Vilius Stakenas

Tikimybiu� mokslopagrindai

Vilnius � 2010

Turinys

1 Kaip tai atsirado? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.1. Dvi ²akos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.2. Italai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.3. Johno Graunto demogra�ne aritmetika . . . . . . . . . 81.4. Mokslo pasaulio kometa � Edmondas Halley . . . . . . 91.5. I�ºymieji Fermat ir Pascalio lai²kai . . . . . . . . . . . . 111.6. Christiano Huygenso knygele . . . . . . . . . . . . . . . 151.7. Ars Conjectandi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.8. Trys prancuzai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.9. �iedadulkiu� vaidmuo tikimybiu� teorijos istorijoje . . . . 221.10. Rusu� mokykla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231.11. Didieji XX a. statistikai . . . . . . . . . . . . . . . . . 261.12. Tikimybiu� teorijos matematiniu� pagrindu� klausimas . . 301.13. Lietuviai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

3

1 Kaip tai atsirado?

1.1. Dvi ²akos

Burtai ir lo²imai kauliukais, loterijos... Labai ilgai ºmones mane, kadtai paklusta tik dievu� ar likimo valiai. Nuojauta, kad ir £ia slypi tamtikri desniai, brendo letai.

Taip buna beveik visuomet: pirmiausia veiksmas, o po to mintis. Arbamintis � veiksmas, kuris rodo, kad mintis nebuvo itin gera � vel mintis...

Kiekviena teorija yra geriau ar blogiau suderintu� s¡voku� ir ideju� sistema.Galime neabejoti � ji i²augo i² praktines ºmoniu� veiklos, netgi jei dabar tospraktines veiklos teorijoje nebera nei atspindºio.

Taigi � kokia praktine ºmoniu� veikla i²kele klausimus, i� kuriuos bandantatsakyti atsirado tikimybiu� teorija?

Tikimybiu� teorija i²pletojo ir paai²kino net dvieju�, labai skirtingu� veiklosru²iu� patirti�. Vienas ºmoniu� uºsiemimas, pareng¦s dirv¡ tikimybiu� teorijospagrindams � azartiniai lo²imai. Uºsiemimas gana malonus ir nerupestingas.Kitas uºsiemimas gerokai rimtesnis ir sunkesnis: i²tekliu� (ºmoniu�, ºemes,pastatu� ir kitokiu� turtu�) apskaita. Kitaip tariant � i�vairus sura²ymai...

Abu uºsiemimai labai seni ir labai skirtingi.

Astragalas - lo²imo kauliuku�protevis

Lo²imai yra pramoga, o sura²ymai � darbas,rupestis del turto.

Ta£iau tikriausiai ir azartiniai lo²imai, ku-riuose sekm¦ ar nesekm¦ lemia nenuspejamaslo²imo kauliuku� elgesys ar kortu� i²sidestymas,taip pat turi anaiptol ne lengvabudi²k¡ prie²is-tor¦. Tais tolimais laikais, kai daugybe dievu�valde visa, kas ºemeje vyko, ºmones burtaisbandydavo suºinoti dievu�, kurie niekada nieko

nepasako tiesiai-²viesiai, nuomones.�inomas ir tokiu� burtu� i�rankis, kuri� naudojo Artimu�ju� Rytu� tautos ir

graikai � astragalas, kanopiniu� ºinduoliu� uºpakaliniu� koju� kaulas. �io ke-tursienio kaulo sienos yra apyplok²tes, dvi pla£ios, dvi siauros. Jeigu kaul¡mesime, kuri siena bus vir²utine, ºinos tik lemti� valdantys dievai. Taigii² anksto nenuspejama baigtis � prana²yste, informacijos i² dievu� pasaulio�nutekejimas�. Gudrus vis delto budas i²kvosti aroganti²kas, amºinai tylin£iasdievybes!

Nugludinus astragal¡ galima pasigaminti ir ²e²iasieni� kauliuk¡! Tarpupiogyventojai (tikriausiai, sumanieji ²umerai) ²e²iasienius kauliukus gamino ir i²molio. Irako ºemeje rastas toks kauliukas pagamintas apie 3000 m. pr. Kr.!

4

Taigi lo²imo kauliukai � i² pradºiu� burtams, o veliau i�rankis nuobo-duliui i²bla²kyti. Toki� lo²imu� taikym¡ mini Homeras: graiku� kareiviai lo²¦kauliukais leisdami nuobodºias Trojos apsiausties valandas. Dar i�domesni�lo²imu� taikymo atveji� mini Herodotas ra²ydamas apie Lidijos gyventojusmaºdaug 1500 m. pr. Kr. kamavusi� badmeti�. Kad pamir²tu� kankinanti�alkio jausm¡, lidie£iai es¡ sugalvoj¦ i�vairiu� lo²imu� su astragalu, kamuoliu irkitokiu�, lo²davo vis¡ dien¡. I�sitrauk¦ i� lo²imus uºmir²davo alki�, o valgydavotik kas antr¡ dien¡...

Europie£iai irgi neatsispyre lo²imo kauliuku� burtams. Lo²e ir Romos im-peratoriai, ir paprasti romenai. Net Markas Aurelijus � Romos imperatoriusir didis �losofas � lo²e. Romenu� nuomone, kuria puse atvirs mestas lo²imokauliukas, sprende Dzeuso dukra Fortuna.

Veliau atsirado dar ir kitas burtu� bei lo²imu� i�rankis � kortos. Jas eu-ropie£iai irgi atsigabeno i² Rytu�. Kortas i� Europ¡ parveºe lik¦ gyvi kryºiauskaru� entuziastai. Kaip ir ²achmatus bei sausainius, beje... Keturi kortu� kara-liai tuomet nebuvo abstrak£iu� karalys£iu� valdovai kaip dabar. Kryºius tadavalde ºydu� karalius Dovydas, ²irdis � franku� karalius Karlas, vynus � graiku�valdovas Aleksandras Didysis, o bugnus � Julius Cezaris.

O dar veliau

Europie£iai kortomis pradejo lo²ti apie 1370 metus. Apielo²imu� kortomis istorij¡ galite daugiau suºinoti atsivert¦tinklalapi� http://www.wopc.co.uk/

atsirado loteri-jos. Savoti²kosloterijos buvo ren-giamos senovesKinijoje 100 m.pr. Kr., pajamosi² ju� buvo nau-dojamos didingokinu� sumanymo� didºiosios kinu�sienos statybos�nansavimui. I�vai-riu� ²aliu� vyriausybesnaudojo loterijas kaip pajamu� ²altinius svarbiems projektams �nansuoti. 1

Europoje loteriju� populiarintoja teisinga laikyti Olandij¡. Pats ºodis �lot�olandi²kai rei²kia lemti�. Olandai pirmieji pradejo rengti loterijas vien tik supiniginiais prizais. Ju� valstybine loterija �staatsloterij�, pradeta rengti 1732metais, veikia iki ²iol!

Taigi azartiniu� lo²imu� istorija tukstantmete. Ta£iau bandymai matema-ti²kai nagrineti ju� desnius labai velyvi.

O dabar � apie kit¡ uºsiemim¡, i² kurio irgi i²augo tikimybiu� teorijoss¡vokos ir uºdaviniai. Gyventoju� ir turto sura²ymai pirmiausia, ºinoma,

1Apie loteriju� istorij¡ ºr., pavyzdºiui, www.mylottocorner.com/lottery−history.php5

parupo valdovams. Tokius sura²ymus vykde senojo Izraelio karaliai, romenu�imperatoriai... Kas ten buvo sura²yta, jau nepaskaitysime. O ²tai apie Vil-jamo Uºkariautojo, 1085-1086 metais vykdyto Anglijos gyventoju� ir turtosura²ym¡ galime suºinoti, nes i�ra²u� knygos i²liko. �iu� knygu� ºinios yra labaipatikimos, nes pateikejai ju� tikrum¡ turejo patvirtinti priesaika.

Ta£iau tokie sura²ymai

Apie Viljamo Uºkariautojo vykdyt¡ sura²ym¡daugiau suºinoti atsivert¦ tinklalapi�http://www.domesdaybook.co.uk/index.html

buvo labai reti ir duome-nys skirti veikiau perºiu-rai nei i²samiam tyrimui.Galetume pavadinti ²iuosduomenis statistiniais, betkol atsirado statistikai, pra-ejo ne vienas ²imtmetis.

Gerai ºinoma, kad labaidaºnai ºmones veiklai i�kve-pia i�vairios bedos. Varguar buta didesnes bedos vidu-ramºius pabaigusioje ir mo-

derneti pradejusioje Europoje nei maras. Maras uºeidavo ir ²ienaudavo ne-sirinkdamas. 1532 metais Londone buvo sumanyta imtis mirusiu�ju� sura²ine-jimo, ²itaip bent jau bandant nustatyti, ar nearteja eiline maro ²ienapjute.Veliau sura²ymo duomenis buvo pradeta spausdinti, svarbiausia - reguliariai.�itaip susikaupe didelis kiekis duomenu�, kuriems buvo lemta tapti pirmosiosstatistines analizes medºiaga.

Verta pamineti dar vien¡ veiklos sriti�, kuria ºmones, gyvenimo pamokyti,suskato uºsiimti � draudimo sistemos kurim¡.

1.2. Italai

Luca Paciolis: pirmieji uºdaviniai apie lo²imus matematikos knygoje.Girolamo Cardano: pirmasis bandymas matemati²kai tyrineti lo²imus� nei²gydomos ligos ²altini�!

Kas i�sitraukia i� lo²imus, tas apie jokias teorijas nem¡sto. Taigi � kas irkada �teori²kai� pradejo galvoti apie atsitiktinius i�vykius? Negin£ytino at-sakymo, ºinoma, nesurasime, bet jeigu spesime, kad Aristotelis apie juos pa-galvojo, nesuklysime. Nes Aristotelis tikriausiai pagalvojo apie visk¡, apie k¡tuo metu buvo i�manoma pagalvoti. Kadangi jis buvo didis sistemintojas, taisuklasi�kavo ir i�vykius: yra i�vykiai, kurie butinai i�vyksta; kiti i�vykiai i�vykstadaºniausiai, tai tiketini i�vykiai; ir pagaliau yra neprognozuojami i�vykiai, t.y. i�vykiai, kuriu� numatyti niekaip nei²moksi.

6

K¡ gi, �loso�jai to gal ir pakako. O matematikai atsitiktiniais i�vykiais i²viso nesidomejo. Juk tuomet matematika buvo nekintamu� dydºiu� ir amºinu�desniu� mokslas!

I� matematin¦ knyg¡ uºdavini� apie lo²imus ko gero pirmasis i�trauke LucaPaciolis. Jo veikale �Suma� (tai i² tikru�ju� buvo to meto matematikos ºiniu�s¡vadas), i²leistame 1494 metais, suformuluotas toks klausimas:

Du lo²ejai meto monet¡, vienas gauna ta²k¡, kai moneta atvirsta

herbu, kitas � kai skai£iumi. Vis¡ lo²imo bank¡ laimi tas, kas pir-

mas surenka n ta²ku�. Deja, lo²im¡ teko nutraukti, kai laimetojas

dar nebuvo ai²kus. Pirmasis lo²ejas turejo p, antrasis � q ta²ku�.

Kaip pasidalyti bank¡?

Uºdavinys pasirode toli graºu nelengvas. Pats Paciolis nesugalvojo teisingosprendimo. Jeigu manote, kad uºdavinys nesunkus, pabandykite sugalvotisav¡j¡ banko dalijimo taisykl¦. Tarkime, lo²imas baigiasi, kai vienas lo²ejassurenka penkis ta²kus. Kaip padalintumete,pavyzdºiui, 100 litu� sum¡, jeigujus surinkote tris ta²kus, o kitas lo²ejas tik vien¡. Nustat¦ taisykl¦ geraipagalvokite, ar ji jums butu� priimtina, jeigu jus turetumete tik vien¡, o kitas� tris ta²kus!

Azartiniai lo²imai ir prakti²kai,

Girolamo Cardano (1501-1576)

ir teori²kai labai domino italu� ma-tematik¡ Girolamo Cardano (1501-1576). Pavadinti ji� matematiku neravisi²kai teisinga. Europos renesansolaikais budavo ºmoniu�, kurie domejosiviskuo, kuo buvo i�manoma dometis,ir veike visk¡, k¡ tik buvo i�manomaveikti. Taigi ir apie Cardano teisingapasakyti, kad jis buvo tiek matem-atikas, kiek gydytojas, �losofas, i�vairiu�prietaisu� i²radejas. Kai autombiliu�remonto dirbtuvese ²altkalviai kalbaapie kardano velen¡, jie nors ir ne-ºinodami mini Girolamo Cardanopavard¦!

Taigi Cardano buvo aistringas lo²ejas. Jis lo²e viskuo: kauliukais, kor-tomis, ²achmatais. Apie lo²imus jis para²e ²tai k¡:

Jeigu azartiniai lo²imai yra blogis, tai turint galvoje didºiuli�

lo²eju� skai£iu�, tai yra naturalus blogis. Todel turetume tarsi gy-

dytojai tai vertinti kaip nei²gydom¡ lig¡.

7

Apie lo²imus jis para²e knyg¡ �Liber de ludo aleae�. Tai pirmoji knyga,kurioje atsitiktinius i�vykius bandoma nagrineti pasitelkus matematik¡. Irgana sekmingai! Tikimybes apibreºimas palankiu� baig£iu� skai£iaus ir visu�baig£iu� skai£iaus santykiu, kuri� mes dabar vadiname klasikiniu, yra GirolamoCardano ideja!

Ta£iau ji buvo i²spausdinta tik 1663 metais, kai atsitiktiniu� i�vykiu� mate-matinis tyrinejimas buvo gerokai pasistumej¦s i� prieki�.

