trabajo fin de gra - unizar.es · 2015-08-25 · como la descripcio´n correcta del color se escapa...

C

Caracte

Tra

erizaciócrom

C

Facultad d

bajo

ón coloática F

Cristina

JustinianAna Isab

de Ciencias Cu

Fin d

orimétrarnswo

Autora

Corbac

Director/es

no Aportabel Sánch

/ Grado enurso 2014‐20

de Gra

rica delorth‐M

cho Suso

s

a Alfonso hez Cano

Óptica y O015

ado

test deunsell

o

ptometría

e visión

n

Contenido

1 Teorıa matematica del color 51.1 Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2 Color Percibido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.2.1 Sistema Munsell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.3 Color Psicofısico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.3.1 Triangulos de Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.3.2 Diagrama de cromaticidad RGB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.3.3 Diagramas de cromaticidad CIE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.3.4 Espacio de color CIELAB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2 Test de Farnsworth-Munsell 172.1 Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.2 Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.3 Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

Bibliografıa 29

Anexos 31

3

Capıtulo 1

Teorıa matematica del color

1.1 Introduccion

El color es una caracterıstica de la luz y un atributo de la vision. La luz se puede definir como

la forma de la energıa radiante que es capaz de estimular la retina del ojo humano provocando

un proceso consciente que da lugar a las sensaciones visuales.

Pero, como dice Hubaut [1], precisar que caracterıstica de la luz es el color, no es una pre-

gunta sencilla.

En 1944 la Sociedad Optica de los EE.UU. (OSA) dijo que era aquella distinta de las inho-

mogeneidades espaciales y temporales.

Esta frase imprecisa nos induce a pensar mas en una propiedad fısica que en una psicofısica y,

por otra arte, es siempre preferible definir las cosas por lo que son que por lo que no son.

Es mas clara la definicion de Judd:

El color es el atributo de la luz que hace corresponder a cada distribucion espectral una sen-

sacion. Esta sensacion esta condicionada por la intensidad y duracion del estımulo, el estado

de adaptacion del observador, el area de la retina afectada y el contraste luminoso y cromatico

con que se recibe.

Es importante destacar que esa correspondencia es una funcion matematica, es decir, para cada

composicion espectral de la luz en las condiciones dadas se produce, una y solo una, sensacion de

color. Sin embargo, esa funcion no es inyectiva, la misma sensacion de color puede ser producida

por infinitas combinaciones de distribuciones espectrales, fenomeno que se llama metamerismo.

Los colores dependen de los objetos, de la luz que los ilumina y de la percepcion del ojo hu-

5

6 CAPITULO 1. TEORIA MATEMATICA DEL COLOR

mano que los detecta. Las propiedades fısicas de los objetos son escasamente perturbadas por

los iluminantes, sin embargo, la composicion espectral del iluminante influira en la apariencia

psicologica de los objetos. En [2] y [3] podemos encontrar las especificaciones de los iluminantes

que hemos usado en las mediciones de color:

1. Iluminante A: Luz de una lampara de incandescencia de filamento de wolframio alimentada

a una tension tal que adquiere una temperatura de color de 2856K.1

2. Iluminante C. Representa la luz de cielo norte sin sol directo en un dıa claro. Su temper-

atura de color es de unos 6774K.

3. Iluminante D65. Representa la luz media de un mediodıa en Europa Occidental. Su

temperatura de color es de 6504K.

4. Iluminante F11. Representa la luz de un tubo fluorescente con temperatura de color de

4100K.

5. Iluminante LED. Su temperatura de color es 5997K.

En el ANEXO1 hemos archivado los datos obtenidos a partir de las mediciones realizadas con

un colorımetro Minolta CM 700d sobre la irradiancia espectral de cada uno de estos iluminantes

Figure 1.1: Curvas de irradiancia espectral de los iluminantes

La CIE (Commission Internationale de L’Eclairage), tambien, (International Comission on Illu-

mination) distingue entre el color percibido y el color psicofısico.

1Temperatura del cuerpo negro, medida en Kelvin, cuando este presenta el mismo color que el radiador

1.2. COLOR PERCIBIDO 7

1.2 Color Percibido

El color percibido es el aspecto de la percepcion visual mediante el cual un observador puede

distinguir entre dos campos del mismo tamano, forma y textura basandose en las diferencias en

la composicion espectral de las radiaciones relacionadas con la observacion y puede definirse por

las siguientes magnitudes:

1. La luminosidad es la cantidad de luz que es percibida por el ojo al observar una escena.

La relacion existente entre el maximo y el mınimo nivel de luminosidad se llama contraste.

2. La cromıa es la calidad de la luz percibida y viene determinada por dos caracterısticas:

(a) El tono es la cualidad del color que permite decir que un objeto es rojo, amarillo,

verde, azul, purpura o de cualquier tono intermedio a ellos. El ojo humano sano es

capaz de distinguir unos 150 tonos pero su correspondencia con la longitud de onda

no es uniforme en todo el espectro visible. Mientras en los extremos son necesarios

6 nm. para percibir un tono diferente, en ciertas partes centrales del espectro se

necesita solo 1 nm.

(b) La saturacion se refiere a la pureza del color. Un color insaturado, ademas del tono

particular, contiene blanco mientras uno saturado no contiene blanco.

1.2.1 Sistema Munsell

Como la descripcion correcta del color se escapa a las posibilidades linguısticas, Albert Munsell

[4] creo en 1912 un sistema de especificacion del color basado en la determinacion del tono (hue),

la luminosidad (value) y la saturacion (chroma). Los tonos se disponen en un cırculo dividido

en 10 sectores de 36o grados de amplitud. Cinco con los tonos fundamentales, rojo (R), amarillo

(Y), verde (G), azul (B) y purpura (P) y entre ellos otros cinco con los tonos intermedios, rojo-

amarillo (RY), amarillo-verde (YG), verde-azul (GB), azul-urpura (BP) y purpura-rojo (PR).

En la vertical por el centro del cırculo se gradua la luminosidad de forma uniforme, en grises,

desde el 0 (negro) al 10 (blanco). La saturacion se gradua segun la distancia al eje vertical,

variando desde el propio eje que es acromatico, a la periferia, donde la saturacion es maxima.

Para la realizacion de las figuras y los calculos hemos utilizado Sage, software para la experi-

mentacion en algebra y geometrıa, por ser libre y utilizar el potente lenguaje de programacion

Python. Todos los programas estan disponibles en [5] y se pueden ejecutar en cualquier cuenta

abierta en https://cloud.sagemath.com


Figure 1.2: Cartas Munsell con saturacion baja y alta

1.3 Color Psicofısico

El color psicofısico es la caracterıstica de la radiacion visible que permite al observador distinguir

las diferencias entre dos objetos de las mismas dimensiones, forma y estructura, siendo estas

diferencias de la misma naturaleza que las producidas por una diferencia en la composicion

espectral de la radiacion que interviene en la observacion.

La experiencia llevo a Leonardo da Vinci a decir que mezclando tres colores se pueden obtener

casi todos los colores conocidos pero no fue hasta 1666 que Isaac Newton comprobo que con tres

franjas del espectro luminoso se puede recomponer la luz blanca.

Por esa misma epoca Thomas Young propugno la teorıa segun la cual el ojo actua analizando los

colores amarillo, azul y rojo y en 1853 el fısico aleman Hermann Grassmann sistematizo la teorıa

de la mezcla aditiva del color estableciendo las que hoy se conocen como leyes de Grassmann:

1. Por sıntesis aditiva del color es posible conseguir todos los colores percibidos mezclando

las franjas roja, verde y azul del espectro visible, en la proporcion de intensidad adecuada,

siempre que ninguno de los tres iluminantes o valores elegidos pueda obtenerse por mezcla

de los otros dos.

