Torsione di sezioni assialsimmetriche

Si applica con un momento, che può anche essere rappresentato con un vettore (per

distinguerlo a doppia freccia), secondo la regola del cavatappi

La barra è in torsione pura se ogni sezione è assoggettata a solo momento torcente (facile

nelle sezioni assialsimmetriche)

Incastro Il calcolo parte da una assunzione:

Per l’assialsimmetria si presume che

ciascuna sezione ruoti attorno all’asse e si

mantenga piana e ad esso ortogonale

Ogni sezione ruota di un angolo = f(x)

Scorrimento

fibra esterna: max

'atan

bb RdR

dxab

max

rr r

R

Esaminiamo un elementino di lunghezza assiale dx

Angolo di torsione per

unità di lunghezza:

d

dx

R

Dato che l’angolo di torsione è uguale nella sezione, esso è

indipendente dal raggio e quindi:

Variazione lineare in r

Quanto fin qui sviluppato si basa solo sulla geometria e quindi vale

per qualunque materiale, lineare o non, elastico o plastico che sia

Caso di materiale elastico lineare max GR

r Gr

Riferimento assiale

Riferimento

inclinato di 45°

123

Aspetto di una rottura per torsione su un materiale a comportamento fragile

Aspetto di una rottura per torsione su un materiale a comportamento duttile

Per una sezione circolare: 2 4 4

02

2 32

R

polI r rdr R D

max

pol

TR

I max 3

16T

D

Circolare piena

max 4 4

int

16 ext

ext

T D

D D

Circolare cava

Sommando tutti i contributi 2max max polareA A

T dT r dA IR R

LEGAME TRA IL MOMENTO TORCENTE APPLICATO E LA TENSIONE DI TAGLIO

Contributo elementino dA: 2max dT rdA r dAR

R

r

Nella progettazione di alberi di trasmissione di potenza, si

usano in genere alberi cavi per un risparmio di peso senza

andare ad inficiare pesantemente il momento ammissibile

332

4

medpol med

d tI r t

LEGAME TRA IL MOMENTO TORCENTE APPLICATO E ANGOLO DI TORSIONE

max

R

;

pol

T

GI

pol

TLL

GI

polGI

L

Rigidezza torsionale

pol

L

GIFlessibilità torsionale

Esempio

Un albero di trasmissione trasmette un momento

torcente T = 1200 Nm e G=78 GPa. Le due condizioni

da rispettare sono: massimo taglio ammissibile = 40

MPa; massimo angolo torsione unitario = 0.75 °/m.

Confrontare le due soluzioni di albero pieno o cavo di

cui è noto il rapporto diametro esterno / spessore

Soluzione:

330 6

120016 16 0.0535 53.5

40 10mm

Td m mm

9

4440

32 1200 78 10 0.75* /18032 3258.8

ammp ammI T G

d mm

1 2 2 2 2 2 2 0.1 0.8d d t d d d

4 4 4 4 4

2 1 2 2 1 0.8 0.0579 32 32

polI d d d d

2 2

4 3

2 2

2 2

0.0579 0.1159 amm

pol

T d T d T

I d d 2

32

2 63.7

0.0579 pol amm

T dTd mm

I

4

2

=0.0579

amm

pol

T T

GI G d 4

2 67.1 0.0579 amm

Td mm

G

Considerando le due condizioni più vincolanti sul progetto

2

0

67.1 = 1.1458.8

d

d

Ingombro esterno appena maggiorato

2 2

2 1

2

0

= 0.47cavo

pieno

d dW

W d

Peso totale notevolmente ridotto

TORSIONE NON UNIFORME LUNGO L’ASSE

e.g. all’albero con due sezioni diverse

sono applicati 4 momenti torcenti

3 tratti sono soggetti a momenti differenti

Si possono determinare i valori mediante

equilibrio dell’elemento sezionato

1 2 3CDT T T T 1 2BCT T T

1ABT T

Come verso positivo del momento si sceglie quello che fa uscire il vettore T dalla sezione

i ii

i p i

T L

G I

1

ni i

Tot i

i i i p i

T L

G I

I tratti vanno suddivisi per ogni variazione di momento, di sezione, di materiale

