synchronization in caotic systems

Sommario

Applicare gli schemi di sincronizzazione noti al circuito di Chua

Marano Barbaro

Universita degli Studi di Cataniahttp://www.unict.it

15 maggio 2008

Marano Barbaro Applicare gli schemi di sincronizzazione noti al circuito di Chua

http://www.unict.it

Sommario1� Parte: I sistemi caotici2� Parte: Come quantificare il Caos3� Parte: La sincronizzazione

Sistemi caotici

1 Sistemi CaoticiIl circuito di ChuaGrafico di biforcazione



Come quantificare il Caos

2 Quantificare il CaosEsponenti di Lyapunov

Esponenti di Lyapunov: Mappa discreta unidimensionaleEsponenti di Lyapunov: Sistema ContinuoAlgoritmo di Ortonormalizzazione di Gram-SchmidtMetodo pratico per il calcolo del primo esponente di Lyapunov: la DivergenzaVerifica dell’attendibilita nell’applicazione dell’algoritmo di Wolf.

Dimensione frattale



La sincronizzazione

3 Metodi di sincronizzazioneDecomposizione Pecora & Carroll

X-driverY-driverZ-driver

Sincronizzazione per AccoppiamentoAccoppiamento MutuoRobustezza nei parametri dei due sistemiAccoppiamento unidirezionale

Sincronizzazione ImpulsivaSincronizzazione impulsiva al variare della frequenzaSincronizzazione impulsiva al variare del Duty-Cicle

Sincronizzazione da controllo LineareSincronizzazione da controllo AdattativoSincronizzazione in Noise


Sistemi Caotici

Parte I

Sistemi Caotici


Sistemi CaoticiIl circuito di ChuaGrafico di biforcazione

Sistema Complesso vs. Sistema Caotico

Il termine Sistema Complesso, si riferisce a parti di sistemi accoppiati inmaniera non lineare, fino a formare una rete. Dalla cooperazione tra singolielementi di questi sistemi, e grazie alla dinamica nonlineare, Emerge uncomportamento complessivo che non e la semplice somma dei comportamentiindividuali, ma che presenta delle caratteristiche molto interessanti.Molte volte si indica con il termine Sistemi Complessi, quelli che sono i SistemiCaotici. Comunque questo non e corretto, infatti un sistema caotico, incontrasto con i sistemi complessi, deve avere delle proprie caratteristiche chemolte volte e difficile verificare. La parola Caos, e stata introdotta per la primavolta da Yorke nel 1975 [3], molti anni dopo la prima pubblicazione di Lorenz[4]. Sebbene il modello di Lorenz e considerato uno dei primi modelli caotici,questo tipo di comportamento fu incontrato dal Poincare nel 1887.



Sistema Complesso vs. Sistema Caotico

E’ stato dimostrato da Poincare e Bendixon [6], che per sistemi dinamici tempocontinuo autonomi, affinche si possa generare un comportamento caotico, ilmodello deve essere di ordine superiore a tre. Mentre per sistemi non autonomicontinui, e possibile ottenere dinamiche caotiche anche con modelli del secondoordine. Nei sistemi discreti invece, gia con un modello del primo ordine chepresenta una nonlinearita si puo ottenere il caos e un esempio e la nota mappalogistica (R.May 1976).Il modello utilizzato in questo documento per ottenere un comportamentocaotico, e continuo, del terzo ordine, e presenta una nonlinearita a tratti(PWL:Piece Wise Linear): esso prende il nome di Circuito di Chua.



Il Circuito di Chua: paradigma del “Caos”

Il circuito di Chua e raffigurato in figura (1): il resistore alla destra e ilcomponente che presenta la non linearita raffigurata in (2).

Figura: Circuito di Chua




Figura: Nonlinearita presente nel modello.

.Marano Barbaro Applicare gli schemi di sincronizzazione noti al circuito di Chua



Scrivendo le equazioni di Kirchhoff ai nodi si ottengono tre equazionidifferenziali che ne descrivono il comportamento nel tempo:

C1∂vC1

∂t=

vC2 − vC1

R− g(vC1 )

C2∂vC2

∂t=

vC1 − vC2

R+ iL

L∂iL∂t

= −vC2 − iLRp

dove vC1 , vC2 e iL, rappresentano la tensione sul condensatore C1, la tensionesul condensatore C2 e la corrente sull’induttore L, rispettivamente, g(vC1 ) e lanonlinearita raffigurata in (2):

g(vC1 ) = GbvC1 +1

2(Ga − Gb)[|vC1 + E | − |vC1 − E |]



Il Circuito di Chua: modello adimensionale

Per una piu comoda trattazione numerica si ottengono le rispettive equazioniadimensionali del modello di Chua.

∂x

∂τ= kα(x − y + f (x))

∂y

∂τ= k(x − y + z)

∂z

∂τ= k(−βy − γz)

f (x) = bx +1

2(a− b)|x + 1| − |x − 1|

dove:

x = v1E

α = C2C1

a = RGa

y = v2E

β = R2C2L

b = RGb

z = i3RE

γ =RRpC2

Lτ = t

|RC2|

k =

{1 if RC2 > 0;−1 if RC2 < 0.



Il Circuito di Chua: Strange Attractor

Per opportuni valori il circuito presenta un comportamento Caotico:

α = 10;

β = 15;

γ = 0.038;

a = −1.27;

b = −0.68;-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8Strange Attractors

Figura: Strange Attractor presente in regimecaotico.

.Marano Barbaro Applicare gli schemi di sincronizzazione noti al circuito di Chua


Caratteristiche caotiche: Grafico di biforcazione

Si osserva che per opportuni valori dei parametri presenti nel modello, ilsistema passa attraverso zone di periodicita 1,2,4,8,etc nelle variabili, prima cheil regime caotico abbia luogo. E molto utile rappresentare quanto dettomediante un grafico che prende il nome di “Grafico di Biforcazione”.

Per. Alfa Fn

1 8.279202 8.879204 9.105028 9.15900 4.1834

16 9.16990 4.9523

Tabella: Valori di α per cui siosserva periodicita. Figura: Grafico di biforcazione per il circuito di

Chua, in cui α varia da 8.8 a 9.25 e β e fissato a 16.



Caratteristiche caotiche: Grafico di biforcazione

Si osserva che per opportuni valori dei parametri presenti nel modello, ilsistema passa attraverso zone di periodicita 1,2,4,8,etc nelle variabili, prima cheil regime caotico abbia luogo. E molto utile rappresentare quanto dettomediante un grafico che prende il nome di “Grafico di Biforcazione”.

Per. Alfa Fn

1 8.279202 8.879204 9.105028 9.15900 4.1834

16 9.16990 4.9523

Tabella: Valori di α per cui siosserva periodicita. Figura: Grafico di biforcazione per il circuito di

Chua, in cui α varia da 8.8 a 9.25 e β e fissato a 16.

biforcazione.m



Caratteristiche caotiche: Numero di Feigenbaum

Un’altra peculiarita interessante e che si ripresenta in molti sistemi presenti innatura, e la presenza di una costante, chiamata Numero di Feigenbaum(Mitchell Feigenbaum,1975). Essa e una costante universale che tendeasintoticamente al valore 4.66901, e che in questo caso rappresenta il rapportotra le differenze dei valori di α che determinano le varie periodicita e vieneespressa dalla seguente:

δi = (αi−1 − αi−2)/(αi − αi−1)

I valori trovati dopo le simulazioni sono riportati nella terza colonna dellatabella 1.



Caratteristiche caotiche: Numero di Feigenbaum

Un’altra peculiarita interessante e che si ripresenta in molti sistemi presenti innatura, e la presenza di una costante, chiamata Numero di Feigenbaum(Mitchell Feigenbaum,1975). Essa e una costante universale che tendeasintoticamente al valore 4.66901, e che in questo caso rappresenta il rapportotra le differenze dei valori di α che determinano le varie periodicita e vieneespressa dalla seguente:

δi = (αi−1 − αi−2)/(αi − αi−1)

I valori trovati dopo le simulazioni sono riportati nella terza colonna dellatabella 1.

periodicita.m



Caratteristiche caotiche: Period-Doubling

Guardando il grafico di biforcazione da un altro punto di vista, si osserva alfenomeno chiamato “Period-Doubling” dal diagramma delle fasi per gliopportuni valori di α presenti nella tabella 1.

0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4Periodicità = 1, α = 8.2792, (1/5)

0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4Periodicità = 2, α = 8.8792, (2/5)

0 0.5 1 1.5 2 2.5-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4Periodicità = 4, α = 9.105, (3/5)

0 0.5 1 1.5 2 2.5-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4Periodicità = 8, α = 9.159, (4/5)

-0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4Periodicità = 16, α = 9.1699, (5/5)


Quantificare il Caos

Parte II

Metodi per quantificare il Caos


Quantificare il CaosEsponenti di LyapunovDimensione frattale

Approcci utilizzati per quantificare il Caos

Esistono molti metodi per stabilire quantitativamente grado di caoticita chepresenta un determinato sistema. Guckenheimer e Holmes nel 1983,svilupparono una teoria che si basava su concetti geometrici mentre, Eckmanne Ruelle nel 1985 hanno caratterizzato il comportamento dei sistemi dinamicicon un approccio statistico. Quest’ultimo approccio, basato sulla teoriaergodica, cerca di caratterizzare il comportamento di un sistema dinamicomediante concetti come:

Gli esponenti di Lyapunov caratteristici;

L’entropia;

La dimensione frattale.



