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PRUEBAS EBAU FÍSICA

Juan P. Campillo Ni olás

10 de agosto de 2019

1


1. Gravita ión.

1. Un asteroide de forma esféri a y radio 3 km tiene una densidad de 3 g· m

−3. Determine: a) La

velo idad de es ape desde la super ie de di ho asteroide. b) La velo idad de un uerpo a una

altura de 1 km sobre la super ie del asteroide si partió de su super ie a la velo idad de es ape.

Dato: Constante de Gravita ión Universal, G = 6,67·10−11N m

2kg

−2

Respuesta:

a) En el S.I, la densidad tendrá un valor de 3000 kg/m

3.La velo idad de es ape viene dada por:

v =

√

2GM

r=

√

2 · 6, 67 · 10−11 · 4/3 · πr33000r

=

√

2 · 6, 67 · 10−11 · 4πr230003

= 3, 88m/s

b) Apli ando el Prin ipio de Conserva ión de la Energía:

−GMm

r0+

1

2mv20 = −GMm

r+

1

2mv2

−6, 67 · 10−114/3π30003 · 30003000

+1

23, 882 = −6, 67 · 10−114/3π30003 · 3000

4000+

1

2v2

Obteniéndose v = 3,36 m/s.

2. Una re iente investiga ión ha des ubierto un planeta similar a la Tierra orbitando alrededor de la

estrella Próxima Centauri, una enana roja uya masa es un 12% de la masa del Sol y su radio es

el 14% del radio solar. Mediante té ni as de desplazamiento Doppler se ha medido el periodo del

planeta alrededor de la estrella obteniéndose un valor de 11,2 días. Determine: a) La a elera ión de

la gravedad sobre la super ie de la estrella. b) El radio de la órbita del planeta suponiendo ésta

ir ular. Datos: Constante de Gravita ión Universal, G = 6,6710

−11Nm2kg−2; Masa del Sol, MS

= 1,99·1030 kg; Radio del Sol, RS = 7·108 m.

Respuesta:

a) La a elera ión de la gravedad en la super ie de la estrella es:

g =GM

r2=

6, 67 · 10−11 · 0, 12 · 1, 99 · 1030(0, 14 · 7 · 108)2 = 1658, 47m · s−2

b) Apli ando la ter era ley de Kepler, tendremos:

T 2 =4π2r3

GMde donde se deduce : r =

3

√

GMT 2

4π2

Sustituyendo valores:

3

√

6, 67 · 10−11 · 0, 12 · 1, 99 · 1030(11, 2 · 86400)24π2

= 7, 23 · 109m

3. Se desea situar un satélite de 120 kg de masa en una órbita ir ular, alrededor de la Tierra, a 150

km de altura. a) Determine la velo idad ini ial mínima requerida para que al an e di ha altura. b)

Una vez al anzada di ha altura, al ule la energía adi ional ne esaria para que orbite. Datos: Radio

de la Tierra, RT = 6,37·10

6m; Constante de Gravita ión Universal, G = 6,67·10

−11N m

2kg

−2;

Masa de la Tierra, MT = 5,97·10

24kg.

Respuesta:

a) La velo idad ne esaria se halla apli ando el Prin ipio de Conserva ión de la Energía:

1

2mv2 − GMm

rT= −GMm

r

2



1

2v2 − 6, 67 · 10−11 · 5, 97 · 1024

6, 37 · 106 = −6, 67 · 10−11 · 5, 97 · 1024(6, 37 · 106 + 1, 5 · 105) v = 1698m · s,1

b) La energía del satélite en órbita será:

E = −GMm

2r= −6, 67 · 10−11 · 5, 97 · 1024 · 120

2 (6, 37 · 106 + 1, 5 · 105) = −3, 66 · 109 J

Puesto que la energía poten ial a esa altura es:

U = −GMm

r= −6, 67 · 10−11 · 5, 97 · 1024 · 120

(6, 37 · 106 + 1, 5 · 105) − 7, 33 · 109J

la energía que debe suministrarse es:

Es = E−U = 3, 66 · 109 J

4. Considérese una masa M = 50 kg situada en el origen de oordenadas. Bajo la a ión del ampo

gravitatorio reado por di ha masa, determine: a) El trabajo requerido para mover una masa m1 =

2 kg desde P1 = (1, 0, 0) m a P2 = (3, 4, 0) m. b) La energía inéti a de una partí ula de masa m2

= 3 kg que, partiendo del reposo, se mueve desde el punto P3 = (9/2, 6, 0) m al punto P2. Dato:

Constante de Gravita ión Universal, G = 6,67·10

−11N m

2kg

−2.

Respuesta:

a) El trabajo requerido es:

W = −∆U = m

(

−GM

r1+

GM

r1

)

= 2

(

−6, 67 · 10−11 · 501

+6, 67 · 10−11 · 50√

32 + 42

)

= −5, 34 · 10−9J

Al ser negativo el trabajo, éste deberá ser realizado por una fuerza externa, y no por el ampo

gravitatorio.

b) El trabajo realizado sobre la partí ula se igualará al in remento de su energía inéti a, es de ir:

W = −∆U = ∆Ec =1

2mv2 − 0

Las respe tivas energías poten iales en los puntos P3 y P2 serán:

U3 = −6, 67 · 10−11 · 50 · 3√

(9/2)2 + 62= −1, 334 · 10−9J U2 = −6, 67 · 10−11 · 50 · 3√

32 + 42= −2, 001 · 10−9J

EC = −1, 334 · 10−9 + 2, 001 · 10−9 = 6, 67 · 10−10J

5. a) Apli ando el prin ipio de onserva ión de la energía me áni a, obtenga una expresión para la

velo idad de es ape de un uerpo desde la super ie de un planeta esféri o de radio R y masa M.

b) Cal ule la velo idad de es ape desde la super ie de Mer urio sabiendo que posee una masa de

3,30·1023 kg y una a elera ión de la gravedad en su super ie de 3,70 m·s

−2. Dato: Constante de

Gravita ión Universal, G = 6,67·10

−11N m

2kg

−2.

Respuesta:

a) La suma de energías inéti a y poten ial en la super ie del planeta es igual a la suma de di has

energías a una distan ia innita. Su suponemos que se al anza esta distan ia on una velo idad

nula, tendremos:

−GMm

R+

1

2mv2e = 0 de donde se deduce : ve =

√

2GM

R

3


b) Para al ular la velo idad de es ape de Mer urio, debemos ono er su radio, a partir de la

a elera ión de la gravedad en la super ie del planeta:

3, 70 =6, 67 · 10−11 · 3, 30 · 1023

r2obteniendose : r =

√

6, 67 · 10−11 · 3, 30 · 10233, 70

= 2, 44 · 106m

Con este dato:

ve =

√

2 · 6, 67 · 10−11 · 3, 30 · 10232, 44 · 106 = 4247, 6m · s−1

6. a) A partir de la ley fundamental de la dinámi a, deduz a la expresión de la velo idad orbital

de un satélite que gira en una órbita ir ular de radio R alrededor de un planeta de masa M. b)

Si un satélite de 21 kg gira alrededor del planeta Marte, al ule el radio de la órbita ir ular y

la energía me áni a del satélite si su periodo es igual al de rota ión del planeta. Datos: Masa de

Marte, MMarte = 6,42·10

23kg; Periodo de revolu ión del planeta, TMarte = 24,62 h; Constante de

Gravita ión Universal, G =6, 67·10−11N ·m2kg−2.

Respuesta:

a) A partir del 2º Prin ipio de la Dinámi a, podremos es ribir:

F = ma −→ GMm

R2= m

v2

Rde donde se deduce : v =

√

GM

R

b) El periodo de Marte es: T = 24,62· 3600 = 88632 s. Apli ando la Ter era Ley de Kepler:

T2 =4π2r3

GMr =

3

√

886232 · 6, 67 · 10−11 · 6, 42 · 10234π2

= 2, 04 · 107m

la energía me áni a del satélite será:

E = −GMm

2r=

6, 67 · 10−11 · 6, 42 · 1023 · 212 · 2, 04 · 107 = 2, 204 · 107 J

7. Dos masas m1 = 10 kg y m2 = 20 kg uelgan del te ho y están separadas 1 m de distan ia.

Determine: a) La fuerza

−→F12 que ejer e la masa m1 sobre la m2, y el peso

−→P2 de la masa m2. b)

Explique razonadamente por qué el módulo de

−→P2 es mu ho mayor que el módulo de

−→F12 . Datos:

radio de la tierra RT = 6,37·106 m; onstante de Gravita ión Universal, G = 6,67·l0

−11N m

2kg

−2;masa de la Tierra, MT = 5,97·10

24kg..

Respuesta:

a) Suponiendo ambas masas en el plano XY, tendremos que:

−→F12 = −Gm2

r2= −6, 67·l0−11 · 102

12−→i = −6, 67·l0−9 −→i N (suponiendo lamasa 2 a la derecha)

El peso

−→P2 será:

−→P2 = −6, 67·l0−11 · 5, 97·1024 · 10

(6, 37 · 106)2−→j = −98, 13

−→j N

b) La masa de la Tierra es muy superior a la masa de 10 kg y el o iente:

Mt

R2T

≫ 10

12

8. Considérese un satélite de masa 10

3kg que orbita alrededor de la Tierra en una órbita ir ular

geoesta ionaria. a) Determine el radio que tendría que tener la órbita para que su periodo fuese

doble del anterior. b) ¾Cuál es la diferen ia de energía del satélite entre la primera y la segunda

órbita? Datos: Constante de Gravita ión Universal, G = 6,67·l0

−11N m

2kg

−2;Masa de la Tierra,

MT = 5,97·10

24kg.

4


Respuesta:

a) El periodo será el doble del día terrestre, por lo ual:

2 · 86400 =

√

4π2r3

6, 67·l0−11 · 5, 97·1024 r = 6, 7 · 107m

Para al ular la energía del satélite en órbita geoesta ionaria, debemos ono er el radio de ésta:

86400 =

√

4π2r3g6, 67·l0−11 · 5, 97·1024 rg = 4, 22 · 107m

b) Las energías del satélite en órbita geoesta ionaria y en órbita de periodo doble serán, respe ti-

vamente::

E1 = −6, 67·l0−11 · 5, 97·1024 · 1032 · 4, 22 · 107m = −4, 72 · 109J

E2 = −6, 67·l0−11 · 5, 97·1024 · 1032 · 6, 7 · 107m = −2, 97 · 109J

9. Una nave espa ial transporta olonos en estado de hiberna ión a un planeta lejano. Por un error,

la nave llega a su destino 10 años terrestres antes de lo previsto, por lo que el ordenador de a bordo

de ide situar la nave en una órbita ir ular a una distan ia del entro del planeta r = 5000 km y

orbitar en ella durante 10 años. a) Cuantas vueltas da la nave en la órbita ir ular a lo largo de los

10 años? b) Cual es el valor de la velo idad de es ape en la super ie del planeta? Datos: Constante

de Gravita ión Universal, G = 6,67·10

−11N m

2kg

−2; Masa del planeta, MP = 6,42·10

23kg; Radio

del planeta, RP = 3397,5 km.

Respuesta:

a) El radio de la órbita será:

ro = 5 · 106 + 3, 3975 · 106 = 8, 3975 · 106m

El periodo de la nave será:

T =

√

4π2(8, 3975 · 106)36, 67·l0−11 · 6, 42·1023 = 23365, 5 s

El número de vueltas en diez años será:

n =10 · 365 · 86400

22365, 5= 13497 vueltas

b) La velo idad de es ape será:

ve =

√

2GM

r=

√

2 · 6, 67·l0−11 · 6, 42·10233, 3975 · 106 = 5020, 7m · s−1

10. Una masa de valor M = 4 kg se en uentra en el punto (4, 0) del plano xy ( oordenadas expresadas

en metros). Determine: a) El ve tor ampo gravitatorio reado por la masa en el punto P (0, 3). b)

El trabajo ne esario para llevar una masa m = 10 kg desde el origen de oordenadas al punto P.

Dato: Constante de Gravita ión Universal, G = 6, 67·10

−11N m

2kg

−2

Respuesta:

a) A partir de la representa ión grá a que puede verse a ontinua ión, el ampo gravitatorio

reado en el punto (0,3) es el siguiente:

−→g =6, 67·10−11 · 4

32 + 42

(

−cos 36, 87−→i + sen 36, 87

−→j)

= −4, 27 · 10−11−→i + 3, 20 · 10−11−→j m · s−2

5


b) El trabajo ne esario será: W = m(Vg0 −Vg1)

W = m(Vg0 −Vg1) = 10

(

−6, 67·10−11 · 44

+6, 67·10−11 · 4

5

)

= −1, 33 · 10−10 J

El signo negativo del trabajo indi a que este debe ser realizado en ontra del ampo gravitatorio.

11. La masa de un objeto en la super ie terrestre es de 50 kg. Determine: a) La masa y el peso del

objeto en la super ie de Mer urio. b) A qué altura sobre la super ie de Mer urio el peso del

objeto se redu e a la ter era parte. Datos: Constante de Gravita ión Universal, G = 6,67·10

−11N

m

2kg

−2; Masa de Mer urio, MM = 3,3010

23kg; Radio de Mer urio, RM = 2,44·10

6m.

Respuesta:

a) La masa es onstante, independientemente del lugar en que se en uentre el uerpo. El peso en

la super ie de Mer urio es:

PM =6, 67·10−11 · 3, 301023 · 50

(2, 44·106)2= 184, 85N

b) El peso será una ter era parte del anterior a una distan ia r del entro de Mer urio, tal que se

umpla:

184, 85

3=

6, 67·10−11 · 3, 301023 · 50r2

r = 4, 23 · 106m

Con lo que la altura respe to a la super ie del planeta será:

h = 4, 23 · 106−2, 44·106 = 1, 79 · 106m

12. Un satélite arti ial de masa 712 kg des ribe una órbita ir ular alrededor de la Tierra a una altura

de 694 km. Cal ule: a) La velo idad y el periodo del satélite en la órbita. b) La energía ne esaria

para trasladarlo desde su órbita hasta otra órbita ir ular situada a una altura de 1000 km sobre

la super ie de la Tierra. Datos: Constante de Gravita ión Universal, G = 6,67·10

−11N m

2kg

−2;

Masa de la Tierra, MT = 5,9710

24kg; Radio de la Tierra, RT = 6,37·10

6m.

Respuesta:

a) La velo idad orbital será:

vo =

√

GM

r=

√

6, 67·l0−11 · 5, 98 · 10246, 37 · 106 + 6, 94 · 105 = 7516, 4m · s−1

Y el periodo:

T =

√

4π2(6, 37 · 106 + 6, 94 · 105)36, 67·l0−11 · 5, 98 · 1024 = 5902 s


−6, 67 · 10−11 · 5, 98 · 1024 · 7122 (6, 37 · 106 + 1, 5 · 105) + E = −6, 67 · 10−11 · 5, 97 · 1024 · 712

2 (6, 37 · 106 + 106)

E = 8, 46 · 108 J

6


13. Una masa puntual m1 = 5 kg está situada en el punto (4, 3) m. a) Determine la intensidad del

ampo gravitatorio reado por la masa m1en el origen de oordenadas y el trabajo realizado al

trasladar otra masa m2 = 0,5 kg desde el innito hasta el origen de oordenadas . b) Situadas las

masas m1 y m2 en las posi iones anteriores, ¾a qué distan ia del origen de oordenadas, el ampo

gravitatorio resultante es nulo? Dato: Constante de Gravita ión Universal, G = 6,67·10−11N m

2

kg

−2.

