tantárgy neve - nyíregyházi főiskolatantárgy neve bevezetés a geometriába tantárgy kódja...

Tantárgy neve Halmazok és függvények

Tantárgy kódja MTO1001

Meghirdetés féléve 1

Kreditpont 4

Heti kontakt óraszám (elm.+gyak.) 2+2

Félévi követelmény Gyakorlati jegy

Előfeltétel (tantárgyi kód) -

Tantárgyfelelős neve és beosztása Dr. Toledo Rodolfo Calixto, főiskolai tanár

Tantárgyfelelős tanszék/intézet kódja MI

1. A tantárgy elsajátításának célja, a kialakítandó kompetenciák leírása:

A tantárgy általános célja, hogy megismertesse a hallgatót a logika és a halmazelmélet

alapműveleteivel és azok tulajdonságaival. Ezen kívül bevezesse a függvény általános

fogalmát és megtanítsa a hallgatókat elkészíteni a függvények elemi ábrázolását,

egyenlőtlenségeket megoldani, illetve megalapozza a további analízis jellegű tantárgyaknál

megszerzendő ismereteit. Tegye képessé arra, hogy önállóan gondolkodva tudjon feladatokat

megoldani, olyanokat, melyek illeszkednek az előadás anyagához. A tárgy általában véve

felkészíti a hallgatót az önálló matematikai, elemző gondolkodásra.

2. Az elsajátítandó ismeretanyag:

Logikai alapfogalmak, ítéletkalkulus, logikai törvények. Tételbizonyítási módszerek.

Halmazok, halmazműveleti tulajdonságok, halmazrendszerek. Descartes-szorzat, relációk és

tulajdonságai, ekvivalencia és rendezési relációk. A függvény fogalma, halmazok képe és

ősképe, összetett és inverz függvény.

Valós függvények és tulajdonságai, elemi függvények (pozitív egész kitevőjű

hatványfüggvények és inverzeik, exponenciális és logaritmus függvények, trigonometrikus

függvények és inverzeik), elemi ábrázolási módszerek.

A valós számok axiómarendszere, felső korlát, szupremum. Számhalmazok, tizedes törtek.

Nevezetes egyenlőtlenségek és egyenlőtlenségek megoldása. Halmazok számossága. Valós

számsorozatok és tulajdonságai.

3. Kötelező, ajánlott irodalom (3-5 db): 1. Peller József: Exponenciális és logaritmus függvény. Differenciálszámítás.

Tankönyvkiadó, Budapest, 1987.

2. Rimán János: Matematikai analízis I. Liceum, Eger, 2004.

3. Rimán János: Matematikai analízis feladatgyűjtemény I-II. Liceum, Eger, 2004.

4. Szabó Tamás: Kalkulus I. Polygon, Szeged, 2003.

Tantárgy neve Algebrai alapismeretek



Kreditpont 4


Félévi követelmény G

Előfeltétel (tantárgyi kód)

Tantárgyfelelős neve és beosztása Dr. Kurdics János főiskolai tanár



A hallgatók ismerjék meg a modern algebra fogalmait, problémafelvetéseit, legyenek képesek

az eredmények alkotó alkalmazására felsőbb matematika más területein is. Mélyítsék el a

halmaz- és számfogalmat, továbbá az algebra, a számelmélet és a polinomelmélet

legalapvetőbb tételeit és eljárásait. Erősödjön a hallgatókban a matematikai fogalomalkotás

készsége és alakuljon ki a bizonyítási rutin. Legyenek képesek ezen a bázison a további,

nemcsak algebrai jellegő, kurzusok anyagának mélyebb feldolgozására, szerezzenek biztos

előismereteket továbbbi matematikai tanulmányaikhoz

2. Az elsajátítandó ismeretanyag: Műveletek, műveletek tulajdonságai, alapvető algebrai struktúrák, példák, alkalmazások.

Természetes számok, egész számok, racionális számok. Rendezés. Valós számok. Elemi

algebrai azonosságok: ninomiális és polinomiális tétel.. Az n-edik hatványok különbségének

szorzattá alakítása. A racionális kitevőjű hatvány fogalma, a hatványozás azonosságai

(bizonyításaikkal együtt). A számelmélet alaptétele. Az oszthatóság és tulajdonságai az egész

számok gyűrűjében. Prímszám, összetett szám, prímtényezős alak, legnagyobb közös osztó,

legkisebb közös többszörös. Polinomok és racionális törtfüggvények, parciális törtekre

bontás. Polinomok osztása. A polinomelmélet alaptétele. Az oszthatóság és tulajdonságai a

test feletti polinomgyűrűkben. Többszörös gyökök, gyöktényezős alak. Másodfokú egyenlet

gyöktényezős alakja. Egyenletek megoldásai. Speciális harmad-és negyedfokú egyenletek.

Abszolútértékes egyenletek. Gyökös egyenletek. Két-és háromismeretlenes

egyenletrendszerek.

3. Kötelező, ajánlott irodalom (3-5 db): 5. Burris S.-Sankappanavar H.P.: Bevezetés az univerzális algebrába, Tankönyvkiadó,

1988.

6. Filep László : Algebra és számelmélet, Bessenyei Kiadó, 1999.

7. Kurdics János: Algebrai alapismeretek, Bessenyei Kiadó, 2006

8. Sárközy András : Számelmélet , Műszaki, 1976.

9. Szendrei János : Algebra és számelmélet, Tankönyvkiadó, több kiadásban

10. van der Waerden, B.L.: Algebra, Springer, 2003

Tantárgy neve Bevezetés a geometriába


Meghirdetés féléve 1.

Kreditpont 4


Félévi követelmény K


Tantárgyfelelős neve és beosztása Dr. Kovács Zoltán főiskolai tanár


1. A tantárgy elsajátításának célja, a kialakítandó kompetenciák leírása: A középiskolás geometriai ismeretek áttekintésével és rendszerezésével a hallgató kapjon naiv

(nem axiomatikus) betekintést az elemi geometria ismeretkörébe, módszereibe és

gondolkodásmódjába.

2. Az elsajátítandó ismeretanyag: Térelemek kölcsönös helyzete, párhuzamossága. Szög, töröttvonal, sokszög. Az irányítás

szemléletes fogalma. Egybevágósági transzformációk síkban és térben. Egybevágó alakzatok.

Szög mérése. Térelemek szöge, távolságuk. Merőleges vetítés. Párhuzamos szelők tétele,

középpontos hasonlóság, hasonlósági transzformációk síkban és térben. Hasonló alakzatok.

Elemi tételek háromszögre és sokszögre. Konvex halmazok, konvex burok. Poliéderek

szemléletes fogalma, konvex poliéder. Euler-tétel konvex poliéderekre. Szabályos sokszögek,

szabályos konvex poliéderek. Euklideszi szerkesztés. Nevezetes szerkesztések.

Geometriai vektorfogalom, bázis, koordináták. Skaláris, vektoriális és vegyes szorzás,

geometriai jelentésük. Egyenesek és síkok egyenletei. Távolság-és szögfeladatok analitikus

megoldása. Kör és gömb egyenlete. Súlyozott pontrendszerek, osztóviszony és alkalmazásaik

tételek bizonyításában.

3. Kötelező, ajánlott irodalom (3-5 db): 1. Coxeter, H.S.M.: A geometriák alapjai (2. kiadás). Műszaki Könyvkiadó, Budapest,

1987.

2. Hajós György: Bevezetés a geometriába. Tankönyvkiadó, Budapest, 1971.

3. Kovács Zoltán: Geometria. Kossuth Egyetemi Kiadó, Debrecen, 1999.

4. Reiman István: A geometria és határterületei. Gondolat, Budapest, 1986.

Tantárgy neve Informatika

Tantárgy kódja TO1008


Kreditpont 2

Heti kontakt óraszám (elm.+gyak.) 0

Félévi követelmény 2


Tantárgyfelelős neve és beosztása Dr. Ionescu Klára főiskolai docens


1. A tantárgy elsajátításának célja, a kialakítandó kompetenciák leírása: A hallgató az alapszintről elindulva sajátítsa el a minimális informatikai és számítógép

kezelési alapismereteket, szerezzen jártasságot néhány gyakran használt felhasználói program

alkalmazásában. Készüljön fel a matematika tanulásában kiemelkedő eredményeket elérő

tanulók motiválására, segítésére, a tehetséggondozásra, valamint ösztönözze az informatikai

ismereteknek a matematika tanulása során való felhasználását. Sajátítsa el programcsomagok

használatát a matematikai jelenségek illusztrálására, kísérletek végzésére, illetve az

eredmények megsejtésének elősegítésére. Használja magabiztosan a szövegszerkesztő és

táblázatkezelő szoftvereket.

