truy cập website: hoc360.net để tải tài liệu đề thi miễn phí filem là điểm tùy...

Truy cập website: hoc360.net để tải tài liệu đề thi miễn phí

221

K

L

I

Q

E

NM

AB

D

S

C

Vậy tứ giác MNCB là hình thang.

c). Có I MB NC , I MB (SAB)

I (SAB) (SCD)I NC (SCD)

. Hay I thuộc giao tuyến

Sx cố định.

d). Có 1 2

AK AC AK AO3 3

, trong ABD có AO là đường trung tuyến và

2AK AO

3 K là trọng tâm của ABD .

Trong SJD có JG JK 1

GK SDJS JD 3

, mà SD (SCD) GK (SCD) .

Câu 10: Cho hình chóp S.ABCD, với ABCD là hình thang đáy lớn AB = 2CD.

Gọi M trên cạnh SA thỏa AM 2SM , N là trung điểm SB, Q trên cạnh BC thỏa

QC 2QB .

a). Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng ABCD và MNQ .

b). Tìm giao điểm I của AD và mặt phẳng MNQ . Suy ra thiết diện tạo bởi

mp MNQ với hình chóp S.ABCD. Tính tỉ số IA

ID.

c). Gọi d là giao tuyến của SAD và SBC . Chứng minh rằng d , MI, NQ

đồng quy tại điểm K. Tính KM

KI.

LỜI GIẢI

a). Có

Q (MNQ)

Q BC (ABCD)

Q (MNQ) (ABCD) (1).

Trong mp(SAB) gọi E AB MN ,

E MN (MNQ)E (MNQ) (ABCD)

E AB (ABCD)

(2)

Từ (1) và (2) suy ra

(MNQ) (ABCD) QE . Suy ra điểm I cần

tìm là giao điểm của QE và AD.

Từ đó thiết diện cần tìm là tứ giác MNQI.


222

L

x

P

H

K

I

J

N

E

M

C

A D

B

S

Câu 11: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M trung

điểm của SC và N là trọng tâm của tam giác ABC.

a). Tìm giao tuyến của (AMN) và (SAB).

b). Tìm giao điểm I của (AMN) và SD.

c). Gọi K là trung điểm của AB và H là điểm đối xứng của S qua K. Chứng minh 3

điểm M, N, H thẳng hàng.

LỜI GIẢI

a). Có

A (AMN) (SAB)

ME SB (AMN) (SAB) Ax ME SB

ME (AMN); SB (SAB)

.

b). Gọi O AC BD . Suy ra (SAC) (SBD) SO

Trong mp(SAC) gọi J AM SO .

Có J AM (AMN)

J SO (SBD)

J (AMN) (SBD) (1).

Ngoài ra N (AMN) (SBD) (2)

Từ (1) và (2) suy ra (AMN) (SBD) NJ . Suy ra

điểm I cần tìm là giao điểm của NJ và SD.

Có SK và NM cùng nằm trong mặt phẳng (SCK).

Gọi L SK MN ,ta cần chứng minh L H

Dựng MP SK,P CK NMP ~ NLK g.g

MP NP 1LK 2MP

LK NK 2 (3).

Ngoài ra MP là đường trung bình của SCK SK 2MP (4).

Từ (3) và (4) suy ra SK KL , có nghĩa L là điểm đối xứng của S qua K

L H

Câu 12: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang AD là đáy lớn và

AD 2BC . M là điểm tùy ý trên cạnh BC, mặt phẳng qua M và song song

với CD và SC, mp cắt AD, SA, SB lần lượt tại N, P, Q.

a). Chứng minh NQ (SCD) và NP SD .

b). Gọi K, H lần lượt là trung điểm của SD và AD. Chứng minh (CHK) (SAB)

c). Gọi G là trọng tâm của SCD . Tìm I BG (SAC) . Tính IG

IB.

LỜI GIẢI


223

I

L

F

G

H

K

Q

J

N

P

E

CB

A D

S

M

Hình 2

R

L

F

CB

A D

Hình 3

T

I

G

L

S

BF

Có

MN ABCDMN CD

CD ;CD ABCD

Trong mp(ABCD) gọi E MN AC .

Có

EP SACEP SC

SC ;S C SAC

.

