tránsito de avenidas 2

UNIVERSIDAD NACIONAL DE CAJAMARCA Facultad de Ingeniería

Escuela Académico Profesional de Ing. Hidráulica.

pág. 1 HIDROLOGIA GENERAL

UNIVERSIDAD NACIONAL DE CAJAMARCA

FACULTAD DE INGENIERÍA

ESCUELA ACADÉMICO PROFESIONAL DE INGENIERÍA HIDRÁULICA

DOCENTE: ING. VASQUEZ RAMIREZ Luis

ALUMNOS: ESPINO CALLA, Deyni Judith

GUERRERO MARTINEZ, Jeiner

MURGA LOPEZ, Wilma Edelvina.

SANCHEZ PEÑA, Adriana Lisseth.

TEMA : TRÁNSITO DE AVENIDAS EN PRESAS.

CURSO : HIDROLOGÍA GENERAL.

CICLO : VI

Cajamarca 21 de octubre del 2015




INDICE

I. INTRODUCCION ................................................................................................. 3

II. OBJETIVOS. ..................................................................................................... 4

III. MARCO TEORICO ........................................................................................... 5

A. PRESA. .............................................................................................................. 5

a. ELEMENTOS DEL SISTEMA PRESA – EMBALSE. ................................... 5

B. TRÁNSITO DE AVENIDAS. ............................................................................ 6

1. Definición: ...................................................................................................... 6

2. TRÁNSITO DE AVENIDAS EN VASOS. ..................................................... 7

2.1. Ecuación de continuidad ............................................................................ 10

2.2. Método de solución. .................................................................................. 11

2.2.1. Integración numérica: método de Runge – Kutta. ................................... 11

2.2.2. Método semigráfico. .............................................................................. 12

2.2.3. Método numérico ................................................................................... 16

3. Tránsito de avenidas en causes. ........................................................................ 17

3.2. Métodos de tránsito de avenidas en cause .................................................. 17

a. En el tránsito de flujo distribuido o tránsito hidráulico. ................................. 17

b. En el tránsito de flujo agrupado o tránsito hidrológico................................... 18

MÉTODO MUSKINGUM ............................................................................ 19

EJEMPLOS: ................................................................................................. 22

IV. CONCLUSIONES ........................................................................................... 24

V. BIBLIOGRAFIA ................................................................................................. 25




I. INTRODUCCION

Las presas son obras hidráulicas que se oponen al paso del agua en una corriente o cuerpo

de agua, mediante una cortina. Pueden tener diferentes fines, como almacenar, derivar

y/o para protección, además, el recurso hídrico puede ser aprovechado para diferentes

usos, como agrícola, pecuario, domestico, público urbano, generación de energía

eléctrica, etc., por lo que las presas son necesarias en el desarrollo de las poblaciones. Sin

embargo, en ocasiones son construidas aguas arriba de asentamientos humanos y áreas

productivas que podrían ser afectados ante una falla, o en otros casos se propician

asentamientos cerca de estas obras, en zonas que podrían ser catalogadas de alto riesgo.

Estas son algunas de las razones de la gran importancia de la seguridad de las presas.

Desde el punto de vista hidrológico, la seguridad radica en la capacidad de la presa para

controlar una avenida, entendiéndose avenida como el incremento de los gastos o niveles

del agua, por arriba de los valores medios, ocasionados regularmente por una tormenta.

El control entonces está en función básicamente de la capacidad del vaso y de la obra de

excedencias, y de estos dos aspectos el que puede ser más fácilmente manipulado en

cuanto a sus dimensiones es la obra de excedencias, por lo que el diseño de esta es

fundamental para la seguridad hidrológica de una presa.

Por lo tanto, para el diseño o revisión de las obras de excedencias se debe realizar el

análisis del tránsito o paso de una avenida máxima probable por el vaso, buscando las

dimensiones óptimas del vertedor, tales como la longitud y altura de la cresta a la corona,

de tal manera que se obtenga el mejor funcionamiento hidráulico y menor costo de la

obra. (Peñaloza y González .2014).




