tema 5. el lenguaje de la lógica de primer orden

Tema 5. El lenguaje de la lógica de primer orden

b. Formalización del lenguaje natural

• No todas las fórmulas expresan oraciones. Sea el predicado P ser pequeño. Compárense:

Pa Px xPx xPySólo Pa y xPx expresan oraciones, i.e., enunciados con valor de verdad:

Pa afirma que Frodo es pequeñoxPx afirma que todo el mundo es pequeño

Para tener valor de verdad una expresión debe decir algo acerca de un individuo o de un conjunto de ellos

Sentencias

• Fórmulas como Px y xPy expresan afirmaciones “indeterminadas”:

Px viene a decir que x es pequeño• No hay que confundir esta expresión con

‘Alguien es pequeño’. Esta última está cuantificada y se expresa como xPx

xPy también está cuantificada, pero las variables no “casan” entre sí. La variable x “pegada” al existencial no está dentro del alcance de éste.

Sentencias

• El ALCANCE de un cuantificador es la fórmula que le sigue inmediatamente:

• El alcance de x en las siguientes fórmulas es:xPx Pxx(Px Qx) Px Qxx(Px xQx) Px xQxxPx xQx PxxyRxy yRxy yxRxy Rxyxy x=y y x=y

Alcance del cuantificador

Obsérvese la función de los paréntesis

• ¿Cuál será el alcance de x en estas fórmulas?

Ejercicio: Alcance del cuantificador

xPx Qx x¬yRxyyxz (y=x z=x)y¬x¬QxxQaxxyzy(Py xQx)x x=a x≠b

Px¬yRxyz (y=x z = x)¬QxQaNo es fórmulaQxx =a

• Una variable está LIGADA ssi ocurre dentro del alcance de un cuantificador que tiene esa variable inmediatamente a su derecha.

• Una variable está LIBRE ssi no está ligadax ligada: x libre: xPx PxPy xPx xPy Pxyx(Py Rxy) y(Py Rxy)x(yPy x =a) xyPy x =a

Variables libres y ligadas

• Cada aparición de una variable o término en una fórmula, es una ocurrencia de aquélla.

• Una variable puede tener ocurrencias libres y ligadas en una misma fórmula.

• Compárense las ocurrencias ligadas y libres en las siguientes fórmulas:

y(Rxy xRxy)xPx Qxy(xPx Rxy)xyz(x=z y=z) x=y

Variables libres y ligadas

• ¿Hay alguna variable libre en estas fórmulas?

Ejercicio: variables libres y ligadas

xPx Qx x¬yRxyyxz (y=x z=x)y¬x¬Qx xRxx x(Qxy yQyx)xy(z(Px Rxy) Pz)x(yPy(zRxz xRzx)x x=a x≠b

la 2ª xnononola 1ª yla zno fórmula: falta )la 2ª x

• Una fórmula es SENTENCIA (i.e., un enunciado con valor de verdad) ssi no contiene variables libres

• Una fórmula con al menos una variable libre es una FÓRMULA ABIERTA

Sentencias Fórmulas abiertasRab Rba Rax Rxa x(Px Qx) xPx Qxyx(Py Rxy) x(Py Rxy)x x=a y y≠b x y=a y x≠b

Sentencia y fórmula libre

• Las sentencias pueden ser enunciados de 2 tipos:- PARTICULARES: sentencias que no contienen

ninguna variable- GENERALES: sentencias que contienen alguna

variable cuantificadaParticulares GeneralesPa y Py¬Qb Pc x¬Qx yPyRab Rba xy(Rxy Ryx)a=c c=b x(a=x y x=y)

Sentencia y fórmula libre

• ¿Es sentencia? ¿De qué tipo?

Ejercicio: sentencia y fórmula libre

xPx (yPy Qx) xRax x=a x=bx(yPyzRxz) xzRzxxQay yQxb xy(Qxy yQyx) Qab xy(z(Pa Rab) Py)yxz (a=b b=c)x x=a (x=b x=c)

no es sentenciano fórmulasentencia generalno es sentenciasentencia generalsentencia generalsentencia particularno es sentencia

• Al traducir una oración a L1 el resultado debe ser siempre una sentencia: nunca pueden quedar en la fórmula variables que no estén ligadas por ningún cuantificador.

