Étude sous solvabilité 2 d’un contrat d'assurance-vie …...solvency ii in application...

Étude sous Solvabilité 2 d’un contrat d'assurance-vie en unités de compte avec garantie plancher en cas de décès et en cas de vie

Mémoire d’actuariat présenté pour l'obtention du

Master professionnel Sciences de gestion, mention finances de marché Spécialité Actuariat du CNAM

Et l'admission à l'Institut des Actuaires

Mémoire soutenu le 11 mai 2016

par Issaka DOULLAYE OUSSEINI

Caractère confidentiel : non

Jury : Président : Michel FROMENTEAU Membres : Laurence ESLOUS Pierre PETAUTON Vincent RUOL François WEISS Nathanel ABECERA Gwenaël BILLIOTTE Richard TOURNEBIZE

2

Remerciements

Je tiens tout d'abord à témoigner toute ma gratitude à M. Richard TOURNEBIZE, d’avoir

accepté de diriger ce mémoire, pour ses précieux conseils, pour le temps qu’il m’a consacré et

pour m’avoir fait découvrir un sujet d’actualité très intéressant et novateur.

Je tiens ensuite à remercier l’ensemble du corps professoral du CNAM, pour m’avoir

ouvert les portes d’un métier passionnant.

Je remercie enfin les nombreuses personnes qui ont accepté de relire mon mémoire.

3

Résumé

Les contrats en unités de compte (UC) ont été introduits sur le marché français de

l’assurance-vie pour permettre aux assurés d’investir sur des actifs financiers risqués, dans le

but de réaliser des performances plus conséquentes que celles offertes par les contrats en

euros. À titre d'exemple, selon une étude réalisée par la Fédération Française des Sociétés

d’Assurances, la performance moyenne dégagée par les supports en UC en 2013 s’élève à

+8,2% contre +2,8% pour les supports en euros. En contrepartie de ces performances

attrayantes, l’intégralité du risque de marché est supportée par les assurés. Ces derniers

s’exposent alors à des pertes considérables en cas de forte baisse des marchés financiers, ce

qui peut donc dissuader les clients « risquophobes » de souscrire à ce type de contrat. Pour y

remédier, ces contrats sont le plus souvent assortis de garanties plancher permettant de limiter

le risque de perte pour les assurés.

Cependant, ces garanties plancher font peser un double risque sur le bilan de l’assureur :

un risque d’assurance (mortalité et rachat) et un risque de marché. Le risque d’assurance, bien

connu des assureurs vie, peut être mesuré et géré peu ou prou facilement, notamment avec des

tables de mortalité et des lois de rachat adéquates, grâce au principe de la mutualisation des

risques. Quant au risque de marché, il est très complexe à quantifier et à maitriser notamment

à cause de la complexité de projeter fidèlement l’évolution future des unités de compte, et

surtout du fait qu’il ne se mutualise pas. Toutefois, la directive Solvabilité 2, entrée en

vigueur le 1er janvier 2016, oblige les assureurs à mesurer finement l’exhaustivité des risques

auxquels ils sont exposés afin de calculer le nouveau capital règlementaire (le SCR) et in fine

établir le bilan prudentiel.

C’est dans ce contexte que nous proposons d’étudier, conformément aux principes de la

directive Solvabilité 2, un contrat d'assurance-vie en UC avec garantie plancher mixte

GMDB/GMMB. Il s’agit plus précisément d’un contrat en UC comportant à la fois une

garantie plancher en cas de décès de l’assuré et une garantie plancher en cas de survie de ce

dernier à l'échéance du contrat.

4

Concrètement, notre étude consiste à traiter, en utilisant des outils et modèles stochastiques

appropriés, les problématiques suivantes :

− la modélisation de l’actif en valeur de marché ;

− la modélisation des provisions best estimate et de la marge de risque ;

− le calcul et l'analyse du coût global de la garantie plancher mixte GMDB/GMMB ;

− le calcul du SCR par la formule standard ;

− l’établissement du bilan prudentiel.

Pour finir, une application pratique illustrant ces différentes problématiques est présentée dans

la dernière partie de l’étude.

Mots clés : Contrat en UC, Garantie plancher, GMDB, GMMB, Solvabilité 2, Constant mix,

GSE, Risque neutre, Market consistent, Modèle de Hull & White (1990), Modèle à sauts

gaussiens de Merton (1976), Best estimate, Marge de risque, SCR, Monte-Carlo, VaR.

5

Abstract

Unit-Linked contracts (UL) have been introduced in the French market of life insurance in

order to give the opportunity to the insured to invest in risky financial assets which are more

profitable than contracts in Euros. For example, according to a study realized by the French

Federation of Insurance Companies, in 2013, the average performance of contracts in UL was

+8.2% against +2.8% for contracts in Euros. The counterpart of these good performances was

the fact that the market risk was supported by the insured and therefore, they can have much

loss in case of market decrease. Risk-averse customers avoid this kind of contracts, and to

solve this problem, most the time, guarantees are added to the contract in order to limit the

risk.

These guarantees called “plancher”, however, represent double risk in the insurer balance

sheet: an insurance risk (mortality and surrender) and a market risk. Using the risk pooling

principle, the insurer risk can be easily estimated with mortality tables and adequate lapse

rates. In contrary to the insurance risk, the market risk is very difficult to estimate and control;

this is due to the difficulty to provide the unit account growth and to the fact that the market

risk is not mutualized. Solvency II in application since 2016/01/01, however, forces insurer to

finely estimate all the risks they support in order to calculate the new regulatory capital called

Solvency Capital Requirement and establish the prudential assessment.

In this context and following Solvency II directives, we are going to work on a contract in

UL with mixed “plancher” guarantees (GMDB and GMMB) which has one guarantee in case

of death and another one in case of survival. Using stochastic models and tools, the following

subjects will be approached :

− assets at market value modeling ;

− best estimate supplies and risk margin modeling ;

− assessment of the cost global of the mixed guarantees (GMDB and GMMB) ;

− calculation of SCR using standard formula ;

− prudential assessment establishment.

6

Finally, a practical application illustrating the various issues is presented in the last part of the

study.

Keywords : Unit-Linked contracts, Plancher guarantee, GMDB, GMMB, Solvency II,

Constant mix, Economic scenario generator, Neutral risk, Market consistent, Hull & White

model (1990), Merton's Gaussian jump-diffusion model (1976), Best estimate, Risk margin,

SCR, VaR, Monte-Carlo.

7

Sommaire

REMERCIEMENTS ........................................................................................................................... 2

RESUME .............................................................................................................................................. 3

ABSTRACT ......................................................................................................................................... 5

SOMMAIRE ......................................................................................................................................... 7

INTRODUCTION GENERALE ................................................................................................... 11

PARTIE 1 : LE CADRE THEORIQUE ................................................................................. 14

Chapitre 1. Les contrats en unités de compte ................................................................................. 15

1. Définition ................................................................................................................................................. 15

2. Fonctionnement ..................................................................................................................................... 16

3. Aspects fiscaux ...................................................................................................................................... 19

4. Actualité et chiffres clés du marché .................................................................................................... 20

Chapitre 2. Description des garanties plancher ............................................................................... 22

1. Objectif de la garantie plancher .......................................................................................................... 22

2. Panorama des garanties plancher ...................................................................................................... 23

2.1 Les garanties en cas de décès ................................................................................................... 23

2.2 Les garanties en cas de vie ........................................................................................................ 27

3. Les risques inhérents aux garanties plancher .................................................................................. 28

4. Les garanties retenues pour l’étude ................................................................................................... 29

Chapitre 3. Le nouveau cadre réglementaire : Solvabilité 2 .......................................................... 30

1. Objectifs de Solvabilité 2 ...................................................................................................................... 31

2. Solvabilité 2 en 3 piliers ........................................................................................................................ 31

3. Focus sur le Pilier 1 .............................................................................................................................. 32

3.1 Un nouveau bilan : le bilan prudentiel ou économique ........................................................... 33

3.2 Le capital de Solvabilité requis (SCR) ....................................................................................... 35

3.3 Le minimum de capital requis (MCR) ........................................................................................ 36

3.4 Les fonds propres éligibles sous Solvabilité 2 ......................................................................... 37

PARTIE 2 : MODELISATION DE L’ACTIF EN VALEUR DE MARCHE .................. 38

Chapitre 4. Modèle d'allocation d'actifs ............................................................................................. 39

1. Choix des actifs financiers ................................................................................................................... 39

1.1 Fonds obligataires ........................................................................................................................ 40

1.2 Fonds actions : l’indice CAC 40 ................................................................................................. 41

2. Allocation d'actifs par la stratégie Constant mix ............................................................................... 42

2.1 Définition ........................................................................................................................................ 43

8

2.2 Fonctionnement ............................................................................................................................ 44

2.3 Les frais prélevés.......................................................................................................................... 46

Chapitre 5. Construction d'un générateur de scénarios économiqu es ....................................... 48

1. Généralités ............................................................................................................................................. 48

2. Univers historique vs Univers risque neutre ...................................................................................... 49

3. Modélisation des taux d'intérêt ............................................................................................................ 51

3.1 Choix d'un modèle de taux d'intérêt ........................................................................................... 51

3.2 Présentation du modèle de Hull & White à un facteur ............................................................ 51

3.3 Implémentation du modèle .......................................................................................................... 54

3.3.1. Modélisation de la courbe des taux forward à la date initiale........................................ 54

3.3.2. Estimation des paramètres du modèle de Hull & White ................................................. 57

4. Modélisation de l'actif risqué ................................................................................................................ 60

4.1 Choix d'un modèle actif risqué .................................................................................................... 60

4.2 Le modèle à sauts gaussiens de Merton .................................................................................. 62

4.2.1. Présentation du modèle ...................................................................................................... 62

4.2.2. Estimation des paramètres ................................................................................................. 63

5. Prise en compte des corrélations ........................................................................................................ 71

PARTIE 3 : MODELISATION DU PASSIF EN VALEUR DE MARCHE .................. 74

Chapitre 6. Modélisation du comportement des assurés ............................................................... 75

1. La mortalité ............................................................................................................................................. 75

2. Les rachats ............................................................................................................................................. 78

2.1 Les rachats structurels ................................................................................................................. 78

2.2 Les rachats conjoncturels ............................................................................................................ 78

2.3 Loi de rachat retenue pour l'étude ............................................................................................. 79

3. Probabilités de verser des flux de prestations .................................................................................. 80

Chapitre 7. Modélisation des provisions techniques ...................................................................... 83

1. Modélisation des provisions best estimate ........................................................................................ 83

1.1 Hypothèses générales et actuarielles ........................................................................................ 84

1.2 Les flux probables payés par l'assureur : flux sortants ........................................................... 85

1.3 Les flux probables payés par l'assuré : flux entrants .............................................................. 87

1.4 Facteurs d’actualisation des flux ................................................................................................ 89

1.5 Expression générale du best estimate ...................................................................................... 89

1.6 Valorisation par la méthode de Monte-Carlo ............................................................................ 90

1.6.1. Les différentes étapes de l'évaluation du best estimate ................................................ 92

1.6.2. Limite de la méthode ........................................................................................................... 93

2. La marge de risque ............................................................................................................................... 93

3. Zoom sur le coût de la garantie ........................................................................................................... 96

Chapitre 8. Modélisation du SCR par la formule standard ............................................................. 99

1. La VaR .................................................................................................................................................... 99

2. Rappel de la définition du SCR ......................................................................................................... 101

3. Présentation de la formule standard ................................................................................................ 101

PARTIE 4 : APPLICATION PRATIQUE ET ANALYSES ........................................... 105

9

Chapitre 9. Projection de l’évolution de l’actif ............................................................................... 106

1. Description du contrat utilisé ............................................................................................................. 106

2. Projection de l'actif en valeur de marché ......................................................................................... 107

2.1 Résultats des projections .......................................................................................................... 108

2.2 Analyse des performances ........................................................................................................ 109

Chapitre 10. Calcul des provisions techniques ........................................................................... 113

1. Calcul des provisions best estimate ................................................................................................. 113

1.1 Résultats obtenus et analyses .................................................................................................. 113

1.2 Décomposition du best estimate .............................................................................................. 115

1.3 Convergence du best estimate ................................................................................................. 116

2. Tests de sensibilité sur le best estimate .......................................................................................... 117

2.1 Influence de l’allocation d’actifs ................................................................................................ 117

2.2 Influence de l’âge à la souscription du contrat ....................................................................... 118

2.3 Influence de la présence d’un cliquet ...................................................................................... 120

3. Calcul de la marge de risque ............................................................................................................. 121

4. Complément : analyse du coût de la garantie mixte ...................................................................... 123

Chapitre 11. Calcul du SCR et établissement du bilan prudentiel ............................................ 124

1. Risque de marché ............................................................................................................................... 124

1.1 Le risque de taux d'intérêt ......................................................................................................... 125

1.2 Le risque sur actions .................................................................................................................. 127

1.3 Calcul du SCR de marché ......................................................................................................... 128

2. Risque de souscription vie ................................................................................................................. 130

2.1 Le risque de mortalité ................................................................................................................ 131

2.2 Le risque de longévité ................................................................................................................ 132

2.3 Le risque de rachat ..................................................................................................................... 132

2.4 Le risque de frais ........................................................................................................................ 134

2.5 Le risque de catastrophe ........................................................................................................... 135

2.6 Calcul du SCR risque de souscription vie ............................................................................... 135

3. Calcul du SCR ..................................................................................................................................... 137

4. Établissement du bilan prudentiel et analyse critique .................................................................... 139

4.1 Le bilan prudentiel Solvabilité 2 ................................................................................................ 139

4.2 Analyse critique ........................................................................................................................... 140

CONCLUSION GENERALE ..................................................................................................... 141

BIBLIOGRAPHIE ......................................................................................................................... 143

ANNEXES ....................................................................................................................................... 146

Annexe 1 : Éléments de calcul stochastique ...................................................................................... 146

1. Processus stochastiques ................................................................................................................... 146

2. Mouvement brownien standard ......................................................................................................... 147

3. Processus et lemme d’Itô ................................................................................................................... 147

4. Mouvement brownien géométrique .................................................................................................. 148

5. Processus de Poisson ........................................................................................................................ 149

6. Processus de Poisson composée ..................................................................................................... 149

7. Simulation de nombres aléatoires .................................................................................................... 150

10

Annexe 2 : Le théorème de Girsanov ................................................................................................... 151

Annexe 3 : Le modèle de Vasicek ......................................................................................................... 152

Annexe 4 : Formule d'évaluation des actions dans le modèle de Black & Scholes .................... 154

Annexe 5 : Généralisation du lemme d'Itô pour les p rocessus mixtes diffusion et sauts ......... 155

Annexe 6 : Calcul de la fonction génératrice des cu mulants dans le modèle de Merton .......... 156

11

Introduction générale

Le marché français de l'assurance-vie en unités de compte (UC) connait depuis plusieurs

années une forte croissance1 et ce malgré les crises boursières à répétition et la méfiance à

l'égard des marchés financiers. Pour profiter pleinement de ce marché florissant, les assureurs

vie ont développé des contrats en UC assortis de garanties plancher, commercialement

attrayants, connus sous l'appellation anglo-saxonne "Variable annuities". Ces contrats

présagent d'allier performance et sécurité, c'est-à-dire permettre à l'assuré ou au(x)

bénéficiaire(s) de profiter pleinement des performances haussières des marchés financiers tout

en garantissant un montant minimum en cas de baisse de ces marchés.

Cependant, ces garanties plancher exposent l’assureur à un risque de perte considérable,

notamment en cas de baisse durable des unités de compte. Il est donc crucial pour lui de

pouvoir quantifier et maitriser ce risque. La tâche est particulièrement difficile à cause de la

complexité de prévoir fidèlement l’évolution des marchés financiers. Toutefois, avec l'entrée

en vigueur de la directive Solvabilité 2, il devient impératif d’évaluer finement ce risque afin

de correctement estimer le coût du capital requis et pouvoir in fine établir le bilan prudentiel.

C'est dans ce contexte que nous avons choisi d’étudier un contrat en UC comportant à la

fois une garantie plancher en cas de décès de l'assuré et une garantie plancher en cas survie de

ce dernier à l'échéance du contrat (dit contrat en UC avec garantie plancher mixte

GMDB/GMMB ). Notre objectif ultime consistera à établir le bilan prudentiel Solvabilité 2

d'un assureur vie commercialisant ce type de contrat.

1 À titre d'exemple, la collecte de 2013 a progressé de 19,3% par rapport à 2012. En effet,

cette forte croissance peut s'expliquer en partie par le fait qu'un nombre important

d'épargnants se sont détournés des marchés obligataires car les taux d'intérêt servis sont jugés

très faibles par opposition aux marchés actions qui procurent des rendements beaucoup plus

conséquents. En outre, le pessimisme ambiant à l'égard de la situation macro-économique

favorise mécaniquement les comportements d'épargne (par exemple, dans le but de préparer

sereinement la retraite) au détriment de la consommation.

12

Notre étude se déclinera en 4 parties subséquentes.

Dans la première partie, nous décrirons dans un cadre général et théorique les contrats en

UC et les garanties plancher associées. Nous rappellerons surtout que les contrats en UC avec

garanties plancher représentent une alternative intéressante aux contrats en euros, de surcroît

dans cette période de crise marquée par une chute sans précédent des marchés obligataires.

Puis, dans le dernier chapitre de cette partie, nous présenterons la reforme Solvabilité 2 en se

focalisant sur les éléments quantitatifs du pilier 1, particulièrement ceux constituant le bilan

prudentiel.

Dans la deuxième partie, nous nous pencherons sur la modélisation de l'évolution de l’actif

en valeur de marché. Dans un premier temps, nous développerons un modèle d'allocation

dynamique d'actifs : la stratégie dite "Constant mix". Cette stratégie consiste à repartir la

prime nette entre actifs sans risque (obligations zéro-coupon) et actifs risqués (en l’occurrence

l’indice boursier CAC 40) en fonction du profil de risque de l'assuré, puis à rééquilibrer

périodiquement le portefeuille de façon à rétablir les poids initiaux de chaque actif dans le

portefeuille.

Dans un second temps, nous mettrons en place un générateur de scénarios économiques

(GSE) risque neutre permettant de projeter, de manière cohérente avec le marché (market

consistent), l'évolution de l'actif sur toute la durée du contrat. Pour ce faire, nous utiliserons le

modèle de Hull & White à un facteur pour la modélisation des taux d’intérêt et le modèle à

sauts gaussiens de Merton pour la modélisation des rendements de l’actif risqué. En effet, le

modèle de Hull & White à un facteur nous permettra de prendre en compte toute l'information

de marché contenue dans la courbe des taux d’intérêt à la date initiale. Quant au modèle à

sauts gaussiens de Merton, il nous permettra de prendre en compte les scénarios extrêmes et

improbables grâce à l'épaisseur des queues de distribution des rendements de l'actif risqué.

Nous prendrons également en compte la corrélation linéaire qui existe entre les taux d’intérêt

et les rendements de l’actif risqué.

Dans la troisième partie, nous nous consacrerons à la modélisation du passif en valeur de

marché. En premier lieu, nous étudierons brièvement la projection de la mortalité et des

rachats dans le cadre de la reforme Solvabilité 2. Ensuite, nous traiterons la modélisation

stochastique des provisions best estimate du contrat, de la marge de risque et du coût global

13

de la garantie plancher mixte GMDB/GMMB. Enfin, nous présenterons la formule standard

proposée par l'EIOPA2 pour le calcul du SCR en nous focalisant sur les modules risque de

marché et risque de souscription vie.

Dans la dernière partie, nous effectuerons une application pratique en utilisant un contrat

fictif mais « proche » des contrats de marché dans sa structure et dans ses ordres de grandeurs.

Tout d’abord, nous projetterons l’évolution l’actif en valeur de marché. Puis, nous évaluerons

successivement les provisions best estimate du contrat, la marge de risque associée et le coût

global de la garantie plancher mixte GMDB/GMMB. Ensuite, nous calculerons le SCR à

l’aide de la formule standard. Et enfin, nous établirons le bilan prudentiel Solvabilité 2. Tout

au long des différents calculs, nous analyserons les résultats obtenus avec un regard critique et

objectif.

2 L’EIOPA est l'autorité européenne des assurances et des pensions professionnelles. Elle a

pour mission de veiller à la stabilité et à l’efficacité du secteur de l’assurance et de la

réassurance dans l’Union européenne.

14

Partie 1 : Le cadre théorique

Cette première partie du mémoire, composée des chapitres 1 à 3, présente le cadre

théorique du mémoire.

Le chapitre 1 décrit les contrats en unités de compte dans un cadre général.

Le chapitre 2 présente les garanties plancher avec un focus sur les garanties en cas de décès

et les garanties en cas de vie.

Le chapitre 3 est consacré au cadre réglementaire : la reforme Solvabilité 2.

15

Chapitre 1. Les contrats en unités de compte

Ce chapitre présente les contrats d'assurance-vie en unités de compte dans un cadre général

et théorique. Tout d'abord, nous préciserons la définition de ces contrats, leur fonctionnement

général, le risque de placement sous-jacent et les différents modes de gestion de ces contrats.

Ensuite, nous passerons en revue la fiscalité française applicable à l'assurance-vie de manière

générale. Enfin, nous présenterons les chiffres clés du marché, publiés dans le dernier tableau

de bord de l'assurance de la FFSA3, afin de mettre en évidence le poids et le rôle croissant des

contrats en unités de compte sur le marché français de l'assurance-vie.

Tout au long de ce mémoire, nous supposerons par abus de langage que le souscripteur,

l’assuré et le bénéficiaire sont la même personne. Nous emploierons le terme "assuré" pour

désigner ces trois personnes sauf lorsque la distinction s’impose.

Rappelons que le souscripteur est la personne physique ou morale qui souscrit le contrat

d’assurance et s’engage auprès de l’assureur à payer les primes. L’assuré est la personne

physique sur laquelle repose le risque assuré. Le bénéficiaire est la personne physique ou

morale désignée au contrat qui reçoit la prestation prévue lors de la survenance du risque

assuré.

1. Définition

Les contrats en unités de compte (UC), mentionnés à l'article L.131-1 du code des

assurances4, sont des contrats d'assurance-vie ayant pour référence des monnaies fictives

appelées "unités de compte". Ces dernières sont des supports d'investissements financiers

3 La FFSA est l'acronyme de la Fédération Française des Sociétés d'Assurances. 4 L'article L.131-1 dispose que "En matière d'assurance sur la vie ou d'opération de

capitalisation, le capital ou la rente garantis peuvent être exprimés en unités de compte

constituées de valeurs mobilières ou d'actifs offrant une protection suffisante de l'épargne

investie et figurant sur une liste dressée par décret en Conseil d'État [...]".

16

figurant sur une liste dressée par décret en Conseil d'État et devant offrir une protection

suffisante de l'épargne investie. Cette liste contient une très grande diversité de supports

financiers5 : actions de SICAV (Sociétés d’Investissement à Capital Variable), parts de FCP

(Fonds Communs de Placement), parts de SCI (Société Civile Immobilière) ou SCPI (Société

Civile de Placement Immobilière), actions, obligations, produits monétaires, matières

premières, etc.

Cependant, ces contrats sont plus risqués et plus volatils que les contrats classiques en

euros investis massivement en obligations d’État, mais en contrepartie offrent une espérance

de rentabilité plus conséquente. À titre d'exemple, en 2013 les contrats en UC ont réalisé une

performance moyenne6 de +8,2% contre +2,8% pour les contrats en euros. Il s'agit d'une des

raisons principales qui explique leur succès auprès des épargnants français.

Enfin, il est à préciser qu'un agrément de la branche 22 ou 24 (cf. Article R. 321-1 du code

des assurances) est requis pour commercialiser ces contrats.

2. Fonctionnement

À chaque versement de prime, l'assuré (ou le gestionnaire du contrat) choisit librement un

ou plusieurs supports financiers sur lesquels la prime sera investie. La prime nette est aussitôt

convertie en un certain nombre d'UC, inscrit dans le contrat. Concrètement, le nombre d'UC

pour chaque support choisi est obtenu en divisant la quotité de prime investie par la valeur

liquidative du support à la date d'investissement. Ce nombre d'UC peut par la suite diminuer

ou augmenter en fonction des rachats partiels, des prélèvements sociaux, des revenus dégagés

par les supports financiers (dividendes, coupons, intérêts, revenus fonciers,...), des frais de

gestion ou d’arbitrage, etc.

En bref, à travers le mécanisme des UC, l'assuré peut loger dans un même contrat plusieurs

supports d'investissement afin de profiter pleinement des avantages de la diversification sur le

long terme. En outre, l'assuré (ou le gérant) peut à tout moment modifier librement la

5 L'article R131-1 du Code des assurances fournit la liste des supports admissibles à un

contrat d'assurance vie en unités de compte. 6 D’après les chiffres publiés dans le tableau de bord de la FFSA de juin 2014.

17

composition du portefeuille sans pour autant modifier les bases juridiques du contrat : il s'agit

de l'opération d'arbitrage .

Lorsqu'un contrat en UC est adossé à un seul support financier, il est dit monosupport,

dans le cas contraire il est dit multisupport . Les contrats appartenant à cette dernière

catégorie sont les plus répandus en France ; ils sont le plus souvent composés :

− d'un compartiment en UC "pures" (UC autre que les fonds en euro garantis),

généralement investi en actifs risqués, permettant aux contrats de capter les

éventuelles hausses des marchés financiers.

− et d'un compartiment en euros, ayant les mêmes caractéristiques qu'un contrat

classique en euro, leurs permettant de sécuriser une partie des fonds via l'effet cliquet

des contrats en euros.

Par ailleurs, depuis l'entrée en vigueur de la loi Breton le 26 juillet 2005 (amendement

“Fourgous”), il est devenu possible de transformer un contrat classique en euros en un contrat

multisupport tout en conservant les avantages de l'antériorité fiscale.

Il est important de préciser qu'avec les contrats en UC sans garanties spécifiques, le risque

de placement est entièrement supporté par l'assuré contrairement aux contrats classiques en

euros7. En effet, l'assureur ne garantit que le nombre UC détenus dans le contrat et jamais leur

valeur. À la sortie, il restitue la contre-valeur en euros de ces UC8. De ce fait, la valeur du

contrat suit l'évolution, à la hausse comme à la baisse, des supports d'investissement

sous-jacent. D'où l'expression "contrats à capital variable" (ACAV) anciennement utilisée

pour désigner ces contrats.

7 En effet, les contrats en euros possèdent un rendement minimal garanti auquel s'ajoute la

participation aux bénéfices. En outre, ces contrats ont droit à l'effet cliquet qui sécurise les

gains. 8 L'exécution peut se faire exceptionnellement par la remise des titres ou de parts lorsqu'ils

sont négociables et ne donnent pas directement le droit de vote à l'assemblée générale d'une

société cotée en Bourse.

18

Exemple :

Un assuré verse une prime nette de 1 000 euros sur un contrat d'assurance-vie en UC. La

prime est entièrement investie dans un fonds nommé "BNP" ; on suppose que la valeur de la

part à la date de l'investissement est de 100 euros.

Analyse du contrat :

− L'UC de référence est le fonds BNP.

− Le nombre d'UC inscrit dans le contrat à la date de l'investissement vaut 10 (soit :

1 000 /100).

− Si à la sortie, la valeur de la part du fonds BNP est descendue à 90 euros, alors

l'assuré ne recevra que 900 euros (soit : 10×90), il aura alors perdu 100 euros.

− À contrario, si la valeur de la part est montée à 110 euros, l'assuré recevra 1 100

euros (soit : 10×110), et il aura alors fait un gain de 100 euros9.

À travers cet exemple simple, il ressort que le contrat doit être investi et géré de manière

efficace afin d'espérer réaliser une rentabilité conséquente ou dans le pire des cas en limiter

les pertes. Plusieurs modes de gestion des contrats en UC sont proposés sur le marché. Les

plus répandue sont :

− La gestion directe : le souscripteur est libre de répartir sa prime nette entre les

différents supports d'investissement proposés par l'assureur. En outre, il a aussi la

possibilité de procéder à des arbitrages à tout moment de la vie du contrat

moyennant éventuellement des frais d'arbitrage. Il est à noter que ce mode de

gestion peut se révéler très périlleuse pour les souscripteurs ne possédant pas de

compétences sophistiquées en gestion de portefeuille.

− La gestion profilée : le souscripteur choisit librement un profil de risque et en

fonction du profil choisi le gestionnaire du contrat (qui peut être l'assureur ou un

mandataire externe) décide du choix des supports d'investissement ainsi que des

arbitrages à effectuer. Ce mode de gestion est fortement recommandé aux

9 En réalité, il existe toujours des frais de sortie que nous avons expressément supposés nuls

pour simplifier l'exemple.

19

épargnants non-initiés à la gestion de portefeuille. Il s'agit du type de gestion que

nous appliquerons au contrat étudié dans le présent mémoire.

