Üç boyutlu uzayda bazı yüzeyler ve koordinat sistemleri

Amaçlar

Bu üniteyi çalıştıktan sonra;• Küresel Koordinatlar• Silindirik Koordinatları• Dönel Yüzeylerin Elde Edilmesi• Silindir ve Koninin Denkleminin Bulunması• Koniklerle İlişkilendirilen Bazı Yüzeyleri

İçindekiler

• Giriş 205• Silindirik Koordinatlar 207• Silindir 214• Koni 215• Bazı Önemli İkinci Dereceden Yüzeyler 216• Özet 220• Değerlendirme Soruları 221

ÜNİTE

10Üç Boyutlu Uzayda BazıYüzeyler ve KoordinatSistemleriYazarDoç.Dr. Hüseyin AZCAN

A N A D O L U Ü N İ V E R S İ T E S İ

Çalışma Önerileri

Bu üniteyi çalışmadan önce; • Uzayda dik koordinatları tekrarlayınız.• Düzlemde kutupsal koordinatları tekrarlayınız.• Lise yıllarından bildiğiniz silindir, küre, koni gibi geometrik

nesneleri tekrar inceleyiniz.

A Ç I K Ö Ğ R E T İ M F A K Ü L T E S İ

1. Girişİkinci bölümde üç boyutlu uzayda kartezyen koordinat sistemi ile donatdık. Bukoordinat sisteminin öteleme, dönme ve afin eşdeğerlerini bir kenara bırakacakolursak, uzay değişik amaçlar için farklı şekillerde koordinatlanabilir. Kartezyenkoordinat sistemi bizim işimizi görmekle birlikte, eğer uzayda verilen nesnenin(genelde yüzeyin) denklemini sade ve basit bir biçimde ifade edelemiyebilir. Örne-ğin, düzlemde gördüğümüz kutupsal koordinat sisteminde bir çemberin denkle-mi düzlemin kartezyen koordinatlardaki denklemine göre çok sade bir formdadır.Yine vurgulayacak olursak düzlemde (0, 0) merkezli R yarıçaplı bir çemberin kar-tezyen koordinat sisteminde denklemi x2 + y2 = R2 olmasına karşın, kutupsal koor-dinat sisteminde ki denklemi r = R dir.

Kartezyen denklem: x2 + y2 = R2

Kutupsal denklem: r = R

Bu kutupsal koordinatlar benzer şekilde üç boyutlu uzayda genişletilebilir, bunaküresel koordinatlar denir. Şimdi üç boyutlu uzayı küresel koordinatlar ile koor-dinatlayalım.

Uzayda bir X = (x0 , y0 , z0) noktası alalım.

Ü Ç B O Y U T L U U Z A Y D A B A Z I Y Ü Z E Y L E R V E K O O R D İ N A T S İ S T E M L E R İ 205

x

y

(0,0)

R

●

●

z

D

C

y

x

A●

∅

θ

B●

r

0

X = xo , yo , zo = (r, θ, ∅)

zo

yo

xo


Bu alınan (x0 , y0 , z0) noktasını (r, θ, ∅) şeklinde koordinatlayabiliriz. Buradar alınan X noktasının başlangıç noktasına uzaklığı, dolayısıyla r>0 dır. θ ise Xnoktasını başlangıç noktasına birleştiren doğrunun xy koordinat düzlemine dik iz-düşümü olan doğrununX ekseni ile yaptığı açını (radyan) ölçüsü, dolayısıyla buaçı 0 ≤ θ ≤ 2π dir. Son olarak ∅ ise X noktasını başlangıç noktasına birleştirendoğru ile xy düzlemi arasında kalan açı, dolayısıyla bu açı

(x0 , y0 , z0) ile (r, θ, ∅) arasındaki ilişkiler de aşağıdaki şekilde elde edilebilir.