II. OBJETIVOS.

Describir el propósito y las aplicaciones del tránsito de avenidas.

Describir los conceptos de almacenamiento y descarga, y de onda de crecida.

Describir las principales categorías de flujo y su impacto en la elección del

método de cálculo de tránsito de avenidas.

Usar las curvas de gastos para determinar la relación nivel-caudal.

Explicar el enfoque de almacenamiento en cuña y prisma, específicamente en

el contexto de los métodos basados en Muskingum.

Identificar la diferencia entre los métodos hidráulico e hidrológico para

calcular el tránsito de avenidas, y saber cuándo usar uno u otro.




III. MARCO TEORICO

A. PRESA.

En ingeniería se denomina presa o represa a un muro grueso de piedra u otro material, como

hormigón; material suelto o granular, que se construye a través de un río, arroyo o canal para

almacenar el agua y elevar su nivel, con el fin de regular el caudal, para su aprovechamiento en

el riego de terrenos, en el abastecimiento de poblaciones o en la producción de energía mecánica.

a. ELEMENTOS DEL SISTEMA PRESA – EMBALSE.

El embalse: es el volumen de agua que queda retenido por la presa.

El vaso: es la parte del valle que, inundándose, contiene el agua embalsada.

La cerrada: es el punto concreto del terreno donde se construye la presa.

La presa: propiamente dicha, cuyas funciones básicas son, por un lado garantizar la

estabilidad de toda la construcción, soportando un empuje hidrostático del agua muy

fuerte, y por otro no permitir la filtración del agua hacia abajo.

A su vez, en la presa se distingue:

Los paramentos: el interior, que está en contacto con el agua, y el exterior.

La coronación: es la superficie que delimita la presa superiormente.

Los estribos: los laterales, que están en contacto con las paredes de la cerrada.

La cimentación: la superficie inferior de la presa, a través de la cual descarga su peso al

terreno.

El aliviadero o vertedero: es la estructura hidráulica por la que rebosa el agua cuando la

presa se llena.

Las tomas: son también estructuras hidráulicas pero de mucha menos entidad y son

utilizadas para extraer agua de la presa para un cierto uso, como puede ser abastecimiento

a una central hidroeléctrica o a una ciudad.




La descarga de fondo: permite mantener el denominado caudal ecológico aguas abajo de

la presa.

Las esclusas: que permiten la navegación "a través" de la presa.

La escalera de peces: que permite la migración de los peces.

En otros términos presa es una barrera artificial que se construye en algunos ríos para embalsarlos

y retener su caudal. Los motivos principales para construir presas son concentrar el agua del río

en un sitio determinado, lo que permite generar electricidad, regular el agua y dirigirla hacia

canales y sistemas de abastecimiento, aumentar la profundidad de los ríos para hacerlos

navegables, controlar el caudal de agua durante los periodos de inundaciones y sequía, y crear

pantanos para actividades recreativas. Muchas presas desempeñan varias de estas funciones.

B. TRÁNSITO DE AVENIDAS.

1. Definición:

El tránsito de avenidas es un procedimiento matemático para predecir el cambio en

magnitud, velocidad y forma de una onda de flujo en función del tiempo (Hidrograma de

Avenida), en uno o más puntos a lo largo de un curso de agua (Cauce o canal).

El curso de agua puede ser un río, una quebrada, un canal de riego o drenaje, etc. y el

hidrograma de avenida puede resultar del escurrimiento producto de la precipitación y/o

deshielo, descargas de un embalses etc.

En 1871, Barré de Saint Venant formuló la teoría básica para el análisis unidimensional

del flujo transitorio o no permanente, sin embargo para obtener soluciones factibles que

describan las características más importantes de la onda de flujo y su movimiento, es

necesario realizar simplificaciones de dichas ecuaciones. (Chavarri, E. 2008).