Respuesta:

a) A partir de la siguiente imagen:

Dedu imos el valor del ánguloα:

tgα =3

4α = 36, 87º

El módulo de la intensidad de ampo gravitatorio en el origen de oordenadas es:

|−→g | = GM

r2=

6, 67 · 10−11 · 532 + 42

= 1, 33 · 10−11N · kg−1

El ve tor ampo gravitatorio será:

−→g = 1, 33 · 10−11(i cos 36, 87º+ j sen 36, 87º) = 1, 06 · 10−11−→i + 7,98 · 10−12−→j

El trabajo ne esario para llevar la segunda mas desde el innito al origen de oordenadas será:

W = U∞ −U0 = 0− 6, 67 · 10−11 · 5 · 0, 55

= −3, 34 · 10−11J

b) Entre las dos masas habrá una distan ia de 5m. El ampo gravitatorio será nulo en un punto

situado entre las dos masas, de forma que se umpla:

G · 0, 5x2

=G · 5

(5− x)2

Resolviendo esta e ua ión obtenemos x = 1,20 m.

14. El Amazonas 5 es un satélite geoesta ionario de omuni a iones de 5900 kg puesto en órbita en

septiembre de 2017. Determine: a) La altura sobre el e uador terrestre del satélite y su velo idad

orbital. b) La fuerza entrípeta ne esaria para que des riba la órbita y la energía total del satélite

en di ha órbita. Datos: Constante de Gravita ión Universal, G = 6,67·10−11N m

2kg

−2; Masa de

la Tierra, MT = 5,97·1024 kg; Radio de la Tierra, RT= 6,37·106 m.

Respuesta:

7


a) Al ser geoesta ionario el satélite, su periodo será igual al terrestre, esto es, 86400 s. Apli ando

la ter era ley de Kepler, tendremos:

86400 =

√

4π2r3

GM=

√

4π2r3

6, 67 · 10−11 · 5, 97 · 1024

Despejando r se obtiene: r = 4,22·107 m. La altura respe to a la super ie terrestre es:

h = r− RT = 4, 22 · 107 − 6, 37 · 106 = 3, 58 · 107m

La velo idad orbital vendrá dada por:

v =

√

GM

r=

√

6, 67 · 10−11 · 5, 97 · 10244, 22 · 107 = 3071, 8m · s−1

b) La fuerza entrípeta es:

Fc =mv2

r=

5900 · 3071, 824, 22 · 107 = 1319, 2N

La energía total tiene el valor:

E = −GMm

2r= −6, 67 · 10−11 · 5, 97 · 1024 · 5900

2 · 4, 22 · 107 = −2, 78 · 1010J

15. La nave Apolo XI, de masa 1,6·104 kg, en su misión de llevar al ser humano a la Luna, se situó en unaórbita ir ular a 250 km de altura sobre la super ie lunar, para desde ahí enviar el denominado

módulo lunar a la super ie de la Luna. Determine: a) La velo idad del Apolo XI en su órbita

ir ular y su energía me áni a total. b) La velo idad de es ape y el valor de la gravedad en la

super ie de la Luna. Datos: G = 6, 67 · 10−11N ·m2 · kg−2; masa de la Luna: 7,35·1022 kg; radio

de la Luna: 1737 km.

Respuesta:

a) La velo idad orbital es:

v =

√

GM

r=

√

6, 67 · 10−11 · 7, 35 · 10221, 737 · 106 + 2, 5 · 105 = 1570, 75m · s−1

La energía me áni a total es:

E = −GMm

2r= −6, 67 · 10−11 · 7, 35 · 1022 · 1, 6 · 104

2(1, 737 · 106 + 2, 5 · 105) = −3, 96 · 1010J

16. Una masa puntual A, MA =3 kg, se en uentra en el plano XY, en el origen de oordenadas. Si se

sitúa una masa puntual B, MB =5 kg en el punto (2,-2) m, determine: a) La fuerza que ejer e la

masa A sobre la masa B. b) El trabajo ne esario para llevar la masa B desde el punto (2,-2) al punto

(2,0), debido al ampo gravitatorio reado por la masa A. Dato: G = 6, 67 · 10−11N ·m2 · kg−2

Respuesta:

a) A partir de la siguiente representa ión grá a: Podemos dedu ir:

−→F =

GMm

r2(−−→

i cos45º+−→j sen45º) =

6, 67 · 10−11 · 3 · 522 + 22

(−0, 707−→i + 0, 707

−→j )

−→F = −8, 84 · 10−11−→i + 8,84 · 10−11 −→j N

b) El trabajo ne esario será:

W = U0 −U = −GMm√8

−(

−GMm

2

)

=6, 67 · 10−11 · 3 · 5

2− 6, 67 · 10−11 · 3 · 5√

8= 1, 46 · 10−10J

8


17. Los satélites LAGEOS son una serie de satélites arti iales diseñados para propor ionar órbitas de

referen ia para estudios geodinámi os de la Tierra. Consisten en un uerpo esféri o de masa m =

405 kg que se mueve en órbita ir ular alrededor de la Tierra a una altura de 5900 km sobre su

super ie. Determine: a) El periodo de este tipo de satélites. b) La energía requerida para que,

desde la super ie de la Tierra, pasen a des ribir di ha órbita. Datos: Constante de Gravita ión

Universal, G = 6,67·10−11N m

2kg

−2; Masa de la Tierra, MT = 5,97·1024 kg; Radio de la Tierra,

RT= 6,37·106 m.

Respuesta:

a) Apli ando la ter era ley de Kepler:

T =

√

4π2r3

GM=

√

4π2(5, 9 · 106 + 6, 37 · 106)36, 67 · 10−11 · 5, 97 · 1024 = 13533 s

La energía ne esaria se obtiene a partir de:

−GMm

rT+ E = −GMm

2r

−6, 67 · 10−11 · 5, 97 · 1024 · 4056, 37 · 106 + E = −6, 67 · 10−11 · 5, 97 · 1024 · 405

2 (6, 37 · 106 + 5, 9 · 106)

E = 6, 67 · 10−11 · 5, 97 · 1024 · 405(

1

6, 37 · 106 − 1

2 · 1, 227 · 107)

= 1, 87 · 1010 J

18. El satélite Europa des ribe una órbita ir ular alrededor de Júpiter de 671100 km de radio. Teniendo

en uenta que su periodo de revolu ión es de 3,55 días terrestres, determine: a) La masa de Júpiter.

b) La velo idad de es ape desde la super ie de Júpiter. Datos: Constante de Gravita ión Universal,

G = 6,67·10−11N m

2kg

−2; Radio de Júpiter, RJupiter = 69911 km.

Respuesta:

a) A partir de la ter era ley de Kepler:

T =

√

4π2r3

GMM =

4π2r3

GT2=

4π2(6, 711 · 108)36, 67 · 10−11 · (3, 55 · 86400)2 = 1, 90 · 1027 kg

b) la velo idad de es ape es:

v =

√

2GM

rJ=

√

2 · 6, 67 · 10−11 · 1, 90 · 10276, 9911 · 107 = 60212m · s−1

19. Una nave espa ial tripulada se en uentra des ribiendo una órbita ir ular geoesta ionaria alrededor

de la Tierra. Determine: a) El radio de la órbita y la velo idad lineal de la nave. El astronauta

re ibe la orden de ambiar de órbita y pasar a otra, también ir ular, de radio el doble de la a tual.

b) ¾Cuál será la nueva velo idad lineal de la nave? Justique la respuesta. Datos: Constante de

Gravita ión Universal, G = 6,67·10−11N m

2kg

−2; Masa de la Tierra, MT = 5,97·1024 kg.

Respuesta:

a) Al ser geoesta ionaria la órbita, su periodo será igual al terrestre, por lo que, apli ando la ter era

ley de Kepler, tendremos:

86400 =

√

4π2r3

6, 67 · 10−11 · 5, 97 · 1024 r = 4, 22 · 107m

La velo idad lineal será:

v =2πr

T=

2π · 4, 22 · 10786400

= 3070, 80m · s−1

9


b) La velo idad orbital viene expresada por:

v =

√

GM

r

Por lo que, si el radio se ha e doble, la nueva velo idad será:

v′ =

√

GM

2r=

1√2

√

GM

r=

v√2=

3070, 80√2

= 2171, 4m · s−1

20. Considérese un uerpo de masa m = 10

3kg bajo la a ión del ampo gravitatorio terrestre. a)

Dena la velo idad de es ape de ese uerpo. Determine la velo idad de es ape de un uerpo que

está en reposo a una distan ia R = 2RT del entro de la Tierra b) La energía adi ional requerida

para que el uerpo que se en uentra en una órbita ir ular de radio R = 2RT es ape de la a ión del

ampo gravitatorio terrestre. Datos: Radio de la Tierra. RT = 6,37·106 m; Constante de Gravita iónUniversal, G = 6,67·10−11

N m

2kg

−2;Masa.de la Tierra: MT= 5,97·1024 kg.

Respuesta:

a) La velo idad de es ape es la mínima velo idad que debe ser omuni ada al uerpo para que

este es ape a la atra ión gravitatorio terrestre, esto es, se aleje hasta una distan ia innita. A una

distan ia R = 2RT , le velo idad de es ape será:

v =

√

2GM

2RT=

√

6, 67 · 10−11 · 5, 97 · 10246, 37 · 106 = 7906, 43m · s−1

b) La energía del uerpo en la órbita será:

Eo = −GMm

2RT= −6, 67 · 10−11 · 5, 97 · 1024 · 103

2 · 6, 37 · 106 = −3, 126 · 1010 J

En el innito, la energía total será nula, por lo que la energía que debe suministrarse al uerpo es

la misma que poseía, ambiada de signo, es de ir:

E = −Eo = 3, 126 · 1010 J

10


2. Vibra iones y ondas.

1. Un gallo anta generando una onda sonora esféri a de 1 mW de poten ia. a) ¾Cuál es el nivel

de intensidad sonora del anto del gallo a una distan ia de 10 m? b) Un segundo gallo anta

simultáneamente on una poten ia de 2 mW a una distan ia de 30 m del primer gallo. ¾Cuál será

la intensidad del sonido resultante en el punto medio del segmento que une ambos gallos? Dato:

Intensidad umbral de audi ión, I0 = 10

−12W m

−2.

Respuesta:

a) La intensidad del anto a 10 m de distan ia será:

I =P

S=

10−3

4π102= 7, 95 · 10−7W ·m−2

El nivel de intensidad sonora será:

β = 10 logI

I0= 10 log

7, 95 · 10−7

10−12= 59 dB

b) En el punto medio del segmento que une ambos gallos, la intensidad sonora será la suma de las

intensidades del anto de ada uno de ellos, es de ir:

I = I1 + I2 =10−3

4π152+

2 · 10−3

4π152= 1, 06 · 10−6W ·m−2

2. Una onda armóni a transversal se propaga en el sentido negativo del eje X on una velo idad de

10 m s

−1y on una fre uen ia angular de π/3 rad s

−1. Si en el instante ini ial la elonga ión en

el origen de oordenadas es 6/π m y la velo idad de os ila ión es 1 m s

−1, determine: a) La

expresión matemáti a que representa la onda. b) La velo idad de os ila ión en el instante ini ial en

el punto situado en x = π/4.

Respuesta:

a) La e ua ión de la onda será del tipo:

y = Asen(ωt + Kx + ϕ0)

(el signo + delante de Kx se debe a que la onda se propaga de dere ha a izquierda).

Con los datos suministrados en el enun iado, podremos poner:

ω = π/3 s−1 K =ω

v=π/3

10=

π

30m−1

La velo idad de vibra ión será:

vy =dy

dt= Aωcos (ωt + Kx + ϕ0)

Para x = 0 y t = 0 se umple que:

y =6

π= Asenϕ0

v = 10−2 = Aπ

3cosϕ0

Dividiendo miembro a miembro nos queda:

600

π=

3 tgϕ0

π−→ tgϕ0 = 200 −→ ϕ0 = 1, 566 rad

para al ular la amplitud:

6

π= A sen 1, 566 −→ A = 1, 91m

11


Así pues, la e ua ión de la onda tendrá la forma:

y = 1, 91 sen(π

3t+

π

30x+ 1, 566

)

b) Para t = 0 y x =

π

4, la velo idad de vibra ión será:

vy =dy

dt= Aωcos (ωt+Kx+ ϕ0) = 1, 91

π

3cos

( π

30

π

4+ 1, 566

)

= −0, 15m · s−1

3. Una onda armóni a transversal de amplitud A = 0,2 m, longitud de onda l = 0,1 m y fre uen ia f =

15 kHz se propaga en el sentido positivo del eje X. En el origen, x = 0, y en el instante ini ial, t = 0,

la velo idad de os ila ión es máxima on sentido negativo. Determine: a) La expresión matemáti a

de la onda. b) La elonga ión del punto x = 0,3 m en el instante t = 2 s.

Respuesta:

a) La expresión matemáti a es de la forma:

y = A sen (ωt− kx + ϕ0)

Los valores que propor iona el enun iado son: A = 0,2 m; ω = 2π f = 30000π s

−1; k = 2π/λ = 20π

m

−1

La velo idad de os ila ión tiene la expresión:

v =dy

dt= Aω cos (ωt− kx+ ϕ0)

sabiendo que para x = 0 y t = 0, la velo idad es máxima, y de signo negativo, podremos es ribir:

v = Aω cosϕ0 = −Aω → cos ϕ = −1y ϕ0 = π rad

Con estos datos, la e ua ión de la onda quedará de la forma:

y =0, 2 sen (30000πt− 20πx + π)

b) para x = 0,3 y t = 2, la elonga ión es:

y = 0, 2 sen (60000π− 6π + π) = 0m

4. Para determinar la profundidad de una ueva se emite una onda sonora esféri a de 10 W y se

observa que al abo de 3 s se es u ha el e o. Admitiendo que la ueva es su ientemente amplia

para despre iar las reexiones en las paredes laterales, determine, despre iando los efe tos de la

absor ión: a) La profundidad de la ueva. b) La intensidad de la onda sonora al llegar al fondo de

la ueva. Dato: Velo idad del sonido en el aire, v = 340 m s

−1.

Respuesta:

a) La profundidad de la ueva es d = 340·3/2 = 510 m. (El tiempo invertido por el sonido en el

amino de ida o de vuelta es 3/2 = 1,5 s)

b) La intensidad es:

I =P

S=

10

4π5102= 3, 06 · 10−6W ·m−2

12


5. La perturba ión aso iada a una onda viene des rita por la expresión(ψ(x, t) = 10−4sen (2765 t +

1,85 x), donde y y x se expresan en metros y t en segundos. a) Indique su dire ión y sentido de

propaga ión, y al ule su longitud de onda y su fre uen ia. b) Obtenga la velo idad de propaga ión

de la onda y la velo idad máxima de os ila ión.

Respuesta:

a) La onda se propaga en el sentido negativo del eje X, tal omo indi a el signo + en el sumando

1,85 x. La longitud de onda y la fre uen ia se al ularán, respe tivamente, así:

k = 1, 85 =2π

λλ =

2π

1, 85= 3, 4m

ω = 2675 = 2πν ν =2675

2π= 425, 7Hz

b) la velo idad de propaga ión de la onda es:

v = λ · ν = 3, 4 · 425, 7 = 1447, 4 ·m · s−1

Mientras que la velo idad de os ila ión es:

vt =dψ

dt= 10−4 · 2675 cos (2675t+ 1, 85x)

Siendo la velo idad máxima:

vmax = 10−4 · 2675 = 0, 27m · s−1

6. Una fuente puntual de 3 mW emite una onda sonora. a) ¾Qué magnitud físi a os ila en una onda

de sonido? ¾Es una onda longitudinal o transversal? b) Cal ule la intensidad sonora y el nivel de

intensidad sonora a 5 m de la fuente. Determine a qué distan ia del fo o emisor se debe situar un

observador para dejar de per ibir di ho sonido. Dato: Intensidad umbral de audi ión, I0 =10−12

W

m

−2.

