trabajo de modelos matematicos berrocal completado (1)

“UNIVERSIDAD NACIONAL SAN LUIS GONZAGA DE ICA “

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MODELOS MATEMATICOS


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DEDICATORIA: Este trabajo lo dedicamos a nuestros padres que siempre nos apoyan.

INDICE:. 1. ESPACIO VECTORIAL Y FUNCION ALGEBRAICA.2. PROBLEMAS DE CAUCHI, PROBLEMAS DE LA FRONTERA.3. ECUACIONES DIFERENCIALES DE VARIABLE SEPARABLE.4. ECUACIONES DIFERENCIALES EQUIVALENTES Y DE EULER.5. ECUACIONES DIFERENCIALES REDUCUIBLES A HOMOGENEAS.6. ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES NO HOMOGENEAS.7. MODELO DE BERNOULLI.8. MODELO DE RICCATTI.9. ECUACIONES DIFERENCIALES EXACTAS E INEXACTAS.

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10. MODELO DE LAGRANGE Y CLAIROUTS.11. TRAYECTORIAS ORTOGONALES.

CONCEPTOS PRELIMINARESI. R representa el conjunto de números.

−∞ 0 +∞R=←∞ ;+∞≥Q∪ I

II. ¿Por qué el Ingeniero Civil estudia a los racionales definido por Q?Porque son los conceptos básicos, aplicados a medidas.NOTA:

- En la ingeniería, la variable “t” se llama tiempo y t ≥0 ESPACIO VECTORIALNos conectamos con el álgebra lineal.Definición.- Toda estructura o cuaterna de la forma:

¿V ;+; K ; ⋅>¿Se llama espacio vectorial si y solo si satisfacen las condiciones de espacio vectorial.5

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“UNIVERSIDAD NACIONAL SAN LUIS GONZAGA DE ICA “Notas:

i. “V” es un conjunto diferente de vacío (V≠0) llamado espacio vectorial.ii. +: Es una función aditiva.

iii. K: Es un conjunto diferente del vacío (K≠0) llamado un campo o cuerpo que satisfacen las condiciones de campo o cuerpo.iv. ●: Es una función producto.v. Construiremos espacios vectoriales.

Si V=R y K=R

Entonces: ¿ R;+; R ; ⋅>¿

Si V=R2∧K=R Entonces: ¿ R2 ;+; R ; ⋅>¿ (R2 espacio vectorial bidimensional)

- Vector: es una representación de una magnitud que tiene dirección sentido y módulo.Rn es un espacio vectorial, “n” dimensiones →Rn≅ Rmxn

Rmxn Es un espacio matricial.Si V=R x Rx R=R3∧K=REntonces: ¿ R3 ;+; R ; ⋅>¿

Si V=R x R x… x R⏟nveces

=Rn

Entonces: ¿ Rn ;+; R ; ⋅>¿Conclusiones:X∈R→X esuna variable .

x⃗∈ R2→ x⃗=(x1 , x2)

x⃗∈ R3→x⃗=(x1 , x2, x3)

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“UNIVERSIDAD NACIONAL SAN LUIS GONZAGA DE ICA “x⃗∈ Rn→x⃗=(x1 , x2, xn)

¿¿ R;+; R ; ⋅>¿ es un espacio vectorial? No es un espacio vectorial.Todo elemento de un espacio vectorial o matricial se llama vector si satisfacen las condiciones de vector.BásicaSean A y B dos conjuntos; entonces A XB se llama producto cartesiano definido por: AxB={(x , y )∈ AxB/ x∈ A∧ y∈B }

En consecuencia: R y Rn=Rn+1 Todo modelo matemático de la forma: ( x , x⃗ ) se llama un punto.

→si ( x , x⃗ )∈ R x Rn↔x∈R∧ x⃗∈Rnx → x⃗=(x1 , x2 ,…,xn)

Por ende:La norma ∥ x⃗∥=√ x12+x22+…+xn2 llamada norma euclidiana o norma usual. Si y solo si satisfacen las condiciones de norma. x⃗=(1;2 ;3 ;0 ;4)∈R5→∥ x⃗∥=√12+22+32+02+42

- Función algebraica F (x ; y , y ' ; y ' ' ;…; y(n))=0

F (x , y , y ' )=0→ y=G (x , y )

→dydx

=G( x , y )

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“UNIVERSIDAD NACIONAL SAN LUIS GONZAGA DE ICA “- Función real de variable real Definición.- Llamaremos función f :R→R con regla de correspondencia y = f(x) si y solo si satisfacen dos condiciones:i. f⊂R x R→ f⊂R2ii. ( x , y )∈ f ⋀ ( x , z )∈ f → y=z

- Función vectorial de variable real Todo modelo de la forma: f⃗ :R→Rn

Se llama función vectorial con regla de correspondencia:f⃗ ( x )=¿

- Función de varias variables Todo modelo de la forma: F :Rn→RCon regla de correspondencia: Z=F( x1 , x2 ,…, xn) se llama función de varias variables- Función vectorial de variable vectorial Todo modelo de la forma: T⃗ :Rn→Rm

Con regla de correspondencia: F ( x⃗ )=T ( x⃗ ) se llama función vectorial de variable vectorial o función transformación.

Definición.- una función F :Rn+2→R con regla de correspondencia:

Z=F (x ; y , y ' ; y ' ' ;…; y(n))

Se llama función algebraica definida en Rn+2 en Z∈R8

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Definición 1 .- toda ecuación de la forma F (x ; y , y ' ; y ' ' ;…; yn )=0 se llama ecuación diferencial ordinaria donde “x” es la variable independiente y “y” es la variable dependiente; y esta variable admite sus derivadas ordinarias hasta el orden “n”. n∈Z+¿¿

y(n )=dn yd xnEjemplos:

F (x ; y , y ' )=0 ….. E .D. Primer orden.F (x ; y , y ' ; y ' ' )=0 …. E .D. Segundo orden.

Definición 2 . El orden de una ecuación E.D.O F (x ; y , y ' ; y ' ' ;…; y (n ) )=0 queda implícitamente definida como la derivada de orden que ofrece en la ecuación diferencial definida. F (x ; y , y ' ; y ' ' ;…; y (21) )=0 ; es de orden 21Definición 3 . El grado de una E.D.O definida por

F (x ; y , y ' ; y ' ' ;…; y (n ) )=0 ;es el grado algebraico de su mayor derivada ordinaria.F ( x ; y , ( y ' )6 )=0 ; es de orden 1 y grado 6

Definición 4 . Si F (x ; y , y ' ; y ' ' ;…; y (n ) )=0 es una E.D.O de orden "n". Entonces se puede despejar la derivada más alta y a este resultado se llama E.D.O normalizado o ecuación normal.Si F (x ; y , y ' ; y ' ' ;…; y (n−1 ) , y (n ) )=0 Entonces: y(n )=G (x ; y , y ' ;…; y (n−1) )

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Definición 5 . Una función "n" veces diferenciable, φ : I⊂R→Rn con regla de correspondencia:y= y ( x )=φ (x )=(φ1 ( x ) ,φ2 ( x ) ,…,φn ( x ) )

Se llama solución de E.D.O definido sobre el intervalo "I " si y solo si satisfacen dos condiciones:1. La grafica de y= y ( x )=φ (x ) esta contenida en n⊂R x Rn.

2. y '=dydx

=d ( y ( x ) )dx

=d (φ ( x ) )dx

=F (x ; φ ( x ) ) , ∀ x∈ I

3.

Definición 6 . Una solución de la E.D.O F (x , y…, yn )=0 de clase Cn que satisface la ecuación diferencial, es una función F. Tal que y= y ( x )=F (x )

Definición 7. Una función con regla de correspondencia y= y ( x )=φ ( x , c1 ,c2…,cn ) . Se llama solución general de E.D.O definida por:

F (x ; y , y ' ; y ' ' ;…; y(n))=0

Definición 8 . Si las constantes arbitrarias de la solución general asumen valores reales o particulares se llama "solución particular" de una E.D.O.