A las radiaciones que producen iguales sensaciones de tono, saturacion y luminosidad se

les llama cromaticamente equivalentes

2. Si las luces A y B son cromaticamente equivalentes y las luces C y D tambien lo son, las

sıntesis aditivas A+C y B+D tambien son cromaticamente equivalentes.

3. Siempre que dos superficies nos produzcan igual sensacion cromatica, podemos variar su

luminosidad manteniendo el tono y la saturacion sin que varie la igualdad cromatica entre

ambas superficies.

1.3. COLOR PSICOFISICO 9

4. Como cualquier color puede crearse por sıntesis aditiva de los colores primarios (rojo, verde,

azul) y como al mezclar aditivamente estos componentes sumamos sus luminosidades,

la luminosidad de cualquier color es la suma de las luminosidades de sus componentes

primarios.

Las leyes de Grasmann fueron recuperadas por Hermann von Helmholtz y sustentaron el impor-

tante trabajo de J.C. Maxwell [6] publicado en 1860.

Figure 1.3: Sıntesis aditiva del color y eje de brillos

1.3.1 Triangulos de Maxwell

A partir de entonces, para analizar un flujo f de luz de tipo X en un colorımetro, se compara

visualmente en el ocular con tres flujos suerpuestos r, g y b de luces monocromaticas R (roja),

G (verde) y B (azul).

Si se igualan las sensaciones cromaticas, obtenemos la ecuacion tricromatica

fX = rR + gG + bB.

Como la cuarta ley de Grasmann nos asegura que f = r + g + b, podemos escribir la ecuacion

unitaria del color X

X =r

r + g + bR +

g

r + g + bG +

b

r + g + bB

y designar a los coeficientes

xr =r

r + g + b, xg =

g

r + g + b, xb =

b

r + g + b


coordenadas tricromaticas del color X que, evidentemente, cumplen

xr ≥ 0, xg ≥ 0, xb ≥ 0 y xr + xg + xb = 1.

Cada punto P de un triangulo equilatero T de area total A, determina la tripleta (A1, A2, A3)

de las areas de los triangulos que forma P con cada lado de T . Como

A1

A≥ 0,

A2

A≥ o,

A3

A≥ 0 y

A1

A+

A2

A+

A3

A= 1,

(A1

A , A2

A , A3

A ) puede ser considerada terna de coordenadas cromaticas de P .

Los vertices y el baricentro de T tendran las coordenadas (0, 0, 1), (0, 1, 0), (1, 0, 0) y ( 1

3, 1

3, 1

3),

respectivamente y en [5] podemos conseguir colorear tantos puntos como deseemos de uno de

tales triangulos:

Figure 1.4: Triangulo con 1891 puntos coloreados

Tambien podemos obtener triangulos de Maxwell con luz blanca en su baricentro y tantos puntos

coloreados como queramos

Figure 1.5: Triangulos de Maxwell con 55 puntos y con 10100 puntos

Asımismo, se pueden transformar en triangulos de Maxwell rectangulos isosceles y se puede

obtener un curioso triangulo de Maxwell, con luz blanca en el baricentro, al tomar como coor-

denadas cromaticas, las coordenadas proyectivas respecto del sistema de referencia proyectivo

constituido por los vertices y el baricentro como punto unidad:


Figure 1.6: Triangulo de Maxwell rectangulo

Figure 1.7: Triangulo de Maxwell proyectivo

1.3.2 Diagrama de cromaticidad RGB

Aunque no se puedan igualar las sensaciones cromaticas del flujo f del color X con la super-

posicion de los flujos r, g y b de colores R, G y B, siempre se puede encontrar un flujo de luz

primaria, por ejemlo, r′ de R, que sumado al flujo f de tipo X se iguale a una superposicion de

los flujos g′ de G y b′ de B. Obtendremos, ası, la ecuacion tricromatica

fX + r′R = g′G + b′B

que puede expresarse en la forma matematica equivalente

fX = −r′R + g′G + b′B

aunque los flujos negativos de luz carezcan de sentido fısico.

De nuevo, la cuarta ley de Grasmann asegura que f+r′ = g′+b′ y, por tanto, que f = −r′+g′+b′.

Ası podremos escribir la ecuacion unitaria del color X en la forma

X =−r′

−r′ + g′ + b′R +

g

−r′ + g′ + b′G +

b′

−r′ + g′ + b′B

cuyas coordenadas cromaticas seran

xr =−r′

−r′ + g′ + b′, xg =

g′

−r′ + g′ + b′, xb =

b′

−r′ + g′ + b′


y siguen cumpliendo que xr + xg + xb = 1 aunque ya no sean todas positivas. Los colores con

alguna coordenada cromatica negativa tienen su ubicacion fuera del triangulo de Maxwell.

J. Guild y W.D. Wright consiguieron en 1920, partiendo de estımulos monocromaticos de 700

nm. para R, 546.1 nm. para G y 435.8 nm. para B, determinar el lugar de todos los colores

espectrales puros, desde 350 nm. a 780 nm., de 20 en 20 nm.

Figure 1.8: Locus espectral

Como podemos ver muy claramente expuesto en [7], todos los puntos encerrados por esta curva

corresponden a colores apreciables por el ojo humano y recibieron tambien sus coordenadas

cromaticas (xr, xg, xb) en su ubicacion adecuada respecto del triangulo unitario de Maxwell que

contiene al blanco. Se configuro, ası, el diagrama cromatico o sistema RGB que se ajusta muy

bien a la neuroquımica ocular humana, como ya ha sido expuesto en [8]. El mayor problema de

este sistema RGB es que la mayor parte de los colores tienen una coordenada negativa, lo cual

dificulta los calculos colorimetricos y, por otra parte, hallar la luminancia partiendo de estas

coordenadas es, como dice F.R. Nicolas [9], un problema tremendamente complicado.

1.3.3 Diagramas de cromaticidad CIE

Ası las cosas, la CIE vio la necesidad de crear un nuevo sistema de representacion del color con

las siguientes propiedades:

1. Carencia de coordenadas cromaticas negativas

2. Las tres coordenadas cromaticas de la luz blanca deben ser iguales.

3. La luminosidad debe coincidir con una de las coordenadas y la cromaticidad debe ser

facilmente deducible de las otras dos.

Para conseguir las dos primeras condiciones solo habıa que encerrar la region limitada por el

locus espectral y la lınea de purpuras, en un triangulo T y transformarlo linealmente en el


triangulo unidad de modo que el blanco conservara las coordenadas iguales.

Para la tercera condicion habıa que elegir con acierto los vertices de T . Tomando como vertices

los puntos Cr, Cg, Cb de la Fig. 1.9, las nuevas coordenadas cromaticas (x, y, z) se obtuvieran

de las antiguas (r, g, b) mediante el cambio lineal:

x

y

z

=

0.490 0.310 0.200

0.177 0.813 0.011

0.000 0.010 0.990

r

g

b

Como los puntos Cr, Cg, Cb no corresponden a radiaciones visibles por el ojo humano, a las

nuevas coordenadas se les prefiere llamar valores triestımulos (X,Y,Z).

Desde 1931 existen tablas CIE de la funcion color psicofısico, discretizada en tramos de 5 nm.

de longitudes de onda. Estas primeras tablas descuidaron un poco el papel de la ponderacion

triestımulo en la determinacion del brillo y la proporcionalidad entre la distancia euclıdea de

dos puntos y la diferencia cromativa de los mismos. Por ejemplo,

Figure 1.9: Diagrama cromatico CIE XYZ 1931

En 1970, Foster y otros [10] propusieron convenios para estandarizar las ponderaciones tri-

estımulo y, con la mayor precision de los nuevos instrumentos, Stearn [11] pudo publicar en 1975

un conjunto mas completo de tablas discretizadas en tramos de 1 nm.

Desde 1976 existen tablas CIE de la funcion color psicofısico, discretizadas en tramos de 1 nm.

de longitud de onda, que intentan corregir la proporcionalidad entre la distancia euclıdea y la

diferencia cromatica de dos puntos cualesquiera.

