universidad autónoma de san luis potosí facultad...
TRANSCRIPT
Universidad Autónoma de San Luis Potosí
Facultad de Ciencias
Licenciatura en Matemática Educativa
PROPUESTA METODOLÓGICA PARA DESARROLLAR LA
COMPETENCIA MATEMÁTICA MEDIANTE EL DISEÑO
DE SITUACIONES DE APRENDIZAJE EN ALUMNOS DEL
NIVEL MEDIO SUPERIOR
Tesis para obtener el grado de Licenciado en Matemática Educativa
Presenta:
Jonathan Enrique Martínez Medina
Director de tesis:
M.C. Sergio Dávila Espinosa
San Luis Potosí, S.L.P., Julio de 2016
Dedicatoria y Agradecimientos.
Con este trabajo de investigación se cierra un capítulo en mi vida profesional, quiero
agradecer a todas aquellas personas que de alguna u otra manera han contribuido al
desarrollo de esta tesis de licenciatura.
En primer lugar, quiero agradecer y dedicar este trabajo a mi familia, mis padres Maura
Medina Alcantar y Juan R. Martínez Limón; y hermanos Miguel y Osvaldo, por el amor y
cariño que me demuestran, por el apoyo que me dieron tanto económico, académico y
moral en toda mi formación, que sin ustedes, mi motor y ejemplo a seguir, no hubiera sido
posible este logro.
A Carla Andrea por el apoyo, cariño y motivación que me has transmitido para salir
adelante ante cualquier problema.
A mi asesor Sergio Dávila Espinosa por haber aceptado el reto y orientarme en todo
momento en el trabajo de investigación, quiero agradecerle también la oportunidad que me
brindó al dejarme participar en distintos proyectos en mi estancia como becario en la
dirección de innovación educativa y sobre todo, por la experiencia y el conocimiento que
adquirí con él y el grupo de trabajo de innovación educativa.
A la maestra Luz María Nieto Caraveo, por darme la oportunidad de crecer
profesionalmente recibiéndome dentro del equipo de innovación educativa de la Secretaría
Académica de la UASLP.
A mis profesores de la licenciatura: Dr. Antonio Morante Lezama, Dr. Álvaro Pérez
Raposo, M.C. Raymundo Rodríguez Alba, M.C. Luis Augusto Gómez y de Ibarra, Dr.
Salvador A. Palomares Sánchez, Mat. Silvia Elvira del Rosario Sermeño Lima, Mat.
Froylán Marín Sánchez, Dr. Juan Martín Montejano Carrizales, Selina Ponce Castañeda,
L.E.C H. Rocío Puente Esparza, Dr. José Manuel Cabrera Trujillo, Dra. Martha Elvira
Ledezma Peralta, Dr. Hugo cabrera Ibarra, Dra. Martha Compeán Jasso, L.S.C. Marcela
Mejía Carlos, M.C. Vasthy Salinas Reynaga, M.C. Sergio Dávila Espinosa, Dr. Emiliano
Salvador Sánchez Rodríguez, Dr. Alberto Molgado, Dr. Carlos Ernesto Angulo Águila,
L.E. José Ángel de la Cruz Mendoza, Prof. Jaime Velázquez Pantoja, M.C. Ricardo
Barrios, Fís. Jorge David Sánchez Álvarez, Dr. Cesar Israel, Hernández Vélez, M.C. Edith
Miriam Soto Pérez, Dr. Javier Flavio Vigueras Gómez, Dr. Gelasio Salazar Anaya, M.C.
Alejandro Corpus Cordero, Dr. Juan Pablo García Bautista, Dra. Rita Angulo, Dr.
Rigoberto Chavira, M.C Soraida Zuñiga, por su conocimiento, tiempo y dedicación en sus
respectivos cursos de la licenciatura en matemáticas y en matemática educativa.
A las encargadas de los laboratorios tanto de matemáticas aplicadas: Rosario Sandoval
Cedillo, como de matemática educativa: Evangelina Galván García por la amabilidad y
disposición que tuvieron cuando necesité materiales de los laboratorios.
A mis amigos y compañeros de la licenciatura: Ofelia, Yessica, Hugo, Claudia, Marisol,
Yadira, Mayela, Miguel Gámez, Miguel Rodríguez, Juan Pablo, Adriana Serna, Adriana
Haydé, Asalia, Diana, Fabiola, Reyna, Rocío y Anaid, y a los demás compañeros de otros
semestres con los que conviví.
Índice
Introducción. ........................................................................................................................................ I
Capítulo 1. Planteamiento del problema y antecedentes. .................................................................... 1
1.1 Antecedentes. .................................................................................................................... 1
1.2 Reforma Integral de la Educación Media Superior (RIEMS). ............................................. 5
Competencias Genéricas. ............................................................................................................ 6
Competencias disciplinares. ........................................................................................................ 7
Competencias Profesionales. ...................................................................................................... 9
1.3 Programa de estudio: Matemáticas III ............................................................................... 9
1.4 La Elipse en los libros de texto ......................................................................................... 15
1.5 ¿Cómo enseñan los profesores el tema de Elipse? ......................................................... 17
1.6 Planteamiento de Problema ............................................................................................ 22
1.7 Objetivo ............................................................................................................................ 23
1.8 Metodología general ........................................................................................................ 23
Capítulo 2. Marco referencial, didáctico y disciplinar. ..................................................................... 26
2.1 Investigaciones previas. ....................................................................................................... 26
2.2 Teoría Van Hiele .................................................................................................................. 33
Nivel 1 (Visualización): .............................................................................................................. 33
Nivel 2 (Análisis): ....................................................................................................................... 34
Nivel 3 (Clasificación): ............................................................................................................... 35
Nivel 4 (Deducción formal):....................................................................................................... 37
Nivel 5 (De rigor): ...................................................................................................................... 37
2.3 Enfoque de Desarrollo de Competencias ............................................................................ 43
2.3.1 La OCDE y PISA ................................................................................................................. 43
2.3.2 Competencia Matemática ................................................................................................ 44
2.3.3 Procesos y Capacidades Matemáticas. ............................................................................ 44
2.3.4 Categorías de contenidos matemáticos y Contextos ....................................................... 53
2.4 Aspectos disciplinares. ........................................................................................................ 59
2.4.1 Geometría Analítica .......................................................................................................... 59
2.4.2 Las Cónicas ....................................................................................................................... 59
2.4.3 La elipse ............................................................................................................................ 63
2.4.4 Métodos de construcción de la Elipse.............................................................................. 72
Capítulo 3: Metodología para el desarrollo de la competencia matemática mediante el diseño de
situaciones de aprendizaje. ................................................................................................................ 75
3.1 Situación de Aprendizaje ..................................................................................................... 75
3.2 Metodología para el desarrollo de la competencia matemática mediante el diseño de
situaciones de aprendizaje. ....................................................................................................... 78
Etapa 1: Diseño de la Situación de Aprendizaje ........................................................................ 78
Etapa 2: Aplicación de la Situación de Aprendizaje .................................................................. 84
Etapa 3: Metaevaluación de la Situación de Aprendizaje ......................................................... 86
Capítulo 4. Ejemplo de aplicación de la metodología propuesta para el diseño de una situación de
aprendizaje. ....................................................................................................................................... 88
Capítulo 5. Conclusiones y futuras investigaciones .......................................................................... 93
5.1 Conclusiones ........................................................................................................................ 93
5.2 Futuras investigaciones ....................................................................................................... 94
Bibliografía ....................................................................................................................................... 95
Anexos............................................................................................................................................. 100
Anexo 1 .................................................................................................................................... 100
Encuesta para profesores de matemáticas de nivel medio superior ...................................... 100
Anexo 2 .................................................................................................................................... 105
“Una plaza de San Pedro en la Alameda ................................................................................. 105
Juan Sarabia de San Luis Potosí” ............................................................................................. 105
Índice de Imágenes.
Imagen 1. Portada de libro del tercer semestre: “Geometría Analítica para el desarrollo de
competencias”. ................................................................................................................................. 15
Imagen 2. Bloque IX Emplea la ecuación de la elipse con centro en el origen. ................................ 16
Imagen 3. Sección del cono rectángulo. (de Guzmán, 2001) ............................................................ 60
Imagen 4. Sección del cono acutángulo y obtusángulo. (Vilcachagua, 2010). ................................. 60
Imagen 5. Cuadratriz y concoide. Tomado de (Pérez A. , 2005, pág. 11) y (Rodríguez & Sarmiento,
S.f., pág. 3). ........................................................................................................................................ 61
Imagen 6. Ejemplar de Las cónicas de Apolonio en los manuscritos del Vaticano (Papa Pablo III,
1536) ................................................................................................................................................. 62
Imagen 7. Las cónicas de Apolonio de Perga. Imagen tomada de (González Urbaneja, s/f). ........... 62
Imagen 8: La elipse: corte del cono. Elaboración propia. ................................................................. 63
Imagen 9: Elementos de la Elipse. Elaboración propia. .................................................................... 64
Imagen 10. Excentricidad de elipses. Elaboración propia. ................................................................ 71
Imagen 11. Construcción mecánica de la elipse. Tomada de (Jiménez, 2010, pág. 159). ................ 72
Imagen 12. Construcción de la elipse con regla y compás. Fotografía propia. ................................. 73
Imagen 13. Construcción de la elipse mediante el doblado de papel. Fotografía propia. ............... 74
Imagen 14. Roles del estudiante y docente en el desarrollo de situaciones de aprendizaje. Tomado
de (Pivara, Morales, & Gutiérrez, 2013, pág. 6). ............................................................................... 77
Índice de Cuadros.
Cuadro 1: Puntaje por país PISA 2012. Elaboración propia con datos de (OCDE, 2013). ................. 1
Cuadro 2: Porcentaje en ENLACE-EMS-Matemáticas 2014 en los niveles de desempeño Bueno y
Excelente. Elaboración propia con datos de (SEP-ENLACE-MS, 2014, pág. 4). .............................. 2
Cuadro 3: Diferencia de porcentaje entre resultados de 2014 y 2008. ENLACE-EMS- Matemáticas.
Elaboración propia con datos de (SEP-ENLACE-MS, 2014, pág. 5). ................................................ 3
Cuadro 4: Porcentaje por nivel de desempeño 2008 -2014. ENLACE-EMS-Matemáticas.
Elaboración propia (SEP-ENLACE-MS, 2014, pág. 6) ...................................................................... 4
Cuadro 5.- Principios básicos de la RIEMS. Elaboración propia........................................................ 5
Cuadro 6. Ejes de la RIEMS. Elaboración propia. .............................................................................. 6
Cuadro 7: Ubicación de la materia de Matemáticas III y relación con las asignaturas en el plan de
estudios (SEP, 2013, pág. 8). ............................................................................................................ 10
Cuadro 8: Datos de identificación y aprendizajes esperados en el programa de Matemáticas III.
(SEP, 2013, pág. 40) ......................................................................................................................... 12
Cuadro 9: Adaptación de las fases de la Metodología de la Ingeniería Didáctica destacando las
fases que corresponden a este trabajo en recuadro amarillo tomado de (Lezama, 2003, pág. 9). . 24
Cuadro 10: Indicadores para la secuencia didáctica de Secciones Cónicas para los niveles 1, 2 y 3
del modelo Van Hiele (Calderón, 2013, pág. 45) .............................................................................. 30
Cuadro 11: Investigaciones sobre las secciones cónicas. .................................................................. 32
Cuadro 12. Niveles de Razonamiento Van Hiele. Elaboración propia. ............................................ 38
Cuadro 13. Descripción de las Fases de enseñanza con base en el Modelo Van Hiele tomado de
(Jaime & Gutiérrez, 1990, págs. 333-335) ........................................................................................ 41
Cuadro 14. Fases de enseñanza con base en el Modelo Van Hiele. Elaboración propia .................. 42
Cuadro 15. Capacidades Matemáticas tomado de (OCDE, 2013). ................................................... 50
Cuadro 16. Relación entre procesos matemáticos y las capacidades matemáticas fundamentales
tomado de (OCDE, 2013, pág. 18) .................................................................................................... 51
Cuadro 17. Relación entre los niveles de los Van Hiele y las capacidades matemáticas
fundamentales. Elaboración propia ................................................................................................... 52
Cuadro 18. Categorías de contenido matemático del marco de evaluación de PISA (OCDE, 2013) y
(Rico, 2006). ...................................................................................................................................... 54
Cuadro 19. Categorías de contextos del marco de evaluación de PISA (OCDE, 2013). .................. 57
Cuadro 20: Adaptación de las fases de la Metodología de la Ingeniería Didáctica destacando las
fases que corresponden a este trabajo en recuadro amarillo tomado de (Lezama, 2003, pág. 9).
.............................................................................................................. ¡Error! Marcador no definido.
Cuadro 21. Elementos constitutivos para el diseño de la Situación de Aprendizaje. Elaboración
propia................................................................................................................................................. 79
Cuadro 22. Componentes constitutivos para determinar el Aprendizaje Esperado de la Situación de
Aprendizaje. Elaboración propia. ...................................................................................................... 79
Cuadro 23. Detalle de formato para planeación de situaciones de aprendizaje (IIDEAC, 2013). .... 80
Cuadro 24. Detalle de formato para planeación de situaciones de aprendizaje (IIDEAC, 2013). .... 82
Cuadro 25. Detalle de formato para planeación de situaciones de aprendizaje (IIDEAC, 2013). .... 84
Cuadro 26. Fases significativas para la Aplicación de la Situación de Aprendizaje ......................... 84
Cuadro 27. Tipos de evaluaciones claves para la Metaevaluación de la Situación de Aprendizaje.. 86
Cuadro 28. Esquema de la Metodología para el Diseño de Situaciones de Aprendizaje. Elaboración
propia................................................................................................................................................. 87
Resumen
El presente trabajo comparte una metodología para el diseño de situaciones de aprendizaje
que centra su atención en resultados de aprendizaje y comprende tres etapas o fases.
Además, se propone un ejemplo del diseño de una situación de aprendizaje para el tema de
elipse que puede replicarse en los cursos de Geometría Analítica, impartidos en bachillerato
(México) o equivalente. Dicha situación toma como marcos la Evaluación PISA 2012 que
proporciona un referente básico sobre los procesos, capacidades, conocimientos y contextos
implicados en el desarrollo de competencia matemática; y el modelo de razonamiento
geométrico de Van Hiele que brinda referentes sobre los niveles de razonamiento
geométrico.
Abstract
This work shares a methodology for designing learning situations that focuses on learning
outcomes and three stages or phases. In addition, an example of designing a learning
situation for the subject ellipse that can be replicated in Analytical Geometry courses,
taught in high school (Mexico) or equivalent is proposed. This situation takes as frames
PISA 2012 provides a basic reference on the processes, skills, knowledge and contexts
involved in the development of mathematical competence; and the model of Van Hiele
geometric reasoning that provides references on levels of geometric.
I
Introducción.
El estudio de la elipse en México se incluye en el programa de matemáticas III
correspondiente al tercer semestre del nivel medio superior (bachillerato), según lo estipula
la Secretaria de Educación (SEP, 2013).
Tradicionalmente la enseñanza de la geometría analítica enfrenta el problema de la
disociación de elementos geométricos de algebraicos desde la enseñanza, que provoca
dificultades para la integración de los mismos por parte de los alumnos. En el caso de la
elipse los profesores tienden a exponer en primer lugar su definición como lugar
geométrico, posteriormente sus elementos asociados en el plano cartesiano y finalmente
pidiendo a los alumnos resolver ejercicios que implican obtener la ecuación de una elipse
dados algunos de sus elementos, o viceversa (Pérez I. , 2012).
Este proceso de enseñanza provoca en los alumnos la memorización de las ecuaciones que
caracterizan a la elipse, a la identificación de sus elementos y a la búsqueda algorítmica
empleando fórmulas, sin relacionar los diferentes parámetros que intervienen en las
ecuaciones de la elipse y su representación gráfica (Cruz & Mariño, 1999). De esta forma la
comprensión es limitada y se renuncia a todo un conjunto de experiencias pragmáticas y
descubrimientos que son fundamentales, formativos y asociados a sus aplicaciones en
contextos cotidianos (Santa & Jaramillo, 2011).
Ante este contexto, difícilmente los alumnos pueden integrar estos conocimientos a su
razonamiento y utilizarlos en contextos diferentes al escolar para tomar decisiones bien
fundadas como se espera de ellos (OCDE, 2013).
Este trabajo tiene como objetivo ofrecer una propuesta metodológica para el diseño de
situaciones de aprendizaje centrada en los resultados de aprendizaje y que pueda ser
replicada para contenidos matemáticos por profesores en diversos niveles educativos.
Para lograr el objetivo planteado en este trabajo sólo se utilizarán las dos primeras fases de
la metodología denominada ingeniería didáctica:
En la fase de planeación se realizó un análisis preliminar en donde se profundizaron
aspectos epistemológicos del concepto de elipse, se analizó la forma de enseñanza
tradicional, los resultados obtenidos en pruebas estandarizadas, los programas de estudio
así como los libros de texto. En la fase de análisis a priori se propuso una metodología para
el diseño de situaciones de aprendizaje y con base en ella, un ejemplo de un situación
II
problema para el tema de elipse, se definieron los aprendizajes esperados, el contexto para
su desarrollo y las evidencias que se requiere para la evaluación, actividades de
aprendizaje, materiales e instrumentos de evaluación.
El contenido de este trabajo se describe a continuación:
En el primer capítulo se plantea el problema tomando en cuenta distintas problemáticas
como por ejemplo la disociación entre la Reforma Integral de Educación Media Superior
(RIEMS), el programa de estudios de Matemáticas III, los libros de texto institucional, se
presentan los resultados de una encuesta realizada a profesores sobre la forma de enseñanza
de la elipse en el COBACH 17, además se redacta la pregunta de investigación y el objetivo
de este trabajo, y por último, se describe la metodología a seguir para lograr dichos
objetivos.
En el segundo capítulo se abordan los fundamentos teóricos de este trabajo, se comienza
con el estado del arte del tema de cónicas y de elipse, se trata integran los marcos de
referencia: 1) El modelo Van Hiele detallando los niveles de razonamiento geométrico, 2)
El Marco de Evaluación de PISA 2012 refiriendo en el desarrollo de procesos y
capacidades matemáticas y las categorías de contenido y contextos implicados en el
desarrollo de la competencia matemática y por último, 3) Marco disciplinar de la geometría
analítica en específico de la elipse y sus métodos de construcción.
En el tercer capítulo y corazón de este trabajo, se propone una metodología para el diseño
de situaciones de aprendizaje que comprende tres etapas (diseño, aplicación y
metaevaluación) y sus respectivas consideraciones.
En el cuarto capítulo, se muestra un ejemplo de la aplicación de la metodología para el
diseño de una situación de aprendizaje del tema de elipse. Se explicita el aprendizaje
esperado, el contexto en el que se desarrolla la situación, las actividades de aprendizaje, los
materiales y las evidencias que servirán para la evaluación.
En el último capítulo, se plantean las conclusiones obtenidas de este trabajo así como las
líneas de investigación que se pueden derivar de las mismas.
1
Capítulo 1. Planteamiento del problema y antecedentes.
1.1 Antecedentes.
Los resultados de exámenes estandarizados en los ámbitos nacional e internacional que se
han aplicado a estudiantes del nivel medio superior en México apuntan a un desempeño
pobre en la comprensión y aplicación de conceptos matemáticos; lo anterior se refleja en
los resultados de la prueba PISA aplicada en 2012 en donde México se encuentra en el
lugar 53 de 65 países con una calificación promedio de 413 puntos en el área de
Matemáticas (OCDE, 2013, pág. 8).
Cuadro 1: Puntaje por país PISA 2012. Elaboración propia con datos de (OCDE, 2013).
Más allá del impacto mediático y de la atención que dan los medios de comunicación a este
ranking, los resultados reflejan que los estudiantes se encuentran en el nivel 1 del proyecto
PISA (de 358 a 420 puntos) y que se describe de la siguiente manera:
“los alumnos saben responder a preguntas relacionadas con contextos
que les son conocidos, en los que está presente toda la información
pertinente y las preguntas están claramente definidas”, -además, los
estudiantes- “son capaces de identificar la información y llevar a cabo
procedimientos rutinarios siguiendo unas instrucciones directas en
situaciones explicitas. Pueden realizar acciones obvias que se deducen
inmediatamente de los estímulos presentados” (OCDE, 2013, pág. 30).
0
100
200
300
400
500
600
700
Shan
ghai
-Ch
ina
Sin
gap
ore
Ho
ng
Kon
g-C
hin
aC
hin
ese
Taip
eiK
ore
aM
acao
-Ch
ina
Jap
anLi
ech
ten
stei
nSw
itze
rlan
dN
eth
erla
nd
sEs
toni
aFi
nla
nd
Can
ada
Po
lan
dB
elgi
um
Ger
man
yV
iet
Nam
Au
stri
aA
ust
ralia
Irel
and
Slo
ven
iaD
enm
ark
New
Zea
land
Cze
ch R
epu
blic
Fran
ceU
nit
ed K
ingd
om
Pro
med
io O
CD
EIc
elan
dLa
tvia
Luxe
mb
ou
rgN
orw
ayP
ort
uga
lIt
aly
Spai
nR
uss
ian
Fed
erat
ion
Slo
vak
Rep
ub
licU
nit
ed S
tate
sLi
thu
ania
Swed
enH
un
gary
Cro
atia
Isra
elG
reec
eSe
rbia
Turk
eyR
om
ania
Cyp
rus
Bu
lgar
iaU
nit
ed A
rab
Em
irat
esK
azak
hst
anTh
aila
nd
Ch
ileM
alay
sia
Méx
ico
Mo
nten
egro
Uru
guay
Co
sta
Ric
aA
lban
iaB
razi
lA
rgen
tin
aTu
nis
iaJo
rdan
Co
lom
bia
Qat
arIn
do
nes
iaP
eru
Resultados PISA Matemáticas 2012
2
La descripción anterior del nivel 1 de competencias matemáticas se identifica con el
proceso de enseñanza-aprendizaje que se vive actualmente en la mayoría de las escuelas
preparatorias de México, ya que comúnmente los problemas que sugieren los libros de texto
se resuelven con la sustitución de cantidades ya dadas en el mismo problema, o con un
simple despeje, etiquetando a estos problemas como rutinarios, descontextualizados y sin
objetivo alguno más que el de memorizar fórmulas y sustituir números, lo anterior no
conlleva a que el alumno le dé sentido y significado a los conceptos matemáticos (Meyer,
2010). Por otro lado, los estudiantes están acostumbrados a seguir instrucciones por parte
del profesor, lo que repercute cuando el estudiante enfrenta situaciones en donde requiere
leer y comprender el problema para formular, emplear e interpretar una solución del
mismo.