Trong mp(ABCD) gọi

J MN AB PJ SAB Q PJ SB .

Vì

CD, SCSCD

CD,SC SCD

,

mà NQ NQ SCD .

Trong ACD có AN AE

EN CDAD AC

(1)

Trong SAC có AP AE

PE SCAS AC

(2)

Từ (1) và (2) suy ra AN AP

NP SDAD AS

(Định lý đảo Talét).

b). Có

1BC AD

2 BC AH1

AH AD2

tứ giác ABCH là hình bình hành CH AB .

Có

AB CH;SA HK

AB,SA (SAB);CH,HK (CHK) (SAB) (CHK)

AB SA A

c). Gọi F trung điểm của CD. Trong mp(ABCD) gọi

L BF AC . Từ đó suy ra SBF SAC SL .

Trong mp(SBF) gọi I BG SL ,

có I BG

I BG (SAC)I SL (SAC)

.

Đáy ABCD được vẽ lại ở hình 2. Dựng FR AD,R AC , suy ra FR là đường

trung bình của 1

ACD RF AD2

tứ giác BCFR là hình bình hành nên L

trung điểm của BF.

Tam giác SBF được vẽ lại ở hình 3. Dựng TG BF


224

y

x

I

P

N

E

M

A B

D

S

C

TG SG 2

LF SF 3.

Có IG GT IG GT 2

IGT ~ IBL g.gIB BL IB LF 3

Kết luận IG 2

IB 3 .

Câu 13: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang, đáy lớn AB, M

là trung điểm cạnh SB.

a). Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng SAD và SBC .

b). Tìm giao điểm N của SC và mặt phẳng ADM .

c). Xác định thiết diện của hình chóp S.ABCD khi cắt bởi mặt phẳng CDM .

d). Gọi I là giao điểm của AM và DN. Chứng minh SI AB CD .

LỜI GIẢI

a). Có S (SAD) (SBC) (1).

Trong mp(ABCD) gọi E AD BC , có

E AD (SAD)

E (SAD) (SBC)E BC (SBC)

(2).

Từ (1) và (2) suy ra (SAD) (SBC) SE .

b). Có ME (ADM) (SBC)

Trong mp(SBC) gọi N ME SC , có

N SC

N SC (ADM)N EM (ADM)

.

c) Có

M (MCD) (SAB)

CD AB (MCD) (SAB) Mx CD AB

CD (MCD); AB (SAB)

Trong mp(SAB) gọi P Mx SA , có P SA

P SA (CDM)P Mx (CDM)

.

Từ đó suy ra thiết diện cần tìm là hình thang CDPM, do CD PM AB .

d). Có

S (S CD) (SAB)

CD AB (S CD) (SAB) Sy CD AB

CD (S CD); AB (SAB)


225

x

H

E

J

I

PM

A B

D

S

C

Có I AM (SAB)

I AM DN I (SCD) (SAB) I SyI DN (SCD)

.

Do đó SI AB CD .

Câu 14: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang

AB CD,AB 2CD . Gọi M là trung điểm SB và P là điểm thuộc cạnh SA thỏa

AP 2SP .

a). Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng SBA và SCD .

b). Tìm giao điểm I của MA và mặt phẳng SCD .

c). Tìm giao điểm E của BC và mặt phẳng PMD . Tính EC

EB.

LỜI GIẢI

a). Có

S (S CD) (SAB)

CD AB (S CD) (SAB) Sx CD AB

CD (S CD); AB (SAB)

b). Trong mp(SAB) gọi I Sx AM ,

có I AM

I AM (SCD)I Sx (SCD)

.

c). Có D (PMD) (ABCD) (1).

Trong mp(SAB) gọi J AB PM ,

cóJ AB (ABCD)

J (ABCD) (PMD)J PM (PMD)

(2).

Từ (1) và (2) suy ra (ABCD) (PMD) DJ .

Trong mp(ABCD) gọi E DJ BC , có E BC

E BC (PMD)E DJ (PMD)

.

Trong mp(SAB) dựng BH SA,H PJ nên có

MBH MSP g.c.g BH PS

, mà 1 1

PS AP BH AP2 2

BH là đường

trung bình của APJ B trung điểm của AJ.