2. TRÁNSITO DE AVENIDAS EN VASOS.

(Díaz, S.2006).Un almacenamiento de agua superficial puede ser natural o construido por

el ser humano, como son las presas y bordos. Su característica básica es que puede

transformar una entrada de agua intensa y de corta duración, en un volumen de

almacenamiento. Esto puede ser utilizado para beneficiar a la sociedad en dos aspectos

centrales que se incluyen en la política de operación de un cuerpo de agua superficial:

1. El incremento de la disponibilidad del agua superficial, que puede durar desde

unas semanas, con la finalidad de cubrir las necesidades de los usuarios en el

estiaje siguiente, o si las condiciones topográficas, geológicas e hidrológicas lo

permiten, hasta de varios años, para cubrir los requerimientos durante periodos de

baja precipitación o incluso de sequía.

2. Protección contra inundaciones, donde se aprovecha el almacenamiento para

atenuar aquella parte del hidrograma de una avenida que supera durante un

intervalo temporal dado la capacidad hidráulica del cauce, protegiendo de esta

manera las zonas ribereñas aledañas, así como las de aguas abajo.

En general, los almacenamientos superficiales están constituidos por los elementos

siguientes:

Las corrientes de alimentación

El vaso donde se almacena el agua vertida

La zona de contracción u obstrucción donde se provoca el remanso

El cauce o canal de salida.

Cada uno de estos elementos se caracteriza como se indica a continuación:




1. Los cauces de entrada: se caracterizan a través de un hidrograma, el cual se

obtiene por medio de técnicas hidrológicas en las que se definen el gasto pico, así

como los tiempos de pico y de descarga. De manera implícita se incluyen las

características hidráulicas y geométricas del cauce.

2. La capacidad del vaso: depende de la topografía que forma su fondo, por lo tanto

su caracterización se obtiene a partir de una curva de capacidades o volúmenes –

áreas del espejo de agua – elevaciones. Generalmente se obtiene de mapas

topográficos o mapas trazados a partir de la información generada por trabajos de

batimetría: se estima el área por cada curva de nivel y la capacidad o volumen se

calcula a partir de las áreas adyacentes.

3. La zona de contracción o de obstrucción: es la que define en parte la capacidad

de almacenamiento. En los almacenamientos naturales depende de las

características topográficas e hidráulicas del canal o cauce de descarga del vaso;

para las presas y bordos, la zona de obstrucción corresponde a la cortina.

4. Los cauces o canales de salida: se caracterizan a través de hidrogramas, con la

diferencia que son el resultado de la interrelación de los diferentes elementos, así

como de variables tales como volúmenes de extracción para diferentes usos,

evaporación, lluvia sobre el área del espejo del agua, infiltración, etc.




Los elementos de un embalse se muestran en la ilustración siguiente:

Figura: Los elementos de un embalse

El análisis para obtener el resultado de interrelacionar los elementos de un

almacenamiento con los factores externos mencionados con anterioridad se denomina

tránsito de avenidas en vasos. Se trata de un procedimiento para determinar la variación

temporal del nivel del agua en un vaso conforme ocurren de manera simultánea las

diferentes variables involucradas. En este punto es necesario definir algunas de las cotas

de mayor interés en el funcionamiento de un almacenamiento.

Nivel de Agua Mínimo de operación, NAMin, es el límite inferior del volumen de

agua al que debe quedar el vaso para continuar llevando a cabo las actividades

relacionadas con su aprovechamiento

Nivel de Agua Máximo de Operación, NAMO, es el nivel donde se alcanza la

capacidad máxima del vaso.




Nivel de Aguas Máximo Extraordinario, NAME, corresponde al

superalmacenamiento y está asociado a los niveles del agua donde los vertedores

de excedencias están operando.

El volumen muerto corresponde al espacio dedicado a la captación de los

sedimentos que serán arrastrados por las corrientes y que finalmente se

depositarán en el lecho; conforme se incrementa este volumen, la vida útil del

vaso disminuye.

Figura: se distingue los NAME Y NAMO

2.1. Ecuación de continuidad

La ecuación básica para determinar la variación temporal del almacenamiento de un

vaso, que depende tanto de las entradas como de las salidas, es la de continuidad, la cual

se muestra a continuación:

𝑑𝑣

𝑑𝑡= 𝐸 − 𝑆

Donde: 𝑑𝑣

𝑑𝑡= la variación del almacenamiento V en el tiempo t.