Respuesta:

a) Una onda sonora está formada por zonas alternadas de ompresión y rarefa ión del aire, por

lo que la magnitud físi a a la que se reere el enun iado es la presión. Es sonido es una onda

longitudinal.

b) La intensidad sonora es:

I =P

S=

3 · 10−6

4π · 52 =9,55·10−9W ·m−2

β = 10 log9, 55 · 10−9

10−12= 39, 8 dB

El sonido dejará de per ibirse a una distan ia para la ual I = 10

−12W· m−2

, es de ir:

10−12 =3 · 10−6

4πr2Despejando : r = 488, 6m

7. Dos altavo es de 60 W y 40 W de poten ia están situados , respe tivamente, en los puntos (0,0,0) y

(4, 0, 0) m. Determine: · a) El nivel de intensidad sonora en el punto (4, 3, 0) m debido a ada uno

de los altavo es. b) El nivel de intensidad sonora en el punto (4, 3, 0) m debido a ambos altavo es

. Dato: Intensidad umbral de audi ión, I0 = 10

−12W m

−2.

Respuesta:

a) La intensidad sonora para ada uno de los altavo es, independientemente será:

I1 =60

4π · 25 = 0, 191W ·m−2 I2 =60

4π · 9 = 0, 354W ·m−2

13


Los respe tivos niveles de intensidad serán:

β1 = 10 log0, 191

10−12= 112, 1 dB β2 = 10 log

0, 354

10−12= 115, 4 dB

b) El nivel de intensidad debido a los dos altavo es de forma simultánea será:

β = β1 = 10 log0, 191 + 0, 354

10−12= 117, 36 dB

8. Considérese una onda armóni a transversal que se propaga en el sentido positivo del eje x. La gura

1 muestra la varia ión de la elonga ión en fun ión de x en un instante t, mientras que en la gura

2, se representa la os ila ión, en fun ión del tiempo, de un punto situado en x = 1 m. Determine:

a) La longitud de onda, la amplitud, el periodo y la velo idad de propaga ión de la onda. b) La

expresión matemáti a de la onda.

Respuesta:

a) La longitud de onda es: λ = 2, 5− 0, 5 = 2m; la amplitud es A = 2,5 m; el periodo es: T = 11− 2 = 9 s.La velo idad de propaga ión es:

v =λ

T=

2

9m · s−1

b) Teniendo en uenta que: ω =2π

T=

2π

9, que k =

2π

λ=

2π

2y que y (0,0) = 0, m, la expresión

matemáti a de la onda es:

y = 2, 5 sen

(

2π

9t− π x

)

9. Una onda transversal se propaga en el sentido positivo del eje x. En las guras se muestran: la

varia ión de la elonga ión en un instante t = 0 a lo largo del eje x y la elonga ión del punto de

oordenada x = 0 en fun ión del tiempo. Determine: a) La longitud de onda y la fre uen ia. b) La

expresión matemáti a de la onda.

14


Respuesta:

a) La longitud de onda es: λ = 10− 2 = 8m; ; el periodo es: T = 10− 0 = 10 s, on lo que la

fre uen ia será: ν = 1/10 = 0, 1 s−1

b) Teniendo en uenta que al ser y (0,0) = 2 m, tendremos que:

2 = 2 senϕ0 ϕ0 =π

2

La expresión matemáti a de la onda es:

y(x, t) = 2 sen(

0, 2πt− π

4x +

π

2

)

10. Dos altavo es A y B emiten ondas sonoras on poten ias PA y PB = 3PA, respe tivamente. En un

punto Q situado a una distan ia d = 5 m, equidistante de ambos altavo es, el nivel de intensidad

sonora es de 90 dB. Determine: a) La intensidad sonora en Q. b) La poten ia del altavoz A Dato:

Intensidad umbral , I0 = 10

−12W m

−2

Respuesta:

a) Cono iendo el nivel de intensidad sonora en el punto Q, podremos es ribir:

90 = 10 logI

10−12I = 10−3W ·m−2

b) La intensidad debida a los altavo es en el punto Q será:

I = 10−3 =4PA

4π · 25 P = 0, 078W

11. El nivel de intensidad sonora de la sirena de un bar o es de 80 dB a 10 m de distan ia. Suponiendo

que la sirena es un fo o emisor puntual, al ule: a) La poten ia de la sirena y la intensidad de la

onda sonora a 1 km de distan ia. b) Las distan ias, medidas desde la posi ión de la sirena, donde se

al anza un nivel de intensidad sonora de 70 dB ( onsiderado omo límite de ontamina ión a ústi a)

y donde el sonido deja de ser audible. Dato: Intensidad umbral de audi ión, I0 = 10

−12W m

−2.

Respuesta:

a)Para un nivel de intensidad de 80 dB, tendremos:

80 = 10 logI

10−12I = 10−4W ·m−2

Para al ular la poten ia de la sirena:

I =P

S10−4 =

P

4π102P = 0, 126W

A 1 km de distan ia, la intensidad de la onda tendrá el valor:

I =0, 126

4π · 106 = 10−8W ·m−2

b) Para un nivel de intensidad de 70 dB:

70 = 10 logI

10−12I = 10−5W ·m−2

10−5 =0, 126

4πr21r1 = 31, 67m

Para que el sonido deje de ser audible:

I = 10−12 =0, 126

4πr22r2 = 105 m

15


12. Una onda armóni a transversal de periodo T = 4 s, se propaga en el sentido positivo del eje x

por una uerda de gran longitud. En el instante t = 0 la expresión matemáti a que propor iona

la elonga ión de ualquier punto de la uerda es: Y(x, 0) = 0, 2 sen(

−4πx +π

3

)

donde x e Y están

expresadas en metros. Determine: a) La amplitud, la fre uen ia, la longitud de onda y la velo idad

de propaga ión de la onda. b) La velo idad y la a elera ión de os ila ión de un punto de la uerda

de abs isa x = 0,40 m en el instante t = 8 s.

Respuesta:

a) Los parámetros pedidos son:

A = 0, 2m ν =1

T= 0, 25 s−1

k =2π

λ= 4π −→ λ = 0, 5m v =

λ

T=

0, 5

4= 0, 125m · s−1

b) La e ua ión de la onda tendrá la forma: y = A sen (ωt− kx + ϕ0) = 0, 2 sen(π

2t− 4πx +

π

3

)

.

las expresiones de velo idad y a elera ión serán, respe tivamente:

v =dy

dt= 0, 2 · π

2cos

(π

2t− 4πx +

π

3

)

a =d2y

dt2= −0, 2

(π

2

)2

sen(π

2t− 4πx +

π

3

)

Sustituyendo x y por 0,4 y 8, respe tivamente:

v = −0, 21m · s−1 a = −1, 47m · s−2

13. Un dete tor situado a ierta distan ia de una fuente sonora puntual mide un nivel de intensidad

sonora de 80 dB. Si se dupli a la distan ia entre la fuente y el dete tor, determine a esta distan ia:

a) La intensidad de la onda sonora. b) El nivel de intensidad sonora. Dato: Intensidad umbral de

audi ión, I0 = 10

−12W m

−2

Respuesta:

a) La intensidad del sonido a esta distan ia se obtiene de:

80 = 10 logI

I0= 10 log

I

10−12I = 10−4W ·m−2

b) La poten ia emitida será:

P = I · S = 10−4 · 4πr2

La intensidad y el nivel de intensidad a una distan ia 2r serán, respe tivamente:

I =10−4 · 4πr24π(2r)2

= 2, 5 · 10−5W ·m−2

β = 10 log2, 5 · 10−5

10−12= 73, 98 dB

14. Una onda armóni a transversal de fre uen ia f = 0,25 Hz y longitud de onda = 2 m se propaga en

el sentido positivo del eje x. Sabiendo que el punto situado en x = 0,5 m tiene, en el instante t = 2

s, elonga ión nula y velo idad de os ila ión negativa, y en el instante t = 3 s, elonga ión y = - 0,2

m, determine: a) La expresión matemáti a que representa di ha onda. b) La velo idad máxima de

os ila ión de ualquier punto al anzado por la onda y la diferen ia de fase, en un mismo instante,

entre dos puntos situados en el eje x que distan entre si 0,75 m.

Respuesta:

a) Cono idos los valores de la fre uen ia y la longitud de onda, tendremos:

ω = 2π · 0, 25 = 0, 5π s−1 k =2π

2= πm−1

16


La e ua ión de la onda será de la forma:

y = A sen (0, 5πt− πx + ϕ0)

Para t = 2 s y x = 0,5 m, tendremos:

0 = A sen (π − 0, 5π + ϕ0) v = A · 0, 5π cos (π − 0, 5π + ϕ0) < 0

sen (π − 0, 5π + ϕ0) = 0 y v < 0 corresponden aϕ0 =π

2

Para t = 3 s y x = 0,5 m, tendremos:

−0, 2 = A sen(

1, 5π − 0, 5π +π

2

)

= −A

Finalmente, tendremos:

y = 0, 2 sen(

0, 5πt− πx +π

2

)

b) La velo idad máxima es:

vmax = 0, 2 · 0, 5π = 0, 1πm · s−1

Para hallar la diferen ia de fase, utilizamos la siguiente rela ión:

2π rad

λm=

∆ϕrad

xm

2π rad

2m=

∆ϕrad

0, 75m

∆ϕ = 0, 75π rad

15. En dos de los vérti es de un triángulo equilátero de perímetro 90 m se olo a, en ada uno de

ellos, un altavoz que emite on una poten ia de 50 W. Determine para un observador situado en el

vérti e libre: a) El nivel de intensidad sonora. b) El valor mínimo que debería tener el perímetro

del triángulo para que no se oigan los altavo es. Dato: Intensidad umbral I0 = 10−12W· m−2

Respuesta:

a) Al ser 90 m el perímetro, el lado del triángulo es de 30 m. La intensidad per ibida en el vérti e

libre será:

I = I1 + I2 = 250

4π · 302 = 8, 84 · 10−3W ·m−2

El nivel de intensidad será:

β = 10 log8, 84 · 10−3

10−12= 99, 46 dB

b) Para que no se per iba el sonido, deberá umplirse que:

I = I1 + I2 = 250

4π · r2 = 10−12W ·m−2 r = 2, 82 · 106m

Con lo que el perímetro será: P =3 · 2, 821 · 106 = 8, 46 · 106m

16. Una onda armóni a transversal se propaga a lo largo de una uerda tensa en el sentido negativo

del eje X. En un ierto instante, que se onsidera el origen del tiempo, t = 0 s, la elonga ión puede

es ribir de la forma:

z(x, 0) = 3 cos(π

2x + π

)

(∗)

Expresada en unidades del Sistema Interna ional. Si la velo idad de propaga ión de la onda es 40

m/s, determine: a) La expresión matemáti a de la onda. b) Los valores de velo idad y a elera ión

del punto de la uerda situado en x = 4 m en el instante t = 0,5 s.Respuesta:

a) La expresión matemáti a de la onda tendrá la forma:

z = Acos (ωt + kx + ϕ0)

De la expresión (*) se dedu e que A = 3 m y que k =

π

2m−1

. Puesto que k =

ω

v=

ω

40=π

2,

tendremos queω = 20π s

−1. Sustituyendo valores, tendremos:

z(x, t) = 3 cos(

20πt +π

2x + π

)

17


b) La velo idad y la a elera ión serán, respe tivamente:

v =dz

dt= −3 · 20πsen

(

20πt +π

2x + π

)

= −60πsen (10π + 2π + π) = 0m · s−1

a =d2z

dt2= −3(20π)2cos

(

20πt +π

2x + π

)

= −1200π2cos (10π + 2π + π) = 0m · s−1 = 11843, 5m · s−2

17. Un dete tor a ústi o que se en uentra situado a 200 m de una sirena mide un nivel de intensidad

sonora de 80 dB. Suponiendo que la sirena emite omo una fuente puntual, determine: a) La

poten ia sonora de la sirena. b) La distan ia a la que debemos situar di ho dete tor para que mida

la misma intensidad sonora uando la sirena tiene una poten ia doble a la del apartado anterior.

Dato: Intensidad umbral de audi ión, I0 = 10

−12W m

−2.

Respuesta:

a) El nivel de intensidad sonora será:

80 = 10 logI

10−12I = 10−4W ·m−2

La intensidad se rela iona on la poten ia de la forma:

I =P

SP = 10−4 · 4π · 2002 = 50, 27W

b) Para una poten ia doble, la intensidad sonora será:

I =100, 54

4πr2

Al ser la intensidad sonora la misma, tendremos:

80 = 10 log

100, 54

4πr2

10−12r = 282, 9m

18. La expresión matemáti a de una onda transversal que se propaga a lo largo del eje x viene deter-

minada por la siguiente expresión en unidades del SI: y ( x, t ) = 0, 05 os (8 πt -4 πx +ϕ0 )

Determine: a) El valor de la fase ini ial ϕ0, si sabemos que en el instante t = 5 s la velo idad de

os ila ión de un punto situado en x = 3 m es nula y su a elera ión es positiva. b) El tiempo que

tardará en llegar la onda al punto x = 8 m si suponemos que la fuente generadora de di ha onda

omienza a emitir en t = 0 en el origen de oordenadas.

Respuesta:

a) Para el punto men ionado, tendremos:

v =dy

dt− 0, 05 · 8π sen (8πt− 4πx + ϕ0) a = −0, 05 · 64π2cos (8πt− 4πx + ϕ0)

Sustituyendo los valores, tendremos:

v = −0, 4π sen (40π − 12π + ϕ0) = 0 28π + ϕ0 = nπ

a = −0, 05 · 64π2cos (40π − 12π + ϕ0) > 0

ambas ondi iones se umplen simultáneamente para n = 1, por lo que ϕ0 = π rad.

b) La velo idad de propaga ión de la onda es:

v =ω

k=

8π

4π= 2m · s−1

Con lo que la onda tardará un tiempo t = 4 s en llegar al punto x = 8 m.

18


19. En el punto medio entre dos fuentes puntuales sonoras A y B se dete ta un nivel de intensidad

sonora de 40 dB uando emite sólo la fuente A y de 60 dB uando sólo emite la fuente B. a)

Determine el valor del o iente entre las poten ias de emisión de ambas fuentes. Suponga ahora que

solo emite la fuente A y que el nivel de intensidad sonora que se per ibe a una distan ia de 100 m

es de 40 dB. b) Cal ule la distan ia a la que habría que situarse respe to de la fuente A para que

el nivel de intensidad sonora fuese de 50 dB. Dato: Intensidad umbral de audi ión, I0 = 10

−12W

m

−2

Respuesta:

a) La poten ia respe tiva emitida por ada una de las fuentes es:

40 = 10 logP1/4πr

2

10−12P1 = 1, 256 · 10−7r2

60 = 10 logP2/4πr

2

10−12P2 = 1, 256 · 10−5r2

Con lo que:

P2

P1=

1, 256 · 10−5r2

1, 256 · 10−7r2= 100

b) La poten ia emitida por la fuente A se obtiene de:

40 = 10 logP/4π · 1002

10−12P = 1, 256 · 10−3W ·m−2

Para que el nivel de intensidad fuera de 50 dB, tendremos:

50 = 10 log1, 256 · 10−3/4π · r2

10−12r = 31, 61m

20. La e ua ión matemáti a que representa la propaga ión de una onda armóni a transversal es y(x,t)

= 2,5 os (t -πx+ π/2) , donde todas las magnitudes están expresadas en el SI. Determine: a) La

elonga ión del punto situado en 0,25λ, en el instante 0,25T, siendo λ y T la longitud de onda y el

periodo, expresados, respe tivamente, en metros y segundos. b) La velo idad de propaga ión de la

onda y la velo idad de os ila ión en el instante y la posi ión del apartado anterior.