0XA dik üçgeninde

dir. Diğer taraftan XA = |z0| olduğundan z0 = r sin∅ olarak elde edilir. Dik-

kat edilirse ∅ ≥ 0 ise z0 ≥ 0 ve ∅ ≤ 0 ise z0 ≤ 0 olduğundan z0 = r sin∅

formülünde ∅ açısı z0 ın işaretini de verir. Öte yandan 0AB dik üçgeninde

0A = r cos ∅ yazılırsa x0 = 0B = 0A cos ∅

cosθ yine aynı 0AB dik üçgeninde

elde edilirler. Özetle (r, θ, ∅) den (x0 , y0 , z0) geçiş x0 = r cos ∅ cos θ , y0 = r

cos ∅ sin θ ve z0 = r sin ∅ olarak elde edilir. Uzayda bazı noktaların küressel

koordinatları aşağıdaki şekildeki gibi işaretlenebilir.

Aslında yukarıdaki koordinatlama (0, 0, 0) noktasını koordinatlayamaz çünkü r= 0 dır. Bu noktayı ayrıca şu şekilde koordinatlayabiliriz. x = (0, 0, 0) ⇔ r = 0, θ= 0, ∅ = 0 denilirse küresel koordinatlarla donatılan uzay ile dik koordinatlarladonatılan uzay arasında ilişki kurulmuş olur. Bu işlemin tersine (x0 , y0 , z0) dır (x, θ,∅) yi aşağıdaki şekilde elde edebiliriz.

Ü Ç B O Y U T L U U Z A Y D A B A Z I Y Ü Z E Y L E R V E K O O R D İ N A T S İ S T E M L E R İ206

- π2

≤ ∅ ≤ π2

dir.

cos ∅ = 0Ar ⇔ 0A = r cos∅ ve sin∅ = XA

r ⇔ XA = r sin∅

cos θ = 0B0A

⇔ 0B = 0A cos θ olur.

sin θ = AB0A

⇔ AB = 0A sin = θ = r cos∅ sinθ

z

y

x

1

1, 4

, 4

●

4

/4

r = x02 + y02 + z02

r = 0 ise θ = 0, ∅ = 0r ≠ 0 ise


2. Silindirik KoordinatlarKüresel koordinatlar gibi doğrusal olmayan bir diğer yaygın kullanıma sahip ko-ordinat sistemi de silindirik koordinatlardır. Silindirik koordinatlar da yine düz-lemin kutupsal koordinatlarının üç boyutlu uzaya genişletilmesi gibi düşünülebi-lir.


Örneğin küresel kooordinatlardaki 2 , π2

, π3

noktasının kartezyen koordinat-

larını bulalım.

x0 = r cos ∅ cos θ = 2 cos π3

cos π2

= 0 y0 = r sin θ cos ∅ = 2 sin π

2 cos π

3 = 1

z0 = r sin ∅ = 2 sin π

3 = 3

den 0 , 1 , 3 elde edilir.

Kartezyen koordinatlarda verilen 12

, 12

, 12

noktasının küresel koardinatla-

rını bulalım.

r = x02 + y02 + z02 = 14

+ 14

+ 12

= 1

∅ = sin-1 - 1

21

= π4

θ = tan-1 1212

= π4

x0 > 0, y0 > 0 olduğu için

O halde noktanın küresel koordinatları 1 , π4

, - π4

elde edilir.

∅ = sin-1 z0r ∅ ∈ - π

2 , π

2 olduğundan iyi tanımlıdır

θ = tan-1 y0x0

x0 ≥ 0, y0 ≥ 0 ⇒ θ ∈ 0 , π2

x0 ≤ 0, y0 ≤ 0 ⇒ θ ∈ π

2 , π

x0 ≥ 0, y0 ≤ 0 ⇒ θ ∈ π

3 , 3π

2 x0 ≥ 0, y0 ≤ 0 ⇒ θ ∈ 3π

2 , 2π


Kartezyen koordinatları X = (x0 , y0 , z0) olarak verilen bir noktayı (r, θ, z) ola-rak aşağıdaki şekilde koordinatlayabiliriz.

Bu koordinatlamada r alınan X noktasını başlangıç noktasına birleştiren doğru-nun x y düzlemine olan dik üzdüşümünün uzunluğu, dolayısıyla r > 0 dır. θ isebu dik izdüşümün x ekseni ile yaptığı açı, dolayısıyla 0≤ θ< 2π dir. Son ola-rak ise OX doğrusunun z ekseni üzerine olan dik izdüşümünün işaretli uzunluğuz = z0 dır.

