ÜÇgen ve Çokgenlerle İlgİlİ soru ve aliŞtirmalar
DESCRIPTION
ÜÇGEN VE ÇOKGENLERLE İLGİLİ SORU VE ALIŞTIRMALARTRANSCRIPT
ÇokgenÇokgen
Çokgensel bölgeÇokgensel bölge
İç bükey – Dış bükey çokgenİç bükey – Dış bükey çokgen
Çokgenin temel elemanlarıÇokgenin temel elemanları
Köşeleri:Kenarları:İç açıları:Dış açıları:Köşegenleri:
Kenar – Köşegen ilişkisiKenar – Köşegen ilişkisi
Bir köşe belirleyiniz ve belirlediğiniz köşeden geçen kaç tane köşegen olduğunu bulunuz. Genelleyiniz.
Kenar – Açı ilişkisiKenar – Açı ilişkisi
Kenar sayısına göre iç açılarının toplamını ve dış açılarının toplamını bulunuz. Genelleyiniz.
Bir çokgenin temel elemanlarıyla belirlenmesiBir çokgenin temel elemanlarıyla belirlenmesi
n kenarlı bir çokgenin, en az n – 2 tane uzunluk olmak üzere, 2n – 3 tane temel elemanının verilmesiyle belirlenir.
Üçgen ve temel elemanlarıÜçgen ve temel elemanları
Köşeleri:Kenarları:Açıları (iç açıları):Dış açıları:İç açılar toplamı:Dış açılar toplamı:
Açılarına göre üçgen çeşitleriAçılarına göre üçgen çeşitleri
Kenarlarına göre üçgen çeşitleriKenarlarına göre üçgen çeşitleri
Üçgenin kenarortayları – Ağırlık merkeziÜçgenin kenarortayları – Ağırlık merkezi
Üçgenin yükseklikleri – Diklik merkeziÜçgenin yükseklikleri – Diklik merkezi
Bir köşeye ait yardımcı elemanlarBir köşeye ait yardımcı elemanlar
a A ah n v
Üçgenin açıortayları – İç merkezÜçgenin açıortayları – İç merkez
Üçgenin dış açıortayları – Dış merkezÜçgenin dış açıortayları – Dış merkez
Ödev 1 Ödev 1
Ödev 2 Ödev 2
Ödev 3 Ödev 3
Ödev 4 Ödev 4
Ödev 5 Ödev 5
Ödev 6 Ödev 6
Ödev 7 Ödev 7
Ödev 8 Ödev 8
Ödev 9 Ödev 9
Ödev 10 Ödev 10
Ödev 11 Ödev 11
Ödev 12 Ödev 12
Ödev 13 Ödev 13
Ödev kontrol tarihi:
Adı Soyadı:Sınıf:No:
Açı – Kenar ilişkileri 1Açı – Kenar ilişkileri 1
Üçgenin açısı büyürse karşısındaki kenar da büyür, açı küçülürse karşısındaki kenar da küçülür.
m(B) m(C) b c Örnek
olduğunu ispatlayınız. Genelleme
m(A) m(B) m(C)
Açı – Kenar ilişkileri 2Açı – Kenar ilişkileri 2
Üçgen eşitsizliği: Bir üçgende herhangi bir kenarın uzunluğu, diğer iki kenarın uzunluklarının toplamı ile farkı arasındadır.
b c a b c
b
c
İspat
Alıştırma 1Alıştırma 1
İki kenarı 3 ve 4 cm olan üçgenin diğer kenar uzunluğunun alacağı tam sayı değerleri bulunuz ve bu değerlere göre değişen uzunluğun karşısındaki açı çeşidini yazınız.
Alıştırma 2Alıştırma 2
B geniş açı olduğuna görex in alabileceği değer aralığını bulunuz.
Alıştırma 3Alıştırma 3
B geniş açı olduğuna görex in alabileceği değer aralığını bulunuz.
Ödev 1Ödev 1
6
3
x
x in değer aralığını bulunuz.
