sustavy neline arnych nerovn c branch & bound algoritmus...

Sustavy nelinearnych nerovnıcBranch & Bound algoritmus

Kontraktory a propagaciaDalsı vyvoj

Intervalovy solver nelinearnych podmienok

Elif Garajova

Intervalove metody04.12.2013

Elif Garajova Intervalovy solver nelinearnych podmienok



Aproximacia mnoziny riesenıProblem splnenia obmedzujucich podmienok

Riesenie sustavy nelinearnych nerovnıc

Prıklad

Vyrieste nasledujucu sustavu nerovnıc:

x2 + y 2 ≤ 16

x2 + y 2 ≥ 9

Ako najst’ mnozinu riesenı sustavy nerovnıc?

Ako zarucit’, ze vysledok bude obsahovat’ vsetky riesenia?

Ako vyslednu mnozinu popısat’?





Intervalove boxy

Obr.: Presne riesenie

−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4

−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

Obr.: Aproximacia intervalovymi boxmi

Definıcia

Realny intervalovy vektor alebo box je podmnozina Rn definovanaako kartezsky sucin n uzavretych realnych intervalov.





Formalizacia: Problem splnenia obmedzujucich podmienok

Definıcia

Obmedzujuca podmienka je nelinearna rovnica alebo nerovnicaf (x1, . . . , xn) ◦ 0, kde ◦ ∈ {=,≤,≥} a f : Rn → R.Problem splnenia obmedzujucich podmienok (CSP) je trojica(X ,D,C ), kde:

X je mnozina premennych,

D je mnozina hodnot, ktore mozu premenne nadobudat’

(predp. intervaly),

C je mnozina obmedzujucich podmienok.

Ohodnotenie premennych nazveme konzistentne vzhl’adom kdanemu obmedzeniu c ∈ C , ak splna c . Riesenım nazvememnozinu vsetkych ohodnotenı, ktore su konzistentne vzhl’adom kuvsetkym obmedzujucim podmienkam.




Set Inverter via Interval AnalysisMoznosti vylepsenia

Od problemu k algoritmu. . .

Prıklad

x2 + y 2 ≤ 16

x2 + y 2 ≥ 9x2 + y 2 ∈ [9, 16]

Najdite vzor mnoziny [9, 16] pri zobrazenı f (x , y) = x2 + y 2.

Riesenie

zvol’me pociatocny box = definicne obory premennych

postupne vytvarame tri subory boxov:

boxy, ktore su podmnozinou mnoziny riesenıboxy, v ktorych sa ziadne riesenie nenachadzaboxy, ktore su uz mensie, nez je pozadovana presnost’

ak box nevieme zaradit’, rozdelıme ho a postup opakujeme





Set Inverter via Interval Analysis

1 function SIVIA(f, Y, [x ], ε)2 S := ∅;N := ∅;B := ∅3 Stack.push([x ])4 while (Stack 6= ∅) do5 [x ] := Stack.pop()6 if f ([x ]) ∩ Y = ∅ then7 N := N ∪ {[x ]}8 else if f ([x ]) ⊆ Y then9 S := S ∪ {[x ]}

10 else if width([x ]) < ε then11 B := B ∪ {[x ]}12 else13 {[lx ], [rx ]} := dividebox([x ])14 Stack.push([lx ]); Stack.push([rx ])15 end if16 end while17 return (S ,N,B)18 end function





Presnost’ vs. cas

−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4

−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

ε = 1.0cas: 0.952 s

−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4

−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

ε = 0.5cas: 2.224 s

−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4

−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

ε = 0.125cas: 9.966 s





Vylepsenie algoritmu SIVIA

Optimalny pocet castı pre delenie boxu

Strategie pre vyber strany na delenie

longest first,round robin,. . .

Vektorizacia algoritmu (Matlab)

Spajanie vytvorenych boxov

Znızenie poctu potrebnych delenı boxu → kontraktory




Kontraktor a jeho vyuzitieDopredna a spatna propagaciaAlgoritmus BoxNarrowPorovnanie

Co je kontraktor?