Gli esponenti di Lyapunov caratteristici

Gli esponenti di Lyapunov giocano un ruolo essenziale nella descrizione delcomportamento di un sistema dinamico, infatti, essi misurano il tasso mediodivergenza o di convergenza di traiettorie a partire da condizioni iniziali moltovicine tra loro.

Figura: Propagazione di una perturbazione iniziale e esponenti di Lyapunov.



Gli esponenti di Lyapunov: Mappa discreta unidimensionale

Consideriamo la seguente mappa discreta:

xn+1 = f (xn) (1)

Chiamiamo x(0) una condizione iniziale perturbata rispetto alla condizioneiniziale x(0), e definiamo ε(n) = x(n)− x(n), l’errore tra le due traiettoriegenerate dalle due diverse condizioni iniziali, all’istante n. Assumendo che ε(0)sia piccolo, si ha:

ε(0) = x(0)− x(0)

ε(1) = x(1)− x(1) = f (x0)− f (x0) =∂f

∂x

∣∣∣∣n=0

· ε(0) + o(ε0)

ε(2) = x(2)− x(2) = f (x1)− f (x1) =∂f

∂x

∣∣∣∣n=1

· ε(1) =∂f

∂x

∣∣∣∣n=1

· ∂f

∂x

∣∣∣∣n=0

· ε0

· · ·ε(k) = x(k)− x(k) = f (xk−1)− f (xk−1) = f ′(xk−1) · f ′(xk−2) · · · f ′(x0) · ε0

(2)




Facendo il rapporto |εk/ε0|, se questo e maggiore, uguale o minore dell’unita,possiamo sapere se l’errore tra le due traiettorie e aumentato, rimasto invariatoo diminuito, rispetto all’istante iniziale. Possiamo esprimere questo rapportocome: ∣∣∣∣ εkε0

∣∣∣∣ =

∣∣∣∣ εkεk−1

∣∣∣∣ · ∣∣∣∣ εk−1

εk−2

∣∣∣∣ · · · ∣∣∣∣ ε1

ε0

∣∣∣∣ = |f ′(xk−1)| · |f ′(xk−2)| · · · |f ′(x0)| (3)

Passando ai logaritmi si ha:

ln

∣∣∣∣ εkε0

∣∣∣∣ = ln

∣∣∣∣ εkεk−1

∣∣∣∣+ ln

∣∣∣∣ εk−1

εk−2

∣∣∣∣+ ln

∣∣∣∣ ε1

ε0

∣∣∣∣ (4)




Poiche siamo interessati a stimare il tasso medio di divergenza delle traiettorie,dividiamo per k, ottenendo:

1

kln

∣∣∣∣ εkε0

∣∣∣∣ =1

k

k∑i=1

ln

∣∣∣∣ εiεi−1

∣∣∣∣ (5)

Passando al limite per k che tende ad infinito, otteniamo l’esponente diLyapunov cercato:

λ(ε0) = limk→∞

1

kln

∣∣∣∣ εkε0

∣∣∣∣ = limk→∞

1

k

k∑i=1

ln

∣∣∣∣ εiεi−1

∣∣∣∣ = limk→∞

1

k

k∑i=1

ln∣∣f ′(xk−1)

∣∣ (6)

Questo limite esiste per quasi tutte le condizioni iniziali x0 (ovvero per tutto lospazio di stato, tranne per insiemi di misura nulla), come dimostrato nelTeorema Moltiplicativo Ergodico di Oseledec [5]. Ed inoltre λ non dipendedalle condizioni iniziali se il sistema e ergodico.



Esponenti di Lyapunov in un Sistema Continuo

Cosideriamo il seguente sistema dinamico continuo n-dimensionale:

∂x

∂t= f (x(t)) (7)

facendo riferimento alla notazione precedente, una perturbazione ε(0) sullecondizioni iniziali, evolvera nel tempo seguendo la dinamica descritta dallaseguente:

∂ε

∂t= K(x) · ε(t) (8)

indicando con K(x), lo Jacobiano calcolato per x = x(t).




Possiamo definire con M, la matrice:

M =

∂x1(t)∂x1(t0)

· · · ∂x1(t)∂xn(t0)

.... . .

...∂xn(t)∂x1(t0)

· · · ∂xn(t)∂xn(t0)

(9)

che indica la variazione dell’errore all’istante t rispetto all’errore all’istanteiniziale t0. Essa in pratica e una generalizzazione della (3) nel caso di sistemicontinui e di dimensione n: in questo caso il prodotto di derivate vienesostituito da un prodotto di Jacobiani, ognuno calcolato per ogni istante ditempo t. L’evoluzione dinamica della matrice M e rappresentata dalla:

∂M

∂t= K(x) ·M (10)




Si dimostra che gli n autovalori di M, per valori di t molto grandi sono dati daeλi (t−t0). Il Teorema Moltiplicativo Ergodico di Oseledec afferma che perquasi ogni valore di x0 esiste un set di vettori ortonormali vi (t0) tale che illimite:

λi = limt→∞

1

(t − t0)ln ‖M(t, t0)vi (t0)‖ (11)

esiste.




Un’interpretazione diversa del teorema di Oseledec si puo trovare se siconsidera una decomposizione in valori singolari (SVD) della matrice M:

M = WDVT (12)

dove D e una matrice diagonale dove gli elementi di sono le radici degliautovalori di MT M e V, W sono matrici ortogonali con colonne vi di Vautovettori ortonormali di MT M e wi autovettori ortonormali di MMT .Geometricamente questo risultato puo essere compreso nel seguente modo: unset di condizioni iniziali che formano una ipersfera unitaria descritta dai vettorivi , viene mappata da M in una iperellissoide descritta dai vettori wi . I vettorivi , indicano le direzioni nel quale una perturbazione in questa direzione vieneamplificata con un tasso descritto da λi .




Figura: Data una sfera unitaria di condizioni iniziali, dopo un certo periodo di tempoviene mappata dalla matrice M in un ellissoide come dal teorema di Oseledec.




Figura: Interpretazione geometrica degli esponenti di Lyapunov.




Si osserva che, data la sensibilita alle condizioni iniziali presente in un sistemacaotico, la distanza tra due traiettorie vicine, nel tempo cresce con un tassoeλ1t , l’area con un tasso e(λ1+λ2)t , e il volume con un tasso e(λ1+λ2+λ3)t .Poiche il tasso si espansione descritto da λ1 domina gli altri, si trova cheper tempi lunghi le direzioni descritte dai vettori “errore” tendono adallinearsi con la direzione di ~ε1. Questo problema fa si che l’applicazionediretta della (11) per calcolo degli esponenti non e possibile.Infatti, gli angoli formati tra i vettori errore che diventano molto piccoli eil tasso di crescita esponenziale dovuto al primo esponente comportanoerrori numerici non trascurabili. Questo problema viene risolto con unaperiodica ortonormalizzazione dei vettori errore. Questo e possibile farlopoiche, se il sistema e ergodico, gli esponenti non dipendono dall’errore iniziale.



Algoritmo di Ortonormalizzazione di Gram-Schmidt

Consideriamo un sistema continuo n-dimensionale. L’algoritmo utilizzato nellapratica per il calcolo degli esponenti di Lyapunov e il seguente.

1 Si assegnano n vettori ortonormali, e si pone k=0:

ek1 = (1, 0, . . . , 0)

ek2 = (0, 1, . . . , 0)

ekn = (0, 0, . . . , 0)

(13)

Questi vettori indicano n diverse perturbazioni delle condizioni iniziali nellen direzioni.

2 Per ogni vettore eki , si integra la traiettoria della equazione variazionale (8)

per un tempo T arbitrariamente piccolo da non indurre troppi errorinumerici nella divergenza della massima direzione di espansione. Siottengono cosı n vettori di errore v k

i = εi (T ) con (i=1,. . . n).




3 Si re-ortonormalizzano tali vettori ottenuti mediante il metodo diGram-Schmidt, ottenendo una nuova base ortonormale εk+1

i [3]:

ek+11 =

v k1∥∥v k1

∥∥ek+1

2 =v k

2 − (v k2 · ek+1

1 )ek+11∥∥v k

2 − (v k2 · ek+1

1 )ek+11

∥∥ek+1n =

v kn − (v k

n · ek+11 )ek+1

1 − · · · − (v kn · ek+1

n−1)ek+1n−1∥∥v k

n − (v kn · ek+1

1 )ek+11 − · · · − (v k

n · ek+1n−1)ek+1

n−1

∥∥(14)

I denominatori degli n vettori indicano i tassi di espansione/contrazionenelle n direzioni ortogonali della nuova base e vengono indicati con Nk

i .




Figura: Processo di Ortonormalizzazione di Gram-Smidth.




4 Si ritorna al passo k e si ripete il processo per r volte. Gli esponenti diLyapunov saranno dati da:

λi = limr→∞

∑rk ln Nk

i

rT(15)



Divergenza tra le traiettorie: calcolo di λ1

Consideriamo un sistema n-dimensionale continuo. Chiamiamo x(0) unacondizione iniziale perturbata rispetto a x(0). Si trova che in un attrattorecaotico, le due traiettorie generate divergono molto rapidamente nel tempo.Essendo pero l’attrattore limitato si ha un continuo alternarsi di due motidifferenti: ci saranno delle direzioni caratterizzate da uno stretching delletraiettorie e delle direzioni caratterizzate dal folding che tende a mantenerebounded l’attrattore. Se definiamo ||δ(t)|| = ||x(t)− x(t)||, si trova chel’andamento nel tempo della divergenza e approssimativamente uguale a:

||δ(t)|| = ||δ(0)||eλ1t (16)

Questo risultato e di utilita pratica notevole perche permette, mediante ungrafico della distanza euclidea, di avere informazioni riguardo al primoesponente di Lyapunov, essendo:

λ1 ≈1

tln||δ(t)||||δ(0)|| t (17)



Divergenza tra le traiettorie: calcolo di λ1

Quindi dalla pendenza di questo grafico si ottiene il valore approssimatodell’esponente cercato.

