ts_6
DESCRIPTION
xxxxTRANSCRIPT
Dinami čki sistemi
Uvod u prostor stanja
Diferencijalne jednačine se mogu rešiti analitički kada su linearne i kada su nelinearnosti vrlo jednostavne.
U suprotnom, jednačine se mogu rešiti samo numeri čki .
Da bi se jednačine rešile numerički, diferencijalne jednačine se konvertuju u standardan format.
Standardni format je skup nelinearnih diferencijalnih jednačina I-og reda, koje se nazivaju jednačine stanja .
Jednačine se konvertuju u standardan format da bi se omogućila primena odgovarajuće numeričke procedure koja je takođe standardizovana.
Uvod u prostor stanja
Za male uglove – linearizacija
s = Lθθθθ
sin θθθθ θθθθ≈
... kinetička energija_ potencijalna energija
...
Jedan stepen slobode klatna povezan je sa konfiguracijom klatna. Iz tog razloga, linearizacija pomenuta u prethodnom objašnjavanju fizikalnog procesa vršena je u konfiguracionom prostoru a u ovom slučaju izvodi se odmah u prostoru stanja .
Stanje klatna sastoji se od ugla teta i njegove ugaone brzine .
Kada su ugao teta i njegov prvi izvod propisani kao početni uslovi , buduće stanje sistema može se predvideti - zato se termin stanje i koristi.
Promenljive stanja klatna su :
( )tϑ.
( )tϑ
...
Dve jednačine koje opisuju kretanje klatna preko promenljivih stanja su:
To su dve diferencijalne jednačine I-og reda. Prva jednačina definiše x2(t) kao vremenski izvod x1(t) a druga je jedna čina kretanja koja je izvedena iz jedna čine (**).
Dakle, jedna diferencijalna jedna čina II-og reda konvertovana je u dve diferencijalne jednačine I-og reda.
(**)
...
U praksi, lakše je rešavati običnu diferencijalnu jednačinu kao sistem jednačina koji uključuje samo prve izvode.
Može se proveriti da je ovaj sistem jednak originalnoj jednačini
Promenljive x i y mogu se tumačiti geometrijski. Zaista, ugao x= odgovara tački na krugu, dok brzina y = odgovara tački na pravoj liniji. Dakle, skup svih stanja (x,y)može se predstaviti cilindrom, proizvodom kruga i linije.
ϑ.
ϑ
Svakoj tački (x,y) u faznom prostoru postoji pridružen vektor
Ovo se geometrijski može tumačiti kao vektorsko polje nad cilindrom
...
Vektorsko polje se takođe može tumačiti kao vektor brzine polja. To znači da se tačka X u faznom polju kreće duž putanje tako da je njen vektor brzine u svakom trenutku jednak vektoru vektorskog polja pridruženog lokaciji X. Takva putanja, X(t), naziva se i orbita, je jednostavno (prosto) rešenje diferencijalne jednačine
gde je F vektorsko polje definisano sa
...
Međutim, pogodnije je trajektorije predstaviti u ravni nego na cilindru. To se može postići razvijanjem cilindričnog faznog prostora po periodici na faznu ravan i tako se dobija tzv. fazni portret .
...
Model sistema u prostoru stanja opisuje neki sistem korišćenjem n diferencijalnih jednačina prvog reda umesto matematičkog modela određenog diferencijalnom jednačinom n-tog reda.
Vektorsko-matrični oblik modela u prostoru stanja linearnog sistema je definisan na sledeći način:
- jednačina stanja
- jednačina izlaza
...
Sa definisani su slede ći vektori:( ), ( ), ( )x t u t y t
...
Promenljive stanja : podskup promenljivih sistema koje, ako su poznate u početnom trenutku zajedno sa ulazima u sistem, mogu se odrediti za svakitrenutak t > +t0. Generalno, promenljive stanja predstavljaju stanje energijeelemenata sistema koji čuvaju (sadrže) energiju.
Jednačine stanja : n linearno nezavisnih diferencijalnih jednačina I redakoje povezuju prve izvode promenljivih stanja s funkcijama promenljivih stanja i ulaza.
Izlazne promenljive : algebarske jednačine koje povezuju promenljive stanja sa izlazima iz sistema.
...
Model prostora stanja može se na ći koriste ći slede ću proceduru:
• Odrediti elemente koji skladište energiju• Odrediti energetske odnose u svakom elementu (matemat. formula)• Izabrati promenljive stanja za energetske odnose• Naći trivijalne, početne jednačine stanja• Naći ostale jednačine iz fizikalnih odnosa i matemat. modela• Definisati vektor stanja (promenljive stanja u vektoru)• Uzeti izvode vektora stanja i složiti vektorsko-matričnu jednačinu
...