Enfin, il est à préciser que l'assuré n'est pas propriétaire des titres financiers représentants

les UC, mais seulement d'une créance envers l'assureur. Ces supports appartiennent

juridiquement à l'assureur, qui d'ailleurs n'est pas obligé de les détenir. À cet égard, on peut

par ailleurs remarquer que le contrat d'assurance-vie en UC se distingue fondamentalement de

la gestion sous mandat, pratiquée par les banques, où l'épargnant a tous les droits sur les titres

financiers.

3. Aspects fiscaux

Les contrats d'assurance-vie bénéficient d'une fiscalité très avantageuse en comparaison

des produits d'épargne traditionnels vendus par les gestionnaires de portefeuille. C'est

d'ailleurs ce qui justifie en partie leurs succès.

La fiscalité française applicable aux contrats d'assurance vie se décline comme suit :

− L’impôt sur le revenu : les gains (coupons, dividendes, intérêts, revenus fonciers,...)

réalisés par un contrat d'assurance-vie sont assujettis à l'impôt sur le revenu lors d'un

rachat partiel ou total du contrat. Les taux d'imposition dépendent de l'ancienneté10 du

contrat à la date du rachat :

• Avant 4 ans, les gains sont taxés à hauteur de 35%.

• Entre 4 et 8 ans, ils sont taxés à hauteur de 15%.

• Après 8 ans, les gains issus des primes versées avant le 26 septembre 1997 sont

exonérés. Les gains issus des primes versés après cette date sont imposables au

taux de 7,5% après déduction d'un abattement annuel fixé à 4 600 euros pour les

personnes seules et à 9 200 euros pour les couples.

10 À noter que l'ancienneté est estimée par rapport à la date de versement de la première

prime.

20

− Les prélèvements sociaux : en sus de l'impôt sur le revenu, les gains réalisés sur un

contrat d'assurance-vie sont soumis aux prélèvements sociaux à hauteur de 15,5%. Ils

sont directement ponctionnés à la source par l'assureur qui les reversera à

l'administration fiscale :

• Chaque année pour les contrats en euros et les fonds en euros des contrats

multisupports.

• Uniquement lors d'un rachat (partiel ou total) pour les supports en unités de

compte des contrats multisupports.

− L’impôt de solidarité sur la fortune (ISF) : le contrat d'assurance-vie est soumis

chaque année à l'ISF. L'assiette fiscale correspond à la valeur de rachat du contrat au

premier janvier de l'année d'imposition. Dans leur grande majorité, les contrats

d'assurance-vie sont soumis au même régime que le droit commun.

− Les droits de succession : l'héritage transmis par l'intermédiaire d'un contrat

d'assurance-vie est exonéré de droits de succession si le bénéficiaire est le conjoint ou

le partenaire de PACS. En revanche, s'il s'agit d'une autre personne, des droits de

succession sont directement prélevés à la source comme suit :

• Les sommes provenant des primes versées avant les 70 ans de l'assuré

bénéficient d'un abattement de 152 500 euros. Le surplus est ensuite taxé à

hauteur de 20% sur les capitaux inférieurs à 1 055 338 € et 25% au-delà.

• Les primes versées après les 70 ans de l'assuré sont taxées suivant le régime du

droit commun après déduction d'un abattement de 30 500 euros. En revanche

les gains réalisés par ces primes sont exonérés.

4. Actualité et chiffres clés du marché

Les contrats en UC représentent la deuxième famille de contrats d'assurance vie

commercialisés en France. La période actuelle est favorable à leur commercialisation

notamment grâce d'une part à la progression spectaculaire des marchés boursiers ces deux

21

dernières années (à titre d’exemple, le CAC 40 a enregistré une hausse +15,2 % en 2012 et

+ 18 % en 2013) et d'autre part aux rendements faibles servis par les contrats en euros11.

En effet, en 2013, les cotisations placées sur les supports en UC s'élèvent à 16,5 milliards

d’euros, soit + 19,3% par rapport à 2012, et représentent 14% de la collecte totale (assurance

vie et bons de capitalisation).

Parallèlement, les prestations ont enregistré une baisse de 9,8% (13,3 milliards d’euros

contre 14,7 milliards d’euros en 2012) et in fine une collecte nette dans le vert, estimée à 3,2

milliards d'euros.

En conséquence, les provisions mathématiques relatives aux UC ont progressé de +9,3 %

et atteignent 238,7 milliards d’euros au 31 décembre 2013, soit 17 % de l'encours total

(assurance vie et bons de capitalisation).

Le tableau ci-après récapitule les chiffres cités ci-dessus. Ces chiffres proviennent du tableau

de bord de la FFSA publié en juin 2014.

Figure 1 : Chiffres relatifs aux supports en unités de compte (Sources : FFSA-GEMA - Données clés 2013)

11 À cause d'une liquidité abondante disponible sur les marchés financiers, due en grande

partie aux actions de la politique monétaire dite non conventionnelle ("Quantitative Easing")

de la FED (réserve fédérale américaine) initiée depuis la faillite de Lehman Brothers.

22

Chapitre 2. Description des garanties plancher

Les contrats en UC présentés dans le chapitre précédent sont jugés trop risqués par la

majorité des épargnants. Raison pour laquelle ces contrats sont commercialisés, généralement,

accompagnés d'une garantie plancher permettant un partage de risque entre assureur et assuré.

Nous entendons par garanties plancher, toute garantie financière vendue au sein d'un contrat

en UC et payée par l'assuré en sus des frais d'entrée et/ou de gestion. Elles peuvent être

obligatoires (réglementaires) ou optionnelles, assorties de contraintes d'ancienneté ou de

limite d'âge (75 ans généralement en France).

Les contrats en UC avec garanties plancher sont désormais désignés par la terminologie

anglo-saxonne Variable Annuities (contrats à annuités variables). Ces contrats permettent de

répondre à un double objectif : profiter des hausses éventuelles des marchés boursiers tout en

garantissant un capital ou un revenu minimum en cas de forte baisse de ces marchés.

Ces contrats sont très populaires outre-Atlantique où ils rencontrent un fort succès,

particulièrement dans le domaine de l'épargne-retraite. En France aussi le marché est en plein

essor notamment grâce à la forte volatilité des marchés boursiers qui pousse les investisseurs

(les plus averses au risque) à s'orienter vers des placements offrant une protection suffisante

de l'épargne investie et potentiellement plus rentable que les contrats classiques en euros.

Dans la première section du présent chapitre, nous mettrons en évidence le rôle d’une

garantie plancher dans un contrat en UC. Dans la deuxième section, nous dresserons une

typologie des garanties plancher les plus répandues. Dans la troisième section, nous

analyserons les risques inhérents à ces garanties plancher. Enfin, dans la dernière section,

nous préciserons les garanties retenues pour la suite de l’étude.

1. Objectif de la garantie plancher

Les garanties plancher proposées dans les contrats en UC permettent de protéger les

assurés ou les bénéficiaires contre les fluctuations à la baisse des marchés financiers sur

lesquels sont investies les primes versées. Cette protection se matérialise par la garantie d'un

23

montant minimum au dénouement du contrat (ou à une date quelconque donnée), et ce quel

que soit le niveau de l'épargne en compte à cette date. De ce fait, la garantie plancher est

devenue un moyen efficace pour attirer les épargnants souhaitant allier rentabilité et sécurité.

2. Panorama des garanties plancher

Dans le sillage du récent développement spectaculaire des marchés financiers, les

assureurs vie ont considérablement développé leur offre de garantie plancher afin de répondre

davantage à la demande. On trouve désormais des garanties plancher couvrant des

événements divers et variés comme : le décès, la survie, le mariage, la naissance, la

dépendance, l'invalidité, le licenciement, etc. Ces garanties sont notées GMXB (Guaranteed

Minimum X Benefit) dans le jargon des variables annuities, ce qui signifie en français :

garanties plancher en cas de réalisation de l'évènement X. Toutefois, dans ce mémoire, nous

ne détaillerons que les garanties plancher les plus populaires à savoir les garanties en cas de

décès et les garanties en cas de vie. En effet, les autres garanties relèvent plus de la protection

sociale que de l'assurance stricto-sensu.

2.1 Les garanties en cas de décès

Les garanties plancher en cas de décès, GMDB (Guaranteed Minimum Death Benefit),

assurent au(x) bénéficiaire(s) en cas de décès de l'assuré un capital égal au maximum entre la

valeur de l'épargne en compte à la date du décès et un capital minimum garanti. La différence

de ces deux valeurs est appelée capital sous risque. On trouve plusieurs variantes de la

garantie GMDB suivant la forme du capital minimum garanti. Nous énumérons ci-après les

formes les plus courantes :

− La garantie des primes 12 : le capital minimum garanti est égal au cumul des primes

versées, nettes des frais, diminuées des éventuels rachats, avances ou taxes diverses. Il

s'agit de la forme la plus répandue.

12 À noter que cette garantie a été obligatoire dans les contrats en UC jusqu'à la loi du 16

juillet 1992. Depuis, elle ne l'est plus car le législateur a jugé contradictoire le principe d'une

garantie plancher avec la notion d'unité de compte qui par essence est sujette au risque.

24

Exemple illustratif :

Considérons un assuré qui verse une prime unique de 1 000 euros (nette des frais) sur un

contrat en UC comportant une GMDB avec garantie de la prime. Nous supposons que l'assuré

n'effectuera ni de rachats, ni d’avances et que l'épargne évoluera conformément au graphique

ci-dessous.

Figure 2 : Illustration de GMDB avec garantie des primes

Commentaires :

Conformément au graphique ci-dessus, si l'assuré décède à la fin de la 5ème année du contrat,

l'assureur versera au(x) bénéficiaire(s) un capital de 1 400 euros, soit la valeur de l'épargne à

cette date, étant donné que cette valeur est supérieure au capital minimum garanti (1 000

euros, la prime). À contrario, si l’assuré décède à la fin de la 10ème année, la valeur de

l'épargne (700 euros) est inférieure au capital minimum garanti, l'assureur puisera alors dans

ses fonds propres la différence (300 euros) pour verser au(x) bénéficiaire(s) les 1 000 euros

garantis.

25

− La garantie de rendement : le capital minimum garanti est égal au cumul des primes

versées revalorisées périodiquement à un taux particulier, nettes des frais, diminuées des

éventuels rachats, avances ou taxes diverses. Ce taux de revalorisation peut être fixe ou

indexé sur un indice financier.

En reprenant l'exemple ci-dessus et en modifiant la garantie plancher en une garantie de

rendement annuel de 3,5%, on obtient le graphique ci-après.

Figure 3 : Illustration de la garantie de rendement

Si l'assuré décède à la fin de la 10ème année, les bénéficiaires recevront 1 362,90 euros,

soit : ( )101000 1 3,5%× + , alors que la valeur de l'épargne à cette date n'est que de 700

euros. On peut alors remarquer que cette garantie est plus intéressante pour les

bénéficiaires que la précédente, mais en contrepartie elle coûte aussi plus chère.

− La garantie cliquet : le capital minimum garanti est égal à la plus haute valeur atteinte

par l'épargne, diminuée des éventuels rachats, avances ou taxes diverses. Ainsi, cette

26

garantie cristallise les plus-values dégagées par le contrat. Cette garantie est extrêmement

avantageuse pour les bénéficiaires, mais en contrepartie elle coûte aussi très chère. Elle est

par ailleurs extrêmement risquée pour les assureurs en période de forte volatilité des

marchés financiers, telle que les périodes de crise où les soubresauts boursiers sont

fréquents. Pour tenter de limiter le risque, les assureurs ne considèrent en général que les

valeurs atteintes à certaines dates. Par exemple, la plus haute valeur atteinte par l'épargne

aux dates d'anniversaire du contrat.

Toujours en reprenant l'exemple initial et en substituant la garantie des primes par une

garantie cliquet, nous pouvons remarquer que les bénéficiaires sont certains de récupérer

au moins 1 400 euros si l'assuré décède après la 5ème année.

Figure 4 : Illustration de la garantie cliquet

− La garantie majorée : le capital minimum garanti est fixé par le souscripteur lui-même. Il

s'agit là d'une assurance temporaire décès adossée à un contrat en UC. Le coût de cette

garantie dépend de la différence entre le cumul des primes versées et le capital fixé par le

souscripteur. Plus cette différence est grande, plus le coût de la garanti sera élevé et à

27

l'inverse, plus la différence est faible, moins le coût sera élevé. Cette garantie est idéale

pour les assurés qui ont une idée précise de la somme minimum qu'ils souhaitent léguer à

leurs héritiers.

Conformément au graphique ci-dessous, nous pouvons remarquer que les bénéficiaires

récupéreront au moins 1 500 euros au décès de l'assuré, et ce quel que soit le niveau de

l'épargne.

Figure 5 : Illustration de la garantie majorée

2.2 Les garanties en cas de vie

Les garanties plancher en cas de vie ont pour principe de garantir un capital ou un revenu

minimum à l'assuré s'il est en vie à une date donnée. Les contrats en cas de vie sont le plus

souvent souscrits à des fins de complément de retraite. Les plus populaires sont :

− La garantie GMMB (Guaranteed Minimum Maturity Benefit) : assure un capital

minimum à l'assuré s'il est en vie à l'échéance du contrat et ce quel que soit le niveau de

28

l'épargne à cette date. Comme pour la garantie GMDB, ce capital minimum peut prendre

différentes formes (garantie des primes nettes versées, garantie des primes nettes

revalorisées à un taux particulier ou indexé, garantie avec effet cliquet, garantie majorée,

etc.).

− La garantie GMAB (Guaranteed Minimum Accumulation Benefit) : offre à l'assuré la

garantie d'un capital minimum s'il est en vie à une série de date donnée. Concrètement, à

chacune de ces dates, le niveau de l'épargne en compte est comparé au capital minimum

garanti, s'il est inférieure à ce montant, l'assureur apporte la différence de telle sorte que le

niveau de l'épargne repart du capital minimum garanti. En contrepartie, l'assuré lui

s'engage en à poursuivre le contrat jusqu'à son terme.

− La garantie GMIB (Guaranteed Minimum Income Benefit) : permet à l'assuré de

convertir son épargne en une rente viagère à un taux égal au maximum entre un taux

minimum garanti, fixé à la souscription du contrat, et le taux prévalant sur le marché à la

date de la conversion. Cette date est fixée à la souscription du contrat et l'assuré doit être

en vie à cette date pour pouvoir bénéficier du droit de conversion.

− La garantie GMWB (Guaranteed Minimum Withdrawal Benefit) : offre à l'assuré la

possibilité de retirer un pourcentage des primes versées, à une série de dates données

(généralement chaque année après une période d'accumulation), indépendamment du

niveau de l'épargne en compte.

3. Les risques inhérents aux garanties plancher

La garantie plancher comme garantie financière offerte dans un contrat en UC est à ce titre

exposée à deux risques majeurs : le risque de marché et le risque d’assurance (principalement

le risque viager et le risque de rachat). En effet, la garantie plancher n’est exercée que dans le

scénario où l’évènement couvert se réalise (décès ou survie) concomitamment à une forte

baisse de l’épargne.

Le risque de marché est le risque le plus important auquel un assureur ayant vendu de la

garantie plancher est exposé. Il résulte principalement de la fluctuation à la baisse des actifs

financiers sous-jacents. Ce risque peut entraîner une chute du niveau de l'épargne en dessous

29

de la valeur plancher. Ce qui a pour conséquence d'engendrer une perte pour l'assureur.

Le risque de marché est extrêmement difficile à maîtriser notamment à cause de

l'impossibilité de prévoir fidèlement l'évolution des supports financiers. De surcroît, la

mutualisation de ce type de risque est contre-productive, car elle augmente la concentration

du risque, phénomène pouvant entrainer une situation catastrophique pour l'assureur.

Le risque viager (mortalité/longévité) est relativement moins important que le risque de

marché car ce risque est bien connu des assureurs vie. Il résulte d'une mauvaise estimation des

taux de mortalités ou de survie dans les hypothèses de la tarification de la garantie. Ce risque

peut être géré correctement notamment avec les tables de mortalité réglementaires ou avec des

tables d'expériences certifiées. En effet, ce risque se mutualise sur un portefeuille de taille

importante grâce à la loi forte des grands nombres. En outre, certaines clauses contractuelles

(limite d'âge, contrainte sur l'ancienneté,...) peuvent permettre de réduire considérablement ce

risque.

Le taux de rachat est un input important dans la tarification des garanties plancher. Le coût

de la garantie est souvent incorporé dans les frais de gestion et donc prélevé périodiquement.

En conséquence, en cas de rachat massif, l'assureur enregistrera un manque à gagner

considérable qui peut être pénalisant (ce qui peut mettre en péril le principe de la

mutualisation du risque de mortalité). Il devient alors primordial d'avoir une bonne prévision

des lois de rachats pour pouvoir agir en conséquence. Tâche qui est extrêmement difficile, car

les rachats peuvent être provoqués par une multitude de facteurs (fiscalité en vigueur, les

facteurs économiques, comportement économique des assurés, etc.). Pour réduire ce risque les

assureurs introduisent souvent des pénalités de sorties ou des pertes de primes de fidélité.

4. Les garanties retenues pour l’étude

Nous considérons dans la suite de l’étude un contrat en UC à prime unique avec garantie

plancher mixte GMDB/GMMB. Plus clairement, il s'agit d'un contrat en UC comportant à la

fois une garantie plancher en cas de décès de l’assuré et une garantie plancher en cas de survie

de ce dernier au terme du contrat. Nous supposerons que la garantie plancher mixte est

financée par un prélèvement annuel sur l’encours à un taux fixe. Enfin, nous supposerons que

la garantie plancher est indissociable du contrat et ne peut donc pas être résilié par l’assuré.

30

Chapitre 3. Le nouveau cadre réglementaire :

Solvabilité 2

La solvabilité d'une société d'assurance mesure sa capacité à honorer ses engagements vis à

vis des assurés et des bénéficiaires de contrat d'assurance. Elle est fonction du niveau des

provisions et des fonds propres disponibles dans le bilan de la société. Les modalités de calcul

des provisions et du niveau minimal des fonds propres sont strictement définies par la

réglementation. Le contrôle de la mise en conformité est assuré par le superviseur (l'ACPR13

en France).

L'ancienne réglementation prudentielle, nommée Solvabilité 1, issue des directives

européennes des années 70, s'est révélée insuffisante et inadéquate pour réguler efficacement

le secteur de l'assurance. En effet, Solvabilité 1 se fonde sur des règles simplistes14, peu

prospectives et de surcroît ne prenant pas en compte la diversité et la complexité des risques

encourus par les sociétés d'assurance.

Face à cette situation, la commission européenne a entrepris des travaux considérables

pour réformer en profondeur la réglementation prudentielle du secteur de l'assurance et de la

réassurance dans l’espace économique européen. Ces travaux ont abouti au printemps 2009 à

l'adoption, par le Conseil et le Parlement européens, d'une directive cadre nommée Directive

Solvabilité 2 (Directive 2009/138/CE). Modifiée et complétée en avril 2014 par la Directive

Omnibus 2, la Directive Solvabilité 2 a été transposée en droit français le 2 avril 2015

(Ordonnance n° 2015-378) et finalement entrée en vigueur le 1er janvier 2016.

13 L’Autorité de Contrôle Prudentiel et de Résolution (L'ACPR) est une autorité

administrative indépendante, sans personnalité morale, qui surveille l'activité des banques et

des assurances en France. 14 Sous Solvabilité 1 : les provisions techniques sont calculées de façon trop prudente ; la

marge de solvabilité est estimée simplement en fonction d'un pourcentage des provisions

mathématiques (en assurance-vie) ; les actifs sont comptabilisés au bilan à leurs coûts

d'acquisition.

31

À noter que Solvabilité 2 a été élaborée dans le cadre de la démarche dite « Lamfalussy »15.

Cette dernière va des principes généraux jusqu’aux modalités d’application.

Outre les exigences en matière de solvabilité, les enjeux de Solvabilité 2 touchent

quasiment tout le fonctionnement des sociétés d'assurance : l'organisation, la stratégie, la

gouvernance, la gestion des risques, les systèmes d'information, etc. Toutefois, dans ce

chapitre, nous n'aborderons que les éléments quantitatifs de la directive Solvabilité 2 tels que :

la valorisation des actifs en valeur de marché, l'évaluation des provisions best estimate,

l'estimation de la marge de risque, la détermination des exigences de capital : le SCR et le

MCR, les fonds propres éligibles en couverture des engagements, etc.

1. Objectifs de Solvabilité 2

Solvabilité 2, comme directive européenne, vise à harmoniser la réglementation

prudentielle du secteur de l'assurance entre les différents États membres de l’espace

économique européen, avec pour but ultime de renforcer la protection des assurés et des

bénéficiaires de contrats d'assurance.

Contrairement à Solvabilité 1 qui repose sur une vision moins exhaustive du risque,

Solvabilité 2 impose aux assureurs de constituer des fonds propres qui tiennent compte de

l'intégralité et de la diversité des risques encourus par les sociétés d'assurance. Et par la même

occasion, rendre comparable et crédible la communication financière de ces dernières.

2. Solvabilité 2 en 3 piliers

La directive Solvabilité 2 peut être structurée en 3 piliers16 complémentaires et comparables

à ceux de Bâle 2 dans le secteur de la Banque.

15 Cette démarche porte le nom d'Alexandre Lamfalussy, qui présidait le comité consultatif

qui le mit au point en mars 2001. 16 En réalité, l'expression « 3 piliers » ne figure pas dans le texte de la directive, car ce dernier

suit une logique plus juridique qu'organisationnelle. Il s'agit en effet d'une imagination du

métier pour structuré le texte, comme le rappelle Morin et Thourot (2014).

32

− Pilier 1 : contient les exigences quantitatives notamment en matière de valorisation

du bilan prudentiel, de calcul du SCR et du MCR, de la marge de solvabilité (c'est-à-

dire la différence positive entre les fonds propres éligibles et le SCR), etc.

− Pilier 2 : contient les exigences qualitatives de la directive. Il aborde notamment la

gouvernance, la gestion interne des risques et de la solvabilité (l'ORSA), la politique

de placement, etc.

− Pilier 3 : regroupe les exigences en matière d'informations prudentielles et publiques.

Les 3 piliers peuvent être synthétisés comme suit17 :

Figure 6 : Architecture de la reforme Solvabilité 2

3. Focus sur le Pilier 1

Dans cette section, nous allons décrire successivement le bilan prudentiel, le SCR, le MCR

et les fonds propres admissibles en couverture des engagements.

17 Ce schéma est tiré des notes du cours de droit des assurances dispensé dans la formation

d'actuariat du CNAM.

33

3.1 Un nouveau bilan : le bilan prudentiel ou écono mique

Solvabilité 2 introduit un nouveau bilan appelé bilan prudentiel ou économique18. La

logique de ce bilan est en grande partie inspirée des normes comptables IFRS. La

détermination des éléments de ce bilan repose sur des principes plutôt que sur des règles

précises.

Dans ce nouveau bilan, les actifs et passifs sont comptabilisés en valeur de marché

(Fair Value19 en anglais). En effet l'article 75, paragraphe 1, de la directive dispose que :

« [...] a) les actifs sont valorisés au montant pour lequel ils pourraient être échangés dans le

cadre d'une transaction conclue, dans des conditions de concurrence normales, entre des

parties informées et consentantes;

b) les passifs sont valorisés au montant pour lequel ils pourraient être transférés ou réglés

dans le cadre d'une transaction conclue, dans des conditions de concurrence normales,

entre des parties informées et consentantes.

Lors de la valorisation des passifs au titre du point b), aucun ajustement visant à tenir

compte de la qualité de crédit propre à l'entreprise d'assurance ou de réassurance n'est

effectué.»

On remarque une différence fondamentale avec Solvabilité 1 où les actifs sont comptabilisés

en coûts historiques.

Dans la pratique, les actifs sont valorisés soit par un mark-to-market (on récupère le prix

de l'actif ou celui d'un actif comparable directement sur le marché) ou soit par un mark-to-

model (valorisation par modèles mathématiques).

L'évaluation du passif, constitué en grande partie des provisions techniques, s’effectue en

distinguant deux types de risques :

18 Il est à noter que le bilan social continuera à exister notamment pour des besoins de calcul

de l'assiette fiscale. 19 On parle aussi de Market Consistent (de manière cohérente avec le marché).

34

− Les risques réplicables : il s’agit des risques dont les flux financiers peuvent être

parfaitement répliqués par des instruments financiers liquides. La provision technique

de ce type de risque est égale au prix de marché du portefeuille répliquant.

− Les risques non-réplicables : il s’agit des risques dont les flux financiers ne peuvent

pas être répliqués par la mise en place de stratégie financière. Pour ce type de risque,

les provisions se calculent conformément à l'article 77 de la directive :

« 1. La valeur des provisions techniques est égale à la somme de la meilleure

estimation (best estimate) et de la marge de risque respectivement décrites aux

paragraphes 2 et 3.

2. La meilleure estimation correspond à la moyenne pondérée par leur probabilité

des flux de trésorerie futurs, compte tenu de la valeur temporelle de l'argent (valeur

actuelle attendue des flux de trésorerie futurs), estimée sur la base de la courbe des

taux sans risque pertinents. [...]

3. La marge de risque est calculée de manière à garantir que la valeur des

provisions techniques est équivalente au montant que les entreprises d'assurance et

de réassurance demanderaient pour reprendre et honorer les engagements

d'assurance et de réassurance. [...]».

En outre, conformément à l'article 79 de la directive, toutes les garanties

financières et toutes les options contractuelles contenues dans les contrats doivent être

prises en compte dans le calcul des provisions techniques. Ainsi que tous les facteurs

crédibles pouvant modifiés la probabilité d'exercice des options offertes ou leurs

valeurs sont à prendre en compte dans le calcul.

Schématiquement, le passage du bilan Solvabilité 1 en bilan prudentiel Solvabilité 2 peut être

représenté comme suit :

35

Figure 7 : Passage du bilan Solvabilité 1 au bilan prudentiel Solvabilité 2

3.2 Le capital de Solvabilité requis (SCR)

Le capital de solvabilité requis (Solvency Capital Requirement en anglais, et SCR en

abrégé) est décrit aux articles 100 à 127 de la directive Solvabilité 2. Il correspond au niveau

de fonds propres requis pour limiter la probabilité de ruine à 0,5% à l'horizon d'un an.

Autrement dit, il s'agit de la valeur en risque (Value at Risk)20 des fonds propres de base avec

un niveau de confiance de 99,5% à l'horizon d'un an (soit une ruine tous les deux cents ans).

Le calcul du SCR se base sur l'hypothèse d'une continuité de l'exploitation de la société

d'assurance. Il doit couvrir le portefeuille en cours, ainsi que les nouveaux portefeuilles dont

la souscription est attendue dans les douze mois à venir. Tous les risques auxquels la société

d'assurance est exposée doivent être pris en compte dans le calcul du SCR. Il doit être calculé

au moins une fois par an, lors de toute modification significative du profil de risques ou à la

demande de l'ACPR.

Idéalement, les sociétés d'assurance doivent détenir dans leur bilan un montant de fonds

propres supérieur ou égal au SCR afin de garantir aux assurés que la société est capable

d'honorer ses engagements même en cas de choc majeur. Cependant, si le montant des fonds

propres détenus est inférieur au SCR, mais au-dessus du MCR (cf. section suivante), alors

l'assureur doit proposer à l'ACPR un programme de rétablissement du SCR, qui ensuite doit

20 Nous détaillerons le concept de Value-at-Risk dans le chapitre consacré à la modélisation

du SCR.

36

aboutir à une mise à niveau des fonds propres éligibles ou à une réduction du profil du risque

(cf. articles 138, 140 à 142 de la directive Solvabilité 2).

3.3 Le minimum de capital requis (MCR)

Le minimum de capital requis (Minimum Capital Requirement en anglais et MCR en

abrégé), défini aux articles 128 à 131 de la directive Solvabilité 2, correspond à la deuxième

exigence de capital introduite par Solvabilité 2. Il s'agit du niveau minimal de fonds propres

que la société d'assurance doit détenir en permanence pour justifier le maintien de son

agrément. Le MCR est calculé trimestriellement et simplement de manière à pouvoir être

audité facilement et rapidement. Le calcul du MCR peut être divisé en 3 étapes :

− Étape 1 : Détermination de la valeur d'un MCR intermédiaire dit « MCR linéaire ».

Il est obtenu par application d'une fonction linéaire sur un ensemble de variables du

bilan et/ou du compte de résultat (par exemple, les provisions techniques, les primes,

les impôts différés, etc.).

− Étape 2 : Détermination de la valeur d'un deuxième MCR intermédiaire dit « MCR

combiné ». Il est déterminé comme le minimum des deux montants ci-dessous :

• le maximum entre le MCR linéaire et 25% du SCR,

• 45% du SCR.