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1000

2

4

6

8

10

12lo

g(δ

(t)

)

tempo

λ1

Figura: Metodo pratico per il calcolo del primo esponente di Lyapunov.



Verifica attendibilita algoritmo di Wolf

Durante il corso delle simulazioni effettuate e stato necessario calcolare gliesponenti di Lyapunov dei sistemi considerati per verificarne i risultati ottenutinelle sincronizzazioni. Mentre il calcolo del primo esponente di Lyapunov perquantificare il grado di caoticita del sistema, e molto facile da eseguire (adesempio applicando il metodo della divergenza sopra esposto), questo non esempre vero per il calcolo degli altri esponenti.In genere per il calcolo di tutti gli esponenti (spettro di Lyapunov), si ricorre adeterminati algoritmi sviluppati negli anni passati: i piu importanti sono statisviluppati da A.Wolf et. al nell’1985 e da Eckmann & Ruelle nel 1986. Ilproblema e che non sempre e assicurata la convergenza e l’attendibilita deirisultati ottenuti soprattutto per gli esponenti negativi.




Nel set di simulazioni che seguono, e stato applicato l’algoritmo sviluppato daA.Wolf et. al, il quale implementa il metodo dell’ortonormalizzazione diGram-Schmidt precedentemente discusso:

le prime simulazioni sono state effettuate per verificare se il primoesponente ottenuto risultava uguale, sia nel caso in cui si applicava ilmetodo della divergenza, sia nel caso in cui si applicava l’algoritmo diWolf.

Il secondo gruppo di simulazioni preliminari e servito a verificare che i varisegni degli esponenti nel caso di un attrattore caotico fossero compatibilicon i risultati teorici. Si sa infatti, che un attrattore caotico presenta unesponente maggiore di zero, uno circa nullo e uno negativo.

verificawolf.m




Il primo test ha dato esito positivo, mentre nel secondo caso, a causa del fattoche la non linearita e discontinua e lo e pure lo Jacobiano, l’algoritmo darisultati errati. Per ovviare a questo problema si e sostituita la non-linearitaPWL con un polinomio del decimo ordine. In questo caso infatti i segni degliesponenti erano compatibili con i risultati teorici.

-2

-10

12 -0.4

-0.2

0

0.2

0.4-3

-2

-1

0

1

2

3

y

Traiettoria nello spazio delle fasi.

x

z

(a) Attrattore caotico

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100-5

-4

-3

-2

-1

0

1Dinamica degli esponenti di Lyapunov Chua Caotico ->PWL<-

Tempo

Esp

onen

ti d

i Lya

pun

ov

λ1=0.26728

λ2=0.26751

λ3=-4.1323

(b) Esponenti di Lyapu-nov, PWL

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2Dinamica degli esponenti di Lyapunov - Chua Caotico -10th Order-

Tempo

Espo

nen

ti d

i Lya

pun

ov

λ1=0.3449

λ2=0.022274

λ3=-3.7133

(c) Esponenti di Lyapunov,10order



Dimensione frattale

Perche la geometria viene spesso indicata come arida e fredda?Una ragione e l’inabilita di descrivere la forma di una nuvola odi una montagna, una linea costiera o un albero. Le nuvole nonsono delle sfere, le montagne non sono dei coni, le linee costierenon sono dei cerchi, il sughero non e liscio e i fulmini non simuovono lungo linee dritte.

Benoıt B. Mandelbrot

Cosı Mandelbrot nel suo libro “The Fractal Geometry of Nature”, descrivel’inadeguatezza della geometria euclidea, nella descrizione della Natura.

Figura: Insieme di Mandelbrot (1979)Marano Barbaro Applicare gli schemi di sincronizzazione noti al circuito di Chua


Dimensione frattale

Mandelbrot e il padre fondatore della teoria dei frattali e l’inventore del famosoinsieme che porta il suo nome Figura (10). Poiche gli strange attractors hannodelle caratteristiche frattali, ad esse e associata una dimensione legata agliesponenti di Lyapunov e che assieme ad essi permette di distinguere unatraiettoria caotica rispetto ad un ciclo limite o a un punto di equilibrio stabile:essa prende il nome di Dimensione di Hausdorff (1918). In particolare sidimostra che:

in un attrattore caotico suddetta dimensione e compresa tra 2 e 3;in un ciclo limite e circa unitaria;un punto di equilibrio stabile e nulla.

Il metodo per calcolare suddetta dimensione frattale, e dovuto alla congetturasviluppata da Kaplan-Yorke:

d = j +

∑λj>0 λj

|λj+1|(18)

dove, j indica l’interno piu grande tale che la somma dei primi esponenti diLyapunov sia positiva.



Dimensione frattale

Mandelbrot e il padre fondatore della teoria dei frattali e l’inventore del famosoinsieme che porta il suo nome Figura (10). Poiche gli strange attractors hannodelle caratteristiche frattali, ad esse e associata una dimensione legata agliesponenti di Lyapunov e che assieme ad essi permette di distinguere unatraiettoria caotica rispetto ad un ciclo limite o a un punto di equilibrio stabile:essa prende il nome di Dimensione di Hausdorff (1918). In particolare sidimostra che:

in un attrattore caotico suddetta dimensione e compresa tra 2 e 3;in un ciclo limite e circa unitaria;un punto di equilibrio stabile e nulla.

Il metodo per calcolare suddetta dimensione frattale, e dovuto alla congetturasviluppata da Kaplan-Yorke:

d = j +

∑λj>0 λj

|λj+1|(18)

dove, j indica l’interno piu grande tale che la somma dei primi esponenti diLyapunov sia positiva.

logwolf.mMarano Barbaro Applicare gli schemi di sincronizzazione noti al circuito di Chua

Metodi di sincronizzazione

Parte III

La sincronizzazione tra sistemi Caotici



Decomposizione Pecora & CarrollSincronizzazione per AccoppiamentoSincronizzazione ImpulsivaSincronizzazione da controllo LineareSincronizzazione da controllo AdattativoEffetto Benefico del Rumore

La sincronizzazione tra piu sistemi

La sincronizzazione di oscillazioni tra due diversi sistemi e un fenomeno nonlineare che spesso si incontra in natura. La capacita di molti oscillatori nonlineari di sincronizzarsi l’un con l’altro e alla base del funzionamento di moltiprocessi naturali, quindi la sincronizzazione ha un ruolo fondamentale nellescienze. Uno dei primi esperimenti in cui venne studiata la sincronizzazionenaturale tra due sistemi fu effettuato da Huygens nel 1665. Durante unabanale gita in mare si accorse che, collegando due orologi a pendolo su unostesso supporto e accoppiandoli in maniera tale da presentarsi una deboleinterazione tra di loro, le oscillazioni diventavano identiche a differenza diquando erano ubicati in posti diversi (fig. 11).

2 Introduction

bottom of the case was added a lead weight of over one hundred pounds so thatthe instrument would better maintain a perpendicular orientation whensuspended in the ship.

Although the motion of the clock was found to be very equal and constant inthese experiments, nevertheless we made an effort to perfect it still further inanother way as follows. . . . the result is still greater equality of clocks thanbefore.

Furthermore, Huygens shortly, but extremely precisely, described his observationof synchronization as follows.

. . . It is quite worth noting that when we suspended two clocks so constructedfrom two hooks imbedded in the same wooden beam, the motions of each

Figure 1.1. Christiaan Huygens (1629–1695), the famous Dutch mathematician,astronomer and physicist. Among his main achievements are the discovery of the firstmoon and the true shape of the rings of Saturn; the first printed work on the calculusof probabilities; the investigation of properties of curves; the formulation of a wavetheory of light including what is well-known nowadays as the Huygens principle. In1656 Christiaan Huygens patented the first pendulum clock, which greatly increasedthe accuracy of time measurement and helped him to tackle the longitude problem.During a sea trial, he observed synchronization of two such clocks (see also theintroduction to the English translation of his book [Huygens 1673] for a historicalsurvey). Photo credit: Rijksmuseum voor de Geschidenis der Natuuringtenschappen,courtesy American Institute of Physics Emilio Segre Visual Archives.

(a) ChristiaanHuygens

1.1 Synchronization in historical perspective 3

pendulum in opposite swings were so much in agreement that they neverreceded the least bit from each other and the sound of each was always heardsimultaneously. Further, if this agreement was disturbed by some interference, itreestablished itself in a short time. For a long time I was amazed at thisunexpected result, but after a careful examination finally found that the cause ofthis is due to the motion of the beam, even though this is hardly perceptible. Thecause is that the oscillations of the pendula, in proportion to their weight,communicate some motion to the clocks. This motion, impressed onto the beam,necessarily has the effect of making the pendula come to a state of exactlycontrary swings if it happened that they moved otherwise at first, and from thisfinally the motion of the beam completely ceases. But this cause is notsufficiently powerful unless the opposite motions of the clocks are exactly equaland uniform.

The first mention of this discovery can be found in Huygens’ letter to his fatherof 26 February 1665, reprinted in a collection of papers [Huygens 1967a] and repro-duced in Appendix A1. According to this letter, the observation of synchronizationwas made while Huygens was sick and stayed in bed for a couple of days watchingtwo clocks hanging on a wall (Fig. 1.2). Interestingly, in describing the discoveredphenomenon, Huygens wrote about “sympathy of two clocks” (le phenomene de lasympathie, sympathie des horloges).