E = I = es el gasto de entrada al vaso.

S = Q= es el gasto de salida del vaso. Incluye el gasto de salida por la obra

de excedencias y de toma.

Dicha expresión puede expresarse en diferencias finitas como:

𝑉𝑖+1 + 𝑉𝑖

𝛥𝑡=

𝐸𝑖+1 + 𝑉𝐸𝑖

2−

𝑆𝑖+1 + 𝑆𝑖

2… … … … … … … … … … … … 𝐸. 𝐶𝑜𝑛𝑡𝑖𝑛𝑢𝑖𝑑𝑎𝑑

Los subíndices i e i+1 denotan valores al inicio y al final del intervalo de tránsito Δt,

respectivamente. Generalmente se recomienda que Δt sea menor o igual a una décima

parte del tiempo pico del hidrograma de entrada.

𝛥𝑡 ≤ 0.1𝑇𝑝

2.2.Método de solución.

2.2.1. Integración numérica: método de Runge – Kutta.

(Chow et al, 1988).El método de Runge–Kutta es un método numérico para resolver la

ecuación diferencial (ecuación de continuidad).

Pueden adoptarse varios esquemas de diferente orden, dependiendo del esquema de

integración seleccionado. En este trabajo se describe el esquema de tercer orden; se divide

cada intervalo de tiempo en tres incrementos y calcula valores sucesivos de la elevación

de la superficie del agua y el caudal de salida del embalse para cada incremento. Como

primer paso se plantea el cambio del volumen como una función de la elevación del vaso

o carga hidráulica.

.dV = A (H) dH……………… (1)




Dónde: A (H) = es el área de la superficie del agua correspondiente a la elevación o

carga Hidráulica H.

La ecuación de continuidad entonces puede rescribirse como:

𝑑𝐻

𝑑𝑡=

𝐸(𝑡) − 𝑆(𝐻)

𝐴(𝐻)… … … … … … … . . (2)

Para un esquema de tercer orden, existen tres incrementos en cada intervalo de tiempo

Δt y se hacen tres aproximaciones sucesivas para el cambio en la carga hidráulica o

elevación dH, las cuales se muestran a continuación:

𝛥𝐻1 =𝐸(𝑡𝑖) − 𝑆(𝐻𝑖)

𝐴(𝐻𝑖)𝛥𝑡 … … … … … … … … … . . (3)

𝛥𝐻2 =𝐸 (𝑡𝑖 +

𝛥𝑡3 ) − 𝑆 (𝐻𝑖 +

𝛥𝐻1

3 )

𝐴 (𝐻𝑖 +𝛥𝐻1

3 )𝛥𝑡 … … … … … (4)

𝛥𝐻2 =𝐸 (𝑡𝑖 +

2𝛥𝑡3 ) − 𝑆 (𝐻𝑖 +

2𝛥𝐻1

3 )

𝐴 (𝐻𝑖 +2𝛥𝐻1

3 )𝛥𝑡 … … … … … (5)

El valor de 𝐻𝑖+1 está dado por:

𝐻𝑖+1 = 𝐻𝑖 + 𝛥𝐻…………………………………...........(6)

Con

𝛥𝐻 =𝛥𝐻1 + 3𝛥𝐻3

4… … … … … … … … … … … … … . . (7)

2.2.2. Método semigráfico.

El método semigráfico desarrollado por Hjelmfelt y Cassidy (1976) se ha estructurado a

través de dos etapas sucesivas.




a) Primera etapa

En esta etapa se procede a calcular y dibujar una figura auxiliar indispensable para usar

el método. La curva a obtener es (2V/Δt + O) contra O y para construirla se emplean las

curvas elevaciones-capacidades y elevaciones-gastos de salida de la forma siguiente:

1) Se selecciona el valor del incremento de tiempo Δt.

2) Se escoge una elevación y se obtiene el volumen V y el gasto de salida O.

Con los valores de V y O se calcula 2V/Δt + O.

3) En una gráfica se representa a 2V/Δt + O contra O.