Có EC CD CD 1ECD ~ EBJ g.g

EB BJ AB 2 . Vậy

EC 1

EB 2 .

Câu 15: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M, N, P lần

lượt là trung điểm của SA, BC, CD.

a). Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SAC) và (SBD), (SAD) và (SBC).


226

b). Tìm giao điểm T của MP với mp(SBD) và tính tỉ số TM

TP.

c). Tìm giao điểm Q của SD với mp(MNP) và tính tỉ số QS

QD.

d). Tìm thiết diện của mp(MNP) với hình chóp S.BCD. Thiết diện này là hình gì?

LỜI GIẢI

a). Gọi O AC BD , ta có O và S là hai

điểm chung của hai mặt phẳng (SAC) và

(SBD) SAC SBD SO .

Có S là điểm chung của hai mặt phẳng

(SAD) và (SBC), và có AD // BC, nên giao

tuyến của chúng là Sx, với Sx // AD // BC.

b). Trong mp(ABCD) gọi E AP BD .

Ta có S và E là hai điểm chung của hai

mặt phẳng (SBD) và (SAP).

Vậy SBD SAP SE .

Trong mp(SAP), gọi: T MP SE

T MP SBD .

Kẻ EG // MP ( G SA ), có:

AE AG GE 2 2

GE MPAP AM MP 3 3

và SM ST MT 3

SG SE GE 4

3MT GE

4 .

Từ đó suy ra TM

2TP

.

c). Có T là điểm chung của hai mặt phẳng (MNP) và (SBD).

Suy ra giao tuyến của hai mặt phẳng (MNP) và (SBD) qua T và song song với

BD và song song với NP. Giao tuyến này cắt SB , SD lần lượt tại L và Q . Suy ra L

là giao điểm của (MNP) với SB và Q là giao điểm của (MNP) với SD.

Trong SBD có LQ // BD nên có ST SQ 3

SE SD 4 (do chứng minh câu b).

Kết luận QS

3QD

.

d). Từ cách tìm giao điểm ở câu b, suy ra thiết diện của hình chóp S.ABCD bị cắt

bởi mp(MNP) cần tìm là ngũ giác MLNPQ .

y

x

L

Q

T

EO P

N

M

C

A D

B

S


227

Câu 16: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Gọi E là

trung điểm của SA.

a) Tìm giao tuyến d của hai mặt phẳng (SAB) và (SCD).

b) SD cắt (BCE) tại F. Tứ giác BCEF là hình gì? Chứng minh ba đường thẳng

d, BE, CF đồng qui.

c) Gọi M là điểm đối xứng của D qua E, H và K lần lượt là trung điểm của BM

và AB. Gọi N là giao điểm của CD với (EHK). Tính tỉ số CD

CN.

LỜI GIẢI

a) Ta có:

S SAB SCD

AB // CD

AB SAB ,CD SCD

SAB SCD Sx d d // AB // CD

b) Vì có:

EF BCE SAD

BC // AD

BC BCE ,AD SAD

EF // BC // AD .

Từ đó tứ giác BCEF là hình thang.

Gọi T BE CF .

Vì

T BE SAB

T CF SCD

T SAB SCD T Sx .

Kết luận ba đường thẳng d, BE, CF đồng qui tại điểm T.

c) Ta có ADSM là hình bình hành

AM // SD .

Mà KH // AM KH // SD .

Trong mp(SAB) gọi I d KE ,

I d SCD

I HKE SCDI KE HKE

.

Suy ra giao tuyến của hai mặt phẳng (HKE) và (SCD) đi qua I và song song với SD, giao tuyến này cắt CD tại điểm N. Kết luận N là giao điểm của CD và (HKE) .

Ta có tứ giác BKIS là hình bình hành SI BK

Và tứ giác DNIS là hình bình hành DN IS .

y

x

N

I

K

H

M

FE

C

A D

B

S


228

Vậy 1 1

DN BK AB CD2 2

. Suy ra CD 2

CN 3 .

Câu 17: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi I là trung điểm của SA và J, K là các điểm trên SB , SC và thỏa JS = 2JB , KS = 2KC .

a). Tìm giao tuyến d của hai mặt phẳng (SAB) và (SCD) , giao tuyến d' của (IJK) và (ACD) . b). Tìm giao điểm M của SD với (IJK) . Chứng minh M trung điểm của SD.

c). Gọi E là giao điểm của IJ với KM, chứng minh E thuộc đường thẳng d và

EI EM 3

EJ EK 4 .

