tilpasset opplæring
TRANSCRIPT
Tilpasset opplæring og skolefagene– et fagdidaktisk og matematikkfaglig perspektiv
Tor Espen [email protected]
8. november 2007
Hva skal vi tilpasse?Skal alle elvene lære samme matematikk?
Jan de Lange, 1985:
«Mathematics for all is no Mathematics at all.»
Tor Espen Kristensen [email protected] | Tilpasset opplæring og skolefagene 2
Fargedelen
Denne delen har treningsoppgåver i tre vanskegradar.Læraren hjelper deg med å velje rett farge alt etterkor godt du har fått med deg stoffet i generell del.
Det kan være greitt å arbeide med stoffet ein gong til,kanskje på ein litt annan måte enn første gongen.Da vil det passe å velje blå farge.
Det kan vere at du berre treng litt meir øvingfor å bli sikker. Da høver det å velje gul farge.
Det kan vere at du tykkjer stoffet er enkelt.Da treng du fleire utfordringar.Det finn du i raud farge.
BLÅ
RAUD
GUL
A 47
Kva kallar vi figurane nedanfor?
a)
BLÅ
b)
d) e)
c)
GUL
a
a
a
bb
a
bc h
r
h
a
a
a
A 131
Set namn på dei geometriske figurane i kladdeboka og
forklar kva som skil kvar enkelt figur frå dei andre.
a) b) c)
d) e) f)
g) Kva for nokre av figurane er regulære mangekantar?
A 177
Eit blomsterbed har form som ein sirkel og har ein omkrins
på 55 dm. Kor stort er arealet?
A 178
Ein halvsirkel har ein omkrins på 27,756 m.
a) Kor stor radius har sirkelen?
b) Kor stort er arealet av halvsirkelen?
RAUD
Tilpasset undervisning i matematikkfagetAschehougs matematikkbøker for videregående skole:
STIGFINNAREN
Stig 1 Stig 2 Stig 3
1.1 Kva er ein vektor? 100, 101, 102, 103 101, 102, 103, 104 101, 102, 103, 104
1.2 Addisjon ogsubtraksjonav vektorar
105, 106, 108, 110,
111
106, 108, 109, 112,
114�, 115�
106, 107, 108, 112,
113�, 116�
1.3 Parallelle vektorar 117, 119, 121, 122� 118, 120, 121, 122�,
124�
121, 123�, 124�, 125�,
126�
1.4 Vektorkoordinatar 128, 130, 131, 134 129, 131, 133, 134,
136�
133, 135�, 136�, 137�
1.5 Lengda av vektorar 138, 140, 141, 143 138, 139, 142, 147�,
149�
142, 145, 146, 148�,
149�, 151�
1.6 Skalarprodukt 152, 154, 157, 158, 153, 154, 156, 157, 155, 159 , 160, 162 ,
Tor Espen Kristensen [email protected] | Tilpasset opplæring og skolefagene 7
STEGMODELL I MATEMATIKK 5. – 10. KLASSE
STEG NR. TEMA FOR STEGENE
0 Repetisjon
1 Posisjonssystemet
2 Sammenheng mellom enheter
3 Geometriske figurer
4 AKTIVITETSSTEG (kakehus)
5 Reknearter og tabellkunnskap
6 Penger, kjøp og salg
7 Samle og tolke data
8 AKTIVITETSSTEG (butikk)
9 Berekninger fra dagliglivet
Eg kan telja opp til 20
og nedatt til 0.
Eg kan telja opp til 10 og nedatt
til 0.
Når eg samanliknar
mengder, veit eg kvar det er flest.
Eg kan talsymbola
1-10
Eg veit korleis trekant, firkant og sirkel ser ut.
Eg veit kva som er først og sist. (Rekkjefølgje)
Eg kan finne ting som har
ulik form, tyngde og
farge.
Eg kan fleire talregler og
ellingar.
Eg kan følja reglar når eg spelar spel.
1
Matematikk i dagleglivet
1
ROM OG FORM
1
TAL
MATEMATIKK
2
Matematikk i dagleglivet
2
ROM OG FORM
2
TAL
Eg klarar å laga ulike former, figurar og
mønster
Eg har arbeidd med måling (m/
cm, kg/g, l/dl)
Eg klarar å sortere ulike
ting
Eg kan talsymbola 1-
10
Eg kan visa når klokka er heil- og halv time
Eg kan leggja til og trekkja frå med tal
opp til 20
Eg har arbeidd med einarplass og tiarplass
Eg kan talsymbola 10-
100
Eg veit kva sirkel, firkant, trekant, terning, sylinder
og kule er.