− Étape 3 : Application d'un plancher absolu au MCR combiné pour obtenir le « MCR

final ». La valeur du plancher est fixée comme suit :

• 3 700 000 € pour les sociétés d'assurance vie ;

• 2 500 000 € pour les sociétés d'assurance non vie ;

• 6 200 000 € pour les entreprises agréées en vie et non vie.21

Si les fonds propres éligibles de la société sont inférieurs au MCR, la société doit alors

mettre rapidement en place un plan de financement lui permettant de ramener les fonds

propres éligibles au niveau requis dans un délai de 3 mois. À défaut, elle devra réduire son

21 À noter que le principe de spécialisation, qui prévaut en assurance, peut être atténué sous

certaines conditions pour permettre à certains assureurs de pratiquer simultanément des

activités d'assurance vie et non-vie complémentaires (cf. l'article 73 de la directive).

37

profil de risque de façon à retrouver des fonds propre éligibles couvrant à nouveau le MCR.

(cf. Articles 139 à 142 de la directive Solvabilité 2).

3.4 Les fonds propres éligibles sous Solvabilité 2

Sous Solvabilité 2, les fonds propres éligibles pour couvrir les exigences quantitatives de

solvabilité (SCR et MCR) sont les fonds propres de base et les fonds propres auxiliaires.

Les fonds propres de base, définis à l'article 88 de la directive Solvabilité 2, sont composés

de l'excédent des actifs par rapport aux passifs d'une part et des passifs subordonnés d'autre

part.

Les fonds propres auxiliaires, définis à l'article 89 de la directive Solvabilité 2, se

composent d'éléments, autres que les fonds propres de base, qui peuvent être appelés pour

absorber les pertes. Par exemple : les lettres de crédit, les garanties, etc.

Les fonds propres éligibles sont classés en 3 niveaux suivant leur disponibilité dans le cas

d'une exploitation continue ou en cas de liquidation (cf. Article 93 à 96 de la directive).

− le niveau 1 regroupe les fonds propres disponibles totalement et inconditionnellement;

− le niveau 2 regroupe les fonds propres disponibles sous condition;

− le niveau 3 regroupe tous les fonds propres éligibles qui ne sont pas classés dans les

deux premiers niveaux.

Le SCR peut être couvert par les fonds propres classés niveau 1, 2 ou 3 dans les conditions

suivantes : le montant total des fonds propres de niveau 1 doit être supérieur au tiers du total

des fonds propres éligibles au SCR, alors que le montant total des fonds propres de niveau 3

ne peut représenter plus du tiers.

Le MCR ne peut être couvert que par des fonds propres classés niveau 1 ou 2, avec pour

condition que la valeur totale des fonds propres de niveau 2 soit inférieure à la moitié du

MCR.

38

Partie 2 : Modélisation de l’actif en

valeur de marché

Rappelons que pour établir un bilan prudentiel, les actifs doivent être valorisés à leur

valeur de marché. Il s’agit de l’un des principes fondamentaux de la reforme Solvabilité 2.

Pour ce faire, deux méthodes peuvent être utilisées :

− Valorisation avec les prix côtés sur les marchés financiers lorsque ceux-ci sont

directement observables. Il s’agit de la valorisation marked to market.

− Valorisation à partir de modèles mathématiques utilisant des hypothèses réalistes et

cohérentes avec le marché (market consistent). Il s’agit de la valorisation mark-to-

model.

Dans le cas de contrat en UC investi sur le CAC 40 et sur des obligations zéro-coupon, la

valeur de marché des actifs est directement observable sur le marché, car tous les actifs sont

côtés. Cependant, en vue de calculer les provisions techniques puis le SCR, il est nécessaire

de construire un modèle mathématique permettant de projeter l'évolution des différents actifs,

de manière cohérente avec le marché, sur toute la durée du contrat.

Cette deuxième partie du mémoire, composée des chapitres 4 et 5, est consacrée à la

projection de l'évolution de l'actif en valeur de marché.

Le chapitre 4 développe un modèle d’allocation dynamique d’actifs : la stratégie dite

"Constant mix".

Le chapitre 5 construit un générateur de scénarios économiques risque neutre.

39

Chapitre 4. Modèle d'allocation d'actifs

L'allocation d'actifs consiste à répartir la somme à investir (ici la prime nette) entre les

différentes classes d'actifs disponibles sur le marché, puis à faire évoluer cette répartition en

fonction de l'évolution du marché, avec pour objectif ultime d'optimiser le couple

rentabilité/risque. Le modèle d'allocation d'actifs est habituellement choisi en tenant compte

du profil de risque de l'investisseur, de la durée de l'investissement et de l’environnement

économique et financier. Le choix d'un modèle approprié est primordial car la rentabilité

finale de l'investissement en dépendra.

Ce chapitre est structuré en deux sections. Dans la première section, nous ferons connaitre

les actifs financiers choisis. Puis, dans la seconde section, nous présenterons le modèle

d'allocation d'actifs choisi : la stratégie Constant mix.

1. Choix des actifs financiers

Les marchés financiers contiennent une multitude d'actifs financiers répondant à des

objectifs d'investissement divers et variés. Les actifs financiers22 qui nous intéressent dans ce

mémoire sont : les obligations zéro-coupon sans risque et l’indice CAC 40 (dividendes

réinvestis). En effet, l’actif sans risque aura pour objectif de sécuriser une partie de

l’investissement alors que l’indice CAC 40, plus dynamique et plus performant, permet au

contrat de bénéficier des tendances haussières du marché23.

22En effet, nous supposons par souci de simplicité que les unités de compte ne contiennent

que ces deux supports d'investissement, raison pour laquelle nous n'évoquerons pas par

exemple les produits monétaires, l'immobilier ou les contrats à terme qui sont habituellement

proposés dans ce type de contrat au travers des parts d'OPCVM ou de FCP. 23À titre d’exemple, le CAC 40 a réalisé en 2013 une performance annuelle nette de +20,95%.

40

De plus, le choix du CAC 40 s'explique par le fait qu'il est très difficile24, voire impossible,

de battre le CAC 40 sur le long terme, c’est-à-dire qu’on ne pourrait pas faire mieux que le

marché.

Enfin, en choisissant d’investir sur deux actifs financiers différents, nous assurons au

portefeuille un minimum de diversification afin de réduire le risque global du portefeuille, car

comme le dit l'adage boursier "Ne jamais mettre tous ses œufs dans un même panier".

1.1 Fonds obligataires

Rappelons que les obligations sont des titres de créances négociables représentatifs d'un

emprunt. Elles donnent droits aux paiements d'intérêts (coupons) et au remboursement du

capital. Elles sont émises sur un marché primaire (en bourse : le marché du neuf) et négociées

de gré à gré sur un marché secondaire (le marché de l'occasion). Il existe différentes

catégories d'obligations selon les caractéristiques du contrat obligataire et le type de l'émetteur

(État, entreprises publiques ou privées, les collectivités,...etc.). Les obligations qui nous

intéressent sont les obligations zéro-coupon sans risque, c'est à dire celles qui ne donnent

pas droit à détachement de coupon (le capital et les intérêts sont payés en une seule fois à

l'échéance) et qui sont émises par des États ayant une signature de très bonne qualité25 et donc

exemptes de risque de crédit26. De plus, nous nous intéresserons qu'aux obligations émises et

remboursées au pair, c'est à dire celles pour lesquelles le prix d’émission, la valeur nominale

et la valeur de remboursement sont égaux.

À noter qu'une obligation zéro-coupon sans risque achetée en date i au taux d'intérêt sans

risque continu ( ),R i T au prix iB versera à son détenteur à l'échéance T un montant TB égal à :

24 Selon la théorie financière de l’efficience des marchés. 25 C'est à dire un État noté AAA (la note la plus élevée) par les principales agences de

notation financière (Standard & Poor's, Moody's et Fitch Ratings). 26 Le risque de crédit que fait subir l'émetteur à l'investisseur correspond à la somme du risque

de défaut (dû à l'éventualité que l'émetteur n'honore pas ses engagements) et du risque de

dégradation de la qualité de la signature de l'émetteur (entrainant la dépréciation de la créance

pour un investisseur qui ne souhaite pas conserver l'obligation jusqu'à son terme).

41

( ) ( )exp ,T iB B T i R i T= ∗ − ∗

La valeur de marché de cette obligation à une date ultérieure (t i> ) est égale à :

( ) ( ) ( ) ( )exp , ,t iB B T i R i T T t R t T= ∗ − ∗ − − ∗

Où ( ),R t T est le taux d'intérêt sans risque continu qui prévaut en date t pour une opération

de durée T t− .

Dans la suite de l’étude, nous considérons qu’une partie des primes est investie sur un

fonds obligataires constitué d’obligations zéro-coupon sans risque, émises et

remboursées au pair.

1.2 Fonds actions : l’indice CAC 40

Le CAC 40 est le principal indice boursier du marché parisien. Il est composé des 40

capitalisations boursières françaises les plus importantes et les plus liquides. Il est calculé en

continu à partir des cours des actions le composant.

Rappelons que les actions sont des parts de capital social émises à la création d'une

entreprise ou à l'occasion d'augmentations de capital. Leur possession confère à son détenteur

des droits de propriété sur l'entreprise émettrice. Les actions peuvent être émises sur un

marché primaire (en bourse) ou négociées de gré à gré sur un marché secondaire. La valeur de

marché d'une action fluctue de manière aléatoire au gré de l'offre et de la demande.

Précisons que l'indice CAC 40 n'est pas un actif financier et par conséquent ne s'échange

pas directement sur le marché. À proprement parlé, investir sur le CAC 40 signifie investir sur

un fond actions (ou sur un contrat à terme) qui le réplique parfaitement. La réplication parfaite

est une technique qui consiste à constituer un portefeuille comprenant à chaque instant, les

mêmes actifs avec les mêmes poids que ceux de l'indice, et donc réalisera les mêmes

performances que l'indice. Cependant, dans la suite de l'étude, par souci de simplification,

nous ferons abstraction du fonds actions sous-jacent et nous continuerons d'employer

l'expression "investir sur le CAC 40".

42

À noter que nous utiliserons les termes « indice CAC 40 » et « actifs risqués » de façon

interchangeable, comme des synonymes parfaits. Idem pour les termes « obligations zéro-

coupon sans risque» et « actifs sans risque ».

2. Allocation d'actifs par la stratégie Constant mix

Le choix des classes d’actifs constitue la première étape de l’allocation d’actifs. La

seconde étape consiste à définir le poids de chaque classe d’actifs afin de constituer le

portefeuille efficient ou optimal. D'après le critère de Markowitz (moyenne-variance), il

s’agit du portefeuille ayant une espérance de rentabilité maximum pour une variance de

rentabilité donnée ou de façon équivalente une variance minimum pour une espérance de

rentabilité donnée. Le calcul des poids revient donc à résoudre un problème d’optimisation

sous contrainte27. Cependant, en pratique, il est très difficile voire impossible de résoudre ce

problème d’optimisation car cela nécessite de disposer des compétences pointues en

optimisation non linéaire28. De ce fait, dans le cadre d'une gestion profilée29, l'assureur ou le

gérant30 se contente simplement de proposer à l’assuré des poids en fonction de profils de

risque vaguement définis. Généralement31, l'assuré a le choix entre trois profils de risques :

Proportion en actifs sans risque

Proportion en actifs risqués

Profil dit "prudent" 80% 20%

Profil dit "équilibré" 50% 50%

Profil dit "dynamique" 20% 80%

27 Cf. la théorie moderne de la gestion de portefeuille d'Harry Markowitz . 28 Cf. par exemple Tennenhäuser (2012) pour la résolution d’un problème d’optimisation dans

le cadre d’un modèle d’allocation d’actifs appliqué à un contrat en UC. 29 En effet, nous supposerons que le contrat en UC étudié dans ce mémoire est en gestion

profilée (cf. chapitre 1 pour une définition détaillée de la gestion profilée). 30 Par souci de simplification, nous considérons que l'assureur et le gérant sont la même

personne, même si dans la réalité ces deux personnes sont généralement différentes. 31 À noter que le dosage des poids peut varier (légèrement) d’un assureur à un autre mais le

principe demeure le même.

43

Une fois le portefeuille d'investissement constitué à la date initiale, se pose la question

suivante : quel comportement adopté suite aux évolutions du marché ?

Une première solution consiste à ne rien faire, il s'agit de la stratégie dite buy-and-hold (on

achète et on conserve jusqu'à l'échéance).Une seconde solution, plus dynamique, consiste à un

rééquilibrage périodique du portefeuille pour maintenir constant les poids des différents

actifs dans le portefeuille : il s'agit de la stratégie Constant mix. C'est cette dernière que nous

appliquerons dans cette étude.

2.1 Définition

La stratégie Constant mix (répartition constante, en français) est une stratégie dynamique

d'allocation d'actifs, bien connue en gestion de portefeuille, qui consiste à rétablir

périodiquement les poids initiaux des actifs du portefeuille. Ce qui revient à vendre les actifs

ayant le plus progressé pour racheter les actifs ayant le moins progressé afin de revenir aux

poids initiaux. Cette stratégie est concave car elle va contre le sens du marché ; le gérant parie

sur un retour à la moyenne (il croît que le marché ne va ni monter ni baisser indéfiniment).

Prenons par exemple le cas d'un assuré qui choisit une composition initiale 80 % en

obligations et 20% sur le CAC 40. Une période plus tard, suite à une baisse du CAC 40, la

nouvelle composition du portefeuille devient 90% d'obligations et 10% de CAC 40.

La stratégie Constant mix va alors consister à réajuster le portefeuille en vendant 10% des

obligations pour réinvestir le même montant sur le CAC 40, pour ainsi rétablir la répartition

initiale 80% de l'épargne en obligations et 20% sur le CAC 40.

Il est important de remarquer que cette stratégie est efficace quand le marché est volatil

(hausse suivie de baisse ou vice versa). En effet, en vendant les actifs ayant le plus progressé,

le portefeuille sera moins touché par une baisse ultérieure de ces actifs puisqu'il est moins

exposé. En outre, en réinvestissant sur les actifs ayant le moins progressés, le portefeuille

bénéficiera de la remontée ultérieure de ces actifs. À contrario, on peut constater que cette

stratégie est inadéquate, lorsque le marché a des tendances haussières ou baissières marquées.

44

2.2 Fonctionnement

Posons les notations suivantes :

− tV la valeur nette de marché du contrat à la date t ;

− tASR la valeur de marché du compartiment investi en actifs sans risque à la date t ;

− tAR la valeur de marché du compartiment investi en actifs risqués à la date t ;

− 0α le poids initial d'actifs sans risque dans le portefeuille ;

− 0β le poids initial d’actifs risqués dans le portefeuille.

Rappelons que le couple (0α , 0β ) est choisi par l'assuré en fonction de son profil de

risque. Il s'agit en fait des poids cibles.

À la date initiale ( 0t = ), l'assureur répartie la prime nette comme suit :

− le montant initial à investir en actifs sans risque est : 0 0 0=ASR Vα ×

− celui à allouer en actifs risqués est : 0 0 0AR Vβ= ×

Le portefeuille ainsi constitué est ensuite réajusté périodiquement (de façon mensuelle dans

cette étude). À chaque période de réajustement, le gérant évalue d'abord la valeur de marché

du contrat et ensuite applique les règles de réajustement ci-dessous :

Tout d'abord, notons t − l'instant juste avant le réajustement et t l'instant juste après le

réajustement du portefeuille. Par convention, à la date initiale on pose 0 0− = .

Évaluation de la valeur de marché du contrat :

− Le montant total du compartiment actifs sans risque est : ( )1

0

It

i i

t t ti

ASR ASR− − −

−

== ×∑

Où, i

t−Ι est une indicatrice définie par :

1, si le portefeuille contient à la date des actifs sans risque achetés en date

0, sinoni

t

t i−

−Ι =

Et, i

tASR− désigne la valeur de marché en date t − des actifs sans risque achetés en date i et qui

sont présents dans le portefeuille à la date t − .

45

− Le montant total du compartiment actifs risqués est égal à : ( )1 1t ttAR AR R− −= ∗ +

Où 1tAR− désigne le montant total du compartiment investi en actifs risqués à la date 1t − et

tR le taux de rendement de l'actif risqué entre les dates 1t − et t .

− La valeur de marché du contrat à la date t − est alors égale à :

( ) ( )1

10

Valeur actifs risqués Valeur actifs sans risque

I 1t

i it tt t t

i

V ASR AR R− − −

−

−=

= × + × + ∑

Règles de réajustement :

Le gérant calcule d'abord la valeur de marché du contrat nette des chargements, ensuite les

montants à investir en actifs sans risque et en actifs risqués conformément à la stratégie du

Constant mix et enfin effectue les opérations d'achats et de ventes d'actifs.

− La valeur de marché du contrat après prélèvement des chargements est égale à :

( )1t tV g V−= − ×

Oùg est un taux qui représente l'ensemble des chargements prélevés sur le contrat à la datet − ,

au titre des frais de gestion, des frais de couverture de la garantie plancher et de la marge

bénéficiaire.

− Le montant total du compartiment actifs sans risque après réajustement est égal à :

0=t tASR Vα ×

− Le montant total du compartiment actifs risqués après réajustement est égal à :

0=t tAR Vβ ×

Pour détenir les nouvelles proportions d’actifs sans risque et d'actifs risqués dans le

portefeuille, le gérant calcule le montant de la transaction : ( )( )1t t tTR ASR g ASR−= − − × où

de façon équivalente ( )( )1t ttTR g AR AR−= − × − , puis applique les règles d’achats et de

ventes comme suit :

− Si 0tTR > , il achète de l'actif sans risque pour un montant de tTR au taux sans risque

( ),R t T , financé par la vente simultanée d'actif risqué pour le même montant.

46

− Si 0tTR < , il achète de l'actif risqué pour un montant de tTR− financé par la vente

simultanée d'actif sans risque pour le même montant au taux ( ),R t T .

− Si 0tTR = , l'assureur n'effectue aucune transaction.

À noter que pour la vente d'actifs sans risque (obligations zéro-coupon), nous supposerons

que le gérant appliquera la règle LIFO (Last In, First Out) qui consiste à vendre en priorité

les derniers titres achetés. Il est à noter également que pour que cette stratégie soit possible, il

faut que les actifs soient parfaitement liquides et divisibles à l'infini afin que le gérant puisse

effectuer aisément et rapidement les opérations d'achats et de ventes. En somme, il faut que le

marché soit parfait.

2.3 Les frais prélevés

Les frais prélevés sur un contrat d’assurance-vie en UC avec garantie plancher sont de

diverses natures. Ils sont variables d'un assureur à l'autre et viennent diminuer le nombre d'UC

détenues dans le contrat. Nous énumérons ci-après les plus importants :

− Les frais d'entrée : appelés également frais d'acquisition sont les frais commerciaux

internes ou externes engagés par l’assureur pour obtenir la conclusion du contrat, par

exemple la commission des apporteurs d'affaires (courtiers, agents généraux,...).Ces frais

sont prélevés à l'occasion de chaque versement de prime.

− Les frais de gestion : ils servent à financer les coûts de gestion du contrat (exemple : les

frais d'encaissement des primes, les frais de paiement des prestations,...) et les coûts de

gestion des placements (exemple : la rémunération du gestionnaire32 de l’épargne, les frais

d'arbitrage33,...). Ces frais peuvent être présentés sous deux formes :

• en pourcentage fixe de l’encours : l’assureur prélève périodiquement un

pourcentage fixe de l’encours (par exemple 2% de l'encours par an). Il s’agit

32 En effet, la gestion financière du contrat est souvent déléguée à une société spécialisée

externe à la société d'assurance. 33 Il s'agit des frais prélevés en cas de réallocation de l'actif.

47

de la forme la plus répandue sur le marché français, même si elle a

l’inconvénient de ne pas sécuriser la recette de l’assureur vu que le montant

prélevé dépend étroitement de l’évolution des unités de compte. En revanche,

elle permet à l’assureur de profiter pleinement des hausses éventuelles du

marché.

• en montant forfaitaire : l’assureur prélève périodiquement sur l’encours une

somme forfaitaire de x euros (par exemple 100 euros par an). Cette forme est

très rare en France, même si elle présente l’avantage de sécuriser la recette et

donc de protéger l’assureur contre les fluctuations à la baisse des unités de

compte.

− Les frais de couverture de la garantie plancher : ces frais sont destinés à financer la

garantie plancher contenue dans le contrat. Ils représentent le coût de la garantie à la

charge de l’assuré, exprimé en base annuelle. Autrement dit, la prime annuelle que doit

payer l’assuré pour pouvoir bénéficier de la garantie plancher. Ces frais sont généralement

payés en même temps que les frais de gestion sous la forme d’un prélèvement annuel sur

l'encours en pourcentage fixe ou en montant forfaitaire.

− Les pénalités de rachat : il s’agit des frais prélevés par l’assureur lorsque l'assuré rachète

son contrat. Ils permettent de compenser le manque à gagner pour l’assureur notamment

au titre des chargements de gestion futurs. En effet, un rachat massif des contrats entraine

une diminution importante des revenus futurs pour l’assureur. Ces frais sont égaux à un

pourcentage de la valeur de rachat du contrat. À noter toutefois que la loi plafonne ce

pourcentage à 5 % maximum et ne s'applique qu'aux contrats de moins de 10 ans

d'anciennetés.

Enfin, notons que dans la suite de l’étude, nous appliquerons les prélèvements annuels en

pourcentage fixe de l’encours pour couvrir les frais de gestion et les frais de couverture de la

garantie plancher.

48

Chapitre 5. Construction d'un générateur de

scénarios économiques

Ce chapitre présente, de façon concrète et pratique, la construction d'un générateur de

scénarios économiques (GSE) risque neutre.

NB : Il est conseillé au lecteur non familier du calcul stochastique de lire d'abord l'annexe 1,

consacrée aux notions de calcul stochastique indispensables à la compréhension de ce

chapitre.

1. Généralités

De manière générale, un GSE est un outil permettant de projeter sur un horizon d'intérêt,

de façon cohérente avec le marché (market consistent), les éléments (aléatoires) présents dans

le bilan d'une société d'assurance (cf. Planchet et al (2009) pour une définition rigoureuse et

détaillée). À l'actif, il permet par exemple de projeter l'évolution des différentes classes

d'actifs (actions, obligations, monétaire, l'immobilier,...) et au passif les provisions techniques

et le SCR. Les GSE sont conçus et utilisés par les sociétés d'assurance comme outils de

tarification et/ou comme outils de gestion des risques.

La construction d'un GSE passe tout d'abord par la modélisation d’autres variables macro-

économiques et financières, dites variables d'intérêt, qui influent directement le bilan d'une

société d'assurance, telles que les taux d’intérêt, les rendements des actions, l’inflation, le

taux de chômage,...etc.

De nombreux modèles de GSE ont été développés ces dernières années dans la littérature

actuarielle. Nonobstant leurs diversités, ces modèles peuvent être regroupés en deux grandes

catégories34 :

34 Cf. Faleh et al. (2009)

49

− Les modèles dits composites : dans ces modèles, chaque variable d'intérêt est modélisée

par un modèle spécifique avec prise en compte des corrélations, généralement linéaires,

entre les différentes variables. Par exemple, les taux d'intérêt modélisés par le modèle de

Hull et White, les rendements des actions par Black & Scholes, l'inflation par le modèle

de Vasicek,...etc. Il s'agit donc d'une modélisation ad hoc de chaque variable d'intérêt. Ces

modèles sont les plus usités par l'industrie notamment grâce à leur simplicité de

conception.

− les modèles dits intégrés : ils se basent sur une variable d'intérêt, prise en input dans le

modèle, pour déterminer les valeurs des autres variables. Il s'agit donc de modèles en

« cascade ». Le plus populaire de ces modèles est celui de Wilkie qui part de l'inflation

pour ensuite déduire les valeurs des autres variables du GSE.

Dans ce mémoire, nous mettrons en place un GSE composite "simplifié"35. En effet, par

souci de simplification, nous nous restreindrons uniquement à la modélisation ad hoc de deux

variables d'intérêt que sont : les taux d'intérêt et les rendements des actions. Pour la

modélisation des taux d'intérêt, nous utiliserons le modèle de Hull et White à un facteur

appelé aussi le modèle de Vasicek généralisé. Quant à la modélisation des rendements des

actions, nous utiliserons le modèle à sauts gaussiens de Merton. Avant d'étudier ces deux

modèles, nous abordons d’abord deux concepts théoriques essentiels à toute modélisation

stochastique : l'univers historique et l'univers risque neutre.

2. Univers historique vs Univers risque neutre

Il existe deux univers pour générer des scénarios économiques : l'univers historique et

l'univers risque neutre.

L'univers historique appelé également univers réel est l'univers dans lequel nous vivons :

plus les investisseurs prennent des risques, plus ils exigent un taux de rentabilité élevé.

Autrement dit, le taux de rentabilité espéré est supérieur au taux sans risque, c'est à dire :

( )E R r π= +

35 Il est à noter que dans la pratique tout GSE cohérent avec le marché doit impérativement

prendre en compte l'inflation, car cette dernière est corrélée à toutes les autres variables

macro-économiques et financières.

50

Où ( )E R est l'espérance du taux de rentabilité R , r le taux sans risque et π la prime de

risque.

Lorsqu’on s'intéresse à la distribution réelle des flux futurs, on se placera dans cet univers.

On utilisera les données historiques pour calibrer les paramètres caractérisant la distribution

considérée. La probabilité associée à cette distribution est appelée probabilité historique, que

nous noterons P .

À contrario, l’univers risque neutre est un univers dans lequel les investisseurs sont

indifférents (neutres) vis-à-vis du risque. La prime de risque est alors nulle ( 0π = ), c'est à

dire que l'actif financier ne rémunère pas son risque. Autrement dit, la rentabilité espérée de

tout actif financier, quel que soit son niveau de risque, est égale au taux sans risque (c’est-à-

dire ( )E R r= ). Cet univers offre une facilité extraordinaire pour évaluer les actifs financiers,

car l'évaluation se ramène à un calcul d'espérance des flux futurs actualisés au taux sans

risque. On dit que le prix actualisé est une martingale. La probabilité associée à ce calcul

d'espérance est appelée probabilité risque-neutre, qu'on notera Q .

Il est à noter qu'il est possible de passer de la probabilité historique à la probabilité risque-

neutre et vice versa à l'aide du théorème de Girsanov36 via la dérivée de Radon-Nikodym :

2

2P

tW tdQe

dP

λλ− −=

Où :

− rµλ

σ−= est le prix de marché du risque, avec µ et σ respectivement l'espérance du taux

de rentabilité sous la probabilité Pet l'écart type de l'actif financier.

− PtW est un mouvement brownien standard sous la probabilitéP .

Enfin, il est à noter qu'un GSE construit dans l'univers historique utilisé avec un déflateur

adéquat produira les mêmes résultats qu’un générateur risque neutre. On rappelle qu'un

déflateur37 est une fonction d’actualisation stochastique qui incorpore la prime de risque.

36 Voir l'annexe 2 pour l'énoncé du théorème de Girsanov. 37 Le lecteur souhaitant aborder l'utilisation des déflateurs en assurance pourra par exemple se

référer à Sauveplane et Dastarac (2010).

51

3. Modélisation des taux d'intérêt

La modélisation des taux d'intérêt est la pierre angulaire dans la construction d'un GSE. En

effet, toutes les variables d'intérêt composant un GSE dépendent directement ou indirectement

des taux d'intérêt. Il est donc primordial de choisir rigoureusement un modèle de taux d'intérêt

adéquat.

3.1 Choix d'un modèle de taux d'intérêt

Il existe une multitude de modèles de taux d'intérêt répondant à des objectifs divers et

variés. Pour cette étude, nous avons choisi un modèle compatible avec la courbe des taux

d'intérêt initiale et suffisamment simple pour générer des résultats dans un temps acceptable.

Il s'agit du modèle de Hull et White à un facteur dit aussi modèle de Vasicek généralisé.

3.2 Présentation du modèle de Hull & White à un fac teur

En 1990, Hull et White ont proposé une généralisation du modèle de Vasicek38 compatible

avec la courbe des taux observée sur le marché à la date initiale. Ce modèle monofactoriel,

reposant sur l'hypothèse d’absence d’opportunité d’arbitrage (AOA), suppose que la

dynamique du taux court instantané obéit dans l'univers risque neutre à l’équation

différentielle stochastique suivante :

( ) ( ) ( ) Qtdr t t ar t dt dWθ σ= − + (0.1)

Où :

− ( )r t est le taux court instantané à la date t, c'est à dire le taux sans risque qui

s'applique à cette date pour une période de longueur infinitésimale ;

− ( )tθ est une fonction déterministe permettant de prendre en compte la courbe initiale

des taux d'intérêt ;

− a et σ sont deux constantes positives représentant respectivement la vitesse de retour

à la moyenne et la volatilité du taux court ;

− QtW est un mouvement brownien standard sous la probabilité risque neutre Q .

38 Cf. l'annexe 3 pour une présentation du modèle de Vasicek.

52

Pour que le modèle s'ajuste à la courbe des taux initiale, Hull et White39 ont démontré qu'il

faut choisir ( )tθ en conformité avec la courbe des taux forward comme suit :

( ) ( ) ( ) ( )2

20,0, 1

2atf t

t af t et a

σθ −∂= + + −

∂ (0.2)

Où :

− ( )0,f t est le taux forward instantané pour la date t , vu à la date 0 ;

− ( )0,f t

t

∂∂

est la pente de la courbe des taux forward instantanés.