Se momento torcente e sezione

variano con continuità occorrerà

integrare lungo l’asse x

0 0

L L

p

T xd dx

G I x

Come nel caso della aste, anche qui le formule sono affidabili se la variazione della sezione

lungo l’asse è limitata a meno di circa 10°

Eventuali concentrazioni di tensione hanno un effetto abbastanza limitato sulla deformabilità

torsionale dell’albero e non vengono quindi conteggiate

Tensioni su riferimento inclinato

Lo scopo è di descrivere

l’andamento di tensione e

taglio su di un piano inclinato

ab bc cd da

Spessore unitario

dL

Equilibrio in dir. normale

dL 2 2 cos sen 2 sen cos x y xy

Equilibrio in dir. tangenziale

2 2 sen cos + sen cos sen + cosx y yx xy

Nel caso in cui siano presenti solo

componenti di taglio nel riferimento iniziale

sen2

cos2

La tensione presenta una periodicità

dimezzata rispetto alla geometria

max max min

1

E

max 1E

Si consideri ora l’elemento deformato da torsione

max

max2 1bdL h

La stessa lunghezza può ottenersi dal teorema

del coseno applicato al triangolo abd 2 2 2 22 cos

2bdL h h h

Utilizzandole entrambe 2

max1 1 cos2

2

max max1 2 1 sin

Se le deformazioni sono piccole, si possono trascurare i quadrati e confondere il seno con l’angolo

max2

Uguagliando le due espressioni di max

12E

2 1

EG

Ossia la relazione tra le 3

caratteristiche elastiche già

indicata in precedenza

TRASMISSIONE DI POTENZA DA ALBERI CIRCOLARI

La potenza viene trasmessa mediante l’applicazione si

un momento su di un albero rotante

Il lavoro compiuto: W T

La potenza trasmessa: dW d

P T Tdt dt

Esprimendo la velocità angolare in giri/minuto, si ottiene la

2

60

nP T

Dalle precedenti si può anche evidenziare il legame tra

potenza e tensione ammissibile

3 2

16 60amm

D nP

A parità di potenza e di materiale,

gli alberi più veloci hanno minor

diametro

Ad esempio in un RIDUTTORE l’asse di ingresso ha il

diametro più piccolo INPUT

INPUT

Esempio: Grippaggio

In un albero in acciaio di diametro d= 80 mm è fissata una massa volanica, anch’essa in

acciaio, con diametro D= 800 mm e spessore s= 50 mm. Mentre l’albero ruota a 60 giri/m, si

determina un grippaggio al cuscinetto destro. Calcolare la sollecitazione conseguente.

Massa ed inerzia polare del volano risultano:

2 27800 0.05 0.8 196 4 4

m s D kg

2

2115.68

2 2

DJ m kg m

Trascurando la massa dell’albero, tutta l’energia cinetica si trasforma in energia elastica

immagazzinata nella torsione, una volta grippato il cuscinetto

2

21 2 600.5 15.68 309.6

2 60cE J Joule

Il lavoro di deformazione invece vale

21

2

torstors

p

MW L

G I

con

11102.1 10

8.077 102 1 2 1.3

EG Pa

4 6 44.02 10 32

pI d m

Imponendo l’uguaglianza delle due energie:

221 1

2 2

tors

p

ML J

G I

10 6 2 60 8.077 10 15.68 4.02 1014177

60 1

p

tors

G J IM Nm

L

Di conseguenza, considerando che il momento sia applicato staticamente, ossia che non

si abbiano effetti dinamici dell’albero sovrapposti

2

max 3 3

16 16 14177141 /

0.08

torsMN mm

d

A questa sollecitazione massima, corrisponde una rotazione unitaria e totale pari a

5max2 2 1414.36 10 /

80770 80unit rad mm

G d

5 4.36 10 1000 0.044 2.448unit l rad

TORSIONE DI COMPONENTI STATICAMENTE INDETERMINATI

In questo caso bisognerà tener conto sia

della condizione di equilibrio al momento

che si può scrivere su qualsivoglia sezione

Sia della condizione sulla deformabilità

che fornirà le condizioni di congruenza

0i

i

T ii

i pol i

T L

G I

1 2

1 2

1 1 2 2pol pol

T L T L

G I G I

1 2T T T

1 1

1

1 1 2 2

pol

pol pol

G IT T

G I G I

2 2

2

1 1 2 2

pol

pol pol

G IT T

G I G I

Ne risulta che la maggiore coppia è supportata dall’albero più rigido

ENERGIA ELASTICA IMMAGAZZINATA

1

2U TNel caso di sezione uniforme:

22

2 2

pol

pol

GIT LU

GI L

Si osserva che le energie non sono anche qui sommabili linearmente: L’energia totale non può

essere ricavata dalla somma delle energie prodotte da ciascun carico agente separatamente

Nel caso di sezioni suddivise o

carichi variabili in modo discreto:

22

1: 1:

2 2

pol i ii ii

i n i n i pol i i

GIT LU U

G I L

Infine, nel caso di sezioni variabili

con continuità lungo l’asse

2

2

i

pol

T x dxdU

GI x

2

0

2

L

pol

T x dxU

GI x

T

x

Esempio

È data una barra a sezione variabile linearmente

sollecitata con un momento torcente. Calcolare

la rotazione massima.