Enfocándonos en San Luis Potosí, y en los resultados de la prueba nacional ENLACE-EMS
aplicada en el 2014, el porcentaje de los estudiantes que se encuentran en los niveles de
desempeño “Bueno y Excelente” es de 38.2 ubicado por debajo de la media nacional que es
de 39.3. Ordenando estos porcentajes por entidad federativa, San Luis Potosí se posiciona
en el lugar 19 de 32, por arriba de los estados de Guerrero, Nayarit, Tabasco, Chiapas,
Tlaxcala, Baja California Sur, Morelos, Michoacán, Yucatán, Quintana Roo, Estado de
México, Oaxaca y Nuevo León, como se visualiza en el siguiente gráfico.
Cuadro 2: Porcentaje en ENLACE-EMS-Matemáticas 2014 en los niveles de desempeño Bueno y Excelente. Elaboración
propia con datos de (SEP-ENLACE-MS, 2014, pág. 4).
0
10
20
30
40
50
60
Porcentaje ENLACE-EMS-Matemáticas 2014 Niveles de desempeño Bueno y Excelente
3
Cabe destacar que San Luis Potosí obtuvo una diferencia significativa entre los resultados
obtenidos en 2014 (38.2%) en relación con los resultados de 2008 (17.9%), la cual fue de
20.3 por ciento para los niveles Excelente y Bueno. A pesar de este avance en los resultados
superiores en la prueba ENLACE en Matemáticas, al compararse con las otras entidades
federativas San Luis Potosí se posiciona en el lugar 24 como se muestra en el siguiente
gráfico.
Cuadro 3: Diferencia de porcentaje entre resultados de 2014 y 2008. ENLACE-EMS- Matemáticas. Elaboración propia
con datos de (SEP-ENLACE-MS, 2014, pág. 5).
Retomando los resultados obtenidos en 2014, una pregunta obligada sería, ¿cómo se
distribuye el 61.8 por ciento restantes en los niveles de desempeño insuficiente y
elemental?
Dando respuesta a la pregunta, el 28 por ciento de los estudiantes se encuentran en el nivel
insuficiente y un 33.8 por ciento en elemental. Definiendo estos niveles según (ENLACE-
MS, 2014, págs. 37-38); en el nivel Insuficiente los estudiantes son capaces de:
Resolver problemas simples donde la tarea se presenta directamente.
Efectuar operaciones básicas con números entero.
Ejecutar operaciones aritméticas con signos de agrupación.
Encontrar equivalencias entre fracciones simples.
Resolver problemas que requieren la identificación de figuras planas y
tridimensionales, así como las partes que las conforman.
Localizar puntos en un plano y/o determinar sus coordenadas.
05
10152025303540
Diferencia de porcentajes entre 2014 y 2008 ENLACE-EMS-Matemáticas Niveles Excelente y Bueno
4
Encontrar relaciones gráficas o algebraicas sencillas entre dos variables y realizas
cálculos en base en ello.
En el nivel Elemental los estudiantes son capaces de:
Resolver problemas relativos a porcentajes.
Realizar operaciones básicas con fracciones.
Utilizar fórmulas y convertir unidades.
Ordenar series de números.
Describir el comportamiento de sucesiones numéricas y la relación entre ellas.
Enunciar en lenguaje común una expresión algebraica y viceversa.
Resolver problemas geométricos bidimensionales y tridimensionales simples que
involucran distintos elementos de una figura.
Construir figuras tridimensionales a partir de otras.
Resolver sistemas de ecuaciones lineales.
A continuación se muestra un cuadro con los porcentajes obtenidos desde el 2008 a 2014
por nivel de desempeño, con el objetivo de visualizar los avances que se tuvieron en los
distintos niveles de desempeño.
Cuadro 4: Porcentaje por nivel de desempeño 2008 -2014. ENLACE-EMS-Matemáticas. Elaboración propia (SEP-
ENLACE-MS, 2014, pág. 6)
Estos resultados no necesariamente reflejan falta de conocimientos, que sin duda puede ser
una causa, sino la imposibilidad de matematizarlos, lo cual significa: “identificar variables
y/o estructuras matemáticas subyacentes al problema del mundo real ni formular supuestos
de modo que puedan utilizarse” (OCDE, 2013, pág. 18).
[VALOR] 48,8 41,6 36,6 33,7 32,5 28
[VALOR] 33,7 39 39,4 38,1 34,8 33,8
[VALOR] 13 14,5 15,9 17,7 17,9 18,6
[VALOR] 4,5 4,9 8,1 10,6 14,7 19,6
2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014
Porcentaje por nivel de desempeño 2008-2014 ENLACE-EMS-Matemáticas
insuficiente elemental bueno excelente
5
1.2 Reforma Integral de la Educación Media Superior (RIEMS).
Ante la gran cantidad de subsistemas (bachillerato tecnológico, bachillerato general,
preparatorias particulares, colegio de bachilleres de los estados, preparatorias federales por
cooperación, etcétera) que componen a la Educación Media Superior (EMS) y que cada uno
operaba de manera independiente y sin alguna correspondencia general entre ellos, entre
otro problemas tales como la deserción, los bajos resultados en pruebas internacionales
como PISA o pruebas nacionales como ENLACE, surgió la necesidad de fijar objetivos
comunes entre estos subsistemas para desarrollar identidades definidas que permitan a los
estudiantes avanzar hacia los objetivos propuestos. El objetivo de las autoridades federales
como lo marcan en el Plan Nacional de Desarrollo 2007-2012 es ofrecer una educación de
calidad lo que significa “atender e impulsar el desarrollo de las capacidades individuales,
en los ámbitos intelectual, afectivo, artístico, y deportivo, al tiempo que fomentan los
valores que aseguren una convivencia social solidaria y se prepara para la complejidad y
las exigencias del mundo del trabajo” (Poder Ejecutivo Federal, Presidencia de la
República, 2007, pág. 182) y además promover un servicio educativo orientado al
desarrollo de competencias por medio de una reforma curricular que respondiera a las
necesidades y expectativas de los jóvenes, de la sociedad y del sector productivo para el
caso que los estudiantes tengan la necesidad de incorporarse al plano laboral.
Con este objetivo en 2008 surgió la Reforma Integral de la Educación Media Superior
(RIEMS) que distingue tres principios básicos: 1) El reconocimiento universal de todas las
modalidades y subsistemas del bachillerato, 2) La pertinencia y relevancia de los planes y
programas de estudio y 3) El tránsito de estudiantes entre subsistemas y escuelas; los cuales
contribuyen al logro de los objetivos planteados en el PND 2007-2012.
Cuadro 5.- Principios básicos de la RIEMS. Elaboración propia.
Principios básicos de la RIEMS
El reconocimiento universal de todas las modalidades y subsistemas del
bachillerato
La pertinencia y relevancia de los
planes y programas de
estudio El tránsito de
estudiantes entre subsistemas y
escuelas
6
Esta reforma se conforma con cuatro ejes: 1) Marco Curricular Común, 2) Definición y
regulación de las modalidades de oferta, 3) Mecanismos de gestión de la reforma y 4)
Certificación del Sistema Nacional de Bachillerato.
Cuadro 6. Ejes de la RIEMS. Elaboración propia.
Para este trabajo solo se desarrollará el eje Marco Curricular Común en donde se definen
los tipos de competencias (Genéricas, disciplinares básicas, y profesionales) que los
estudiantes deben de desarrollar en la educación media superior (SEP-SEMS, 2008).
Competencias Genéricas.
El Marco Curricular Común consiste en la elaboración de un perfil de egreso del estudiante
de bachillerato sea cual sea el subsistema al que pertenezca. Es decir no se trata de una
unificación del mapa curricular sino de las competencias con las que debe contar al término
de esta etapa escolar. El perfil de egreso fue elaborado de manera colectiva por
representantes de los diversos subsistemas y se expresó en términos de competencias
genéricas, disciplinares y profesionales.
Las competencias genéricas se definen como “…las que cualquier estudiante debe ser
capaz de desempeñar, son las que le van a permitir comprender su mundo e influir en él,
además de capacitarlo para que continúe aprendiendo de forma autónoma a lo largo de su
vida y desarrolle relaciones armónicas con los que le rodean y pueda participar
Ejes RIEMS
Marco Curricular
Común
Definición y regulación de
las modalidades
de oferta
Mecanismos de gestión de
la reforma.
Certificación del Sistema Nacional de Bachillerato.
7
eficazmente tanto en su vida personal como profesional y política” (SEP-SEMS, 2008, pág.
2). A continuación se enlistan las 11 competencias genéricas:
Se conoce y valora a sí y aborda problemas y retos teniendo en cuenta los objetivos
que persigue.
Es sensible al arte y participa en la apreciación e interpretación de sus expresiones
en distintos géneros.
Elige y practica estilos de vida saludables.
Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la
utilización de medios, códigos y herramientas apropiadas.
Desarrolla innovaciones y propone soluciones a problemas a partir de métodos
establecidos.
Sustenta una postura personal sobre temas de interés y relevancia general,
considerando otros puntos de vista de manera crítica y reflexiva.
Aprende por iniciativa e interés propio a lo largo de la vida.
Participa y colabora de manera efectiva en equipos diversos.
Participa con una conciencia cívica y ética en la vida de su comunidad, región,
México y el mundo.
Mantiene una actitud respetuosa hacia la interculturalidad y la diversidad de
creencias, valores, ideas y prácticas sociales.
Contribuye al desarrollo sustentable de manera crítica, con acciones responsables.
Competencias disciplinares.
Además de las 11 competencias genéricas que deberán formarse de manera transversal, el
Marco Curricular Común considera dos grupos de competencias disciplinares, a saber:
básicas y extendidas. Para este trabajo las competencias disciplinares básicas de
Matemáticas que son las que se desarrollan.
“Las competencias disciplinares son las nociones que expresan conocimientos, habilidades
y actitudes que consideran los mínimos necesarios de cada campo disciplinar para que los
estudiantes se desarrollen de manera eficaz en diferentes contextos y situaciones a lo largo
de la vida” (SEP-SEMS, 2008, pág. 5).
8
Las competencias disciplinares pueden ser básicas o extendidas, las primeras son las
capacidades que los estudiantes deben adquirir, independientemente de los planes y
programas de estudio que se cursen; por otro lado, las competencias disciplinares
extendidas son las que amplían y profundizan los alcances de las competencias
disciplinares básicas y dan sustento a la formación de los estudiantes en las competencias
genéricas que integran el perfil de egreso de la Educación Media Superior, estas
competencias se definirán a partir de la filosofía educativa de cada subsistema, según los
objetivos que se tengan.
Para el caso específico del campo disciplinar de las Matemáticas, las competencias
disciplinares “buscan propiciar el desarrollo de la creatividad y el pensamiento lógico y
crítico entre los estudiantes” (SEP-SEMS, 2008, pág. 5). A continuación se presentan las
ocho competencias disciplinares básicas del campo de matemáticas:
Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de
procedimientos aritméticos, algebraicos, geométricos, y variacionales, para la
comprensión y el análisis de situaciones reales, hipotéticas o formales.
Formula y resuelve problemas matemáticos, aplicando diferentes enfoques.
Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos y los
contrasta con modelos establecidos o situaciones reales.
Argumenta la solución obtenida de un problema, con métodos numéricos, gráficos,
analíticos o variacionales mediante el lenguaje verbal, matemático y el uso de la
tecnología de la información y la comunicación.
Analiza las relaciones entre dos o más variables de un proceso social o natural para
determinar o estimar su comportamiento.
Cuantifica, representa y contrasta experimental o matemáticamente las magnitudes
del espacio y de las propiedades físicas de los objetos que los rodean.
Elige un enfoque determinista o uno aleatorio para el estudio de un proceso o
fenómeno, y argumenta su pertinencia.
Interpreta tablas, gráficas, mapas, diagramas y textos con símbolos matemáticos y
científicos.
9
Competencias Profesionales.
Las competencias profesionales “Preparan a los jóvenes para desempeñarse en su vida
laboral con mayores probabilidades de éxito, al tiempo que dan sustento a las
competencias genéricas” (SEP-SEMS, 2008, pág. 11). Estas competencias se consideran en
mayor grado en sistemas como CONALEP, CECYTE y en menor grado en los
bachilleratos generales que preparan a los estudios superiores.
1.3 Programa de estudio: Matemáticas III
Ante la imposibilidad de analizar la formación de la competencia matemática en todo el
nivel medio superior, fue necesario delimitar el objeto de estudio a un subsistema, grado
escolar y tema específico por lo que se consideró el caso de la enseñanza de la elipse en el
contexto del Colegio de Bachilleres del estado de San Luis Potosí plantel número 19. Este
subsistema, en lugar de realizar su propio mapa curricular y programas de estudio como se
esperaba en la reforma, retomó los de la Dirección General de Bachillerato (DGB). En el
programa de estudio Matemáticas III se incluyen una serie de apartados que pretenden
orientar al profesor en el objeto de enseñanza, objetivos de aprendizaje y consideraciones
pedagógicas para la formación de la competencia matemática.
A continuación se presenta la estructura del programa y una descripción de cada uno de sus
elementos.
Fundamentación. Se realiza una descripción del marco pedagógico que se sustenta
en los principios de la RIEMS, se mencionan los objetivos de la RIEMS, se definen
las competencias genéricas, disciplinares y profesionales; y se mencionan las
relaciones verticales y horizontales en el currículum. Finalmente se destaca la
contribución de la materia Matemáticas III en el estudio del álgebra y geometría, así
como en el desarrollo de las competencias genéricas del egresado.
Ubicación de la materia y asignaturas en el Plan de estudios. Se presenta un
cuadro de doble entrada en el que se ubican algunas materias del currículum
distribuidas por columnas en semestres y por filas en lo que parecen ser líneas
curriculares. El cuadro no contiene ninguna explicación al respecto.
10
Cuadro 7: Ubicación de la materia de Matemáticas III y relación con las asignaturas en el plan de estudios (SEP, 2013,
pág. 8).
Distribución de bloques. Se enlistan los 7 bloques que componen el programa
nombrados en forma de objetivo logrado en segunda persona del singular en tiempo
presente, y una breve descripción del aprendizaje esperado en términos de
desempeños en tercera persona del plural en tiempo futuro. Para el caso particular
que nos ocupa, se refiere en estos términos:
o BLOQUE VII APLICAS LOS ELEMENTOS Y LAS ECUACIONES
DE LA ELIPSE.
En el bloque el alumnado logrará desempeños que le permiten analizar las
características de elipses e hipérbolas y se destacan los casos con ejes
paralelos a los ejes cartesianos. (SEP, 2013, pág. 9)
Competencias Genéricas en el Bachillerato General. Se enlistan las 11
competencias genéricas del egresado de nivel medio superior de acuerdo a la
RIEMS sin explicación ni referencia explícita al programa de Matemáticas III.
Competencias disciplinares básicas del campo Matemáticas. Se presenta una
tabla de doble entrada que relaciona las ocho competencias disciplinares de
matemáticas definidas en la RIEMS y su relación, en un cotejo sin explicitación,
con los bloques del programa. Para el caso que nos ocupa, el programa indica la
relación del Bloque VII en el que se encuentra el tema de la elipse con todas las
11
competencias disciplinares, excepto la sexta: Cuantifica, representa y contrasta
experimental o matemáticamente las magnitudes del espacio y de las propiedades
físicas de los objetos que nos rodean. Así como no se explicita la razón de las
relaciones marcadas, tampoco se indica por qué ésta queda fuera, cuando desde
nuestra perspectiva, la enseñanza de la elipse está relacionada con dicho objetivo
que además está relacionado con al menos los dos primeros niveles de la teoría de
Van Hiele como se tratará en el capítulo 2.
Descripción de los bloques. Se presentan cada uno de los bloques indicando en
ellos los componentes siguientes: datos de identificación, desempeños, objetos de
aprendizaje, competencias a desarrollar, actividades de enseñanza, actividades de
aprendizaje, instrumentos de evaluación, rol del docente, material didáctico y
fuentes de consulta (básicas, complementarias, electrónicas) Por tratarse de la
sección medular para este trabajo, analizaremos el Bloque VII a detalle más
adelante.
Información de apoyo para el cuerpo docente. En esta sección se proporciona
una liga web (http://www.dgb.sep.gob.mx/portada/lineamientos-eval-
aprendizaje.pdf) para consultar el documento “Lineamientos de Evaluación del
Aprendizaje”. Liga que no se encontró activa al momento de consultarse
[23/05/2014] ni al momento de editar la versión final de este trabajo [06/07/2016]
Anexos: Se incluye en esta sección una serie de “instrumentos que pueden ser de
utilidad para el programa de Matemáticas III”.
o Guía de Observación para resolver problemas de distancia entre dos puntos.
o Lista de cotejo para el proceso de resolución de lo que parece ser un
problema específico de distancia entre dos puntos. Sin embargo, en este
problema no se incluye la pregunta que deberán contestar los alumnos.
o Rúbrica para la solución de los ejercicios de la página 15, grupo 2 del libro
de Lehmann.
o Lista de cotejo de una maqueta.
Créditos. Se menciona el nombre del elaborador y el asesor disciplinar. Ambos
profesores del CEB 6/9 “Jaime Torres Bodet” Ixtlahuaca, Estado de México.
12
Directorio. Se mencionan los nombres del Director General de Bachillerato y del
Director de Coordinación Académica de la DGB.
Como el objeto de estudio delimitado para este trabajo es la enseñanza de la Elipse, se
consideró el Bloque VII “Aplica los elementos y las ecuaciones de la Elipse”. El tiempo
estimado para cubrir con el contenido es de 12 horas y se espera que al terminar el bloque
los estudiantes tengan los siguientes desempeños: 1) Identifica los elementos asociados a la
elipse, 2) Reconoce la ecuación ordinaria y general de la elipse y 3) Aplica los elementos y
las ecuaciones de la elipse en la solución de problemas y/o ejercicios de su entorno.
El contenido propuesto o los objetos de aprendizaje como lo denomina el programa son:
Elipse, Elementos asociados a la elipse, Ecuación ordinaria de elipses horizontales y
verticales con centro en el origen y fuera de este, Ecuación general de la elipse.
Cuadro 8: Datos de identificación y aprendizajes esperados en el programa de Matemáticas III. (SEP, 2013, pág. 40)
En el programa de la DGB se enlistan nueve atributos de las competencias genéricas que el
estudiante debe desarrollar en el proceso de enseñanza-aprendizaje: 1) Expresa ideas y
conceptos mediante representaciones lingüísticas, matemáticas o gráficas, 2) Sigue
instrucciones y procedimientos de manera reflexiva, comprendiendo como cada uno de sus
pasos contribuye al alcance de un objetivo, 3) Construye hipótesis, diseña y aplica modelos
para probar su validez, 4) Utiliza las tecnologías de la información y comunicación para
procesar e interpretar información, 5) Elige las fuentes de información más relevantes para
13
un propósito específico y discrimina entre ellas de acuerdo a su relevancia y confiabilidad,
6) Define metas y da seguimiento a sus procesos de construcción de conocimientos, 7)
Propone la manera de solucionar un problema y desarrolla un proyecto en equipo,
definiendo un curso de acción con pasos específicos, 8) Aporta puntos de vista con apertura
y considera los de otras personas de manera reflexiva, 9) Asume una actitud constructiva,
congruente con los conocimientos y habilidades con los que cuenta dentro de distintos
equipos de trabajo.
Para el desarrollo de estas competencias el programa considera las siguientes actividades de
enseñanza-aprendizaje y evaluación:
Actividad 1: Investigación de conceptos.
Actividad de enseñanza: Actividad de aprendizaje Evaluación
Solicitar una investigación,
integrada en equipos, sobre la
definición de la elipse y sus
elementos y contrasten la
información con otros equipos.
Realizar una investigación,
integrada en equipos, sobre las
definiciones de la elipse y sus
elementos y contrasten la
información con otros equipos.
Para la evaluación de la
investigación se sugiere una
lista de cotejo
Actividad 2: Ejercicios de ecuaciones ordinarias de una elipse vertical con centro en
el origen.
Actividad de enseñanza: Actividad de aprendizaje Evaluación
Ejemplificar con un ejercicio la
obtención de la ecuación
ordinaria de una elipse vertical
y/o horizontal con centro en el
origen y ejes paralelos a los
ejes cartesianos.
Realizar ejercicios donde se
obtengan la ecuación ordinaria
de una elipse vertical y/o
horizontal con centro en el
origen y ejes paralelos a los
ejes cartesianos.
Rúbrica para la evaluar la
solución de ejercicios y/o
problemas
Actividad 3: Ejercicios de ecuaciones ordinarias de una elipse vertical con centro
fuera del origen.
Actividad de enseñanza: Actividad de aprendizaje Evaluación
Ejemplificar con un ejercicio la
obtención de la ecuación
ordinaria de una elipse vertical
y/o horizontal con centro fuera
Realizar ejercicios donde se
obtengan la ecuación ordinaria
de una elipse vertical y/o
horizontal con centro fuera del
Rúbrica para la evaluar la
solución de ejercicios y/o
problemas.
14
del origen y ejes paralelos a los
ejes cartesianos.
origen y ejes paralelos a los
ejes cartesianos.
Actividad 4: Ecuación General de la Elipse.
Actividad de enseñanza: Actividad de aprendizaje Evaluación
Demostrar con un ejercicio la
obtención de la ecuación
general de una elipse a partir
de la ecuación ordinaria y
viceversa.