Cardano knyg¡ i�domu paskaityti ir dabar. Tais laikais dar nebuvo susi-formavusi nuomone, kad apie matematik¡ reikia ra²yti labai rimtai ir nuo-bodºiai. 2

Azartiniu� lo²imu� matematika domino ir kitus nauju�ju� laiku� mokslininkus.Pavyzdºiui, Galileo Galilejus savo straipsnyje �Atradimas, susij¦s su lo²imokauliuku� svarste toki� klausim¡:

Met¦ tris lo²imo kauliukus 9 ir 10 aku£iu� galime gauti ²e²iais budais.

Kodel lo²ejai mano, kad 10 aku£iu� atvirsta daºniau?

I² tikru�ju�, ar ju� nuomone teisinga?

1.3. Johno Graunto demogra�ne aritmetika

Sukauptos knygos � dar ne i²mintis. Surinkti duomenys - dar ne ºinios.Istorija apie tai, k¡ anglu� pirklys Johnas Grauntas suºinojo studijuo-damas i² pirmo ºvilgsnio nuobodºias Londono gyventoju� mir£iu� i�ra²u�knygas.

Mokslu� istorija � beveik kaip politine istorija. Antikos graiku� laikais ºodis�matematika� rei²ke visas ºinias, taigi vis¡ moksl¡. Palaipsniui mokslo impe-rijoje susidare savaranki²kos sritys, tarsi valstybes, gavusios savus vardus, ki-taip tariant � mokslas susiskaide. Matematikos imperija susitrauke iki skai£iu�ir geometriniu� formu� teritorijos. Ta£iau jos i�taka nuolat augo, pasigirdo netgitokiu� nuomoniu�, kad visi mokslai turetu� vartoti t¡ pa£i¡ matematikos kalb¡.Ilgiausiai laikesi socialinius rei²kinius nagrinejantys mokslai. �inoma, galimamanyti, kad kol ²iems rei²kiniams matematikos metodai nebuvo taikomi, tolir tu� mokslu� �valstybiu�� nebuvo � vien tik laikinos �klajokliu� gen£iu� s¡jungos�.Kad matematiniai metodai taip ilgai nebuvo taikomi socialiniams rei²kiniamstyrineti (ir dabar ju� taikymas kelia daug keblumu�), nieko nestebina. Juk su-sivokti visuomenes rei²kiniuose daºniausiai padeda veikiau gera nuojauta neinepriekai²tingai tiksli logika.

2Jeigu mokate lotyni²kai (ta£iau a² tuo labai abejoju!), galite Cardano knyg¡ �Liber deludo aleae� paskaityti tinklalapyjehttp://www.kloster-metten.de/cardano−de−ludo−aleae.htm .

O angli²kai apie knyg¡ �http://probability.ca/jeff/ftpdir/mcfadyenreviews.pdf.

8

Vienas i² pirmu�ju� ºmoniu�, socialiniu� rei²kiniu� ai²kinimui pasitelkusiu�skai£ius, buvo anglas Johnas Grauntas (1620-1674).

Johnas Grauntas nebuvo tuometinio mokslininku� elito ºmogus. Jis buvopapras£iausias pirklys, prekiav¦s drabuºiais. Ta£iau negi profesija visk¡ lemia?Lemia, ar ºmogui rupi tik jis pats, ar ir pasaulio reikalai. Johnui Graun-tui parupo, kodel kasmet tvarkingai i²spausdinami tomai su ºiniomis apiemirusius Londono gyventojus (Bills of Mortality) gula dulketi i� lentynas benaudos. Jis perºiurejo 37 metu� knygas, suskai£iavo del i�vairiu� prieºas£iu�mirusius ºmones, pavaizdavo duomenis lentelemis, padare i�vairias i²vadas irpara²e traktat¡ �Natural and Political Observations Made upon the Bills ofMortality�. �i� 1662 metais pasirodºiusi� veikal¡ galime vadinti pirm¡ja statis-tikos knyga.

Kai kam pasirodys: anoks £ia atradimas � pavaizduoti duomenis lentelemis!Ta£iau visk¡, kuo dabar esame i�prat¦ naudotis, kaºkas pirmas turejo sugal-voti!

Taigi Johno Graunto knyg¡ sudaro duomenu� apie gyventoju� mirtingum¡lenteles ir jas tyrinejant suformuluotos i²vados. Kokios i²vados? Pavyzdºiui,berniuku� gimsta daugiau negu mergai£iu�; moterys gyvena ilgiau; nors berniuku�gimsta daugiau, ta£iau vedybinio amºiaus ir vyru� ir moteru� jau buna apyly-giai...

Johnas Grauntas sudare pirm¡j¡

�Bills of Mortality� vir²elis

Londono gyventoju� mirtingumo lentel¦:Amºius �moniu� skai£ius

0 1006 6416 4026 2536 1646 1056 666 376 1

Tokiomis lentelemis naudojasi irmusu� laiku� draudimo srities teore-tikai ir praktikai. Lentelemis nau-dojosi ir Graunto amºininkas Will-jamas Petty, savo knygoje �Politinearitmetika� nagrinedamas mokes£iu�,prekybos ir kitus ekonomikos klausimus.

Savo tyrimus Johnas Grauntasapibudino taip:

9

�... �nding some Truths, and not commonly believed Opin-

ions, to arise from my Meditations upon these neglected Papers,

I proceeded farther, to consider what bene�t the knowledge of

the same would bring to the World...�3

Taigi galime tvirtinti, kad Johnas Grauntas apibreºe statistiko profesijosesm¦: duomenu� analize ir i²vados bei prognozes.

J. Graunto veikalas pakylejo ji� i² pirklio luomo iki Karali²kosios mokslodraugijos nario auk²tumu�. �ios 1660 metais i�steigtos draugijos nariai buvotituluoti ir kilmingi ºmones � mokslu� daktarai, dvasininkai... Del J. Grauntonarystes draugijoje kilo abejoniu�, todel atsiklausta karaliaus �arlzo Antrojo.Karalius atsake taip:

� Butinai priimkite John¡ Graunt¡ i� savo draugij¡, o jeigu surasite dar irkit¡ toki� pirkli� kaip jis, tai ir ji� nedelsdami priimkite..

1.4. Mokslo pasaulio kometa � Edmondas Halley

Edmonas Halley (1656-1742) daug laiko skyre dangaus ²viesuliu� ste-bejimui. Ta£iau atkreipe demesi� ir i� �emes gyvenimo rei²kiniu� statis-tinius desningumus. Taigi tikimybiu� teorijos ir statistikos mokslu� daigai,nors ir i² leto, bet rodosi.

Daugelis esame girdej¦ apie Halley komet¡. Ji pasirodo ºmonems maº-daug kas 75-76 metai. Paskutiniuosius jos skrydºius musu� dangumi galimabuvo stebeti 1758, 1835, 1910, 1986 metais, dalis musu� amºininku� gales j¡ velpamatyti 2061 metais. Kai kas mano, kad Betliejaus ºvaigºde krik²£ioni²koseros au²roje buvo ta pati kometa.

O musu� pasaulyje ji vadinama anglu� mokslininko Edmondo Halley (1656-1742) vardu. Kodel? Nes jis numate, kad kometa vel pasirodys 1758 metais.Taip ir i�vyko.

Kodel Edmond¡ Halley minime bandydami apºvelgti tikimybiu� teorijos irstatistikos raid¡? Nes pats Halley gyvenimas gerokai primena kometos skrydi�.Jis praleke daugelio mokslu� teritorijose ir paliko jose dali� savo ²vytejimo.

�tai tik keletas jo gyvenimo ºygiu�. Pasiturin£iu� tevu� namuose i�gij¦s tin-kam¡ i²silavinim¡ ir i�tikin¦s savo gabumais bei ryºtu, i²vyko i� Oxford¡ sudidele manta � tevai nepagailejo dideliu� pinigu� ir aprupino busim¡ji� dan-gaus tyrinetoj¡ tokia astronominiu� prietaisu� gausa, kurios uºtektu� i�steigtinuosav¡ observatorij¡. Halley apsilanke Karali²kojoje Greenwicho observa-torijoje, ir, vadovaujant karali²kajam astronomui Flamsteedui, emesi astro-nominiu� stebejimu� ir matavimu�. Ta£iau, matyt, kitu� ºmoniu� sumanymu�vykdymas buvo ne Halley charakteriui. Nebaig¦s studiju� jis leidosi i� tolim¡

3... galvodamas apie ²iuos demesio nesusilaukusius ra²tus a² nusta£iau tiesas, o nenuomones, kuriomis pasikliaujama, ir emiau svarstyti, koki¡ naud¡ ²ios ºinios gali teiktipasauliui...

10

kelion¦ � i� �ventosios Elenos sal¡ su ambicingu tikslu � sudaryti Pietu� pus-rutulio dangaus ºvaigºdelapi�. Dali� ²io darbo jis i² tiesu� atliko. Be to jissudare pirm¡ji� okeanu� veju� ºemelapi�, verte matematinius graiku� veikalus i²arabu� kalbos, galvojo apie traukos desni�, kuriam paklusta planetos, o suºino-j¦s, kiek ²ioje srityje yra pasistumej¦s Newtonas, i²kart suvoke jo atradimu�reik²m¦ ir skatino Newton¡ skelbti pagrindini� jo veikal¡ �Principia�. Ir ne tikskatino � pats skaite, taise, redagavo ir �nansavo.

O tikimybiu� teorijos istorijoje

Edmond Halley (1656-1742) � anglu�astronomas ir matematikas.

ji� minime del nedidelio veikalo ilgupavadinimu, kuriame jis analizuojaBreslau miesto (dabartinio Wrocla-vo) gimimu� ir mir£iu� registravimoduomenis. Taigi Halley naudojo pa-na²ius duomenis kaip Grauntas. Ta-£iau jo tiriami klausimai yra kon-kretesni, o duomenu� analize tikslesne.Juk Grauntas vis delto buvo tik ²i-aip smalsus ir i²radingas ºmogus, oHalley � auk²to lygio matematikas!

Pagrindine tema, kuri¡ Halleypasinaudodamas Breslau duomeni-mis bando tyrineti � tiketina ºmo-gaus gyvenimo trukme. Halley for-muluoja klausimus labai konkre£iai.

Pavyzdºiui: kokia tikimybe, kad keturiasde²imties metu� amºiaus ºmogusgyvens dar bent septynis metus? �tai jo skai£iavimo pavyzdys. Nustat¦s40 metu� amºiaus ºmoniu� skai£iu� (tarkime, ju� yra 550) ir 47 metu� amºi-aus ºmoniu� skai£iu� (500) jis suranda skirtum¡ 550 − 500 = 50 ir galimybiu�keturiade²imtme£iui gyventi dar bent penkis metus skai£iaus ir liudnesnioatvejo galimybiu� skai£iaus santyki� vertina trupmena 500 : 50 = 10 : 1. Tadatikimybe, kad keturiasde²imties metu� amºiaus ºmogus gyvens dar bent sep-tynis metus lygi 10

11.

�inoma, tai labai paprasta matematika. Galima teigti, kad pana²iaissamprotavimais naudojasi kone kiekvienas ºmogus, svarstydamas apie jamrupimo tikroves rei²kinio raid¡. I² tiesu�, statistinis m¡stymas yra musu�amºininku� �kasdienio proto� elementas. Ta£iau ne visada taip buvo. Kaºkasturejo buti pirmas, kaºkas turejo i²mokyti taip svarstyti. Edmond Halleybuvo vienas i² pirmu�ju� statistinio m¡stymo mokytoju�. Savo darbe jis pateikei²vadas, kurios svarbios vienai labai senai ºmoniu� veiklos sri£iai, turbut tokiaipat senai, kaip civilizacija � draudimui. Dabar draudimo specialistai vadi-

11

nami aktuarijais, pagrindinis ju� veiklos tikslas � rizikos faktoriu� vertinimas.�i sritis � vienas pagrindiniu� ²iuolaikines statistikos uºdaviniu� ²altiniu�.

Taigi aktuarijai, apºvelgdami savo srities istorij¡, turetu� nors probeg²maispamineti ºmogu�, kuris, nors ir labiau domedamasis kometomis, prabegomisir juos ²io bei to pamoke.

1.5. I�ºymieji Fermat ir Pascalio lai²kai

Penkiuose lai²kuose matematikai dalijosi vieno su lo²imais susijusiouºdavinio sprendimo idejomis. Jos sukure pagrind¡ tikimybiu� teorijosraidai. Tikimybinius samprotavimus Pascalis taike netgi m¡stydamasapie �loso�nes problemas: Dievas yra arba jo nera; galiu juo tiketi,galiu ne; yra keturios galimybes, tik viena man nepalanki (Dievas yra,bet juo netikiu), taigi � tiketi verta.

Galima sugalvoti i�vairiu� lo²imo su kauliuku taisykliu�. Pavyzdºiui, sumokatei�na²¡, croupier meta kauliuk¡, ir jeigu atvirsta viena akute, jus laimite. Gananuobodus lo²imas, ir laimejimo galimybe nedidele...

Galima susitarti, kad lo²ejas laimi tada, kai viena akute atvirsta norsvien¡ kart¡, metus kauliuk¡ keturis kartus.

XVII amºiaus vidurio prancuzu� diduomenes salonu� ºvaigºde Antoine Gom-baud, Chevalier de Méré (1607� 1684) mane, kad ²ios lo²imo s¡lygos ganapalankios. Jis tikriausiai galvojo maºdaug taip: metus kauliuk¡ vien¡ kart¡,i² ²e²iu� galimybiu� tik viena rei²kia laimejim¡, taigi palankiu� galimybiu� san-tykis su visu� galimybiu� skai£iumi yra 1 : 6. Jeigu mesime kauliuk¡ keturiskartus, metimu� skai£iaus ir kauliuko atvirtimo galimybiu� skai£iaus santykisbus lygus 4 : 6 = 2 : 3 ir lo²imas tikriausiai taps palankus lo²ejui. Nors sam-protavimas ir neatrodo i�tikinantis, i²vada teisinga: lo²imas tikrai palankuslo²ejui.