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PROBLEMA DE CAUCHI O DEL VALOR INICIAL O DE LA FRONTERA- DEFINICION: un modelo de la forma:

dydx

=f (x , y )

y ¿X0¿=¿Y0 Se llama problema de cauchy o problema del valor inicialOBSERVACIONES:

i) La función “F” es diferenciableii) Si la función “F” es diferenciable entonces es continua en un punto X0 iii) y ¿X0¿=¿Y0 , Se llama condiciones iniciales de cauchyiv) Si : y ¿X0¿=¿Y0 Entonces : y=¿Y0 ^ x=¿X0v) Por lo tanto ( x , y )=¿ X0 , y0) vi) Picar : por el punto ¿ X0 , y0) por lo menos pasa una solución vii) ¿Cómo es la solución general de y =f=( x , y )? Para responder a esta interrogante debemos tener la definición de variables separablesviii) y= y (x)=Y (x) Se llama a una solución a la función Y se llama solución particular de la ecuación y =f (x , y)

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El problema del valor inicial es equivalente a encontrar una función continua y definida en el conjunto IC R tal que X0 € I de tal manera que satisfaga la ecuación integral de la forma: y= y (x )= y ( x )= y0+∫x0

xf ( t . y ( t ))dt , x∈ I

- De lo que obtenemos:Y ( x )=Y 0+∫x0

xf ( t , Y ( t ))dt , x∈ I

Obtención de una ecuación diferencial ordinaria o proceso inversoDada una solución definida por consiste en formar una ecuación diferencial por eliminación de las constante arbitrarias de la solución general. Para esto se deriva la solución tantas veces como constantes arbitrarias tenga la solución.Problemas propuestos:1) Determine el valor de la constante de integración del problema de cauchy definida por:∫wu=

w+x cos2(wx )x ; Como condición W (u )=π

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“UNIVERSIDAD NACIONAL SAN LUIS GONZAGA DE ICA “Solución:dwdx

=w+ xcos x2 (w x )

x , t=wx , w=tx , dw=xdt+tdx

xdt+tdxdx

=tx+xcos2 t ⇒ xdt+tdxdx

=t+cos2+dx

xt+ tdx=tdx+cos2+dx ⇒ xdt=cos2 tdx∫ dt

cos2 t=∫ dx

x+c

⇒ ∫sec2+dt=∫ dx

x+c

tan t=ln x+c ⇒ tan(wx )=ln x+c

tan( π4 )=ln (1 )+c

⇒ c=1

2. Determinar la ecuación de Cauchy definida por:

Y ´= 4sin2 yx5+x tan y

;Y (3 )=π4

SOLUCION:

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“UNIVERSIDAD NACIONAL SAN LUIS GONZAGA DE ICA “dydx

= 4 sin2 yx5+x tan y

dxdy

= x5

4sin2 y+ x tan ysin2 y

dxdy

−( tan y ) x4sin2 y

= x5

4 sin2 yZ=x1−n⋰n=5

−14x5dzdy

−( tan y ) x4sin2 y

= x5

4 sin2 yZ=x−4

dzdy

+ z tan ysin2 y

= −1sin2 y

dzdy

=−4 x−5 dxdy

u ( y )=e∫p ( y )dy

∫ p ( y )dy=∫ tan y

sin2 ydy=∫ 1d ( y )

sin y cos y=¿2∫ csc 2 y dy ¿

∫ p ( y )dy=ln (csc2 y−cot 2 y )

u ( y )=csc2 y−cot 2 y= 1sin 2 y

− cos2 ysin 2 y

= tan y

→tan y( dzdy + zsin y cos y )=−tan y

sin2 y

ddy

[ tan y ( z ) ]= −1sin y cos y

∫ d [ tan y ( z ) ]=∫ −2sin 2 y

dy+c

tan y ( z )=∫−2csc 2 y dy+c

tan y ( z )=−ln (csc 2 y−cot 2 y )+c

c=z tan y+ ln¿¿

c= (3 )−4 tan π4+ ln ¿¿

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c= 181

+0

c= 181

ECUACIONES DIFERENCIABLES CON VARIABLES SEPARABLESDEFINICION: SEA F:[a;b ]× [c ;d ] ∈R2→R una función diferenciable definida en el producto cartesiano [a;b ]× [c :d ]entonces toda ecuación de la forma Y’¿ F(X;Y ) talque f ( x; y)=f 1(X ) f 2( y) donde f 1∧ f 2 son ecuaciones diferenciales, se llama ecuación diferencial ordinaria con variable separadas (EDO).

OBSERVACIONES:i. La función f es eminentemente diferenciable lo que implica es continua.ii. f ( x; y )=¿f ( x) ∙f ( y)¿

→X∈ [a; b ]∧ y∈ [c ;d ] → (x ' ; y ' )=( x ; y )→ → (x ' ; y ' )=( x ; y )

→ x '=x ; y '= y

iii. f ( x; y )⏟= f (x)∙ f ( y)

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a bx

c

Y

d

f ( x; y)

0 X

Y R

“UNIVERSIDAD NACIONAL SAN LUIS GONZAGA DE ICA “→Y’¿ f 1(x) ∙ f 2 ( y )∝. transitiva

→dydx

=f 1 ( x ) ∙ f 2( y ) → dyf 2( y)

=f 1(x )∙ dx (variable separable ) →∫

y0

ydyf 2( y)

=∫x0

x

f 1(x)dx

- ECUACIONES EQUIVALENTES →Y '=f 1 (x ) ∙ f 2 ( x ) equivalente

→M(x ; y)dx+N (x ; y)dy=0

DEFINICION: cualquier modelo de variable separable define. →∫M ( x ; y )dx+∫N ( x ; y )dy=c ;c∈R

EJEMPLO: → {Y '=X

Y (0)=2

SOLUCION:i. Es un problema de Cauchy. ii. Variable separable. → y '=x →dy

dx=x →dy=xdx

→∫ dy=∫ xdx → y= x2

2+c } solucion general

→ y=φ ( x ; c ) }sol . abstracta(matematica)

iii. y (0 )=2→condicionesiniciales

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→x=0 ; y=2 →2=0

2+c→ →c=2

→ y= x2

2+2→sol . particular

→ y=φ ( x ;2 )→sol .matematica

EJEMPLO:1. Determinar la E.D.O de toda las circunferencias que pasan por los puntos (0,0 ) y (2,0 ) Con centro en el punto (1 ;k ).

Solución: i.

→r2=1+k 2ii. Por teorías de cónicas se tiene l : ( x−h )2+( y−k )2=r2 → (1; k )∈ l→ ( x−1 )2+( y−k )2=r2 → ( x−1 )2+ ( y−k )2=1+k2 →x2−2x+1+ y2−2ky+k2=1+k2 →x2−2x+ y2−2ky=0 →k= x2−2 x+ y2

2 y; y≠0

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(1; K)

0 X

Y

r

“UNIVERSIDAD NACIONAL SAN LUIS GONZAGA DE ICA “iii. K es una constante y además →x2−2x+ y2=2 ykComo una constante entonces derivamos una sola vez

→d (x2−2 x+ y2 )dx

=d (2 yk )dx →2x+2 y y'−2=2k y ' x+ y y '−1=k y ' k= x+ y y '−1

y '; y ' ≠sol .trivial

→ x2−2 y+ y2

2 y= x+ y y '−1

y ' →2 y ( x−1 )+ y ' ( y2−x2+2x )=0

1. determinar la solucionde : y y '=sin x ∙ ex +2 y

solucion → y y '=sin x ∙ ex ∙ e2 y → ydy

e2 y=sin x ∙ exdx

→∫ ydy

e2 y=¿∫sin x ∙e xdx+c⋯⋯⋯ I ¿

→integramos por par tes en ambasintegrales →∫ ydy

e2 y=¿uv−∫ vdu⋯⋯⋯ 1¿ u= y→du=dy dy

e2 y=dv→v=−1

2e−2 y … en (1)

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→∫ ydy

e2 y=¿ y (−12 e−2 y)−∫−1

2e−2 y dy ¿

→∫ ydy

e2 y=¿−1

2ye−2 y+(−14 e−2 y )⋯⋯⋯α ¿

→E=∫sin x ∙e xdx=uv−∫ vdu⋯⋯⋯⋯ 2u=sin x→du=cos xdxex dx=dv→v=ex →∫ sin x ∙ exdx=sin x ∙ ex−∫ex cos xdx

hacemos :cambio de variableu=cos x→du=−sin x ;ex dx=dv→v=ex

→E=sin x ∙ ex−[cos x ∙ exdx−∫ ex (−sin x )dx ] →E=sin x ∙ ex−cos x ∙ ex dx−∫e xsin x dx →2E=sin x ∙ ex−cos x ∙ ex dx →E=12e x (sin x−cos x )⋯⋯⋯ β → (𝜶) y ( ) en (i)ᵦ

→−12ye−2 y+(−14 e−2 y)=12 ex (sin x−cos x )

→−12ye−2 y− 1

4e−2 y=1

2ex (sin x−cos x )

→finalmente tenemos:∴2Y−1=2exe−2 y (sin x−cos x )

2) determinar la integral de (x3 e2x2+2 y2 )dx−( y3 e− x2−3 y2 )dy=0

→ (x3e2x2

∙e2 y2 )dx−( y3e− x2 ∙ e−3 y2) dy=0

→x3 e2x2

ex2

dx−e−5 y2dy=0 →x3 e3x2

dx−e−5 y2dy=0

→∫ x3 e3x2

dx−∫ e−5 y2dy=0⋯⋯⋯⋯ I

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INTEGRAMOS PORPARTESCADA NTEGRAL

∫ x3 e3 x2

dx=uv−∫ vdu ; dondeu=¿ x2→du=2 xdx;¿

→dv=xe3 x2

dx→v=16e3 x2

→∫ x3 e3 x2

dx=16e3 x2

x2−16∫ e3 x

2

2 xdx → ∫ x3 e3 x2

dx=16e3 x2

x2−19e3 x

2

→∫ x3 e3x2

dx=( 3 x2−118 )e3 x2⋯⋯⋯ α

∫ e−5 y2dy=uv−∫ vdu;donde u= y2→du=2 ydy

→dv=e−5 y2 ydy→ v=−110

e−5 y2

→∫ e−5 y2dy= y2(−110 e−5 y2)− 110

∫−e−5 y22 ydy

→∫ e−5 y2dy=− y2

10e−5 y2− 1

50e−5 y2

→∫ e−5 y2dy=e−5 y2

50(5 y2+1 )⋯⋯⋯ β

α y β en I

∫ x3 e3 x2

dx−∫ e−5 y2dy=0

→( 3 x2−118 )e3 x2−[−e−5 y2

50(5 y2+1 )]=c

∴25e3x2

(3 x2−1 )+9e−5 y2 (5 y2+1 )=c

3¿determinar laintegral de (1+ex) y y '=e y ; y (0 )=0

Solución:

