uzayda doĞru ve dÜzlem - matematik.academy–abt-uzayda-doğru-ve-düzlem-pdf...analitik uzayda...

2 UZAYDA DOĞRU VE DÜZLEM

Sayfa No

1. BÖLÜM uzayda Bir doğrunun vektÖreL ve paraMetrik denkLeMi . . . . . . . . . . . . . . 71

2. BÖLÜM uzayda dÜzLeM denkLeMLeri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

3. BÖLÜM uzayda Bir noktanIn Bir doğruya uzakLIğI ve iki dÜzLeMin

BirBirine GÖre duruMLarI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

4. BÖLÜM uzayda Bir noktanIn Bir dÜzLeMe uzakLIğI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

5. BÖLÜM uzayda iki dÜzLeM araSIndaki aÇI, doğru ve dÜzLeMin BirBirine GÖre duruMLarI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

71

KAVRAMSAL ADIM

uz

ay

da

do

ğr

u v

e d

Üz

Le

MÜ

nit

e –

2u

zayda B

ir do

ğru

nu

n v

ektörel ve p

arametrik d

enklem

leri1. B

ölü

m

uzayda Bir noktadan GeÇen ve Bir vektÖreparaLeL oLan doğrunun denkLeMi

Uzayda bir P(x0, y0, z0) noktasından geçen ve = (a, b, c)

vektörüne paralel olan l doğrusunun denklemini bulalım.

l // ise l doğrusunun üzerinden değişken bir A(x, y, z) noktası

için dur.

denklemine l doğrusunun vektörel denklemi denir.

vektörel denklemi

(x, y, z) = (x0, y0, z0) + k.(a, b, c) şeklinde yazılabilir.

(x, y, z) = (x0, y0, z0) + (k.a + k.b + k.c)

(x, y, z) = (x0 + k.a, y0 + k.b, z0 + k.c)

denklem sistemi elde edilir.

Bu denklem sistemine l doğrusunun parametrik denklemi denir.

elde edilir.

Bu bağıntıya doğrunun kartezyen denklemi denir.

= (a, b, c) vektörüne doğrunun doğrultman vektörü denir.

Doğrultman parametrelerinden biri sıfır olması durumunda örneğin

= (a, b, 0) şeklinde ise doğru z eksenine diktir.

Parametrik denklemi x = x0 + k.a

y = y0 + k.b

z = z0

şeklindedir. Bu durumda kartezyen denklemi

dır.

Doğrultman vektörü = (a, 0, c) şeklinde ise;

Parametrik denklemi x = x0 + k.a

y = y0

z = z0 + k.c

Kartezyen denklemi , y = y0 dir.

Doğrultman vektörü = (0, b, c) şeklinde ise;

Parametrik denklemi x = x0

y = y0 + k.b

z = z0 + k.c

Kartezyen denklemi

O

u(a,b,c)P(x 0,y 0

,z 0)

AA(x,y,z)

x

y

z

→

u

u

// uPA

// .

– . . .

u k u k R

k u k u elde edilir

PA PA

A P A P

&

& &

!=

= = +

^ h

.k uA P= +

.k uA P= +

O

u(a,b,c)

P(x0,y0,z0)

A

→

.

.

.

x x k a

y y k b

z z k c

0

0

0

= +

= +

= +

_

`

a

bb

bb

– , , – , ,

– , – , –

, ,

x y z x y z

x x y y z z

u a b c

PA A P0 0 0

0 0 0

= =

=

=

^ ^^

^

h hh

h

//– – –

ua

x x

b

y y

c

z zPA 0 0 0

& = =

u

u

– –,

a

x x

b

y yz z0

00 = =

u

– –

a

x x

c

z z0 0=

u

,– –

.x xb

y y

c

z zdir0

0 0= =

UZAYDA BİR DOĞRUNUN VEKTÖREL VE PARAMETRİK

DENKLEMLERİ

BÖLÜM

1

72

KAVRAMSAL ADIM

uz

ay

da

do

ğr

u v

e d

Üz

Le

MÜ

nit

e –

2u

zayda B

ir do

ğru

nu

n v

ektörel ve p

arametrik d

enklem

leri1. B

ölü

m

Sonuç:

Uzayda herhangi bir P(x0, y0, z0) noktasından geçen ve

= (a, b, c) vektörüne paralel olan doğrunun

i. Vektörel denklemi; (x, y, z) = (x0, y0, z0) + k.(a, b, c); k ∈ R

ii. Parametrik denklemi; x = x0 + k.a

y = y0 + k.b

z = z0 + k.c dir.

iii. Kartezyen denklemi; dir.

2.1.2. uzayda iki noktası verilen doğrunun denklemi

Uzayda P(x0, y0, z0) ve B(x1, y1, z1) noktaları verilsin. P ve B

noktalarından geçen l doğrusunun denklemini bulalım.

l doğrusunun üzerinde keyfi bir A(x, y, z) noktası için.

(x, y, z) – (x0, y0, z0) = k[(x1, y1, z1) – (x0, y0, z0)]

(x – x0, y – y0, z – z0) = k.(x1 – x0, y1 – y0, z1 – z0)

denklemi iki noktadan geçen doğrunun vektörel denklemidir.

(x – x0, y – y0, z – z0) = k.(x1 – x0, y0 – y0, z1 – z0)

denklem sistemi iki noktadan geçen doğrunun parametrik

denklemleridir.

dir.

olduğundan

bağıntısı iki noktadan geçen

doğrunun kartezyen denklemidir.

A(2, –1, 4) noktasından geçen ve vektörüne paralel

olan doğrunun denklemini bulalım.

Doğrunun değişken bir noktası P(x, y, z) olsun.

dir.

(x, y, z) = (2, –1, 4) + k.(4, 7, 1)

(x, y, z) = (2, –1, 4) + (4k, 7k, k)

(x, y, z) = (2 + 4k, –1 + 7k, 4 + k)

⇒ x = 2 + 4k, y = –1 + 7k, z = 4 + k parametrik denklemi elde

edilir. Buradan,

yazılabilir.

O halde doğrunun kartezyen denklemi

bulunur.

u

– – –

a

x x

b

y y

c

z z0 0 0= =

O

A(x,y,z)

x

y

z

P

B(x 1, y 1

, z 1)

P(x 0, y 0

, z 0)

.

– . –

k

k

PA PB

A P B P

=

= ^ h

– . – . –

– . – . –

– . – . –

x x k x x x x k x x

y y k y y y y k y y

z z k z z z z k z z

0 1 0 0 1 0

0 1 0 0 1 0

0 1 0 0 1 0

&

&

&

= = +

= = +

= = +

^ ^^ ^^ ^

h hh hh h

_

`

a

bb

bb

. //kPA PB PA PB&=

– , – , –x x y y z zPA0 0 0

= ^ h

P x – x , y – y , z – zB1 0 1 0 1 0

= ^ h

–

–

–

–

–

–

x x

x x

y y

y y

z z

z z

1 0

0

1 0

0

1 0

0= =

ETK‹NL‹K

, ,u 4 7 1= ^ h

. ,r r k u k ROP OA AP 0& != + = +

–, , –

xk

yk z k

42

7

14=

+= =

––

x yz

42

7

14=

+=

u (4, 7, 1)

O

r0

A(2, –1, 4

)

r

P(x, y, z)

73

UYGULAMA ADIMI

uz

ay

da

do

ğr

u v

e d

Üz

Le

MÜ

nit

e –

2u

zayda B

ir do

ğru

nu

n v

ektörel ve p

arametrik d

enklem

leri1. B

ölü

m

1. Uzayda bir A(–1, 3, 4) noktasından geçen ve = (2, 1, 2)

vektörüne paralel olan doğrunun vektörel denklemini bulalım.

Çözüm:

Doğrunun üzerindeki herhangi bir nokta P(x, y, z) olsun.

olduğundan , k ∈ IR dir.

– = k.

= (–1, 3, 4) + k.(2, 1, 2) doğrunun vektörel denklemidir.

2. Uzayda bir A(–4, –1, 3) noktasından geçen ve = (–1, 3, 2)

vektörüne paralel olan doğrunun parametrik denklemini bula-

lım.

Çözüm:

P(x, y, z) doğru üzerinde herhangi bir nokta olmak üzere,

= + k. , k ∈ R doğrusunun vektörel denklemidir.

= (–4, –1, 3) + k . (–1, 3, 2)

(x, y, z) = (–4, –1, 3) + k.(–1, 3, 2)

(x, y, z) = (–4 – k, –1 + 3k, 3 + 2k)

doğrusunun parametrik denklemidir.

3. Uzayda bir A(0, –2, 5) noktasından geçen ve = (–3, 5, –2)

vektörüne paralel olan doğrunun kartezyen denklemini

bulalım.

Çözüm:

Uzayda A(x0, y0, z0) noktasından geçen ve = (a, b, c) vek-

törüne paralel olan doğrunun kartezyen denklemi

dir. Buradan doğru denklemi

k ∈ IR dir.

4. doğrusunun doğrultman vektörlerinden

birini bulalım.

Çözüm:

A(x0, y0, z0) noktasından geçen ve = (a, b, c) vektörüne

paralel doğrunun denklemi

k ∈ R olduğundan

doğrusunun doğrultman vektörü

= (3, 4, 1) veya ne paralel vektörlerden biri olabilir.

5. Uzayda denklemi doğrusunun doğ-

rultman vektörlerinden birini bulalım.

Çözüm:

olduğundan doğrultman vektörü

olarak alınabilir.

6. Uzayda denklemi olan doğrunun doğrult-

man vektörlerinden birini bulalım.

Çözüm:

kapalı denklemiyle verilen doğrunun

doğrultman vektörü = (a, b, 0) olduğundan


= (3, 4, 0) olarak alınabilir.

Bu doğru z eksenine dik bir doğrudur.

u

// uAP .k uAP =

u .k uP A& = +

P

u

P

P u

–4 –

–1 3

x k

y k

z k3 2

=

= +

= +

4

u

u

– – –

a

x x

b

y y

c

z z0 0 0= =

– ––

,x y z

k3 5

2

25

=+

= =

––

x yz

31

4

23

+= =

u

– – –,

a

x x

b

y y

c

z zk0 0 0= = =

– –x y z31

4

2

13+

= =

u u

–x y z23

5

2 1

43 2+

= =+

– –x y z x

y z

23

5

2 1

43 2

23

5

221

4

332

&+

= =+ +

= =+b bl l

–x y z

23

2521

3432

+= =

+

, ,u 225

34

= b l

–,

x yz

32

4

14=

+=

– –,

a

x x

b

y yz z0 0

0= =

u

–,

x yz

32

4

14=

+=

u

P A

A

74

UYGULAMA ADIMI

uz

ay

da

do

ğr

u v

e d

Üz

Le

MÜ

nit

e –

2u

zayda B

ir do

ğru

nu

n v

ektörel ve p

arametrik d

enklem

leri1. B

ölü

m

7. Uzayda A(1, –2, 4) ve B(–1, 0, 2) noktalarından geçen doğru-

nun vektörel denklemini bulalım.

Çözüm:

P(x, y, z); A ve B noktalarından geçen doğrunun üzerinde her-

hangi bir nokta olmak üzere,

dir.

k ∈ IR vektörel denklemi verir.

= (1, –2, 4) + k.(–2, 2, –2), k ∈ R vektörel denklemi elde

edilir.

8. Uzayda A(–3, 1, 2) ve B(1, –2, 4) noktalarından geçen doğru-

nun parametrik denklemini bulalım.

Çözüm:

k ∈ IR olduğundan

(x, y, z) = (–3, 1, 2) + k.(1 – (–3), –2 – 1, 4 – 2)

(x, y, z) = (–3, 1, 2) + k.(4, –3, 2)

(x, y, z) = (–3 + 4k, 1 – 3k, 2 + 2k)

doğrusunun parametrik denklemidir.

9. Uzayda orijinden ve A(–3, 2, 5) noktasından geçen doğrunun

kapalı denklemini bulalım.

Çözüm:

O(0, 0, 0) ve A(–3, 2, 5) noktasından geçen doğrunun kapalı

denklemi

, k ∈ IR

k ∈ IR dir.

10. Uzayda doğrusuna paralel olan ve

A(–2, 4, –3) noktasından geçen doğrunun vektörel denklemini

bulalım.

Çözüm:


= (3, 4, 2) dir. Dolayısıyla = (3, 4, 2) vektörüne paralel

ve A(–2, 4, –3) noktasından geçen doğrunun vektörel den-

klemi, P(x, y, z) bu doğru üzerindeki herhangi bir nokta olmak

üzere,

, k ∈ IR

(–2, 4, –3) + k.(3, 4, 2), k ∈ IR dir.

11. Analitik uzayda denklemi ile verilen doğ-

runun üzerinde bulanan noktalardan herhangi ikisini bulalım.

Çözüm:

Kartezyen denklemi olan doğrunun pa-

rametrik denklemini yazalım.

Bu doğru üzerindeki noktalar (7k + 2, 3k + 4, 5k + 1) şeklin-

dedir. k = 0 için A(2, 4, 1) k = 1 için B(9, 7, 6) doğru üzerinde

bulunan herhangi iki noktadır.

12. Analitik uzayda A(1, 1, 2) ve B(2, 3, 4) noktalarından geçen

doğrunun denklemini bulalım.

Çözüm:

Doğrunun üzerinde keyfi bir P(x, y, z) noktası alalım.

olduğundan,

doğru denklemi elde edilir.

.kAP AB=

– . . ,k kP A AB P A AB&= = +

– – – – , – – , – – , , –

.k

AB B A B A

P A AB

1 1 0 2 2 4 2 2 2&= = =

= +

^^ ^h h h

P

. ,kP A AB= +

–3 4

1– 3

2 2

x k

y k

z k

= +

=

= +

4

– –

– –

–

–

––x y z

k0 3

3

0 2

2

0 55

= = =^^hh

–

–

––

,x y z

k33

2

2

55+

= = =

:– –

dx y z32

4

1

23

=+

=

d: 3x – 2

4y 1

2z – 3=

+=

u u

P A k. u= +

P =

– – –x y z72

3

4

51

= =

7x – 2

3y – 4

5z – 1= =

7x – 2

3y – 4

5z – 1 k, k IR 7

x – 2 k x 7k 2

3y – 4

k y 3k 4, 5z – 1 z 5k 1k

= = = = = +

= = + = = +

& &

& &

!