Realizar ejercicios para
obtener la ecuación general de
la elipse a partir de la
ecuación ordinaria o
viceversa.
Rúbrica para evaluar los
diferentes tipos de ecuaciones
de la elipse.
Actividad 5: Trabajo final.
Actividad de enseñanza: Actividad de aprendizaje Evaluación
Proponer un trabajo final en
equipos, sobre la aplicación de
distintas formas de la ecuación
de la elipse.
Diseñar una aplicación
contextual sobre las distintas
ecuaciones de la elipse y
exponer los resultados frente al
grupo.
Lista de cotejo que evalúe las
distintas aplicaciones de las
ecuaciones de la elipse en
contextos propuestos.
A manera de conclusión, podemos afirmar que el programa de estudio de Matemáticas III si
bien es una guía orientadora para el profesor puede tomarse como un documento que se
debe seguir al pie de la letra, es decir, que no se puede proponer otro tipo de actividades
que fuesen las que ahí se mencionan.
Como ya mencionamos, desde nuestra perspectiva tiene una función orientadora que sirve
como marco de referencia para plantear aprendizajes esperados y con ello, los profesores
puedan planear su clase y diseñar situaciones de aprendizaje que conlleven al desarrollo de
las competencias transversales y disciplinares. Las actividades que proponen en el
programa, es un ejemplo de cómo se puede conducir el cursos, sin embargo, no es necesario
que se aborde de tal forma.
15
1.4 La Elipse en los libros de texto
En este apartado se describirá la secuencia, el tipo de actividades y problemas que se
proponen en el libro de texto utilizado por el Colegio de Bachilleres de San Luis Potosí
(COBACH) en el tercer semestre, específicamente en el tema de elipse.
A pesar de que el Colegio de Bachilleres del estado de San Luis Potosí (COBACH) sigue el
programa de estudios que decreta la Secretaría de Educación Pública a través de la
Dirección General del Bachillerato, no se utiliza ningún libro de los que se sugieren en
dicho programa, sino que el COBACH diseña sus propios libros. Tal es el caso del que se
utiliza en el tercer semestre y que fue emitido en 2011: “Geometría Analítica para el
desarrollo de competencias” de la autora María del Carmen Varela, en particular, nos
interesa revisar el bloque IX Emplea la ecuación de la elipse con centro en el origen y el
bloque X: Utiliza distintas ecuación de la elipse de este libro.
Imagen 1. Portada de libro del tercer semestre: “Geometría Analítica para el desarrollo de competencias”.
El libro Geometría Analítica para el desarrollo de competencias está diseñado con la
pretensión de que con las actividades que se proponen, el estudiante logre desarrollar
Competencias Genéricas y Competencias disciplinares básicas. Para el bloque IX se citan
dos unidades de competencias: 1) Construye e interpreta modelos sobre la elipse como
16
lugar geométrico al resolver problemas derivados de situaciones reales, hipotéticas o
teóricas, 2) Interpreta tablas, gráficas y expresiones simbólicas como distintas
representaciones de la elipse con centro en el origen.
Imagen 2. Bloque IX Emplea la ecuación de la elipse con centro en el origen.
El libro de texto presenta la siguiente secuencia: Saberes previos, definición de elipse como
lugar geométrico, se nombran los elementos de la elipse, se demuestra de manera formal la
ecuación ordinaria con centro en el origen y cuyo eje mayor coincide con el eje x, se
presenta la ecuación ordinaria con centro en el origen y eje mayor coincidente con el eje y,
se presentan las ecuaciones ordinarias con centro fuera del origen, luego se estudia la
excentricidad, el lado recto, las directrices y sus ecuaciones, dan paso a las aplicaciones que
tiene la elipse en diferentes áreas (Medicina, astronomía, arquitectura, etc.), y por último, se
muestran varios ejemplos en donde se dan algunos valores numéricos y concluir con la
ecuación y el gráfico de esa elipse.
Cabe destacar que el libro propone una actividad complementaria para la construcción de la
elipse por el método del jardinero y se da la argumentación de que la suma de las distancias
de los puntos a los focos es igual a la longitud del hilo o que la forma de la elipse depende
de la distancia que hay entre los focos y el vértice.
17
A manera de conclusión, podemos observar que el libro de texto diseñado por la misma
institución muestra como título “Geometría Analítica para el desarrollo de competencias”
sin embargo, la secuencia del contenido es similar a todos los libros de matemáticas de hace
años, con ellos podemos afirmar que lo único que cambia es el nombre del libro que le
colocan el apellido “por competencias”. Si bien el libro de texto, desde nuestra perspectiva
no es un documento que el profesor debe seguir al pie de la letra o basar su práctica docente
en éste, sino que sirve como apoyo para que el profesor pueda seleccionar entre diversos
libros los ejercicios o problemas que considere pertinentes para alcanzar el aprendizaje
esperado.
1.5 ¿Cómo enseñan los profesores el tema de Elipse?
En este apartado se analizan las estrategias utilizadas por profesores de matemáticas en
ejercicio para la enseñanza de la elipse, así como puntos de vista que tienen acerca del
tema, el análisis se realiza a partir de los resultados arrojados de la aplicación de una
encuesta a profesores del Colegio de Bachilleres de San Luis Potosí plantel 17 en (Anexo
1).
Se tomó una muestra de cuatro profesores, los cuales en el semestre Agosto-Diciembre
2014 impartieron la materia de Matemáticas III correspondiente a Geometría Analítica.
La encuesta compone datos de información y posteriormente se muestran un total de 14
preguntas que van desde conocimientos matemáticos, cursos de actualización, estrategias
de enseñanza y las competencias que se desarrollan con la forma de impartir el curso.
A continuación se describen los resultados en forma secuenciada al planteamiento de las
preguntas las respuestas de los profesores:
La pregunta 1: ¿Por qué considera que es importante enseñar a los alumnos el tema de
elipse?
El 75% de los encuestados no identifican una utilidad contextualizada en la
enseñanza de la elipse. Incluso hay quien manifiesta abiertamente que no tiene
aplicaciones.
Pregunta 2: ¿Cuál(es) de las siguientes proposiciones NO corresponden a una elipse?
18
El 100 % de los encuestados identificaron alguna de las características de la elipse,
pero además asociaron el concepto de elipse a características de otras cónicas, como
por ejemplo que la excentricidad es igual a la unidad.
Pregunta 3: Enumere la secuencia de temas que sigue para enseñar el tema de elipse. No
incluya los que no considera en su curso.
El 50% de los encuestados comienzan el tema con la exposición de la definición de
elipse, para luego realizar ejercicios para encontrar los elementos dada la elipse, y
concluir con la resolución de problemas, el resto de los profesores introducen a la
elipse mediante aplicación en el contexto y prosiguen con la exposición de la
definición de elipse, construcción de la elipse mediante un método, demostración de
las ecuaciones ordinarias y por último ejercicios para encontrar los elementos dada
una elipse.
Pregunta 4: Elija hasta tres de las principales fuentes que considera para modificar a
actualizar la planeación de sus cursos.
El 50% de los profesores modifican su planeación respecto a los resultados
internacionales como PISA, el otro 50% toma en cuenta indicaciones de la REIMS
para la modificación de su planeación.
Pregunta 5: Con la forma de enseñar la elipse, ¿Qué competencias disciplinares de la
RIEMS considera se desarrollan principalmente?
El 100% de los encuestados coinciden en que las competencias que logran
desarrollar según la RIEMS son:
o Expresa ideas y conceptos mediante representaciones lingüísticas,
matemáticas o gráficas;
o Sigue instrucciones y procedimientos de manera reflexiva, comprendiendo
cómo cada uno de sus pasos contribuye al alcance de los objetivos;
o Asume actitud constructiva, congruente con los conocimientos y habilidades
con los que cuenta dentro de distintos equipos de trabajo.
Pregunta 6: Con la forma que usted utiliza para enseñar la elipse, ¿Qué capacidades
matemáticas considera se desarrollan principalmente en sus alumnos y con qué estrategias?
o El 50% de los profesores consideran que se desarrolla la capacidad de
comunicación y lo hacen mediante estrategias como: Resolución de
19
problemas, lluvia de ideas y retroalimentación en el grupo. El otro 50%
considera que no se desarrolla esta capacidad.
o El 50% de los profesores considera que se desarrolla la capacidad de
matematización mediante ejercicios y desarrollo de fórmulas. El 50%
faltante no respondió
o El 75% de los profesores considera que se desarrolla la capacidad de
representación mediante software especializado como Geogebra o
aplicaciones en dispositivos móviles, y la realización de ejercicios de
graficación en hoja milimétrica. El 25% restante no respondió.
o El 50% de los profesores considera que la capacidad de razonamiento y
argumentación se desarrolla si los alumnos saben de donde provienen las
fórmulas de la elipse, la realización de ejercicios y tareas. El 25% considera
que no se desarrolla y el 25% restante no respondió.
o El 75% de los encuestados considera que la capacidad del diseño de
estrategias para resolver problemas se desarrolla mediante las siguientes
estrategias: Exámenes y pre-exámenes, aplicación de software educativo
para encontrar la solución deseada y que el alumno diseñe sus ejercicios y
problemas. El 25% no respondió.
o El 75% de los profesores consideran las exposiciones y la utilización de un
lenguaje matemático para el desarrollo de la capacidad de utilización de
operaciones y un lenguaje simbólico, formal y técnico. El 25% respondió
que no se desarrolla con la forma de enseñar a la elipse.
o El 75% de los profesores consideran que mediante la explicación con
proyector y tareas en software como geogebra, matcad, cfunction2, graph se
desarrolla la capacidad de utilización de herramientas matemáticas. El 25%
no respondió.
Pregunta 7: ¿Qué material(es) didáctico(s) utiliza para la enseñanza del tema de la elipse?
o El 100% de los encuestados utilizan como material didáctico el libro de
texto, pizarrón, cañón de proyección y software de graficación.
Pregunta 8: ¿Cuántas horas clase dedica a la enseñanza de la elipse?
o El promedio utilizado para la enseñanza de la elipse es de 8 horas.
20
Pregunta 9: Mencione los tres últimos cursos de actualización a los que haya asistido y
califique su relación o utilidad para modificar su planeación de la enseñanza de la elipse.
o El 100% de los profesores no ha acudido a cursos de actualización docente.
Pregunta 10: ¿Qué libro de texto utiliza para la materia de Matemáticas III?
o El 100% de los docentes utiliza el libro propuesto por el sistema COBACH
y el 25% además de utilizar el libro institucional se apoya en otros.
Pregunta 11: ¿Qué uso le da al libro de texto en su proceso de enseñanza?
o El 75% de los encuestados utiliza el libro de texto para encargar lectura
previa y solución de ejercicios.
o El 25% faltante no respondió.
Pregunta 12: Mencione las dificultades que observa en los estudiantes cuando ven el tema
de elipse.
o El 75% de los profesores coinciden en que los estudiantes tiene dificultades
en los conocimientos previos de álgebra y geometría, y además confirman
que el estudiante no tiene interés en la clase.
o El 25 % restante no respondió.
Pregunta 13: ¿Qué estrategias de evaluación utiliza?
o El 75% utiliza distintas estrategias de evaluación, los instrumentos comunes
fueron: exámenes, tareas y portafolios de evidencias.
o El 25% faltante no respondió.
Pregunta 14: ¿Tiene algún comentario adicional sobre esta encuesta?
o Sólo el 25% de los encuestados realizó un comentaron adicional, pero citó
las dificultades que tienen los estudiantes cuando se ve el tema de elipse,
correspondiente a la pregunta 12.
A manera de conclusión, los resultados obtenidos de las encuestas se pueden resumir en
que el tema de elipse no tiene una utilidad contextualizada por lo que los estudiantes
muestran poco interés en el tema. Además, la secuencia utilizada por los profesores es
tradicional (y similar a lo descrito en el programa de estudios y que ya se analizó en el
apartado 1.4), es decir, exponen el concepto en pizarrón, luego solicita la solución de
ejercicios y por último, resolver problemas rutinarios –como se abordó en el apartado
21
anterior- del libro de texto institucional, cabe mencionar que el tiempo promedio de la
secuencia es de 8 horas, lo que equivale a una semana y tres días con sesiones de 60
minutos cada una. Aunado a esto la evaluación se enfoca en realizar un examen en donde se
solicitan conocimientos abstractos, mediante la resolución de ejercicios y problemas
similiares a los del libro que no tienen sentido ni significado para el estudiante.
En cuanto a los resultados obtenidos de las competencias docentes, se encontró que tienen
los conocimientos de geometría analítica, específicamente en el tema de elipse, sin
embargo, una área de oportunidad que identificamos fue la actualización docente, los
profesores no han asistido a cursos que les permitan adoptar diversos enfoques, conocer las
tendencias en la didáctica de las matemáticas, así como los medios de evaluación
pertinentes en congruencia con el tipo de aprendizajes esperados.
Del aprendizaje de los estudiantes, podemos concluir que con el proceso de enseñanza ya
descrito los estudiantes logran desarrollar capacidades matemáticas como por ejemplo, la
representación de figuras geométricas, el diseño de estrategias para resolver problemas, la
utilización de lenguaje simbólico, formal y técnico y la utilización de herramientas
matemáticas.
22
1.6 Planteamiento de Problema
Teniendo en cuenta los elementos anteriores, se llega a la hipótesis de que la incongruencia
entre las finalidades expresadas en el Marco Curricular Común del SNB, el diseño del
programa de estudios de matemáticas III, la elaboración de libros de texto del COBACH y
las prácticas de los profesores en esta institución, es responsable de la ineficaz enseñanza
de las matemáticas y por ende de los pobres resultados obtenidos por los estudiantes en las
pruebas estandarizadas.
El programa de estudios de la materia matemáticas III tiene adoptados los principios
básicos que marca la Reforma Integral de la Educación Media Superior, pero
mediante el análisis que se realizó, no refleja en sus actividades de enseñanza-
aprendizaje el desarrollo de competencias disciplinares básicas de matemáticas,
específicamente en el tema de elipse.
Los libros de texto utilizado en el COBACH tienen un enfoque en el cual la
organización y las actividades propuestas, no conllevan al desarrollo de las
competencias disciplinares.
Los profesores de matemáticas adoptan en el curso de matemáticas III -en
específico en el bloque en donde se aborda el tema de elipse- las actividades de
enseñanza aprendizaje que se proponen en el programa de estudios dentro de su
planeación, teniendo como consecuencia actividades reproductivas lejanas a los
aprendizajes esperados y que causan desinterés en los estudiantes y por
consecuencia bajo rendimiento en el curso.
Ante el problema descrito surge el planteamiento de la siguiente pregunta de investigación:
¿El diseño y aplicación de situaciones de aprendizaje contribuye al desarrollo de la
competencia matemática en la enseñanza de la Geometría Analítica en bachillerato
y en particular en el tema de la Elipse?
23
Por lo anterior, y tratando de dar solución parcial a esta problemática, se plantea el
siguiente objetivo para este trabajo.
1.7 Objetivo
Ofrecer una propuesta metodología para el diseño de situaciones de aprendizaje centrada en
los resultados de aprendizaje y que pueda ser replicada para contenidos matemáticos por
profesores de diversos niveles educativos.
1.8 Metodología general
El presente trabajo adopta como marco metodológico las dos primeras etapas de la
metodología de la Ingeniería Didáctica (Artigue, 1995) ya que es una metodología
específica para la matemática educativa que orienta en el proceso de diagnóstico de una
situación problemática y el diseño de una propuesta de solución.
En el cuadro 9 se muestra un esquema que permite visualizar la adaptación de las dos
primeras fases de la metodología de la Ingeniería Didáctica adoptadas en este trabajo. La
metodología completa consta de cuatro fases o etapas: Planeación, diseño, experimental y
de validación que se describen a continuación.
24
Cuadro 9: Adaptación de las fases de la Metodología de la Ingeniería Didáctica destacando las fases que corresponden a
este trabajo en recuadro amarillo tomado de (Lezama, 2003, pág. 9).
En la primera fase Análisis preliminares, es necesario realizar un diagnóstico respecto al
cuadro teórico didáctico general y sobre los conocimientos relacionados con el tema
(Artigue, 1998 p. 38). Estos análisis pueden versar principalmente sobre:
El análisis epistemológico de los contenidos contemplados en la enseñanza
El análisis de la enseñanza tradicional y sus efectos.
El análisis de las concepciones de los estudiantes, de las dificultades y obstáculos
que determinan su evolución.
El análisis del campo de restricciones donde se va a situar la realización de la
ingeniería didáctica.
Para este trabajo, se realizó un análisis epistemológico que consistió en una descripción del
desarrollo del concepto de elipse desde su introducción en la familia de curvas conocidas
como “La Triada de Menecmo” hacia el año 350 a.C. Luego como las intersección de
cilindros y conos con planos en la obra “El libro de los lugares sólidos” de Aristeo y la
obra Los Elementos de Euclides en donde aborda cuestiones muy similares aunque menos
general y sistemático que la obra de Apolonio de Perga. En ésta última obra, el geómetra
25
Apolonio de Perga realizó cortes a dos conos unidos por el mismo vértice con bases
paralelas, las curvas obtenidas de los cortes según la inclinación del plano las llamó
Parábola, Elipse e Hipérbola.
En cuanto al análisis de la enseñanza tradicional, se realizó una búsqueda de diversas
investigaciones en donde ofrecen un panorama general de la enseñanza de las cónicas,
aunado a esto, elaboramos una encuesta que fue aplicada a profesores de bachillerato con el
fin de conocer la metodología de enseñanza utilizada en sus clases. Así mismo, se realizó
una breve descripción de los libros de texto utilizados por los profesores y que dan pauta
para inferir hacia dónde está enfocada la enseñanza de las cónicas, en específico de la elipse
actualmente. De las investigaciones encontradas, se pudieron rescatar las concepciones, las
dificultades y obstáculos que determinan su evolución de los estudiantes en estos temas.
La fase 2 Concepción y análisis a priori de situaciones didácticas; comprende una parte
descriptiva y una predictiva; se centra en las características de una situación adidáctica1,
que se diseña estratégicamente. En esta fase se diseñó una propuesta metodológica para el
diseño de situaciones de aprendizaje que pueda ser útil para replicarse por maestros de
matemáticas en diversos cursos de matemáticas. Se describen las 3 etapas (diseño,
aplicación y metaevaluación), así como cada uno de los elementos y momentos propuestos.
Además, de forma predictiva se diseña una situación de aprendizaje para el tema de elipse
en donde se determinan los aprendizajes esperados, los procesos y capacidades matemáticas
que desarrollará el estudiante al término de la situación, así como el diseño de las
actividades de aprendizaje, el producto o evidencia y los materiales a utilizar.
Cabe destacar que las fases de experimentación y validación quedan pendientes para darle
continuidad en el proyecto de investigación del posgrado, y estaría en función de dos cosas:
la primera es la validación de la propuesta metodológica para el diseño de situaciones de
aprendizaje y la segunda: la puesta en marcha de la situación de aprendizaje del tema de
elipse en estudiantes de preparatoria y su respectivo análisis.
1 Una tarea es adidáctica si el enunciado de la consigna no induce el proceso a seguir y no indica los recursos
pertinentes para su resolución: en esa etapa, la respuesta debe ser construida para el alumno como actor autónomo, obligado a hacer elecciones, a tomar decisiones. Ese carácter adidáctico constituye una condición sine qua non de la tarea de evaluación de las competencias (Denyer, Furnémont, & Poulain, 2007).
26
Capítulo 2. Marco referencial, didáctico y disciplinar.
2.1 Investigaciones previas.
En este apartado se analizarán las investigaciones realizadas respecto a la enseñanza de
secciones cónicas, y específicamente aquellas propuestas didácticas referidas a la Elipse,
aun cuando éstas sean escasas. En este contexto están los trabajos de Mata (2006) que hace
un análisis sobre el razonamiento en el aprendizaje de los conceptos de las cónicas
utilizando el modelo Van Hiele; Santa, Z (2007) proponiendo el doblado de papel para la
construcción e identificación de las características de las secciones cónicas; Montaño
(2010) que propone secuencias didácticas utilizando el software Geogebra; Santa, Z. (2011)
quien estudia a la elipse a través de la geometría del doblado de papel en el contexto de Van
Hiele; Pérez, I. (2012) realiza un estudio de las cónicas mediado por la modelación desde
una visión analítica; Calderón (2013) diseña una propuesta metodológica para la enseñanza
de las secciones cónicas; Bonilla, D. (2013) propone actividades desde la teoría de los
modos de pensamiento de Ana Sierpinska con el fin de articular los tres modos de
pensamiento de la Elipse. Finalmente, Villamizar, F. (2014) diseña una propuesta didáctica
para introducir a la elipse mediante un entorno digital interactivo.
A continuación realizaremos un recorrido analizando a detalle el problema, objetivos y las
conclusiones de cada una de estas investigaciones.
Filiberto Mata (2006) hace un análisis sobre el razonamiento del aprendizaje de los
conceptos de las secciones cónicas aplicando el modelo Van Hiele, la problemática que
“identifica es que los alumnos no logran desarrollar y aplicar el razonamiento geométrico
que se requiere para lograr el trabajo analítico formal, quedándose la gran mayoría de los
estudiantes entre el nivel intuitivo y el grado más alto de la operatividad formal” (pág. 3).
La pregunta central de su investigación es: “¿Cuáles son los procesos de razonamiento-
comprensión que se desarrollan en el acto de aprendizaje de las secciones cónicas
(circunferencia, parábola, elipse e hipérbola) en la Geometría Analítica? La investigación
se llevó a cabo con 10 alumnos de 2º, 3º y 4º semestre en la Universidad del Valle de
México campus San Luis Potosí llegando a las siguientes conclusiones: “A través de las
actividades diseñadas dentro de los niveles de Van Hiele, los estudiantes del nivel medio
superior pueden llegar a reconocer las cónicas en los términos en que se establece en la
teoría”, además al diseñar actividades aplicando el modelo “el estudiante efectúa un
27
aprendizaje por medio de experiencias que el maestro programa como actividades
significativas” (págs. 74-76). Por otro lado sugiere que la Geometría Analítica y la
Geometría Plana se deben de abordar como talleres con actividades que cumplan los
objetivos planteados.