10
6 x
5 12
x
Ödev 2Ödev 2
Ödev 3Ödev 3
Ödev 4 Ödev 4
Ödev 5 Ödev 5
Ödev 6 Ödev 6
Ödev 7 Ödev 7
Ödev 8 Ödev 8
Ödev 9 Ödev 9
Ödev 10 Ödev 10
Ödev 11 Ödev 11
Adı Soyadı: Sınıf: No: Kontrol tarihi:
Sinüs teoremiSinüs teoremi
a b c2R
sinA sinB sinC
R : çevrel çemberin yarı çapı
İspat 1:1 1 1
S bcsinA acsinB absinC2 2 2
İspat 2:
sin A =
Sinüs oranı ile ilgili ansiklopedik bilgilerSinüs oranı ile ilgili ansiklopedik bilgilera b c a b c
2RsinA sinB sinC sin(B C) sin(A C) sin(A B)
sin A = sin (180o – A) = sin (B+C)
o o 1sin30 sin150
2
o o 2sin45 sin135
2
o o 3sin60 sin120
2
osin90 1
A + B + C = 180o
1 1 1A(ABC) ab sinC ac sinB bc sinA
2 2 2
o osin0 sin180 0
1 1 1A(ABC) ab sin(A B) ac sin(A C) bc sin(B C)
2 2 2
2A(ABC) 2R sinA sinB sinC
sin(B C) sinBcosC sinBcosC
1sinB sinC cos(B C) cos(B C)
2
sin(B C) sinBcosC sinBcosC
B C B CsinB sinC 2sin cos
2 2
osinA cos(90 A)
A AsinA 2sin cos
2 2
2sinA 1 cos A
Alıştırma 1Alıştırma 1
2k....
2k
....
....
k....
........
3k
....
....
2k
....
3k
....
2k
Sinüs teoremi sonucuSinüs teoremi sonucu
2k
2k
2k k
3k
2k
k
3k
k
150°75°
6 2k
2
165°15°
6 2k
2
k2k
6 2k
2
2k3k
6 2k
2
6 2k
2
6 2k
22k
6 2 22 6 2
Alıştırma 2Alıştırma 2
12
x
12
x
2. yol: ek çizim
Alıştırma 3Alıştırma 3
6 3
x
6 3
x
2. yol: ek çizim
Alıştırma 4Alıştırma 4
2. yol: ek çizim
2
x y ?
Ödev 1Ödev 1
Çevre(ABC)=?
Ödev 2Ödev 2
2 3
x y ?
2
x y ?
Ödev 3Ödev 3
Ödev 4Ödev 4
Kosinüs teoremi (hatırlatma)Kosinüs teoremi (hatırlatma)
2
2 2 2
2
a
b a c 2ac cosB
c
A
B Ca
bc
2 2
2
2
BA
2 2 2
2 2 2
o 2
AC AB BC
AC AB BC
AC AB BC
AC AB BC AB BC
AC AB AB 2AB BC BC BC
AC AB BC 2 BA BC cosB
b a c 2ac cosB
cos90 0 b a
��������������
������������������������������������������
������������������������������������������
������������������������������������������
����������������������������������������������������������������������
��������������������������������������������������������������������������������������������������
����������������������������������������������������������������������
2 2c
Kosinüs oranı ile ilgili ansiklopedik bilgilerKosinüs oranı ile ilgili ansiklopedik bilgiler
cos A = – cos (180o – A) = – cos (B+C)
o o 3cos30 sin60
2
o o 2cos45 sin45
2
o o 1cos60 sin30
2
o ocos180 cos0 1
A + B + C = 180o
o ocos90 sin0 0
cos(B C) cosBcosC sinBsinC
1cosB cosC cos(B C) cos(B C)
2
cos(B C) cosBcosC sinBsinC
B C B CcosB cosC 2cos cos
2 2
ocosA sin(90 A)
2 2A AcosA cos sin
2 2
2cosA 1 sin A
o o 3cos150 cos30
2
o o 2cos135 cos45
2
o o 1cos120 cos60
2
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 2 2
a b c 2bc cosA
b a c 2ac cosB
c a b 2ab cosC
b c acosA
2bca c b
cosB2ac
a b ccosC
2ab
Alıştırma 1Alıştırma 1
Alıştırma 2Alıştırma 2
2. yol
Alıştırma 3Alıştırma 3
Ödev 1Ödev 1
Ödev 2Ödev 2
Ödev 3Ödev 3
Üçgenin kenarını bölen noktaÜçgenin kenarını bölen nokta
D noktası, ABC üçgeninin [BC] kenarını oranında içten bölen noktadır.