Eg har arbeidd med å leggja til og trekkja frå med tal opp til
100
Eg kan bruka lommereknar
Eg veit kva partal og oddetal er
Eg kan bruka reknespel på data
Eg har arbeidd med norske
myntar og sedlar
Eg kan dobla og halvera
MATEMATIKK
Eg har arbeidd med
spegling.
3
Matematikk i dagleglivet
3
ROM OG FORM
3
TAL
Eg veit kva ein rett vinkel er. Eg kan samarbeida
når me skal spela spel
Eg har arbeidd med subtraksjon og
addisjon av fleir- sifra tal over 20
både i hovudet og på papiret
Eg har arbeidd med å læra meg
klokka
Eg veit korleis me
skriv romartal
Eg har arbeidd med spegling
Eg har arbeidd med multiplikasjon: 2-, 3, 4-, 5- og 10 tabellen
Eg har arbeidd med
kvadratcenti -meter, liter og
deciliter
Eg veit korleis eg måler lange og korte ting
Eg kan seia kor langt eg trur noko
er, og så måla lengda med metermål
Eg har leika butikk
Eg har arbeidd med einarplass,
tiarplass og hundrarplass
Eg har arbeidd vidare med eit
mønster
Eg greier plassera noko i eit rutenett, for
eksempel laga eit skattekart
Eg kan bruka lommereknar
Eg har arbeidd med å kontrollera svar på
ulike måtar
MATEMATIKK
4
Matematikk i dagleglivet
4
ROM OG FORM
4
TAL
Eg kan bruka tal og rekna i praktiske
situasjonar
Eg kan bruka vekt for å sjå
kor tunge ting er
Eg kan måla lengde med metermålet
Eg kan finna fram på
kalenderen
Eg veit kva einar, tiar-, hundrar- og tusenplass i vårt talsystem tyder
Eg kan gonga og dela med 10 i hovudet
Eg kan forskyva og
spegla mønster
Eg veit kva kvadratmeter og
kvadratcentimeter er, og eg kan rekna
ut areal
Eg kan bruka lommereknar
Eg kjenner til negative tal slik me møter dei på temperaturmålaren
Eg kan samla inn data og visa dei i
søylediagram
Eg har arbeidd med å setja enkle former saman til
større figurar
Eg har arbeidd med brøk og
desimaltal
Eg har øvd mykje på
multiplikasjon-tabellen
Eg kan forklara for andre korleis eg tenkjer når eg reknar i hovudet
Eg har arbeidd med at ein kubikk-desimeter er det same som ein liter
Eg har arbeidd med vinklar
Eg kan bruka rutenett og laga eit enkelt kart
MATEMATIKK
Tilpasset undervisning i matematikkfagetArbeidsplaner
Tor Espen Kristensen [email protected] | Tilpasset opplæring og skolefagene 13
Tilpasset undervisning i matematikkfagetArbeidsplaner
BBBLLLÅÅÅ LLLØØØYYYPPPEEE GGGUUULLL LLLØØØYYYPPPEEE RRRØØØDDD LLLØØØYYYPPPEEE
MA
TT
E
Mål: Finne fellesnevner
Multiplisere og dividere brøker
Gjøre om mellom brøk og
desimaltall og prosent
Finne prosentdelen
Oppgaver:
10.73 b) c)
10.74 a)
2.16 2.25 2.34 2.35
2.38 a) 2.46 2.52 2.58
2.64 2.75 2.79
3.1 3.2 3.3 3.4 3.9
3.12 3.16
Mål: Finne fellesnevner
Multiplisere og dividere brøker
Gjøre om mellom brøk og desimaltall
og prosent
Finne prosentdelen
Oppgaver:
10.73
10.77
2.41 2.42 2.44 2.46 2.47
2.53 2.54 2.58 2.59 2.60
2.61 2.66 2.67 b) c) 2.75
2.78 2.80 2.82
3.3 3.5 3.9 3.12 3.19 3.21
3.25
Mål: Finne fellesnevner
Multiplisere og dividere brøker
Gjøre om mellom brøk og desimaltall
og prosent
Finne prosentdelen
Oppgaver:
10.77
10.80 a) c)
2.45 c) d) 2.49 2.50 2.54 2.55
2.60 2.63 2.66 2.70 2.71 2.72
2.73 2.75 2.78 2.80 2.82 2.96
3.8 3.9 3.12 3.19 3.22 3.25
Tor Espen Kristensen [email protected] | Tilpasset opplæring og skolefagene 14
Tilpasset undervisning i matematikkfaget
Fra artikkelsamlingen
Ofte blir tilpassa opplæring oppfatta som einstydande medindividualisering og differensiering, noko som kan føre til både eisosial og ei fagleg fragmentering; alle driv med sitt. Men ei slikpraktisering av opplæringstilpassing strir mot kravet om atlæringsmiljøet skal vere inkluderande.