LỜI GIẢI

a). Có:

S SAB SCD

AB // CD

AB SAB ,CD SCD

SAB SCD Sx d Sx // AB // CD .

Trong mp SAB gọi H AB IJ ; Trong

mp SAC gọi L AC IK .

Ta có H và L là hai điểm chung của hai mặt phẳng (IJK) và (ABCD), nên:

IJK ABCD HL d' .

b). Vì có: SJ SK 2

JK // BCSB SC 3

.

Từ đó suy ra giao tuyến HL // JK // BC.

I là điểm chung của hai mặt phẳng (SAD) và (IJK) trong hai mặt phẳng này lần

lượt có AD và IJ song song với nhau. Nên giao tuyến của chúng qua I và song song

với AD, giao tuyến này cắt SD tại điểm M. Thì M là giao điểm của SD với mp

(IJK). Từ đó suy ra IM là đường trung bình của SAD vì có I trung điểm, suy ra M

trung điểm của SD.

c). Vì

E IJ SABE IJ KM

E KM SAD

E SAB SAD E d .

Kết luận ba đường thẳng d, IJ, KM đồng qui tại E.

Mặt phẳng (SAB) được vẽ lại ở hình 2.

Dựng BF HI F SA , từ đó ta có:

SJ SI2 SI 2IF AI 2IF

JB IF

d'

d

E

M

LH

K

I

C

A D

B

S

J

d

Hình 2

E

JF

I

B

S

A

H


229

Vậy F trung điểm của AI.

Từ đó suy ra BF là đường trung bình của tam giác AHI B trung điểm của AH.

HI và SB là hai đường trung tuyến của SAH cắt nhau tại J .

Vậy J là trọng tâm SAH .

Ta có AIH SIE g.c.g SE HA . Suy ra AHSE là hình bình hành .

Từ đó suy ra EI 3

EJ 4 .

Trong EJK có: EI EM 3

IM // JK EJ EK 4

.

Câu 18: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang đáy lớn AD = 2BC,

gọi O là giao điểm hai đường chéo đáy. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của SA

và SD. G là trọng tâm tam giác SCD.

a) Tìm giao tuyến của (SAB) và (SCD), (SAD) và (SBC).

b) Mặt phẳng (P) qua E, F và (P) song song SB. Mặt phẳng (P) cắt cạnh CD, AB

lần lượt tại P, Q. Chứng minh EQ // SB. Tứ giác EFPQ là hình gì? Chứng minh

BE // (SCD) và GO // (SBC).

c) Tìm giao điểm M của SB và (CDE). Chứng minh SME SAB

SMF SBD

S S

S S

,

SM.BD SB.DO .

LỜI GIẢI

a) Tìm giao tuyến của (SAB) và (SCD)

Trong mp(ABCD), gọi: H AB CD H SAB SCD (1)

và S SAB SCD (2)

Từ (1) và (2) suy ra: SH SAB SCD .

Tìm giao tuyến của (SAD) và (SBC):

S SAD SBC

AD // BC

AD SAD ,BC SBC

SAD SBC Sx Sx // AD // BC .

b) Chứng minh EQ // SB:

Ta có:

EQ P SABEQ // SB

SB SAB , SB // P

.

x

M

PQ

H

GN

FE

O

A D

C

S

B


230

Ta có:

QP P ABCD

AD EF QP // AD // EF

AD ABCD ,EF P

.

Từ đó suy ra tứ giác EFPQ là hình thang.

Chứng minh BE // (SCD):

Vì có: 1

BC AD2

BC // AD

(1); Và 1

EF AD2

EF // AD

(2)

Từ (1) và (2) BC EF

BC // EF

.

Vậy: tứ giác BCFE là hình bình hành BE // CF .

Mà CF SCD BE // SCD .

Chứng minh GO // (SBC):

Ta có OA OD AD

OAD ~ OCB 2OC OB BC

.

Gọi N trung điểm SC.

Trong BDN có: SG DO 2

SN DB 3 OG // BN .