Zaida Santa (2007) propone el doblado de papel para la construcción e identificación de las
características de las secciones cónicas; para resolver el problema de que “la enseñanza
tradicional del tema de secciones cónicas no permite una verdadera apropiación y
aplicación del conocimiento en los estudiantes del grado décimo C de la Institución
Educativa Normal Superior de Envigado en Colombia” (pág. 17). Por lo que el objetivo es
el diseño de estrategias para que el estudiante aplique y se apropie del conocimiento del
tema de las secciones cónicas.
Santa plantea tres preguntas fundamentales en su investigación: ¿Qué actividades se pueden
diseñar para que el estudiante se apropie y aplique los conceptos básicos de las secciones
cónicas?; ¿Bajo qué teorías se pueden respaldar las actividades diseñadas para la
apropiación y aplicación de los conceptos básicos de las secciones cónicas?; ¿Cómo
verificar una apropiación y aplicación en el conocimiento una vez que se hayan aplicado las
guías con la técnica del doblado de papel? (pág. 18).
Una de las principales conclusiones a las que se llegó en esta investigación es que el
doblado de papel favorece los procesos de visualización y justificación, además, se puede
utilizar como mediador para promover procesos de visualización más elevados en
diferentes contextos; así como la estrategia tiene sus beneficios también pueden surgir
problemas, como por ejemplo, que se puede convertir en mera actividad lúdica, generando
así distracción en el proceso de aprendizaje; también es posible que los conceptos sólo se
pueden interpretar en la hoja de papel, impidiendo la contextualización en escenarios
cotidianos.
Jaime Montaño (2010) propone un diseño de secuencias didácticas para las cónicas con
apoyo del software Geogebra con las que trata de optimizar el tiempo de explicación de los
conceptos, además de trazar las curvas en el plano cartesiano, para propiciar un mayor
número de actividades de enseñanza aprendizaje que las que permite un modelo tradicional
en el que las cónicas son trazadas por el profesor en el pizarrón. El objetivo planteado es:
28
“Facilitar el aprendizaje significativo y que cubran los contenidos programáticos del
programa de matemáticas IV del bachillerato Nicolaita” (pág. 19).
Las conclusiones a las que llegó Montaño es que al utilizar el software Geogebra como
herramienta ayudó a los estudiantes a comprobar o verificar las conjeturas hechas, mediante
ayudas visuales proporcionadas por el software. Además que el aprendizaje fue
significativo, pues los estudiantes consideraron que es una nueva forma de aprender
matemáticas. Además motiva, impulsa y sirve como complemento del aprendizaje, ya que
le pudieran sacar mayor provecho. (págs. 233, 234).
En un trabajo posterior al referido anteriormente Santa (2011) profundiza en la enseñanza
de la elipse como lugar geométrico. Su pregunta de investigación es ¿Cómo comprenden
los estudiantes el concepto de elipse como lugar geométrico mediante la geometría del
doblado de papel, en el contexto del modelo educativo Van Hiele? El objetivo planteado es
el análisis de la compresión de la elipse como lugar geométrico, en estudiantes de primeros
semestres de una Institución Educativa de la ciudad de Medellín, Colombia., con la
geometría del doblado de papel, en el marco del modelo educativo Van Hiele (págs. 57,
58).
Una de las conclusiones reportadas en la investigación es que el estudiante comprendió el
concepto de elipse gracias a un mecanismo visual-geométrico brindado por las
construcciones hechas con el doblado de papel. 80% de los estudiantes alcanzaron el nivel
III y el 20% restante el nivel II de razonamiento geométrico según el modelo Van Hiele al
que nos referiremos en la siguiente sección, por lo que concluye que el guion de entrevista
de carácter socrático se convierte en propuesta metodológica para la comprensión del
concepto de elipse (págs. 270, 271).
Isabel Pérez (2012) hace un estudio de las cónicas mediado por la modelación desde una
visión analítica, identificando como problema que en las instituciones educativas de la
ciudad de Villavicencio-Meta en Colombia, la enseñanza de las cónicas tradicionalmente se
aborda por medio del sistema de representación algebraica mediante las transformaciones
de las ecuaciones canónicas de las curvas, para hallar los elementos constitutivos o a partir
de éstos hallar las ecuaciones lo cual conlleva a que los estudiantes ejerciten
procedimientos algebraicos para el manejo de ecuaciones y el desarrollo de estrategias para
memorizar contenidos (pág. 3).
29
El objetivo de la investigación que plantea es investigar aplicaciones de las secciones
cónicas (parábola, elipse e hipérbola) y mediante procesos de modelación,
conceptualizarlas como lugares geométricos y obtener la representación analítica de dichas
curvas (pág. 4).
La conclusión a la que llegó es que los estudiantes mediante la visualización
comprendieron, construyeron, explicaron y formalizaron aspectos gráficos y analíticos de
las cónicas. Además con el proceso de modelación, el estudiante cambió la visión de la
matemática abstracta por una en donde se puede construir el conocimiento con situaciones
tomadas de la realidad que además sirven para motivar. Con la implementación de
tecnología integra el proceso de modelación con procedimientos como visualización,
medición, verificación de propiedades y traducción del lenguaje gráfico al algebraico o
viceversa.
William Calderón (2013, pág. 11) señala como problema que la enseñanza de las cónicas se
enfatiza en el aspecto algebraico, separándolo de la parte geométrica, y esto conlleva a que
los estudiantes sigan algoritmos que sólo favorecen la memorización de fórmulas. Para
superar esta realidad, diseñó guías de aprendizaje para favorecer la exploración de las
características de las cónicas y así el estudiante construya su conocimiento. Cabe destacar
que las guías tienen como referente teórico el modelo de Van Hiele. Calderón aplicó las
guías a estudiantes de décimo grado de la institución educativa Villas de San Ignacio de
Bucaramanga, Colombia y el objetivo que se planteó fue alcanzar los tres primeros niveles
de razonamiento que propone el modelo.
Calderón presenta indicadores para la secuencia didáctica de las cónicas para los niveles 1,
2 y 3 del modelo Van Hiele. A continuación descritos en el cuadro 10.
30
Cuadro 10: Indicadores para la secuencia didáctica de Secciones Cónicas para los niveles 1, 2 y 3 del modelo Van Hiele
(Calderón, 2013, pág. 45)
La conclusión a la que llegó es que “al aplicar este modelo de enseñanza, los estudiantes
expresan las características con sus propias palabras, debido a la construcción y la
experiencia de trabajar con materiales manipulables, como la cuerda, lápiz, compás o con el
doblado de papel, descubren la parte axiomática” (pág. 58).
Daniela Bonilla (2013) propone actividades desde la teoría de los modos de pensamiento de
Ana Sierpinska con el fin de articularlos en la Elipse. La problemática que reporta es que el
discurso matemático escolar que se utiliza en el proceso de enseñanza-aprendizaje de las
cónicas, da prioridad a las ecuaciones cartesianas que las describen, lo cual promueve
pérdida de la estructura de las cónicas como lugar geométrico.
El objetivo de la propuesta didáctica es que los estudiantes entiendan a las cónicas en sus
distintos modos: el Analítico-Sintético (como figuras que las representan), el Analítico-
Aritmético (como pares ordenados que satisfacen una ecuación) y el Analítico-Estructural
(como lugar geométrico) (pág. 1).
Algunas de las conclusiones principales de la investigación de Bonilla es que al trabajar las
cónicas con las actividades planteadas se favorece la comprensión de los objetos
matemáticos, a través de sus definiciones como estructuras, situación que trasciende a las
representaciones. Además al plantear a los estudiantes actividades en geometrías no usuales
como la llamada “geometría del taxista”, los invita a la reflexión, a “hacer matemática”,
31
puesto que pueden establecer cuáles cónicas existen en esta geometría analítica y cuáles son
las condiciones de su existencia, entre otros análisis (pág. 8).
Freddy Villamizar (2014) diseña una propuesta didáctica para introducir a la elipse
mediante un entorno digital interactivo. El problema que el autor cita es que existe falta de
planeación en temas de matemáticas además de que no se utilizan herramientas
tecnológicas en temas de geometría analítica como es el caso de las cónicas. Por lo anterior
plantea como pregunta de investigación: ¿Cómo introducir una curva cónica mediante el
empleo de la tecnología digital, dentro de un marco didáctico para promover una mejor
comprensión?
Para dar respuesta a la pregunta de investigación, se propone como objetivo el diseño de
una propuesta para la enseñanza de la Geometría Analítica apoyada en las tecnologías
digitales dentro de un marco didáctico, que promueva un mejor equilibrio entre el
pensamiento geométrico y el algebraico. En particular, desarrolla una serie de actividades
didácticas para promover una mejor comprensión de la curva cónica elipse, como ejemplo
del estudio de las demás figuras cónicas en el aula. Este trabajo se sustenta en la didáctica
de Cuevas & Pluvinage, el modelo de los niveles de pensamiento geométrico de Van Hiele,
y el uso de software de geometría dinámica (pág. 18).
Analizando cada una de las propuestas de estos autores, (ver cuadro 11) se llega a la
conclusión de que el modelo de pensamiento geométrico de los Van Hiele proporciona
fundamentos teóricos y metodológicos que han mostrado resultados positivos al utilizarlos
en el diseño de situaciones de aprendizaje. Además, al utilizar las nuevas tecnologías
pueden utilizarse para desarrollar en los estudiantes tanto habilidades digitales como
competencias matemáticas.
Autor Año Investigación
Mata, F. 2006 Análisis sobre el razonamiento en el aprendizaje de los conceptos
de la geometría analítica: el caso particular de las secciones
cónicas aplicando el modelo Van Hiele.
Santa, Z. 2007 Uso del doblado de papel en la construcción de las secciones
cónicas e identificación de sus características.
Montaño, J. 2010 Diseño y desarrollo de secuencias didácticas para las cónicas,
utilizando el software Geogebra.
Santa, Z. 2011 La elipse como lugar geométrico a través de la geometría del
32
doblado de papel en el contexto de Van Hiele.
Pérez, I. 2012 Estudio de las aplicaciones de las cónicas mediado por la
modelación desde una visión analítica.
Calderón, W. 2013 Propuesta metodológica para la enseñanza de las secciones
cónicas en el grado décimo de la institución educativa villas de
San Ignacio de Bucaramanga.
Bonilla, D. 2013 Las cónicas en la geometría del taxista: una propuesta didáctica
desde la teoría de los modos de pensamiento.
Villamizar, F. 2014 Propuesta didáctica para introducir una curva cónica mediante un
entorno digital interactivo: El caso de la elipse. Cuadro 11: Investigaciones sobre las secciones cónicas.
Por lo anterior, el modelo de pensamiento geométrico de los Van Hiele, y sus aplicaciones
en los trabajos anteriores, como los son construcciones de la elipse mediante el método del
jardinero, como lo denomina Villamizar (pág. 59), por compás y regla como lo utiliza Mata
(pág. 49), sustentarán la propuesta para el diseño de una situación de aprendizaje que es el
producto final de este trabajo.
33
2.2 Teoría Van Hiele
En 1957 los esposos Van Hiele estudian las dificultades que presentan los estudiantes en
conceptos y problemas relativamente sencillos en geometría y proponen un modelo de
Razonamiento Geométrico que plantea inicialmente la existencia de 3 niveles.
Posteriormente tomando en cuenta las sugerencias y críticas de distintos autores
complementaron el modelo añadiendo un nivel inicial conocido como visualización.
Finalmente, Van Hiele consideró añadir un último nivel cuyo desarrollo sólo se puede
alcanzar en cursos formales universitarios y no por estudiantes de nivel básico o medio.
Así el modelo finalmente quedó conformado por cinco niveles, a saber: Nivel 1:
visualización, Nivel 2: análisis, Nivel 3: clasificación, Nivel 4: deducción formal, Nivel 5:
de rigor; cuya descripción sintética a continuación a partir de las obras de los esposos Van
Hiele y otros autores: (Van Hiele, 1957), (Corberán, y otros, 1994), (Mata, 2006), (Santa Z.
, 2011).
Antes de describir los niveles de razonamiento geométrico, enunciaremos sus principales
características:
Los niveles no son incompatibles o independientes, es decir que la adquisición de
un nivel no supone la necesidad de anular y olvidar las habilidades de razonamiento
propias del nivel precedente.
Los cinco niveles tienen una organización jerárquica.
Cada nivel de razonamiento se apoya en el anterior, en otras palabras para adquirir
un nivel de razonamiento es necesario haber adquirido antes el nivel precedente.
El paso de un nivel a otro se produce de forma continua.
Cada nivel de razonamiento lleva asociado un tipo de lenguaje específico.
Así pues, para identificar el nivel alcanzado por un estudiante, se toman en cuenta los
desempeños alcanzados de acuerdo con la siguiente descripción:
Nivel 1 (Visualización):
Usan propiedades imprecisas de las figuras geométricas para compararlas,
ordenarlas, describirlas o identificarlas.
Hacen referencia a prototipos visuales para caracterizar figuras.
34
Perciben las figuras geométricas en su totalidad, de manera global, como unidades.
Los estudiantes se limitan a describir el aspecto físico de las figuras.
Al identificar o describir figuras, incluyen atributos irrelevantes, normalmente de
tipo físico o visual (por ejemplo, la orientación en el papel o el tamaño).
Pueden aprender vocabulario geométrico, identificar formas determinadas y, dada
una figura, pueden reproducirla (por ej., dándoles un geoplano o una hoja de papel,
los estudiantes podrían construir o dibujar las figuras).
Perciben las figuras como objetos individuales, es decir que los estudiantes no son
capaces de generalizar las características que reconocen en una figura a otras de su
misma clase.
Comparan y clasifican figuras geométricas basándose en su apariencia global. Por
ejemplo, suelen utilizar expresiones como “... se parece a...","... tiene la forma
de...","... es como...", etc.
No reconocen explícitamente como tales, las propiedades matemáticas de las
figuras. Aunque los estudiantes de este nivel pueden reconocer algunas propiedades
o elementos de una figura, éstas no juegan un papel apreciable en el reconocimiento
de dicha figura.
Identifican partes de una figura, pero:
o No analizan una figura en términos de sus componentes.
o No piensan en las propiedades como características de una clase de figuras.
o No hacen generalizaciones sobre formas ni usan un lenguaje apropiado.
Nivel 2 (Análisis):
Son conscientes de que las figuras geométricas están formadas por partes y de que
están dotadas de propiedades matemáticas. Pueden describir sus partes y enunciar
sus propiedades, siempre de manera informal, utilizando vocabulario apropiado para
componentes y relaciones (por ejemplo, "lados opuestos", "los ángulos
correspondientes son iguales", "las diagonales se cortan en el punto medio", etc.).
Cuando se les pide que definan una figura, recitan una lista de propiedades
necesarias para identificar la figura, en vez de determinar propiedades necesarias y
suficientes.
35
Comparan figuras mediante el uso explícito de propiedades de sus componentes.
Rechazan las definiciones dadas por el libro (o el profesor) en favor de las
definiciones propias. No comprenden la necesidad ni la misión de las definiciones.
Reconocen las propiedades matemáticas mediante la observación de las figuras y
sus elementos. También pueden deducir propiedades generalizándolas a partir de la
experimentación.
Al comprobar la validez de una afirmación, tratan la Geometría como si fuera una
ciencia experimental: Observan una variedad de figuras y sacan conclusiones
generales sobre ellas.
Después de utilizar varias veces un tipo de ejemplos con unas figuras, pueden hacer
generalizaciones a la clase de figuras en cuestión.
No son capaces de relacionar unas propiedades con otras, por lo que no pueden
hacer clasificaciones lógicas de figuras basándose en sus elementos o propiedades.
No son capaces de deducir unas propiedades de otras, porque perciben cada una de
forma aislada y sin relación con las demás.
Todavía no pueden explicar las relaciones entre las propiedades, no ven las
relaciones lógicas entre clases de figuras.
Muestran una ausencia explícita de comprensión de qué es una demostración
matemática.
No admiten la inclusión de clases entre diversas familias de figuras, por ejemplo de
cuadriláteros.
Nivel 3 (Clasificación):
Comienzan a desarrollar su capacidad de razonamiento matemático: Son capaces de
reconocer que unas propiedades se deducen de otras y de deducir esas implicaciones
(de un solo paso). Sin embargo, no comprenden el significado de la deducción como
un todo ni el papel de los axiomas.
Comprenden los sucesivos pasos individuales de un razonamiento lógico formal,
pero no entienden la estructura de una demostración. Pueden entender una
demostración explicada por el profesor o el libro de texto, pero no son capaces de
construirla por sí mismos. Tampoco ven cómo podría alterarse el orden lógico de
36
una demostración ni saben cómo construir una demostración a partir de premisas
diferentes de las que han visto.
Saben cómo razonar de acuerdo con un sistema lógico deductivo, pero esto no es
equivalente a razonar con la fuerza de la lógica formal. En particular, no distinguen
con claridad una implicación (p →q) de su recíproca (q →p). Pero sí usan
implícitamente la regla de transitividad (si p → q Y q →r entonces p →r).
Pueden comprender demostraciones formales cuando se las explica el profesor o el
libro de texto.
Utilizan las representaciones físicas de las figuras más como una forma de verificar
sus deducciones que como un medio para realizarlas.
Pueden clasificar lógicamente diferentes familias de figuras a partir de propiedades
suyas ya conocidas formuladas con precisión matemática. No obstante, sus
razonamientos lógicos se siguen apoyando en la manipulación y sus demostraciones
son de tipo informal.
Comprenden el significado de "al menos un", "todo", etc.
Comprenden el papel de las definiciones y pueden dar definiciones
matemáticamente correctas.
Son capaces de:
Identificar conjuntos diferentes de propiedades que caracterizan a una clase de
figuras y comprobar su suficiencia.
Identificar conjuntos mínimos de propiedades que pueden caracterizar a una
figura.
Formular y utilizar una definición para una clase de figuras.
Pueden modificar definiciones y usar inmediatamente definiciones de conceptos
nuevos.
En sus demostraciones, hacen referencias explícitas a las definiciones.
Son capaces de aceptar formas equivalentes de una definición.
37
Nivel 4 (Deducción formal):
Pueden entender y realizar razonamientos lógicos formales. Las demostraciones (de
varios pasos) ya tienen sentido para ellos y aceptan su necesidad como único medio
para verificar la veracidad de una afirmación.
Realizan con frecuencia conjeturas e intentos de verificar las conjeturas
deductivamente.
Pueden construir, no sólo memorizar, demostraciones y ven la posibilidad de
desarrollar una demostración de distintas maneras. Pueden comparar y contrastar
demostraciones diferentes de un mismo teorema.
Comprenden las interacciones entre las condiciones necesarias y las suficientes y
distinguen entre una implicación (p → q) y su recíproca (q →p).
Aceptan la existencia de definiciones equivalentes del mismo concepto y son
capaces de demostrar su equivalencia.
Pueden comprender la estructura axiomática de las Matemáticas, es decir el sentido
y la utilidad de términos no definidos, axiomas, teoremas, etcétera.
Pueden pensar en las mismas cuestiones que en el nivel anterior pero razonando o
justificando las afirmaciones de manera rigurosa.
Dan argumentos deductivos formales, pero no investigan los sistemas axiomáticos
en sí mismos ni comparan sistemas axiomáticos diferentes.
Nivel 5 (De rigor):
Se encuentran en el máximo nivel de rigor matemático según los parámetros
actuales.
Son capaces de prescindir de cualquier soporte concreto para desarrollar su
actividad matemática.
Aceptan la existencia de sistemas axiomáticos diferentes y puede analizarlos y
compararlos.
38
Cuadro 12. Niveles de Razonamiento Van Hiele. Elaboración propia.
La promoción de estos niveles implica un estratégico desarrollo de habilidades cognitivas
en el estudiante por medio de actividades de aprendizaje. El modelo de los esposos Van
Hiele no se limita a la descripción de dichos niveles, sino que además propone 5 fases de
aprendizaje (Información, orientación dirigida, explicitación, orientación libre e
integración) con el fin de que el estudiante pueda pasar de un nivel a otro de forma
continua, lo que puede ayudar a los profesores a organizar la enseñanza siguiendo
determinadas pautas. A continuación presentaremos las principales características de estas
fases en el trabajo de (Jaime & Gutiérrez, 1990, págs. 333-335).
Fase 1: Información
Se trata de una fase de toma de contacto: El profesor debe informar a los
estudiantes sobre el campo de estudio en el que van a trabajar, qué tipo de
problemas se van a plantear, qué materiales van a utilizar, etc. Así mismo,
los alumnos aprenderán a manejar el material y adquirirán una serie de
conocimientos básicos imprescindibles para poder empezar el trabajo
matemático propiamente dicho.
Esta es también una dase de información para el profesor, pues sirve para
que éste averigüe los conocimientos previos de los estudiantes sobre el
tema que se va a abordar. Como decíamos antes, la experiencia extra
escolar no debe despreciarse, sino que puede aprovecharse como fuente de
Nivel 1: Visualización
Nivel 2: Análisis
Nivel 3: Clasificación
Nivel 4: Deducción Formal
Nivel 5: Rigor
39
motivación; además, es conveniente evitar hacer un trabajo repetido o
tratar de “enseñar” cosas que los alumnos ya saben. Por otra parte, muchas
veces tendremos que trabajar en un tema que no es absolutamente nuevo
para los estudiantes, que ya lo han estudiado en algún curso anterior, por lo
que, para una buena utilización del modelo Van Hiele, es imprescindible
que el profesor sepa qué grado de conocimiento de los contenidos del tema
tienen sus alumnos y, sobre todo, qué nivel de razonamiento son capaces
de mostrar. En resumen, esta fase sirve para dirigir la atención de los
estudiantes y permitirles que sepan qué tipo de trabajo van a hacer, y para
que el profesor descubra qué nivel de razonamiento tienen sus alumnos en
el nuevo tema y qué saben del mismo.