A(1, 1, 2)

B(2, 3, 4) P(x, y, z)

AP x – 1, y – 1, z – 2

AB 2 – 1, 3 – 1, 4 – 2 1, 2, 2 dir.AB

=

= =&

^^ ^

hh h

AP k.AB=

1x – 1

2y – 1

2z – 2= =

75

1. Uzayda bir A(3, –1, 0) noktasından geçen ve = (1, –1, 4)

vektörüne paralel olan doğrunun vektörel denklemini bulunuz.

2. Uzayda bir A(4, 3, –5) noktasından geçen ve = (–2, 1, 3)

vektörüne paralel olan doğrunun k parametresine göre

denklemini bulunuz.

3. Uzayda bir A(7, 2, 3) noktasından geçen ve = (–4, 3, 1)

vektörüne paralel olan doğrunun kartezyen denklemini bulu-

nuz.

4. Kartezyen denklemi olan doğrunun

geçtiği noktayı ve doğrultman vektörünü bulunuz.


geçtiği noktayı ve doğrultman vektörünü bulunuz.


doğrultman vektörünü bulunuz.

u

u

u

x= 4 – 2k

y = 3 + k

z = –5 + 3k, k ∈ IR

–– – –x y

z47

3

23= =

, – , . , – ,kP 3 1 0 1 1 4= +^ ^h h

– – –x y z32

5

4

76

= =

,–

–x

y z2

4

1

23

= =+

– –x y z3

2 84

3 1

54 2

= =+

, ,u23

34

45

= a k

, ,

, ,

A

u

2 4 6

3 5 7=

^^hh

, , –

, – ,

A

u

2 1 3

0 4 2=

^^

hh

PEKİŞTİRME ADIMI

uz

ay

da

do

ğr

u v

e d

Üz

Le

MÜ

nit

e –

2u

zayda B

ir do

ğru

nu

n v

ektörel ve p

arametrik d

enklem

leri1. B

ölü

m

76

7. Uzayda A(–1, –1, 4) ve B(2, 1, 3) noktasından geçen doğru-

nun vektörel denklemini bulunuz.

8. Uzayda A(2, –3, 1) ve B(–4, 0, –3) noktasından geçen doğru-

nun parametrik denklemini bulunuz.

9. Uzayda A(0, 2, –5) ve B(–4, –1, 1) noktasından geçen doğru-

nun kapalı denklemini bulunuz.

10. Uzayda doğrusuna paralel olan ve

A(1, 3, –3) noktasından geçen doğrunun vektörel denklemini

bulunuz.

11. Uzayda A(1, 2, 3) ve B(–3, 1, 5) noktalarından geçen doğru-

nun vektörel denklemini bulunuz.

12. Uzayda denklemi olan doğruya paralel

olan ve A(–2, 5, –7) noktasından geçen doğrunun parametrik

denklemini bulunuz.

x = 2 – 6k

y = –3 + 3k

z = 1 – 4k

:– –

–d

x y z43

2

1

14+

=+

=

– , – , . , , –kP 1 1 4 3 2 1= +^ ^h h

––x y z

44

3

1

61+

=+

=

, , – . – , – , –kP 1 3 3 4 2 1= +^ ^h h

P 1, 2, 3 k. –4, –1, 2= +^ ^h h

–, –x yz2

43

31+ = =

x = –2 + 2k

y = 5 + 3k

z = –7

PEKİŞTİRME ADIMI

uz

ay

da

do

ğr

u v

e d

Üz

Le

MÜ

nit

e –

2u

zayda B

ir do

ğru

nu

n v

ektörel ve p

arametrik d

enklem

leri1. B

ölü

m

77

KAVRAMSAL ADIM

UZ

AY

DA

DO

ĞR

U V

E D

ÜZ

LE

MÜ

NİT

E –

2U

zayda D

üzlem

Den

klemleri

2. Bö

lüm

UZAYDA DÜZLEM DENKLEMLERİBÖLÜM

2UZAYDA BİR DÜZLEMİN PARAMETRİK DENKLEMİ

Uzayda herhangi bir P noktasından geçen ve lineer bağımsız

ve vektörlerinin belirttiği düzlemin parametrik denklemini

bulalım.

vektörü ve vektörlerinin lineer bileşimi şeklinde yazılabilir.

λ1, λ2 ∈ R olmak üzere, dir.

dir. (1) deki eşitliği (2) de yerine yazarsak;

denklemi elde edilir. Bu denkleme düz-

lemin parametrik denklemi denir. λ1, λ2 reel sayılarına düzlemin

parametreleri, ve vektörlerine düzlemin doğrultu vektörleri

denir.

UZAYDA BİR DÜZLEMİN KAPALI DENKLEMİ

Bir düzlemin doğrultu vektörlerine dik olan vektörlere düzlemin

normal vektörü denir ve ile gösterilir.

ve nün vektörel çarpımı ve ye dik olan bir vektör

olduğundan alınabilir.

Dolayısıyla uzayda bir P noktasından geçen ve vektörüne dik

olan düzlemin kapalı denklemi şeklindedir.

Bu ifade şeklinde yazılabilir.

Buradan dır.

alınırsa eşitliği

halini alır.

P(x0, y0, z0) noktasından geçen ve = (a, b, c) vektörüne dik

olan düzlemin kapalı denklemi = (x, y, z) olmak üzere;

ax + by + cz + d = 0 biçiminde verilebilir.

O

x

y

z

u

X

P

OX=OP+PX

v→

→

→ → →

vu

O

x

y

z

vu

P

λ2v

λ1u

PX=λ1u+λ2v

x

vuxP

x u vP 11 2

gλ λ= + ^ hx xO OP P= +

x xP P 2& g= + ^ h

x u vP 31 2

gλ λ= + + ^ h

vu

N

vN

u

u

v

N

N

=

=

vuvu

u vN #=

N

P

x

N

,xP N 0< > =

– ,x NP 0< > =

– ,, x N PN 0< > < > =

, x dN 0< >+ =,xP N 0< > =– , dN P< >=

N

x

78

KAVRAMSAL ADIM

UZ

AY

DA

DO

ĞR

U V

E D

ÜZ

LE

MÜ

NİT

E –

2U

zayda D

üzlem

Den

klemleri

2. Bö

lüm

UZAYDA DOĞRUSAL OLMAYAN ÜÇ NOKTADANGEÇEN DÜZLEM DENKLEMİ

Uzayda doğrusal olmayan A(x0, y0, z0), B(x1, y1, z1), C(x2, y2, z2)

noktaları verilsin.

vektörü hem hem de vektörüne dik olduğundan

belirttiği düzleme de diktir. Bu yüzden düzlemin normal vektörü

olarak alınabilir.

dir. Buna göre, düzlem denklemi

dır. Bu çarpım vektörlerinin

karma çarpımıdır.

olduğun-

dan düzlem denklemi

biçiminde yazılabilir.

ÖZEL DÜZLEMLER

1. Koordinat Düzlemleri

2. Koordinat Düzlemlerine Paralel Düzlemler

3. Eksenleri Ayırdığı Parçalar Türünden Düzlem Denklemi

4. Eksenlere Paralel Düzlemler

ABXAC

A

B

X

C

ACABxAB AC

N AB AC#=

, , xAB AC A,x xAB AC A 0< > =

, , , ,detx x x x xA AB AC AB AC A A AB AC 0< > < >= = =^ h

–––

–––

–––

x x

x x

x x

y y

y y

y y

z z

z z

z z

00

1 0

2 0

0

1 0

2 0

0

1 0

2 0

=

x

y

x = 0düzlemi

y = 0

düzlem

i

z = 0düzlemi

z

x

y

z

c

b

a

O

y = b düzlemi0.x + y + 0.z = b

x = a düzlemix + 0.y + 0.z = a

z = c düzlemi0.x + 0.y + z = c

x

y

z

a

b

c

yb

+zc

=1 do€rusu

xa

+yb =1 do€rusu

xa

+zc

=1

do€rusu

xa

+yb

+zc

xa

+zc

=1 düzlemi

x

y

z

x=a do€rusu

z=c do€rusu

a

c

xa

+zc

=10.y +

xa

+zc

=1

do€rusu

79

KAVRAMSAL ADIM

UZ

AY

DA

DO

ĞR

U V

E D

ÜZ

LE

MÜ

NİT

E –

2U

zayda D

üzlem

Den

klemleri

2. Bö

lüm

5. Eksenlerden Geçen Düzlemler

SONUÇ: Koordinat eksenlerinden geçen veya koordinat eksen-

lerine paralel olan düzlemlerin denklemlerinde o ekseni belirten

terim bulunmaz.

YARI UZAY

E, uzayında denklemiyle verilen bir düzlem olsun.

E düzleminin herhangi bir A noktası için dir. E düz-

lemi bulunduğu uzayı iki yarı uzaya ayırır. vektörünün içinde

bulunduğu uzay U1, içinde bulunmadığı uzay U2 ise

U1 ∪ E ∪ U2 kümesi uzaya eşittir.

Uzayda bir P noktasının U1 yarı uzayında bulunması için

olmalıdır.

A(–3, 2, 5) noktasından geçen ve vektörüne dik olan

düzlemin denklemini yazalım.

ÇÖZÜM

A(–3, 2, 5) noktasından geçen ve normal vektörü olan

düzlemin denklemi

A(x – x1) + B(y – y1) + C(z – z1) = 0

⇒ 2(x + 3) + 1.(y – z) + 4(z – 5) = 0

veya 2x + y + 3z – 14 = 0 dır.

a) A(2, 1, 3) noktasından geçen ve doğru-

suna dik olan düzlemin denklemini bulunuz.

b) A(3, 4, –2) ve B(1, 1, –2) noktaları veriliyor. A noktasından

geçen ve vektörüne dik olan düzlemin denklemini bulunuz.

x

y

z

y–kx=0 düzlemi

y=kx do€rusu

A

NP

E

, x dN 0< >+ =

– , dN A< > =

N

,N AP 0< > >

ETK‹NL‹K

ÖRNEK

, ,N 2 1 4= ^ h

, ,N 2 1 4= ^ h

– ––

x y z4

32

1

21

= =+

AB

80

UYGULAMA ADIMI

UZ

AY

DA

DO

ĞR

U V

E D

ÜZ

LE

MÜ

NİT

E –

2U

zayda D

üzlem

Den

klemleri

2. Bö

lüm

1. A(–1, 3, 4) noktasından geçen ve = (2, 1, 3) vektörüne dik

olan düzlem denklemini bulalım.

Çözüm:

x(x, y, z) aranan düzlemde keyfi bir nokta olmak üzere;

olduğundan olmalıdır.

2. Uzayda A(2, 3, 4) noktasından geçen ve = (2, –4, –1) ve

= (3, 1, 2) vektörlerinin belirttiği düzlemin λ1 ve λ2 para-

metrelerine bağlı (λ1, λ2 ∈ IR) parametrik denklemini bulalım.

Çözüm:

Düzlem denklemi dir.

Buradan,

düzlemin parametrik denklemleridir.

3. Başlangıç noktasından geçen ve = (–2, 3, –5) vektörüne

dik olan düzlem denklemini bulalım.

Çözüm:

A(x, y, z) noktası aranan düzlemin keyfi bir noktası olmak

üzere, dir. Dolayısıyla olmalıdır.

⇒ –2.x + 3.y – 5.z = 0 ⇒ 2x – 3y + 5z = 0

düzlem denklemi elde edilir.

4. A(–3, –1, 1) noktasından geçen ve

doğrusuna dik olan düzlemin denklemini bulalım.

Çözüm:

doğrusu düzleme dik olduğundan bu

doğanun = (4, –2, 3) doğrultman vektörü aynı zamanda

düzlemin normal vektörüdür.

x(x, y, z) düzlemin herhangi bir noktası ise

4x + 12 – 2y – 2 + 3z – 3 = 0

4x – 2y + 3z + 7 = 0 düzlem denklemi elde edilir.

5. M(3, 2, –3) noktasından geçen ve 3 (4, 3, 2) doğultusuna dik

olan düzlemin genel denklemini yazalım.

Çözüm:

Düzlemin genel denklemi

4(x – 3) + 3(y – 2) + 2(z + 3) = 0 dan

4x + 3y + 2z – 12 = 0 olur.

6. A(–2, 0, –1) ve B(1, 3, 4) noktaları veriliyor.

A noktasındından geçen ve vektörüne dik olan düzlemin

denklemini bulalım.

Çözüm:

vektörü düzleme dik olduğundan bu düzlemin normal

vektörü olarak kabul edilebilir.

x = (x, y, z) düzlem üzerinde herhangi bir nokta olsun.

3x + 6 + 3y + 5z + 5 = 0

3x + 3y + 5z + 11 = 0 düzlem denklemi elde edilir.

N

xA N= ,xA N 0< > =

– , – , –

, ,

, . . – . –– – – .

x x x y z

x x y z

x y z x y z dir

A A

N

A N

1 3 4

2 1 3

2 1 1 3 3 4 0

2 2 3 12 0 2 3 13 03

< >

&

= = +

=

= + + + =

+ + + = + + =

^^

^ ^ ^

hh

h h h

u

v

. .x u vA1 2λ λ= +

– . .

. .

, , , – , – , ,

x u

x u v

x

vA

A

2 3 4 2 4 1 3 1 2

1 2

1 2

1 2

λ λ

λ λ

λ λ

= +

= + +

= + +^ ^ ^h h h

2 2 3

3 – 4

4 – 2

x

y

z

1 2

1 2

1 2

λ λ

λ λ

λ λ

= + +

= +

= +

_

`

a

bb

bb

N

OA N= ,NOA 0< > =

– , ,– , , –

x y zOA A O

N 2 3 5

= =

=

^^

hh

––

–x y z4

22

1

31

=+

=

––

–x y z4

22

1

31

=+

=

u

, 0 4. .–2 – .3 0x u x y zA 3 1 1< > &= + + + + =^ ^ ^h h h

AB

AB

– – – , – , – – , ,B AN AB 1 2 3 0 4 1 3 3 5= = = =^ ^^ ^h hh h

, ,x x y zA 2 1= + +^ h, . . .x x y zA N 0 3 2 3 5 1 0< > &= + + + + =^ ^h h

81

UYGULAMA ADIMI

UZ

AY

DA

DO

ĞR

U V

E D

ÜZ

LE

MÜ

NİT

E –

2U

zayda D

üzlem

Den

klemleri

2. Bö

lüm

7. A(2, 1, 0), B(–1, 0, 3), C(0, 2, –4) noktalarından geçen düzlem

denklemini bulalım.

