10/22/2014

1

TKS 4008 Analisis Struktur I

TM. XIV : HUBUNGAN MOMEN DENGAN ROTASI

Dr.Eng. Achfas Zacoeb, ST., MT.

Jurusan Teknik Sipil

Fakultas Teknik

Universitas Brawijaya

BALOK JEPIT JEPIT

1 2

a = 0 b = 0

M1 M2

H

Sifat tumpuan jepit :

Tidak mengijinkan terjadinya rotasi/sudut putaran .

Mampu menerima gaya dengan arah sembarang.

10/22/2014

2

Gaya pada balok jepit-jepit :

Struktur Statis Tak Tentu Luar Tingkat 3 (ada 3 kelebihan gaya luar/external redundant)

V M

H

a = 0

V M

H b = 0

V

M

H

V M

H

a = 0 b = 0

BALOK JEPIT JEPIT (Lanjutan)

HUB. GARIS ELASTIS & MOMEN

1 2

a b

a = b = 0

(jepit - jepit)

a0 b0 1 2

Deformasi pada sistem

dasar akibat gaya luar

P

a1 b1

M1 = 1 Deformasi pada sistem

dasar akibat beban

M1 = 1

a2 b2

M2 = 1

Deformasi pada sistem

dasar akibat beban

M2 = 1

(a)

(b)

(c)

(d)

10/22/2014

3

Dengan prinsip superposisi diperoleh persamaan garis elastis :

2221o

2211o

MM

MM

bbbb

aaaa(1)

Dari Pers. (1), M1 dan M2 dapat diperoleh dengan cara :

1221

2o2o1

)()-(M

1221

1o1o2

)()(M

(2b)

(2a)

HUB. GARIS ELASTIS & MOMEN (Lanjutan)

Karena kondisi tumpuan jepit - jepit (a = b = 0), sehinga M1 dan

M2 menjadi :

1

2

2

1

2

o

2

o

1M

2121

1o1o2

M

(3b)

Dari Pers. (3a) dan (3b), terlihat bahwa M1 dan M2 tergantung

pada rotasi/sudut putaran tumpuan (terdapat hubungan antara

momen dengann rotasi/sudut putaran a dan b).

(3a)

HUB. GARIS ELASTIS & MOMEN (Lanjutan)

10/22/2014

4

MENCARI NILAI a dan b

Dengan menggunakan Moment Area Method dengan cara

membebani sistem struktur dasar dengan diagram bidang M

akibat beban luar sebagai beban.

a0 = b0 = sudut putaran/rotasi akibat beban luar pada sistem

balok dasar sederhana.

a1 = b1 = sudut putaran/rotasi akibat beban M1 = 1 pada balok

dasar sederhana.

a2 = b2 = sudut putaran/rotasi akibat beban M2 = 1 pada balok

dasar sederhana.

a1 dan b1 akibat M1 = 1

a1 b1

A B

Deformasi pada

sistem dasar

M1 = 1

1

Diagram M akibat

M1 = 1

1/(EI) Bidang M/(EI)

sebagai beban pada

sistem dasar a1 b1 L/(2EI)

(c1)

(c2)

(c3)

10/22/2014

5

Dengan berpedoman gambar pada slide sebelumnya (Slide 8), maka :

0MB

3EI

L

L

1L

3

2

EI

1L

2

1)(R 1A

a

6EI

L

L

1L

3

1

EI

1.L.

2

1)(R 1B

(4)

(5)

RA dan RB adalah masing masing rotasi a1 dan b1 dimasing-

masing tumpuan akibat bidang M sebagai beban pada sistem

balok sederhana.

a1 dan b1 akibat M1 = 1 (Lanjutan)

Perhintungan a2 dan b2 akibat M2 = 1, analog dengan cara

perhitungan a1 dan b1 :

a2 b2 A B

Deformasi pada

sistem dasar

M2 = 1

1 Diagram M akibat

M2 = 1

1/(EI)

Bidang M/(EI)

sebagai beban pada

sistem dasar a2 b2 L/(2EI)

(d1)

(d2)

(d3)

a2 dan b2 akibat M2 = 1

10/22/2014

6

0MB

6EI

L

L

1L

3

1

EI

1L

2

1)(R 2A

3EI

L

L

1L

3

2

EI

1L

2

1)(R 2B

2121

2o2o1

M

Dari Pers. (4), (5), (6), dan (7), menunjukkan bahwa a1 = b2, dan

a2 = b1, serta terdapat hubungan antara momen denga rotasi.

Selanjutnya dengan substitusi a dan b ke Pers. (2) atau (3), maka

akan diperoleh :

(8)

a2 dan b2 akibat M2 = 1 (Lanjutan)

(6)

(7)

HUB. M, , DAN EI

2121

20201

)()(M

2211

2010

)()(

2

2

2

1

00

6EI

L

3EI

L

2

6EIL2

3EIL

6EIL

03EIL

0

)()(

)()(

2

6EIL2

3EIL

6EIL

06EIL

0

)()(

)()2(2

2

6EIL2

3EIL

6EIL

00

)()(

)}(){2(

26EIL2

3EIL

6EIL

00 )}(2){(2

Sehingga :

10/22/2014

7

6EI

L

6EI

4L

L22

2200

6EI

3L

L22

200

200

3L

6EIL22

2200

6EI

L

3EI

L

6EI

L

22

HUB. M, , DAN EI (Lanjutan)

L

2EI22M 001

Analog dengan M1, akan diperoleh juga untuk M2 :

L

2EI22M 002 (10)

(9)

HUB. M, , DAN EI (Lanjutan)

Karena a = b = 0 mengingat kondisi tumpuan jepit jepit, maka :

10/22/2014

8

L

2EI2M 001 (11)

(12) L

2EI2M 002

Dari Pers. (11) dan (12), terlihat bahwa M1 dan M2 merupakan

fungsi dari a0, b0, dan kekakuan EI jadi yang diperlukan adalah mencari a0 dan b0 (untuk definisi a0 dan b0, lihat kembali

slide 7).