4) El procedimiento se repite para otras elevaciones. La figura 7.4 indica el resultado

que se obtiene al graficar el número de parejas que se han seleccionado.

Figura: Curva 2V/Δt + O contra O.

Fuente: Principios y fundamentos de la hidrología superficial.

b) Segunda etapa

1. En esta etapa se aplica la secuencia que se menciona a continuación:




Para las condiciones iniciales, se calcula el miembro izquierdo de la ecuación

continuidad. Su resultado es igual a:

2𝑉𝑖+1

∆𝑡+ 𝑂𝑖+1 = 𝐾

Donde K es una constante

3. Con el valor obtenido para las condiciones iniciales, se entra a la curva 2V/Δt +

O contra O como se muestra en la figura anterior y se encuentra el valor de

Oi+1. El valor de Vi+1 se calcula con:

𝑉𝑖 + 1 = (𝐾 − 𝑂𝑖 + 1)∆𝑡

2

4. Se considera a i+1 como i, es decir Ii+1, Oi+1 y Vi+1 pasan a ser Ii, Oi y Vi en

el instante siguiente. Se repite el procedimiento hasta terminar todos los valores

de interés del hidrograma de entrada.

5. El método puede sistematizarse tal como aparece en la tabla. El significado de

cada una de las siete columnas se describe a continuación.

Figura: Secuencia del cálculo para el método semigrafico.

Fuente: Principios y fundamentos de la hidrología superficial.




Columna 1

t1 es igual al tiempo de inicio del tránsito, t2 es igual a t1+(i-1)Δt, para i =

2, 3, 4,..., n

Columna 2

Se anotan los valores de i desde 1 hasta el número de incrementos de tiempo que

interese.

Columna 3

Se escriben las ordenadas del hidrograma de entrada, correspondientes a los

tiempos ti, para i=1, 2, 3,..., n.

Columna 4

Se calcula la suma de Ii + Ii+1 y se apunta su valor en el renglón i. Las columnas

anteriores se llenan antes de comenzar con el método de tránsito. Como las

condiciones iniciales son conocidas, por tanto V1 y O1 son datos y en el primer

renglón de la columna 5 se escribe 2V1/Δt-O1.

Las columnas 5 a 7 se llenan por renglones. Se consideran conocidas las

variables con subíndice i y desconocidas aquellas con subíndice i+1.

Columna 5

Se anota el valor de 2V1/Δt-O1 del renglón 1. El valor del renglón j (para

j>1) se calcula al restar al valor de 2Vi+1/Δt+Oi+1 el de 2Oi+1 que aparece en

el renglón j-1.

Columna 6

Se suman los valores del renglón i de las columnas 4 y 5 y el resultado se escribe

en la columna 6 del mismo renglón. Con ello se conoce la magnitud de

2Vi+1/Δt+Oi+1 = K.

Columna 7




Con el valor de K se entra a la figura de 2V/Δt + O contra O. Se encuentra el

valor de Oi+1 del renglón i y se vuelve a empezar nuevamente el procedimiento.

2.2.3. Método numérico

El objetivo del método numérico es resolver la ecuación siguiente representada por:

𝑰𝒊 + 𝑰𝒊+𝟏 + (𝟐𝑽𝒊

∆𝒕− 𝑶𝒊) =

𝟐𝑽𝒊+𝟏

∆𝒕+ 𝑶𝒊+𝟏………….. Ecuación 1

Con el auxilio de un procedimiento del tipo predictor-corrector de la forma

siguiente:

1) Se conocen los valores Ii, Ii+1, Vi, Oi y Δt. Por consecuencia se puede

calcular el miembro izquierdo de la ecuación (1).

2) Se supone que Oi+1 = Oi

3) Con el valor de Oi+1 y la ecuación (1) se obtiene Vi+1

4) A partir de la curva elevaciones-gastos de salida, con el valor de Vi+1 se

encuentra la elevación Ei+1.

