teoria de n umeros computacional´...

Introducao Divisibilidade e Numeros Primos Distribuicao dos Numeros Primos

Teoria de Numeros ComputacionalLCC

M. Lurdes TeixeiraDMA-ECUM

2◦ semestre de 2011/2012

M. Lurdes Teixeira DMA-ECUM Teoria de Numeros Computacional LCC


Teoria de Numeros e uma area da Matematica cujo objetivo eestudar propriedades dos numeros inteiros relacionadas coma divisibilidade, tais como: paridade, primalidade, fatorizacao,multiplicatividade, aditividade, etc..

Aplicacoes recentes ...

em computacao e em tecnologias de informacao.

Areas atuais de aplicacao:

Fısica, Quımica, Biologia, Computacao, Criptografia, Comuni-cacao Digital, Musica, ...



Temas centrais

Primalidade e Fatorizacao

Aritmetica Modular



Definicao

Dados numeros inteiros a e b diz-se que b divide a se existek inteiro tal que a = b · k . Em tal caso escreve-se b | a, casocontrario escreve-se b - a.

Definicao

Um numero inteiro p > 1 diz-se um numero primo se os unicosdivisores inteiros positivos sao 1 e p. Se p nao e primo entao pdiz-se um numero composto.



Alguns Algoritmos Basicos

Exemplo 1 - Algoritmo da divisao

Proposicao

Dados numeros inteiros a e b com b 6= 0 existem e sao unicosos inteiros q e r tais que 0 ≤ r < |b| e

a = b · q + r .

Graficamente ...

caso a > 0 e b > 0

− − − − −|0

|a

|b

|2b

|3b · · ·

|qb

|(q + 1)b

caso a > 0 e b < 0

− − − − −|0

|a

|−b

|−2b

|−3b · · ·

|qb

|(q − 1)b




caso a < 0 e b > 0

− − − − −|a

|0

|−b

|−2b

|−3b· · ·

|(q + 1)b

|qb

caso a < 0 e b < 0

− − − − −|a

|0

|b

|2b

|3b· · ·

|(q − 1)b

|qb




Definicao

Sejam a, b e m inteiros. Diz-se que a e congruente com bmodulo m se m | a− b.

Facilmente se verifica que se a e congruente modulo m com b,entao o resto da divisao de a por m e igual ao resto da divisaode b por m.

Notacao:Se a e congruente com b modulo m escreve-sea ≡ b(mod m).a mod m representa o resto da divisao de a por m.A expressao a 6≡ b(mod m) significa que m - a− b.




Proposicao

Seja m um inteiro. A relacao congruente modulo m definida noconjunto dos numeros inteiros e uma relacao de equivalencia.

Proposicao

Sejam a, b, c, d e m inteiros. Se a ≡ b (mod m) e c ≡d (mod m), entao

1 a + c ≡ b + d (mod m);2 ac ≡ bd (mod m).




Exemplo 2 - Algoritmo de Euclides

Definicao

Dados a e b inteiros nao ambos nulos, chama-se maximo divi-sor comum de a e b ao maior inteiro que divide a e b, o qual serepresenta por m.d.c.(a,b).

Proposicao

Dados a e b inteiros, se q e r sao inteiros tais que a = b ·q + r ,entao m.d.c.(a,b) = m.d.c.(b, r).

O algoritmo de Euclides tem por objetivo o calculo do m.d.c. dedois inteiros e baseia-se na proposicao anterior.




486 = 2× 218+50→ m.d.c.(486,218)=m.d.c.(218,50)218 = 4× 50 +18→ =m.d.c.(50,18)

50 = 2× 18 +14→ =m.d.c.(18,14)18 = 1× 14 +4 → =m.d.c.(14,4)14 = 3× 4 +2 → =m.d.c.(4,2)

4 = 2× 2 +0 → =m.d.c.(2,0)=2




Algoritmo de EuclidesEntrada: a e b.