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→ydy

e y= dx

1+ex

→∫ ydy

e y=∫ dx

1+ex+c⋯⋯⋯ I

Integramos por partes la primera integral

∫ ydy

e y=uv−∫ vdu ;donde :u= y→du=dy

→dv=e− ydy→v=−e− y

→∫ ydy

e y= y (−e− y)−∫ (−e− y )dy

→∫ ydy

e y=− y e− y−e− y⋯⋯⋯⋯(α) → haciendo (α ¿en(I )

→ ∫ ydy

e y=∫ dx

1+ex+c

→− y e− y−e− y=∫ (1+ex−ex )dx1+ex

+c

→−e− y ( y+1 )=∫ (1+ex )dx1+ex

−∫ ex dx1+ex

+c

∴−e− y ( y+1 )=x−ln (1+ex )+c

4) determinar la solución general de: (x6−2 x5+2x4− y3+4 x2 y )dx+(x y2−4 x3 )dy=0

hacemosuncambio devariable :

→ y=ux→dy=udx+xdu → (x6−2 x5+2 x4−x3 y3+4 x3u )dx+ (x3u2−4 x3 )dy=0 → (x3−2x2+2 x )dx−u (u2−4 )dx+(u2−4 ) (udx+xdu )=0 → (x3−2x2+2 x )dx−u (u2−4 )dx+x (u2−4 )du+u (u2−4 )dx=0 → (x3−2x2+2 x )dx+x (u2−4 )du=0 → (x2−2x+2 )dx+(u2−4 )du=0 →∫ (x2−2x+2 )dx+∫ (u2−4 )du=0

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→ x3

3−x2+2 x+u

3

3−4u=c

→x3

3−x2+2 x+ y3

3 x3−4 y

x=c

MODELOS REDUCIBLES A VARIABLES SEPARABLES Modelos de la forma: → y '=f (ax+by+c)i. Este modelo no es variable separable responde al estudio de rectas.ii. Analizamos el modelo Si b=0↔ y '=f (ax+c ) →dy

dx=f (ax+c ) →∫ dy=∫ f (ax+c )dx → y=∫ f (ax+c )dx+c ' → y=φ (x ;c ' )→sol .matematica

Si b≠0→→ y '=f (ax+by+c ) …haciendo un cambio de variable:→ax+by+c=u

→adx+bdy=du→dy=du−adxb

;b≠0

→ y '=f (u ) →dydx

=f (u ) →dy=f (u )dx

Reemplazando tenemos: →du−adx

b= f (u )dx →du−ad x=bf (u )dx

→du=adx+bf (u )dx

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→du= (a+bf (u ) )dx⋯⋯ este resultadoesunav . s → du

(a+bf (u ) )=dx

→dx= du

(a+bf (u ) );v . s

→∫ dx=∫ du

(a+bf (u )) →x=∫ du

(a+bf (u ) )+c

→x=∫ d (ax+by+c )a+bf (ax+by+c )

+c

→x=φ ( y ; y ; c )

Ejemplo: - Determinar la integral de. {y '=x+ y−5

y (0 )=0

I. Es un problema de cauchy, no es variable separable.II. Tomo y’=x+y-5

→si x+ y−5=¿→dx+dy=du → →dy=du−dx⋯⋯ (1)

→tomamos y '=u →dydx

=u →dy=udx⋯⋯ 2

→reemplazamos(1)en(2) Tenemos: →du−dx=udx →du=udx+dx → du

u+1=dx⋯⋯ variable separable

→dx= duu+1

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→∫ dx=∫ duu+1

→x=ln (u+1 )+c

→x=ln ( x+ y−5+1 )+c →x=ln ( x+ y−4 )+c

→ ln ( x+ y−4 )=x−c → ln ( x+ y−4 )=x+k ;−c=k∈ R →x+ y−4=e x+k

→x+ y−4=k ex

→ y=k e x−x+4 ….. Usando las condiciones iniciales:X=0; y=0 0=k e0+4 →k=−4

→ y=−4ex−x+4⋯⋯⋯ sol . particular

PROBLEMAS PROPUESTOS1) Determinar la solución de (x6−2 x5+2x4− y3+4 x2 y )dx+(x y2−4 x3 )dy=0

hac emosuncambiode variable :

y=ux→dy=udx+xdu

→ (x6−2 x5+2 x4−x3 y3+4 x3u )dx+ (x3u2−4 x3 )dy=0 → (x3−2x2+2 x )dx−u (u2−4 )dx+(u2−4 ) (udx+xdu )=0 → (x3−2x2+2 x )dx−u (u2−4 )dx+x (u2−4 )du+u (u2−4 )dx=0 → (x3−2x2+2 x )dx+x (u2−4 )du=0 → (x2−2x+2 )dx+(u2−4 )du=0 →∫ (x2−2x+2 )dx+∫ (u2−4 )du=0

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MODELOS MATEMATICOS


→x3

3−x2+2 x+u

3

3−4u=c

→x3

3−x2+2 x+ y3

3 x3−4 y

x=c

1. (1+x2 y2 ) y+( xy−1 )2 xy '=0 hacemosuncambio devariable

u= yx→du=xdy+ ydx→dy=du− ydxx

Reemplazando el cambio de variable

→ (1+u2 ) y+ (u−1 )2 x dydx

=0

→ (1+u2 ) ydx+ (u−1 )2 xdy=0

→ (1+u2 ) ydx+ (u−1 )2 x( du− ydxx )=0

→ (1+u2 ) ydx+ (u2−2u+1 ) (du− ydx )=0 → (1+u2 ) ydx−(1+u2 ) ydx+2uydx+ (u2−2u+1 )du=0

Reemplazamosel valor deY

→2u2

xdx+(u2−2u+1 )du=0

→2dxx

+(u2−2u+1 )

u2du=0

→2 ln x+u−u2−2 lnu=ln c →u−1

u+2 (lnx−lnu )=lnc

→u−1u=ln( cux2

2) →e

u2−1u = cu

x2

2

→reemplazamos el valor de(U )

∴ ex2 y2−1xy =c y2

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MODELOS MATEMATICOS


2) determinar la solución general de: dydx

+ 1+x y3

1+x3 y= 0

Solución:→ Hacemos un cambio de variable: → u=x+ y→du=dx+dy⋯⋯(α )

w=xy→dw=xdy+ ydx⋯⋯ β

→−dydx

=1+ x y3

1+ x3 y → (−1−x3 y )dy=(1+x y3 )dx

→ (x2 y2−x2 y2−1−x3 y )dy=(x2 y2− x2 y2+1+ x y3 )dx

→ (x2 y2−1 )dy−(x2 y2+x3 y )dy=(x2 y2+x y3 )dx+(1−x2 y2 )dxReemplazamos;x2 y2=w2 → (w2−1 )dy−x2 y ( x+ y )dy=x y2 ( x+ y )dx+ (1−w2 )dx

→ (w2−1 )dy+(w2−1 )dx=x y2 ( x+ y )dx+ x2 y (x+ y )dy

Reemplazando por w → (w2−1 ) (dy+dx )=wy ( x+ y )dx+wx ( x+ y )dy …. Reemplazando (𝜶) y ( )ᵦ → (w2−1 )du=w ( x+ y ) ( xdy+ ydx )

→ (w2−1 )du=wudw

→duu

= wdw

w2−1 →∫ du

u=∫ wdw

w2−1

→ ln u2+ln c=ln (w2−1 ) → ln cu2=ln (w2−1 )

→cu2=w2−1⋯⋯⋯ I

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MODELOS MATEMATICOS

“UNIVERSIDAD NACIONAL SAN LUIS GONZAGA DE ICA “→finalmente reemplazando (α ) y (β )en(I ) tenemos:

∴ c ( x+ y )2=x2 y2−1

- FUNCIONES HOMOGENEAS (EULER)Definición: sea f :R2→R una función con regla de correspondencia y '=f (x ; y )Definida en el espacio R2 entonces f es homogénea si y solo si satisface la siguiente condición. ∀ λx ; λy∈R. Entonces ∫ ( λx ; λy )=λn f ( x ; y )⋯ n∈ Nse llama función o ecuación homogénea. Nota: si la ecuación y '=f (x ; y )es homogénea en estos casos se utiliza un aniquilador.

yx=u→ y=ux o x

y=v→x=vy

Verificar:1. Si y '=x2− y2 eshomogénea

2. Si y '=ln (5+x+ y ) es onohomogenea

→ y '=x2− y2es onohomogenea?

→f ( x ; y )=x2− y2

→f ( λx ; λy )=λ2 x2−λ2 y2

27

MODELOS MATEMATICOS


→f ( λx ; λy )=λ2 (x2− y2 )

→f ( λx ; λy )=f ( x ; y )

es homogeneade grado2.