Finnes det et verktøy som sikrer tilpasset opplæring imatematikk?
Tor Espen Kristensen [email protected] | Tilpasset opplæring og skolefagene 15
Tilpasset undervisning og arbeidsplanerPISA+
Et av funnene så langt i PISA+ er at bruk av arbeidsplaner leder tilat mye tid brukes på individuelt arbeid, særlig oppgaveløsning.Dette oppleves av mange elever som ensformig, kjedelig ogdemotiverende.
Tre strategier:
1 Vente med å arbeide med matematikk til de siste par dageneav arbeidsplanperioden
2 Gjøre seg ferdig med matematikkdelen av arbeidsplanen iløpet av en til to dager i begynnelsen av perioden.
3 Være bevisst på å spre arbeidet utover hele planperioden
(Ole Kr. Bergem)
Tor Espen Kristensen [email protected] | Tilpasset opplæring og skolefagene 16
Tilpasset undervisning i matematikkfagetI begynnerundervisningen, Haug mfl.
0 %
5 %
10 %
15 %
20 %
25 %
30 %
35 %
40 %
45 %
50 %
Aheu AUE Afb Afl Afr Asa Ale Ato Aly Anna
1. kl
2. kl
3. kl
4. kl
Tor Espen Kristensen [email protected] | Tilpasset opplæring og skolefagene 17
Tilpasset undervisning i matematikkfagetI begynnerundervisningen, Haug mfl.
0 %
5 %
10 %
15 %
20 %
25 %
30 %
35 %
40 %
45 %
Fakta Dugleik Omgrep og
omgrepsstrukturar
Prosessar Strategiar
1. kl
2. kl
3. kl
4. kl
Tor Espen Kristensen [email protected] | Tilpasset opplæring og skolefagene 18
Tilpasset undervisning i matematikkfaget
Alseth & Røsseland om stegark:
Det er vår overbevisning at en ikke kan organisere seg vekk frautfordringene knyttet til tilpasset undervisning, selv om enkelterektorer kan synes å tro det. Tilpasset undervisning er noe somskjer i møtet mellom lærer, elev og fagstoff, uavhengig av hvordanmøtet er organisert.
Tor Espen Kristensen [email protected] | Tilpasset opplæring og skolefagene 19
Elevenes kunnskaper og forutsetninger
Faglig svake elever Faglig sterke elever
?
Hva mener vi egentlig når vi sier at en elev er faglig sterk imatematikk?
Tor Espen Kristensen [email protected] | Tilpasset opplæring og skolefagene 20
Formålet med fagetIfølge LK06
Solid kompetanse i matematikk er dermed ein føresetnad forutvikling av samfunnet. Eit aktivt demokrati treng borgarar somkan setje seg inn i, forstå og kritisk vurdere kvantitativinformasjon, statistiske analysar og økonomiske prognosar. På denmåten er matematisk kompetanse nødvendig for å forstå ogkunne påverke prosessar i samfunnet.
Matematikkfaget i skolen medverkar til å utvikle den matematiskekompetansen som samfunnet og den einskilde treng. For å oppnådette må elevane få høve til å arbeide både praktisk og teoretisk.
Tor Espen Kristensen [email protected] | Tilpasset opplæring og skolefagene 21
Mathematical literacyHvordan skal vi forstå ordet ferdighet?
Mathematical literacy (på norsk: matematisk allmenndannelse)
Matematisk allmenndannelse er den enkeltes evne til identifisereog forstå den rollen som matematikken spiller i verden, å foretavelbegrunnede vurderinger og å bruke matematikk på måter sommøter behovene i personens liv som en konstruktiv, engasjert ogreflektert borger. (OECD 2000, s. 10)
Tor Espen Kristensen [email protected] | Tilpasset opplæring og skolefagene 22
Praktiske problemer. . .
Kurt Reusser gav følgende oppgave til 97 elever i 1. og 2. klasse:
There are 26 sheep and 10 goats on a ship.How old is the captain?
76 av elevene «løste» oppgaven ved å bruke tall.H. Radatz gav «non-problems» som:
Alan drove the 50 miles from Berkeley to Palo Alto at 8 a.m. Onthe way he picked up 3 friends
Ingen spørsmål ble stilt. Likevel var det mange elever som løsteoppgaven ved å kombinere tallene og produsere et «svar».