Thus, Huygens had given not only an exact description, but also a brilliant quali-tative explanation of this effect ofmutual synchronization; he correctly understoodthat the conformity of the rhythms of two clocks had been caused by an impercep-tible motion of the beam. In modern terminology this would mean that the clockswere synchronized in anti-phase due to coupling through the beam.

In the middle of the nineteenth century, in his famous treatise The Theory ofSound, William Strutt (Fig. 1.3) [Lord Rayleigh 1945] described the interestingphenomenon of synchronization in acoustical systems as follows.

When two organ-pipes of the same pitch stand side by side, complications ensuewhich not unfrequently give trouble in practice. In extreme cases the pipes may

Figure 1.2. Originaldrawing of ChristiaanHuygens illustrating hisexperiments with twopendulum clocks placed ona common support.

(b) Schizzo originale fatto da Huygens per rap-presentare lo schema dei due pendoli che sisincronizzano.

Figura:





In generale, comunque, la sincronizzazione e intesa come la capacita da partedi oscillatori autonomi accoppiati e con frequenze diverse, di cambiare il lorocomportamento, da un regime di oscillazione indipendente a un regime dioscillazione periodica stabile, man mano che il coefficiente di accoppiamentodiventa piu grande. Come facilmente intuibile, si riesce ad ottenere unasincronizzazione solo quando la differenza tra le diverse frequenze e bassa. Adimostrazione di questo fatto, se indichiamo ∆f = f1 − f2 come la differenzatra le frequenze degli oscillatori interagenti, ∆F = F1 − F2 la differenza dellefrequenze negli oscillatori non interagenti ed ε come il grado di interazione, siottiene un grafico tipico che prende il nome di Lingua di Arnold.

Figura: Lingua di Arnold





Quando i due sistemi presentano una perfetta sincronizzazione delle variabili distato il grafico che ottenuto e una bisettrice. Il vantaggio di questo metodo eche graficamente, ci si puo rendere conto del grado di sincronizzazione tra duesistemi, tanto piu la figura tende ad assomigliare ad una bisettrice.Analiticamente questo si esprime nel modo seguente. Consideriamo N sistemin-dimensionali diversi (N ≥ 2):

xi = fi (xi ) i = 1, . . .N, xi ∈ R (19)

diremo che le traiettorie si sincronizzeranno asintoticamente se accade:

limt→∞

(xi − xj) = 0 i 6= j (20)




La sincronizzazione tra sistemi caotici

La sincronizzazione di due o piu circuiti in regime caotico, puo essereperseguita mediante tre diversi approcci.

Il primo metodo, sviluppato da Pecora e Carroll nel 1990, permette diottenere una sincronizzazione tra due sistemi, in cui il secondo sistema(Slave), e una copia replicata esatta di una porzione del sistema Master.

Il secondo metodo, include dei sistemi accoppiati, in cui se il coefficientedi accoppiamento e nullo presentano entrambi un comportamento caotico.Mano a mano che il grado di accoppiamento cresce, i due circuiti tendonoa sincronizzarsi. Il grado di accoppiamento puo trovarsi su tutte le variabilidi stato, ma puo anche essere tra una sola delle variabili di stato perprodurre sincronizzazione.

Il terzo metodo, si basa principalmente sulle strategie classiche dicontrollo retroazionato.




Tipi di Sincronizzazione

In generale pero, gli oscillatori cambiano le loro frequenze in modo tale da:

Renderle uguali tra di loro. In questo caso si parla di “IdenticalSynchronization” (IS);

Essere in un rapporto fisso tra le due: Phase Synchronization (PS);

Essere legate da una determinata funzione: Generalized Synchronization(GS).

Considerando che la tipologia di sincronizzazione trattata in questo documentoe la IS, un metodo utilizzato per verificare l’avvenuta sincronizzazione dei duesistemi e quello che fa uso delle Figure di Lissajous. Questo metodo moltosemplice, consiste nel graficare gli andamenti di due variabili di stato neltempo, nei due assi cartesiani: se le traiettorie percorse dalle variabili dei duesistemi sono uguali la figura risultante e una bisettrice.




Decomposizione Pecora & Carroll

Synchronizing Chaotic Circuits

Thomas L.Carroll and Louis M.Pecora

Abstract - Although the motion of indipendent chaotic systemare uncorrelated with each other, it is possible under someconditions to synchronize a subsystem of one chaotic system tothe subsystem. We describe here the conditions necessary forsynchronization and demonstrate synchronization with a chaoticcircuits.

Era il 19 febbraio 1990, quando Louis Pecora e Thomas Carroll aprivano, per laprima volta, le strade alla possibilita di sincronizzare due circuiti caotici. [1].Da quel momento in poi, molti ricercatori hanno sviluppato metodi disincronizzazione basandosi su questa tecnica.





Si considera un sistema dinamico, autonomo n-dimensionale:

u = f (u) (21)

Dividiamo il sistema, arbitrariamente, in due sottosistemi [u=(v ,w)]:

v = f (v) w = f (w) (22)

dove (v=u1,. . .,um), w=(um+1,. . .,un). Si avra quindi:

g = (f1(u), . . . , fm(u)) (23)

h = (fm+1(u), . . . , fn(u)) (24)

Adesso creiamo un sottosistema w ′ identico al sistema w , sostituendo allevariabili v ′, le corrispondenti v nella funzione h. Con questo nuovosottosistema, otteniamo:

Driver

{v = g(v ,w)

w = h(v ,w)

Response{

w ′ = h(v ,w ′)





Analizziamo la differenza, ∆w = w ′ − w . I sottosistemi w e w ′, sisincronizzeranno, se e solo se, ∆w → 0, quando t →∞. Il limite infinitesimaleinduce alla seguente equazione variazionale per il sottosistema w :

ξ = Dw′h(v(t),w ′(t))ξ (25)

Dove Dw h e lo Jacobiano del sottosistema Response rispetto al solo w ′. Ilcomportamento dell’ equazione (25) dipende dagli esponenti di Lyapunov delsottosistema w . Si dimostra che:

Teorema di Pecora & Carroll

Teorema: I sottosistemi w e w ′ si sincronizzeranno solo se gli esponenti diLyapunov del sottosistema w sono tutti negativi.





Il teorema di cui sopra, da solo le condizioni necessarie ma non sufficienti, peraversi sincronizzazione. Esso non tiene conto delle condizioni iniziali delsistema w ′ che si sincronizzera con w . Da un altro punto di vista si puoimmaginare che le variabili v = (v1, . . . , vm), sono delle variabili pilota (Driver),mentre w ′ = (w ′m+1, . . . ,w

′n) sono delle componenti in risposta (Response).

Nella figura (13) e rappresentato uno schema di principio.

Figura: Schema di principio Driver - Response




Pecora&Carroll applicato al modello di Chua

In questa sezione verra dimostrato attraverso delle simulazioni il teorema diCarroll&Pecora. In particolare saranno studiate le tre decomposizioni applicabilial modello di Chua:

x1 = α(y1 − x1 − g1(x))

y1 = x1 − y1 + z1

z1 = −βy1 − γz1

Nel corso di questo set di simulazioni il valore dei parametri erano α = 8,β = 12.2 e γ = 0.016. Con questi parametri il circuito presenta uncomportamento caotico. La nonlinearita g(x) e un polinomio del 10mo ordineche implementa la PWL di figura 2 in modo da poter applicare efficientementel’algoritmo di Wolf per il calcolo dello spettro di Lyapunov.




Pecora&Carroll applicato al modello di Chua

In questa sezione verra dimostrato attraverso delle simulazioni il teorema diCarroll&Pecora. In particolare saranno studiate le tre decomposizioni applicabilial modello di Chua:

x1 = α(y1 − x1 − g1(x))

y1 = x1 − y1 + z1

z1 = −βy1 − γz1

Nel corso di questo set di simulazioni il valore dei parametri erano α = 8,β = 12.2 e γ = 0.016. Con questi parametri il circuito presenta uncomportamento caotico. La nonlinearita g(x) e un polinomio del 10mo ordineche implementa la PWL di figura 2 in modo da poter applicare efficientementel’algoritmo di Wolf per il calcolo dello spettro di Lyapunov.

pecoracarroll.m




X-Driver

La prima decomposizione del sistema Master prevedeva che il segnale Driverfosse prelevato da x1:

x1 = α(y1 − x1 − g1(x))

y1 = x1 − y1 + z1 y2 = x1−y2 + z2

z1 = −βy1 − γz1 z2 = −βy2 − γz2

0 5 10 15 20 25-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4Variabile di stato y1 (Driver) e y2 (Response)

Tempo

y1,y

2

Come e possibile vedere dalla figura sopra e dalle due seguenti, si nota lasincronizzazione tra le variabili di stato dei due sistemi x1 e x2.




X-Driver

−0.4 −0.3 −0.2 −0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4−0.4

−0.3

−0.2

−0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4Figura di Lissajous − (X−Driver)

Y−Driver

Y−

Res

pons

e

Figura: Figura di Lissajous tra x1 e x2..




