statistika - srednja vrednost-disperzija

Koeficijent varijacije je relativan pokazatelj preciznosti srednje vrednosti.

CVx 1.63671=CVxσ

Ex:=

Disperzija se naziva i varijansa, a njen koren standardna devijacija.

stdev x( ) 13093.679561=σ 13093.679561=σ Dx:=

var x( ) 171444444.444444=Dx 171444444.444444=Dx

0

n 1−

i

xi Ex−( )2∑=

n:=

Disperzija u oznaci D(x) je apsolutni pokazatelj preciznosti srednje vrednosti i predstavlja srednju vrednost kvadratnih rastojanja elemenata od srednje vrednosti.

Sx 8222.222222=Sx0

n 1−

i

xi Ex−∑=

n:=

Srednja vrednost apsolutnih vrednosti rastojanja elemenata od srednje vrednosti.

Mediana je 3500 (u rastucem nizu vrednost srednje zarade), mod je 3000 (najcešca vrednost zarade) i u ovom primeru oni su bolji pokazatelji zarade od srednje vrednosti.

Srednja vrednost (mean value) u oznaci E(x) je ocekivana vrednost zarade i u ovom slucaju nije realan pokazatelj zarada u firmi.

n 9=

mean x( ) 8000=Ex 8000=Ex0

n 1−

i

xi∑=

n:=n rows x( ):=x

2500

3000

3000

3000

3500

3500

4000

4500

45000

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

:=

negrupisani podaci

a ) loš šef

Primer 1. Loš i dobar šef. Date su zarade u nekoj firmi:

Srednja vrednost, disperzija, koeficijent varijacije

3) Obrada i analiza podataka

2) Prikupljanje i sredjivanje podataka

1) Teorija uzoraka

Statistika - osnovni pojmovi

CVxσ

Ex:= CVx 0.236429= Disperzija i koeficijent varijacije su znacajno manji

nego u prethodnom primeru.

Uzoracka srednja vrednost, uzoracka disperzija

Primer 2. Dati su rezultati merenja table cokolade:

grupisani podaci

y

99.58

99.79

99.85

99.9

100.06

100.29

100.47

100.64

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

:= my

3

4

7

11

15

12

9

3

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

:= n my∑:= ωmyn

:= ω

0.046875

0.0625

0.109375

0.171875

0.234375

0.1875

0.140625

0.046875

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

=

n 64= ω∑ 1=

k rows y( ):= k 8=

U koloni y su izmerene vrednosti, a my i ω su njihove apsolutne i relativne frekvence.

b) Dobar šef

x

2500

3000

3000

3000

3500

3500

4000

4500

5400

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

:= n rows x( ):= Ex0

n 1−

i

xi∑=

n:= Ex 3600= mean x( ) 3600=

n 9= U ovom slucaju srednja vrednost je realan pokazatelj zarada u firmi.

Sx0

n 1−

i

xi Ex−∑=

n:= Sx 688.888889=

Mnogo je manja razlika izmedju disperzije racunate preko apsolutne vrednosti i kvadrata greske u ovom nego u prethodnom primeru (kvadratno rastojanje kaznjava lose procene).

Dx0

n 1−

i

xi Ex−( )2∑=

n:= Dx 724444.444444= var x( ) 724444.444444=

σ Dx:= σ 851.143022= stdev x( ) 851.143022=

Statistika s2 je nepristrasna, a statistika s2n je saglasna i efikasnija. Sto je vece n (broj merenja) vrednosti ovih statistika su sve pribliznije.

sn 0.26917=sn s2n:=s2n 0.072453=s2n0

k 1−

i

myi yi arsredy−( )2⋅∑=

n:=

Za uzoracku disperziju se koristi i sledeca statistika:

Aritmeticka sredina ima (ili joj tezi) normalnu raspodelu N (μ, σ/ n) . Dakle, σ predstavlja preciznost metode, dok σ/ n predstavlja preciznost rezultata.

