számelmélet - bzmatek · 2018. 3. 16. · számelmélet definÍciÓ: (ellentett) egy szám...

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)

1

Számelmélet

DEFINÍCIÓ: (Ellentett)

Egy szám ellentettjén azt a számot értjük, amelyet a számhoz hozzáadva az 0 lesz.

Megjegyzés:

Egy szám ellentettje megegyezik a szám (−1) – szeresével.

DEFINÍCIÓ: (Reciprok)

Egy 0 - tól különböző szám reciprokán azt a számot értjük, amellyel a számot megszorozva a

szorzat értéke 1 lesz.

Megjegyzés:

Egy 𝑎

𝑏 alakban felírt szám reciproka a

𝑏

𝑎 szám.

DEFINÍCIÓ: (Osztó, többszörös)

A 𝑏 természetes számot az 𝑎 természetes szám osztójának nevezzük, ha létezik olyan

𝑞 természetes szám, amelyre 𝑎 = 𝑏 · 𝑞. Ekkor az 𝑎 – t a 𝑏 többszörösének nevezzük.

Jelöléssel: 𝑏 | 𝑎 (ejtsd: a 𝑏 osztója az 𝑎 – nak).

Megjegyzés:

Egy szám osztóinak megkeresését elég a szám négyzetgyökéig vizsgálni.

Az 1 - et és magát a számot triviális osztónak nevezzük, s nem tekintjük valódi osztónak.

A 0 minden számnak többszöröse, s a 0 – nak végtelen sok osztója van: 0 a 0 – nak osztója.

Az osztó, többszörös fogalmát szokás egész számokra is értelmezni.

TÉTEL:

Ha egy 𝑎 szám osztója a 𝑏 számnak, továbbá a 𝑏 osztója a 𝑐 számnak is, akkor az 𝑎 osztója a

𝑐 – nek is. Jelöléssel: 𝑎 | 𝑏 és 𝑏 | 𝑐 ⇒ 𝑎 |𝑐.

TÉTEL:

Ha egy szám osztója egy összeg minden tagjának, akkor osztója az összegnek is. Jelöléssel:

𝑎 | 𝑏 és 𝑎 | 𝑐 ⇒ 𝑎 |(𝑏 + 𝑐).


2

TÉTEL:

Ha egy szám osztója egy különbség minden tagjának, akkor osztója a különbségnek is.

Jelöléssel: 𝑎 | 𝑏 és 𝑎 | 𝑐 ⇒ 𝑎 |(𝑏 − 𝑐).

TÉTEL:

Ha egy szám osztója egy szorzat valamelyik tényezőjének, akkor osztója a szorzatnak is.

Jelöléssel: 𝑐 | 𝑎 ⇒ 𝑐 | (𝑎 ∙ 𝑏).

Megjegyzés:

Másképpen megfogalmazva: Ha egy 𝑐 szám osztója az 𝑎 számnak, akkor osztója az 𝑎 bármely

többszörösének is.

DEFINÍCIÓ: (Prímszám)

Prímszámnak (törzsszámnak) nevezzük azokat a természetes számokat, amelyeknek pontosan

két osztója van a természetes számok között.

Megjegyzés:

Egyetlen páros prímszám létezik, a 2.

Minden 1 - nél nagyobb természetes szám és kétszerese között van prímszám.

Sejtés: Bármely két négyzetszám között található prímszám.

Példa prímszámra: 2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19; 23; 29; 31; 37; 41; 43; 47;…

TÉTEL:

Végtelen sok prímszám létezik.

Eratoszthenészi – szita:

Az eljárással megkereshetjük 1 – től 𝑛 – ig az összes prímszámot. A lépések a következők:

Írjuk fel a számokat 1 – től 𝑛 – ig.

Keressük meg az első olyan 1 – től nagyobb számot, amely még nincs kihúzva, vagy

megjelölve. (Az első ilyen szám a 2.)

Ezt követően karikázzuk be ezt a számot, a többszöröseit pedig húzzuk ki.

Ezután a második – harmadik lépést hajtsuk végre mindaddig, amíg a második lépésben

talált szám négyzete nem nagyobb, mint 𝑛. A folyamat végén a bekarikázott számok lesznek

a keresett prímszámok.


3

DEFINÍCIÓ: (Összetett szám)

Összetett számnak nevezzük azt a 0 - tól különböző természetes számot, melynek kettőnél több

osztója van a természetes számok között.

Megjegyzés:

A 0 - t és az 1 - et nem tekintjük prímszámnak és összetett számnak sem.

TÉTEL: (Számelmélet alaptétele)

Minden összetett szám felírható prímszámok szorzataként és ez a felírás a sorrendtől eltekintve

egyértelmű.

Megjegyzés:

A prímtényezős alakot szokás a szám kanonikus alakjának is nevezni.

Egy szám prímtényezős felbontásához a következő eljárást alkalmazzuk: keressük meg az

adott számnak a legkisebb prímosztóját, majd írjuk a szám mellé. Ezt követően a két számot

osszuk el egymással, s a keletkező hányadost írjuk az eredeti számunk alá. Ezután a

hányadosnak keressük meg a legkisebb prímosztóját, s az eljárást addig folytatjuk, míg a

hányados értéke 1 lesz.

360 2

180 2

90 2

45 3

15 3

5 5

1

A 360 prímtényezős felírása (kanonikus alakja): 360 = 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 5 = 23 · 32 · 5.

DEFINÍCIÓ: (Legnagyobb közös osztó)

Két vagy több 0 - tól különböző természetes szám legnagyobb közös osztója az adott számok

mindegyikének osztója és az összes közös osztójuknak többszöröse. Jelölés: (𝑎; 𝑏).

Megjegyzés:

Legnagyobb közös osztó meghatározása: a közös prímtényezőket összeszorozzuk az

előforduló legkisebb hatványukon.

A törtek egyszerűsítéséhez a legnagyobb közös osztót célszerű alkalmazni.


4

DEFINÍCIÓ: (Legkisebb közös többszörös)

Két vagy több 0 - tól különböző természetes szám legkisebb közös többszöröse az adott számok

mindegyikének többszöröse és az összes közös többszörösüknek osztója. Jelölés: [𝑎; 𝑏].

Megjegyzés:

Legkisebb közös többszörös meghatározása: az összes különböző prímtényezőket

összeszorozzuk az előforduló legnagyobb hatványukon.

A törtek közös nevezőre hozásához a legkisebb közös többszöröst célszerű alkalmazni.

Példa:

A 8 = 23 és a 12 = 22 · 3 esetén: (8; 12) = 22 = 4 és [8; 12] = 23 · 3 = 24.

TÉTEL:

Ha az 𝑎 és 𝑏 szám legnagyobb közös osztóját és legkisebb közös többszörösét összeszorozzuk,

akkor az 𝑎 és 𝑏 szám szorzatát kapjuk. Jelölés: 𝑎 ∙ 𝑏 = (𝑎; 𝑏) ∙ [𝑎; 𝑏].