Mà BN SBC OG // SBC .

c) Tìm giao điểm M của SB và (CDE):

Vì H và E là 2 điểm chung của hai mp(SAB) và (ECD), nên:

SAB ECD EH .

Gọi M EH SB M SB CDE .

Trong HAD có BC // AD , nên có:HB HC BC 1

HA HD AD 2

B trung điểm AH.

Từ đó ta có M là trọng tâm SAH .

Tam giác SAB được vẽ lại ở hình 2

SME 2 1

1 1 1 2S h .SM . h . SB

2 2 2 3 1 SAB

1 1 1. h .SB S

3 2 3

SME

SAB

S 1

S 3

(*) Hình 2

h2

h1

E

S

B

A

M


231

d

EO

NK

I

B D

C

A

M

Chứng minh hoàn tương tự: SMF

SBD

S 1

S 3

(**)

Từ (*) và (**) suy ra: SME SMF SME SAB

SAB SBD SMF SBD

S S S S

S S S S

.

Theo chứng minh trên, có SM 2

SB 3 và

DO 2

DB 3 .

Từ đó suy ra: SM DO

SM.BD SB.DOSB DB

(đpcm).

Câu 19: Cho tứ diện ABCD. Gọi (P) là mặt phẳng thay đổi luôn luôn đi qua các trung

điểm I, K của các cạnh BA, BC. Mặt phẳng (P) cắt DA, DC lần lượt tại M và N.

a). Tứ giác MNKI là hình gì? Tìm vị trí của M, N để tứ giác đó là hình bình hành.

b). Gọi O là giao điểm của MK và NI. Chứng tỏ rằng điểm O luôn luôn nằm trên

một đường thẳng cố định.

c). Gọi d là giao tuyến của mặt phẳng (P) và mặt phẳng (OAC). Chứng tỏ rằng khi

(P) thay đổi thì đường thẳng d luôn luôn nằm trong một mặt phẳng cố định và có

phương không đổi.

LỜI GIẢI

a). Có

(P) (ACD) MN

IK AC MN IK AC

IK (P); AC (ACD)

.

Do đó tứ giác IKNM là hình thang. Để IKNM là hình

bình hành thì IK MN

mà

1 1

IK AC MN AC2 2

. Kết luận khi M và N là

trung điểm của DA và DC thì IKNM là hình bình hành. b). Có D (ADK) (CDI) (1).

Trong mp(ABC) gọi E AK CI , có

E AK (ADK)

E CI (CDI)

E (ADK) (CDI) (2).

Từ (1) và (2) suy ra (ADK) (CDI) DE


232

d'

d

K

G

M

O

C

A D

B

S

Có O MK (ADK)

O MK NI O (ADK) (CDI)O NI (CDI)

. Hay O DE suy

ra O luôn nằm trên đoạn DE cố định khi M thay đổi.

c) Có

O (P) (O AC)

IK AC (P) (O AC) d IK AC

IK (P); AC (O AC)

( Với d qua O).

Do d luôn luôn song song với AC cố định nên phương của d không đổi, và d luôn nằm trong mp(Q) chứa DE và (Q) song song với AC.

Câu 20: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Gọi G là trọng tâm của tam giác SCD. a). Chứng minh SB (ACG) . Xác định giao tuyến của (ACG) và (SBC).

b). Tìm giao tuyến của (SAD) và (SBC). Xác định giao điểm K của giao tuyến này với mặt phẳng (ACG). Chứng minh ba điểm O, G, K thẳng hàng.

LỜI GIẢI

a). Gọi M trung điểm của SD. Có OM là đường trung bình của SBD OM SB

Có OM SB

SB (ACG)OM (ACG);SB (ACG)

.

Có

C (SBC) (ACG)

OM SB

OM (ACG); SB (SBC)

(SBC) (ACG) Cx OM SB ( d Cx ).

b) Có

S (SAD) (SBC)

AD BC (SBC) (SAD) d' AD BC

AD (SAD); BC (SBC)

( d’ qua S).

Trong mp(SAD) gọi K AM d' , có K d'

K d' (ACG)K AM (ACG)

.

Có MAD MKS g.c.g AM AK

Suy ra tứ giác ADKS là hình bình hành AD SK

mà

AD BC BC SK

BCKS là hình bình hành nên SB KC mà

SB Cx K Cx .