5) Con Ei+1 se entra a la curva elevaciones-gastos de salida y se calcula Oi+1

6) Se compara el valor de Oi+1, estimado en el paso 5, con el supuesto en el

paso 2:

a) si son aproximadamente iguales se ha encontrado el valor correcto de Oi+1 y

se va al paso 7;

b) si no son iguales, con el valor de Oi+1 calculado en el paso 5, se repite el

proceso desde el paso 3.

7). Si interesan las condiciones para el siguiente tiempo se considera que:

Ii+1 = Ii ; Oi+1 = Oi ; Vi+1 = Vi, y se va al paso 1.




8) El proceso termina cuando se ha realizado el cálculo para todos los intervalos

de tiempo.

3. Tránsito de avenidas en causes.

(Díaz, S.2006).El tránsito de avenidas en causes es el método por medio del cual se

determina la variación temporal y espacial de los tirantes en un tramo de acuse o canal

provocada por la ocurrencia de una avenida, la cual está caracterizada por un

hidrograma, es decir, el cambio temporal de los gastos(Aparicio 2003).

El tránsito de avenidas en causes puede ser útil para:

Determinar la capacidad máxima de conducción de un tramo particular.

Identificar las zonas susceptibles de inundación bajo diferentes

condiciones hidrológicas.

Diseñar las obras de protección y control tal como la elevación de bordos,

diques, espigones, taludes, etc.

3.2. Métodos de tránsito de avenidas en cause

Se pueden clasificar en:

a. En el tránsito de flujo distribuido o tránsito hidráulico: el flujo se

calcula también como una función de tiempo pero de manera simultánea

en varias secciones transversales a lo largo del curso de agua.

Los métodos hidráulicos se basan en la solución de las ecuaciones de

conservación de masa y cantidad de movimiento para escurrimiento no

permanente mostradas a continuación:




Conservación de masa:

𝑦𝜕𝑣

𝜕𝑥+ 𝑣

𝜕𝑦

𝜕𝑥+

𝜕𝑦

𝜕𝑡=

𝑞

𝐵… … … … … … … … … … … . . (8)

Conservación de cantidad de movimiento:

𝜕𝑣

𝜕𝑡+ 𝑣

𝜕𝑣

𝜕𝑥+ 𝑔

𝜕𝑦

𝜕𝑥= 𝑔(𝑆0 − 𝑆𝑓) … … … … … … … (9)

Donde:

y = Tirante

v = Velocidad

q = Gasto lateral

B = Ancho de la superficie libre

𝑺𝟎 = Pendiente del fondo

𝑺𝒇 =Pendiente de fricción, donde se emplea Manning:

𝑆𝑓 =𝑣2𝑛2

𝑅𝐻

43

… … … … … … … … … (10)

Donde:

𝑅𝐻 = Radio hidráulico

𝑛 = Coeficiente de rugosidad.

𝑥 = Coordenada espacial.

𝑡 = Tiempo.

b. En el tránsito de flujo agrupado o tránsito hidrológico: el flujo se

calcula como una función del tiempo para todo un tramo a lo largo de un

curso de agua.




MÉTODO MUSKINGUM

(Sánchez, F. 2013). El tránsito en un tramo de un cauce responde a la misma

idea básica que hemos visto para un estanque o depósito. Posiblemente el

método más utilizado en cálculos manuales por su sencillez sea el de

Muskingum.

Figura N°:……………..

El almacenamiento (S) en un tramo del cauce puede descomponerse en dos

partes: almacenamiento en prisma, que sería proporcional al caudal de salida (Q)

y almacenamiento en cuña, que sería función de la diferencia entre el caudal de

entrada y el de salida (I-Q), ya que cuanto mayor sea esa diferencia, más

pronunciada será la cuña.

𝑆𝑝𝑟𝑖𝑠𝑚𝑎 = 𝐾 ∗ 𝑄 … … … … (11)

𝑆𝑐𝑢ñ𝑎 = 𝑏 ∗ (𝐼 − 𝑄) … … … … (12)

Dónde:

𝑆 = almacenamiento en el tramo considerado de un cauce.

𝐼 = caudal de entrada en ese tramo.

𝑄 = caudal de salida de ese tramo.