TÉTEL: (Maradékos osztás tétele – Euklideszi osztás)

Bármely 𝑎, 𝑏 természetes számhoz található olyan egyértelműen meghatározott

𝑝, 𝑟 természetes szám, amelyre 𝑎 = 𝑏 ∙ 𝑝 + 𝑟 teljesül, ahol 0 ≤ 𝑟 < 𝑏. Ekkor 𝑝 - t hányadosnak,

𝑟 - t maradéknak nevezzük.

Euklideszi algoritmus:

Az eljárással megkereshetjük két szám legnagyobb közös osztóját. A lépések a következők:

Az adott számokat osszuk el egymással, s jegyezzük fel a maradékot.

Ezt követően az első lépésben osztóként funkcionáló számot osszuk el a kapott maradékkal.

Az eljárásnak akkor lesz vége, ha az osztás során keletkező maradék 0. Ekkor az utolsó nem

0 maradék lesz az eredeti két szám legnagyobb közös osztója.

DEFINÍCIÓ: (Relatív prímek)

Két, vagy több természetes számot relatív prímeknek nevezünk, ha a legnagyobb közös

osztójuk 1. Jelölés: (𝑎, 𝑏) = 1.

Megjegyzés:

Az elnevezés megtévesztő lehet, de a relatív prímek nem feltétlenül prímszámok.

Példa relatív prímekre: (2; 3); (5; 8); (4; 9; 35);…


5

DEFINÍCIÓ: (Számelméleti függvény)

Az olyan függvényeket, melyek értelmezési tartománya a természetes számok halmaza,

számelméleti függvényeknek nevezzük.

TÉTEL:

Ha 𝑛 felírható 𝑛 = 𝑝1𝛼1 ∙ 𝑝2

𝛼2 ∙ … ∙ 𝑝𝑟𝛼𝑟 alakban, ahol 𝑝1, 𝑝2, … , 𝑝𝑛 az 𝑛 szám prímosztói,

akkor megadhatóak a következő számelméleti függvények:

az 𝑛 szám osztóinak száma: 𝑑(𝑛) = (𝛼1 + 1) ∙ (𝛼2 + 1) ∙ … ∙ (𝛼𝑟 + 1)

az 𝑛 szám osztóinak összege: 𝜎(𝑛) =𝑝1𝛼1+1−1

𝑝1−1∙𝑝2𝛼2+1−1

𝑝2−1∙ … ∙

𝑝𝑟𝛼𝑟+1−1

𝑝𝑟−1

az 𝑛 - nél nem nagyobb, 𝑛 - hez relatív prímek száma:

𝜑(𝑛) = (𝑝1 − 1) ∙ 𝑝1𝛼1−1 ∙ (𝑝2 − 1) ∙ 𝑝2

𝛼2−1 ∙ … ∙ (𝑝𝑟 − 1) ∙ 𝑝𝑟𝛼𝑟−1

Megjegyzés:

Bármely négyzetszámnak páratlan számú osztója van, s ezek végződései: 0; 1; 4; 5; 6; 9.

TÉTEL: (Oszthatósági szabályok)

Egy természetes szám pontosan akkor osztható

2 - vel, ha utolsó számjegye osztható 2 - vel

5 - tel, ha az utolsó számjegye osztható 5 - tel

10 - zel, ha az utolsó számjegye osztható 10 - zel

4 - gyel, ha az utolsó két számjegyből álló szám osztható 4 - gyel

25 - tel, ha az utolsó két számjegyből álló szám osztható 25 - tel

8 - cal, ha az utolsó három számjegyből álló szám osztható 8 - cal

100 - zal, ha az utolsó három számjegyből álló szám osztható 100 - zal

125 - tel, ha az utolsó három számjegyből álló szám osztható 125 - tel

1000 - rel, ha az utolsó négy számjegyből álló szám osztható 1000 - rel

3 - mal, ha a számjegyek összege osztható 3 - mal

9 - cel, ha a számjegyek összege osztható 9 - cel

11 - gyel, ha számjegyeit az utolsótól kezdve váltakozó előjellel összeadva, a kapott összeg

osztható 11 - gyel.


6

Számok általános alakja: (𝒌,𝒎 ∈ ℕ)

Az adott szám általános alakja megmutatja, hogy egy természetes számmal osztva milyen

maradékot ad, vagyis melyik maradékosztályba tartozik.

Páros számok: 2𝑘

Páratlan számok: 2𝑘 + 1 vagy 2𝑚 − 1

Hárommal osztható számok: 3𝑘

Hárommal osztva 1 maradékot adó számok: 3𝑘 + 1 vagy 3𝑚 − 2

Hárommal osztva 2 maradékot adó számok: 3𝑘 + 2 vagy 3𝑚 − 1

Néggyel osztható számok: 4𝑘

Néggyel osztva 1 maradékot adó számok: 4𝑘 + 1 vagy 4𝑚 − 3



DEFINÍCIÓ: (Pitagoraszi számhármasok)

Pitagoraszi számhármasoknak nevezzük azokat az 𝑥, 𝑦, 𝑧 pozitív egész számokat, amelyekre az

𝑥2 + 𝑦2 = 𝑧2 egyenlet teljesül.

Megjegyzés:

A pitagoraszi számhármasokat szemléltethetjük egy derékszögű háromszög oldalaival.

A pitagoraszi számhármasok pozitív egész számú többszörösei is pitagoraszi számhármasok.

Pitagoraszi számhármasok képzése: Az összes számhármas megkapható, ha 𝑥 = 𝑚2 − 𝑛2;

𝑦 = 2𝑚𝑛; 𝑧 = 𝑚2 + 𝑛2 alakban írjuk fel, ahol 𝑚 > 𝑛 és 𝑚, 𝑛 pozitív egészek.

Pitagoraszi számhármasok keresése: Írjuk fel a négyzetszámok sorozatát, majd ezek alá a

szomszédos négyzetszámok különbségsorozatát. Amennyiben a különbségsorozatban

négyzetszámot kapunk, akkor a fölötte álló két négyzetszámmal együtt Pitagoraszi

számhármast kapunk.

Példa Pitagoraszi számhármasokra: (3; 4; 5); (6; 8; 10); (5; 12; 13); (7; 24; 25);…

TÉTEL: (Fermat – tétel)

Az xn + yn = zn (n = 3, 4, … ) egyenletnek nincs olyan megoldása, ahol x, y, z is egész szám.


7

DEFINÍCIÓ: (Bővelkedő szám)

Az olyan számokat, amelyek pozitív osztóinak összege nagyobb, mint a szám kétszerese,

bővelkedő számoknak nevezzük.

DEFINÍCIÓ: (Szűkölködő szám)

Az olyan számokat, amelyek pozitív osztóinak összege kisebb, mint a szám kétszerese,

szűkölködő (vagy hiányos) számoknak nevezzük.

Megjegyzés:

Végtelen sok páros és páratlan bővelkedő szám létezik.

Végtelen sok páros és páratlan szűkölködő szám létezik.

Minden hiányos szám prímszám, vagy prímszámok első hatványainak szorzata.

Példa bővelkedő számra: 12; 18; 20; 24; 945;… Szűkölködő számra: 1; 2; 3; 13; 16;…

DEFINÍCIÓ: (Tökéletes szám)

Az olyan számokat, amelyek pozitív osztóinak összege éppen a szám kétszerese, tökéletes

számoknak nevezzük.

Megjegyzés:

A tökéletes számok osztói reciprokának összege 2.