En remplaçant ( )tθ par sa valeur dans l'équation (0.1) puis en intégrant cette équation

différentielle stochastique par application du lemme d'Itô, on obtient :

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2

2

20

0, 12

ta t sat Qr t f t e e dW u

a

σ σ − −−= + − + ∫ (0.3)

La discrétisation exacte40 de ( )r t donne :

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

( )

2 2 2

2

22

0, 0, 1 12

12

a ta a a at

a

r t e r t f t e f t e e ea

e Za

δδ δ δ

δ

σδ δ

σ

− +− − − −

−

+ = + + − + − − − +

− ∗

Où δ est le pas de la discrétisation et Z une variable aléatoire normale centrée réduite.

En posant un pas uniforme t

nδ = avec n le nombre de subdivision de l’intervalle[ ]0,t , on

obtient finalement :

39 Cf. Hull et White (1990). 40 Cf. Planchet et al. (2011) pour une démonstration de la discrétisation exacte de( )r t .

53

( )( ) ( ) ( )( ) ( )( )( ) ( ) ( )

2 22 21 22

1 0, 1 0,

1 1 12 2

a a

a n a a n a

r n e r n f n e f n

e e e e Za a

δ δ

δ δ δ δ

δ δ δ δ

σ σ

− −

− + − − −

+ = + + −

+ − − − + − ∗

(0.4)

Hull et White ont aussi démontré que le prix d'une obligation zéro-coupon en date t pour une

maturité T t− , s'écrit de la manière suivante :

( ) ( ) ( ) ( ), exp , ,P t T A t T B t T r t= − (0.5)

Où A et B sont définis par :

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

22 20,

, ln , 0, 1 ,0, 4

1 exp,

atP TA t T B t T f t e B t T

P t a

a T tB t T

a

σ −

= + − −

− − − =

Par ailleurs, à partir de la définition du taux d'intérêt continu, on peut écrire que :

( ) ( ) ( ),, T t R t TP t T e− −= (0.6)

Où ( ),R t T est le taux d'intérêt continu qui prévaut à l’instant t pour une opération de durée

T t− . En égalisant les formules (0.5) et (0.6), on déduit facilement la structure par terme des taux

d’intérêt :

( ) ( ) ( ) ( ), ,,

B t T r t A t TR t T

T t

−=

−

Précisons que tout comme le modèle de Vasicek, le modèle de Hull et White peut conduire à

des taux d'intérêt négatifs du fait du caractère gaussien du modèle, ce qui est d'ailleurs

conforme avec le contexte actuel de taux négatifs observés sur le marché obligataire.

54

3.3 Implémentation du modèle

L'implémentation du modèle de Hull & White s'effectue en deux étapes :

− Étape 1 : Modélisation de la courbe des taux forward( )0,f t à partir de la courbe des

taux zéro-coupon observée sur le marché à la date initiale.

− Étape 2 : Estimation des deux paramètres du modèle : a etσ .

3.3.1. Modélisation de la courbe des taux forward à la date initiale

La modélisation de la courbe des taux forward à la date initiale consiste à déterminer une

fonctionnelle pour ( )0,f t .Pour ce faire, plusieurs méthodes sont proposées dans la littérature

financière. Nous avons testé les plus populaires : le bootstraping, la méthode de Smith-

Wilson, la méthode Nelson-Siegel et enfin la méthode de Nelson-Siegel augmenté (ou

Nelson-Siegel-Svensson). Nous avons retenu cette dernière méthode car c'est elle qui nous a

donné les meilleurs résultats.

Dans le modèle de Nelson-Siegel-Svensson, le taux forward instantané à la date 0 s'écrit

comme suit :

( ) 1 1 20 1 2 3

1 20,

t t tt tf t e e eτ τ τβ β β βτ τ

− − − = + + +

(0.7)

À partir de la relation entre le taux zéro-coupon et le taux forward instantané41, on en déduit

une fonctionnelle pour les taux zéro-coupon à la date initiale :

( )1 1 2

1 20 1 2 3

1 1 2

1 1 10,

t t tt te e e

R t e et t t

τ τ ττ τβ β β β

τ τ τ

− − −− −

− − − = + + − + −

(0.8)

41 En effet on a la relation suivante entre le taux zéro-coupon et le taux forward :

( ) ( ) ( ) ( )0

1 1 1, ln , , ,

T T t

t

R t T P t T f t s ds f t s dsT t T t T t

−

= = =− − −∫ ∫

55

Pour calibrer les paramètres0β , 1β , 2β , 3β , 1τ et 2τ , nous avons utilisé la courbe des taux

zéro-coupon publiée par l'Institut des Actuaires (IA) à fin juin 2015. Par souci de cohérence,

nous n'avons utilisé que les maturités allant de juillet 2015 à juin 2065, car au-delà, les pas ne

sont plus homogènes. Voici sa représentation graphique :

Figure 8 : Courbe des taux zéro-coupons publiée par l'IA à fin juin 2015

On remarque qu'il s'agit d'une courbe concave croissante avec une légère incurvation au

niveau des maturités courtes. On remarque également que les taux sont négatifs pour les

maturités allant de 1 à 38 mois.

L'estimation des paramètres s'obtient en minimisant l'écart quadratique moyen entre la

courbe des taux zéro-coupon modélisée et la courbe des taux de l'Institut des Actuaires.

Nous avons effectué la mise en œuvre informatique sous le logiciel R (logiciel libre de

traitement des données et d'analyse statistiques), en utilisant le fonction "YieldCurve" .

Les résultats obtenus sont regroupés dans le tableau ci-dessous :

56

Valeurs des paramètres

β0 0,077

β1 -0,078

β2 -0,076

β3 -0,133

τ1 3,392

τ2 27,347

À travers le graphique ci-dessous, comparant la courbe ajustée par la méthode de Nelson-

Siegel-Svensson à la courbe des taux zéro-coupon de l'Institut des Actuaires, nous observons

que le modèle s'ajuste convenablement aux données.

Figure 9 : Ajustement de la courbe des taux par la méthode de Nelson-Siegel-Svensson

57

3.3.2. Estimation des paramètres du modèle de Hull & White

L'estimation des paramètres du modèle de Hull & White que sont la vitesse de retour à la

moyenne et la volatilité du taux court (respectivement a et σ ) peut s'effectuer soit en univers

risque neutre ou soit en univers historique, étant donné que les paramètres ont les mêmes

valeurs dans les deux univers.

L'estimation en univers risque neutre s'effectue à partir des dérivés de taux tels que les

caps ou les swaptions pour lesquels on dispose de formules fermées dans le modèle de Hull &

White. La méthode d'estimation consiste à chercher les valeurs des paramètres qui

minimisent l'écart quadratique moyen entre les prix théoriques et les prix observés sur le

marché pour ces dérivés. Cette méthode nécessite donc de disposer de prix de marchés qui ne

sont accessibles que sur des plateformes d'informations financières telles que Bloomberg ou

Reuters. Étant donné que nous n'avons pas accès à ces plateformes, nous ne pouvons donc pas

appliquer cette méthode.

L'estimation des paramètres dans l'univers historique s'effectue simplement à partir d'un

modèle de régression sur des données historiques du taux court. C’est cette méthode que nous

avons appliqué. Pour ce faire, nous avons utilisé l'historique journalier (du 04/01/1999 au

30/06/2015) des taux EONIA42 publiés par la Banque de France au 30 juin 2015.

Nous avons obtenu les résultats ci-dessous :

Valeur des paramètres

a 0,607

σ 1,76%

42 L'Eonia (Euro OverNight Index Average) est le taux de référence interbancaires quotidien

pratiqué dans la zone euro. La Banque de France publie quotidiennement l'historique des taux

EONIA sur le site internet : https://www.banque-france.fr/economie-et-statistiques/changes-

et-taux/les-taux-interbancaires.html.

58

Pour vérifier la fiabilité de ces estimations et donc la consistance et la robustesse du modèle,

nous effectuons les tests suivants :

− Le premier test consiste à comparer la trajectoire moyenne du taux court à celle du taux

forward instantané. En effet, les deux courbes devraient en principe se superposer étant

donné que ( ) ( )0,E r t f t ≈ .

Pour ce faire, nous générons 10 000 trajectoires du taux courts sur 50 ans avec un pas

mensuel à partir desquels nous calculons la trajectoire moyenne du taux court.

Le graphique ci-dessous représente la trajectoire moyenne du taux court et celle du taux

forward instantané :

Figure 10 : Taux court vs taux forward instantané à la date initiale

Nous observons que les deux courbes sont parfaitement superposées, ce qui correspond au

résultat attendu. Les paramètres et la courbe du taux forward sont donc correctement estimés.

59

− Le second test consiste à comparer la courbe des taux zéro-coupon en date initiale,

obtenue par application du modèle de Hull & White, à la courbe des taux zéro-coupon

de l'Institut des Actuaires. L'objectif du test est de vérifier que le modèle de Hull et

White est bien compatible avec la courbe de marché.

Toujours sur la base des 10 000 simulations du taux court, nous obtenons les résultats

représentés dans le graphique ci-après.

Figure 11 : Courbe des taux zéro-coupon de Hull et White vs courbe de l'IA

Nous observons que les deux courbes sont parfaitement superposées, ce qui confirme la

compatibilité du modèle de Hull & White avec la courbe des taux observée sur le marché à

date initiale.

Au vu de ces résultats satisfaisants, nous pouvons conclure que le modèle de Hull &

White est consistant et robuste.

60

4. Modélisation de l'actif risqué

Cette section a pour objectif de modéliser, le plus réaliste possible, les rendements de

l’actif risqué sur lequel sera investie une partie des sommes confiées. En effet, comme nous

l'avons vu dans le chapitre dédié à l'allocation d'actifs, l'assureur investie une partie de la

prime sur le CAC 40 dans l'espoir de bénéficier des rendements haussiers de la bourse.

4.1 Choix d'un modèle actif risqué

Depuis les travaux précurseurs de Bachelier43, la modélisation des cours boursiers est

devenue une thématique de recherche très étudiées en finance de marché, notamment grâce au

progrès de l’outil informatique permettant une mise en œuvre très rapide des modèles étudiés.

Un grand nombre de modèles ont été développés ces dernières années dont le célèbre

modèle de Black & Scholes44 présenté en 1973. En effet, ce modèle incontournable en

finance de marché postule que les cours d'une action suit un mouvement brownien

géométrique en se reposant sur des hypothèses (simplistes) telles que la constance de la

volatilité, la continuité des cours (c’est-à-dire qu’ils ne sautent jamais), la log-normalité des

rendements,…etc.

Grâce à sa simplicité, le modèle de Black & Scholes est devenu au fil des années la

référence en assurance, notamment dans l'évaluation des garanties plancher. Or, plusieurs

études empiriques45ont depuis démontré que les hypothèses sous-jacentes au modèle de Black

& Scholes ne reflètent pas la réalité observée sur les marchés boursiers. En effet, la plupart

des lois de rendement sont leptokurtiques, c'est à dire qu'elles présentent des queues de

distribution plus épaisses que celle de la loi gaussienne, réfutant ainsi la log-normalité des

rendements postulée par le modèle de Black & Scholes. Aussi, les observations empiriques

des cours montrent des discontinuités dans les trajectoires notamment dans les périodes de

43 En effet, Louis Bachelier a été le premier à modéliser les cours boursiers par un mouvement

brownien dans sa thèse de 1900 intitulée "Théorie de la spéculation". 44 Cf. l'annexe 4 pour une présentation du modèle d’évaluation des cours boursiers par le

modèle de Black & Scholes. 45 Cf. par exemple Cont (2001).

61

crise ou de krachs boursiers, contredisant ainsi l'hypothèse de continuité des trajectoires

boursiers. Par conséquent, le modèle de Black & Scholes est inapproprié pour modéliser

finement l'évolution des cours des actifs risqués. Pour remédier à ces déficiences, plusieurs

modèles ont été proposés dans la littérature financière, nous énumérons ci-après les 3 grandes

familles représentatives de ces modèles :

− Les modèles à volatilité locale : dans ces modèles, la volatilité est exprimée par une

fonction déterministe du cours de l'actif et du temps. Ces modèles présentent l’avantage

de calibrer parfaitement le smile de volatilité. On peut citer par exemple le modèle de

CEV ou le modèle de Dupire. Le lecteur pourra par exemple se référer à Perez (2009)

pour une application du modèle de Dupire à l'étude des garanties plancher.

− Les modèles à volatilité stochastique : dans ces modèles, la volatilité est exprimée par

une fonction stochastique avec diffusion. Ces modèles sont plus complexes à calibrer

car ils comportent beaucoup de paramètres mais en contrepartie aboutissent

généralement à des résultats très satisfaisants. À titre d'exemple, nous pouvons citer le

célèbre modèle de Heston ou le modèle de SABR.

− Les modèles stochastiques avec sauts : ces modèles prennent en compte les ruptures

constatées dans les trajectoires boursières, dues notamment à l’arrivée de bonnes ou

mauvaises informations propres à l’actif. Nous pouvons citer à titre d'exemple le

modèle à sauts gaussiens de Merton et le modèle à sauts exponentiels doubles de Kou.

Le lecteur pourra par exemple se référer à Kélani (2012) pour une présentation

détaillée de ces deux modèles.

Dans cette étude, nous avons fait le choix de retenir le modèle à sauts gaussiens de Merton

pour modéliser le CAC 40. En effet, ce modèle présente l'avantage de prendre en compte les

discontinuités (sauts) des cours boursiers en augmentant l'épaisseur des queues de

distribution. Car, occulter le caractère discontinu des cours boursiers comme le sous-tend le

modèle standard de Black & Scholes est à la fois inapproprié et surtout très dommageable,

notamment dans le contexte de Solvabilité 2 où les scénarios extrêmes (évènements

improbables et les chocs abruptes) doivent être impérativement pris en compte.

62

4.2 Le modèle à sauts gaussiens de Merton

Le modèle à sauts gaussiens de Merton, présenté en 1976 par Robert Merton, est un

modèle mixte diffusion et sauts. La partie diffusive correspond au modèle standard de Black

& Scholes et la partie des sauts est quant à elle représentée par un processus de Poisson

composé.

4.2.1. Présentation du modèle

Dans le modèle de Merton (1976), la dynamique du cours de l'actif risqué est donnée dans

l'univers historique P par l'équation différentielle stochastique suivante :

Partie des sautsPartie diffusive

Ptt t

t

dSdt dW dL

Sµ σ

−

= + +

(0.9)

Où :

− t

S− représente le cours de l'actif juste avant la survenance d'un saut à l'instant t ;

− µ et σ sont deux constantes représentant respectivement les paramètres de tendance et

de volatilité de l'actif risqué ;

− ( )0

Pt t

W≥

est un mouvement brownien standard sous la probabilité historique P ;

− 1

tN

t ii

L U=

= ∑ est un processus de Poisson composé ;

− ( ) 1t tN

≥représente un processus de Poisson d'intensité finieλ : il compte de nombre de

sauts survenus avant l’instant t ;

− ( ) 1i iU

≥est une suite de variables aléatoires indépendantes log-normales, représentant

l'amplitude des sauts ;

− ( )0

Pt t

W≥

,( ) 0t tN

≥ et( ) 1i iU

≥sont toutes mutuellement indépendantes.

En intégrant l’équation (0.9), par application du lemme d'Itô généralisé46, nous obtenons la

solution suivante :

46 Voir l’annexe 5 pour une présentation du lemme d'Itô pour les processus mixtes diffusion et

sauts.

63

20

1

1exp

2

tNP

t t ii

S S t W Jµ σ λκ σ=

= − − + +

∑

Où :

− ( ) ( )2ln 1 ,i iJ U γ δ= + Ν∼ avec pour condition 1iU > − pour que les cours soient

positifs.

− ( )2

1 exp 12

iJE eδκ γ

= − = + −

Soit hR le log-rendement de l'actif risqué sur un intervalle de longueur h , [ ],t t h+ , on a :

( )20

1

20

1

1exp

2ln ln

1exp

2

t h

t

N

t h iit h

h Nt

t ii

S t h W JS

RS

S t W J

µ σ λκ σ

µ σ λκ σ

+

+=+

=

− − + + + = = − − + +

∑

∑

Après quelques développements, on obtient l'expression suivante :

( ) ( )2

2

t h

t

NP P

h t h t ii N

R h W W Jσµ λκ σ+

+=

= − − + − +∑

4.2.2. Estimation des paramètres

Nous allons à présent estimer les 5 paramètres permettant de définir intégralement le

modèle de Merton : 2 2, , , et µ σ λ γ δ . Pour ce faire, nous allons procéder par la méthode

dite des cumulants. Cette méthode consiste à égaliser les cumulants théoriques avec les

cumulants empiriques des log-rendements, qui conduit ensuite à un système d'équations non

linéaires à 5 inconnues permettant d'obtenir les paramètres. Nous verrons ensuite que la

résolution du système revient à résoudre un problème d'optimisation sous contraintes.

64

Par ailleurs, on peut facilement démontrer que la fonction génératrice des cumulants47 de la

variable aléatoirehR , s'écrit comme suit :

( ) ( )2 2 22 2ln exp 12 2 2hR hE e h hθ σ θ δθ µ λκ θ σ λ θγ = − − + + + −

Où θ est une variable de transformation.

En faisant un développement de Taylor de cette fonction génératrice des cumulants, on trouve

un développement de la forme :

1

ln!

h

jR

jj

E e kj

θ θ∞

=

= ∑

À partir de ce développement, on déduit facilement les six premiers cumulants théoriques de

la loi de hR :

( )( )( )( )( )

2

1

2 2 22

2 33

4 2 2 44

4 3 2 55

6 4 2 2 4 66

2

3

3 6

15 10

15 45 15

k h h

k h h

k h

k h

k h

k h

σµ λκ λ γ

σ λ γ δ

λ γδ γ

λ δ γ δ γ

λ γδ γ δ γ

λ δ δ γ δ γ γ

= − − +

= + + = + = + + = + + = + + +

Nous savons par ailleurs que les 6 premiers cumulants empiriques de hR sont :

( )( )( )( )( )

1 ,1

2

2 , 11

3

3 , 11

42

4 , 1 21

5

5 , 1 2 31

62 3

6 , 1 2 4 3 21

1ˆ

1ˆ ˆ

1ˆ ˆ

1ˆ ˆ ˆ3

1ˆ ˆ ˆ ˆ10

1ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ15 10 15

n

h ii

n

h ii

n

h ii

n

h ii

n

h ii

n

h ii

k rn

k r kn

k r kn

k r k kn

k r k k kn

k r k k k k kn

=

=

=

=

=

=

=

= −

= − = − − = − − = − − − −

∑

∑

∑

∑

∑

∑

Où ,h ir est une observation de la variable aléatoire hR et n le nombre d'observations.

47 Voir l'annexe 6 pour la démonstration de la fonction génératrice des cumulants.

65

En égalisant les cumulants empiriques et théoriques nous obtenons un système de 6

équations à 5 inconnues. Puis en rajoutant la contrainte naturelle 0λ ≥ , nous aboutissons au

système d'équation non linéaire avec contrainte ci-dessous :

( )( )( )( )( )

2

1

2 2 22

2 33

4 2 2 44

4 3 2 55

6 4 2 2 4 66

ˆ 02

ˆ 0

ˆ 3 0

ˆ 3 6 0

ˆ 15 10 0

ˆ 15 45 15 0

0

h h k

h h k

h k

h k

h k

h k

σµ λκ λ γ

σ λ γ δ

λ γδ γ

λ δ γ δ γ

λ γδ γ δ γ


λ

− − + − =

+ + − =

+ − =

+ + − =

+ + − = + + + − = ≥

Ainsi, l'estimation des paramètres du modèle de Merton (1976) revient à résoudre un

système non linéaire de 6 équations à 5 inconnues et 1 contrainte linéaire. Grâce à la méthode

des moindres carrés, la résolution de ce système revient à minimiser sous contrainte la

fonction ( )2 2, , , ,F µ σ λ γ δ définie par :

( ) ( )

( ) ( ) ( )( )

22 2

2 2 2 2 21 2

2 2 22 3 4 2 2 4 4 3 2 5

3 4 5

26 4 2 2 4 6

6

ˆ ˆ, , , ,2

ˆ ˆ ˆ3 3 6 15 10

ˆ15 45 15

F h h k h h k

h k h k h k

h k

σµ σ λ γ δ µ λκ λ γ σ λ γ δ

λ γδ γ λ δ γ δ γ λ γδ γ δ γ


= − − + − + + + − +

+ − + + + − + + + − +

+ + + −

Sous la contrainte : 0λ ≥

Pour pouvoir minimiser cette fonction, il faut d’abord calculer les cumulants empiriques

de la variable des log-rendements de l'actif risqué. Pour ce faire, nous avons téléchargé sur le

66

site48 internet de Yahoo Finance 6 976 cours historiques journaliers (1

252h = ) de l’indice

CAC 40 (cours à la clôture avec dividendes réinvesties) observés sur la période allant du

31/12/1987 au 30/06/2015.

Nous représentons dans le graphique ci-dessous les cours utilisés :

Figure 12 : Historique des cours journaliers de l’indice CAC 40

À partir de ces cotations, nous recalculons les log-rendements journaliers ( )1

ln thh

t h

SR

S −

=

pour 1,...,6976t = , soit 6 975 log-rendements journaliers que nous représentons dans le

graphique ci-dessous :

48 À l'adresse internet suivante : https://fr.finance.yahoo.com/q/hp?s=%5EFCHI

67

Figure 13 : Historique des log-rendements journaliers de l’indice CAC 40

Avant de procéder à l'estimation des paramètres, vérifions d'abord que les données ne sont

pas gaussiennes. En effet, si tel est le cas, le modèle de Merton (1976) n’aurait pas lieu d’être,

le modèle de Black & Scholes serait suffisamment robuste. Pour ce faire, nous confrontons les

statistiques de la distribution des log-rendements à celles d'une loi normale :

Statistiques Loi des log-rendements Loi normale

Moyenne 0,035% 0

Écart-type 1,37% 1

Skewness49 - 0,055 0

Kurtosis50 7,64 3

49 Le skewness (ou coefficient d’asymétrie en français) mesure le degré d'asymétrie d'une

distribution par rapport à sa moyenne. 50 Le kurtosis (ou coefficient d’aplatissement en français) mesure le degré d’aplatissement ou

de pointicité de la distribution d’une variable aléatoire réelle.

68

Ces statistiques indiquent clairement que la distribution des log-rendements n'obéit pas à

une loi normale. En effet, le skewness de la distribution des log-rendements est différent de 0

qui est celui d’une loi normale et le coefficient d’aplatissement est nettement supérieur à 3. Ce

qui indique que la distribution des log-rendements possède des queues de distribution plus

épaisses que celles de la loi normale.

De plus, le graphique QQ-plot51 ci-dessous confirme que la distribution des log-rendements

n'obéit pas à une loi normale. En effet, si tel était le cas, les deux courbes seraient

superposées. Nous pouvons donc poursuivre l'estimation des paramètres du modèle de

Merton.

Figure 14 : QQ-Plot variable aléatoire des log-rendements et loi normale

51 Le QQ-Plot permet de comparer les quantiles de deux distributions via une représentation

graphique dans le plan.

69

Le calcul des cumulants empiriques s'effectue aisément en appliquant les différentes

formules données supra. Nous avons effectué les calculs numériques à l'aide du logiciel R, les

résultats obtenus sont regroupés dans le tableau ci-dessous :

Cumulants empiriques des log-rendements quotidiens

Moyenne : 1k 3,48e-04

Variance : 2k 1,88e-04

Cumulant d'ordre 3 : 3k -1,41e-07

Cumulant d'ordre 4 : 4k 1,65e-07



En remplaçant les cumulants empiriques par leurs valeurs dans la fonction ( )2 2, , , ,F µ σ λ γ δ ,

nous pouvons enfin résoudre le problème de minimisation et obtenir les 5 paramètres du

modèle de Merton (1976). Pour ce faire, nous avons utilisé l’algorithme d’optimisation de

Nelder et Mead52 implémenté dans la fonction "constrOptim" du logiciel R.

Nous avons obtenu les résultats suivants :

Paramètres du modèle de Merton

µ 11,617%

σ 16,827%

λ 28,683

γ 0,322%

δ 3,141%

52 La méthode de Nelder-Mead est un algorithme numérique heuristique d'optimisation non-

linéaire qui cherche à minimiser une fonction continue dans un espace à plusieurs dimensions.

Pour plus de détails sur le fonctionnement de cet algorithme, nous renvoyons le lecteur à

Nelder et Mead (1965).

70

Pour vérifier l'avantage du modèle de Merton (1976) par rapport au modèle de Black &

Scholes, nous avons comparé les densités de probabilité (représentées avec un noyau

gaussien) des log-rendements historiques, Black & Scholes, et Merton (1976).

Les trois courbes sont représentées dans le graphique ci-dessous :

Figure 15 : Comparaison des distributions de probabilité

Nous obtenons le résultat escompté, c'est à dire que la distribution de Merton (1976)

possède des queues de distribution nettement plus épaisses que celles de la distribution de

Black & Scholes (1973). De plus, nous observons que la distribution de Merton (1976)

s’ajuste mieux à la distribution historique comparativement à celle de Black & Scholes.

Ce qui confirme que le modèle à sauts gaussiens de Merton est plus approprié que le

modèle de Back & Scholes pour modéliser les cours de l'actif risqué dans le contexte de

Solvabilité 2.

71

5. Prise en compte des corrélations

Nous allons à présent étudier la corrélation linéaire53 qui peut éventuellement exister entre

le taux court et l'actif risqué. En effet, il n'est pas absurde de penser qu'un mouvement

haussier ou baissier du taux court peut influencer les cours de l'actif risqué et vice versa.

Pour étudier cette corrélation, nous devons d'abord écrire le taux court et le cours de l'actif

risqué dans le même univers en l'occurrence l'univers risque-neutre (choisi notamment pour sa

simplicité de calcul). Étant donné que la dynamique du taux court est déjà exprimée dans

l’univers risque neutre, à travers le modèle de Hull et White, il ne reste alors plus que le cours

de l'actif risqué à écrire dans cet univers. En effet, le cours de l'actif risqué est exprimé en

univers historique, il faut donc appliquer le théorème de Girsanov pour changer d'univers.

D'après ce théorème, il existe une probabilité risque-neutre54Q tel que sous cette probabilité,

la dynamique du cours de l'actif risqué s'écrit comme suit :

20

1

1exp

2

tNQ

t t t ii

S S r t W Jσ λκ σ=

= − − + +

∑ɶ

On remarque alors que la dérive µ a été remplacée par le taux court instantané sans risque, et

PtW le mouvement brownien sous la probabilité historique Pa lui aussi été remplacé par QtWɶ

un mouvement brownien standard sous la probabilité risque neutreQ .

En résumé, nous avons :

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2

2

20

20

1

0, 12

1exp

2

t

ta t sat Q

NQ

t t t ii

r t f t e e dW ua

S S r t W J

σ σ

σ λκ σ

− −−

=

= + − +

= − − + +

∫

∑ɶ

Où QtW et Q

tWɶ sont deux mouvements browniens standards sous la probabilité risque neutreQ . 53 Il est à noter qu'une corrélation n'est pas forcément linéaire, elle peut être quadratique,

exponentielle ou sinusoïdale par exemple. Cependant pour des raisons de simplicité évidente,

nous n'étudierons dans ce mémoire que la corrélation linéaire. 54 En réalité, il en existe plusieurs mesures risque-neutre étant donné qu'on est dans un marché

incomplet (dû à la présence de sauts dans la dynamique de l'actif risqué).

72

En grosso modo, l'étude de la corrélation entre les taux d'intérêt et les cours de l'actif risqué

revient à déterminer la corrélation linéaire entre les deux mouvements browniens risque-

neutre : QtW et Q

tWɶ .

Grâce à la factorisation de Cholesky55, il existe deux mouvements browniens indépendants

( )1tW et ( )2

tW sous la probabilité risque-neutre Q telle que :

( )

( ) ( )

1

1 221

Qt t

Qt t t

W W

W W Wρ ρ

=

= + −ɶ

Avec ρ le coefficient de corrélation linéaire entre QtWɶ et QtW .

En remplaçant QtW et Q

tWɶ par leurs valeurs respectives, nous obtenons finalement :

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )( )

22 1

20

1 22 20

1

0, 12

1exp 1

2

t

ta t sat

N

t t t t ii

r t f t e e dW ua

S S r t W W J

σ σ

σ λκ σ ρ ρ

− −−

=

= + − +

= − − + + − +

∫

∑

Il ne reste alors plus qu'à déterminer le coefficient de corrélation linéaire ρ .

Rappelons que le coefficient de corrélation linéaire ( ),X Yρ entre deux variables aléatoires

X etY mesure l'intensité de la liaison linéaire entre ces deux variables. Il se calcule aisément

à l'aide de la formule suivante56 :

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ),

E XY E X E YX Y

X Yρ

σ σ−

=

Où Eet σ désignent respectivement l'opérateur de l'espérance et de l'écart-type.