Definıcia

Funkciu C : IRn → IRn nazveme kontraktor pre mnozinu S , ak∀[x] ∈ IRn platı:

C([x]) ⊂ [x]

C([x]) ∩ S = [x] ∩ S





Vyuzitie kontraktorov

algoritmy zalozene na propagacnych technikach, obecne dvefazy - kontrakcia, propagacia

Kontrakcia: redukcia definicnych oborov premennych nazaklade jednej obmedzujucej podmienky

Propagacia: po skontrahovanı boxu definicnych oborov sazistena redukcia propaguje do ostatnych podmienok

proces sa moze opakovat’, az kym nie je mozne box d’alejzredukovat’





Rozklad na primitıvne podmienky

Definıcia

Obmedzujucu podmienku nazveme primitıvnou, ak obsahuje jedenoperator (+,−, ·, /) alebo jednu zakladnu funkciu (napr. sin, cos,exp).

Idea: Obmedzujucu podmienku rozlozıme na primitıvnepodmienky, podl’a ktorych redukujeme jednotlive definicneobory.

Dopredna faza: Postupne vyhodnocujeme primitıvnepodmienky, vysledky priradıme ako definicne obory pomocnympremennym.

Spatna faza: Vypocıtame nove hodnoty premennych vobmedzenı na zaklade zıskanych vysledkov.





Dopredna faza

Prıklad

Obmedzujuca podmienka: x · y − z = 0Pociatocny box: [1, 4]× [1, 4]× [8, 40]

[a1] := [x ] · [y ]

[a2] := [a1]− [z ]

[a2] := [a2] ∩ {0}

[a1] := [1, 4] · [1, 4] = [1, 16]

[a2] := [1, 16]− [8, 40] = [−39, 8]

[a2] := [−39, 8] ∩ [0, 0] = [0, 0]

Pozn.: V prıpade [a2] = ∅ by zadane CSP nemalo riesenie.





Spatna faza

Prıklad

(pokracovanie)

[a1] := ([a2] + [z ]) ∩ [a1]

[z ] := ([a1]− [a2]) ∩ [z ]

[x ] := ([a1]/[y ]) ∩ [x ]

[y ] := ([a1]/[x ]) ∩ [y ]

[a1] := ([0, 0] + [8, 40]) ∩ [1, 16] = [8, 16]

[z ] := ([8, 16]− [0, 0]) ∩ [8, 40] = [8, 16]

[x ] := ([8, 16]/[1, 4]) ∩ [1, 4] = [2, 4]

[y ] := ([8, 16]/[2, 4]) ∩ [1, 4] = [2, 4]

Povodne vzt’ahy:

[a1] = [x ] · [y ][a2] = [a1]− [z ]





Strom vyrazu

=

0−

z∗

yx

Prıklad

x · y − z = 0

v uzloch operatory a funkcie

v listoch konstanty apremenne

algoritmus: podobne akoprevod na postfix





Dopredna faza v strome

=

[0, 0]

0 [0, 0]−

[−39, 8]

z [8, 40]∗

[1, 16]

y [1, 4]x [1, 4]

Prechod stromu

1 nastavıme hodnoty vlistoch

2 hodnotu v rodicovidostaneme z hodnot vsynoch






=

[0, 0]

0 [0, 0]−

[−39, 8]

z [8, 40]∗ [1, 16]

y [1, 4]x [1, 4]

Prechod stromu








=

[0, 0]

0 [0, 0]− [−39, 8]

z [8, 40]∗ [1, 16]

y [1, 4]x [1, 4]

Prechod stromu








= [0, 0]

0 [0, 0]− [−39, 8]

z [8, 40]∗ [1, 16]

y [1, 4]x [1, 4]

Prechod stromu







Spatna faza v strome

= [0, 0]

0 [0, 0]− [−39, 8]

z [8, 40]∗ [1, 16]

y [1, 4]x [1, 4]

Prechod stromu

1 zacıname v koreni

2 inverzne relacie

3 hodnotu v uzlezıskame pomocourodica, prıp. brata






= [0, 0]

0 [0, 0]− [0, 0]

z [8, 40]∗ [1, 16]

y [1, 4]x [1, 4]