PROBLEMAS PROPUESTOS:1) Determinar la solución de: y (x2+xy−2 y2)dx+x (3 y2−xy−x2 )dy=0

→Hacemos un cambio de variable; y=ux→dy=udx+xdu

Reemplazando el valor de Y ;DY →ux (x2+x2u−2u2 x2 )dx+x (3u2 x2−x2u−x2 ) (udx+xdu )=0

→ux2 (1+u−2u2 )dx+x2 (3u2−u−1 ) (udx+xdu )=0

→ (u+u2−2u3 )dx+(3u3−u2−u )dx+x (3u2−u−1 )du=0

→ (u+u2−2u3 )dx−(u+u2−2u3 )dx+u3dx+x (3u2−u−1 )du=0

→u3dx+x (3u2−u−1 )du=0

28

MODELOS MATEMATICOS


→dxx

+( 3u−1

u2−1

u3 )du=0

→∫ dxx

+∫( 3u−1

u2−1

u3 )du=c

→ ln x+3 lnu−1u−2 1

u2=c

→ ln (xu3 )=c+( 2u+i2u2 )⋯⋯⋯⋯( I )

Reemplazando los valores de u=yx

en (I)

→ ln(x y3x3 )=c+( 2y3

x3+1

2( y3x3 )2 )

→ finalmente tenemos:

∴2 y2 ln y3

x2−2 yx−x2=2c y2

2) determinar la solución general de (6 x−3 y+2 )dx−(2 x− y−1 )dy=0

Solución : → (6 x−3 y−3+5 )dx− (2x− y−1 )dy=0 ….. Factorizando → [3 (2 x− y−1 )+5 ] dx−(2 x− y−1 )dy=0

→Hacemos un cambio de variable:29

MODELOS MATEMATICOS

“UNIVERSIDAD NACIONAL SAN LUIS GONZAGA DE ICA “ 2 x− y−1=u→du=2dx−dy→dy=2dx−du …. reemplazando → (3u+5 )dx−udy=0

→ (3u+5 )dx−u (2dx−du )=0 → (3u+5 )dx−2udx+udu=0

→ (u+5 )dx+udu=0 → uu+5

du+dx

→( −5u+5

+1)du+dx=0

→−5∫ duu+5

+∫ du+∫dx=0 →−5 ln (u+5 )+u+x=…c=k

→u+x+c=5 ln (u+5 )⋯⋯⋯⋯ ¿)→ Reemplazando el valor de 2 x− y−1=uen(I )

→2x− y−1+x+c=5 ln (2 x− y−1+5 )→ Finalmente tenemos: ∴3 x− y−1+c=5 ln (2 x− y+4 )

3) determinar la solución general de: x y'=√ y2− x2 .

Solución: 30

MODELOS MATEMATICOS


→ Hacemos un cambio de variable: y=ux→dy=xdu+udx … reemplazando →xdu=(√u2−1−u ) dx → du

√u2−1−u=dxx

→∫ du

√u2−1−u=∫ dx

x

→∫ (√u2−1+u )du(√u2−1−u ) (√u2−1+u )

=ln x+ln c →−12∫√u2−1−∫ udu=ln x+ ln c

→−[ 12 (u√u2−1 )−ln (u+√u2−1 ) ]−u2

2=ln x+ ln c

→−12

(u √u2−1 )+ln (u+√u2−1 )=ln xc+ u2

2

→−( 12 u√u2−1+u2

2 )=ln ( xc

u+√u2−1 )⋯⋯⋯⋯ I

Reemplazando y=ux en(I ) tenemos: →−1

2 [ yx2 √ y2−x2+ y2

x2=ln( xc

yx+ √ y2−x2

x)]

→− y2 x2

( y+√ y2−x2)=ln( x3 c

y+√ y2−x2 )

∴ y+√ y2−x2=x3 c ey ( y+√ y2−x2 )

x2

31

MODELOS MATEMATICOS


- ECUACIONES REDUCIBLES A HOMOGENEAS: Ecuaciones de la forma: Se reducen a homogéneas siguiendo el siguiente procedimiento:A) si a1b2≠a2b1 , Entonces las rectas no son paralelas:

⟶ Entonces en este caso el procedimiento es el siguiente:

i) trasladar el origen de coordenadas al punto (h; k) de intersección de las rectas: ⟶ Nota: el punto (h; k), eta dado por la intersección del sistema … (∝)

1) hacer un cambio de variable:

ii) reemplazar (2) en (1), con lo cual no quedara una ecuación diferencial homogénea en la variables u y v.32

MODELOS MATEMATICOS

y,

=a1 x+b1 y+c 1

a2 x+b2 y+c 2

⋯(1)

a1 x+b1 y+c 1=0⋯ l1 ∧ a2 x+b2 y+c 2=0⋯l2

a1 x+b1 y+c 1=0 ¿}¿¿ ⋯ (α ) ¿ ¿¿

¿¿

“UNIVERSIDAD NACIONAL SAN LUIS GONZAGA DE ICA “⟶ también podemos escribir la ecuación diferencial de la siguiente manera:

B) si a1b2=a2b1 , entonces son paralelas las rectas:

⟶ El procedimiento será: i) hacer el cambio:

→ Entonces despejando: y ’=u ’−a1b1

….(3) ii) reemplazar (3) en (1), con lo cual nos queda una ecuación diferencial reducible a variable separable, en la variables u y x.Ejercicios propuestos:

1) determinar la solución general de ( x - y + 3)dx + (3x + y + l)dy = 0

Solución33

MODELOS MATEMATICOS

[M ( x , y )dx+N ( x , y )dy=0 ⋯ / M y N ∈ ℜ ]

a1 x+b1 y+c 1=0⋯ l1 ∧ a2 x+b2 y+c 2=0⋯l2

¿¿¿ ¿

( x− y+3 )dx+(3 x+ y+1 )dy=0⋯(α )


34

MODELOS MATEMATICOS

resolviendo el sistema nos damos cuenta que no son paralelas y que se int ercep tan en (h;k )

→ ¿ l1 : x− y+3 ¿}¿¿

resolviendo notamos que l1 ≠ l2 . → entonces hacemos: ¿→ ¿ x=z−1 → dx=dz ¿ }¿¿ ⋯( β ) ¿¿→ reemplazando ( β ) en ( α) tenemos :[( z−1)−(w+2)+3 ]dz +[3( z−1)+(w+2)+1 ]dw=0→ ( z−w )dz+(3 z+w)dw=0 ⋯E .D .Homogenea→w=uz → dw=udz+zdu ⋯reemplazando tenemos→ [ z−(uz )]dz+[3 z+(uz ) ]dw=0→reemplazando

→ [ z (1−u) ]dz+[ z (3+u )] [udz+ zdu ]=0⋯simplificando

→ [(1−u )(u+3) ]dz+ [udz+zdu ]=0⋯agrupando

→ (u2+2u+1)u+3

)dz+( z )du=0⋯haciendo( v . s )

→⋯ (dzz

)+(u+3u2+2u+1

)du=0⋯ int egrando

→ ∫ dzx

+∫u+3u2+2u+1

du =c

→ ln( z )+ ln(u+1) −2u+1

=c → ln [( z )(u+1)]−2u+1

=c

→ finalmente agrupando y regresando a las var iables originales :

→ [ y=(1−x )+(ce )2 x+2x+ y ]


2) determinar la solución de(2 x+2 y−1)+ y ’, ( x+ y−2 )=0

Solución:

→ Damos forma a la ecuación diferencial. (2 x+2 y−1 )dx+( x+ y−2 )dy=0

⟶ Entonces hacemos:{L1:2 X+2Y−1=0L2 :X+Y−2=0 } Notamos que son paralelas

→ hacemos la sustitución:→ u= x + y …. ( ) → du = dx + dy → {du – dx = dy}… ( )ᵠ ᵦ

→ reemplazando ( ) y ( ) tenemos:ᵠ ᵦ

35

MODELOS MATEMATICOS


→ (2u−1 )dx+(u−2 )dy=0→ (2u−1 )(u−2 )

dx+ (du−dx )=0……factorizando

→ u+1u−2

dx+du=0→dx+(u−2u+1 )du=0 ….. Integrando tenemos→∫ dx+∫ du−3∫ du

u+1=c→x+u+3 ln (u+1 )=c…reemplazando

→ X+ x + y + 3 ln (x+y+1) = c →(x+ y+1)3=ec−2 x− y … factorizando

→ Finalmente tenemos:→(x+ y+1)3= k

e2 x+ y

3) determinar la solución general de: (3y - 7x + 7) dx - (3x - 7y - 3) dy = 0

36

MODELOS MATEMATICOS

i)analizamos si se int ercep tan o si son paralelas

l1 :3 y−7 x+7=0¿}¿¿ notamosquel1≠l2 .¿ ¿ ii) hamemos la sustitucion : ¿¿ x=z+1→dx=dz ¿ }¿¿⋯⋯(α ) reemplazando ¿ ¿→ (3w−7 z )dy−(3 z−7w )=0 ⋯E . D . Homogenea . ¿¿


-

- ECUACI ONES DIFERENCIALE S LINEALES NO HOMOGENEOS.- Modelo lineal no homogéneo son de la forma:

y’ + P(X )Y = Q (X ) o X ’ + P(Y )X = Q (Y ) P, Q: R̂ → R̂ son dos funciones diferenciales sobre el conjunto de los reales.OBSERVACIONES:

37

MODELOS MATEMATICOS

iii ) entonces hacemos un cambio de var iable :

w=uz →dw=zdu+udz⋯ reemplazando tenemos

→ (3uz−7 z )dz−(3 z−7uz )( zdu+udz )=0⋯simplificando

→ (3u−7 )dz−(3−7u )dw=0⋯factorizando

→(3u−7 )(3−7u)

dz−( zdu+udz )=0…agrupando

→ −7 (u2−1)(7u−3 )

dz−zdu=0⋯int egrando

→17∫

(7u−3)du(u2−1 )