Respuesta:

a) La longitud de onda se puede obtener de la e ua ión de la onda, teniendo en uenta su expresión

general:

y = A sen

(

2π

Tt− 2π

λx + ϕ0

)

Comparando, veremos que: π =2π

λ on lo que λ = 2m y que 1 =

2π

T, por lo ual, T = 2πs. La

elonga ión para los valores indi ados será:

y = 2, 5 sen(π

2− π

2+π

2

)

= 2, 5m

b) La velo idad de propaga ión de la onda se obtiene de la igualdad:

λ = vT v =2

2π= 0, 32m · s−1

La velo idad de os ila ión es:

vt =dy

dt= Aω cos (ωt− kx + ϕ0)

Sustituyendo:

vt = 2, 5 · 1 cos(π

2− π

2+π

2

)

= 0m · s−1

19


3. Ópti a.

1. Un objeto está situado 1 m a la izquierda de una lente onvergente de 2 m de distan ia fo al. a)

Determine la posi ión de la imagen y el aumento lateral. b) Reali e el diagrama de rayos orres-

pondiente.Respuesta:

a) A partir de la e ua ión fundamental de las lentes delgadas:

1

s− 1

s′= (1− n)

(

1

R1− 1

R2

)

= − 1

f′

Puesto que la distan ia fo al es de 2 m, f ′ = 0, 02,por lo que:

1

−0, 01′− 1

s′= − 1

0, 02

Resolviendo la e ua ión se obtiene: s′ = −0, 02 m. El aumento lateral será:

y′

y=s′

s=

−0, 02

−0, 01= 2

b) El diagrama de rayos es el siguiente:

2. Sobre un bloque de material uyo índi e de refra ión depende de la longitud de onda, in ide desde

el aire un haz de luz ompuesto por longitudes de onda de 400 nm (violeta) y 750 nm (rojo). Los

índi es de refra ión del material para estas longitudes de onda son 1,66 y 1,60, respe tivamente.

Si, omo se muestra en la gura, el ángulo de in iden ia es de 60º: a) ¾Cuáles son los ángulos de

refra ión y las longitudes de onda en el material? b) Determine el ángulo límite para ada longitud

de onda en la frontera entre el material y el aire. Para α = 60º, ¾es apan los rayos desde el medio

ha ia el aire por la frontera inferior? Dato: Índi e de refra ión del aire, naire = 1.

Respuesta:

a) Apli ando la Ley de Snell para ada una de las radia iones:

sen 60º

senαri=ni

1−→

senαr1 =sen 60º

1, 66−→ αr1 = 31, 45º (luz violeta)

senαr2 =sen 60º

1, 60−→ αr2 = 32, 77º(luz roja)

Para ono er las longitudes de onda en el material, debemos ono er la fre uen ia de ambas radia-

iones, que es invariable on el medio en que se propaguen. Estas fre uen ias serán:

ν =c

λ−→ ν1 =

3 · 1084 · 10−7

= 7, 5 · 1014s−1 y ν2 =3 · 108

7, 5 · 10−7= 4 · 1014s−1

20


las longitudes de onda en el material serán, pues:

λ1 =3 · 108/1, 667, 5 · 1014 = 2, 41 · 10−7m λ2 =

3 · 108/1, 607, 5 · 1014 = 4, 69 · 10−7m

b) los respe tivos ángulos límite se dedu en de la Ley de Snell:

senαi

sen 90º=

1

ni−→

senα1 =1

1, 66−→ α1 = 37, 04º

senα2 =1

1, 60−→ α2 = 38, 68º

Como el ángulo límite es menor que el ángulo formado entre el rayo refra tado dentro del medio y

la normal, los rayos refra tados en el interior del medio no es aparán ha ia el aire por la frontera

inferior.

3. En una lente delgada onvergente: a)¾Dónde hay que situar un objeto para obtener su imagen a 3

m de la lente, 2 ve es mayor e invertida? ¾Cuánto vale la distan ia fo al de la lente? b) Tra e el

diagrama de rayos para un objeto situado a una distan ia de la lente menor que su distan ia fo al.

Respuesta:

a) De los datos suministrados en el enun iado podemos extraer los siguiente: s

′ = 0, 03 m; y′ = −2y. teniendo en uenta, además, la fórmula del aumento lateral:

y′

y=s′

s

−2y

y= −2 =

0, 03

ss = −0, 015m

Para al ular la distan ia fo al, utilizamos la e ua ión fundamental de las lentes delgadas::

1

−0, 015− 1

0, 03= − 1

f ′f ′ = 0, 01m

b) El diagrama de rayos para un objeto situado a una distan ia de la lente menor que la distan ia

fo al de aquella es el siguiente:

4. Un haz de luz in ide desde un medio on índi e de refra ión n1 = 1,8 sobre la super ie plana

de separa ión on otro medio de índi e de refra ión n2 = 1,5. Si la longitud de onda en el primer

medio es de 500 nm: a) Determine la velo idad de propaga ión y la fre uen ia del haz en ambos

medios así omo la longitud de onda en el segundo. b) ¾Cuál tendría que ser el ángulo de in iden ia

para que no hubiera refra ión? Dato: Velo idad de propaga ión de la luz en el va ío, = 3·10

8m

s

−1.

21


Respuesta:

a) la velo idad de propaga ión en el primero y en el segundos medio son, respe tivamente:

v1 =3 · 1081, 8

= 1, 67 · 108 m · s−1 v2 =3 · 1081, 5

= 2 · 108m · s−1

la fre uen ia del haz es invariable, por lo que podremos es ribir:

ν =1, 67 · 1085 · 10−7

= 3, 33 · 1014s−1

La longitud de onda en el segundo medio será:

λ =v

ν=

2 · 1083, 33 · 1014 = 6 · 10−7 m

b) para que no haya refra ión deberá umplirse que:

senα1

sen 90º=

n2n1

=1, 5

1, 8α1 = 56, 44º

5. Sea una lente onvergente de distan ia fo al de 5 m. a) Cal ule la distan ia entre la lente y la

imagen formada para un objeto situado en el innito, y para un objeto situado a 20 m de la lente.

b) Determine el tamaño de un objeto que está situado a 20 m de la lente y forma una imagen de

30 mm de altura, y reali e el diagrama de rayos orrespondiente para la forma ión de la imagen.

Respuesta:

a) para un objeto situado en el innito:

1

∞ − 1

s′= − 1

f ′s′ = f ′ = 0, 05m

Para un objeto situado a 20 m de la lente:

1

−0, 2− 1

s′= − 1

0, 06s′ = 6, 67 cm

b) Apli ando la e ua ión del aumento lateral:

y′

y=s′

s

−0, 003

y=

0, 0667

0, 2y = 0, 009m

El diagrama de rayos es el siguiente:

22


6. Una bra ópti a de vidrio posee un nú leo on un índi e de refra ión de 1,55, rodeado por un

re ubrimiento de índi e de refra ión de 1,45. Determine: a) El ángulo mínimo b que debe tener un

rayo que viaja por la bra ópti a a partir del ual se produ e reexión total interna entre el nú leo

y el re ubrimiento. b) El ángulo máximo de entrada a a la bra para que un rayo viaje onnado

en la región del nú leo. Dato: Índi e de refra ión del aire, naire = 1

Respuesta:

a) La representa ión grá a es la siguiente:

Apli ando la Ley de Snell:

sen (90− β)

sen 90º=

1, 45

1, 55sen (90− β) = cos β = 0, 935 β = 20, 77º

b) Para que el rayo no abandone el nú leo:

senα

sen 20, 77º=

1, 55

1, 45α = 22, 27º

7. Un sistema ópti o esta onstituido por dos lentes situadas a 50 m de distan ia. La primera es de

10 dioptrías y la segunda de -10 dioptrías. Se sitúa un objeto de altura 10 m a una distan ia de 15

m, a la izquierda de la primera lente. a) Determine la posi ión y el tamaño de la imagen produ ida

por la primera lente y de la imagen nal formada por el sistema. b) Reali e un diagrama de rayos

de la forma ión de la imagen nal.

Respuesta:

a) El diagrama de rayos es el siguiente:

b) Para la primera lente:

1

−0, 15− 1

s′1= −10 obteniendose; s′1 = 0, 3m

El tamaño de la imagen obtenida on la primera lente será:

y′1 = ys′1s

= 0, 10, 3

−0, 15= −0, 2m

La distan ia objeto para la segunda lente será: s2 = −(0, 5− 0, 3) = −0, 2m. Apli ando nuevamentela e ua ión de las lentes delgadas:

1

−0, 2− 1

s′2= 10 s′2 = −0, 067m

23


Mientras que el tamaño de la imagen será:

y′2 = y′1s′2s′1

= −0, 2−0, 067

−0, 2= −0, 067m

8. En un medio de índi e de refra ión n1 = 1 se propaga un rayo luminoso de fre uen ia f1 = 6·10

14

Hz. a) Cual es su longitud de onda? b) Cual sería la fre uen ia y la longitud de onda de la radia ión

si el indi e de refra i6n del media fuese n2 = 1,25 n1? Dato: Velo idad de propaga ión de la luz

en el va ío, = 3· 10

8m· s−1

Respuesta:

a) La longitud de onda será:

λ =3 · 1086 · 1014 = 5 · 10−7m

b) La fre uen ia de la radia ión es la misma, independientemente del medio. La nueva longitud de

onda será:

λ1 =v1ν

=3 · 108/1, 25

6 · 1014 = 4 · 10−7m

9. Un sistema ópti o esta formado por dos lentes onvergentes de distan ias fo ales f1´= 20 m y f2´

= 30 m. La segunda lente, de distan ia fo al f2´, esta situada a la dere ha de la primera a 100 m

de distan ia. Un objeto de 3 m de altura se olo a 30 m delante de la primera lente. a) Determine

la posi ión y la altura de la imagen del objeto formada por el sistema ópti o. b) Reali e el diagrama

de rayos orrespondiente.

Respuesta:

a) El diagrama de rayos es el siguiente:

b) Para la primera lente:

1

−0, 3− 1

s′1= − 1

0, 2obteniendose; s′1 = 0, 6m

El tamaño de la imagen obtenida on la primera lente será:

y′1 = ys′1s

= 0, 030, 6

−0, 3= −0, 06m

La distan ia objeto para la segunda lente será: s2 = −(1− 0, 6) = −0, 4 m. Apli ando nuevamente

la e ua ión de las lentes delgadas:

1

−0, 4− 1

s′2= − 1

0, 3s′2 = 1, 2m

Mientras que el tamaño de la imagen será:

y′2 = y′1s′2s′1

= −0, 061, 2

−0, 4= 0, 18m

24


10. Un haz de luz de fre uen ia 4,29· 10

14Hz in ide desde un medio 1 de indi e de refra ión n1 = 1,50

sobre otro medio 2 de indi e de refra i6n n2 = 1,30. El angulo de in iden ia es de 50°. Determine:

a) La longitud de onda del haz en el medio 1. b) El angulo de refra ión. ¾A partir de que angulo

de in iden ia se produ e la reexión total del haz in idente? Dato: Velo idad de la luz en el va ío

= 3·10

8m s

·1

Respuesta:


λ1 =v

ν=

3 · 108/1, 504, 29 · 1014 = 4, 66 · 10−7m

b) Apli ando la Ley de Snell:

sen 50º

senαr=

1, 30

1, 50αr = 62, 11º

Para que se produz a reexión interna total, el ángulo límite se al ula a partir de:

senαi

sen 90º=

1, 30

1, 50αi = 60º

11. Un sistema ópti o entrado está formado por dos lentes delgadas divergentes de igual distan ia fo al

(f´ = -20 m) separadas 5 m. Un objeto luminoso perpendi ular al eje ópti o, de tamaño y = 2

m, se sitúa a la izquierda de la primera lente a una distan ia de 60 m. Determine: a) La posi ión

de la imagen formada por la primera lente y reali e su onstru ión geométri a mediante el trazado

de rayos. b) La posi ión y el tamaño de la imagen nal dada por el sistema formado por las dos

lentes.

Respuesta:

a) El diagrama de rayos, tanto el orrespondiente a la imagen de la primera lente omo de la imagen

nal, es el siguiente:

Para al ular la posi ión y el tamaño de la primera imagen, apli amos la e ua ión fundamental de

las lentes y la e ua ión del aumento lateral:

1

−0, 6− 1

s′1=

1

0, 2obteniendose; s′1 = −0, 15m

Es de ir, la primera imagen se forma en el fo o de la segunda lente.

El tamaño se al ula así:

y′ = ys′

s= 2

−0, 15

−0, 6= 0, 5 cm

b) Para al ular los datos de la imagen nal:

1

−0, 2− 1

s′1=

1

0, 2obteniendose; s′1 = −0, 1m

y′ = ys′

s= 0, 5

−0, 1

−0, 2= 0, 25 cm

25


12. Un material transparente de índi e de refra ión n = 2 se en uentra situado en el aire y limitado

por dos super ies planas no paralelas que forman un ángulo α Sabiendo que el rayo de luz mono-

romáti a que in ide perpendi ularmente sobre la primera super ie emerge por la segunda on un

ángulo de 90º on respe to a la normal, omo se muestra en la gura, determine: a) El valor del

ángulo límite para la in iden ia material-aire y el valor del ángulo b) El ángulo de in iden ia de

un rayo en la primera super ie para que el ángulo de emergen ia por la segunda sea igual que él.

Dato: Índi e de refra ión del aire, naire = 1.

Respuesta:

a) La respuesta a este apartado puede verse en la siguiente imagen:

b) La respuesta a este apartado puede verse en la siguiente imagen:

Cono ido el valor de α1 , tendremos:senα

sen 15º=

2

1

α = 31, 17º

13. a) Determine a qué distan ia debe olo arse un objeto delante de una lente onvergente de 0,30 m

de distan ia fo al, para que se forme una imagen virtual, dere ha y dos ve es mayor que el objeto.b)

El punto remoto de un ojo miope se en uentra 0,5 m delante de sus ojos. Determine la poten ia de

la lente que debe utilizar para ver nítido un objeto situado en el innito.

Respuesta:

a) Si la imagen es dere ha y de doble tamaño que el objeto, se umplirá que:

y′

y= 2 =

s′

ss′ = 2s

Apli ando la e ua ión fundamental de las lentes delgadas:

1

s− 1

2s= − 1

0, 3s = −0, 15m

26


b) Apli ando de nuevo la e ua ión fundamental:

1

∞ − 1

−0, 5= −P P = −2 dp

14. Un rayo de luz se propaga según muestra el esquema de la gura. Primero in ide on un ángulo

i1 desde un medio de índi e de refra ión n1 = 1,6 sobre un medio de índi e de refra ión n2 =

1,3 de manera que el rayo reejado y el rayo refra tado forman entre sí un ángulo de 90º. El rayo

refra tado in ide on el ángulo ríti o ic sobre otro medio de índi e de refra ión n3 des ono ido.