O jeigu metome lo²imo kauliuku� por¡ ir laimime tada, kai abu jie atvirstasienelemis su viena akute? Kiek kartu� reikia mesti kauliukus, kad lo²imastaptu� palankus lo²ejui?

Kadangi vien¡ kart¡ met¦ kauliuku� por¡, laimime tik vienu atveju, taisantykis lygus 1 : 36. De Méré padare i²vad¡, kad noredami, jog palankiu�galimybiu� butu� daugiau negu nepalankiu�, turime mesti kauliuku� por¡ 24 kar-tus, nes tada metimu� skai£iaus ir vieno metimo galimybiu� skai£iaus santykisbus toks pat kaip lo²imo su vienu kauliuku atveju: 24 : 36 = 2 : 3.

�inoma, lo²imas su dvide²imt keturiais metimais trunka ilgiau, ta£iautai juk privalumas! Daugiau metimu�, daugiau emociju�. Ta£iau pasirink¦spastar¡ji� lo²imo bud¡, de Méré eme daºnai pralo²ti!

Kas £ia ne taip? Chevalier De Méré kreipesi i� Blaise'¡ Pascali� (1623�1662)pra²ydamas paai²kinti, �kur £ia ²uo pakastas�. Kad Blaise'o Pascalio protas

12

a²trus kaip skustuvas, ºinojo visi. Pascalis - vienas didºiausiu� visu� laiku�matematiku�, nors matematika jis uºsieme tik nedideli� savo trumpo gyven-imo tarpsni�. Ta£iau tuomet, 1654 metais, matematika ji� domino ir Pascalisi�sigilino i� de Méré klausim¡.

�inoma, dabar teisingai atsakyti

Blaise Pascal (1623�1662) � prancuzu�matematikas, �losofas, ra²ytojas.

i� ²i� klausim¡ galetu� kone kiekvienasgimnazijos paskutines klases mok-sleivis. Suprasti Chevalier De Mérénesekmiu� prieºasti� nebuvo sunku irPascaliui. Svarbiau, kad Pascalissusidomejo su lo²imais susijusiaisuºdaviniais ir prane²e apie savo svar-stymus Pierre'ui Fermat. Abu matem-atikai para²e vienas kitam po kelet¡lai²ku�. �iu� lai²ku� mintys ir rezul-tatai sukure tvirt¡ pagrind¡ tiki-mybiu� teorijos uºdaviniams nagrineti.Galime teigti, kad ²iais 1654 metaispara²ytais lai²kais baigiasi tikimybiu�teorijos prie²istore ir prasideda tikroji

teorijos raida.

Kokiam gi uºdaviniui apie lo²imus skyre daugiausia demesio abu matema-tikai savo lai²kuose? Banko dalijimo uºdaviniui, kai lo²imas buvo per ankstinutrauktas. Ir Pascalis, ir Fermat sukure savo metodus ²iam uºdaviniuispr¦sti, bet atsakym¡ gavo t¡ pati�. Jie nagrinejo ne tik dvieju� lo²eju�, betir sudetingesni� � triju� lo²eju� nebaigto lo²imo atveji�.

Maºdaug tais pa£iais 1654 metais Pascalis para²e veikal¡ apie aritmetini�trikampi� (�Traité du triangle arithmétique�). �ios knygos idejos svarbiostikimybiu� teorijos ir kombinatorikos raidai ... apskritai � visos matematikosraidai.

Skai£iu� trikampi� Paskalis sudare pagal toki¡ taisykl¦: pirmojoje lenteleseiluteje ir pirmajame stulpelyje sura²e vienetus, o i� kiekvien¡ kit¡ lenteleslangeli� uºra²e dviejuose gretimuose langeliuose (kairiajame ir vir²utiniajame)jau i�ra²ytu� skai£iu� sum¡. Taigi i² tiesu� tai skai£iu� lentele, o ne trikampis.�Aritmetinius trikampius� gausime �pjaustydami� ²i¡ lentel¦ pagal i�striºaines.Vienoje i² tokiu� i�striºainiu� yra, pavyzdºiui, skai£iai 1, 5, 10, 10, 5, 1. Pradekimei�striºaines numeruoti nuo tos, kurioje yra tik du skai£iai 1, 1. Tada n-ojojei�striºaineje yra n + 1 skai£ius. Dabar ²iuos skai£ius matematikoje priimta

13

ºymeti

C0n, C

1n, . . . , C

n−1n , Cn

n , arba

(n

0

),

(n

1

), . . . ,

(n

n− 1

),

(n

n

).

Pastarasis ºymejimas laikomas modernesniu, bet man patinka ir pirmasis,kuri� matematikai naudoja jau daugiau kaip ²imt¡ metu�.

1 1 1 1 1 1 1 11 2 3 4 5 61 3 6 10 151 4 10 201 5 151 61

Aritmetinio trikampio i�striºaines

Pierre Fermat (1601 - 1665)

skai£iai yra sumos laipsnio skleidiniokoe�cientai, todel jie vadinami bi-nominiais koe�cientais. Taigi

(x+ y)n =n∑

m=0

Cmn xmyn−m.

Blaise'as Pascalis nera pirma-sis ²iu� skai£iu� atradejas. I² tiesu�pana²ias lenteles galime rasti ir ºy-miai senesniu� laiku� matematiku� ra²-tuose. Ta£iau Pascalis pirmasis juosi²samiai i²tyre, atskleide daug juossiejan£iu� ry²iu�, o i�rodymui panau-dojo (tikriausiai pirm¡ kart¡ matem-atikos istorijoje) matematines in-dukcijos metod¡. Matematines in-dukcijos metodas yra kasdienis irnepakei£iamas matematiku� i�rankis. Toks jis bus visada. Kaip tikram keli-autojui (ne turistui) kasdienis ir nepakei£iamas i�rankis visada buvo ir buspapras£iausia lazda! Taigi ²i� aritmetini� trikampi� pelnytai galime vadinti Pas-calio trikampiu.

Naudodami binominiu� koe�cientu� ºymeni� aritmetinio trikampio sudarymotaisykl¦ galime uºra²yti taip:

Cmn = Cm−1

n−1 + Cmn−1. (1)

14

Pritaik¦ ²i¡ taisykl¦ ²e²tosios i�striºaines skai£iui C26 = 15 uºra²ykime 15 =

5 + 10. Taikykime taisykl¦ skai£iui 10 ir kitiems tame pa£iame stulpelyjeuºra²ytiems skai£iams:

15 = 5 + 10 = 5 + 4 + 6 = 5 + 4 + 3 + 3 = 5 + 4 + 3 + 2 + 1.

Lenteles skai£ius lygus kairiajame stulpelyje uºra²ytu� skai£iu� sumai! Galime²i¡ savyb¦ uºra²yti ir labai �moksli²kai�:

Cmn = Cm−1

n−1 + Cm−1n−2 + . . .+ Cm−1

m + Cm−1m−1 , 0 < m ≤ n.

O dabar pasinaudokime (1) savybe kitaip ir i²reik²kime ²e²tosios i�striºainestre£iosios eilutes skai£iu� C4

6 = 15:

15 = 5 + 10 = 5 + 4 + 6 = 5 + 4 + 3 + 3 = 5 + 4 + 3 + 2 + 1.

Taigi Pascalio trikampio lenteles skai£ius yra lygus eiluteje vir² jo para²ytu�skai£iu� sumai:

Cmn = Cm

n−1 + Cm−1n−2 + Cm−2

n−3 + . . .+ C1n−m + C0

n−m−1, 1 ≤ m < n.

Trikampio skai£iu� savybes Pascalis naudojo i�vairiems uºdaviniams spr¦sti.Banko dalybu� dviems lo²ejams taisykl¦, kai pirmajam iki numatytos sumostruksta n, o antrajam m ta²ku�, jis suformulavo taip:

Parinkime r = n + m − 1-¡j¡ trikampio i�striºain¦ ir sudarykime tokias

jos skai£iu� sumas:

A =m−1∑j=0

Cjr , B =

n−1∑j=0

Cjr .

Bank¡ lo²ejams teisinga padalyti santykiu A : B.

Pavyzdºiui, jeigu pirmajam iki laimejimo truksta 2 ta²ku�, o antrajam 4,tai bank¡ reikia padalyti santykiu (1 + 5 + 10 + 10) : (1 + 5) = 13 : 2.

Kaip galima paai²kinti toki¡ taisykl¦? Pastebekime, visu� pirma, kadlo²im¡ t¦siant, nugaletojui i²ai²kinti prireiktu� ne daugiau kaip r = n+m− 1simetri²kos monetos metimu�. Kartais nugaletojas i²ai²kes ir anks£iau, ta£iaui�sivaizduokime, kad net ir tokiu atveju lo²imas t¦siamas ir atliekama lygiair metimu�. Kiekvienas metimas duoda ta²k¡ arba pirmajam arba antrajamlo²ejui. I² viso yra 2r skirtingu� kombinaciju�. Jeigu yra A palankiu� pirma-jam lo²ejui kombinaciju�, tai antrajam ju� bus B = 2r − A. Taigi bank¡ butu�teisinga padalyti santykiu A : B. Belieka i�sitikinti, kad Pascalio taisyklejeapibreºti dydºiai ir rei²kia palankiu� kombinaciju� skai£ius.

Sugri�ºkite prie ²io klausimo perskait¦ kelet¡ ²ios knygos antros daliesskyreliu�. Gali buti, kad Pascalio taisykle pasirodys visi²kai ai²ki.

15

1.6. Christiano Huygenso knygele

Pirmoji tikimybiu� teorijai skirta knygele � nedidelis uºdaviniu� su sprendi-mais rinkinelis. Ta£iau jame yra svarbiu� s¡voku� uºuomazgu�. Viena i²ju� � atsitiktinio dydºio vidurkis.

Tikimybiu� teorijos pradºia � keliu� gana kukliu� uºdaviniu� sprendimai irsvarstymai apie juos, i²destyti Pascalio ir Fermat lai²kuose. Nei vienas i² ²iu�matematiku� toliau nepletojo savo ideju� ir nepara²e jokio tikimybiu� teorijosveikalo.

Pirm¡j¡ knygel¦, skirt¡ tikimybiu�

Olandu� matematikas ChristianasHuygensas (1629-1695)

teorijai, para²e olandu� matematikasChristianas Huygensas (1629-1695).Lotyni²kai knygele vadinasi �Libel-lus de ratiociniis in ludo aleae�, ji1657 metais buvo i²spausdinta kaipHuygenso mokytojo F. van Schoo-teno knygos priedas.

Uºdaviniais apie lo²imus Huy-gensas tikriausiai susidomejo savogyvenimo Paryºiuje metais (1666-1681), suºinoj¦s apie Pascalio ir Fer-mat tyrinejimus.

Huygenso knygel¦ sudaro 14 tei-giniu� arba uºdaviniu� su pateiktaissprendimais. Svarbiausia naujove� lo²imo vertes s¡voka, kuri¡ mesdabar vadiname matematiniu atsi-tiktinio dydºio vidurkiu. �inoma,Huygensas nagrinejo tik atskirus lo-

²imu� ir ju� vertes skai£iavimo atvejus.Huygensas samprotauja taip:

jeigu yra p galimybiu� laimeti a ir q galimybiu� laimeti b dydºiosum¡, tai tokio lo²imo verte yra

ap+ bq

p+ q.

Taigi Huygenso apibreºta lo²imo verte yra matematinis atsitiktinio dy-dºio, i�gyjan£io reik²m¦ a su tikimybe p

p+qir reik²m¦ b su tikimybe q

p+q

vidurkis.

16

Kiti teiginiai susij¦ su i�vairiais banko dalijimo esant nebaigtam lo²imuiatvejais. Pabaigoje Huygensas pateikia kelet¡ uºdaviniu� be sprendimu�. �taivienas i² tokiu� uºdaviniu�:

A ir B pakaitomis meto lo²imo kauliuku� por¡. A laimi, jeigu

gauna metimo aku£iu� sum¡ lygi¡ 6 anks£iau negu B gauna aku£iu�

sum¡ lygi¡ 7. Kokios A ir B laimejimo tikimybes, jeigu A pradeda

lo²im¡?

Kone penkiasde²imt metu� Huygenso knygele buvo pagrindinis ºiniu� apietikimybes s¡vadas.

Veliau pasirode ²veicarai ir prancuzai.

1.7. Ars Conjectandi

�Spejimo menas� � taip vadinasi J. Bernoullio knyga, skirta tikimybiu�teorijai. Ta£iau ji i²moke matematikus ne speti, kas i�vyks, bet tiksliaimatemati²kai formuluoti svarbius tikimybiu� teorijos teiginius. Vienasi² ju� � didºiu�ju� skai£iu� desnis, kuri� praktikoje taikome taip: didelioskai£iaus apytiksliu� reik²miu� vidurkiu pasikliaujame labiau nei bet kuriovieno matavimo reik²me.

Tais pa£iais 1654 metais, kai Fer-

�veicaru� matematikas J. Bernoullis(1654-1705)

mat ir Pascalis lai²kuose svarste uº-daviniu� apie lo²imus sprendimu� ide-jas, Bazelyje gime Jacobas Bernoullis(skaitome � Bernulis). Turtingo pirk-lio ir i�takingo miesto pilie£io sunuibuvo numatytas garbingas dvasinin-ko likimas. Ta£iau susikloste ki-taip. Likim¡, kuri� pasirinko Ja-cobas, geriausia nusakyti jo patiesºodºiais: �Invito patre sidera verso�(prie² tevo vali¡ tyrineju ºvaigºdes).Jacobas Bernoullis (1654-1705) irjo brolis Johanas Bernoullis (1667-1748) tapo i�ºymios ²veicaru� moks-lininku� ir menininku� dinastijos pra-dininkais.