2. Az elsajátítandó ismeretanyag: Információtechnológiai alapismeretek. Operációs rendszerek, a Windows és a Linux.

Számítógép hálózatok. Az Internet. Elektronikus levelezés. Szövegszerkesztési alapismeretek

és prezentációkészítés. Táblázatkezelés. Adatbázis-kezelés alapjai.

3. Kötelező, ajánlott irodalom (3-5 db): 1. Bártfai Barnabás: Hogyan használjam? (8. kiadás) BBS-Info Kft., Budapest, 2004.

2. Iszáj-Kató-Nagy: Számítástechnika: Az alapoktól az Internetig. Bessenyei György

Könyvkiadó, Nyíregyháza, 1999.

3. Kovácsné-Nagy-Ozsváth: Office XP. Computerbooks Kft., Budapest, 2003.

4. Lengyel Veronika: Az Internet világa. Computerbooks Kft., Budapest, 1995.

Tantárgy neve Analízis I.

Tantárgy kódja MTO1102, MTO1003E


Kreditpont 3



Előfeltétel (tantárgyi kód) MTO1001

Tantárgyfelelős neve és beosztása Dr. Gát György Tamás, egyetemi tanár


1. A tantárgy elsajátításának célja, a kialakítandó kompetenciák leírása: A tantárgy általános célja, hogy megismertesse a hallgatót a matematikai analízis alapvető

fogalmaival és eredményeivel. Tegye képessé arra, hogy önállóan gondolkodva tudjon

feladatokat megoldani, olyanokat, melyek illeszkednek az előadás anyagához. A tárgy

megalapozza a hallgató további matematikai tanulmányait. Általában véve is felkészíti a

hallgatót az önálló matematikai, elemző gondolkodásra.


Valós számok: axiomatikus és konstruktív megalapozás. Korlátos számhalmazok, alsó és felső

határ. Hatványozás. (természetes távolság, környezet, a valós számok metrikus tulajdonságai)

Számsorozatok határértéke. Konvergens és divergens sorozatok. Végtelenhez tartó sorozatok.

Határérték és műveletek. Határérték és egyenlőtlenségek. Monoton sorozatok. A Bolzano-

Weierstass-tétel és a Cauchy-kritérium. Megszámlálható halmazok.

Valós függvények globális tulajdonságai. Monotonitás, konvexitás. Függvények

folytonossága és határértéke. Átviteli elvek. Folytonosság, határérték és műveletek.

Folytonosság, határérték és egyenlőtlenségek. Korlátos zárt intervallumban folytonos

függvények. Monotonitás és határérték. Monotonitás és folytonosság. Konvexitás és

folytonosság. Néhány fontos függvényosztály (polinom-függvények, racionális

törtfüggvények, exponenciális függvények, hatványfüggvények, logaritmusfüggvények,

trigonometrikus függvények és ezek inverzei, a hiperbolikus függvények és inverzeik).

3. Kötelező, ajánlott irodalom (3-5 db): 1. Császár Ákos: Valós analízis I. Tankönyvkiadó, Budapest, 1984.

2. Lajkó Károly: Analízis I. Egyetemi Kiadó, Debrecen, 2002.

3. Leindler László, Schipp Ferenc: Analízis I. Tankönyvkiadó, Budapest, 1999.

4. B.P.Gyemidovics: Matematikai analízis feladatgyűjtemény, Tankönyvkiadó,

Budapest, 1987.

Tantárgy neve Analízis I. gyakorlat



Kreditpont 2






1. A tantárgy elsajátításának célja, a kialakítandó kompetenciák leírása: A tantárgy általános célja, hogy megismertesse a hallgatót a matematikai analízis alapvető

fogalmaival és eredményeivel. Tegye képessé arra, hogy önállóan gondolkodva tudjon

feladatokat megoldani, olyanokat, melyek illeszkednek az előadás anyagához. A tárgy



2. Az elsajátítandó ismeretanyag: Valós számok: axiomatikus és konstruktív megalapozás. Korlátos számhalmazok, alsó és felső

határ. Hatványozás. (természetes távolság, környezet, a valós számok metrikus tulajdonságai)

Számsorozatok határértéke. Konvergens és divergens sorozatok. Végtelenhez tartó sorozatok.

Határérték és műveletek. Határérték és egyenlőtlenségek. Monoton sorozatok. A Bolzano-

Weierstass-tétel és a Cauchy-kritérium. Megszámlálható halmazok.

Valós függvények globális tulajdonságai. Monotonitás, konvexitás. Függvények

folytonossága és határértéke. Átviteli elvek. Folytonosság, határérték és műveletek.

Folytonosság, határérték és egyenlőtlenségek. Korlátos zárt intervallumban folytonos

függvények. Monotonitás és határérték. Monotonitás és folytonosság. Konvexitás és

folytonosság. Néhány fontos függvényosztály (polinom-függvények, racionális

törtfüggvények, exponenciális függvények, hatványfüggvények, logaritmusfüggvények,

trigonometrikus függvények és ezek inverzei, a hiperbolikus függvények és inverzeik).

3. Kötelező, ajánlott irodalom (3-5 db): 1. Császár Ákos: Valós analízis I. Tankönyvkiadó, Budapest, 1984.



4.B.P.Gyemidovics: Matematikai analízis feladatgyűjtemény, Tankönyvkiadó,

Budapest, 1987.

Tantárgy neve Lineáris algebra előadás



Kreditpont 3




Tantárgyfelelős neve és beosztása Dr. Lénárd Margit egyetemi docens


1. A tantárgy elsajátításának célja, a kialakítandó kompetenciák leírása: A lineáris algebra tantárgy célja a lineáris algebra klasszikus fejezeteinek megismerése

(mátrixok, determinánsok) és a modern lineáris algebra alapjainak elsajátítása (végesen

generált vektorterek, lineáris leképezések) a lineáris egyenletrendszerek megoldásán kereszt.

A tantárgy nyújtson biztos alapot a matematika további fejezeteinek tanulmányozásához.

2. Az elsajátítandó ismeretanyag: Lineáris egyenletrendszerek, megoldásuk kiküszöböléssel (együttható mátrix, bővített mátrix,

elemi sorműveletek, Gauss-módszer, Gauss-Jordán-módszer). Lineáris egyenletrendszerek

megoldhatóságának feltétele (mátrix rangja). Homogén és inhomogén lineáris

egyenletrendszer megoldáshalmaza.

Vektortér, altér, lineáris függetlenség és összefüggőség, kifeszített altér, vektor-rendszer

rangja, bázis, dimenzió, alterek. Mátrix sortere, oszloptere, nulltér és kapcsolatuk. Faktortér,

direkt összeg.

Mátrixok algebrája (mátrixműveletek és tulajdonságaik, speciális mátrixok, mátrix inverze).

Determináns (tulajdonságai, kifejtési tétel, Cramer szabály)

Lineáris leképezések, transzformációk, mátrixuk. Képtér, magtér.

Sajátérték, karakterisztikus polinom, sajátvektor, sajátaltér. Mátrix diagonalizálása.

3. Kötelező, ajánlott irodalom (3-5 db): 1. Wettl Ferenc, Lineáris algebra (http://tankonyvtar.ttk.bme.hu) BME TTK

Matematika Intézet, 2011.

2. Freud Róbert: Lineáris algebra. ELTE Eötvös Kiadó, Budapest, 2001.

3. Gaál István-Kozma László: Lineáris algebra. Kossuth Egyetemi Kiadó, Debrecen

1998.