1.3.4 Espacio de color CIELAB

En la actualidad la CIE propugna un espacio de color [12], aceptable universalmente que sea

mas visualmente uniforme. Se pretende con ello que un cambio de la misma cantidad en un

valor de color produzca un cambio casi de la misma importancia visual.


Figure 1.10: Diagrama cromatico CIE LUV 1976

Para ello se han introducido las nuevas coordenadas cromaticas (L?, a?, b?) donde L? mide la

luminosidad , a? mide la proporcion verde-rojo y b? mide la proporcion azul-amarillo. Respecto

de los valores triestımulo (X, Y, Z) de 1964 se expresan mediante las formulas de cambio

L? = 116f(Y/Yn) − 16

a? = 500 [f(X/Xn) − f(Y/Yn)]

b? = 200 [f(Y/Yn)− f(Z/Zn)]

donde (Xn, Yn, Zn) son los triestımulos del iluminante utilizado que, en nuestro caso, recogemos

en la siguiente tabla extraıda de [13]

Xn Yn Zn

A 11.1462 100 35.203

C 97.287 100.002 116.147

D65 94.809 100 107.307

F11 103.866 100 65.629

LED 93.78 100 97.95

y la funcion f : [−1, 1] → R se define como sigue:

f(t) =

t1

3 si t > (6/29)3

1

3t292

62 + 4

29en otro caso

Tanto f : [−1, 1] → R como su inversa f−1 : [−7.6491, 1] → R estan implementadas en [5] y sus

graficas son:La transformacion inversa es facil de deducir y tambien esta implementada en [5]:

X = Xnf−1(

1

116(L∗ + 16) + 1

500a∗

)

Y = Ynf−1(

1

116(L∗ + 16)

)

Z = Znf−1(

1

116(L∗ + 16)− 1

200b∗

)


Figure 1.11: f azul y f−1 roja

Los diagramas cromaticos dependen, ahora, directamente de la luminosidad L? y son del tipo

Figure 1.12: Diagrama cromatico CIELAB para L? = 25

Figure 1.13: Diagrama cromatico CIELAB para L? = 75

En este espacio de color CIELAB, para un punto de coordenadas (L?, a?, b?), se definen el chroma

C? y el argumento h?:

C? =√

(a?)2 + (b?)2 y h? = arctan

(

b?

a?

)


Para dos puntos (L?0, a?

0, b?

0) y (L?

1, a?

1, b?

1), se definen las diferencias de luminosidad ∆L?, de

chroma ∆C?, de argumento ∆h?, de tono ∆H? y de color ∆E? como se indica a continuacion:

∆L? = L?o − L?

1∆C? = C?

o − C?1

∆h? = h?o − h?

1

∆H? = 2√

C?o ·C?

1· sen

(

∆h?

2

)

∆E? =√

(∆L?)2 + (∆C?)2 + (∆H?)2

En [14] esta perfectamente aclarado su significado.

Capıtulo 2

Test de Farnsworth-Munsell

2.1 Introduccion

El test de Farnsworth-Munsell es uno de los mas empleados para medir la capacidad de discrimi-

nacion cromatica y la vision defectiva del color, en los seres humanos [15]. Se trata de un test

de ordenacion cromatica que en la actualidad consta de 93 muestras aunque conserva el nombre

tecnico FM Hue 100 porque en un primer momento constaba de 100 muestras. Las 93 muestras,

fichas de colores del espacio CIELAB, se presentan en cuatro cajas.

Figure 2.1: Test FM Hue 100

Las cuatro fichas de los extremos izquierdos y las cuatro de los extremos derechos estan ancladas,

ası que solo son moviles 21 muestras de las tres primeras cajas y 22 de la ultima que hacen un

total de 85. En la primera caja el color de las muestras varıa del rosa al amarillo, en la segunda,

17

18 CAPITULO 2. TEST DE FARNSWORTH-MUNSELL

del amarillo al azul verdoso, en la tercera del azul verdoso al azul y en la cuarta del azul al rosa,

pasando por el purpura.

El color de la ultima muestra de la 1a caja coincide con el de la 1a muestra de la 2a caja; el de

la ultima muestra de la 2a caja, con el de la 1a muestra de la 3a caja; el de la ultima muestra de

la 3a caja, con el de la 1a muestra de la 4a caja y el de la ultima muestra de la 4a caja, con el de

la 1a muestra de la 1a caja, cerrando, ası, la gama de colores. Podemos imaginar que tenemos

un conjunto ordenado de 85 fichas distribuidas a lo largo de una curva cerrada dentro de un

diagrama CIELAB.

Tambien existe un modelo reducido FM Hue 28 de 28 fichas, obtenido al suprimir de las 85

fichas moviles las dos ultimas de cada trio consecutivo segun el orden dado por el fabricante. Es

decir, de las 85 moviles se dejan las 28 fichas siguientes:

1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, 40, 43, 46, 49, 52, 55, 58, 61, 64, 67, 70, 73, 76, 79, 82

2.2 Objetivos

En primer lugar se me propuso evaluar el resultado de un test FM Hue 100 realizado por un

paciente deuteranomalo:

En el ANEXO2 archivamos las coordenadas Lab de las 85 fichas no ancladas del test FM,

obtenidas en el laboratorio mediante el colorımetro Minolta y el iluminante LED, en el orden

OF propuesto por el fabricante y en el orden OD propuesto por el paciente deuteranomalo.

Construimos ambos ciclos con el programa

XYZ=LabtoXYZ(OF,LED)

LF=[(a[0]+I*a[1])/sum(a) for a in XYZ]

CF=LF+[LF[0]]

V1=vercamino(CF)

lF=lon(CF)[0]

LD=[CF[a] for a in OD]

CD=LD+[LD[0]]

V2=vercamino(CD)

lD=lon(CD)[0]

print lD-lF

graphics_array([V2,V1])

que nos da las graficas de los ciclos del paciente y del fabricante con sus respectivas longitudes:

2.2. OBJETIVOS 19

Figure 2.2: Ciclos del deuteranomalo y del fabricante

Podemos tomar la diferencia de longitudes de ambos ciclos, 0.4121, como medida de la anomalıa

del paciente. Tambien observamos que dicha diferencia se debe, basicamente, a las producidas

en los tramos [0 : 30] y [46 : 66] cuestion que los clınicos sabran de seguro interpretar.

Mediante la funcion cicloycicloptimo(OF, LED) de [5] comprobamos que el ciclo del fabricante

no es el optimo.

Figure 2.3: Ciclo del fabricante y ciclo optimo

Al intercambiar las fichas 62 y 63 logramos rebajar la longitud del ciclo dol fabricante en 0.001190


unidades de longitud. Pensamos que la causa no es un error del fabricante sino una perturbacion

producida por el iluminante LED utilizado. Nos planteamos como siguiente objetivo testar los

test FM de la Escuela de Optica con diferentes iluminantes.

En el ANEXO3 archivamos las coordenadas Lab de las 28 fichas no ancladas del test FM Hue

28, en el orden propuesto por el fabricante, obtenidas en el laboratorio mediante el colorımetro

Minolta CM 700d y los iluminantes A, C, D65 y F11. Para los cuatro vemos que la ordenacion

propuesta por el fabricante es la optima y la diferencia de longitudes de los ciclos es siempre

nula.

Figure 2.4: Iluminante A

Figure 2.5: Iluminante C

2.2. OBJETIVOS 21

Figure 2.6: Iluminante D65

Figure 2.7: Iluminante F11

En el ANEXO4 archivamos las coordenadas Lab de las 85 fichas no ancladas de los test FM 100

Hue (2) y FM 100 Hue (3), en el orden propuesto por los fabricantes, obtenidas en el laboratorio

mediante el colorımetro Minolta y los iluminantes A, C, D65 y F11.