+∫ dz=c→12∫

2u

u2−1du−

37∫

du

u2−1+∫ dz=c

→ finalmente :

[( x+ y−1 )6( x− y−1)=k ]

“UNIVERSIDAD NACIONAL SAN LUIS GONZAGA DE ICA “I) como determinar la integral general de estos modelos?ii) Tenemos: y’ + P(X )Y = Q(X ) → Si Q(x)=0 v p(x) =0 (son nulas)→ Si Q(x) = 0 → y’ + P(X )Y = 0 ˆ X ’ + P(Y )X = 0 {son E. D. Homogéneas}ii) Como determinamos la integral general de este modelo homogéneo?iii) respondiendo a la siguiente pregunta:→ tomo y’ + P(X )Y =0 → dy

y + P(X )dx = 0 … integrando

→ ∫ dyy

+∫ P(X ) dx=c→ ln ( y )+∫P(X )dx=c →y=k (e−∫ P( X )dx) : solución homogénea.→ y = Q(x, y): solución abstracta.iv) si Q(x) ≠0 Respondiendo a la primera pregunta→introduzcamos un cambio de variable para esto solo tomo la solución homogénea.→ y=k (e−∫ P(X )dx) →y=(k )(x )(e−∫ P(X )dx)

38

MODELOS MATEMATICOS


- Complementación :

Una ecuación diferencial lineal tiene la forma: y +p(x, y) y=q(x, y) Donde (x, y) y Q(x, y) son funciones y pertenecen a R̂ siendo estas distintas de cero.En donde se es necesario determinar un factor integrante (f.i) el cual será necesario para desarrollar nuestra ecuación diferencial.

Pasos a seguir:1) identifica el p(x, y) y Q(x, y) de nuestra ecuación diferencial lineal.2) determinar el factor integrante con la siguiente fórmula:f . i=e∫ p ( x )dx

3¿ Determinamos la solución de la ecuación diferencial, con la siguiente formula:

y=e−∫ p ( x )dx¿

39

MODELOS MATEMATICOS


PROBLEMAS PROPUESTOS:1) Desarrollar la siguiente ecuación diferencial:

x ( x3−1 ) dydx

+2(x3−1¿ y= x3−2x

Solución:

40

MODELOS MATEMATICOS


2) determinar la solución general de ( x+1 ) dydx

−[2 y+( x+1 )4 ]=0

41

MODELOS MATEMATICOS

→x ( x3−1) yx ( x3−1)

,

+2( x3−1 ) yx (x3−1 )

=x3−2x ( x3−1 )x

⋯simplificando

→ y ,+2xy=

x3−2x2( x3−1 )

⋯ E .D .Lineal

→donde :

→[ p( x )=2x Q (x )=x3−2x2( x3−1) ]

→ entonces calculamos el ( f . i).→ ( f . i )= e∫2 dxx → ( f . i)= e2ln (x ) → [( f . i)= x2 ]

→ y=e−∫ 2dxx [∫ e

∫2 dxx (x3−2x2( x3−1)

dx +c ]⋯ desarrollando los int egrales

→ y=1

x2 [∫ x3−2x3−1

dx +c ] ⋯ desarrollando el int egral resulta

→ y=1x2 [x22 ]


MODELO DE BERNOULLISean dos funciones P ^ Q: R→R dos funciones reales de variable real, continuas en todo su dominio.Entonces todo modelo dela forma: y’ + P(X )Y = Q(X )Yn o X ’ + P(Y )X = Q(Y )X

n se llama modelo de Bernoulli, tal que; n∈Z− {0 ;1 }

42

MODELOS MATEMATICOS

solucion :

→ ( x+1)dydx

−[2 y+( x+1)4 ]=0⋯ dividiendo y ordenado

→ dydx

−2 yx+1

=( x+1 )3⋯ es una E .D . Lineal

donde :

→ p( x )=−2x+1

Q (x )=( x+1)3

→ entonces calculamos el ( f . i) :

→ ( f .i)=e−2∫ dx

x+1 → [( f .i)=1( x+1)2 ]→ entonces la solucion de la E .D .L sera :

→ y=( x+1)2 [∫1( x+1)2 (x+1 )3dx +c ]⋯ desarrollando

→ y=(x+1 )[∫( x+1)dx +c ]⋯ int egrando nos resulta

→ y=(x+1 )(x2+2x2

) +( x+1)c

→ finalmente nos resulta:

→ y=12

( x3+3x2+2x )+( x+1)c

“UNIVERSIDAD NACIONAL SAN LUIS GONZAGA DE ICA “Observaciones:i. Resulta una ecuación lineal no homogénea:∴noesunaecuacionde Bernoulli.ii. n = 1 → y’ + P(X )Y = Q(X )Y

1 → y’ + P(X )Y = Q(X )Y → y’ + P(X )Y - Q(X )Y = 0 → y’ + Y(P( X )−Q(X ) )=0Es una ecuación lineal homogénea ∴ paran=1noesunaecuaciondebernoulliiii. ¿Cómo determinar la integral general de este modelo?Analicemos el modelo de Bernoulli, en efecto:→ y’ + P(X )Y = Q(X )Y

n

→y ’+P (X )Y

Y n = Q(X ) , y ≠0 → y ’

Y n +P(X )Y

Y n =Q(X )

→ y’ Y−n+P(X )Y1−n=Q(X )Hacemos: z ¿Y 1−n

→ dzdx

=(1−n )Y−n dydx

ley de la cadena

→ z’¿ (1−n )Y−n y’→ y’¿ z ’

(1−n )Y−n

→ y’= zn yn

(1−n)

→ z ’ yn y−n

(1−n )+P (X )Z=Q(X )

43

MODELOS MATEMATICOS


→y’1−n

+ P(X )Z=Q (X )

→z’+ (1−n )P(X )Z=Q(X ) (1−n )

Si P1(x)¿ (1−n )P( X )∧Q1(X )=(1−n )Q(X )

→z’+ P1(x) z¿Q1(X )Resulta una ecuación lineal no homogénea.CONCLUSION:El cambio z ¿Y 1−n, reduce el modelo de Bernoulli a un modelo lineal no homogéneo.1. Determinar la integral general de: y ’+1=4 e−1 sin(x ) Solución:i. Hacemos: 4 e−1sin (x)=z → y’+1=4e−1 sin(x) →e y ( y ’+1 )=4 e−1 sin(x )ey → y’ e y+ey=4sin ( x ) → ( y ’+1 ) e− y=4 e− ysin ( x )(e− y) → y’ e− y+e− y=4e−2 ysin ( x )

→ y ’+1e− y

=4sin ( x )

→e y y ’+ey=4sin ( x )…….(α ) Hacemos e y=z

→dydxe y=dz

dxReemplazamos en (α )

44

MODELOS MATEMATICOS

“UNIVERSIDAD NACIONAL SAN LUIS GONZAGA DE ICA “ →z’+ z=4 sin (x ) Es una ecuación lineal no homogéneaFormamos la ecuación lineal no homogénea z ’+z=0 → dz

dx+z=0 →dz

z+dx=0

→dzz

=−dx → ln z=−x → ln z=C−x

→z=eC−x

→z=k e− x Ecuación lineal homogéneaii. Hacemos un cambio de variablez=K (x )e−x → dz

dx=K ’ (x)e−x−K (x)e−x

Reemplazamos en: z ’+z=4sin ( x )

→K’ (x )e− x−K (x )e− x+K (x)e−x=4sin ( x ) →K’ (x )=4 exsin ( x ) →d (K ( x ))

dx=4e xsin ( x )

→d (K ( x ))=4ex sin ( x )dx →∫ d (K ( x ))=4∫ex sin ( x )dx →K ( x )=4∫e xsin ( x )dx+C Integramos por partes: ∫ exsin ( x )dx

ex=u→ex dx=du∧dv=sin ( x )dx→v=−cos x →∫ exsin ( x )dx=−e xcos x−∫−¿cos xe xdx ¿

45

MODELOS MATEMATICOS


En: →K ( x )=4∫e xsin ( x )dx+C →K ( x )=−2(sin x+cos x)ex+C …… Reemplazamos en: z=k e−x →z=(−2 (sin x+cos x)ex+C)e−x

→z=−2(sin x+cos x )+C e−x

Pero e y=z→ finalmente tenemos: →e y=−2(sin x+cos x )+Ce−x Solución general de este modelo