K = constante para ese tramo de cauce referente al almacenamiento en prisma.




b = constante para ese tramo de cauce referente al almacenamiento en cuña.

Sumando las dos expresiones anteriores, se obtiene:

𝑆 = 𝑆𝑝𝑟𝑖𝑠𝑚𝑎 + 𝑆𝑐𝑢ñ𝑎

𝑺 = 𝐾𝑄 + 𝑏(𝐼 − 𝑄)

𝑺 = 𝑏𝐼 + (𝐾 − 𝑏)𝑄

𝑺 = 𝐾 [𝑏

𝐾𝐼 +

(𝐾 − 𝑏)

𝑘𝑄]

𝑺 = 𝐾 [𝑏

𝐾𝐼 + (1 −

𝑏

𝑘) ∗ 𝑄] … … … … … … … … (13)

Si denominamos 𝑋 a la relación 𝑏/𝐾 entre las dos constantes consideradas en las

ecuaciones 1 y 2, la expresión (13) resulta:

𝑺 = 𝑲[𝑿𝑰 + (𝑰 − 𝑿)𝑸] … … … … . (𝟏𝟒)

Dónde:

𝑋 = constante adimensional para ese tramo de cauce que asigna mayor o menor

importancia relativa al almacenamiento en cuña o en prisma.

Aplicamos (4) a dos tiempos consecutivos t1 y t2, separados por un intervalo ∆t:

𝑆1−𝑖 = 𝐾[𝑋𝐼1−𝑖 + (1 − 𝑋)𝑄1−𝑖] … … … … . (14𝑎)

𝑆𝑖 = 𝐾[𝑋𝐼𝑖 + (1 − 𝑋)𝑄𝑖] … … … … … … . (14𝑏)

Sustituimos las expresiones (4a) y (4b) en la ecuación de continuidad:

𝐼1−𝑖 + 𝐼𝑖

2−

𝑄1−𝑖 + 𝑄𝑖

2=

𝐾[𝑋𝐼𝑖 + (1 − 𝑋)𝑄𝑖] − 𝐾[𝑋𝐼1−𝑖 + (1 − 𝑋)𝑄1−𝑖]

∆𝑡… … … . . (14𝑐)

Y despejando Q2, resulta:




𝑄𝑖 = 𝐼𝑖

−𝐾𝑋 + 0.5∆𝑡

𝐾 − 𝐾𝑋 + 0.5∆𝑡+ 𝐼1−𝑖

𝐾𝑋 + 0.5∆𝑡

𝐾 − 𝐾𝑋 + 0.5∆𝑡+ 𝑄1−𝑖

𝐾 − 𝐾𝑋 − 0.5∆𝑡

𝐾 − 𝐾𝑋 + 0.5∆𝑡… … … … . (15)

Que para el cálculo del caudal de salida para el tiempo 𝑡𝑖 , se esquematiza así:

𝑸𝒊 = 𝑪𝟎𝑰𝒊 + 𝑪𝟏𝑰𝟏−𝒊 + 𝑪𝟐𝑸𝟏−𝒊 … … … … … … … … … … . . (𝟏𝟔)

Dónde:

𝐼1−𝑖 , 𝑄1−𝑖 =Caudales de entrada y salida al final del tiempo anterior.

𝐼𝑖 , 𝑄𝑖 = Caudales de entrada y salida tras este ∆tiempo.

𝐶0 =−𝐾𝑋 + 0.5∆𝑡

𝐾 − 𝐾𝑋 + 0.5∆𝑡… … … … . . (17𝑎)

𝐶1 =𝐾𝑋 + 0.5∆𝑡

𝐾 − 𝐾𝑋 + 0.5∆𝑡… … … … … (17𝑏)

𝐶2 =𝐾 − 𝐾𝑋 − 0.5∆𝑡

𝐾 − 𝐾𝑋 + 0.5∆𝑡… … . . … … . (17𝑐)

𝐾, 𝑋 = Constantes que dependen de cada tramo de cauce.