Tiesa, vadinti juos ²veicarais nera visi²kai teisinga. Bernoulliu� ²eimaBazelyje atsirado 1583 metais. Jie atvyko i� �veicarij¡ i² Antverpeno, kuri�uºeme kataliki²kosios Ispanijos kariuomene. Protestantu� Bernoulliu� ²eima

17

nutare paie²koti saugesnio kra²to gyventi. Ramybes tuometiniuose olandu�kra²tuose buvo maºai � vyko a²tuoniasde²imt metu� truk¦s karas su Ispanijadel nepriklausomybes.

Taigi Bernoulliai tapo Bazelio miesto pilie£iais. Ir ne bet kokiais! Vieni�ºymiu� matematiku� i² Bernoulliu� ²eimos kamieno i²augo net a²tuoni!

Jeigu Fermat ir Pascalio idejos padejo tikimybiu� teorijos pamatus, taigalima sakyti, kad Jacobas Bernoullis pradejo kelti ir sienas.

Jacobas Bernoullis para²e tik vien¡ tikimybiu� teorijos veikal¡ � �Ars Con-jectandi� (spejimo menas). Ra²e ji� ilgai � apie dvide²imt metu�, ties¡ sakant,ir nepabaige. Knyga i²spausdinta tik 1713 metais, taigi a²tuoni metai po Ja-cobo Bernoullio mirties. Leidejai norejo, kad prie² spausdinant, nebaigt¡j¡dali� uºbaigtu� Jacobo Bernoullio sunenas Nikolajus Bernoullis, disertacijos�Spejimo meno taikymai teiseje� (Dissertatio inauguralis mathematico-juridicade usu artis conjectandi in jure, 1709) autorius. Ta£iau sunenas nesijautegali�s pabaigti savo i�ºymaus dedes darbo, ir knyga buvo i²spausdinta tokia,koki¡ j¡ paliko autorius.

�Spejimo menas� � maºdaug triju� ²imtu� nedidelio formato puslapiu� knyga,kuri¡ sudaro keturios dalys. Pirmojoje dalyje pakartotas Huygenso �De Ra-tiociniis in Ludo Alea� tekstas su Jacobo Bernoullio komentarais. Tiesa,tu� komentaru� tekstas ilgesnis nei paties Huygenso veikalas. Ir i�domesnis.Jacobas Bernoullis nagrineja daug nauju� uºdaviniu�. �tai vienas i² ju�:

Lo²ejas A turi m, o lo²ejas B � n monetu�. Galimybiu� laimeti

viename lo²ime santykis lygus a : b. Pralaimej¦s lo²im¡ lo²ejas

sumoka laimejusiam vien¡ monet¡. Lo²iama, kol vienas i² lo²eju�

praranda vis¡ savo sum¡. Kokia tikimybe, kad laimes A?

Antroje dalyje nagrinejami uºdaviniai apie keitinius ir derinius, kuriuosmes dabar priskirtume kombinatorikai. Tre£ia dalis skirta i²destytu� ideju�ir metodu� taikymui i�vairiems lo²imams nagrineti. Bernoullis formuluoja iri²sprendºia 24 uºdavinius, susijusius su populiariais tuo metu lo²imais.

Svarbiausi Bernoullio teiginiai i²destyti ketvirtojoje dalyje. Jos pavadini-mas ºada tikrai daug: �Ketvirtoji spejimo meno dalis, kurioje i²destyta, kaip²i� moksl¡ taikyti pilietiniams, moraliniams ir ekonominiams klausimams�.Ta£iau apie tokius taikymus rastume nelabai daug vertingo. Uºtat ²ioje kny-gos dalyje suformuluotas ir i�rodytas (ºinoma, atskiru atveju) teiginys, kuri�galime pavadinti svarbiausiu�ju� tikimybiu� teorijos teiginiu� prototipu. �iamteiginiui prigijo pavadinimas, kuri� sugalvojo prancuzu� matematikas DenisasPoissonas � didºiu�ju� skai£iu� desnis.

Jau Bernoullio gyvenimo metais matematikai vertindami i�vykio pasirody-mo galimybes naudojo du metodus. Mes dabar sakytume, kad pirmasis re-miasi klasikiniu tikimybes apibreºimu: i�vykio tikimybe yra palankiu� baig£iu�

18

skai£iaus ir visu� galimu� baig£iu� skai£iaus santykis. Antrasis � statistinisapibreºimas naudoja empirinius duomenis: i�vykio tikimybe galime laikytii�vykio pasirodymo skai£iaus santyki� su stebetu� atveju� skai£iumi. PatiesBernoullio dienora²tyje yra i�ra²as apie maro tikimyb¦ busimais metais. Ber-noullis ²i¡ tikimyb¦ apibreºia maro metu� tam tikru laikotarpiu skai£iaus san-tykiu su visu� metu� skai£iumi.

Didºiu�ju� skai£iu� desnis susieja

Jacobo Bernoullio knygos �ArsConjectandi� vir²elis

²ias dvi tikimybes. Jis teigia: jeigustatistine tikimybe apskai£iuota at-likus daug nepriklausomu� bandymu�,tai labai tiketina, kad ji maºai skir-sis nuo �teorines�, t. y. matema-ti²kai apskai£iuotos tikimybes. Ta-£iau toks didºiu�ju� skai£iu� desnio for-mulavimas kelia daug subtiliu� klau-simu�. K¡, pavyzdºiui, rei²kia �labaitiketina�? K¡ rei²kia �maºai skir-sis�? Butina pabreºti, kad pats Ber-noullis ²i� desni� formuluoja ir na-grineja grieºtai matemati²kai. Tar-kime, p yra �teorine� tikimybe, ap-skai£iuota naudojantis, pavyzdºiui,klasikiniu apibreºimu. Jeigu bandy-mas yra simetri²ko lo²imo kauliukometimas, o mus domina i�vykis, kadatvirs daugiau kaip 4 akutes, tai

apskai£iav¦ gausime p = 13. Tarkime, kauliuk¡ ketiname mesti n kartu�, i�vykio

pasirodymu� skai£iu� (jo i² anksto neºinome) paºymekime Sn. Tada pn = Sn

n

bus statistine tikimybe. Tegu ϵ > 0 koks nors maºas skai£ius. Kiek yragalimybiu� i�vykti i�vykiams

|p− pn| < ϵ, |p− pn| ≥ ϵ?

Bernoulis i�rodo: kad ir koki� dideli� skai£iu� C > 0 parinktume, ²iu� i�vykiu�galimybiu� skai£iu� santykis bus didesnis uº C, jeigu tik n parinksime pakanka-mai dideli�.

Tikimybiu� teorijos raidai svarbus ne tik ²io teiginio turinys, bet ir forma.Matematines kurybos vert¦ sudaro ne tik nauji atsakymai, bet ir naujaisuformuluoti klausimai. �iuo poºiuriu Bernoullio didºiu�ju� skai£iu� desniuitikimybiu� teorijoje maºai kas gali prilygti.

Pats Bernoullis suvoke savo atrasto desnio svarb¡. Jis ra²e, kad jo reik²meprilygintina skritulio kvadraturos uºdavinio sprendimo reik²mei. Mes saky-

19

tume � pranoksta. Nes Bernoullio desnis parode matematikams, kaip reikiaformuluoti tikimybiu� teorijos uºdavinius.

Jacobo Bernoullio antkapyje i²kalta kreive � logaritimine spirale ir uºra²y-tas matematiko motto � Eadem Mutata Resurgo (besikeisdama i²lieku tokiapat). Tai priminimas apie Bernoullio atskleist¡ spirales savyb¦. Ta£iau t¡pati� galima pasakyti ir apie didºiu�ju� skai£iu� desni�: jo esm¦ galime i�ºvelgtidaugybeje moderniosios tikimybiu� teoremos teiginiu�. 4

1.8. Trys prancuzai

Ju� gyvenimai labai skirtingi, skirtingi ir i�na²ai i� tikimybiu� teorijosraid¡. Ta£iau visu� triju� � labai svarbus.

Kai mokslo teorija vystosi, jai skirtos knygos storeja. �is teiginys teisingasir tikimybiu� teorijai.

Po Jacobo Bernoullio stor¡ tikimybiu� teorijos knyg¡ para²e Abrahamasde Moivre'as (1667-1754). De Moivre'o mokslo laimejimais galetu� didºiuotisPrancuzija, ta£iau negali. Nes svarbiausius matematinius darbus de Moivre'aspara²e anapus Laman²o, Anglijoje. Taigi de Moivre'¡ teisinga vadinti pran-cuzu�-anglu� matematiku, dar priduriant, kad abi ²ios ²alys nebuvo jam itinsvetingos.

I² savo tevynes Prancuzijos de Moivre'as turejo pasitraukti del tikejimo.1685 metais Prancuzijos karalius Louis XIV at²auke Nanto edikt¡, garantavusi�protestantams s¡lygini� saugum¡. Jiems beliko pasitraukti i� tremti�.

De Moivre'as atvyko i� London¡ ir pradejo pelnytis pragyvenim¡ pri-va£iomis matematikos pamokomis. Jis moke mokinius ju� namuose, o taippat ir kavinese. Taip pat konsultuodavo lo²ejus, kaip ir kiek statyti. Ko gerojis buvo pirmasis tikimybiu� teorijos ekspertas-profesionalas!

Apie Newtono darbus de Moivre'as suºinojo tik budamas Anglijoje iri² karto suprato, kad juos butina i²studijuoti. Nusipirk¦s Newtono veikal¡�Philosophiae naturalis principia mathematica� supjauste ji� puslapiais, kadpatogiau butu� ne²iotis ir studijavo Newton¡ pertrauku� tarp pamoku� metu.Veliau susipaºino ir su pa£iu autorium, netgi tapo jo draugu. Newtonas labaivertino matematines de Moivre'o ºinias ir daºnai kviesdavo ji� i� savo namuspokalbiui apie moksl¡. Ilgai ie²koti de Moivre'o nereikedavo � jis buvo nuola-tinis Slaughterio kavines lankytojas. Joje rinkdavosi ²achmatininkai, lo²¦ i²pinigu�, £ia uºeidavo ºmones, kuriems reikdavo matematiniu� patarimu�, taigi²i kavine buvo pagrindine de Moivre'o darboviete. Deja, nors ir pranok-damas kitus matematinemis ºiniomis bei turedamas tokiu� i�takingu� draugu�kaip Newtonas ir Leibnizas, de Moivre'as nei�stenge gauti jokios akademinesvietos, garantuojan£ios nuolatini� pragyvenimo ²altini�.

4Jeigu mokate prancuzi²kai daug ºiniu� apie Bernoulli� ir jo darbus galite surasti Bernoul-liui skirtame elektroninio ºurnalo �Journ@l Electronique d'Histoire des Probabilités et dela Statistique� numeryje http://www.jehps.net/juin2006.html20

Pagrindinis de Moivre'o matematinis veikalas � knyga �The Doctrine ofChance�, skirta tikimybiu� teorijai. Ji buvo i²leista tris kartus 1718, 1738ir 1756 metais. �ioje knygoje pirm¡kart pasirodo nepriklausomu� i�vykiu�apibreºimas. De Moivre'as nepriklausomais i�vykiais pavadina i�vykius �kurienesusij¦ tarpusavyje, ir vieno i² ju� pasirodymas nedaro i�takos kito i�vykiopasirodymo tikimybei�. Dabar ²itaip paai²kin¦s nepriklausomu� i�vykiu� s¡-vok¡ per egzamin¡, studentas tikriausiai nebus labai gerai i�vertintas. Jukpraejo keli ²imtai metu� ir daugelis i�ºvalgu� pavirto tiksliai formuluojamaisteiginiais!

Paskutiniajame papildytame lei-

Abrahamas de Moivre'as (1667-1754)

dime i²destytas pagrindinis de Moi-vre'o rezultatas, kuri� jis atskiru lei-diniu paskelbe 1733 metais. TaiBernoullio didºiu�ju� skai£iu� desniopatikslinimas, tap¦s vienu svarbiausiu�tikimybiu� teorijos desniu� � centrinesribines teoremos prototipu.

I�rodymui de Moivre'as pasinau-dojo jo paties atrasta faktorialo apy-tikslio skai£iavimo formule

m! ≈ B√ne−mmm, m → ∞.

Tik konstantosB dydºio jis negalejonustatyti. De Moivre'o papra²ytastai padare J. Stirlingas: B =

√2π.

Ir formulei prigijo Stirlingo vardas!I²ties, istorija daºnai i²saugo vardus neatsiºvelgdama i� nuopelnus. O gal £iagludi subtilus siekimas apsaugoti nuo kasdienio vartojimo vertu�ju� vardus, kadjuos prisimintu� tik ºinantys tikr¡j¡ ties¡?

De Moivre'as taip pat kaip anks£iau Grauntas tyrinejo gyventoju� mirtin-gumo statistinius desningumus bei draudimo klausimus.

1754 metais Abrahamas de Moivre'as uºmigo amºinu miegu. Tai nemetafora! Ji� i² tikru�ju� apeme savoti²ka miego liga. Pastebej¦s, kad kasdienjis miega ketvir£iu valandos ilgiau, netgi apskai£iavo, koki¡ dien¡ ji� pasiimsmirtis � kai paros miegui prireiks daugiau nei 24 valandu�!