X-Driver

0 50 100 150 200-5

-4

-3

-2

-1

0

1

Tempo

Esp

on

en

ti d

i Lya

pu

no

v

Esponenti di Lyapunov del DRIVER

λ1=0.26663

λ2=0.0047713

λ3=-2.7965

0 50 100 150 200-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

Tempo

Esp

onen

ti di L

yapun

ov

Esponenti di Lyapunov del RESPONSE: X-Driver

λ4=-0.49981

λ5=-0.50117

Figura: Esponenti di Lyapunov del sistema driver e del sistema Response. X-DRIVER




Y-Driver

La seconda decomposizione del sistema Master prevedeva che il segnale Driverfosse prelevato da y1:

x1 = α(y1 − x1 − g1(x))

y1 = x1 − y1 + z1 x1 = α(y1−x2 − g2(x2))

z1 = −βy1 − γz1 z2 = −βy2 − γz2

0 5 10 15 20 25-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5Variabile di stato x1 (Driver) e x2 (Response)

Tempo

x1

,x2

Anche in questo caso si e ottenuta la sincronizzazione cercata tra y1 e y2.




Y-Driver

−2.5 −2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5−2.5

−2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5Figura di Lissajous − (Y−Driver)

x−Driver

x−R

espo

nse

Figura: Figura di Lissajous tra y1 e y2..




Y-Driver

0 100 200 300 400 500-5

-4

-3

-2

-1

0

1

Tempo

Esp

onen

ti di L

ya

pun

ov


λ1=0.28557

λ2=-0.00026821

λ3=-2.7964

0 100 200 300 400 500-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

Tempo

Esp

onen

ti di Lya

pun

ov

Esponenti di Lyapunov del RESPONSE

λ4=-1.4771

λ5=0

Figura: Esponenti di Lyapunov del sistema driver e del sistema Response. Y-DRIVER




Z-Driver

Infine la terza e ultima decomposizione considerata prevedeva che il segnaleDriver fosse prelevato da z1:

x1 = α(y1 − x1 − g1(x))

y1 = x1 − y1 + z1 x1 = α(y2 − x2 − g1(x2))

z1 = −βy1 − γz1 y1 = x2 − y2 + z1

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90-3

-2

-1

0

1

2

Variabile di stato X1 (Driver) e X2 (Response)

Tempo

X1,X

2

x1x2

Come e possibile vedere dalla figura e in accordo con il teorema diPecora&Carroll, poiche gli esponenti condizionali del sottosistema non eranotutti negativi, non si riesce ad ottenere la sincronizzazione tra z1 e z2.




Z-Driver

−0.5 −0.4 −0.3 −0.2 −0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4−5

−4

−3

−2

−1

0

1Figura di Lissajous − (Z−Driver)

x−Driver

x−R

espo

nse

Figura: Figura di Lissajous tra z1 e z2..




Z-Driver

0 50 100 150 200-5

-4

-3

-2

-1

0

1

Tempo

Esp

on

en

ti d

i Lya

pu

no

v


λ1=0.31588

λ2=-0.0053173

λ3=-3.6031

0 50 100 150 200-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

Tempo

Esp

on

en

ti d

i Lya

pu

no

v

Esponenti di Lyapunov del RESPONSE: Z-Drive

λ4=1.5814

λ5=-4.8743

Figura: Esponenti di Lyapunov del sistema driver e del sistema Response. Z-DRIVER




Accoppiamento Mutuo tra due sistemi

Altro metodo largamente studiato dalla comunita scientifica nel tentativo disincronizzare piu circuiti caotici e stato quello che fa uso di un accoppiamentomutuo tra i vari sistemi. Analiticamente si ha:

x1 = α(y1 − x1 − f1(x1)) + kx(x2 − x1)

y1 = y1 − x1 + z1 + ky (y2 − y1)

z1 = −βy1 − γz1 + kz(z2 − z1)

x2 = α(y2 − x2 − f2(x2)) + kx(x1 − x2)

y2 = y2 − x2 + z2 + ky (y1 − y2)

z2 = −βy2 − γz2 + kz(z1 − z2)

(26)Fisicamente l’accoppiamento kx = C2R/C1Rx (vedi prima parte per laconversione del modello dimensionale al modello adimensionale) lo si realizzamediante un resistore Rx , mentre l’accoppiamento ky = R/Ry lo si realizzamediante un resistore Ry collegato tra i due condensatori le cui tensioni ai capi,rappresentano le seconde variabili di stato y1 e y2.





Nelle tabelle che seguono sono stati riassunti i risultati ottenuti.

kx Livello Sincronizzazione Figura2 NO sincronizzazione 4a3 Debole sincr. 4c4 Sincronizzazione 4e

ky Livello Sincronizzazione Figura0.5 NO sincronizzazione 5a0.65 Debole sincr. 5c3 Sincronizzazione 5e

kz Livello Sincronizzazione Figura0.5 Sincronizzazione instabile 6a

0.909:1.85 Sincronizzazione nel range 0.909:1.85 6c1.6 Massima Sincronizzazione 6e1.99 Perdita di Sincronizzazione 6g

Tabella: Livelli di sincronizzazione ottenuti per vari valori kz , kx e ky .ACCOPPIAMENTO MUTUO.





Nelle tabelle che seguono sono stati riassunti i risultati ottenuti.

kx Livello Sincronizzazione Figura2 NO sincronizzazione 4a3 Debole sincr. 4c4 Sincronizzazione 4e

ky Livello Sincronizzazione Figura0.5 NO sincronizzazione 5a0.65 Debole sincr. 5c3 Sincronizzazione 5e

kz Livello Sincronizzazione Figura0.5 Sincronizzazione instabile 6a

0.909:1.85 Sincronizzazione nel range 0.909:1.85 6c1.6 Massima Sincronizzazione 6e1.99 Perdita di Sincronizzazione 6g

Tabella: Livelli di sincronizzazione ottenuti per vari valori kz , kx e ky .ACCOPPIAMENTO MUTUO.

mutual.mMarano Barbaro Applicare gli schemi di sincronizzazione noti al circuito di Chua



Accoppiamento Mutuo. kx variabile

-6 -4 -2 0 2 4 6 8

x 104

-3

-2

-1

0

1

2

3x 10

4 Strange Attractors

(a) Attrattore instabile kx =2

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4Figure di Lissajous

x1

x2

(b) Figura di Lissajous kx =3

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4-4

-3

-2

-1

0

1

2

3


x1

x2

(c) Figura di Lissajous kx =4




Accoppiamento Mutuo: ky variabile

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4-4

-3

-2

-1

0

1

2

3


x1

x2

(d) Figura di Lissajous ky =0.5

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4-4

-3

-2

-1

0

1

2

3


x1

x2

(e) Figura di Lissajous ky =0.65

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4-4

-3

-2

-1

0

1

2

3


x1

x2

(f) Figura di Lissajous ky =3




Accoppiamento Mutuo: kz variabile

-4 -2 0 2 4 6

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

Strange Attractors

(g) Attrattore instabile kz =0.5

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4-4

-3

-2

-1

0

1

2

3


x1

x2

(h) Figura di Lissajous kz =0.909

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4-4

-3

-2

-1

0

1

2

3


x1

x2

(i) Figura di Lissajous kz =1.6

-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10

x 107

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5x 10

7 Strange Attractors

(j) Attrattore instabile kz =1.99




Robustezza nell’accoppiamento

Nelle simulazioni che seguono sono stati analizzati gli effetti di missmatches neiparametri presenti nei due modelli e che si ripercuotono nella sincronizzazionemutua dei due sistemi. Essi infatti sono inevitabili nella pratica, quindi questostudio e di notevole importanza al fine di caratterizzare bene la sincronizzazionereale di due circuiti.In questo documento ci limitiamo a ottenere dei range di variazioni di unparametro, quando gli altri sono posti nulli. Essendo un circuito non lineare, lavariazione percentuale di un solo parametro, mantenendo gli altri nulli, non emolto affidabile come misura dello scostamento reale di tutti i parametripresenti in un setup sperimentale. Nonostante cio le simulazioni che seguono,danno l’idea del fatto che la sincronizzazione puo comunque essere ottenutaanche con parametri di poco diversi, avendo un opportuno coefficiente diaccoppiamento tra i sistemi.





In questo set di simulazioni si e fissato il valore kx = 16.1, mentre di volta involta venivano variati i parametri α, β e γ, da un minimo del 20% a unmassimo pari al 200%. Si e riscontrato che la variazione massima ammissibile siottiene per ∆β = 200% e ∆γ = 200%. In questo caso infatti, anche se il valoredei parametri β, e γ del secondo sistema sono il d del corrispondente valore nelsistema Master, la sincronizzazione e comunque ottenuta. Nel caso di α invece,gia con uno scostamento del 100% la sincronizzazione non si ottiene.





In questo set di simulazioni si e fissato il valore kx = 16.1, mentre di volta involta venivano variati i parametri α, β e γ, da un minimo del 20% a unmassimo pari al 200%. Si e riscontrato che la variazione massima ammissibile siottiene per ∆β = 200% e ∆γ = 200%. In questo caso infatti, anche se il valoredei parametri β, e γ del secondo sistema sono il d del corrispondente valore nelsistema Master, la sincronizzazione e comunque ottenuta. Nel caso di α invece,gia con uno scostamento del 100% la sincronizzazione non si ottiene.

varpar.m




Accoppiamento unidirezionale

Questo tipo di sincronizzazione e un caso particolare del metodoprecedentemente discusso. In questo caso infatti, si ha un accoppiamentounidirezionale tra i due sistemi. Questo e possibile realizzarlo fisicamentecollegando un buffer a valle dei resistori Rx , Ry e Rz precedentemente trattati.Analiticamente stavolta si ha:

x1 = α(y1 − x1 − f1(x1))

y1 = y1 − x1 + z1

z1 = −βy1 − γz1

x2 = α(y2 − x2 − f2(x2)) + kx(x1 − x2)

y2 = y2 − x2 + z2 + ky (y1 − y2)

z2 = −βy2 − γz2 + kz(z1 − z2)

(27)

anche in questo caso i parametri utilizzati sono stati α = 10, β = 14.87 eγ = 0.





