törtekés tizedes törtek

Uh! Jó sok mindent megtanultunk már a számokról!

És milyen sok rejtvényt

meg tudtunk fejteni!

Mennyi kulcs! Próbáljuk meg, hátha valamelyik nyitja az ajtót!

Jó, de melyik?

A REJTVÉNYT

A VELENCEI KERESKEDôK

TALÁLTÁK KI, AKIK

KÍNÁBÓL BEHOZTÁK

A DOMINÓT: AZ AJTÓT

CSAK A LEGNAGYOBB

KULCS NYITJA. A PONTOK

A VONALLAL EGYÜTT

JELENTENEK VALAMIT.

A dominó közepén lévô vonal biztos az osztást jelenti!

Igen, ezt tudom: felül egy szám,

középen egy vonal,alul is egy szám.

Nézd, itt egy ajtó! Mit jelenthet rajta ez a felirat?

Szerintem valami

olyasmi lehet a jelentése,

hogy nem lehet betörni,

csak a rejt−vény feltöré−sével tudunk

bemenni.

Ne törd be

erôszakkal!

Jó, de mivel törjem fel a rejtvényt?Az agyammal?

Próbáljuk ki mindet? De az olyan unalmas…

Várj csak,itt az asztal

közepén van

valami írás.

De hát ezek a kulcsok egyformák! És mindegyiken lóg egy dominó… Ez mit jelent?

Osszuk el a pon−tokat? Talán a felsô pontokat kell elosz−

tani az alsókkal…

Ez biztos a törtekkel vankapcsolatban, amitmár tavaly tanultunk!

Te zseni vagy!Tényleg a tör−tek segítenek

megtalálni a kulcsot!

5tk_hatodik kor.indd 87 2012.01.15. 20:03:33

88

réGeN és MOst

Ötödik osztályban már olvastál arról, hogy a babiloniak és az egyiptomiak már használtak törteket. A leggyakrabban előforduló törtekre külön jeleket alkalmaztak. Például Babilonban:

Egyiptomban:

A régi rómaiak pénzegysége a denarius volt. Ez a pénz eredetileg színezüstből készült, később azonban egyre több volt benne a bronz. Egy denarius tömege 3,8 gramm volt. A kereskedelemben a következő váltásokat alkalmazták:

1 denarius = 16 as

1 uncia = 112 as

Ismertek kisebb egységeket is, mint pl.

a semiuncia ( 124 ), sicilicus ( 1

48 ),

scriptulum ( 172 ) és egyebek.

Az egyik legismertebb és legtöbbet tanulmányozott papirusztekercs a Rhind-féle papirusz, amely felfedezőjéről, egy skót régiségkereskedőről kapta a nevét. Henry Rhind 1858-ban fedezte fel Luxorban. Az írást csak 70 évvel később tudták megfejteni. A papiruszokon óegyiptomi számtan- és mértanfeladatok vannak Kr. e. 1750-ből. Ezek között találhatók törtek is.

fél

fél

negyed

negyed

A görög matematikusok, amennyire csak lehetett, kerülték a törtek használatát. Ha mégis szükségük volt rá, akkor a közönséges törteket a számokhoz hasonlóan a görög ábécé betűivel írták le. Ekkor a betű a nevezőt jelentette.A természetes számoktól úgy külön-böztették meg őket, hogy a betű fölé két vonalkát írtak. Az ókori görögök csak olyan törteket használtak, ame-lyek számlálója 1, és ezekből állították elő a többit.

� � 4 � � 14

5tk_hatodik kor.indd 88 2012.01.15. 20:03:37

89

TÖRTEK ÉS TIZEDES TÖRTEK1. A TÖRTEK ÉRTELMEZÉSE,

ÖSSZEHASONLÍTÁSA

2. TÖRTEK ÉS TIZEDES TÖRTEK

3. TÖRTEK BÔVÍTÉSE ÉS EGYSZERÛSÍTÉSE

4. NEGATÍV TÖRTEK

• ANNA ÉS BENCE PRÓBÁRA TESZI TUDÁSÁT

A törtek a latin fractus („megtört”) szóból kapták a nevüket. Ez az elnevezés a XII. században kezdett elterjedni. Előtte a minuciae, rotto, rocto, roupt és egyebek voltak használatban.