Za procenjivanje parametara (srednja vrednost, disperzija...) koriste se statistike

(aritmeticka sredina, S2 statistika...). Da bi bili sigurni da su procene dobre one treba da zadovoljavaju izvesne kriterijume (nepristrasnost (unbiased), saglasnost (consistent), efikasnost).

s 0.271298=s s2:=s2 0.073603=s20

k 1−

i


n 1−:=

arsredy 100.098125=arsredy0

k 1−

i

myi yi⋅∑=

n:=

Tacna tezina cokolade i greska merne metode se procenjuju preko uzoracke srednje

vrednosti (aritmeticka sredina) i uzoracke disperzije (srednje kvadratna greska, S2 statistika).

99.5 99.7 99.9 100.1 100.3 100.5 100.7

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

ω

y

Izmerene vrednosti (raspodela tezina cokolade) mozemo prikazati graficki na razne nacine.

k 5=k rows x3( ):=

nu 90=

w

0.8

1.25

2

1

0.625

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎠

=w1

σ2:=σ2

1.25

0.8

0.5

1

1.6

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎠

:=nu nx3∑:=nx3

10

20

15

40

5

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎠

:=x3

99.58

99.69

99.89

100.12

100.24

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎠

:=

U koloni x3 date su aritmeticke sredine dobijene pri merenjima uzoraka obima nx3.

Uzorci su razlicite velicine (nx3) i mereni na instrumentima razlicite preciznosti ( σ2).

Primer 3.

Normalna raspodela - Gausova kriva f:N(0,1), g:N(0,2), h:N(0,1/2)

6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

f t( )

g t( )

h t( )

t

h t( )1

0.5 2 π⋅⋅e

t μ−( )2−

2 0.52⋅⋅:=

g t( )1

2 2 π⋅⋅e

t μ−( )2−

2 22⋅⋅:=

f t( )1

σ 2 π⋅⋅e

t μ−( )2−

2 σ2⋅⋅:=

σ 1:=μ 0:=

Pri merenjima razlikujemo grube, sistematske i slucajne greske. Slucajne greske se javljaju po normalnoj raspodeli N(0,σ).

Greske merenja, tezinska aritmeticka sredina

a) Prikazati raspodelu broja neispravnih proizvoda u uzorku od 6 proizvoda, ako je verovatnoca pojavljivanja neispravnog proizvoda 2%.

4) F - raspodela

3 ) χ2 - raspodela

2) studentova t - raspodelab) Poasonova raspodela1) normalna z - raspodelaa) binomna raspodela

neprekidne diskretne

Raspodele

σ2u 0.927647=σ2u0

k 1−

i

nx3i 1−( ) σ2i⋅∑=

0

k 1−

i

nx3i 1−( )∑=

:=

Ukupnu gresku merenja mozemo izracunati preko tezinske aritmeticke sredine gresaka:

arsredu 99.916514=arsredu0

k 1−

i

nx3i wi⋅ x3i⋅∑=

0

k 1−

i

nx3i wi⋅∑=

:=

Ukoliko su merenja obavljena na instrumentima razlicite preciznosti (kolona σ2) dobijamo tezinsku aritmeticku sredinu. Tezina w daje vecu vaznost preciznijim merenjima.


k 1−

i

nx3i x3i⋅∑=

nu:=

Uracunamo li i obime uzoraka dobijamo tezinsku (ponderisanu) aritmeticku sredinu:


k 1−

i

x3i∑=

k:=

Ukoliko ne uzimamo u obzir obim uzoraka aritmeticku sredinu mozemo izracunati kao:

greska 0.000930457254=greska greska2:=

greska2 0.000000865751=greska20

n

k

fk ω4k−( )2∑=

n 1+:=

ω4

0.885842380864

0.108470495616

0.00553420896

0.00015059072

0.00000230496

0.000000018816

0.000000000064

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

=f

0.886920436717

0.106430452406

0.006385827144

0.000255433086

0.000007662993

0.000000183912

0.000000003678

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

=

Poasonova raspodela je aproksimacija binomne. Vidimo da su vrednosti dobijene preko Poasonove raspodele (kolona f) bliske vrednostima dobijenim binomnom raspodelom (kolona ω4). To potvrdjujemo i preko njihovog srednje kvadratnog rastojanja (vrednost greska).

f kμ

k

k!e μ−

⋅:=k 0 n..:=μ 0.12=μ n p⋅:=b )

Kriva koju dobijamo je

bliska funkciji f(x) = e x− , sto cemo videti i u sledecem primeru.