Çözüm:

P(x, y, z) düzlem üzerinde herhangi bir nokta olsun.

vektörlerinin karma çarpımı sıfır olur.

⇒ (4x – 8 – 3z – 6y + 6) – (2z + 3x – 6 + 12y – 12) = 0

⇒ x – 18y – 5z + 16 = 0 elde edilir.

8. Orijinden ve A(–2, 3, 0), B(1, 0, –2) noktasından geçen

düzlemin denklemini bulalım.

Çözüm:

P(x, y, z) düzlem üzerinde herhangi bir nokta olsun.

⇒ (–6x) – (3z + 4y) = 0

⇒ –6x – 4y – 3z = 0 ⇒ 6x + 4y + 3z = 0 elde edilir.

9. Uzayda x = 2, x = –4, y = 0, z = 0 ve y + z = 3

düzlemi ile sınırlı cismin şeklini çizelim.

Çözüm:

10. Uzayda x = 0, y = 0, z = 0, z = 4 ve x + y + z = 6

düzlemi ile sınırlı cismin şeklini çizelim.

Çözüm:

11. M(1, 3, 5), N(4, 3, 2) noktalarının belirttiği doğru parçasına

orta noktasında dik olan düzlemin denklemini bulalım.

Çözüm:

[MN] doğru parçasının orta noktası M0 olsun.

dir. MN nin doğrultu katsayıları MN(3, 0, –3) tür.

Aranan düzlem M0 dan geçip MN doğrusuna dik olacağından,

denklemi

olur.

x – 2 y – 1 z

–3 –1 3

–2 1 –4

x – 2 y – 1 z

–3 –1 3

= 0

,xOA OB OP 0< > &=x y z

–2 3 0

1 0 –2

x y z

–2 3 0

= 0

x

y

z

3

3

–4

+2

x

y

z

6

6

6

O

4

,

–

– –

–

–

–

–

–

–

– –

x

x y z

AB AC AP 0

2

1 2

0 2

1

0 1

2 1

0

3 0

4 0

0< > &= =

, veAB AC AP

, ,M25

327

0 b l

– . – – . – –x y z x z325

0 3 327

0 1 0&+ + = + =b ^ ^ bl h h l

82

1. A(2, –1, 4) noktasından geçen ve = (–3, 2, 7) vektörüne dik

olan düzlem denklemini bulunuz.

2. Uzayda A(–1, 4, 3) noktasından geçen ve = (1, 1, 3) ve

= (2, 1, 2) vektörlerinin belirttiği düzlemin λ1 ve λ2

parametrilerine bağlı denklemini bulunuz.

3. Başlangıç noktasından geçen ve = (1, 3, 2) vektörüne dik

olan düzlem denklemini bulunuz.

4. A(–2, 0, 3) noktasından geçen ve doğru-

suna dik olan düzlem denklemini bulunuz.

5. A(1, 0, 2) ve B(3, 1, 4) noktaları veriliyor.

A noktasından geçen ve vektörüne dik olan düzlemin

denklemini bulunuz.

6. A(1, 0, 1) ve B(–2, 2, 0), C(0, 3, 4) noktalarından geçen

düzlem denklemini bulunuz.

3x – 2y – 7z + 20 = 0

N

x = –1 + λ1 + 2λ2

y = 4 + λ1 + λ2

z = 3 + 3λ1 + 2λ2

u

v

x + 3y + 2z = 0

N

3x + 4y + 2z = 0

2x + y + 2z – 6 = 0

9x + 10y – 7z – 2 = 0

–x y z3

14

1

2+

= =

AB

PEKİŞTİRME ADIMI

UZ

AY

DA

DO

ĞR

U V

E D

ÜZ

LE

MÜ

NİT

E –

2U

zayda D

üzlem

Den

klemleri

2. Bö

lüm

83

KAVRAMSAL ADIM

UZ

AY

DA

DO

ĞR

U V

E D

ÜZ

LE

MÜ

NİT

E –

2U

ZA

YD

A N

OK

TAN

IN D

OĞ

RU

YA U

ZA

KL

IĞI V

E İK

İ DÜ

ZL

EM

İN

BİR

BİR

İNE

GÖ

RE

DU

RU

ML

AR

I3. B

ölü

m

UZAYDA BİR NOKTANIN BİR DOĞRUYA UZAKLIĞI

BÖLÜM

3

Uzayda verilen bir P noktasının l doğrusuna uzaklığını bulalım.

dır.

UZAYDA İKİ DÜZLEMİN BİRBİRİNE GÖRE DURUMLARI

İKİ DÜZLEMİN PARALEL OLMA ŞARTI

E1 = A1x + B1y + C1z + D1 = 0

E2 = A2x + B2y + C2z + D2 = 0 düzlemleri verilsin.

E1 düzleminin normal vektörü N1, E2 düzleminin normal vektörü

N2 olsun.

E1 ve E2 düzlemlerinin birbirine paralel olması için N1 // N2olmalıdır.

olduğundan

(A1, B1, C1) = k.(A2, B2, C2)

(A1, B1, C1) = (kA2, kB2, kC2) ⇒ A1 = k.A2

B1 = k.B2

C1 = k.C2 olur.

Buradan paralellik koşulu elde edilir.

E1: A1x + B1y + C1z + D1 = 0

E2 = A2x + B2y + C2z + D2 = 0 düzlemleri çakışık ise

dir.

İKİ DÜZLEMİN DİK OLMA ŞARTI

E1: A1x + B1y + C1z + D1 = 0

E2: A2x + B2y + C2z + D2 = 0 düzlemleri verilsin.

E1 düzleminin normal vektörü N1, E2 düzleminin normal vektörü

N2 olsun.

E1 ve E2 düzlemleri birbirine dik olması için olma-

lıdır.

olduğundan

A1A2 + B1B2 + C1C2 = 0 diklik bağıntısı elde edilir.

x

y

z

uA

HAPxu O

P

θ

.sin sinPH

PHAP

AP&θ θ= =

. . .

.

.

sinuu

u

u

x u

x uelde edilir

PH AP

PH AP

PHAP

1

1

θ=

=

=

1 2 34444 4444

N1

E1 N2

E2

// // . .E E k dirN N N N1 2 1 21 2

+ + =

, , , , ,A B C A B CN N1 1 1 1 2 2 2 2= =^ ^h h

//E EA

A

B

B

C

Ck

1 22

1

2

1

2

1+ = = =

A

A B

B

C

C

D

D1

2 2

1

2

1

2

1= = =

N1

N2

P

A

E1

E2

,N N 0< >1 2

=

, , , ,A B C ve A B CN N1 21 1 1 2 2 2= =^ ^h h

84

UYGULAMA ADIMI

UZ

AY

DA

DO

ĞR

U V

E D

ÜZ

LE

MÜ

NİT

E –

2U

ZA

YD

A N

OK

TAN

IN D

OĞ

RU

YA U

ZA

KL

IĞI V

E İK

İ DÜ

ZL

EM

İN

BİR

BİR

İNE

GÖ

RE

DU

RU

ML

AR

I3. B

ölü

m

1. A(1, 0, 2) noktasının doğrusuna uzaklı-

ğını bulalım.

Çözüm:

Doğru denklemini sağlayan bir P noktası alalım. P(2, –1, 3)

noktası doğru denklemini sağlar.

= (2, –1, –2) doğrultman vektörü olmak üzere

değerini bulalım.

2. A(–2, 1, 4) noktasından x – 2 = doğrusuna uzak-

lığını bulalım.

Çözüm:

A(–2, 1, 4) noktasının doğruya uzaklığı d, bu doğrunun üze-

rindeki bir nokta P(2, 1, –1) ve değerini bulalım.

3. A(–1, 1, 0) noktasının parametrik denklemi

x = 2k – 1, y = 1 – k, z = k + 2 olan doğruya olan uzaklığını

bulalım.

Çözüm:

Doğru P(–1, 1, 2) noktasından geçmektedir.

4. 3x + ky – 2z + 1 = 0

9x + 12y – nz + 5 = 0

denklemleriyle verilen düzlemler birbirine paralel olduğuna

göre, k + n toplamını bulalım.

Çözüm:

olmalı

36 = 9k ⇒ k = 4

–3n = –18 ⇒ n = 6 bulunur.

k + n = 4 + 6 = 10 dur.

–– –

–x y z22

1

1

23

=+

=

u

du

x uAP=

AP x u = e1 e2 e3

1 –1 1

2 –1 –2

e1 e2 e3

1 –1 1

–2e3–e1–2e2

2e1–e32e2

, – ,AP 1 1 1= ^ h

– – – – –

, ,

– –

.

x u e e e e e e

x u e e e

x u

u

du

x ubulunur

AP

AP

AP

AP

2 2 2 2

3 4 3 4 1

3 4 1 26

2 1 2 9 3

326

1 2 3 1 2

1 2 3

2 2 2

2 2 2

3= +

= + + =

= + + =

= + + = =

= =

^ ^^

^ ^

h hh

h h

–yz

2

11= +

du

x uAP=

, , –

, ,u

AP 4 0 5

1 2 1

=

=

^^

hh

8 – 5 10 – 4

– , – ,

e e e e

e e e10 9 8 10 9 8

3 2 1 2

1 2 3

= +

= + = ^ h

.

–x u

u

du

x ubulunur

AP

AP

6

245

10 9 8 100 81 64 245

1 2 1 6

2 2 2

2 2 2

= =

= + + = + + =

= + + =

^ h

AP x u = e1 e2 e3

4 0 –5

1 2 1

e1 e2 e3

4 0 –5

0

–10e14e2

0

8e3–5e2

– , ,

, – ,

.

ü ,u

du

x udir

olmak zere

AP P A

AP

0 0 2

2 1 1

= =

=

=

^^

hh

–

.

x u

u

du

x ubulunur

AP

AP

2 4 0 4 16 2 5

2 1 1 4 1 1 6

6

2 5

2 2 2

2 2 2

= + + = + =

= + + = + + =

= =

^ h

AP x u = e1 e2 e3

0 0 2

2 –1 1

e1 e2 e3

0 0 2

0

–2e1

0

0

0

4e2

, ,e e4 2 2 4 02 1

= + = ^ h

––kn9

312

2= =

85

UYGULAMA ADIMI

UZ

AY

DA

DO

ĞR

U V

E D

ÜZ

LE

MÜ

NİT

E –

2U

ZA

YD

A N

OK

TAN

IN D

OĞ

RU

YA U

ZA

KL

IĞI V

E İK

İ DÜ

ZL

EM

İN

BİR

BİR

İNE

GÖ

RE

DU

RU

ML

AR

I3. B

ölü

m

5. 2x + 3y – kz – 8 = 0

my + nx + 4z + 16 = 0

denklemleriyle verilen düzlemler çakışık olduğuna göre,

m + n + k toplamını bulalım.

Çözüm:

olmalı

32 = –8m ⇒ m = –4

48 = –8n ⇒ n = –6

–32 = –16k ⇒ k = 2

m + n + k = –4 – 6 + 2 = –8 bulunur.

6. A(2, 1, 1) noktasından geçen 3x – y + az – 6 = 0 düzlemi

6x + by + cz – 4 = 0 düzlemine paralel olduğuna göre,

a + b + c toplamını bulalım.

Çözüm:

A(2, 1, 1) noktası 3x – y + az – 6 = 0 düzlemini sağladığından

düzlemleri paralel ise

olmalı

3b = –6 ⇒ b = –2

3c = 6 ⇒ c = 2 bulunur.

a + b + c = 1 – 2 + 2 = 1 dir.

7. E1: 5x – 4y + 3z – 2 = 0

E2 = 2x – ay + 6z + 5 = 0

denklemleriyle verilen düzlemler birbirine dik olduğuna göre,

a değerini bulalım.

Çözüm:

E1 düzleminin normal vektörü

E2 düzleminin normal vektörü

olduğundan dır.

5.2 + (–4).(–a) + 3.6 = 0

10 + 4a + 18 = 0 ⇒ 4a = –28 ⇒ a = –7 bulunur.

8. A(1, 0, –2) noktasından geçen

E1: x + 2y + kz – 5 = 0

E2: x + my + 3z – n = 0


m + n + k toplamını bulalım.

Çözüm:

x = 1, y = 0, z = –2 için düzlem denklemleri sağlanır.

1 – 2k – 5 = 0 ⇒ 2k = –4 ⇒ k = –2 dir.

1 – 6 – n = 0 ⇒ n = –5 dir.

E1 ve E2 düzlemlerinin normalleri ve olsun.

= (1, 2, –2)

= (1, m, 3)

olduğundan

1.1 + 2.m – 2.3 = 0 ⇒ 2m = 5

bulunur.

9. E1: kx + ky + 4z – 6 = 0

E2: kx – 8y + 4z + 7 = 0


k değerini bulalım.

Çözüm:

= (k, k, 4), = (k, –8, 4)

– –m n

k2 34 16

8= = =

. – . – .a a olur3 2 1 1 6 0 1&+ = =

3 – – 6 0

6 – 4 0

x y z

x by cz

+ =

+ + =3

–cb6

3 1 1= =

,– ,N 5 4 31= ^ h

, – ,aN 2 62= ^ h

E E N N1 21 2

+= = ,N N 0< >1 2

=

N1

N2

N1

N2

,N N N N 0< >1 2 1 2

+= =

m25

& =

– ––

m n k25

5 229

+ + = =

N1

N2

, 0

. . –

– –

4.4 0

.

k k k

k k k k bulunur

E E N N N N

8

8 16 0 4 0 4

< >1 2 1 2 1 2

2 2

+ +

& &

= = =

+

+ =

+ =

= =

^^

hh

86

1. A(–1, –1, 3) noktasının doğrusuna

uzaklığını bulunuz.

2. A(0, 1, –2) noktasının doğrusuna uzaklığını

bulalım.

3. A(2, 1, 1) noktasının parametrik denklemi

x = k – 2, y = 2k + 1, z = 3k + 1 olan doğruya olan uzaklığını

bulunuz.

4. 2x + 6y – kz + 1 = 0

mx + 3y + 12z + 6 = 0

denklemleriyle verilen düzlemler birbirine paralel olduğuna

göre, k + m toplamını bulunuz.

5. kx + 2y – (m + 1)z + 15 = 0

3x + ny + 2z + 5 = 0

denklemleriyle verilen düzlemler çakışık olduğuna göre,

m + n + k toplamını bulunuz.