Minden páros tökéletes szám 6 - ra vagy 8 - ra végződik.

Sejtés: Végtelen sok tökéletes szám létezik, illetve nincs páratlan tökéletes szám.

Példa tökéletes számra: 6; 28; 496; 8128…

DEFINÍCIÓ: (Barátságos számok)

Ha két számra teljesül, hogy az egyik önmagánál kisebb pozitív osztóinak összege éppen a

másik szám és viszont, akkor ezeket barátságos számoknak nevezzük.

Megjegyzés:

Ha két számra teljesül, hogy az egyik valódi osztóinak összege éppen a másik szám és viszont,

akkor ezeket valódi barátságos számoknak nevezzük.

Példa barátságos számokra: (220; 284);… Valódi barátságos számokra: (48; 75);…


8

DEFINÍCIÓ: (Boldog szám)

Boldog számnak nevezzük azt a pozitív egész számot, amelyre teljesül a következő: kiszámítva

a számjegyeinek négyzetösszegét, majd az így keletkező számnak ismét, az eljárás végén

1 – et kapunk eredményül.

Megjegyzés:

Amennyiben a folyamat végeredménye nem 1, akkor a számot boldogtalannak nevezzük.

A hatnál nagyobb páros tökéletes számok boldog számok.

Példa boldog számra: 1; 7; 10; 13; 19; 23; 28; 31; 32; 44;…

DEFINÍCIÓ: (Boldog prímszám)

Azokat a prímszámokat, amelyek boldog számok, boldog prímeknek nevezzük.

DEFINÍCIÓ: (Ikerprímek)

Azokat a prímszámokat, amelyeknek különbsége 2, ikerprímeknek nevezzük.

Megjegyzés:

Sejtés: Végtelen sok ikerprím létezik.

Példa ikerprímekre:(3; 5); (5; 7); (11; 13); (17; 19); (29; 31); (41; 43); (59; 61);…

DEFINÍCIÓ: (Pitagoraszi – prím)

Azokat a prímszámokat, amelyeket feltudjuk írni két négyzetszám összegeként,

Pitagoraszi - prímeknek nevezzük.

Megjegyzés:

A Pitagoraszi – prímek általános alakja: 4𝑘 + 1.

A Pitagoraszi – prímek azok a páratlan 𝑝 prímszámok, melyekhez létezik egész oldalú

befogókkal rendelkező derékszögű háromszög, melynek átfogója √𝑝. Ezen prímszámokhoz

továbbá létezik olyan egész oldalú derékszögű háromszög is, melynek átfogója 𝑝 hosszúságú.

Példa Pitagoraszi – prímre: 5; 13; 17; 29; 37; 41; 53;…


9

DEFINÍCIÓ: (Mersenne - prím, Fermat - prím)

A 2𝑚 − 1 alakú prímeket Mersenne – prímeknek, a 2𝑚 + 1 alakú prímeket pedig

Fermat – prímeknek nevezzük.

Megjegyzés:

Mersenne - prímeknél a 2𝑚 − 1 alakban 𝑚 is prímszám.

Fermat - prímeknél a 2𝑚 + 1 alakban 𝑚 = 2𝑘 alakú.

Sejtés: Végtelen sok Mersenne – prím létezik.

Példa Mersenne – prímre: 3; 7; 31; 127; 8191; 131071;…

Összesen 5 darab Fermat – prím ismert: 3, 5, 17, 257, 65 537.

TÉTEL:

Az 𝑛 páros szám pontosan akkor tökéletes szám, ha 𝑛 = (2𝑚 − 1) ∙ 2𝑚−1 alakú, ahol

2𝑚 − 1 Mersenne – prím.

TÉTEL: (Gauss – tétel)

A szabályos 𝑛 szög (𝑛 ≥ 3) akkor és csak akkor szerkeszthető meg euklideszi módon (körzővel

és vonalzóval), ha 𝑛 = 2𝑘 ∙ 𝑝1 ∙ 𝑝2 ∙ … ∙ 𝑝𝑟, ahol 𝑝1, 𝑝2, … , 𝑝𝑟 különböző Fermat – prímek.

Goldbach – féle problémakör:

Igaz - e, hogy minden 2 - nél nagyobb páros szám előáll két prímszám összegeként?

Igaz - e, hogy minden 5 - nél nagyobb páratlan szám előáll három prímszám összegeként?

Megjegyzés:

Az első kérdés szerepel az 1 000 000 dolláros Milleniumi problémák között.

Az elsőből következik a második állítás is, mert ha 𝑛 egy páratlan szám, akkor felírható a

következő alakban: 𝑛 = (𝑛 − 3) + 3, ahol 𝑛 − 3 egy páros szám lesz.


10

DEFINÍCIÓ: (Diofantoszi-egyenlet)

Diofantoszi egyenletnek nevezzük azt az egyenletet, amelyben az ismeretlenek együtthatói

egész számok és az egyenlet alaphalmaza is az egész számok halmaza.

DEFINÍCIÓ: (Elsőfokú egyismeretlenes diofantoszi egyenlet)

Az 𝑎𝑥 = 𝑏 egyenletet, ahol 𝑎, 𝑏 egész számok és az alaphalmaz is az egész számok halmaza,

elsőfokú egyismeretlenes diofantoszi egyenletnek nevezzük.

TÉTEL:

Az 𝑎𝑥 = 𝑏 diofantoszi egyenletnek pontosan akkor van megoldása, ha 𝑎 | 𝑏.

DEFINÍCIÓ: (Elsőfokú kétismeretlenes diofantoszi egyenlet)

Az 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 𝑐 egyenletet, ahol 𝑎, 𝑏, 𝑐 egész számok és az alaphalmaz is az egész számok

halmaza, elsőfokú kétismeretlenes diofantoszi egyenletnek nevezzük.

TÉTEL:

Az 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 𝑐 diofantoszi egyenlet pontosan akkor oldható meg, ha (𝑎; 𝑏) | 𝑐. Ha egy

𝑥0, 𝑦0 megoldása a diofantoszi egyenletnek, akkor végtelen sok megoldása van, s a gyökök a

következők: 𝑥 = 𝑥0 +𝑏

(𝑎,𝑏)∙ 𝑡 és 𝑦 = 𝑦0 −

𝑎

(𝑎,𝑏)∙ 𝑡 (ahol 𝑡 egy tetszőleges egész szám).

Számrendszerek:

A számrendszerek lényege a megfelelő csoportosítás: tízes alapú számrendszernél 10 – es

csoportokat hozunk létre. A csoportosítással és a csoportok számának helyiérték szerinti

felírásából alakult ki a mai írásmód. A helyiértékes ábrázolás azt jelenti, hogy a számjegyek

értékén kívül a leírásuk helye is értékkel bír. Egymás után írjuk a számjegyeket és egy adott

ponthoz viszonyítjuk a helyüket: tízes számrendszerben a helyek értékei a 10 megfelelő

hatványai. Példa: 734510 = 7 ∙ 103 + 3 ∙ 102 + 4 ∙ 101 + 5 ∙ 100. Amennyiben a helyek

értékei nem 10 hatványai szerint változnak, akkor más alapú számrendszerről beszélünk.