0 1 2 3 4 5 6

0.2

0.4

0.6

0.8

1

ω4

x4

ω4

0.885842380864

0.108470495616

0.00553420896

0.00015059072

0.00000230496

0.000000018816

0.000000000064

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

=x4

0

1

2

3

4

5

6

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

:=

Pri uzimanju 6 proizvoda moduce je da bude 0, 1, ..., 6 neispravnih (kolona x4), a verovatnoce tih dogadjaja su date u koloni ω4. Kako je verovatnoca pojavljivanja neispravnog proizvoda mala (2%) verovatnoce date u ω4 se znacajno smanjuju (mnogo je manja verovatnoca da u odabranom uzorku bude 5 neispravnih proizvoda nego 1).

ω4k dbinom k n, p,( ):=k 0 n..:=q 1 p−:=p 0.02:=n 6:=

, n < 30.arsred tn 1− α,s

n⋅− arsred tn 1− α,

s

n⋅+,⎛

⎜⎝

⎞⎟⎠

2) U slucaju kada je greska metode σ nepoznata i obim uzorka manji od 30 umesto zα

koristimo Studentovu t-raspodelu (vrednost tn 1− α,) i tada, sa sigurnoscu od γ 100⋅ %,

imamo da μ pripada intervalu

gde je s koren uzoracke dispezije.

, n > 30,arsred zαs

n⋅− arsred zα

s

n⋅+,⎛

⎜⎝

⎞⎟⎠

U slucaju da nam greska metode σ nije poznata, a broj merenja je veci od 30, tada sa sigurnoscu od γ 100⋅ %, imamo da μ pripada intervalu

zα = 3, za γ = 0.997 (pravilo 3σ).

(99% CI)zα = 2.58, za γ = 0.99,

(95% CI)zα = 1.96, za γ = 0.95,

gde je σ greska metode (pretpostavimo da nam je poznata), a n broj merenja. Vrednost zα

se odredjuje preko standardizovane normalne raspodele N(0, 1) i u praksi su

najfrekventnije sledece vrednosti:

arsred zασ

n⋅− arsred zα

σ

n⋅+,⎛

⎜⎝

⎞⎟⎠

, odnosno intervaluarsred zα σarsred⋅− arsred zα σarsred⋅+,( )

sa sigurnoscu od γ 100⋅ %. Za vrednost poluintervala uzima se umnozak devijacije aritmeticke sredine zα σarsred⋅ , gde je α = 1 - γ. Dakle, sa sigurnoscu od γ 100⋅ %,

imamo da μ pripada intervalu

arsred ε− arsred ε+,( )

Zelimo da iz nekog merenja (npr. tezine table cokolade) procenimo stvarnu tezinu ( μ). Znamo, aritmeticka sredina (arsred) je najbolja procena stvarne tezine. Dalje, trazimo interval za koji mozemo (sa nekom unapred datom sigurnoscu) da tvrdimo da se μ nalazi u njemu. Za sredinu intervala uzimamo arsred i trazimo ε (polusirina intervala) tako da μ pripada simetricnom intervalu

1)

Intervali poverenja (CI)

s 0.271298=s s2:=s2 0.073603=s20

k 1−

i


n 1−:=

arsredy 100.098125=arsredy0

k 1−

i

myi yi⋅∑=

n:=

k 8=k rows y( ):=

ω∑ 1=n 64=

ω

0.046875

0.0625

0.109375

0.171875

0.234375

0.1875

0.140625

0.046875

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

=ωmyn

:=n my∑:=my

3

4

7

11

15

12

9

3

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

:=y

99.58

99.79

99.85

99.9

100.06

100.29

100.47

100.64

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

:=

Vratimo se u Primer 2. (tezina table cokolade) i odredimo 95% intervale poverenja za srednju vrednost i disperziju.

gde je s2 uzoracka disperzija.