Trong ACK có 2

CG CM3

và M trung điểm của AK suy ra G là trọng tâm

của ACK . Ngoài ra KO là đường trung tuyến của ACK G KO . Kết luận 3

điểm O, G, K thẳng hàng.


233

F

H

K

P

O

Q

NA D

B

S

CM

Câu 21: Cho hình chóp S.ABCD ó đáy ABCD là hình thang, đáy lớn AD 2BC ,

M là điểm trên cạnh BC. Mặt phẳng qua M và song song vói CD và SC;

cắt AD, SA, SB lần lượt tại N, P, Q.

a). Chứng minh NQ (SCD) và NP SD .

b). Gọi H, K lần lượt là trung điểm của SD và AD. Chứng minh (CHK) (SAB)

và CK là giao tuyến của (KPQ) và (SCD).

LỜI GIẢI

a). Có

MN ( ) (ABCD)

( ) CD MN CD

CD (ABCD)

.

Có

MQ ( ) (S BC)

( ) SC MQ SC

SC (S BC)

.

Trong mp(ABCD) gọi O MN AC , có

O MN ( )

O AC (SAC)

O ( ) (SAC)

Có

OP ( ) (SA C)

( ) SC OP SC

SC (S AC)

.

Có ( ) CD;( ) SC

( ) (SCD)CD,SC (SCD)

, mà NQ ( ) NQ (SCD)

Trong ACD có AN AO

ON CDAD AC

(1)

Trong SAC có AP AO

OP SCAS AC

(2)

Từ (1) và (2) suy ra AN AP

NP SDAD AS

(Định lý đảo Talét).

b) Có H trung điểm của AD nên 1

AH HD AD2

theo đề bài 1

BC AD2

BC AH HD

, do đó ABCH và BCDH là các hình bình hành.


234

x

O

N

J

E

KH

D C

A B

F

S

M

Có

CH AB;HK SA

CH,HK (CHK) (CHK) (SAB)

AB,SA (SAB)

.

Gọi F trung điểm của SA, có

BH MN CD

HF NP SD(BHF) ( )

BH,HF (BHF)

MN,NP ( )

Có

(BHF) (SAB) BF

( ) (SAB) PQ PQ BF

(BHF) ( )

Dễ thấy 1

FK BC AD BF CK PQ CK2

nên CK (KPQ) , ngoài ra

CK (SCD) CK (KPQ) (SCD) .

Câu 22: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang AB đáy lớn và

AB 3CD . Hai điểm H và K lần lượt nằm trong các đoạn SA và SB với

SH SK 1

SA SB 3 .

a). Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (BCH) và (ADK).

b). Tìm giao điểm J của CH và mặt phẳng (SBD) và chứng minh J là trung điểm

của CH.

c). Điểm M di động bên trong đoạn SC. Mặt phẳng (HKM) cắt SD tại N, KM

cắt HN tại T. Tìm quỹ tích điểm T.

LỜI GIẢI

a). Trong (SAB) gọi E AK BH

E AK (ADK)

E BH (BCH)

E (ADK) (BCH) (1).

Trong (SAB) có SH SK 1 1

HK ABSA SB 3 3

(định lý đảo Talét) (2).

Theo đề có 1

DC AB3

(3).


235

MH

F

K

E

J

I

A

B

C

D

Từ (2) và (3) suy ra HK DC CDHK

là hình bình hành. Gọi J DK CH

J DK (ADK)J (ADK) (BCH)

J CH (BCH)

(4).

Từ (1) và (4) suy ra (ADK) (BCH) EJ .

b). Theo câu a) có J DK CH mà J CH

J CH (SBD)J DK (SBD)

.

Vì CDHK là hình bình hành nên và J là giao điểm của hai đường chéo suy ra J

trung điểm của CH.

c). Có

M (HKM) (SCD)

HK CD (HKM) (SCD) Mx HK CD

HK (HKM); CD (SCD)

.

Trong (SCD) gọi N SD

N Mx SD N SD (HKM).N Mx (HKM)

Trong (ABCD) gọi F AD BC , dễ thấy hai điểm S, F là hai điểm chung của

hai mặt phẳng (SAD) và (SBC). Do đó (SAD) (SBC) SF .