Para el iluminante A obtenemos:

Figure 2.8: La diferencia de longitud de ciclos es 0,00005341 para FM(2)

Figure 2.9: Coincidencia de ciclos para FM(3)

La diferencia de longitud de ciclos en FM(2) se debe a la trasposicion de las fichas 54 y 56.

FM(3) no es perturbado por el iluminante A.

2.2. OBJETIVOS 23

Para el iluminante C obtenemos:



Los test FM(2) y FM(3) presentan diferencias de longitud de ciclos de 0, 0002670 y 0, 0006256

unidades, respectivamente. Ambas se deben a la trasposicion de las fichas 62 y 63.


Para el iluminante D65 obtenemos:

Figure 2.12: Coincidencia de ciclos para FM(2)

Figure 2.13: Diferencia de longitud de ciclos 0,0002747 para FM(3)

El test FM(2) no es perturbado por el iluminante D65. La diferencia 0, 0002747 de longitud de

ciclos para FM(3) se debe a la trasposicion de las fichas 62 y 63.

2.3. CONCLUSIONES 25

Para el iluminante F11 obtenemos:



La diferencia 0, 006058 de longitud deciclos para FM(2) se debe a la trasposicion de los pares

de fichas (29,30) y (37,38). La diferencia 0, 006981 para FM(3) se debe a la trasposicion de los

pares de fichas (5,6) y (29,30) y (37,38).

2.3 Conclusiones

1. Me ha resultado especialmente satisfactorio descubrir que la evaluacion de un test FM,

tema que me propuso la Dra. Ana Isabel Sanchez Cano como Trabajo Fin de Grado, es

matematicamente equivalente a resolver el clasico problema del viajante (travel salesman

problem) del que yo habıa oido hablar mucho a mi padre. El me ha facilitado el acceso al

codigo de Sage desarrollado en la Universidad de Vigo para tratar el TSP:

Dado un conjunto de ciudades en un mapa se trata de hallar el camino cerrado mas corto

que pasa por todas ellas una y solo una vez que es lo que interesa a una empresa que haga


cualquier de sus viajantes de comercio y que, tecnicamente, se llama ciclo hamiltoniano

optimo.

Suponiendo que las ciudades son puntos cualesquiera del plano complejo, por ejemplo,

una lista L de 40 puntos aleatorios en el rectangulo [−20, 20]× [−20, 20], este problema se

puede tratar en Sage con el siguiente codigo:

L=listacomplejos(20,40)

V1=plse(L)

V2=cebolla(L)[1]

graphics_array([V1,V2],2,2)

Ejecutandolo obtenemos el siguiente grafico:

Figure 2.16: Nube de puntos y sucesivas envolturas convexas

Enlazando adecuadamente las sucesivas envolturas convexas mediante la funcion cicloham(L),

cuyo codigo se puede ver en [5], obtenemos el ciclo hamiltoniano optimo con origen en el

punto mas bajo entre los que estan mas a la izquierda:

Figure 2.17: Ciclo hamiltoniano optimo

2. Lo que pretende un test FM bien construido es formar un ciclo hamiltoniano optimo con

los puntos del plano complejo correspondientes a los valores triestımulo XY Z de las fichas.

2.3. CONCLUSIONES 27

A partir de la lista C de coordenadas Lab de dichas fichas, obtenida en el laboratorio bajo

un iluminante IL, calculamos con la funcion LabtoXY Z(C, IL), la lista T de los valores

triestımulos de las fichas. Finalmente, con la funcion XY ZtoP (T ) obtenemos la lista de

complejos L y su correspondiente cicloham(L).

3. Para facilitar la comparacion visual del ciclo hamiltoniano F ofrecido por el fabricante con

el ciclo hamiltoniano optimo cicloham(F ) obtenido con un iluminante IL, utilizamos la

funcion cicloyciclooptimo(F, IL) que consigue que ambos ciclos tengan el mismo origen.

4. El codigo de todas las funciones de Sage utilizadas en este trabajo y, es especial, las

mencionadas en el punto anterior puede verse en el foo.data ’teocolor.sage’ de [5].

5. La diferencia entre la longitud lD del ciclo propuesto por un paciente deuteranomalo y

la longitud lF del ciclo propuesto por el fabricante del test FM utilizado, nos parece una

manera novedosa y precisa de evaluar la anomalıa del paciente aunque podrıa ser mejor

normalizarla como sigue:

anomalıa = 100 ∗lD − lF

lD

En el caso del paciente cuyos datos estan en el ANEXO2 la anomalıa serıa del 40.11%.

6. Estimamos que no serıa difıcil utilizar el codigo desarrollado en este trabajo para poder

realizar test FM on line tomando como referencia no la longitud lF del ciclo del fabricante

sino la longitud del ciclo hamiltoniano optimo que se obtuviera teniendo en cuenta las

caracteristicas de color e iluminacion de la pantalla del ordenador que utilizara el paciente.

Bibliografıa

[1] X. Hubaut.

Theorie des couleurs

Departement de Mathematique. Universite Libre de Bruxelles

[2] J. Casas Pelaez.

Optica

Facultad de Ciencias. Universidad de Zaragoza. Zaragoza 1985.

[3] J. Aporta Alfonso.

Radiometrıa-Fotometrıa. Color y Fotografıa. Curso 2013-2014.

Escuela de Optica. Universidad de Zaragoza. Recurso de Internet.

[4] A.H. Munsell.

A Pigment Color System and Notation

The American Journal of Psychology, Vol. 23, No. 2, 1912

[5] C. Corbacho Suso

TFGCCS.sws

Recurso de Internet.2014

[6] J.C. Maxwell.

On the Theory of Compound Colours, and the Relations of the Colours of the Spectrum

Proceedings of the Royal Society of London, January, 1860.

[7] X.Fernandez Hermida

Apuntes Monograficos de Television

Dep. Teorıa de la Senal. Universidad de Vigo. 2014

[8] C. Corbacho Suso.

Neuroquımica Ocular

Escuela de Optica. Universidad de Santiago de Compostela. 2009.

29

30 BIBLIOGRAFIA

[9] F.R. Nicolas.

Colorimetrıa Unidad Didactica 101. Instituto Oficial de RadioTelevision Espanola. 1988.

[10] Foster, W. H., Jr., Gans, R., Stearns, E. I., and Stearns, R. E.,

Weights for Calculation of Tristimulus Values from Sixteen Reflectance Values,

Color Engineering, Vol 8, No. 3, 1970.

[11] E.I. Stearns,

Weights for Calculation of Tristimulus Values

Clemson Review of Industrial Management, Vol 14, No. 1, 1975.

[12] CIE 1976. Colorimetry Part 4: CIE 1976 L?a?b? Colour Space

CIE Central Bureau. Vienna. 2007.

[13] E. Gilabert Perez, F. Martınez Verdu.

Medida de la luz y el color. Tomo 2: Aplicaciones

Ed. Universidad Politecnica de Valencia. 2007

[14] H.G. Volz Industrial Color Testing. Fundamentals and Techniques

WILEY-VCH. Weinheim. 2001.

[15] M.J. Luque, M.D. de Fez, M.A. Diez.

Directrices para la administracion y puntuacion del test FM Hue 100 Ver y Oir. Julio-Agosto

2001.

[16] F. de Arriba, E. Corbacho, R. Vidal

Designing Hamiltonian Cycles

ACA2013. Malaga. 2013

[17] E. Corbacho, C. Somoza, R. Vidal

Ciclos hamiltonianos mınimos y caminos de Steiner

Resumen (pdf) y Worksheet (sws)

Sage-Python Universidad de Extrematura. Julio 2014.