Tor Espen Kristensen [email protected] | Tilpasset opplæring og skolefagene 23
Praktisk matematikk versus teoretisk matematikk
Tony Gardiner, 2004:
Mathematics teaching may be less effective than most of uswould like; but we should hesitate before embracing the idea thatschool mathematics would automatically be more effective on alarge scale if the curriculum focused first on «useful mathematicsfor all» (numeracy), with more formal, more abstract mathematicsto follow for the few.
«The TIMSS 2003 results support the premise that successfulproblem solving is grounded in mastery of more fundamentalknowledge and skills.» (Mullis mfl. 2004)
Tor Espen Kristensen [email protected] | Tilpasset opplæring og skolefagene 24
Fra en kontekst til en annen. . .
En rekke studier viser at det er problematisk å overføre kunnskapfra en situasjon og uttrykksform til en annen. En banebrytendestudie fra 1985 (Carraher, Carraher & Schliemann) viser hvordangatebarn i Brasil besvarer de samme matematiske utfordringenefundamentalt forskjellig om de får dem på gata eller iklasserommet. (Alseth, 2003)
Tor Espen Kristensen [email protected] | Tilpasset opplæring og skolefagene 25
Realistisk matematikk
Reelle konteksterMatematiskmodellering
Rammeverk avmatematiske
relasjoner
Vertikalmatematisering
Horisontalmatematisering
Tor Espen Kristensen [email protected] | Tilpasset opplæring og skolefagene 26
Realistisk matematikkModeller i matematikk
Matematikk kan foregå på ulike plan:
Situasjonsbetinget
Henvisende
Generell
Formell
Bjørnar Alseth:
Vi vil poengtere at det er sværtviktig for den matematiskelæringen at elevene ikke blirværende i situasjonen, men at defår hjelp til å trekke utmatematikken ut av de praktiskeforholdene som situasjonen harskapt.
Tor Espen Kristensen [email protected] | Tilpasset opplæring og skolefagene 27
Læring i fellesskapet?
Fra PISA+ (Kirsti Klette og Svein Lie)
Videoopptak av grupper/ par av elever fra naturfag- ogmatematikktimer viser for eksempel et påfallende fravær avlæringssituasjoner der elevene prøver ut eller utforsker et fagligproblem i fellesskap. Verken lærernes instruksjon, oppgavenesutforming eller krav til dokumentasjonsformer stimulerte her tilfelles problemløsning. Observasjonene dokumenterer få fagligeelevdialoger i naturfag og matematikk.Helklassesamtalen som et særegent kollektivt rom formeningsutprøving og læring er imidlertid lite systematisk utnyttet.
Tor Espen Kristensen [email protected] | Tilpasset opplæring og skolefagene 28
Hva vil vi elevene skal kunne?Kompetanser i matematikk
Fra formålet:
Problemløysing høyrer med til den matematiske kompetansen.Det er å analysere og omforme eit problem til matematisk form,løyse det og vurdere kor gyldig det er. Dette har òg språklegeaspekt, som det å resonnere og kommunisere idear. I det mesteav matematisk aktivitet nyttar ein hjelpemiddel og teknologi.Både det å kunne bruke og vurdere hjelpemiddel og teknologi ogdet å kjenne til avgrensinga deira er viktige delar av faget.Kompetanse i matematikk er ein viktig reiskap for den einskilde,og faget kan leggje grunnlag for å ta vidare utdanning og fordeltaking i yrkesliv og fritidsaktivitetar.
Tor Espen Kristensen [email protected] | Tilpasset opplæring og skolefagene 29
Matematisk kompetanseMogens Niss og Tomas Højgaard Jensen
Å spørre og svare i, med og ommatematikk
Tankegangskompetanse
Problembehandlings-kompetanse
Modelleringskompetanse
Resonnementskompetanse
Å omgås språk og redskaper imatematikk
Representasjonskompetanse
Kompetanse i symbolbruk ogformalisme
Kommunikasjonskompetanse
Hjelpemiddelkompetanse
Tor Espen Kristensen [email protected] | Tilpasset opplæring og skolefagene 30
Undersøkelseslandskap
Skovsmose har innført begrepet undersøkelseslandskap omoppgaver som innebærer at elevene må være kreativeproblemløsere.
Opp mot undersøkelseslandskapet setter hanoppgaveparadigmet, som Botten oversetter med tradisjonelle
matematikkoppgaver. Dette er oppgaver som har entydigesvar, i motsetning til oppgaver i undersøkelseslandskapet,som er mer åpne.