6. A(–1, 3, 1) noktasından geçen x – 2y + kz + 8 = 0 düzlemi

4x – ny + mz + 6 = 0 düzlemine paralel olduğuna göre,

k + m + n toplamı kaçtır?

–23

3

–

–x y z21

3

2

1+

= =

–,

x yz

22

31= =

14

6 3

13

133

7

104

38

PEKİŞTİRME ADIMI

UZ

AY

DA

DO

ĞR

U V

E D

ÜZ

LE

MÜ

NİT

E –

2U

ZA

YD

A N

OK

TAN

IN D

OĞ

RU

YA U

ZA

KL

IĞI V

E İK

İ DÜ

ZL

EM

İN

BİR

BİR

İNE

GÖ

RE

DU

RU

ML

AR

I3. B

ölü

m

87

7. E1: 3x – 4y + z – 4 = 0

E2: 4x – 2y + pz + 1 = 0


p değerini bulunuz.

8. A(3, 1, 2) noktasından geçen

E1: 2x + y – mz + 1 = 0

E2: x – ny + z + k = 0


m + n + k toplamını bulunuz.

9. E1: mx – 2y – 4z + 2 = 0

E2: (1 – m)x + 3y – 2z + 3 = 0

düzlemleri birbirine dik olduğuna göre, m nin alabileceği

değerlerin toplamı kaçtır?

10. Denklemi 4x – 3y + z – 6 = 0 olan düzlemin normal vektörünü

bulunuz.

11. Eksenleri kestiği noktalar A(3, 0, 0), B(0, –1, 0) ve C(0, 0, 2)

olan düzlemin denklemini bulunuz.

12. A(1, –1, 3) ve B(0, –2, 1) ve C(2, 1, –1) noktalarından geçen

düzlemin denklemini bulunuz.

–20

–5

1

(4, –3, 1)

8x – 6y – z – 11 = 0

–x 3y – 23

z 3 0+ + =

PEKİŞTİRME ADIMI

UZ

AY

DA

DO

ĞR

U V

E D

ÜZ

LE

MÜ

NİT

E –

2U

ZA

YD

A N

OK

TAN

IN D

OĞ

RU

YA U

ZA

KL

IĞI V

E İK

İ DÜ

ZL

EM

İN

BİR

BİR

İNE

GÖ

RE

DU

RU

ML

AR

I3. B

ölü

m

88

KAVRAMSAL ADIM

İKİ DÜZLEMİN ARAKESİT DOĞRUSU

Uzayda E1 ve E2 paralel ve çakışık olmayan iki düzlem olsun. Bu

düzlemlerin arakesit doğrusu olan l doğrusunun denklemini

bulalım.

l arakesit doğrusunun doğrultman vektörü normal

vektörüne diktir. Dolayısıyla vektörü l doğrusunun

doğrultman vektörüne paralel olacağından nin herhangi

bir katı l doğrusunun doğrultman vektörü olarak kabul edilebilir.

E1 ve E2 düzlemlerinin arakesit doğrusu üzerinde herhangi bir

nokta A olmak üzere,

l : arakesit doğrusunun denklemidir.

İKİ DÜZLEMİN ARAKESİT DOĞRUSUNDAN GEÇENDÜZLEMLER (DÜZLEM DEMETİ)

İki düzlemin arakesit doğrusundan geçen bütün düzlemlere,

uzayda düzlem demeti denir.

Düzlemleri A1x + B1y + C1z + D1 = 0 ve

A2x + B2y + C2z + D2 = 0 olan düzlemlerin arakesit doğrusundan

geçen düzlem demetinin denklemi

A1x + B1y + C1z + D1 + k(A2x + B2y + C2z + D2) = 0, k ∈ IR dir.

Denklemleri 4x – 3y + 2z + 3 = 0 ve x + y + 3z + 1 = 0

olan düzlemlerin arakesitinden ve P(1, –1, 2) noktasından geçen

düzlemin denklemini bulunuz.

ÇÖZÜM

Denklemleri 4x – 3y + 2z + 3 = 0 ve x + y + 3z + 1 = 0 olan

düzlemlerin arakesitinden geçen düzlemin denklemi:

4x – 3y + 2z + 3 + k.(x + y + 3z + 1) = 0 dır.

Bu düzlem P(1, –1, 2) noktasından geçiyorsa;

4.1 – 3.(–1) + 2.2 + k.(1 – 1 + 3.2 + 1) = 0

olur. Bu değer denklemde yerine yazılırsa

4x – 3y + 2z + 3 – (x + y + 3z + 1) = 0

28x – 21y + 14z + 21 – 11x – 11y – 33z – 11 = 0

17x – 32y – 19z + 10 = 0 bulunur.

a) Denklemleri x + 2y + 3z + 2 = 0 ve 2x – 3y – 2z + 1 = 0 olan

düzlemlerin arakesit doğrusunu bulunuz.

b) x + y – z + 1 = 0 ve 2x – 3y + z – 2 = 0 düzleminin arakesitin-

den geçen ve doğrusuna paralel olan düzle-

min denklemini bulunuz.

E1

N1

N2

E2

Arakesit do€rusu

veN N1 2

xN N1 2

xN N1 2

.x A k xN N1 2

= + _ i

ÖRNEK

ETK‹NL‹K

–k711

& =

711

– –x y z21

3

1

52

=+

=

UZ

AY

DA

DO

ĞR

U V

E D

ÜZ

LE

MÜ

NİT

E –

2U

ZA

YD

A N

OK

TAN

IN D

OĞ

RU

YA U

ZA

KL

IĞI V

E İK

İ DÜ

ZL

EM

İN

BİR

BİR

İNE

GÖ

RE

DU

RU

ML

AR

I3. B

ölü

m

89

KAVRAMSAL ADIM

UZ

AY

DA

DO

ĞR

U V

E D

ÜZ

LE

MÜ

NİT

E –

2U

zayda Bir N

oktanın Bir D

üzleme U

zaklığı ve İki Düzlem

Arasındaki U

zaklık4. B

ölü

m

UZAYDA BİR NOKTANIN BİR DÜZLEME UZAKLIĞI

BÖLÜM

4

BİR NOKTANIN BİR DÜZLEME UZAKLIĞI

Uzayda bir E düzlemi ve bu düzlemin üzerinde olmayan P noktası

verilsin. P noktasının E düzlemine uzaklığını bulalım.

P noktasının E düzlemine uzaklığı, vektörünün normal vek-

törü üzerindeki dik izdüşüm vektörünün uzunluğu olduğundan,

Buradan bulunur. Bu uzaklık

şeklinde gösterilir.

P(x0, y0, z0) noktası Ax + By + Cz + D = 0 düzleminin dışında her-

hangi bir nokta, P noktasının E düzlemine dik izdüşümü

S(x1, y1, z1) olsun.

S noktası E düzleminde olduğundan Ax1 + By1 + Cz1 + D = 0 dır.

düzleme dik olduğundan dir.

BİR DÜZLEMDEN EŞİT UZAKLIKTAKİ NOKTALARIN GEOMETRİK YERİ

Bir düzlemden eşit uzaklıkta bulunan noktaların geometrik yeri bu

düzleme paralel olan iki düzlemdir.

E: Ax + By + Cz + D = 0 düzleminden eşit uzaklıkta bulunan düz-

lemler

E1: Ax + By + Cz + D1 = 0, E2: Ax + By + Cz + D2 = 0 ise

dir.

EN

A

PT

AP N

,

,. .

,.

,. .

dir

dir

ATN N

AP NN

ATN

AP NN AT

N

AP NN

< >

< >

< > < >22

&

=

= =

,AT

N

AP N< >= ,d P EAT = ^ h

E

AS(x1,y1,z1)

P(x0,y0,z0)

z

y

x

N = (A,B,C)

vePS N //PS N

–

, , – , – ,

. –

.

.

Ax By Cz Ax By Cz

Ax By Cz D

Ax By Cz

Ax By Cz

A B C

Ax By Czdir

OP OS SP SP OP OS

N SP N P S N P N S

N SP

N SP

SPN

SPN

< > < > < > < >

0 0 0 1 1 1

0 0 0

0 0 0

0 0 0

2 2 2

0 0 0

&

&

&

&

"

"

= + =

= =

= + + + +

= + + +

=+ +

=+ +

=+ +

+ +

^ ^h h

E2

E

E1

P

Q

R

DD D

21 2=+

90

KAVRAMSAL ADIM

UZ

AY

DA

DO

ĞR

U V

E D

ÜZ

LE

M

ÜN

İTE

–2

Uzayda B

ir Noktanın B

ir Düzlem

e Uzaklığı ve İki D

üzlem A

rasındaki Uzaklık

4. Bö

lüm

Uzayda iki noktadan eşit uzaklıkta bulunan noktaların geometrik

yeri bu iki noktayı birleştiren doğru parçasının orta dikme düzle-

midir.

PQ = QR

Bu durumda P(x1, y1, z1) ve R(x2, y2, z2) noktalarından eşit uzaklıkta

bulunan normal vektörü = (A, B, C) olan düzlemin denklemi

dır.

İKİ DÜZLEMİN AÇIORTAY DÜZLEMLERİ

E1 ... A1x + B1y + C1z + D1 = 0

E2 ... A2x + B2y + C2z + D2 = 0

düzlemleri bir doğru boyunca kesişen iki düzlem olsun. Bu iki düz-

lemin açıortay düzlemi her iki düzleme uzaklıkları eşit olan nokta-

ların geometrik yeridir.

Açıortay düzlemi üzerindeki bir nokta P(x, y, z) ise açıortay düzlem-

lerinin denklemleri

bulunur.

UZAYDA İKİ DÜZLEM ARASINDAKİ UZAKLIK

i. Düzlemler Paralel ise;

E1 düzleminin normali , N2 düzleminin normali olsun.

olmak üzere iki düzlem arasındaki uzaklık

d(E1, E2) değerin i bulalım.

E1 düzlemi üzerinde üzerinde herhangi bir P noktası ile E2 düzlemi

üzerinde herhangi bir Q noktası alalım. vektörünün vektörü

üzerindeki dik izdüşüm vektörünün uzunluğu bize paralel iki düz-

lem arasındaki uzaklığı verir.

Yani, d(E1, E2) = dir.

E1 ve E2 düzlemlerinin kapalı denklemleri

E1: Ax + By + Cz + D1 = 0

E2: Ax + By + Cz + D2 = 0 olarak verilsin.

= (A, B, C) ve E1 düzlemindeki herhangi bir P = (x0, y0, z0) E2

düzlemindeki herhangi bir nokta Q = (x1, y1, z1) olsun.

olduğundan olduğu görülür.

ii. Düzlemler kesişiyor veya çakışıyor ise iki düzlem arasındaki

uzaklık sıfırdır.

P Q R

E

N

–Ax By Cz Ax x

By y

Cz z

2 2 201 2 1 2 1 2+ +

++

++

+=b ^ bl h l; E

A B C

A x B y C z D

A B C

A x B y C z D

12

12

12

1 1 1 1

22

22

22

2 2 2 2"+ +

+ + +=

+ +

+ + +

E2

E1P

N

Q

N1

N2

IRN N N21

!λ λ= = ^ h

PQ N

,

N

PQ N< >

N

, – , , – ,

– – –

– – –

–

Ax By Cz Ax By Cz

D D

D D

PQ N Q P N Q N P N< > < > < > < >

1 1 1 2 2 2

1 2

2 1

= =

= + +

=

=

^ h

,–

d E EA B C

D D

1 2 2 2 2

2 1=

+ +^ h

91

UYGULAMA ADIMI

UZ

AY

DA

DO

ĞR

U V

E D

ÜZ

LE

MÜ

NİT

E –

2U

zayda Bir N

oktanın Bir D

üzleme U


Arasındaki U

zaklık4. B

ölü

m

1. E1: x – 2y + z – 1 = 0

E2: x + 2y – 2z + 3 = 0

düzlemlerinin arakesit doğrusunun denklemini bulalım.

Çözüm:

E1, düzleminin normal vektörü = (1, –2, 1)

E2, düzleminin normal vektörü = (1, 1, –2) dir.

x vektörel çarpımında oluşan vektörü arakesit doğ-

rusunun doğrultman vektörü olarak alınabilir.

A(x0, y0, z0) arakesit doğrusu üzerinde herhangi bir nokta

olmak üzere,

arakesit doğrusunun denklemidir.

A(x0, y0, z0) düzlem denklemlerini sağlar.

için

A(–1, –1, 0) noktasından geçen ve = (3, 3, 3) vektörüne

paralel olan doğrunun denklemi şeklinde

bulunur.

2. E1: 2x – y + z – 5 = 0

E2: x + y – 2z – 4 = 0

düzlemlerinin arakesit doğrusunun parametrik denklemini

bulalım.

Çözüm:

= (2, –1, 1) ve = (1, 1, –2)

bulunur.

A(x0, y0, z0) arakesit doğrusu üzerinde bir nokta olsun.

z = 0 için

(x, y, z) = (3, 1, 0) + k.(1, 5, 3)

arakesit doğrusunun parametrik denklemidir.

3. Analitik uzayda P(3, –1, 2) noktasının 2x – 2y + z + 8 = 0 düz-

lemine uzaklığını bulalım.

Çözüm:

2x – 2y + z + 8 = 0 düzleminde A(–3, 0, –2) noktasını alalım.

vektörünün = (2, –2, 1) vektörü üzerindeki dik izdüşü-

münün uzunluğu P noktasının düzleme olan uzaklığını vere-

cektir.

bulunur.