Questo tipo di sincronizzazione e un caso particolare del metodoprecedentemente discusso. In questo caso infatti, si ha un accoppiamentounidirezionale tra i due sistemi. Questo e possibile realizzarlo fisicamentecollegando un buffer a valle dei resistori Rx , Ry e Rz precedentemente trattati.Analiticamente stavolta si ha:

x1 = α(y1 − x1 − f1(x1))

y1 = y1 − x1 + z1

z1 = −βy1 − γz1

x2 = α(y2 − x2 − f2(x2)) + kx(x1 − x2)

y2 = y2 − x2 + z2 + ky (y1 − y2)

z2 = −βy2 − γz2 + kz(z1 − z2)

(27)

anche in questo caso i parametri utilizzati sono stati α = 10, β = 14.87 eγ = 0.

directional.m





kx Livello Sincronizzazione Figura5 NO sincr., secondo diventa instabile. 11a6 Debole sincr. 11c8 Sincronizzazione 11e

ky Livello Sincronizzazione Figura0.5 NO sincronizzazione 12a2 Sincr. dopo lungo transitorio 12c5 Sincronizzazione 12e

kz Livello Sincronizzazione Figura0.5:1.7 NO Sincr.Secondo Sist. instabile 13a

1.8 Sincronizzazione nel range 0.909:1.85 13c3 Massima Sincronizzazione 13e6 Instabile in una direzione 13g

Tabella: Livelli di sincronizzazione ottenuti per vari valori kz , kx e ky .ACCOPPIAMENTO UNIDIREZIONALE.





-6 -4 -2 0 2 4 6-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

Strange Attractors Coefficienti: kx=5, k

y=0, k

z=0

(k) Attrattore instabile kx =5

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

Figure di Lissajous Coefficienti: kx=6, k

y=0, k

z=0

x1

x2

(l) Figura di Lissajous kx =6

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4


y=0, k

z=0

x1

x2

(m) Figura di Lissajous kx =8





-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4


y=0.5, k

z=0

x1

x2

(n) Figura di Lissajous ky =0.5

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4-3

-2

-1

0

1

2

3

4


y=2, k

z=0

x1

x2

(o) Figura di Lissajous ky =2

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4


y=5, k

z=0

x1

x2

(p) Figura di Lissajous ky =5





-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Strange Attractors Coefficienti: kx=0, k

y=0, k

z=0.5

(q) Attrattore instabile kz =0.5

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6


y=0, k

z=1.8

x1

x2

(r) Figura di Lissajous kz =1.8

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4-8

-6

-4

-2

0

2

4


y=0, k

z=3

x1

x2

(s) Figura di Lissajous kz =3




Sincronizzazione Impulsiva

Il metodo di sincronizzazione sperimentato da Pecora & Carroll nel 1990,permette la sincronizzazione del sistema destinatario (Slave), mediante unpersistente segnale di controllo da parte del sistema sorgente (Master).Ovviamente, il segnale di sincronizzazione, che rappresenta l’analogo delsegnale portante nel caso di classiche trasmissioni modulate in frequenza, nontrasporta in se informazione utile. Questo porta inevitabilemente ad uno sprecodella banda del canale disponibile. Il concetto introdotto per la prima volta daYang & Chua nel 1997, e quello di ottenere la sincronizzazione completa, deidue sistemi, mediante un controllo da parte del segnale proveniente dal Driver(Master), che non sia continuo ma impulsivo. Questo permette di ottenere unasincronizzazione completa tra i due sistemi, mediante l’applicazione del segnalepilota in slot temporali di breve durata. In questo modo, il contributo dioccupazione di banda del canale, da parte del segnale di sincronizzazione, enotevolmente ridotto e quindi permette una trasmissione del segnale con unaefficienza maggiore.





In un sistema di comunicazione sicura, basata sul metodo della sincronizzazioneimpulsiva, il segnale trasmesso consiste in una sequenza di slot temporali. Ognislot di lunghezza T secondi, contiene una parte di segnale di lunghezza T1

utilizzato per ottenere una sincronizzazione impulsiva, mentre nel restante slotT2=T -T1, e contenuto il segnale criptato da trasmettere.In questo paragrafo saranno studiati diversi casi di sincronizzazione impulsiva,mediante l’uso del simulatore PSpice. Lo schema di sincronizzazione base e uncaso particolare della sincronizzazione unidirezionale, in cui stavolta il segnaleda parte del Driver giunge al Driven solo negli intevalli di tempo di lunghezzaT1. Si e trovato [3] che esistono dei valori di soglia di frequenza e duty-cycledel segnale si sincronizzazione, sotto il quale la sincronizzazione non siraggiunge. In figura (4) e rappresentato lo schema utilizzato.





Vmeno

Vpiu

VpiuVpiu

Y2

Vmeno

Y1

Vmeno

Vmeno

Vpiu

Vpiu

Vmeno

Vmeno

X1 X2

pulse

Vpiu

Vmeno

Vpiu

y1o

ho

0

0 0

0

Per f=100 Hz non si sincronizza (PER=10m; PW=5m)

Per f=1000 Hz si sincronizza poco (PER=1m; PW=0.5m)

Per f=10 kHz si sincronizza (PER=0.1m; PW=0.05m)

Sincronizzazione impulsiva tra due circuiti di Chua

Per f=1000 Hz non sincronizzano per (PER=1m; PW=0.2m)

Per f=1000 Hz si sincronizza poco (PER=1m; PW=0.6m)

Per f=1000 Hz si sincronizza abbastanza (PER=1m; PW=0.8m)

+3

-2

V+

8V

-4

OUT1

U1A

TL082

U1A

TL082

R3

4000

R3

4000

+5

-6

V+

8V

-4

OUT7

U2B

TL082

U2B

TL082

R9

4000

R9

4000

R4

220

R4

220

C9

58n

IC = 0.01

C9

58n

IC = 0.01

C8

6.8n

IC = 0.01

C8

6.8n

IC = 0.01

V1 9VdcV1 9Vdc

R5

220

R5

220

R16

220

R16

220

1

2

L118.5mIC = 1u

L118.5mIC = 1u

R20

12

R20

12

R7

22k

R7

22k

R19

12

R19

12

1

2

L2

18.5mH

IC = 1u

L2

18.5mH

IC = 1u

R6

3000

R6

3000

+3

-2

V+

8V

-4

OUT1

U6A

TL082

U6A

TL082

In1

Out2

Vc3

Vdd4

Vss5 U7

CD4066B

U7

CD4066B

R17

220

R17

220

C1

6.8n

IC = 0.01

C1

6.8n

IC = 0.01

R1

22k

R1

22k

C2

58n

IC = 0.01

C2

58n

IC = 0.01 R8

22k

R8

22k

R15

1895

R15

1895

V3

TD = 1nTF = 1n

PW = 8800nPER = 55u

V1 = -9

TR = 1n

V2 = 9

V3

TD = 1nTF = 1n

PW = 8800nPER = 55u

V1 = -9

TR = 1n

V2 = 9

+3

-2

V+

8V

-4

OUT1

U5A

TL082

U5A

TL082

+5

-6

V+

8V

-4

OUT7

U5B

TL082

U5B

TL082

R2

22k

R2

22k

V2 9VdcV2 9Vdc

R18

3000

R18

3000

R10

1895

R10

1895





Come e possibile vedere in figura (4), sono stati presi in considerazione unacoppia di circuiti di Chua, in cui i vari valori dei parametri tra loro risultavanouguali. Il primo circuito, che chiameremo Master, e collegato con il secondo(Slave), attraverso un amplificatore operazionale in configurazione a buffer.Questo permette di realizzare un accoppiamento unidirezionale, tra la secondavariabile di stato dei due sistemi, ovvero la tensione al condensatore C1 e latensione ai capi di C8. Il blocco in cascata al buffer, e uno switch CD4066B,pilotato da un segnale impulsivo.





Date/Time run: 04/08/08 11:12:55** Profile: "SCHEMATIC1-PWL_SWEEP" [ D:\Chua_pulsed\pwl-pspicefiles\schematic1\pwl_sweep.sim ]

Date: April 08, 2008 Page 1 Time: 12:19:41 V_V3

-10V -5V 0V 5V 10V-4.0mA

-2.0mA

0A

2.0mA

4.0mA

I(V3:+)

EE

EE

G1

G2

G3

Figura: PWL utilizzato per modellizzare il diodo di Chua

Le conduttanze hanno valori G1=−0.5832 mS ,G2=−0.2877 mS e G3=4.9275mS , mentre E, il valore di tensione per cui si ha il cambio di pendenza dellaconduttanza vale 1.28 V.




Sincronizzazione impulsiva al variare della frequenza

Il primo set di simulazioni sono state effettuate, facendo variare la frequenzadel treno di impulsi che pilotano lo switch, da un minimo di 100 Hz a unmassimo di 10 kHz. Il duty-cicle lo si e fissato ad un valore pari al 50% pertutto il primo set di simulazioni. Si e riscontrato che, per bassi valori frequenzei due circuiti non presentavano alcuna sincronizzazione. Come e possibilenotare dalle Figure (21,22,23), solo negli istanti temporali in cui l’impulso ealto, si ha la sincronizzazione. Successivamente e stato analizzato il caso in cuila frequenza di switching era pari a 1 kHz . In questo caso, osservando ildiagramma di Chua, si nota una leggera sincronizzazione del secondo rispettoal primo sistema. Passando ad una frequenza di 10 kHz , si nota chel’andamento della variabile di stato del secondo Oscillatore di Chua segue,perfettamente il segnale del Driver.