Determine: a) Los ángulos de in iden ia i1 e ic b) El índi e de refra ión n3

Respuesta:

a) De la anterior gura se dedu e que i1 + 90º+ ic = 180º, on lo ual:

i1 + ic = 90º ic = 90− i1

Apli ando la Ley de Snell:

sen i1sen (90 − i1 )

=sen i1cos i1

= tg i1 =1, 3

1, 6

Obteniéndose i1 = 39, 09ºe ic = 50, 91º

b) Apli ando nuevamente la Ley de Snell:

sen 50, 91º

sen 90º=

n31, 3

n3 =1

15. Se tiene una lente onvergente de 20 dioptrías. A la izquierda de la lente, a 10 m, se sitúa un objeto

de 4 m de altura. a) Cal ule la posi ión de la imagen su altura, e indique si es virtual o real y

dere ha o invertida. b) ¾Dónde debe situarse el objeto para obtener una imagen virtual y dere ha

de 8 m de altura? ¾ uál será la posi ión de la imagen?

Respuesta:

a) Apli ando la e ua ión fundamental de las lentes delgadas:

1

−0, 1− 1

s′= −20 s′ = 0, 1m

Al en ontrarse a la dere ha de la lente, la imagen es real. Apli ando ahora la e ua ión del aumento

lateral:

y′

4=

0, 1

−0, 1y′ = −4 cm

La imagen es invertida y de igual tamaño.

b) Apli ando ahora las e ua iones del aumento lateral y la fundamental de las lentes delgadas:

8

4=

s′

ss′ = 2s

1

s− 1

2s= −20 s = −0, 025m s′ = −0, 05m

27


16. Un haz de luz de fre uen ia 5,17·1014 Hz in ide desde un medio A de índi e de refra ión nA= 1,8

ha ia un medio B de índi e de refra ión nB. Se observa reexión total a partir de un ángulo de

in iden ia de 46,24º. determine: a) El valor del índi e de refra ión y la velo idad de propaga ión

del haz en el medio B. b) Las longitudes de onda del haz en ambos medios. Dato: Velo idad de la

luz en el va ío = 3·10

8m.

Respuesta:

a) Apli ando la segunda ley de la refra ión:

sen 46, 24

sen 90º=

nB1, 8

nB = 1, 30

la velo idad de propaga ión en el medio B será:

v =c

n=

3 · 1081, 30

= 2, 308 · 108m · s−1

b) La fre uen ia es la misma en ambos medios. Las respe tivas longitudes de onda serán:

λA =3 · 108/1, 85, 17 · 1014 = 3, 22 · 10−7m λB =

2, 308

5, 17 · 1014 = 4, 46 · 10−7m

17. Una lente onvergente de 10 m de distan ia fo al se utiliza para formar la imagen de un objeto de

tamaño y = 1 m. Si queremos que la imagen se forme 14 m a la dere ha de la lente: a) Determine

la posi ión donde se debe situar el objeto y el tamaño de la imagen que se obtiene. b) Reali e el

trazado de rayos orrespondiente.

Respuesta:

a)Apli ando la e ua ión fundamental de las lentes delgadas:

1

s− 1

0, 14= − 1

0, 1s = −0, 35m

El tamaño de la imagen se obtendrá de la expresión del aumento lateral:

y′

1=

0, 14

−0, 35y′ = −0, 4 cm


18. Desde lo alto de un trampolín, Carlos es apaz de ver a Laura que está bu eando en el fondo de

la pis ina. Para ello tiene que mirar on un ángulo de 30º on respe to a la verti al. La altura de

observa ión es de 4 m y la pis ina tiene una profundidad de 3 m. Si el índi e de refra ión del agua

es nagua = 1,33, determine: a) La distan ia respe to a la verti al del trampolín a la que se en uentra

Laura. b) El ángulo límite entre ambos medios y reali e un esquema indi ando la mar ha del rayo.

Dato: Índi e de refra ión del aire, n0 = 1.

28


Respuesta:

a) Por apli a ión de la ley de Snell:

sen 30º

senαr=

1, 33

1αr = 22, 1º

Y partir de la siguiente representa ión grá a:

La distan ia a la que se en ontrará Laura de la verti al del trampolín es:

d = 4 sen 30º+ 3 sen 22, 1º = 3, 13m

b) Para al ular el ángulo límite:

senαL

sen 90º=

1

1, 33αL = 48, 75º

El rayo se propaga desde el agua al aire, omo puede verse en la siguiente imagen:

19. Una lente de 10 dioptrías produ e una imagen real e invertida de 20 m de altura a una distan ia de

30 m a la dere ha de la lente. a) Determine la posi ión y el tamaño del objeto original. b) Reali e

un diagrama de rayos de la forma ión de la imagen nal.

Respuesta:

a) Al ser real la imagen, la lente es onvergente. Apli ando la e ua ión fundamental de las lentes

delgadas:

1

s− 1

0, 30= −10 s = −0, 15m

Apli ando la e ua ión del aumento lateral:

y′

y=

s′

sy =

−20 (−15)

30= 10 cm


29


20. Un rayo luminoso de fre uen ia f1= 6·1014 Hz se propaga desde el aire (índi e de refra ión n1 =

1) ha ia otro medio de índi e de refra ión n2. Se observa que al atravesar la super ie plana de

separa ión el rayo modi a su dire ión alejándose de la super ie. a) ¾Será n2 > n1o n2 < n1?

Justique la respuesta. Si el ángulo de refra ión es el omplementario del de in iden ia y este último

es de 60°, ¾ uánto vale n2? b) ¾Cuál sería la fre uen ia y la longitud de onda del rayo refra tado si

fuese n2 = 1,5? Dato: Velo idad de propaga ión de la luz en el va ío, = 3·108 m s

−1.

Respuesta:

a) Según la ley de Snell:

senαi

senαr=

n2n1

Cuando el rayo refra tado se aleja de la super ie, disminuye αr . Tendremos que sen αi < senαrpor

lo que

senαi

senαr> 1 y, por tanto n2 > n1

El ángulo de refra ión será 30º, por lo que:

sen 60º

sen 30º=

n21

n2 = 1, 73

b) La fre uen ia no varia al ambiar de medio de propaga ión. La longitud de onda sería:

λ′ =v

ν=

3 · 1081, 5

6 · 1014 = 3, 33 · 10−7m

30


4. Ele tromagnetismo.

1. Tres ondu tores re tilíneos, largos y paralelos, que transportan una orriente de 5 A ada uno de

ellos, pasan a través de los vérti es de un triángulo equilátero de 10 m de lado, tal y omo se

muestra en la gura.

Suponiendo que el origen de oordenadas se en uentra en el ondu tor 1, determine: a) La fuerza

por unidad de longitud sobre el ondu tor 3 debida a los ondu tores 1 y 2. b) El ampo magnéti o

en el punto medio del segmento que une los ondu tores 1 y 2. Dato: Permeabilidad magnéti a del

va ío m0 = 4p·10−7N A

−2.

Respuesta:

a) La orriente, tanto en el ondu tor 1 omo en el 2, tiene sentido ontrario a la del ondu tor 3.

Así pues, entre los ondu tores 1 y 3 y los 2 y 3 apare en fuerzas de repulsión, tal y omo puede

verse en la siguiente imagen.

Al tener el mismo valor las intensidades de orriente y ser iguales las distan ias, las fuerzas

−→F1 y

−→F2

tendrán el mismo módulo. La fuerza resultante sobre el ondu tor 3 será, según se dedu e de la

anterior imagen:

F = −[(

4π · 10−7 · 5 · 5 · l2π · 0, 1

)

sen 300º+

(

4π · 10−7 · 5 · 5 · l2π · 0, 1

)

sen 240º

]−→j =

La fuerza por unidad de longitud sobre el ondu tor 3 será:

F

l= −

[(

4π · 10−7 · 5 · 52π · 0, 1

)

sen 300º+

(

4π · 10−7 · 5 · 52π · 0, 1

)

sen 240º

]−→j = −8, 66 · 10−5−→j N ·m−1

b) Apli ando la regla de la mano dere ha, veremos que el ampo magnéti o en el punto medio del

segmento que une los ondu tores 1 y 2 tiene tres omponentes, dos de las uales se anulan entre sí

(las debidas a las orrientes de los ondu tores 1 y 2).

La ter era omponente tendrá el valor:

−→B = −µ0I

2πr

−→i = − 4π · 10−7 · 5

2π√

(0, 12 − 0, 052)

−→i = −1, 15 · 10−5T

31


2. Un protón se desplaza on una velo idad

−→v = 5−→i m s

−1en el seno de un ampo elé tri o denido

por la expresión

−→E = −100

−→j V m

−1. Determine: a) El ampo magnéti o ne esario, ontenido en

el plano YZ, para mantener al protón siguiendo un movimiento re tilíneo y uniforme. b) El radio

de giro que tendría di ho protón en una región donde solamente existiera el ampo magnéti o del

apartado anterior. Datos: Valor absoluto de la arga del ele trón, e = 1,6·10−19C; Masa del protón,

mp = 1,67·10−27kg.

Respuesta:

a) Para que el protón des riba un movimiento re tilíneo y uniforme, la resultante de las fuerzas

que a túen sobre él debe ser nula, es de ir:

−→F = q

−→E + q−→v ×−→

B = q (−100−→j + 5

−→i ×−→

B ) = 0

Si representamos el ve tor

−→B de la forma:

−→B = |−→B|−→u , donde −→u es un ve tor unitario en la dire ión

y sentido de B, tendremos:

100 = 5 |−→B| −→ |−→B| = 20

−−→j +

−→i ×−→u = 0

De forma que

−→i ×−→u =

−→j , on lo que se umplirá que

−→u =−→k . Así pues,

−→B = 20

−→k . T

b) El radio de giro se al ula a partir de la expresión:

qvB =mv2

rde donde r =

mv

qB=

1, 67 · 10−27 · 51, 6 · 10−19 · 20 = 2, 61 · 10−9m

3. En el semiespa io denido por z ≥ 0 existe un ampo elé tri o uniforme dado por 5000

−→k N C

−1.

Determine: a) La diferen ia de poten ial entre los puntos P1(1, 2, 3) m y P2(2, 4, 3) m. b) El trabajo

requerido para llevar una arga q = 5 mC, desde el punto P2(2, 4, 3) m al P3(1, 1, 1) m.

Respuesta:

a) La diferen ia de poten ial será:

−∆V =−→E · −→∆r = 5000

−→k [(1− 2)

−→i + (2− 4)

−→j + (3− 3)

−→k ] = 0V

b) El trabajo ne esario será:

W = q (V2 − V3)

la diferen ia de poten ial entre V2 y V3 será:

V2 − V3 =−→E−→∆r = 5000

−→k [(2 − 1)

−→i + (4− 1)

−→j + (3− 1)

−→k ] = 10000V

32


Y el trabajo valdrá:

W = q (V2 − V3) = 0, 01 J

4. Dos hilos indenidos y paralelos separados una distan ia d transportan orrientes de igual intensidad

I y en el mismo sentido. Determine: a) El módulo, dire ión y sentido de los ampos magnéti os

que ada uno de los hilos rea en el otro e ilústrelos en una gura. b) La distan ia d a la que deben

estar los hilos para que la fuerza por unidad de longitud entre ellos sea de 10

−5N m

−1sabiendo

que la intensidad que ir ula por los hilos es I = 5 A. Dato: Permeabilidad magnéti a del va ío,

mo= 4p ·10

−7N A

−2.

Respuesta:

a) El módulo del ampo magnéti o que ada hilo rea sobre el otro es:Velo idad de la luz en el

va ío = 3·10

8m

B =µ0I

2πd

La dire ión de ada ve tor ampo magnéti o es la misma, y el sentido es opuesto, omo puede

verse en la siguiente imagen:

b) la fuerza por unidad de longitud es:

F

l=

(

µ0I1I22πd

)

10−5 =4π · 10−7 · 5 · 5

2πd

De donde, despejando, se obtiene:

d =4π · 10−7 · 5 · 5

2π · 10−5= 0, 5m

5. Dos argas de + 5 nC están separadas una distan ia de 4 m de a uerdo a la gura adjunta.

Cal ule: a) El ampo elé tri o en el punto A y en el punto B reado por ambas argas. b) El

poten ial elé tri o en el punto A y en el punto B, y el trabajo que hay que realizar sobre una arga

de +3 nC para desplazarla desde el punto A al punto B. Dato: Constante de la Ley de Coulomb,

K = 9·10

9N m

2C

−2.

Respuesta:

33


a) El ampo elé tri o reado por ambas argas en los puntos A y B puede dedu irse de las siguientes

imágenes:

En el punto A, el ampo elé tri o reado por ada una de las argas tiene el mismo módulo y

dire ión que el de la otra, pero sentido ontrario, por lo que el ampo elé tri o en di ho punto es

nulo. En el punto B, los módulos de los ampos respe tivos reados por las dos argas son iguales,

pero de distinta dire ión. para el ángulo α se umplirá que:

tgα =2

4α = 26, 56º

Por tanto, en el punto B, el ampo resultante tendrá, úni amente, omponente y, siendo su módulo:

∣

∣

∣

−→E∣

∣

∣=

∣

∣

∣

−→E1

∣

∣

∣cos 26, 56º+

∣

∣

∣

−→E2

∣

∣

∣cos 26, 56º = 2

9 · 109 · 5 · 10−9

0, 042cos 26,56 = 5, 03 · 104N · C−1

b) Los poten iales en los punto A y B son, respe tivamente:

VA =2 · 9 · 109 · 5 · 10−9

0, 02= 4500V VB =

2 · 9 · 109 · 5 · 10−9

0, 04= 2250V

El trabajo ne esario para trasladar una arga de 3 nC desde A a B será:

W = q(VA − VB) = 3 · 10−9(4500− 2250) = 6, 75 · 10−6 J

6. Una partí ula alfa (nú leo de helio) ini ialmente en reposo se a elera a través de una diferen ia de

poten ial de 5 kV, y entra en una región on un ampo magnéti o de 0,3 T perpendi ular a su velo-

idad, omo muestra la gura. Determine al penetrar en el ampo magnéti o: a) La energía inéti a

adquirida por la partí ula y el módulo de su velo idad. b) La fuerza magnéti a que experimenta la

partí ula y el radio de urvatura de la traye toria. Datos: Valor absoluto de la arga del ele trón,

e = 1,60·10

−19C; Masa de la partí ula alfa, mα = 6,68·10

−27kg.

Respuesta:

a) La energía inéti a será:

Ec = q(VA − VB) = 2 · 1, 6 · 10−19 · 5000 = 1, 6 · 10−15 J

34


Puesto que podemos es ribir:

Ec = 1, 6 · 10−15 =1

26, 68 · 10−27v2 v =

√

3, 2 · 10−15

6, 68 · 10−27= 6, 92 · 105m · s−1

b) El módulo de la fuerza magnéti a es:

∣

∣

∣

−→F∣

∣

∣=

∣

∣

∣q−→v ×−→

B∣

∣

∣= 3, 2 · 10−19 · 6, 92 · 105 · 0, 3 = 6, 64 · 10−11N

Y el radio de la traye toria:

r =mv

qB=

6, 68 · 10−27 · 6, 92 · 1053, 2 · 10−19 · 0, 3 = 0, 048m

7. Sea un ampo magnéti o uniforme

−→B = −B0

−→k , on B0 = 0,3 T. En el plano xy, hay una espira

re tangular uyos lados miden, ini ialmente, a = 1 m y b = 0,5 m. La varilla de longitud b se puede

desplazar en la dire ión del eje x, tal y omo se ilustra en la gura.

