tr trrẦn bÁ linhfceam.hcmute.edu.vn/resources/docs/subdomain/fceam/...khoa kỹ thuật xây...

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KỸ THUẬT TP. HỒ CHÍ MINH

LUẬN VĂN THẠC SĨ

TRẦN BÁ LINH

PHÂN TÍCH ỨNG XỬ DẦM COMPOSITE

SỬ DỤNG LÝ THUYẾT BIẾN DẠNG CẮT BẬC CAO

VỚI CÁC ĐIỀU KIỆN BIÊN KHÁC NHAU

NGÀNH: “XÂY DỰNG DÂN DỤNG & CÔNG NGHIỆP”

MÃ SỐ: 2580208

Hướng dẫn khoa học:

PGS.TS NGUYỄN TRUNG KIÊN

Tp. Hồ Chí Minh, tháng 11 năm 2016

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠƯƯ I HỌC SƯ PHẠM KỸKK THUẬT TP. HỒ CHÍ MINH

LUẬN VĂN THẠẬ ẠC SĨ

TRẦN BÁ LINHRR

PHÂN TÍCH ỨNG XỨỨ Ử DỬ ẦM COMPOSITE

SỬ DỬ ỤNG LÝ THUYẾT BIẾN DẠNG CẮT BẬC CAO

VỚI CÁC ĐIỀU KIỆN BIÊN KHÁC NHAU

NGÀNH: “XÂY DỰNG DÂN DỤNG & CÔNG NGHIỆP”

MÃ SỐ: 2580208

Hướng dẫn khoa học:

PGS.TS NGUYỄN TRUNG KIÊN

Tp. HồồHH Chí Minh, tháng 11 năm 2016

ii

LỜI CAM ĐOAN

Tôi tên Trần Bá Linh, học viên cao học chuyên ngành Xây dựng Công trình Dân

dụng và Công nghiệp, khóa 2014A Trường Đại học Sư phạm kỹ thuật TP.HCM. Tôi

xin cam đoan rằng đây là luận văn do chính tôi tự thực hiện. Các số liệu trong luận văn

này hoàn toàn trung thực và chưa từng được ai công bố, sử dụng để bảo vệ một học vị

nào. Các thông tin, tài liệu trích dẫn có trong luận văn này đã được ghi rõ nguồn gốc.

Tôi xin chịu trách nhiệm hoàn toàn về kết quả nghiên cứu trong luận văn của mình.

Học viên

Trần Bá Linh

iii

LỜI CẢM ƠN

Thực hiện bài Luận văn này đánh dấu sự hoàn thành khóa học Thạc Sĩ và cũng

là kết quả sau một quá trình học tập và nghiên cứu tại Trường Đại học Sư phạm kỹ

thuật TP.HCM. Tôi vô cùng biết ơn đối với rất nhiều sự giúp đỡ, tạo điều kiện nhiệt

tình và quý báu trong suốt thời gian này.

Tôi xin chân thành cảm ơn các Thầy, Cô trong Phòng Đào tạo Sau đại học,

Khoa Kỹ thuật Xây dựng & Cơ học ứng dụng và các Thầy Cô đã tận tình giảng dạy,

hướng dẫn, truyền đạt kiến thức trong suốt quá trình học tập cũng như thực hiện Luận

văn. Đặc biệt, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn và kính trọng sâu sắc tới Thầy giáo PGS.TS.

Nguyễn Trung Kiên, Thầy giáo NCS. ThS. Nguyễn Ngọc Dương về sự hướng dẫn và

giúp đỡ quan trọng trong Luận văn này, không chỉ ở kiến thức mà cả sự tận tâm của

các Thầy.

Vì kiến thức có hạn nên không tránh khỏi những hạn chế và thiếu sót. Tôi rất mong

được sự đóng góp của quý thầy cô giáo, bạn bè và đồng nghiệp để luận văn được

hoàn thiện hơn

Cuối cùng, tôi xin gửi lời cảm ơn sự động viên, giúp đỡ của gia đình và bạn bè trong

suốt thời gian qua.

Tôi xin trân trọng cảm ơn!

iv

TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ

Tóm tắt:

Luận văn này phân tích tần số dao động và lực ổn định tới hạn của dầm composite

sử dụng lý thuyết biến dạng cắt bậc cao. Phương trình chuyển động của dầm được thiết

lập bằng phương trình Lagrange, trường chuyển vị của dầm được xấp xỉ thông qua các

đa thức bậc cao. Một chương trình máy tính cũng được viết bằng ngôn ngữ MATLAB

để phân tích ứng xử động học, ổn định của dầm và một số kết quả kiểm chứng với các

nghiên cứu khác cũng được thực hiện.

Hiệu ứng khi có sự thay đổi góc xoay của hướng sợi, tỉ lệ chiều dài và chiều dày

của tiết diện dầm, tham số nền được kể đến để xác định tần số dao động và lực ổn

định tới hạn của dầm Composite.

v

ABSTRACT

This thesis analyzed the frequency of oscillation and stable power to limit use of

composite girder shear deformation theory higher. Equations of motion of the beam is

set by Lagrange equation, the deflection of the beam is approximately through the

high-order polynomial. A computer program was written in MATLAB to analyze the

kinetic behavior, stability of beams and some proven results with other studies were

also performed.

Effect when there is a change of direction yarn rotation angle, ratio of the length

and thickness of the beam cross section, parameter background is included to

determine the oscillation frequency and power of the beam-term stability to

Composite.

vi

MỤC LỤC

Trang Tựa Trang

QUYẾT ĐỊNH GIAO ĐỀ TÀI ………………………………………………….………

LÍ LỊCH KHOA HỌC…………………………………………………………………..i

LỜI CAM ĐOAN ……………………………………………………………...............ii

LỜI CÁM ƠN ………………………………………………………………………...iii

TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SỸ …………………………………………..............iv

TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SỸ BẰNG TIẾNG ANH.………………....................v

MỤC LỤC ……………………………………………………...……..……….…..vi,vii

DANH SÁCH CÁC KÝ HIỆU …………………………………………….…..........viii

DANH MỤC HÌNH VẼ ………………………………………………………...…….ix

DANH MỤC BẢNG BIỂU …………………………………………………..…..……x

CHƯƠNG 1. TỔNG QUAN …………………………………………………………..1

1.1 Giới thiệu chung…………………………………………………………………....1

1.2 Một số hình ảnh về ứng dụng của vật liệu Composite………………...…….……..2

1.3 Tình hình nghiên cứu trong và ngoài nước………………………………………...6

1.4 Mục đích và nhiệm vụ của đề tài……………………………………….………..…7

1.5 Cách tiếp cận và phương pháp nghiên cứu…………………………….…………...7

CHƯƠNG 2: CƠ SỞ LÝ THUYẾT……………………………………….……….......8

2.1 Giới thiệu …………………………………………………...………….…………..8

2.2 Thiết lập cơ sở lý thuyết …………………………………………………………...9

2.2.1 Luật ứng xử 1 …………………………………………………………………..10

2.2.2 Luật ứng xử 2 …………………………………………………………………..11

2.2.3 Trường chuyển vị ………………………………………………………………14

2.2.4 Trường biến dạng ………………………………………..……………………..14

2.2.5 Trường ứng suất ……………………………………………………………….14

2.2.6 Phiếm hàm năng lượng và phương trình Lagrange …………………………….15

2.2.7 Lời giải giải tích .……………………………………………………………….17

2.2.8 Áp dụng các điều kiện biên khác nhau cho dầm composite …………….……..18

CHƯƠNG 3. VÍ DỤ SỐ ……………………………………………………………...21

3.1 GIỚI THIỆU ………………………………………………………...………....…21

3.2. Bài toán 1: Tính toán tần số dao động của dầm composite………………………21

vii

3.3. Bài toán 2: Tính toán lực ổn định của dầm composite tiết diện chữ nhật bằng lý

thuyết biến dạng cắt bậc cao sử dụng nhân tử Lagrange ..…………………..……......22

3.4. Bài toán 3: Tần số dao động của lớp sợi đối xứng của dầm composite với hướng

sợi thay đổi và các điều kiện biên khác nhau …………….………..………....………23

3.5. Bài toán 4: Tính tần số dao động của dầm composite trên nền đàn hồi …………27

3.6. Bài toán 5: Tính toán lực ổn định tới hạn của dầm composite trên nền đàn hồi

.………………………………..……………………………….…………………...…29

CHƯƠNG 4. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ …………………..…………….…….…31

4.1 Kết luận …………………………………………………………….……………31

4.2 Kiến nghị …………………………………………………………….…………...31

TÀI LIỆU THAM KHẢO…………..………………………………………………...32

PHỤ LỤC …………………………………………………………………….………35

viii

DANH SÁCH CÁC KÝ HIỆU

εx , εy , εz Biến dạng dài theo các phương x, y, z

u, v, w Chuyển vị theo phương x, y, z

θx , θy Chuyển vị xoay quanh trục x, y

θ,x , θ,y Đạo hàm chuyển vị theo x,y

γxy , γxz, , γyz Biến dạng cắt trong mặt phẳng xy, xz, yz

, x z� � Ứng suất pháp tuyến theo trục x,z

( ), ( )x x� � Các hàm dạng.

� Nhân tử Lagrange

U, V, K Năng lượng biến dạng, công thực hiện và động năng.

Π Tổng năng lượng của toàn hệ.

, ,xy xz yz� � � Ứng suất cắt trên các mặt có vector pháp tuyến là x, y, z

Ν Hệ số poisson của vật liệu

E Mô đun đàn hồi

H Bề dày dầm

L Chiều dài dầm

Mx , My Môment uốn trên mỗi đơn vị chiều dài theo trục x, y trong mặt phẳng

Oxy

Mxy Môment xoắn trên mỗi đơn vị chiều dài trong mặt phẳng Oxz

Ncr Lực ổn định tới hạn.

crN Lực ổn định tới hạn đã được chuẩn hoá.