Il primo set di simulazioni sono state effettuate, facendo variare la frequenzadel treno di impulsi che pilotano lo switch, da un minimo di 100 Hz a unmassimo di 10 kHz. Il duty-cicle lo si e fissato ad un valore pari al 50% pertutto il primo set di simulazioni. Si e riscontrato che, per bassi valori frequenzei due circuiti non presentavano alcuna sincronizzazione. Come e possibilenotare dalle Figure (21,22,23), solo negli istanti temporali in cui l’impulso ealto, si ha la sincronizzazione. Successivamente e stato analizzato il caso in cuila frequenza di switching era pari a 1 kHz . In questo caso, osservando ildiagramma di Chua, si nota una leggera sincronizzazione del secondo rispettoal primo sistema. Passando ad una frequenza di 10 kHz , si nota chel’andamento della variabile di stato del secondo Oscillatore di Chua segue,perfettamente il segnale del Driver.

Pulsed-freq.opj





-2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

(a) Diagramma di Chua per impulsi confrequenza f=100 Hz

0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04-3

-2

-1

0

1

2

3

0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04-10

-5

0

5

10

(b) Andamento temporale di Y1 e Y2

(in alto) e forma d’onda del segnaleimpulsivo

Figura: Vari livelli di sincronizzazione per valori di f =100 Hz. SINCRONIZZAZIONEIMPULSIVA.





-2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

(a) f=1 kHz

0.0555 0.056 0.0565 0.057 0.0575 0.058 0.0585 0.059 0.0595-3

-2

-1

0

1

2

3

0.0555 0.056 0.0565 0.057 0.0575 0.058 0.0585 0.059 0.0595-10

-5

0

5

10

(b) f=1 kHz

Figura: Vari livelli di sincronizzazione per valori di f =1 kHz. SINCRONIZZAZIONEIMPULSIVA.





-2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

(a) f=10 kHz

0.014 0.0145 0.015 0.0155 0.016 0.0165 0.017-3

-2

-1

0

1

2

3

0.014 0.0145 0.015 0.0155 0.016 0.0165 0.017-10

-5

0

5

10

(b) f=10 kHz

Figura: Vari livelli di sincronizzazione per valori di f =10 kHz. SINCRONIZZAZIONEIMPULSIVA.




Sincronizzazione impulsiva al variare del Duty-Cicle

In questo secondo caso, tenendo sempre presente lo schema di Figura (4), sonostati analizzati gli andamenti della variabile di stato Y2 dello Slave, al variare delDuty-Cycle δ, mantenendo fissata la frequenza a 1 kHz. La prima simulazione,assumendo un δ pari al 20%, ha rivelato la completa assenza di sincronizzazionetra i due (Figura 24). Nel caso in cui il valore di δ era superiore al 60%, siotteneva una sincronizazione perfetta. Una facile interpretazione scaturisce dalfatto che un Duty-Cycle troppo basso comporta uno slot temporale troppopiccolo affinche il sistema Slave possa sincronizzarsi con il sistema Master.





In questo secondo caso, tenendo sempre presente lo schema di Figura (4), sonostati analizzati gli andamenti della variabile di stato Y2 dello Slave, al variare delDuty-Cycle δ, mantenendo fissata la frequenza a 1 kHz. La prima simulazione,assumendo un δ pari al 20%, ha rivelato la completa assenza di sincronizzazionetra i due (Figura 24). Nel caso in cui il valore di δ era superiore al 60%, siotteneva una sincronizazione perfetta. Una facile interpretazione scaturisce dalfatto che un Duty-Cycle troppo basso comporta uno slot temporale troppopiccolo affinche il sistema Slave possa sincronizzarsi con il sistema Master.

Pulsed-freq.opj





-2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

(a) Diagramma di Chua per δ=0.2Hz

5.5 6 6.5 7 7.5 8 8.5 9

x 10-3

-3

-2

-1

0

1

2

3

5.5 6 6.5 7 7.5 8 8.5 9

x 10-3

-10

-5

0

5

10

(b) Andamento temporale di Y1 eY2 (in alto) e forma d’onda delsegnale impulsivo

Figura: Vari livelli di sincronizzazione per valori di δ=0.2. SINCRONIZZAZIONEIMPULSIVA.





-2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

(a) δ=0.6

5.5 6 6.5 7 7.5 8 8.5 9

x 10-3

-3

-2

-1

0

1

2

3

5.5 6 6.5 7 7.5 8 8.5 9

x 10-3

-10

-5

0

5

10

(b) δ=0.6






-2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

(a) δ=0.8

5.5 6 6.5 7 7.5 8 8.5 9

x 10-3

-3

-2

-1

0

1

2

3

5.5 6 6.5 7 7.5 8 8.5 9

x 10-3

-10

-5

0

5

10

(b) δ=0.8





Sincronizzazione da controllo Lineare

Molti schemi di sincronizzazione Master-Slave trattati in letteratura, utilizzanocome segnale di controllo, una variabile del sistema master. Il segnale dicontrollo serve a sincronizzare il sistema Slave nel senso che, come spiegatoprecedentemente, le traiettorie dei due sistemi, asintoticamente tendono adessere uguali. La stabilita della sincronizzazione e dimostrata numericamentetramite il calcolo degli esponenti di Lyapunov condizionali del sottosistema [1]o tramite la ricerca di una funzione di Lyapunov [4].

Figura: Schema di principio utilizzato per il controllo lineare.





Questo paragrafo, invece, si riferisce a un lavoro di Wang et. al del 1998 [5], incui il segnale di controllo lineare retroazionato e prelevato dalla terza variabiledi stato, e mediante dei coefficienti k e collegato a tutte tre le variabili delsistema Slave. Nello spazio delle fasi questo significa:

MASTER

x1 = α(y1 − x1 − f (x1))

y1 = x1 − y1 + z1

z1 = −βy1

(28)

SLAVE

x2 = α(y2 − x2 − f (x2)) + k1(z1 − z2)

y2 = x2 − y2 + z2 + k2(z1 − z2)

z2 = −βy2 − γz2 + k3(z1 − z2)

(29)





Si dimostra il seguente Teorema:

Teorema di Wang

Teorema: In riferimento ai sistemi (28) e (29), supponiamo che il vettore diretroazione k=[k1, k2, k3]T e scelto come segue:

k =

k1

k2

k3

=

−1− γβ− 1+γ

β− 1β

− γβ

− 1β

0

1 0 0

3θ3θ2

θ3

(30)

Allora, se θ e grande abbastanza, allora il sistema Slave si sincronizzaraglobalmente con il sistema Master per qualunque valore di condizioni iniziali delsecondo sistema.

Nella pratica si ottiene sincronizzazione asintotica per valori di θ ≥ 1 anche seper valori di θ ≈ 0.5 si ottiene un errore asintotico costante piccolo. Per valorigrandi di θ, il tempo di sincronizzazione e molto piccolo (dell’ordine di 10−4

secondi)





Si dimostra il seguente Teorema:

Teorema di Wang

Teorema: In riferimento ai sistemi (28) e (29), supponiamo che il vettore diretroazione k=[k1, k2, k3]T e scelto come segue:

k =

k1

k2

k3

=

−1− γβ− 1+γ

β− 1β

− γβ

− 1β

0

1 0 0

3θ3θ2

θ3

(30)

Allora, se θ e grande abbastanza, allora il sistema Slave si sincronizzaraglobalmente con il sistema Master per qualunque valore di condizioni iniziali delsecondo sistema.

Nella pratica si ottiene sincronizzazione asintotica per valori di θ ≥ 1 anche seper valori di θ ≈ 0.5 si ottiene un errore asintotico costante piccolo. Per valorigrandi di θ, il tempo di sincronizzazione e molto piccolo (dell’ordine di 10−4

secondi)

wang98.mMarano Barbaro Applicare gli schemi di sincronizzazione noti al circuito di Chua




-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4-4

-3

-2

-1

0

1

2

3x 10

9

x1

x 2

Figura di Lissajous - Z-driven

(a) Figura di Lissajous θ = 0.0

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

x1

x 2


(b) Figura di Lissajous θ = 0.1

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

x1

x 2


(c) Figura di Lissajous θ = 1.0

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4-15

-10

-5

0

5

x1

x 2


(d) Figura di Lissajous θ = 5.0Marano Barbaro Applicare gli schemi di sincronizzazione noti al circuito di Chua



Sincronizzazione da controllo Adattativo

Un altro approccio utilizzato per ottenere sincronizzazione tra due sistemioperanti in regime caotico e quello che fa uso del controllo retroazionato.Ovviamente molti approcci tra cui quelli basati sul controllo lineareconvenzionale oppure sul controllo nonlineare avanzato, sono stati ampiamentestudiati da [1] e [2]. In molti di questi lavori esistenti, e essenziale laconoscenza dei parametri presenti nel modello. Nella pratica pero questo nonavviene mai a causa della incertezza dovuta alle non idealita presenti, quindi laprogettazione di un controllore adattativo per il controllo e la sincronizzazionedei sistemi caotici e molto importante.

Figura: Schema di principio del controllo adattativo di Naseh.