Con las ecuaciones 17a, 17b y 17c se multiplica por 2

2= 1, donde obtenemos:

𝐶0 =∆𝑡 − 2𝐾𝑋

2𝐾(1 − 𝑋) + ∆𝑡… … … (18𝑎)

𝐶1 =∆𝑡 + 2𝐾𝑋

2𝐾(1 − 𝑋) + ∆𝑡… … … (18𝑏)

𝐶2 =2𝐾(1 − 𝑋) − ∆𝑡

2𝐾(1 − 𝑋) + ∆𝑡… … … . (18𝑐)

Donde 𝐶1 + 𝐶2 + 𝐶3 = 1 𝑦 𝐾

3≤ ∆𝑡 ≤ 𝐾

𝐾 𝑦 𝑋 : Son determinados mediante calibración de hidrogramas observados de entrada

y salida de un tramo del río.




𝐾 =0.5∆𝑡[𝐼1−𝑖 + 𝐼𝑖 − (𝑄1−𝑖 + 𝑄𝑖)]

𝑋(𝐼𝑖 − 𝐼1−𝑖) + (1 − 𝑋)(𝑄𝑖 − 𝑄1−𝑖)… … … … (19)

EJEMPLOS:

EJEMPLO 1: Supongamos que se dispone de los registros de los hidrogramas de entrada

y salida de un tramo de río.

t (dias) I (m3/s) Q (m3/s) t (dias) I (m3/s) Q (m3/s)

0 59 42 11 252 481

1 93 70 12 203 371

2 129 76 13 158 252

3 205 142 14 130 196

4 210 183 15 105 161

5 234 185 16 90 143

6 325 213 17 80 112

7 554 293 18 68 95

8 627 397 19 59 83

9 526 487 20 59 75

10 432 533

De la ecuación (10) tenemos los valores del numerador y denominador, donde el

Numerador es 0.5∆𝑡[𝐼1−𝑖 + 𝐼𝑖 − (𝑄1−𝑖 + 𝑄𝑖)] y el Denominador es 𝑋(𝐼𝑖 − 𝐼1−𝑖) +

(1 − 𝑋)(𝑄𝑖 − 𝑄1−𝑖)

t (dias) I (m3/s) Q (m3/s) Numerado

r suma

numerador Denominado

r

suma denominado

r

0 59 42 0 0 0 0

1 93 70 20 20 29.2 29.2

2 129 76 38 58 12 41.2

3 205 142 58 116 68 109.2

4 210 183 45 161 33.8 143




5 234 185 38 199 6.4 149.4

6 325 213 80.5 279.5 40.6 190

7 554 293 186.5 466 109.8 299.8

8 627 397 245.5 711.5 97.8 397.6

9 526 487 134.5 846 51.8 449.4

10 432 533 -31 815 18 467.4

11 252 481 -165 650 -77.6 389.8

12 203 371 -198.5 451.5 -97.8 292

13 158 252 -131 320.5 -104.2 187.8

14 130 196 -80 240.5 -50.4 137.4

15 105 161 -61 179.5 -33 104.4

16 90 143 -54.5 125 -17.4 87

17 80 112 -42.5 82.5 -26.8 60.2

18 68 95 -29.5 53 -16 44.2

19 59 83 -25.5 27.5 -11.4 32.8

20 59 75 -20 7.5 -6.4 26.4

Se encuentra para ∆𝑡 = 1 día, los valores de X = 0.2 y K = 1.834, según la siguiente

figura:




Los valores de C0, C1 y C2 serán:

C0 0.068

C1 0.441

C2 0.492

IV. CONCLUSIONES

Se determinó el propósito y aplicación del tránsito de avenidas.

Se diferenció los métodos a utilizar en el tránsito de avenidas.

Se diferenció tránsito hidráulico de tránsito hidrológico.

Se definió el concepto de elementos básicos de vasos de almacenamiento.




V. BIBLIOGRAFIA

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Agraria la Molina. Lima 30p.

Chavarri Velarde, E. (2012). Hidrología Transito de Avenidas en Presas. Edit.

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Ramírez, A y Aldama A. (2005). Solución analítica aproximada de la ecuación de

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tránsito de avenidas 2

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