� Tần số dao động tự nhiên

� Tần số dao động tự nhiên đã được chuẩn hoá. ,ijQ Độ cứng giảm của vật liệu trong hệ trục tổng thể

ijQ Độ cứng giảm của vật liệu trong hệ trục toạ độ địa phương.

ix

DANH MỤC HÌNH VẼ

Trang

Hình 1.1: Tổ hợp mô đun xử lý nước thải bằng vật liệu Composite ......................... 2

Hình 1.2:. Máy bay A350 XWB làm bằng vật liệu Composite ................................. 2

Hình 1.3: Sử dụng vật liệu Composite trong nghành công nghiệp đóng tàu ............ 3

Hình 1.4: Vật liệu Composite và đồ thị thể hiện khả năng chịu kéo ......................... 3

Hình 1.5: Vật liệu composite sử dụng trong lĩnh vực năng lượng ............................ 4

Hình 1.6: Dầm BTCT được tăng cường bởi thanh FRP nằm bên trong ................... 4

Hình 1.7:Vật liệu Composite sợi cacbon dùng gia cường cho cột,dầm,sàn .............. 5

Hình 1.8:vật liệu sợi carbon compozite (FRP) ....................................................... 5

Hình 2.1: Dạng hình học dầm composite phân lớp. .................................................. 8

Hình 2.2: Vật liệu Composite với hệ trục tổng thể và địa phương ........................... 9

Hình 2.3. Mô tả sự làm việc của dầm composite theo môhình nền Winkler. ……..16

Hình 3.1: Sự thay đổi của lưc ổn định tới hạn không thứ nguyên crP theo sự thay đổi

của � trong các điều kiện biên khác nhau và L/h=5 ................................ 25 Hình 3.2: Sự thay đổi của lưc ổn định tới hạn không thứ nguyên crP theo sự thay đổi

của � trong các điều kiện biên khác nhau và L/h=10 .............................. 26



Hình 3.4: Sự thay đổi của tần số dao động không thứ nguyên� theo sự thay đổi của

� trong các điều kiện biên khác nhau và L/h=15 .................................... 27



x

DANH MỤC BẢNG BIỂU

Trang

Bảng 2.1: Bảng điều kiện biên của dầm theo lý thuyết biến dạng cắt bậc cao ....... 19

Bảng 3.1: Tần số dao động tự nhiên không thứ nguyên cơ bản của dầm composite

cross- ply đối xứng và không đối xứng với điều kiện biên tựa đơn ...... 21

Bảng 3.2: Lực ổn định tới hạn không thứ nguyên cơ bản của dầm composite cross-ply

đối xứng và không đối xứng với điều kiện biên tựa đơn. ...................... 22

Bảng 3.3: Tần số dao động tự nhiên không thứ nguyên của dầm composite lớp sợi đối

xứng, góc sợi thay đổi ............................................................................ 24

Bảng 3.4. Tần số dao động của dầm theo luật ứng xử 1 khi góc sợi không đối xứng..... 28

Bảng 3.5. Tần số dao động của dầm theo luật ứng xử 2 khi góc sợi không đối xứng..... 28

Bảng 3.6. Tần số dao động của dầm theo luật ứng xử 1 khi góc sợi đối xứng. ...... 28

Bảng 3.7. Tần số dao động của dầm theo luật ứng xử 1 khi góc sợi đối xứng. ...... 28

Bảng 3.8. Lực ổn định tới hạn của dầm theo luật ứng xử 1 khi góc sợi không đối xứng.

................................................................................................................. 29

Bảng 3.9. Lực ổn định tới hạn của dầm theo luật ứng xử 2 khi góc sợi không đối xứng.

................................................................................................................. 29

Bảng 3.10. Lực ổn định tới hạn của dầm theo luật ứng xử 1 khi góc sợi đối xứng. 29

Bảng 3.11. Lực ổn định tới hạn của dầm theo luật ứng xử 2 khi góc sợi đối xứng. 30

1

CHƯƠNG 1

TỔNG QUAN

1.1 Giới thiệu chung

Vật liệu Composite là vật liệu được chế tạo tổng hợp từ hai hay nhiều vật liệu

khác nhau nhằm mục đích tạo ra một vật liệu mới có tính năng ưu việt hơn hẳn vật

liệu ban đầu. Vật liệu Composite được cấu tạo từ các thành phần cốt nhằm đảm bảo

cho Composite có được các đặc tính cơ học cần thiết và vật liệu nền đảm bảo cho các

thành phần của Composite liên kết, làm việc hài hoà với nhau.Vật liệu Composite đã

xuất hiện từ rất lâu trong cuộc sống, khoảng 5.000 năm trước Công nguyên người cổ

đại đã biết vận dụng vật liệu composite vào cuộc sống (ví dụ: sử dụng bột đá trộn với

đất sét để đảm bảo sự dãn nở trong quá trình nung đồ gốm). Người Ai Cập đã biết

vận dụng vật liệu Composite từ khoảng 3.000 năm trước công nguyên, sản phẩm

điển hình là vỏ thuyền làm bằng lau, sậy tẩm pitum về sau này các thuyền đan bằng

tre trát mùn cưa và nhựa thông hay các vách tường đan tre trát bùn với rơm, rạ là

những sản phẩm Composite được áp dụng rộng rãi trong đời sống xã hội. Sự phát

triển của vật liệu composite đã được khẳng định và mang tính đột biến vào những

năm 1930 khi mà stayer và Thomat đã nghiên cứu, ứng dụng thành công sợi thuỷ

tinh; Fillis và Foster dùng gia cường cho Polyeste không no và giải pháp này đã được

áp dụng rộng rãi trong ngành công nghiệp chế tạo máy bay, tàu chiến phục vụ cho

đại chiến thế giới lần thức hai. Năm 1950 bước đột phá quan trọng trong ngành vật

liệu Composite đó là sự xuất hiện nhựa Epoxy và các sợi gia cường như Polyeste,

Nylon,… Năm 1970 vật liệu composite nền chất dẻo đã được đưa vào sử dụng rộng

rãi trong các ngành công nghiệp và dân dụng, y tế, thể thao, quân sự vv…

Tính ưu việt của vật liệu Composite là khả năng chế tạo từ vật liệu này thành các

kết cấu sản phẩm theo những yêu cầu kỹ thuật khác nhau mà ta mong muốn, các

thành phần cốt của Composite có độ cứng, độ bền cơ học cao, vật liệu nền luôn đảm

bảo cho các thành phần liên kết hài hoà tạo nên các kết cấu có khả năng chịu nhiệt và

chịu sự ăn mòn của vật liệu trong điều kiện khắc nghiệt. Cho tới ngày nay vật liệu

composite vẫn ngày càng được sử dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực khác nhau đặc

biệt trong lĩnh vực xây dựng trong nhưng năm gần đây thì kết cấu composite thường

được các kỹ sư lựa chọn bởi độ bền, cứng và nhẹ của chúng, khả năng chống ăn mòn

và không chịu ảnh hưởng của từ tính nhằm giải quyết một số giải pháp về kết cấu.

2

1.2 Một số hình ảnh về ứng dụng của vật liệu Composite

Hình 1.1. Tổ hợp mô đun xử lý nước thải bằng vật liệu Composite

[http:// boncomposite.com]

Hình 1.2. Máy bay A350 XWB làm bằng vật liệu Composite

[http:// Vnexpress.net]

4

Hinh 1.5 Vật liệu composite sử dụng trong lĩnh vực năng lượng[www.erct.com]

Hình 1.6 Dầm BTCT được tăng cường bởi thanh FRP nằm bên trong

[http:// phukhanh.com]

6

1.3 Tình hình nghiên cứu trong và ngoài nước

Phân tích ứng xử của dầm composite đã được nhiều nhà khoa học trong và ngoài

nước nghiên cứu. Mô hình phần tử hữu hạn được phát triển cho một cấu trúc đẳng

hướng và sau đó mở rộng cho toàn bộ cấu trúc nhiều lớp của composite. Những mô

hình mô tả đầy đủ, chính xác tổng thể các phản ứng khi ép các lớp mỏng thành một lớp

có độ dày mong muốn. Với sự gia tăng ứng dụng của vật liệu composite thì nhiều lý

thuyết về dầm composite được phát triển để dự đoán tất cả ứng xử của dầm.

Ghugal và Shimpi [1] đã đưa ra nhiều lý thuyết để phân tích, và dự đoán về dầm

composite. Aguiar và cộng sự [2] đã phân tích tĩnh, dao động và ổn định của dầm

composite. Vo và Thai [3] nghiên cứu về lý thuyết Quasi-3D . Vo và Thai [4] nghiên

cứu dao động và sự ổn định của dầm composite bằng cách sử dụng lý thuyết biến dạng

cắt hiệu chỉnh Vo và Thai [5] nghiên cứu ứng xử tĩnh của dầm composite phân lớp sử

dụng lý thuyết cắt bậc cao. Theo Ghugal và Shimpi [1], tất cả các lý thuyết để phân

tích về dầm có thể phân được 3 loại chính: Lý thuyết cổ điển (CBT), lý thuyết bậc

1(FOBT), lý thuyết dầm bậc cao (HOBT). CBT còn gọi là lý thuyết dầm Euler-

Bernoulli được áp dụng cho các loại dầm mỏng. Đối với dầm dày thì việc tính toán

không còn chính xác bởi đã bỏ qua ảnh hưởng của biến dạng cắt ngang. FOBT được

biết đến là lý thuyết dầm Timoshenko, nhằm khắc phục các hạn chế của CBT thông

qua sự tính toán ảnh hưởng của biến dạng cắt. Cho đến khi FOBT vi phạm các điều

kiện của ứng suất cắt ở trên và dưới của mặt cắt, một số hiệu chỉnh biến dạng được

yêu cầu để giải thích cho sự khác biệt giữa ứng suất thực tế và ứng suất lý thuyết. Để

loại bỏ các sai lệch trong CBT và FOBT thì HOBT ra đời. HOBT được phát triển dựa

trên các giả định về sự thay đổi bậc cao của trường chuyển vị cả trong và ngoài mặt

phẳng.

Tại Việt Nam trong những năm gần đây các ứng xử cơ học của kết cấu composite

đã được nghiên cứu mạnh mẽ trong đó có thể kể tới các công trình của nhóm tác giả

Nguyen và Hoang [6] nghiên cứu về dao động riêng tấm FGM theo lý thuyết biến

dạng cắt bậc cao. Dao và Dao [7] nghiên cứu phi tuyến tĩnh và động của kết cấu tấm

vỏ FGM hay công trình của Nguyen và cộng sự [8] nghiên cứu về ổn định của dầm

FGM sử dụng lý thuyết cắt bậc cao.

7

Trên đây là những công trình nghiên cứu tiêu biểu về kết cấu sử dụng cho dầm

composite của các tác giả trong nước và trên thế giới qua đó cho thấy một khối lượng

kiến thức rộng lớn về composite có thể đi sâu nghiên cứu.

1.4 Mục đích và nhiệm vụ của đề tài

Mục tiêu của đề tài là phân tích ổn định và dao động của dầm Composite trên nền

đàn hồi với các điều kiện biên khác nhau sử dụng lý thuyết biến dạng cắt bậc cao.

Phương trình Lagrange được sử dụng nhằm tìm ra phương trình đặc trưng động lực

học, lời giải Ritz với các hàm xấp xỉ dạng đa thức bậc cao được sử dụng nhằm giải bài

toán dao động và ổn định dầm Composite với điều kiện biên khác nhau.

Các kết quả số được so sánh với nghiên cứu trước nhằm đánh giá độ chính xác lý

thuyết phát triển và phân tích hiệu ứng độ mảnh, điều kiện biên, các tham số nền,

hướng sợi đến các đáp ứng tần số và tải trọng ổn định.

1.5 Cách tiếp cận và phương pháp nghiên cứu

- Sử dụng lý thuyết dầm composite phân lớp biến dạng cắt bậc cao.

- Sử dụng phương trình Lagrange, phương pháp nhân tử Lagrange.

- Sử dụng mô hình nền Pasternak cho dầm composite.

- Sử dụng lời giải dạng giải tích, trong đó trường chuyền vị được xấp xỉ dưới dạng đa

thức bậc cao.

- Dựa trên phát triển các tài liệu đã nghiên cứu bằng các hàm bậc cao, kết hợp với

phần mềm matlab, học viên sẽ đi sâu nghiên cứu ứng xử của kết cấu dầm composite sử

dụng lý thuyết biến dạng cắt bậc cao.