Megjegyzés:

A számrendszer alapja bármilyen 1 - nél nagyobb egész szám lehet.

Az 𝑛 alapú számrendszerben 𝑛 különböző számjegyet használhatunk: 0; 1;… ; 𝑛 − 1.

A tízesnél nagyobb alapú számrendszerben a számjegyeket betűkkel helyettesítjük:

𝐴 = 10; 𝐵 = 11;…

A számrendszer alapszámát indexként jelöljük, pl.: 12034 (ejtsd: egy-kettő-nulla-három,

négyes alapú számrendszerben). A tízes számrendszerben az alapot nem tüntetjük fel.

Példa: 120435 = 1 · 54 + 2 · 53 + 0 · 52 + 4 · 51 + 3 · 50 = 89810.


11

TÉTEL:

Legyen 𝑛 egy 1 – nél nagyobb rögzített egész szám. Ekkor bármely 𝐴 pozitív egész szám

egyértelműen felírható a következő alakban: 𝐴 = 𝑎𝑘 ∙ 𝑛𝑘 + 𝑎𝑘−1 ∙ 𝑛

𝑘−1 +⋯+ 𝑎1 ∙ 𝑛 + 𝑎0,

ahol 𝑎𝑘 ≠ 0 és 0 ≤ 𝑎𝑖 ≤ 𝑛 − 1. Az 𝐴 szám ilyen módon történő előállítását az 𝐴 szám 𝑛 alapú

számrendszerben való felírásának nevezzük. Jelölés: 𝐴 = 𝑎𝑘𝑎𝑘−1…𝑎1𝑎0𝑛 = 𝑎𝑘𝑎𝑘−1…𝑎1𝑎0𝑛.

TÉTEL:

Egy tetszőleges 𝑔 alapú számrendszerben felírt szám pontosan akkor osztható 𝑔 - vel (illetve

𝑔 osztóival), ha az utolsó számjegye osztható 𝑔 - vel (illetve 𝑔 osztóival).

TÉTEL:

Egy tetszőleges 𝑔 alapú számrendszerben felírt szám pontosan akkor osztható (𝑔 − 1) - gyel

(illetve (𝑔 − 1) osztóival), ha számjegyeinek összege osztható (𝑔 − 1) - gyel (illetve (𝑔 − 1) osztóival).

TÉTEL:

Egy tetszőleges 𝑔 alapú számrendszerben felírt szám pontosan akkor osztható (𝑔 + 1) - gyel

(illetve (𝑔 + 1) osztóival), ha a páros helyiértékű jegyeit és a páratlan helyiértékű jegyeit

külön – külön összeadva olyan számokat kapunk, melyek különbsége osztható (𝑔 + 1) - gyel

(illetve (𝑔 + 1) osztóival).

DEFINÍCIÓ: (Normálalak)

Egy pozitív szám normálalakját kapjuk, ha a számot egy 1 - nél nem kisebb és 10 - nél kisebb

szám, illetve 10 valamilyen egész kitevőjű hatványának szorzataként írjuk fel.

Megjegyzés:

A 0 - nak nincs normál alakja.

A normálalakot egy nagy, illetve egy nagyon kicsi szám rövidebb leírásához használjuk.

Jelölések, rövidítések:

Összegzés: ∑ 𝑘3𝑛𝑘=1 = 13 + 23 +⋯+ 𝑛3 (jele: szigma; ejtsd: szumma 1 – től 𝑛 - ig)

Szorzás: ∏ 2𝑖5𝑖=0 = (2 ∙ 0) ∙ (2 ∙ 1) ∙ … ∙ (2 ∙ 5) (jele: pí; ejtsd: produktum 0 – tól 5 - ig)


12

Gyakorló feladatok

K: középszintű feladat E: emelt szintű feladat

1. (K) Írj fel 𝟒 számot törtalakban a 𝟑

𝟕 és

𝟓

𝟕 között!

2. (K) Írd fel törtalakban a következő tizedestörteket! 𝟏, 𝟐𝟑 𝟐, 𝟓�̇� 𝟑, �̇�𝟏�̇� 𝟒, 𝟔�̇��̇�

3. (K) Írd fel 𝟎 - tól 𝟐𝟎 - ig a 𝟔 többszöröseit!

4. (K) Mely pozitív törtekre igaz, hogy ha számlálóját és nevezőjét egyaránt 𝟏 – gyel

növelik a tört értéke nő?

5. (K) Egy törtszámról a következőket tudjuk:

- értéke 𝟐

𝟓

- számlálójának és nevezőjének összege kétjegyű szám

- e kétjegyű szám egy természetes szám négyzete

Melyik ez a törtszám?

6. (K) Határozz meg három olyan különböző természetes számot, amelyek összege

egyenlő a szorzatukkal, továbbá az egyik szám megegyezik a másik kettő összegével!

7. (K) Melyek azok a kétjegyű számok, amelyekhez 𝟒 – et adva, a számjegyek összege

felére csökken?

8. (E) Van – e 𝟐𝟎𝟏𝟕 – nek olyan többszöröse, amely csak 𝟎 és 𝟏 számjegyekből áll?

9. (E) Határozd meg 𝟑 – nak azt a legmagasabb hatványát, amellyel az 𝟏 – től 𝟏𝟎𝟎𝟎 – ig

terjedő egész számok szorzata osztható!

10. (K) Az 𝟏 – től kezdve írjuk rendre egymás mellé az egész számokat. Milyen számjegy

áll a 𝟐𝟎𝟏𝟕. helyen?


13

11. (K) Mennyi idő szükséges az 𝟏 – től 𝟐𝟎𝟏𝟕 – ig bezárológ terjedő egész számok

leírásához, ha percenként 𝟗𝟐 számjegyet írunk le?

12. (K) Mutasd meg, hogy a következő kifejezések eredménye összetett szám!

𝟏𝟒𝟏𝟎𝟎 − 𝟕𝟖𝟏 𝟐𝟎𝟏𝟓𝟐𝟎𝟏𝟓 − 𝟐𝟎𝟏𝟔𝟐𝟎𝟏𝟔 + 𝟐𝟎𝟏𝟏𝟐𝟎𝟏𝟏 𝟏𝟎𝟐𝟎𝟎 − 𝟏𝟑

13. (K) Milyen számjegyre végződnek a következő kifejezések eredményei?

𝟏𝟐𝟑𝟒𝟓𝟔𝟕𝟖𝟗 ∙ 𝟗𝟕𝟓𝟑 ∙ 𝟐𝟒𝟔𝟖 𝟏𝟗𝟗𝟑𝟐𝟑𝟒𝟓 − 𝟕

14. (K) Sorold fel a következő számok összes osztóját! 𝟏𝟎𝟎 𝟐𝟒𝟐

15. (K) Egy férfi és egy nő beszélget egymással, s kiderül, hogy a férfinak van három

gyermeke. Ezt követően a következő párbeszéd zajlik le közöttük:

- Mennyi idősek a gyermekek?

- Az életkoruk szorzata 𝟕𝟐.

- Ennyiből nem tudom kitalálni.

- Rendben, ha kimész, akkor a házszám megadja az életkorok összegét is.

- Megnéztem, de még mindig képtelenség rájönni.