Bu durumda kartezyen koordinatlarda verilen bir (x0, y0, z0) noktasının (r , ∅,z) silindirik koordinatları aşağıdaki şekilde bulunur.

Tersine silindirik koordinatlarda verilen bir (r, θ, z) noktasının kartezyen koor-dinatları (x0, y0, z0) aşağıdaki şekilde bulunabilir.

z0 = z x0 = r cosθ , y0 = r sinθ

Örneğin silindirik koordinatlarda noktasının kartezyen koordinatla-rı (x0, y0, z0) ı bulalım:

O halde istenilen nokta noktasıdır.

Son olarak silindirik ve küresel koordinatlar arasındaki ilişkiyi netleştirelim. Aynıbir (x0 , y0 , z0) noktasının küresel koordinatı (r, θ, ∅) ve silindirik koordina-tı (r', θ', z) ise ilişkiler:


y

A

B0

C

y

z

r

(x , y , z ) = X0 0 0

θ

r = x2 + y02 θ = cos-1 x0

x02 + y02 = sin-1 y0

x02 + y02

z = z0

1, π3

, -1

z0 = -1 , x0 = 1 cos π3

= 12

, y0 = 1 sin π3

= 32

12

, 32

, -1


formülleri ile silindirik koordinatlardan küresel koordinatlara geçilir. Küresel ko-ordinatlarda silindirik koordinatlara ise

formülleri ile geçilir. Bu formülleri biz yalnızca ifade ettik. Siz de uygun dik üçgen-leri göz önüne alarak bu formülleri kanıtlayınız.

Üç boyutlu uzayda koordinat sistemlerini kabaca bu şekilde gördükten sonrauzayda yüzeylere kısa bir göz gezdirelim.

2.1. Yüzeyler

Uzayda bir yüzeyin tanımını şu şekilde yapabiliriz.

f : U ⊆ R2 → R3 sürekli bir fonksiyonunun R3 deki f(U) görüntüsüne R3 debir yüzey denir. Eğrilerdeki kötü kullanım burada da aynı şekilde kendini gösterir.Çoğunlukla görüntüyü belirleyen f fonksiyonunun kendisine yüzey denir. Bu şe-kilde

f : U ⊆ R2 → R3 , f(λ, µ) = (x (λ, µ) , y (λ, µ) , z (λ, µ))

şeklinde verilişi aslında çoğu zaman yüzeyin parametrik biçimi denir. Aynı biryüzey parametre uzayı ve fonksiyon değişik biçimlerde seçilerek farklı şekillerdeifade edilebilir. Örneğin:

f : R2 → R3

(λ, µ) → (2λ , 1 + µ + λ , λ - µ)

bir yüzeydir. Burada:

x = 2λ , y = 1 + λ + µ ve z = λ - µ

şeklindedir. x = 2λ ve z = λ - µ denklemlerinden λ ve µ yü x ve z cinsinden çö-zersek,

elde edilir. Bu değerler y = 1 + λ + µ denkleminde yerine konulursa

elde edilir. Bu şekilde parametreler yok edilerek elde edilen


θ* = θ* ' , r2 = r' 2 + z2 , ∅ = tan-1 z

r'

θ' = θ , z = r sin∅ , r' = r2 - z2

λ = x2

ve µ = x2

- z

y = 1 + x2

+ x2

- z ⇔ y = 1 + x - z


F(x, y, z) = 0

şeklinde ifadeye yüzeyin kartezyen formu denir. Eğer kartezyen formdaki F(x, y, z) ifadesi n-inci dereceden x, y, ve z ye bağlı bir polinom ise F(x, y, z) = 0 denk-lemiyle verilen yüzeye n-inci dereceden bir cebirsel yüzey denir.