n 1−( ) s2⋅

χ2n 1−

α

2,

n 1−( ) s2⋅

χ2n 1− 1

α

2−,

,⎡⎢⎢⎢⎣

⎤⎥⎥⎥⎦

Pri odredjivanju intervala poverenja za disperziju koristimo χ2 raspodelu. Imamo

da greska metode σ2 pripada intervalu

3 )

Vidimo da se porastom broja merenja Studentova raspodela priblizava normalnoj raspodeli.

tn 1− α, = 2,04 za n = 30.

tn 1− α, = 2,09 za n = 20,

tn 1− α, = 2,26 za n = 10,

tn 1− α, = 4,3 za n = 3,

Za γ = 0,95, odnosno α = 0,05, imamo da je

T 2.893494=Tarsredy 100−

:=

α 0.05:=s 0.271298=s2 0.073603=arsredy 100.098125=n 64=

Vratimo se u primer sa cokoladom i testirajmo hipotezu H0 (μ = 100gr) sa

pouzdanoscu od 95%.

Pri testiranju hipoteze o srednjoj vrednosti zadajemo hipotezu H0 (μ = μ0) koja tvrdi da

srednja vrednost μ (procenjena iz naseg merenja) odgovara nekoj zadatoj vrednosti μ0. U

primeru sa merenjem table cokolade mozemo zadati hipotezu H0 (μ = 100gr). Hipotezi H0

suprotstavljamo protiv-hipotezu H1 da srednja vrednost ne odgovara zadatoj vrednosti μ0 i

razlikujemo tri slucaja H1 (μ > μ0), H1 (μ < μ0) (jednostrani testovi) i H1 ( μ μ0≠ ) (dvostrani

test). U primeru sa merenjem cokolade imamo sledece protiv-hipoteze: 1) H1 (μ > 100) -

procenjena srednja vrednost je veca od 100gr, 2) H1 (μ < μ0) - procenjena srednja vrednost

je manja od 100gr i 3) H1 ( μ μ0≠ ) - procenjena srednja vrednost je razlicita od 100gr.

Proveravamo hipotezu H1 i prihvatanjem (odbacivanjem) hipoteze H1 mi odbacujemo

(prihvatamo) hipotezu H0.

Testiranje hipoteza

Sa sigurnoscu od 95% mozemo reci da se greska metode nalazi u intervalu (0,053 , 0,108).

max 0.107961=min 0.053403=

maxn 1−( ) s2⋅

qchisqα

2n 1−,⎛⎜

⎝⎞⎟⎠

:=minn 1−( ) s2⋅

qchisq 1α

2− n 1−,⎛⎜

⎝⎞⎟⎠

:=

qchisqα

2n 1−,⎛⎜

⎝⎞⎟⎠

42.950276=qchisq 1α

2− n 1−,⎛⎜

⎝⎞⎟⎠

86.829589=

α 0.05=α 1 γ−:=γ 0.95:=

Sa sigurnoscu od 95% mozemo reci da se stvarna tezina table cokolade nalazi u intervalu (100,03 , 100,16).

max 100.164593=min 100.031657=

max arsredy ε+:=min arsredy ε−:=

ε 0.066468=ε zs

n⋅:=

z 1.96:=

s2z1

nz 1−0

kz 1−

i

mzi zi( )2⋅∑=

nz arsredz2⋅−

⎡⎢⎢⎣

⎤⎥⎥⎦

⋅:=s2y1

ny 1−0

ky 1−

i

myi yi( )2⋅∑=

ny arsredy2⋅−

⎡⎢⎢⎣

⎤⎥⎥⎦

⋅:=

arsredz 100.051194=arsredy 100.098125=

arsredz0

kz 1−

i

zi mzi⋅∑=

nz:=arsredy

0

ky 1−

i

yi myi⋅∑=

ny:=

kz 6=kz rows z( ):=ky 8=ky rows y( ):=

nz 67=nz mz∑:=ny 64=ny my∑:=

mz

4

3

12

25

17

6

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

:=z

99.59

99.75

99.93

100.02

100.26

100.29

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

:=my

3

4

7

11

15

12

9

3

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

:=y

99.58

99.79

99.85

99.9

100.06

100.29

100.47

100.64

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

:=

Neka su u primeru sa merenjem tezine table cokolade pored starih merenja y izvrsena nova merenja z. Uporedimo srednje vrednosti i disperzije ovih merenja testirajuci hipoteze H0 ( μy = μz) i H0 ( σy = σz) sa pouzdanoscu od 95%.