1 x = a, y = b.2 Se y = 0, entao m.d.c.(a,b) = x e terminar.3 r ← resto da divisao de x por y ,

x ← y ,y ← r ,

voltar a 2.Saıda: m.d.c.(a,b).




Definicao

Dados a e b inteiros nao nulos, chama-se mınimo multiplo co-mum de a e b ao menor inteiro positivo que e divisıvel por a epor b, o qual se representa por m.m.c.(a,b).

Funcoes uteis no Mathematica:Quotient, QuotientRemainder, Mod, Divisible, GCD, LCM.




Exemplo 3 - Algoritmo de Euclides estendido

Teorema - Igualdade de Bezout

Dados a e b inteiros nao ambos nulos, seja d = m.d.c.(a,b).Entao, existem inteiros x e y tais que

d = ax + by .

O algoritmo de Euclides estendido tem por objetivo o calculodo m.d.c. de dois inteiros a e b, bem como de inteiros x e yreferidos na igualdade de Bezout.




m.d.c.(486,218) = 2

486 = 2× 218+50 → = 486× 48 + 218× (−107)

218 = 4× 50 +18 →...

50 = 2× 18 +14 →18 = 1× 14 +4 → = 14− 3× (18− 14× 1)14 = 3× 4 +2 → 2 = 14− 3× 4

4 = 2× 2 +0

x = 48 y = −107




Considere-se a equacao linear nas incognitas x e y ,

486x + 218y = 2.

Pelo exposto existe pelo menos uma solucao que e

x = 48 e y = −107.

Em geral, qualquer par do tipo

(48 + k218

2,−107− k

4862

)

e solucao da equacao.

Funcoes uteis no Mathematica:ExtendedGCD, FindInstance, Reduce




A sequencia de restos calculada no algoritmo de Euclides e dotipo:

r−2 = ar−1 = b

ri = ri−2 − qi · ri−1 para i ≥ 0,

o que permite concluir que

r−2 = a · 1+b · 0r−1 = a · 0+b · 1e que

seri =a · s + b · t ,ri+1 =a · s′ + b · t ′,

entaori+2 =a · (s − qi+2s′) + b · (t − qi+2t ′).




Algoritmo de Euclides estendidoEntrada: a e b.

1 r = a, s = 1, t = 0,r1 = b, s′ = 0, t ′ = 1.

2 Se r1 = 0, entao m.d.c.(a,b) = r1, x = s′, y = t ′, terminar.3 q ← quociente da divisao entre r e r1,

r2← resto da divisao entre r e r1.4 Se r2 = 0, entao m.d.c.(a,b) = r1, x = s′, y = t ′, terminar.5 nr1 ← r2, ns ← s − qs′, nt ← t − qt ′,

r ← r1, s ← s′, t ← t ′,r1 ← nr1, s′ ← ns, t ← nt .

6 Voltar a 2.Saıda: m.d.c.(a,b), x , y .




Exercıcios1 Resolva as seguintes equacoes diofantinas:

1 144x + 34y = 20,2 39x + 51y = 7,3 63x − 37y = 3,4 119x − 29y = 8.

2 Quantas solucoes positivas existem para a equacao144x + 34y = 20?



Fatorizacao em primos

Teorema Fundamental da AritmeticaTodo o numero inteiro n maior do que 1 escreve-se de formaunica como produto de numeros primos, a menos da ordemdos fatores.

Fatorizacao de n > 1 em primos:

n = pe11 · · · · · p

ekk

onde k ≥ 1, pi representa um numero primo e ei ∈ N paraqualquer 1 ≤ i ≤ k .

ProblemaComo calcular a fatorizacao em numeros primos de um numerointeiro maior do que 1 ?




Algoritmo de fatorizacao por ensaios de divisao sucessivos

Entrada: n.

1 f = (), d = 2.