Örneğin

xy - 2x3 - z2y = 0

denklemiyle verilen yüzey üçüncü dereceden cebirsel bir yüzeydir. Yüzeylerin te-orisi yüzeylere göre çok daha zordur. Doğal olarak burada ilk bakılacak yüzeylerbirinci dereceden cebirsel yüzeylerdir. Yani a, b, c, d ∈ R olmak üzere kartezyenformu

ax + by + cz + d = 0

şeklinde verilen yüzeylerdir. Bu yüzeylerin bir düzlem gösterdiğini bir önceki bö-lümde görmüştük (Eğer a, b ve c değerleri sıfır ise boş küme gösterir). Genelde F(x,y, z) = 0 ifadesi ile verilen bir yüzeyi canlandırmak (en azından nasıl bir şey olduğu-nu hayal etmek) hiç de kolay değildir. Bu bağlamda öncelikle yüzeyleri düzlemseleğrilerden türetmeyi düşünebiliriz. Bunun ilk şekli ise belki daha önceki yıllardanadını duyduğunuz dönel yüzeylerdir.

2.2. Dönel Yüzeyler

Dönel yüzeyler xz koordinat düzleminde verilen bir y = 0, F(x, y, z) = 0 eğrisinin zekseni etrafında döndürülmesi ile oluşan yüzeydir. Burada farklı koordinat düz-lemlerindeki eğrilerin farklı eksenler etrafında döndürülmesiyle de dönel yüzey-ler elde edilebilir. Şimdi bir dönel yüzey örneği elde edelim.

Uzayda x = 1 , y = 0 , z ∈ R denklemleriyle verilen doğruyu z ekseni etra-fında döndürelim. Bu dönme esnasında


θ

Zx = 1

y = 0

(x , y , z)

x

(x cos θ - y sin θ , x sin θ + y cos θ , z)


• z koordinatı değişmez• z - ekseni etrafında dönme aslında xy düzleminin ve ona paralel bütün

düzlemlerin dönmesidir.

O halde xy koordinat düzlemindeki dönmenin paralel düzlemler boyunca uygu-lanmasından başka bir şey değildir.

x y düzleminin θ radyan dönmesi sonucu elde edilen yeni noktaların koordi-natları


dır. Bizim doğrunun her noktasında x = 1 , y = 0 olduğundan dönmüş nokta (cosθ , sin θ , z) dır. z yi sabit bırakıp xy düzlemini θ radyan döndürdük. Ohalde dönel yüzeyin denklemi

{ (x , y , z) | x = cos θ , y = sin θ , z ∈ R , θ ∈ [0 , 2π] }

olmalıdır. θ ∈ [0 , 2π] alarak bütün dönmeleri yeni yüzeyin elemanı yap-tık. x2 + y2 = sin2 θ + cos2 θ = 1 olduğundan yüzeyin kartezyen denklemi R3 de

x2 + y2 = 1 , z ∈ R

ifadesi ile verilir. (Bu yüzeyin bir dik silindir olduğunu sanırım fark ediyorsunuz-dur).

Şimdi benzer yolla bir koninin denklemini elde edelim:


Z

x

y

z = 2xy = 0x 0

(x , y , z) = (x , 0 , 2x)θ


Kolay olsun diye koninin köşesini başlangıç noktası alıp uzayda z = 2x , y = 0 , x ≥ 0yarı doğrusunu z -ekseni etrafında döndürelim. Şekilden de görüldüğü gibiz = 2x , y = 0 doğrusu üzerinde koniye ait bir noktanın koordinatları (x , 0 , 2x) dir.(Doğru denkleminin bir sonucu olarak.)

Yine keyfi bir (x , y , z) noktasının z -ekseni etrafında θ radyan döndürürsekyeni nokta


olur. Burada y = 0 , z = 2x alınırsa θ ∈ [0 , 2π] ve x ≥ 0 olmak üzere iste-nilen koninin denklemini elde etmiş oluruz. O halde koni üzerinde keyfi bir nokta

(x cos θ , x sin θ , 2x) | θ ∈ [0 , 2π] , x ≥ 0 olur. Yani koni üzerinde keyfibir (X , Y , Z) noktası X = x cos θ , Y = x sin θ , Z = 2x denklemlerini sağlar.

denklemini elde etmiş oluruz. x ≥ 0 olduğundan yeni denklemde de Z ≥ 0 dır.