2. DETERMINAR LA SOLUCION GENERAL DE: 2 y ’− yx=5 x3 y3

I. y ’− y2 x

=52x3 y3 Es un modelo que responde a Bernoulli donde n=3II. Como esta ecuación es de Bernoulli hacemos un cambio de variable:

z= y1−n ;→z= y−2

→dzdx

=−2 y−3 dydx

→dydx

= −12 y−3

dzdx → y’=−z ’ y3

2

III. Reemplazamos en:y ’− y2 x

=52x3 y3

→− z ’ y3

2− y2 x

=52x3 y3 →z’+ y−2

x=−5 x3 ….. Pero z= y−2

z ’+ zx=−5 x3 ; Ecuación lineal no homogéneaIV. Formamos la E.D.H

46

MODELOS MATEMATICOS


z ’+ zx=0 → dz

dx+ zx=0 →∫ dz

z=∫ dx

x → ln zx=lnC pero: c=k

→z=Kx

Solución lineal homogéneaV. Introducimos un cambio de variable:

z= k (x )x

→z’=xk ’ ( x )−k (x )

x2

VI. Reemplazamos en la E. L. No homogénea z ’+ zx=−5 x3

→x k ’ ( x )−k (x)

x2+k (x)x2

=−5 x3 → k’ (x )x

=−5 x3 →k ’ ( x )=−5 x4 →∫ d (k (x ))

dx=∫−5 x4dx →k ( x )=−x5+c

VII. Este resultado lo homogenizamos en:z= k (x )x

→−x5+c

x=z , Pero z= y−2

→ y−2=−x4+ cx → y2= x

c−x5

→ finalmente tenemos:→=( x

c−x5 ) Solución general EJERCICIOS DE APLICACIÓN: 1) Determinar la ecuación general de: 8 xy ’− y= −1

y3√ x+1

i. → y’− y8 x

= 1

8 x √x+1y−3 ; n = 3

47

MODELOS MATEMATICOS

“UNIVERSIDAD NACIONAL SAN LUIS GONZAGA DE ICA “Hacemos un cambio de variable: z= y1−n ;→z= y4

→dzdx

=4 y3 dydx

→dydx

= 1

4 y3dzdx ii. Reemplazamos en:→ y’− y

8 x= 1

8 x √x+1y−3

→1

4 y3dzdx

− y8 x

= 18 x√ x+1

y−3 →

dzdx

− y 4

2x= −12x √ x+1

→

dzdx

− z2x

= −12x √ x+1 ; es una ecuación lineal en z.

→z=e−∫−dx

2x [e∫−dx2x ( −12x √x+1 )dx+C ] ; Donde z= y 4

→ y4=eln x2 [∫ e

− ln x2 ( −12 x √x+1 )dx+C]

→ y4=√x [ 1√x ( −12 x √x+1 )dx+C]

→ y4=√x (∫ −12x √ x2+x

dx+C) Para integrar hacemos un cambio de variable: x=1t ;→dx=−dt

t 2

iii. Reemplazamos en la integral:→ y4=√x [−∫ −dt

t 2

2t √ 1t2+ 1t

+C ] → y4=√x [∫ dt

2√1+t+C ]

→ y4=√x (√1+t+C ) 48

MODELOS MATEMATICOS


iv. Reemplazamos el valor de “x”→ y4=√x (√1+ 1x +C) → y4=√x+1+C√ x , solución general del modelo, pag: 141 Eduardo Espinoza ramos; análisis matemático iv 2) Determinar una solución particular del siguiente modelo:

(12e2x y2− y )dx=dy ; y (0 )=1Solución:i. dy

dx+ y=12e2 x y2 ;ecuacion de Bernoulli, donde n=2Multiplicando por y−2 a la ecuación de Bernoulli.

→ y−2 dydx

+ y−1=12e2x

Sea z= y−1;→dzdx

=−1y2

dyd x

→− dzdx

= 1

y2dydx

ii. Reemplazando 1y2dydxen: y−2 dy

dx+ y−1=12e2x

→− dzdx

+ y−1=12e2x →

dzdx

− y−1=−12e2 x ; es una ecuación lineal en “z”→z=e−∫−dx [∫e∫−dx (−12e2 x)dx+C ] →z=ex [∫ e−x (−12e2 x)dx+C ] →z=ex [∫−12exdx+C ] →z=ex (−12ex+C ) iii. Reemplazamos z= y−1en z=ex (−12ex+C )

49

MODELOS MATEMATICOS


→1y=e x (−12ex+C )

→1y=−12ex+Ce x ; es la solución general dela ecuaciónPara y (0 )=1Tenemos:

1y=−12ex+C ex

C=13 ∴ y−1e− x=13−12ex ; Solución particular

3) Determinar una solución particular del siguiente modelo:(2 y3−x3 )dx+3 x y2dy=0 ; y (1 )=1Solución:

i. →dydx

= x3

3 x y2− 2 y3

3x y2

→dydx

+ 2 y3 x

= x2

3 y2

→dydx

+ 2 y3 x

= x2 y−2

3 ; es modelo de Bernoulli, donde n=−2

ii. Hacemos z= y3

→dzdx

=3 y2 dydx

→dydx

= 1

3 y2dzdx

Reemplazamos en la ecuación de Bernoulli→

13 y2

dzdx

+ 2 y3x

= x2 y−2

3

→dzdx

+2 y3

x=x2 ; reemplazamos z= y3

50

MODELOS MATEMATICOS


→dzdx

+ 2xz=x2; es una ecuación lineal en “z”

→z=e−∫ 2x dx [e∫ 2

xdx

(x2 )dx+C ] →z=e−2 ln x [∫ e2 ln x (x2 )dx+C ] →z= 1

x2[∫ x4 dx+C ] →z= 1

x2 ( x5

5+C) →z= x3

5+ Cx2

iii. Reemplazamos z= y3; en z= x3

5+ Cx2

→ y3 x2= x5

5+C Para y (1 )=1Tenemos: C=4

5

∴La solución particular será:5 y3 x2=x5+4

MODELO DE RICATTIDefinición: sean C0;C1;C2:R→R tres funciones continuas en todo su dominio, entonces todo módulo de la forma: dydx

=C2 ( x ) y2+C1 ( x ) y+C0(x ) ∧ dx

dy=C2 ( y ) x2+C1 ( y ) x+C0( y) se llama modelo de Ricatti.

OBSERVACIONES:51

MODELOS MATEMATICOS


a) dydx

=C2 ( x ) y2+C1 ( x ) y+C0(x ) no es una ecuación de Bernoulli. b) Para determinar la integral de Ricatti debe tener una solución particular y= y1(x )c) Para encontrar la integral general de Ricatti se hace un cambio de variable Y=u+ y1(x)a. Determinar la integral de:y ’= 1

x2− yx− y2 , tal que, y1 (x )=−1

x es una solución particularSolución

y ’= 1

x2− yx− y2

i. Hacemos un cambio de variable: y=u−1x

→dydx

=u ’+ 1x2

→ y’=u ’+ 1

x2

ii. Remplazamos en:y ’= 1

x2− yx− y2

→u’+1

x2=1

x2−u− 1

xx

−(u−1x )2

→u’=−ux−1

x2+(u2−2ux +

1

x2 ) →u’=u

x−u2 Corresponde al modelo de Bernoulli

u ’−ux=−u2 n=2

Nota: El cambio de variable reduce a la ecuación de Ricatti a una ecuación de Bernoulli .

52

MODELOS MATEMATICOS

“UNIVERSIDAD NACIONAL SAN LUIS GONZAGA DE ICA “OBSERVACIONES: P ( x )=−1

x , Q ( x )=−1 ∧n=2iii. Cambio de variable

z=u−1→u’=−u2 z ’ reemplazamos enu ’−u

x=−u2

→−u2 dzdx

−ux=−u2

→dzdx

+ z−1

x=1

→z=e−∫ dx

x [∫ e∫ dx

x (1 )dx+C ] →z=1

x(∫ xdx+C )

→z= x2+ cx ; Pero z=u−1

→u= 2x

x2+2c

iv. Reemplazamos en : y=u−1x

→ y= 2x

x2+2c+ 1x Solución general.

1) Determinar la ecuación general del siguiente modelo matemático:dydx

=x+ (1−2 x ) y− (1−x ) y2; Donde una solución es: φ ( x )=1

i. Sea y=φ ( x )+z=1+ z ; la solución de la ecuación diferencial dada, donde “z” es una función por determinar.→dydx

= dzdx

; remplazamos en la ecuación diferencial dada.53

MODELOS MATEMATICOS


→dzdx

=x+(1−2 x ) (1+z )−(1−x ) (1+z )2 →

dzdx

=−z+( x−1 ) z2 →

dzdx

+z=( x−1 ) z2 ; es una ecuación deferencial de Bernoulli, donde n=2ii. Hacemos cambio de variable w=z−1; se tiene→dwdx

=−dzz2dx

→dzdx

=−z2dwdx

; reemplazamos en la ecuación de Bernoulli.→− z2dw

dx+z=( x−1 ) z2

→dwdx

−z−1=−( x−1 ) ; es una ecuación lineal en “w” cuya solución es:→w=e−∫−dx [∫e∫−dx (−( x−1 ) )dx+C ] →w=ex [∫ e−x (1−x )dx+C ] →w=ex (∫e− xdx−∫ e−x xdx+C ) I=∫e− x xdx ; integramos por partesDonde: u=x ;→du=dx∧dv=e− xdx ;→v=−e−x →I=x (−e−x )+∫−¿e−x dx ¿iii. Reemplazamos en: w=e x (∫ e−x dx−∫ e−x xdx+C )→w=ex ¿ →w=ex ( xe−x+C ) →w=x+exC iv. Remplazando w=z−1, tenemosz=( 1

x+e xC ) v. La solución general será: y=1+z

54

MODELOS MATEMATICOS


→ y=1+ 1

x+exC Pág. 153, análisis matemático iv (Eduardo Espinoza)

2) Determinar la ecuación general del siguiente modelo matemáticodydx

=(1−x ) y2+ (2x−1 ) y−x; Donde una solución es: φ ( x )=1

i. Sea y=φ ( x )+z=1+ z ; la solución de la ecuación diferencial dada, donde “z” es una función por determinar.→dydx

