ugyanaz , több oldalról megvilágítva

Ugyanaz, több oldalról megvilágítva

2014. június 30. Aszód

Miért jó a több oldali megközelítés?

- Segíti a megértést.

- Könnyebbé teszi a felidézést.

- Más problémáknál lehet, hogy majd csak egy

megközelítés vezet célra.

- Segít abban, hogy egységben lássuk a …

- Mert így szebb, érdekesebb, akár vonzóbb is

lehet a tananyag tárgyalása.

I. Amikor a fizika segít a matematikának

Közismert feladat:

Adott egy e egyenes, és egyik oldalán két pont A és B. Határozzuk meg az egyenesnek azt a P pontját, amelyre AP+PB minimális!

A

B

P

I. Amikor a fizika segít a matematikának

Közismert feladat:

Adott egy e egyenes, és egyik oldalán két pont A és B. Határozzuk meg az egyenesnek azt a P pontját, amelyre AP+PB minimális!

A

B

P B’

Vizsgáljuk a gyűrűre ható erőket!

A huzal csak a huzalra merőleges erőt tud gyakorolni a gyűrűre.

Így a két gumiszál által gyakorolt erő eredője is merőleges a huzalra, nagyságuk pedig egyenlő. Ezért egyenlő szöget zárnak be a huzallal.

Az ábra szerinti B pontban van egy búvár, akinek annyi levegője van, hogy még 150 m utat tud

megtenni a vízben, hogy a hajóhoz érjen: BD+DA=150 . Milyen maximális d mélységet tud

elérni?

Milyen irányban

induljon a

búvár?

A

B

C

d

D

120 m

50 m

Rögtön lefelé?

A

B

C

D

120 m

50 m

x 150-x

Ha rögtön lefelé indul a búvár?50 m + 14 m = 64 m mélységet tud elérni. Van-e ennél jobb megoldás?

Képzeljük el, hogy a B és A közé egy 150 m-es kötelet húzunk, és arra egy csigán súlyt akasztunk.

2 2 2

2 2

(50 ) 120 (150 )

2500 100 14400 22500 300

560014

400

x x

x x x x

x

A fizika segít

A két piros erővektor

egyenlő. (Miért?)

Ezért egyenlő szöget

zárnak be a függőle-

gessel.

EA = 150 CE=90

d = CF = 70 m.

A

B

C

d

D

120 m

50 m

E

F

G

Az ABC hegyesszögű háromszög AB, BC, CA, oldalain határozzuk meg a P, Q, R pontokat

úgy, hogy a PQR háromszög kerülete minimális legyen!

Geometriai megoldás

A B

P’’

Q

R

C

P

P’

Fizikai meggondolással Húzzunk ismét gumiszálat gyűrűkre!Az erők ismét egyenlő szöget zárnak be az oldalakkal.

Ezt elegendő tudni?

Igen, mert csak egy megfelelő δ, ε, φ szögekkel rendelkező háromszög van.

R

B A

Q

δ δ

ε ε

φ

φ

C

P

Az ABC hegyesszögű háromszög belsejében határozzuk azt a P pontot,

amelyre AP+BP+CP minimális!

I.Geometriai megoldás

Forgassuk el az APB háromszöget B körül 60º-kal!

A

B

P

P’ A’

60 C

II. Geometria megoldás

• Használjuk fel, hogy egy szabályos háromszög bármely belső pontjából az oldalakra állított merőlegesek összege állandó!

II. Geometria megoldás

A

B

P

C

B’

C’

A’

Q

A1

B1

C1

Legyen P az izogonális pont, és a A1B1C1 szabályos háromszög oldalai legyenek merőlegesek a PA, PB, PC szakaszokra! Ekkor PA+PB+PC = =QA’+QB’+QC’ ≤≤ QA + QB + QC

Fizikai meggondolás

Mikor lesz a P pontban a csomó három egyenlő nagyságú erő hatására egyensúlyban?

Ha .

Ekkor viszont a három

egyenlő erő páronként

120º-os szöget zár be.