Şimdi benzer yolla R yarı çaplı bir küre yüzeyinin denklemini yazalım:


x = Z2

yazılırsa:

X = Z2

cosθ , Y = Z2

sinθ ⇔ 2X

Z = cosθ , 2Y

Z = sinθ

⇔ 2X

Z2 + 2Y

Z2 = 1

⇔ 4

Z2 X2 + Y2 = 1 ⇔ 4 X2 + Y2 = Z2

z

x

y

x = R2 - z2 , y = 0


Bu yüzeyde , y = 0 yarı çemberinin z ekseni etrafında döndürül-mesiyle elde edilebilir. O halde θ radyanlık dönme xy düzlemine paralel her düzle-me uygulanıp z de sabit bırakıldığında elde edilen yeni koordinatlar:

(xcosθ - ysinθ , xsinθ + ycosθ , z)

elde edilir. Yani küre kabuğu üzerindeki keyfi bir (X, Y, Z) noktasında

dir. Buradan

X2 + Y2 + Z2 = (R2 - z2)cos2 θ + (R2 - z2) sin2 θ + z2

= (R2 - z2) (cos2 θ + sin2 θ) + z2

= R2 - z2 + z2

= 1

elde edilir. O halde (0, 0, 0) merkezli R yarıçaplı küre yüzeyinin denklemi

X2 + Y2 + Z2 = R2

dir.

Şimdi biraz daha zorca bir yüzey olan (susamsız) simit yüzeyinin denklemini eldeedelim.

R > r olmak üzere simit yüzeyi (R + r, 0, 0) merkezli, r yarıçaplı (x - R - r)2 +z2 = r2 , y = 0 çemberinin z ekseni etrafında dönmesi ile elde edilebilir. O hal-de z nin sabit kalması koşuluyla (x, y, z) noktasının dönme altındaki görüntüsü:


x = R2 - z2

olur. y = 0 ve x = R2 - z2 alınırsa; R2 - z2 cosθ , R2 - z2 sinθ , z

X = R2 - z2 cosθ , Y = R2 - z2 sinθ , Z = z

z

x

y

R

(R + r, 0, 0)

r

R > r

(x - R - r) 2 + z2 = r2

y = 0

●


(xcosθ - ysinθ , xsinθ + ycosθ , z)

olur. Burada y = 0 yazılırsa

(xcosθ , xsinθ , z)

şeklini alır. O halde simit yüzeyi üzerindeki keyfi bir (X, Y, Z) noktasının koordi-natları θ ∈ [0, 2π) ve (x - R - r)2 + z2 = r2 olmak üzere

X = xcosθ , Y = xsinθ , Z = z

dir. Burada F(X, Y, Z) = 0 olarak yazmak yerine kolay olan parametrik formu yaza-lım.

(x - R - r)2 + z2 = r2 ⇔ x = (R + r) + rcos γz = rsinγ

(çember parametrizasyonu) ifadelerinden

X = ((R + r) + rcosγ) cosθ , Y = ((R + r) + rcosγ) sinθ ve Z = rsinγ

olan simit yüzeyinin parametrik gösterimi elde edilmiş olur.

Sanırım bu yöntemle çok zor gibi görünen çoğu yüzeyin denklemleri kısmen de ol-sa rahatlıkla nasıl çıkarabileceğinizi anlamışsınızdır. Bütün bu örnek verdiğimizyüzeylerin temel bir ortak noktaları bu yüzeylerin bir simetri eksenleri vardır.