N1

N2

N1

N2

u

.x A k xN N1 2

= + _ i

N1 x N2 = e1 e2 e3

1 –2 1

1 1 –2

e1 e2 e3

1 –2 1

– – –

, ,

e e e e e e

e e e u

4

3 3 3

2 2

3 3 3

1 3 2 3 1 2

1 2 3&

= + +

= + +

+

=

^ ^^

h hh

– 2 – 1 0

2 – 2 3 0

x y z

x y zz 0

0 0 0

0 0 00

+ =

+ + ==4 – 2 – 1 0

2 –2 –1

–

x y

x y

x x

y

2 3 0

1

0 0

0 0

0 0

0

&

=

+ + =

= =

=

u

x y z31

3

1

3+

=+

=

N1

N2

N1 x N2 = e1 e2 e3

2 –1 1

1 1 –2

e1 e2 e3

2 –1 1

u =

2 2 – – –e e e e e e

e e e

4

5 3

1 3 2 3 1 2

1 2 3

= + + +

= + +

^ h

, ,u 1 5 3& = ^ h

2 – – 5 0

–

, ,

x y

x y

x x y z

4 0

3 9 3 1 0

0 0

0 0

0 0 0 0&

=

+ =

= = = =

.x A k u= +

3

1 5

3

x k

y k

z k

= +

= +

=

4

AP N

– , – , – – , , – , ,

,,

–

. – . – .d P E birim

AP P A

N

AP N

3 1 2 3 0 2 6 1 4

2 2 1

6 2 1 2 4 1

318

6< >

2 2

= = =

= =+ +

+ += =

^ ^ ^^ ^

^ ^h h h

h hh h

92

UYGULAMA ADIMI

UZ

AY

DA

DO

ĞR

U V

E D

ÜZ

LE

M

ÜN

İTE

–2

Uzayda B

ir Noktanın B

ir Düzlem


üzlem A

rasındaki Uzaklık

4. Bö

lüm

4. P(3, –5, 4) noktasının, 2x – 6y + 3z + k = 0 düzlemine uzak-

lığı 6 birim olduğuna göre, k nın alabileceği değerleri bulalım.

Çözüm:

2x – 6y + 3z + k = 0 düzleminde noktasını alalım.

5. Denklemleri x – y + 2z – 1 = 0 ve 3x – 3y + 6z + 2 = 0

olan düzlemler arasındaki uzaklık kaç birimdir?

Çözüm:

x – y + 2z + 1 = 0 düzlemi üzerinden x = 0, y = 0, olup

P(0, 0, ) noktasını alalım. P(0, 0, ) noktasının

3x – 3y + 6z + 2 = 0 düzlemine uzaklığı paralel olan bu düz-

lemlerin arasındaki uzaklıktır.

birim bulunur.

6. 3x – 2y + 6z – 5 = 0 ve 6x – 4y + 12z + 18 = 0

düzlemlerinden eşit uzaklıkta bulunan noktaların geometrik

yerini bulalım.

Çözüm:

düzlemleri birbirine paraleldir.

⇒ aranan düzlem denklemi 6x – 4y + 12z + 4 = 0

7. E1: 2x – 6y + 3z + 5 = 0

E2: 6x – 3y + 2z – 7 = 0


yerini bulalım.

Çözüm:

E1 ve E2 düzlemlerine eşit uzaklıkta bulunan noktaların geo-

metrik yeri bu düzlemlerin açıortay düzlemleridir. Bu düzlem-

leri D1 ve D2 ile gösterirsek;

D1: 2x – 6y + 3z + 5 = 6x – 3y + 2z – 7 ⇒D1: 4x + 3y – z – 12 = 0

D2: 2x – 6y + 3z + 5 = –6x + 3y – 2z + 7 ⇒D2: 8x – 9y + 5z – 2 = 0

olarak bulunur.

8. 2x – y + 2z – 6 = 0 ve 2x – y + 2z + 12 = 0

düzlemleri arasındaki uzaklığı bulalım.

Çözüm:

E1: 2x – y + 2z – 6 = 0 düzleminde A(0, 0, 3)

E2: 2x – y + 2z + 12 = 0 düzleminde P(–3, 0, –3)

noktalarını alalım. nin = (2, –1, 2) üzerindeki dik

izdüşüm uzunluğu iki düzlem arasındaki uzaklığı verecektir.

olduğundan

birim

bulunur.

düzlemleri arasındaki uzaklık

formülünü kullanarak da bulunabilir.

birim bulunur.

– , ,Ak2

0 0b l

– , – , – – , , , – ,

, – ,

,,

–

. – . – .

–

– – .

k k

d P E

k

k k

k k k

k k bulunur

AP P A

N

N

AP N

3 5 42

0 02

65 4

2 6 3

2 6 3

22

65 6 3 4

6

49

6 30 126

7

486

48 42 48 42 48 42

6 90

< >

2 2 2

&

& 0

0

= = =+

=

= =+ +

++ +

=

+ + +=

+=

+ = + = + =

= =

^ b b^

^ ^^ ^

h l lh

h hh h

: – –

: –

6 – 4 12 – 10 0

–

E x y z

E x y z

x y z

x y z

3 2 6 5 0

6 4 12 18 0 6 4 12 18 0

1

2

&+ =

+ + =

+ =

+ + =4

–10

18

–D

DD

D D

2 210 18

41

2

1 2&

=

==

+=

+=4

–

–

–

– –

– – –

Dx y z x y z

Dx y z x y z

2 6 3

2 6 3 5

6 3 2

6 3 2 7

49

2 6 3 5

49

6 3 2 7

,

,

1 2 2 2 2 2 2 2

1 2

"

"

=+ +

+ +=

+ +

+

=+ +

=+

^ ^h h

AP N

– –3, 0, –6

2, –1, 2,

,

Nd E E

AP P A

N

AP N< >1 2

&= =

==

^^ ^h

h h4

,–

– . . – – . –d E E

2 1 2

3 2 0 1 6 2

9

18

318

61 2 2 2 2

=+ +

+ += = =^ ^

^ ^h hh h

: 0

: 0

E Ax By Cz D

E Ax By Cz D1 1

2 2

+ + + =

+ + + =4

,–

d E EA B C

D D

1 2 2 2 2

1 2=

+ +^ h

,–

– –d E E

2 1 2

12 6

318

61 2 2 2 2

=+ +

= =^ ^^h hh

–z 21=

–21 –2

1

–

. – . . –d

3 3 6

3 0 3 0 621

2

3 6

1

2 2 2=

+ +

+ +=^

bh

l

93

UYGULAMA ADIMI

UZ

AY

DA

DO

ĞR

U V

E D

ÜZ

LE

MÜ

NİT

E –

2U

zayda Bir N

oktanın Bir D

üzleme U


Arasındaki U

zaklık4. B

ölü

m

9. x + ky – 3z + 3 = 0 ve 2x + 4y + mz + n = 0

paralel düzlemler arasındaki uzaklık birim olduğuna

göre, k + m + n toplamının kaç olabileceğini bulalım.

Çözüm:

düzlemleri paralel olduğuna göre,

olmalıdır. Buradan k = 2, m = –6 bulunur.

alalım = (2, 4, –6) dır.

noktalarını alalım.

n = –22 n = 34 bulunur. Dolayısıyla

k + m + n = 2 – 6 – 22 = –26

k + m + n = 2 – 6 + 34 = 30 değerini alabilir.

10. Düzlemleri 2x + y – z – 8 = 0 ve x + y + z – 4 = 0 olan düz-

lemlerin arakesit doğrusundan ve P(–1, 2, 2) noktasından

geçen düzlemin denklemini bulalım.

Çözüm:

2x + y – z – 8 = 0 ve x + y + z – 4 = 0 düzlemlerinin arake-

sit doğrusundan geçen düzlemlerin denklemi

2x + y – z – 8 + k.(x + y + z – 4) = 0, k ∈ R şeklindedir.

P(–1, 2, 2) noktası düzlem denklemini sağlayacağından

2.(–1) + 2 – 2 – 8 + k.(–1 + 1 + 2 – 4) = 0

–10 + k.(–2) = 0

–2k = 10 ⇒ k = –5 bulunur.

2x + y – z – 8 + –5.(x + y + z – 4) = 0

–3x – 4y – 6z + 12 = 0

3x + 4y + 6z – 12 = 0 istenen düzlem denklemidir.

11. Denklemleri x + y + z – 2 = 0 ve x – 2y + 2z – 6 = 0

düzlemlerinin arakesitinden geçen ve

doğrusuna paralel olan düzlem denklemini bulalım.

Çözüm:

x + y + z – 2 + k(x – 2y + 2z – 6) = 0 ⇒

(1 + k) x + (1 – 2k) y + (1 + 2k) z – 2 – 6k = 0 dır. Buradan

= (1 + k, 1 – 2k, 1 + 2k) olur. Doğrunun doğrultmanı

= (2, 3, 1) dir. Doğru düzleme paralel olduğundan

olmalıdır.

2.(1 + k) + 3(1 – 2k) + 1 + 2k = 0

tür.

x + y + z – 2 + 3(x – 2y + 2z – 6) = 0 ⇒

4x – 5y + 7z – 20 = 0 aranan düzlem denklemidir.

12. Merkezi M(–1, 2, 1) noktası ve 2x – 6y – 9z + 1 = 0 düzlemine

teğet olan kürenin denklemini bulalım.

Çözüm:

Küre verilen düzleme teğet ise kürenin yarıçapı M(–1, 2, 1)

noktasının 2x – 6y – 9z + 1 = 0 düzlemine uzaklığına eşittir.

olur.

Kürenin denklemi; (x + 1)2 + (y – 2)2 + (z – 1)2 = 22 olur.

13. P(1, 2, 3) noktasının 3x + 6y + 6z – 3 = 0 düzlemine uzaklığını

bulalım.

Çözüm:

ü 1,1, 2

ü 0, 0,6

E zerinde A

E zerinde Pn

1

2

^a

hk4

– , – ,–

,,

– – – –

– – – –

–

– . – . – .–

n

d E E

n n

n n n

n

AP

N

AP N

1 1612

14

1456

2 4 1214

2 14

6

28 6 6 28 6 28

2 4 6

1 2 1 4 66

12< >

1 2 2 2 2&

&

& & 0

=

= =

=+

=

= = =

+ +

+ +

b

^ ^^ ^ ^

l

h hh h h

0

– – – – –x y z x y z2 8 5 5 5 20 0+ + =

––

x yz

22

3

54=

+=

N

u

,u ve uN N 0< >= =

– –k k k k k2 2 3 6 1 2 0 6 2 0 3& &+ + + + = = =

N

–km2

14

3= =

: –

: –

: –

: –

E x y z

E x y z n

E x y z

E x y z n

2 3 3 0

2 4 6 0

2 4 6 6 0

2 4 6 01

2

1

2

&+ + =

+ + =

+ + =

+ + =

: – 3 3 0

: 2 4 0

E x ky z

E x y mz n1

2

+ + =

+ + + =4

14

– –

. – – . – .r

2 6 9

2 1 6 2 9 1 1

1122

22 2 2

=+ +

+= =^ ^

^h h

h

. . . –

.

d

birim olur

3 6 6

3 1 6 2 6 3 3

930

310

2 2 2=

+ +

+ +

= =

94

1. Denklemleri x + 2y – z + 6 = 0 ve 4x + y – 2z – 4 = 0

olan düzlemlerinin arakesit doğrusunun vektörel denklemini

bulunuz.

2. Denklemleri 3x – y + 2z – 7 = 0 ve x + y – 2z – 1 = 0

olan düzlemlerin arakesit doğrusunun parametrik denklemini

bulunuz.

3. x – 2y + 3z + 4 = 0 ve 2x + y – 2z – 1 = 0

düzlemlerinin arakesitinden geçen ve x = 1 – k

y = 2 + 3k

z = 1 + 2k

doğrusuna paralel olan düzlem denklemini bulunuz.

4. x – 4y + z – 1 = 0 ve 2x + y – 3z – 5 = 0

düzlemlerinin arakesit doğrusundan ve P(1, –1, 2) noktasın-

dan geçen düzlem denklemini bulunuz.

5. Arakesit uzayda P(1, 0, –2) noktasının

x – 2y + 2z – 7 = 0 düzlemine uzaklığını bulunuz.

6. P(3, 1, –1) noktasının x – 3y + z – k = 0 düzlemine uzaklığı

birim olduğuna göre, k nın alabileceği değerleri bulunuz.

x = 2, y = –1 + 8k

z = 4k

x – 7y + 11z + 13 = 0

11x – 17y – 4z – 20 = 0

11

k = –12 veya k = 10

–3x – 2

–2y 4

–7z

=+

=

310

PEKİŞTİRME ADIMI

UZ

AY

DA

DO

ĞR

U V

E D

ÜZ

LE

M

ÜN

İTE

–2

Uzayda B

ir Noktanın B

ir Düzlem


üzlem A

rasındaki Uzaklık

4. Bö

lüm

95

7. düzlemi ile

düzlemleri arasındaki uzaklığı bulunuz.

8. 3x – y + 2z – 7 = 0 ve 2x + y + 3z – 12 = 0

düzlemlerine eşit uzaklıkta bulunan noktaların geometrik

yerini bulunuz.

9. 3x – 2y + 6z + 7 = 0 ve 6x – 4y + 12z – 2 = 0


yerini bulunuz.

10. x + my – 2z + 4 = 0 ve 3x – 6y + nz + k = 0

düzlemleri arasındaki uzaklık 2 birim olduğuna göre,

m + n + k toplamının toplamının alabileceği değerleri bulunuz.

11. Denklemleri 2x – 3y + z – 11 = 0 ve x + 2y + 5z + 4 = 0

olan düzlemlerin arakesit doğrusundan geçen ve

doğrusuna paralel olan düzlem denkle-

mini bulunuz.

12. 3x – y – z – 4 = 0 ve x + y – 2z – 6 = 0 düzlemlerinin arake-

sit doğrusundan geçen ve x = –2k

y = 1 + k

z = 3 + 4k

doğrusuna paralel olan düzlem denklemini bulunuz.

x – 2y – z + 5 = 0

5x + 5z – 19 = 0

6x – 4y + 12z + 6 = 0

–14 veya 22

41x – 79y – 2z – 273 = 0

16x – 20y + 13z + 30 = 0

– –x y z41

2

1

33

=+

=

–x y z2 3 6 4 4 0+ + =– –x y z3 3 2 8 0+ =

25

PEKİŞTİRME ADIMI

UZ

AY

DA

DO

ĞR

U V

E D

ÜZ

LE

MÜ

NİT

E –

2U

zayda Bir N

oktanın Bir D

üzleme U


Arasındaki U

zaklık4. B

ölü

m

96

KAVRAMSAL ADIM

UZ

AY

DA

DO

ĞR

U V

E D

ÜZ

LE

M

ÜN

İTE

–2

Uzayd

a İki Dü

zlem A

rasınd

aki Açı (Ö

lçek Açı)

5. Bö

lüm

UZAYDA İKİ DÜZLEM ARASINDAKİ AÇI(ÖLÇEK AÇI)

BÖLÜM

5

UZAYDA İKİ DÜZLEM ARASINDAKİ AÇI

Kesişen iki düzlemin arakesit doğrusuna dik olan düzlemde iki açı

oluşur. Bu açılardan biri dar açı diğeri ise geniş açıdır. Oluşan bu

iki açıdan dar olanına bu iki düzlem arasındaki açı denir. Geniş açı

dar açının bütünleyenidir.

