disperzie(rozptyly), resp. smerodajn odchlky tchto znakov vo vberovom sbore, tj.

_1105915502.unknown

_1105916399.unknown

_1105916399.unknown

_1105916613.unknown

Vraz :sa nazva KONVARIANCIA znakov X,Y

_1202257522.unknown

Koeficientom korelcie r je potom hodnota:OBSAH

Poznmka:Koeficient korelcie uruje, do akej miery linerny vzah y = ax+b aproximuje (pribliuje) hodnoty znaku Y hodnotami X.

Zauvalo sa nasledujce odstupovanie tesnosti linernej zvislosti medzi hodnotami znakov X, Y :

Mal, ak

Mierna, ak

Siln, ak

_1105918382.unknown

D sa ukza, e pre koeficient korelcie plat

priom

vtedy a len vtedy, ke zvislos medzi znakmi X, Y je linerna, t.j ke existuj tak sla a, b e y =ax+b

OBSAH

_1105918603.unknown

_1105918603.unknown

_1105918788.unknown

Pr. (K20) Osem iakov z triedy vypotalo koeficient korelcie medzi vkou a hmotnosou lenov svojej rodiny. V tabuke s uveden ich vsledky.

Koko lenov sa pri vpote urite pomlilo?Domca loha

A) tyriaB) TrajaC) DvajaD) Jeden

iakABCDEFGHKoeficient korelcie0,3-0,71,2-1,70,90,51,42,3

Sprvna odpove je:Pomlili sa tyria, teda A)

lebo pre koeficient korelcie platt. j.

_1105918603.unknown

Rieme prklad: str. 31-Pr.1Vypotajte koeficient korelcie a charakterizujte mieru vzby medzi vkou a hmotnosou tudentov.

List1

vka v cm (xi)hmotnos v kg(yi)

16260

16465Koeficient korelcie-korelan odchlka-CORREL

16568

166660.7907650429

16766

16968

17070

17568

17775

17970

List2

List3

vka v cm (xi)hmotnos v kg(yi)Koeficient korelcie-korelan odchlka-CORREL

16260

164650.8819509212

16564

17266

17575

0.88

r =

Na zklade tohto vsledku mono hovori o silnej linernej zvislosti medzi vkou a hmotnosou vybranch tudentov.

List1

vka v cmhmotnos v kgivka v cm (xi)hmotnos v kg(yi)xi-xyi-y(xi-x)(yi-y)(xi-x)^2(yi-y)^2

16260116260-7.4-7.656.2454.7657.76

16465216465-5.4-2.614.0429.166.76

16568316568-4.40.4-1.7619.360.16

16666416666-3.4-1.65.4411.562.56

16766516766-2.4-1.63.845.762.56

16968616968-0.40.4-0.160.160.16

170707170700.62.41.440.365.76

175688175685.60.42.2431.360.16

177759177757.67.456.2457.7654.76

1797010179709.62.423.0492.165.76

spolu1694676160.6302.4136.4

priemer169.467.6

0.79

=

=5.50

=3.69

16.06

KOVARIANCIA hodnt znakov x, y

List2

ivka v cm (xi)hmotnos v kg(yi)xi-xyi-y(xi-x)(yi-y)(xi-x)^2(yi-y)^2

116260

216465

316568

416666

516766

616968

717070

817568

917775

1017970

spolu

priemer

0.00

=

=

=

KOVARIANCIA hodnt znakov x, y

List3

ivka v cm (xi)hmotnos v kg(yi)xi-xyi-y(xi-x)^2(yi-y)^2(xi-x)(yi-y)

116260-5.6-631.363633.6

216465-3.6-112.9613.6

316564-2.6-26.7645.2

4172664.4019.3600

5175757.4954.768166.6

priemer167.666125.2122109

0.88

3.54

3.49

10.9

KOVARIANCIA hodnt znakov x, y

0.8819509212

MBD0003ABD2.unknown

MBD0007FE84.unknown

MBD00190A41.unknown

MBD00190A43.unknown

MBD00190A42.unknown

MBD00190A40.unknown

MBD0007FE82.unknown

MBD0007FE83.unknown

MBD0007FE81.unknown

MBD00030B2E.unknown

MBD00035AC9.unknown

MBD0002546E.unknown

OdpoveKoeficient korelcie je 0,88.

Na zklade tohto vsledku mono hovori o silnej linernej zvislosti medzi vkou a hmotnosou tudentov vybranho gymnzia.

Domca loha 2

Pr. (K22)V tabuke s uveden vsledky piatich iakov, testovanch z matematiky a z fyziky. Z kadho z testov sa dalo zska maximlne 15 bodov. Z iastonho spracovania tchto vsledkov vyplva, e z matematiky zskali tudenti priemerne 11 bodov, z fyziky 9,2 bodu. Smerodajn odchlka pri teste z matematiky bola 2,4 bodu, pri teste z fyziky 2,2 bodu. Ak bol koeficient korelcie medzi obidvoma predmetmi? Domca loha

A) 0,4B) 0,6C) 0,8D) 1

Z1Z2Z3Z4Z5Matematika91115128Fyzika7713109

Sprvna odpove je:Koeficient korelcie

medzi dvoma predmetmi je

0,8teda C.

Domca loha1:Matematika-zoit 3 .......Str.32- Pr. 2Matematika- zoit 3..........Str.33- cv. 1Zbierka..............................str. 56-pr. Zbierka..............................str. 57- pr. 8, 9 Matematika strednej koly v testoch 2.as.......str.94/ K20, K22

Domca loha 2:Matematika strednej koly v testoch 2.as.......str.94/ K22Matematika 4. ronk ... Zoit 3/ str.32 Pr.2Zbierka 4. ronk ............Zoit 4/

OPAKOVANIE TATISTIKY psomka

www.gdusecovce.edu.sk/ matematika/4. ronk databza loh zo tatistiky(ukky z monitorov pravdepodobnos a tatistika)

akujem za pozornos a prajem prjemn de

Spracoval:Mgr. Rbert Janok

Boli pouit aj prspevky tudentov:

Michal Boiak-oktva v k. roku 2005/06(lohy K13,K14, K17-spracovan v exeli)

Luk urkovi -4. I v k. roku 2005/06( lohy K12, K14)

Gymnzium Seovce,Kollrova 17

*************************************************