Fase 2: Orientación Dirigida
En esta fase los estudiantes empiezan a explorar el campo de estudio por
medio de investigaciones basadas en el material que les ha sido
proporcionado. El objetivo principal de esta fase es conseguir que los
estudiantes descubran, comprendan, y aprendan cuáles son los conceptos,
propiedades, figuras, etcétera principales en el área de la geometría que
están estudiando. En esta fase se construirán los elementos básicos de la
red de relaciones del nuevo nivel. Van Hiele afirma, refiriéndose a esta
fase, que “las actividades, si son escogidas cuidadosamente, formas la base
adecuada del pensamiento del nivel superior” Van Hiele (1957) citado en
Jaime & Gutiérrez (1990).
Obviamente los estudiantes, por sí solos, no podrían realizar un aprendizaje
eficaz (en cuanto a los resultados obtenidos y al tiempo empleado), por lo
que es necesario que las actividades que se les propongan estén
convenientemente dirigidas hacia los conceptos, propiedades, etcétera que
deben estudiar. El trabajo que vayan a hacer estará seleccionado de tal
forma que los conceptos y estructuras característicos se les presenten de
forma progresiva.
Fase 3: Explicitación
Una de las finalidades principales de la tercera etapa es hacer que los
40
estudiantes intercambien sus experiencias, que comenten las regularidades
que han observado, que expliquen cómo han resuelto las actividades, todo
ello dentro de un contexto de diálogo en el grupo. Es interesante que surjan
puntos de vista divergentes, ya que el intento de cada estudiante por
justificar su opinión hará que tenga que analizar con cuidado sus ideas (o
las de sus compañeros), que ordenarlas y que expresarlas con claridad. Este
diálogo hace que sea en el transcurso de esta fase cuando se forma
parcialmente la nueva red de relaciones.
Esta fase tiene también la misión de conseguir que los estudiantes terminen
de aprender el nuevo vocabulario, correspondiente al nuevo nivel de
razonamiento que están empezando a alcanzar. En algunos casos,
especialmente con niños de educación básica, no es conveniente, desde el
punto de vista didáctico introducir al mismo tiempo nuevos conceptos,
nuevo vocabulario y nuevo símbolos. Una técnica utilizada por los
maestros para reducir este problema consiste en permitir que, al principio,
los niños dominen las nuevas figuras o propiedades a su gusto, hasta que
hayan adquirido un dominio suficiente de las mismas- En esta fase se
tendrá que hace el paso del vocabulario de los niños al usual.
Por lo tanto, la fase 3 no es una fase de aprendizaje de cosas nuevas, sino
de revisión del trabajo hecho antes, de puesta a punto de conclusiones y de
práctica y perfeccionamiento en la forma de expresarse.
Fase 4: Orientación libre
Ahora los alumnos deberán aplicar los conocimientos y lenguaje que
acaban de adquirir a otras investigaciones diferentes de las anteriores. El
campo de estudio ya es en gran parte conocido por los alumnos, peso éstos
todavía deben perfeccionar su conocimientos del mismo. Esto se consigue
mediante el planteamientos por el profesor de problemas que,
preferiblemente, puedan desarrollarse de diversas formas o que pueden
llevar a diferentes soluciones. En estos problemas se colocarán indicios que
muestren el camino a seguir, pero de forma que el estudiante tenga que
combinarlos adecuadamente, aplicando conocimientos y la forma de
41
razonar que ha adquirido en las fases anteriores.
Queremos remarcar que el núcleo de esta fase está formado por actividades
de utilización y combinación de los nuevos conceptos, propiedades y forma
de razonamiento. Los problemas que hay que plantear en la fase 4 no
tienen nada que ver con los ejercicios de “aplicación”, tan frecuentes en
nuestros libros de texto de educación básica y enseñanza media, para cuya
solución solo hace falta recordar algún hecho concreto y utilizarlo
directamente; por el contrario, algunos de los problemas de esta fase deben
presentar situaciones nuevas, ser abiertos, con varios caminos de
resolución. Este tipo de actividades es la que permitirá complementar la
red de relaciones que se empezó a formar en las fases anteriores, dando
lugar a que se establezcan las relaciones más complejas y más importantes.
Fase 5: Integración
A lo largo de las fases anteriores, los estudiantes han adquirido nuevo
conocimientos y habilidades, pero todavía deben adquirir una visión
general de los contenidos y métodos que tienen a su disposición,
relacionando los nuevos conocimientos con otros campos que hayan
estudiado anteriormente; se trata de condensar en un todo el dominio que
ha explorado su pensamiento. En esta fase el profesor puede fomentar este
trabajo proporcionando comprensiones globales, pero es importante que
estas comprensiones no le aporten ningún concepto o propiedad nuevos al
estudiante: solamente deben ser una acumulación, comparación y
combinación de cosas que ya conoce.
Completada esta fase, los alumnos tendrán a su disposición una nueva red
de relaciones mentales, más amplia que la anterior y que la sustituye, y
habrán adquirido un nuevo nivel de razonamiento.
Cuadro 13. Descripción de las Fases de enseñanza con base en el Modelo Van Hiele tomado de (Jaime & Gutiérrez, 1990,
págs. 333-335)
42
Cuadro 14. Fases de enseñanza con base en el Modelo Van Hiele. Elaboración propia
Fase 1: Información
Fase 2: Orientación
Dirigida
Fase 3: Explicación
Fase 4: Orientación
Libre
Fase 5: Integración
43
2.3 Enfoque de Desarrollo de Competencias
2.3.1 La OCDE y PISA
La Organización para la Cooperación y el Desarrollo Económicos (OCDE) fue fundada en
1961, actualmente contiene 34 países miembros y su misión es la de promover políticas que
mejoren el bienestar económico y social de las personas alrededor del mundo.
México, en 1994 se convirtió en el miembro número 25, y algunos de los beneficios
esperados al adherirse a la OCDE son: 1) Las políticas públicas en los distintos ámbitos son
contrastadas con la experiencia de las mejores prácticas en el ámbito internacional. 2) La
administración pública en México se ha visto fortalecida. 3) Distintos sectores del país
también pueden hacer uso de análisis de información relevante. 4) La OCDE ha hecho un
buen trabajo al contribuir a un mejor entendimiento de algunos asuntos de políticas
públicas en México.
PISA por sus siglas en inglés Programme for International Student Assessment es un
Proyecto que propone la Organización para la Cooperación y el Desarrollo Económicos
(OCDE) cuyo objetivo es la evaluación de los estudiantes cuando éstos llegan al fin de la
educación obligatoria, que comprende los 15 años (OCDE, s.f., pág. 3). En otras palabras,
PISA evalúa las habilidades, la pericia y las aptitudes de los estudiantes para analizar y
resolver problemas, para manejar información y para enfrentar situaciones que muy
probablemente se les presentarán en su vida cotidiana (OCDE, s.f., pág. 5).
El proyecto PISA evalúa cada tres años desde el año 2000 tres áreas que son: Competencia
lectura, Competencia matemática y competencia científica. Los resultados de esta
evaluación adquieren gran difusión de los medios de comunicación, por lo que se ha
convertido en el proyecto más influyente en términos de reformas educativas a nivel
internacional. Sin embargo, la opinión pública desconoce el arduo y valioso trabajo
realizado por decenas de especialistas internacionales en matemáticas y educación para
determinar los marcos de referencia de esta prueba. Estos marcos constituyen un importante
e indispensable referente para cualquier especialista en matemática educativa.
En este contexto abordaremos la competencia matemática, su definición y elementos
constitutivos de acuerdo con el marco de matemáticas en PISA 2012.
44
2.3.2 Competencia Matemática
Antes de diseñar los reactivos que serán aplicados en la evaluación de competencia
matemática, PISA aborda las preguntas sobre qué significa aprender matemáticas y para
qué en el marco de un estudiante que termina su educación básica y se inserta en el mundo
laboral o de los estudios superiores. Así, propone como definición de la competencia
matemática a evaluar:
“La capacidad del individuo para formular, emplear e interpretar las
matemáticas en distintos contextos. Incluye el razonamiento matemático y
la utilización de conceptos, procedimientos, datos y herramientas
matemáticas para describir, explicar y predecir fenómenos. Ayuda a los
individuos a reconocer el papel que las matemáticas desempeñan en el
mundo y a emitir los juicios y las decisiones bien fundadas que los
ciudadanos constructivos, comprometidos y reflexivos necesitan” (OCDE,
2013, pág. 9).
2.3.3 Procesos y Capacidades Matemáticas.
El marco de PISA enumera como procesos los tres términos (formular, emplear e
interpretar) referidos en la definición anterior. Estos procesos se pueden traducir en el
conjunto de actividades cognitivas que realiza el individuo con el fin de relacionar el
contexto del problema con los objetos matemáticos en juego.
Las tres categorías de los procesos son las siguientes:
1. Formulación matemática de las situaciones
2. Empleo de conceptos, datos, procedimientos y razonamientos
matemáticos
3. Interpretación, aplicación y valoración de los resultados
matemáticos
45
A continuación se describen las actividades cognitivas que definen a cada una de estas
categorías.
En el proceso de formulación matemática de las situaciones, “los estudiantes deciden dónde
pueden extraer las matemáticas necesarias para analizar, plantear y resolver el problema”
(OCDE, 2013, pág. 13); las actividades que incluye este proceso son las siguientes:
1. Identificación de los aspectos matemáticos de un problema situado
en un contexto del mundo real e identificación de las variables
significativas.
2. Reconocimiento de la estructura matemática (incluidas las
regularidades, las relaciones y los patrones) en los problemas o
situaciones.
3. Simplificación de una situación o problema para que sea
susceptible de análisis matemático.
4. Identificación de las limitaciones y supuestos que están detrás de
cualquier construcción de modelos y de las simplificaciones que se
deducen del contexto.
5. Representación matemática de una situación, utilizando las
variables, símbolos, diagramas y modelos estándar adecuados.
6. Representación de un problema de forma diferente, incluida su
organización según conceptos matemáticos y formulando los
supuestos adecuados.
7. Comprensión y explicación de las relaciones entre el lenguaje
específico del contexto de un problema y el lenguaje simbólico y
formal necesario para representarlo matemáticamente.
8. Traducción de un problema a lenguaje matemático o a una
representación.
9. Reconocimiento de aspectos de un problema que se corresponden
con problemas conocidos o conceptos, datos o procedimientos
matemáticos.
46
10. Utilización de la tecnología (como una hoja de cálculo o la función
de lista de una calculadora gráfica) para representar una relación
matemática inherente a un problema contextualizado.
En el proceso de empleo de conceptos, datos, procedimientos y razonamientos
matemáticos para resolver problemas, “los sujetos ejecutan los procedimientos
matemáticos necesarios para obtener resultados y encontrar una solución matemática”
(OCDE, 2013, pág. 14); las actividades son:
1. El diseño e implementación de estrategias para encontrar
soluciones matemáticas.
2. La utilización de herramientas matemáticas, incluida la tecnología,
que ayuden a encontrar soluciones exactas o aproximadas.
3. La aplicación de datos, reglas, algoritmos y estructuras
matemáticas en la búsqueda de soluciones.
4. La manipulación de números, datos e información gráfica y
estadística, expresiones algebraicas y ecuaciones, y
representaciones geométricas;
5. La realización de diagramas, gráficos y construcciones
matemáticas y la extracción de información matemática de los
mismos.
6. La utilización y el cambio entre distintas representaciones en el
proceso de búsqueda de soluciones.
7. La realización de generalizaciones basadas en los resultados de
aplicar procedimientos matemáticos para encontrar soluciones.
8. La reflexión sobre argumentos matemáticos y la explicación y
justificación de los resultados matemáticos.
En el proceso interpretación, aplicación y valoración de los resultados matemáticos,
“implica traducir las soluciones matemáticas o razonar de nuevo sobre el contexto del
problema y determinar si los resultados son razonables y tienen sentido en dicho
contexto” (OCDE, 2013, pág. 14); este proceso incluye actividades tales como:
47
1. La reinterpretación de un resultado matemático en el contexto del
mundo real.
2. La valoración de la razonabilidad de una solución matemática en el
contexto de un problema del mundo real.
3. La comprensión del modo en que el mundo real afecta a los
resultados y cálculos de un procedimiento o modelo matemático
para realizar juicios contextuales sobre la forma en que los
resultados deben ajustarse o aplicarse.
4. La explicación de por qué un resultado o una conclusión
matemática tiene o no tiene sentido dado el contexto de un
problema.
5. La comprensión del alcance y de los límites de los conceptos y las
soluciones matemáticas.
6. El análisis e identificación de los límites del modelo utilizado para
resolver un problema.
Los procesos anteriores como ya se mencionó, se traducen en el conjunto de actividades
cognitivas que realiza el individuo con el fin de relacionar el contexto del problema con los
objetos matemáticos en juego. Sin embargo, para que el individuo pueda construir esa
relación es necesario que cuente con ciertas capacidades que externalizan los procesos
anteriores y contribuyen a su desarrollo.
Las capacidades matemáticas que se define en este marco (OCDE, 2013) son siete
(comunicación, matematización, representación, razonamiento y argumentación, diseño de
estrategias para resolver problemas, utilización de operaciones y un lenguaje simbólico,
formal y técnico; y la utilización de herramientas matemáticas) a continuación descritas:
Comunicación:
La competencia matemática implica comunicación. El sujeto percibe la
existencia de algún desafío y está estimulado para reconocer y
comprender la situación del problema. La lectura, descodificación e
interpretación de enunciados, preguntas, tareas u objetos le permite
formar un modelo mental de la situación, que es un paso importante para
48
la comprensión, clarificación y formulación de un problema. Durante el
proceso de solución puede ser necesario resumir y presentar los
resultados intermedios. Posteriormente, una vez que se ha encontrado una
solución, el individuo que resuelve el problema puede tener que
presentarla a otros y tal vez una explicación o justificación.
Matematización:
La competencia matemática puede suponer transformar un problema
definido en el mundo real en una forma estrictamente matemática (que
puede incluir la estructuración, conceptualización, elaboración de
suposiciones y/o formulación de un modelo) o la interpretación o
valoración de un resultado o modelo matemático con relación al
problema original. El término “matematización” se utiliza para describir
las actividades matemáticas fundamentales implicadas.
Representación:
La competencia matemática entraña con mucha frecuencia
representaciones de objetos y situaciones matemáticas. Esto puede
suponer la selección, interpretación, traducción entre y utilización de
distintas representaciones para reflejar una situación, interactuar con un
problema o presentar el propio trabajo. Las representaciones a las que se
hace referencia incluyen gráficos, tablas, diagramas, imágenes,
ecuaciones, fórmulas y materiales concretos.
Razonamiento y argumentación:
La capacidad matemática a la que se recurre a través de las diferentes
etapas y actividades asociadas a la competencia matemática se denomina
razonamiento y argumentación. Esta capacidad implica procesos de
pensamiento arraigados de forma lógica que exploran y conectan los
elementos del problema para realizar inferencias a partir de ellos,
comprobar una justificación dada o proporcionar una justificación de los
enunciados o soluciones a los problemas.
Diseño de estrategias para resolver problemas:
La competencia matemática suele requerir el diseño de estrategias para
49
resolver problemas de forma matemática. Esto implica un conjunto de
procesos de control fundamentales que guían al individuo para que
reconozca, formule y resuelva problemas eficazmente. Esta destreza se
caracteriza por la selección o diseño de un plan o estrategia cuyo fin es
utilizar las matemáticas para resolver los problemas derivados de una
tarea o contexto, además de guiar su implementación. Esta capacidad
matemática puede ser requerida en cualquier etapa del proceso de
resolución de problemas.
Utilización de operaciones y un lenguaje simbólico, formal y técnico:
La competencia matemática requiere la utilización de operaciones y un
lenguaje simbólico, formal y técnico. Esto implica la comprensión,
interpretación, manipulación y utilización de expresiones simbólicas en
un contexto matemático (incluidas las expresiones y operaciones
aritméticas) regido por convenciones y reglas matemáticas. También
supone la comprensión y utilización de constructos formales basados en
definiciones, reglas y sistemas formales, así como el uso de algoritmos
con estas entidades. Los símbolos, las reglas y los sistemas empleados
varían en función de los conocimientos concretos de contenido
matemático que se requieren en un ejercicio específico para formular,
resolver o interpretar las matemáticas.
Utilización de herramientas matemáticas:
La capacidad matemática última que sustenta la competencia matemática
en la práctica es la utilización de herramientas matemáticas. Estas
incluyen herramientas físicas, como los instrumentos de medición,
además de calculadoras y herramientas informáticas que cada vez son
más accesibles. El conocimiento y la habilidad para utilizar las distintas
herramientas que pueden favorecer la actividad matemática, así como el
conocimiento de sus limitaciones están implícitos en esta capacidad.
Asimismo, las herramientas matemáticas pueden desempeñar un papel
crucial en la comunicación de los resultados. Anteriormente, la inclusión
del uso de herramientas en los estudios PISA en soporte impreso solo fue
50
posible de forma muy reducida. El componente electrónico opcional de la
evaluación de las matemáticas de PISA 2012 proporcionará a los alumnos
más oportunidades para utilizar herramientas matemáticas y para incluir
observaciones sobre cómo se usan en la evaluación.
Cuadro 15. Capacidades Matemáticas tomado de (OCDE, 2013).
51
A manera de resumen se muestra un cuadro que describe la relación de los procesos y las
capacidades matemáticas fundamentales en términos de desempeños (OCDE, 2013, pág.
18).
PROCESOS
CAPACIDADES
Formulación
matemática de las
situaciones
Empleo de conceptos,
datos, procedimientos y
razonamientos
matemáticos
Interpretación,
aplicación y valoración
de los resultados
matemáticos
Comunicación
Leer, descodificar e interpretar enunciados, preguntas, tareas,
objetos, imágenes o animaciones
(en la evaluación electrónica)
para crear un modelo mental de la
situación
Articular una solución, mostrar el trabajo asociado a la obtención de
la misma y/o resumir y presentar
los resultados matemáticos
intermedios
Elaborar y presentar explicaciones y argumentos en el
contexto del problema
Matematización
Identificar las variables y estructuras matemáticas
subyacentes al problema del
mundo real y formular supuestos
de modo que puedan utilizarse
Utilizar la comprensión del contexto para guiar o acelerar el
proceso de resolución
matemático, p. ej., trabajando a
un nivel de precisión apropiado al
contexto
Comprender el alcance y los límites de una solución
matemática que son el resultado
del modelo matemático empleado
Representación
Crear una representación matemática de información del
mundo real
Interpretar, relacionar y utilizar distintas representaciones cuando
se interactúa con un problema
Interpretar los resultados matemáticos en distintos
formatos con relación a una
situación o uso; comparar o
valorar dos o más
representaciones con relación a
una situación
Razonamiento y
argumentación
Explicar, defender o facilitar una
justificación de la representación
identificada o elaborada de una
situación del mundo real
Explicar, defender o facilitar una
justificación de los procesos y
procedimientos utilizados para
determinar un resultado o solución matemática.
Relacionar datos para llegar a una
solución matemática, hacer
generalizaciones o elaborar un
argumento de varios pasos
Reflexionar sobre la soluciones
matemáticas y elaborar
explicaciones y argumentos que
apoyen, refuten o proporcionen una solución matemática a un
problema contextualizado
Diseño de estrategias
para resolver problemas
Seleccionar o diseñar un plan o
estrategia para reformular
matemáticamente problemas
contextualizados
Activar mecanismos de control
eficaces y sostenidos en un
procedimiento con múltiples
pasos conducente a una solución,
conclusión o generalización
matemática
Diseñar e implementar una
estrategia para interpretar, valorar
y validar una solución
matemática a un problema
contextualizado
Utilización de
operaciones y un
lenguaje simbólico,
formal y técnico
Utilizar variables, símbolos,
diagramas y modelos estándar
apropiados para representar un
problema del mundo real
empleando un lenguaje
simbólico/formal
Comprender y utilizar constructos
formales basándose en
definiciones, reglas y sistemas
formales, así como mediante el
empleo de algoritmos
Comprender la relación entre el
contexto del problema y la
representación de la solución
matemática. Utilizar esta
comprensión para favorecer la
interpretación de la solución en
su contexto y valorar la viabilidad y posibles limitaciones de la
misma
Utilización de
herramientas
matemáticas
Utilizar herramientas
matemáticas para reconocer
estructuras matemáticas o
describir relaciones matemáticas
Conocer y ser capaz de utilizar
adecuadamente distintas
herramientas que puedan
favorecer la implementación de
procesos y procedimientos para
determinar soluciones
matemáticas
Utilizar herramientas
matemáticas para determinar la
razonabilidad de una solución
matemática y los límites y
restricciones de la misma, dado el
contexto del problema
Cuadro 16. Relación entre procesos matemáticos y las capacidades matemáticas fundamentales tomado de (OCDE, 2013,
pág. 18)
A continuación se muestra un cuadro en donde definimos en términos de desempeños la
relación que existe entre los tres primeros niveles de los Van Hiele y las capacidades
matemáticas fundamentales del marco de PISA 2012.
NIVELES MVH
CAPACIDADES
PISA 2012
Nivel 1:
Visualización Nivel 2:
Análisis Nivel 3:
Clasificación
Comunicación
Describen figuras geométricas
con lenguaje coloquial. Describen sus partes y enuncian
propiedades de manera informal
de figuras geométricas.
Formula una definición para una
figura geométrica.
Matematización
Identifican figuras geométricas en
su entorno. Reconocen propiedades de
figuras geométricas en su
entorno.
Clasifica figuras o familias de
curvas visualizadas en su entorno
a partir de su definición.
Representación
Reproduce una figura dada una “plantilla”.
Construyen figuras geométricas a partir de sus propiedades.
Construye figuras geométricas o familia de curvas a partir de su
definición y la relación de
propiedades.
Razonamiento y
argumentación
Justifica una figura geométrica
mediante argumentos descriptivos de su contexto.
Justifica una figura geométrica
enunciando una lista de elementos y propiedades.
Justifica una figura geométrica
con razonamiento lógico deductivo.
Diseño de estrategias
para resolver problemas
Resuelve situaciones
problemáticas que implican
comparación o identificación de
figuras geométricas o sus
elementos.