Anexos

ANEXO1/1 A C D65 F11 LED

350 4.74 7.00 44.91 0.00 0.00

360 6.14 12.90 46.64 0.00 0.00

370 7.82 21.40 52.09 0.00 0.00

380 9.80 33.00 49.98 0.91 0.48

390 12.09 47.40 54.65 0.46 0.42

400 14.71 63.30 82.75 1.29 0.58

410 17.68 80.60 91.49 1.59 1.74

420 20.99 98.10 93.43 2.46 6.81

430 24.67 112.40 86.68 4.49 25.17

440 28.70 121.50 104.86 12.13 69.99

450 33.09 124.00 117.01 7.19 100.00

460 37.81 123.10 117.81 6.72 75.55

470 42.87 123.80 114.86 5.46 46.79

480 48.24 123.90 115.92 5.66 35.56

490 53.91 120.70 108.81 14.96 37.89

500 59.86 112.10 109.35 4.72 45.60

510 66.06 102.30 107.80 1.47 52.76

520 72.50 96.90 104.79 0.89 57.52

530 79.13 98.00 107.69 1.18 60.43

540 85.95 102.10 104.41 39.59 62.41

31

32 ANEXOS

ANEXO1/2 A C D65 F11 LED

550 92.91 105.20 104.05 32.61 63.98

560 100.00 105.30 100.00 2.83 64.98

570 107.18 102.30 96.33 1.67 65.30

580 114.44 97.80 95.79 11.28 64.46

590 121.73 93.20 88.69 12.73 62.10

600 129.04 89.70 90.01 7.33 57.99

610 136.35 88.40 89.60 55.27 52.22

620 143.62 88.10 87.70 13.18 45.36

630 150.84 88.00 83.29 12.26 37.99

640 157.98 87.80 83.70 2.07 30.97

650 165.03 88.20 80.03 3.58 24.86

660 171.96 87.90 80.21 2.48 19.46

670 178.77 86.30 82.28 1.54 14.99

680 185.43 84.00 78.28 1.46 11.25

690 191.93 80.20 69.72 2.00 8.60

700 198.26 76.30 71.61 1.35 6.55

710 204.41 72.40 74.35 5.58 5.20

720 210.36 68.30 61.60 0.57 3.93

730 216.12 64.40 69.89 0.23 3.09

740 221.67 61.50 75.09 0.24 2.69

750 227.00 59.20 63.59 0.20 2.04

760 232.12 58.10 46.42 0.32 1.90

770 237.01 58.20 66.81 0.16 1.75

780 241.68 59.10 63.38 0.09 1.70

790 246.12 59.10 64.30 0.00 0.00

800 250.33 59.10 59.45 0.00 0.00

ANEXOS 33

ANEXO2/1

OF OD

54.33 21.06 14.67 1

54.30 21.45 18.00 2

54.40 21.13 19.25 4

53.86 19.57 20.32 3

53.28 19.46 21.88 6

53.47 17.25 23.34 7

52.13 16.80 24.87 5

52.81 15.07 27.72 8

52.80 14.06 29.24 9

52.64 13.16 31.90 12

53.73 11.83 32.91 11

54.98 10.44 33.14 13

55.76 9.033 35.24 10

55.32 7.416 40.08 16

56.17 6.641 42.63 18

56.84 2.945 44.04 17

57.39 1.526 44.05 14

58.18 -2.113 45.49 15

58.89 -4.482 43.45 21

59.14 -6.126 42.53 19

57.75 -7.942 40.82 20

58.65 -9.834 41.86 22

58.59 -10.97 35.60 24

58.52 -12.92 34.63 23

58.71 -13.11 31.72 25

59.06 -14.50 31.53 27

59.67 -17.14 28.82 26

58.65 -17.36 25.37 29

59.67 -17.89 25.13 28

59.33 -18.33 22.80 30

59.28 -19.41 21.20 31

59.06 -22.48 20.91 33

59.67 -21.53 17.38 32

34 ANEXOS

ANEXO2/2

OF OD

58.45 -22.54 15.21 34

58.32 -24.69 14.79 35

57.18 -24.70 12.28 36

56.66 -23.77 9.143 37

56.58 -22.44 6.580 38

57.26 -23.93 6.174 38

55.86 -23.03 3.433 41

56.38 -23.66 1.921 40

56.89 -23.75 0.7141 42

56.11 -22.50 -0.5997 43

56.67 -21.56 -3.185 45

56.31 -21.13 -4.048 44

56.21 -21.23 -5.568 46

56.55 -21.53 -8.051 47

56.65 -19.34 -8.659 49

56.11 -18.65 -9.874 48

56.93 -17.68 -12.54 53

57.19 -15.51 -13.87 50

56.24 -14.70 -14.59 51

56.62 -13.02 -16.26 52

56.66 -11.76 -16.69 54

56.43 -8.461 -14.87 62

56.30 -6.992 -16.92 63

55.96 -5.001 -19.21 56

56.08 -3.857 -18.26 59

57.23 -1.862 -19.30 57

56.31 -0.6561 -20.58 60

55.13 1.102 -20.03 58

54.33 2.857 -20.33 55

55.24 4.505 -18.84 61

54.99 6.435 -20.04 64

55.42 7.198 -17.98 66

55.78 7.977 -17.64 65

ANEXOS 35

ANEXO2/3

OF OD

55.99 9.171 -16.23 67

56.44 10.42 -15.28 68

56.77 11.65 -14.43 69

55.87 13.05 -12.94 70

56.58 13.25 -11.75 71

57.01 15.02 -10.41 72

55.35 16.77 -8.450 74

55.97 18.68 -7.700 73

54.83 18.35 -5.994 76

54.97 20.55 -6.470 75

55.81 20.69 -4.251 77

55.32 21.97 -3.033 78

53.58 22.53 -1.941 79

54.10 23.20 0.4639 80

54.51 24.55 2.367 81

53.81 23.89 4.109 82

54.05 23.26 7.639 83

54.87 22.07 9.819 84

55.17 21.65 12.29 85

36 ANEXOS

ANEXO3

OFA OFC OFD65 OF11

56.54 23.65 19.18 53.21 21.96 13.16 53.07 22.96 12.94 54.34 24.07 15.03

56.6 24.28 25.03 53.09 20.5 19.63 53.01 21.51 19.42 54.89 23.28 23.12

53.97 20.77 28.49 50.53 19.14 22.67 50.38 20.36 22.38 51.58 21.01 24.55

54.72 19.31 34.8 51.3 16.06 29.66 51.24 17.12 29.46 53.41 16.97 33.59

57.09 15.26 37.53 53.94 12.35 33.26 53.85 13.53 33 55.97 11.8 37.07

57.37 9.62 44.9 54.46 8.04 40.82 54.33 9.38 40.5 56.54 4.36 44..48

58.68 4.2 42.44 56.43 1.47 39.65 56.43 2.38 39.54 59.71 -3.84 45.46

57.89 -0.74 39.11 56.28 -4.41 38.18 56.35 -3.74 38.11 58.9 -7.85 43.21

57.84 -4.8 28.71 57.11 -9.92 29.9 57.24 -9.58 29.89 58.23 -8.66 32.71

56.65 -12.13 22.57 56.57 -13.48 23.92 56.65 -13.18 23.92 58.44 -18.77 27.62

57.74 -13.84 17.01 58.31 -18.14 20.52 58.47 -18.11 20.56 58.4 -15.73 21.68

56.44 -18.42 10.52 57.66 -21.43 14.89 57.83 -21.62 14.99 57.41 -19.68 15.42