A, B, C i D matrice definisane su kao:
A, dim A = n x n, matrica stanja
B, dim B = n x r , ulazna matrica
C, dim C = m x n, matrica izlaza i
D, dim D = m x r , izlazno-ulazna matrica.
...
Matri čni proizvod kod modela prostora stanja
Dinami čki sistemi
Izučavajući ponašanje upravljanih sistema susrećemo se s potrebom proučavanja njihovog kretanja-promene njihovog stanja. Ali, promena stanja nekog sistema nije moguća bez procesa pretvaranja i prenosa energije i mase u njegovim sastavnim elementima. Tako je, na primer, promena temperature tela povezana s promenom njegove unutrašnje energije, a za promenu nivoa u rezervoaru potrebno je menjati količinu tečnosti koja se nalazi u njemu. Životinja, radi promene svog položaja u prostoru, u toku konačnog vremena, mora da ostvari brzinu različitu od nule, što sa svoje strane iziskuje akumulaciju rezervi kinetičke energije.
...
Ako bi promena stanja sistema mogla da nastane trenutno , to bi značilo da je zaliha energije ili materije u njemu za beskonačno malo vreme dobila konačan priraštaj. Ali za to bi bilo potrebno da jačina energetske struje ili toka materije ima beskonačno veliku vrednost, što je nemoguće.
U skladu s ovim, stanje realnog sistema ne može da se menja trenutno, već se njegova promena dešava u toku vremena — kao rezultat određenog procesa, nazvanog prelazni proces .
...
Sistemi , čiji prelazi iz jednog stanja u drugo ne mogu da se izvrše trenutno , već nastaju kao rezultat prelaznog procesa , nazivaju se dinami čki sistemi .
Iz izloženog je jasno da su, strogo govoreći, svi realni sistemi dinamički sistemi. Ali, može u slučajevima kada je trajanje prelaznog procesa zanemarivo malo u odnosu na trajanje ispitivane pojave, a karakter odvijanja prelaznog procesa ne utiče bitno na ponašanje sistema, da se ne obraća pažnja na dinamičke osobine proučavanog sistema i da se približno smatra da uzroci izazivaju trenutne promene njegovih stanja.
Režimi dinami čkog sistema
Treba razlikovati tri karakteristična tipa ponašanja sistema—tri režima, u kojima može da se nalazi dinamički sistem: ravnotežni, prelazni i periodi čni .
Govorićemo da se sistem nalazi u ravnotežnom režimu, ako se njegovo stanje ne menja vremenom. Stanje u kome se nalazi sistem kada se nijedna od njegovih koordinata ne menja, nazvaćemo njegovim ravnotežnim stanjem .
…
U prostoru stanja sistema njegova ravnotežna stanja biće prikazana nepokretnim tačkama.
Jasno je da se sistem ne može u svim tačkama prostora stanja nalaziti u ravnotežnom režimu, već samo u nekim —posebnim tačkama, ili u posebnim skupovima tačaka.
Razmotrimo kao primer kretanje broda oko svoje podužne horizontalne ose.
...
Dve koordinate određuju stanje posmatranog sistema:
ugao ϕϕϕϕ, koji zaklapa vertikalna osa O'—O' broda s pravcem prema centru zemlje O—O i
ugaona brzina ωωωω vertikalne ose broda.
Kretanje broda oko podužne ose
težište
...
Stanje ravnoteže u posmatranom sistemu može nastupiti samo pri takvom položaju broda, kada se njegovo težište R nalazi na osi O—O (položaj Ro), a da je pri tome ugaona brzina ωωωω =0. Tačka a0 , koja prikazuje ravnotežno stanje sistema, u ovom slučaju ima koordinate ωωωω=0; ϕϕϕϕ====ϕϕϕϕ0000. Ako se premesti deo tereta sa levog boka broda na desni , promeni će se ravnotežni položaj broda i biće prikazan, na primer, tačkom a1 s koordinatama ωωωω =0, =0, =0, =0, ϕϕϕϕ====ϕϕϕϕ1111.
Ali za svaki raspored tereta sistem ima samo jedno ravnotežno stanje .
Fazna trajektorija prigušenih oscilacija broda oko njegove podužne ose
...
Pod prelaznim režimom podrazumevaćemo režim kretanja dinamičkog sistema iz nekog početnog stanja u bilo koji njegov ustaljeni režim — ravnotežni ili periodični.