B

A

C P

1 2 3 0F F F ��

Milyen P pontra PA2+PB2+PC2 minimális?

P-ben levő gyűrűből egy-egy eredetileg elhanyagolható hosszúságú gumiszálat húzunk a csúcsokba.A gyűrű oda áll, be, ahol -végzett munka minimális, -az erők összege 0. Az erő arányos a megnyúlással, ezért felvehetjük az erővektorokat úgy, hogy azok éppen a csúcsokba mutassanak.

Ezek összege csak a súlypontból induló vektorokra 0.

B

A

C P

2 2 21( )

2W D PA PB PC

0PA PB PC ��

Amikor a geometria segít az algebrának

Legyenek x, y, z a [0;1] intervallum tetszőleges számai. Mutassuk meg, hogy

0 ≤ x(1-y) + y(1-z) + z(1-x) ≤1!

A bal oldali egyenlőtlenség nyilvánvalóan igaz, hiszen mindhárom tag nem negatív.

Csak a jobb oldali egyenlőtlenséggel foglakozunk.

0 ≤ x(1-y) + y(1-z) + z(1-x) ≤1!

Algebrai megoldás: A jobb oldali egyenlőtlenség bizonyításához vizsgáljuk a tagok két

tényezőjét. I. Ha van köztük olyan, amelyben az egytagú nem kisebb a

másiknál, pl x ≥1-y (*), akkor végezzük a következő becslést

x(1-y) + y(1-z) + z(1-x) = x+y+z-xy-yz-zx = z(1- y-x) + y+x –xy ≤ y+x –xy ≤ 1

Az első egyenlőtlenség azért igaz, mert (*) miatt az elhagyott tag nem pozitív. A második 0-ra redukálással, szorzattá alakítással látható be:

0 ≤ 1- y-x +xy = (1-x)(1-y), és itt mindkét tényező nem negatív.

0 ≤ x(1-y) + y(1-z) + z(1-x) ≤1!

II: Ha minden a tagban az egytagú tényező kisebb a kéttagúnál:

x < (1-y), y < (1-x), z < (1-x), akkor legyen

X=1-x, Y=1-y, Z=1-z, ekkor x=1-X, y=1-Y, 1-Z=z, és az egyenlőtlenség új alakja:

(1-X)Y +(1-Y)Z + (1-Z)X ≤1.

Itt viszont már Y ≥ 1-X, ezért ez az egyenlőtlenség az I. pont szerint igazolható.

Függvénytani megoldás

Tekintsük a vizsgált kifejezést x függvényének, amelyben y és z paraméterek: f(x) = x(1-y)+y(1-z)+z(1-x)=(1-y –z)x + (y + z –yz). 0≤x ≤1Egy zárt intervallumon értelmezett lineáris függvény szélsőértékeit a végpontokban vesz fel, ezért elég megmutatni, hogy f(0) ≤ 1 és f(1) ≤1. Ez pedig igaz, mert f(0) =y+z–yz≤ 1, hiszen 0 ≤ 1- y-x +xy = (1-x)(1-y), és itt mindkét tényező nem negatív; továbbá f(1) = 1 – yz ≤1.

Geometriai megoldás Mivel kéttényezős szorzatokat vizsgálunk, próbáljuk meg azokat területek mértékeként értelmezni! Tekintsünk egy 1 oldalú szabályos háromszöget, és ennek oldalain vegyük fel az x, y, z hosszúságú szakaszokat .Ahhoz, hogy területeket tudjunk értelmezni, az x(1-y)+y(1-z)+z(1-x) ≤1 egyenlőtlenség mindkét oldalát szorozzuk 1/2·sin 60 -kal!

Az itt szereplő tagok, rendre a BPQ, CQR, ARP ill. ABC háromszögek területei.

B

C

y

1-x

1-y

1-z

z

P

Q

R

60° 60°

60°

x

1

A

(1 )sin 60 (1 )sin 60 (1 )sin 60

2 2 2

1 sin 60

2

x y y z z x

Az ábrák mutatják, hogy az alsó határ nem növelhető, a felső nem csökkenthető.

x, y, z olyan pozitív számok, amelyekre x2 + xy+ y2 = 25, y2 + yz+ z2 =36, z2 + zx+ x2 = 49.