Soluzione:

Il modo più conveniente di operare è uguagliare il

lavoro esterno all’energia immagazzinata

4

+ 32

B Apol A

d dI x d x

L

Bisogna esplicitare la legge con cui varia il momento polare della sezione

+ B AA

d dd x d x

L

2 2

4 3 3

0

16 L 1 1

2 3+

32

L

B A A BB AA

T dx TU

G G d d d dd dd x

L

1

2AW T

2

0

2

L

pol

T x dxU

GI x

3 3

32 L 1 1

3A

B A A B

T

G d d d d

Notare che il caso in cui i diametri estremali

fossero uguali non è immediatamente compreso

L’equilibrio in direzione assiale impone che sia Fb = Fc b b c cs dx s dx

Da tali ipotesi risulta che il flusso di tensione, in direzione di s è costante

costf s

Torsione di tubi sottili

Nel caso di sezioni sottili e chiuse, ossia non semplice-

mente connesse, la teoria di Bredt offre una soluzione

basata sul flusso delle tensioni che consente di ricavare

una soluzione approssimata molto realistica. SI richiede

anche che tutte le sezioni assiali siano uguali

s

Si considera un elementino abcd di dimensioni dx ·ds

Il piccolo valore di s consente di

ipotizzare che sia costante nello

spessore

sb

sc

complessivamente

mL

T rs dc

2 m

T

A s I formula di BREDT

Se lo spessore varia, il massimo della tensione si

ha in corrispondenza della sezione più piccola

smin

La formula aderisce perfettamente al caso di tubo

circolare sottile quando si considera il momento inerzia

calcolabile come un’unica areola circolare sottile

3 2polI r s

2 2

T

r s

s

Si considera il contributo che tale flusso dà al momento calcolato

rispetto ad un generico punto O interno al tubo

dT r f dc r s dc

Linea media

dc

c

s

fdc

Il precedente integrale, se f = cost, può risolversi facilmente

mL

2 mT s r dc s A Somma delle aree di tutti i triangolini = area

della zona delimitata dalla linea media

22

interno

1 1 1 1 V V

2 2 2 2 mesterno

Vol Vol LW T W d d s dc

G G

Per valutare la deformabilità torsionale si esprime il lavoro di deformazione di un tratto

assiale di lunghezza unitaria:

2 22

2 2 2

1 1 1 1 s

2 2 2 4 2 4 m m mL L Lm m

T T dcT s dc dc

G G A s G A s

24 G mLm

T dc

A s II formula di BREDT

Variazione continua

24 m

i

ii

AJ

c

s

Variazione discreta

24 m

m

A sJ

L

Costanza spessore

Operando una similitudine con le sezioni assialsimmetriche, si può dedurre una costante

torsionale J, affine al momento di inerzia polare

24

m

m

L

AJ

dc

s

Variazione continua

Variazione discreta

24 G

i

im i

cT

A s ;

Esempio: Trave a cassone

Una trave a cassone di lunghezza L, è soggetta a momento torcente Mt. Si determini:

1) Lo spessore minimo dei due piatti orizzontali, sapendo che la amm= 160 MPa

2) L’angolo di torsione sapendo che una estremità è libera e l’altra incastrata

In termini di , la sollecitazione ammissibile è

16092.4

3amm MPa

L’area sottesa dalla linea vale

2200 140 28000 mm

2

tMAX

MIN

M

s

325000 104.8

2 2 28000 92.4

tMIN

adm

Ms mm

Utilizzando ora la II formula di Bredt per spessori non costanti si ha

35

2

25000 10 200 1402 2 1.12 10

4 4 80770 28000 4.8 10

t iunit

i

M crad

G s

5 21.12 10 3000 3.36 10 Tot unit L rad

Considerando l’equilibrio delle tensioni alle giunzioni R, N

1 1 2 2 3 3 s s s

SEZIONI A STRUTTURA CELLULARE

La presedente teoria può essere anche applicata alle

sezioni a struttura cellulare

1 2 1 1 1 2 2 22 T T T s A s A

Il momento torcente può essere pensato come somma

dei due contributi forniti dai flussi nelle due celle

2 mT s A

L’angolo di rotazione della sezione è invece lo stesso per le due celle (congruenza)