Determine, para t = 2 s, el ujo a través de la espira y la fuerza ele tromotriz indu ida en la misma

si: a) La varilla se desplaza on velo idad onstante de 3 m s

−1b) Partiendo del reposo la varilla

se desplaza on a elera i6n onstante de 2 m s

−2

Respuesta:

a) La super ie atravesada por el ampo magnéti o en un tiempo ∆ t será:

−→S = 0, 5 · 3 · t−→k

El ujo del ampo magnéti o para t = 2 s será:

ϕ =−→B · −→S = −0, 3

−→k · 0, 5 · 3 · 2−→k = −0, 90wb

La fuerza ele tromotriz indu ida será:

ε = −d(−0, 3−→k · 0, 5 · 3 · t)dt

= 0, 45V

b) Cuando la varilla se despla e on a elera ión onstante de 2 m· s−2, la longitud de a en fun ión

del tiempo será: a =

1

22 t2, on lo que el área de la espira será:

−→S = −0, 5 · t2 −→k ϕ = −0, 3 · 0, 5 · t2 = 0, 6wb

La fuerza ele tromotriz indu ida será:

ε = −d(−0, 3−→k · 0, 5 · t2 −→k )dt

= 0, 60V

35


8. Considérese una arga q1 = 6 µC, situada en el origen de oordenadas. Determine: a) El trabajo

ne esario para llevar una arga q2 = 10 µC desde una posi i6n muy alejada, digamos x = ∞ , hasta

la posi ión x = 10 m. b) El punto entre ambas argas en el que una arga q estaría en equilibrio.

Dato: Constante de la Ley de Coulomb, K = 9·109 N·m

2C

−2

Respuesta:

a) El trabajo ne esario sería:

W = 10−5(V∞ −V10) = 10−5

(

0− 9 · 109 · 6 · 10−6

10

)

= −0, 054 J

El signo negativo del trabajo indi a que di ho trabajo debe ser realizado ontra el ampo reado

por la arga de 6 µC.

b) La posi ión de la arga de 6 µC es (0,0), mientras que la posi ión de la arga de 10 µC es (0,0).

A partir de la siguiente representa ión grá a:

Podemos dedu ir lo siguiente:

K · 6 · 10−6

x2=

K · 10−5

(10− x)2x = 4, 36m

El punto de equilibrio se en ontrará sobre el eje X,a 4,36 m a la izquierda del origen de oordenadas

9. Dos argas q1 = -4 nC y q2 = 4 nC están situadas en los puntos P1 (3, 4) y P2 (-3, 4), respe tivamen-

te, del plano xy ( oordenadas expresadas en metros). Determine: a) El ve tor ampo elé tri o en el

origen de oordenadas. b) El poten ial ele trostáti o en el origen de oordenadas. Dato: Constante

de la Ley de Coulomb, K=1/4πε0 = 9·10

9m

2C

−2

Respuesta:

a) A partir de la siguiente representa ión grá a:

Podemos dedu ir lo siguiente:

∣

∣

∣

−→E1

∣

∣

∣=

∣

∣

∣

−→E2

∣

∣

∣=

9 · 109 · 4 · 10−9

25= 1, 44

Las omponentes verti ales de los dos ve tores ampo se anulan, on lo que el ve tor ampo resul-

tante será: −→E = 2 · 1, 44 · cos 53, 13−→i = 1, 73N · C−1

b) Puesto que las argas son iguales y opuestas y las respe tivas distan ias al origen son iguales, el

poten ial en di ho punto valdrá 0 V.

36


10. Por un hilo ondu tor re tilíneo situado a lo largo del eje x y que pasa por el punto (0, 0, 0),

ir ula una orriente elé tri a de intensidad I = 10 A en el sentido negativa del eje x ( oordenadas

expresadas en metros) a) Cal ule el ve tor ampo magnéti o debido al hilo en el punto P (0, 5, 0).

b) Si una arga Q = 3 mC pasa por el punto P (0, 5, 0) on una velo idad v = 4

−→i + 4

−→j m·s

−1,

Cuál es el ve tor fuerza magnéti a que a túa sobre la arga? Dato: Permeabilidad magnéti a del

va ío, µ0 = 4π·10−7N A

−1

Respuesta:

a) El módulo del ampo magnéti o en el punto P será:

∣

∣

∣

−→B∣

∣

∣=µ0I

2πd=

4π · 10−7 · 102π · 5 = 4 · 10−7T

Al apli ar la regla de la mano dere ha:

−→B = −4 · 10−7−→k T

b) la fuerza ejer ida por el ampo magnéti o sobre la arga es:

−→F = q−→v ×−→

B = 3 · 10−3[(4−→i + 4

−→j )× (−4 · 10−7−→k )] = 4, 8 · 10−9(−−→

i +−→j )N

11. Dos argas elé tri as, positivas e iguales, situadas en los puntos (2, 2) m y (-2, -2) m generan un

ampo elé tri o en el punto (1, 1) m de módulo E = 5·10

3N C

−1; determine: a) El valor de las

argas elé tri as y el ve tor ampo elé tri o en el punto (-1, -1) m. b) El trabajo ne esario para

traer una arga de 2 C desde el innito hasta el punto (-1, -1) m. Dato: Constante de la Ley de

Coulomb, K = 9·10

9N m

2C

−2.

Respuesta:

a) A partir de la siguiente representa ión grá a: Podemos dedu ir lo siguiente:

∣

∣

∣

−→E∣

∣

∣=

∣

∣

∣

−→E2

∣

∣

∣−∣

∣

∣

−→E1

∣

∣

∣=

9 · 109q12 + 12

− 9 · 109q32 + 32

= 5, 4 · 103N · C−1

Obteniéndose un valor: q = 1, 25 · 10−6CLa intensidad de ampo elé tri o será:

−→E = 5, 4 · 103(−cos 45

−→i − cos 45

−→j ) = −3, 54 · 103−→i − 3, 54 · 103−→j

37


b) El trabajo ne esario para desplazar la arga hasta el punto P(-1,-1) será:

W = q (V∞ −VP) V∞ = 0 y Vp =9 · 1091, 25 · 10−6

√2

+9 · 1091, 25 · 10−6

√18

= 1, 06 · 104V

W = 2 (0− 1, 06 · 104) = −2, 12 · 104 JEl signo negativo del trabajo indi a que éste debe ser realizado en ontra del ampo elé tri o.

12. Dos hilos ondu tores re tilíneos, indenidos y paralelos al eje z se en uentran situados en el plano

yz. Uno de los hilos pasa por el punto (0, -5, 0) m y su orriente tiene una intensidad I1= 30 A

y sentido z positivo. El otro ondu tor pasa por el punto (0, 5, 0) m y su intensidad de orriente

I2 tiene sentido z negativo. Sabiendo que el módulo del ampo magnéti o en el punto (0, 0, 0) es

B 2,8·10

−4T , al ule: a) El valor de la intensidad I2 y el ve tor ampo magnéti o en el punto (0,

10, 0) m. b) La fuerza magnéti a por unidad de longitud que a túa sobre el ondu tor que pasa

por el punto (0, -5, 0) m debida a la presen ia del otro, indi ando su dire ión y sentido. Dato:

Permeabilidad magnéti a del va ío, m0 = 4p·10

−7N A

−2.

Respuesta:

a) En el punto (0,0,0), y basándonos en la siguiente representa ión grá a:

Podremos dedu ir lo siguiente:

∣

∣

∣

−→B∣

∣

∣=

∣

∣

∣

−→B1

∣

∣

∣+∣

∣

∣

−→B2

∣

∣

∣= 2, 8 · 10−4T

4π · 10−7 · 302π · 0, 05 +

4π · 10−7 · I2π · 0, 05 = 2, 8 · 10−4 I = 40A

En el punto (0,10,0), tal y omo podemos ver en la siguiente imagen:

El ampo magnéti o será:

∣

∣

∣

−→B∣

∣

∣=

∣

∣

∣

−→B2

∣

∣

∣−∣

∣

∣

−→B1

∣

∣

∣=

4π · 10−7 · 402π · 0, 05 − 4π · 10−7 · 30

2π · 0, 15 = 1, 2 · 10−4T

38


El ampo estará dirigido en el sentido positivo del eje X, siendo, por tanto:

−→B = 1, 2 · 10−4−→i T

b) En el punto (0,-5,0) el ve tor fuerza será el siguiente:

Siendo la fuerza por unidad de longitud:

F

l=

4π · 10−7 · 30 · 402π · 0, 1 = 2, 4 · 10−3N ·m−1 −→

F/l = 2, 4 · 10−3−→j N ·m−1

13. Se tienen dos hilos ondu tores re tilíneos, indenidos y paralelos al eje z que ortan al plano xy

en los puntos O (0, 0, 0) y A (2, 2, 0) m. Por ada able ir ula una orriente de 5 A en el sentido

positivo del eje z. Cal ule: a) El ve tor ampo magnéti o en el punto P (0, 2, 0) m y en el punto

Q (1, 1, 0) m. b) La fuerza magnéti a por unidad de longitud que a túa sobre el ondu tor que

pasa por el punto A (2, 2, 0) m debida a la presen ia del otro, indi ando su dire ión y sentido.

Dato: Permeabilidad magnéti a del va ío, µ0 = 4p·10−7N A

−2

Respuesta:

a) En el punto (0,2,0) el ve tor ampo magnéti o debido a ada una de las orrientes tendrá el

mismo módulo, siendo éste:

∣

∣

∣

−→B∣

∣

∣=µ0I

2πd =

4π·10−7 · 52π · 0, 02 = 5 · 10−5T

Mientras que en el punto (1,1,0), este módulo tendrá el valor:

∣

∣

∣

−→B∣

∣

∣=µ0I

2πd=

4π · 10−7 · 52π · √0, 02

= 7, 07 · 10−6T

A partir de las siguientes representa iones grá as:

Podemos dedu ir que, en el punto (0,2,0), el ampo magnéti o resultante será:

−→B1 = −5 · 10−5−→i − 5 · 10−5−→j T

39


Mientras que en el punto (0,1,0), el ampo magnéti o resultante tendrá un valor nulo.

b) La fuerza por unidad de longitud que a túa sobre el ondu tor que pasa por el punto (2,2,0)

tendrá un valor:

F

l=µ0I1I22πd

=4π · 10−7 · 5 · 5

2π ·√

0, 022 + 0, 022= 1, 77 · 10−4N ·m−1

Puesto que las orrientes son paralelas y del mismo sentido, la fuerza sobre este ondu tor debida

al otro será de atra ión.

14. Dos argas puntuales, on valores q1 = -4 nC y q2 = +2 nC respe tivamente, están situadas en los

puntos P1 (-5, 0), y P2 (3, 0) ( oordenadas en entímetros). Determine: a) El ampo elé tri o y el

poten ial elé tri o en el origen de oordenadas. b) En qué punto situado en el segmento que une

las dos argas el poten ial elé tri o se anula. Dato: Constante de la Ley de Coulomb, K = 9·109 Nm

2C

−2

Respuesta:

a) A partir de la siguiente representa ión grá a: Dedu imos el valor del ampo elé tri o en el

origen de oordenadas:

−→E = −9 · 109 · 4 · 10−9

(5 · 10−2)2−→i − 9 · 109 · 2 · 10−9

(3 · 10−2)2−→i N · C−1 = −34400

−→i N · C−1

El poten ial elé tri o en este punto tendrá el valor:

V = V1 +V2 =−9 · 109 · 4 · 10−9

5 · 10−2+

9 · 109 · 2 · 10−9

3 · 10−2= −120V

b) El poten ial será nulo uando:

−9 · 109 · 4 · 10−9

8 · 10−2 − x+

9 · 109 · 2 · 10−9

x= 0

Resolviendo la e ua ión, obtendremos x = 0,027 m, esto es, el punto se en ontrará a 5,3 m de la

arga negativa y 2,7 m de la positiva.

15. Dos partí ulas iguales, de arga Q = -3 nC se en uentran jas en los puntos (0,3) y (0,-3) m del

plano XY. a) Determine el ampo elé tri o reado por ambas argas en el punto (4,0) m. b) Si se

deja una partí ula en reposo, de arga q = 2 nC y masa m = 10 g en el punto (4,0) m ¾ uál será

su velo idad uando pase por el origen de oordenadas? Dato: Constante de la Ley de Coulomb, K

= 9·109 N m

2

Respuesta:

a) De la siguiente representa ión grá a:

Se puede dedu ir que:

−→E = −2

9 · 109 · 3 · 10−9

52cos45

−→i = −1, 53

−→i N · C−1


U0 + EC0 = U+ Ec

29 · 109(−3 · 109) 2 · 10−9

5+ 0 = 2

9 · 109(−3 · 109) 2 · 10−9

3+ Ec

Ec = 1, 44 · 10−8J

40


16. Una bobina ir ular está formada por un hilo ondu tor de 25 m de longitud que se enrolla en in o

vueltas, y uya resisten ia total es de 10 Ω. La bobina está situada en el eje XY, on su entro en el

origen de oordenadas artesiano. En la región hay un ampo magnéti o variable on el tiempo, de

expresión: B = sen (πt)−→i + cos (πt)

−→k mT. al ule en el instante t = 0,25 s: a) El ujo magnéti o

a través de la bobina. b) La fuerza ele tromotriz y la orriente indu idas en la bobina.

Respuesta:

a) La longitud de ada una de las vueltas será de 5 m. Teniendo en uenta que 0,05 = 2πr, el radio de

ada espira será: r =

0, 05

2π.El área S de ada espira será:

−→S =π r2

−→k = π

(

0, 05

2π

)2 −→k = 2·10−4−→k m2

= El ujo tendrá el valor:

ϕ = N−→B · −→S = 5[sen 0, 25π

−→i + cos 0, 25π

−→k ] · 2 · 10−4−→k = 10−3Wb

b) La fuerza ele tromotriz indu ida es:

ε = −dϕ

dt= −5π[cos (πt)

−→i − sen (πt)

−→k ] 2 · 10−4−→k = 10−3πsenπt

para t = 0,25 s, ε = 10−3πsen0, 25π = 2, 22 · 10−3V. La intensidad tendrá el valor: I =ε

R= 2, 22 · 10−4A

17. Una arga q1 = 10 µC está situada en el origen de oordenadas, mientras que otra arga q2 = 20

µC está situada en el punto (3, 0) m. Cal ule: a) El punto del espa io en el que el ampo elé tri o

total generado por ambas argas es nulo. b) El trabajo que realiza el ampo para transportar un

ele trón desde el punto (3, 4) m hasta el punto (2, 0) m. Datos: Valor absoluto de la arga del

ele trón, e = 1,6·10−19C; Constante de la Ley de Coulomb, K = 9·109 N m

2C

−2.