İki düzlem arasındaki açı bulunurken bu düzlemlerin normalleri

arasındaki açı bulunarak hesaplanabilir.

düzlemleri arasındaki açı a ise;

dir.

Normalleri dik olan iki düzlem arasındaki açı 90°, normalleri lineer

bağımlı olan

N1 = λN2 (λ ∈ IR) olan iki düzlem arasındaki açı 0° dir.

UZAYDA BİR DOĞRU VE BİR DÜZLEMİN BİRBİRİNE GÖRE DURUMLARI

DOĞRU İLE DÜZLEMİN ARAKESİT NOKTASI

E: Ax + By + Cz + D = 0 düzlemi ile

doğrusu verilsin.

Doğrunun parametrik denklemleri x = x0 + λp

y = y0 + λq

z = z0 + λr dir.

Bu ifadeler düzlem denkleminde yazılırsa

A(x0 + λ.p) + B(y0 + λq) + C(z0 + λr) + D = 0

Ax0 + By0 + Cz0 + λ(λ.p + B.q + C.r) + D = 0

Buradan λ ifadesi çekilirse

parametresi bulunur. Bulunan λ değeri

yukarıdaki denklemlerde yerine yazılarak arakesit noktasının

koordinatları bulunur.

i. Ax0 + By0 + Cz0 + D ≠ 0

A.p + B.q + c.r ≠ 0 ise doğru ile düzlem tek noktada kesişir.

(ya da doğru düzlemi deler)

ii. Ax0 + By0 + Cz0 + D ≠ 0

A.p + B.q + Cr = 0 ise doğru düzleme paraleldir.

iii. Ax0 + By0 + Cz0 + D = 0

Ap + Bq + Cr = 0 ise doğru düzlemin üzerindedir denir.

180–a

N2

E2E1

a

d

N1

:

:

E A x B y C z D

E A x B y C z D

0

01 1 1 1 1

2 2 2 2 2

+ + + =

+ + + =

,

.cos

N N

N N< >

1 2

1 2a =

E

d

A

:– – –

dx x

q

y y

r

z z

p0 0 0

λ= = =

–Ap Bq Cr

Ax By Cz D0 0 0

λ =+ +

+ + +

97

KAVRAMSAL ADIM

KESİŞEN BİR DOĞRU VE BİR DÜZLEMİN ARASINDAKİ AÇI

Uzayda doğru düzleme çakışık veya paralel değilse düzlemi bir

noktada keser. Doğru ile düzlem arasında oluşan açı ya dar açı-

dır ya da dik açıdır.

Dolayısıyla doğrunun doğrultman vektörü ile düzlemin normal vek-

törünün skaler çarpımlarından yola çıkarak doğru ile düzlem ara-

sındaki açıyı bulabiliriz.

ifadesinden a açısı bulunur.

UZAYDA İKİ DOĞRUNUN BİRBİRİNE

GÖRE DURUMLARI

Uzayda bir P(x0, y0, z0) noktasından geçen ve

vektörüne paralel l1 doğrusu ile Q(x1, y1, z1) noktasından geçen

ve = (p1, q1, r1) vektörüne paralel l2 doğrusu verilsin.

l1: x = P + , (x, y, z) = (x0, y0, z0) + k(p, q, r); k ∈ R

l2: x = Q + , (x, y, z) = (x1, y1, z1) + t(p1, q1, r1) doğruları için;

i. ise doğrular aynı düzlemde bulunur. Aynı

düzlemde bulunan doğrular kesişebilir, parelel veya çakışık

durumlu olabilirler.

a. ve vektörleri lineer bağımsız ise doğrular bir nokta kesi-

şir.

b. ve vektörleri lineer bağımlı ise doğrular ya çakışık ya da

paraleldir denir.

1. olacak şekilde bir λ ∈ IR varsa yani lineer

bağımlı ise doğrular çakışıktır.

2. olacak şekilde bir λ ∈ IR bulunamıyorsa yani ve

lineer bağımsız ise doğrular paraleldir.

ii. ise doğrular farklı düzlemdedir. Bu tür

doğrulara aykırı doğrular denir.

iii. ise doğrular birbirine diktir.

ve doğruları paralel

olduğuna göre, m + n toplamını bulunuz.

E

d

V

a

90°–a

u=(p,q,r)

N

, . .π–

π–

.

,

.

cos

cos

sin

u u

u

u

A B C p q r

Ap Bq Cr

N N

N

N

2

2

< >

< >

2 2 2 2 2 2

a

a

a

=

=

=+ + + +

+ +

a

a

k

k

, ,u p q r= ^ h

V

k u

t v

, u x vPQ 0< > =

u v

u v

uPQ λ= ile uPQ

uPQ λ= PQ

u

, ≠u x vPQ 0< >

,u v 0< > =

ETK‹NL‹K

–m

x y z33

12

2+ = = +–

– –xn

y z22 2

63+ = =

UZ

AY

DA

DO

ĞR

U V

E D

ÜZ

LE

M

ÜN

İTE

–2

Uzayd

a İki Dü

zlem A

rasınd

aki Açı (Ö

lçek Açı)

5. Bö

lüm

98

UYGULAMA ADIMI

UZ

AY

DA

DO

ĞR

U V

E D

ÜZ

LE

M

ÜN

İTE

–2

Uzayd

a İki Dü

zlem A

rasınd

aki Açı (Ö

lçek Açı)

5. Bö

lüm

1. Denklemleri –2x + 2y + z – 7 = 0 ve x – z + 4 = 0 olan

düzlemlerin ölçek açısının ölçüsünü bulalım.

Çözüm:

–2x + 2y + z – 7 = 0 düzleminin normali = (–2, 2, 1)

x – z + 4 = 0 düzleminin normali = (1, 0, –1) dir.

Düzlemlerin ölçek açısı a ise;

olduğundan

2. Denklemleri 3x – 2y + ve

x + y – olan düzlemler arasındaki açının kosi-

nüs değerini bulalım.

Çözüm:

düzleminin normali

düzleminin normali dür.

olduğundan

3. Denklemleri ve

düzlemleri arasındaki açı 60° olduğuna göre, k değerini

bulalım.

Çözüm:

düzleminin normali

düzleminin normali dir.

olduğundan

4. doğrusunun x – 2y + 4z + 5 = 0

düzleminin kestiği noktanın koordinatlarını bulalım.

Çözüm:

olsun. Buradan

x = –2k – 1, y = 2k + 2, z = 3k + 3 eşitliklerini

x – 2y + 4z + 5 = 0 düzleminde yerine yazalım.

–2k – 1 – 2.(2k + 2) + 4.(3k + 3) + 5 = 0

k = –2 bulunur.

x = –2k – 1 ⇒ x = –2.(–2) – 1 ⇒ x = 3

y = 2k + 2 ⇒ y = 2.(–2) + 2) ⇒ y = –2

z = 3k + 3 ⇒ z = 3.(–2) + 3 ⇒ z = –3 bulunur.

Doğru ile düzlemin kesim noktası P(3, –2, –3) dür.

N1

N2

,

.cos

N N

N N< >

1

1 2

2

a =

– . –

– . . . –

° .

cos

cos cos x bulunur

2 2 1 1 0 1

2 1 2 0 1 1

3 2

3

2

145

2 2 2 2 2 2

& &

a

a a

=+ + + +

+ +

= = =

^ ^^

h hh

z3 2 3 0+ =

–z3 3 0=

–x y z3 2 3 2 3 0+ + = , – ,N 3 2 31= ^ h

– –x y z3 3 0+ = , , –N 31 12= ^ h

– . –

. . –

.

.

. –cos

cos cos bulunur

3 2 3 1 1 3

3 1 1 2

9 4 3 1 1 3

2

80

2

4 5

2

2 5

1

3 3

2 2 2 2 2 2

&

a

a a

=+ + + +

+

=+ + + +

= = =

+

^ ^ ^^ ^

h h hh h

–x zy2 4 0+ + = . –k x y z2 7 0+ + =

–x zy2 4 0+ + = , , –N 1 2 11= ^ h

. –k x y z2 7 0+ + = , ,kN 2 12= ^ h

,

.cos

N N

N N< >

1

1 2

2

a =

60°.

2 2 .

.

– .

. – .cos

k

k

kk

k k k k bulunur

k

k

1 2

1 2

1

3

13

3 2 1 1

1 2 1

2 1 1

1

2 2

2

2

2

2 2 2 2 2

&

& &

=+

+

=+

++

+ = + + =

+ + +

+

= +

^ ^ ^^

^h h h

h

h

–

– –x y z21

2

2

33+

= =

–

– –x y zk

21

2

2

33+

= = =

– – – – –k k k k k2 1 4 4 12 12 5 0 6 12 0 6 12& &+ + + = + = =

.

,cos

N N

N N< >

1 2

1 2a =

99

UYGULAMA ADIMI

5. Parametrik denklemi x = 3k + 2

y = 4k – 4

z = 1 – k

olan doğrunun 5x – 2y + z – 1 = 0 düzlemini kestiği noktanın

koordinatlarını bulalım.

Çözüm:

x = 3k + 2, y = 4k – 4, z = 1 – k, 5x – 2y + z – 1 = 0

düzlem denkleminde yerine yazılırsa;

5.(3k + 2) – 2.(4k – 4) + 1 – k – 1 = 0

15k + 10 – 8k + 8 – k = 0 ⇒ 6k + 18 = 0 ⇒ 6k = –18 ⇒ k = –3

x = 3k + 2 ⇒ x = 3.(–3) + 2 ⇒ x = –7

y = 4k – 4 ⇒ y = 4.(–3) – 4 ⇒ y = –16

z = 1 – k ⇒ z = 1 – (–3) ⇒ z = 4 bulunur.

Doğru ile düzlemin kesim noktası P(–7, –16, 4) dür.

6. düzlemi ile

doğrusunun arasındaki açıyı bulalım.

Çözüm:

düzleminin normal vektörü


dir. Doğru ile düzlem arasındaki açı a ise

dir. Buradan

bulunur.

7. Parametrik denklemi x = 5 – k

y = –3 + k

z = 4

olan doğru ile x + z = 2 düzlemi arasındaki açının ölçüsünü

bulalım.

Çözüm:

x + z = 2 düzleminin normal vektörü, = (1, 0, 1)

doğrusunun doğrultman vektörü, = (–1, 1, 0)

dır.

Doğru ile düzlem arasındaki açı a ise

dir. Buradan

8. Uzayda l1: ve l2:

doğrularının birbirine göre durumlarını inceleyelim.

Çözüm:

l1 doğrusu A(2, –1, 1) noktasından geçer ve doğrultmanı

dür.

l2 doğrusu P(–1, 3, 2) noktasından geçer ve doğrultmanı

dir.

Eğer ise doğrular aynı düzlemde bulunur.

bulunur.

olduğundan

l1 ve l2 doğruları aykırı doğrulardır.

–x y z2 9 0+ + =–

–x yz

2

21

34

+= = +

–x y z2 9 0+ + = , ,N 2 1 1= ^ h

–

–x yz

2

21

34

+= = +

, – ,u 2 1 1= ^ h,

.sin

u

u N

N

< >a =

. –

. . –1 .sin

2 1 1 2 1 1

2 2 1 1 1

2 2 2 2 22a =

+ + + +

+ +

^ ^ ^ ^ ^^

h h h h hh

.°sin sin

2 22

42

21

30& &a a a= = = =

N

5 –

–3

x k

y k

z 4

=

= +

=

4 u

,

.sin

u

u

N

N< >a =

. –

. –1 . .

° .

sin

sin bulunur

1 0 1 1 1 0

1 0 1 1 0

2

145

2 2 2 2 2 2

&

a

a a

=+ + + +

+ +

= =

^^

hh

––

–x y z12

2

1

31

=+

=–

––

x yz

41

1

32

+= =

, – ,u 1 2 31= ^ h

, – ,u 4 1 12= ^ h

, u x uAP 0< >1 2

=

– – – , – – , – – , ,AP P A 1 2 3 1 2 1 3 4 1= = =^^ ^h h hu1 x u2 = e1 e2 e3

1 –2 3

4 –1 1

e1 e2 e3

1 –2 3

– – – – –

– – –

e e e e e e

e e e e e e

e e e

2 12 8 3

2 12 8 3

11 7

1 3 2 3 1 2

1 3 2 3 1 2

1 2 3

= + +

= + + +

= + +

^ ^h h

, ,u x u 1 11 71 2

= ^ h, – . . . ≠u x uAP 3 1 4 11 1 7 48 0< >

1 2= + + =

UZ

AY

DA

DO

ĞR

U V

E D

ÜZ

LE

M

ÜN

İTE

–2

Uzayd

a İki Dü

zlem A

rasınd

aki Açı (Ö

lçek Açı)

5. Bö

lüm

100

1. Denklemleri olan

düzlemler arasındaki ölçek açının değerini bulunuz.

2. Denklemleri y = –x ve –2x + 2y + z – 4 = 0 olan düzlemler

arasındaki ölçek açının değerini bulunuz.

3. Denklemleri ve

olan düzlemler arasındaki ölçek açı 60° olduğuna göre, k nın

alabileceği değerleri bulunuz.

4. doğrusu 3x – 2y – z – 4 = 0 düzlemini

kestiği noktanın koordinatlarını bulunuz.


y = 3k + 1

z = 1 – k

olan doğrunun 3x – 2y – z – 6 = 0 düzlemini kestiği noktanın

koordinatlarını bulunuz.

6. doğrusu ile 4x – 3y + 12z – 13 = 0

düzlemi arasındaki açının kosinüs değerini bulunuz.

7. doğrusu ile düzlemi

arasındaki açı 30° olduğuna göre, k değerini bulunuz.

8. düzlemi

arasındaki açının tanjant değerini bulunuz.