5tk_hatodik kor.indd 89 2012.01.15. 20:03:41

90

Annát a tizenkettedik születésnapján szülein és az öccsén kívül mindkét nagymamája és nagypapája is felköszöntötte. Anyukája sütött egy tortát, amit 8 egyforma szeletre vágott fel.

GONDOLKOZZ! Fel tudnád-e vágni a tortát nyolc egyenlô részre?

Átismétled:— hogyan értelmezzük a törteket 1 egész egyenlô részekre osztásával,— hogyan értelmezzük a törteket két egész szám hányadosaként, — hogyan hasonlítjuk össze a törteket 1-gyel.

A tortát félbevágta, …aztán mindkét részt …végül minden részt még azaz kapott két félbevágta még egyszer, egyszer elfelezett, és megkapta egyenlô részt… így négy egyenlô részt kapott… a nyolc egyforma részt.

12 1

4 18

A törteket többféleképpen értelmezzük.

1. Tört értelmezése egy egész egyenlô részekre osztásával

Törtszámot kapunk, ha egy egészet egyenlô részekre osztunk, és ezekbôl a részekbôl veszünk valamennyit. A törteket úgy ábrázolhatjuk, mint egy ábra (kör, négyzet, háromszög, szakasz, …) részét. A teljes ábra 1 egészet ér. Az ábrát elôször annyi egyforma részre osztjuk, amennyi a tört nevezôje. Ezután annyi részt színezünk ki, amennyi a tört számlálója. Így rajzok segítségével ábrázoltuk az alábbi törteket:

egy a körlap kettô a háromszög három három a négyzet négy két egyforma részébôl egyforma részébôl egyforma részébôl De fordítva is eljárhatunk: egy ábrából megállapíthatjuk, hogy milyen törtet mutat. Elôször megszámláljuk, hogy az ábrát hány egyforma részre osztották. A részek száma megegyezik a tört nevezôjével. Azután megszámláljuk a beszínezett részeket – ez adja a számláló értékét. Így az ábrák beszínezett részei törteket jelenítenek meg.

34

23

12

A téglalap öt egyforma részébôl A háromszög négy egyforma Az ábra nyolc egyforma négy van beszínezve. részébôl három van kiszínezve. részébôl öt van beszínezve.

118

45

276 3

2 34

34

1 2 3 4 5

45

58

EMLÉKEZTETÔ

számláló tört-nevezô vonal

EMLÉKEZTETÔ

34

1. A törtek érteLMezése, összeHAsONLÍtÁsA

5tk_hatodik kor.indd 90 2012.01.15. 20:03:44

91

A törtek érteLMezése, összeHAsONLÍtÁsA

1. Törtszámot kapunk, ha az 1 egészet egyenlô részekre osztjuk, és az egyenlô részekbôl veszünk valamennyit.2. Törtszámot kapunk akkor is, ha több (0-tól különbözô) egészet osztunk egyenlô részekre.

Két (0-tól különbözô) természetes szám hányadosa leírható törtalakban. Ilyenkor az osztás jelét a törtvonal helyettesíti.

Ha a tört számlálója kisebb a nevezônél, akkor a tört értéke kisebb 1-nél.Ha a tört számlálója és nevezôje megegyezik, akkor a tört értéke 1.Ha a számláló nagyobb a nevezônél, akkor a tört értéke nagyobb 1-nél. (Az ilyen törteket vegyes szám alakban is leírhatjuk.)Ha a tört számlálója 0, akkor a tört értéke 0.