Respuesta:

a) Al ser ambas argas del mismo signo, el ampo será nulo en un punto del segmento que une

ambas argas, umpliéndose:

K · 105(3− x)2

=K · 2 · 105

x2x = 1, 76m

b) El trabajo vendrá dado por: W = q (V0 −V), siendo:

V0 =9 · 10910−5

√32 + 42

+9 · 109 · 2 · 10−5

√42

= 63000V

V =9 · 10910−5

√22

+9 · 109 · 2 · 10−5

√12

= 225000V

Por lo que el trabajo realizado será:

W = −1, 6 · 10−19(63000− 225000) = +2, 59 · 10−14 J

18. Un positrón, partí ula idénti a al ele trón pero on arga positiva, es a elerado mediante una

diferen ia de poten ial ∆V para posteriormente introdu irse en una región del espa io en la que

hay un ampo magnéti o B = 5 µT perpendi ular a la velo idad del positrón. Sabiendo que el

radio de la órbita ir ular que des ribe el positrón es 50 m, obtenga: a) El valor de la diferen ia

de poten ial V utilizada para a elerar el positrón. b) El valor de la fre uen ia angular de giro del

positrón en di ha órbita. Datos: Valor absoluto de la arga del positrón, e = 1,6·10−19C; Masa del

positrón, mp = 9,1·10−31kg

Respuesta:

a) El radio de la traye toria vendrá dado por:

r =mv

qB0, 5 =

9, 1 · 10−31v

1, 6 · 10−19 · 5 · 10−6v = 4, 39 · 105m · s−1

41


El trabajo realizado por el ampo elé tri o es:

W = q∆V = 1, 6 · 10−19∆V =1

29, 1 · 10−31(4, 39 · 105)2 ∆V = 0, 55V

b) La fre uen ia de giro es:

T =2πr

v=

2π · 0, 54, 39 · 105 = 7, 16 · 10−6 s

la fre uen ia angular es:

ω =2π

T=

2π

7, 16 · 10−6= 8, 78 · 105 s−1

19. Una espira uadrada, de lado a = 10 m y resisten ia R = 12 Ω, está inmersa en una región

del espa io en la que hay un ampo magnéti o uniforme B0 = 0,3 T. Determine: a) La fuerza

ele tromotriz indu ida y la orriente que se indu e, si la espira gira on velo idad angular onstante

de 10 rpm respe to de un eje que pasa por su entro y es paralelo a dos de sus lados y el ampo

magnéti o es perpendi ular al eje de giro (ver gura a). b) El ve tor fuerza que a túa sobre ada

uno de los lados si el ampo magnéti o es paralelo al eje de giro, la espira está en reposo y ir ula

por ella una orriente de I = 0,5 A (ver gura b).

Respuesta:

a) La fuerza ele tromotriz indu ida será:

ε = −dϕ

dt= −d (BS cosωt)

dt= BSωsenωt = 0, 3 · 0, 12 · π

3sen

π

3t

ε = 3, 14 · 10−3senπ

3tV

La orriente indu ida es:

I =ε

R=

3, 14 · 10−3senπ

3t

12= 2, 62 · 10−4sen

π

3tA

b) El módulo de la fuerza sobre ada uno de los dos lados opuestos horizontales es:

F = IlBsen 90º = 0, 5 · 0, 1 · 0, 3 sen90º = 0, 015N

Esta fuerza será perpendi ular al plano que ontiene al ve tor B y a la espira y tendrá para ada uno

de los lados horizontales opuestos el mismo módulo y dire ión, pero sentido ontrario (se forma

un par de fuerzas). Di has fuerzas serán, por tanto:

−→F1 = 0, 015

−→k y

−→F2 = −0, 015

−→k . La fuerza

sobre los dos lados verti ales sera nula, por ser 0º el ángulo formado entre B y l.

20. En una super ie esféri a de radio R = 1 m se en uentra uniformemente distribuida una arga Q =

+ 3 C. Determine: a) El poten ial y el ampo ele trostáti o en un punto que diste del entro de la

42


esfera r = 2R. b) El poten ial y el ampo ele trostáti o en el entro de la esfera. Dato: Constante

de la Ley de Coulomb, K = 1/4πε0= 9·109 N m

2

−2

Respuesta:

a) El ampo y el poten ial elé tri os serían iguales a los que rearía una arga puntual a una

distan ia 2R, es de ir:

E =9 · 109 · 3

22= 6, 75 · 109N · C−1 V =

9 · 109 · 32

= 1, 35 · 1010V

b) En el entro de la esfera, el ampo es nulo pues, al estar la arga situada sobre la super ie

esféri a, una esfera gaussiana de radio inferior a R no en ierra arga, por lo que:

−→E · −→S =

q

ε= 0 y E = 0N · C−1

El poten ial elé tri o sería igual al valor del poten ial en la super ie esféri a, esto es:

V =Kq

R=

9 · 109 · 31

= 2, 7 · 1010V

43


5. Físi a moderna.

1. Se dispone de una muestra del isótopo

226Ra uyo periodo de semidesintegra ión es 1588,69 años.

a) Determine la onstante de desintegra ión del isótopo. b) Trans urridos 200 años, el número de

nú leos que no se han desintegrado es 9,76·10

16. ¾Cuál era la masa ini ial de la muestra de

226Ra?

Datos: Masa atómi a del

226Ra, M = 226 u; Número de Avogadro, NA = 6,02·1023 mol−1

.

Respuesta:

a) La onstante de desintegra ión se al ula de la forma:

λ =ln 2

τ=

0, 693

1588, 69= 4, 36 · 109−4anos−1

b) Sustituyendo en la e ua ión de la desintegra ión radia tiva: N = N0e−λt

,tendremos:

9, 76 · 1016 = N0e−4,36·10−4

·200 −→ N0 = 1, 065 · 1017nucleos

El número de moles será:

n =1, 065 · 10176, 02 · 1023 = 1, 22 · 10−7moles

Mientras que la masa ini ial será m = n·M = 1,22·10−7·226 = 3, 88 · 10−5u

2. Fotones de 150 nm de longitud de onda in iden sobre una pla a metáli a produ iendo la emisión de

ele trones. Si el poten ial de frenado es de 1,25 V, determine: a) La energía de los fotones in identes

y la energía inéti a máxima de los ele trones emitidos. b) La longitud de onda aso iada a los

ele trones emitidos on la energía inéti a máxima. Datos: Valor absoluto de la arga del ele trón,

e = 1,6·10−19C; Constante de Plan k, h = 6,6310

−34J s; Velo idad de la luz en el va ío, = 3·108

m s

−1; Masa del ele trón, me = 9,1·10−31

kg.

Respuesta:

a) La energía de los fotones in identes es:

hν = 6, 63 · 10−34 3 · 1081, 5 · 10−7

= 1, 326 · 10−18J

Mientras que la energía inéti a máxima de los ele trones emitidos será:

Ec = qVf = 1, 6 · 10−19 · 1, 25 = 2 · 10−19J

b) Para ono er la longitud de onda aso iada a los ele trones, debemos ono er la antidad de

movimiento de los mismos. Sabiendo que la energía inéti a máxima es: Ec = 2 · 10−19J, podremos

poner:

1

29, 1 · 10−31v2 = 2 · 10−19 por lo que : v = 6, 63 · 105m/s

Así pues, la antidad de movimiento del ele trón será: p = mv =9, 1 ·10−31 ·6, 63 ·105 = 6,033·10−25

kg·m · s−1, y la longitud de onda aso iada, será:

λ =h

p=

6, 63 · 10−34

6, 033 · 10−25= 1, 1 · 10−9m

3. a)¾Qué energía inéti a, expresada en keV, tiene que tener un protón para que la longitud de onda

aso iada sea l = 4·10

−13m? b) ¾Cuál tendría que ser la longitud de onda de un fotón que en el

va ío tuviera la misma energía que el protón? Datos: Constante de Plan k, h = 6,63·10

−34J s;

Valor absoluto de la arga del ele trón: e = 1,60·10

−19C; Masa del protón, mp = 1,67·10

−27kg;

Velo idad de propaga ión de la luz en el va ío, = 3·10

8m s

−1.

44


Respuesta:

a) La longitud de onda de De Broglie aso iada al protón es:

λ =h

mvv =

h

λ ·m =6, 67 · 10−34

4 · 10−13 · 1, 67 · 10−27= 9, 98 · 105m · s−1

La energía inéti a será, expresada en keV será:

Ec =1/2 1, 67 · 10−27 (9, 98 · 105)2

1, 60 · 10−16= 5, 20 keV

b) La longitud de onda de un fotón ( uya velo idad es la de la luz) está rela ionada on su energía

por la expresión:

λ =h · cE

Sustituyendo : λ =6, 67 · 10−34 · 3 · 1085, 20 · 1, 6 · 10−16

= 2, 41 · 10−10m

4. Una onda ele tromagnéti a de 280 nm in ide sobre un metal uyo trabajo de extra ión es W0 =

4,08 eV. Determine: a) La energía inéti a máxima on la que pueden ser emitidos los ele trones.

b) El poten ial elé tri o requerido para frenar a todos los ele trones emitidos. Datos: Constante de

Plan k, h = 6,63·10

−34J s; Valor absoluto de la arga del ele trón: e = 1,60·10

−19C; Velo idad de

propaga ión de la luz en el va ío, = 3·10

8m s

−1.

Respuesta:

a) Apli ando la e ua ión del efe to fotoelé tri o:

hν =Wext + Ec6, 67 · 10−34 · 3 · 108

2, 8 · 10−7= 4, 08 · 1, 6 · 10−19 + Ec

Se obtiene Ec = 6,18·10−20J

b) El poten ial de frenado se obtendrá de:

E = qVf Vf =E

q=

6, 18 · 10−20

1, 6 · 10−19= 0, 39V

5. Un átomo de 238U se desintegra a través de una as ada radioa tiva y da lugar a un átomo de

206Pb, siendo el periodo de semidesintegra ión del

238U de 4,47·109 años. Una muestra mineral de

mona ita ontiene 2,74 mg de

238U y 1,12 mg de

206Pb pro edentes de la desintegra ión del uranio.

a) Obtenga el número de átomos ini iales de

238U en la muestra, a partir del ál ulo del número de

átomos de uranio y de plomo existentes en ella. b) Cal ule la antigüedad del mineral y determine

la a tividad a tual de la muestra. Datos: Masa atómi a del

238U, MU = 238,05 u; Masa atómi a

del plomo

206Pb, MPb = 205,97 u; Número de Avogadro, NA = 6,02·10

23mol

−1.

Respuesta:

a) 1,12 mg de

206Pb orresponden a un número de átomos:

nPb =1, 12 · 10−3

205, 976, 02 · 1023 = 3, 27 · 1018 atomos

El número de átomos de

206Pb será:

nU =2, 74 · 10−3

238, 056, 02 · 1023 = 6, 93 · 1018 atomos

Por tanto, el número ini ial de átomos será: N0 = nPb +nU = 3, 27 · 1018+6, 93 · 1018 = 1, 02 · 1019átomos

45


b) Apli ando la ley de la desintegra ión radia tiva:

6, 93 · 1018 = 1, 02 · 1019e−(0,693/4,47·109)t t = 2, 49 · 109anos.

La a tividad a tual será:

A = λN =0, 693

4, 47 · 109 · 365 · 86400 6, 93 · 1018 = 34 desintegraciones · s−1

6. Para observar el efe to fotoelé tri o sobre un metal que posee una fun ión de trabajo de 2,1 eV se

utiliza una lámpara de Cd que emite en uatro líneas espe trales de distinta longitud de onda: línea

roja a 643,8 nm; línea verde a 538,2 nm; línea azul a 480,0 nm y línea violeta a 372,9 nm. a) ¾Qué

líneas espe trales provo arán efe to fotoelé tri o en ese material? Justique la respuesta. Cal ule

la energía inéti a máxima de los fotoele trones si se utiliza la línea espe tral azul. b) Determine la

longitud de onda de De Broglie aso iada a los fotoele trones on energía inéti a máxima utilizando

la línea azul. ¾Podrían ser onsiderados esos ele trones omo relativistas? Justique la respuesta.

Datos: Velo idad de la luz en el va ío, = 3·10

8m s

−1; Constante de Plan k, h = 6,63·10

−34J

s; Valor absoluto de la arga del ele trón, e = 1,6·10

−19C; Masa en reposo del ele trón, me =

9,1·10

−31kg.

Respuesta:

a) A partir de la fun ión de trabajo, al ulamos la longitud de onda umbral:

λ0 =hc

Wext=

6, 63 · 10−34 · 3 · 1082, 1 · 1, 6 · 10−19

= 5, 92 · 10−7m

Por tanto produ irán efe to fotoelé tri o todas las líneas espe trales de menor longitud de onda

que λ0, es de ir, las líneas verde, azul y violeta. La energía inéti a máxima de los fotoele trones

emitidos por a ión de la línea azul es:

Ec =6, 63 · 10−34 · 3 · 108

4, 8 · 10−7− 2, 1 · 1, 6 · 10−19 = 7, 83 · 10−20 J

b) La velo idad de los ele trones emitidos es:

v =

√

2 · 7, 83 · 10−20

9, 1 · 10−31= 4, 14 · 105m · s−1

La longitud de onda de De Broglie tiene el valor:

λ =6, 63 · 10−34

9, 1 · 10−31 · 4, 14 · 105 = 1, 76 · 10−9m

Estos ele trones no pueden ser onsiderados omo relativistas, debido a que su velo idad es muy

inferior a la de la luz.

7. Si el trabajo de extra ión de un metal es de 2 eV, ¾ on fotones de que fre uen ia habría que iluminar

el metal para que los ele trones extraídos tuvieran una velo idad máxima de 7·10

5m s

·1? Datos:

Constante de Plan k, h = 6,63·10

−34J s; Valor absoluto de la arga del ele trón, e = 1,6·10

−19C;

Masa del ele trón, m, = 9, 11·10

−31kg.

Respuesta:

8. Determine: a) La velo idad a la que debe desplazarse un ele trón para que su longitud de onda

aso iada sea la misma que la de un fotón de 0,02 MeV de energía. b) La energía que tiene el

ele trón en eV y su momento lineal. Datos: Constante de Plan k, h = 6,63·10

−34J s; Valor absoluto

de la arga del ele trón, e = 1,60·10

−19C; Masa del ele trón, me = 9,11·10

−31kg; Velo idad de la

luz en el va ío; = 3· 10

8m s

−1

46


Respuesta:

a) La longitud de onda del fotón puede ser al ulada a partir de:

E =hc

λ


λ =6, 63 · 10−34 · 3 · 1080, 02 · 106 · 1, 6 · 10−19

= 6, 22 · 10−11m

Apli ando la e ua ión de De Broglie:

λ =h

mvv =

6, 63·10−34

9, 11 · 10−31 · 6, 22 · 10−11= 1, 17 · 107m · s−1

b) La energía del ele trón, expresada en eV es:

E =1/2 9, 11 · 10−31 (1, 17 · 107)2

1, 6 · 10−19= 389, 71 eV

Su momento lineal será:

p = mv = 9, 11 · 10−31 · 1, 17 · 107 = 1, 06 · 10−23kg ·m · s−1

9. Un láser emite luz de fre uen ia 1,54·10

15Hz. a) Determine la longitud de onda de la luz emitida por

el láser. b) Si el haz de luz in ide sobre una super ie de wolframio uya longitud de onda umbral

es de 230 nm, Cual es la energía inéti a máxima de los ele trones emitidos? Datos: Constante de

Plan k, h = 6,63·10

−34J s; Velo idad de la luz en el va ío, = 3·10

8m s

·1

Respuesta:


λ =c

ν=

3 · 1081, 54·1015

= 1, 95 · 10−7m

b) Apli ando la e ua ión del efe to fotoelé tri o:

6, 63·10−34 · 1, 54·1015 = 6, 63·10−34 3 · 1082, 3 · 10−7

+ Ec Ec = 1, 56 · 10−19 J

10. Una muestra, de masa m = 30 g, esta ompuesta por un elemento radia tivo uya masa molar es de

87 g·mo1

·1En la a tualidad la muestra posee una a tividad de 2,85·10

12Bq. Cal ule: a) El periodo

de semidesintegra i6n del elemento radia tivo. b) La masa de la muestra dentro de 6000 años. Dato:

Numero de Avogadro, NA = 6,02·10

23mo1

−1

Respuesta:

a) El número de nú leos de este elemento es:

N0 =30

87mol · 6, 02·1023mo1−1 = 2, 08 · 1023

Cono ida la a tividad en este momento, podemos al ular la onstante de desintegra ión:

A = λN0 2, 85 · 1012 = λ · 2, 08 · 1023 · 2, 08 · 1023

λ = 1,37 · 10−11 s−1 equivalentes a 4, 32 · 10−4 anos−1

El periodo de semidesintegra ión será:

τ =0, 693

1, 37 · 10−11= 5, 06 · 1010 s equivalentes a 1604 anos

b) Al abo de 6000 años, la masa restante será:

m = 30 · e−4,32·10−4·6000 = 2, 25 g

47


11. El

14C tiene un periodo de semidesintegra ión de 5730 años. Si ini ialmente se tiene una muestra

de 2 mg, determine: a) El tiempo que tiene que trans urrir para que la muestra se reduz a a 0,5 mg

. b) La a tividad ini ial de la muestra. Datos: Número de Avogadro, NA = 6,02·10

23mol

−1; Masa

Atómi a del

14C, M = 14,00 u.