Határozzuk meg xy + yz + zx értékét!

Algebrai megoldásSzorozzuk az egyenleteke rendre (x-y)-nal, (y-z)-vel, (z-x)-szel!

Helyettesítsük ezt vissza az eredeti első egyenletbe :

3 3

3 3

3 3

25 25

36 36

49 49

0 13 11 24

x y x y

y z y z

z x z x

z y x

11 13

24

y zx

x2 + xy+ y2 = 25, y2 + yz+ z2 =36, xy + yz + zx= ? z2 + zx+ x2 = 49.

2 2 22121 286 169 11 13

25576 24

y yz z y yzy

961y2 + 598yz+ 169z2 =14400y2 + yz+ z2 =36

egyenletrendszerben a konstanst érdemes kiküszöbölni.

961y2 + 598yz+ 169z2 =14400400 y2 + 400yz+400 z2 =14400

561y2 +198 yz -231z2 =0. /:33z2

17 y2 +6 yz+ 7z2 =36, xy + yz + zx= ?

Ennek pozitív gyöke

Visszahelyettesítjük az y2+yz+z2=36 egyenletbe.

Ebből:

3 8 2

1 0,48

79

y

z

3 8 2

17y z

375 88 26 4,564

433z

207 104 26 2.232

433y

207 104 2 375 88 266 78

433 433 3,49524

x

24 2 33,94xy yz zx

x, y, z olyan pozitív számok, amelyekre x2 + xy+ y2 = 25,

y2 + yz+ z2 =36,

z2 + zx+ x2 = 49.


5 6

7

y

x z

120 P 120 120

A C

B

Geometriai (trigonometriai) megoldás

Az 5,6,7 egység oldalú ABC háromszögben P legyen az a pont, amelyből az oldalak 120-os szögben látszanak. Ha x=PA, y=PB, z=PC, akkor a fenti egyenletek éppen a PAB, PBC, PCA háromszögekre felírt cosinus tételek.

Az egyenletrendszernek csak egy pozitív számhármas a megoldása, tehát ezek PA, PB és PC.

x, y, z olyan pozitív számok, amelyekre x2 + xy+ y2 = 25,

y2 + yz+ z2 =36,

z2 + zx+ x2 = 49.


5 6

7

y

x z

120 P 120 120

A C

B

Geometriai (trigonometriai) megoldás

Számítsuk ki ezután a háromszög területét kétféleképp: Héron képlettel, és fenti kis háromszögekre felírt trigonometrikus területképletek összegeként.

sin120 sin120 sin120

2 2 2

9(9 5)(9 6)(9 7)

xy yz zx

xy yz zx 24 2

Néhány játék

Két halomban kavicsok vannak.

Az egyikben k db, a másikban n db.

Ketten felváltva vesznek el a két halomból. Egy lépésben az egyik halomból lehet elvenni akárhány kavicsot. (A lépésben levő választhat, hogy melyikből akar.) Az nyer, aki az utolsó kavicsot elveszi.

Ki tud nyerni a kezdő, vagy a második?

a) Ki tud nyerni, ha k = 10, n=8 ?b) Ki tud nyerni, ha k = 6, n=6 ?

Kezdjük a b) feladattal.

Ha Kezdő elvesz valamelyik halomból, akkor Második el tud venni ugyanannyit, (tehát visszaállítja az k=n helyzetet). Így Második nem veszíthet.

Az a) feladatban viszont Kezdő el tudja érni a k=n helyzetet, és ezt Második elrontja, Kezdő visszaállítja, tehát Kezdő nem veszíthet.

Osztó- játékKét játékos egy „n” szám osztóit mondják felváltva úgy, hogy

ha d1, d2, …,dk-t már mondták, akkor a következő osztó nem oszthatja egyiket sem az előzőek közül. Az veszít, akinek az „n” számot kell kimondani.