D’ noktası; ABC üçgeninin [BC] kenarını oranında dıştan bölen noktadır. D'B m'D'C n'
DB mDC n
n'
Özel olarak;
AB BD BD'[AD] iç açıortay, [AD']dış açıortay olur.
AC CD CD'
BD[AD] kenarorta olur.
CD
AçıortayAçıortay
AB BD BD'AC CD CD'
n'
oranlarıyla elde edilen D ve D’ noktalarına sırasıyla iç açıortay ayağı ve dış açıortay ayağı denir.
[AD]: iç açıortay
[AD’]: dış açıortay
2
2
x bc mn
x' m'n' bc
Açıortay uzunlukları x ve x’ ile gösterilirse;
Alıştırma 1Alıştırma 1
Alıştırma 2Alıştırma 2
Alıştırma 3Alıştırma 3
Üçgenin iç merkeziÜçgenin iç merkeziHerhangi bir üçgenin iç açıortayları tek noktada kesişir. Bu noktaya (K) üçgenin iç merkezi denir. Üçgenin iç merkezi, iç teğet çemberinin de merkezidir.
Açıortay üzerindeki bir noktadan kenarlara inilen dikmeler eşittir.
K
Üçgenin dış merkeziÜçgenin dış merkeziHerhangi bir üçgenin iki dış açıortayı ile diğer iç açıortayı tek noktada kesişir. Bu noktaya üçgenin dış merkezi denir. Üçgenin üç tane dış merkezi vardır.
D
EF
AKKD
BKKE
CKKF
Dış teğet çemberlerDış teğet çemberlerÜçgenin dış merkezleri, dış teğet çemberlerin merkezidir.
Alıştırma 1Alıştırma 1
Alıştırma 2Alıştırma 2
20
AE?
ED
Ödev 1 Ödev 1
Ödev 2 Ödev 2
Ödev 3 Ödev 3
Ödev 4 Ödev 4
Ödev 5 Ödev 5
Ödev 6 Ödev 6
Ödev 7 Ödev 7
Ödev 8 Ödev 8
Ödev 9 Ödev 9
Ödev 10 Ödev 10
x
Ödev 11 Ödev 11
Ödev 12Ödev 12
Kenarortay 1Kenarortay 1
Va
22 2 2
a
2b
2c
a2 v b c
2
2 v2
2 v2
a2
2ax .........
AlıştırmaAlıştırma
Kenarortay 2Kenarortay 2
22 2 2
a
22 2 2
b
22 2 2
c
2 2 2a b c
2 2 2
a2 v b c
2b
2 v a c2c
2 v a b2
_________________
v v v 3a b c 4
AlıştırmaAlıştırma
2 2 2a) Va Vb Vc ?
b) Kenarortayları küçükten büyüğe sıralayınız.
Kenarortay 3Kenarortay 3
oa
amA 90 v
2
Muhteşem üçlü : BD = DC = AD, m(A)= 90o
22
2
2 2 22 2 2a b c
a b c2 2 2
a2Va
2Va
v v v 35v v v
4a b c
2 2 2 2 2 2a b cb c a b c , 5v v v
k
AG
BD DC
BC
2 2 2 2 2 2b c a b cv v v v v , 5a b c
AG
BD DC
BC
k
Alıştırma 1Alıştırma 1
17
Alıştırma 2Alıştırma 2
a) A ile K noktaları arasındaki uzaklık ?
b) x2 + y2 = ?