Có T HN (SAD)

T KM HN T (SAD) (SBC)T KM (SBC)

, hay T SF .

Kết luận: Qũy tích điểm T di động trên đường thẳng SF cố định.

Câu 23: Cho tứ diện ABCD có I, J lần lượt là trung điểm của AC, BC. Gọi K là

điểm thuộc đoạn BD thỏa BK 2KD .

a). Tìm giao điểm E của CD với (IJK).

b). Chứng minh D là trung điểm của CE.

c). Gọi F là giao điểm của AD và IE. Chứng minh FK IJ .

d). Gọi H là điểm thuộc đoạn IK sao cho 3HK 2HI . Chứng minh J, H, K thẳng

hàng.

LỜI GIẢI

a). Trong (BCD) gọi E JK CD

E JK (IJK)E CD (IJK)

E CD

Trong (BCD) dựng

MD BC,M JE KDM ~ KBJ g.g


236

x

K

HS

R

I

P

O

NQ

B D

C

A

M

DM KD 1

BJ KB 2

DM DM 1DM

2JB CJ

là đường trung bình của CEJ D trung điểm của CE.

b). Trong BCE có K là giao điểm của hai đường trung tuyến BD và EJ K trọng

tâm của BCE .

Trong ACE có F là giao điểm của hai đường trung tuyến AD và EI F trọng

tâm của ACE .

Trong EIJ có EK EF 2

EJ EI 3 (tính chất trọng tâm) KF IJ .

c). Trong mp(EIJ) gọi H' IK FJ , có H'K FK 2

H'FK ~ H'IJ g.gH'I IJ 3

(1)

Theo đề bài có HK 2

HI 3 (2).

Từ (1) và (2) suy ra H H'

Kết luận 3 điểm J, F, K thẳng hàng.

Câu 24: Cho tứ diện ABCD. Gọi M là một điểm di động trên cạnh AB. Trên

cạnh BC và CD lần lượt lấy các điểm Q và N sao cho CN CQ AM

CD CB AB .

a). Tìm giao tuyến của mặt phẳng (ABN) với mặt phẳng (ADQ), giao tuyến của

mặt phẳng (MNQ) với mặt phẳng (ACD).

b). Mặt phẳng (MNQ) cắt AD tại P. Chứng minh tứ giác MPNQ là hình bình

hành.

c). Gọi I là giao điểm của MN và PQ. Chứng minh rằng khi M di động trên AB

thì I di động trên một đường thẳng cố định. Xác định đường thẳng đó.

LỜI GIẢI

a). Có A (ABN) (ADQ) (1).

Trong mp(BCD) gọi

O BN (ABN)O BN DQ

O DQ (ADQ)

O (ABN) (ADQ) (2).

Từ (1) và (2) suy ra (ABN) (ADQ) AO


237

Trong (ABC) có CQ AM

MQ ACCB AB

Có

N (MNQ) (ACD)

MQ AC (MNQ) (ACD) Nx MQ AC

MQ (MNQ); AC (ACD)

Trong (ACD) gọi P AD

P AD Nx P AD (MNQ)P Nx (MNQ)

Trong (BCD) có CN CQ

NQ BDCD CB

Có

MP (MNQ) (ABD)

NQ BD MP NQ BD

NQ (MNQ); BD (ABD)

Tứ giác MPNQ có MP NQ

MPNQMQ NP

là hình bình hành.

c). Gọi R và S lần lượt là trung điểm của AC và BD.

Gọi H BR MQ& K DR NP

Ta có R trung điểm của AC và MQ AC H là trung điểm của MQ.

Ta có R trung điểm của AC và NP AC K là trung điểm của NP.

Vì MPNQ là hình bình hành nên MN, PQ , HK cắt nhau tại trung điểm I mỗi đoạn.

Lại có

RH AMMQ AC

RH RKRB AB HK BDRK CN AM RB RD

NP ACRD CD AB

.

Gọi I ' RS HK . Vì S trung điểm của BD và HK BD I ' là trung điểm của

HK I ' I I RS cố định.

truy cập website: hoc360.net để tải tài liệu đề thi miễn phí filem là điểm tùy...

Documents