Resuelve situaciones
problemáticas que impliquen la
deducción de propiedades, mediante la generalización a
partir de la experimentación.
Resuelve situaciones que
impliquen razonamiento
deductivo usando reglas lógicas.
Utilización de
operaciones y un
lenguaje simbólico,
formal y técnico
Describen figuras relacionando
el vocabulario geométrico con el
lenguaje algebraico.
Describen las propiedades y
relaciones de los componentes de
una figura utilizando vocabulario geométrico y lenguaje algebraico.
Utilizan lenguaje matemático
para realizar razonamientos
deductivos.
Utilización de
herramientas
matemáticas
Utiliza herramientas geométricas
(geoplano, regla, compás) y
material didáctico para reproducir
una figura.
Manipula software especializado
para la representación de formas
geométricas.
Utiliza software especializado
para clasificar familias de curvas
o figuras geométricas.
Cuadro 17. Relación entre los niveles de los Van Hiele y las capacidades matemáticas fundamentales. Elaboración propia
2.3.4 Categorías de contenidos matemáticos y Contextos
El marco de evaluación de PISA 2012 define cuatro categorías que engloban los contenidos
matemáticos básicos de los currículos escolares y que sirven de orientación para la
elaboración de los reactivos de dicha prueba garantizando la diversidad en toda el área.
Estas categorías fueron seleccionadas de acuerdo al desarrollo de las estructuras
matemáticas a lo largo del tiempo y reflejan la variedad de fenómenos matemáticos
subyacentes.
Las categorías se describen a continuación:
CAMBIOS Y RELACIONES
La categoría cambio y relaciones incluye conceptos como funciones
(lineales, exponenciales, periódicas y logarítmicas), expresiones
algebraicas, ecuaciones, desigualdades, representaciones tabulares y
gráficas que se utilizan para describir, modelar e interpretar fenómenos
de cambio como el crecimiento de los organismos, la música, el ciclo de
las estaciones, los cambios climáticos, los niveles de empleo y las
condiciones económicas.
ESPACIO Y FORMA
Esta categoría incluye aquellas formas, patrones, propiedades,
posiciones, direcciones y representaciones de formas y/o fenómenos que
se encuentran en todas partes de nuestro mundo físico y visual como
casas, edificios, puentes, estrellas de mar, copos de nieve, planos de
ciudades, cristales, espejos y sobras entre otros.
CANTIDAD
Esta categoría contienen aquellos conceptos involucrados en la
comprensión de tamaños relativos, reconocimiento de patrones
numéricos, uso de números para representar cantidades y atributos
cuantificables de los objetos del mundo real. La cantidad se refiere al
reconocimiento, procesamiento y comprensión de números, que se
presentan de varios modos.
INCERTIDUMBRE Y DATOS
Esta categoría toma en cuenta el estudio de la estadística y la
probabilidad, los conceptos y actividades implicadas son la recolección
54
de datos, el análisis de datos y sus representaciones, la probabilidad y la
inferencia. Además, comprende la elaboración, interpretación y
valoración de conclusiones extraídas en situaciones donde la
incertidumbre es fundamental
Cuadro 18. Categorías de contenido matemático del marco de evaluación de PISA (OCDE, 2013) y (Rico, 2006).
El contenido matemático que aborda este trabajo, como ya se ha mencionado es el de Elipse
y sus propiedades, por tal motivo nos enfocaremos en desarrollar a profundidad la categoría
de espacio y forma ya que ésta incluye fenómenos que se encuentran en el mundo visual y
físico tales como: patrones, propiedades de los objetos, posiciones y direcciones,
representaciones de los objetos, descodificación y codificación de información visual,
navegación e interacción dinámica con formas reales así como con representaciones. Para
el tema de elipse, podemos encontrarla en diversas áreas de aplicación, como por ejemplo,
la encontramos en Medicina en el diseño de equipos como el litotriptor que desintegra
cálculos renales, en Arquitectura para la construcción de la Plaza de San Pedro, el Coliseo
Romano y el estadio Maracaná que tienen forma elíptica y en Astronomía se utiliza para la
descripción de la trayectoria de las órbitas de los planetas alrededor del sol. Muchas de
estas aplicaciones de la elipse la incluyen por su principal propiedad que es la reflexión tal
y como se usa en el litotriptor que mediante posicionar correctamente al paciente (en uno
de los focos de la elipse) y el reflector (el otro foco) en donde se emiten ondas de choque en
cierta dirección se logra desintegrar la piedras en el riñón.
Además, PISA reconoce un conjunto de conceptos y destrezas básicas para el desarrollo de
la competencia matemática en esta categoría, por ejemplo: la comprensión de la perspectiva
(por ejemplo en los cuadros), la elaboración y lectura de mapas, la transformación de las
formas con y sin tecnología, la interpretación de vistas de escenas tridimensionales desde
distintas perspectivas y la construcción de representaciones de formas (OCDE, 2013, pág.
20).
A su vez, el proyecto PISA identifica temas de contenidos que guían la evaluación de la
competencia matemática, lo que implica que los estudiantes comprendan y resuelvan
eficazmente situaciones de aprendizaje contextualizadas que implican espacio y forma. De
55
los temas que establece PISA 2012 identificamos los siguientes para este trabajo en
relación con el tema de elipse:
1. Expresiones algebraicas: interpretación verbal y manejo de expresiones
algebraicas que incluyen números, símbolos, operaciones aritméticas,
potencias y raíces simples.
2. Sistemas de coordenadas: representación y descripción de datos, posición y
relaciones.
3. Relaciones en y entre objetos geométricos en dos y tres dimensiones:
relaciones estáticas como las conexiones algebraicas entre elementos de las
figuras (p. ej., el teorema de Pitágoras, al definir la relación entre las
longitudes de los lados de un triángulo rectángulo), la posición relativa, la
semejanza y congruencia, y las relaciones dinámicas que implican la
transformación y el movimiento de los objetos, así como las
correspondencias entre los objetos bidimensionales y tridimensionales.
4. Medida: cuantificación de las características de y entre las formas y objetos,
como las medidas de los ángulos, la distancia, la longitud, el perímetro, la
circunferencia, el área y el volumen.
5. Porcentajes, ratios y proporciones: descripción numérica de la magnitud
relativa y aplicación de las proporciones y el razonamiento proporcional en
la resolución de problemas.
En nuestra propuesta, se establecen diversos momentos en donde se abordan distintos temas
como por ejemplo, para el primer punto (expresiones algebraicas) los estudiantes manejan
las ecuaciones ordinarias para elipses verticales y horizontales con centro en el origen y
fuera de él. Para el punto dos (sistemas de coordenadas), hablamos que la elipse se incluye
en el curso de geometría analítica y una de las capacidades que el estudiante debe
desarrollar es la representación de elipses verticales y horizontales en el plano cartesiano, la
ubicación de elementos y la descripción de los mismos. En cuanto al punto tres (relaciones
en y entre objetos geométricos en dos y tres dimensiones), se aborda al integrar la
definición de la elipse con el gráfico y la expresión algebraica, por ejemplo, que la suma de
las longitudes (medida) de un punto a los focos es constante, esto lleva a que la longitud del
eje mayor, también es constante; y mediante la relación de los elementos de la elipse y la
56
utilización de la fórmula de distancia entre dos puntos y la realización de diversos cálculos
se puede se llega al desarrollo de la ecuación de la elipse.
Los contextos que definen en este marco son cuatro (personal, profesional, social y
científico) y se entienden como aquellas situaciones que se ubican en el mundo del
estudiante en la cual se encuentran los problemas y ofrecen la posibilidad de conectar con
la gama más amplia posible de intereses personales y el abanico de situaciones en el que
operan los individuos del siglo XXI. Cabe destacar que estos contextos fueron
seleccionados en función de su relevancia para los intereses y la vida de los alumnos, así
como de las exigencias a las que se verán sometidos cuando se incorporen a la sociedad
como ciudadanos constructivos, comprometidos y reflexivos (OCDE, 2013, pág. 23).
A continuación se describen las cuatro categorías de contexto que utilizan en el marco de
matemáticas de PISA 2012 y que se utilizan para clasificar las preguntas elaboradas para la
evaluación de la competencia matemática de este proyecto:
PERSONAL
Los problemas clasificados en la categoría de contexto personal
se centran en actividades del propio individuo, su familia y su
grupo de iguales. Los tipos de contexto que pueden considerase
personales incluyen (pero no se limitan a) aquellos que implican
la preparación de los alimentos, las compras, los juegos, la salud
personal, el transporte personal, los deportes, los viajes, la
planificación personal y las propias finanzas.
PROFESIONAL
Los problemas clasificados en la categoría de contexto
profesional se centran en el mundo laboral. Las preguntas
clasificadas como profesionales pueden incluir (pero no se
limitan a) aspectos como la medición, el cálculo de costes y el
pedido de materiales para la construcción, la
nómina/contabilidad, el control de calidad, la planificación/el
inventario, el diseño/la arquitectura y la toma de decisiones
relacionadas con el trabajo. Los contextos profesionales pueden
57
referirse a cualquier nivel de la mano de obra, desde el trabajador
no especializado hasta el nivel más alto de trabajador
profesional.
SOCIAL
Los problemas clasificados en la categoría de contexto social se
centran en la propia comunidad (ya sea local, nacional o global).
Pueden incluir (pero no se limitan a) aspectos como los sistemas
electorales, el transporte, el gobierno, las políticas públicas, la
demografía, la publicidad, las estadísticas nacionales y la
economía. Aunque los individuos están involucrados en todos
estos aspectos a título personal, en la categoría de contexto social
los problemas ponen el acento en la perspectiva comunitaria.
CIENTÍFICO
Los problemas clasificados en la categoría científico hacen
referencia a la aplicación de las matemáticas al mundo natural y
a cuestiones y temas relacionados con la ciencia y la tecnología.
Los contextos concretos podrían incluir (pero no limitarse a)
áreas como la meteorología o el clima, la ecología, la medicina,
las ciencias espaciales, la genética, las mediciones y el propio
mundo de las matemáticas.
Cuadro 19. Categorías de contextos del marco de evaluación de PISA (OCDE, 2013).
Para el ejemplo del diseño de una situación de aprendizaje -que se detalla en el capítulo 4-
tomamos como referencia el contexto profesional al plantear en la situación problemática el
quehacer de un arquitecto.
El proyecto PISA hace un énfasis en que la competencia matemática se desarrolla y se
expresa en la solución de situaciones contextualizadas, es decir, aquellos problemas que
están situados en el mundo del estudiante. Por otro lado, la enseñanza de la geometría, en
particular de la geometría analítica, tradicionalmente se presenta de manera
descontextualizada centrando su explicación en las propiedades de las cónicas; y
proponiendo ejercicios de aplicación referidos al manejo algebraico de estas propiedades y
rematando con algunos problemas que, o no se tiene tiempo de abordarlos, son triviales, o
58
quedan fuera del alcance de los estudiantes por no haber centrado la enseñanza en el
desarrollo de capacidades matemáticas.
En los apartados anteriores nos dimos a la tarea de complementar e integrar el Modelo Van
Hiele y el Marco de Evaluación de PISA 2012 ya que por un lado, el Modelo Van Hiele no
describe en términos de desempeños, los procesos y las capacidades matemáticas
fundamentales para el desarrollo de la competencia matemática. Y por otro lado,
consideramos que el Marco de Evaluación de PISA 2012 es demasiado general, es decir,
necesitamos definir qué procesos y capacidades específicas para la geometría analítica son
necesarias y que conlleven al desarrollo de los niveles de razonamiento geométrico y por
consiguiente al desarrollo de la competencia matemática.
Por tanto, el reto de este trabajo es proponer situaciones que al tiempo de no romper que se
enseñe de manera diferente pero sí proponer formas diferentes para el desarrollo de
procesos y capacidades matemáticas que conlleven al alcance de niveles superiores de
razonamiento geométrico y no solo hacer énfasis en la transmisión de conocimientos
abstractos sin sentido y significado.
2.4 Aspectos disciplinares.
En este apartado se definirá a la Geometría Analítica como rama de las matemáticas, se
desarrollará el concepto de secciones cónicas desde sus inicios y cómo fue que estas curvas
aparecieron y quiénes fueron sus principales exponentes tales como Menecmo, Aristeo,
Euclides y Apolonio de Perga. Posteriormente se trata el tema de elipse como sección
cónica y como lugar geométrico introducida ya en el plano cartesiano y el desarrollo de sus
ecuaciones así como de sus elementos constitutivos. Por último, se muestran diversos
métodos para la construcción geométrica de la elipse como la construcción mecánica, por
regla y compás y el doblado de papel.
2.4.1 Geometría Analítica
El estudio de la Geometría Analítica, tiene diversas aplicaciones funcionales en la ciencia,
ingeniería y la industria entre otras áreas de interés para los estudiantes.
La geometría analítica establece una relación entre la geometría y el álgebra, es decir,
estudia las propiedades geométricas mediante el análisis algebraico y las propiedades de las
ecuaciones por medio de la geometría. Dicha relación establece una correspondencia entre
pares ordenados y puntos en un plano. “La Geometría Analítica es, pues, una especie de
diccionario entre el Álgebra y la Geometría que asocia pares de números a puntos y
ecuaciones a curvas” (González Urbaneja, 2007, pág. 205).
2.4.2 Las Cónicas
Las secciones cónicas cuyo estudio se incluye en el tercer semestre de la materia
Matemáticas III según el programa de la Dirección General de Bachillerato, fueron
desarrolladas por varios matemáticos que realizaron diversas investigaciones, resolvieron
problemas y mostraron distintos métodos para la construcción de estas curvas.
Menecmo, fue un matemático y geómetra griego, se le atribuye la introducción de las
secciones cónicas hacia el año 350 a.C. al trabajar con los tres principales problemas de esa
época: la cuadratura del círculo, la trisección del ángulo y la duplicación del cubo. Para la
solución de la duplicación del cubo (construir un cubo de doble volumen que otro dado)
Menecmo encontró una familia de curvas al seccionar un cono recto con un plano, estas
curvas hoy son conocidas como “La Triada de Menecmo”.
60
Imagen 3. Sección del cono rectángulo. (de Guzmán, 2001)
Posteriormente, descubrió la elipse y la hipérbola al seccionar conos acutángulos y
obtusángulos respectivamente con planos perpendiculares a una de sus generatrices.
Imagen 4. Sección del cono acutángulo y obtusángulo. (Vilcachagua, 2010).
A finales del siglo IV a. de C. aparecieron dos importantes obras para el desarrollo de las
cónicas la primera difundida por Aristeo y la segunda por Euclides. En la obra de Aristeo
“El libro de los lugares sólidos” las cónicas surgen de la intersección de cilindros y conos
con planos, por otro lado, aparecen los lugares lineales que eran otras curvas de orden
superior no reducibles a las anteriores, como la cuadratriz o la concoide (Tapia, 2002, pág.
21).
61
Imagen 5. Cuadratriz y concoide. Tomado de (Pérez A. , 2005, pág. 11) y (Rodríguez & Sarmiento, S.f., pág. 3).
Euclides considerado el padre de la geometría por su célebre obra de Los Elementos
escribió además, entre otras obras, sobre las secciones cónicas, de manera similar aunque
menos general y sistemático que la obra de Apolonio.
El geómetra Apolonio de Perga entre el año 262 a. C. y 199 a.C. hizo aportes importantes
para el desarrollo de las cónicas que plasmó en los libros Las Cónicas que se distribuyen de
la siguiente manera: I. Modos de obtención y propiedades fundamentales de las cónicas; II.
Diámetros, ejes y asíntotas; III. Teoremas notables y nuevos. Propiedades de los focos; IV.
Número de puntos de intersección de cónicas; V. Segmentos de máxima y mínima distancia
a las cónicas. Normal, evoluta, centro de curvatura; VI. Igualdad y semejanza de las
secciones cónicas. Problema inverso: dada la cónica, hallar el cono; VII. Relaciones
métricas sobre diámetros; VIII. Se desconoce su contenido. Tal vez teoremas y/o problemas
sobre diámetros conjugados (Tapia, 2002, pág. 23).
62
Imagen 6. Ejemplar de Las cónicas de Apolonio en los manuscritos del Vaticano (Papa Pablo III, 1536)
Apolonio de Perga realizó cortes a dos conos unidos por el mismo vértice con bases
paralelas, las curvas obtenidas de los cortes según la inclinación del plano las llamó
Parábola, Elipse e Hipérbola, términos procedentes del lenguaje de los pitagóricos a la
solución de ecuaciones cuadráticas del método de Aplicación de las Áreas (González
Urbaneja, 2007, pág. 208).
Imagen 7. Las cónicas de Apolonio de Perga. Imagen tomada de (González Urbaneja, s/f).
63
2.4.3 La elipse
2.4.3.1 Definición como cónica
Como ya se mencionó en el apartado anterior, la elipse surge de la intersección de una
superficie cónica con un plano, de tal manera que la inclinación no supere la inclinación de
la recta generatriz del cono, consiguiendo así que la intersección sea una curva cerrada.
En otras palabras, el ángulo de corte debe ser menor a 90° y mayor al ángulo que forma el
eje con la generatriz del cono.
Imagen 8: La elipse: corte del cono. Elaboración propia.
2.4.3.2 Definición como lugar geométrico
Al trasladar el concepto geométrico de elipse al campo de la geometría analítica su
definición implica describir la relación que cumplen un conjunto de puntos para
conformarla.
Existen muchas definiciones de la elipse como lugar geométrico, por ejemplo, la definición
que proponen (Lehman, 1989) es: “La elipse es el lugar geométrico de un punto que se
mueve en un plano de tal manera que la suma de sus distancias a dos puntos fijos de ese
plano es siempre igual a una constante, mayor que la distancia entre los dos puntos” (pág.
173).
1. α es el ángulo que
forma el eje del cono con
la generatriz del mismo.
2. β el ángulo que forma
el plano con el eje del
cono.
64
Otros autores como (Jiménez, 2010, pág. 158) definen a la elipse como: “Un conjunto de
puntos en el plano tales que la suma de sus distancias a dos puntos fijos, llamados (F1 y
F2), es constante”.
Contrasta con las anteriores definiciones la que se utiliza en el libro de texto del Colegio de
Bachilleres de San Luis Potosí lo define como: “el lugar geométrico de los puntos cuya
suma de distancias no dirigidas a dos puntos fijos llamados focos es constante” (Varela,
2010, pág. 231). Como se puede observar en ésta se omite la condición de que la constante
debe ser mayor que la distancia entre los dos puntos (focos).
2.4.3.2.1 Elementos de la elipse
Existe un consenso en los libros de texto sobre los principales elementos que dan origen a
la construcción de una elipse o la definición de sus propiedades. A saber.
Imagen 9: Elementos de la Elipse. Elaboración propia.
2.4.3.2.2 Ecuación ordinaria de la elipse horizontal con centro en el origen.
A continuación se referirá el proceso de deducción de la ecuación de la elipse referido de
manera semejante en diversos textos y muchas veces reproducida por los profesores en
clase (Lehman, 1989) y (Jiménez, 2010).
Sea una elipse con centro en el origen y cuyo eje focal coincide con el eje X; por lo que los
focos F y F´ están sobre el eje X. Como el centro C es el punto medio del segmento FF´, las
65
coordenadas de F y F´ son (c, 0) y (-c, 0) respectivamente, siendo c una constante positiva.
Sea P (x, y) un punto cualquiera de la elipse. Por la definición de la elipse, el punto P debe
satisfacer la condición geométrica
⎸𝐹𝑃⎹ + ⎸𝐹´𝑃⎹ = 2𝑎,
En donde a es una constante positiva mayor que C.
Calculando PF y PF´ con la fórmula de distancia entre dos puntos:
√(𝑥 − 𝑐)2 + 𝑦2 +√(𝑥 + 𝑐)2 + 𝑦2 = 2𝑎
Para quitar los radicales, pasamos uno de los términos del primer miembro al segundo
miembro de la ecuación y elevamos al cuadrado ambos miembros:
√(𝑥 − 𝑐)2 + 𝑦2 = 2𝑎 − √(𝑥 + 𝑐)2 + 𝑦2
(√(𝑥 − 𝑐)2 + 𝑦2)2
= (2𝑎 − √(𝑥 + 𝑐)2 + 𝑦2)2
Nótese que el segundo miembro es un binomio:
(𝑥 − 𝑐)2 + 𝑦2 = 4𝑎2 − 4𝑎√(𝑥 + 𝑐)2 + 𝑦2 + (𝑥 + 𝑐)2 + 𝑦2
𝑥2 − 2𝑐𝑥 + 𝑐2 + 𝑦2 = 4𝑎2 − 4𝑎√(𝑥 + 𝑐)2 + 𝑦2 + 𝑥2 + 2𝑐𝑥 + 𝑐2 + 𝑦2
Se reducen los términos semejantes:
−4𝑐𝑥 = 4𝑎2 − 4𝑎√(𝑥 + 𝑐)2 + 𝑦2
Restamos 4𝑎2 en ambos miembros de la ecuación, para dejar el radical como único
término:
66
−4𝑐𝑥 − 4𝑎2 = 4𝑎2 − 4𝑎√(𝑥 + 𝑐)2 + 𝑦2 − 4𝑎2
−4𝑐𝑥 − 4𝑎2 = −4𝑎√(𝑥 + 𝑐)2 + 𝑦2
Multiplicamos toda la ecuación por -1:
4𝑐𝑥 + 4𝑎2 = 4𝑎√(𝑥 + 𝑐)2 + 𝑦2
Dividimos toda la ecuación entre 4:
𝑐𝑥 + 𝑎2 = 𝑎√(𝑥 + 𝑐)2 + 𝑦2
Para quitar el radical, nuevamente se elevan al cuadrado ambos miembros de la ecuación:
(𝑐𝑥 + 𝑎2)2 = (𝑎√(𝑥 + 𝑐)2 + 𝑦2)2
𝑥2𝑐2 + 2𝑎2𝑐𝑥 + 𝑎4 = 𝑎2(𝑥2 + 2𝑐𝑥 + 𝑐2 + 𝑦2)
𝑥2𝑐2 + 2𝑎2𝑐𝑥 + 𝑎4 = 𝑎2𝑥2 + 2𝑎2𝑐𝑥 + 𝑎2𝑐2 + 𝑎2𝑦2
Reducimos términos semejantes:
𝑥2𝑐2 + 𝑎4 = 𝑎2𝑥2 + 𝑎2𝑐2 + 𝑎2𝑦2
Ahora, usando la relación 𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐2, despejamos 𝑐2 y obtenemos:
𝑎2 − 𝑏2 = 𝑐2
Este valor de 𝑐2 lo sustituimos en la ecuación:
𝑥2(𝑎2 − 𝑏2) + 𝑎4 = 𝑎2𝑥2 + 𝑎2(𝑎2 − 𝑏2) + 𝑎2𝑦2
67
𝑎2𝑥2 − 𝑏2𝑥2 + 𝑎4 = 𝑎2𝑥2 + 𝑎4 − 𝑎2𝑏2 + 𝑎2𝑦2
Reducimos términos semejantes:
−𝑏2𝑥2 = −𝑎2𝑏2 + 𝑎2𝑦2
Restamos en ambos términos 𝑎2𝑦2:
−𝑏2𝑥2 − 𝑎2𝑦2 = −𝑎2𝑏2 + 𝑎2𝑦2 − 𝑎2𝑦2
−𝑏2𝑥2 − 𝑎2𝑦2 = −𝑎2𝑏2
Multiplicamos toda la ecuación por -1:
𝑏2𝑥2 + 𝑎2𝑦2 = 𝑎2𝑏2
Dividimos toda la ecuación entre el término 𝑎2𝑏2
𝑏2𝑥2
𝑎2𝑏2+𝑎2𝑦2
𝑎2𝑏2=𝑎2𝑏2
𝑎2𝑏2
Y por último, simplificamos la ecuación:
𝑥2
𝑎2+𝑦2
𝑏2= 1
2.4.3.2.3 Ecuación ordinaria de la elipse vertical con centro en el origen.
De manera análoga se presenta la deducción de la ecuación para el caso de una elipse
vertical con centro en el origen.