Dans cette étude, nous posons :

X = la variation mensuelle du taux Euribor 1 mois57, soit la série ( )1 1t t tr r − ≥

−

55 Cf. Portrait et Poncet (2011) pour une présentation de la factorisation de Cholesky. 56 Cf. Saporta (2011) par exemple.

73

Y = le log-rendement mensuel du CAC 40, soit la série 1 1

log t

t t

S

S− ≥

En utilisant l'historique mensuel de ces deux variables sur la période allant du 04/01/1999 au

30/06/2015 (cf. le graphique ci-dessous), nous obtenons finalement :

ρ = 11,72%

Ce qui signifie que le rendement mensuel du CAC 40 est corrélé positivement (mais

faiblement) avec la variation mensuelle du taux Euribor 1 mois.

Figure 16 : Évolution du CAC 40 et du taux Euribor 1 mois

57 L’Euribor est le taux moyen interbancaire pratiqué par les grandes banques de la zone euro

pour des maturités allant d'une semaine à un an. L’Euribor 1 mois désigne le taux Euribor

pour une maturité de 1 mois. La Banque de France publie quotidiennement l'historique des

taux Euribor pour différentes maturités, notamment l’Euribor 1 mois, à l'adresse internet

suivante : https://www.banque-france.fr/economie-et-statistiques/changes-et-taux/les-taux-

interbancaires.html.

74

Partie 3 : Modélisation du passif en

valeur de marché

Cette partie du mémoire, composée des chapitres 6 à 8, traite de la modélisation des

principaux éléments du passif d'un bilan prudentiel à savoir les provisions techniques (best

estimate et marge de risque) et le SCR.

Le chapitre 6 évoque brièvement la modélisation des taux de mortalité et des taux de rachat.

Le chapitre 7 développe la modélisation des provisions techniques aux normes Solvabilité 2.

Le chapitre 8 présente rapidement le modèle standard fourni par l'EIOPA pour le calcul du

SCR.

75

Chapitre 6. Modélisation du comportement des

assurés

Dans ce chapitre, nous abordons la projection des décès et des rachats. Il est en effet

téméraire de supposer que tous les contrats iront à leurs termes. De ce fait, il est primordial de

prendre en compte les anticipations des décès et des rachats dans l’évaluation des

engagements futurs de l'assureur et de l'assuré. À noter néanmoins que dans le cadre d’un

contrat en UC avec garanties plancher, le risque viager (décès et survie) et le risque de rachat

sont moins importants devant le risque de marché. C'est pourquoi, nous n’emploierons pas de

modèles sophistiqués58 pour évaluer finement ces deux risques. Nous nous contenterons

simplement d’une table de mortalité réglementaire pour projeter les taux de mortalité, même

si nous sommes conscients que celle-ci ne reflète pas la mortalité des assurés. Quant aux

rachats, nous utiliserons grossièrement une loi de rachat développée dans un ancien mémoire

d’actuariat.

1. La mortalité

L'exercice des garanties plancher est soumis à un aléa viager, c'est à dire le décès pour les

garanties de type GMDB et la survie de l'assuré au terme du contrat pour les garanties de type

GMMB. La probabilité pour un assuré d'être vivant ou décédé à une date donnée se mesure à

l’aide d'une table de mortalité. Pour évaluer ses engagements, l'assureur peut soit utiliser une

table réglementaire appropriée avec éventuellement des décalages d'âge ou soit opter pour une

table d'expérience59 construite sur une population d'assuré.

58 La modélisation des rachats ou des taux de mortalité constitue à elle seule un sujet de

mémoire. Nous renvoyons le lecteur intéressé à l'un des nombreux travaux dédiés (cf. par

exemple Suru (2011) consacré exclusivement aux rachats). 59 La table d'expérience doit être certifiée par un actuaire indépendant de l'entreprise et agréé

par l’Institut des Actuaires. À noter cependant que cette table doit être plus prudente que la

table réglementaire en vigueur.

76

Les tables réglementaires sont construites par l'INSEE à partir de statistiques relatives à

l'ensemble de la population nationale. Exceptée les tables pour les rentes viagères, les tables

réglementaires sont rétrospectives, c’est-à-dire qu'elles résultent d'une simple "photo" du

passé. Il est alors évident que ces tables ne reflètent pas exactement la mortalité de la

population assurée car d’une part les caractéristiques de cette population divergent

naturellement de celle de la population nationale et d’autre part elles ne prennent pas en

compte l’augmentation de l’espérance de vie (due aux progrès de la médecine).

Les tables d’expérience sont construites à partir de données propres au portefeuille

d’assuré. Ces tables sont généralement prospectives, c’est-à-dire qu’elles anticipent mieux la

mortalité future. On trouve dans la littérature actuarielle différents modèles60 permettant de

construire des tables d'expérience : le modèle de Lee et Carter, les lois de Gompertz et

Makeham ou le modèle non paramétrique de Whittaker-Henderson sont parmi les plus usités.

Cependant, la construction d'une table d'expérience nécessite un nombre important de données

exploitables, notamment un historique conséquent de la mortalité de la population assurée ou

d'une population proche, ce qui constitue souvent un obstacle à la construction d'une table

d'expérience dans la pratique.

Nonobstant les obstacles, la reforme Solvabilité 2 impose aux assureurs d’utiliser des

tables de mortalité prospectives pour le calcul des provisions best estimate. Dit-autrement, les

tables utilisées doivent être best estimate afin de ne pas mésestimer le risque réellement

encouru. Toutefois, il reste possible d'utiliser des tables prudentes lorsque les tables best

estimate s'avèrent impossibles à construire, car Solvabilité 2 est avant tout une reforme

prudentielle. C'est pourquoi nous utiliserons, dans cette étude, les tables suivantes :

− TH 00-02 pour les hommes

− TF 00-02 pour les femmes

Par ailleurs, rappelons qu'il est formellement interdit depuis le 21/12/2012 d'utiliser le sexe

comme facteur de discrimination dans la tarification en assurance. En effet, d'après un arrêt de

la Cour de justice de l'Union européenne, la prise en compte du sexe constitue une pratique

discriminatoire et donc contraire aux principes de l'Union.

60 Nous renvoyons le lecteur à l'un des nombreux travaux consacrés à la construction d'une

table d'expérience, cf. Elbaz (2007) par exemple.

77

Figure 17 : Tables de mortalité - TH 00-02 et TF 00-02

Dans la suite, nous emploierons les notations traditionnelles suivantes :

− xT la durée de vie résiduelle d'un individu d'âge x ;

− xl le nombre probables de vivants à l'âge x ;

− t xp la probabilité qu'un individu d'âge x soit vivant à l'âge x t+ ;

− 1x xp p≡ le taux annuel de vitalité ;

− /t t xq′ la probabilité qu’un individu d’âge x décède entre les âgesx t+ et x t t′+ + ;

− 0/1x xq q≡ le taux annuel de mortalité à l'âge x ;

− xµ le taux instantané de mortalité à l'âge x .

Avec ces notations, nous pouvons écrire les formules suivantes :

− [ ] x tt x x

x

lp P T t

l+= > =

− [ ]/x t x t t

t t x xx

l lq P t T t t

l′+ + +

′−′= < ≤ + =

78

2. Les rachats

Le rachat est une option contractuelle, contenue dans la majorité des contrats d'assurance

vie, permettant au souscripteur de retirer tout (rachat total) ou partie (rachat partiel) de la

provision mathématique de son contrat durant une période prédéfinie. Ainsi comme option

contractuelle, le rachat doit être pris en compte dans l'évaluation des provisions best estimate.

En effet, l'article 26 de la directive Omnibus 2 dispose que "Toutes les garanties financières

et options contractuelles figurant dans les polices doivent être prises en compte dans le calcul

des engagements effectués selon la technique du best estimate». Afin de correctement évaluer

cette option, il faut au préalable distinguer les différents types de rachats.

2.1 Les rachats structurels

Les rachats structurels sont les rachats récurrents répondant essentiellement à un besoin de

liquidité pour financer un projet personnel (par exemple pour l'achat d'une nouvelle voiture).

Ces rachats ne résultent donc pas d'un arbitrage de marché. Les taux de rachats structurels

sont estimés par des lois d'expérience basées sur des variables telles que l'ancienneté du

contrat, l'âge de l'assuré, l'antériorité fiscale,…etc.

2.2 Les rachats conjoncturels

Les rachats conjoncturels ou dynamiques sont étroitement liés aux opportunités de marché

et repose sur le concept de "client rationnel". Un client est dit rationnel s'il ne rachète son

contrat que lorsque la valeur du contrat est suffisamment supérieure au capital minimum

garanti. Un client qui a un comportement contraire est dit irrationnel. Les taux de rachats

conjoncturels peuvent être modélisés par une fonction (déterministe ou stochastique) de la

valeur de marché du contrat, du capital minimum garanti ou avec d’autres variables

financières.

À noter qu' à une date donnée, le taux de rachat est la somme du taux de rachats structurels et

du taux de rachats conjoncturels.

79

2.3 Loi de rachat retenue pour l'étude

À défaut de disposer des données de marché, propres à notre contrat, nous permettant de

modéliser concrètement et rigoureusement les lois de rachats structurels et conjoncturels, nous

reprenons la loi de rachat modélisée dans un ancien mémoire d'actuariat (cf. Corre (2005)).

Il s’agit d’une loi de rachat estimée à partir d’un portefeuille de contrats PEP61 de la

Fédération Continentale (Groupe Generali France). Concrètement, l'auteur a calculé les taux

de rachat par année d'ouverture fiscale en effectuant le rapport du nombre de contrats rachetés

par le nombre total de contrat en début d'année.

En effet, le choix de cette loi s'explique par le fait que le contrat étudié dans ce mémoire est

"proche" d'un contrat PEP, dans sa structure et dans son fonctionnement.

Voici la loi de rachat considérée :

Année d'ouverture fiscale Ancienneté (en années) % rachats en nombre

1989 15 16,67% 1990 14 5,83% 1991 13 5,59% 1992 12 5,26% 1993 11 5,61% 1994 10 4,15% 1995 9 4,00% 1996 8 1,73% 1997 7 2,51% 1998 6 2,95% 1999 5 6,28% 2000 4 17,66% 2001 3 7,23% 2002 2 2,79% 2003 1 0,28%

61 Le contrat PEP (Plan Epargne Populaire) est un ancien produit d'épargne comportant une

garantie plancher en cas de vie après 8 ans.

80

A noter que cette loi a été modélisée uniquement pour des contrats en plus-value, c’est-a-

dire ceux pour lesquels la provision mathématique est supérieure au capital minimum garanti.

Néanmoins, dans la suite de l'étude, nous l'appliquerons même aux contrats en moins-value.

Nous observons que cette loi de rachat s’arrête à 15 ans d’ancienneté. Pour les anciennetés

au-delà de 15 ans, nous fixerons grossièrement le taux de rachat à 5%.

En outre, par souci de simplification, nous supposerons dans la suite que les rachats sont

systématiquement totaux, c'est à dire qu'en cas de rachat, le souscripteur rachète l'intégralité

de son contrat. Ceci afin d'éviter de recalculer62 à chaque rachat partiel la nouvelle valeur du

capital minimum garanti.

3. Probabilités de verser des flux de prestation s

Dans cette section, nous explicitons les probabilités pour l'assureur de verser une prestation

en cas de décès, en cas de survie à l'échéance du contrat et en cas de rachat à une date donnée.

Pour des raisons évidentes, nous supposerons qu'il n'y a pas de rachat la dernière année étant

donné que le contrat arrive à son terme.

Notons, x l'âge de l'assuré à la souscription du contrat, t un nombre d'années quelconque

après la souscription , T l'échéance du contrat (en nombre d'années) et iτ le taux annuel de

rachat pour un contrat ayant 1i − années d'ancienneté.

Décès :

La probabilité pour l’assureur de verser une prestation pour décès à la fin de l’année t est

égale à la probabilité que le contrat n'ait pas été racheté pendant t années multipliée par la

probabilité que l'assuré décède au cours de l’année t . Soit :

62 En effet, le montant de chaque rachat partiel vient diminuer le niveau de l'épargne et par

conséquent devrait logiquement diminuer aussi le capital minimum garanti.

81

( )1

1

Proba = 1t

décès x t x tt i

ix

l l

lτ+ − +

=

− × − ∏

Où :

− Probadécèst désigne la probabilité pour l’assureur de verser une prestation pour décès à

la fin de l’année t ;

− 1x t x t

x

l l

l+ − + −

est égale à la probabilité que l'assuré décède au cours de l’année t ;

− ( )1

1t

ii

τ=

− ∏ est égale à la probabilité que le contrat n'ait pas été racheté pendant t

années.

Survie à l’échéance du contrat :

La probabilité pour l'assureur de verser une prestation en cas survie de l'assuré à la fin de

l'année T est égale à la probabilité que le contrat n'ait pas été racheté pendant les 1T − années

précédentes multipliée par la probabilité que l'assuré soit en vie à la fin de l’année T . Soit :

( )1

1

Proba = 1T

vie x TT i

ix

l

lτ

−+

=

× − ∏

Où :

− ProbavieT désigne la probabilité pour l'assureur de verser une prestation en cas de survie

de l'assuré à l'échéance du contrat;

− x T

x

l

l+

est égale à la probabilité que l’assuré soit en vie à la fin de l’année T ;

− ( )1

1T

ii i

τ−

=

− ∏ est égale à la probabilité que le contrat n'ait pas été racheté pendant les

1T − années précédentes.

Rachats :

La probabilité pour l'assureur de verser une prestation pour rachat à la fin d’année t est égale

à la probabilité que l'assuré soit en vie à cette date multipliée par la probabilité que le contrat

82

n'ait pas été racheté pendant les 1t − années précédentes, le tout multipliée par la probabilité

annuel de rachat pour un contrat ayant 1t − années d'ancienneté. Soit :

( )1

1

Proba 1t

rachat x tt i t

ix

l

lτ τ

−+

=

= × − × ∏

Où :

− Probarachatt désigne la probabilité pour l'assureur de verser une prestation pour rachat à la

fin de l’année t .

− x t

x

l

l+

est égale à la probabilité que l'assuré soit en vie à la fin de l’année t .

− ( )1

1

1t

ii

τ−

=

− ∏ est égale à la probabilité que le contrat n'ait pas été racheté pendant 1t −

années. On pose par convention( )0

1

1 1ii

τ=

− =∏ .

83

Chapitre 7. Modélisation des provisions

techniques

Le passif d’une société d’assurance vie est constitué essentiellement des provisions

techniques. La directive Solvabilité 2 prévoit de valoriser les provisions techniques selon leur

valeur de marché, c’est-à-dire à leur valeur de transfert. Or, les provisions techniques d’une

société d’assurance sont très rarement (voire jamais) cotées sur des marchés financiers. Par

conséquent, la valorisation par les valeurs directement observables sur le marché devient

inopérante. De ce fait, la directive Solvabilité 2 propose une alternative consistant à évaluer

les provisions techniques à partir d’une approche mark-to-model, c’est-à-dire une valorisation

à l’aide de modèles mathématiques, utilisant des hypothèses cohérentes avec les données de

marché (market consistent).

Ce chapitre développe la modélisation des provisions techniques au titre du contrat en UC

avec garantie plancher mixte GMDB/GMMB étudié dans le présent mémoire. Ces provisions

techniques seront évaluées comme la somme des provisions best estimate et de la marge de

risque, étant donné que les flux financiers dudit contrat ne sont pas réplicables. Ceci à cause

d'une part au risque viager et d'autre part à cause de l'incomplétude des marchés financiers

résultant de la présence de sauts dans la dynamique de l'actif risqué (cf. Gabriel et Sourlas

(2008)).

À noter que dans le cas de flux réplicables, les provisions techniques sont calculées comme un

tout sans marge de risque.

1. Modélisation des provisions best estimate

L'article 77 de la directive Solvabilité 2 prévoit le calcul des provisions best estimate (en

abrégé best estimate ou BE) comme une moyenne pondérée par leur probabilité des flux de

trésoreries futurs, compte tenu de la valeur temporelle de l’argent (valeur actuelle attendue

des flux de trésorerie futurs), estimée sur la base de la courbe des taux sans risque pertinents.

Autrement dit, les provisions best estimate sont égales à la différence entre la valeur actuelle

probable (VAP) des engagements pris par l'assureur d'une part et la VAP des engagements

84

pris par l'assuré d'autre part, calculés sur la base d’hypothèses réalistes et cohérentes avec le

marché.

Formellement, la valeur des provisions best estimate à un instant donné s'écrit de la manière

suivante :

( )( )1

TP Q assureur assuré

t t tt

BE E Flux Flux DF⊗

=

= − × ∑ (0.10)

Où :

− assureurtFlux est le flux probable payé par l'assureur à la date t ;

− assurétFlux est le flux probable payé par l'assuré à la date t ;

− tDF est le facteur d'actualisation (discount factor en anglais) pour un flux survenant à

la date t ;

− Pest la probabilité historique modélisant les risques non financiers (viagers et

rachats) ;

− Q est la probabilité risque-neutre modélisant les risques financiers ;

− Test le nombre de périodes restant à courir avant l'échéance du contrat (ici, le nombre

d'années), avec la condition : ( ) 75 ansx T+ ≤ où x est l’âge de l’assuré à la

souscription du contrat.

En supposant une indépendance parfaite entre les risques financiers et non financiers, après

quelques développements, on peut approximativement écrire :

( ) ( )1

Tassureur assurét t

t

BE E Flux Flux DF t=

= − × ∑ (0.11)

À noter que la directive Solvabilité 2 précise également que toutes les garanties financières

et options contractuelles figurant dans le contrat doivent être prises en compte dans le calcul

des différents flux.

1.1 Hypothèses générales et actuarielles

Nous postulons les hypothèses ci-après afin de simplifier la modélisation du best estimate :

85

− Nous supposons que les prestations sont versées en fin d’année.

− Aussi, nous supposons que le contrat est exempt d'impôts ou de taxes diverses, même

si nous sommes conscients que cette hypothèse ne reflète pas la réalité de marché.

Toutefois, la prise en compte d'impôts ou de taxes n'apporte pas de complexité

supplémentaire à la modélisation car les taux de prélèvement sont connus d'avance.

Il s'agit en effet uniquement de simplifier les calculs numériques.

− Tous les bénéfices dégagés par le contrat sont acquis au contrat, par conséquent il n'y a

pas de mécanisme de distribution de participation aux bénéfices.

− Nous considérons que le contrat est à prime unique, c'est à dire qu'il n'y aura aucun

versement de prime après la date initiale. En somme, nous nous plaçons dans une

vision en run-off.

− Aussi, nous considérons que les coûts d'acquisition réellement engagés par l'assureur

sont parfaitement compensés par les chargements d'acquisition prélevés à la

souscription du contrat. Par conséquent, nous n’expliciterons pas ces deux valeurs car

elles s'annulent dans le calcul du best estimate.

− Enfin, nous supposons que le risque de la garantie plancher n’est ni réassuré ni couvert

pas des stratégies financières.

1.2 Les flux probables payés par l'assureur : flux sortants

Dans le cadre d'un contrat en UC avec garantie plancher mixte GMDB/GMMB, les flux

probables payés par l'assureur, hors frais d'acquisition, sont :

Le flux en cas de rachat : en cas de rachat total du contrat à une date t , l'assuré récupère

la valeur nette de marché du contrat grevée des pénalités de rachats, soit : ( )1 pen tf V− × ,

avec penf le taux de pénalités et tV la valeur de marché du contrat à cette date après

déduction des frais. En utilisant les notations et les formules définies au chapitre

précédent, le flux probable payé par l'assureur en cas de rachat total du contrat à la date t

s'écrit comme suit :

86

( ) ( )1

1

Proba de verser un flux pour rachat à t

1 1t

rachat x tt pen t i t

ix

lFlux f V

lτ τ

−+

=

= − × × × − × ∏

Le flux en cas de décès : le contrat comporte une garantie plancher GMDB, donc en cas

de décès de l'assuré entre les dates 1t − et t , l'assureur versera au(x) bénéficiaires(s) une

somme égale à ( );t tMax V K avec tK le niveau de la garantie plancher à la date t .

En utilisant les notations et les formules définies au chapitre précédent, le flux probable

payé par l'assureur en cas de décès de l'assuré entre les dates 1t − et t s'écrit comme suit :

( ) ( )1

1

Proba de verser un flux au titre du décès à date t

; 1t

décès x t x tt t t i

ix

l lFlux Max V K

lτ+ − +

=

− = × × − ∏

Le flux en cas de survie de l'assuré à l'échéance du contrat : le contrat comporte une

garantie plancher GMMB, donc en cas de survie de l'assuré à l'échéance du contrat,

l'assureur lui versera une prestation égale à ( );T TMax V K avec TK le niveau de la garantie

plancher à cette date. En utilisant les notations et les formules définies au chapitre

précédent, le flux probable payé par l'assureur en cas survie de l'assuré à la date T s'écrit

comme suit :

( ) ( )1

1

Proba de verser un flux à la date T

; 1T

vie x TT T T i

ix

lFlux Max V K

lτ

−+

=

= × × − ∏

Les flux au titre des frais de gestion : il s'agit des frais destinés à couvrir les coûts réels

de gestion du contrat et les coûts réels de gestion des placements. En notantgesf le taux

annuel sur encours correspondant, le flux probable payé par l'assureur à la date t au titre

des frais de gestion s'écrit :

( )1

1

1

Proba que le contrat soit en vigueur à 1

1t

frais x tt ges t i

ix

t

lFlux f V

lτ

−+ −

=

−

= × × × − ∏

87


Pour 1 1t T≤ ≤ − :

( ) ( ) ( ) ( )1

1

1 1

= 1 1 ; 1

assureur rachat décès fraist t t t

t tx t x t x t

pen t i t t t ii ix x

xges t

Flux Flux Flux Flux

l l lf V Max V K

l l

lf V

τ τ τ−

+ + − +

= =

+

= + +

− − × × × − × + × × − +

× ×

∏ ∏

( )1

1

1

1

tt

iixl

τ−

−

=

× −

∏

Pour t T= :

( )( ) ( )1

1

1

; 1

assureur décès vie fraisT T T T

Tx T

T T ges T iix

Flux Flux Flux Flux

lMax V K f V

lτ

−+ −

=

= + +

= + × × × − ∏

1.3 Les flux probables payés par l'assuré : flux en trants

Les flux probables payés par l’assuré, hors chargements d'acquisition, sont :

Les frais de financement de la garantie plancher mixte GMDB/GMMB : ces frais sont

prélevés périodiquement sous la forme d'un taux sur encours. En notantgarf ce taux de

prélèvement sur encours, le flux probable payé par l'assuré à la date t au titre de la

garantie plancher s'écrit comme suit :

( )1

1

1

Proba que le contrat soit en vigueur à t-1

1t

garanties x tt gar t i

ix

lFlux f V

lτ

−+ −

=

= × × × − ∏

Les chargements de gestion : il s'agit des prélèvements destinés à couvrir les frais de

gestion de l'assureur. En notant gesg ce taux de prélèvement sur encours, le flux probable

payé par l'assuré à la date t au titre des chargements de gestion s'écrit comme suit :

88

( )1

arg 1

1

Proba que le contrat soit en vigueur à t-1

1t

ch ements x tt ges t i

ix

lFlux g V

lτ

−+ −

=

= × × × − ∏

Remarquons par ailleurs que le taux de chargements de gestion gesg est généralement

supérieur au taux réel de frais de gestion gesf , car la marge bénéficiaire de l'assureur est

souvent intégrée dans les chargements de gestion prélevés.

Les pénalités de rachat : en cas de rachat du contrat, l'assureur récupère une partie de la

valeur de marché du contrat en guise de compensation. Le flux probable payé par l'assuré

à la date t au titre des pénalités de rachat s'écrit comme suit :

( )1

1

Proba de rachat du contrat à la date t

1t

pénalités x tt pen t i t

ix

lFlux f V

lτ τ

−+

=

= × × × − × ∏


Pour 1 1t T≤ ≤ − :

( ) ( ) ( )

arg

1 11

1 1

1 1

assuré garantie ch ements pénalitést t t t

t tx t x t

gar ges t i pen t i ti ix x

Flux Flux Flux Flux

l lf g V f V

l lτ τ τ

− −+ − +

= =

= + +

= + × × × − + × × × − × ∏ ∏

Pour t T= :

( ) ( )

arg

11

1

1

assuré garantie ch ementsT T T

Tx T

gar ges T iix

Flux Flux Flux

lf g V

lτ

−+ −

=

= +

= + × × × − ∏

89

1.4 Facteurs d’actualisation des flux

Nous utiliserons la courbe des taux d'actualisation issue du mode de Hull & White,

calibrée à partir de la courbe des taux de l'Institut des Actuaires63. Il s'agit en effet d'une

courbe de taux d'intérêt sans risque pertinents, et donc conforme aux exigences de la directive

Solvabilité 2 pour le calcul du best estimate.

Dans ce modèle, le coefficient d'actualisation pour un flux survenant à l'instant t se déduit de

la trajectoire du taux court comme suit :

( ) ( )0

expt

DF t r u du

= − ∫

En discrétisant l'intervalle [ ]0, t comme suit : 0 1 20 ... nt t t t t= < < < < = avec n le nombre de

subdivision de l'intervalle. Puis, en appliquant la méthode de discrétisation exacte, on obtient

l'approximation suivante:

( ) ( ) ( )11

expp

i i ii

DF t r t t t −=

≈ − × −

∑

Dans cette étude, on prendra un pas uniforme (mensuel) t

nδ = , on obtient finalement :

( ) ( )1

expp

ii

DF t r t δ=

≈ − ×

∑

Nous appliquerons ensuite à cette courbe une correction pour volatilité (Volatility

Adjustment) permettant de limiter la volatilité d’une crise des spreads sur le niveau du best

estimate et donc sur le bilan prudentiel (cf. Directive Omnibus II).

1.5 Expression générale du best estimate

En rapportant les expressions des différents flux dans l’expression (0.11), nous obtenons

finalement, après quelques développements, une expression générale du best estimate :

63 À noter que généralement la courbe des taux utilisée est celle fournie par l’EIOPA, qui est

commune à tous les organismes.

90

( ) ( )

( ) ( )

( )

( )

( )( )

1

1

11

1 1

11

1

1

1 1

; 1

1

; 1

tx t

pen t i tix

tTx t x t

t t it ix

tx t

ges t iix

x TT T ges T

x

lf V

l

l lMax V K DF t

l

lf V

l

lMax V K f VBE E

l

τ τ

τ

τ

τ

−+

=

−+ − +

= =

−+ −

=

+ −

− × × × − × +

− × × − + × +

× × × −

+ × × × −=

∏

∑ ∏

∏

( ) ( )

( ) ( )

( )( )

( ) ( ) ( )

1

1

11

11

11

1

11

1

1

1

1

T

ii

tx t

gar ges t iT

ix

tt x t

pen t i tix

Tx T

gar ges T iix

DF T

lf g V

lDF t

lf V

l

lf g V DF T

l

τ

τ τ

τ

−

=

−+ −

− =

−= +

=

−+ −

=

× −

+ × × × − + × − × × × − ×

+ × × × − ×

∏

∏∑

∏

∏

On reconnait dans cette expression des Pay-off de Put européen ou à barrières (selon que

la garantie est simple ou comporte un effet cliquet) qui ne possèdent pas de formules fermées

exactes, ou mêmes si celles-ci existent elles se révèlent difficilement applicables. Il est par

conséquent quasi-impossible d'obtenir une valeur exacte. Pour obtenir une valeur approchée,

nous utilisons la méthode de Monte-Carlo.

1.6 Valorisation par la méthode de Monte-Carlo

La méthode de Monte-Carlo64 est une technique numérique permettant d’estimer une

statistique (en l'occurrence l’espérance) à partir d'un échantillon tiré de façon aléatoire, en se

basant sur les deux théorèmes énoncés ci-après. Le premier théorème permet d'approcher

l'espérance mathématique par la moyenne empirique alors que le second permet d'obtenir un

intervalle de confiance associé à l'estimation.

64 La méthode de Monte-Carlo a été utilisée la première fois, par Bouffon et Laplace, pour

calculer le nombre π . En finance de marché et en assurance, elle est surtout usitée dans le

cadre de pricing d’options en absence de formule fermée.

91

La loi forte des grands nombres :

Si 1 2, ,..., NX X X une suite de N variables aléatoires indépendantes et identiquement

distribuées définies sur un même espace probabilisé, ayant la même espérance mathématique

et le même écart-type finis notés respectivement ( )E X et ( )Xσ , alors :

( )1 2 ... NN N

X X XX E X

N →+∞

+ + += →

Ce qui signifie que si N est assez grand alors la moyenne empirique est un estimateur

fortement convergent de l'espérance mathématique.

Le théorème central limite :

En posant ( )

( )N

N

X E XY N

Xσ −

=

, le théorème central limite énonce que lorsque N tend

vers l'infini alors NY converge en loi vers la loi normale centrée réduite.