4. Halmos, P.R.: Véges dimenziós vektorterek. Műszaki Könyvkiadó, 1984.

5. Kovács Zoltán: Feladatgyűjtemény lineáris algebra gyakorlatokhoz. Kossuth

Egyetem Kiadó, Debrecen, 1998.

Tantárgy neve Lineáris algebra gyakorlat



Kreditpont 2



Előfeltétel (tantárgyi kód) MTO1003, MTO1104E



1. A tantárgy elsajátításának célja, a kialakítandó kompetenciák leírása: A gyakorlat célja az előadáson tárgyalt elmélet megértése és feldolgozása feladatokon

keresztül. A lineáris egyenletrendszerek megoldhatóságának és megoldási módszereinek

vizsgálatából kiindulva adunk betekintést a lineáris algebra klasszikus és modern fejezeteibe.

2. Az elsajátítandó ismeretanyag: Lineáris egyenletrendszerek, megoldásuk kiküszöböléssel (együttható mátrix, bővített mátrix,

elemi sorműveletek, Gauss-módszer, Gauss-Jordan-módszer). Lineáris egyenletrendszerek

megoldhatóságának feltétele (mátrix rangja). Homogén és inhomogén lineáris

egyenletrendszer megoldáshalmaza.

Vektortér, altér, lineáris függetlenség és összefüggőség, kifeszített altér, vektorrendszer rangja,

bázis, dimenzió, alterek. Mátrix sortere, oszloptere, nulltér és kapcsolatuk. Faktortér, direkt

összeg. Mátrixok algebrája (mátrixműveletek és tulajdonságaik, speciális mátrixok, mátrix

inverze). Determináns (tulajdonságai, kifejtési tétel, Cramer szabály) Lineáris leképezések,

transzformációk, mátrixuk. Képtér, magtér. Sajátérték, karakterisztikus polinom, sajátvektor,

sajátaltér. Mátrix diagonalizálása.

3. Kötelező, ajánlott irodalom (3-5 db): 1. Wettl Ferenc, Lineáris algebra (http://tankonyvtar.ttk.bme.hu) BME TTK

Matematika Intézet, 2011.

2. Freud Róbert: Lineáris algebra. ELTE Eötvös Kiadó, Budapest, 2001.

3. Gaál István-Kozma László: Lineáris algebra. Kossuth Egyetemi Kiadó, Debrecen,

1998.

4. Halmos, P.R.: Véges dimenziós vektorterek. Műszaki Könyvkiadó, 1984.

5. Kovács Zoltán: Feladatgyűjtemény lineáris algebra gyakorlatokhoz. Kossuth

Egyetem Kiadó, Debrecen, 1998.

Tantárgy neve Kombinatorika és gráfelmélet



Kreditpont 3






1. A tantárgy elsajátításának célja, a kialakítandó kompetenciák leírása: A kombinatorika és a gráfelmélet itt tárgyalt kérdéseinek egy része szerepel az általános és

középiskolai oktatásban is, és hozzátartozik az általános matematikai alapműveltséghez. Ezek

készségszintű ismerte elvárható a hallgatóktól.

2. Az elsajátítandó ismeretanyag: Binomiális és polinomiális tétel. Alapvető leszámlálási eljárások. Szitaformula.

Generátorfüggvények módszere. Rekurzív sorozatok.

Gráfelméleti alapfogalmak. Speciális gráfok, tulajdonságaik. Gráfok színezése, az ötszíntétel.

Páros gráfok és független élrendszerek, párosítási algoritmusok, Kőnig tétele. Euler-vonal,

Hamilton-kör. Síkba rajzolható gráfok jellemzése. Fák, Kruskal-algoritmus. Lineáris algebra

és gráfok.

Algoritmikus és bonyolultsági kérdések a kombinatorikában és gráfelméletben. A

kombinatorika és a gráfok az általános iskolában. Stratégiás játékok.

3. Kötelező, ajánlott irodalom (3-5 db):

1. Andrásfai Béla: Ismerkedés a gráfelmélettel. Tankönyvkiadó, Budapest, 1985.

2. Hajnal Péter, Elemi kombinatorikai feladatok. Polygon, Szeged, 1997.

3. Lovász László: Kombinatorikai problémák és feladatok, Typotex, Budapest, 1999.

4. Lovász, Pelikán, Vesztergombi: Kombinatorika, Typotex, Budapest, 2003.

5. Urbán János: Kombinatorikai feladatok 14-18 éveseknek, Mozaik, Szeged, 1999.

6. Vilenkin, Kombinatorika, Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1987.

Tantárgy neve Analízis II



Kreditpont 3


Félévi követelmény Kollokvium





A tantárgy általános célja, hogy az analízis I tanulmányokat folytatva bővítse hallgató

ismereteit a matematikai analízis alapvető fogalmaival és eredményeivel. Bővítse és fejlessze

képességeit, hogy még jobban legyen képes önállóan gondolkodva feladatokat megoldani,

olyanokat, melyek a differenciál- és integrálszámítás témaköréhez tartoznak. A tárgy




A differenciálhányados fogalma, geometriai jelentése, a differenciálhatósság és a folytonosság

kapcsolata. Differenciálási szabályok és az elemi függvények deriváltjai. Magasabb rendű

differenciálhányadosok. Középértéktételek, függvényvizsgálat. Alkalmazások:

szélsőértékszámítás, L’Hospital-szabály, Taylor-formula.

A primitív függvény fogalma. Primitívfüggvény-keresési módszerek (parciális integrálás,

helyettesítéses integrálás), racionális törtfüggvények primitív függvényeinek keresése. Valós

függvények Riemann integrálja. Integrálhatósági feltételek. A Riemann integrál alapvető

tulajdonságai. A Newton-Leibniz formula. Az integrálfüggvény folytonossága,

differenciálhatósága. Alkalmazások: terület-és térfogatszámítás.


1. Császár Ákos: Valós analízis II. Tankönyvkiadó, Budapest, 1984.

2. B.P. Gyemidovics: Matematikai analízis feladatgyűjtemény. Tankönyvkiadó, Budapest,

1987.

3. Lajkó Károly: Analízis II. Egyetemi jegyzet, Debrecen, 2003.

4. Lajkó Károly: Kalkulus I-II példatár. Egyetemi jegyzet, Debrecen, 2005.

5. Pál Jenő, Schipp Ferenc, Simon Péter: Analízis II. Tankönyvkiadó, Budapest, 1998.

Tantárgy neve Analízis II



Kreditpont 2







A tantárgy általános célja, hogy az analízis I tanulmányokat folytatva bővítse hallgató

ismereteit a matematikai analízis alapvető fogalmaival és eredményeivel, illetve olyan

gyakorlati feladatokat oldjon meg, melyek kapcsolódnak az elméleti foglalkozásokon

tanultakhoz. Bővítse és fejlessze képességeit, hogy még jobban legyen képes önállóan

gondolkodva feladatokat megoldani, olyanokat, melyek a differenciál- és integrálszámítás

témaköréhez tartoznak. A tárgy megalapozza a hallgató további matematikai tanulmányait.

Általában véve is felkészíti a hallgatót az önálló matematikai, elemző gondolkodásra.


A differenciálhányados fogalma, geometriai jelentése, a differenciálhatósság és a folytonosság

kapcsolata. Differenciálási szabályok és az elemi függvények deriváltjai. Magasabb rendű

differenciálhányadosok. Középértéktételek, függvényvizsgálat. Alkalmazások:

szélsőértékszámítás, L’Hospital-szabály, Taylor-formula.

A primitív függvény fogalma. Primitívfüggvény-keresési módszerek (parciális integrálás,

helyettesítéses integrálás), racionális törtfüggvények primitív függvényeinek keresése. Valós

függvények Riemann integrálja. Integrálhatósági feltételek. A Riemann integrál alapvető

tulajdonságai. A Newton-Leibniz formula. Az integrálfüggvény folytonossága,

differenciálhatósága. Alkalmazások: terület-és térfogatszámítás.


1. Császár Ákos: Valós analízis II. Tankönyvkiadó, Budapest, 1984.

2. B.P. Gyemidovics: Matematikai analízis feladatgyűjtemény. Tankönyvkiadó, Budapest,

1987.