3. SilindirUzayda bir yüzey elde etmenin diğer bir önemli yolu da uzayda verilen bir l doğ-rusunu verilen bir uzay eğrisi l üzerinde paralel kaydırmaktır. Bu paralel kaydır-ma esnasında l doğrusunun süpürdüğü yüzeye bir silindir, buradaki l eğrisine si-lindirin dayanak eğrisi ve l doğrusuna da silindirin doğrultmanı denir. Önemliolan paralel kaydırma olduğu için doğrudan ziyade doğrultu buradaki önemlikavramdır. Bu doğrultuyu (vektörü) v ile gösterirsek yüzey üzerindeki genel birnoktadan v vektörü doğrultusundaki doğru üzerinde keyfi bir noktadır. Sembolikolarak bunlar şöyle yapılabilir. A ve B verilen l doğrusu üzerinde iki nokta ise

olarak alınabilir. Uzayda bir (x0, y0, z0) noktasın-dangeçen ve doğrultusu v ile verilen doğrunun denkleminin

x = x0 + λv1

y = y0 + λv2

z = z0 + λv3


v = B - A = AB = v1, v2, v3


olduğunu biliyoruz. Eğer l eğriside (x(t), y(t), z(t)) parametrik formunda verilmişolduğunu kabul edersek yüzeyin üzerindeki keyfi bir noktanın koordinatları(X,Y,Z) şu şekildedir:

X = x(t) + λv1Y = y(t) + λv2Z = z(t) + λv3

Örnek

Dayanak eğrisi (2t, 4t2 - 1, sint) ve doğrultmanı, silindirin denklemini bulunuz.

Çözüm

Doğru üzerindeki keyfi iki nokta A = (0, 0, 0) ve B = (2, 3, 1) olarak alınabilir. O hal-de Şimdi (2t, 4t2 - 1, sint) noktasında doğrultusunda-ki doğru:

X = 2(t) + λ . 2Y = 4t2 - 1 + λ . 3Z = sint + λ . 1

koordinatları ile verilir. O halde yüzey (silindir)

{ ( 2t + 2λ, 4t2 - 1 + 3λ, sint + λ) | λ, t ∈ R}

olarak verilir.

4. KoniUzayda yüzey elde etmenin bir başka şeklide şöyledir. l uzayda bir eğri ve P =(p1 , p2 , p3) de l üzerinde olmayan bir nokta olsun. P den ve l eğrisinin üzerin-de bir noktadan geçen bir l doğrusunun l üzerinde P noktası sabit bırakılarak kay-dırılması suretiyle elde edilmesidir. Bu tipten yüzeye bir koni ve P noktasına koni-nin köşesi ve l ya da koninin dayanak eğrisi denir. Eğer l nin bir noktası (x(t), y(t),z(t)) ve P = (p1, p2, p3) olarak verilirse koninin keyfi bir (X, Y, Z) noktasınınkoordinatları

X = p1 + λ(x(t) - p1)Y = p2 + λ(y(t) - p2)Z = p3 + λ(z(t) - p3)

ile verilir.


x2

= y3

= z doğrusu olan

v = B - A = 2, 3, 1 v


Örnek

Dayanak eğrisi (sint, cost, 1) ve köşesi (0, 0, 0) olan bir koninin denklemini elde edi-niz.

Çözüm

(0, 0, 0) noktasından ve (sint, cost, 1) noktasından geçen bir doğrunun denkleminiyazmak problemin çözümüdür. Bu doğrunun (X, Y, Z) noktası

X = λ sint , Y = λ cost , Z = λ dır.

Silindir ve koni adına regle yüzey denilen daha geniş bir yüzey sınıfının örnekleri-dir. Uzayda bir doğrunun herhangi bir şekilde verilen hareketi sonucu elde edilenyüzeye bir regle yüzey denir. Verilen bir yüzeyin bir regle yüzey olup olmadığınınincelenmesi oldukça detaylı bir iştir. Bu yüzey sınıfını sadece tanımlamakla yetine-ceğiz. Şimdi bu bölümü bazı önemli yüzeylerle bitirelim. Bu yüzeylerin koniklerinüç boyutlu genellemesinden başka bir şey değildir.

5. Bazı Önemli İkinci Dereceden Yüzeyler


⇒ XZ

= sint , YZ

= cost ⇒ X

Z2 + Y

Z2 = 1

⇒ X2 + Y2 = Z2 elde edilir.

Şekil 10.1: Elipsoid

Uzayda a, b, c pozitif gerçel sayılar olmak üzere x2

a2 + y

2

b2 + z2

c2 = 1 denklemi

ile verilen yüzeye (0, 0, 0) merkezli bir elipsoid denir.