8

CHƯƠNG 2

CƠ SỞ LÝ THUYẾT

2.1 Giới thiệu

Kết cấu dầm composite là một vật thể được hình thành từ hai hay nhiều lớp vật

liệu với hướng sợi khác nhau, có kích thước theo một phương lớn hơn rất nhiều so với

các phương còn lại (Hình 2.1). Loại kết cấu này thường gặp trong các kết cấu chịu lực

của ngành cơ khí, hàng không và xây dựng. Tiềm năng ứng dụng của dầm composite

trong nhiều trường kỹ thuật khác nhau đã dẫn đến sự phát triển của rất nhiều lý thuyết

dầm composite khác nhau như đã trình bày trong Chương 1. Để có thể hiểu chi tiết về

lý thuyết này, người đọc có thể tham khảo trong các tài liệu về cơ học vật liệu

composite. Lý thuyết bên dưới đây được cung cấp từ tài liệu tham khảo [9]. Lý thuyết

biến dạng cắt bậc cao được áp dụng để phân tích ứng xử của vật liệu composite.

Hình 2.1: Dạng hình học dầm composite phân lớp.

Mục tiêu của chương này là trình bày cơ sở lý thuyết phân tích ứng xử dầm

composite phân lớp với các điều kiện biên khác nhau sử dụng lý thuyết biến dạng cắt

bậc cao. Lý thuyết được dựa trên sự phân bố bậc cao của chuyển vị dọc trục, ứng suất

cắt do đó có thể tính toán trực tiếp từ luật ứng xử mà không đòi hỏi hệ số hiệu chỉnh

cắt. Phương trình đặc trưng được thiết lập từ phương trình Lagrange. Lời giải giải tích

với các biến được xấp xỉ dạng chuỗi được thiết lập với các điều kiện biên khác nhau.

Các kết quả số được so sánh với nghiên cứu trước nhằm đánh giá độ chính xác lý

thuyết phát triển và phân tích hiệu ứng độ mảnh, điều kiện biên, các tham số nền,

hướng sợi đến các đáp ứng tần số và tải trọng ổn định.

Trên cơ sở đó, bố cục của Chương này được hình thành như sau: trong phần đầu,

lý thuyết dầm composite phân lớp biến dạng cắt bậc cao sẽ được trình bày, sau đó là

9

phiếm hàm năng lượng và phương trình Lagrange và cuối cùng lời giải giải tích sẽ

được trình bày chi tiết.

2.2 Thiết lập cơ sở lý thuyết

Hình 2.2: Vật liệu composite với hệ trục tọa độ tổng thể và địa phưương

Dùng hệ trục tọa độ địa phương và hệ trục tọa độ tổng thể để mô tả thuộc tính

của vật liệu Composite:

* Hệ trục toạ độ (x1 x2 x3 ) là hệ trục toạ độ địa phương, trong đó trục x1 là hướng sợi,

trục x2 là phương ngang và trục x3 là phương vuông góc với mặt phẳng của sợi.

* Hệ trục toạ độ( xyz) là hệ trục toạ độ tổng thể và được đặt ở mặt trung bình của tấm.

* Hệ trục tọa độ địa phương xoay một góc θ đối với hệ trục tọa độ tổng thể.

Mối quan hệ giữa hệ trục tọa độ tổng thể và hệ trục tọa độ địa phương

(2.1a)ε-1 T (2.1 )b

�, ,σ T σ; ε = T ε;

T = (T )ε σtrong đó:

2 2

2 2

2 2

cos sin 0 0 0 sin cossin cos 0 0 0 sin cos0 0 1 0 0 00 0 0 cos sin 00 0 0 sin cos 0

2sin cos 2sin cos 0 0 0 cos sin

� � � �

� � � �

� ��

� � � � � �

��

��

��

εT (2.2)

10

2 2

2 2

2 2

cos sin 0 0 0 2sin cossin cos 0 0 0 2sin cos0 0 1 0 0 00 0 0 cos sin 00 0 0 sin cos 0

sin cos sin cos 0 0 0 cos sin

� � � �

� � � �

� ��

� � � � � �

��

��

��

σT (2.3)

2.2.1 Luật ứng xử 1Phương trình ứng xử tổng quát của vật liệu trong hệ tọa độ địa phương:

11 12 13 14 15 1611 11

12 22 23 24 25 2622 22

33 3313 32 33 34 35 36

23 2314 42 43 44 45 46

13 1315 52 53 54 55 56

12 1216 62 63 64 65 66

c c c c c cc c c c c cc c c c c cc c c c c cc c c c c cc c c c c c

� ��

� � ��

� � ��

(2.4)

cịj: các hằng số của ma trận độ cứng trong hệ tọa độ địa phương

εij : Biến dạng dài

γị : Biến dạng góc

Đối với vật liệu trực hướng

11 12 1311 11

22 12 22 23 22

33 3313 32 33

23 2344

13 55 13

12 66 12

0 0 00 0 00 0 0

0 0 0 0 00 0 0 0 00 0 0 0 0

c c cc c cc c c

cc

c

� ��

� � ��

� � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

(2.5a)

13 3122

1 3

1cE E� ��

�

; 32 12 31 23 21 1323

1 3 1 2

cE E E E

� � � � � ��

� �; 12 21

331 2

1cE E� ��

� (2.5b)

44 23 55 13 66 12; ;c G c G c G

12 21 23 32 31 13 21 32 13

1 2 3

1 2E E E

� � � � � � � � ��

11

Áp dụng cho bài toán ứng suất phẳng ( σ22= σ12 =σ23=0):

( )( ) 111 ( )

12 211

kk

kEQ� �

�

;( ) ( ) ( ) ( )

( ) 13 3 12 213 ( ) ( ) ( ) ( )

13 31 12 211 1

k k k kk

k k k k

E EQ � ��

� �

;

( ) ( )( ) 3 233 ( ) ( ) ( ) ( )

13 31 12 211 1

k kk

k k k k

E EQ� � � �

� �

;

(2.6b)( ) ( )66 12

k kQ G ; ( ) ( )44 23

k kQ G ; ( ) ( )55 13

k kQ G

trong đó: ( '1 2 3, , ( , , )L T TE E E E E E là mô đun đàn hồi, ( ' '12 13 23, , ( , , )LT LT TT

� � � � � � là hệ số

Poisson, ( ' '12 13 23, , ( , , )LT LT TTG G G G G G là mô đun trượt, Qij là hằng số độ cứng vật liệu

trong hệ tọa độ địa phương.

Chuyển trục tọa độ địa phương sang hệ tọa độ tổng thể và bỏ qua ứng suất theo

phương z (σzz=0), phương trình ứng xử của dầm lúc này được viết lại:

' 4 2 2 411 11 12 66 22cos 2( 2 )sin cos sinQ Q Q Q Q� � � � � � �

(2.7b)

2.2.2 Luật ứng xử 2

Phương trình ứng xử tổng quát của vật liệu trong hệ tọa độ địa phương

11 12 13 14 15 1611 11

12 22 23 24 25 2622 22

33 3313 32 33 34 35 36

23 2314 42 43 44 45 46

13 1315 52 53 54 55 56

12 1216 62 63 64 65 66

c c c c c cc c c c c cc c c c c cc c c c c cc c c c c cc c c c c c

� ��

� � ��

� � ��

(2.8)

( ) ( ) ( )11 1311 11

33 13 33 33

13 55 13

00 (2.6a)

0 0

k k kQ QQ Q

Q

� ��

� � ��

'11

'55

0(2.7a)

0xx xx

xz xz

QQ

� ��

� � � � � � � � � � ��

' 2 255 55 44cos sinQ Q Q� � �

12

Đối với vật liệu trực hướng

11 12 1311 11

22 12 22 23 22

33 3313 32 33

23 2344

13 55 13

12 66 12

0 0 00 0 00 0 0

0 0 0 0 00 0 0 0 00 0 0 0 0

c c cc c cc c c

cc

c

� ��

� � ��

� � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

(2.9a)

23 3211

2 3

1cE E� ��

�

; 21 31 23 12 32 1312

2 3 1 3

cE E E E

� � � � � ��

� �; 31 21 32 13 12 23

132 3 1 2

cE E E E

� � � � � ��

� �

13 3122

1 3

1cE E� ��

�

; 32 12 31 23 21 1323

1 3 1 2

cE E E E

� � � � � ��

� �; 12 21

331 2

1cE E� ��

�

(2.9b)

44 23 55 13 66 12; ;c G c G c G

12 21 23 32 31 13 21 32 13

1 2 3

1 2E E E

� � � � � � � � ��

Chuyển hệ trục tọa độ địa phương sang hệ trục tổng thể ta có:

11 12 13 16

12 22 23 26

13 32 33 36

44 45

54 55

16 62 63 66

0 00 00 0

0 0 0 00 0 0 0

0 0

xx xx

yy yy

zz zz

yz yz

xz xz

xy xy

c c c cc c c cc c c c

c cc c

c c c c

� ��

� ��

� ��

� � ��

(2.10a)

trong đó:

ij :c Các hằng số của ma trận độ cứng trong hệ tọa độ tổng thể

4 2 2 411 11 12 66 22cos 2( 2 )sin cos sinc C C C C� � � � � � �

2 2 4 412 11 22 66 12( 4 )sin cos (sin os )c C C C C c� � � � � � � � �

2 213 13 23cos sinc C C� � �

3 316 11 12 66 12 22 66 12( 2 )sin cos ( 2 ) sin osc C C C C C C C c� � � � � � � � �

13

4 2 2 422 22 12 66 11cos 2( 2 )sin cos sinc C C C C� � � � � � �

2 223 23 13cos sinc C C� � �

3 326 11 12 66 12 22 66 12( 2 )sin cos ( 2 ) sin osc C C C C C C C c� � � � � � � � �

45 55 44( )cos sinc C C � � � (2.10b)

2 255 55 44cos sinc C C� � �

2 2 4 466 11 22 12 66 66[ 2( )]sin cos (sin os )c C C C C C c� � � � � � � � �

Áp dụng cho bài toán ứng suất phẳng (σyy=σxy=σyz):

(2.11a)

2 2 212 16 26 16 22 11 26 12 66 11 22 66

11 222 66 26

2C C C C C C C C C C C CCC C C

� � � �

�12

112C C12C1

2

16 23 26 26 13 16 22 36 12 26 36 13 22 66 12 23 6613 2

22 66 26

C C C C C C C C C C C C C C C C CCC C C

� � � � �

�16 2

13C C16 2C1 (2.11b)

2 2 2

23 26 36 26 33 22 36 23 66 33 22 6633 2

22 66 26

2C C C C C C C C C C C CCC C C

� � � �

�23

332C C23C3

4555 55

44

CC CC

�55C C55 5 �C

Bỏ qua sự tương tác giữa các lớp vật liệu (σzz=0), phương trình ứng xử của dầm lúc

này được viết lại:

(2.12a)

(2.12b)

11 13

13 33

55

0

0

0 0

xx xx

zz zz

xz xz

C C

C C

C

� ��

� � ��

0C C13 0C C11 1

0C C33 0C C13 3 0C C 0C C� xz�� C CC55C5CC

11

55

0

0xx xx

xz xz

Q

Q

� ��

� � � � � � � � � � ��

0Q1111 00QQ11�

xz��Q

55Q5QQ

213

11 1133

CQ CC

�2C13

11CQ C11 1 �C 13C

33C3

4555 55 55

44

CQ C CC

�55Q C C55 55 555 �C C

2 244 44 55cos sinc C C� � �

36 12 23( )cos sinc C C � � �

14

Xem xét một dầm composite phân lớp có chiều dài L, chiều rộng b và chiều cao h

(Hình 2. 1). Dầm được hình thành từ các lớp vật liệu composite có các hướng sợi phân

bố khác nhau.