3. Lajkó Károly: Analízis II. Egyetemi jegyzet, Debrecen, 2003.

4. Lajkó Károly: Kalkulus I-II példatár. Egyetemi jegyzet, Debrecen, 2005.

5. Pál Jenő, Schipp Ferenc, Simon Péter: Analízis II. Tankönyvkiadó, Budapest, 1998.

Tantárgy neve Algebra és számelmélet



Kreditpont 3








az eredmények alkotó alkalmazására felsőbb matematika más területein is. Sajátítsák el a

polinomelmélet és a számelmélet alapvető tételeit, legfontosabb eljárásait. Erősödjön a

hallgatókban a matematikai fogalomalkotás készsége és alakuljon ki a bizonyítási rutin.

Legyenek képesek ezen a bázison a további kurzusok anyagának mélyebb feldolgozására.


Komplex számok, egységgyökök. Alkalmazások geometriai feladatok megoldására.

Polinomok gyökei. Harmad-és negyedfokú egyenlet. Az algebra alaptétele. Egyértelmű

irreducibilis faktorizáció a test feletti polinomgyűrűkben. Irreducibilis polinomok a racionális,

valós és komplex együtthatós polinomok gyűrűjében. Test feletti racionális függvénytest.

Többhatározatlanú polinomok gyűrűje, szimmetrikus polinomok. Lineáris kongruenciák,

kongruenciarendszerek és lineáris diofantikus egyenletek. Pitagoraszi számhármasok. Euler-

Fermat tétel. Klasszikus kongruenciatételek. Számelméleti függvények. Elemi

prímszámelmélet. Prímek száma, prímek reciprokainak összege. Tökéletes számok,

Mersenne-és Fermat-féle prímek. Irracionális és racionális számok kapcsolata

(approximáció), algebrai és transzcendens számok. Diofantoszi egyenletek. Nevezetes

számelméleti problémák.

3. Kötelező, ajánlott irodalom (3-5 db): 1. Freud Róbert, Gyarmati Edit: Számelmélet. Nemzeti Tankönyvkiadó, Budapest, 2004

2. Kiss Péter, Mátyás Ferenc: A számelmélet elemei, Líceum Kiadó, 1997

3. Kurdics, J., Algebra I, Bessenyei Kiadó, Nyíregyháza, 2007.



Tantárgy neve Algebra és számelmélet gyakorlat



Kreditpont 2







A hallgatók ismerjék meg a modern algebra problémafelvetéseit, legyenek képesek az

eredmények alkotó alkalmazására. Sajátítsák el a polinomelmélet és a számelmélet

legfontosabb eljárásait. Alakuljon ki a problémamegoldási rutin. Legyenek képesek ezen a

bázison a további kurzusok anyagának mélyebb feldolgozására.


Komplex számok, egységgyökök. Alkalmazások geometriai feladatok megoldására. Harmad-

és negyedfokú egyenlet megoldása. Irreducibilis polinomok a racionális, valós és komplex

együtthatós polinomok gyűrűjében. Test feletti racionális függvénytest. Többhatározatlanú

polinomok, szimmetrikus polinomok. Lineáris kongruenciák, kongruenciarendszerek és

lineáris diofantikus egyenletek megoldása, alkalmazások. Euler-Fermat tétel.alkalmazásai.

Klasszikus kongruenciatételek alkalmazásai. Számelméleti függvények kiszámítása. Elemi

prímszámelmélet és alkalmazásai.. Irracionális és racionális számok kapcsolata

(approximáció), algebrai és transzcendens számok, számolás algebrai számokkal. Diofantoszi

egyenletek megoldása. Vegyes számelméleti problémák megoldása.

3. Kötelező, ajánlott irodalom (3-5 db): 1. Bálintné Szendrei Mária , Czédli Gábor, Szendrei Ágnes : Absztrakt algebrai

feladatok.

2. Tankönyvkiadó, 1985.


4. Láng Csabáné: Számelmélet, Példák és feladatok, Felsőoktatási tankönyv, ELTE IK

Budapest, 2010


6. Szendrei János : Matematikai feladatgyűjtemény I.-II., Tankönyvkiadó (jegyzet)

7. Sárközy András, Surányi János: Számelmélet feladatgyűjtemény. Nemzeti

Tankönyvkiadó.

Tantárgy neve Problémamegoldó szeminárium



Kreditpont 2




Tantárgyfelelős neve és beosztása Dr. Blahota István, főiskolai tanár


1. A tantárgy elsajátításának célja, a kialakítandó kompetenciák leírása: A tárgy célja, hogy hallgató megismerje a problémamegoldó gondolkodás tudományos

alapjait, valamint tipikus példákon keresztül azok gyakorlati megvalósítását.

2. Az elsajátítandó ismeretanyag: A matematika különböző területeiről feladatok megoldása heurisztikus probléma-megoldási

stratégiáknak megfelelő csoportosításban, önálló feladatmegoldások. Tipikus problémakörök

áttekintése. Algoritmikus gondolkodás: algoritmusok megértése, végrehajtása, helyességének

és alkalmazhatóságának belátása, tervezése, leírása mások számára. Problémamegoldás,

problémamegoldó gondolkodás: a problémamegoldási folyamat tervezése (Pólyai alapokon),

automatizálható problémamegoldási folyamatok megvalósítása.

3. Kötelező, ajánlott irodalom : 1. Pólya György: Indukció és analógia – A matematikai gondolkodás művészete I.

Gondolat Kiadó, 1988.

2. Pólya György: A plauzibilis következtetés – A matematikai gondolkodás művészete II.

Gondolat Kiadó, 1988.

3. Pólya György: A gondolkodás iskolája, Akkord Kiadó, 2007.

4. Pólya György: A problémamegoldás iskolája I. Typotex Kiadó, 2012.

5. Pólya György: A problémamegoldás iskolája II. Typotex Kiadó, 2012.

Tantárgy neve Analízis III.



Kreditpont 3






1. A tantárgy elsajátításának célja, a kialakítandó kompetenciák leírása: A tantárgy általános célja, hogy megismertesse a hallgatót a numerikus sorok és

függvénysorok alapvető fogalmaival és eredményeivel. Tegye képessé arra, hogy önállóan

gondolkodva tudjon feladatokat megoldani, olyanokat, melyek illeszkednek az előadás

anyagához. A tárgy megalapozza a hallgató további matematikai tanulmányait. Általában véve

is felkészíti a hallgatót az önálló matematikai, elemző gondolkodásra.

2. Az elsajátítandó ismeretanyag: Végtelen sorok. Abszolút konvergencia. Konvergencia-kritériumok (összehasonlító-, gyök-,

hányados-, integrálkritérium, Leibniz-sorok). Sorok átrendezése. Riemann tétele (bizonyítás

nélkül). Hatványsorok, Taylor-sorok, konkrét függvények előállítása Taylor-sorok

összegeként. Függvénysorok tagonkénti differenciálása, integrálása (exponenciális

függvények, hatványfüggvények, logaritmusfüggvények, trigonometrikus függvények), a

Fourier sorok elméletének alapjai.


1. Császár Ákos: Valós analízis I. Tankönyvkiadó, Budapest, 1984.



4. B.P. Gyemidovics: Matematikai analízis feladatgyűjtemény, Tankönyvkiadó,

Budapest, 1987.

5. Szőkefalvi-Nagy Béla: Valós függvények és függvénysorok, Polygon Kiadó - SZTE

Bolyai Intézet, 2002.

Tantárgy neve Analízis III. gyakorlat



Kreditpont 2






1. A tantárgy elsajátításának célja, a kialakítandó kompetenciák leírása: A tantárgy általános célja, hogy megismertesse a hallgatót a numerikus sorok és

függvénysorok alapvető fogalmaival és eredményeivel. Tegye képessé arra, hogy önállóan

gondolkodva tudjon feladatokat megoldani, olyanokat, melyek illeszkednek az előadás

anyagához. A tárgy megalapozza a hallgató további matematikai tanulmányait. Általában véve

is felkészíti a hallgatót az önálló matematikai, elemző gondolkodásra.

