törtrendű diﬀúziós folyamatok és szimulációjukbevezetés modellek, a megoldandó egyenlet...

BevezetésModellek, a megoldandó egyenlet

Numerikus módszerekTovábbi problémák, kérdések

Törtrendű diffúziós folyamatok és szimulációjuk

Izsák FerencELTE TTK, Alkalmazott Analízis és Számításmatematikai Tanszék &

ELTE-MTA NumNet Kutatócsoport

munkatárs: Szekeres Béla János

Alkalmazott Analízis Szeminárium, BMEBudapest, 2016. október 27.

Izsák Ferenc ELTE TTK, Alkalmazott Analízis és Számításmatematikai Tanszék &Törtrendű diffúziós folyamatok és szimulációjuk



Diffúzió

A leggyakrabban megfigyelhető dinamika.




Diffúzió


Szinte minden (részletes) folytonos modellben szerepel:transzportfolyamatok, kémiai reakciók, folyadékdinamika,populációdinamika . . . .




Diffúzió



Hogy lehet kísérletileg ellenőrizni?




Diffúzió




Egyes részecskék τ idő alatti x(τ) elmozdulására:




Diffúzió





x(τ) normális eloszlású,




Diffúzió






E(|x(τ)|2) ∼ τ vagy E(|x(τ)|) ∼ √τ .




Diffúzió






E(|x(τ)|2) ∼ τ vagy E(|x(τ)|) ∼ √τ .

Tényleg ezt figyelték meg?




Törtrendű diffúzió - megfigyelések

Sok esetben nem - E (|x(τ)|2) ∼ τ s , ahol s > 1.






• Szuperdiffúzió.







Populációdinamika: ragadozók, táplálékkereső állatokmozgása.








• Kékcápák: az adott idő alatti elmozdulás sűrűségfüggvényepolinomiális – ∼ 1

x2.46 [Humphries et al., 2010].










Koncentrációváltozás plazma-halmazállapotban.











• Szubdiffúzió - E (|x(τ)|2) ∼ τ s , ahol 0 < s < 1:












Folyadékdinamika: vízkoncentráció változása a talajban.













Biokémia: fehérjekoncentráció egyes oldatokban.













Biokémia: fehérjekoncentráció egyes oldatokban.

A fenti arányosság tapasztalati; valójában gyakran nincs isértelme.




Aktuális téma

Különszámok: Computers and Mathematics with Applications(3x); Journal of King Saud University; Journal of OptimizationTheory and Applications; Journal of Computational Physics;Analysis: International mathematical journal of analysis and itsapplications; Advances in Pure Mathematics; Journal ofComputational and Applied Mathematics; Chaos, Solition &Fractals ...




Aktuális téma


Mathscinet: 2015-ben: "fractional" - 2651 cikk; "Runge–Kutta" - 271 cikk




Aktuális téma


Mathscinet: 2015-ben: "fractional" - 2651 cikk; "Runge–Kutta" - 271 cikk

2016-ban: "fractional" - 1773 cikk; "Runge–Kutta" - 126 cikk.




Szemléletes kép, fő kérdés




Szemléletes kép, fő kérdés

Hogyan szimuláljuk ezt a jelenséget?




Matematikai modellek

A szokásos megközelítés:

u(t, x) - az ismeretlen koncentráció t időpontban x-ben,







x ∈ Ω - a vizsgált térfogat, u(0, x) - adott kezdeti érték.








A koncentráció változására:

∂tu(t, x) = Au(t, x) + f (t, x),

ahol









∂tu(t, x) = Au(t, x) + f (t, x),

ahol

A egy megfelelő differenciáloperátor,









∂tu(t, x) = Au(t, x) + f (t, x),

ahol

A egy megfelelő differenciáloperátor,

f egy (esetleges) forrástagot jelent.




Matematikai modellek: de mi legyen A? - nemkorlátos eset

Ha Ω = Rn, akkor egységesen az −(−∆)

α

2 operátortjavasolják, ahol






α


• (−∆)α

2 f = F−1(IdαF f )






α


• (−∆)α

2 f = F−1(IdαF f )

Levezetés: folytonos sztochasztikus modellben azátmenetvalószínűségekre.