Kai de Moivre'as mire, Normandijos valstie£io Laplace'o sunui Pierrui-Simonui buvo tik penki metai. Ir, ºinoma, niekas negalejo ºinoti, kuo jis tapsuºaug¦s. Tevai mintyse jam tiese dvasininko keli¡. Baºny£ia arba armija �du patys geriausi pasirinkimai valstie£iu� luomo jaunuoliui! Ta£iau ju� sunussurado ypating¡, titulais ir garbes ºenklais paºenklint¡ keli¡: didºiausias

21

Prancuzijos matematikas, akademikas, senatorius, ministras, Garbes ordinokavalierius... Kad Pierre-Simonas Laplace'as (1749-1827) buvo matematikosgenijus, nera ko abejoti. Ta£iau proto didybe, anaiptol ne geriausia s¡lygai�gyti auk²t¡ visuomenin¦ padeti� ir solidu� turt¡. Tuo labiau tais sukuringaisir nuoºmiais Prancuzijos revoliucijos metais, kai gyveno Laplace'as. BetLaplace'as, paprastai tariant, mokejo laiku prisi²lieti ir laiku pasitraukti...Napoleono Bonaparto mokytojas ir galima sakyti, bendraºygis, po to � joprie²u� Bourbonu� remejas. Bet kam berupi seniai nutil¦ politines audros! Omatematines idejos rupi!

Svarbiausias Laplace'o veikalas

Pierre-Simon Laplace (1749-1827)

vadinasi �Mécanique Céleste�, t. y.�Dangaus mechanika�. Ta£iau jisdomejosi kuo i�vairiausiais matema-tikos uºdaviniais. Tariant amºinin-ko ºodºiais � ... akademijoje Lapla-ce'as reik²davo nuomon¦ apie vis-k¡.� Tikimybiu� teorija � viena i²matematikos sri£iu�, kurios uºdaviniaidomino Laplace'¡ daugeli� metu�. JukLaplace'ui matematika buvo ne �au-tonomi²ka� ºiniu� sritis, bet i�rankispasaulio s¡rangai atskleisti. Beje,Laplace'ui tikimybiu� teorija anaip-tol nebuvo mokslas apie atsitiktiniusi�vykius. Jo nuomone, atsitiktiniu�i�vykiu� i² viso nera! Jeigu galetumetureti i²samias ºinias apie pasauliobusen¡, tai galetume neklysdami numatyti visa, kas i�vyks. Ta£iau musu� ºin-ios ribotos, todel numatyti neklysdami negalime. Tikimybiu� teorija tai visolabo savoti²ka technika, kuri mums padeda efektyviau pasinaudoti tomis ºin-iomis apie pasauli�, kurias turime. Tokiai nuomonei apie tikimybiu� teorijosvaidmeni� galime pritarti ir ²iandien, ta£iau tvirto tikejimo, kad pasaulio raidavyksta pagal jau �sura²yt¡� plan¡, jau nebeturime. Nauju�ju� amºiu� �zikostyrinejimai i�tvirtino idej¡, kad egzistuoja �grynas atsitiktinumas� ir tai yraesminis pasaulio s¡rangos bruoºas.

Laplace'o dvitomio veikalo �Analizine tikimybiu� teorija� (�Théorie Ana-lytique des Probabilités�) pirmasis leidimas su dedikacija Napoleonui Bona-partui buvo i²leistas 1812 metais. Po dvieju� metu� pasirode antrasis leidimas,jau be ²ios dedikacijos, ta£iau kone tre£daliu storesnis!

Nei�manoma trumpai apºvelgti ²io didºiulio veikalo. Galima pavadinti ji�to meto tikimybiu� teorijos uºdaviniu� ir metodu� s¡vadu. Ypatingos destymo

22

darnos jame nera, Laplace'as tiesiog surinko po knygos vir²eliais i�vairiu� tiki-mybiu� teorijos klausimu� tyrinejimo rezultatus. Meistri²ku stiliumi veikalasirgi nepasiºymi. Veikalo vertejas i� anglu� kalb¡ Todhunteris atsidus¦s para²e:�Kai perskaitydavau Laplace'o ºodºius �akivaizdu, kad�, ºinodavau, kad manprireiks keliu� valandu�, o gal ir dienu� sunkaus triuso, kol paai²kes, tai, kasakivaizdu�.

Svarbiausias Laplace'o kurinio bruoºas � i�vairiausiu� analizes i�rankiu� (in-tegralu�, skirtuminiu� ir diferencialiniu� lyg£iu�...) taikymas tikimybiniams uº-daviniams spr¦sti. �iuo poºiuriu Laplace'o tyrinejimai padare didel¦ i�tak¡tikimybiu� teorijos raidai. Kita vertus, Laplace'as ie²kojo ir rado daugyb¦nauju� tikimybiu� teorijos taikymo sri£iu�. Jo knygoje yra nagrinejami tikimy-binio pobudºio astronomijos, demogra�jos, klaidu� teorijos ir kitu� sri£iu� uº-daviniai. Taigi Laplace'o �Analizine tikimybiu� teorija� yra taikomosios matem-atikos knyga, kurioje atskleista tikimybiu� teorijos metodu� ir ju� taikymogalimybiu� i�vairove, kita vertus � velesniu� matematiku� kartu� poºiuriu, pa-teikianti veikiau medºiag¡, nei sistem¡ naujai �tikrosios� matematikos sri£iaisukurti.

Prancuzi²k¡ tikimybiu� teorijos

Siméon Denis Poisson (1781-1840)

raidos tarpsni� uºbaikime SiméonoDeniso Poissono (1781-1840) darbu�aptarimu. S.D. Poissono kaip ir Lap-lace'o tevai � i² luomines visuomenesºemu�ju� sluoksniu�. Tevas buvo ka-reivis, veliau smulkus valdininkas...Prasidejus revoliucijai, ºinoma, kar²-tas jos ²alininkas. Dejo daug pa-stangu�, kad sunus i�gytu� tinkam¡i²silavinim¡ ir i�gytu� garbing¡ ir pel-ning¡ profesij¡. Ta£iau pradetasmedicinos studijas sunui teko nu-traukti, viena vertus, todel, kad josmenkai domino, kita prieºastis � pras-ta judesiu� koordinacija � tikrai didelekliutis ºmogui, kuriam tektu� dar-buotis skalpeliu. Taigi met¦s medicinos studijas Poissonas atsidejo matem-atikai, ir joje surado tikr¡j¡ savo viet¡. Poissono nuomone, �gyvenimasyra geras del dvieju� dalyku� � galimybes tyrineti matematik¡ ir galimybesj¡ destyti�. �iomis gerybemis Poissonas naudojosi vis¡ gyvenim¡. Pois-sonas padare daug svarbiu� atradimu� i�vairiose taikomosios matematikos sri-tyse. Aptardami tikimybiu� teorijos raid¡ minime ji� del vienos jo knygos,kuri vadinasi gana keistai: �Recherches sur la probabilité des jugements

23

en matiére criminelle et en matiére civile� (�Kriminaliniu� ir civiliniu� teismonuosprendºiu� tikimybiniai tyrinejimai"). Joje Poissonas nagrineja klausim¡,kuri� apytikriai galime suformuluoti taip: kokia tikimybe, kad teismu� nu-osprendºiai teisingi? Ta£iau tikimybiu� teorijai ²i knyga svarbi ne atsakymaisi� tokio pobudºio klausimus, bet tuo, kad joje Poissonas i²deste labai svarbu�ateities tyrinejimams ir taikymams tikimybini� modeli�. I�sivaizduokime dideli�skai£iu� bandymu� su menka sekmes tikimybe (pavyzdºiui, prie masalo antkabliuko priplaukia daug ºuvu�, ta£iau retai kuri susigundo). Kokia tikimybe,kad bus m sekmiu� (kad per dien¡ ºvejys sugaus, pavyzdºiui, penkias ºuvis)?�tai tokiems skai£iavimams ir praver£ia Poissono modelis. Rei²kiniai, kurie²iam modeliui paklusta, Poissono gyvenimo laikotarpiu nebuvo labai svarbus.O dabar ju� daug: transporto i�vykiai, komunikacijos procesai, aptarnavimorei²kiniai... Todel Poissono vard¡ dabarties tikimybiu� teorijos knygose irstraipsniuose mini ko gero daºniau nei paties Laplace'o.

1.9. �iedadulkiu� vaidmuo tikimybiu� teorijos istorijoje

Istorija apie tai, kaip tikimybiu� teorija visai nesidomej¦s gamtininkasatrado rei²kini�, apie kuri� dabar ra²omos solidºios tikimybiu� teorijosknygos.

Koks svarbiausias rei²kinys, kuri� nagrineja dabartine tikimybiu� teorija?Jei kas paklaustu�, galite atsakyti nedvejodami � Browno judesys! Susilauksitenet profesoriu� draugijos pritarimo.

Prisiminkime, k¡ apie tikimybiu� teorij¡ mane Laplace'as: tikimybiu� teorijayra savoti²ka samprotavimu� technika, padedanti mums daryti i²vadas, kaineturime i²samios informacijos. Ta£iau jeigu j¡ turetume (ir moketume japasinaudoti), jokios tikimybiu� teorijos nereiktu�. Kitaip tariant, teigti, kadtam tikr¡ rei²kini� valdo atsitiktinumas, tolygu pripaºinti, kad mes neturimeapie ji� pakankamai ºiniu�, todel negalime jo visi²kai suprasti.

P. S. Laplace'as mire 1827 metais. Tais pa£iais metais anglu� botanikasRobertas Brownas (1773�1858) paºvelge pro mikroskop¡ i� vandenyje plaukio-jan£ias augalo ºiedadulkes. Ji� nustebino tu� daleliu� judejimo budas. Dalelesjudejo maºais ²uoliukais, kuriu� kryptys nuolat keitesi. Be to jos sukiojosi,ta£iau ir ²io sukimosi a²ies kryptis nuolat keitesi... Brownas atliko daugyb¦eksperimentu�, bandydamas nustatyti ²io keisto judesio prieºasti�. Gal dale-les ne²ioja mikroskopiniai skys£io sukuriai? �i¡ prielaid¡ teko atmesti. Galdaleles turi gyvybines galios, kuri jas ver£ia bla²kytis? Ta£iau 100 metu�senumo daleles, kuriose gyvybine galia tikrai turejo buti jau i²nykusi, judejotaip pat. Kad galutinai atmestu� gyvybiniu� galiu� hipotez¦ Brownas stebejoneorganines kilmes daleles. Dulkeles, nugremºtos nuo egiptieti²ko s�nkso

24

statulos tikrai negalejo buti gyvos! Ta£iau ir jos vandenyje judejo taip patkaip ir ºiedadulkes!

Browno judesio paslaptis lauke paai²kinimo daugiau kaip 70 metu�. Dabarrei²kinio esm¦ tikriausiai suvoktu� kone kiekvienas mokyklines �zikos ºiniaspasitelk¦s ºmogus. Ta£iau paprasta mintis apie dujas ar skysti� kaip judan£iu�molekuliu� visum¡ � daugybes mokslininku� daugyb¦ metu� kurtas musu� dabar-tinio m¡stymo elementas!

Browno judesio prieºasti� maº-

Browno judesio trajektorija yra trimate.Ta£iau galime i�sivaizduoti ir vienojeplok²tumoje judan£i¡ dalel¦. Breºinyjeparodyta tokio judesio trajektorija.

daug tuo pa£iu metu paai²kino duºmones. A. Einsteinas (1879-1955)paskelbe Browno judesiui skirt¡ straip-sni� 1905 metais, o M. Smoluchowskis(1872-1917) � 1906 metais. Esminejudesio chaoti²kumo prieºastis � mo-lekuliu� smugiai, kuriuos patiria plu-duriuojanti skystyje dalele. Jeigudalel¦ molekules smugiuotu� i² visu�pusiu� vienodai daºnai ir vienodaismarkiai, tai dalele tiesiog nuolankiairymotu�. Ta£iau ir smugiu� skai£ius,ir jega kiekvienu momentu nuolatir atsitiktinai kei£iasi, todel ir dalele juda tokia keista, nuolat kei£ian£iakrypti� trajektorija.

�inoma, ²ios idejos dar ne matematinis rei²kinio modelis. Matematinismodelis tai grieºtai apibreºtos s¡vokos, integralai, lygtys, i�vairiu� skaitiniu�rei²kinio charakteristiku� skai£iavimo metodai. Browno judesio matematikabuvo sukurta kiek veliau. Vienas i² autoriu� � Norbertas Wieneris (1894-1964), todel �matematinis� Browno judesys daºnai vadinamas Wienerio pro-cesu.

Taigi tos maºytes ºiedadulkes neblogai pasitarnavo tikimybiu� teorijai. Ju�judesio stebejimai ir tyrimai paskatino suabejoti Laplace'o nuomone, kadtikrove paklusta grieºtam planui, kuriame viskas i² anksto numatyta. Palengvai�sitvirtino ideja, kad gamta irgi �renkasi� savo raidos kelius atsitiktinai. Ojeigu atsitiktinumas yra �prigimtinis� tikroves bruoºas, tai ir tikimybiu� teorijane �samprotavimu� technika�, bet tokia pat tikroves rei²kiniu� savybes apra²antikalba, kaip pavyzdºiui, teorine mechanika.

Veliau pasirode, kad Browno judesio desningumai budingi ir kitokiemsgamtos bei visuomenes rei²kiniams. Pavyzdºiui, ekonomikos ar �nansu� pa-saulio �daleliu�� judejimui. �ia skatinan£iu� keisti judesio krypti� molekuliu�vaidmeni� atlieka musu� doleriai, jenos, eurai, latai, litai...

25

1.10. Rusu� mokykla

Matematines analizes raida � judesys nuo skai£iu� link funkciju�. Tikimybiu�teorijos � nuo atsitiktiniu� i�vykiu� link atsitiktiniu� dydºiu�. Judesi� ²iakryptimi paspartino rusu� matematiku� darbai.