54.26 -22.05 4.57 55.89 -21.98 8.73 56.08 -22.44 8.92 56.34 -24.44 10.13

53.26 -21.76 -0.78 55.26 -22.39 4.24 55.46 -23.01 4.44 54.73 -21.77 4.24

53.27 -24.45 -5.13 55.73 -23.83 0.81 55.89 -24.41 0.94 54.62 -22.58 -0.15

53.85 -24.95 -10.03 56.68 -23.83 -3.54 56.83 -24.54 -3.41 55.17 -21.89 -5.2

53.87 -23.98 -14.03 56.88 -22.11 -7.53 57.02 -22.95 -7.39 55.14 -20.15 -9.68

53.87 -20.75 -17.16 56.77 -17.81 -11.34 56.89 -18.73 -11.2 55.02 -16.96 -13.73

55.05 -14.06 -16.52 57.32 -10.87 -12.54 57.39 -11.71 -12.39 55.97 -10.93 -14.71

54.76 -11.56 -19.15 56.9 -6.56 -15.94 56.93 -7.37 -15.81 55.65 -7.89 -18.28

54.6 -6.97 -20.65 56.42 -1.74 -18.22 56.41 -2.44 -18.15 55.16 -3.12 -20.7

54.47 -0.68 -18.86 55.63 3.58 -17.76 55.58 3.07 -17.73 54.6 2.47 -19.9

56.03 3.48 -14.42 56.5 6.83 -14.6 56.44 6.54 -14.58 55.93 6.25 -16.03

56.36 8.33 -10.27 56.09 11.01 -11.87 56.02 10.93 -11.86 56.02 10.94 -12.55

56.6 13.65 -4.84 55.52 14.88 -7.67 55.44 15.07 -7.7 55.95 15.8 -7.4

57.3 20.22 -0.69 55.52 18.11 -4.09 55.45 18.46 -4.15 56.69 21.29 -2.23

57.19 24.44 4.83 54.73 20.81 0.52 54.68 21.29 0.45 56.61 24.19 3.73

56.17 25.63 11 53.19 22.33 6.02 53.1 23.08 5.86 54.8 25.87 8.93

ANEXOS 37

ANEXO4/1

OFA2 OFC2 OFD652 OF112

57 24.03 19.59 53.61 22.35 13.43 53.47 23.37 13.21 54.78 24.43 15.36

56.95 25.31 21.91 53.36 22.93 15.59 53.26 23.93 15.41 55.18 25.09 18.69

57.04 24.36 24.1 53.4 22.72 17.64 53.25 23.89 17.38 54.72 24.97 19.88

56.92 24.28 24.87 53.42 20.48 19.46 53.34 21.48 19.26 55.23 23.27 22.98

55.94 23.92 26.73 52.3 21.3 20.62 52.19 22.38 20.41 54.03 23.17 23.62

55.75 22.14 27.85 52.25 19.6 21.96 52.15 20.67 21.76 54.16 20.88 25.3

54.52 20.73 28.31 51.09 19.08 22.51 50.94 20.29 22.22 52.17 20.9 24.45

55.16 20.59 31.21 51.72 17.63 25.73 51.64 18.69 25.54 53.81 18.65 29.52

54.88 19.54 32.37 51.48 17.03 26.87 51.37 18.16 26.64 53.28 17.62 30.1

55.05 19.3 34.7 51.63 16.0 29.57 51.57 17.06 29.38 53.78 16.91 33.56

55.34 17.51 35.86 51.99 15.4 30.58 51.86 16.65 30.29 53.54 15.68 33.39

56.76 16.45 35.73 53.56 13.47 31.23 53.48 14.6 30.99 55.52 13.4 34.9

57.25 15.24 37.58 54.11 12.34 33.31 54.02 13.52 33.04 56.14 11.81 37.14

56.51 13.68 42.09 53.31 11.73 37.48 53.19 13.03 37.17 54.73 11.24 40.17

57.29 12.93 42.99 54.11 11.31 38.18 53.98 12.64 37.87 55.87 9.36 41.3

57.56 9.7 44.47 54.66 8.13 40.38 54.53 9.46 40.06 56.7 4.56 43.99

57.59 8.27 45.34 54.77 7.03 41.34 54.64 8.37 41.02 56.81 2.77 44.88

58.33 6.76 45.62 55.77 3.72 42.56 55.74 4.76 42.38 58.91 -1.17 48.19

58.85 4.26 42.99 56.57 1.51 40.19 56.58 2.43 40.08 59.89 -3.85 46.07

58.62 1.73 41.34 56.59 -0.39 38.91 56.59 0.54 38.79 59.88 -6.4 44.69

57.42 0.07 39.54 55.64 -2.3 37.74 55.66 -1.47 37.64 58.71 -7.68 43.26

58.29 -0.74 40.26 56.64 -4.47 39.33 56.71 -3.78 39.26 59.33 -8.03 44.5

58.26 -2.93 33.07 57.08 -6.7 32.97 57.16 -6.15 32.93 59.15 -8.59 37.17

57.99 -3.9 31.16 57.16 -10.07 32.7 57.29 -9.69 32.65 58.12 -7.76 35.41

58.39 -4.92 28.91 57.66 -10.08 30.12 57.79 -9.73 30.11 58.8 -8.81 32.96

58.27 -6.38 27.98 57.75 -11.89 29.82 57.88 -11.58 29.8 58.62 -10.21 32.32

58.4 -11.24 26.12 58.11 -13.04 27.32 58.18 -12.63 27.28 60.15 -18.48 31.36

57.32 -12.0 22.64 57.23 -13.37 23.97 57.31 -13.07 23.96 59.11 -18.64 27.68

58.86 -10.93 20.79 59.03 -15.81 23.65 59.17 -15.69 23.67 59.36 -13.73 25.22

57.83 -13.23 18.77 58.15 -16.14 21.57 58.26 -15.96 21.54 58.48 -16.7 23.16

58.11 -14.02 16.9 58.7 -18.3 20.44 58.86 -18.28 20.49 58.78 -15.85 21.57

57.17 -17.81 16.47 57.88 -19.06 19.23 58.03 -19.11 19.34 59.41 -23.39 22.48

57.96 -17.03 12.9 59 -20.97 17.2 59.18 -21.09 17.29 58.85 -18.19 18

38 ANEXOS

ANEXO4/2


57.06 -18.75 10.42 58.31 -21.79 14.89 58.48 -21.99 14.98 58.04 -19.97 15.41

56.31 -21.49 9.88 57.7 -22.94 14.2 57.88 -23.22 14.34 58.14 -24.47 15.88

54.86 -22.44 7.36 56.43 -23.28 11.87 56.61 -23.63 12.02 56.67 -24.81 13.18

54.68 -22.12 3.1 56.48 -22.73 7.87 56.65 -23.16 8.03 56.32 -22.98 8.4

54.63 -22.04 1.74 56.57 -23.38 7.11 56.74 -23.76 7.23 55.81 -21.35 6.75

55 -22.62 1.58 56.88 -22.71 6.15 57.09 -23.32 6.39 57.1 -24.18 7.19

54.14 -22.51 -1.21 56.22 -23.0 3.95 56.43 -23.66 4.16 55.67 -22.38 3.91

54.69 -22.65 -2.7 57.03 -24.88 3.25 57.25 -25.62 3.47 55.81 -21.36 2.03

54.63 -24.93 -4.15 57.13 -25.18 1.95 57.31 -25.83 2.11 55.99 -23.54 0.92

53.77 -24.79 -5.4 56.27 -24.12 0.62 56.43 -24.71 0.75 55.14 -22.86 -0.38

54.6 -25.03 -7.99 57.25 -23.49 -1.82 57.38 -24.1 -1.73 55.95 -23.24 -3.07

53.53 -24.86 -8.65 56.22 -23.36 -2.46 56.36 -24.0 -2.36 54.91 -22.76 -3.77

54.47 -25.37 -10.51 57.36 -24.1 -3.93 57.52 -24.84 -3.8 55.81 -22.19 -5.67

54.46 -26.75 -12.85 57.58 -24.66 -5.8 57.71 -25.41 -5.72 55.87 -23.99 -7.6