Prelazni režim nastaje u sistemu pod uticajem promene spoljnjeg dejstva ili promene unutrašnjih svojstava sistema. Na primer, u posmatranom sistemu prelazni proces se može javiti pod uticajem vetra, koji menja nagib broda ili kao rezultat promene položaja težišta R (usled premeštanja tereta).
...
Ako se premeštanje tereta, koje izaziva promenu ravnotežnog stanja broda, izvrši toliko brzo, da njegov nagib ne uspeva za to vreme bitno da se promeni, može se smatrati da se kretanje odvija iz početnog položaja a0 pri nepromenjenom položaju težišta broda R—R1.
Težina G, upravljena paralelno osi O—O i priložena u težištu R1, stvaraće obrtni moment prinuđujući brod da se rastućom brzinom zaokreće u pravcu novog položaja ravnoteže. Pri tome, reprezentativna tačka će se kretati po trajektoriji 1—2, dok se težište R1 ne nađe na osi O—O.
...
Mada stanje sistema prikazano tačkom 2 odgovara ravnotežnoj vrednosti nagiba (ϕϕϕϕ====ϕϕϕϕ1111) i, mada se obrtni moment, stvoren delovanjem sile G, u toj tački anulira, brod se u tom položaju neće zaustaviti, pošto ugaona brzina ωωωωnije jednaka nuli , već će produžiti da skreće od ravnotežnog položaja. Pri ovome se stvara obrtni moment koji deluje u suprotnom smeru od smera okretanja broda tako da njegova brzina opada , a reprezentativna tačka se kreće po trajektoriji 2—3.
...
Na taj način,
brod po činje da osciluje oko svog položaja ravnoteže ϕϕϕϕ1111.
Usled kočenja, koje izazivaju sile viskoznog trenja trupa broda o vodu, te oscilacije će se prigušivati i
trajektorija reprezentativne tačke će imati vid spirale koja se zavija, kao što je pokazano na prethodnoj slici.
...
Režim, kada sistem u jednakim vremenskim razmacima dolazi u jedno isto stanje naziva se periodi čni režim . Samo u dva slučaja u posmatranom sistemu može da postoji periodični režim: pod uticajem talasanja vode (prinudni periodični režim) i u slučaju odsustva trenja o vodu (režim slobodnih neprigušenih oscilacija). Neprigušene slobodne oscilacije u ovakvom sistemu, razume se, treba shvatiti samo teorijski mogućim pri približnom ispitivanju procesa. Fazne trajektorije mogućih kretanja posmatranog sistema u periodi čnom režimu pokazane su na sledećoj slici.
...
Fazne trajektorije neprigušenih oscilacija broda oko njegove podužne ose
Fazni prostor
Efikasno proučavanje ponašanja dinamičkog sistema nije mogu će u bilo kom prostoru njegovih stanja .
Pri proizvoljnom izboru koordinata uključenih u prostor stanja
dešava se da nije mogu će predvideti kretanje sistema .
...
U velikom broju primena dokazane su pogodnosti/prednosti prenosa snage preko hidrauli čkog sistema , u odnosu na ostale moguće alternative. Prednosti su:· mala masa, · brz odgovor, u odnosu na komandni signal (brz odgovor, mala vremenska konstanta), · pouzdan rad, radi ili ne (crno belo), · lak za održavanje, · radi bez udara, buke i bez opasnosti od požara, · može praktično da razvije neograničenu snagu ili obrtni moment.
Hidrauli čki pokreta č ima razvodnik i klip , koji se kreću u okviru svojih cilindara, sa bliskim kontaktima zidova.
...
...
Neka, na primer, proučavamo ponašanje sistema hidrauli čnog pogona s poja čavačem, pokazanog na slici.
razvodnik
razvodnik
cilindar
cilindar
Ulaz - Položaj razvodnika
Izlaz – položaj klipa
...
On se sastoji iz razvodnika S1 i S2 i cilindara C1 i C2, sjedinjenih, kao što je pokazano na šemi, tako da položaj Y razvodnika S1 određuje brzinu pomeranja klipa u cilindru C1, a položaj razvodnika S2, koga pomera klip cilindra C1, određuje brzinu kretanja klipa u cilindru C2.
Posmatraćemo kao izlaznu veličinu položaj X2 klipa cilindra C2, a kao ulaznu veli činu — položaj Y razvodnika S1.
*
Pretpostavimo da istraživač pokušava da objasni zakonitosti kretanja tog sistema prou čavajući trajektorije kretanjareprezentativne tačke u ravni Y, X2 (slika).
Prostor ulaznih i izlaznih promenljivih hidrauličnih pogona
...
Tada se otkriva da u nizu slučajeva jednom istom položaju na ulazu Y i na izlazu X2 sistema, prikazanog tačkom a1, odgovaraju razne trajektorije kretanja reprezentativne tačke.