α


• (−∆)α

2 f = F−1(IdαF f )


• (−∆)α

2 f (x) = −C(n,α)2

∫

Rn

u(x+y)−2u(x)+u(x−y)|y|n+α

dy






α


• (−∆)α

2 f = F−1(IdαF f )


• (−∆)α

2 f (x) = −C(n,α)2

∫

Rn


dy

Levezetés: diszkrét sztochasztikus modellben (+határátmenet) az átmenetvalószínűségekre.






α


• (−∆)α

2 f = F−1(IdαF f )


• (−∆)α

2 f (x) = −C(n,α)2

∫

Rn


dy


(−∆)α

2 f (x) = C (n, α) PV∫

Rn

u(x)−u(y)|y|n+α

dy






α


• (−∆)α

2 f = F−1(IdαF f )


• (−∆)α

2 f (x) = −C(n,α)2

∫

Rn


dy


(−∆)α

2 f (x) = C (n, α) PV∫

Rn

u(x)−u(y)|y|n+α

dy

A fentiek mind ekvivalensek: Ten equivalent definitions ..,[Kwasnicki, ’15]




Mi legyen A? - korlátos egydimenziós eset

Ha Ω ⊂ R korlátos, akkor többféle javaslat (n = ⌈α⌉):






A Riemann–Liouville-derivált:

∂αRLf (x) = ∂n

(

1Γ(n − α)

∫ x

a

(x − τ)n−α−1f (τ) dτ

)

.

Szimmetrikus verzió:

1

2Γ(n − α)∂n

Z

x

a

(x − τ)n−α−1f (τ) dτ + (−1)nZ

b

x

(τ − x)n−α−1f (τ) dτ

!

.






A Riemann–Liouville-derivált:

∂αRLf (x) = ∂n

(

1Γ(n − α)

∫ x

a

(x − τ)n−α−1f (τ) dτ

)

.

Szimmetrikus verzió:

1

2Γ(n − α)∂n

Z

x

a

(x − τ)n−α−1f (τ) dτ + (−1)nZ

b

x

(τ − x)n−α−1f (τ) dτ

!

.

A Caputo-derivált:

∂αCf (x) =

1Γ(n − α)

∫ x

a

(x − τ)n−α−1∂nf (τ) dτ.





A Grünwald–Letnikov-derivált:

∂αGLf (x) = lim

h→0

1hα

∞∑

k=0

(−1)k(

α

k

)

f (x + (α − k)h).






∂αGLf (x) = lim

h→0

1hα

∞∑

k=0

(−1)k(

α

k

)

f (x + (α − k)h).

Dirichlet–Laplace α2

rendű hatványa: (−∆D)α

2 .






∂αGLf (x) = lim

h→0

1hα

∞∑

k=0

(−1)k(

α

k

)

f (x + (α − k)h).



2 .

(−∆D)−1 : L2(Ω) → L2(Ω) pozitív, kompakt, önadjungált,vagyis a fenti értelmes.






∂αGLf (x) = lim

h→0

1hα

∞∑

k=0

(−1)k(

α

k

)

f (x + (α − k)h).



2 .

(−∆D)−1 : L2(Ω) → L2(Ω) pozitív, kompakt, önadjungált,vagyis a fenti értelmes.

Ezek már nem ekvivalensek.




Mi legyen A? - korlátos többdimenziós eset

Ha Ω ⊂ Rn korlátos, akkor






Pl. 2 dimenzióban

∂αx u(t, x , y) + ∂α

y u(t, x , y)

ahol ∂αx valamelyik fenti definíció.






Pl. 2 dimenzióban

∂αx u(t, x , y) + ∂α

y u(t, x , y)



rendű hatványa: −(−∆D)α

2 .






Pl. 2 dimenzióban

∂αx u(t, x , y) + ∂α

y u(t, x , y)




2 .

Miért ez a sokféleség?






Pl. 2 dimenzióban

∂αx u(t, x , y) + ∂α

y u(t, x , y)




2 .

Miért ez a sokféleség?

Melyik modell a jó?