Pri testiranju hipoteze o poredjenju disperzija koristimo F-raspodelu. Testiramo hipotezu H0 ( σ1 = σ2) suprotstavljajuci joj protiv-hipotezu H1 ( σ1 > σ2).

4 )

kriticna vrednost za dvostrani test

qt 1α

2− n 1−,⎛⎜

⎝⎞⎟⎠

1.998341=Na isti nacin uporedjujuci T sa kriticnom vrednoscu za dvostrani test sa pouzdanoscu od 95% zakljucujemo da je srednja vrednost razlicita od 100gr.

kriticna vrednost za jednostrani test

qt 1 α− n 1−,( ) 1.669402=

Vrednost 2,89 je "razlika" izmedju procenjene srednje vrednosti i 100gr. Ona se uporedjuje sa kriticnom vrednoscu 1,67 i ukoliko je veca od nje (a jeste) sa pouzdanoscu od 95% zakljucujemo da je srednja vrednost veca od 100gr.

s

n

1 pF 2.01827 ny 1−, nz 1−,( )− 0.002639=

Vrednost probability (p) je povrsina ispod funkcije gustine raspodele F-raspodele posle F-vrednosti. Vrednosti t, F, p se pojavljuju u tabelama dobijenim pri analizi varijansi u raznim statistickim softverskim paketima.

F-test for the equality of variances [right-tail]sample variance: 0.07360degrees of freedom: 63sample variance: 0.03647degrees of freedom: 66significance: 0.05000critical value: 1.50926F-value: 2.01829probability: 0.00264

Ukoliko poslednji zadatak uradimo u Winstats-u dobicemo sledeci rezultat:


Dakle, sa pouzdanoscu od 95% tvrdimo da se merenjima y i z dobijaju priblizni rezultati, ali da su merenja razlicite preciznosti.

qF 1 α− ny 1−, nz 1−,( ) 1.50926=

Hipoteza H0 ( σy = σz) se odbacuje.F 2.01827=F

s2ys2z

:=

kriticna vrednost za dvostrani test

qt 1α

2− ny nz+ 2−,⎛⎜

⎝⎞⎟⎠

1.978524=

Hipoteza H0 ( μy = μz) se prihvata i po

jednostranom i po dvostranom testu.


qt 1 α− ny nz+ 2−,( ) 1.656752=

T 0.989701=Tarsredy arsredz−

s1ny

1nz

+⋅

:=

su 0.233674=su s2u:=s2u 0.054604=s2uny 1−( ) s2y⋅ nz 1−( ) s2z⋅+

ny nz+ 2−:=

s2z 0.036468=s2y 0.073603=

0i⎣ ⎦0i⎣ ⎦

1 .0 2 .0

0 .8 2

1 .6 4

1 .0 2 .0

0 .8 2

1 .6 4

3 ) Pirsonov test nam daje odgovor na pitanje: Da li nasa merenja odgovaraju nekoj poznatoj raspodeli?

Vratimo se u primer iz binomne raspodele i koristeci Pirsonov test uporedimo rezultate sa onima dobijenim preko Poasonove raspodele.

f

0.886920436717

0.106430452406

0.006385827144

0.000255433086

0.000007662993

0.000000183912

0.000000003678

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

= ω4

0.885842380864

0.108470495616

0.00553420896

0.00015059072

0.00000230496

0.000000018816

0.000000000064

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠

=

χ2

0

3

i

6 f i⋅ 6 ω4i⋅−( )2

6 ω4i⋅∑=

:= χ2 0.001462=

qchisq 0.95 5,( ) 11.070498=

Hipoteza o jednakosti raspodela datih sa f (binomna raspodela) i ω4 (Poasonova raspodela) se prihvata jer je vrednost χ2 = 0,0012 manja od kriticne vrednosti 11,07.

statistika - srednja vrednost-disperzija

Documents