( )( ) ( )0,1N

N

X E XN N

Xσ →+∞

−→

À partir de ce théorème, on déduit facilement les intervalles de confiances à l'aide de la table

des quantiles de la loi normale centrée réduite. Les intervalles de confiances que nous

calculerons dans cette études sont :

− L'intervalle de confiance à 95% : ( ) ( )1,96 1,96

; N N

X XX X

N N

σ σ − +

− L'intervalle de confiance à 99% : ( ) ( )2,58 2,58

;N N

X XX X

N N

σ σ − +

Il est facile de montrer que l'erreur standard65, qui mesure la précision de l'estimateur, est

inversement proportionnel àN . Ainsi, si l'on souhaite doubler la précision de l’estimateur,

il faudrait donc quadrupler le nombre de simulations. Par exemple, pour augmenter la

précision d’un facteur 100, il faut faire 10 000 fois plus de simulations.

65 Pour rappel, l'erreur standard est égale à la racine carrée de la variance de l'estimateur

divisée par N.

92

1.6.1. Les différentes étapes de l'évaluation du best estimate

Pour évaluer le best estimate, il suffit de générer un nombre important de scénarios

d'évolution (indépendants et identiquement distribués) des différents flux probables et ensuite

appliquer la loi forte des grands nombres. Ce qui donne :

( ), ,1 1 1

1 1-

N T Nassureur assuré i it i t i t

i t i

BE Flux Flux DF BEN N= = =

= × = ∑∑ ∑ (0.12)

Où :

− ,assureurt iFlux et ,

assurét iFlux sont les flux probables payés à la date t respectivement par

l'assureur et par l'assuré dans le scénario i ;

− itDF est le coefficient d'actualisation à la date t dans le scénario i ;

− N est le nombre de scénarios générés ;

− ( ), ,1

- T

i assureur assuré it i t i t

t

BE Flux Flux DF=

= × ∑ est la valeur de la provision best estimate dans

le scénario i ;

Concrètement, le calcul du best estimate s'effectue en suivant les étapes ci-dessous :

− Étape 1 : À l'aide du GSE (construit au chapitre 5), simuler dans l'univers risque

neutre une trajectoire des taux d'intérêt et des rendements de l'actif risqué.

− Étape 2 : Projeter l'évolution de l'actif en appliquant le modèle d'allocation d'actif

développé au chapitre 4, et déterminer la valeur de marché du contrat tV et le niveau

du capital minimum garanti tK pour chaque date [ ]1, t T∈ .

− Étape 3 : Calculer les différents flux probables en appliquant les taux de rachat et les

taux de mortalité conformément au chapitre 6. Puis, actualiser ces flux pour obtenir

une valeur du best estimate dans le présent scénario.

93

− Étape 4 : Répéter les étapes 1 à 3 de façon à disposer d'un grand nombre66 N de valeur

de best estimate.

− Étape 5 : Calculer la moyenne empirique de ces best estimate par scénario pour

obtenir l'estimation du best estimate dans l'univers risque neutre.

1.6.2. Limite de la méthode

En réalité la loi forte des grands nombres ne peut jouer ici car les risques financiers ne se

mutualisent pas, étant donné qu'ils sont liés aux mêmes unités de compte. Par conséquent, il

en résulte que la moyenne empirique n'est peut-être pas appropriée pour estimer les cash-

flows futurs. Nous pourrions par exemple utiliser une appréciation prudentielle par quantile

qui permettra d'obtenir un montant de best estimate suffisant à un niveau de confiance

choisi67. Néanmoins, dans cette étude, nous utiliserons la moyenne empirique comme

estimateur afin d’être en phase avec le texte de la directive Solvabilité 2, même si cette

dernière permet quelques digressions car elle est basée avant tout sur des principes plutôt que

sur des règles strictes.

2. La marge de risque

L'article 77 de la directive Solvabilité 2 définit la marge de risque comme suit : "[...] La

marge de risque représente la valeur qu’il faut rajouter aux provisions best estimate de

manière à garantir que la valeur des provisions techniques est équivalente au montant que

les entreprises d’assurance et de réassurance demanderaient pour reprendre et honorer les

engagements d’assurance et de réassurance [...]".

Rappelons que cette marge de risque ne concerne que les risques non réplicables, car pour les

risques réplicables, les provisions techniques sont calculées comme un tout.

66 En pratique, le nombre de simulations est fixé en tenant compte de la contrainte temps de

calcul. 67 Cf. Bah (2009) par exemple, pour une présentation du provisionnement par quantile.

94

La méthode retenue pour le calcul de la marge de risque est celle suivant l’approche du

coût du capital (Cost Of Capital). Cette méthode détermine la valeur actuelle du coût

d’immobilisation du capital de solvabilité jusqu’à l’extinction du portefeuille. Concrètement,

la marge de risque est calculée comme suit :

( )( )( ) 1

0 1 0, t 1t

t

SCR tMR CoC

R+

≥

= ×+ +

∑

Où :

− MR désigne la marge de risque ;

− CoC représente le taux du coût du capital, fixé à 6% dans les spécifications

techniques ;

− ( )SCR t représente le capital de solvabilité requis après t années ;

− ( )0, 1R t+ représente le taux d’intérêt sans risque de base pour l’échéance ( )1t +

années.

Cependant, en pratique, cette méthode est très fastidieux à mettre en œuvre car les SCRs

futurs sont difficilement calculables. Ainsi, pour faciliter les calculs, 4 méthodes de

simplifications sont proposées dans les spécifications techniques :

− Méthode 2 : Approximation des (sous)risques individuels dans les (sous)modules de

risque utilisés pour le calcul des SCRs futurs.

− Méthode 3 : Approximation des SCRs futurs par une approche proportionnelle, par

exemple au prorata des best estimate futurs, comme suit :

( ) ( )( ) ( )0

0 netnet

SCRSCR t BE t

BE= ×

Où :

• ( )SCR t désigne le SCR après t années ;

• ( )netBE t désigne le best estimate net de réassurance, évalué à la date t ;

• ( )0netBE désigne le best estimate net de réassurance, évalué à la date initiale.

95

− Méthode 4 : Estimation des SCRs futurs en utilisant une approche basée sur la

duration modifiée des engagements.

( ) ( )mod 01 0,1

tfCoCMR Dur SCR

R≈ × ×

+

Où :

• modDur représente la duration modifiée (ou sensibilité) du best estimate net de

réassurance ;

• ( )0tfSCR représente le SCR, calculé à la date initiale, excluant le risque de

marché.

− Méthode 5 : Estimation de la marge de risque par un pourcentage du best estimate net

de réassurance, calculé à la date initiale :

( )0lob netMR BEα= ×

Où :

• ( )0netBE représente le best estimate net de réassurance, calculé à la date initiale ;

• lobα désigne un pourcentage fixe, spécifique à la branche d'activité considérée.

Précisons que la méthode 1 est celle consistant à effectuer le calcul exhaustif de tous les

SCRs futurs sans simplifications.

96

3. Zoom sur le coût de la garantie

Dans cette section, nous modélisons, à la souscription du contrat, le coût global de la

garantie plancher mixte GMDB/GMMB. Noter toutefois que nous n'aborderons pas les

problématiques liées à la tarification et à la couverture des garanties plancher puisqu'une

littérature abondante est consacrée à ces sujets68.

Le coût global de la garantie plancher mixte est égal à la différence entre les valeurs

actuelles probables des engagements respectivement pris par l'assureur et par l'assuré au titre

de la garantie plancher mixte. Autrement dit, il s'agit du best estimate à 0t = ne prenant en

compte que les flux relatifs à la garantie plancher mixte. Le coût global de cette garantie se

calcule alors comme suit :

/ /VAP VAP VAPassureur assureur assuréGMDB GMMB GMDB GMMB GMDB GMMBCoût = + −

Où :

− VAPassureurGMDB est la VAP de l'engagement de l'assureur au titre de la garantie GMDB ;

− VAPassureurGMMB est la VAP de l'engagement de l'assureur au titre de la garantie GMMB ;

− /VAPGMDB GMMBassuré est la VAP de l'engagement de l'assuré au titre des frais de financement

de la garantie plancher mixte GMDB/GMMB.

En utilisant les notations et les hypothèses définies supra, nous pouvons facilement expliciter

les différentes VAP :

Calcul de la VAP à 0t = de l'engagement de l'assureur au titre de la garantie

GMDB :

Par définition de la garantie plancher GMDB, si l’assuré décède entre la ièmet année et

la ( )1ième

t + année, le coût de la garantie à la charge de l’assureur est égal à

( )1 1;0t tMax K V+ +− où 1tK + et 1tV + désignent respectivement le capital minimum

garanti et le niveau de l’épargne à cette date.

68 Voir par exemple Merlus et Pequeux (2000), Perez (2009) ou Kélani (2011).

97

En supposant une mutualisation parfaite entre la mortalité et le rachat d'une part et la

performance de l'épargne d'autre part, nous pouvons facilement démontrer que la VAP

de l'engagement de l'assureur au titre de la garantie GMDB, pour un assuré d’âge x à

la souscription du contrat, s'écrit :

( ) ( )1

1 1

VAP ;0 1tT

assureur x t x tGMDB t t i t

t ix

l lMax K V DF

lτ+ − +

= =

− = − × × − ×

∑ ∏

Calcul de la VAP à 0t = de l'engagement de l'assureur au titre de la garantie

GMMB :

Par définition de la garantie GMMB, si l’assuré survit au terme du contrat, le coût de

la garantie à la charge de l’assureur est égal à ( );0T TMax K V− où TK et TV désignent

respectivement le capital minimum garanti et le niveau de l’épargne à cette date.

De même en supposant une mutualisation parfaite entre les différents risques, nous

pouvons écrire la VAP de l'engagement de l'assureur au titre de la garantie GMMB

comme suit :

( ) ( )1

1

1

VAP ;0 1T

assureur x TGMMB T T i T

ix

lMax K V DF

lτ

−+ −

=

= − × × − × ∏

Calcul de la VAP à 0t = de l'engagement de l'assuré au titre des frais de

financement de la garantie plancher mixte GMDB/GMMB :

La garantie plancher mixte GMDB/GMMB est financée par un prélèvement annuel sur

encours au taux garf . Ainsi, la VAP de l'engagement de l'assuré au titre des frais de

financement de la garantie plancher mixte s'écrit :

( )1

1/

1 1

VAP 1tT

assuré x tGMDB GMMB gar t i t

t ix

lf V DF

lτ

−+ −

= =

= × × × − ×

∑ ∏

En remplaçant les différentes VAP par leur valeur dans la formule initiale, nous obtenons

finalement que le coût global de la garantie plancher mixte, évalué à la date de souscription du

contrat, est donné par :

98

( ) ( )

( ) ( )

11

/1 0

11

1

1

;0 1

;0 1

tTx t x t

GMDB GMMB t t i tt ix

Tx T

T T i Tix

x tgar t

x

l lCoût Max K V DF

l

lMax K V DF

l

lf V

l

τ

τ

−+ − +

= =

−+ −

=

+ −

− = − × × − × +

− × × − × −

× × ×

∑ ∏

∏

( )1

1 1

1tT

i tt i

DFτ−

= =

− ×

∑ ∏

À noter que comme pour le best estimate du contrat, nous évaluons le coût global de la

garantie mixte à l'aide de la méthode de Monte-Carlo.

99

Chapitre 8. Modélisation du SCR par la formule

standard

Ce chapitre décrit de manière succincte le modèle standard proposé par l'EIOPA pour le

calcul du SCR. Avant de procéder à la présentation de ce modèle, nous évoquons d'abord la

mesure de risque sous-jacente : la Value at Risk (en abrégé VaR).

1. La VaR

À l'origine, la VaR a été introduite dans le domaine bancaire pour quantifier la perte

maximale potentielle que peut subir un portefeuille de marché financier sur un horizon

temporel donné pour un niveau de confiance (ou seuil de probabilité) donné.

Formellement, la VaR à l'horizon h et au seuil de probabilité p est égale au quantile

d'ordre p de la distribution des pertes à l’horizon h , c'est à dire le plus petit nombre

( , )VaR h p tel que :

( )( ),hP L VaR h p p≤ = ⇒ ( ) ( )1,hLVaR h p F p−=

Où hL et hLF représentent respectivement la distribution des pertes et la fonction de

répartition associée.

En supposant une distribution normale des pertes, la VAR à un jour avec un niveau de

confiance de 95% peut être représentée par le graphique ci-dessous:

100

Figure 18 : Illustration de la VaR au seuil de confiance à 95%

(Source : http://www.abcbourse.com/)

Grâce à sa simplicité, l'utilisation de la VaR s'est considérablement généralisée ces

dernières années, notamment dans le domaine de l'assurance où elle est même devenue le

principal drivers de la gestion des risques. Néanmoins, la VaR comme mesure de risque

souffre de nombreuses limites. Les principales sont :

− Elle ne fournit pas d'informations sur l'ampleur de la perte au-delà de la VaR. Elle est

donc incapable de prendre en compte l’ensemble des pertes extrêmes, ce qui peut se

révéler insuffisant pour une gestion des risques efficace.

− La VaR n'est pas sous-additive69. Elle n'est donc pas considérée comme une mesure

de risque cohérente au sens de Artzner et al. (1997). Ce qui peut constituer un

problème majeur dans la gestion des risques car cette propriété de sous-additivité

incite d'une part à la consolidation du système d'évaluation des risques au niveau

global de l'entreprise et d'autre part, prévient les tentations de contourner la

réglementation par la multiplication des filiales ad hoc (cf. Portrait et Poncet (2011)).

69 Une mesure de risque ρ est dite sous additive si pour deux risques X et Y donnés, on a :

( ) ( ) ( )X Y X Yρ ρ ρ+ ≤ + .

101

Nonobstant toutes ces limites, c'est la VaR qui a été adoptée par le régulateur comme

mesure de risque pour déterminer le niveau des fonds propres réglementaires (le SCR).

2. Rappel de la définition du SCR

Le SCR (capital de solvabilité requis) correspond au niveau de fonds propres requis pour

limiter la probabilité de ruine de la société à 0,5% à l'horizon d'un an. Autrement dit, il

correspond à la VaR des fonds propres de base de l'entreprise avec un niveau de confiance de

99,5% à l'horizon d'un an (dit grossièrement, une ruine tous les 200 ans). Avec ce montant de

fonds propre, l'assureur sera en mesure d'honorer ses engagements dans 99,5% des scénarios

du monde.

Les sociétés d'assurance et de réassurance disposent de deux méthodes pour calculer le SCR :

− En appliquant la formule standard fournie par l'EIOPA, calibrée uniformément sur le

marché européen, et donc commune à toutes les sociétés.

− Ou à partir d'un modèle interne (intégral ou partiel) construit par la société et approuvé

par le superviseur.

Dans ce mémoire, nous choisissons d'utiliser la formule standard pour sa simplicité de

mise en application. En effet, il est extrêmement complexe de construire un modèle interne

cohérent avec les exigences de la directive Solvabilité 2.

3. Présentation de la formule standard

La formule standard permet de calculer le SCR en agrégeant plusieurs modules de risque

suivant une approche ascendante dite bottom-up. On part du niveau de risque le plus fin, puis

on agrège progressivement pour obtenir la valeur globale du SCR. Le schéma ci-dessous

expose l'ensemble des risques utilisés.

102

Figure 19 : Source : EIOPA-Directive européenne.

La formule standard de calcul du SCR se résume ainsi :

SCR BSCR Op Adj= + +

Où :

− BSCR est le SCR de base

− Op est l'exigence de capital pour couvrir le risque opérationnel

− Adj est et l'ajustement visant à tenir compte de la capacité d'absorption des pertes

par les mécanismes de participation aux bénéfices et par les impôts différés

Compte tenu des caractéristiques de notre contrat, nous ne prenons pas en compte le

risque opérationnel et l'ajustement. Ainsi, le SCR calculé sera égal au SCR de base.

103

À partir du schéma ci-dessus, nous observons que le BSCR est composé de 6 modules de

risques :

− le module risque de marché (Market) ;

− le module risque de souscription en Santé (Health) ;

− le module risque de contrepartie (Default) ;

− le module risque de souscription en Vie (Life) ;

− le module risque de souscription en Non-Vie (Non-life) ;

− le module risque sur actifs incorporels (Intangible).

Le BSCR est calculé en agrégeant les SCR des différents modules par la formule suivante :

,,

i j i j incorporelsi j

BSCR Corr SCR SCR SCR= × × +∑

Où :

− les indices i et j représentent les différents modules de risque composant le BSCR

(hors le module sur actifs incorporels)

− ,i jCorr est le coefficient de corrélation linéaire entre les modules de risque i et j .

Nous observons également que chaque module de risques est divisé en sous-modules de

risques. Ainsi, pour obtenir le SCR d'un module, il faut au préalable calculer les SCR des

sous-modules le composant.

Le SCR d'un sous module X se calcule comme suit :

( )( ) ( )

avant choc après choc

avant choc avant choc après choc après choc

XSCR NAV choc NAV NAV

A BE A BE

= ∆ = −

= − − −

Où :

− XSCR est le SCR du sous module X

− choc est le choc appliqué au sous-module

− avant chocNAV est la valeur de la NAV avant le choc

− après chocNAV est la valeur de la NAV après le choc

− avant chocA est la valeur de l'actif en valeur de marché avant le choc

− après chocA est la valeur de l'actif en valeur de marché après le choc

104

− avant chocBE est la valeur du best estimate avant le choc

− après chocBE est la valeur du best estimate après le choc

Rappelons que la NAV (Net Asset Value, en anglais), calculée comme la différence entre la

valeur de marché de l’actif et le best estimate, représente la valeur des fonds propres

économiques.

Enfin, précisons que dans ce mémoire, consacré aux contrats en UC avec garantie plancher,

nous nous focaliserons uniquement aux modules risques de marché et souscription vie.

105

Partie 4 : Application pratique et

analyses

Cette quatrième partie du mémoire, qui comprend les chapitres 9 à 11, est consacrée à

l'application pratique et aux analyses fonctionnelles. En effet, nous proposons une étude de

cas qui nous permet de mettre en pratique les modèles étudiés supra pour valoriser les

différents postes du bilan prudentiel.

Le chapitre 9 présente une illustration de la projection de l’actif en valeur de marché.

Le chapitre 10 calcule les provisions techniques Solvabilité 2 et analyse, en complément, le

coût global de la garantie plancher mixte GMDB/GMMB.

Le chapitre 11 développe le calcul du SCR à l'aide de la formule standard et établi le bilan

prudentiel dans la dernière section.

À noter que nous nous positionnons à la date du 30 juin 2015 pour effectuer nos

calculs et nos analyses. À noter également que par souci de simplicité et en conformité avec

les usages du monde professionnel, nos analyses n'auront qu'un caractère descriptif. En effet,

nous nous contenterons des statistiques descriptives comme la moyenne, l’écart-type, les

quantiles et les intervalles de confiance pour décrire de façon pertinente et concise les

différentes grandeurs calculées.

106

Chapitre 9. Projection de l’évolution de l’actif

Ce chapitre a pour objet d’illustrer la projection de l'actif en valeur de marché au titre du

contrat en UC étudié dans le présent mémoire. Pour ce faire, nous utiliserons un contrat fictif

mais « proche » des contrats de marché dans sa structure et dans ses ordres de grandeur.

Dans la première section du chapitre, nous décrirons le contrat fictif utilisé. Puis, dans la

seconde, nous présenterons et analyserons les résultats obtenus.

1. Description du contrat utilisé

Nous considérons un contrat en UC avec garantie plancher mixte GMDB/GMMB de

même niveau70, souscrit par des personnes souhaitant améliorer financièrement leur départ à

la retraite ou, dans le cas non échéant, protéger leurs héritiers en cas de décès. Les principales

caractéristiques du contrat sont résumées dans le tableau ci-après. Les chiffres relatifs aux

chargements et aux frais sont exprimés en base annuelle. À noter également que ces chiffres

correspondent pour la plupart à des moyennes calculées à partir de taux prélevés sur un

ensemble de contrats « proches », commercialisés en France, que nous avons trouvé sur

Internet ou dans des articles de presse. Notre objectif étant de se rapprocher le plus possible

du marché.

Caractéristiques du contrat

Maturité 25 ans (du 30/06/2015 au 30/06/2040)

Prime unique versée par assuré 102 euros

Niveau de la garantie 100% de la prime nette

Taux de frais d'entrée 2%

Taux de chargement d’entrée 2%

Taux de frais de gestion 1,64%

70 Cela signifie que le montant de la garantie est le même que ce soit en cas de décès ou en cas

de survie de l'assuré à l'échéance du contrat.

107

Taux de chargement de gestion 2,40%

Taux de frais de la garantie mixte 0,85%

Profil de risque choisi dynamique (20% dans le fonds obligataires

et 80% sur le CAC 40)

Montant initial investi en obligations zéro-coupon d'échéance 25 ans (avec un taux de rendement actuariel de 2,28%)71

20 euros

Montant initial investi sur le CAC 40 80 euros

Période de réallocation de l’actif mensuelle

Nombre d'assurés 1 000

Sexe des assurés masculin

Age moyen des assurés 40 ans

Taux de pénalités de rachat 5% de la valeur de rachat du contrat

Précisons que nous avons délibérément choisi 102 euros pour le montant de la prime

versée par assuré, afin de faciliter la lecture des chiffres, même si nous sommes conscients

que ce montant de prime ne reflète pas la réalité du marché qui tourne autour de 10 000 euros

pour ce type de contrat dit de "haut de gamme".

Précisons par ailleurs que la différence constatée entre le taux de chargement de gestion et

le taux de frais de gestion représente la marge bénéficiaire, ici égale à + 0,76%. Nous

n'explicitons pas cette dernière dans les calculs, car elle est traditionnellement dissimulée dans

les chargements et donc inconnues des assurés.

2. Projection de l'actif en valeur de marché

Dans cette section, nous allons présenter et analyser les résultats obtenus. Nous nous

positionnerons à la date initiale, immédiatement après le versement de la prime.

71 Rappelons que nous considérons dans cette étude des obligations émises et remboursées au

pair, c'est à dire que le prix d’émission, la valeur nominale et la valeur de remboursement sont

tous égaux.

108

Nous avons effectué 10 000 simulations de la courbe des taux d’intérêt et des trajectoires

de rendements de l’actif risqué, à l’aide du générateur de scénarios économiques risque neutre

(construit supra). Puis pour chaque scénario, nous avons appliqué le modèle d’allocation

dynamique d’actifs (Constant mix) pour générer une trajectoire de l'actif en valeur de marché.

Nous rappelons qu'une trajectoire retrace l'ensemble des valeurs prises par l'actif entre la date

initiale ( 0t = ) et l’échéance du contrat (t T= ).

2.1 Résultats des projections

Nous représentons dans les deux graphes ci-dessous les 30 premières trajectoires de l'actif

en valeur de marché et la trajectoire moyenne des 10 000 scénarios générés.

Par souci de simplicité, nous n'analyserons qu'un seul contrat. Pour obtenir les chiffres

globaux, il suffit de multiplier à chaque fois par le nombre total d'assurés (dans le cas présent

1 000).

Figure 20 : Évolution de l’actif en valeur de marché (à gauche : les 30 premières

trajectoires, à droite : la trajectoire moyenne) pour un contrat.

109

Commentaires :

− Nous observons que pour certains scénarios, la valeur de marché de l’actif évolue

constamment en dessous de la valeur plancher. Ces scénarios sont défavorables à

l’assureur. En effet, si l'actif évolue dans ces scénarios, l'assureur sera obligé de puiser

dans ses fonds propres le capital sous risque (la différence entre le montant garantie et

le niveau de l'épargne) pour honorer ses engagements.

− Nous observons aussi que la trajectoire moyenne de l'actif évolue de façon croissante

en "dents de scie" en se "convexifiant" légèrement pour les premières années. Les

petits décrochages ponctuels observés à des dates annuelles correspondent à des

prélèvements de chargements, qui viennent diminuer le niveau de l'actif. Dans ce

scénario moyen, nous constatons également que l'actif évolue constamment au-dessus

de la valeur plancher. Ainsi, si le contrat évolue dans ce scénario, l'option de la

garantie plancher ne sera jamais exercée, l'assureur encaissera les primes au titre de la

garantie sans avoir à débourser pour cette garantie, ce scénario lui est donc très

favorable.

2.2 Analyse des performances

Il existe plusieurs72 façons de mesurer la performance d'un contrat en UC, nous utilisons

ici la plus simple, la performance arithmétique (appelée aussi financière). Cette dernière se

calcule aisément à l'aide de la formule suivante :

0

0

TV VPerformance

V

−=

Où 0V et TV désignent respectivement la prime nette des frais d'entrée et la valeur de l'actif à

l’échéance du contrat T .

72 Le lecteur intéressé pourra par exemple consulter Aftalion et Poncet (2003) pour une

présentation quasi exhaustive des différentes mesures de performance d'un portefeuille

financier.

110

Le nuage de point ci-dessous représente l'ensemble des performances obtenues sur la base des

10 000 simulations.

Figure 21 : Performance du contrat pour chacune des trajectoires simulées.

À partir des données représentées dans le nuage de point ci-dessus, nous avons calculé les

principales statistiques décrivant la performance du contrat que nous regroupons dans le

tableau ci-après :

Statistiques sur la performance du contrat (en %)

Minimum -98,57 Moyenne 130,45 Écart type 417,08 Maximum 8 454,14 Médiane 8,09 Quantile à 25% -53,14 Quantile à 50% 8,09 Quantile à 75% 149,27

111

Quantile à 95% 713,63 Quantile à 99% 1 830,90 Skewness 743 Kurtosis 9407

Commentaires :

− La performance moyenne du contrat sur les 25 ans s'élève à +130,45% (soit en

nivelant, +3,4% chaque année). De prime abord, cette performance peut paraître

relativement faible73 pour une durée d'investissement aussi longue et de surcroît pour

un contrat dynamique. Cependant, cette performance peut être acceptable au regard du

contexte actuel où prévaut des taux d'intérêt extrêmement bas sur le marché obligataire

(on observe même des taux négatifs sur des maturités allant jusqu'à 3 ans), combinés

avec une forte instabilité du CAC 40, dues notamment aux soubresauts de la crise

financière de 2008. De plus, la fin prochaine du quantitative easing de la FED, la

chute vertigineuse des cours du pétrole, le ralentissement de l'économie chinoise ou le

contexte géopolitique mondial sont autant d’évènements qui vraisemblablement

impacteront à la baisse les cours futurs du CAC 40 et donc l'actif du contrat.

− L’écart type vaut 417,08%, ce qui indique que la distribution des performances est

peu dispersée autour de la moyenne. Le skewness et le kurtosis valent respectivement

7,43 et 94,07, ce qui signifie que la distribution des performances est dissymétrique à

gauche avec une queue à droite nettement plus épaisse que celle de la loi normale.

− Nous remarquons que 25% des scénarios aboutissent à une performance inférieure à

-53,14%. Ainsi si le contrat évolue dans ces scénarios, l'assureur enregistrera une

perte considérable sur le capital initial. Il s'agit des scénarios du « pire » pour lui.

− À l'opposé, 1% des scénarios conduisent à une performance supérieure à +1 830,90%,

soit en nivelant, +12,57 % chaque année. Ce qui paraît hautement improbable (même

73 À titre de comparaison : sur les 25 dernières années, le CAC 40 a réalisé une performance

d'environ +415% (soit en nivelant, +6,78% chaque année). À noter cependant que cette

performance couvre certaines des années les plus fastes de l'histoire du CAC 40.

112

avec un fonds spéculatif ou même dans un système de type Ponzi74) à fortiori vue la

composition de notre portefeuille (80% CAC 40 et 20% obligations sans risque).

Cependant, même si ces scénarios peuvent potentiellement biaiser les résultats, nous

les conserverons néanmoins dans l'analyse afin de ne pas altérer le caractère aléatoire

de l'échantillon (caractère sinéquanone pour appliquer la méthode de Monte-Carlo).

En outre, comme le souligne Planchet et Bonnin (2013), éliminer les trajectoires

aberrantes conduirait à violer la condition d’absence d’opportunité d’arbitrage, le

caractère martingale du processus des prix actualisé devient alors inopérant et in fine

le GSE perd sa qualité de market consistent.

74 À noter que le système de Ponzi est illégal car il s'agit d'un système frauduleux consistant à

rémunérer les clients sortants par les apports des nouveaux entrants.

113

Chapitre 10. Calcul des provisions techniques

Ce chapitre calcule les provisions techniques, sous Solvabilité 2, du contrat en UC avec

garantie plancher mixte GMDB/GMMB analysé dans le chapitre précédent.

Dans la première section, nous présenterons et analyserons les résultats obtenus au titre des

provisions best estimate du contrat. Dans la section suivante, nous effectuerons des tests de

sensibilité pour analyser l'impact de certains paramètres sur la valeur du best estimate.

Ensuite, nous estimerons la marge de risque qui, ajoutée au best estimate, donnera le montant

global des provisions techniques. Enfin, dans la dernière section, à titre de complément, nous

calculerons et analyserons le coût global de la garantie plancher mixte GMDB/GMMB.