• Lo primero será, entonces: a) Identificar los individuos o grupos de

individuos sobre los que se está predicando algo

b) Identificar si la relación que establece lo que se predica de ellos es monaria, binaria, ternaria…

Formalización del lenguaje natural

Si Bilbo es hobbit, vive la Comarca:

Barad-Dûr es más alto que la Torre Oscura

Mi amigo el orco se ha comido a tu perro

‘Smeagol’ es el nombre hobbit de Gollum

El mayor número primo es impar

El padre del padre del padre del padre de Gimli era elfo

Identificando individuos

CUANTIFICADOR UNIVERSAL• Las partículas más típicas que lo indican son:Todo es de color de rosaTodo el mundo teme a Sauron Todos los elfos aman la poesíaLos elfos aman la poesíaTodo aquel que odia a Sauron, ama a FrodoCualquier enano desprecia a los elfosQuien ama a Frodo, no odia a Sam

Identificando grupos de individuos

CUANTIFICADOR EXISTENCIAL• Las partículas más típicas que lo indican son:Alguien no teme a Sauron Hay algo en el bolsillo de FrodoAl menos un hobbit ha salido de la ComarcaAlgunos elfos no son cursisUnos orcos han secuestrado a PippinUnos pocos hobbits han salvado a muchos Casi todos los orcos envidian a ciertos hobbits


AMBIGÜEDADESEl único orco bueno es Gutiérrez (particular)El único orco bueno es el orco muerto (genérico)

Quien desea el Anillo, busca a Frodo (todo aquel)Nadie ha visto la cara de quien desea el anillo (el

individuo particular que lo desea)

La venganza es un plato que se toma frío (genérico)La venganza de Sauron será terrible (particular)


NADIE, NINGUNO• Estas expresiones pueden formalizarse tanto con

el universal como con el existencial:Nadie es perfecto =

i) Dado un individuo cualquiera, no es perfectox¬Px ii) No es cierto que al menos uno es perfecto¬xPx

Esto no supone ambigüedad, puesto que ambas expresiones son equivalentes


Los 4 tipos básicos de enunciados

Universal afirmativo: TODO P ES Q

negativo: NINGÚN P ES Q

Particular afirmativo: ALGÚN P ES Qnegativo: ALGÚN P NO ES Q


x(Px Qx)

x(Px ¬Qx)

x(Px Qx)x(Px ¬Qx)

¬x(Px Qx)

¿Por qué ‘Todo P es Q’ se formaliza como un condicional? Compárense:

1. Todos los suizos son europeos2. Todos los europeos son suizos

Detectamos fácilmente una asimetría entre 1 y 2.1 dice que SI uno es suizo, uno es europeo2 dice que SI uno es europeo, uno es suizo

El condicional nos permite reflejar esta asimetría.


En cambio, en ‘Algún P es Q’ no hay tal asimetría:

1. Algunos suizos son banqueros2. Algunos banqueros son suizos

1 y 2 afirman lo mismo: no puede ser que una sea verdadera y la otra no.

Para que sea verdadera, debe ocurrir que haya al menos un individuo que satisfaga a la vez las propiedades de ser suizo y banquero


Consideremos ‘Ningún P es Q’:Ningún orco es vegetariano

Podemos leerlo de 2 maneras diferentes:i) Dado un individuo cualquiera, si es orco,

entonces no es vegetariano: x(Px ¬Qx)ii) No es cierto que haya al menos un individuo

tal que es orco y vegetariano: ¬x(Px Qx)

Esto no supone ambigüedad, sino que ambas expresiones son equivalentes


Si Bilbo es hobbit, vive en la Comarca: Bilbo = a, la Comarca = b ser hobbit = H, vivir en = V

Barad-Dûr es más alto que la Torre Oscura

B-D = a la T.O. = bser más alto que = A

Mi amigo el orco se ha comido a tu perromi amigo…= a tu perro = b comer = C

Ejercicios de formalización

Ha Vab

Aab

Cab

‘Smeagol’ es el nombre hobbit de Gollum‘S’ = a el nombre… = b

El mayor número primo es imparel mayor nº…= a ser impar = I

El padre del padre del padre de Gimli era elfoel padre de…de G = a ser elfo = E


a = b

Ia

Ea

No tenemos aún recursos para expresar la estructura de a

Todo es de color de rosaser rosa = R

Todo el mundo teme a Sauron S = c temer = T

Todos los elfos aman la poesíaLos elfos aman la poesíapoesía = a ser elfo = E amar = A


x Rx

xTxc

x(Ex Axa)