- Nah jó, de a legfiatalabb szereti az eperfagyit.

- Így már tudom!

Nos, mennyi idősek a gyerekek?

16. (E) A 𝟏𝟎𝟖𝟑𝟗 – et és a 𝟏𝟏𝟖𝟔𝟑 – at elosztva ugyanazzal a háromjegyű számmal, mind

a kétszer ugyanaz a maradék. Mennyi a maradék?

17. (E) Milyen 𝒏 egészekre lesz egész a következő, törtalakban adott szám? 𝒏 + 𝟒

𝒏 − 𝟑

18. (E) Melyek azok az 𝒂 < 𝒃 pozitív egészek, amikre teljesül, hogy 𝒂𝒃 + 𝒂 + 𝒃 = 𝟏𝟏𝟒?

19. (K) Péter az édesapja 𝟐𝟏 – edik születésnapján született. Legfeljebb hányszor lehet

Péter életkora osztója az édesanyja életkorának?

20. (K) Mennyit adnak 𝟕 - tel osztva maradékul a következő kifejezések, ha tudjuk, hogy

𝒏 𝟕 - tel osztva 𝟓 maradékot ad, míg 𝒌 𝟕 - tel osztva 𝟑 maradékot ad?

𝒏 + 𝒌 𝒏 − 𝒌 𝟐𝒏 + 𝟑𝒌 𝟓𝒏 − 𝟒𝒌 𝒏 ∙ 𝒌 𝒏𝟐 𝒌𝟐 − 𝟔


14

21. (K) Adott egy páros szám, amelyik 𝟑 – mal osztva 𝟐 – t ad maradékul. Mekkora

maradékot ad 𝟔 – tal osztva?

22. (K) Írd fel 𝟏 – től 𝟏𝟎𝟎𝟎 – ig az egész számokat egy kör mentén! Karikázzuk be 𝟏 – től

kezdve minden 𝟏𝟓. – et (azaz az 𝟏, 𝟏𝟔, 𝟑𝟏,… stb. számokat), de az ismételt

körüljárásnál vegyük figyelembe a már bekarikázott számokat is! A bekarikázást

addig folytatjuk, amíg újra egy már bekarikázott számhoz nem jutunk. Hány számot

nem karikáztunk be?

23. (K) Add meg az 𝒙 értékét úgy, hogy a 𝟑𝒙𝟐𝟎𝟔𝟕 szám osztható legyen 𝟗 – cel!

24. (K) Milyen 𝒙 érték esetén lesz a 𝟕𝟒𝟑𝟏𝒙𝟐 szám osztható 𝟐𝟒 - gyel?

25. (K) Milyen 𝒙 és 𝒚 érték esetén lesz az 𝟏𝒙𝟐𝟒𝒚𝟔 szám osztható 𝟏𝟐 - vel?

26. (K) Az 𝑵:= 𝒂𝒃𝒄𝒂 alakú számban a különböző betűk különböző számjegyeket

jelölnek. Tudjuk, hogy 𝟏𝟓 | 𝑵 és 𝒂 + 𝒄 = 𝟏𝟏. Határozd meg az összes ilyen számot!

27. (E) Melyik az a kétjegyű szám, amely 𝟔 – szor akkora, mint a nála 𝟕 – tel nagyobb

szám számjegyeinek összege?

28. (E) Határozd meg azokat a háromjegy számokat, amelyek egyenlők számjegyeik

összegének 𝟏𝟖 – szorosával!

29. (E) Az 𝟏, 𝟑, 𝟒, 𝟓 és még egy számjeggyel írd fel azt a legnagyobb, illetve legkisebb

ötjegyű számot, amelyik osztható 𝟏𝟐 – vel!

30. (E) Bizonyítsd be, hogy ha egy kétjegyű számot megszorzunk kettővel, majd az

eredmény után írjuk az eredeti kétjegyű számot, akkor olyan négy -, vagy ötjegyű

számot kapunk, amely osztható 𝟔𝟕 – tel!

31. (E) Bizonyítsd be, hogy ha egy tetszőleges négyjegyű szám utolsó jegyét a szám elejére

írjuk, s az így kapott számot az eredetiből kivonjuk, akkor 𝟗 – cel osztható számot

kapunk!

32. (E) Bizonyítsd be, hogy ha egy szám 𝒂𝒃𝒄𝒂𝒃𝒄 alakú, akkor a szám mindig osztható

𝟗𝟏 – gyel (𝒂, 𝒃, 𝒄 számjegyek)!


15

33. (K) Bizonyítsd be, hogy bármely 𝟑 szomszédos természetes szám szorzata osztható

𝟔 – tal!

34. (K) Bizonyítsd be, hogy 𝟒 egymást követő szám szorzata mindig osztható 𝟐𝟒 - gyel!

35. (K) Bizonyítsd be, hogy bármely 𝟐 szomszédos természetes szám szorzata páros,

illetve összege páratlan!

36. (K) Bizonyítsd be, hogy ha 𝟔 egész szám összege páratlan, akkor e számok szorzata

páros!

37. (K) Bizonyítsd be, hogy ha a pozitív egész számokat összeadjuk 𝟏 – től 𝟏𝟎𝟎𝟎 – ig,

akkor a kapott összeg osztható 𝟏𝟏 – gyel!

38. (K) Bizonyítsd be, hogy bármely 𝟑 szomszédos természetes szám összege osztható

𝟑 – mal!

39. (E) Bizonyítsd be, hogy 𝟑 egymást követő szám köbének összege osztható 𝟗 – cel!

40. (E) Bizonyítsd be, hogy minden páratlan szám négyzete nyolccal osztva 𝟏 - et ad

maradékul!

41. (E) Bizonyítsd be, hogy 𝟓 egymást követő egész szám négyzetének összeg nem lehet

négyzetszám!

42. (E) Bizonyítsd be, hogy 𝟒 egymás után következő természetes szám szorzatához

𝟏 – et hozzáadva teljes négyzetet kapunk!

43. (E) Bizonyítsd be, hogy a 𝟑 pozitív egész kitevőjű hatványainak az utolsó előtti jegye

mindig páros! (A 𝟑 – at és a 𝟗 – et 𝟎𝟑 – nak és 𝟎𝟗 - nek tekintse!)

44. (E) Bizonyítsd be, hogy bármely 𝟑 - mal nem osztható szám négyzetéből 𝟏 - et levonva

𝟑 - mal osztható számot kapunk!

45. (E) Bizonyítsd be, hogy ha 𝟕 | 𝟐𝒂 + 𝟑𝒃, akkor 𝟕 | 𝟐𝟎𝒂 + 𝟗𝒃!

46. (E) Bizonyítsd be, hogy ha 𝟏𝟑 | 𝟓𝒂 − 𝟒𝒃 és 𝟏𝟑 | 𝟗𝒂 + 𝟑𝒃, akkor 𝟏𝟑 | 𝟏𝟏𝒃 − 𝒂!


16

47. (E) Bizonyítsd be, hogy 𝒏𝟑 + 𝟐𝟑𝒏 osztható 𝟐𝟒 – gyel, ha 𝒏 páratlan szám!

48. (E) Bizonyítsd be, hogy 𝒏𝟓 − 𝟓𝒏𝟑 + 𝟒𝒏 osztható 𝟏𝟐𝟎 – szal, ha 𝒏 természetes szám!