68
Sea una elipse vertical con centro en el origen y P un punto cualquiera de la elipse con
coordenadas P (x, y) y sean F y F´ los focos de la elipse definidos como (c, 0) y (-c, 0)
respectivamente. Por la definición de la elipse, podemos escribir.
⎸𝐹𝑃⎹ + ⎸𝐹´𝑃⎹ = 2𝑎,
En donde a es una constante positiva mayor que C.
Calculando PF y PF´ con la fórmula de distancia entre dos puntos:
√𝑥2 + (𝑦 − 𝑐)2 +√𝑥2 + (𝑦 + 𝑐)2 = 2𝑎
De manera análoga al desarrollo anterior se obtiene:
𝑥2
𝑏2+𝑦2
𝑎2= 1
Estos desarrollos algebraicos son obviados por los profesores por considerar que resultan
demasiado abstractos para sus estudiantes y requerir de tiempo para su explicación. En
términos de la teoría de los Van Hiele se requiere de un nivel de “Deducción formal”
(cuarto nivel) que como ya se mencionó no es propio de estudiantes del nivel medio
superior. Sin embargo, una interesante investigación que escapa a los objetivos de este
trabajo, sería indagar su comprensión por parte de los profesores que tienen a cargo estos
cursos.
2.4.3.2.4 Longitud de los lados rectos de la elipse.
La longitud de los lados rectos de la elipse se calcula despejando y de la ecuación ordinaria
de la elipse horizontal con centro en el origen,
𝑥2
𝑎2+𝑦2
𝑏2= 1
69
Restamos en ambos términos 𝑥2
𝑎2:
𝑦2
𝑏2= 1 −
𝑥2
𝑎2
Se procede a realizar la suma de fracciones:
𝑦2
𝑏2= 1 −
𝑥2
𝑎2=𝑎2 − 𝑥2
𝑎2
Como en un principio se dijo, para calcular la longitud de los lados rectos se debe de
despejar y.
𝑦2 = 𝑏2 (𝑎2 − 𝑥2
𝑎2)
𝑦2 =𝑏2
𝑎2(𝑎2 − 𝑥2)
𝑦 = ±𝑏
𝑎√(𝑎2 − 𝑥2)
Como el interés al despejar y es encontrar la longitud, entonces descartamos los valores
negativos, centrándonos en sólo los positivos.
𝑦 =𝑏
𝑎√(𝑎2 − 𝑥2)
Como tomamos en un principio una elipse horizontal con centro en el origen, la abscisa de
su foco es c, sustituyendo la x por la c en la ecuación (1) tenemos:
𝑦 =𝑏
𝑎√(𝑎2 − 𝑐2)
……(1)
……(2)
70
Utilizando la relación 𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐2, se procede a despejar 𝑏2:
𝑏2 = 𝑎2 − 𝑐2
Se procede a sustituir 𝑏2 en la ecuación (2):
𝑦 =𝑏
𝑎√𝑏2
𝑦 =𝑏2
𝑎
Este valor corresponde a la mitad del lado recto, ya que se tomó la distancia de la ordenada
del punto al eje de las abscisas, por lo que la fórmula para calcular la longitud del lado recto
es:
𝐿𝑟 =2𝑏2
𝑎
Cabe señalar que se llega al mismo resultado si se elige la ecuación ordinaria de la elipse
vertical con centro en el origen.
2.4.3.2.5 Excentricidad
La excentricidad es un parámetro que permite intuitivamente distinguir que tan “redonda” o
“aplastada” es una elipse. Se representa por la letra e y se define formalmente como el
cociente 𝑐
𝑎. Es evidente que si se cumple con la condición de que la constante sea mayor
que la distancia entre focos como se enunció al inicio de esta sección, este cociente resulta
menor que 1.
𝑒 =𝑐
𝑎< 1
En la imagen 10 se presentan tres casos del efecto de la excentricidad sobre una elipse. En
el primero se considera una valor de excentricidad cercano a uno (𝑒 ≈ 0.8) de tal manera
que la forma de la elipse es muy alargada casi plana. Para el segundo valor (0.5) la elipse
71
posee una forma más achatada y finalmente para valores cercanos al cero (0.1) la elipse
conserva una forma circular.
Imagen 10. Excentricidad de elipses. Elaboración propia.
2.4.3.2.6 Ecuación de la elipse horizontal y vertical con centro fuera del origen.
Tomando como referencia las ecuaciones ya obtenidas de las elipses con centro en el
origen, pero ahora tomamos el centro c (h, k), se procede a sustituir, entonces:
La ecuación que define a una elipse horizontal con centro fuera del origen es:
(𝑥 − ℎ)2
𝑎2+(𝑦 − 𝑘)2
𝑏2= 1
Y la ecuación para la elipse vertical con centro fuera del origen:
(𝑥 − ℎ)2
𝑏2+(𝑦 − 𝑘)2
𝑎2= 1
72
2.4.4 Métodos de construcción de la Elipse
Existen distintos métodos para la construcción geométrica de la elipse tales como: por
anomalía o círculo osculador, construcción mecánica, regla y compás, mediante doblado de
papel, compás elíptico, algunos de estos métodos de construcción de la elipse se pueden
encontrar en (Santa Z. , 2011), (Contreras, Contreras, & García, 2002), (Villamizar, 2014).
Para éste trabajo sólo se mencionarán el método del jardinero, regla y compás y mediante el
doblado de papel ya que se consideran los más adecuados para que los estudiantes puedan
resolver las situaciones de aprendizaje porque utilizan materiales e instrumentos de fácil
acceso y bajo costo.
Construcción mecánica de la elipse o método del jardinero.
Este método es utilizado por los jardineros para diseños y cortes de césped y arbustos en
forma elíptica. También lo utilizan los carpinteros cuando tienen que diseñar mesas o
superficies ovaladas. El método consiste en colocar dos tachuelas a las cuales se amarran
los extremos de un cordón de longitud mayor a la distancia entre las mismas y deslizando
un lápiz, de forma que mantenga tirante el cordón por la superficie trazando como figura el
contorno de una elipse.
Imagen 11. Construcción mecánica de la elipse. Tomada de (Jiménez, 2010, pág. 159).
Construcción de la elipse con regla y compás
El estudio clásico de la geometría planteado por los antiguos matemáticos griegos implica
la construcción de diversas figuras utilizando solamente regla y compás. Para el caso de la
elipse lo primero es trazar una línea y marcar un punto C que será el centro de la elipse, a
73
partir de este punto, con el compás se trazan los puntos V y V´ (vértices del eje mayor), y
de igual manera pero con abertura menor del compás se marcan los focos F y F´. Luego, se
considera un punto P cualquiera situado sobre el eje mayor, entonces con el compás con
centro en F´ y radio de longitud 𝑉´𝑃̅̅ ̅̅ ̅ se trazan dos arcos y a continuación, tomando como
centro el foco F, se procede de igual manera.
A continuación, con centro en el foco F´ y radio de longitud igual a 𝑉𝑃̅̅ ̅̅ se trazan dos arcos
y se procede de igual forma pero ahora tomando F como el centro. Los puntos de
intersección de los arcos los puedes designar como P1, P2, P3, P4.
Repite el proceso para otros puntos por ejemplo Q, R y localizarás los puntos Q1, Q2, Q3,
Q4, R1, R2, R3, R4, respectivamente. Por último se unen con una línea continua todos estos
puntos y se tendrás como figura a la elipse.
Imagen 12. Construcción de la elipse con regla y compás. Fotografía propia.
Construcción de la elipse mediante el doblado de papel.
Santa, Z. propone este método como parte de su investigación titulada, “la elipse como
lugar geométrico a través de la geometría del doblado de papel en el contexto Van Hiele”
(2011).
El método consiste en marcar un punto A aproximadamente en el centro de la hoja de papel
albanene, luego con el compás se dibuja una circunferencia con centro en A y radio de
preferencia “grande” pero que te permita dibujar la circunferencia completa en la hoja de
papel albanene; con un color distinto de negro o gris, marca un punto distinto de A dentro
74
del círculo, al cual se denotará con la letra B; luego marca puntos C sobre la circunferencia
a distancias aproximadamente iguales. Después se tiene que doblar la hoja de tal forma que
el punto B debes sobreponerlo sobre cada uno de los puntos que marcaste en la
circunferencia. Y mediante los dobleces que se hicieron se irá formando la elipse.
Imagen 13. Construcción de la elipse mediante el doblado de papel. Fotografía propia.
75
Capítulo 3: Metodología para el desarrollo de la competencia matemática
mediante el diseño de situaciones de aprendizaje.
En este capítulo se aborda el concepto de situación de aprendizaje, los roles que adoptan los
profesores y alumnos con esta metodología y por último, se describen las tres etapas que
comprende la metodología que se propone en este trabajo para el diseño de situaciones de
aprendizaje.
3.1 Situación de Aprendizaje
La enseñanza tradicional se basa principalmente en clases expositivas que se llevan a cabo
en salones o auditorios con un gran número de alumnos que toman nota de lo que el
profesor explica y desarrollan la memorización de definiciones, conceptos, algoritmos,
fórmulas, etcétera. Ante la globalización de la educación, cambios de paradigmas, y la
adopción del desarrollo de competencias en todos los niveles educativos en México, el rol
del profesor es diferente y no puede conformarse con aprender de memoria un libro y
explicarlo ante sus alumnos, sino que debe ser capaz de diseñar, crear ambientes de
aprendizaje, secuencias didácticas y/o situaciones de aprendizaje con el fin de que los
estudiantes desarrollen habilidades y por consiguiente se tenga un aprendizaje significativo.
Según Pivara, Morales & Gutiérrez (2013, pág. 5) las situaciones de aprendizaje
son:
“Momentos, espacios y ambientes organizados por el docente, en los que se
ejecuta una serie de actividades de aprendizaje-evaluación-enseñanza, que
estimulan la construcción de aprendizajes significativos y propician el
desarrollo de competencias en los estudiantes, mediante la resolución de
problemas simulados o reales de la vida cotidiana”.
Por otra parte, la SEP define a las situaciones de aprendizaje como:
“El medio por el cual se organiza el trabajo docente, a partir de planear y
diseñar experiencias que incorporan el contexto cercano de los niños y tiene
como propósito problematizar eventos del entorno próximo” (SEP, 2011, pág.
65).
76
Mediante una situación de aprendizaje se espera que los estudiantes desarrollen procesos y
capacidades matemáticas fundamentales, en otras palabras y en forma general, “el
desarrollo de situaciones de aprendizaje permite que los estudiantes actúen por sí mismos,
poniendo en juego sus aptitudes físicas y mentales; generando genuino interés por
aprender, despertando la curiosidad por descubrir cosas nuevas, provocando acciones que
permiten el razonamiento y la aplicación de conocimientos como respuesta a sus
problemas, necesidades o intereses” (Pivara, Morales, & Gutiérrez, 2013, pág. 5).
Algo interesante que surge al diseñar situaciones de aprendizaje es el cambio de paradigma
en los roles del profesor y del alumno, tal y como se mencionaba en párrafos anteriores,
pasando de ser un alumno con un rol pasivo a uno activo. Pivara, Morales & Gutiérrez
(2013) señalan que los estudiantes son los protagonistas de su propio aprendizaje por lo que
debe ser creativos, curiosos e investigadores, aceptan desafíos, saben trabajar en equipos
colaborativos y son participantes espontáneos y diligentes en la construcción individual y
grupal del conocimiento.
Sin embargo, es común que en la práctica los profesores confundan una situación de
aprendizaje con prácticas o técnicas que incorporen parcialmente un cambio de rol en los
estudiantes. Así pues, Dávila (2015) advierte de las siguientes ideas que aunque
equivocadas están presentes en las teorías implícitas de los profesores:
“No son clases tradicionales.
No son simples asignaciones de problemas para resolverse en equipos.
No son proyectos que se soliciten de manera libre a los alumnos.
No son secuencias didácticas de actividades varias.
No son la resolución de una parte del libro de texto, aunque éste se autonombre
“por competencias”.
Sin embargo, una situación de aprendizaje puede incluir o requerir la previa inclusión de
algunas de estas actividades”.
Lo central en una situación de aprendizaje es colocar al estudiante ante una demanda que
propicie y le exija la movilización y relación de aprendizajes conceptuales y
metodológicos. Por ello, consideramos que las definiciones anteriores no orientan a los
profesores sobre la finalidad de las mismas ya que parecen centrarse en la actividad del
77
estudiante, cualquiera que esta sea o en el ambiente sobre el que se diseña la situación
problemática.
Entonces, las situaciones de aprendizaje las definimos como:
Por otro lado, el rol que ejerce el profesor es el de diseñar, planificar y desarrollar
situaciones de aprendizaje interesantes, estimulantes y significativas para los estudiantes. El
Ministerio de Educación de Guatemala en su Currículum Nacional Base cita que “el rol del
docente debe ser de facilitador, mediador, guía o acompañante, por lo que debe ser capaz
de diseñar situaciones de aprendizaje que conduzcan a la resolución de problemas, que
permitan el razonamiento y la aplicación de conocimientos y que promuevan
constantemente la actividad individual y grupal de los estudiantes” (2012, pág. 314).
Imagen 14. Roles del estudiante y docente en el desarrollo de situaciones de aprendizaje. Tomado de (Pivara, Morales, &
Gutiérrez, 2013, pág. 6).
Es una actividad para el desarrollo y evaluación de
competencias, diseñada estratégicamente para que el alumno
integre conocimientos y habilidades en la solución de una
problemática contingente plasmada en un producto o
evidencia tangible.
78
3.2 Metodología para el desarrollo de la competencia matemática mediante el diseño de
situaciones de aprendizaje.
Para que el alumno desarrolle su competencia matemática en los procesos y capacidades,
contenidos y contextos considerados en el programa, es necesario que enfrente escenarios
contingentes que le exijan la movilización integradora de estos elementos para dar
respuesta a un problema o desafío concreto ligado a su realidad. Sin embargo, la elección
de dichos escenarios, problemas y desafíos implican un diseño por parte del profesor en el
que de manera estratégica se relacionen los aprendizajes esperados, las actividades de
aprendizaje y la evaluación.
Con frecuencia se pueden encontrar repositorios de situaciones de aprendizaje y actividades
para el desarrollo de habilidades matemáticas, pero no documentos que orienten en la
formulación de las mismas, por lo que dichas situaciones son aplicadas de manera
descontextualizada y a veces incluso de forma poco pertinente para los objetivos del curso.
Este capítulo significa la aportación más importante de este trabajo ya que pretende dotar al
profesor novel o con experiencia ligada a la enseñanza tipo tradicional de un andamiaje
metodológico para el diseño de estas situaciones.
La propuesta surge de la revisión y análisis documental así como de la experiencia en
distintos talleres y conferencias sobre el diseño de situaciones de aprendizaje (Dávila &
Martínez, 2014) y (Martínez & Dávila, 2014) que recuperan y recrean la propuesta por el
Instituto de Investigación para el Desarrollo de la Educación, A.C., (IIDEAC).
La metodología para la planificación de situaciones de aprendizaje está constituida por tres
etapas:
Etapa 1 Diseño de la Situación de Aprendizaje.
Etapa 2 Aplicación de la Situación de Aprendizaje.
Etapa 3 Metaevaluación de la Situación de Aprendizaje.
A continuación se describen a fondo cada una de estas etapas.
Etapa 1: Diseño de la Situación de Aprendizaje
Esta etapa se caracteriza por identificar y determinar tres elementos importantes para el
diseño de la situación de aprendizaje: 1) Aprendizaje esperado; 2) Situación Problema y 3)
Evidencia.
79
Cuadro 20. Elementos constitutivos para el diseño de la Situación de Aprendizaje. Elaboración propia.
1) Aprendizaje esperado
Este elemento nos indica la meta a alcanzar al finalizar la situación de aprendizaje, es decir,
lo que queremos que el estudiante logre. Se define integrando tres componentes esenciales,
a saber: Conducta (procesos y capacidades matemáticas), Contenido y Contexto de
aplicación.
El aprendizaje esperado de una situación de aprendizaje implica el desarrollo de la
competencia matemática por lo que para su redacción implica la identificación de los tres
componentes de una competencia:
Conducta: Se trata de los procesos y capacidades matemáticas
Contenido: Se trata del tema.
Contexto: Se trata del ámbito de aplicación.
Cuadro 21. Componentes constitutivos para determinar el Aprendizaje Esperado de la Situación de Aprendizaje.
Elaboración propia.
Aprendizaje esperado
Situación Problema
Evidencia Diseño de la Situación de Aprendizaje
Aprendizaje Esperado
Conducta
Contenido Contexto
de aplicación
80
La conducta define el nivel de logro que se quiere que el estudiante desarrolle, para lo cual
se identifican en el programa de estudios los desempeños a desarrollar por los estudiantes y
se relacionan con las tres categorías de procesos matemáticos (formulación, empleo e
interpretación) y las siete capacidades matemáticas (comunicación, matematización,
representación, razonamiento-argumentación, diseño de estrategias, utilización de
operaciones y lenguaje simbólico y utilización de herramientas matemáticas) determinadas
en el Marco de Evaluación PISA 2012.
Los contenidos son los temas que se abordan en la situación de aprendizaje. Comúnmente
en el currículo mexicano éstos se organizan en cuatro: 1) Sentido numérico y pensamiento
algebraico, 2) Forma, espacio y medida, 3) Manejo de la información y 4) Actitud hacia el
estudio de las matemáticas. Consideramos conveniente identificar las cuatro categorías de
contenido propuestas en el Marco de Evaluación PISA 2012: 1) Cambios y relaciones, 2)
Espacio y forma, 3) Cantidad e 4) Incertidumbre y datos.
El contexto es el ámbito o entorno general de aplicación de la competencia matemática. El
Marco de Evaluación PISA 2012 considera cuatro categorías de contexto: 1) Personal, 2)
Profesional, 3) Social y 4) Científico. Estas categorías se pueden revisar a detalle en el
capítulo 2 de este trabajo.
Determinar el aprendizaje esperado incluyendo sus tres componentes supone del profesor el
desarrollo de la competencia docente de planeación. Por lo que como un elemento auxiliar
que aporte un andamiaje para el diseño, se propone el llenado de un formato que enfoque
los elementos clave:
Cuadro 22. Detalle de formato para planeación de situaciones de aprendizaje (IIDEAC, 2013).
81
2) Situación Problema
Una vez definido el aprendizaje esperado se procede a la invención de la situación
problema. Es en esta parte en donde el profesor expresa su creatividad e innovación.
Se inventa o elije un escenario hipotético pero realista, situado preferentemente en el aquí y
ahora de los estudiantes y que provoque el desarrollo de la competencia matemática. Dado
que ésta se desarrolla de manera tácita ante una demanda motivante, se procura que este
escenario incluya elementos de narrativa que sean significativos para el estudiante. Es muy
recomendable que desde el título de la situación se motive al alumno para que movilice sus
conocimientos ya que esto implica un esfuerzo cognitivo derivado de una actitud favorable
(Ausubel, 1976).
Roegiers y Peyser (s/f) recomiendan para el diseño de la situación las siguientes
características de concepción:
Ella debe ser significativa, es decir tener sentido para el alumno, de ahí la
importancia de bien contextualizarla haciendo alusión a las realidades concretas
del entorno.
Debe tener una función operacional clara (el « porqué» de la situación).
Debe ser una situación compleja.
Del nivel correcto para el grado y la(s) materia(s) contempladas.
Debe basarse en documentos auténticos, originales.
Que tome una buena muestra de los principales recursos.
Que integre valores sociales, culturales, políticos acordes con el contexto.
Que presente tres ocasiones independientes de mostrar su competencia
(tres preguntas, tres tareas, tres problemas… [Sic])
En la metodología que se propone en este trabajo para el diseño de una situación de
aprendizaje, la situación se redacta en segundo término después de haber definido el
aprendizaje esperado.
82
Cuadro 23. Detalle de formato para planeación de situaciones de aprendizaje (IIDEAC, 2013).
3) Evidencia.