Matematika � ²ilto ir ²viesaus Graikijos klimato augalas. I� ²iauresniuskra²tus ji plito letai. Ta£iau plito. XVIII amºiuje pasieke ir Rusij¡. Pa-grindus matematikai prigyti Rusijoje padejo caras Petras I � didysis Rusijosgyvenimo modernintojas. Viena i² jo plano daliu� � ²vietimo sistemos pert-varkymas. Kelioniu� po Europos ²alis metu jis surado labai gerai i²manan£iu�mokslo reikalus patareju�. Vienas i² ju� � pats Gottfriedas Wilhelmas von Leib-nizas. Jis parenge vis¡ Rusijos ²vietimo reformos plan¡, vienas i² ²io planoelementu� � mokslu� akademijos steigimas. Petras I jam pritare, akademij¡buvo nuspr¦sta steigti pagal Paryºiaus akademijos pavyzdi�: nedidele moks-lininku� bendrija, i²laikoma valdovo. Imperatorius akademijos Peterburgenebei²vydo. Petras I mire 1725 metu� sausio menesi� gyven¦s 52 metus, jaude²imties metu� tap¦s imperatoriumi. Vis delto planas buvo i�gyvendintas:tais pa£iais metais Peterburgo mokslu� akademij¡ savo dekretu i�steige imper-atore tapusi antroji Petro I ºmona Jekaterina.

Peterburgo mokslu� akademijos

Pafnutijus Lvovi£ius �eby²ovas(1821-1894)

nariu� veikla � ²lovingas puslapis ma-tematikos istorijoje. Uºtenka vienpamineti vardus tu� matematiku�, kuriejoje dirbo: Leonardas Euleris, Chris-tianas Goldbachas, Nikolajus ir Da-nielis Bernoulliai... Ta£iau matem-atikos mokslo tradiciju� pletojimo ºi-diniu Rusijos imperijoje jos nepa-vadinsi. Klestejusi pirmaisiais savogyvavimo de²imtme£iais, kai joje dirboi�ºymus uºsienie£iai, XVIII amºiauspabaigoje ji visai sumenko.

Pirmasis XIX amºiaus de²imt-metis Rusijoje prasidejo liberaliomisAleksandro I reformomis. I�steigtanauju� universitetu� � Kazaneje (1804),Charkove (1804). Uºsimezge glau-desni akademiniai kontaktai su Vakaru�Europos mokslininkais (nors ir gerokai

apkarpyti del po Napoleono karu� suve²ejusiu� antivakarieti²ku� nuostatu�). Ta£iauvis delto � Rusijos jaunimas spejo paºvelgti i� margesni� pasauli�.

26

Kazanes universiteto profesoriaus Nikolajaus Loba£evskio neeuklidine ge-ometrija yra rusu� pirmasis reik²mingas i�ra²as i� matematikos istorij¡.

Ta£iau gri�ºkime prie tikimybiu� teorijos. Kone kiekviename ²iuolaikiniametikimybiu� teorijos vadovelyje rasime paminet¡ �eby²ovo pavard¦.

Pafnutijus Lvovi£ius �eby²ovas (1821-1894) buvo Maskvos universiteto(i�steigto 1755 metais) aukletinis, ta£iau jo pedagogine ir moksline veikladaugiausia susijusi su Peterburgo universitetu (i�steigtas 1819). �eby²ovobaigiamasis darbas buvo skirtas tikimybiu� teorijai, ta£iau tikimybiu� teorija� tik viena jo matematiniu� tyrimu� sritis.

Kil¦s i² auk²tesniu�ju� visuomenes sluoksniu� ir guvernantes puikiai i²moky-tas prancuzu� kalbos, �eby²ovas lengvai uºmezge ry²ius su Vakaru� Europos,ypa£ su prancuzu� matematikais. I� Prancuzij¡ jis vaºiuodavo kone kiekvien¡vasar¡, lankydavosi universitetuose, skaitydavo juose prane²imus, o taip patir Paryºiaus mokslu� akademijoje.

Prieºastis, kodel �eby²ovo vardas taip daº-

Aleksandras Michailovi£iusLiapunovas (1857-1918)

nai minimas tiek pradinio, ties auk²tesniojolygio tikimybiu� teorijos vadoveliuose � pa-prasta nelygybe, kuria naudojantis galima i�ver-tinti tikimybes, susijusias su atsitiktiniais dy-dºiais. Nelygybe labai paprasta, ta£iau nau-dinga. Pasinaudojus ja galima paprastai i�rodinetii�vairius didºiu�ju� skai£iu� desnio atvejus. �i�desni� Bernoullis i�rode bandymu� su dviem baig-timis atvejui, pasinaudodamas ne tokiais jaupaprastais analiziniais skai£iavimais.

Tiesos delei reikia pabreºti, kad �eby²o-vas ne vienintelis i�rod¦s ²i¡ nelygyb¦. Ji nau-dojama, pavyzdºiui, ir gero �eby²ovo paºi�s-tamo prancuzo Bienaymé darbuose. Todelnelygyb¦ butu� teisingiau vadinti Bienaymé-�eby²ovo nelygybe. Ta£iau kai ²i¡ nelygyb¦pamatysite, tikriausiai ir jums pasirodys, kad toks ilgas pavadinimas tokiaipaprastai nelygybei nelabai tinka...

�inoma, ²i nelygybe tik vienas epizodas �eby²ovo kuryboje, skirtoje ti-kimybiu� teorijai. Jo darbu� reik²m¦ tikimybiu� teorijos raidai galima nusakytimaºdaug taip: jeigu anks£iau svarbiausias demesys teko i�vairiu� i�vykiu� tikimybiu�nagrinejimui, tai dabar tampa ai²kesne atsitiktinio dydºio s¡voka ir pastan-gos labiau sutelkiamos atsitiktiniu� dydºiu� analizei pletoti.

Tikimybiu� teorijos paskaitas Peterburgo universitete �eby²ovas skaite1860-1882 metais. Du jo studentai � Aleksandras Michailovi£ius Liapuno-vas (1857-1918) ir Andrejus Andrejevi£ius Markovas (1856-1922) taip pat

27

tapo tikimybiu� teorijos klasikais.Tiesa, A. Liapunovo mokslineje

Andrejus Andrejevi£ius Markovas(1856-1922)

veikloje tikimybiu� teorija sudaro tiktrump¡ epizod¡. Jam teko destytitikimybiu� teorij¡, tai paskatino at-sideti sudetingesniems klausimams.Svarbiausias A. Liapunovo i�na²as� centrines ribines teoremos i�rodymasanaliziniu charakteristiniu� funkciju�metodu. Dabar ²is metodas yrakiekvieno tikimybiu� teorijos klausimu�tyrinetojo pagrindiniu� i�rankiu� �deºeje�.

Iki 1917 metu� A. Liapunovas dir-bo Peterburgo universitete, veliaugavo viet¡ Odesoje. Odesos uni-versitete Liapunovas deste vos me-tus. 1918 metu� pavasari� jo ºmonossveikata eme spar£iai blogeti, o rudeni�ji mire. Susitaikyti su netektimimoters, su kuria ji� siejo ne tik pragyventi metai, bet ir vaikystes prisiminimai,Liapunovas nei�stenge. Kit¡ dien¡ Liapunovas nukreipe i� save ginkl¡.

A. Markovui tikimybiu� teorija buvo viena svarbiausiu� jo mokslines veiklossri£iu�, nors jo matematinio kelio pradºi¡ ºymi puikus skai£iu� teorijos darbai.Visi A. Markovo darbai svarbus tikimybiu� teorijos raidai, ta£iau svarbiausitie, kuriuos pats autorius kaºin ar vertino labiausiai. �Markovo procesai�,�Markovo grandines�, �Markovo laukai� ... � ²itaip vadinasi i²tisi ²iuolaikinestikimybiu� teorijos knygu� skyriai ar net pa£ios knygos. Ar visus ²iuos matem-atinius objektus sukure A. Markovas? �inoma, ne. Jis nagrinejo tam tikr¡lyg grandine tarpusavyje susijusiu� atsitiktiniu� dydºiu� modeli�, kuris veliaupasirode labai svarbus i�vairiuose taikymuose.

Kas yra Markovo grandines, paai²kinti nesudetinga. I�sivaizduokime lo-²imo kauliuk¡, kurio sieneles suºymetos skai£iais 1, 2, 3, 4, 5, 6. Metykime irra²ykime skai£ius, kurie atvirto. Bandymo pabaigoje galime sakyti: ²tainepriklausomu� atsitiktiniu� dydºiu� stebejimo rezultatai � pirmasis dydis susi-j¦s su pirmuoju metimu, antrasis su antruoju ir t. t.

O dabar i�sivaizduokime, kad yra ²e²i lo²imo kauliukai, kiekvieno sienelessuºymetos tais pa£iais skai£iais, ta£iau kauliukai yra skirtingi, taigi tais pa-£iais skai£iais paºymetu� sieneliu� atvirtimo tikimybes priklauso nuo to, kuri�kauliuk¡ mesime. Kauliukus irgi sunumeruokime: pirmasis kauliukas, antra-sis, ..., ²e²tasis. Meskime pirm¡ji� kauliuk¡. Jeigu atvirto sienele su skai£iumii, ji� uºra²ykime ir meskime i-¡ji� kauliuk¡. Jeigu jis atvirto sienele su skai£i-

28

umi j, meskime j-¡ji� kauliuk¡. Pabaig¦ bandymus turime teis¦ teigti: ²taiatsitiktiniu� dydºiu�, susijusiu� Markovo grandine, stebejimu� rezultatai.

�tai i² ²ios �markovi²ko� atsitiktiniu� dydºiu� ry²io s¡vokos � kai atsitik-tinio dydºio reik²miu� tikimybes priklauso nuo ankstesnio dydºio reik²mes �ir i²augo i²tisa tikimybiu� mokslo teritorija � atsitiktiniu� procesu� teorija.

A. Markovas gyveno Rusijos revoliuciju� laikais. Kil¦s i² viduriniojo vi-suomenes sluoksnio (jo tevas buvo samdomas dvaru� valdytojas) jis ir patsbuvo radikaliu�, prie² autokratini� caro valdym¡ nukreiptu� paºiuru�. 1913metais Romanovu� dinastija i²kilmingai minejo 300 metu� valdymo sukakti�.A. Markovas nusprende organizuoti kitos sukakties minejim¡ � 200 metu�didºiu�ju� skai£iu� desnio! Ir tai i�vykde.

1.11. Didieji XX a. statistikai

Gyvoji gamta � milºini²ka i�vairove. Visuomenes rei²kiniai � taip pat.Kokias i²vadas galima padaryti pasinaudojus didºiuliais i² gamtos irvisuomenes gyvenimo gautais duomenu� kiekiais? Ie²kant atsakymu� iratsirado statistika.

Tikimybiu� teorijos pradininkai � didieji

Karlas Pearsonas (1857-1936)

matematikai, del i�vairiu� prieºas£iu� susidomej¦atsitiktinius rei²kinius valdan£iais desningu-mais. Ta£iau statistikos klausimus pirmiejikele visai kitokie ºmones. Prisiminkime, pavyzdºiui,Graunt¡, Petty ar Halley ... Jie tyre duome-nis, gautus stebint socialinio gyvenimo rei²kinius.�inoma, statistiniai duomenu� tyrimo meto-dai rupejo ir tiksliu�ju� mokslu� atstovams: as-tronomams, �zikams, ... visiems, kieno dar-bui reikalingi dideli duomenu� kiekiai, gautii² apytiksliu� matavimu�. Ta£iau tiksliu�ju� mokslu�dydºiu� matavimo prietaisus galima patobu-linti, taigi duomenu� gavimo proces¡ galimalengviau kontroliuoti.

Duomenys apie gyvosios gamtos rei²kiniusar socialinius procesus � visai kitas dalykas! �ia �tikrosios� reik²mes, prie ku-rios galetum priarteti patobulin¦s savo matavimu� instrumentus papras£iau-siai nera. Tiesos reikia ie²koti kitais budais. Tad nenuostabu, kad didelisstimulas statistikos raidai atsirado tuomet, kai tyrinetojai nuo kokybiniu�gamtos ir visuomenes rei²kiniu� apra²ymu� perejo prie kiekybiniais duomenimispagri�sto tyrimo. O ²iuolaikines statistikos metodu� kurejai � ne �grynieji�matematikai, bet labai i�vairiu� interesu� turej¦ ºmones.

29

Vienas i² ²iuolaikines statistikos metodu� kureju� � Karlas Pearsonas (1857-1936). Kadangi jis gime tikru� tikriausiu� anglu� ²eimoje, tai gavo, ºinoma,Carlo vard¡. I²vyk¦s t¦sti studiju� Heidelbergo universitete pakeite pirm¡j¡vardo raid¦. Viena i² prieºas£iu� galbut � ºavejimasis Karlo Marxo idejomis.Amºininkai minedami ²i� universaliu� interesu� ºmogu� ra²ydavo tiesiog �KP�.

Enciklopedijose galima rasti, pavyzdºiui, toki� KP veiklos apibudinim¡ �teisininkas, germanistas, eugenikas, matematikas ir statistikas (visu� pirma �statistikas). �Visu� pirma� nerei²kia, kad visos kitos sritys jam buvo maºiausvarbios. Kaip tik prie²ingai � statistika jis susidomejo gana velai, ypa£ tada,kai bendraudamas su gamtininku Walteriu Weldonu pamate, koki¡ i�vairiu�duomenu� gaus¡ tyrinetojams pateikia gyvoji gamta. Duomenu� daug, visi jiei�vairus, o k¡ gi teigia ju� visuma?