2. Az elsajátítandó ismeretanyag: Végtelen sorok. Abszolút konvergencia. Konvergencia-kritériumok (összehasonlító-, gyök-,

hányados-, integrálkritérium, Leibniz-sorok). Sorok átrendezése. Riemann tétele (bizonyítás

nélkül). Hatványsorok, Taylor-sorok, konkrét függvények előállítása Taylor-sorok

összegeként. Függvénysorok tagonkénti differenciálása, integrálása (exponenciális

függvények, hatványfüggvények, logaritmusfüggvények, trigonometrikus függvények), a

Fourier sorok elméletének alapjai.


1. Császár Ákos: Valós analízis I. Tankönyvkiadó, Budapest, 1984.



4. B.P. Gyemidovics: Matematikai analízis feladatgyűjtemény, Tankönyvkiadó,

Budapest, 1987.

5. Szőkefalvi-Nagy Béla: Valós függvények és függvénysorok, Polygon Kiadó - SZTE

Bolyai Intézet, 2002.

Tantárgy neve Geometria I



Kreditpont 4






1. A tantárgy elsajátításának célja, a kialakítandó kompetenciák leírása: A tárgy célja, hogy a hallgató megértse a geometriai transzformációk szerepét a matematikai

gondolkodásban és az iskolai geometriában. Ennek megfelelően a hallgató szintetikus és

analitikus szemléletű bevezetést kap a geometriai transzformációk elméletébe. A gyakorlaton

a cél a transzformációs módszer elsajátítása a geometriai feladatok megoldásában.

2. Az elsajátítandó ismeretanyag: Egybevágósági és hasonlósági transzformációk síkban és térben. Invariáns tulajdonságok.

Fixelemek. Osztályozásuk. Az egybevágósági és hasonlósági transzformációk csoportja,

részcsoportjaik. Affinitások. Invariáns tulajdonságok. Osztályozásuk. Affin transzformációk

csoportja. Síkbeli affinitások, tengelyes affinitás. Síkbeli affinitás megadása. Párhuzamos

vetítés. Ábrázolás merőleges és párhuzamos vetítéssel. Geometriai transzformációk analitikus

leírása a síkban és térben.

3. Kötelező, ajánlott irodalom (3-5 db): 1. Baziliev, Dunyicsev, Ivanyickaja: Geometria I-II. Tankönyvkiadó, Budapest, 1985.

2. Audin, M.: Geometry. Springer Verlag, Berlin, 2003.

3. Berger, M: Geometry I-II. Springer Verlag, Berlin, 1987.

4. Radó Ferenc – Orbán Béla: A geometria mai szemmel. Dacia Könyvkiadó, Kolozsvár-

Napoca, 1981.

5. Ryan, P.: Euclidean and non-Euclidean Geometry. Cambridge University Press,

Cambridge, 1987.

Tantárgy neve Elemi matematika I



Kreditpont 2




Tantárgyfelelős neve és beosztása Dr. Szalontai Tibor, főiskolai tanár


1. A tantárgy elsajátításának célja, a kialakítandó kompetenciák leírása: Az elemi matematika gyakorlatok célja, hogy fejlődjön a hallgatók feladatmegoldó készsége

általános iskolai felső tagozatos és a középiskolai tanterv kereteibe illeszkedő, ötletet vagy

kreativitást igénylő problémák, problématípusok megoldása útján és matematikai

problémakezelő stratégiák megismerése útján.

2. Az elsajátítandó ismeretanyag: Az általános- és középiskolai matematika tananyaghoz szorosan kötődő témakörök

feldolgozása a magyar matematikatanítási hagyományoknak megfelelően feladatokon,

problémákon keresztül. Az elemi (általános és középiskolai) megoldások mellett - ahol

lehetséges - megjelennek „felsőbb matematikai” megoldások is, lehetőséget adva az

„egyetemi matematika” elemi alkalmazásaira és a megoldások összehasonlítására.

Feladatmegoldás a fő tantervi tárgykörökben: Gondolkodási módszerek (halmazok, logika,

kombinatorika, skatulya-elv, teljes indukció, matematikai játékok, feladatok a sakktáblán).

Számok, algebra, kiemelten számelméleti feladatok (oszthatóság, maradékok, prímszámok,

négyzetszámok, diofantoszi egyenletek, egyenletek, egyenletrendszerek és egyenlőtlenségek,

szöveges problémák). Geometriai feladatok (például területátalakítási, szögszámítási,

szerkesztési feladatok, vektorgeometriai, koordináta-geometriai problémák). Relációk,

függvények, sorozatok (arányossági feladatok, elemi valós függvények, számsorozatok,

mértani sorok). Valószínűségi, statisztikai feladatok.

3. Kötelező, ajánlott irodalom (3-5 db): 1. Róka Sándor: 2000 feladat az elemi matematika köréből. Typotex, 2000.

2. Pogáts Ferenc: Varga Tamás matematikai versenyek. I-II. Typotex, 1995, 1997.

3. Reiman István, Dobos Sándor: Nemzetközi Matematikai Diákolimpiák 1959-2003,

Typotex, 2004.

4. Róka Sándor: A Kalmár László Matematikaverseny feladatai. Nyíregyházi Főiskola, 2000.

5. Skljarszkij, Csencov, Jaglom: Válogatott feladatok és tételek az elemi matematika

matematika köréből. Typotex, 2004.

Tantárgy neve Geometria II



Kreditpont 4






1. A tantárgy elsajátításának célja, a kialakítandó kompetenciák leírása: A tárgy elsődleges célja a mértékfogalom geometriai szemléletű kialakítása, megalaopzása.

Emellett a gömbi geometria alapjaival bővítjük a geometriai ismereteket.

2. Az elsajátítandó ismeretanyag: Sokszögek területe. Az elemi területfogalom. Kör és részeinek területe. Poliéderek térfogata.

Elemi térfogatfogalom. Henger és kúp térfogata. Cavalieri elv. Gömb és részeinek térfogata.

Transzformációk hatása a területre és a térfogatra. Elemi kerület-és felszínfogalom konvex

síkidomok és mértani testek esetén. Kör kerülete, körív hossza. Gömb és részeinek felszíne.

A gömbi geometria elemei. Gömbi trigonometria. Kör és gömb (kölcsönös helyzet, szögük).

Pont körre (gömbre) vonatkozó hatványa. Hatványvonal, hatványpont illetve hatványsík,

hatványvonal, hatványpont. Inverzió és tulajdonságai. Alkalmazása szerkesztési feladatokban.

A sztereografikus vetítés.

3. Kötelező, ajánlott irodalom (3-5 db): 1. Coxeter, H.S.M.: A geometriák alapjai (2. kiadás). Műszaki Könyvkiadó, Budapest,

1987.

2. Hajós György: Bevezetés a geometriába. Tankönyvkiadó, Budapest, 1971.

3. Kovács Zoltán: Geometria. Kossuth Egyetemi Kiadó, Debrecen, 1999.


Tantárgy neve Matematikai programcsomagok



Kreditpont 4



Előfeltétel (tantárgyi kód) MTO1107, MTO1109

Tantárgyfelelős neve és beosztása Dr. Vattamány Szabolcs, főiskolai docens


1. A tantárgy elsajátításának célja, a kialakítandó kompetenciák leírása: A tantárgy célja, hogy a hallgatók megismerkedjenek olyan programcsomagokkal,

amelyek amellett, hogy elősegítik a tanulmányaik során szerzett ismeretek megértését,

elmélyítését, képessé teszik matematikai kísérletek végzésére és az eredmények

megsejtésének az elősegítésére.

2. Az elsajátítandó ismeretanyag: Komputeralgebrai rendszerek, szimbolikus számítások elvégzése, függvények, felületek

megadása, ábrázolása. Lineáris algebrai feladatok megoldása. Számelméleti feladatok

megoldása. Maxima és wxMaxima, GAP, Maple.