1. Calcul des provisions best estimate

Dans cette section, nous analysons la valeur des provisions best estimate calculée à la date

initiale, immédiatement après la souscription du contrat. En effet, si le contrat ne comportait

pas de garanties plancher, le best estimate serait alors égal à la valeur initiale de l'actif (la

prime nette). Ceci se démontre facilement75 en appliquant la propriété de Q -martingale du

processus des prix actualisés.

1.1 Résultats obtenus et analyses

Sur la base des 10 000 simulations, nous avons obtenu les résultats regroupés dans le

tableau ci-après :

Résultats de l'estimation du best estimate du contrat

Moyenne 84,34

Écart-type 79,23

Intervalle de confiance à 95% [82,79 ; 85,90]

75 Une démonstration est proposée dans Ifergan (2011).

114

La valeur des provisions best estimate est estimée à 84,34 euros pour 100 euros d’actifs

investis. L'écart type associé vaut 79,23 euros et l'intervalle de confiance à 95% de cette

estimation est de [82,79 euros ; 85,90 euros]. Ces résultats nous semblent cohérents au regard

des ordres de grandeur utilisés dans l'estimation.

Analyse des quantiles : VaR et C-VaR

Le tableau ci-dessous regroupe les valeurs de la VaR et du C-VaR76 pour différents niveaux

de seuil.

Seuil VaR C-VaR

50% 60,14 124,87

60% 70,54 139,84

65% 77,22 149,26

70% 85,13 160,65

75% 95,09 174,82

80% 107,90 193,19

85% 127,80 218,30

90% 157,34 256,96

95% 207,23 334,76

99% 389,52 595,74

99,5% 501,80 752,82

− Nous remarquons que la valeur des provisions best estimate correspond à une VaR de

seuil compris entre 65% et 70%. Ce qui signifie que dans près de 65% des scénarios

simulés, la valeur des provisions best estimate est inférieure à la valeur retenue.

− Sur les 10 000 scénarios générés, 0,5% des scénarios conduisent à un best estimate

supérieur à 501,80 euros. Dans ces scénarios du "pire", la valeur des provisions best

estimate serait en moyenne égale à 752,82 euros.

76 À noter que la C-VaR est une mesure complémentaire à la VaR. Elle est égale à la moyenne

des observations supérieures à la VaR ( cf. Portrait et Poncet (2011) ).

115

À noter que dans une approche purement prudentielle, notamment sous solvabilité 1,

l'assureur aurait pu provisionner une VaR à 75% ou supérieure. Cependant, sous solvabilité 2,

il n'est pas nécessaire de prendre une valeur de best estimate trop prudente, puisque celle-ci

est complétée par la marge de risque (cf. l'article 77 de la directive Solvabilité 2).

1.2 Décomposition du best estimate

La décomposition du best estimate suivant les différents flux est présentée dans le

graphique ci-après :

Figure 22 : Décomposition du best estimate suivant les différents flux

Nous remarquons que le flux en cas de rachat est de loin le plus important. Ceci s’explique

par le fait qu’un contrat sur 25 ans a une forte probabilité d’être racheté avant l’échéance du

contrat. À l'opposé, le flux en cas de décès est moins important ce qui est du essentiellement

aux faibles probabilités de décès de l'assuré avant ces 65 ans.

Nous remarquons également que la marge bénéficiaire de l'assureur (la différence entre les

chargements prélevés et les frais de gestion réels prévus), évaluée à la date initiale, est très

importante.

116

1.3 Convergence du best estimate

Les simulations de Monte-Carlo sont extrêmement gourmandes en temps de calcul, c’est

pourquoi nous nous sommes limités à 10 000 simulations. Néanmoins, nous observons à

travers le graphique ci-dessous que l'estimation du best estimate par la moyenne empirique

converge assez rapidement. Nous concluons alors que l'estimation est efficace et fiable.

En effet, si tel n'était pas le cas, nous aurions dû alors utiliser par exemple les variables

antithétiques77 ou les techniques d'échantillonnage par degré d'importance ou stratifié afin

d'améliorer l'efficacité des simulations tout en optimisant les temps de calcul.

Figure 23 : Convergence du best estimate en fonction du nombre de simulations

77 La technique des variables antithétiques consiste à associer à chaque simulation de

réalisation gaussienne son opposé, on divise ainsi le nombre de simulations par deux.

117

2. Tests de sensibilité sur le best estimate

Cette section est consacrée aux tests de sensibilité afin de compléter les analyses effectuées

précédemment. Ces tests ont pour objectif d'examiner l’influence de certains paramètres sur le

niveau des provisions best estimate. Pour ce faire, nous ferons varier les paramètres un à un

tout en maintenant constants les autres c'est à dire sous l'hypothèse « toutes choses égales par

ailleurs ».

2.1 Influence de l’allocation d’actifs

Ce test a pour but d’analyser l'influence de l'allocation d'actifs sur le niveau du best

estimate. Concrètement, nous avons fait varier le poids de l'actif risqué de 20% à 90% par pas

de 10%, puis à chaque fois nous avons évalué le best estimate correspondant.

Le graphique ci-dessous résume les résultats obtenus. Nous représentons en abscisse le poids

de l’actif risqué et en ordonnée le montant du best estimate en bleu et l’écart-type associé en

rouge.

Figure 24 : Impact de l'allocation d'actifs

118

Tableau récapitulatif :

Poids de l'actif risqué dans le portefeuille

Best estimate Écart type

20% 46,68 7,91 30% 50,88 5,26 40% 55,79 10,54 50% 61,46 20,65 60% 68,00 34,57 70% 75,56 53,44 80% 84,34 79,23 90% 94,58 114,90

Nous remarquons que plus le poids de l’actif risqué est élevé et plus le montant du best

estimate l’est également. Ce résultat semble logique, car en augmentant le poids de l'actif

risqué dans le portefeuille, le contrat sera davantage plus performant78car plus dynamique. En

conséquence, les flux probables payés par l’assureur seront aussi plus élevés, ce qui se

répercute alors sur le montant du best estimate. Nous remarquons également que l'écart type

du best estimate évolue dans le même sens. Ceci s'explique tout simplement par la corrélation

linéaire positive qui existe entre le poids de l’actif risqué et la volatilité de la valeur de marché

du contrat et donc du best estimate.

2.2 Influence de l’âge à la souscription du contrat

Les probabilités de décès et de survie dépendent étroitement de l'âge de l'assuré à la

souscription du contrat. Ce test a ainsi pour but de faire varier l’âge de l'assuré entre 25 et 45

ans par pas de 5 ans et ensuite évaluer la valeur du best estimate pour chaque âge.

Les résultats obtenus sont résumés dans le graphique ci-dessous. Nous représentons en

abscisse l’âge de l’assuré et en ordonnée le montant du best estimate en bleu et l’écart type

associé en rouge.

78 Cf. le chapitre sur l’allocation d’actifs.

119

Figure 25 : Influence de l'âge à la souscription du contrat sur le best estimate


Age Best estimate Écart-type

25 ans 83,48 82,22

30 ans 83,63 81,64

35 ans 83,92 80,67

40 ans 84,34 79,23

45 ans 84,88 77,31

Nous remarquons que l'âge de l'assuré a peu d'impact sur le niveau du best estimate. Ceci

est cohérent avec la structure même du contrat en UC où le risque viager est secondaire

devant le risque de marché. Nous observons également mais de façon étonnante que plus l'âge

augmente et plus l'écart type du best estimate diminue, ce qui nous semble à première vue

difficilement explicable de façon précise sous un angle fonctionnel.

120

2.3 Influence de la présence d’un cliquet

Ce test a pour objectif de calculer le montant du best estimate en présence d’un cliquet

sur la garantie plancher mixte. Nous rappelons qu’en présence d’un cliquet, le montant de la

garantie plancher est égal à la plus haute valeur atteinte par l'épargne et qu'en contrepartie les

frais requis pour couvrir la garantie sont aussi plus élevés. De ce fait, nous évaluons la valeur

du best estimate pour différentes valeurs des frais (exprimée en point de base). Le tableau ci-

dessous résume les résultats obtenus.

Figure 26 : Influence de la présence d'un cliquet sur le niveau du best estimate


Frais annuels prélevés au titre de la garantie (en points de base)

Best estimate Écart type

85 102,09 105,80 90 100,64 104,23 95 99,21 102,67 100 97,79 101,14 105 96,38 99,63 110 94,99 98,13

121

Nous remarquons que lorsque les frais prélevés sont élevés, le montant du best estimate

diminue. Ceci est logique car les frais de la garantie viennent en diminution dans le calcul du

best estimate. En bref, l’introduction du cliquet fait peser un risque considérable sur le bilan

de l'assureur. Pour couvrir ce risque, ce dernier doit exiger des frais élevés pour équilibrer les

flux entrants et sortants au titre de la garantie.

3. Calcul de la marge de risque

Pour calculer la marge de risque (en abrégé, MR ), nous choisissons d’appliquer la

méthode de simplification 4. Il s’agit de la méthode utilisant la duration des provisions best

estimate pour l’estimation des SCRs futurs. En effet, d’après une étude79 réalisée par l’ACPR

en 2014, il s’agit de la méthode la plus utilisée par le marché durant les phases préparatoires à

la mise en place de Solvabilité 2 (cf. graphique ci-dessous).

Figure 27 : Méthodes de simplification des organismes vie (cercle ext.) et

non-vie (cercle int.) – Source ACPR

79 Il s’agit d’une étude (synthèse) réalisée dans le cadre de la phase préparatoire à la mise en

place de Solvabilité 2. Cette étude est intitulée « Préparation à Solvabilité II - Enseignements

de l’exercice 2013 de remise d’états prudentiels Solvabilité 2 ».

122

Rappelons que cette méthode prévoit le calcul de la marge de risque comme suit :

( )mod1

01

tfCoCMR Dur SCR

r≈ × ×

+

Où :

− CoC=6%;

− modDur représente la duration modifiée (ou sensibilité) du best estimate net de

réassurance, estimée avec l’aide formule suivante :

mod

1 BEDur

r BE

∆ ≈ − ∆

Avec r∆ correspondant à une variation de +/- 1% des taux d'intérêt.

− ( )0tfSCR représente le SCR risque de souscription vie calculé à la date initiale

(cf. le chapitre suivant pour le calcul de cette valeur).

Nous obtenons les résultats regroupés dans le tableau ci-après :

Estimation de la marge de risque

modDur 12,46 années

( )0tfSCR 3,78 euros

MR 2,83 euros

La marge de risque s’élève à 2,83 euros pour un best estimate de 84,34 euros. Les provisions

techniques s’élèvent alors à 87,17 euros.

123

4. Complément : analyse du coût de la garantie m ixte

En complément des provisions best estimate du contrat, nous évaluons à la date initiale

(immédiatement après la souscription du contrat) le coût global de la garantie plancher mixte

GMDB/GMMB afin de vérifier que le taux de chargement annuel sur l'encours est suffisant

pour financer ladite garantie. Les résultats obtenus sont regroupés dans le tableau ci-après :

Résultat du coût global de la garantie plancher mixte GMDB/GMMB

VAP du coût de la garantie à la charge de l’assureur

au titre de la garantie GMDB 1,23 €

au titre de la garantie GMMB 2,75 €

VAP des frais de la garantie à la charge de l’assuré 11,63 €

VAP du coût global de la garantie mixte GMDB/GMMB -7,65 €

Nous remarquons que la VAP du coût de la garantie à la charge de l’assureur est très

largement inférieure à celle de l'assuré, soit 3,98 euros contre 11,63 euros. La VAP du coût

global de la garantie, évaluée à la date de souscription du contrat, est donc négatif (-7,65

euros). Ce qui signifie que l'assureur enregistrera vraisemblablement un bénéfice à terme au

titre de la garantie plancher mixte.

Le taux de chargement annuel sur l'encours au titre de la garantie plancher (0,85%) est

donc très excessif. Il en résulte alors que la garantie a été tarifée sur une base trop prudente.

Précisons par ailleurs que la sur-tarification des garanties plancher est une pratique assez

courante chez les assureurs vie, notamment dans les périodes d'instabilité des marchés

financiers. Précisons toutefois que la déontologie du métier stipule que le tarif doit être à la

fois suffisant et juste.

Le taux de chargement annuel naturel ou "équitable", c’est-à-dire celui qui égalise les

engagements de l’assureur et ceux de l’assuré au titre de la garantie plancher mixte, serait

autour de 0,25% toutes choses égales par ailleurs.

124

Chapitre 11. Calcul du SCR et établissement du

bilan prudentiel

Dans ce chapitre, dans un premier temps, nous calculons le SCR à l'aide de la formule

standard. Pour ce faire, nous nous basons sur les spécifications techniques publiées par

l'EIOPA au 30/04/2014. Puis, dans un second temps, nous établions un bilan prudentiel

Solvabilité 2.

Nous appliquons le calcul du SCR au contrat analysé précédemment et nous analysons les

résultats obtenus au fur et à mesure des calculs.

Rappelons que dans ce mémoire, nous nous intéressons qu'aux risques de marché et de

souscription vie.

1. Risque de marché

Le risque de marché résulte d'une variation de la valeur des actifs et des passifs suite à une

baisse ou une hausse de la valeur de marché des instruments financiers. Il est composé des

sous-modules de risques suivants :

− Risque de variation des taux d’intérêt (Interest rate).

− Risque de chute de la valeur des actions (Equity).

− Risque sur l’immobilier (Property) : il résulte de la volatilité de la valeur de marché

des actifs immobiliers. Ce risque ne sera pas pris en compte car notre portefeuille

d’investissement ne contient pas d’actifs immobiliers.

− Risque de spread (Spread) : ce risque ne sera également pas pris en compte dans

cette étude étant donné que les obligations zéro-coupon constituant le portefeuille

d’investissement sont supposées exemptes de risque de crédit.

125

− Risque de change (Currency) : l’actif et le passif de notre contrat sont libellés dans la

même devise (en l'occurrence l’euro), par conséquent notre contrat n'est pas exposé à

ce risque.

− Risque de concentration (Concentration) : nous supposons que notre portefeuille

d’investissement est suffisamment diversifié pour négliger ce risque. De surcroît, les

actifs (CAC40 et obligation sans risque) sont supposés exempts du risque de

défaillance émetteur.

En résumé, nous ne prenons en compte que le risque de taux d'intérêt et le risque sur

actions.

1.1 Le risque de taux d'intérêt

Le contrat en UC étudié dans ce mémoire est exposé au risque de taux d’intérêt car l’actif

et le passif sont sensibles aux variations de la courbe des taux d’intérêt. Pour déterminer

l’exigence de capital requis pour faire face à ce risque, la directive Solvabilité 2 demande

d’étudier l’impact sur les fonds propres économiques d’un choc haussier et d’un choc baissier

des taux d’intérêt et de choisir le plus élevé des deux résultats comme besoin en capital. Soit :

( )0; ;hausse baisseTaux Taux TauxSCR Max SCR SCR=

Où :

− ( )hausseTauxSCR NAV hausse= ∆ est la valeur du SCR suite à un choc haussier des taux

d’intérêt.

− ( )baisse

TauxSCR NAV baisse= ∆ est la valeur du SCR suite à un choc baissier des taux

d’intérêt.

Les chocs à appliquer pour chaque maturité des taux d’intérêt sont fournis dans les

spécifications techniques. À titre illustratif, nous présentons ci-après l’allure de la courbe des

taux à la date initiale ( )0,R t choquée à la hausse et à la baisse.

126

Figure 28 : Courbes des taux d'intérêt choqués


Scénario Actifs en VM Best estimate NAV ∆

Central 100 84,34 15,66

Choc des taux à la hausse 97,29 78,52 18,77 -3,12

Choc des taux à la baisse 103,51 90,74 12,77 2,89

À noter que le terme "VM " désigne l'expression "valeur de marché".

Nous remarquons qu'une baisse des taux d'intérêt entraine une diminution des fonds

propres économiques et donc nécessite d'allouer du capital pour faire face. À contrario, une

hausse des taux d'intérêt entraine une augmentation des fonds propres économiques et donc le

besoin en capital est nul. Ceci s'explique par le fait qu'une hausse (ou une baisse) des taux

d'intérêt a un impact plus important sur le best estimate que sur la valeur de marché de l'actif.

En effet, le facteur d'actualisation croît (ou décroît) beaucoup plus vite que la variation de

l'actif. Au final, le besoin en capital pour faire face au risque de taux s'élève à 2,89 euros.

127

1.2 Le risque sur actions

Le risque sur actions résulte de la fluctuation à la baisse de la valeur de marché des

actions. Ce risque peut entrainer une perte considérable sur le compartiment investi en actions

et obligeant l’assureur à puiser dans ses fonds propres pour honorer ses engagements. Pour

déterminer l’exigence de capital pour couvrir ce risque, la directive Solvabilité 2 distingue

deux types d’actions :

− Type 1 : couvre les actions et valeurs cotées sur les marchés réglementés dans les pays

membres de l’EEE (Espace Économique Européen) ou de l’OCDE (Organisation de

Coopération et de Développement Économique).

− Type 2 : regroupe les actions cotées sur des marchés hors l'EEE ou de l'OCDE, les

actions non cotées, les fonds spéculatifs, les parts de hedge funds, les matières

premières, les parts de fonds alternatifs, ou de façon générale tout autre investissement

non pris en compte dans aucun des sous-modules du risque de marché.

Le SCR pour faire face au risque sur actions se calcule comme suit :

2 21 1 2 22 0.75Action Type Type Type TypeSCR SCR SCR SCR SCR= + ∗ ∗ ∗ +

Où 1TypeSCR et 2TypeSCR représentent respectivement le SCR pour les actions de type 1 et le

SCR pour les actions de type 2.

Avec : ( )( )

1

2

NAV / _ 1 ;0

NAV / _ 2 ;0

Type

Type

SCR Max choc action

SCR Max choc action

= ∆

= ∆

Où _ 1choc action et _ 2choc action sont les chocs baissiers à appliquer respectivement sur

les actions de type 1 et celles de type 2.

Scénarios Type 1 Type 2

Choc central 39% 49%

Ajustement symétrique 7,5% 7,5%

Choc total 46,5% 56,5%

128

Rappelons que l’ajustement symétrique (appelé aussi « effet dampener») est un

mécanisme permettant d'amortir le choc action lorsque les marchés sont dans une dynamique

baissière, et de l'augmenter lorsque les marchés sont dans une dynamique haussière.

Globalement, le pourcentage d'ajustement est estimé en fonction de la distance d'un indice

(construit sur un panier d’indices actions) à sa moyenne mobile sur les trois dernières années.

À noter que cet ajustement ne pourra toutefois pas excéder +/-10%. À la date d'aujourd'hui, il

est égal à 7,5%.

Dans notre cas, le compartiment actif risqué est entièrement investi sur l'indice CAC 40.

Ce dernier n'est composé que des actions de Type 1, nous avons donc : 1Action TypeSCR SCR=

Nous obtenons finalement les résultats regroupés dans le tableau ci-après :

Scénarios Actifs en VM Best estimate NAV ∆

Central 100 84,34 15,66

Choc à la baisse sur l’actif risqué

62,80 56,63 6,17 9,49

Nous remarquons (nous nous attendions) que le risque actions est prépondérant dans ce

type de contrat. En effet, l'actif étant majoritairement investi en actifs risqués (à 80% sur le

CAC 40), une chute instantanée de 46,5% a donc un impact très négatif sur la valeur des

fonds propres économiques. Ces derniers passent de 15,66 euros à 6,17 euros. Ce qui

nécessite d'allouer du capital. Le besoin en capital pour faire face au risque sur actions

s'élève à 9,49 euros.

1.3 Calcul du SCR de marché

Le SCR pour faire face au risque de marché s'obtient en appliquant la formule suivante :

,,

*Marché i j i ji j

SCR CorrMarché SCR SCR= ∗∑

Où :

129

− i et j représentent les sous-modules composant le module risque de marché : ici, il

s'agit des sous-modules risque de taux d'intérêt et le risque sur actions.

− ,i jCorrMarché désigne le coefficient de corrélation entre les sous modules de risques

i et j . Ce coefficient traduit l'effet de la diversification entre les différents sous

modules de risques. La matrice de corrélation correspondante fournie dans les

spécifications techniques est :

,i jCorrMarché Marché Vie

Marché 1

Vie 0,5 1

Nous obtenons finalement : 2 22*0.5* *Marché Taux Taux Action ActionsSCR SCR SCR SCR SCR= + +

Nous récapitulons dans le graphique ci-dessous les SCRs des sous modules risque de marché

calculés précédemment :

Figure 29 : Décomposition du SCR marché avant diversification

130

En faisant abstraction de la corrélation qui existe entre ces deux risques, nous obtenons un

SCR de marché égal à 12,38 euros, soit la somme des deux SCR.

En appliquant la corrélation via la formule ci-dessus, nous obtenons que le SCR risque de

marché est égal à 11,22 euros. Nous constatons alors que la diversification a permis de réduire

le SCR risque de marché de 9,36%.

2. Risque de souscription vie

Ce module couvre l’ensemble des risques inhérents à la souscription et à la gestion des

contrats d’assurance vie, qui génère un besoin en capital. Ces risques résultent principalement

de l'inadéquation de la tarification et de l'anti-sélection des risques. La directive Solvabilité 2

identifie les risques suivants :

− Le risque lié à la hausse permanente de la mortalité (Mortality).

− Le risque lié à une baisse permanente de la mortalité (Longevity).

− Le risque d’invalidité/incapacité (Disability/Morbidity).

− Le risque de résiliation des contrats (Lapse).

− Le risque lié à une forte augmentation des frais de gestion du contrat (Expenses).

− Le risque de révision du contrat (Revision).

− Le risque lié à la survenance d'une catastrophe de grande ampleur (CAT).

À noter que nous n'analyserons pas les risques d'invalidité/incapacité et de révision,

puisque le contrat étudié ici n'est pas exposé à ces risques. À noter aussi que les différents

chocs testés n'ont pas d'impact sur la valeur de marché de l'actif. Par conséquent, nous avons :

( ) ( ) ( ) choc choc

choc choc =

X après avant

avant après

SCR NAV choc Actif PBE Actif PBE

PBE PBE

= ∆ = − − −

−

131

2.1 Le risque de mortalité

Le risque de mortalité existe sur les contrats pour lesquels une hausse de la mortalité

entraine une augmentation des provisions techniques, ce qui est principalement le cas des

contrats garantissant une prestation en cas de décès. Ce risque résulte d'une mauvaise

évaluation des taux de mortalité lors de la tarification. Pour déterminer l’exigence de capital

requis pour faire face, la directive Solvabilité 2 propose d’évaluer l’impact sur les fonds

propres économiques d’un choc haussier des taux annuels de mortalité pour chaque âge.

Concrètement, nous avons :

( )/ _MortSCR NAV choc mort= ∆

Où _choc mortcorrespond à une augmentation de 15% des taux annuels de mortalité pour

chaque âge.

Nous obtenons les résultats ci-dessous :


Avant le choc 100 84,34 15,66

Après le choc 100 85,73 14,27 1,39

Nous remarquons qu’une hausse de la mortalité entraine naturellement une hausse du best

estimate (on passe de 84,34 euros à 85,73 euros) toute chose égale par ailleurs. En effet, cela

s’explique par le fait qu’en augmentant la probabilité de décès, nous actualisons sur une

période beaucoup plus courte et de surcroît avec des taux extrêmement bas. En outre, les

primes futures au titre des frais de la garantie plancher, qui viennent en diminution dans le

best estimate, seront moindres vu que le coût est lissé sur toute la durée du contrat (l’assureur

ne recevra pas les dernières primes). Le besoin en capital pour couvrir ce risque est de 1,39

euros, ce qui représente un montant relativement faible en comparaison au risque sur

actions.

132

2.2 Le risque de longévité

Le risque de longévité concerne les contrats pour lesquels une baisse de la mortalité

conduit à une augmentation des provisions techniques, ce qui est principalement le cas des

contrats offrant une prestation en cas de vie. Pour déterminer le capital nécessaire pour

couvrir ce risque, la directive Solvabilité 2 propose d’évaluer l’impact sur les fonds propres

économiques d’un choc haussier des taux annuels de mortalité pour chaque âge.

Concrètement, nous avons :

( )/ _LongSCR NAV choc long= ∆

Où _choc long correspond à une baisse de 20% des taux annuels de mortalité pour chaque

âge.

Nous obtenons les résultats ci-dessous :


Avant le choc 100 84,34 15,66

Après le choc 100 82,49 17,51 -1,85

Nous remarquons qu’une baisse de la mortalité conduit à une diminution du best estimate

(on passe de 84,34 euros à 82,49 euros) et donc le besoin en capital est nul. Ceci s'explique

par le fait qu'en cas de diminution de la mortalité, la majorité des contrats iront à leur terme,

l'actualisation se fera alors sur une longue durée et de plus l'assureur aura le temps d'encaisser

une bonne partie des primes au titre de la garantie plancher qui viennent en diminution dans le

calcul du best estimate.

2.3 Le risque de rachat

Le risque de rachat résulte de l'option de sortie exercée par les assurés. La directive

Solvabilité 2 définie l'exigence de capital au titre du rachat comme suit :

( ); ;Rachat baisse hausse massifSCR Max Rachat Rachat Rachat=

Où :

133

− baisseRachat est la valeur du SCR rachat sous l'hypothèse d'une diminution permanente

des taux de rachats.

− hausseRachat est la valeur du SCR rachat sous l'hypothèse d'une augmentation

permanente des taux de rachats.

− massifRachat est la valeur du SCR rachat sous l'hypothèse d'un rachat massif ou accru,

correspondant à une résiliation instantanée de 40% des contrats. Cependant, ce SCR

n'a d'intérêt que si la valeur de rachat du contrat est supérieure au montant de la

provision technique, ce qui n’est pas le cas du contrat étudié ici. Par conséquent, nous

n'évaluerons pas ce SCR.

On a : ( )( )

_ _

_ _

baisse

hausse

Rachat NAV choc rachat baisse

Rachat NAV choc rachat hausse

= ∆

= ∆

Où :

− _ _choc rachat baisse: est l'intensité du choc baissier égale à max(50% ; 20%)τ τ − ,

avec τ le taux de rachat avant le choc.

− _ _choc rachat hausse: est l'intensité du choc haussier égale à min(150% ; 100%)τ

Nous obtenons les résultats regroupés dans le tableau ci-dessous :


Central 100 84,34 15,66

Choc à la baisse des taux de rachats

100 85,85 14,15 1,51

Choc à la hausse des taux de rachats

100 84,17 15,83 -0,17

Paradoxalement, nous remarquons que contrairement à de nombreux contrats d’assurance

vie c'est la baisse des taux de rachats qui nécessite d'allouer du capital et non la hausse des

taux de rachats. Cela s'explique par le fait qu'en cas de forte hausse des taux de rachats,

l'assureur récupère les pénalités de sortie (fixée ici au maximum autorisé par la loi, soit 5% de

la valeur de marché du contrat) qui viennent diminuer le niveau des provisions best estimate

134

et par conséquent le besoin en capital est nul. Alors que la forte baisse des taux de rachat

accroît le best estimate et cela nécessite donc d'allouer du capital pour faire face. En

conclusion, le chargement en capital pour faire face au risque de rachat s'élève à 1,51

euros.

2.4 Le risque de frais

Le risque de frais résulte de l'augmentation des frais de gestion du contrat. La directive

Solvabilité 2 définie l'exigence de capital au titre de l'augmentation des frais de gestion

comme suit :

( )_fraisFraisSCR NAV choc= ∆

Où _fraischoc correspond à une augmentation de +10% des frais de gestion annuels

futurs, plus 1% du taux d'inflation annuel des frais. À noter que nous ne prenons pas en

compte ce +1%, étant donné que nous n'avons pas pris en compte l'inflation dans notre

modélisation.

Nous obtenons les résultats regroupés dans le tableau ci-dessous :


Central 100 84,34 15,66

Choc à la hausse des taux de frais

100 86,59 13,41 2,24

Nous remarquons que la hausse des frais entraine tout logiquement une augmentation des

provisions best estimate. En effet, cela est due au fait que les chargements prélevés ne seront

plus suffisants pour couvrir la hausse des frais. Par conséquent, les flux sortants deviennent

plus importants alors que les flux entrants demeurent fixes, d'où la hausse des provisions best

estimate. Pour couvrir ce risque, le besoin en capital s'élève à 2,24 euros.

135

2.5 Le risque de catastrophe

Le risque de catastrophe représente le risque de perte dû à des événements extrêmes ou

exceptionnels tels que les catastrophes naturelles, les épidémies, les pandémies,…etc. Ce

risque a pour conséquence d'augmenter brutalement la mortalité et impacte alors les contrats

garantissant une prestation en cas de décès. Pour couvrir ce risque, la directive Solvabilité 2

demande d'évaluer l'impact sur les fonds propres économiques d'une hausse instantanée de

+0,15% du taux de mortalité de l'année à venir. Concrètement, on a :

( )_CatSCR NAV choc cat= ∆

Où _choc cat est un choc de +0,15% à appliquer au taux de mortalité de l'année à venir.