Bu yüzeyin ay, xz ve yz düzlemleriyle ara kesitleri sırasıyla

a, b, c pozitif gerçel sayılar olmak üzere

denklemiyle tanımlanan yüzeye bir eliptik parabolid denir. Bu yüzeyin z = 1 düz-lemiyle ara kesiti

elipsi olmasına karşın x = 0 ve y = 0 düzlemleriyle ara kesitleri y2 = b2cx vex2 = a2cx parabolleridir.

Diğer bir önemli yüzey ise yine a, b, c pozitif gerçel sayılar olmak üzere

denklemiyle verilen yüzeye bir hiperbolik paraboloid denir. Bu yüzeyin de z = 1düzlemiyle ara kesiti


x2

a2 + y

2

b2 = 1 elipsi, x2

a2 + z2

c2 = 1 elipsi ve y

2

b2 + z2

c2 = 1 elipsidir.

x2

a2 + y

2

b2 = cz

Şekil 10.2: Eliptik Parabolid

x2

a2 + y

2

b2 = c

x2

a2 - y

2

b2 = cz

x2

a2 - y

2

b2 = c


hiperbolü olmasına karşın x = 0 ve y = 0 düzlemleriyle ara kesitleri sırasıyla

y2 = -b2cx ve x2 = a2cx

parabolleridir.

Son olarak yine a, b, c pozitif gerçel sayılar olmak üzere

eşitliği ile tanımlanan yüzeye tek kanatlı hiperboloid ve


Şekil 10.3: Hiperbolik Paraboloid

x2

a2 + y

2

b2 - z2

c2 = 1

Şekil 10.4: Tek Kanatlı Hiperboloid


eşitliği ile tanımlanan yüzeye çift kanatlı hiperboloid denir. Bir tek kanatlı hiper-boloidin z = 0 düzlemiyle ara kesiti

elipsi olmasına karşın, çift kanatlı hiperboloidin z = 0 düzlemiyle ara kesiti

elipsidir.

Son olarak elips, hiperbol ve parabol eğrilerine neden konik denildiğini görelim.Aşağıdaki şekillerden görüldüğü gibi bu eğriler bir dik koninin düzlem ile arake-sitleri sonucunda oluşan eğrilerdir.


x2

a2 + y

2

b2 = 1

x2

a2 - y

2

b2 = 1

x2

a2 - y

2

b2 - z2

c2 = 1

Şekil 10.5: Çift Kanatlı Hiperboloid


ÖzetBu bölümde daha önce dik koordinatlarda donatılan üç boyutlu uzayın küresel ve silindirikkoordinat sistemleri ile nasıl donatılacağını ve bu koordinat sistemleri arasındaki geçişlerinnasıl olduğunu gördük. Daha sonra uzayda önemli bir yüzey elde etme yöntemi olan dönelyüzeyleri inceleyip koni ve silindiri genel anlamda tanımladık. Son olarak düzlemdeki konikesitleri ile çok yakından ilgili olan elipsoid, eliptik parabolid, hiperbolik parabolid, (tek veçift) kanatlı hiperbolik olarak adlandırılan ikinci dereceden yüzeyleri tanımladık.


Şekil 10.6: Koni Kesitlerinin Bir Dik Koniden Elde Edilmesi

(a) Çember (b) Elips

(c) Parabol (d) Hiperbol


Değerlendirme Soruları1. Kartezyen koodinatları olan noktanın küresel koordinatlarını

bulunuz?

A.

B.

C.

D.

E.

2. Silindirik koordinatları noktasının kartezyen koordinatlarınıbulunuz?

A.

B.

C.

D.

E.