49. (E) Bizonyítsd be, hogy 𝒏𝟕 − 𝒏 mindig osztható 𝟕 – tel, ha 𝒏 természetes szám!

50. (E) Bizonyítsd be, hogy ha egy prímszámot 𝟑𝟎 – cal osztunk, akkor maradékul 𝟏 – et,

vagy ismét prímszámot kapunk!

51. (E) Bizonyítsd be, hogy bármely két, 𝟑 – nál nagyobb ikerprímszám összege mindig

osztható 𝟏𝟐 – vel!

52. (E) Bizonyítsd be, hogy nincs olyan derékszögű háromszög, mely mindhárom

oldalának mértéke egész szám, és befogói ikerprímek!

53. (K) Bizonyítsd be, hogy bármely két szomszédos pozitív egész szám relatív prím!

54. (K) Melyek azok a pozitív egész számok, amelyeknek nincs valódi osztójuk a pozitív

egész számok körében? Melyek azok, amelyeknek páratlan számú osztójuk van a

pozitív egész számok körében? Melyek azok, amelyeknek pontosan 𝟑 osztójuk van?

55. (K) Négyzetszám – e a 𝟏𝟗 𝟔𝟎𝟎 és a 𝟐𝟑𝟐 𝟕𝟏𝟑? Ha igen, melyik számnak a négyzete?

56. (K) Melyik négyzetszám: 𝑨 = 𝟐𝟏𝟎𝟎𝟎 · 𝟑𝟐𝟐𝟎 · 𝟏𝟏𝟖, vagy 𝑩 = 𝟓𝟑𝟎𝟎 · 𝟕𝟒𝟎 · 𝟗𝟖?

57. (K) Egy börtönben 𝟒𝟎𝟎 cella található, mindegyikben van egy – egy rab. A zárak úgy

működnek, hogy egy fordításra zárnak, egy újabb fordításra nyitnak, és így tovább.

Jelenleg minden zárka zárva van. A várúr a következőt parancsolja: az első őr

fordítson minden záron egyet; ezt követően a második őr fordítson minden második

záron egyet; a harmadik őr minden harmadik záron egyet; és így tovább a 𝟒𝟎𝟎. őrig.

Ezek után azt a rabot, amelynek ajtaja nyitva marad, szabadon engedi. Mennyien

szabadulnak ki végül?

58. (K) Melyik az a legkisebb pozitív egész szám, amivel az 𝟏𝟒𝟎𝟎 – at megszorozva, vagy

elosztva négyzetszámot kapunk?

59. (E) Melyik a legkisebb olyan pozitív egész szám, amelynek tízszerese négyzetszám,

hatszorosa pedig köbszám?


17

60. (E) Van – e olyan négyzetszám, amely 𝟗𝟎 – re végződik?

61. (E) Hány olyan természetes szám van, melynek négyzete 𝟐𝟎𝟏𝟗 darab 𝟏 – esből és

néhány 𝟎 – ból áll?

62. (K) A 𝟐𝟖 – nak melyik a legnagyobb hatványa, amellyel az 𝑨 = 𝟏𝟔𝟏𝟖 · 𝟑𝟓𝟑𝟖 osztható?

63. (K) Mely számok relatív prímek a következők közül? 𝟏𝟏; 𝟏𝟒; 𝟏𝟓; 𝟏𝟖; 𝟐𝟓

64. (E) Igazold, hogy ha 𝒏 egy 𝟑 – mal osztható pozitív szám, akkor 𝒏 + 𝟏 és 𝒏

𝟑 relatív

prím!

65. (K) Adj meg négy olyan pozitív egész számot, melyek relatív prímek, de közülük

bármely kettő nem relatív prím!

66. (K) Létezik – e olyan 𝒑 prímszám, amely után pontosan 𝟔 összetett szám következik

a természetes számsorban?

67. (K) Mennyi 𝟎 – ra végződik az első 𝟏𝟎𝟎𝟎 prímszám szorzata?

68. (E) Mennyi 𝟎 – ra végződik az első 𝟑𝟎 pozitív egész szám szorzata?

69. (K) Felírható – e a 𝟐𝟎𝟏𝟕 két prímszám összegeként?

70. (K) Van – e olyan 𝟖 egymást követő pozitív prímszám, amelyek összege is prímszám?

71. (K) Határozd meg azokat a 𝒑, 𝒒, 𝒓 prímszámokat, amelyekre 𝒑 + 𝒒 + 𝒓 = 𝟒𝟎!

72. (E) Melyek azok a 𝒑 prímszámok, amikre 𝒑 + 𝟐𝟔 és 𝒑 + 𝟔𝟒 is prímszám?

73. (E) Van – e olyan 𝒑 prím, amelyre a következő kifejezések is prímek?

𝒑 + 𝟏𝟓 𝒑𝟐 + 𝟏𝟒𝟗 𝟒𝒑𝟐 − 𝟏 𝟓𝒑𝟐 − 𝟐 𝒑𝟒 + 𝟒

74. (E) Melyek azok a prímszámok, amelyek egy négyzetszámnál eggyel kisebbek?


18

75. (E) Három prímszám szorzata összegük ötszörösével egyenlő. Melyik ez a három

szám?

76. (K) Egy apa és két különböző korú kisgyermekének életkora ugyanazon prímszám

hatványa. Egy évvel ezelőtt mindhármuk életkora prímszám volt. Hány évesek most?

77. (E) Határozd meg 𝟑𝟐𝟒 és 𝟕𝟓𝟎 összes osztójának számát, összes osztójának összegét,

illetve a relatív prímek számát!

78. (E) Melyik számnak van több osztója: 𝟑𝟎𝟎 – nak, vagy 𝟑𝟖𝟎 – nak?

79. (E) Melyik pozitív kétjegyű számnak van a legtöbb osztója?

80. (E) Hány olyan nem egyszerűsíthető, 𝟎 és 𝟏 közötti tört van, amelynek nevezője 𝟏𝟒𝟒?

81. (E) Melyik az a legkisebb pozitív egész szám, amelynek 𝟏𝟐, illetve 𝟏𝟑 osztója van?

82. (E) Egy sorban 𝟓𝟎 doboz található. A dobozokba valaki beletesz 𝟏 − 𝟏 golyót. Eztuán

visszatér a sor elejére és minden másodikba tesz 𝟏 − 𝟏 golyót. Ezt követően minden

harmadikba, majd minden negyedikbe, s ezt egészen addig folytatja, amíg végül csak

az utolsó dobozba tesz 𝟏 golyót. Melyikben lesz a legkevesebb és a legtöbb golyó?

Lesz – e olyan doboz, amibe 𝟓 golyó kerül?

83. (K) Bizonyítsd be, hogy a 𝟐𝟐𝟎 és a 𝟐𝟖𝟒 barátságos számok! Adj meg 𝟑 darab

Pitagoraszi számhármast!