HUB. M, , DAN EI (Lanjutan)

NILAI a0 DAN b0

1. Balok jepit-jepit dengan beban merata q

Diagram M akibat

beban luar pada sistem

balok sederhana

Sistem balok sederhana

Balok Jepit-jepit

a0 b0

2 1

q 1 2

q

M2 M1

Diagram M/EI sebagai

beban pada sistem

balok sederhana

1/8qL2

R1 R2

(1/8qL2)/(EI)

dx

dA

y

10/22/2014

9

a0 dan b0 yang merupakan sudut putaran/rotasi di tumpuan dapat

ditentukan dengan membebani sistem dasar dengan M yang

direduksi 1/(EI).

Pers. momen lentur : EI

1qx

2

1x

2

qLy

2

dxqx2

1x

2

qL

EI

2dx.y

EI

2A

2L

2L

0

2

0

Luas bidang, A = M/(EI)

2/L

0

32x

6

qx

4

qL

EI

2

33

L8

1

6

q

16

qL

EI

2

Luas elemen dA = y.dx

NILAI a0 DAN b0 (Lanjutan)

EI12

qL

48

qL

16

qL

EI

2A

333

Sehingga :

EI24

qL

L

1

2

LL

EI12

qR

33

10

a

EI24

qLR

3

200 ab

L

2EI2MM 0021

233

qL12

1

L

EI2

EI24

qL

EI12

qL

(Luas bidang M)

(karena simetris)

q

1 2

M2 M1

qL/2 qL/2

M1/L M1/L

M2/L M2/L

M2 M1

qL/2 qL/2

qL2/24

NILAI a0 DAN b0 (Lanjutan)

10/22/2014

10

MENGGAMBAR DIAGRAM M, D, & N

Balok jepit-jepit

Free body diagram

M1 M2

1 2

qL/2 qL/2

M1/L M1/L

M2/L M2/L +

R2 R1

(+) (1)

(-) 1/12qL2

(2)

Diagram M akhir

Mmax = (1/8qL2) - 1/12qL2) = 1/24qL2

(3) (-) (-) (+)

MMax

MMin

Diagram M pada sistem dasar

Diagram M akibat M1 dan M2

M1 = M2 = (1/12)qL2

M1 M2

Balok Jepit-Jepit, Beban P Tidak Simetris

Bidang M sistem

balok sederhana

Bidang M/EI

sebagai beban pada

balok sederhana

6EI

L2

3EI

L2

3EI

L1

6EI

L1

b

3

2

2L

Pab

3

ab

2L

bPa

L

1R

22

10

b

3

1a

2L

Paba

3

2

2L

bPa

L

1R

22

20

2

2

001L

Pab

L

2EI2M

2

2

002L

Pba

L

2EI2M

Tentukan M1 dan M2 P

1

2 M2

M1

a1 2

M1=1

b1

a2 2

M2=1

b2

a0 b0

1

1

a b

10/22/2014

11

P

1

2

M2

M1

a b

Pb/L Pa/L

M1/L M1/L

M2/L M2/L

R1 R2

(+)

Balok Jepit-Jepit, Beban P Tidak Simetris (Lanjutan)

Tentukan M1 dan M2

6EI

L2

3EI

L2

3EI

L1

6EI

L1

b0

16

PL

L

1

2

L

4EI

PL

2

L

2

0

Dengan meninjau SM2 = 0 diperoleh :

Karena simetris maka :

16

PL

L

1

2

L

4EI

PL

2

L

2

0

L

2EI2MM 0021

8

PL

L

2EI

16

PL

16

PL2

22

M2 P

1 2 M1

a1 2

M1=1

b1

a2 2

M2=1

b2

a0

1

1

L/2 L/2

Balok Jepit-Jepit, Beban P Simetris

Bidang M sistem

balok sederhana

Bidang M/EI

sebagai beban pada

balok sederhana

10/22/2014

12

DAFTAR MOMEN PRIMER

P

1 2

M1

a b

M2 2

2

1L

aPbM

2

2

2L

bPaM

P

1 2

M1

L/2 L/2

M2

8

PLMM 21

P

1 2

M1

a a

M2 P

L

a1aPMM 21

q 1 2 M1

L

M2

12

qLMM

2

21

2

L

3b

L

MbM1

M 1 2

M1

a b

M2

2

L

3a

L

MaM2

q 1 2 M1

a

M2

b

222

2

1 a4ab6b12L

qaM

22

2

2 a4ab12L

qaM

q 1 2 M1

a

M2

a b

)b(3L24L

qbM

222

1

21 MM

q 1 2 M1

a

M2

a b

)

L

a(2

L

a1

12

qLM

2

22

1

21 MM

3

3

21

1 Lb

Lb

PLM

163PL

M1

La

1Pa23

M1

8qL

M2

1

P

1 2

M1

a b

P

1 2

M1

L/2 L/2

P

1 2

M1

a a

P

q 1 2 M1

L

22

1 Lb

18

qaM

q 1

2

M1

a b

2

q 1 M1

a b

2

22

1 Lb

28

qbM

2

1

M1

L 15qL

M2

1

2

1

M1

L

1207qL

M2

1

DAFTAR MOMEN PRIMER (Lanjutan)

10/22/2014

13

15

qLM

2

1

ML

b31M

2

2

21

1

M 1 2

M1

a b

2

1

M1

L

DAFTAR MOMEN PRIMER (Lanjutan)

Terima kasih atas Perhatiannya!