2.2.3 Trường chuyển vị

Chuyển vị theo phương trục x và trục z của 1 điểm bất kỳ thuộc dầm được xác định

theo công thức sau:

� � � � � � � �00, x

wu x z u x z f z xx

��

(2.13a)

0( , ) ( )w x z w x (2.13b)

trong đó: uo, wo là các thành phần chuyển vị của điểm trên mặt trung bình của dầm

theo các phương x và z , x� là góc quay từ giữa mặt dầm đến trục x, f(z) là một hàm

dạng đặc trưng cho sự phân bố của các lực cắt ngang và ứng suất suốt chiều sâu của

dầm. Trong đề tài này hàm ( )f z được chọn như sau: ( ) sin .h zf zh�

�

2.2.4 Trường biến dạng

Các thành phần biến dạng được xác định từ quan hệ biến dạng và chuyển vị trong

lý thuyết đàn hồi và biểu diễn dưới dạng:

20 0

2 ( ) xxx

u wu z f zx x x x

��

(0) (1) (2)( ) (2.14a)xx xx xxz f z� � � � �

'( ) ( ) (2.14b)xz x xu v g z f z z x

� � ��

Trong đó: (0) 0xx

ux

� �

�;

2(1) 0

2xxw

x� ��

�

là biến dạng màng và độ cong của dầm.

2.2.5 Trường ứng suất

Quan hệ tuyến tính giữa ứng suất- biến dạng được biểu diễn theo trạng thái ứng suất

phẳng:

15

' ' (0) (1) (2)11 11[ ( ) ] (2.15a)xx xx xx xx xxQ Q z f z� � � � � � �

' ' '55 55 ( ) (2.15b)xz xz xQ Q f z � � �

'11

'55

00

xx xx

xz xz

QQ

� ��

� �� ! "

# $ # $% & (2.15c)

trong đó:

' 4 2 2 411 11 12 66 22cos 2( 2 )sin cos sinQ Q Q Q Q� � � � � � �

' 2 255 55 44cos sinQ Q Q� � � (2.15d)

Nội lực:

/2 1 ( )

1/2

1 1 (2.16a)

( ) ( )k

xx h knb kxx xx xx

khsxx

N zM z dA z bdz

zM f z f z

� ��

�

� � � � � �' ' ' ' ' ' () )� � � ' ' ' ' ' '

# $ # $# $( ) ( ) ( ) (0) (1) (2)

11 11 [ ( ) ] k k kxx xx xx xx xxQ Q z f z� � � � �* * � � (2.16b)

(0) (1) (2) sxx xx xx xxN A B B� � � � � (2.16c)

(0) (1) (2)b s sxx xx xx xxM B B D� � � � � (2.16d)

(0) (1) (2)s s s sxx xx xx xxM B D H� � � � � (2.16e)

trong đó: ( , , , , ,s s sA B D B D H ) là các độ cứng màng, tương tác, uốn và cắt.

2.2.6 Phiếm hàm năng lượng và phương trình Lagrange

Tổng năng lượng của hệ được cho bởi.

(2.17)fU V K V+ � � �

trong đó: U là năng lượng biến dạng của vật thể , V là công của tải trọng ngoài, K là

động năng, Vf là năng lượng biến dạng của nền.

Năng lượng biến dạng của dầm:

16

2 2, , , ,

0

2 2, , , , ,

1 ( )21 [ ( ) 2 ( )2

2 2 ( ) ] (2.18a)

xx xx xz xzvL

x x xx xx

s s s sx x xx x x

U dv

A u Bu w D w

B u D w H A dx

� � � �

� � � �

�)

� �

� � � �

)

/22 2 '

11/2

( , , , , , ) (1, , , , , ) ; (2.18b)h

s s s

h

A B D B D H z z f zf f Q bdz�

)/2

2

/2

= ( ) (2.18c)h

s

h

A g G z bdz�)

Công do tải trọng ngoài:

20 ,

0

( ) ( 2.19)L

xV N w dx )Động năng của hệ:

2 2( )

2 2 2 20 1 , 2 , 1 2 , 2 0

0

1 ( )2

[ ) 2 2 ] (2.20)

zv

L

x x x

K u w dv

I u - 2I uw I (w J u J w k I w dx

,

� � �

�

� � � � �

)

)

2 2 )u w dv2 2 )2 22

2 2 ]]1 2 1 2 2 01 2 1 2 22 1 22 112 22 222

2 22) 2) 2)2 22221 2 11 22 2 222 2

2 2 d2 2 ]]2 220

222 2 222 2

trong đó: ρ là khối lượng riêng của mỗi lớp, I0,I1,I2,J1, J2 ,k2 là các hệ số quán tính, dấu

chấm dùng để chỉ đạo hàm theo thời gian

/22 2

0 1 2 1 2 2 ( )/2

( , , , , , ) (1, , , , , ) (2.21)h

zh

I I I J J k z z f zf f bdz,�

)

Năng lượng biến dạng của nền:

Hình 2.3: Mô tả sự làm việc của dầm trên nền đàn hồi

2 2

0

1 [ - ( ) ] ( 2.22)2

L

f w swV k w k dxx

�

�)Thay các phương trình (2.18), (2.19),(2.20) , (2.22) vào phương trình (2.17) ta có:

17

2 2 2 2, , , , , , , , ,

0

2 2 2, 0 , 0 1 , 2 , 1 2 ,

0 0 0

2 22 0

1 ( ) 2 w (w ) 2 2 w ( ) dx+2

1 1[ w ] [ ( ) w] [ 2 ( ) 2 22 2

]dx (2.23)

Ls s s s

x x xx xx x x xx x x

L L L2

s xx w x x x x

A u Bu D B u D H A

k k w dx N w q dx I u I uw I w J u J w

K I w

� � � �

� �

�

- � � � � � � ��

� � � � � � � � � � �

� �

)

) ) ) 2 2x1 2 11 2

2 2 ( ) 2( ) 22 2221 2 121 2 22 �2 ( ) 22

1 2 11 21 22 2J2 �wJ22

2 I w20� 222 ]dxw2 ]dw

Phương trình Lagrange

( ) 0 (2.24)j j

dq dt q- -� �

� � �

) 0jq

Trong đó: ( ; ; ).j j j jq u w �.

2.2.7 Lời giải giải tích.

Để thu được phương trình chuyển động, trường chuyển vị được xấp xỉ bởi các hàm

sau:

1( , ) ( ) (2.25a)

m i tj j

ju x t x u e ��

(

1( , ) (2.25b)

m i tj j

jw x t w e ��

(

1( , ) ( ) (2.25c)

m i tj j

jx t x e ��

(

trong đó: ψj(x), φj(x), là các hàm dạng, uj, wj, θj là các tham số và sẽ được xác định từ

điều kiện cực trị của thế năng toàn phần П. � là tần số dao động tự do của dầm, i2=-1 .

Áp dụng phương trình Lagrange :

0,j j

dq dt q

--� ��

� �0,

jqta thu được phương trình động học:

11 12 13 11 12 13

12 22 23 2 12 22 23

13 23 33 13 23 33

(2.26a)�

� � � � � � � �! "� � ' ' ' '� � � ! "� �

' ' ' '! "� � # $ # $� � � �% &

k k k M M M u 0k k k M M M w 0k k k M M M θ 0

Với K là ma trận độ cứng của kết cấu, M là ma trận khối lượng và được xác định.

18

11ij , ,

0

12ij , ,

0

13ij , ,

0

; (2.26b)

; (2.26c)

(2.26d)

L

i x j xx

L

i x j xx

Ls

i x j x

k A dx

k B dx

k B dx

� �

� �

� �

�

)

)

)22ij , , 0 , , , ,

0 0 0 0

23ij , ,

0

(x) (x)dx-k (x)dx (2.26e)

(2.26f )

L L L L

i xx j xx i x j x w i j s i x j x

Ls

i xx j x

k D dx N dx k

k D dx

� � � � � � � �

� �

� �

) ) ) )

)33ij , ,

0 0

(2.26g)L L

s si x j x i jk H dx A dx� � �� ) )

11ij 0

0

12ij 1 ,

0

13ij 1

0

; ( h)

; i

j

L

i j

L

i j x

L

i j

M I dx 2.26

M I dx (2.26 )

M J dx (2.26 )

��

� �

��

�

)

)

)22ij 0 2 , ,

0 0

23ij 2 ,

0

; (2.26k)

(2.26l)

L L

i j i x j x

L

i x j

M I dx I dx

M J dx

��

� �

�

�

) )

)33ij 2

0

(2.26m)L

i jM k dx�� )2.2.8. Áp dụng các điều kiện biên khác nhau cho dầm composite

Chọn hàm dạng.

1

1

( ) ; (2.25a)( ) (2.25 )

j

j

x xx x b

�

�

�

�

Để áp đặt các điều kiện biên khác nhau phương pháp nhân tử Lagrange được sử dụng và được viết lại như sau:

* ˆ ( ) (2.26)i iu x�- - �

Trong đó: i� là nhân tử Lagrange, ˆiu biểu thị các giá trị chuyển vị tại các vị trí

0,x L

19

Sử dụng phương trình Lagrange: * *

0j j

dq dt q- -� �

� � �

0jq

Ta thu được phương trình động

học để giải bài toán toán tải trọng ổn định tới hạn và tần số dao động tự do.

11 12 13 14 11 12 13

12 22 23 24 12 22 232

13 23 33 34 13 23 33

14 24 34

(2.27)�

� � � � � � � � � �! "� � ' ' ' ' ' '

' ' ' ' ' '! "� � � � � � ! "� � ' ' ' ' ' '! "� � ' ' ' ' ' '! "� # $ # $� � # $� �% &

0k k k k M M M 00k k k k M M M 00k k k k M M M 00k k k 0 0 0 0 0

uw��

Trong đó các phần tử của ma trận 14k 24k

34k phụ thuộc vào điều kiện biên chuyển vị.

Bảng 2.1. Bảng điều kiện biên của dầm theo lý thuyết biến dạng cắt bậc cao

Điều kiện biên Vị trí x=0 Vị trí x=L

Ngàm-NgàmC-C

,0, 0, 0, 0xu w w� ,0, 0, 0, 0xu w w�

Ngàm -Tự doC-F

,0, 0, 0, 0xu w w�

Ngàm -Tựa đơnC-S

,0, 0, 0, 0xu w w� w=0

Dầm đơn giảnS-S

w=0 w=0

Dầm hai đầu ngàm (C-C)14 14 141 2 ij(0); ( ); 0i i i ik k L k� � Với j=3,4…8

24 24 24 24 243 4 5 , 6 , ij(0); ( ); (0); ( ); 0i i i i i i x i i xk k L k k L k� � � � Với j=1,2,7,8.

34 34 347 8 ij ,(0); ( ); (0)i i i i i xk k L k� � � Với j=1,2…6.