Nótese que hemos “reificado” la poesía

Todo aquel que odia a Sauron, ama a FrodoF = a S = c odiar = O amar = A

Cualquier enano desprecia a los elfospoesía = a ser enano = N ser elfo = E despreciar = D

Quien ama a Frodo, no odia a SamF = a Sam = b amar = A odiar = O


xy((Nx Ey) Dxy)

x(Oxc Axa)

x(Axa ¬Oxb)

Alguien no teme a Sauron S = c temer = T

Hay algo en el bolsillo de Frodoel b. de F. = a estar en = E

Al menos un hobbit ha salido de la Comarcala Com = a ser hobb = H salir de = S

Algunos elfos no son cursisser elfo = E ser cursi = C


xExa

x¬Txc

x(Hx Sxa)

x(Ex ¬Cx)

Unos orcos han secuestrado a PippinPippin = a ser orco = O secuestrar = S

Unos pocos hobbits han salvado a muchosser hob =H salvar = S

Casi todos los orcos envidian a ciertos hobbitsser orco = O ser hob = H envidiar = E


xy(Hx Sxy)

x(Ox Sxa)

xy(Ox Hy Exy)

• Los cuantificadores no permiten recoger todas las sutilezas del lenguaje natural, pero con la ayuda del signo de identidad se pueden captar relaciones más complejas:

Hay al menos dos P …Hay como máximo un P…Hay exactamente n P …SóloOtro

Cuantificación + identidad

HAY AL MENOS DOS…• Necesitamos combinar la idea de ‘al menos uno’

con la idea de diferencia:Hay al menos un hobbit: xHx Hay al menos dos hobbits:“Hay al menos un hobbit y otro hobbit y uno es

diferente del otro”

xy(Hx Hy x ≠ y)


HAY COMO MÁXIMO DOS...Hay como máximo un hobbit:• En este caso la idea de “hay al menos uno” no nos sirve,

ya que de “como máximo 1” no se sigue “hay 1”“Si un individuo es hobbit y otro individuo es hobbit, el

primero es idéntico al segundo”xy((Hx Hy) x = y)

Hay como máximo 2 hobbits:xyz((Hx Hy Hz) (x = y x = z y =z))

Las variables introducen 3 “candidatos” a hobbit y la disyunción señala que 2 de ellos son el mismo individuo


HAY EXACTAMENTE DOS…• Se trata de combinar las ideas de ‘al menos’ y ‘como

máximo’Hay exactamente 2 hobbits quiere decir que:

Hay al menos 2 hobbits Y hay como máximo 2 hobbitsxy(Hx Hy x≠y) xyz((Hx Hy Hz)(x=y x=z y=z))

Esto se puede simplificar, haciendo que las variables x e y del caigan bajo el alcance del :

xy[Hx Hy x≠y z(Hz(x=z y=z))]


OTROAlgunos orcos buscan a Frodo, pero han secuestrado a otro

Frodo = a ser orco = O buscar = B secuestrar = S

xy(Ox Bxa Sxy y ≠ a ) es decir, alguien es orco, ese alguien busca a Frodo, ese

alguien (x) secuestra a “otro alguien” (y), y este último “alguien” no es Frodo. La idea de ‘otro’ viene recogida en y ≠ a


SÓLOGollum piensa sólo en el Anillo Único

Gollum = a el Anillo = b pensar en = PConsideremos: Pab

Esta formalización dice que Gollum piensa en el Anillo, pero no capta el hecho de que Gollum no piensa en ninguna otra cosa. Esto podemos expresarlo con la identidad:

Pab x(Pax x=b)es decir: cualquier cosa en la que piense Gollum, ha de ser

el Anillo


SÓLOSólo Gollum piensa en el Anillo Único

Gollum = a el Anillo = b pensar en = P

Las cosas han cambiado: la restricción lógica que impone la partícula SÓLO apunta hacia otro elemento:

Pab x(Pxb x=a)es decir: el conjunto de los que piensan en el Anillo se

reduce a Gollum


SÓLO

Frodo ama a SamSólo Frodo ama a SamFrodo ama sólo a SamFrodo es el único que

ama sólo a Sam


Aab

Aab x(Axb x=a)

Aab x(Aax x=b)

Aab x(Aaxx=b) x(Axb y(Axy y=b))x=a)

• SÓLO no siempre se expresa recurriendo al símbolo de identidad. Cuando expresamos relaciones entre grupos por medio de un condicional, debemos tener en cuenta en qué dirección se establece dicha relación. Esto es pertinente al comparar sólo con todos:

1. Todos los enanos son avaros x(Nx Ax)2. Sólo los enanos son avaros x(Ax Nx)

1 dice que si uno es enano, entonces es avaro, pero puede ser que otras criaturas también sean avaras

2 excluye esta última posibilidad: si una criatura es avara, entonces esa criatura es un enano

Cuantificación: sólo vs. todos

• La partícula SÓLO puede aparecer en una posición diferente, relacionando grupos de individuos:

1. Sólo los enanos desprecian a los elfosxy((Ey Dxy) Nx) xy(Ey (Dxy Nx))

Si uno es elfo y es despreciado, quien lo desprecia es un enano

2. Los enanos desprecian sólo a los elfosxy((Nx Dxy) Ey) xy(Nx (Dxy Ey))

Si uno es enano y desprecia a alguien, ese a quien desprecia es un elfo

Compárese con Los enanos desprecian a los elfos:xy((Nx Ey) Dxy) xy(Nx (Ey Dxy))


• Las restricciones que establecen SÓLO y TODOS pueden combinarse en oraciones como

1. Los enanos desprecian a los elfos, y sólo a ellos xy(Nx (Ey Dxy)) xy(Nx (Dxy Ey))

lo cual equivale a: xy(Nx (Ey Dxy))es decir, si uno es enano, todo el que desprecia es elfo y

todo el que es elfo es despreciado por él

2. Los enanos, y sólo ellos, desprecian a los elfos xy(Nx (Ey Dxy)) xy(Ey (Dxy Nx))

lo cual equivale a: xy(Ey (Nx Dxy))


Alfonsina es hermana de Blasa si y sólo si Blasa es hermana de Alfonsina:

Hab Hba

Todos envidian al Papa:

xExa

Bush desprecia a todo el mundo:

xDax

Más ejemplos de formalización

Alguien vive en Andorra: xVxa

Liechtenstein está en alguna parte: xEax

Algunos americanos votaron a Bush: x (Ax Vxb)

Todos los suizos votaron a Bush: x (Sx Vxb)


Ningún demócrata votó a Bush: ¬x(Dx Vxb)

o también: x(Dx ¬Vxb)

Algunos envidian a los búlgaros: xy(By Exy)

Los búlgaros imitan a los griegos: xy((Bx Gy) Ixy)


(Sacados de M. Manzano y A. Huertas):

Alicia no ama a nadie, ni a sí misma, pero Benigno, que es enfermero, la ama

x¬Aax ¬Aaa Eb Aba

Benigno le habla a Alicia, pero ella no habla con aquellos que la aman, ni con nadie

Hba x(Axa ¬Hax) x¬Hax


Alicia es amada pero sólo le hablan los que confían en Benigno

xAxa x(Hxa Cxb)o también: ... x(¬Cxb ¬Hxa)

Los otros enfermeros no le hablan a Alicia y desconfían de Benigno

x ((Ex x≠b) (¬Hxa ¬Cxb))(desconfiar = no confiar)


Lanzarote ama a Ginebra, pero ella no ama a todos los que la amanAab ¬x(Axb Abx)

Lanzarote no ama a ninguno de sus amigosx(Mxa ¬Aax)

Los amigos de Lanzarote no aman a aquellos a quienes Lanzarote amaxy(Mxa (Aay ¬Axy))


Únicamente los cocineros famosos se admiran a sí mismosx(Axx (Cx Fx))

o también: x(¬(Cx Fx) ¬Axx)

No todos los cocineros que viven en Donostia admiran a los cocineros famosos:

¬xy([Cx Vxa] [(Cy Fy) Axy])o también: xy(Cx Vxa Cy Fy ¬Axy)


tema 5. el lenguaje de la lógica de primer orden

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