Tor Espen Kristensen [email protected] | Tilpasset opplæring og skolefagene 31
Oppgavetyper
Tradisjonellematematikkoppgavermed et entydig fasitsvar
Undersøkelseslandskap
«Ren» matematikk,uten noen praktiskanvendelse
(1) (2)
«Semi»-anvendelserav matematikken
(3) (4)
Ekte, reelleanvendelser avmatematikk
(5) (6)
Tor Espen Kristensen [email protected] | Tilpasset opplæring og skolefagene 32
Åpne oppgaver
b) Fatima får 16 poeng.Lag tre forskjellige forslag til hvor hun kan treffe med pilene.
Sett kryss på blinkene der pilene treffer:
Kladderute
Tor Espen Kristensen [email protected] | Tilpasset opplæring og skolefagene 33
Rike problemKarakteriseres ved:
1 Problemet skal introdusere viktige matematiske ideer eller visseløsningsstrategier
2 Problemet skal være lett å forstå og alle skal ha en mulighet til åarbeide med det
3 Problemet skal oppleves som en utfordring, kreve anstrengelser ogta tid
4 Problemet skal kunne løses på flere måter, med ulike strategier ogrepresentasjoner
5 Problemet skal kunne initiere en matematisk diskusjon medutgangspunkt i elevenes løsninger som viser ulike typer strategier,representasjoner og matematiske ideer
6 Problemet skal kunne fungere som brobygger mellom ulikematematiske områder.
7 Problemet skal kunne lede til at elever og lærere formulerer nyeinteressante problem.
Tor Espen Kristensen [email protected] | Tilpasset opplæring og skolefagene 34
Representasjoner
Konkretting, brikker
Halv-konkrettegninger, bilder
Halv-abstraktIkonisk
AbstraktSymboler
Vi kan bruke konkretene til å simulere virkeligheten.
Eksempel
I en klasse på 25 elever var det 3 jenter mer enn gutter. Hvormange jenter og gutter var det i klassen?
Tor Espen Kristensen [email protected] | Tilpasset opplæring og skolefagene 35
Representasjoner
Konkret
Kan simulere medf.eks knapper
Halv-konkret Halv-abstrakt Abstrakt
3 + 2 = 5
Tor Espen Kristensen [email protected] | Tilpasset opplæring og skolefagene 36
RepresentasjonerKonkreter
Bjørnar Alseth referer til en undersøkelse der 75 % av femåringeneklarte å løse oppgaver av følgende type dersom de fikk «spille»det som skjedde med konkreter:
Lise har 20 perler. Hun legger perlene i esker med fire perler ihver eske. Hvor mange esker trenger hun?
Jens har tre tyggegummipakker med seks biter i hver pakke.Hvor mange tyggegummibiter har Jens?
Tor Espen Kristensen [email protected] | Tilpasset opplæring og skolefagene 37
Representasjoner
Eksempel
Solid idrettslag eier halvparten av Solidhuset. Trott har kjøpt 1/3.Kommunen eier resten.Hvor mye er det?
Tor Espen Kristensen [email protected] | Tilpasset opplæring og skolefagene 38
Representasjoner
Bilder
KonkreterSkrevne
symboler
Relevantesituasjoner
Muntligspråk
Tor Espen Kristensen [email protected] | Tilpasset opplæring og skolefagene 41
Hvilke arbeidsmåter gir best læringsutbytte?Resultater fra The International School effectiveness research project
Aktivitet Tid i % 1. klasse Tid i % 2. klasse
Klasseundervisning 7-23 2-34
Gruppearbeid 11-38 13-25
Individuelt arbeid 10-30 10-32
Ikke-faglig aktivitet 0-15 0-25
Aktivitet Matematikk i 1. klasse Matematikk i 2. klasse
Klasseundervisning −0, 28 0, 33
Gruppearbeid 0, 16 −0, 39
Individuelt arbeid −0, 09 −0, 47
Ikke-faglig aktivitet 0, 03 0, 10
Variasjon i aktivitet 0, 07 0, 25
Tor Espen Kristensen [email protected] | Tilpasset opplæring og skolefagene 42
Peder Haug og Kari Bachmann:
«Poenget vårt er at tilpassa opplæring korkje kan sikrast gjennomlærarstyrte eller elevaktive arbeidsformer i seg sjølv, korkjegjennom individuelt elevarbeid eller gjennom fellesaktivitetar igrupper og klasser, korkje gjennom lærarautonomi eller sentralstyring. Ingen måte å arbeide på som er vanleg i skulen er iutgangspunktet korkje god eller dårleg, alt avheng av korleis detvert arbeidd» (Haug, 2006, Klette, 2003).