Dầm đầu ngàm đầu tự do (C-F)

14 141 ij(0); 0i ik k� Với j=2,3,4.

24 24 24 242 3 , 5 , ij(0); (0); (0); 0i i i i x i i xk k k k� � � Với j=1,4.

34 344 ij(0); 0i ik k� Với j=1,2,3.

Dầm đầu ngàm đầu tựa đơn (C-S)

14 141 ij(0); 0i ik k� Với j=2,3,4,5

20

24 24 24 242 3 4 , ij(0); ( ); (0); 0i i i i i i xk k L k k� � � Với j=1,5.

34 344 ij(0); 0i ik k� Với j=1,23.

Dầm đơn giản (S-S)

14ij 0k Với j=1,2.

24 24 341 2 ij(0); ( ); 0i i i ik k L k� � Với j=1,2.

21

CHƯƠNG 3

VÍ DỤ SỐ3.1 GIỚI THIỆU

Trong phần này một số bài toán sẽ được đưa ra và đem so sánh với các bài báo

khoa học trước đó để kiểm chứng độ tin cậy của kết quả số cũng như sự đúng đắn của

phương pháp đã áp dụng cho mô hình bài toán,từ đó rút ra các nhận xét của kết quả

nghiên cứu Những bài toán này sử dụng phần mềm Matlab để hỗ trợ tính toán.

Bài toán 1: Tính toán tần số dao động của dầm composite.

Bài toán 2: Tính toán lực ổn định tới hạn của dầm composite tiết diện chữ nhật bằng lý

thuyết biến dạng cắt bậc cao sử dụng nhân tử Lagrange.

Bài toán 3: tần số dao động của lớp sợi đối xứng của dầm composite với hướng sợi

thay đổi với các điều kiện biên khác nhau.

Bài toán 4 : Tính toán tần số dao động của dầm composite trên nền đàn hồi

Bài toán 5: Tính toán lực ổn định tới hạn của dầm composite trên nền đàn hồi tiết diện

chữ nhật bằng lý thuyết biến dạng cắt bậc cao sử dụng nhân tử Lagrange.

Để dễ dàng theo dõi và đối chiếu, tất cả các vật liệu được sử dụng các ví dụ số

được tập hợp. Đồng thời công thức trực giao được giải thích rõ vì các kết quả của tần

số và lực ổn định tới hạn trong các ví dụ số đều được trực giao bằng các công thức này

nhằm đưa các giá trị tính toán được về giá trị không thứ nguyên để dễ dàng so sánh.

- Vật liệu .

Vật liệu1: Module đàn hồi E1=144.9 Gpa, E2=9.65 Gpa ;E2= E3,G12=G13=4.14GPa,

G23 = 3.45 GPa, L/h=15, 12 0.3� , 12 13� � , 12 23� � , 31389 /kg m, .

Vật liệu 2: Module đàn hồi E1/E2 = 10, E1=241.5 Gpa, G12=G13=0.6E2,

G23 = 0.5E2, 12 0.25� ; 12 13� � ; 12 23� �

Vật liệu 3: Module đàn hồi E1/E2 = 10, E1=241.5 Gpa, G12=G13=0.5E2,

G23 = 0.2E2, 12 0.25� ; 12 13� � ; 12 23� � .

- Công thức trực giao.

Công thức lực ổn định tới hạn

2

3cr

crp LpE bh

;

- Công thức tần số dao động tự nhiên

22

2Lh E

� ,�

3.2 Bài toán 1: Tính toán tần số dao động của dầm composite

Dầm composite cross-ply tựa đơn với hướng sợi đối xứng [00 /900 /00 ] và hướng

sợi không đối xứng [00 /900 ]. Trong đó vật liệu có thông số như sau:

Module đàn hồi E1 /E2 = 40, E1= 241.5GPa ,G12 =G13 =0.6E2 , G23 = 0.5E2

12 0.25� ; 12 13� � ; 12 23� � ; ρ=10-2 kg/m3

Xác định tần số dao động của dầm . Giá trị của tần số dao động tự nhiên

không thứ nguyên với tỉ số nhịp- chiều cao tiết diện được so sánh với phương pháp

chính xác [20] và phương pháp phần tử hữu hạn [22,4]

Bảng 3.1:Tần số dao động tự nhiên không thứ nguyên cơ bản của dầm composite

cross- ply đối xứng và không đối xứng với điều kiện biên tựa đơn.

Lớp Sợi Lý Thuyết Tham Khảo L/h

5 10 20 50

[00/900/00 ] FOBT Khdeir and Reddy [20] 9.205 13.670 - -

HOBT Khdeir and Reddy [20] 9.208 13.614 - -

Aydogdu [22] 9.207 - 16.337 -

Vo[4] 9.206 13.607 16.327 17.449

Luật ứng xử 1 9.224 13.614 16.336 17.462

Luật ứng xử 2 9.222 13.608 16.326 17.448

[00/900 ] FOBT Khdeir and Reddy [20] 5.953 6.886 - -

HOBT Khdeir and Reddy [20] 6.128 6.945 - -

Aydogdu [22] 6.144 - 7.218 -

Vo[4] 6.058 6.909 7.204 7.296

Luật ứng xử 1 6.085 6.922 7.211 7.301

Luật ứng xử 2 6.081 6.917 7.205 7.295

23

Kết quả thu được khả quan, có sự chênh lệch không lớn giữa kết quả nghiên cứu và

kết quả của các tác giả nghiên cứu khác được thể hiện trong Bảng 3.1.

3.3 Bài toán 2: Tính toán lực ổn định của dầm composite tiết diện chữ nhật bằng

lý thuyết biến dạng cắt bậc cao sử dụng nhân tử Lagrange.

Dầm composite cross-ply tựa đơn với hướng sợi đối xứng [00/900/00] và hướng sợi

không đối xứng [00/900]. Bài toán nghiên cứu trên 2 loại vật liệu.

Vật liệu 2 : module đàn hồi E1/E2 = 10, E1=241.5 Gpa, G12=G13=0.6E2,

G23 = 0.5E2, 12 0.25� ; 12 13� � ; 12 23� �

Vật liệu 3: module đàn hồi E1/E2 = 10, E1=241.5 Gpa, G12=G13=0.5E2,

G23 = 0.2E2, 12 0.25� ; 12 13� � ; 12 23� �

Xác định lực ổn định tới hạn của dầm composite.

Bảng 3.2: Lực ổn định tới hạn không thứ nguyên cơ bản của dầm composite cross-ply

đối xứng và không đối xứng với điều kiện biên tựa đơn

Lớp Sợi Lý Thuyết Tham Khảo L/h

5 10 20 50

Vật liệu II

[00/900/00] FOBT Vo[4] 4.752 6.805 7.630 7.897

HOBT Aydogdu [23] 4.726 6.805 7.666 7.897

Vo[4] 4.709 6.778 7.620 7.896

Luậ ứng xử 1 4.727 6.813 7.721 7.902

Luật ứng xử 2 4.709 6.776 7.619 7.895

[00/900] FOBT Vo[4] 1.883 2.148 2.226 2.249

HOBT Aydogdu [23] 1.919 - 2.241 -

Vo[4] 1.910 2.156 2.228 2.249

Luật ứng xử 1 1.923 2.169 2.241 2.262

Luật ứng xử 2 1.913 2.156 2.227 2.248

Vật liệu III

[00/900/00] FOBT Vo[4] 4.069 6.420 7.503 7.875

HOBT Aydogdu [23] 3.728 - 7.459 -

24

Vo[4] 3.717 6.176 7.416 7.860

Luật ứng xử 1 3.688 6.174 7.409 7.859

Luật ứng xử 2 3.677 6.144 7.405 7.857

[00/900] FOBT Vo[4] 1.605 1.876 1.958 1.983

HOBT Aydogdu [23] 1.765 - 2.226 -

Vo[4] 1.758 2.104 2.214 2.247

Luật ứng xử 1 1.771 2.117 2.227 2.260

Luật ứng xử 2 1.762 2.105 2.213 2.246

Kết quả thu được khả quan, có sự chênh lệch không lớn giữa kết quả nghiên cứu

và kết quả của các tác giả nghiên cứu khác được thể hiện trong Bảng 3.2.

3.4 Bài toán 3: Tần số dao động của lớp sợi đối xứng của dầm composite với

hưướng sợi thay đổi và các điều kiện biên khác nhau.

Dầm composite nhiều lớp sợi trong các điều kiện biên khác nhau với lớp sợi đối

xứng [θ/- θ] trong đó góc xoay của hướng sợi thay đổi.

Vật liệu1: Module đàn hồi E1=144.9 Gpa, E2=9.65 Gpa ; E2= E3, G12=G13= 4.14GPa,

G23 = 3.45 GPa, 12 0.3� ; 12 13� � ; 12 23� � ; 31389 /kg m, ; L/h=15

Xác định tần số dao động tự nhiên của dầm composite sử dụng nhân tử Lagrange

ở các điều kiện biên khác nhau.

Vẽ đồ thị biểu diễn sự biến đổi của lực ổn định tới hạn và tần số dao động tự

nhiên với lớp sợi đối xứng và hướng sợi thay đổi trong những điều kiện biên khác

nhau trong các trường hợp:

L/h = 5,10,15, 20.

Để thuận tiện, những trường hợp tính toán không thứ nguyên được sử dụng từ

những kết quả có sẵn:

2

31

crcr

p LpE bh

; 2

1

Lh E

� ,�

25

Bảng 3.3: Tần số dao động tự nhiên không thứ nguyên của dầm composite lớp sợi đối

xứng, góc sợi thay đổi.

Điều kiện Tham Khảo Góc sợi

biên 00 150 300 450 600 750 900

CC Aydogdu [22] 4.973 4.294 2.195 1.929 1.669 1.612 1.619

Chandrashekhara [27] 4.849 4.664 4.098 3.184 2.198 1.682 1.620

Krishnaswamy [28] 4.487 3.988 2.878 1.947 1.669 1.612 1.619

Chen [29] 4.858 3.648 2.345 1.838 1.671 1.616 1.624

Vo [4] 4.897 4.570 3.236 1.992 1.631 1.606 1.615

Luật ứng xử 1 4.957 4.758 4.160 3.211 2.206 1.684 1.622

Luật ứng xử 2 4.932 3.310 2.187 1.763 1.624 1.609 1.619

SS Aydogdu [22] 2.651 1.896 1.141 0.804 0.736 0.725 0.729


Vo [4] 2.649 2.404 1.554 0.908 0.736 0.725 0.730

Luật ứng xử 1 2.656 2.511 2.103 1.536 1.012 0.761 0.732

Luật ứng xử 2 2.649 1.509 0.998 0.795 0.731 0.724 0.729

CF Aydogdu [22] 0.981 0.676 0.414 0.288 0.262 0.258 0.260


Vo [4] 0.980 0.884 0.561 0.325 0.263 0.259 0.261

Luật ứng xử 1 0.983 0.926 0.768 0.555 0.363 0.272 0.262

Luật ứng xử 2 0.981 0.570 0.358 0.284 0.261 0.259 0.260

CS Aydogdu [22] 3.775 2.960 1.671 1.178 1.150 1.122 1.129


Krishnaswamy [28] 3.887 3.243 2.213 1.388 1.146 1.129 1.131

Vo [4] 3.818 3.508 2.354 1.402 1.141 1.123 1.130

Luật ứng xử 1 3.910 3.676 2.982 3.291 1.624 1.204 1.156

Luật ứng xử 2 3.899 3.230 1.596 1.259 1.154 1.145 1.153

26

.