Matematikai modellek: közös tulajdonságok

Minden Ω ⊂ Rn bármelyik definíció alapján α 6= 2 esetén:






A nem lokális operátor - azaz (−∆)α

2 u(t, x) értéke nem adhatómeg tetszőleges W (x) egy környezet esetén u|W (x) alapján.








A fizikában használt kauzalitás elvének ez ellentmond - többennem fogadják el.









Van szép matematikai modell, ahol a diffúzióban használtx-beli fluxus nem csak az x-beli deriválttól függ:









Van szép matematikai modell, ahol a diffúzióban használtx-beli fluxus nem csak az x-beli deriválttól függ:

nem lokális kalkulus – Du, Gunzburger ’13, SIREV




Fő problémák

Peremfeltételek.




Fő problémák

Peremfeltételek.

• Egy térrészben adott u, de a törtrendű derivált kiszámításáhozkellene az értéke a térrészen kívül is.




Fő problémák

Peremfeltételek.


• Hogyan különböztessük meg / vegyük figyelembe a no-flux(homogén Neumann) peremfeltételt?




Fő problémák

Peremfeltételek.



A fenti probléma homogén Dirichlet- ésNeumann-peremfeltétel esetén 1 dimenzióban kezelhető.




Fő problémák

Peremfeltételek.



A fenti probléma homogén Dirichlet- ésNeumann-peremfeltétel esetén 1 dimenzióban kezelhető.

Hogy kell egy véges differencia vagy végeselem-közelítéstkonstruálni?




Véges differenciás (VD) közelítés

Hagyományos VD közelítés:

∂2xu(t, x) = lim

h→0

u(t, x − h) − 2u(t, x) + u(t, x + h)

h2.






∂2xu(t, x) = lim

h→0

u(t, x − h) − 2u(t, x) + u(t, x + h)

h2.

VD közelítés törtrendű deriváltra:

∂αx u(t, x)

= limh→0

· · · + c−2u(t, x − 2h) + c−1u(t, x − h) + c0u(t, x) + c1u(t, x + h) + . . .

hα

,






∂2xu(t, x) = lim

h→0

u(t, x − h) − 2u(t, x) + u(t, x + h)

h2.


∂αx u(t, x)

= limh→0


hα

,

ahol például






∂2xu(t, x) = lim

h→0

u(t, x − h) − 2u(t, x) + u(t, x + h)

h2.


∂αx u(t, x)

= limh→0


hα

,

ahol például

c2 = c−2 = −(

α3

)

, c1 = c−1 =(α

2)+(α

0)

2, c0 = −

(

α1

)

.




VD közelítések: 5 × 5-ös példák


∆ ≈1h2

−2 1 0 0 0

1 −2 1 0 0

0 1 −2 1 0

0 0 1 −2 1

0 0 0 1 −2




VD közelítések: 5 × 5-ös példák


∆ ≈1h2

−2 1 0 0 0

1 −2 1 0 0

0 1 −2 1 0

0 0 1 −2 1

0 0 0 1 −2

Törtrendű VD közelítés:

−(−∆)α

2 ≈1hα

−(α

1)

(α

2)+(α

0)2

−(α

3) (α

4) −(α

5)

(α

2)+(α

0)2

−(α

1)

(α

2)+(α

0)2

−(α

3) (α

4)

−(α

3)

(α

2)+(α

0)2

−(α

1)

(α

2)+(α

0)2

−(α

3)

(α

4) −(α

3)

(α

2)+(α

0)2

−(α

1)

(α

2)+(α

0)2

−(α

5) (α

4) −(α

3)

(α

2)+(α

0)2

−(α

1)




VD közelítések: részletesebben

Közelítések egyoldali törtrendű deriváltakra.






Nem szabad egyoldali közelítést alkalmazni. [Meerschaert &Tadjeran ’04]







Ezek átlagát kell venni - elsőrendű közelítés.








Több különböző eltolt VD súlyozott átlaga - magasabbrendűközelítés. [sok cikk]









Feltételek a közelítendő függvény simaságára, α értékére:

f ,F f , ∂2+α

RLf ,F(∂2+α

RLf ) ∈ L1(R), 1 < α < 2.