= dzdx

; remplazamos en la ecuación diferencial dada.dydx

=(1−x ) y2+ (2x−1 ) y−x

→dzdx

=(1−x ) (1+z )2+ (2x−1 ) (1+z )– x →

dzdx

=(1−x ) z2+ z →

dzdx

−z= (1−x ) z2 ; es una ecuación deferencial de Bernoulli, donde n=2

ii. Hacemos w=z−1; de donde se tiene→dwdx

=−dzz2dx

→

dzdx

=−z2dwdx

; remplazamos en → dzdx

−z= (1−x ) z2

→− z2dwdx

−z=(1−x ) z2 55

MODELOS MATEMATICOS


→dwdx

+z−1=−(1−x ) ; es una ecuación lineal donde:→w=e−∫dx [∫ e∫dx (− (1−x ) )dx+C ] →w=e−x [∫ex ( x−1 )dx+C ] →w=e−x [∫ex xdx−∫ ex dx+C ] →w=e−x [x ex−∫ ex dx−∫ex dx+C ] →w=e−x (x ex−2ex+C ) →w=x−2+ C

x2

iii. Reemplazamos: w=z−1 ;enw=x−2+ Cx2

→1z=x−2+ C

x2

→z=(x−2+ Cx2 )−1

Dónde: z= y−1 iv. La solución general será:

→ y−1=(x−2+ Cx2 )−1

→ y=( x−2+Cx2 )−1

+1

56

MODELOS MATEMATICOS

“UNIVERSIDAD NACIONAL SAN LUIS GONZAGA DE ICA “ 3) Determinar la ecuación general del siguiente modelo matemáticoy '=−1

x2− yx+ y2, una solución es: φ ( x )=1

xSOLUCION:i. Sea y=φ ( x )+z=1

x+z ; la solución de la ecuación diferencial dada, donde “z” es una función por determinar.

→dydx

= dzdx

− 1

x2 Remplazamos en la ecuación diferencial dada.

→dzdx

− 1

x2=−1x2

−( 1x +z )x

+( 1x +z)2

→dzdx

=−xz

− 1

x2+ 1x2

+2 zx+z2

→dzdx

− zx=z2 ; es una ecuación de Bernoulli; donde n=2

ii. Hacemos w=z−1; de donde se tiene→dwdx

=−dzz2dx

→

dzdx

=−z2dwdx

; remplazamos en: → dzdx

− zx=z2

→z2dwdx

+ zx=−z2

→dwdx

+w−1

x=−1 ; es una ecuación lineal en “w”Dónde:

→w=e−∫ dx

x [∫ e∫ dx

x (−1 )dx+C ] →w=1

x [−∫ xdx+C ] →w=−x2

+Cx

57

MODELOS MATEMATICOS


iii. Reemplazamos w=z−1 ;en w=−x2

+Cx

z=(−x2

+Cx )

−1 ; Donde:y=φ ( x )+z=1x+z

→ y=1x+(−x2

+Cx )

−1 → y= 2 x

−x2+2C+ 1x ; Solución general de la E.D.

MODELOS EXACTOS

SeanM ,N :R2dos funcionesendos variables continuasdefinidas en todo su dominio Entonces todomodelo de la forma :M ( x , y )dx+N ( x , y )dy=0esunaecuación exacta

si y solo si satisface las siguientes condiciones . ∂M∂ y

=∂ N∂ x

1¿∃una funciónconstante : ∂u∂ x

=M ó∂u∂ y

=N

CONCLUSIONES : M yN son funciones endos variableseminentemente continuasen sudominio Aqui intervienendos tiposde derivadas :derivadas ordinarias , der ivadas parciales

2¿Se debecumplir : ∂M∂ y

=∂ N∂ x

3¿∃la funciónu≠0con las condiciones : 58

MODELOS MATEMATICOS

“UNIVERSIDAD NACIONAL SAN LUIS GONZAGA DE ICA “∂u∂ x

=M ó∂u∂ y

=N

EJERCICIOS PROPUESTOS:1.- Determinar laintegral generalde cadauna de las ecuaciones → (x2− y )dx−xdy=0

M (x , y )=x2− y ∂M∂ y

=−1 N ( x , y )=− x

∂N∂ x

=−1 ∂M∂ y

=−1=∂N∂x

entonces∂M∂ y

=∂ N∂ x

es unaecuación exacta Tomenos : ∂u∂ x

=M 59

MODELOS MATEMATICOS

“UNIVERSIDAD NACIONAL SAN LUIS GONZAGA DE ICA “∂u∂ x

=x2− y u=∫ (x2− y )dx+H ( y ) u=∫ x2dx−∫ ydx+H ( y ) u= x3

3− yx+H ( y )

Tomemos : u= x3

3− yx+H ( y ) ………………(1)

∂u∂ y

=0−x+H ´ ( y ) N=−x+H ´ ( y ) −x=−x+H ´ ( y ) H ´ ( y )=0 d [H ( y)]

dy=0

d [H ( y )]=0 ∫ d [H ( y )]=∫0 H ( y )=∁ Reemplazamosen1 : u= x3

3− yx+H ( y )

u= x3

3− yx+∁

60

MODELOS MATEMATICOS


u−∁= x3

3− yx

K= x3

3− yx

[sen ( y )+ ysen ( x )+ 1x ] dx+[ xcos ( y )−cos ( x )+ 1

y ]dy M (x , y )=sen ( y )+ ysen ( x )+ 1

x

∂M∂ y

=cos ( y )+sen (x) N ( x , y )=xcos ( y )−cos ( x )+ 1

y∂N∂ y

=cos ( y )+sen(x ) ∂M∂ y

=−1=∂N∂x

entonces∂M∂ y

=∂ N∂ x

es unaecuación exacta Tomemos : ∂u∂ y

=N ∂u∂ y

=xcos ( y )−cos ( x )+ 1y

u=∫(xcos ( y )−cos ( x )+ 1y )dy+H X

u=∫ xcos ( y )dy−∫cos (x )dy+∫ dyy

+H X u=xsen ( y )− ycos ( x )+ ln y+H X ………………………………………..(1)

61

MODELOS MATEMATICOS

“UNIVERSIDAD NACIONAL SAN LUIS GONZAGA DE ICA “Derivamos parcialmente u : u=xsen ( y )− ycos ( x )+ ln y+H X ∂u∂ x

=sen ( y )+ ycos ( x )+0+H´ X M=sen ( y )+ ysen ( x )+H ´X sen ( y )+ ysen ( x )+ 1

x=sen ( y )+ ysen ( x )+H ´X

H ´ x=1x

d [H x ]dx

=1x

∫ d [H x ]=∫ dxx

H x=ln x+∁ Reemplazamosen1 : u=xsen ( y )− ycos ( x )+ ln y+H X u=xsen ( y )− ycos ( x )+ ln y+ ln x+∁ k=xsen ( y )− ycos ( x )+ln y+ln x MODELOS INEXACTOS DEFINICION: sea M, N R2 R dos funciones en dos variables continuas definidas en todo su dominio, todo modelo de la forma M(x,y) dx + N(x,y)dy 0 , es una ecuación ordinaria inexacta si solo si ₌cumple dm

dy≠dndx

.

62

MODELOS MATEMATICOS


U es un factor integrante si U ' (z )U ' (z )

=

dMdy

−dNdx

Nd (z )dx

−Md (z )dy

donde z x₌ z y , ₌ z x+y ; z x.y ₌ ₌ z=x2+ y2; z=x2− y2 Nota: para determinar el factor de integración se debe anular el coeficiente más complejo dM

dyvdNdx

Entonces al multiplicar el factor integrante U a la ecuación Mdx+Ndy 0 se hace una ecuación exacta ₌ Es decir :

u[M(x,y) dx+N(x,y)dy] u[0]₌ uM(x,y)+ uN(x,y) o …. ---> es una ecuación exacta ₌

PROBLEMAS PROPUESTOS:1. determinar la integral de : u=2xydy+( y2−x2−25)=0

i) M(x, y) 2xy , → ₌dMdy

=2x

N(x,y)₌y2−x2−25 , → dNdx

=0−2x

→dMdy

≠dNdx

, Es una ecuación ordinaria inexacta ii) como esta ecuación ordinaria es inexacta debemos de determinar el factor integrante u. Tal que u’ (z):

63

MODELOS MATEMATICOS


U ' (z )U ' (z )

=

dMdy

−dNdx

Nd (z )dx

−Md (z )dy

U ' (z )U ' (z )

=2x−(2 x)

( y2−x2−25)dzdx

−2xydzdy

→entonces eliminamos el coeficiente dz

dx . Razonamos →para esto supongo z x ₌ z y ₌ dz

dx=1 dz

dx=0 →es el cambio correcto Si z x ₌

↗

↘ , Si z y ₌

↗

↘

dzdy

=0 dzdy

=1

→u' ( y )u( y )

= 4 x( y¿¿2−x2−25)(0)−2xy (1)¿

→u' ( y )u( y )

= 4 x−2 xy

→u' ( y )u( y )

=−2y

→d [ lnu ( y )]d ( y)

=−2y→∫ lnu ( y )=−2∫ dy

y+c

64

MODELOS MATEMATICOS


→ln (u ( y ) )=ln y−2+ln k →lnu ( y )=ln k

y2→u( y)= k

y2 ….. Es el factor integrante

→ k

y2=[2xy+( y2−x2−25)]=0

→2xyy2

dx+( y2−x2−25)dy

y2=0

→2xy

+( y2−x2−25)dy

y2=0 es una ecuación exacta

MODELO DE LAGRANGEDEFINICIÓN: sean f; g R→R dos funciones en una variable continua y diferenciable en todo su dominio.Entonces todo modelo de la forma:y=xf ( y' )+g ( y ')

Se llama ecuación de LagrangeObservaciones

i) Para determinar su integral general se hace un cambio de variable y '=p , p,es un parámetroii) F y g son funciones en una variable eminentemente continua y diferenciable en todo su dominio.iii) El cambio de variabley '=p transforma el modelo de lagrange a un modelo lineal no homogéneo.