Akademini� savo keli¡ Pearsonas pradejo studijomis Cambridge. Apiesavo studiju� metus jis para²e taip: �Cambridge matematikos mane mokeRouth, Stokes, Cayley ir Maxwell, bet a² skai£iau Spinozos ra²tus�. Ne todel,kad butu� nusivyl¦s matematika. Anaiptol. Tikr¡sias jo paskatas geriausiaapibudina jis pats:

�A² puldavau nuo mokslo prie �loso�jos, ir nuo �loso�jos prie

musu� senu�ju� draugu� � poetu�; o tada � pavarg¦s nuo per dide-

lio idealizmo � vel tapdavau prakti²kas ir sugri�ºdavau prie mok-

slo. Ar jusu� niekada nebuvo uºvald¦s jausmas, kad nera visatoje

nieko, ko nebutu� verta tyrineti? Literaturos milºinai, daugia-

mates erdves paslaptys, Boltzmanno ir Crooko bandymai i�siskverbti

i� tikr¡j¡ Gamtos laboratorij¡, Kanto visatos teorija, paskutiniai

embriologijos atradimai, i�stabus pasakojimai apie gyvybes raid¡

� kokia neaprepiamybe.�

Paºintis su Weldonu, o taip pat su anglu� gamtininku Galtonu i�traukePearson¡ i� gyvosios gamtos evoliucijos rei²kiniu� tyrinejimus. Laikotarpiunuo 1893 iki 1912 metu� Pearsonas para²e 18 straipsniu�, kuriuose matematikataikoma evoliucijos teorijos klausimams tyrineti. �iuose darbuose i²destytimetodu�, kuriuos galetume pavadinti statistikos klasika, pagrindai � regresinesir koreliacines analizes, chi-kvadrat testu�...

K. Pearsonas kartu su W. Weldonu ir F. Galtonu 1901 metais i�steigeºurnal¡ �Biometrika�, skirt¡ gyvybes evoliucijos rei²kiniu� statistiniams tyri-mams. Steigeju� nuomone �evoliucijos tyrimo problema yra statistikos uº-davinys�.

Nuo 1906 metu� Pearsonas emesi organizacines veiklos, kurios tikslas, joºodºiais tariant,

30

� ... padaryti statistik¡ taikomosios matematikos ²aka su sava

terminologija ir technika, ugdyti statistikus kaip mokslininkus ...

ir apskritai � paversti statistik¡ ²ioje ²alyje i² diletantu� ºaidimu�

lauko solidºiu mokslu, kuriuo niekas negaletu� uºsiimti nei�gij¦s

atitinkamo i²silavinimo...�

Pagrindinius sau i²keltus tikslus K. Pearsonas pasieke. Jo veikl¡ vertinoir specialistai, ir o�cialioji valdºia. Karali²kas riterio titulas butu� glost¦sdaugelio mokslininku� savimeil¦. Tik ne K. Pearsono. Socializmo ²alininkas,aktyvus pilietiniu� teisiu� gynejas ir ²iaip ºmogus link¦s apie visk¡ tureti savonuomon¦, auk²£iausiu� valstybiniu� apdovanojimu� tiesiog atsisakydavo.

Kitas statistikas, minimas kiek-

Williamas Gossetas (1876-1937)

viename vadovelyje, taip pat pradejostatistikos tyrimus pirmiausia su-sidur¦s su praktiniais uºdaviniais.Vienas tokiu� praktiniu� uºdaviniu� �alaus kokybes kontrole i�ºymioje Guin-nesso alaus darykloje Dubline. Joje1899 metais pradejo dirbti Oxfordouniversitete chemijos ir matematikosstudijas baig¦s Williamas Gossetas(1876- 1937).

Ta£iau statistika jaunas aludarisuºsieme ne i²kart. Noredamas i�gytisavo darbui reikalingu� ºiniu� 1906metais Williamas Gossetas pradejostudijas Karlo Pearsono laboratori-joje. Tuomet jis ir pradejo pub-likuoti statistikos mokslo straipsnius. Ta£iau nors Gossetas minimas kiekvien-ame statistikos vadovelyje, jo pavardes ten nerasite. Uºtat rasite Studentoskirstini�, Studento test¡ (daºniau vadinam¡ t-testu). Tas Studentas ir yraGossetas, ²iuo vardu jis skelbdavo savo mokslinius straipsnius, nes Gui-nesso darbuotojams buvo draudºiama skelbti savo tyrimus, kuriais (kas ºino!)galetu� pasinaudoti konkurentai. Nors Gossetas ir gilino ºinias Pearsono lab-oratorijoje, jo bendramin£iu jis netapo. Viena vertus biometrika Gossetonedomino, kita vertus � skirtingai nuo Pearsono Gossetui Guinesso aludejetekdavo daryti i²vadas neturint labai didelio kiekio duomenu�. Taigi jo uº-daviniams spr¦sti reikalingi kiek kitokie metodai nei tie, kuriuos pletojo Kar-las Pearsonas. Gosseto sukurtas t-testas � butent toks metodas ir yra.

Williamo Gosseto metodu� reik²me ne i² karto buvo suvokta. Nesuklysimeteigdami, kad j¡ tinkamai i�vertino kitas i�ºymus XX amºiaus statistikas �

31

Ronaldas Aylmeris Fisheris (1890-1962). Jo kelias i� statistikos moksl¡ irgibuvo vingiuotas. Cambridge jis studijavo matematik¡ ir astronomij¡. Naudo-jimasis astronominiais duomenimis, kai butina atsiºvelgti i� galimas matavimopaklaidas, jau savaime kelia statistikos uºdavinius.

Ta£iau baigus studijas teko galvoti ne apie

Ronald Fisher (1890-1962)

mokslo uºdavinius, o apie pragyvenim¡. Pa-dirbej¦s kelis menesius Kanadoje, gri�ºo i� An-glij¡, mokytojavo, prasidejus karui ketino eitii� front¡, ta£iau del silpno regejimo nebuvopriimtas. Tad vel teko mokyti moksleiviusmatematikos ir �zikos. 1919 metais pasiseke:gavo net du pasiulymus statistiko vietai. Vien¡i² K. Pearsono, kit¡ � i² Rothamstedo eksper-imentines ºemes ukio stoties. �ioje stotyjebuvo atliekami ilgalaikiai bandymai ir stebe-jimai, siekiant i�vertinti tr¡²u� efektyvum¡ irpagerinti augalu� derlingum¡. Duomenu� buvosukaupta daug, reikejo juos vertinti ir darytii²vadas.

R. Fisheris i�sikure Rothamstede ir ²itaipprasidejo jo statistiko karjera. Rothamstede R. Fisheris dirbo iki 1933 metu�,£ia jis subrandino svarbias ne tik statistikos, bet ir genetikos idejas. Jo1925 metais i²leista knyga �Statistiniai metodai mokslo darbuotojams� (Sta-tistical Methods for Research Workers) tapo parankine knyga i�vairiu� sri£iu�mokslininkams, per maºdaug 50 metu� ji i²leista net 14 kartu�. Savo idejas irmetodus Fisheris taike evoliucijos rei²kiniams tyrineti. Vienas i² svarbiausiu�²ios srities uºdaviniu� buvo Darvino naturalios atrankos ir Mendelio gene-tinio paveldimumo teoriju� suderinimas. Kaip i�vyksta gyvybes formu� poky£iaiir kaip jie perduodami? R. Fisheris tyrinejo ²iuos klausimus naudodamastikimybiu� teorij¡ ir statistik¡. Fisherio knyga �Genetine naturalios atrankosteorija� (Genetical Theory of Natural Selection) tapo klasikiniu ²ios mokslosrities veikalu.

Daugelis Fisherio i�vestu� s¡voku� ir pasiulytu� metodu� tapo ²iuolaikinespraktines ir teorines statistikos kasdieniais i�rankiais. Pana²iai kaip GossetasFisheris pletojo metodus, tinkan£ius maºesniams duomenu� kiekiams.

Statistiniai duomenys i² dangaus nenukrenta, juos reikia atitinkamu budui�gyti. Daºnai duomenys gaunami atliekant bandymus. Taigi bandymu� planav-imas yra svarbus praktinio statistikos taikymo klausimas. R. Fisherio knyga�Eksperimentu� planavimas� (The Design of Experiments) irgi tapo klasika,1935-1966 metais buvo i²leista a²tuonis kartus.

Klausimus, kurie i²kyla planuojant eksperiment¡, R. Fisheris populiariai

32

paai²kino straipsnyje �Ragaujan£ios arbat¡ damos matematika� (Mathemat-ics of a Lady Tasting Tea).

Tarkime, didel¦ arbatos su pienu gerimo patirti� turinti ponia teigia, kadji vien i² skonio gali nustatyti, ar i� puoduk¡ pirmiausia buvo i�pilta pieno, opo to arbatos, ar atvirk²£iai. Kaip nustatyti, ar ji tikrai turi toki� gebejim¡?Reikia atlikti bandym¡. Patiekti tam tikr¡ skai£iu� puoduku� su arbata ir pa-pra²yti, kad ponia pasakytu�, i� kuriuos puodukus pirma buvo i�pilta pieno, opo to arbatos. Suprantama, kad i² tokio bandymo didelio duomenu� kiekio ne-gausime. Be to, bandym¡ tikriausiai galesime atlikti tik vien¡ kart¡. Ta£iaunoretume priimti labai patikim¡ sprendim¡.

Pirmiausia reikia nuspr¦sti, kiek puoduku� panaudosime ir i� kiek puoduku�pieno i�pilsime i² pradºiu�. Sekdami Fisheriu tarkime, kad i� lygiai pus¦ puoduku�pienas bus i�piltas i² pradºiu�. Tarkime, kad tai ºino ir bandymo dalyve. Jeigupanaudosime tik du puodukus, tai tikimybe duoti teising¡ atsakym¡ pa-pras£iausiai spejant, lygi 1/2. Toks bandymas vargu ar yra pakankamas, kadsekmingo spejimo atveju patiketume subtiliais arbatos gerejos sugebejimais.O jeigu patiektume 6 puodukus ir i� tris pienas butu� i�piltas anks£iau uº ar-bat¡? Tuomet tikimybe atsakyti teisingai tiesiog spejant butu� lygi 1/20,ta£iau jeigu manytume, kad arbatos skonio ºinoves reputacijos nesugriaunair viena klaida, tai tikimybe praeiti toki� test¡ tik spejant (j¡ galima nesunkiaiapskai£iuoti i²ra²ius visus galimus variantus) vel lygi 1/2!

Taigi gerai pagalvoti, kaip atlikti bandym¡ reikia net ²iuo labai paprastuatveju.

1.12. Tikimybiu� teorijos matematiniu� pagrindu� klausi-mas

Matematikos teorija daºniausiai atsiranda i² keliu� i�domiu� uºdaviniu�,i² keliu� i�ºvalgu� ir metodu�. Jie pletojami, tikslinami ... Tada i²kylabutinybe susisteminti, aksiomatizuoti teorij¡. Kitaip tariant � turi at-sirasti ²ios teorijos Euklidas.

XIX a. pabaigoje tikimybiu� teorijos vaidmuo labai i²augo. Mokslininkaitaike tikimybiu� teorij¡ tyrinedami �zikos, evoliucijos desnius, ai²kindami so-cialinius procesus. Ta£iau pa£ios tikimybiu� teorijos vieta mokslu� visumojebuvo neai²ki. Net pagrindines jos s¡vokos nebuvo ai²kiai apibreºtos. 1919metais Richardo von Miseso straipsnyje apie tikimybiu� teorijos pagrindusra²oma taip: � ... dabartin¦ padeti� galima apibudinti tik taip: tikimybiu�teorija nera matematine disciplina.�

Kiekvienos praktikoje taikomos matematines teorijos raidoje i²kyla dusvarbiausi klausimai: kaip grieºtai apibreºti teorines s¡vokas bei dydºius ir

33

kaip ²ias s¡vokas bei dydºiu� reik²mes �i�ºvelgti� tikroves rei²kiniuose. Kartaisbe nuoseklios teorijos ºmones i²siver£ia labai ilgai. Pavyzdys � geometriniu�ilgiu�, plotu� ar turiu� matavimo praktika. Kas yra kvadrato plotas? Pasakyskiekvienas. O skritulio? �inoma, πr2. Kodel? Nes tokia formule. Arkiekvienos �guros plotui skai£iuoti yra sava formule, kas gi yra tas plotas?Kas i²mano, tikriausiai pasakys � ne taip lengva paai²kinti... Ir bus visi²kaiteisus. Nes patys matematikai po tukstantmetes geometriniu� matu� skai£iav-imo praktikos tik XIX amºiaus pabaigoje ir XX amºiaus pradºioje i² tiesu�i²siai²kino, kas tas matas yra. Didºiausi nuopelnai ²ioje srityje tenka dviemsprancuzu� matematikams E. Boreliui (1871 - 1956) ir H. Lebesgue'ui (1875 -1941).

Tad nenuostabu, kad ir matem-

Richardas von Misesas (1883-1953).Pirmajame pasauliniame kare jis buvokaro lakunas, veliau deste aviacijosmokslu� disciplinas ir, ºinoma,matematik¡. Be to buvo labai gerasaustru� poeto R. M. Rilkes kurybosºinovas. Matematikus, kurie ºino ²i� poet¡ir suvokia jo kurybos gelm¦, tikriausiaigalima ant pir²tu� suskai£uoti.

atikai ilg¡ laik¡ skai£iavo i�vykiu� ti-kimybes, i�rodinejo teoremas neturedamiai²kaus poºiurio, kas gi i² tikru�ju�tos tikimybes yra. Kai bandymobaig£iu� aibe baigtine ir visos jos vien-odai galimos, galima skai£iuoti palankiasi�vykiui baigtis, o i�vykio tikimybelaikyti palankiu� baig£iu� ir visu� baig£iu�kiekiu� santyki�. O jeigu baigtys neravienodai galimos? Arba jeigu ju�yra be galo daug?

Matematine teorija tik tuomettampa �tikrosios matematikos� dal-imi, kai sukuriama ²ios srities ak-siomatika, t.y. i²vardinami pagrin-diniai objektai, ju� savybes, o i² ju�� naudojantis logika kaip darbiniuinstrumentu � i²vedamos visos ki-tos s¡vokos ir teiginiai.

