Estadstica I Tarea de estimacin puntual (1. Parte)

Prof. Jos Antonio Flores Daz Semestre 2015-2

1.- Sea 1 2, , , nX X XL una muestra aleatoria de una poblacin ( )2, . Calcular la varianza, el sesgo y el error cuadrtico medio de los siguientes estimadores de 2

a) 2

1

1 n

i

i

xn = ; b)

2

1

1 n

i

i

xn =

; c) ( )

2

1

1 n

i

i

x xn =

Cul escogera y por qu?

2.- Sean 1T y 2T dos estadsticas insesgadas e independientes de . La varianza de 2T es la

mitad de la varianza de 1T . Encuentre las constantes 1C y 2C tales que 1 1 2 2C T C T+ sea un estimador insesgado de mnima varianza.

3.- Suponga que 1 y 2 son estimadores insesgados de un parmetro con varianzas

conocidas 21 y

2

2 respectivamente:

a) Demuestre que ( ) 1 21 a a = + es insesgado para y cualquier valor de a . b) Encuentre el valor de a que minimice 2 .

4.- Sea 1 2, , , nX X XL una muestra aleatoria de una poblacin con funcin de densidad

( ) ( )1f x = , con 0 x < < , y 0 > . Para cada uno de los siguientes estimadores de encontrar su media y error cuadrtico medio.

( )1 1T X= ; ( ) ( )2 1 nT X X= + ; 3 2T X= , ( )41

2n

nT X

n

=

; ( )5

1n

nT X

n

+ =

5.- Si en cada caso se tiene una muestra aleatoria 1 2, , , nX X XL de la poblacin dada:

Demostrar que la media muestral es eficiente para la media poblacional de cada una de las siguientes poblaciones: Bernoulli, Exponencial y Geomtrica.

6.- Dada ( ) ( )1f x = , con 0 x < < , y 0 > ; calcule el recproco de: ( )2

loge XnE f x

compare esto, con la varianza de ( )

( )1

n

nX

n

+

. Comente.

7.- Dada la funcin ( )( )( )21

1f x

x =

+ con x < < y < <

demuestre que la cota inferior de la desigualdad de Cramr y Rao de es ( )2n , donde n es el tamao de una muestra aleatoria de esta distribucin. Hint: identifique la funcin, vea si tiene funcin generadora de momentos o es funcin caracterstica y por supuesto analice bien el problema.

Estadstica I Tarea de estimacin puntual (1. Parte)

Prof. Jos Antonio Flores Daz Semestre 2015-2

8.- Para la funcin de densidad Gamma: ( )( )

11 xXf x x e

=

; 0x > , 0 > y

conocida, encuentre la cota inferior de la desigualdad de Cramr y Rao para . 9.- La media de una muestra aleatoria es un estimador insesgado de la media de una poblacin uniforme en 0 x < < , pruebe que 2x es insesgado y de mnima varianza. 10.- Demuestre que en un caso regular de estimacin puntual, la siguiente igualdad es verdadera:

( ) ( )2 2

2

log , log ,e ef x f x

E E

=

11.- Sea 1X y 2X una muestra aleatoria de tamao 2 de una poblacin ( ),1 . Calcule la varianza, el sesgo, el error cuadrtico medio y la cota inferior de la desigualdad de Cramr y Rao, considerando las siguientes estimaciones.

a) ( ) ( )1 22 13 3X X+ , b) ( ) ( )1 2314 4X X+ ; c) ( ) ( )1 21 12 2X X+

12.- Si X se distribuye normal estndar. Demuestre que ( ) 1E Y = y ( ) 2Var Y = , cuando 2Y X= .

13.- Demuestre que la media muestral de una muestra aleatoria de la distribucin ( )1, ( de beta) con < < + es un estadstico eficiente, comprobando dicho resultado con la obtencin de la cota inferior de la desigualdad de Cramr-Rao.