3. Kötelező, ajánlott irodalom (3-5 db): 1. Blahota István: Alkalmazott matematika, I. fejezet,

http://zeus.nyf.hu/~blahota/alkmat/KalkMax_12_11_06.pdf

2. maxima manual,

http://maxima.sourceforge.net/docs/manual/en/maxima.html

3. André Heck: Bevezetés a MAPLE használatába. JGYF Kiadó, Szeged, 1999.

http://zeus.nyf.hu/~blahota/alkmat/KalkMax_12_11_06.pdf

Tantárgy neve Elemi Matematika II

Tantárgy kódja MTO 1119


Kreditpont 2



Előfeltétel (tantárgyi kód) MTO 1116

Tantárgyfelelős neve és beosztása Dr. Szalontai Tibor, főiskolai tanár


1. A tantárgy elsajátításának célja, a kialakítandó kompetenciák leírása: Az elemi matematika gyakorlatok célja, hogy fejlődjön a tanárjelöltek feladatmegoldó

készsége az általános iskolai felső tagozatos és a középiskolai tanterv kereteibe illeszkedő,

ötletet és kreativitást igénylő problémák, problématípusok megoldása útján és matematikai

problémakezelő stratégiák megismerése útján. A gazdag változatosságú matematikai

gondolkodásmódok példái a tanárjelöltek tehetséggondozásra való felkészülését is célozzák.

2. Az elsajátítandó ismeretanyag: A félév során a versenyszintű feladatok megoldása tematikus csoportosításban történik. A

klasszikusnak számító iskolai témakörökben, többek között:

- Számelméleti (például prímszámokkal, oszthatósággal, négyzetszámokkal

kapcsolatos, diofantoszi egyenletes, teljes indukciós, nem tízes alapú számrendszeres)

problémák.

- Algebrai (például szorzattá alakítási, egyenletes, egyenletrendszeres, egyenlőtlenségi)

problémák.

- Sík- és térgeometriai, geometriai transzformációs, szerkesztési, bizonyítási feladatok,

területátalakítási problémák, méretes geometriai (szög-, terület-, kerület-, felszín- és

térfogatszámítással kapcsolatos) problémák.

- Vektorokkal megoldható feladatok, koordináta-geometriai problémák.

- Elemi valós függvényekre (trigonometrikus, exponenciális, logaritmikus függvények

is) vonatkozó problémák, szélsőérték-problémák elemi úton.

- Trigonometriai problémák.

- Számsorozatokkal, egyszerű számsorokkal kapcsolatos problémák.

3. Kötelező, ajánlott irodalom (3-5 db): 1. Hajdu Sándor (szerk): Matematika 5-6, 7-8 Feladatgyűjtemény, Műszaki, 2003, 2001

2. Pogáts Ferenc: Varga Tamás matematikai versenyek I-II, Typotex, 1995, 1997

3. Róka Sándor: 2000 feladat az elemi matematika köréből, Typotex, 2000

4. Reiman István, Dobos Sándor: Nemzetközi Matematikai Diákolimpiák 1959-2003,

Typotex, 2004.

5. Urbán János: A Kalmár László Matematikaverseny feladatai és megoldásai 94-98. Mozaik,

1999

Tantárgy neve Sztochasztika



Kreditpont 4



Előfeltétel (tantárgyi kód) MTO1112, MTO1122(E)

Tantárgyfelelős neve és beosztása Dr. Gát György Tamás egyetemi tanár





Tantárgy neve Sztochasztika gyakorlat



Kreditpont 2









Tantárgy neve A technológia felhasználása az oktatásban



Kreditpont 3



Előfeltétel (tantárgyi kód) MTO1107, MTO1109, MTO1114



1. A tantárgy elsajátításának célja, a kialakítandó kompetenciák leírása: A hallgató ismerkedjen meg a matematikai fogalmak, fogalmi rendszerek kialakítását

megalapozó tapasztalatszerzés eszközeivel, a matematika tanítását támogató technológiával. A

hallgató ismerje meg az információs technológiák szerepét a kommunikációban,

munkában, szórakozásban. Használja biztosan a tanítást és tanulást segítő eszközöket

(manipulációs eszközök, számítógép, internet, interaktív tábla), és ismerje meg ezek integrált

alkalmazási lehetőségeit.

2. Az elsajátítandó ismeretanyag: Szemléltetés régen és ma: ábrák, modellek, manipulativ tevékenység, számítógép, korszerű

oktatástechnolgiai eszközök alkalmazása különböző korosztályoknál. Dinamikus geometriai

szoftverek (DGS) jellemzői és alkalmazásuk. Egy dinamikus geometriai szoftver részletes

megismerése. Komputeralgebrai rendszerek (CAS) alkalmazási lehetőségei. Esettanulmányok

az analízis elemeinek tanításánál. A tantervi követelményekben megjelenő statisztika témakör

támogatása táblázatkezelő programmal. Az internet lehetőségei a tanulás támogatásában.

Közhasználatú információs felületek használata az információszerzésben, alkalmazása

különböző kooperatív technikákban és a csoportmunkában a tanítás során (Pl. Sulinet,

Wolfram Alpha, MathWorld). Manipulatív tevékenység számítógéppel, komputeralgebrai

rendszerek és dinamikus geometriai rendszerek alkalmazási lehetőségei. Az adatfeldolgozás

eszközei, adatok grafikus reprezentációja. Az internet lehetőségei a tanulás támogatásában:

dinamikus weblapok fejlesztésének eszközei. Az interaktív tábla használatának didaktikai

kérdései.

3. Kötelező, ajánlott irodalom (3-5 db): 1. Bedő Andrea , Schlotter Judit: Az interaktív tábla. Műszaki Könyvkiadó, 2008. ISBN

9631661350

2. Judith Hohenwarter,

Markus Hohenwarter: Bevezetés a GeoGebrába. Műszaki Könyvkiadó, 2011. ISBN

978-963-16-4529-3

3. Komenczi Bertalan: Elektronikus tanulási környezetek. Gondolat Kiadó, 2009. ISBN

9789636931575.

Tantárgy neve Elemi matematika III



Kreditpont 2



Előfeltétel (tantárgyi kód) MTO 1119

Tantárgyfelelős neve és beosztása Dr. Szalontai Tibor főiskolai tanár


1. A tantárgy elsajátításának célja, a kialakítandó kompetenciák leírása: Az elemi matematika gyakorlatok célja, hogy megfelelő szintre fejlődjön a tanárjelöltek

feladatmegoldó jártassága az általános iskolai felső tagozatos és a középiskolai versenyszintű

feladatok, problémák megoldásában. A tanárjelöltek a válogatott témakörök feladatanyaga

alapján képesek annak a vizsgálatára, hogy mit és miként lehet egy-egy témakörből

továbbadni a tanulóknak az egyes iskolatípusokban úgy, hogy abban korrekt matematikai

tartalom jelenjen meg az életkornak megfelelő formában.

2. Az elsajátítandó ismeretanyag: Az általános- és középiskolai matematika tananyaghoz kötődő témakörök feldolgozása a

magyar matematikatanítási hagyományoknak megfelelően feladatokon, problémákon

keresztül. Az elemi (általános és középiskolai) megoldások mellett - ahol lehetséges -

megjelennek „felsőbb matematikai” megoldások is, lehetőséget adva az „egyetemi

matematika” elemi alkalmazásaira és a megoldások összehasonlítására. Az ABACUS, a

Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok, valamint a korosztályos magyar és külföldi

matematika versenyek kitűzött feladatainak figyelemmel kísérése, válogatott mintájuk

megoldása. Néhány más témájú (például kódelméleti, mozgásgeometriai, optimalizálási,

logisztikai, lineáris programozási, geometriai valószínűségi) probléma.

3. Kötelező, ajánlott irodalom (3-5 db): 1. KöMaL, Bolyai János Matematikai Társulat

2. ABACUS

3. Ujvári István: A problémamegoldás iskolája, Észak-Pest Megyei Matematika

Tehetséggondozó Központ, Vác, 1996

Tantárgy neve Fejezetek az analízisből



Kreditpont 4


Félévi követelmény Kollokvium





A tantárgy általános célja, hogy az analízis tanulmányokban elsajátított módszereket

alkalmazza a matematika más területeire, ezzel bővítse hallgató ismereteit a matematikai

analízis alapvető fogalmaival és eredményeivel. Bővítse és fejlessze képességeit, hogy még

jobban legyen képes önállóan gondolkodva feladatokat megoldani. Általában véve is

felkészíti a hallgatót az önálló matematikai, elemző gondolkodásra.