Hình 3.1. Sự thay đổi của lưc ổn định tới hạn không thứ nguyên crP theo sự thay đổi

của � trong các điều kiện biên khác nhau và L/h=5



27



Hình 3.4 Sự thay đổi của tần số dao động không thứ nguyên� theo sự thay đổi của

� trong các điều kiện biên khác nhau và L/h=15

00.5

11.5

22.5

33.5

44.5

5

0 15 30 45 60 75 90

CC

SS

CF

28


của � trong các điều kiện biên khác nhau và L/h=20.

Kết quả thu được khả quan, có sự chênh lệch không lớn giữa kết quả nghiên cứu

và kết quả của các tác giả nghiên cứu khác được thể hiện trong bảng 3.3

Đồ thị 3.1 – 3.5 biểu thị sự làm việc của cấu kiện trong các điều kiện biên khác

nhau, trong đó khả năng chịu dao động và ổn định của cấu kiện C-C là lớn nhất đổi và

thấp nhất là C-F. Kết quả là hợp lý. Đồng thời đồ thị cho thấy rõ khi góc sợi thay đổi

làm ảnh hưởng lớn đến độ cứng của cấu kiện. Góc sợi càng tăng từ 00 đến 900 làm độ

cứng của cấu kiện càng giảm.

3.5 Bài toán 4: Tính toán tần số dao động của dầm composite trên nền đàn hồi

Dầm composite cross-ply trên nền đàn hồi hướng sợi đối xứng [00 /900 /00 ]

và hướng sợi không đối xứng [00 /900 ]. Trong đó vật liệu có thông số như sau:


12 0.25� ; 12 13� � ; 12 23� �

Xác định tần số dao động của dầm .

Trường hợp góc sợi không đối xứng [00 /900 ].

29

kw

kw

kw

kw

Bảng 3.4. Tần số dao động của dầm theo luật ứng xử 1 khi góc sợi không đối xứng.

ks 0 10 100 1000

10 7.224 7.219 7.179 6.758

102 7.240 7.236 7.195 6.775

103 7.403 7.398 7.359 6.948

104 8.864 8.860 8.827 8.488

Bảng 3.5. Tần số dao động của dầm theo luật ứng xử 2 khi góc sợi không đối xứng.

ks 0 10 100 1000

10 7.209 7.204 7.164 6.743

102 7.225 7.221 7.180 6.760

103 7.387 7.383 7.344 6.934

104 8.848 8.844 8.811 8.473

Trường hợp góc sợi đối xứng [00 /900 /00 ]

Bảng 3.6. Tần số dao động của dầm theo luật ứng xử 1 khi góc sợi đối xứng.

ks 0 10 100 1000

10 15.562 15.560 15.541 15.351

102 15.569 15.567 15.548 15.358

103 15.646 15.644 15.625 15.436

104 16.389 16.387 16.369 16.189

Bảng 3.7. Tần số dao động của dầm theo luật ứng xử 2 khi góc sợi đối xứng.

ks 0 10 100 1000

10 15.552 15.550 15.532 15.341

102 15.560 15.558 15.539 15.349

103 15.636 15.634 15.616 15.426

104 16.381 16.378 16.361 16.180

30

kw

kw

kw

3.6 Bài toán 5: Tính toán lực ổn định tới hạn của dầm composite trên nền đàn

hồi .

Dầm composite cross-ply trên nền đàn hồi với hướng sợi đối xứng [00/900/00]

và hướng sợi không đối xứng [00 /900 ]. Trong đó vật liệu có thông số như sau:


12 0.25� ; 12 13� � ; 12 23� �

Xác định lực ổn định tới hạn của dầm .

Trường hợp góc sợi không đối xứng [00 /900 ].

Bảng 3.8.Lực ổn định tới hạn của dầm theo luật ứng xử 1 khi góc sợi không đối xứng

ks 0 10 100 1000

10 5.305 5.298 5.239 4.643

102 5.329 5.323 5.263 4.667

103 5.571 5.564 5.505 4.908

104 7.987 7.981 7.921 7.325

Bảng 3.9. Lực ổn định tới hạn của dầm theo luật ứng xử 2 khi góc sợi không đối xứng

ks 0 10 100 1000

10 5.297 5.290 5.231 4.634

102 5.321 5.315 5.255 4.658

103 5.563 5.556 5.497 4.900

104 7.979 7.972 7.913 7.317

Trường hợp góc sợi đối xứng [00 /900 /00 ]

Bảng 3.10 Lực ổn định tới hạn của dầm theo luật ứng xử 1 khi góc sợi đối xứng

ks 0 10 100 1000

10 24.568 24.553 24.502 23.909

102 24.590 24.586 24.524 23.928

103 24.830 24.822 24.768 24.176

104 27.252 27.241 27.184 26.582

31

kw

Bảng 3.11 Lực ổn định tới hạn của dầm theo luật ứng xử 2 khi góc sợi đối xứng

ks 0 10 100 1000

10 24.538 24.531 24.472 23.876

102 24.562 24.556 24.496 23.900

103 24.804 24.797 24.738 24.142

104 27.220 27.214 27.154 26.558

32

CHƯƠNG 4

KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ

Từ cơ sở lý thuyết và các kết quả số thu được của Luận văn này, rút ra một số kết

luận và kiến nghị được sơ lược như sau:

4.1 Kết luận

+ Luận văn đã giải quyết được bài toán động lực học của dầm làm từ vật liệu

composite phân lớp với các điều kiện biên khác nhau .

+ Xây dựng mô hình, thiết lập bài toán, viết chương trình máy tính bằng ngôn

ngữ Matlab để phân tích ứng xử của dầm composite trên nền đàn hồi.

+ Chương trình cũng đã kiểm chứng với các kết quả đã có của các nghiên cứu

trước tương tự từ đó thấy mức độ tin cậy và chính xác nhất định của bài toán.

4.2 Kiến nghịCác ví dụ số được phân tích trong luận văn là các kết cấu dầm composite mặt cắt

ngang hình chữ nhật với các lớp sợi đơn giản và mới chỉ nghiên cứu tần số dao động

tự nhiên và lực ổn định tới hạn.

Vì vậy hướng tiếp theo sẽ nghiên cứu kết cấu composite có mặt cắt và hướng

sợi phức tạp hơn cũng như nghiên cứu về ứng xử tĩnh của dầm composite.

33

TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1] Ghugal YM, Shimpi RP. A review of refined shear deformation theories

forisotropic and anisotropic laminated beams. Jonrnal of Reinforced Plastics and

Composite, 20, 255-72, 2001.

[2] Aguiar R, Moleiro F, Soares CM. Assessment of mixed and displacement-

basedmodels for static analysis of composite beams of different cross-sections.Compos

Struct, 94, 601–16, 2012.

[3] T.P.Vo, H-T-Thai. A quasi-3D theory for vibration and buckling of functionally

graded sandwich beams. Composite Structures, 119, 1-12, 2015.

[4] T.P.Vo, H-T-Thai. Vibration and buckling of composite beams using refined

shear deformation theory. International journal of Mechanical Sciences, 62, 67-76,

2012.

[5] T.P.Vo, H.-T.Thai. Static behavior of composite beams using various refined shear

deformation theories. Compos Struct, 94, 2513–22, 2012.

[6] Nguyen Dinh Duc, Hoang Van Tung. Mechanical and thermal postbuckling of

higher order shear deformable functionally graded plates on elastic foundations.

Composite Structures, 93,1854-1865, 2011.

[7] Dao Huy Bich, Dao Van Dung . Nonlinear dynamical analysis of eccentrically

stiffened functionally graded cylindrical panels. Composite Structures, 94: 2465-

2473, 2011

[8] Nguyen Trung Kien, Nguyen T. Truong Phong, Thai Huu Tai, Vo Thuc P.

Vibration and buckling analysis of Functionally graded sandwich beams by a new

higher-order shear deformation theory, Composite Part B, 76, 273-285, 2015.

[9] Reddy JN. Mechenics of laminated composite plates: theory and analysis, CRC

Press; 1997.

[10] Neves AMA, Ferreira AJM, Carrera E, Roque CMC, Cinefra M, Jorge RMN, et

al. A quasi-hyperbolic shear deformation theory for the static and free vibration

analysis of functionally greade plates. Compos Struct, 94, 1814-25, 2012.

[11] Neves AMA, Ferreira AJM, Carrera E, Roque CMC, Cinefra M, Jorge RMN, et

al. Static, free vibration and buckling analysis of isotropic and sandwich functionally

34

graded paltes using a quasi-3D higher-order shear deformation theory and a meshless

technique. Compos Part B Eng, 44, 657-74, 2013.

[12] Mantary JL,Soares CG. Generalized hybrid quasi-3D shear deformation theory

for the static analysis of advanced composite plates. Compos Struct, 94, 2561-75,

2012.

[13] Thai H-T, Vo TP, Bui TQ, Nguyen T-K.A quasi–3D hyperbolic shear

deformation theory for functionally gradedplates. Acta Mech, 1-14, 2013.

[14] Thai H-T Choi D-H. A simple quasi-3D sinusoidal shera deformation theory for

functionally graded plates. Compos Struct, 99, 172-80, 2013.

[15] Thai H-T Choi D-H. Improved refined plate theory accounting for effect of

thickness stretching in functionally graded plates. Compos Part B: Eng, 56,705-16,

2014.

[16] Mashat DS, Carrera E, Zenkour AM, Khateeb SAA, Filippi M. Free vibraion of

FGM Layered beams by various theories and finite elements. Compos Part B: Eng, 59,

269-78, 2014.

[17] Reddy JN. A simple higher-order theory for laminated composite plates. J appl

Mech, 51, 745-52, 1984.

[18] Nguyen T-K, Vo TP, Thai H-T. Static and free vibration of axially loaded

functionally graded beams based on the first-order shear deformation theory. Compos

Part B: Eng, 55, 147-57, 2013.

[19] Thai H-T, Vo TP. Bending and free vibration beam theories.Int J Mech Sci, 62,

57-66, 2012.

[20] Khdeir AA, Reddy JN. Free vibration of cross-ply laminated beams with arbitrary

boundary conditions..Int J Mech Sci, 32, 1971-80, 1994.

[21] Khdeir AA, Reddy JN. Buckling of cross-ply laminated beams with arbitrary

boundary conditions.Compos Struct, 37, 1-3, 1997.

[22] Aydogdu M. Vibration analysis of cross-ply laminated beams with general

boundary conditions by Ritz method.Int J Mech Sci, 47,1940-55, 2005.

[23] Aydogdu M. Buckling analysis of cross-ply laminated beams with general

boundary conditions by Ritz Method.Compos Sci Technol, 66,1248-55, 2006.

35

[24] Chandrashekhara K, Bangera K. Free vibration of composite beams using a

refine shear flexible beam element. Compos Struct, 43,719-27, 1992.

[25] Zhen W, Wanji C. An assessment of several displacement – based theries for the

vibration and stability analysis of laminated composite and sandwich beams. Compos

Struct 84, 337-49, 2008.