Respuesta:

a) Cono ido el periodo de semidesintegra ión, podemos ono er la onstante λ :

λ =0, 693

5730= 1, 209 · 10−4 anos−1

0, 5 = 2 · e−1,209·10−4t t = 11460 anos

Otra forma de resolver este apartado onsiste en observar que el número de nú leos se ha redu ido a

la uarta parte, por lo que habrá trans urrido un tiempo igual a dos periodos de semidesintegra ión,

es de ir, 2·5730 = 11460 años

b) Para al ular la a tividad ini ial de la muestra, debe al ularse el número ini ial de nú leos:

N0 =2 · 10−3g

14 g ·mol−1· 6, 023 · 1023mol−1 = 8, 6 · 1019 nucleos

La onstante de desintegra ión deberá expresarse en s

−1, es de ir: λ =

1, 209 · 10−4

365 · 86400 = 3, 834 · 10−12 s−1.Teniendo

esto en uenta, la a tividad ini ial será:

A0 = λN0 = 3, 834 · 10−12 · 8, 6 · 1019 = 3, 3 · 105Bq

12. Al iluminar un metal on luz de longitud de onda en el va ío = 700 nm, se observa que emite

ele trones on una energía inéti a máxima de 0,45 eV. Se ambia la longitud de onda de la luz

in idente y se mide de nuevo la energía inéti a máxima, obteniéndose un valor de 1,49 eV. Cal ule:

a) La fre uen ia de la luz utilizada en la segunda medida. b) A partir de qué fre uen ia no se

observará el efe to fotoelé tri o en el metal. Datos: Valor absoluto de la arga del ele trón, e =

1,6·10

−19C; Velo idad de la luz en el va ío, = 3·10

8m s

−1; Constante de Plan k h = 6,63·10

−34

J s.

Respuesta:

a) Las respe tivas energía inéti as, expresadas en J son:

Ec1 = 0, 45 · 1, 6 · 10−19 = 7, 2 · 10−20 J Ec2 = 1, 49 · 1, 6 · 10−19 = 2, 384 · 10−19 J

Apli ando en ambos asos la e ua ión del efe to fotoelé tri o:

6, 63·10−34 · 3·1087 · 10−7

= Wext + 7, 2 · 10−20

6, 63·10−34 · 3·108λ

= Wext + 2, 384 · 10−19

Restando miembro a miembro la primera igualdad a la segunda:

6, 63·10−34 · 3·108λ

− 6, 63·10−34 · 3·1087 · 10−7

= 2, 384 · 10−19 − 7, 2 · 10−20

Obteniéndose λ = 4, 42 · 10−7m

b) Despejamos el trabajo de extra ión en la primera igualdad:

Eext =6, 63·10−34 · 3·108

7 · 10−7− 7, 2 · 10−20 = 2, 12 · 10−19

E igualamos:

Wext = hν0 ν0 =2, 12 · 10−19

6, 63·10−34= 3, 2 · 1014 s−1

48


13. La longitud de onda umbral de un metal para el efe to fotoelé tri o es 579 nm. a) Cal ule el trabajo

de extra ión del metal, y la energía inéti a máxima de los ele trones emitidos expresada en eV si

el metal se ilumina on una radia ión de 304 nm de longitud de onda. b) Si se ha e in idir sobre

otro metal la misma radia ión del apartado anterior observamos que el poten ial de frenado es de

4,08 V. Cal ule el trabajo de extra ión de este nuevo metal. Datos: Constante de Plan k, h =

6,63·10−34J s; Valor absoluto de la arga del ele trón, e = 1,6·10−19

C; Velo idad de la luz en el

va ío, = 3·108 m s

−1.

Respuesta:

a) El trabajo de extra ión será:

Wext =hc

λ0=

6, 63 · 10−34 · 3 · 1085, 79 · 10−7

= 3, 44 · 10−19 J

La energía inéti a máxima se obtiene a partir de:

hν = Wext + Ec6, 63 · 10−34 · 3 · 108

3, 04 · 10−7= 3, 44 · 10−19 + Ec

Obteniéndose Ec = 3, 10 · 10−19J. Expresada en eV, esta energía será:

Ec =3, 10 · 10−19

1, 6 · 10−19= 1, 94 eV

b) La energía inéti a máxima en este segundo aso será: Ec = qVf = 1, 6 ·10−19 ·4, 08 = 6,53·10−19.

El trabajo de extra ión se obtendrá de:

6, 63 · 10−34 · 3 · 1083, 04 · 10−7

= Wext + 6, 53 · 10−19 Wext = 1, 28 · 10−21J

14. Se dispone de una muestra de 10 mg de

238Pu uyo período de semidesintegra ión es de 87,7 años y

su masa atómi a es 238 u. Cal ule: a) El tiempo ne esario para que la muestra se reduz a a 2 mg.

b) Los valores de la a tividad ini ial y nal. Dato: Número de Avogadro, NA = 6,02·1023 mol−1

Respuesta:

a) La onstante de semidesintegra ión será:

λ =0, 693

T=

0, 693

87, 7= 7, 90 · 10−3anos−1

La muestra se redu irá a 2 mg, trans urrido un tiempo t:

2 = 10 e−7,90·10−3t t = 203, 73 anos

b) La onstante de semidesintegra ión, expresada en s

−1será:

λ =0, 693

87, 7 · 365 · 86400 = 2, 50 · 10−10

Las respe tivas a tividades serán:

A0 = 2, 50 · 10−10 10−2

2386, 023 · 1023 = 6, 32 · 109desint · s−1

A = 2, 50 · 10−10 2 · 10−3

2386, 023 · 1023 = 1, 26 · 109desint · s−1

15. Un ele trón es a elerado hasta que su masa es dos ve es su masa en reposo. Determine: a) La

energía inéti a que al anza el ele trón. b) La velo idad a la que ha sido a elerado. Datos: masa

del ele trón, me = 9,11·10−31kg; Velo idad de la luz en el va ío, = 3·108 m s

−1

49


Respuesta:

a) La energía inéti a relativista es : Ec = mc2 −m0c2 = 2m0c

2 −m0c2 = m0c

2 = 9, 11 · 10−31(3 · 108)2 = 8, 2 · 10−14

b) La velo idad se dedu e de:

2m0 = γm0 =1

√

1− v2

c2

= v = 0, 866 c

16. Un plátano ontiene un promedio de 600 mg de potasio. El ontenido medio del isótopo radia tivo

40K en una muestra de potasio es de un 0,012% en masa. El periodo de semidesintegra ión del

40Kes de 1, 28 · 109 años. a) Determine la onstante de desintegra ión y el tiempo de vida media del

40K.b) Cal ule la a tividad media de un plátano. ¾Cuál sería el umbral mínimo de dete ión de un

dete tor de radia tividad de un aeropuerto, en Bq, para que suene la alarma al pasar diez plátanos?

Datos: masa atómi a del

40K : 39,96 u; Número de Avogadro, NA = 6,02·10

23mol

−1

Respuesta:

a) La onstante de desintegra ión es:

λ =0, 693

T=

0, 693

1, 28 · 109 = 5, 41 · 10−10anos−1

la vida media tiene la expresión:

τ =1

λ=

1

5, 41 · 10−10= 1, 85 · 109anos

b) La masa de

40K en un plátano es 0, 6 · 1, 2 · 10−4 = 7, 2 · 10−5g. El valor de λ deber expresarse

en s

−1, siendo éste:

λ =5, 41 · 10−10

365 · 86400 = 1, 72 · 10−17s−1

La a tividad media es:

A = λN = 1, 72 · 10−17 7, 2 · 10−5

39, 96· 6, 023 · 1023 = 18, 63Bq

El umbral mínimo de dete ión sería: Ud = 10 · 18, 63 = 186, 3 Bq

17. Si iluminamos un ierto material on una luz de longitud de onda l = 589 nm se liberan ele trones

on una energía inéti a máxima de 0,577 eV. Por otro lado al iluminarlo on luz ultravioleta de

longitud de onda l = 179,76 nm, la energía inéti a máxima de los ele trones emitidos es 5,38 eV.

Determine: a) El valor de la onstante de Plan k y el trabajo de extra ión del material. b) La

longitud de onda de de Broglie del ele trón on energía inéti a máxima para el aso en el que

se ilumine el material on la luz ultravioleta. Datos: Valor absoluto de la arga del ele trón, e =

1,6·10−19C; Masa en reposo del ele trón, me = 9,1·10−31

kg; Velo idad de la luz en el va ío, =

3·108 m s

−1.

Respuesta:

a) Apli ando la e ua ión del efe to fotoelé tri o para ambas radia iones, tendremos:

h · 3 · 1085, 89 · 10−7

= Wext + 0, 577 · 1, 6 · 10−19

h · 3 · 1081, 79 · 10−7

= Wext + 5, 38 · 1, 6 · 10−19

Restando la primera e ua ión a la segunda, nos queda:

h

(

3 · 1081, 79 · 10−7

− 3 · 1085, 89 · 10−7

)

= 1, 6 · 10−19(5, 38− 0, 577) h = 6, 59 · 10−34 J · s

50


Sustituyendo este valor en una de las dos igualdades (por ejemplo, en la primera, y despejando,

tendremos:

Wext =6, 59 · 10−34 · 3 · 108

5, 89 · 10−7− 0, 577 · 1, 6 · 10−19 = 2, 43 · 10−19 J

b) La velo idad del ele trón será:

v =

√

2 · 5, 38 · 1, 6 · 10−19

9, 1 · 10−31= 1, 38 · 106m · s−1

La longitud de onda de De Broglie tendrá, enton es, el valor:

λ =6, 59 · 10−34

9, 1 · 10−31 · 1, 36 · 106 = 5, 32 · 10−10m

18. Una muestra de madera de un sar ófago se ha datado mediante el método del

14C on una edad de

3200 años. En la muestra se ha dete tado que la antidad de

14C ha disminuido, respe to de la que

había originariamente, un 32%. a) Cal ule la vida media del

14C y el periodo de semidesintegra ión.

b) Si la muestra a tual ontiene una masa de 8 g de

14C, ¾qué a tividad presenta di ha muestra?

Datos: Número de Avogadro, NA= 6,02·1023 mol−1; Masa atómi a del

14C, M = 14,0 u.

Respuesta:

a) El número de nú leos ini iales, N0 habrá quedado redu ido a 0,68·N0, por lo que podremos

es ribir:

0, 68N0 = N0e−λ·3200 λ = 1, 21 · 10−4anos−1

El periodo de semidesintegra ión y la vida media serán, respe tivamente:

T =0, 693

λ=

0, 693

1, 21 · 10−4= 5750 anos τ =

1

λ=

1

1, 21 · 10−4= 8264, 5 anos

b) La onstante radia tiva, expresada en s

1tendrá el valor: λ =

1, 21 · 10−4

365 · 86400 = 3, 84 · 10−12 s−1. El

número de átomos de la muestra a tual será:

N =8

146, 02 · 1023 = 3, 44 · 1023 atomos

Con lo que la a tividad será:

A = λN = 3, 84 · 10−12 · 3, 44 · 1023 = 1, 32 · 1012Bq

19. Un haz mono romáti o de fotones de 1,5 eV de energía in ide sobre una super ie metáli a de

donde se extraen ele trones on energía inéti a máxima de 8·10−20J. Determine: a) El trabajo

de extra ión del metal y el módulo del momento lineal máximo de los ele trones. b) La longitud

de onda de los fotones del haz y la longitud de onda mínima aso iada a los ele trones emitidos.

Datos: Carga del ele trón (valor absoluto), e =1,60·10−19C; Masa del ele trón, me= 9,11·l0−31

kg;

Constante de Plan k, h = 6,63·10−34J s; Velo idad de la luz en el va ío, = 3·108 m s

−1

Respuesta:

a) La energía de la radia ión in identes es: E = 1,5·1, 6 ·10−19 = 2, 4 ·10−19J. Apli ando la e ua ión

del efe to fotoelé tri o, tendremos que:

2, 4 · 10−19 = Wext + 8 · 10−20 Wext = 1, 6 · 10−19 J

La velo idad de los ele trones se al ula a partir de:

8 · 10−20 =1

29, 11 · 10−31v2 v = 4, 19 · 105m · s−1

51


El momento lineal de los ele trones será, pues:

p = mv = 9, 11 · 10−31 · 4, 19 · 105 = 3, 82 · 10−25kg ·m · s−1

b) La longitud de onda de los fotones del haz es:

λ =hc

E=

6, 63 · 10−34 · 3 · 1082, 4 · 10−19

= 8, 29 · 10−7m

La longitud de onda aso iada a los ele trones emitidos es:

λ =h

p=

6, 63 · 10−34

3, 82 · 10−25= 1, 73 · 10−9m

20. Es sabido que para datar la antigüedad de muestras arqueológi as se utiliza la medida de átomos

14C

residuales en la muestra. En una muestra arqueológi a de 3 kg se ha dete tado que la on entra ión

residual de

14C, respe to de la on entra ión ini ial, es de un 5%. Sabiendo que la onstante de

desintegra ión del

14C es 1,24·10−4

años

−1y que su abundan ia relativa en masa en la muestra es

del 10

−4%, determine: a) El tiempo de vida media del

14C y la antigüedad de la muestra. b) La

a tividad a tual de la muestra y el periodo de semidesintegra ión obtenido razonadamente a partir

de su deni ión. . Datos: Número de Avogadro, NA = 6,02·1023 átomos mol

−1; Masa atómi a del

14C, M = 14 u.

Respuesta:

a) La vida media del este isótopo será:

τ =1

λ=

1

1, 24 · 10−4= 8064, 5 anos

En una masa de 3 kg existirá, ini ialmente, una antidad de

14C : m = 3·103 · 10−6 = 3 · 10−3g. El

número ini ial de nú leos de este isótopo será:

N0 =3 · 10−3

146, 02 · 1023 = 1, 29 · 1020

Mientras que, al abo de un tiempo t, en número de nú leos se habrá redu ido al 5%, es de ir:

N = 0, 05N0 = 0, 05 · 1, 29 · 1020 = 6, 45 · 1018nucleos

El tiempo t trans urrido (antigüedad de la muestra se al ula a partir de:

6, 45 · 1018 = 1, 29 · 1020 e−1,24·10−4t t = 24159 anos

b) La onstante de semidesintegra ión, expresada en s

−1es: λ =

1, 24 · 10−4

365 · 86400 = 3, 93 · 10−12s−1. La

a tividad a tual de la muestra es:

A = λN = 3, 93 · 10−12 · 6, 45 · 1018 = 2, 54 · 107Bq

El periodo de semidesintegra ión será:

T =0, 693

λ=

0, 693

1, 24 · 10−4= 5589 anos

52

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