2 Se n = 1, entao terminar.

3 Se d - n, entao d ← d + 1.

4 Se d | n, entao

q ← quociente da divisao de n por d ,f ← f · (d), n← q.

5 Voltar a 2.

Saıda: f lista ordenada dos divisores primos.

ExercıcioTeste o algoritmo para n = 2,5,16,121,1650.




Dois pontos fracos do algoritmo:

tentativas de divisao por numeros nao primos acerca dosquais ja ha informacao suficiente para concluir que naodividem n,se n e primo sao efetuadas divisoes por todos os primosmenores do que n.

Proposicao

Um numero inteiro n > 2 e um numero composto se e so se edivisıvel por um numero primo menor ou igual a

√n.

Como melhorar?1 escolher os divisores de entre uma lista de numeros

primos;2 procurar fatores inferiores a

√n.




O crivo de Eratostenes e uma lista que contem todos osnumeros primos menores do que um dado numero inteiron > 2.

Algoritmo de construcao do crivoEntrada: n > 2.

1 P = (pi)i = (2,3,4,5,6,7, . . . ,n), i = 1.2 Se pi >

√n, entao terminar.

3 P ← sequencia que resulta de P por se retirar oselementos da forma kpi para 2 ≤ K ≤ n

pi.

4 i ← i + 1, voltar a 2..Saıda: lista ordenada P dos numeros primos menores ouiguais a n.




ExercıcioTestar o algoritmo para n = 28.

P = (2,3,4,5,6, . . . ,28)

final da 1a iteracao - P = (2,3,5, . . . ,2n + 1, . . . ,25,27);final da 2a iteracao - P = (2,3,5,7,11,13,17,19,23,25);final da 3a iteracao - P = (2,3,5,7,11,13,17,19,23).

O processo termina na 3a iteracao, dado que√

28 ' 5,29.




Algoritmo de fatorizacao por ensaios de divisao sucessivos

Entrada: n > 2 e P = (pi)i≤m uma lista de primos.

1 f = (), e = 0, i = 1, d = p1.

2 Se d >√

n, entao f ← f · ({n,1}) e terminar.

3 Se d |n, entaoe← e + 1, n← quociente da divisao de n por d , repetir 3..

4 Se e 6= 0, entao f ← f · ({d ,e}).5 Se n = 1, entao terminar.

6 i ← i + 1.

7 Se i ≤ |P|, entao d ← pi , e = 0, voltar a 2..

8 Terminar com mensagem de que f pode nao ser a listacompleta de fatores primos de n.

Saıda: f lista ordenada dos menores divisores primos e respetivosexpoentes que ocorrem na fatorizacao de n.




ExercıcioTeste o algoritmo paran = 2,11,121,122,1650,2346,11858,22374.

Funcoes uteis no Mathematica:FactorInteger, Divisors, PrimeQ, Prime, NextPrime.

ExercıciosSejam m e n inteiros positivos.

1 Mostre que se m nao e um quadrado perfeito, entao√

m eirracional.

2 Determine em que condicoes m1n e racional.



Metodo de fatorizacao de Fermat

O metodo de fatorizacao de Fermat baseia-se na represen-tacao de um numero ımpar composto como sendo a diferencade dois quadrados:

n = p · q ⇔ n =

(p + q

2

)︸︷︷︸

a

2 −(

p − q2

)︸︷︷︸

b

2 ⇔ n = a2 − b2

Como p e q sao ımpares entao p+q2 , p−q

2 ∈ Z.

Notar que conhecer p e q e equivalente a conhecer a e b.




Para a partir de um inteiro ımpar n determinar os valores de ae b nas condicoes acima deve proceder-se da seguinte forma:

1 Escolher para valor inicial de a o menor inteiro tal quea2 − n ≥ 0.

2 Incrementar sucessivamente o valor de a ate que a2 − n2

seja um quadrado perfeito.