54.62 -24.25 -12.64 57.52 -22.25 -6.27 57.66 -23.02 -6.16 56.08 -21.59 -7.86

54.21 -23.93 -14.17 57.22 -21.99 -7.7 57.36 -22.84 -7.55 55.47 -20.06 -9.87

54.74 -24.39 -16.49 57.9 -21.54 -9.76 58.01 -22.38 -9.67 56.05 -20.86 -11.99

55.24 -22.02 -17.38 58.26 -18.85 -11.33 58.38 -19.79 -11.19 56.47 -18.21 -13.76

54.58 -21.02 -17.65 57.54 -17.94 -11.76 57.65 -18.87 -11.62 55.74 -17.09 -14.22

54.98 -20.12 -19.25 57.95 -16.5 -13.55 58.06 -17.51 -13.4 56.12 -15.98 -16.24

54.69 -18.58 -19.46 57.55 -14.88 -14.25 57.66 -15.95 -14.06 55.81 -14.76 -16.96

55.47 -14.27 -17.04 57.78 -10.9 -13.01 57.86 -11.76 -12.85 56.4 -10.99 -15.25

54.84 -13.68 -19.06 57.22 -9.77 -15.08 57.3 -10.71 -14.91 55.74 -10.14 -17.61

54.65 -13.7 -20.97 57.13 -8.73 -16.76 57.15 -9.53 -16.69 55.49 -9.46 -19.43

55.18 -11.65 -19.82 57.36 -6.41 -16.58 57.39 -7.25 -16.45 56.08 -7.82 -19.01

56.3 -9.93 -20.22 58.38 -5.06 -17.01 58.38 -5.77 -16.94 57.01 -6.18 -19.44

55.03 -9.09 -21.28 57.08 -3.55 -18.42 57.08 -4.33 -18.33 55.73 -5.04 -21.03

55.06 -7.05 -21.09 56.92 -1.65 -18.65 56.9 -2.37 -18.57 55.63 -3.08 -21.18

53.82 -5.14 -20.4 55.47 -0.05 -18.35 55.44 -0.69 -18.29 54.25 -1.39 -20.77

54.99 -2.52 -18.49 56.28 1.84 -17.07 56.24 1.31 -17.03 55.24 0.73 -19.19

54.59 -0.74 -19.13 55.78 3.61 -18.01 55.72 3.09 -17.98 54.73 2.49 -20.19

55.68 0.79 -17.03 56.57 4.72 -16.42 56.52 4.31 -16.4 55.74 3.81 -18.27

55.88 2.27 -16.48 56.62 5.7 -16.14 56.56 5.31 -16.12 55.92 4.97 -17.75

ANEXOS 39

ANEXO4/3


56.33 3.49 -14.92 56.82 7.02 -15.11 56.76 6.71 -15.09 56.24 6.37 -16.59

56.78 5.26 -13.48 57.02 8.35 -14.11 56.95 8.12 -14.09 56.61 7.9 -15.32

57.47 6.98 -12.34 57.48 9.62 -13.3 57.41 9.46 -13.3 57.14 9.47 -14.37

56.82 8.41 -10.9 56.57 11.31 -12.53 56.5 11.22 -12.51 56.49 11.18 -13.28

57.79 9.56 -9.18 57.37 11.41 -10.83 57.29 11.39 -10.84 57.31 11.69 -11.4

58.09 11.5 -7.77 57.37 13.55 -10.16 57.29 13.59 -10.16 57.6 13.8 -10.34

57.27 13.65 -5.5 56.22 15.09 -8.35 56.14 15.27 -8.37 56.62 15.95 -8.16

57.95 15.99 -4.11 56.6 17.05 -7.47 56.51 17.31 -7.51 57.17 18.14 -6.97

56.81 16.79 -1.87 55.33 16.39 -4.99 55.24 16.75 -5.07 55.81 18.81 -4.4

57.8 20.25 -1.19 56.04 18.27 -4.6 55.98 18.6 -4.66 57.19 21.43 -2.8

58.19 19.76 0.91 56.3 18.37 -2.67 56.2 18.85 -2.78 57.04 21.43 -1.49

57.91 21.81 2.73 55.71 20.04 -1.31 55.61 20.6 -1.44 56.65 23.24 0.22

57.33 24.56 4.61 54.88 20.97 0.27 54.82 21.45 0.2 56.75 24.36 3.45

57.21 23.75 6.59 54.62 21.33 2.05 54.52 22.0 1.9 55.86 24.7 4.21

57.92 26.07 9.19 54.97 23.19 4.11 54.86 23.95 3.94 56.45 26.67 6.72

57.21 25.81 10.76 54.23 22.57 5.73 54.14 23.32 5.58 55.85 26.15 8.64

57.42 25.62 13.69 54.24 22.94 8.06 54.15 23.72 7.92 56.09 25.09 11.14

57.89 24.71 15.04 54.69 22.64 9.16 54.57 23.51 8.99 56.09 25.01 11.43

58.05 25.64 17.96 54.65 23.01 11.82 54.53 23.91 11.64 56.2 25.07 14.38

40 ANEXOS

ANEXO4/4


57.21 23.96 19.55 53.82 22.31 13.41 53.68 23.33 13.18 54.99 24.38 15.32

57.28 24.82 23.03 53.67 22.84 16.63 53.54 23.92 16.41 55.23 25.03 19.3

57.27 24.33 24.05 53.64 22.72 17.6 53.49 23.89 17.33 54.94 24.96 19.82

56.91 24.39 25.07 53.38 20.6 19.64 53.3 21.61 19.43 55.19 23.39 23.15

56.14 23.89 26.74 52.51 21.3 20.61 52.4 22.38 20.4 54.23 23.18 23.6

56.03 21.95 27.45 52.57 19.43 21.61 52.47 20.49 21.41 54.45 20.68 24.91

54.48 20.78 28.62 51.03 19.15 22.79 50.88 20.37 22.49 52.11 20.96 24.74

55.18 20.6 31.35 51.73 17.66 25.87 51.66 18.72 25.68 53.81 18.69 29.62

54.99 19.59 32.56 51.57 17.1 27.04 51.47 18.23 26.8 53.37 17.69 30.25

54.85 19.48 35.14 51.4 16.18 29.97 51.34 17.25 29.78 53.55 17.11 33.97

55.57 17.37 35.59 52.24 15.29 30.33 52.11 16.53 30.04 53.78 15.5 33.13

56.76 16.65 36.28 53.52 13.67 31.73 53.43 14.82 31.48 55.49 13.59 35.4

57.34 15.35 38.14 54.17 12.42 33.85 54.08 13.61 33.58 56.22 11.86 37.72

56.59 13.59 41.72 53.41 11.66 37.12 53.29 12.95 36.81 54.8 11.19 39.76

57.33 13.07 44.14 54.1 11.46 39.26 53.97 12.81 38.95 55.9 9.45 42.42

57.56 9.62 44.79 54.66 8.04 40.71 54.53 9.37 40.39 56.72 4.41 44.35

57.89 8.08 44.49 55.12 6.84 40.53 54.99 8.16 40.22 57.14 2.59 44.04

58.61 6.67 45.52 56.06 3.61 42.48 56.03 4.64 42.3 59.21 -1.28 48.13

59.01 4.19 42.93 56.74 1.41 40.15 56.75 2.33 40.04 60.06 -3.91 46.03

58.96 1.74 41.47 56.92 -0.38 39.02 56.92 0.55 38.9 60.23 -6.44 44.84

57.4 -0.08 39.32 55.64 -2.47 37.57 55.66 -1.65 37.47 58.7 -7.81 43.08

58.31 -0.81 40.01 56.68 -4.53 39.09 56.76 -3.85 39.02 59.36 -8.06 44.23

58.1 -3.01 33.32 56.93 -6.84 33.27 57.02 -6.29 33.23 58.99 -8.67 37.47

58.17 -3.82 31.71 57.32 -10.07 33.25 57.45 -9.68 33.2 58.3 -7.74 36

58.19 -4.92 28.91 57.47 -10.08 30.13 57.6 -9.74 30.12 58.59 -8.79 32.96