Törtek

Anna Bence Kata

DaniTamaraPéter

2. Tört értelmezése több egész egyenlô részekre osztásával

Augusztus végén Anna, Bence és négy barátjuk: Kata, Péter, Tamara, Dani egy kerti bulival búcsúztatta a szünidôt. Készítettek 5 csirkenyársat, sütöttek hat szelet oldalast és virslit. A kamrában találtak nyolc savanyú uborkát és három zsömlét. Bence nem szereti a csirkehúst, ezért az 5 csirkenyársat öten ették meg. A hat szelet sült oldalast hárman ették meg: Bence, Péter és Dani. Péter és Dani megette az összes savanyú uborkát. A három zsömlét Anna igazságosan osztotta szét hatuk között. Sajnos Dani otthon felejtette a túrós rétest, amit édesanyja készített, ezért abból egyikôjük sem kapott. Péter elégette a tûzön a virsliket, ezért azokat elosztani sem tudták, mert senki sem akarta megenni ôket.

GONDOLKOZZ! Hogyan osztották el hat egyenlô részre a 9 csokoládét, amit Kata hozott magával?

Az öt csirkenyársat elosztotta az öt jó barát egymás közt:

5 : 5 = 55

= 1; mindenki egy csirkenyársat kapott.

A hat szelet sült oldalast hárman ették meg:

6 : 3 = 63

= 2; mindenki 2 sült oldalast kapott.

A nyolc savanyú uborkát Péter és Dani fogyasztotta el:

8 : 2 = = 4; mindketten 4 uborkát ettek.

A három zsömlét hatuk között osztották el:

3 : 6 = 36

= 12 ; mindenki egy fél zsemlét kapott.

9 csokoládét kellett egyenlôen szétosztani 6 gyereknek:

9 : 6 = 96

= 1 12 ; mindenki egy táblánál több csokoládét kapott.

A 0 túrós rétesbôl 0 : 6 = 0 jutott mindenkinek.

FIGYELEM!A tört nevezôje nem lehet 0!

5tk_hatodik kor.indd 91 2012.01.15. 20:03:48

92

A törtek érteLMezése, összeHAsONLÍtÁsA

1. Mekkora részét színeztük be a négyzetnek? Megoldás: A négyzetet négy egyforma részre osztották. Egy rész a négyzet 1

4 -e. Három részt színeztek be, ez a négyzet 3

4 -e.

2. Zoltán gazdának 10 birkája van. Közülük 6 fehér, a többi fekete. A nyáj hányad része fehér, hányad része fekete?

Megoldás:

A nyáj 10 birkából áll, ezért egy birka a nyáj 110 -e.

6 fehér birka van, ezért a nyáj 610

része fehér.

Fekete birkából négy van, tehát a nyáj 410 része fekete.

3. Állapítsd meg, mely természetes számoknak felelnek meg a törtek: 33

55

84

71

205

3612;

33

55

84

71

205

3612;

33

55

84

71

205

3612;

33

55

84

71

205

3612;

33

55

84

71

205

3612 és

33

55

84

71

205

3612!

Megoldás:

= 1 = 1 = 2 = 4 = 3 = 7

4. Az 1; 6 és 11 számot írd le olyan törtalakban, melynek nevezôje 1, illetve 8!

Megoldás: Minden természetes szám leírható egy olyan törtalakban, amelyben a számláló a nevezô annyiszorosa, amekkora maga a természetes szám. A törtalak elôállításánál elôször leírjuk a nevezôt, aztán meghatározzuk a számlálót.

1 = 6 = 11 =

1 = 6 = · 6 = 11 = · 11 =

5. A ; és törteket hasonlítsd össze az 1-gyel!

Megoldás:

a számláló kisebb a nevezônél (2 < 5), ezért a tört értéke kisebb 1-nél; < 1

a számláló megegyezik a nevezôvel (3 = 3), ezért a tört értéke 1; = 1

a számláló nagyobb a nevezônél (7 > 4), ezért a tört értéke nagyobb 1-nél; > 1

6. A törtet írd vegyes szám alakban!

Megoldás:

= 25 : 7 = (21 + 4) : 7 = 21 : 7 + 4 : 7 = 3 + = 3

Rövidebben: 25 : 7 = 3 Végeredmény: = 3 4 maradék

MiNtAFeLAdAtOk

FIGYELEM!Ügyelj arra, hogy az egészet egyforma részekre oszd fel!

5tk_hatodik kor.indd 92 2012.01.15. 20:03:51