Tài liệu luyện thi đại học 1

Bài giảng 1. Các bài toán liên quan

1 Bài toán về tính đơn điệu của hàm số

Ví dụ 1.1. Cho hàm số y = x3 + (1− 2m)x2 + (2−m)x+m+ 2. Tìm tất cả các giá trị của thamsố m để hàm số đồng biến trên (0;+∞).

Lời giải. TXĐ: D = R

y′ = 3x2 + 2(1− 2m)x+ 2−m.Hàm số đồng biến trên (0;+∞) khi và chỉ khi y′ ≥ 0,∀x ∈ (0;+∞)⇔ 3x2 + 2x+ 2−m(1 + 4x) ≥ 0,∀x ∈ (0;+∞)

⇔ g(x) =3x2 + 2x+ 2

1 + 4x≥ m,∀x ∈ (0;+∞) ⇔ min

x∈(0;+∞)f(x) ≥ m

Ta có g′(x) =2(6x2 + x− 3)

(4x+ 1)2= 0 ⇔ 6x2 + x− 3 = 0 ⇔ x =

−1 +√73

12> 0

g

(

−1 +√73

12

)

=3 +

√73

8

limx→0

g(x) = 2; limx→+∞

g(x) = +∞BBT

x 0 +∞1

2

0− +g′(x)

g(x)5

4

2 +∞

Từ BBT ta có min(0;+∞)

g(x) =3 +

√73

8. Do đó m ≤ 3 +

√73

8.

Ví dụ 1.2. Cho hàm số y =1

3x3 − 2x2 +mx− 2. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số

đồng biến trên (−∞; 1).

Lời giải. TXĐ: D = R.y′ = x2 − 4x+m.Hàm số đồng biến trên (−∞; 1) ⇔ y′ = x2 − 4x+m ≥ 0,∀x ∈ (−∞; 1)⇔ g(x) = −x2 + 4x ≤ m,∀x ∈ (−∞; 1) ⇔ max

(−∞;1)g(x) ≤ m.

g′(x) = 4− 2x > 0,∀x ∈ (−∞; 1) ⇒ max(−∞;1)

g(x) = g(1) = 3.

Vậy m ≥ 3.

Ví dụ 1.3. Cho hàm số y = x3 + 3x2 + mx + m. Tìm m để hàm số nghịch biến trên đúng mộtkhoảng có độ dài bằng 3.

Lời giải. TXĐ: D = R.y′ = 3x2 +6x+m là một tam thức bậc 2 có hệ số a = 3 > 0. Do đó, HS NB trên [x1;x2], với x1, x2là các nghiệm của y′ = 0.Như vậy HS NB trên khoảng có độ dài bằng 3 khi và chỉ khi |x1−x2| = 3 ⇔ (x1+x2)

2− 4x1x2 = 9

Trường Hữu Nghị T78 1 Khuất Văn Thanh

Tài liệu luyện thi đại học 2

⇔ (−2)2 − 4m

3= 9 (theo ĐL Viet)

⇔ m = −15

4

Vậy m = −15

4.

Bài tập đề nghị

Bài 1.1. Cho hàm số y =1

3(m − 1)x3 +mx2 + (3m − 2)x. Tìm m để hàm số đồng biến trên tập

xác định.

Bài 1.2. Cho hàm số y =mx+ 4

x+m. Tìm m để hàm số nghịch biến trên khoảng (−∞; 1).

Bài 1.3. Tìm m để hàm số y = x3 + 3x2 −mx− 4 đồng biến trên (−∞; 0).

Bài 1.4. Tìm m để hàm số y = x4 − 2mx2 − 3m+ 1 đồng biến trên khoảng (1; 2).

Bài 1.5. Tìm m để hàm số y = x3 + (1− 2m)x2 + (2−m)x+m+ 2 đồng biến trên (0;+∞).

Bài 1.6. Cho hàm số y = x3 − 3mx2+3x+3m− 4. Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số nghịchbiến đúng trên đoạn có độ dài bằng 1.

Trường Hữu Nghị T78 2 Khuất Văn Thanh