84. (K) Írd fel 𝟏 - től 𝟓𝟎 - ig az ikerprímeket! Döntsd el, hogy a következő számok

tökéletes / bővelkedő / szűkölködő (hiányos) számok - e! 𝟔, 𝟏𝟎, 𝟏𝟏, 𝟏𝟐, 𝟐𝟎, 𝟐𝟖

85. (E) A szabályos 𝒏 - szögek közül melyek szerkeszthetők meg Euklideszi módon

(körzővel és vonalzóval), ha 𝒏 = 𝟑, 𝟒,… , 𝟏𝟏?

86. (E) Melyek azok a 𝒑 prímszámok, amelyekre 𝟐𝒑 − 𝟏 és 𝟐𝒑 + 𝟏 ikerprímek?

87. (K) Határozd meg az 𝟏𝟖𝟓𝟐 és 𝟏𝟗𝟕𝟐 számok legnagyobb közös osztóját Euklideszi

algoritmus segítségével!


19

88. (K) Határozd meg 𝟔𝟎 és 𝟏𝟗𝟖 legnagyobb közös osztóját és legkisebb közös

többszörösét!

89. (K) Határozd meg a 𝒃 számot, ha tudjuk, hogy 𝒂 = 𝟐𝟕 ∙ 𝟑𝟓 ∙ 𝟕; (𝒂, 𝒃) = 𝟐𝟒 ∙ 𝟑𝟓 és

[𝒂, 𝒃] = 𝟐𝟕 ∙ 𝟑𝟗 ∙ 𝟓 ∙ 𝟕!

90. (K) Határozd meg a betűk lehetséges értékeit! (𝒂; 𝟕𝟐) = 𝟐𝟒 [𝒃; 𝟏𝟐] = 𝟔𝟎

91. (K) Melyek azok a számpárok, amelyeknek legnagyobb közös osztója 𝟏𝟐, legkisebb

közös többszöröse 𝟓𝟎𝟒𝟎?

92. (E) Mely 𝒂 és 𝒃 természetes számokra teljesül, hogy (𝒂; 𝒃) = 𝟖 és 𝒂 · 𝒃 = 𝟏𝟐𝟖𝟎?

93. (K) Melyik az a legnagyobb szám, amellyel az 𝟏𝟓𝟏𝟐 – at és a 𝟏𝟕𝟔𝟐 – at elosztva

mindkét esetben 𝟏𝟐 lesz a maradék?

94. (K) Melyik az a legkisebb természetes szám, amely 𝟐 – vel osztva 𝟏, 𝟑 – mal osztva 𝟐,

𝟒 – gyel osztva 𝟑 és 𝟓 – tel osztva 𝟒 maradékot ad?

95. (K) Melyek azok a négyjegyű pozitív egész számok, amelyek 𝟏𝟏 – gyel, 𝟏𝟓 – tel és

𝟏𝟔 – tal osztva egyaránt 𝟔 maradékot adnak?

96. (E) Egy ötjegyű szám osztható 𝟕 – tel, 𝟖 – cal és 𝟗 – cel. Az első két számjegyből álló

szám prímszám, eggyel nagyobb egy négyzetszámnál, s a két számjegy összege

kétjegyű. Melyik ez az ötjegyű szám?

97. (K) Írj az 𝟓𝟐𝟑… - hoz három számjegyet úgy, hogy az így keletkezett hatjegyű szám

osztható legyen 𝟕 – tel, 𝟖 – cal és 𝟗 – cel is. Hány megoldás van?

98. (K) Melyik az a háromjegyű szám, amelyből 𝟕 – et elvéve 𝟕 – tel osztható, 𝟖 – cat

elvéve 𝟖 – cal osztható, 𝟗 – cet elvéve 𝟗 – cel osztható számot kapunk?

99. (K) Tamás a könyveit rendezgetve a következőt veszi észre: akár 𝟐𝟎 – at, akár

𝟐𝟓 – öt, akár 𝟑𝟓 – öt rak egy sorba mindig 𝟐 könyv marad az utolsó sorban. Mennyi

könyve van, ha tudjuk, hogy több van 𝟏𝟎𝟎𝟎 – nél, de kevesebb 𝟐𝟎𝟎𝟎 - nél?

100. (K) Adott 𝟑 bolygó keringési ideje: 𝟏𝟖 év; 𝟐𝟒 év; 𝟑𝟎 év. Mennyi év múlva lesz a

következő együttállás, ha az előző óta 𝟓 év telt el?


20

101. (K) Melyik az a legnagyobb négyzet alakú járólap, amellyel hézagmentesen ki lehet

rakni egy 𝟑𝟎𝟔 𝒄𝒎 ⨯ 𝟒𝟐𝟓 𝒄𝒎 – es téglalap alakú helyiséget?

102. (E) Hány olyan pozitív egész szám van, amelyik osztója a 𝟏𝟎𝟒𝟎 és 𝟐𝟎𝟑𝟎 számok

valamelyikének?

103. (E) Az első 𝒏 természetes szám négyzetének összege mikor osztható 𝒏 – nel?

104. (K) Az alábbi állítások közül melyik igaz, melyik hamis? (𝒙 páros, 𝒚 páratlan)

A: 𝒙 − 𝟐𝒚 páros B: 𝟑𝒙 + 𝟓𝒚 páratlan C: 𝒙𝟐 osztható 𝟒 – gyel

D: 𝟏𝟓|𝟏𝟎𝟐𝟎𝟏𝟕 − 𝟓 E: 𝟗|𝟏𝟎𝟏𝟎 − 𝟏 F: 𝟏𝟎𝟓|𝟏 · 𝟐 · … · 𝟐𝟑 · 𝟐𝟒

G: 𝟓|𝟏𝟔𝟐𝟎𝟎𝟎 − 𝟏𝟏𝟐𝟎 H: 𝟔|𝟏𝟕𝟏𝟕 + 𝟏𝟖𝟏𝟖 I: 𝟑| 𝟏𝟒𝟕…𝟏𝟒𝟕⏟ 𝟑𝟎𝟎𝟎 𝒋𝒆𝒈𝒚

J: Az első 𝟏𝟎𝟎 prímszám összege páros.

K: Az első 𝟏𝟎𝟎𝟎 prímszám szorzata páratlan.

L: Ha egy szám osztható 𝟔 – tal és 𝟖 - cal, akkor osztható 𝟒𝟖 – cal is.

M: Egy számot 𝟕 - tel osztva a lehetséges maradékok száma 𝟔.

N: Két szám legnagyobb közös osztója kisebb mindegyik számnál.

P: Két szám legkisebb közös többszörösének osztója a két szám legnagyobb közös osztója.

Q: Ha két szám relatív prím, akkor a legkisebb közös többszörösük a két szám szorzata.

R: Ha egy pozitív egész szám osztója két pozitív egész szám legkisebb közös

többszörösének, akkor osztója mindkét számnak.

105. (E) Oldd meg a következő egy ismeretlenes diofantoszi egyenletet! 𝟔𝒙 = 𝟏𝟏

106. (E) Oldd meg a következő két ismeretlenes diofantoszi egyenleteket!

𝟐𝒙 + 𝟒𝒚 = 𝟓 𝟏𝟓𝒙 − 𝟑𝟓𝒚 = 𝟐𝟎

107. (E) Egy országban csak 𝟓 𝑭𝒕 - os és 𝟗 𝑭𝒕 -os érmék vannak. Hányféleképpen

fizethető ki egy 𝟏𝟎𝟏 𝑭𝒕 - ba kerülő csokoládé?