A differenciál-és integrálszámítás egyes további alkalmazásai: a Wallis-formula és a Stirling-

formula. A Newton-féle gyökkereső algoritmus.

Metrikus terek, környezet, belső-, külső-, határpontok, torlódási pontok. Topológiai alapok.

Konvergens pontsorozatok. A folytonosság és a függvényhatárérték fogalmának

általánosítása. Sorozatok Rn

-ben, dimenzió, fraktálok. Többváltozós függvények határértéke

és folytonossága. Többváltozós függvények differenciálszámítása. Iránymenti és parciális

derivált. Szélsőérték-feladatok megoldása. Integrálfogalmak többváltozós függvényekre.

Térfogatszámítás.

Explicit elsőrendű differenciálegyenletek, kezdeti érték probléma, szétválasztható

differenciálegyenletek és alkalmazásuk különféle fizikai és geometriai feladatok

megoldásában. Egzakt differenciálegyenletek, integráló tényező. Másodrendű lineáris

differenciálegyenletek.

3. Kötelező, ajánlott irodalom (3-5 db): 1. Császár Ákos: Valós analízis I-II, Tankönyvkiadó, Budapest, 1999.

2. Lajkó Károly: Analízis III. Egyetemi jegyzet, Debrecen 2003.

3. Kósa András: Differenciálegyenletek. Nemzeti Tankönyvkiadó, Budapest, 1996.

Tantárgy neve Fejezetek az algebrából és a számelméletből



Kreditpont 4








az eredmények alkotó alkalmazására. Sajátítsák el a csoport, test- és számelmélet néhány

nevezetes tételét, eljárását. Erősödjön a hallgatókban a matematikai fogalomalkotás készsége,

alakuljon ki a bizonyítási és problémamegoldási rutin.


A csoportelmélet alapfogalmai, Lagrange-tétel. Permutációcsoportok, Cayley-tétel.

Integritástartomány, euklideszi gyűrűk. Testbővítések. A geometriai szerkeszthetőség alapjai.

Kitekintés: egyenletek megoldhatósága gyökjelekkel. Gauss-egészek. A két négyzetszám-

tétel. Hatványmaradékok, kvadratikus reciprocitás.


1. Bálintné Szendrei Mária , Czédli Gábor, Szendrei Ágnes : Absztrakt algebrai

feladatok. Tankönyvkiadó, 1985


3. Kurdics, J., Algebra II, Bessenyei Kiadó, Nyíregyháza, 2008.

4. Sárközy András, Surányi János: Számelmélet feladatgyűjtemény. Nemzeti

Tankönyvkiadó



Tantárgy neve Elemi matematika IV



Kreditpont 2




Tantárgyfelelős neve és beosztása Dr. Vattamány Szabolcs, főiskolai docens


1. A tantárgy elsajátításának célja, a kialakítandó kompetenciák leírása: Az elemi matematika tantárgy célja, hogy fejlessze a hallgatók feladatmegoldó képességét,

logikus gondolkodását, analógiák felismerését a különböző témájú feladatokban.

2. Az elsajátítandó ismeretanyag: Összeszámlálási feladatok. Skatulya-elv. A gráfok alkalmazása különböző típusú

feladatokban. Középértékek: számtani, mértani, harmonikus, négyzetes közép és a közöttük

fennálló egyenlőtlenségekre vonatkozó feladatok. Szélsőérték-feladatok megoldása különböző

módszerekkel. Geometriai egyenlőtlenségek, szélsőértékfeladatok. Elemi függvények

(hatvány, gyök, exponenciális, logaritmus, trigonometrikus) alkalmazása különböző típusú

feladatokban. Függvénytranszformációk és alkalmazásaik. Valószínűségi kísérletek, játékok.

Klasszikus valószínűségi mező. Geometriai valószínűség. Matematikai játékok, rejtvények.

3. Kötelező, ajánlott irodalom (3-5 db): 1. Róka Sándor: 2000 feladat az elemi matematika köréből. Typotex, 2000.

2. Róka Sándor: A Kalmár László Matematikaverseny feladatai. Nyíregyházi Főpiskola, 2000.

3. Skljarszkij, Csencov, Jaglom: Válogatott feladatok és tételek az elemi matematika

matematika köréből. Typotex, 2004.

Tantárgy neve Fejezetek a geometriából



Kreditpont 4






1. A tantárgy elsajátításának célja, a kialakítandó kompetenciák leírása: A geometriai ismeretek bővítése a kúpszeletek elméletének elemeivel, a differenciálgeometria

és a projektív geometria alapjaival valamint az axiomatikus módszer megismerésével.


Kúpszeletek definíciója, geometriai tulajdonságok. Származtatásuk forgáskúp

síkmetszeteként. Kúpszeletek egyenletei.

Térgörbék analitikus megadása. Felületek megadása egyenlettel. Néhány felülettípus.

Betekintés a projektív geometriába. Centrális vetítés. Az euklideszi sík és tér projektív

bővítései. Pont-és sugárnégyes kettősviszonya, Papposz tétel. Perspektívitások és

projektívitások.

Az euklideszi geometria axiomatikus megalapozása. A párhuzamossági axióma jelentősége,

helyettes axiómák. Bolyai Farkas és Bolyai János szerepe a hiperbolikus geometria

felfedezésében. A hiperbolikus síkgeometria néhány elemi tétele.


1. G. Horváth Ákos – Szirmai Jenő: Nemeuklideszi geometriák modelljei. Typotex, Budapest,

2004.

2. Radó Ferenc – Orbán Béla: A geometria mai szemmel. Dacia Kiadó, Kolozsvár-Napoca,

1983.


Tantárgy neve A matematika története



Kreditpont 3







A főiskolán tanult ismeretek szintetizálása. A fontos fogalmak kialakulásának, nagy

matematikusok tevékenységének bemutatása. A történeti szemlélet kialakítása a hallgatókban

a motivációs bázis erősítése a hatékonyabb tanári munka érdekében.

2. Az elsajátítandó ismeretanyag: Matematika történetének korszakai (a matematika fejlődésének csomópontjai). A matematika

keletkezése. Az ókori Egyiptom és Babilónia matematikája. Görög matematika az ókorban. A

matematika első axiomatikus felépítése (Euklidesz: Elemek). A kínai és az indiai matematika

fejlődésének sajátosságai. Európai matematika a középkorban és a reneszánsz korában. A

természettudományok fejlődésének hatása a matematikára és viszont. Az analitikus geometria

kialakulása, a számítási módszerek és eszközök fejlődése, az analízis alapjainak kidolgozása,

apparátusának alakulása, fferenciálegyenletek alkalmazásai, variációszámítás megjelenése, a

differenciál-geometria kialakulása. Újabb tudományágak megjelenése (projektív geometria,

kombinatorika, valószínűségszámítás). Gauss munkássága. A nem-euklideszi geometria

felfedezésének jelentősége (Bolyai J. és N. I. Lobacsevszkij). A matematika főbb ágainak

fejlődése és differenciálódása (algebrai egyenletek általános elmélete, Galois-elmélet,

csoportelmélet, komplex változós függvények elmélete, topológia, funkcionálanalízis). A

matematika megalapozására vonatkozó törekvések. A matematika fejlődési irányai

napjainkban. A magyar matematika rövid története.

Kötelező, ajánlott irodalom (3-5 db):

1. Filep László : A tudományok királynője. (A matematika fejlődése.) Typotex-

Bessenyei, 1997.

2. Sain Márton : Matematikatörténeti ABC. Tankönyvkiadó, több kiadás.

3. Sain Márton : Nincs királyi út. (Matematikatörténet) Gondolat, 1986.

4. Szénássy Barna : A magyarországi matematika története. Akadémiai Kiadó, 1970.

Tantárgy neve A matematika alapjai



Kreditpont 3




Tantárgyfelelős neve és beosztása Dr. habil. Nagy Károly, főiskolai tanár



A hallgató legyen képes megkülönböztetni a termeket és a formulákat, legyen képes adott

formulát és termet az induktív definíció alapján felépíteni, logikai műveleteket elvégezni,

formulák igazságtáblázatát elkészíteni. Tudjon adott mondatokat nulladrendű illetve elsőrendű

nyelvben formalizálni, a mondatokban szereplő összekötő jeleket a megfelelő logikai

összekötő jelekkel helyettesíteni.