[26] Fiorenzo A. Fazzolari, Erasmo Carrera.Refined hierarchical kinematics quasi-3D

Ritz models for free vibration analysis of doubly curved FGM shells and sandwich

shells with FGM core. Journal of Sound and Vibration,Volume 333, Issue 5, 28

February 2014, Pages 1485–1508 .

[27] Chandrashekhara K, Krishnamurthy K,Roy S. Free vibration of composite beams

Including rotary inertia and shear deformation. Compos Struct, 14, 269-79, 1990.

[28] Krishnaswamy S, Chandrashekhara K,WU WZB. Analytical solutions to

vibration of generally layered composite beams. J Sound Vib, 159, 85-99, 1992.

[29] Chen WQ, Lv CF, Bian ZG. Fre vibration analysis of generally laminated beams

via state-space-based differential quadrature. Compos Struct, 63, 417-25, 2004.

36

PHỤ LỤC Code matlab bài toán 3clear all; clc

%% Input

% global P0 vp L N hs z

% global E1 E2 v12 h Ro t r

syms lamda N0 z

format long

h = 0.1 % m

S = 15 %L/h

L = S*h ; %m

b = 1 %m0

E1 = 144.9 * 10^6 ; %GPa=> KN/m2

E2 = 9.65 * 10^6 ;

E3 = E2 %GPa=> KN/m2

G12 = 4.14 * 10^6 ; %GPa => KN/m2

G13 = G12; %GPa => KN/m2

G23 = 3.45 * 10^6 ; %GPa => KN/m2

v12 = 0.3;

v13 =v12;

v31 = v13*(E3/E1);

v21 =v12*(E2/E1);

v23 =v12;

v32 = v23*(E3/E2);

Ro = 1389 * 10-2 % Kg/m3 => KN/m3

a = input ('nhap vao gia tri ti so tt1 = ')

tt1 = a*pi/180;

tt2 = -a*pi/180;

z1 = -h/2;

z2 = +h/2;

f = h/pi*(sin(pi*z/h))

%--------------------------------------------------------------------------

37

C11 = (1-v23*v32)*E1/(1-v12*v21-v23*v32-v31*v13-2*v21*v32*v13);

C12 = (v12+v32*v13)*E2/(1-v12*v21-v23*v32-v31*v13-2*v21*v32*v13);

C13 = (v13+v12*v23)*E3/(1-v12*v21-v23*v32-v31*v13-2*v21*v32*v13);

C14 = 0;

C15 = 0;

C16 = 0;

C22 = E2*(1-v13*v31)/(1-v12*v21-v23*v32-v31*v13-2*v21*v32*v13);

C23 = E2*(v32+v12*v31)/(1-v12*v21-v23*v32-v31*v13-2*v21*v32*v13);

C24 = 0;

C25 = 0;

C26 = 0;

C33 = E3*(1-v12*v21)/(1-v12*v21-v23*v32-v31*v13-2*v21*v32*v13);

C34 = 0;

C35 = 0;

C36 = 0;

C44 = G23;

C45 = 0;

C46 = 0;

C55 = G13;

C56 = 0;

C66 = G12;

C = [C11 C12 C13 C14 C15 C16;

C12 C22 C23 C24 C25 C26;

C13 C23 C33 C34 C35 C36;

C14 C24 C34 C44 C45 C46;

C15 C25 C35 C45 C55 C56;

C16 C26 C36 C46 C56 C66];

%LOP THU NHAT

%TINH CAC HE SO KHI CHUYEN TRUC TU DIA PHUONG SANG TONG THE

m = cos(tt1);

n = sin(tt1);

38

Cp_tt1(1,1) = C11*m^4 + 2*(C12+2*C66)*n^2*m^2+C22*n^4;

Cp_tt1(1,2) = (C11+C22-4*C66)*m^2*n^2+C12*(m^4+n^4);

Cp_tt1(2,2) =C11*n^4+2*(C12+2*C66)*m^2*n^2+C22*m^4;

Cp_tt1(1,3) =C13*m^2+C23*n^2;

Cp_tt1(1,6) =(C11-C12-2*C66)*n*m^3+(C12-C22+2*C66)*n^3*m;

Cp_tt1(2,3)=C23*m^2+C13*n^2

Cp_tt1(2,6) =(C11-C12-2*C66)*n^3*m+(C12-C22+2*C66)*n*m^3;

Cp_tt1(3,3) =C33;

Cp_tt1(3,6)=(C13-C23)*n*m

Cp_tt1(6,6) =(C11+C22-2*C12-2*C66)*n^2*m^2+C66*(n^4+m^4);

Cp_tt1(4,4) =C44*m^2+C55*n^2;

Cp_tt1(4,5) =(C55-C44)*n*m;

Cp_tt1(5,5) =C55*m^2+C44*n^2;

%TINH CAC HE SO KHI AP DUNG DIEU kIEN UNG SUAT PHANG TRONG

MAT PHANG OXZ

Qp_tt1(1,1)= (2*Cp_tt1(1,2)*Cp_tt1(1,6)*Cp_tt1(2,6)-

Cp_tt1(1,6)*Cp_tt1(1,6)*Cp_tt1(2,2)-Cp_tt1(1,1)*Cp_tt1(2,6)*Cp_tt1(2,6)-

Cp_tt1(1,2)*Cp_tt1(1,2)*Cp_tt1(6,6)+Cp_tt1(1,1)*Cp_tt1(2,2)*Cp_tt1(6,6))/(Cp_tt1(

2,2)*Cp_tt1(6,6)-Cp_tt1(2,6)*Cp_tt1(2,6));

Qp_tt1(1,3)=(Cp_tt1(1,6)*Cp_tt1(2,3)*Cp_tt1(2,6)-

Cp_tt1(2,6)*Cp_tt1(2,6)*Cp_tt1(1,3)-

Cp_tt1(1,6)*Cp_tt1(2,2)*Cp_tt1(3,6)+Cp_tt1(1,2)*Cp_tt1(2,6)*Cp_tt1(3,6)+Cp_tt1(1,

3)*Cp_tt1(2,2)*Cp_tt1(6,6)-

Cp_tt1(1,2)*Cp_tt1(2,3)*Cp_tt1(6,6))/(Cp_tt1(2,2)*Cp_tt1(6,6)-

Cp_tt1(2,6)*Cp_tt1(2,6));

Qp_tt1(3,3)=(2*Cp_tt1(2,3)*Cp_tt1(2,6)*Cp_tt1(3,6)-



2,2)*Cp_tt1(6,6)-Cp_tt1(2,6)*Cp_tt1(2,6));

Qp_tt1(5,5)=Cp_tt1(5,5)-Cp_tt1(4,5)*Cp_tt1(4,5)/Cp_tt1(4,4);

39

%TINH CAC HE SO KHI CHO XICHMA ZZ BANG 0.

QP_tt1(1,1) = Qp_tt1(1,1)-Qp_tt1(1,3)*Qp_tt1(1,3)/Qp_tt1(3,3)

QP_tt1(5,5)=Qp_tt1(5,5)

%LOP THU 2

%TINH CAC HE SO KHI CHUYEN TRUC TU DIA PHUONG SANG TONG THE

m = cos(tt2);

n = sin(tt2);

Cp_tt2(1,1) = C11*m^4 + 2*(C12+2*C66)*n^2*m^2+C22*n^4;

Cp_tt2(1,2) = (C11+C22-4*C66)*m^2*n^2+C12*(m^4+n^4);

Cp_tt2(2,2) =C11*n^4+2*(C12+2*C66)*m^2*n^2+C22*m^4;

Cp_tt2(1,3) =C13*m^2+C23*n^2;

Cp_tt2(1,6) =(C11-C12-2*C66)*n*m^3+(C12-C22+2*C66)*n^3*m;

Cp_tt2(2,3)=C23*m^2+C13*n^2

Cp_tt2(2,6) =(C11-C12-2*C66)*n^3*m+(C12-C22+2*C66)*n*m^3;

Cp_tt2(3,3) =C33;

Cp_tt2(3,6)=(C13-C23)*n*m

Cp_tt2(6,6) =(C11+C22-2*C12-2*C66)*n^2*m^2+C66*(n^4+m^4);

Cp_tt2(4,4) =C44*m^2+C55*n^2;

Cp_tt2(4,5) =(C55-C44)*n*m;

Cp_tt2(5,5) = C55*m^2+C44*n^2;

%TINH CAC HE SO KHI AP DUNG DIEU kIEN UNG SUAT PHANG TRONG

MAT PHANG OXZ

Qp_tt2(1,1)= (2*Cp_tt2(1,2)*Cp_tt2(1,6)*Cp_tt2(2,6)-



2,2)*Cp_tt2(6,6)-Cp_tt2(2,6)*Cp_tt2(2,6));

40

Qp_tt2(1,3)=(Cp_tt2(1,6)*Cp_tt2(2,3)*Cp_tt2(2,6)-

Cp_tt2(2,6)*Cp_tt2(2,6)*Cp_tt2(1,3)-

Cp_tt2(1,6)*Cp_tt2(2,2)*Cp_tt2(3,6)+Cp_tt2(1,2)*Cp_tt2(2,6)*Cp_tt2(3,6)+Cp_tt2(1,

3)*Cp_tt2(2,2)*Cp_tt2(6,6)-

Cp_tt2(1,2)*Cp_tt2(2,3)*Cp_tt2(6,6))/(Cp_tt2(2,2)*Cp_tt2(6,6)-

Cp_tt2(2,6)*Cp_tt2(2,6));

Qp_tt2(3,3)=(2*Cp_tt2(2,3)*Cp_tt2(2,6)*Cp_tt2(3,6)-



2,2)*Cp_tt2(6,6)-Cp_tt2(2,6)*Cp_tt2(2,6));

Qp_tt2(5,5)=Cp_tt2(5,5)-Cp_tt2(4,5)*Cp_tt2(4,5)/Cp_tt2(4,4);

%TINH CAC HE SO KHI CHO XICHMA ZZ BANG 0.