60

– – –x y z ve x y z2 13 0 2 7 0+ = + + =

kx y kz2 7 0+ + + = – –kx y kz2 1 0+ =

– –x y z32

4

1

21

= =+

––x y z

22

1

1

27+

=+

=

90

k = 1 v k = –1

(13, 19, –5)

(5, 5, 1)

1

–––x

k

y z

2

3 4

12

=+

= – – –x y z2 5 0=

– – –x y z ve x y z2 3 2 5 0 2 3 2 7 0+ = + + =

32 2

2 2

PEKİŞTİRME ADIMI

UZ

AY

DA

DO

ĞR

U V

E D

ÜZ

LE

M

ÜN

İTE

–2

Uzayd

a İki Dü

zlem A

rasınd

aki Açı (Ö

lçek Açı)

5. Bö

lüm

101

SINAMA ADIMI1

UZ

AY

DA

DO

ĞR

U V

E D

ÜZ

LE

M

ÜN

İTE

–2

Sin

ama A

dım

ı

1. A(–1, 0, 2) noktasından geçen ve = (1, 4, –2) vektörüne

paralel olan doğrunun kartezyen denklemi aşağıdakiler-den hangisidir?

A) B)

C) D)

E)

2. A(5, –3, 2) noktasından geçen ve = (1, 0, 4) vektörüne

paralel olan doğrunun kertezyen denklemi aşağıdakiler-den hangisidir?

A) B)

C) D)

E)

3. Orijinden geçen ve = (–3, –2, 4) vektörüne paralel olan

doğrunun denklemi aşağıdakilerden hangisidir?

A) B)

C) D) x + 3 = y + 2 = z – 4

E)

4. doğrusunun doğrultman vektörü

aşağıdakilerden hangisi olabilir?

A) (2, –1, 3) B) (2, 3, 1) C) (4, 2, 5)

D) (4, –1, 3) E) (2, 2, 3)

5. A(–1, –2, 7) noktasından geçen ve doğrultman vektörü

= (4, 4, –3) olan doğrunun denklemi aşağıdakilerden

hangisidir?

A) B)

C) D)

E)

6. doğrusunun parametrik denklemi

aşağıdakilerden hangisidir?

A) x = 2 + 3k B) x = 3 + 2k

y = –3 – 2k y = –2 + 3k

z = 4 + 5k z = 5 + 4k

C) x = 5 + 3k D) x = 3 + 2k

y = 3 – 2k y = –2 – 3k

z = 4 – 5k z = 5 + 4k

E) x = 4 – 5k

y = 3 + 2k

z = 2 – 3k

u

u

––

xy z

24 2

1= =

+–

–x y z14

2

2

42+

= =+

––

xy z

14 2

2+ = =

–

– –x y z4 2

2

21

= =

–

–x

y z1

2

2

42

+ = =+

––

xz

y542

3= = + – 5–

x yz

342

= + =

––x y

z5 3

42

+ ==–

––x y z

51

3 24

= =

–– –

–x y z45

3

3

22

=+

=

u

––

–

– –x y z33

2

2

44

= =– –x y z3 2 4= =

––

x yz

3 242

= + =

x y z3 2 4= =

– –x y z42

2

1

53

=+

=

u

––x y z

31

4

2

47+

=+

=– –

x y z14

2

4

73+

=+

=+

––

–

–x y z14

2

4

73

= =+

– –

–x y z13

2

4

73+

= =+

––x y z

41

4

2

37+

=+

=

––

–x y z32

2

3

54

=+

=

1) C 2) A 3) B 4) C 5) E 6) A

102

SINAMA ADIMI1

UZ

AY

DA

DO

ĞR

U V

E D

ÜZ

LE

M

ÜN

İTE

–2

Sin

ama A

dım

ı

7. doğrusunun parametrik denklemi

aşağıdakilerden hangisidir?

A) x = 3 + k B) x = 3 + k

y = 4 + k y = 4 + 2k

z = 3 – 2k z = –3 + k

C) x = 2k + 4 D) x = 4 + k

y = y = 1 + k y = 2 – 3k

z = z = 3 – 3k z = –3k

E) x = 4 – k

y = 4 + 2k

z = 3 + k

8. Parametrik denklemi x = 2 + 3k

y = 1 – 2k

z = 4 + k

olan doğrunun geçtiği nokta aşağıdakilerden hangisidir?

A) (2, –2, 4) B) (3, –2, 1) C) (3, 1, 4)

D) (2, –2, 1) E) (2, 1, 4)


geçtiği nokta aşağıdakilerden hangisidir?

A) (4, 2, –1) B) (4, –1, 3) C) (2, –1, 3)

D) (–2, 2, –1) E) (3, 2, 4)


y = 3

z = 1 + 3k

olan doğrunun doğrultman vektörü aşağıdakilerdenhangisidir?

A) (–1, 0, 3) B)(2, 3, 1) C) (–1, 3, 3)

D) (2, 3, 3) E) (–1, 3, 1)


doğrultman vektörü aşağıdakilerden hangisi olabilir?

A) (–3, –2, –4) B) (–2, –3, –4) C) (–2, 3, –4)

D) (–2, 2, –1) E) (–4, 3, –2)

12. Aşağıdaki noktalardan hangisi denklemi

olan doğrunun üzerindedir?

A) (1, 2, –3) B) (0, –2, 4) C) (0, 4, 6)

D) (1, 1, 3) E) (2, 7, 1)

–––x y z

42

2

1

13

=+

=

–

–

–x y z

23

3

2

41+

= =+

– –x y z11

2

2

33+

= =

––

xy

z32

43= = +

7) B 8) E 9) C 10) A 11) B 12) C

103

SINAMA ADIMI2

UZ

AY

DA

DO

ĞR

U V

E D

ÜZ

LE

M

ÜN

İTE

–2

Sin

ama A

dım

ı

1. A(2, 0, –1) ve B(1, 1, 4) noktasından geçen doğrunun kar-tezyen denklemi aşağıdakilerden hangisidir?

A) B)

C) D)

E)

2. A(1, 2, –1) ve B(0, 0, –3) noktalarından geçen doğrununparametrik denklemi aşağıdakilerden hangisidir?

A) x = 1 – 2k B) x = k

y = 2 – 2k y = 2k

z = 1 + k z = –1 – 3k

C) x = 1 – k D) x = 1 – k

y = 2 – k y = 2 – 2k

z = –3 – 2k z = –1 – 2k

E) x = k

y = 2k

z = –1 + 3k

3. Orijinden ve A(–3, 2, 2) noktasından geçen doğrunun kar-tezyen denklemi aşağıdakilerden hangisidir?

A) B)

C) D)

E)

4. = (–4, m, n) vektörü doğrusuna pa-

ralel olduğuna göre, m – n farkı kaçtır?

A) –8 B) –4 C) –2 D) 4 E) 8

5. A(2, 1, 3) noktasından geçen ve = (4, –3, 1) vektörüne

paralel olan doğrunun vektörel denklemi aşağıdakilerdenhangisidir?

A) = (2, 1, 3) + k.(4, –3, 1)

B) = (4, –3, 1) + k.(2, 1, 3)

C) = (4, –3, 1) + k.(2, –4, –2)

D) = (2, 1, 3) + k.(2, –4, –2)

E) = (–2, 4, 2) + k.(2, 1, 3)

6. Uzayda denklemi olan doğrunun

doğrultman vektörlerinden biri aşağıdakilerden hangisi-dir?

A) (2, 3, 4) B) (3, 4, –2) C)

D) E)

––

xy z

21

4 1= = +––x y z12

1 51

= =+

–x y z12

1 41

= =+ –

––

–x z

y21

14

1= =

x y z2 2 3= =

–x y z3 2 2= =

–x y z3 2 2= =

–– – –x y z33

2

2

22

= =

x y z33

2

2

22+

=+

=+

A–x y z

22

6

4

45+

= =+

u

– –

–x y z3

2 24

3 1

24 2

= =+

, ,–

23

34

21b l

x

x

x

x

x

– –x yz3

22

11=

+=

–,–

, –32

41

1b l32,43, –2b l

1) B 2) D 3) B 4) B 5) A 6) C

104

SINAMA ADIMI2

UZ

AY

DA

DO

ĞR

U V

E D

ÜZ

LE

M

ÜN

İTE

–2

Sin

ama A

dım

ı

7. A(–1, 0, 3) ve B(4, 4, 3) noktalarından geçen doğrununvektörel denklemi aşağıdakilerden hangisidir?

A) = (–1, 0, 3) + k(5, 4, 0)

B) = (4, 4, 3) + k.(–1, 0, 3)

C) = (–1, 0, 3) + k.(4, 4, 3)

D) = (5, 4, 0) + k.(4, 4, 3)

E) = (5, 4, 0) + k.(–1, 0, 3)

8. A(3, 0, –4) ve B(1, 1, –1) noktalarından geçen doğrununparametrik denklemi aşağıdakilerden hangisidir?

A) x = 1 + 3k B) x = 3 + k

y = k y = 1

z = –4 – k z = –4 – k

C) x = 3 – 2k D) x = 2 + 3k

y = k y = 1 – k

z = –4 + 3k z = 4 – k

E) x = 3k

y = 1 + k

z = –4 + k

9. doğrusuna paralel olan ve A(–1, 1, 4)

noktasından geçen doğrunun vektörel denklemi aşağıda-kilerden hangisidir?

A) = (–1, 1, 4) + k(1, –1, 2)

B) = (2, 2, 4) + k.(–1, 1, –2)

C) = (–1, 1, 4) + k.(2, 4, 3)

D) = (2, 4, 3) + k.(–1, 1, 4)

E) = (–1, 1, –2) + k.(–2, 4, 3)

10. doğrusuna paralel olan ve A(–1, 4, 5)

noktasından geçen doğrunun parametrik denklemi aşa-ğıdakilerden hangisidir?

A) x = 2 + 3k B) x = –1 + 2k

y = 1 + 2k y = 1 + 2k

z = 3 z = 3k

C) x = –1 – k D) x = –1 + 3k

y = 1 + 4k y = 4 + 2k

z = 3 – 5k z = 4

E) x = 3 – k

y = 2 + 4k

z = 5k


y = 2 + 3k

z = 3 – 4k

olan doğruya paralel ve A(–2, 1, –1) noktasından geçendoğrunun vektörel denklemi aşağıdakilerden hangisidir?

A) = (1, 2, 3) + k.(–1, 2, –4)

B) = (–2, 6, –1) + k.(1, 2, 3)

C) = (–2, 1, –1) + k.(–1, 3, –4)

D) = (–1, 3, –4) + k.(–2, 1, –1)

E) = (1, 2, 3) + k.(–2, 1, –1)

12. Parametrik denklemi x = 3k

y = 1 + 2k

z = 2 – k

olan doğruya paralel ve A(0, ,2, 3) noktasından geçendoğrunun vektörel denklemi aşağıdakilerden hangisidir?

A) = (0, –2, 3) + k.(3, 2, –1)

B) = (3, 2, –1) + k.(0, ,2, 3)

C) = (0, 2, 3) + k.(3, 2, 1)

D) = (0, 1, 2) + k.(0, –2, 3)

E) = (0, –2, 3) + k.(3, 1, 2)

x

x

x

x

x

–x y z21

4

1

32+

= =+

x

x

x

x

x

– –,

x yz

32

2

13= =

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

7) A 8) C 9) C 10) D 11) C 12) A

105

SINAMA ADIMI3

UZ

AY

DA

DO

ĞR

U V

E D

ÜZ

LE

M

ÜN

İTE

–2

Sin

ama A

dım

ı

1. A(–2, 1, 1) noktasından geçen ve = (3, 1, 2) vektörüne dik

olan düzlemin denklemi aşağıdakilerden hangisidir?

A) –2x + y + z – 6 = 0 B) 2x – y – z + 4 = 0

C) 3x + y – 2z – 7 = 0 D) 3x + y + 2z + 3 = 0

E) x – 2y + 3z – 4 = 0

2. A(1, –1, –2) noktasından geçen ve

= (2, 1, 5) ve λ2 = (–3, –1, 4) vektörlerinin belirttiği düzle-

min λ1 ve λ2 parametrelerine bağlı (λ1, λ2 ∈ IR)

denklemi aşağıdakilerden hangisidir?

A) = (1, –1, –2) + (2, 1, 5) λ1 + (–3, –1, 4) λ2

B) = (–3, –1, 4) + (1, –1, –2) λ1 + (–3, –1, 4) λ2

C) = (–3, –1, 4) + (1, ,1, –2) λ1 + (2, 1, 5) λ2

D) = (2, 1, 5) + (–3, –1, 4) λ1 + (1, –1, –2) λ2

E) = (1, –1, –2) + (–5, –2, –1)λ1 + (–3, –1, 4)λ2

3. Başlangıç noktasından geçen ve = (–4, ,2, –1) vektö-

rüne dik olan düzlem denklemi aşağıdakilerden hangisi-dir?

A) 4x – 2y + z = 0 B) 4x + 2y + z – 4 = 0

C) x – 2y + 4z = 0 D) 2x – 4y – z + 2 = 0

E) 2x – y + 4z = 0

4. A(1, –3, –4) noktasından geçen ve

doğrusuna dik olan düzlemin denklemi aşağıdakilerdenhangisidir?

A) 4x – 3y – 2z – 9 = 0 B) 3x + 4y + 5z – 21 = 0

C) 2x – y + 4z – 12 = 0 D) 4x – 3y + 5z – 21 = 0

E) 3x + 4y + 5z + 29 = 0

5. A(0, 2, 4) ve B(1, –3, –1) noktaları veriliyor.

A noktasından geçen ve vektörüne dik olan düzlemin


A) 5x – y – 5z + 19 = 0 B) x – 5y – 5z + 30 = 0

C) x – 3y – z + 12 = 0 D) 2x – 5y + 4z – 3 = 0

E) x + 4y – 2z – 9 = 0

6. A(1, 1, 2), B(–1, 0, –1) ve C(0, –3, 2)

noktalarından geçen düzlem denklemi aşağıdakilerdenhangisidir?

A) x + 5y – 7z + 4 = 0 B) 9x – 5y + 3z – 21 = 0

C) 5x + 3y + 7z – 9 = 0 D) 12x – 3y – 7z + 5 = 0

E) 8x + 7y + 2z – 26 = 0

N

u

x

x

x

x

x

N

– –x y z z31

4 53+

= =

AB

1) D 2) A 3) A 4) E 5) B 6) D

106

SINAMA ADIMI3

UZ

AY

DA

DO

ĞR

U V

E D

ÜZ

LE

M

ÜN

İTE

–2

Sin

ama A

dım

ı

7. Orijinden ve A(3, 3, 1), B(0, –1, 0) noktalarından geçendüzlemin denklemi aşağıdakilerden hangisidir?

A) x – 3z = 0 B) x + y – 2z = 0

C) 3x + 3y + z = 0 D) x – 2y = 0

E) 2x – y + 3z = 0

8. 4x – 2y + 3z + m = 0 düzlemi A(1, 2, –1) noktasındangeçtiğine göre, m kaçtır?