Az ítéletlogika nyelve, logikai műveletek, ítéletlogikai formulák, ítéletkalkulus.

Kielégíthetőség. tautológiák, ekvivalens formulák, a konjunktív és diszjunktív normálforma.

A logikai következmény fogalma. Elsőrendű nyelvek, termek, formulák, kvantorok, kötött és

szabad változók, kötött változók átnevezése. Az elsőrendű nyelv modellje, kielégíthetőség,

logikai törvények, ekvivalens formulák, a formula prenex alakja. A predikátumkalkulus,

dedukció-tétel, Gödel tételei, a természetes levezetés technikája. Formális axiomatikus

elméletek (axiómarendszerek). Naiv halmazelmélet. Halmazok megadása, halmazműveletek,

hatványhalmaz. Halmazok ekvivalenciája. Számosságok és összehasonlításuk, műveletek

számosságokkal. Megszámlálható és kontinuum számosságú halmazok.


1. Dragálin Albert, Buzási Szvetlána: Bevezetés a matematikai logikába. Kossuth Egyetemi

Kiadó, Debrecen, 1986.

2. Hajnal András, Hamburger Péter: Halmazelmélet. Nemzeti Tankönyvkiadó, Budapest,

1983.

3. Pásztorné Varga Katalin, Várterész Magda: A matematikai logika alkalmazásszemléletű

tárgyalása. Panem Kiadó, Budapest, 2003.

Sashalminé Kelemen Éva: A matematikai logika és a halmazelmélet elemei. EKTF Líceum

Kiadó, Eger, 1996.

Urbán János: Matematikai Logika. Műszaki Könyvkiadó Kft, 2006.

Tantárgy neve Szakmódszertan I



Kreditpont 2




Tantárgyfelelős neve és beosztása Dr. Czeglédy István János főiskolai tanár

Tantárgyfelelős tanszék/intézet kódja TK

TANTÁRGYLEÍRÁS

1. A tantárgy elsajátításának célja, a kialakítandó kompetenciák leírása: A pedagógia és a pszichológia kutatási eredményeinek alkalmazása a matematikatanításban.

Külön kiemelendők azon specifikumok, amelyek elősegítik a matematikai ismeret-elsajátítási

folyamatot.

2. Az elsajátítandó ismeretanyag: A matematikatanítás cél-, feladat- és követelményrendszere. Nevelési, oktatási, képzési

célrendszer a társadalmi elvárások tükrében. Matematikai fogalomalkotás, a matematikai

ismeretszerzés folyamata, fázisai. A matematikai ismeretek jellemzői. A matematikatanítás

alapelvei. A tanár gondolkodásfejlesztő munkájának és a tanuló gondolkodásának jellemző

hibái, illetve ezek kiküszöbölése. A tanulók gondolkodási szintjei, az egyes szintekhez

igazított szakdidaktikai modellek kialakítása. Motiválási lehetőségek a matematikaórákon. A

matematikatanításban alkalmazható korszerű munkaformák, módszerek, eszközök, kooperatív

matematikatanulási technikák. A differenciálás szükségessége és lehetősége a

matematikaoktatásban. Tehetséggondozás, felzárkóztatás – a nívócsoportok helye a tanítási

gyakorlatban. Az ellenőrzés, értékelés, osztályzás pedagógiája és pszichológiája a

matematikaoktatásban.


1. Dr. Czeglédy István: Matematika tantárgypedagógia I., Bessenyei Kiadó, Nyíregyháza

2002.

2. Kelemen László: Pedagógiai pszichológia, Tankönyvkiadó, Budapest, 1981.

3. Richard R. Skemp: A matematikatanulás pszichológiája, Gondolat Kiadó, Budapest,

1975.

4. Dr. Spencer Kagan: Kooperatív tanulás, Önkonet Kft. Budapest, 2004.

Tantárgy neve Szakmódszertan II



Kreditpont 2






TANTÁRGYLEÍRÁS

1. A tantárgy elsajátításának célja, a kialakítandó kompetenciák leírása: Megmutatni a hallgatóknak: azért tanítjuk a matematikát, hogy a társadalmi beilleszkedéshez

nélkülözhetetlen pszichés tulajdonságokat, kompetenciákat kialakítsuk, fejlesszük a

tanulókban.

2. Az elsajátítandó ismeretanyag: A tananyag feldolgozása során olyan feladatsorok összeállítására, elemzésére, értékelésére

kerül sor, amelyekkel az alább felsorolt kompetenciákat fejleszteni tudjuk: - Algoritmikus

gondolkodás

- Értelmes, elemző olvasás

- Számolási készség

- Ítéletalkotás, döntés

- Tervezés

- Problémamegoldás, ismeretek alkalmazása

- Konstrukciós képesség

- Függvényszerű gondolkodásmód

- Helyes következtetésekre való képesség

- Motiváltság


1. Dr. Czeglédy István: Matematika tantárgypedagógia I., Bessenyei Kiadó,

Nyíregyháza, 2002.

2. Dr. Csapó Benő: Tudás és iskola, Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 2004.

3. Dr. Hajdu Sándor szerkesztésében:

i. Matematika 5-12. Tankönyvek, Feladatgyűjtemények

ii. Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 2005-2007.

Tantárgy neve Szakmódszertan III



Kreditpont 2






TANTÁRGYLEÍRÁS

1. A tantárgy elsajátításának célja, a kialakítandó kompetenciák leírása: Megmutatni az egyes témakörökön belül, hogy hogyan épülnek egymásra a tanegységek,

hogyan lehet alkalmazni a feldolgozásban a fokozatosságot, továbbá hogyan tudjuk ezeket

közvetíteni a tanulóknak.

2. Az elsajátítandó ismeretanyag: A rendszerekről általában, a rendszerek típusai. A tantárgyi rendszerek belső és külső

struktúrája, ezek figyelembe vétele a matematika tanításában. Konkrét témakörökön belül

mutatjuk meg az „ismeret piramist” és ezeknek az egyes szinteken történő elsajátítási módját.

- A számfogalom kialakítása

- Számelmélet, oszthatóság

- Relációk, függvények, sorozatok, sorok

- Az algebra elemei: klasszikus algebrai ismeretek, modern algebrai ismeretek

Minden egyes struktúrában megmutatjuk a külső és belső koncentrációs lehetőségeket.


1. Dr. Czeglédy István: Matematika tantárgypedagógia I–II., Bessenyei Kiadó,


2. Dr. Hajdu Sándor szerkesztésében: Matematika 5-12. Tankönyvek,

Feladatgyűjtemények, Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 2005-2007.

Tantárgy neve Szakmódszertan IV



Kreditpont 2






TANTÁRGYLEÍRÁS

1. A tantárgy elsajátításának célja, a kialakítandó kompetenciák leírása: Megmutatni az egyes témakörökön belül, hogy hogyan épülnek egymásra a tanegységek,

hogyan lehet alkalmazni a feldolgozásban a fokozatosságot, továbbá hogyan tudjuk ezeket

közvetíteni a tanulóknak.

2. Az elsajátítandó ismeretanyag: A rendszerekről általában, a rendszerek típusai. A tantárgyi rendszerek belső és külső

struktúrája, ezek figyelembe vétele a matematika tanításában. Konkrét témakörökön belül

mutatjuk meg az „ismeret piramist” és ezeknek az egyes szinteken történő elsajátítási módját.

- Geometriai alakzatok

- kerület, terület, felszín, térfogat, ívhossz

- transzformációk

- vektorok, koordinátageometria

- Kombinatorika, valószínűségszámítás, statisztika

- Gondolkodási módszerek – matematikai logika - halmazelmélet

Minden egyes struktúrában megmutatjuk a külső és belső koncentrációs lehetőségeket.


1. Dr. Czeglédy István: Matematika tantárgypedagógia I–II., Bessenyei Kiadó,


2. Dr. Hajdu Sándor szerkesztésében: Matematika 5-12. Tankönyvek,

Feladatgyűjtemények, Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 2005-2007.

tantárgy neve - nyíregyházi főiskolatantárgy neve bevezetés a geometriába tantárgy kódja...

Documents