58.45 -6.22 28.36 57.9 -11.8 30.2 58.03 -11.47 30.17 58.78 -10.13 32.76

58.3 -11.23 25.91 58.02 -13.02 27.1 58.09 -12.61 27.06 60.06 -18.45 31.12

57.19 -12.16 22.57 57.12 -13.52 23.93 57.19 -13.22 23.92 58.99 -18.81 27.64

58.64 -11.09 21.3 58.8 -16.08 24.22 58.95 -15.95 24.24 59.15 -13.97 25.82

57.95 -13.34 18.72 58.29 -16.23 21.53 58.39 -16.05 21.5 58.62 -16.82 23.13

57.99 -13.97 16.95 58.57 -18.28 20.49 58.73 -18.25 20.54 58.65 -15.81 21.63

57.18 -17.78 16.49 57.88 -19.05 19.25 58.03 -19.1 19.36 59.42 -23.35 22.5

ANEXOS 41

ANEXO4/5


58.13 -17.1 12.77 59.18 -21.01 17.08 59.36 -21.14 17.17 59.02 -18.21 17.84

56.74 -18.9 10.46 58.01 -21.94 14.95 58.18 -22.14 15.04 57.73 -20.11 15.44

56.27 -21.46 9.83 57.66 -22.93 14.16 57.84 -23.22 14.3 58.09 -24.42 15.83

55.06 -22.35 7.32 56.62 -23.2 11.82 56.81 -23.55 11.97 56.86 -24.71 13.13

54.53 -22.21 4.49 56.19 -22.11 8.67 56.37 -22.57 8.87 56.63 -24.58 10.08

54.64 -22.07 1.71 56.59 -23.4 7.09 56.75 -23.79 7.2 55.81 -21.36 6.71

55.15 -22.63 1.55 57.04 -22.74 6.13 57.25 -23.36 6.37 57.24 -24.17 7.14

53.85 -22.49 -1.06 55.92 -23.04 4.11 56.13 -23.7 4.32 55.36 -22.38 4.07

54.56 -22.61 -2.7 56.9 -24.86 3.25 57.12 -25.59 3.47 55.67 -21.31 2.02

54.77 -24.91 -4.24 57.27 -25.13 1.86 57.45 -25.78 2.01 56.13 -23.5 0.81

53.94 -24.97 -5.55 56.47 -24.28 0.52 56.63 -24.88 0.65 55.31 -22.99 -0.51

54.47 -25.21 -7.92 57.14 -23.69 -1.7 57.27 -24.29 -1.61 55.83 -23.4 -2.94

54.16 -24.89 -8.72 56.85 -23.4 -2.52 56.99 -24.05 -2.41 55.54 -22.79 -3.83

54.09 -25.31 -10.34 56.97 -24.11 -3.77 57.12 -24.84 -3.64 55.41 -22.14 -5.49

54.3 -26.9 -12.82 57.43 -24.84 -5.73 57.56 -25.59 -5.65 55.71 -24.14 -7.53

54.59 -24.35 -12.91 57.52 -22.27 -6.51 57.65 -23.05 -6.39 56.05 -21.61 -8.13

54.12 -23.9 -14.11 57.12 -22.01 -7.63 57.27 -22.86 -7.48 55.37 -20.04 -9.79

54.89 -24.37 -16.58 58.05 -21.5 -9.84 58.16 -22.35 -9.76 56.19 -20.82 -12.1

55.31 -22.05 -17.38 58.33 -18.9 -11.32 58.45 -19.84 -11.18 56.54 -18.23 -13.74

54.42 -21.43 -17.97 57.44 -18.26 -11.97 57.55 -19.21 -11.83 55.6 -17.38 -14.49

54.9 -20.16 -19.3 57.89 -16.54 -13.59 57.99 -17.54 -13.43 56.04 -15.99 -16.28

55.08 -18.4 -19.45 57.92 -14.71 -14.28 58.03 -15.77 -14.09 56.19 -14.57 -16.98

55.15 -14.3 -16.97 57.46 -10.97 -12.92 57.54 -11.83 -12.76 56.08 -11.03 -15.17

55.09 -13.42 -18.77 57.44 -9.61 -14.85 57.51 -10.54 -14.69 55.98 -9.94 -17.34

54.69 -13.63 -20.95 57.16 -8.68 -16.75 57.18 -9.47 -16.68 55.53 -9.4 -19.42

54.94 -11.6 -19.69 57.11 -6.4 -16.47 57.14 -7.23 -16.34 55.84 -7.8 -18.87

56.27 -9.98 -20.38 58.36 -5.06 -17.15 58.36 -5.78 -17.08 56.98 -6.19 -19.59

55.4 -9.15 -21.49 57.46 -3.55 -18.61 57.46 -4.34 -18.51 56.1 -5.05 -21.24

54.44 -6.94 -20.53 56.25 -1.74 -18.12 56.24 -2.44 -18.05 54.99 -3.11 -20.58

53.81 -5.15 -20.5 55.47 -0.04 -18.44 55.44 -0.68 -18.39 54.25 -1.39 -20.86

54.99 -2.5 -18.55 56.28 1.88 -17.13 56.24 1.35 -17.1 55.24 0.76 -19.26

54.93 -0.71 -19.36 56.12 3.73 -18.25 56.06 3.21 -18.23 55.06 2.56 -20.45

55.51 0.79 -17.07 56.4 4.73 -16.45 56.35 4.31 -16.43 55.56 3.82 -18.31

42 ANEXOS

ANEXO4/6


56.05 2.25 -16.47 56.79 5.69 -16.13 56.73 5.3 -16.11 56.09 4.94 -17.73

56.35 3.52 -14.91 56.84 7.05 -15.1 56.78 6.74 -15.08 56.25 6.4 -16.59

56.99 5.28 -13.61 57.24 8.44 -14.25 57.17 8.2 -14.24 56.81 7.95 -15.48

57.53 6.94 -12.33 57.55 9.57 -13.28 57.48 9.41 -13.28 57.21 9.39 -14.35

56.75 8.45 -10.78 56.49 11.31 -12.42 56.42 11.22 -12.4 56.4 11.2 -13.17

57.63 9.53 -9.18 57.22 11.37 -10.81 57.15 11.35 -10.82 57.16 11.66 -11.37

58.26 11.47 -7.65 57.53 13.49 -10.05 57.46 13.54 -10.05 57.77 13.74 -10.2

56.89 13.71 -5.28 55.82 15.08 -8.14 55.73 15.27 -8.16 56.23 15.97 -7.92

57.79 15.93 -4.01 56.44 16.96 -7.36 56.35 17.23 -7.4 57.01 18.06 -6.85

56.86 16.82 -1.8 55.37 16.41 -4.92 55.28 16.77 -5.01 55.86 18.83 -4.32

57.58 20.34 -1.02 55.8 18.31 -4.45 55.74 18.65 -4.51 56.97 21.48 -2.62

58.27 19.87 0.92 56.36 18.51 -2.69 56.26 19.0 -2.81 57.11 21.57 -1.51

58.04 21.65 2.61 55.87 19.91 -1.4 55.77 20.46 -1.53 56.79 23.1 0.11

56.83 24.43 4.58 54.38 20.85 0.27 54.32 21.33 0.2 56.25 24.22 3.45

57.16 23.94 6.65 54.55 21.47 2.09 54.45 22.14 1.93 55.81 24.87 4.28

57.85 25.85 9.05 54.92 23.01 4.01 54.82 23.76 3.84 56.39 26.48 6.6

57.16 25.83 10.74 54.17 22.59 5.71 54.08 23.33 5.56 55.8 26.17 8.63

57.32 25.84 13.95 54.11 23.14 8.25 54.01 23.93 8.12 55.98 25.3 11.38

57.91 24.67 15.14 54.71 22.63 9.26 54.59 23.5 9.08 56.11 25.01 11.53

58.34 25.35 17.77 54.97 22.76 11.7 54.85 23.66 11.52 56.5 24.84 14.22

trabajo fin de gra - unizar.es · 2015-08-25 · como la descripcio´n correcta del color se escapa...

Documents