Assim,a + b e o menor fator de n maior ou igual a

√n.

a− b e o maior fator de n menor ou igual a√

n.

|0

|√n

|a + b

|a− b




Exemplos

1 Seja n = 2401= 492. n e ımpar e a primeira escolha para aseria a = 49 e resultava o valor para b2 = 0 que e um quadradoperfeito. Logo

p = a + 0 = 49 e q = a− 0 = 49.

2 Seja n = 2303= 47 · 49. n e ımpar e a primeira escolha para aseria a = 48 e resultava o valor para b2 = 1 que e um quadradoperfeito. Logo

p = a + 1 = 49 e q = a− 1 = 47.

3 Seja n = 2352= 48 · 49. n e par, pelo que por divisoes suces-sivas de n por 2 obtem-se n = 24 · 147 e a primeira escolhapara a seria a = 13 e resultava o valor para a2 − n = 22 quenao e um quadrado perfeito. Na etapa seguinte considera-sea = 14 e resultava o valor para b2 = a2 − n = 49 que e umquadrado perfeito. Logo

p = a + 7 = 21 e q = a− 7 = 7,e obtem-se a fatorizacao n = 24 · 7 · 21.




Algoritmo de fatorizacao de Fermat

Entrada: n > 2 e max .

1 r ← 0.

2 Enquanto n mod 2 = 0 fazer

n← n2 , r ← r + 1.

3 i ← 1, a← p√

nq, b2← a2 − n.

4 Enquanto√

b2 6∈ N0 e i ≤ max , fazer

a← a + 1, b2← a2 − n, i ← i + 1.

5 p ← a +√

b2, q ← a−√

b2.

Saıda: 2r , p e q.




Notas1 Um quadrado perfeito tem como algarismo das unidades

0, 1, 4, 5, 6 ou 9.2 Conhecendo a2 pode calcular-se (a + 1)2 acrescentando

2a + 1.3 No caso geral o algoritmo efetua um numero de itera-

coes igual ap + q

2︸︷︷︸a

− p√

nq+ 1.

4 O caso em que o algoritmo atinge um numero maximo depassos ocorre quando n e primo. Em tal caso o numerode passos e de n+1

2 − p√

nq+ 1.




Exercıcios

1 Mostre que o ultimo dıgito de um quadrado perfeito e 0, 1, 4, 5,6 ou 9.

2 Mostre que:

1 se a e inteiro par entao a2 ≡ 0 (mod 4),2 se a e inteiro ımpar entao a2 ≡ 1 (mod 4),3 se a e inteiro ımpar entao a2 ≡ 1 (mod 8).

3 Determine os restos possıveis de um quadrado perfeito quandodividido por 16.

4 Utilizando o metodo de fatorizacao de Fermat fatorize osnumeros: 143, 145, 517, 43, 101, 2279, 4697.

5 Mostre que se n mod 4 = 2 entao n nao pode ser escrito comouma diferenca de quadrados.




Exercıcios1 Implemente no Mathematica o metodo de fatorizacao de

Fermat acrescentando alguns melhoramentos.2 Determine fatores dos numeros

11413,8051,11021,3200399,408508091,25345192.




Para melhorar o desempenho deste metodo e usual combina-locom outros metodos. A situacao mais elementar e combinar como metodo dos ensaios de divisoes sucessivas.

Exemplo

n = 2345678917

Entao o valor inicial para a seria 48433. Aplicando o metodo defatorizacao de Fermat obtem-se sucessivamente

a 48433 48434 48435 48436 . . .b2 76572 173439 270308 367179 . . .

a− b 48156.2 48017.5 47915.1 47830.01 . . .a + b 48709.7 48849.5 48952.9 49041.95 . . .




a 48433 48434 48435 48436 . . .

b2 76572 173439 270308 367179 . . .a− b 48156.2 48017.5 47915.1 47830.01 . . .a + b 48709.7 48849.5 48952.9 49041.95 . . .

|0

|√n

|a + b

|a− b


teoria de n umeros computacional´...

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