Feltételek a közelítendő függvény simaságára, α értékére:

f ,F f , ∂2+α

RLf ,F(∂2+α

RLf ) ∈ L1(R), 1 < α < 2.

Minden esetben teli mátrixok: sok idő a feltöltés, de van gyors(Nlog N) megoldó. [Wang & Basu ’12]




VD közelítések: egy alternatív ötlet

Mártixtranszformációs módszer (MTM):






Ha −∆D ≈ A, akkor legyen (−∆D)α

2 ≈ Aα

2 .







2 ≈ Aα

2 .

Ez jónak látszik. [Ilić, .. ’05, ’06 ]







2 ≈ Aα

2 .

Ez jónak látszik. [Ilić, .. ’05, ’06 ]

Ez valóban h szerint másodrendű konzisztenciát biztosít,időben implicit Euler módszerrel pedig O(δ) + O(h2)konvergenciát L2-normában minden α ∈ R

+ és max-normábanminden α ≤ 2 esetén. (Sz.B., I.F., benyújtva)




Végeselem-közelítés

Egydimenziós eset:• kidolgozott módszer a szimmetrikus RL -esetre [Ervin–Roop

2006].






2006].

Magasabb dimenzió - kapcsolódó elliptikus feladat:






2006].


• összetett eljárás [Nochetto .. 2015, 59 oldal]:






2006].



számolás dimenzionálisan kiterjesztett nemkorlátostartományon,






2006].




Dirichlet - (törtrendű) Neumann - operátor használata,






2006].





hibabecslés súlyozott Szoboljev-normában.






2006].





hibabecslés súlyozott Szoboljev-normában.

Hasonló verzió időfüggő advekció - diffúziós feladatra.




Végeselem módszer mátrixtranszformációs módszerrel

A differenciáloperátor helyett hatványozzuk a −∆-hoz tartozómátrixot:






• Előállítjuk a −∆ operátor diszkretizáltját: A (merevségi

mátrix).







mátrix).

• Kiszámítjuk az Aα mátrixot.







mátrix).


• Megoldjuk (például) az alábbit lépésenként:

un+1 − un = δ · (−Aα)un+1.







mátrix).


• Megoldjuk (például) az alábbit lépésenként:

un+1 − un = δ · (−Aα)un+1.

Tétel (I. F., Sz. B. 2016. (JCAM))

A fenti eljárás optimális konvergenciarendet ad L2-normában.




A lineáris rendszer megoldásához

Aα hatékony kiszámítása.






• beépített MATLAB-szubrutin: gyenge,







• A−αf közvetlen közelítése [Ilić et al. 2010],








• Egyéb pontos (de lassú) eljárások [Higham et al. 2011].









Igazából elég lenne A−αv vektorokat kiszámítani.









Igazából elég lenne A−αv vektorokat kiszámítani.

Nem lehetne a [Basu, Wang ’12] cikkben tárgyalt struktúráthasználni?




A peremfeltételekhez (ez a legfontosabb) és az elmélethez

Hogy kezeljük a homogén Neumann (no flux) peremfeltételtmagasabb dimenzióban?






Hogy kezeljük az inhomogén Dirichlet peremfeltételt magasabbdimenzióban?







Hogy kezeljük az inhomogén harmadfajú peremfeltételt?








Unicitás-egzisztenciatételek a fentiekhez?








Unicitás-egzisztenciatételek a fentiekhez?

Mennyire simít a törtrendű diffúzió (reakció-diffúzió egyenletetvagy Burgers-egyenletet)?




Köszönet a kutatás támogatásáért:





• MTA Bolyai Ösztöndíj

• MTA-ELTE Numerikus Analízis és Nagy Hálózatok (NumNet)Kutatócsoport

• OTKA 112154.





• MTA Bolyai Ösztöndíj

• MTA-ELTE Numerikus Analízis és Nagy Hálózatok (NumNet)Kutatócsoport

• OTKA 112154.

Köszönöm a figyelmet!


törtrendű diﬀúziós folyamatok és szimulációjukbevezetés modellek, a megoldandó egyenlet...

Documents