Prechod stromu


2 inverzne relacie







= [0, 0]

0 [0, 0]− [0, 0]

z [8, 40]∗ [8, 16]

y [1, 4]x [1, 4]

Prechod stromu


2 inverzne relacie







= [0, 0]

0 [0, 0]− [0, 0]

z [8, 16]∗ [8, 16]

y [1, 4]x [1, 4]

Prechod stromu


2 inverzne relacie







= [0, 0]

0 [0, 0]− [0, 0]

z [8, 16]∗ [8, 16]

y [1, 4]x [2, 4]

Prechod stromu


2 inverzne relacie







= [0, 0]

0 [0, 0]− [0, 0]

z [8, 16]∗ [8, 16]

y [2, 4]x [2, 4]

Prechod stromu


2 inverzne relacie






Popis kontraktoru BoxNarrow

bud’ c niektora obmedzujuca podmienka v tvaref (x1, . . . , xn) = 0 (BUNO)

uvazujme intervalovu funkciu jednej premennej fi (xi ), ktorudostaneme dosadenım intervalov (def. oborov) za premennex1, . . . , xi−1 a xi+1, . . . , xn do f

najdeme najpravejsı (r) a najl’avejsı (l) nulovy bod fi naintervale, ktory je definicnym oborom xi

zredukujeme definicny obor xi na [l , r ]





Hull & Box consistency

Definıcia

Bud’ x vektor n premennych a [x ] definicny obor x .

Hull consistency: Pre kazde obmedzenie c a pre kazdei ∈ {1, . . . , n} je [xi ] intervalovym obalom mnoziny

{xi ∈ [xi ] : ∃x1, . . . ,∃xi−1,∃xi+1, . . . ,∃xn c(x1, . . . , xn)}.

Box consistency: Pre kazde obmedzenie c a pre kazdei ∈ {1, . . . , n} platı intervalove obmedzenie

C ([x1], . . . , [xi−1], xi , [xi+1], . . . , [xn]),C ([x1], . . . , [xi−1], xi , [xi+1], . . . , [xn]).





Propagacia

1 S := {c1, . . . , cm}2 while (S 6= ∅& [x ] 6= ∅) do3 c := choose(ci ∈ S)4 [x ′] := Revise(c, [x ])5 if [x ′] 6= [x ] then6 S := S ∪ {cj | ∃xk ∈ Var(cj) : [x

′k ] 6= [xk ]}

7 [x ] := [x ′]8 else9 S := S \ {c}

10 end if11 end while

Revise procedura:

Forward-Backward → HC4

BoxNarrow → BC3





Porovnanie kontraktorov

Prıklad

x2 − x · y = 0, (x , y) ∈ [1, 10]× [4, 50]

Riesenie

Dopredny-spatny kontraktor[0, 0]

[0, 0]

[0, 0][4, 100]

y[4, 50]

x[2, 10]

[4, 100]

x[2, 10]

x ∈ [2, 10] , y ∈ [4, 50]

Riesenie

Kontraktor BoxNarrow

f1(x) = x2 − x · [4, 50]

x ∈ [1, 10]→ x ∈ [4, 10]

f2(y) = [4, 10]2 − [4, 10] · yy ∈ [4, 50]→ y ∈ [4, 25]





Vyuzitie

6body

3 · (b − d) · (B − D) + B + D − 6 · F + 4 = 0

3 · (b − d) · (B + D − 2 · F ) + 5 · (B − D) = 0

3 · (b − d)2 − 6 · (b + d) + 4 · f + 3 = 0

B2 · b3 − 1 = 0

D2 · d3 − 1 = 0

F 2 · f 3 − 1 = 0

Definicny obor: [0, 1× 105]6

robotika, fyzika, optimalizacia, ...




Moznosti rozsırenia projektu

linearizacia obmedzujucich podmienok

vylepsenie vyberu obmedzenia pre propagacne techniky

kooperacia kontraktorov

vyuzitie typu funkcie v obmedzenı

polynomy,monotonnost’,. . .

vyuzitie spolocnych podvyrazov




A co vizualizacia. . . ?


sustavy neline arnych nerovn c branch & bound algoritmus...

Documents