21

108. (K) Írd át a 𝟏𝟎𝟐𝟔 számot tízes számrendszerbe, a 𝟑𝟒𝟖𝟏𝟎 számot hatos

számrendszerbe!

109. (K) Mennyi az 𝟏𝟑𝟒𝟑𝟓 szám 𝟕 - es számrendszerbeli alakja?

110. (K) Mennyi a 𝑪𝑩𝑨𝟏𝟓 szám 𝟒 - es számrendszerbeli alakja?

111. (K) Írd fel 𝟓 – ös számrendszerben a következő számokat!

𝟏; 𝟓𝟕; 𝟏𝟎; 𝟐𝟐; 𝟎, 𝟎𝟒; 𝟓𝟑, 𝟒𝟓𝟔

112. (E) Végezd el az alábbi műveleteket!

𝟏𝟐𝟒𝟓 + 𝟐𝟏𝟑𝟓 𝟑𝟐𝟏𝟒 − 𝟐𝟏𝟑𝟒 𝟐𝟒𝟑𝟔 · 𝟓𝟏𝟐𝟔

113. (E) Add meg az 𝒙 értékét úgy, hogy fennálljon az egyenlőség!

a) 𝟏𝟐𝒙 + 𝟑𝟒𝒙 = 𝟓𝟎𝒙

b) 𝟕𝟔𝒙 − 𝟑𝟕𝒙 = 𝟑𝟗𝒙

c) 𝟏𝟐𝒙 · 𝟐𝟏𝒙 = 𝟐𝟓𝟐𝒙

114. (E) Osztható - e 𝟏𝟕 - tel, 𝟏𝟔 - tal, 𝟏𝟓 - tel, 𝟏𝟐 - vel, 𝟏𝟎 - zel, 𝟖 - cal, 𝟔 - tal, 𝟓 - tel,

𝟒 - gyel, 𝟑 - mal vagy 𝟐 - vel a 𝟗𝟑𝟎𝟓𝟏𝟔𝟏𝟔 szám?

115. (E) Mennyi az ismeretlen értéke, hogy a következők oszthatók legyenek 𝟒 – gyel?

𝟏𝟐𝟎𝒙𝟐𝟓 𝟕𝟐𝒚𝟖 𝟐𝒛𝟎𝟏𝟑

116. (E) Milyen számjegyet írjunk az ismeretlen helyére, hogy az 𝟏𝒙𝟑𝟏𝟏 osztható legyen

𝟓 – tel, illetve 𝟏𝟖 – cal?

117. (E) Melyik az a számrendszer, amelyben 𝟒𝟔𝟑𝟒 – et 𝟓𝟓𝟓 – tel osztva hányadosul

𝟓 – t, maradékul 𝟓𝟑𝟎 –at kapunk?

118. (E) Milyen számrendszerben igaz, hogy a ló 𝟏𝟏 lábú állat?


22

119. (E) Határozd meg az 𝒂 és a 𝒃 értékét, ha tudjuk, hogy a tizenegyes számrendszerben

𝒂𝟎𝒃, a kilences számrendszerben pedig 𝒃𝟎𝒂 alakban felírt számok megegyeznek!

120. (E) A 𝟕𝟒𝟎 – et az 𝒏 alapú számrendszerbe átszámítva olyan négyjegyű számot

kapunk, amelynek utolsó jegye 𝟓. Határozd meg az 𝒏 értékét és a hiányzó jegyeket!

121. (K) Írd fel normálalakban a következő számokat! 𝟏, 𝟓 𝟏𝟒𝟕𝟖, 𝟏𝟐𝟑 𝟎, 𝟎𝟎𝟎𝟐𝟑𝟒

122. (K) Végezd el a következő műveleteket, s a végeredményt normálalakban add meg!

𝟐, 𝟑 ∙ 𝟏𝟎𝟐𝟐 + 𝟒𝟖𝟓, 𝟕 ∙ 𝟏𝟎𝟏𝟗 𝟕 ∙ 𝟏𝟎𝟗 − 𝟏𝟒, 𝟑 ∙ 𝟏𝟎𝟓

𝟔𝟎, 𝟖 ∙ 𝟏𝟎−𝟑 ∙ 𝟎, 𝟐𝟓 ∙ 𝟏𝟎𝟕 (𝟏𝟐, 𝟖 · 𝟏𝟎𝟏𝟓): (𝟑, 𝟐 · 𝟏𝟎𝟖)

123. (E) Az 𝑨 és a 𝑩 felváltva raknak egy téglalap alakú asztalra egy – egy 𝟏 forintost,

mindaddig, amíyg már nem fér több érme az azstalra. (A forintos érémek legflejebb

csak érintkezhetnek, de még részlegesen sem fedhetik el egymást.) Az nyer, aki az

utolsó forintot elhelyezi az asztallapra. Igaz – e, hogy mindig a kezdő fél nyer, ha

helyesen játszik?

124. (E) Egy urnában 𝟏𝟎𝟎 golyó van. Ketten, 𝑨 és 𝑩 felváltva húznak; legalább egy golyót

húzni kell, de legfeljebb öt golyót húzhatnak a játékosok. Az nyer, aki utolsóként

húz. Mi annak a feltétele, hogy az nyerjen, aki a játékot megkezdi?


23

Felhasznált irodalom

(1) Hajdu Sándor; 2002.; Matematika 9.; Műszaki Könyvkiadó; Budapest

(2) Urbán János; 2001.; Sokszínű matematika 9; Mozaik Kiadó; Szeged

(3) Ábrahám Gábor; 2012.; Matematika 9; Maxim Könyvkiadó; Szeged

(4) Urbán János; 2014.; Sokszínű matematika feladatgyűjtemény 9; Mozaik Kiadó; Szeged

(5) Gerőcs László; 2006.; Matematika gyakorló és érettségire felkészítő feladatgyűjtemény I.;

Nemzeti Tankönyvkiadó; Budapest

(6) Dr. Gyapjas Ferencné; 2002.; Matematika feladatgyűjtemény I.; Nemzeti Tankönyvkiadó;

Budapest

(7) Korányi Erzsébet; 1998.; Összefoglaló feladatgyűjtemény matematikából;

Nemzeti Tankönyvkiadó; Budapest

(8) Vancsó Ödön; 2005.; Egységes Érettségi Feladatgyűjtemény Matematika I.;

Konsept H Könyvkiadó; Piliscsaba

(9) Fuksz Éva; 2011.; Érettségi feladatgyűjtemény matematikából 9 − 10. évfolyam;

Maxim Kiadó; Szeged

(10) Katona Renáta; 2007; Logikai egypercesek; Hungária könyv – és társasjáték kiadó;

Budapest

(11) Fröhlich Lajos; 2006.; Alapösszefüggések matematikából – emelt szint; Maxim Kiadó; Szeged

(12) https://users.itk.ppke.hu/itk_dekani/files/matematika/list.html

(13) Saját anyagok

https://users.itk.ppke.hu/itk_dekani/files/matematika/list.html

számelmélet - bzmatek · 2018. 3. 16. · számelmélet definÍciÓ: (ellentett) egy szám...

Documents