Kenarortay 4Kenarortay 4
Köşeleri A(x1, y1), B(x2, y2), C(x3, y3) olan ABC üçgensel bölgenin ağırlık merkezi G(x0, y0) ise;
A
B CD
EG
D noktasının koordinatları:
G noktasının koordinatları:
1 2 30
1 2 30
x x xx
y y yy
AlıştırmaAlıştırma
O
x
yA
B
G
AOB üçgensel bölgenin ağırlık merkezi G(6,8) olduğuna göre,
2 2a) AG GB ?
b) A noktası ile B noktasının koordinatları toplamı kaçtır?
Ödev 1Ödev 1
Ödev 2Ödev 2
Ödev 3Ödev 3
Ödev 4Ödev 4
Ödev 5Ödev 5
Ödev 6Ödev 6
Ödev 7Ödev 7
Ödev 9Ödev 9
Ödev 10Ödev 10
Ödev 11Ödev 11
Ödev 12Ödev 12
Ödev 13Ödev 13
YükseklikYükseklik
Herhangi bir üçgenin yükseklikleri tek noktada kesişir , bu noktaya üçgenin diklik merkezi denir.
Verilen üçgenlerde ha, hb ve hc yükseklik uzunluklarını ve diklik merkezlerini gösteriniz.Köşelerinin koordinatları verilen üçgenin yüksekliklerinden birini hangi yöntemleri kullanarak bulabilirsiniz. Tartışınız.
Araştırma – İnceleme Araştırma – İnceleme
b
a
b'��������������
b ab' a
a a
b vektörünün a vektörü üzerindeki dik izdüşüm vektörü b’ vektörü ise
Köşelerinin koordinatları verilen bir üçgenin, dikme ayaklarının koordinatlarının bulunması için kullanılabilir. İki nokta arasındaki uzaklık ile yükseklikler de bulunabilir.
AlıştırmaAlıştırma
Köşeleri A(1, 2), B(3, 4), C(4, 1) olan ABC üçgeninin C noktasından çizilen yüksekliğin dikme ayağı D ve diklik merkezi H noktasıdır.
a)D dikme ayağının koordinatlarını bulunuz.
b)[CD] yüksekliğinin uzunluğunu bulunuz.
c)Bu üçgenin yüksekliklerinin tek noktada kesiştiğini göstermek için hangi adımların yapılması gerektiğini söyleyiniz.
Üçgensel bölgenin alanıÜçgensel bölgenin alanı
Üçgenin alanı denildiğinde, üçgensel bölgenin alanı düşünülür.
Üçgen alanı = (taban x yükseklik) / 2
Üçgen alanı = dikdörtgen alanı / 2
Üçgen alanı = paralelkenar alanı / 2
Temel alan formülü ve yorumları 1Temel alan formülü ve yorumları 1
ha
a
A
B C
a b cah bh chA(ABC)
2 2 2
a b c
b c a b c
b c a b c
2s 2s 2sA(ABC) s a , b , c
h h h
b c a b c
2s 2s 2s 2s 2sh h h h h
1 1 1 1 1h h h h h
Alıştırma Alıştırma
Bir ABC üçgeninde, ha = 3 cm, hb = 4 cm olduğuna göre hc nin değer aralığı nedir?
Temel alan formülü ve yorumları 2Temel alan formülü ve yorumları 2
1) Yükseklik ve tabanları aynı olan üçgenlerin alanları da eşittir.
2) Yükseklikleri aynı olan üçgenlerin alanları oranı tabanları oranına eşittir.
A B
CD
E
A(DAB) A(CAB)
A(ADC) A(BDC)
A(EAD) A(EBC)
A(ABD) mA(ADC) n
A(ABD) mA(ABC) m n
A
B CDm n
Alıştırma 1Alıştırma 1
510
Taralı alanı =?
Alıştırma 2Alıştırma 2
Alıştırma 3Alıştırma 3
Sinüs alan ve yorumlarıSinüs alan ve yorumlarıA
B C
1A(ABC) acsinB
2
a
c
A
B C
D
Emn
TA m nA b c
A
B C
D
Emn
p
r s
t
TA m r t p s nA a b c
Alıştırma 1Alıştırma 1
Alıştırma 2Alıştırma 2
Alıştırma 3Alıştırma 3
paralelkenar a3a
4b
3b
7b
s1
s2
1
2
s?
s
Heron alan formülüHeron alan formülüA
B C
A(ABC) u(u a)(u b)(u c)
a b cu
2
a
cb
Kenar uzunlukları 5, 6 ve 7 cm olan üçgenin alanını bulunuz.Örnek
Alan formülü ile R nin bulunuşuAlan formülü ile R nin bulunuşu
Kenar uzunlukları 5, 6 ve 7 cm olan üçgenin çevrel çember yarı çapını bulunuz.