QP_tt2(1,1) = Qp_tt2(1,1)-Qp_tt2(1,3)*Qp_tt2(1,3)/Qp_tt2(3,3);

QP_tt2(5,5)=Qp_tt2(5,5);

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

Axx=eval(int(QP_tt1(1,1),z,-h/2,-h/4)+int(QP_tt2(1,1),z,-

h/4,0)+int(QP_tt2(1,1),z,0,h/4)+int(QP_tt1(1,1),z,h/4,h/2));

Bxx=eval(int(z*QP_tt1(1,1),z,-h/2,-h/4)+int(z*QP_tt2(1,1),z,-

h/4,0)+int(z*QP_tt2(1,1),z,0,h/4)+int(z*QP_tt1(1,1),z,h/4,h/2));

Dxx=eval(int(z^2*QP_tt1(1,1),z,-h/2,-h/4)+int(z^2*QP_tt2(1,1),z,-

h/4,0)+int(z^2*QP_tt2(1,1),z,0,h/4)+int(z^2*QP_tt1(1,1),z,h/4,h/2));

Bs=eval(int(f*QP_tt1(1,1),z,-h/2,-h/4)+int(f*QP_tt2(1,1),z,-

h/4,0)+int(f*QP_tt2(1,1),z,0,h/4)+int(f*QP_tt1(1,1),z,h/4,h/2));

Ds=eval(int(z*f*QP_tt1(1,1),z,-h/2,-h/4)+int(z*f*QP_tt2(1,1),z,-

h/4,0)+int(z*f*QP_tt2(1,1),z,0,h/4)+int(z*f*QP_tt1(1,1),z,h/4,h/2));

Hs=eval(int(f^2*QP_tt1(1,1),z,-h/2,-h/4)+int(f^2*QP_tt2(1,1),z,-

h/4,0)+int(f^2*QP_tt2(1,1),z,0,h/4)+int(f^2*QP_tt1(1,1),z,h/4,h/2));

41

As=eval(int((diff(f,z))^2*QP_tt1(5,5),z,-h/2,-

h/4)+int((diff(f,z))^2*QP_tt2(5,5),z,h/4,0)+int((diff(f,z))^2*QP_tt2(5,5),z,0,h/)+int((di

ff(f,z))^2*QP_tt1(5,5),z,h/4,h/2));

I0=eval(int(Ro,z,-h/2,0)+int(Ro,z,0,h/2));

I1=eval(int(z*Ro,z,-h/2,0)+int(z*Ro,z,0,h/2));

I2=eval(int(z^2*Ro,z,-h/2,0)+int(z^2*Ro,z,0,h/2));

J1=eval(int(f*Ro,z,-h/2,h/2))

J2=eval(int(z*f*Ro,z,-h/2,h/2))

K2=eval(int(f^2*Ro,z,-h/2,0)+int(f^2*Ro,z,0,h/2));

% N1=[6 8 10 12 14 16 18];

N=8;

BC='CC';

switch BC

case 'SS'

Nb=2;

Ks=BCSS(N,L,Nb);

case 'HS'

Nb=3;

Ks=BCHS(N,L,Nb);

case 'HH'

Nb=4;

Ks=BCHH(N,L,Nb);

case 'CF'

Nb=4;

Ks=BCCF(N,L,Nb);

case 'CS'

Nb=5;

Ks=BCCS(N,L,Nb);

case 'CH'

Nb=6;

Ks=BCCH(N,L,Nb);

case 'CC'

42

Nb=8;

Ks=BCCC(N,L,Nb);

end

Kl=LinearMatrixK(N,L,Axx,Bxx,Dxx,Bs,Ds,Hs,As,Nb);

M=MatrixM(N,L,I0,I1,I2,J1,J2,K2,Nb);

Kg=GeoMatrixK(N,L,Nb);

omega=solve(det((Kl+Ks)-lamda*(M)));

omega_n=sort(double(sqrt(omega).*L^2*sqrt(Ro/E1)./h))

43

Code matlab bài toán 2.clear all; clc

%% Input

%global P0 vp L N hs z

%global E1 E2 v12 h Ro t r

syms lamda N0 z

format long

h = 0.1 % m

S = 20;('nhap ti le L/H: ') %L/h

L = S*h; %m

b = 1 %m0

E1 = 241.5 * 10^6 ; %GPA=> KN/m2

E2 = E1/40 ; %GPA=> KN/m2

G12 = 0.5*E2; %GPa => KN/m2

G13 = G12; %GPa => KN/m2

G23 = 0.2*E2 ; %GPa => KN/m2

v12 = 0.25;

v21 =v12*(E2/E1);

Ro = 1 * 10^-2 % Kg/m3 => KN/m3

tt1 =0*pi/180;

tt2 =90*pi/180;

tt3 = 0*pi/180;

z1 = -h/2;

z2 = -h/6;

z3 = h/6;

z4 = h/2;

%Ham f bac cao

f=h/pi*(sin(pi*z/h))

%%%--------------------------------------------------------------------------

44

Q11 = E1/(1-v12*v21);

Q12 = v12*E2/(1-v12*v21);

Q13 = 0;

Q14 = 0;

Q15 = 0;

Q16 = 0;

Q22 = E2/(1-v12*v21);

Q23 = 0;

Q24 = 0;

Q25 = 0;

Q26 = 0;

Q33 = 0;

Q34 = 0;

Q35 = 0;

Q36 = 0

Q44 = G23;

Q45 = 0;

Q46 = 0

Q55 = G13;

Q56 = 0;

Q66 = G12;

Q36 Q44 Q45 Q46 Q55 Q56 Q66

Q = [Q11 Q12 Q13 Q14 Q15 Q16;

Q12 Q22 Q23 Q24 Q25 Q26;

Q13 Q23 Q33 Q34 Q35 Q36;

Q14 Q24 Q34 Q44 Q45 Q46;

Q15 Q25 Q35 Q45 Q55 Q56;

Q16 Q26 Q36 Q46 Q56 Q66];

%--------------------------------------------------------------------------

m = cos(tt1);

n = sin(tt1);

45

Qp_tt1(1,1) = Q11*m^4 + 2*(Q12+2*Q66)*n^2*m^2+Q22*n^4;

Qp_tt1(1,2) = (Q11+Q22-4*Q66)*m^2*n^2+Q12*(m^4+n^4);

Qp_tt1(2,2) =Q11*n^4+2*(Q12+2*Q66)*m^2*n^2+Q22*m^4;

Qp_tt1(1,6) =(Q11-Q12-2*Q66)*n*m^3+(Q12-Q22+2*Q66)*n^3*m;

Qp_tt1(2,6) =(Q11-Q12-2*Q66)*n^3*m+(Q12-Q22+2*Q66)*n*m^3;

Qp_tt1(6,6) =(Q11+Q22-2*Q12-2*Q66)*n^2*m^2+Q66*(n^4+m^4);

Qp_tt1(4,4) =Q44*m^2+Q55*n^2;

Qp_tt1(4,5) =(Q55-Q44)*n*m;

Qp_tt1(5,5) =Q55*m^2+Q44*n^2;

Qp_tt1

m = cos(tt2);

n = sin(tt2);

Qp_tt2(1,1) = Q11*m^4 + 2*(Q12+2*Q66)*n^2*m^2+Q22*n^4;

Qp_tt2(1,2) = (Q11+Q22-4*Q66)*m^2*n^2+Q12*(m^4+n^4);

Qp_tt2(2,2) =Q11*n^4+2*(Q12+2*Q66)*m^2*n^2+Q22*m^4;

Qp_tt2(1,6) =(Q11-Q12-2*Q66)*n*m^3+(Q12-Q22+2*Q66)*n^3*m;

Qp_tt2(2,6) =(Q11-Q12-2*Q66)*n^3*m+(Q12-Q22+2*Q66)*n*m^3;

Qp_tt2(6,6) =(Q11+Q22-2*Q12-2*Q66)*n^2*m^2+Q66*(n^4+m^4);

Qp_tt2(4,4) =Q44*m^2+Q55*n^2;

Qp_tt2(4,5) =(Q55-Q44)*n*m;

Qp_tt2(5,5) =Q55*m^2+Q44*n^2;

Qp_tt2

m = cos(tt3);

n = sin(tt3);

Qp_tt3(1,1) = Q11*m^4 + 2*(Q12+2*Q66)*n^2*m^2+Q22*n^4;

Qp_tt3(1,2) = (Q11+Q22-4*Q66)*m^2*n^2+Q12*(m^4+n^4);

Qp_tt3(2,2) =Q11*n^4+2*(Q12+2*Q66)*m^2*n^2+Q22*m^4;

Qp_tt3(1,6) =(Q11-Q12-2*Q66)*n*m^3+(Q12-Q22+2*Q66)*n^3*m;

Qp_tt3(2,6) =(Q11-Q12-2*Q66)*n^3*m+(Q12-Q22+2*Q66)*n*m^3;

Qp_tt3(6,6) =(Q11+Q22-2*Q12-2*Q66)*n^2*m^2+Q66*(n^4+m^4);

Qp_tt3(4,4) =Q44*m^2+Q55*n^2;

Qp_tt3(4,5) =(Q55-Q44)*n*m;

Qp_tt3(5,5) =Q55*m^2+Q44*n^2;

46

Qp_tt3

Axx=eval(int(Qp_tt1(1,1),z,z1,z2)+int(Qp_tt2(1,1),z,z2,z3)+int(Qp_tt3(1,1),z,z3,z4);

Bxx=eval(int(z*Qp_tt1(1,1),z,z1,z2)+int(z*Qp_tt2(1,1),z,z2,z3)+int(z*Qp_tt3(1,1),z,z

3,z4));

Dxx=eval(int(z^2*Qp_tt1(1,1),z,z1,z2)+int(z^2*Qp_tt2(1,1),z,z2,z3)+int(z^2*Qp_tt3(

1,1),z,z3,z4));

Bs=eval(int(f*Qp_tt1(1,1),z,z1,z2)+int(f*Qp_tt2(1,1),z,z2,z3)+int(f*Qp_tt3(1,1),z,z3,

z4));

Ds=eval(int(z*f*Qp_tt1(1,1),z,z1,z2)+int(z*f*Qp_tt2(1,1),z,z2,z3)+int(z*f*Qp_tt3(1,1

),z,z3,z4));

Hs=eval(int(f^2*Qp_tt1(1,1),z,z1,z2)+int(f^2*Qp_tt2(1,1),z,z2,z3)+int(f^2*Qp_tt3(1,

1),z,z3,z4));

As=eval(int((diff(f,z))^2*Qp_tt1(5,5),z,z1,z2)+int((diff(f,z))^2*Qp_tt2(5,5),z,z2,z3)+i

nt((diff(f,z))^2*Qp_tt3(5,5),z,z3,z4));

I0=eval(int(Ro,z,-h/2,0)+int(Ro,z,0,h/2));

I1=eval(int(z*Ro,z,-h/2,0)+int(z*Ro,z,0,h/2));

I2=eval(int(z^2*Ro,z,-h/2,0)+int(z^2*Ro,z,0,h/2));

J1=eval(int(f*Ro,z,-h/2,h/2))

J2=eval(int(z*f*Ro,z,-h/2,h/2))

K2=eval(int(f^2*Ro,z,-h/2,0)+int(f^2*Ro,z,0,h/2));

% N1=[6 8 10 12 14 16 18];

N=8;

BC='HS';

switch BC

case 'SS'

Nb=2;

Ks=BCSS(N,L,Nb);

case 'HS'

Nb=3;

Ks=BCHS(N,L,Nb);

case 'HH'

Nb=4;

Ks=BCHH(N,L,Nb);

47

case 'CF'

Nb=4;

Ks=BCCF(N,L,Nb);

case 'CS'

Nb=5;

Ks=BCCS(N,L,Nb);

case 'CH'

Nb=6;

Ks=BCCH(N,L,Nb);

case 'CC'

Nb=8;

Ks=BCCC(N,L,Nb);

end

Kl=LinearMatrixK(N,L,Axx,Bxx,Dxx,Bs,Ds,Hs,As,Nb);

M=MatrixM(N,L,I0,I1,I2,J1,J2,K2,Nb);

Kg=GeoMatrixK(N,L,Nb);

%% Buckling

Ncr=solve(det((Kl+Ks)-N0*(Kg)));

Ncr_n =sort(eval(Ncr.*L^2/(E2*b*h^3)))

tr trrẦn bÁ linhfceam.hcmute.edu.vn/resources/docs/subdomain/fceam/...khoa kỹ thuật xây...

Documents