Ki tud nyerni, ha n=64?

• 64 prímtényezős alakja: 64=26

• 64 osztói: 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64.• Mindegyik szám osztója az utána következőknek, ezért ha

egy számot kimondunk, akkor az előtte levőket már nem lehet.

• Aki az utolsó előtti számot kimondja, az nyer. Ezt Kezdő az első lépésben megteheti, tehát Kezdő tud nyerni a 32-es szám kimondásával.


48 prímtényezős alakja: 48=24·348 osztói: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48.Írjuk fel az osztókat a következő táblázatba:16 8 4 2 1 48 24 12 6 3Célszerű lesz a következőképpen párba állítani az osztókat: 2-3, 4-6, 8-12, 16-24.Kezdő 1-gyel kezd, Ha Második kimondja valamelyik pár egy elemét, akkor Kezdő mondja a másikat. Így Másodiknak kell n=48-at mondani.


72 prímtényezős alakja: 72=23·32

Írjuk fel 72 osztóit a következő táblázatba:

8 4 2 1

24 12 6 3

72 36 18 9

Itt már sokkal nehezebb megfelelő párokat összeállítani

Ha egy osztót kimondunk, akkor a tőle jobbra, ill. felette álló osztók is kiesnek.


72 prímtényezős alakja: 72=23·32

Írjuk fel 72 osztóit a következő táblázatba:8 4 2 1 24 12 6 372 36 18 9Itt már sokkal nehezebb megfelelő párokat összeállítani

Ha egy osztót kimondunk, akkor a tőle jobbra, ill. felette álló osztók is kiesnek. Pl. ha a 6-ot mondjuk ki, akkor 1, 2 és 3 is kiesnek.

8 4 2 1 8 24 12 6 3 2472 36 18 9 72 36 18 Keressünk olyan párokat, amelyek egyik elemének

elvétele után a partner, a másik elvételével nyerő helyzetbe tud jutni! Ilyen pár pl. a 24-36. A 8-3 pár visszavezeti a feladatot az előzőre. De aki szimmetrikus L alakot alakít ki, az is nyerni tud. Ezért jó pár a, 12-9, A 4-18 pár is nyerő helyzetre vezet. Az 1, 2 ,3 után 6-ot mondva is nyerő helyzet lesz.

De ha Kezdő 6-tal kezd, akkor Második minden lépésére tud a megfelelő párral válaszolni.

Minden ilyen típusú játékban Kezdő nyer. Miért?

Mérgezett csokoládé játékok

Egy n x k oldalú csokitábla bal alsó 1 x 1–es darabja mérgezett. Ketten felváltva törnek a táblából egy darabot. A letört darabot meg kell enni.

Az veszít, akinek a mérgezett darab jut.

Ki tud nyerni, Kezdő vagy Második?

a) Egy rácsegyenes mentén törnek

10 x 10 es tábla

És pl. 6x8-as táblánál ?

Az eredeti helyzet egy négyzet, ebből Kezdő egy nem négyzet téglalapot hoz létre.

Második visszaállítja egy kisebb négyzet alakot, utoljára az 1 x 1 –es négyzetet hagyja. Tehát Második nyer.

Ha az eredeti helyzet nem négyzet, akkor Kezdő tud négyzetet létrehozni, tehát itt Kezdő tud nyerni.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Aki lép, az kiválaszt egy mezőt és levág egy olyan egy téglalapot, amelynek ez a bal alsó sarka

A kivágott részt eszi meg.

n x k oldalú téglalap esetén ki tud nyerni?

Vegyük észre, hogy ez azonos az osztójátékkal.

Az ábra szerinti pl. n=2939

szám osztójátékával. Itt Kezdő nyerhet a piros mező

kiválasztásával. (Az osztójátékban ez d=2838 osztó

kimondásával egyenértékű.)

Még n x 3 –as téglalapokra sem ismert a nyerő stratégia.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Köszönöm a figyelmet.

[email protected]

ugyanaz , több oldalról megvilágítva

Documents