Vienas pirmu�ju� tikimybiu� teorij¡ aksiomatizuoti pabande Richardas vonMisesas (1883 - 1953). Jis domejosi i�vairiomis matematikos taikymo sritimis,vadovavo Berlyno taikomosios matematikos institutui. Kai Vokietijos gyven-im¡ pradejo tvarkyti naciai, R. von Misesui teko i²vykti. Nepadejo nei jo �karo lakuno � nuopelnai I pasauliniame kare.

Savo tikimybiu� teorijos aksiomatik¡ R. von Misesas kure pagrindiniu ob-jektu pasirink¦s begalines sekas, kurias pavadino kolektyvais. Kolektyv¡galime laikyti matematiniu rei²kinio, kuri� valdo atsitiktinumas, modeliu.Pavyzdºiui, simetri²ko lo²imo kauliuko, kurios sieneles suºymetos skai£iais

34

1, 2, 3, 4, 5, 6, metymo bandym¡ atitiktu� Miseso �kolektyvas�

i1, i2, i3, . . . , ij ∈ {1, 2, 3, 4, 5, 6},

turintis toki¡ savyb¦: jeigu aj(n), j = 1, 2, . . . , 6, rei²kia kieki� elementu�ik = j, k ≤ n, tai aj(n)/n → 1/6, kai n → ∞. S¡voka gana miglota,veiksmai su ²iais objektais, kuriuos nagrineja Misesas, gana painus. Nenu-ostabu, kad Miseso poºiuris nesusilauke demesio. Ta£iau ºvilgtelej¦ i� tuossenai pamir²to straipsnio puslapius galbut geriau suvoksime koki� eleganti²k¡poºiuri� i� tikimybes i²deste rusu� matematikas Andrejus Nikolajevi£ius Kol-mogorovas (1903-1987). Jo nedidele 1933 metais vokie£iu� kalba para²ytaknygele �Tikimybiu� teorijos pagrindai� i² tikru�ju� yra pagrindai, kuriuos, norsir ne i² karto, bet pripaºino visi, kas tyrineja ar taiko tikimybiu� teorij¡. A.Kolmogorovo poºiuri� neformaliai galima paai²kinti taip.

K¡ rei²kia surasti i�vykio tikimyb¦?

Andrejus Nikolajevi£ius Kolmogorovas(1903 - 1987)

Rei²kia i²matuoti jo galimybes i�vykti.Taigi tikimybe yra i�vykio matas.Todel ji privalo tureti tas pa£iaspagrindines savybes, kaip pavyzdºiui,geometrinis matas. Geometrinio ma-to teorija jau yra. Taigi paverskimei�vykius aibemis, pana²iomis i� geo-metriniu� ta²ku� aibes, o tikimybesapibreºkime pagal geometrinio matopavyzdi�.

Tokia yra Kolmogorovo sukur-tos tikimybiu� teorijos aksiomatikosesme. Priimdami ²i¡ �konstitucij¡�paver£iame tikimybiu� teorij¡ visa-verte matematikos sritimi, tokia kaipgeometrija arba analize. Matema-tikams, kuriuos domino tikimybiu� teorija, ºinoma, labai palengvejo. Ta£iautiems, kas nori taikyti tikimybiu� teorij¡ gamtos bei socialiniuose moksluose �nelabai. Juk realiu� i�vykiu� �matavimo�, t.y. ju� tikimybiu� skai£iavimo klausi-mas lieka toks pat keblus kaip ir anks£iau. Pavyzdºiui, poºiuris i� tikimyb¦kaip i� mat¡, nei kiek nepadeda atsakyti i� klausim¡ �kokia tikimybe, kad popenkiasde²imt metu� ºmones i�rengs gamyklas Marse? � O gal toks klausimasi² viso neturi prasmes? Kiek pagalvoj¦ tikriausiai nieko nenuspr¦sime, ta£iaupajusime, jog noretume, kad tokios ru²ies klausimai irgi butu� prasmingi.

A. N. Kolmogorovas buvo vienas ºymiausiu� XX amºiaus matematiku�.Jis paºere daugyb¦ nauju� ideju�, poºiuriu� ir rezultatu� visose svarbiausiosematematikos srityse i²skyrus skai£iu� teorij¡.

35

Budamas septyniolikos metu� A. N. Kolmogorovas i�stojo i� Maskvos uni-versitet¡ jau turedamas geru� savaranki²kai i�gytu� matematikos ºiniu�. Jaubuvo spej¦s ir kiek padirbeti � traukinio konduktorium. Galbut i² pradºiu�nebuvo visi²kai tikras, ar matematika jo tikrasis pa²aukimas. Emesi is-torijos tyrinejimu�, para²e rimt¡ darb¡ apie mokes£iu� rinkim¡ senojoje Nov-gorodo respublikoje. Legenda pasakoja, kaip t¡ darb¡ i�vertino ºinomas is-torikas: �Jus pateikete vien¡ istorinio fakto i�rodym¡. Matematikoje vienoi�rodymo visi²kai pakanka, bet mums istorikams reikia bent de²imties�. Ir A.N. Kolmogorovas atsidejo matematikai. Nepaisant visu� porevoliucines Rusi-jos nepritekliu� Maskvos universitetas buvo nuostabi vieta studijuoti matem-atik¡. �ia dirbo auk²£iausio lygio matematikai, kur¦ XX amºiaus matem-atikos pagrindus: N. N. Luzinas, P. S. Urysonas, P. S. Aleksandrovas, A. J.Chin£inas.

Dirbdamas su A. J. Chin£inu 1924

Jonas Kubilius, vienas pirmu�ju�matematikos mokslo tyrimu�Lietuvoje pradininku�, daug metu�buv¦s Vilniaus universitetorektoriumi

metais A. Kolmogorovas pradejo tikimy-biu� teorijos tyrimus. Tikimybiu� teorijosaksiomatika � tik vienas A. Kolmogorovotikimybiu� teorijos kurinys, ta£iau ir jouºtektu�, kad autorius taptu� ²ios sritiesklasiku. A. Kolmogorovo ideju� i�taka ti-kimybiu� raidai didºiule � jis prat¦se Mar-kovo darbus, sukure ²iuolaikines atsitiktiniu�procesu� teorijos pagrindus...

Ir dar � kaºin ar visoje matematikosistorijoje buvo tokio lygio matematikas,kuris butu� tiek daug laiko, demesio irpastangu� skyr¦s gabiu� moksleiviu� ugdy-mui. I�ºymiojoje matematines kryptiesmokykloje Maskvoje �Kolmogorovo mokyk-loje� jis skaitydavo paskaitas turbut daº-niau nei universitete.

Kolmogorovas kure kaºk¡ daugiau neimatematines teorijos, Kolmogorovas kure �Kolmogorovo visat¡�. Jeigu noritesuºinoti daugiau apie A. Kolmogorovo gyvenim¡ ir veikl¡ � pavartykite tink-lalapi� http://www.kolmogorov.com/

1.13. Lietuviai

Lietuvoje tikimybiu� mokslo ºmoniu� yra daug. Kaip gi jie atsirado?

Pirmieji tikimybiu� teorijos daigai Vilniaus universitete pasirode apie 1800

36

metus. O atskir¡ tikimybiu� teorijos kurs¡ studentams 1830 metais buvopasireng¦s skaityti Zigmantas Revkovskis. Ta£iau ne kaºin kiek suspejo � uºpagalb¡ 1830 metu� sukileliui teko i²keliauti i� Kaukaz¡ gavus caro kariuomeneseilinio titul¡. Ne tik Z. Revkovskio, bet, kaip ºinome, ir paties Vilniausuniversiteto mai²tinga dvasia buvo caro tinkamai i�vertinta � 1832 metais jisbuvo uºdarytas.

1919 metais lenkai atkure Vilniaus universiteto veikl¡ pavadin¦ ji� SteponoBatoro universitetu, o 1922 metais lietuviai Kaune i�kure Lietuvos univer-sitet¡. Abiejuose universitetuose tikimybiu� teorija maºai dometasi. Tiesa,Stepono Batoro universitete dirbo du i�ºymus lenku� matematikai, kurie tyrinejoir tikimybiu� teorij¡: A. Zigmundas ir J. Marcinkiewiczius. Ta£iau tikimybiu�teorijos mokslo Lietuvoje jie, ºinoma, negalejo i�diegti. Juolab, kad J. Mar-cinkiewiczius, trisde²imties metu� Lenkijos karininkas, padejo galv¡ Katyneje.Kulkos yra tiesai, talentui ir groºiui labai abejingi vabzdºiai.

Pasibaigus II pasaulinio karo tragedijai,

Bronius Grigelionis �atsitiktiniu� procesu� tyrimokrypties Lietuvoje pradininkasir vadovas.

nusileido uºdanga. Ji, deja, buvo geleºine.Taigi stebeti vakaru� kulturos bei mokslo i�vy-kius tapo beveik nei�manoma. Tuo labiau ju-ose dalyvauti. Ta£iau ºvelgti i� rytus nebuvodraudºiama. �inoma, tiesa yra visur tiesa,nesvarbu, kur spindi � rytuose ar vakaruose.Jeigu jai leidºiama spindeti. Kadangi tiksliu�ju�mokslu� tiesu� tironai ar totalitariniai reºimaibijo maºiau, arba netgi tikisi jas i²naudotisaviems tikslams, todel pasitaiko, kad tik-slieji mokslai suklesti ir nepalankiomis visuomenesraidai aplinkybemis. �itaip galima pasakytiir apie Tarybu� S¡jung¡ pokario de²imtme£i-ais � matematikos tyrimai buvo pasauliniolygio. I� tokius matematinius centrus Maskvojeir Leningrade turejo galimyb¦ i²vykti keli pir-mieji Vilniaus universiteto pokario metu� ab-solventai matematikai (K. Grincevi£ius, J. Kubilius, A. Naftalevi£ius, S. Stre-licas). Nei vieno i² ju� neketino uºsiimti tikimybiu� teorija. Ar£iausiai josatsidure J. Kubilius i²vyk¦s i� Leningrad¡ (dabar Sankt-Peterburgas), nesjo mokslinis vadovas J. Linnikas (1915-1972) tyrinejo ir skai£iu� teorijos, irtikimybiu� teorijos bei matematines statistikos uºdavinius. Ta£iau J. Kubil-ius uºsieme skai£iu� teorija ir sekmingai apgyn¦s disertacij¡ sugri�ºo i� Lietuv¡.

�Vienas lauke ne karys� � ²is prieºodis nelabai tinka mokslui. Mokslevienas ºmogus gali buti ne tik karys, bet netgi gali pranokti vis¡ armij¡.Ta£iau buti vieninteliu, net ir labai geru kariu ... � tiesiog nuobodoka.

37

Sugri�º¦s i� Vilniu� J. Kubilius ne tik t¦se savo skai£iu� teorijos tyrimus, betir emesi veiklos, pana²ios i� A. Kolmogorovo. Pletojo ne tik savo matematinesidejas bet ir kure s¡lygas kitiems i�sitraukti i� matematin¦ kuryb¡. Be entuzi-azmo nieko gero nesukursi, o entuziazm¡ sukelia asmenines sekmes, kad irnedideles. Buvo pradetos rengti moksleiviu� matematikos olimpiados. Ar galibuti geresne scena patirti pirm¡sias matematines sekmes ir netgi susilauktiplojimu�?

I� kokias gi tyrimo sritis nukreipti

Vytautas Statulevi£ius (1929-2003).Jis buvo pasaulinio lygio tikimybiu�teorijos srities matematikas, taip patdaug nuveike organizuodamastikimybiu� teorijos tyrimus Lietuvoje.

tuos jaunus ºmones, patyrusius pirmo-sios sekmes skoni� moksleiviu� matem-atikos olimpiadose, pradejusius tikrasmatematikos studijas universitete ir su-pratusius, kad jos tik pradºia? Gaivuspradºios jausmas � vienas didºiausiu�kiekvieno tyrinetojo malonumu�.

Buvo nuspr¦sta pagrindine Lietuvojepletojamu� matematikos tyrimu� kryp-timi paversti tikimybiu� teorij¡. Argu-mentai paprasti, lengvai suvokiami irteisingi: tikimybiu� teorija i�domi teoriniupoºiuriu, be to � svarbi savo taikymais.Ta£iau reikejo �i�sikibti�, i�sitraukti i� svarbiu�tikimybiu� teorijos ir statistikos klausimu�tyrim¡.

I� matematinius Tarybu� S¡jungos cen-trus i²vyko jaunesnes kartos ºmones:Vytautas Statulevi£ius i� Leningrad¡ tikimybiu�

teorijos studiju� vadovaujant J. Linnikui, B. Grigelionis i²vyko i� Kijev¡ ir tapoºymaus tikimybininko B. Gnedenkos aspirantu... Taip susidare pirmosios li-etuvi²kos tikimybiu� teorijos mokslo ²akos, o kaip jos toliau ²akojosi � atskiru�studiju� verta tema.5

Kai geleºine uºdanga surudijo ir subyrejo, Lietuvos matematikams at-sivere ir vakaru� erdve. Daug Lietuvoje i²augusiu� tikimybiu� teorijos specialistu�dirba i�vairiu� ²aliu� mokslo centruose.

O Lietuvoje nuo 1973 metu� kas 5 metai vyksta tradicine tarptautinetikimybiu� teorijos ir statistikos konferencija. Tai viena svarbiausiu� ²ios sri-ties konferenciju�. Prie² kelis de²imtme£ius ji teike unikali¡ galimyb¦ susitiktivakaru� ir rytu� ²aliu� mokslininkams tyrinejantiems tikimybiu� teorijos moksl¡.Apie ²io mokslo pagrindus skaitykite jau kitame ²ios knygos puslapyje.

5I²sami¡ apºvalg¡ galima rasti knygoje �Matematika Lietuvoje po 1945 metu��. Matem-atikos ir informatikos institutas, 2006.

38