A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6

9. 4x + 4y – z + 7 = 0 düzlemin normal vektörü = (12, m, n)

vektörüne paralel olduğuna göre, m + n toplamı kaçtır?

A) 3 B) 5 C) 7 D) 9 E) 11

10. 3x – y + 2z – 6 = 0 düzleminin normal vektörü

= (2, a, a + 1) vektörüne dik olduğuna göre,

a nın değeri kaçtır?

A) 6 B) 4 C) –2 D) –6 E) –8

11. –2x + 3y – 4z + 5 = 0 düzleminin normal vektörü

doğrusunun doğrultman vektörüne dik

olduğuna göre, k değeri kaçtır?

A) 1 B) 2 C) 5 D) 7 E) 8

12. A(3, 2, –4) noktasından geçen ve x – 3y + 4z – 6 = 0 düzle-mine paralel olan düzlemin denklemi aşağıdakilerdenhangisidir?

A) x – 3y + 4z – 2 = 0 B) 3x – y + 4z + 15 = 0

C) x – 3y + 4z + 19 = 0 D) 3x + 2y – 4z – 17 = 0

E) 4x – 3y + z – 6 = 0

u

u

–––

kx y z2

2

3

24

=+

=

7) A 8) B 9) D 10) E 11) D 12) C

107

SINAMA ADIMI4

UZ

AY

DA

DO

ĞR

U V

E D

ÜZ

LE

M

ÜN

İTE

–2

Sin

ama A

dım

ı

1.

doğrularının belirttiği düzlemin denklemi aşağıdakilerdenhangisidir?

A) 2x – y + 5z – 11 = 0

B) x + 3y + z – 8 = 0

C) 2x – 5y + 4z – 17 = 0

D) 4x – 2y + 5z + 25 = 0

E) 3x + 2y + 4z + 11 = 0

2. A(1, –1, 0) noktasının doğrusuna

uzaklığı kaç birimdir?

A) B) C)

D) E)

3. A(1, 0, 1) noktasının doğrusuna uzaklığı

kaç birimdir?

A) B) C)

D) E)

4. A(1, 1, –1) noktasının parametrik denklemi

doğrusuna uzaklığı kaç birimdir?

A) B) C)

D) E)

5. A(3, 4, 2) noktasının vektörel denklemi

= (4, 3, 1) + k.(2, 1, –2)

olan doğruya uzaklığı kaç birimdir?

A) 1 B) C) D) 2 E)

6. Denklemleri 2x – 3y + 2z + 4 = 0 ve 4x – 6y + mz + n = 0

olan paralel düzlemler arasındaki uzaklık birim

olduğuna göre, n nin pozitif değeri kaçtır?

A) 26 B) 30 C) 34 D) 42 E) 48

–

– –,

x y zve

x yz

21

1

3

23

12

2

13

+= =

+=

+=

––

–x y

z21

2

12=

+=

3 2 2 33

4 2

43 3

44 2

– –x y z12

2 21

= =

32 2

32

53 2

32 3

2 5

2 – 3

1 4

–1 12

x k

y k

z k

=

= +

= +

4

132 10

134 10

136 2

138 2

139 3

x

2 3 6

17

1) D 2) C 3) A 4) B 5) B 6) D

108

SINAMA ADIMI4

UZ

AY

DA

DO

ĞR

U V

E D

ÜZ

LE

M

ÜN

İTE

–2

Sin

ama A

dım

ı

7. Denklemleri

6x – (m – 1)y + (n – 2)z + 4 = 0 ve

2x + 3y + 6z – 21 = 0 olan düzlemler birbirine paralelolduğuna göre, m + n toplamı kaçtır?

A) 4 B) 8 C) 12 D) 16 E) 20

8. Denklemleri (m + 3)x + 2y – (k + 3)z – 5 = 0 ve

(m – 2)x + y + 2z – 7 = 0 düzlemleri birbirine paralel oldu-ğuna göre, m + k toplamı kaçtır?

A) –4 B) –6 C) –8 D) –10 E) –12

9. Denklemleri 3x + (m – 2)y + 8z + 5 = 0 ve

mx + 2y + 8z + 7 = 0 olan düzlemler birbirine dik olduğuna

göre, m kaçtır?

A) –12 B) –10 C) –8 D) –6 E) –4

10. Denklemleri 2x + (n – 3)y + 2z – 1 = 0 ve

x – y + (m – 2)z + 11 = 0 olan düzlemler birbirine dik olduğuna

göre, 2m – n farkı kaçtır?

A) –3 B) –1 C) 1 D) 2 E) 3

11. Denklemleri 4x + ky + 6z – 5 = 0 ve

2x + 6y – (2m – 4)z – n = 0 olan düzlemler çakışık olduğuna

göre, m + n + k toplamı kaçtır?

A) 10 B) 12 C) 15 D) 18 E) 24

12. A(–1, 0, 2) noktasından geçen x – 3y + nz + 7 = 0 düzlemi

2x + my – kz + 12 = 0 düzlemine paralel olduğuna göre,

k + m + n toplamı kaçtır?

A) –7 B) –3 C) –1 D) 4 E) 8

7) C 8) C 9) A 10) B 11) C 12) B

109

SINAMA ADIMI5

UZ

AY

DA

DO

ĞR

U V

E D

ÜZ

LE

M

ÜN

İTE

–2

Sin

ama A

dım

ı

1. Denklemleri x – 2y + z = 5 ve x + y – 2z = 2

olan düzlemlerin arakesit doğrusu aşağıdakilerden han-gisidir?

A)

B)

C)

D)

E)

2. Denklemleri 3x – 2y + z – 4 = 0 ve

x + 2y + z + 12 = 0 olan düzlemlerin arakesit doğrusununparametrik denklemi aşağıdakilerden hangisidir?

A) x = 2 + 4k, y = 1 + 2k, z = 4k

B) x = –2, y = –3 + 4k, z = 4 + 8k

C) x = 1 – 3k, y = 1 + k, z = 2 – k

D) x = 1 – 2k, y = 1 + 4k, z = 3 – 3k

E) x = 5 + 3k, y = 2k, z = 1 + 4k

3. Analitik uzayda A(1, 2, 4) noktasının

2x + 6y + 3z – 12 = 0 düzlemine uzaklığı kaç birimdir?

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

4. A(0, –1, –2) noktasının 3x – 4y + 12z + k = 0

düzlemine uzaklığı 2 birim olduğuna göre,

k nın alabileceği değerler toplamı kaçtır?

A) 28 B) 32 C) 36 D) 40 E) 48

5. x – 4y + 2z + 12 = 0 ve 2x – 8y + 4z – 4 = 0

düzlemlerinden eşit uzaklıkta bulunan noktaların geo-metrik yeri aşağıdakilerden hangisidir?

A) x – 4y + 2z + 5 = 0 B) 2x – 4y + 6z – 18 = 0

C) 4x + 2y + 2z – 10 = 0 D) 2x – 8y + 4z – 16 = 0

E) x – 4y + 2z – 3 = 0

6. x – 2y + 2z – 12 = 0 ve 2x – 4y + 4z + 6 = 0

düzlemleri arasındaki uzaklık kaç birimdir?

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

––

– –x y z32

3

2

24

= =

–xy z

42

1

4=

+=

–x y z33

3

1

3=

+=

––

x yz

1 132

= + =

–

–x y z31

3

3

14+

= =+

1) C 2) B 3) B 4) D 5) A 6) E

110

SINAMA ADIMI5

UZ

AY

DA

DO

ĞR

U V

E D

ÜZ

LE

M

ÜN

İTE

–2

Sin

ama A

dım

ı

7. x – 2y + z + k = 0 ve 2x – my + nz + 4 = 0

paralel düzlemleri arasındaki uzaklık birim olduğuna göre,

k + m + n toplamının en küçük değeri kaçtır?

A) –8 B) –4 C) 2 D) 4 E) 8

8. Denklemleri x + y – 2z – 12 = 0 ve x – y + z + 7 = 0

olan düzlemlerin arakesit doğrusundan ve A(1, 0, –3)noktasından geçen düzlemin denklemi aşağıdakilerdenhangisidir?

A) 2x + y + 3z + 8 = 0 B) x + 3y + 2z – 4 = 0

C) 2x – y + 3z – 6 = 0 D) x + y + 2z – 5 = 0

E) 2x – z – 6 = 0

9. Denklemleri 3x – y + 2z – 14 = 0 ve x + y – 2 = 0 düzlemi-nin arekesitinden ve A(2, 1, –2) noktasından geçen düz-lem denklemi aşağıdakilerden hangisidir?

A) 4x + 8y + 2z – 12 = 0 B) 8x + 6y + z – 20 = 0

C) x + 4y – 6z – 22 = 0 D) 2x + 4y – 3z – 7 = 0

E) 2x + y – 6z + 12 = 0

10. A(0, –2, –1) noktasının 6x – 2y + 3z – m = 0 düzlemine uzak-

lığı 3 birim olduğuna göre, m sayısının pozitif değeri aşağı-dakilerden hangisidir?

A) 22 B) 20 C) 18 D) 16 E) 12

11. 2x – 2 – 3z – 16 = 0 ve –2x + + 3z – 24 = 0

düzlemleri arasındaki uzaklık kaç birimdir?

A) 8 B) 6 C) 4 D) 2 E) 1

12. 2x – y + 4z – 4 = 0 ve 4x + y + 2z + 12 = 0

düzlemlerinden eşit uzaklıkta bulunan noktaların geo-metrik yerinin denklemi aşağıdakilerden hangisidir?

A) 2x + 2y + 2z + 15 = 0 B) x + 2y + 2z – 8 = 0

C) 2x + 2y – z – 6 = 0 D) x + y – z – 4 = 0

E) x + 2y – z – 8 = 0

y3 y2 3

6

7) C 8) E 9) B 10) A 11) A 12) D

111

SINAMA ADIMI6

UZ

AY

DA

DO

ĞR

U V

E D

ÜZ

LE

M

ÜN

İTE

–2

Sin

ama A

dım

ı

1. Denklemleri x – 2y – z + 4 = 0 ve 2x + 2y + z + 11 = 0

olan düzlemlerin arekesit doğrusundan geçen ve

, z = –4 doğrusuna paralel olan düzlemin


A) 3x + 7y – z + 7 = 0

B) 7x + 3y – 4z + 14 = 0

C) 5x – 6y + 11z – 12 = 0

D) 3x + 4y – 7z + 12 = 0

E) x + 2y + z + 6 = 0

2. Denklemleri x – 3y + 4z – 6 = 0 ve x + y – 2z – 2 = 0

olan düzlemlerin arakesit doğrusundan geçen ve

x = 1 – k

y = 2k

z = 3 + k doğrusuna paralel olan ve düzlemin denklemiaşağıdakilerden hangisidir?

A) x + 3y – 5z = 0

B) 4x + 6y – 7z + 12 = 0

C) 4x + 7y – 8z – 4 = 0

D) 2x + 5y + 7z – 9 = 0

E) 6x + 5y – 8z – 14 = 0

3. x – 2y + 2z – 16 = 0 ve x + 2y + 2z – 11 = 0

düzlemleri arasındaki ölçek açının ölçüsü kaç derecedir?

A) 15 B) 30 C) 45 D) 60 E) 90

4. x + y – z + 7 = 0 ve x – y + z – 4 = 0

düzlemleri arasındaki ölçek açının ölçüsü kaç derecedir?

A) 120 B) 90 C) 60 D) 45 E) 15

5. 2x + y – 2z + 6 = 0 ve 2x + 2y – z – 2 = 0

düzlemleri arasındaki açının tanjant değeri aşağıdakiler-den hangisidir?

A) B) C)

D) E)

6. x – y + z + 6 = 0 ve a.x + y – z – k = 0

düzlemleri arasındaki açının 60° olması için a değeri kaçolmalıdır?

A) –2 B) –1 C) 0 D) 1 E) 2

––x y

42

2

1=

+

2 2 2 2

2 2

215

37

36

22

2 2

817

1) E 2) A 3) D 4) C 5) A 6) D

112

SINAMA ADIMI6

UZ

AY

DA

DO

ĞR

U V

E D

ÜZ

LE

M

ÜN

İTE

–2

Sin

ama A

dım

ı

7. doğrusunun 2x – 3y + z + 12 = 0

düzleminin kesim noktası aşağıdakilerden hangisidir?

A) (11, 7, 21) B) (10, –7, 4)

C) (20, 11, –9) D) (3, 8, 12)

E) (–3, 11, 19)


y = 3k – 1

z = 2 – k

olan doğrunun x – y + 2z – 12 = 0 düzlemini kestiği noktanın

2x + 2y + z – 8 = 0 düzlemine olan uzaklığı kaç birimdir?

A) 2 B) 3 C) 4 D) 6 E) 8

9. Vektörel denklemi = (–1, –1, –2) + k.(2, 2, 1) olan doğru ve

x + 2y + z – 2 = 0 düzleminin kesim noktası aşağıdakiler-den hangisidir?

A) (1, 1, –1) B) (–1, 0, 0)

C) (3, –2, –1) D) (1, 2, 1)

E) (2, 2, 9)

10. doğrusu ile x + 2y + z – 7 = 0

düzlemi arasındaki açının cotanjant değeri aşağıdakiler-den hangisidir?

A) B) C)

D) E)

11. doğrusu ile 2x – y + z – 1 = 0

düzleminin arakesit noktası aşağıdakilerden hangisidir?

A) (–1, 0, 1) B) (1, 1, 0) C) (–1, 2, 2)

D) (1, 3, 1) E) (2, 2, –1)

12. doğrusu ile x – y – 2z + 4 = 0

düzlemi arasındaki dar açının ölçüsü aşağıdakilerdenhangisidir?

A) 15 B) 30 C) 45 D) 60 E) 75

x

––x y

z12

2

2=

+=

5 2 5 3 5

–

–x yz

21

1

21

+= = +

– –x

y z29

3 1+

= =

–––x

yz

21

21

= =

25

45

7) C 8) E 9) A 10) D 11) B 12) B

113

UZ

AY

DA

DO

ĞR

U V

E D

ÜZ

LE

M

ÜN

İTE

–2

DERS NOTLARI

uzayda doĞru ve dÜzlem - matematik.academy–abt-uzayda-doğru-ve-düzlem-pdf...analitik uzayda...

Documents