Central 100 84,34 15,66

Choc à la hausse du taux de mortalité de l'année à venir

100 84,38 15,62 0,04

Une hausse instantanée de + 0,15% du taux de mortalité de l'année à venir a un impact

non nul sur la valeur des provisions best estimate. Certes l'impact est très faible mais

l'assureur doit tout de même allouer un capital pour couvrir ce risque. Le montant du capital

s'élève à 0,04 euros.

2.6 Calcul du SCR risque de souscription vie

Le SCR risque de souscription vie se calcule à l'aide de la formule suivante :

,,

*vie i j i ji j

SCR CorrLife SCR SCR= ∗∑

Où :

− i et j représentent les différents risques composants le module risque de souscription

vie.

136

− ,i jCorrLife désigne le coefficient de corrélation entre le risques i et j . Ce coefficient

traduit l'effet de la diversification entre les différents risques. La matrice de corrélation

fournie dans les spécifications techniques est :

CorrLife Mortalité Longévité Rachats Frais CAT

Mortalité 1

Longévité -0,25 1

Rachats 0 0,25 1

Frais 0,25 0,25 0,5 1

CAT 0,25 0 0,25 0,25 1

Nous récapitulons dans le graphique ci-après les différents SCRs du module risque de

souscription vie calculés précédemment :

Figure 30 : Décomposition du SCR risque de souscription vie avant diversification

137

Nous observons que le risque de frais est le plus important dans le module souscription vie,

il représente un peu plus de 43,24% du risque vie. À l'opposé, le SCR longévité est nul et le

SCR catastrophe est quant à lui quasiment nul. Quant aux SCR rachat et mortalité, ils

représentent respectivement 29,15% et 26,83% du risque vie.

S'il n'existait pas de corrélation entre les différents risques, on aurait alors alloué un

montant de SCR vie égal à 5,18 euros, soit la somme des différents SCR.

En appliquant les corrélations listées dans le tableau ci-dessus, nous obtenons la valeur du

SCR risque de souscription vie égale à 3,78 euros. Nous pouvons alors constater que les

corrélations ont permis de réduire le montant du SCR vie de 1,40 euros, soit d'un peu plus de

27%. Ceci confirme les bienfaits de la diversification.

3. Calcul du SCR

Dans notre cas, le SCR se calcule à partir des SCRs de marché et de souscription vie en

appliquant la formule suivante :

,,

*i j i ji j

SCR Corr SCR SCR= ∗∑

Où :

− i et j représentent les modules risque de marché et risque de souscription vie.

− ,i jCorr désigne le coefficient de corrélation entre les modules de risques i et j . Ce

coefficient traduit l'effet de la diversification entre les différents modules de risques.

La matrice de corrélation fournie dans les spécifications techniques est :

Corr Marché Vie

Marché 1

Vie 0,25 1

Nous obtenons finalement : 2 22 0.25Marché Marché Vie VieSCR SCR SCR SCR SCR= + ∗ ∗ ∗ +

138

Nous récapitulons dans le graphique ci-après les SCR module risque de marché et module

risque de souscription vie calculés précédemment :

Figure 31 : Décomposition du SCR avant effet de diversification

Nous observons que le SCR marché est prépondérant dans ce type contrat, il représente

quasiment 74,8% du besoin en capital avant diversification. Ce qui confirme ce que nous

avons évoqué dans la partie théorique à savoir que le risque de marché est le principal risque

auquel est exposé un contrat en UC avec garanties plancher.

En prenant en compte la corrélation entre le risque de marché et le risque de souscription

vie, nous obtenons finalement une valeur de SCR égale à 12,70 euros pour un best estimate

de 84,34 euros. Ce montant de SCR nous semble cohérent pour ce type de contrat où

l'assureur a l'obligation d'honorer ses engagements de garanties plancher quel que soit le

scénario d'évolution de l'actif.

139

4. Établissement du bilan prudentiel et analyse critique

Dans cette section, nous allons établir et analyser le bilan prudentiel Solvabilité 2. Il s’agit en

effet de l’objectif ultime du mémoire.

4.1 Le bilan prudentiel Solvabilité 2

À partir des différents éléments calculés précédemment, nous établissons ci-dessous le

bilan prudentiel Solvabilité 2 au titre du contrat en UC avec garantie plancher mixte

GMDB/GMMB étudié dans le présent mémoire. À gauche, nous représentons l'actif en valeur

de marché et à droite le passif en valeur cohérente avec celle du marché. Ce bilan est établi à

la date initiale, immédiatement après le versement de la prime.

ACTIF PASSIF

CAC 40 80 €

Excédents de fonds propres

0,13 €

SCR 12,70 €

Marge de risque 2,83 €

Provisions best estimate 84,34 €

Obligations zéro-coupon

20 €

Total 100 € Total 100 €

Figure 32 : Présentation du bilan prudentiel Solvabilité 2

140

Ce bilan prudentiel vient confirmer a postériori que le passif du contrat en UC avec

garanties plancher est constitué majoritairement des provisions techniques (best estimate +

marge de risque), elles représentent 87,17% du passif. Le reste étant constitué des fonds

propres (le SCR) qui représentent 12,70%. Ces derniers viennent principalement couvrir le

risque de marché inhérent au contrat. Nous observons également la présence d'excédents de

fonds propres, résultants principalement de la marge bénéficiaire (introduite implicitement

dans les chargements prélevés).

4.2 Analyse critique

Le bilan prudentiel Solvabilité 2 repose sur la valorisation en valeur de marché, ce qui

nécessite alors de recourir aux modèles stochastiques avancés. Dans cette étude, nous avons

entre autres utilisé le modèle à sauts gaussiens de Merton pour projeter les rendements futurs

du CAC 40 et la méthode de Monte-Carlo pour estimer les provisions techniques.

Or, le modèle de Merton peut conduire à des rendements très élevés en valeur absolue, ce

qui peut être hautement discutable au regard de l'historique du CAC 40. Malgré cela, nous

avons jugé opportun d'appliquer ce modèle car il est tout de même (paradoxalement) en phase

avec l'esprit de la directive Solvabilité 2, qui recommande de prendre en compte les scénarios

extrêmes et improbables.

Quant à la méthode de Monte-Carlo, elle n'est peut-être pas adaptée dans un contexte de

forte volatilité des actifs financiers, mais elle reste néanmoins la méthode la plus usitée par le

marché, notamment grâce à sa simplicité de mise en œuvre. En effet, les autres méthodes

(notamment celles par formules fermées) disponibles dans la littérature financière sont

extrêmement complexes à appliquer dans un cadre pratique.

Par ailleurs, précisons que la formule standard utilisée pour le calcul du SCR n'est pas

appropriée aux risques non-linéaires inhérents aux contrats en UC avec garanties plancher.

Ce qui représente de toute évidence une limite à notre étude.

En conclusion, au regard du caractère discutable des différents modèles, méthodes et

hypothèses (financières et actuarielles) utilisés, il convient alors d'interpréter ce bilan

avec beaucoup de prudence.

141

Conclusion générale

La directive Solvabilité 2 est entrée en vigueur le 1er janvier 2016. À compter de cette

date, les sociétés d’assurance et de réassurance sont tenues d’établir un nouveau bilan : le

bilan prudentiel ou économique. Ce bilan prudentiel repose sur deux principes majeurs :

− La valorisation des actifs et des passifs en valeur de marché.

− La détermination des fonds propres (SCR) suivant une approche fondée sur les

risques.

Dans le cas de contrat en UC avec garantie plancher mixte GMDB/GMMB, la mise en

œuvre de ces principes est très ardue. En effet, cela nécessite d’une part de modéliser

finement l’évolution des unités de compte et donc les marchés financiers sous-jacents, et

d’autre part de prévoir correctement le comportement des assurés (mortalité et rachats).

L’étude que nous avons réalisée s’est attelée à la tâche autant que faire se peut. Plus

précisément, notre étude s'est fixée comme objectif ultime d'établir le bilan prudentiel

Solvabilité 2, au 30/06/2015, d'une société d'assurance commercialisant des contrats en UC

avec garantie plancher mixte GMDB/GMMB.

Pour ce faire, nous avons tout d'abord développé un modèle d'allocation dynamique

d'actifs et un générateur de scénarios économiques risque neutre qui nous ont permis de

projeter l'évolution de l'actif en valeur de marché. Sur la base de ces projections, nous avons

analysé la distribution des performances finales de l'investissement et déduire des résultats

forts intéressants sur les performances futures du CAC 40.

Ensuite, nous avons modélisé successivement les provisions best estimate, la marge de risque

et le coût global de la garantie plancher, à l'aide de méthodes stochastiques adaptées,

notamment la méthode de Monte-Carlo.

Quant au calcul du SCR, nous nous sommes contentés d'appliquer la formule standard fournie

dans les spécifications techniques de la directive Solvabilité 2, même si nous sommes

conscient qu'elle n'est pas adaptée dans le cas de risques non-linéaires.

142

Les résultats obtenus en application pratique confirment que le risque de marché,

notamment le risque sur actions, constitue le risque majeur auquel s'expose un assureur ayant

vendu de la garantie plancher dans un contrat en UC. Pour se couvrir contre ce risque, nous

avons rappelé que l'assureur doit impérativement tarifer la garantie plancher à sa juste valeur.

Dans notre exemple, qui est très proche des cas de marché, en calculant le coût global de la

garantie plancher mixte GMDB/GMMB, nous nous sommes rendu compte que le tarif

pratiqué (0,85% de l'encours) est largement excessif, et que le tarif "équitable" serait autour

de 0,25% toutes choses égales par ailleurs.

En guise de conclusion, nous retenons que l'établissement du bilan prudentiel dans le cas

de contrats en UC avec garanties plancher nécessite d’une part la mise en place d'outils et

modèles stochastiques avancés, permettant de modéliser les différents postes du bilan à leur

juste valeur ; et d’autre part de disposer d'outils informatiques adaptés pour la mise en œuvre,

c’est-à-dire ceux optimisant les temps de calcul.

Soulignons enfin que nous avons pu constater au cours de cette étude la convergence entre

l'assurance-vie et la finance de marché, notamment à travers le principe de la valorisation en

valeur de marché. Ce qui a pour conséquence d'introduire de la volatilité dans le bilan

prudentiel. Ainsi, un axe de prolongement de cette étude serait par exemple de s'intéresser à

comment quantifier et maitriser cette volatilité.

143

Bibliographie

Aftalion F. & Poncet P. (2003), "Les techniques de mesure de performance", Economica.

Artzner P., Delbaen F., Eber J.-M., Heayh D. (1997), "Thinking coherently", RISK. 10,

68–71.

Bah A. (2009), "Provisionnement prudent de la garantie plancher grâce à une méthode par

quantiles", mémoire d'actuariat EURIA.

Cont R. (2001), "Empirical Properties of Asset Returns: Stylized Facts and Statistical Issues",

Quantitative Finance 1, 223-236.

Corre M. (2005), "Description de la garantie plancher et méthodes de calcul du

provisionnement de la garantie plancher en cas de vie", mémoire d'actuariat EURIA.

Dastarac H. & Sauveplane P. (2010), "Les Déflateurs stochastiques : quelle utilisation en

assurance ? ", mémoire d'actuariat ENSAE.

Elbaz I. (2007), "Construction d’une table d’expérience "emprunteur" ", mémoire d'actuariat

Paris-Dauphine.

Faleh A., Planchet F., Rullière D. (2009), "Les Générateurs de Scénarios Économiques :

quelle utilisation en assurance ?", ISFA-Université Lyon I & Caisse des Dépôts et

Consignations.

Gabriel F. et Sourlas P. (2006), "Couverture d'options en présence de sauts", mémoire

d'actuariat ENSAE.

Guillotin G. (2011), "Analyse des contrats d’assurance vie diversifiés au regard de la

Directive Solvabilité 2", mémoire d'actuariat Paris-Dauphine.

144

Hull J. & White A. (1990), "Pricing Interest Rate Derivative Securities", Review of Financial

Studies, Vol. 3.

Hull J. (2004) , "Options, Futures et Autres Actifs Dérivés", Pearson Education, Edition 5.

Ifergan E. (2011), "Mise en œuvre d’un calcul de best estimate", mémoire d'actuariat Paris-

Dauphine.

Kelani A. (2012), "Gestion de contrats d’Assurance-vie en Unités de Compte : une approche

non-gaussienne", thèse de Doctorat de Université Claude Bernard Lyon I.

Lamberton D. & Lapeyre B. (1999), "Introduction au Calcul Stochastique Appliqué à la

Finance", ellipses.

Maïlys C. (2009), "Analyse et évaluation des risques de la technique d'assurance de

portefeuille dite du "CPPI" et application à un contrat d'assurance-vie italien dans le cadre de

Solvabilité 2", mémoire d'actuariat EURIA.

Merlus S. & Pequeux O. (2000), "Les garanties plancher des contrats d’assurance-vie en

unités de compte : tarification et couverture", mémoire d'actuariat ENSAE.

Merton R. C. (1976), "Option Pricing When Underlying Stock Returns are Discontinuous",

Journal of Financial Economics 3, 125-144.

Morin P. & Thourot P. (2014), "Solvency 2 en 125 mots-clés", Revue Banque.

Nelder J. & Mead R. (1965), "A simplex method for function minimization", Computer

Journal, vol. 7, no 4, 1965, p. 308-313.

Perez D. (2009), " Modélisation et Étude d'un Produit Variable Annuity", mémoire d'actuariat

ISUP.

Petauton P. & Fromenteau M. (2012), "Théorie et pratique de l'assurance vie", DUNOD, 4e

édition.

145

Planchet F., Therond P. & Kamega A. (2009), " Scénarios économiques en assurance -

Modélisation et simulation", Economica.

Planchet F., Therond P. & Juillard M. (2011), "Modèles Financiers en Assurance",

Economica.

Planchet F. et Bonnin F., "Solvabilité II : quels standards pour le risque de marché ? ",

La Tribune de l’assurance", n° 185 du 01/11/2013.

Portrait R. & Poncet P. (2011), "Finance de Marché", Dalloz gestion.

Saporta G. (2011), "Probabilités Analyse des Données et Statistique", Editions TECHNIP.

Suru A. (2011), "Le rachat : modélisations et préconisations", mémoire d'actuariat Paris-

Dauphine.

Tennenhäuser M. (2012), "Gestion dynamique d’un contrat en unité de compte à garantie

plancher : Modèle simple d’allocation d’actifs et de mesure de risques induits", mémoire

d'actuariat CNAM.

Autres documents :

Code des assurances : http://www.legifrance.gouv.fr

Rapport annuel de 2014 de la FFSA : http://www.ffsa.fr/

Directive 2009/138/CE : https://eiopa.europa.eu/

Directive 2014/51/UE : https://eiopa.europa.eu/

Spécifications techniques pour la phase préparatoire de Solvabilité 2 : https://eiopa.europa.eu/

146

Annexes

Annexe 1 : Éléments de calcul stochastique

Nous rappelons dans cette annexe les notions de calculs stochastiques que nous avons

utilisées dans le corps du mémoire, notamment dans la modélisation des taux d'intérêt et de

l'indice CAC 40.

Pour une présentation détaillée des processus stochastiques, nous renvoyons le lecteur à l'un

des nombreux ouvrages spécialisés, par exemple Lamberton et Lapeyre (1999).

1. Processus stochastiques

Un processus stochastique est une variable qui dépend du temps et du hasard. Autrement

dit, une variable aléatoire qui évolue au cours du temps. Formellement, il s'agit d'une

applicationX , mesurable, définit par :

[ ]( ) ( )

: 0,

, ,

nX T

t X tω ω× Ω → ℝ

֏

Où :

− Ω représente l'ensemble des états du monde, c'est à dire un espace probabilisé muni d'une

tribu et d'une mesure de probabilité.

− ( ),X t ω est la valeur prise par le processus X en t dans l'état du mondeω . S'il n'est

défini qu'à des instants particuliers : 1 20, , ,...,nt t t T= , le processus X est dit à temps

discret. Lorsqu'il est défini pour tout ( )0,t T∈ , il est dit à temps continu.

Pour un état du monde ω donné, le processus X est une fonction déterministe dont la valeur

est connue à tout instant t . Cette fonction est appelée trajectoire. Par ailleurs, pour un instant

147

t donné, ( ) ( ), tX t Xω ω≡ est une variable aléatoire classique dont la valeur n'est connue

qu’en date t .

Dans la suite, nous considérons des processus unidimensionnels prenant leurs valeurs dans

l’ensembleℝ , que nous notons simplement sans mention de la lettreω .

2. Mouvement brownien standard

Le mouvement brownien, appelé aussi processus de Wiener, a été introduit par le

botaniste anglais Robert Brown en 1828 pour décrire les mouvements des particules de

pollen en suspension dans l'eau. Un processus stochastique est un mouvement brownien

standard, noté ( )W t , s'il vérifie les propriétés suivantes :

− ( )0 0W = ;

− ( )W t suit une loi gaussienne de moyenne nulle et de variance t ;

− 0 s t∀ ≤ < , l'accroissement ( ) ( )W t W s− suit une loi gaussienne de moyenne nulle et

de variance t s− ;

− Les accroissements calculés sur des périodes disjointes, sont indépendants.

3. Processus et lemme d’Itô

Un processus stochastique X vérifiant les propriétés ci-dessous s'appelle processus d'Itô :

− La variation de X entre t et t dt+ obéit à l'équation différentielle stochastique

(l'EDS) suivante :

( ) ( )dX t dt t dWµ σ= +

Où ( )tµ et ( )tσ sont deux processus stochastiques désignant respectivement la

dérive et la diffusion du processus X ; et W désigne un mouvement brownien

standard.

− La variation de X entre 0 et t , s'écrit de la manière suivante :

( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 0

0t t

X t X s ds s dW sµ σ− = +∫ ∫

148

Lemme d'Itô

Considérons un processus d'Itô ( )X t et une fonction f de classe 2C définit par :

( ) ( )( )2:

, ,

f

t X f t X t

→ℝ ℝ

֏

Le lemme d'Itô donne les résultats ci-dessous :

− ( )( ),f t X t est un processus d'Itô

− Le différentiel df peut s'écrire sous les trois formes suivantes :

• ( ) ( ) ( )( )2

2

2

1. . .

2

f f fdf dt dX dX

t x x

∂ ∂ ∂= + +∂ ∂ ∂

• ( ) ( ) ( ) ( )2

22

1. . .

2

f f fdf t dt dX

t x xσ

∂ ∂ ∂= + + ∂ ∂ ∂

• ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2

22

1. . . .

2

f f f fdf t t dt t dW

t x x xµ σ σ

∂ ∂ ∂ ∂= + + + ∂ ∂ ∂ ∂

4. Mouvement brownien géométrique

Un mouvement brownien géométrique est un processus stochastique obéissant à l'EDS

suivante :

dX dt dWµ σ= +

Avec µ et σ sont deux constantes représentant respectivement la dérive et la diffusion (ou

volatilité) du processus ( )X t .

En appliquant le lemme d'Itô à un mouvement brownien géométrique, on obtient :

( ) ( ) ( )2

0 exp2

X t X t W tσµ σ

= − +

( )X t est alors une variable aléatoire log-normale.

149

5. Processus de Poisson

Soit ( )0n n

E≥

une suite de variables aléatoires géométriques indépendantes et identiquement

distribuées (i.i.d) de même paramètreλ .

Le processus ( )0t t

N≥

défini ci-après est un processus de Poisson d'intensité finieλ :

1 ...1

1nt E E t

n

N + + ≤≥

=∑

Un processus de Poisson correspond donc à un processus de comptage d'occurrence.

Dans cette étude, nous l'avons utilisé pour compter le nombre de sauts de l'indice CAC 40 sur

un intervalle de temps donné.

Si ( )0t t

N≥

est un processus de Poisson d’intensitéλ , on a alors les propriétés suivantes :

− Pour tout 0t > la variable aléatoire tN suit une loi de Poisson de paramètretλ , c'est à

dire que : ( ) ( ) ( )!

k

tt

tP N k e

kλ λ−= = k∀ ∈ℕ

− Le processus ( )0t t

N≥

est un processus à accroissements indépendants, c'est à dire que :

0 1 0 ... kt t t∀ = < < < , les variables aléatoires ( ) ( )1 1 0

,...,k kt t t tN N N N

−− − sont indépendantes.

− Le processus ( )0t t

N≥

est un processus stationnaire, c'est à dire que : ( )t s t sN N N+ − = .

6. Processus de Poisson composée

Un processus de Poisson composé ( )L t est un cas particulier des processus de Levy

s'écrivant comme suit :

( )1

tN

ii

L t Y=

=∑

Où :

− ( )0t t

N≥

est un processus de Poisson d'intensité finie λ ;

− ( )i iY

∈Νest une suite de variable aléatoire i.i.d et aussi indépendantes de ( )

0t tN

≥

150

7. Simulation de nombres aléatoires

Considérons une variable aléatoire quelconqueX , de fonction de répartition XF connue,

dont on veut générer un échantillon ( )1,2,...,ni

x x=

= . Pour ce faire, les étapes à suivre sont :

− Etape 1 : On génère d'abord un échantillon ( )1,2,...,ni i

u u=

= tiré d'une loi uniforme dans

l'intervalle (0,1). En effet, un tel échantillon est relativement facile à obtenir, par

exemple à l'aide du générateur congruentiel linéaire définit comme suit :

• Initialisation d'un nombre 0u ∈ℕ appelé "graine";

• Calcul des iu par récurrence avec la formule suivante :

( )modi iu k u p m= × + × avec , ,k p m des entiers positifs fixés.

− Étape 2 : On calcule enfin l'échantillon ( )1,2,...,i

x x= Ν

= en appliquant la formule

suivante : ( )1i X ix F u−= où 1

XF − est la loi de répartition inverse de X .

Toutefois, il est à noter qu'en pratique, on utilise rarement cette méthode pour générer des

nombres aléatoires. En effet, la plupart des logiciels disposent d'un générateur de nombres

aléatoires pour différentes lois, dont la loi normale et la loi de Poisson qui nous ont

intéressées dans ce mémoire.

151

Annexe 2 : Le théorème de Girsanov

Dans cette étude, nous avons utilisé le théorème de Girsanov pour passer de la probabilité

historique P à la probabilité risque-neutre Q . L'énoncé complet du théorème de Girsanov

dans un espace unidimensionnel est le suivant :

Théorème de Girsanov

Soit ( ), , ,tF F PΩ , un espace probabilisé filtré, W un processus de Wienner standard sous P ,

( ) [ ]0,t Ttλ

∈ un processus borné adapté à valeur dans ℝ , il existe alors une mesure de

probabilité Q tel que :

− Q est équivalente à P : c'est à dire qu'il existe une variable aléatoire X qui est

TF mesurable− avec ( ) 1PE X = et 0X > presque surement telle que pour tout

tA F∈ : ( ) ( ) ( )A

Q A X dPω ω= ∫

− ( ) ( ) ( )2

0 0

1

2

t t

t dW s s dsdQe

dP

λ λ− −∫ ∫=

− ( ) ( ) ( )0

t

W t W t s dsλ′ = + ∫ est un processus de Wienner standard sous Q .

À noter que dQ

dPest une variable aléatoire TF mesurable− appelée la dérivée de Radon-

Nikodym de Q par rapport à P .

152

Annexe 3 : Le modèle de Vasicek

Le modèle de Vasicek est un modèle de taux d'intérêt proposé en 1977 par O.Vasicek.

Ce modèle monofactoriel suppose que la dynamique du taux court tr obéit , dans l'univers

historique, à un processus d'Ornstein-Uhlenbeck :

( ) Pt t tdr a b r dt dWσ= − +

Où :

− a et b sont deux constantes positives représentant respectivement la vitesse de retour

à la moyenne et la moyenne de long terme du taux court tr ;

− σ est la volatilité du taux court;

− PtW est un mouvement brownien standard sous la probabilité historique P ;

En appliquant le théorème de Girsanov, on obtient la dynamique du taux court dans l'univers

risque neutre :

Qt t tdr a b r dt dW

a

λσ σ = − − +

Avec λ la prime de risque et QtW un mouvement brownien standard sous la probabilité risque

neutre Q . On remarque que la dynamique du taux court est aussi un processus de

d'Ornstein-Uhlenbeck dans l'univers risque neutre.

En intégrant cette équation, par application du lemme d'Itô, on obtient la fonctionnelle des

taux zéro-coupon suivante :

( ) ( )( )

( ) ( )2

3

2

2

1,

4

2

a T t

t

eR t T R R r

a T t a T t

R ba a

σ

λσ σ

− −

∞ ∞

∞

−= − − + − −

= − −

153

Où ( ),R t T est le taux zéro-coupon en date t pour une opération de maturité T t− .

Les paramètres peuvent êtres estimés par la méthode du maximum de vraisemblance :

( )( )( )

( )

( )

1

11

22

ˆ2

1 11 1 1

2

21

1 1

221

1

ˆˆ

ˆ1

ˆlogˆ

ˆ ˆ2ˆ

1

ˆ

1ˆ ˆ ˆˆ 1

i

n

i ii

bdt

n n n

i i i ii i i

n n

ii i

n

i ii

r ra

n

bdt

bV

e

n r r r r

n r r

V r r an

α

αα

σ

α

α α

−

−=

−

− −= = =

−= =

−=

− =

−

− = =

− −

= −

= − − −

∑

∑ ∑ ∑

∑ ∑

∑

Avec dt l'intervalle de temps entre deux observation de tr .

154

Annexe 4 : Formule d'évaluation des actions dans le

modèle de Black & Scholes

Le modèle originel de Black & Scholes a pour objectif d'évaluer une option européenne

sur action en l'absence de distribution de dividende.

Dans ce modèle, le cours de l’action tS , suit un mouvement brownien géométrique défini

par l'équation différentiel stochastique suivante :

Ptt

t

dSdt dW

Sµ σ= +

Où :

− Les paramètres µ et σ sont deux constantes représentant respectivement la tendance

et la volatilité de l’action, autrement dit l'espérance et l'écart type de la rentabilité de

l'action.

− PtW est un mouvement brownien standard sous la probabilité historique P .

En intégrant l'équation ci-dessus par application du lemme d'Itô, on obtient une formule

d'évaluation des actions :

2

0 exp2

Pt tS S t W

σµ σ

= − +

155

Annexe 5 : Généralisation du lemme d'Itô pour les

processus mixtes diffusion et sauts

Soit X un processus mixte de diffusion et sauts, défini comme suit :

010 0

tt t N

t s s s ii

X X a ds dW Xσ=

= + + + ∆∑∫ ∫

Où :

− sa et sσ sont deux processus continus et non prévisibles avec 2

0

T

tE dtσ

< ∞ ∫

− X∆ désigne l'amplitude des sauts.

Alors, pour toute fonction 1,2C [ ]: 0, ,f T × →ℝ ℝ le processus ( ),t tY f t X= peut être

représenté sous la forme suivante :

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

22

2 2

, , ,

2,

t t ttt t

tt t t tt t

f t X f t X f t XdY dt a dt dt

t x xf t X

dW f X X f X Nx

σ

σ − −

∂ ∂ ∂= + + +

∂ ∂ ∂∂

+ + ∆ − ∂

156

Annexe 6 : Calcul de la fonction génératrice des

cumulants dans le modèle de Merton

( ) ( )( )( )

( ) ( )( )( )( )

( )

12

11 1

2

11

10

1

ln ln exp 2

exp 2 ln

t hth

h

NNR

th i it hi i

k

th it hi

th t hk

th t h

E e E h W W J J

h W W JE P N N k

N N n

θ σθ µ λκ θσ θ

σθ µ λκ θσ θ

−

−= =

+∞ −=

−=

−

= − − + − + −

− − + − + = × − = − =

∑ ∑

∑∑

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

2 22

1

1

2 2

0

2 2 2

0

2 2 2

1

ln!

ln2 2 !

ln2 2

kii

kii

i

khh J h

k

kJ

k

kkJ

i

he e E e e

k

hhh h E ek

hhh h E ek

θ σσθ µ λκ θ λ

θ

θ

λ

λσθ µ λκ θ σ λ


=

=

+∞ − − −

=

+∞

=

=

∑=

∑= − − + − +

= − − + − +

∑

∑

∏

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )( )

1

1

0

2 2 2

0

2 2 2

2 2 2

2 2

!

ln2 2 !

ln exp2 2

2 2

2

i

k

kJ

k

J

J

E e hhh h

k

hh h E e h

hh h hE e

h

θ

θ

θ


σθ µ λκ θ σ λ λ

σθ µ λκ θ σ λ λ

σθ µ λκ θ

+∞

=

+∞

=

= − − + − +

= − − + − +

= − − + − +

= − − +

∑

∑

( )( )

( ) ( )2

2 2 22 2

1 2

exp 12 2 2

h h

hh h

σ λ φ θ

σ θ δθ µ λκ θ σ λ θγ

+ −

= − − + + + −

Étude sous solvabilité 2 d’un contrat d'assurance-vie …...solvency ii in application...

Documents