65

MODELOS MATEMATICOS

“UNIVERSIDAD NACIONAL SAN LUIS GONZAGA DE ICA “iv) Por lo tanto la solución de este modelo toma la forma

x=φ ( p;c )y=φ (p ; c ) f ( p )+g ( p )

P es un parámetro, también la solución se llama solución paramétrica.MODELO DE CLAIROUTS

DEFINICION: sea f; R→R uan función en una variable continua y diferenciable en todo su dominio.Entonces este modelo es una consecuencia de Lagrange.Observaciones

i) Este modelo es consecuencia de Lagrange.ii) Para determinar la integral general se hace un cambio de variable y '=p ,p es un parámetro.Problemas de Lagrange y Clairouts:1) Determinar la solución general y singular de y=x y '+a√1+ y '2

Solución.i) Sea y '=p→dy=pdx ii) y=xp+a√1+p2

→dydx

=xdpdx

+ p+2ap

dpdx

2√1+ p2

→dydx

= xdp+ pdxdx

+ ap

√1+p2dpdx

66

MODELOS MATEMATICOS


→ dy=xdp+ pdx+ ap .dp

√1+ p2

→pdx=xdp+ pdx+ ap .dp

√1+ p2

→0=xdp+ ap .dp

√1+ p2

→xdp+ ap .dp

√1+ p2dx=0

→x+ ap

√1+ p2dp=0

→x+ ap

√1+ p2=0⋁ dp=0

iii) Tomo dp=0→∫ dp=c

p=c

Ahora tenemos →x+ ap

√1+ p2=0

→x= −ap

√1+ p2pero p=c

→ x= −ac

√1+c2

iv) Tomemos y=xp+a√1+p2

→ y=xc+a√1+c2

→ y= −ac2

√1+c2+a√1+c2

67

MODELOS MATEMATICOS


→{ x= −ac

√1+c2

y= −ac

√1+c2+a√1+c2

v) Ahora hallaremos la solución singular→tomo y= −ac2

√1+c2+a√1+c2

→ y=−a c2+a (1+c2)

√1+c2 → y=−ac2+a+ac2

√1+c2 → y= a

√1+c2

y √1+c2=a → y2(1+c2)=a2vi) Tomo x= −ac

√1+c2vii)→x2=−a2 c2

1+c2

→1+c2=a2 c2

x2

→1c2

+1=a2

x2→ 1c2

=a2

x2−1

→1c2

=a2−x2

x2

→c2= x2

a2−x2

viii) y2 (1+c2 )=a2

68

MODELOS MATEMATICOS


→1+c2=a2

y2

→c2=a2− y2

y2 → x2

a2−x2=a2− y2

y2

→x2 y2=¿ → x2 y2=a4−a2 x2−a2 y2+x2 y2

→a4−a2 x2−a2 y2+x2=0

→a2 (a2−x2− y2)=0

→ finalmente tenemos:x2+ y2=a2Solución singular es la fórmula de la circunf.

1) Determinar el siguiente modelo : y ' 2+ x y '−2 y=0 Solución:→ y '=p⇒ dy=pdx ….. Reemplazando → 2 p2+ xp−2 y=0 …… derivando miembro a miembro→ 4 pdp+xdp+ pdx−2dy=0

→4 pdp+xdp+ pdx−2 pdx=0

→pdx=4 pdp+ xdp

69

MODELOS MATEMATICOS


→pdxdp

=4 p+x⇒ dxdp

− xp=4 ….. E.D .Homogenea

→x=e∫ dp

p [∫ e−∫ dp

p (4 )dp+c ]→x=e lnp [4∫ e−lnpdp+c ]

→x=p [4∫ eln p−1

dp+c ]→x=p [4∫ dp

p+c ]

→x=p (4 lnpc )

→x=4 pln (pc ) ; y= p2

(2 p+x )

→ y= p2

(2 p+4 pln ( pc ) )

→{ x=4 pln (pc )y=p2(1+2 ln ( pc ))

2) Determinar el siguiente modelo: y= (x−1 ) y ' 2 Solución:→entonceshacemos

dydx

=p⇒ dy=pdx…reemplazando

→ y=( x+1) p2 …. Diferenciando miembro a miembro:→dy=p2dx+ p (x+1 )dp⇒ pdx=p2dx+2 p ( x+1 )dp

→dx=pdx+2 ( x+1 )dp …. Agrupando 70

MODELOS MATEMATICOS


⇒ dpdx

+ p2(x+1)

= 12(x+1)

….E . D .Lineal

→ p=e∫ dx2 ( x+1) [∫ e

∫ dx2 ( x+1)

2 ( x+1 )dx+c] → p=e

−12ln (x+1)[∫ e

∫ 12 ln (x+1 )

2 (x+1 )dx+c ]

→ p=e ln (x+1)−12 [∫ e ln (x+1)

12

2(x+1)dx+c ] → p= 1

√ x+1 [∫ ( x+1 )12

2 ( x+1 )dx+c]

→p= 1

√x+1 [ 12∫ (x+1 )12

2 ( x+1 )dx+c ] → p= 1

√ x+1 [ 12∫ ( x+1 )12dx+c ]

→ p= 1

√ x+1(√ x+1 )+c →p=1+ c

√x+1

→ (p−1 )2 (x+1 )=c

⇒ x= c( p−1 )2

−1= p2−2 p+c(p−1 )2→ y=p2(x+1)

→Finalmente tenemos:{x= p2−2 p+c

( p−1 )2

y=p2(x+1)

3) Determinar el siguiente modelo: y=xdydx

+ 1

( dydx )' 2

71

MODELOS MATEMATICOS

“UNIVERSIDAD NACIONAL SAN LUIS GONZAGA DE ICA “SoluciónEntonces hacemos:→ y '=p⇒dy=pdx ….. Reemplazando tenemos:→ y=xp+ 1

p2 … derivando miembro a miembro tenemos:

→pdx=xdp+ pdx− 2

p3dp

→0=(x− 2

p3 )dp

→∫ dp=∫ 0⇒ p=c

→ y=xc+ 1c2

→x= 2

p3

→ { x=2

p3

y= 2

p3c+ 1

c2

→y= 2

p3p+ 1

p2= 3

p2 → y= 3

( 2x)23

= 3

( 4x2

)13

→ y=3 3√ x24→ finalmente tenemos:→ y=3 3√ x24

72

MODELOS MATEMATICOS


TRAYECTORIAS ORTOGONALESConsideremos la familia de curvas f ( x ; y )=c

d ( p ( x ; y ) )=d (c ) d ¿

⇒∂ ( f ( x ; y ) )dx

∂ ( x )+∂¿¿

⇒dydx

=

∂ f (x : y )∂ (x)

∂ f (x ; y)d ( y)

⇒ dydx

=f ( x ; y )=0

La ecuación de la familia de curvas, entonces la pendiente de la trayectoria ortogonal es el reciproco negativo de f (x ; y ). Es decir dydx

= −1f (x ; y)

Entonces si resolvemos esta ecuación entonces obtenemos trayectorias ortogonales.EJERCICIOS DE APLICACIÓN

Ejercicio 1. Encuéntrese la trayectoria ortogonal que pasa por (1,2) de la familia

x2+3 y2=cy

i. x2+3 y2=cy derivamos

→2x+6 yy ’=cy ’ ; Pero c= x2+ y2

y

73

MODELOS MATEMATICOS


→2x+6 yy ’=( x2+ y2y ) y ’ →2

xy ’

+6 y=( x2+3 y2y )

→2xyy ’

+6 y2=x2+3 y2

→2xy ( 1y ’ )+3 y2=x2

Reemplazamos y ’=−1y ’

→2xy (− y ’)+3 y2=x2

→ ( y ’ )−3 y2x

=−x2 y

→dydx

−3 y2x

=−x2 y

; es una ecuación de Bernoulli, donde n=−1

z= y1−n= y2

→dzdx

=2 y dydx

→dydx

=( 12 y ) dzdxii. Reemplazamos en la ecuación de Bernoulli

→( 12 y ) dzdx−3 y2 x

=−x2 y

→dzdx

−3 y2

x=−x ; Pero z= y2→

dzdx

−3 zx

=−x ecuación lineal en z

→ z=e−∫−3dx

x [∫ e∫−3dx

x (−x )dx+k ] →z=x3[−∫ 1

x3( x )dx+k ]

→z=x3 (x−1+k ) →z=x2+k x3 Pero z= y2

→ y2=x2+k x3

iii. Evaluamos en el punto P(1;2)

74

MODELOS MATEMATICOS


k=3→y2= x2+3 x3

75

MODELOS MATEMATICOS

trabajo de modelos matematicos berrocal completado (1)

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