Ponekad se iz tog položaja klip kreće udesno, ponekad —ulevo, a ponekad klip počinje da se kreće u jednom smeru, a zatim se sam zaustavlja i počinje da se kreće u suprotnom smeru. Ista takva slika se opaža pri kretanju iz početnog stanja a2 i bilo kog drugog. Takva nepredvidljivost ponašanja sistema lišava istraživača mogućnosti da prouči njegova svojstva i svedoči o postojanju principijelne greške u prilazu proučavanoj pojavi.
...
U datom slučaju spor se objašnjava time što istraživač nije uveo u razmatranje koordinatu X1 koja karakteriše položaj razvodnika S2.
U prostoru Y, X1, X2 svakoj određenoj vrednosti ulaza Y=Yj odgovara skup trajektorija koje se ne seku i koje jednozna čno određuju kretanje sistema iz bilo kog njegovog po četnog stanja , kao što je pokazano na sledećoj slici
…
Fazni prostor hidrauličnog pogona s pojačavačem
…
Prostor u kome se kretanje sistema prikazuje trajektorijama koje se ne seku , tako da pri nepromenjenom spoljnjem dejstvu svakom po četnom stanju sistema jednozna čno odgovara njegovo dalje ponašanje , naziva se fazni prostor , a koordinate tog prostora —fazne koordinate .
Skup faznih trajektorija, koje opisuju kretanje sistema, naziva se fazni portret .
...
Treba imati u vidu, da je fazni prostor bilo kog dinamičkog sistema potpuno ispunjen faznim trajektorijama, tj. kroz svaku tačku tog prostora prolazi trajektorija, mada se radi preglednosti pokazuju samo neke od njih kao što je, na primer, učinjeno na skupu faznih portreta datih na prethodnoj slici.
Ova slika pokazuje takođe, da, menjaju ći spoljnja dejstva na sistem, možemo bitno promeniti njegov fazni portret .
...
Broj dimenzija faznog prostora naziva se red sistema . Kretanje sistema pokazanih na slikama (brod i hidraulični pogon) jednoznačno se prikazuje u dvo-dimenzionalnom faznom prostoru, što dozvoljava da ih svrstamo u sisteme drugog reda .
Složeniji sistemi će pripadati sistemima višeg reda, a njihovi fazni prostori će biti višedimenzionalni. Tako na primer, ako se u hidraulični pogon pokazan ranije uključe dopunska kaskadna pojačanja, red sistema će se povisiti do vrednosti n, jednake broju cilindara u postrojenju.
...
Fazne trajektorije dinamičkih sistema mogu se konstruisati na osnovu eksperimentalnih podataka. Radi toga mogu se meriti vrednosti faznih koordinata u toku procesa kretanja sistema pri stalnim vrednostima ulaznih dejstava .
Položaj reprezentalivne tačke se određuje, pri tome, vrednostima koordinata u određenim momentima vremena.
Ispituju ći ove procese pri razli čitim stanjima sistema , može se naći skup faznih trajektorija i konstruisati, na taj način, fazni portret sistema.
...
Za dinamičke sisteme, čije se ponašanje može opisati odgovaraju ćim jedna činama , fazni portreti se mogu odrediti analiti čki . Na primer, za hidraulični pogon, koji je prethodno opisan, moguće je konstruisati skup faznih likova, na sledeći način.Označimo sa k koeficijent proporcionalnosti kojim su povezane brzina kretanja klipa i položaj upravljačkog razvodnika. Tada će se, pri stalnom položaju razvodnika S1, položaj poluge njegovog klipa (koordinata X1) menjati po zakonu
X1 (t)=X1p+k (4.1)
Y
Yt
...
gde je X1p,= X1(0) — početna vrednost koordinate X1. Analogno ovome, za koordinatu X2 imamo
X2(t)=X2p+kX1t (4.2)
Eliminišući vreme t iz (4.1) i (4.2) dobijamo
Izraz određuje funkcionalnu vezu između koordinata X1 i X2.
1 2
2 2 1 1
1pp
XX X X X
Y Y= − +
...
U datom slučaju ta funkcija ima oblik parabole .
Kao što se vidi iz izraza, oblik fazne trajektorije zavisi od
koordinata tačke, koja prikazuje početno stanje sistema (X1p i X2P), iod vrednosti ulaznog dejstva . Y
?
?
* Materijal pripremljen za koriš ćenje u nekomercijalne obrazovne svrhe u skladu sa Članom 44. Zakona o autorskim i srodnim pravima - ("Sl. glasnik RS", br. 104/2009 i 99/2011)