1

1 2

1

4 G

iA i

i

cT

A s 2

2 2

24 G

iA i

i

cT

A s

1

1 1 1 3 32

11 1

1

1

4 2

2

iA

i

i

cTc c

TG A G A

A

2 2 2 3 3

2

1

2 A c c

G A

1 1 3 3 2 2 3 3

1 2

c c c c

A A

Si noti infine che un setto

simmetrico non contribuisce

alla rigidezza a torsione

( 1=2 c1=c2 A1=A2 ) 3=0

Sezioni prismatiche

Per sezioni non circolari il problema è assai più complesso e richiede soluzioni di tipo non

monodimensionale che non saranno qui discusse. Alcuni soluzioni notevoli sono

comunque accennate

Di particolare interesse è l’analogia di Prandtl (1926) con il problema

di una membrana di contorno uguale alla sezione in torsione,

assoggettata ad una pressione interna

Vi è infatti una formale equivalenza tra le equazioni

differenziali alle derivate parziali che soddisfano la torsione

e la membrana soggetta a pressione

Il primo problema riguarda il warping per cui occorre abbandonare

l’ipotesi che le sezioni piane rimangono tali

la torsione è proporzionale all’angolo di assetto

della membrana rispetto al piano indeformato

La direzione del taglio è ortogonale alla linea di

massima pendenza

Il Volume all’interno della bolla è proporzionale

al momento torcente applicato

2 3 ;

MAX

T T

a b G a b

Nel caso di sezioni rettangolari la soluzione viene in genere

fornita mediante due coefficienti correttivi, e a

b

Si noti come per sezioni

allungate i due valori

convergano al numero 3

1.8 3 3 ;

0.63

n

n n

31 con

3i i i ii

J h s h s

; MAXMAX

T s T

J G J

Questo risultato può essere esteso a tutte le sezioni

composte da tratti sottili, purché semplicemente

connesse e avendo cura di conteggiare tutti i tratti

Costante torsionale N.B. Massimo ove s è max

Torsione non lineare in sezioni circolari

L’andamento lineare con il raggio dello scorrimento permane in quanto

derivante dalla congruenza e indipendente dal comportamento del materiale

MAX R r

Supponendo di conoscere la

legge costitutiva non lineare

Risulta noto l’andamento di

2 dT r r dr 2

02

R

T r dr max 2

3 0

2T d

3

2T I

I altro non è che il momento di inerzia dell’equazione costitutiva, rispetto all’asse delle

È quindi possibile procedere passo-passo nel seguente

modo: 1) si assume un valore di rotazione

2) Si calcola il valore associato di max

3) Si calcola I

4) Si determina T associato a

CASO DI MATERIALE ELASTO – PLASTICO PERFETTO

Superato il valore di inizio plasticizzazione

3 3

16 2

sn snsn

d RT

Si assiste allo sviluppo

dall’esterno di una corona

plastica, fino a che essa non

raggiunge il centro

In plasticizzazione totale, il momento torcente vale:

32

0

22

3

R

p sn sn

RT r dr

Il rapporto tra plasticità completa e incipiente dà la misura della

capacità addizionale della barra a supportare carichi oltre l’elasticità

4

3

p

sn

T

T

Si noti che questa capacità di carico oltre l’incipiente snervamento (margine di sicurezza)

non dipende dall’incrudimento del materiale, ma dallo stato di sollecitazione presente

3

3 32

2 3zona elast zona plast sn snT T T R

Al di sopra del limite di snervamento, ma non oltre la plasticizzazione totale, si ha:

sn pT T T

334 1

2 3 3

snRT

R

3

2sn sn

RT

3

43

snTT

R

Ricordando anche la relazione di congruenza r

sn

sn sn R

31

43

sn

sn

T

T

Al crescere di θ, T tende asintoticamente a Tp

Solo che il sistema ora reagisce (in

scarico) in regime completamente elastico

Rimuovere il carico equivale a sovrapporre

un momento uguale e contrario

max 34

2 4

3

2

p p

sn

T R T

RR

TENSIONI RESIDUE

Supponiamo che la sezione sia completamente

plasticizzata avendo applicato un momento Tp

32

3p sn

RT

Alla rimozione del carico si hanno le seguenti tensioni residue al

centro e al raggio esterno

1 sn 2 max

1

3sn sn

Si osservi infine che l’albero, una volta plasticizzato e scaricato, risulta in grado di opporsi

elasticamente ad un momento torcente più elevato del precedente di prima plasticizzazione