Sincronizzazione da controllo adattativo

L’approccio descritto per progettare questo controllore e stato sviluppato daNaseh e Haery nel 2005 [3]. Esso viene applicato per ottenere lasincronizzazione tra due circuiti di Chua, descritti nello spazio di stato dalleseguenti:

x = α(y − x − f (x))

y = x − y + z

z = −βy

dove,f (x) = bx + 0.5(a− b)(|x + 1| − |x − 1|) (31)

In quest’ultima espressione, a = −0.72 e b = −1.13 rappresentano le pendenzedella non linerita trattate nel primo capitolo. I valori di α = 9.35, β = 14.79 eγ = 0, sono tali che il sistema presenta un comportamento caotico.





Consideriamo adesso due sistemi tipo (3) in cui uno viene chiamato Master el’altro Slave. Il sistema Slave, e uguale al Master, ma presenta degli ingressi u1,u2 e u3 ovvero i controllori adattativi da determinare.

MASTER

x1 = α(y1 − x1 − f (x1))

y1 = x1 − y1 + z1

z1 = −βy1

(32)

SLAVE

x2 = α(y2 − x2 − f (x2)) + u1

y2 = x2 − y2 + z2 + u2

z2 = −βy2 + u3

(33)





Consideriamo adesso due sistemi tipo (3) in cui uno viene chiamato Master el’altro Slave. Il sistema Slave, e uguale al Master, ma presenta degli ingressi u1,u2 e u3 ovvero i controllori adattativi da determinare.

MASTER

x1 = α(y1 − x1 − f (x1))

y1 = x1 − y1 + z1

z1 = −βy1

(32)

SLAVE

x2 = α(y2 − x2 − f (x2)) + u1

y2 = x2 − y2 + z2 + u2

z2 = −βy2 + u3

(33)

adattativo.m





Definiamo i segnali errori come:ex = x1 − x2

ey = y1 − y2

ez = z1 − z2

(34)

Quindi il sistema dinamico errore sara dato da:ex = αey − αex − α[f (x1)− f (x2)]− u1

ey = ex − ey + ez − u2

ez = −βey − u3





Considerando i sistemi dinamici Master, Slave e il sistema Errore si dimostra ilseguente teorema:

Teorema di Haery & Naseh

Teorema: Il sistema Slave (33) puo essere sincronizzato con il sistema Master(32) usando la seguente legge di controllo u2 = u3 = 0 e u1 = kex , in cuik = Ae2

x , A > 0.

La dimostrazione del suddetto teorema e stata omessa ma puo essere trovata in[3]. Sostanzialmente si trova che per questi valori di A e della legge di controlloutilizzata, la funzione di Lyapunov candidata:

V (e) = βe2x + αβe2

y + βe2z − ney ez + D(k − k)2

e definita positiva, mentre la dV /dt < 0 nello spazio descritto dalle variabilierrore (con D > 0, k e n opportuni parametri).





Sfruttando quindi i concetti di stabilita asintotica del sistema errore, descrittinella teoria di Lyapunov si ottiene la sincronizzazione richiesta.Nelle simulazioni effettuate sono stati analizzati i casi in cui A assumeva i valori0, 5 e 1000. Come affermato dal teorema di cui sopra, per A = 0, non si hasincronizzazione mentre per valori di A > 0, le traiettorie del sistema Slaveinseguono quelle del sistema Master. Incrementando il valore di A si ottieneuna sincronizzazione in un tempo minore.

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200-5

0

5Dinamica degli Errori e di k. A = 0 (1/4)

ex

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200-1

-0.5

0

0.5

1

ey

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200-10

-5

0

5

10

ez

tempo

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200-1

-0.5

0

0.5

1

k

tempo

(a) Errore Variabili A = 0

-2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

Figura di Lissajous. x1 vs x

2 A = 0 (1/4)

x 2

x1

(b) Figura di Lissajous A = 0





0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200-1

0

1

2Dinamica degli Errori e di k. A = 5 (3/4)

ex

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200-1

-0.5

0

0.5

1

ey

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200-4

-2

0

2

4

ez

tempo

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 2000

5

10

15

k

tempo

(c) Errore Variabili A = 5

-2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5


2 A = 5 (3/4)

x 2

x1

(d) Figura di Lissajous A = 5

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200-0.2

0

0.2

0.4

0.6Dinamica degli Errori e di k. A = 1000 (4/4)

ex

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

ey

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200-2

-1

0

1

2

ez

tempo

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 2000

10

20

30

40

k

tempo

(e) Errore Variabili A = 1000

-2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5


2 A = 1000 (4/4)

x 2

x1

(f) Figura di Lissajous A = 1000




Effetto Benefico del Rumore

Si e osservato che due circuiti di Chua operanti in regime caotico, se sottopostiad un medesimo segnale di rumore, presentano delle peculiarita interessanti. Inparticolare si e visto che in questo caso il rumore svolge una funzionesincronizzante tra i due sistemi. Poiche questo effetto e pur sempre piccolo,stavolta non verra analizzato mediante l’uso delle figure di Lissajous, matramite la distribuzione dell’errore tra le due variabili da sincronizzare. Conriferimento alla figura (29) si e osservato tramite il simulatore PSpice che,quando i due sistemi sono completamente disaccoppiati le variabili sonovisibilmente incorrelate (30). Diversamente accade quando entrambi i sistemisono connessi ad una medesima sorgente di rumore.





Si e osservato che due circuiti di Chua operanti in regime caotico, se sottopostiad un medesimo segnale di rumore, presentano delle peculiarita interessanti. Inparticolare si e visto che in questo caso il rumore svolge una funzionesincronizzante tra i due sistemi. Poiche questo effetto e pur sempre piccolo,stavolta non verra analizzato mediante l’uso delle figure di Lissajous, matramite la distribuzione dell’errore tra le due variabili da sincronizzare. Conriferimento alla figura (29) si e osservato tramite il simulatore PSpice che,quando i due sistemi sono completamente disaccoppiati le variabili sonovisibilmente incorrelate (30). Diversamente accade quando entrambi i sistemisono connessi ad una medesima sorgente di rumore.

Noise.opj analisirumore.m





Vmeno

Vpiu

VpiuVpiu

Vmeno

Y1

Vmeno

Vmeno

X1 X2 Y2

Vpiu

Vmeno

Vpiu

noiseVpiuVpiu

Vmeno Vmeno

0

0 0

0

Due circuiti di Chua sottoposti a rumore

+3

-2

V+

8V

-4

OUT1

U1A

TL082

U1A

TL082

R3

4000

R3

4000

+5

-6

V+

8V

-4

OUT7

U2B

TL082

U2B

TL082

R9

4000

R9

4000

R4

220

R4

220

C9

58n

IC = 0.01

C9

58n

IC = 0.01

C8

6.8n

IC = 0.01

C8

6.8n

IC = 0.01

V1 9VdcV1 9Vdc

V3

c:\pwlFile.in

V3

c:\pwlFile.in

R23

100000

R23

100000

+5

-6

V+

8V

-4

OUT7

U7B

TL082

U7B

TL082

R5

220

R5

220

R22

100000

R22

100000

R16

220

R16

220

1

2

L118.5m

IC = 1u

L118.5m

IC = 1u

R20

12

R20

12

R7

22k

R7

22k

R19

12

R19

12

1

2

L2

18.5mH

IC = 1u

L2

18.5mH

IC = 1u

R6

3000

R6

3000

R17

220

R17

220

C1

6.8n

IC = 0.01

C1

6.8n

IC = 0.01

R1

22k

R1

22k

C2

58n

IC = 0.01

C2

58n

IC = 0.01 R8

22k

R8

22k

R15

1895

R15

1895

R21

1895

R21

1895

+3

-2

V+

8V

-4

OUT1

U5A

TL082

U5A

TL082

+5

-6

V+

8V

-4

OUT7

U5B

TL082

U5B

TL082

R2

22k

R2

22k

V2 9VdcV2 9Vdc

R18

3000

R18

3000

+5

-6

V+

8V

-4

OUT7

U6B

TL082

U6B

TL082

R10

1895

R10

1895

Figura: Due circuiti di Chua sottoposti a rumore.





Quando entrambi i sistemi sono connessi ad una medesima sorgente di rumore,analizzando l’andamento della distribuzione di errore, si osserva una maggioreprobabilita di errore attorno allo zero rispetto al caso in cui il segnale errore none presente. In questo caso infatti si osservano dei picchi molto piu sostenutinelle zone di +3 volts e −3 volts. Da un altro punto di vista questo si puoesprimere dicendo che, nel caso in cui e presente una sorgente di errore inentrambi i circuiti, la permanenza in uno dei due lobi dell’attrattore caotico epiu lunga l’andamento delle variabili di stato sono piu correlate, mentre nelcaso in cui il rumore non e presente la permanenza nei due lobi dell’attrattore emolto piu breve e le due dinamiche risultano essere incorrelate.





50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100-3

-2

-1

0

1

2

3

ms

volts

Dinamica Y1 e Y2 senza rumore

Y1Y2

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 50

10

20

30

40

50

60

70

80

volts

sam

ple

d p

oin

ts

Distribuzione errore tra Y1 e Y2

(a) Variabili e Distribuzione errore senzarumore

50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100-3

-2

-1

0

1

2

3

ms

volts

Dinamica Y1 e Y2 con rumore

Y1Y2

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 50

10

20

30

40

50

60

70

80

volts

sam

ple

d p

oin

ts

Distribuzione errore tra Y1 e Y2

(b) Variabili e Distribuzione errore in presenzadi rumore

Figura: Confronto distribuzione errore e andamenti variabili di stato.


Parte IV

Bibliografia


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synchronization in caotic systems

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