3. y = 0 , x + 2z = 1 doğrusunu z-ekseni etrafında dönmesiyle elde edilen yü-zeyin denklemini yazınız?A. x2 + y2 - 4z2 + 4z = 1B. x2 - y2 - 4z2 + 4z = 1C. x2 + y2 - 4x2 + 4z = - 1D. x2 + 2y2 - 4z2 + 4z = 1E. x2 + 2y2 - 4z2 + 4z = - 1

4. y = 0 z = x2 eğrisini z-ekseni etrafında dönmesiyle elde edilen yüzeyindenklemini yazınız?A. z = x2 + y2

B. 2z = x2 + y2

C. z = 2 (x2 + y2 )D. z = x2 + 2y2

E. z = 2x2 + y2


32

, 12

, - 3

2 , π6

, - π3

2 , - π6

, - π3

2 , π6

, π3

2 , π3

, π6

2 , - π3

, π6

1 , π4

, - 2

- 2 , 12

, 12

12

, 12

, - 2

12

, 1 , - 2

1 , 12

, - 2

1 , 1 , - 2


5. z = x2 + y2 yüzeyi ile x + y = 0 z = 1 eğrisinin ara kesiti nedir?A. (x, - x, z)B. (x, - x, 0)C. (x, - x, 1)D. (x, y, x2 + y2)E. (x2 - z, y2 - z, 1)

6. Doğrultmanı z = 1 x + y + 1 = 0 doğrusu ve dayanak eğrisi (t2 + 1, 2t, t2 - 1) , t ∈R olan silindirin denklemini yazınız?A. (λ2 + 1 + µ , 2 λ - µ , λ2 - 1) B. (λ 2 + 1 , 2 λ - µ , λ 2 + 1)C. (λ2 + µ2 , λ2 - µ2 , 2 λ)D. (λ2 + 3 µ2 , λ - 2µ , λ2 - 1)E. (λ2 + 3 µ2 , λ - 2µ , λ2 + 1)

7. Dayanak eğrisi (t, sint, cost) ve köşesi (1, 1, 1) olan koninin denkleminiyazınız?A. (λ2 , λ sint , λ cost)B. (λ cost + 1 - λ , λ sint + 1 - λ , λt + 1 - λ)C. (λt + 1 - λ , λ sint + 1 - λ , λ cost + 1 - λ)D. (1 , λ sint + 1 - λ , λ cost + 1 - λ)E. (λ sint + 1 - λ , λt + 1 - λ , λ cost + 1 - λ)

8. Aşağıda verilen yüzeylerden hangisi bir tek kanatlı hiperbobiddir?

A.

B.

C.

D.

E.

9.

A. x2 = 24 z , y = xB. z2 = 24 x , y = xC. z2 = - 24 x , y = xD. x2 = - 24 z , y = xE. xz = 24 , y = x


x2

2 + y

2

4 - z2

5 = 1

x2

2 - y

2

4 - z2

5 = 1

x2

2 + y

2

4 + z2

5 = 1

x2

2 - y

2

4 - z2

5 = - 1

x y z = 1

x2

4 - y

2

3 = 2z hiperbolik paraboloidinin x + y = 0 düzlemiyle arakesiti

nedir?


10. Aşağıdaki ifadelerden hangileri doğrudur?

a)

b)

c) İki küre yüzeyi bir elips boyunca kesişir ya da ara kesiti boştur.A. {a, b}B. {a}C. {b}D. {a, b, c}E. {b, c}

Değerlendirme Sorularının Yanıtları1. A 2. B 3. A 4. A 5. C 6. A 7. C 8. B 9. D 10. A


x2

9 - y

2

2 + z2 = 1 yüzeyinin başlangıç noktasından geçen bir düzlemle

ara kesi elipstir.

x2

4 - y

2

12 + 3z = 1 yüzeyinin x = 1 düzlemiyle arakesiti bir paraboldür.


Yararlanılan ve Başvurulabilecek KaynaklarELLIS, J.A.; Basic Algebra and Geometry for Scientists and Engineers, John Wi-ley & Sons 1982, ISBN 0 471 10175 3.

KAYA, Rüstem; Analitik Geometri, Anadolu Üniversitesi Basımevi Eskişehir,1992, ISBN975-492-287-X.

RYAN, Patrick J.; Euclıdean and Non-Euclıdean Geometry, Cambrıdge Univer-sity Press 1986, ISBN 0 521 27635 7.

WALKER, Robert J.; Algebraic Curves, Dover Publications, Inc. New York 1950.

224

Üç boyutlu uzayda bazı yüzeyler ve koordinat sistemleri

Documents