Örnek
A(ABC) sabc
S4R
Alan formülü ile r nin bulunuşuAlan formülü ile r nin bulunuşu
Kenar uzunlukları 5, 6 ve 7 cm olan üçgenin iç teğet çemberinin yarı çapını bulunuz.
Örnek
A(ABC) s
S u r
a b cu
2
Ödev 1Ödev 1
Ödev 2Ödev 2
Ödev 3Ödev 3
Ödev 4Ödev 4
Ödev 5Ödev 5
ABC üçgeninde ha = 6 cm, Va = 8 cm olduğuna göre, nA hangi aralıkta değer alır?
Ödev 6Ödev 6
Ödev 7Ödev 7
Ödev 8Ödev 8Köşeleri A(-4, 3), B(0, -2), C(-3, 0) olan üçgenin [BC]
kenarına ait yükseklik ayağının koordinatları toplamı
kaçtır?
ABC üçgeninin [BC] kenarına ait yükseklik ayağı H noktasıdır.
BA=(2,6) ve BC=(8,0) olduğuna göre,H noktasının koordinatları toplamı kaçtır?
����������������������������
Ödev 9 Ödev 9
Ödev 10 Ödev 10
Ödev 11 Ödev 11
Ödev 12 Ödev 12
Ödev 13 Ödev 13
Ödev 14 Ödev 14
A
B C
D
E31
1
2 2
5
Ödev 15 Ödev 15
dikdörtgen
paralelkenar
Karnot teoremiKarnot teoremi
A B C AC' A' B'
C' AB,B' AC,A' BC
2 2 2 2 2 2AC' C'B BA' A'C CB' B'A 0
Bir üçgende kenar doğrularından çıkılan dikmelerin tek noktada kesişmesi için gerek ve yeter şart:
Alıştırma 1Alıştırma 1
Üçgenlerin kenar orta dikmeleri tek noktada kesişir, bu nokta çevrel çember merkezidir.
a/2 a/2
b/2
b/2c/2
c/2
?2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
AC' C'B BA' A'C CB' B'A 0
c c a a b b0
2 2 2 2 2 2
Alıştırma 2Alıştırma 2
Üçgenlerin açıortayları tek noktada kesişir, bu nokta iç teğet çember merkezidir.
?2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
AC' C'B BA' A'C CB' B'A 0
n n m m p p 0
Alıştırma 3Alıştırma 3
Üçgenlerin yükseklikleri tek noktada kesişir. Bu nokta diklik merkezidir.
2 2 2 2 2
2 2 2 2 2
2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
AK x n y t
BK z p x m
CK y s z r
____________
n p s t m r
n m p r s t 0
AC' C'B BA' A'C CB' B'A 0
Alıştırma 4Alıştırma 4
Bir üçgenin iki dış açıortayı ile diğer iç açıortayı tek noktada kesişir. Bu nokta dış teğet çember merkezidir.
2 2 2 2 2 2
AC' B'A
C'B BA'
A'C CB'
AC' C'B BA' A'C CB' B'A 0
Alıştırma 5Alıştırma 5
Genel karnot teoremiGenel karnot teoremiA1A2A3A4A5 …An herhangi bir çokgen olmak üzere, çokgen düzleminde alınan
bir noktadan sırasıyla ardışık A1A2, A2A3, A3A4, …AnA1 kenar doğrularına inilen
dikme ayakları A’1, A’2, A’3, …, An ise 22 2 2 2 2
1 1 1 2 2 2 2 3 n n n 1A A' A' A A A' A' A ... A A' A' A 0
Bu bağıntı sağlanıyorsa A’1, A’2, A’3, …, An noktalarından çıkılan dikmeler tek noktada kesişir.