El desarrollo de una competencia es intangible por lo que para evaluarlo es necesario
hacerlo visible de manera indirecta por medio de desempeños que puedan visualizarse en
un producto. Dicho producto se convierte también en el pretexto estratégico para que por
un lado se desarrolle la competencia, es decir, que los estudiantes movilicen conocimientos,
habilidades y actitudes y por otro, permita su evaluación, es decir, los estudiantes
demuestran lo que son capaces de lograr. Sin embargo, es sumamente importante elegir una
evidencia que realmente permita lo anterior, ya que con frecuencia se confunde con
cualquier trabajo manual como maquetas y modelos, o la simple colección de problemarios
o exámenes.
En este sentido, se recomienda privilegiar evidencias que supongan:
1. La creación de productos inéditos, como por ejemplo, una calculadora de
descuentos realizada en Excel o juego de mesa para la memorización de productos
notables, redacción de correo-e.
2. La soluciones de problemas, siempre y cuando éstos sean inéditos para el
estudiante y tengan cierto grado de complejidad (no necesariamente dificultad) y
sean adidácticos.
3. La producción de nueva información, que sintetice diversas fuentes como por
ejemplo, la elaboración de comics, videos o infografías.
83
La creatividad del profesor le permitirá descubrir en la vida cotidiana de los estudiantes
múltiples oportunidades para elegir evidencias. A continuación se presenta una lista
adicional a los ejemplos anteriores de posibles productos:
Entradas de blogs
Anuncio publicitario
Carta al editor de un periódico
Caricatura
Crítica de película
Afirmación en debates
Creación de Jingles
Tuits
Creaciones artísticas
Simulaciones
Videojuegos y/o Apps.
Una vez elegida la evidencia para su evaluación se deben definir indicadores que la
relacionen con el aprendizaje esperado. Es decir, no se evalúa la evidencia en sí, sino lo que
nos dice sobre el nivel de desarrollo alcanzado por el estudiante.
Estos indicadores se dan a conocer previamente y se recomienda centrarse solamente en los
más relevantes para que orienten, estimulen y permitan la autoevaluación y coevaluación
de los estudiantes.
Dávila (2015) recomienda separar los indicadores en dos categorías:
Los de forma, relacionados con la esencia de la evidencia a elegir por ejemplo,
manejo de aparato crítico si se trata de la redacción de un artículo de divulgación.
Los de fondo, relacionados con los componentes del aprendizaje esperado. Por
ejemplo, la argumentación en el caso de la presentación oral de la resolución de un
problema.
84
Cuadro 24. Detalle de formato para planeación de situaciones de aprendizaje (IIDEAC, 2013).
Etapa 2: Aplicación de la Situación de Aprendizaje
La etapa de aplicación de la situación de aprendizaje se divide en tres momentos, a saber:
1) Presentación de la Situación de Aprendizaje, 2) Interactividad y 3) Socialización de la
evidencia.
Cuadro 25. Fases significativas para la Aplicación de la Situación de Aprendizaje
Presentación de la Situación de Aprendizaje
Este momento es de introducción, el profesor presenta la situación de aprendizaje, los
lineamientos, los recursos a utilizar, se externa la evidencia que se tiene que entregar así
como la rúbrica que evaluará dicho producto, en esta fase se crean los grupos de trabajo si
es que así se planteó.
Presentación de la Situación de Aprendizaje
Interactividad Socialización
de la Evidencia
Evaluación Diagnóstica Evaluación Formativa Evaluación Sumativa
85
En este momento introductorio supone que el profesor averigüe los conocimientos previos
de los estudiantes, los cuales son requisito indispensable para propiciar aprendizajes
significativos (Ausubel, 1976) y (Dávila, 2000), así como insumos para el desarrollo de
competencias. El profesor por tanto realiza una evaluación diagnóstica que puede implicar
técnicas formales como la aplicación de un examen en el que explore los conocimientos
requeridos o técnicas informales como el interrogatorio en clase o el análisis de trayectorias
formativas de los estudiantes.
Interactividad.
Los estudiantes comienzan con las actividades propuestas tomando en cuenta la
información que recibieron en el momento introductorio, es aquí en donde el estudiante es
protagonistas de la construcción de conocimiento, es decir, participa, propone, crea,
investiga y colabora. El profesor toma el rol de asesor-guía que va acompañando al
estudiante a lo largo de este momento.
Identificamos tres relaciones fundamentales dentro del momento de interactividad:
Contenido-Alumno; Alumno-Alumno; Docente- Alumno. Que en principio se relaciona con
el triángulo didáctico que propone Yves Chevallard (1998).
La evaluación formativa juega un papel importante ya que recolecta información a los largo
del proceso con el fin de conocer el desarrollo del aprendizaje del alumno y así
proporcionar retroalimentación y mantener orientadas y direccionadas las acciones hacia el
aprendizaje esperado. Por tanto, el profesor se compromete con una concepción de
evaluación que privilegie su finalidad formativa sobre la sumativa, es decir, apoya a los
estudiantes señalándoles oportunamente sus fortalezas y áreas de oportunidad con la
finalidad de que realicen la evidencia de la mejor manera posible, lo cual es contrario a la
tradicional supervisión silenciosa que ante un error no interviene esperando el momento de
la calificación.
Este proceso puede enriquecerse con estrategias que aseguren la autoevaluación del
estudiante o la coevaluación entre pares tomando como referencia los indicadores
comunicados en la etapa de presentación de la situación.
Socialización del producto
Este momento se caracteriza por la visibilidad y evaluación de la integración de los
conocimientos adquiridos durante el desarrollo y resolución de la situación de aprendizaje.
86
Se pueden utilizar diversas estrategias, como programar exposiciones, paneles, foros, ferias
de matemáticas en donde los equipos expongan el proceso de solución de la situación de
aprendizaje, las fuentes bibliográficas que consultaron, los obstáculos que tuvieron y la
conclusión a la que llegaron, se recomienda entre 10 a 15 minutos de exposición por
equipo. Con ello además de socializar los logros se continúa el desarrollo de capacidades
como la comunicación y argumentación.
El docente, mediante los indicadores definidos en la etapa 1 diseño de la situación de
aprendizaje, procede a la evaluación sumativa o calificación del trabajo de los estudiantes,
es por eso importante, que se definan categorías y niveles de logro para que el producto
tenga la exigencia y la calidad deseada.
Etapa 3: Metaevaluación de la Situación de Aprendizaje
Cuadro 26. Tipos de evaluaciones claves para la Metaevaluación de la Situación de Aprendizaje. Elaboración propia.
Para verificar si el diseño y aplicación de la situación de aprendizaje cumplió con nuestros
propósitos tanto de enseñanza como de aprendizaje, es necesario evaluarla y así realizar
mejoras en todos sus aspectos. Planteamos dos tipos de evaluaciones: Autoevaluación y
Coevaluación.
La primera consiste en que los profesores realicen una reflexión de su práctica tomando en
cuenta cuestiones vistas durante el desarrollo de la situación, obstáculos observados,
actividades que no funcionaron, si se cumplió o no con el aprendizaje esperado, etcétera,
para lo anterior se pueden utilizar distintos instrumentos de evaluación como rúbricas, listas
de cotejo u otros registros de sus observaciones durante la fase de interactividad y la
evaluación sumativa de las evidencias.
Por otro lado, el estudiante también puede aportar información relevante para la evaluación
de la situación de aprendizaje ya que ellos son los que la realizan y pueden extender
Autoevaluación Coevaluación
Efectividad-Eficiencia-Eficacia de la Situación de
Aprendizaje
87
observaciones acerca del interés que tuvieron con la situación, si hubo dificultades al
momento de realizarla, si las instrucciones no fueron claras, entre otro tipo de indicadores.
Para ello se puede utilizar distintos instrumentos, como encuestas, entrevistas o formatos de
evaluación.
Lo anterior conlleva a determinar si la situación de aprendizaje es efectiva, eficiente y
eficaz.
Englobando las etapas se conforma la metodología para la planificación de situaciones de
aprendizaje, a continuación se muestra el esquema en donde se sintetiza cada una de estas
fases y sus respectivos momentos y elementos.
Cuadro 27. Esquema de la Metodología para el Diseño de Situaciones de Aprendizaje. Elaboración propia.
88
Capítulo 4. Ejemplo de aplicación de la metodología propuesta para el
diseño de una situación de aprendizaje.
En los capítulos anteriores se planteó la necesidad de incluir estrategias de enseñanza y
aprendizaje en las materias de matemáticas del nivel medio superior, y en concreto en el
tema de la elipse. También se propuso una metodología para el diseño, aplicación y
metaevaluación de una situación de aprendizaje. Ahora se presentará un ejemplo del uso de
esta metodología en el tema propuesto.
Para diseñar esta situación se utilizó el formato propuesto en el capítulo anterior por lo que
el primer paso fue determinar qué es lo que se espera que logre el alumno, para lo cual se
redactó el aprendizaje esperado identificando sus componentes en el programa de estudios
y el Marco de Evaluación PISA 2012.
Asignatura: Geometría
Analítica Grado:
3er
Semestre Bloque:
VII Aplica los elementos y las
ecuaciones de la Elipse
Competencia a
desarrollar:
Conducta Aprendizaje Esperado:
Proceso: Emplear las
Matemáticas.
Capacidad: Diseño de
estrategias para resolver
problemas.
Nivel MVH: 3 Clasificación. Emplear las propiedades de la elipse utilizando
reglas lógicas del razonamiento deductivo en la
solución de un problema contextualizado en el
ámbito profesional.
Matemática Contenido:
Espacio y Forma
Geometría analítica: Elipse
Contexto:
Situación profesional
Una vez identificado el aprendizaje esperado, se planteó un escenario hipotético pero
realista que exigiera de los estudiantes la movilización de sus conocimientos sobre la elipse,
89
así como sus capacidades de razonamiento geométrico deductivo en la solución de un
problema inédito.
Situación
problema:
El nuevo presidente municipal del ayuntamiento de San Luis Potosí se caracteriza
por su admiración por los monumentos emblemáticos del mundo y ha tenido la
intención de replicarlos en la ciudad capital. Así hoy luce una réplica de la torre
Eiffel en una glorieta del parque Tangamanga, una réplica de la muralla China en
la presa de San José y remodeló el centro de espectáculos el Domo con el estilo
del Coliseo Romano. Ahora considera un nuevo proyecto. Está planeando
construir una réplica de la Plaza de San Pedro ubicada en la Ciudad del Vaticano
en Roma utilizando la Alameda Juan Sarabia en el centro histórico de la capital.
Como además de excéntrico el presidente municipal es un poco populista, convocó
a estudiantes de las preparatorias a un concurso para que realizaran un plano que
represente la adaptación de la réplica sobre la Alameda. El plano debe presentarse
en un pliego de papel albanene para poderlo mostrar al cabildo con la finalidad de
obtener su apoyo y gestionar los recursos necesarios. El premio para el plano
mejor realizado que respete las proporciones originales de la Plaza sobre la
Alameda es de $5,000 y una tablet además de ser invitado de honor a la ceremonia
de inauguración.
Tus compañeros y tú han decidido participar en el concurso para utilizar los
recursos en una fiesta de fin de año, por lo que comienza a investigar y recopilar
información sobre la Plaza de San Pedro y la Alameda Juan Sarabia y se plantean
varias preguntas:
¿Qué dimensiones y forma tiene la plaza de San Pedro?, ¿cómo adaptarla
proporcionalmente a la alameda? ¿Cómo realizar un dibujo a escala de la plaza
de San Pedro?
Se espera que las preguntas incluidas al final de la situación detonen el diseño de
estrategias y estimulen el razonamiento geométrico deductivo implicado en el trazo de una
elipse cuyos elementos sean proporcionales a otra. Como estos procesos son cognitivos es
necesario visualizarlos por medio de un producto que permita evidenciarlos.
Evidencia: Pliego de papel albanene con el plano que presente una adaptación proporcional de la
plaza de San Pedro sobre la Alameda Juan Sarabia.
Como se afirmó en el capítulo anterior la evidencia debe acompañarse desde el momento en
que se presenta la situación de aprendizaje a los alumnos de aquellos indicadores que
90
concentran la atención del estudiante y orientan la evaluación del profesor hacia el
aprendizaje esperado.
Indicadores:
Forma:
-Se presenta en pliego de papel albanene. (60 x 91 cm)
-Se muestra la forma de la Plaza y su correspondencia con la Alameda.
-Trazado utilizando plumones o estilógrafos (No impresos en plotter ni otro
tipo de impresoras).
Fondo:
-Existe semejanza geométrica entre la Plaza de San Pedro y el plano.
-La Plaza es representada con una elipse construida indicando en el plano
sus elementos básicos.
-Se muestra la escala utilizada.
Una vez diseñada la situación se procede a planear su aplicación dosificando sus diversos
momentos y asegurando las actividades y medios para su evaluación.
Momento Sesión Actividades
Enseñanza-Aprendizaje-Evaluación Recursos Tiempo
Presentación de
la Situación de
Aprendizaje.
1
Presentación de la situación problema
por parte del profesor.
Comunicación del Aprendizaje
esperado.
Situación problema.
Evidencia.
Indicadores de desempeño.
Actividades propuestas.
Presentación PPT.
10 min.
Evaluación Diagnóstica.
Distinguir formas geométricas en
imagen aérea de la Plaza de San Pedro.
Descripción de las figuras geométricas
encontradas.
Imagen aérea de la
Plaza de San Pedro.
Formato para
describir las figuras
geométricas.
15 min.
Investigación en equipos.
Búsqueda de las características de la
Plaza de San Pedro.
Búsqueda de las características de la
Alameda J. Sarabia.
Computadoras o
teléfonos móviles
con acceso a
internet.
30 min.
Interactividad 2 Recapitulación de conocimientos.
El profesor retoma los conceptos
Presentación PPT. 10 min.
91
abordados en la sesión 1.
Manos a la obra.
Construcción empírica de propiedades
de la elipse mediante un diseño
instruccional utilizando la imagen aérea
proporcionada en la sesión 1:
- Medir la distancia entre las
fuentes.
- Medir la distancia entre la fuente
1 y un pilar.
- Medir la distancia entre la fuente
2 y un pilar.
- Sumar las dos distancias
anteriores.
- Realizar el mismo proceso para
un pilar diferente.
- Comparación de resultados.
Imagen aérea de la
Plaza de San Pedro.
Formato con
instrucción y
preguntas.
Juego de geometría.
25 min.
Investigación en equipos.
Búsqueda de diversas formas para el
trazado de una elipse.
Reporte de investigación por equipo.
Computadoras o
teléfonos móviles
con acceso a
internet.
20 min.
Evaluación formativa.
El profesor en todo momento estará al pendiente para guiar y resolver dudas.
3
Recapitulación de conocimientos.
El profesor retoma los conceptos
abordados en la sesión 2.
Presentación PPT.
10 min.
Construcción del plano.
En equipos se reúnen para la
construcción del plano utilizando la
forma de trazado más adecuada.
Pliego papel
albanene.
Herramientas para
la construcción de
la plaza.
45 min.
Evaluación formativa.
El profesor en todo momento estará al pendiente para guiar y resolver dudas.
Socialización de
la evidencia 4
Primer ronda de exposiciones.
En equipos mostrarán el diseño del
plano y expondrán el proceso de
solución de la situación, las fuentes
bibliográficas, los obstáculos y la
conclusión a la que llegaron, se
recomienda entre 10 a 15 minutos de
exposición por equipo.
Presentaciones
PPT.
Planos en papel
albanene. 60 min.
92
Se sugiere utilizar una rúbrica de
autoevaluación y coevaluación.
5
Segunda ronda de exposiciones.
En equipos mostrarán el diseño del
plano y expondrán el proceso de
solución de la situación, las fuentes
bibliográficas, los obstáculos y la
conclusión a la que llegaron, se
recomienda entre 10 a 15 minutos de
exposición por equipo.
Se sugiere utilizar una rúbrica de
autoevaluación y coevaluación.
Presentaciones
PPT.
Planos en papel
albanene.
60 min.
6
Institucionalización de la elipse.
El profesor procede a explicar en
términos formales el concepto de
elipse.
Presentación PPT.
35 min.
Evaluación Sumativa.
El profesor procede a la entrega de
calificaciones.
20 min.
93
Capítulo 5. Conclusiones y futuras investigaciones
5.1 Conclusiones
En este trabajo se abordó la enseñanza de las matemáticas específicamente en el área de la
geometría analítica, la investigación documental arrojó que las prácticas docentes se
centran en contenidos matemáticos dándole una importancia menor al aprendizaje
significativo de los estudiantes y un mínimo porcentaje al desarrollo de la competencia
matemática, por otro lado, las herramientas con las que cuenta el profesor, por ejemplo los
libros de texto a pesar de que el título dice “por competencias” éstos siguen teniendo la
misma estructura que los libros de años atrás, en cuanto a los programas de estudio, sirven
como orientación para fijar marcos comunes como el desarrollo de competencias
transversales y disciplinares, sin embargo, las actividades de enseñanza y aprendizaje
propuestas siguen siendo tradicionales por tal situación, es necesario cambiar el paradigma
y utilizar innovadoras metodologías centradas en los resultados de aprendizaje que
propicien el desarrollo de la competencia matemática y que tomen en cuenta los marcos de
referencia internacionales como por ejemplo, el Marco de Evaluación de PISA 2012.
Es sumamente importante reconocer que para cambiar dicho paradigma, los profesores son
parte fundamental en este proceso y que ellos también deben desarrollar sus competencias
docentes, coincidimos completamente con lo planteado por Perrenoud (2007) y sus diez
nuevas competencias profesionales consideradas prioritarias en la formación continua del
profesorado, nos enfocamos en la primera de ellas que se refiere a la organización y
animación de situaciones de aprendizaje, es decir, el profesor conoce los contenidos que
hay que enseñar y traducirlos en objetivos de aprendizaje, trabajar a partir de las
representaciones de los alumnos, a partir de las áreas de oportunidad en el aprendizaje de
éstos, construir y planificar situaciones de aprendizaje y secuencias didácticas que
impliquen actividades en donde el estudiante investigue en proyectos de conocimiento (pág.
15).
Otro de los puntos importantes que se necesitan trabajar en la práctica docente es la Gestión
de la progresión de los aprendizajes (pág. 15), que se refiere a observar y evaluar la
construcción de conocimiento y el desarrollo de competencias desde un enfoque formativo,
esto permitirá valorar continuamente el trabajo de los estudiantes y ofrecer
retroalimentación con el propósito de atender y superar sus áreas de oportunidad.
94
Recapitulando los párrafos anteriores, ante una enseñanza tradicional de las matemáticas,
libros de textos con un enfoque por competencias pero con una estructura igual a la de
libros de hace años, los programas de estudio con actividades de enseñanza y aprendizaje
descontextualizadas, los cambios de paradigma en la práctica docente y la ausencia de
referentes metodológicos para la planeación docente centrada en los resultados de
aprendizaje y el desarrollo de competencias, nos llevó a proponer una innovadora
metodología para el diseño de situaciones de aprendizaje que promueven el desarrollo de
procesos y capacidades matemáticas en los estudiantes al definir aprendizajes esperados -
tomando en cuenta conductas, contenidos y contextos desde diversos marcos de referencia-,
proponiendo una situación problema hipotética pero realista y especificando una evidencia
que permitirá visualizar el nivel de logro del estudiante.
5.2 Futuras investigaciones
En este apartado se pretende establecer posibles líneas de investigación para dar
continuidad con este trabajo, la primera de ellas es la réplica de la metodología para el
diseño de situaciones de aprendizaje en otros temas de matemáticas, es decir, se esperaría
que los profesores investigadores puedan utilizarla para diseñar situaciones de aprendizaje
en las áreas de aritmética, álgebra, trigonometría, cálculo, probabilidad, etcétera y que la
apliquen en una población determinada, posteriormente realicen un análisis de la puesta en
marcha y compartan los resultados así como su diseño para que otros profesores puedan
replicarla en sus cursos.
Otra línea que surge de este trabajo es la aplicación y el análisis del ejemplo para el tema de
elipse propuesto en el capítulo 5, es decir, abordar la fase 3 y 4 de la ingeniería didáctica.
Bibliografía
Artigue, M. (1995). Ingeniería Didáctica. En R. D. Michèle Artigue, Ingeniería Didáctica en
Educación Matemática (págs. 33-59). Bogotá: Grupo Editorial Iberoamérica.
Ausubel, D. (1976). Psicología educativa. Un punto de vista cognoscitivo. México: Trillas.
Bonilla, D. (2013). La elipse desde la persepctiva de la teoría de los modos de pensamiento. ALME
26, 611-618.
Calderón, W. (2013). Propuesta metodológica para la enseñanza de las secciones cónicas en el
grado décimo de la institución educativa Villas de San Ignacio de Bucaramanga.
Recuperado el 27 de Marzo de 2014, de SINAB - Universidad Nacional de Colombia:
http://www.bdigital.unal.edu.co/9463/1/91495767.2013.pdf
Chevallard, Y. (1998). La transposición didáctica: Del saber sabio al saber enseñado. AIQUE.
Contreras, A., Contreras, M., & García, M. (2002). Sobre Geometría sintética y analítica. La elipse
y sus construcciones. RELIME, 11-132.
Corberán, R., Gutiérrez, A., Huerta, M., Jaime, A., Margarit, J., Peñas, A., & Ruiz, E. (1994).
Diseño y evaluación de una propuesta curricular de aprendizaje de la geometría en
enseñanza secundaria basada en el modelo de Van Hiele. Madrid: Centro de Publicaciones
del Ministerio de Educación y Ciencia:CIDE.
Cruz, L., & Mariño, M. (1999). Sistema computarizado para la enseñanza de las secciones. Revista
Educación, 97, 14-21.
Dávila, S. (2000). El aprendizaje significativo. Esa extraña expresión (utilizada por todos y
comprendida por pocos). Revista Digital de Educación y Nuevas Tecnologías Contexto
Educativo.
Dávila, S. (2015). Notas del Taller Diseño de Situaciones para desarrollar la Competencia
Matemática. Instituto de Investigación para el Desarrollo de la Educación, A.C. Pachuca,
Hidalgo.
Dávila, S., & Martínez, J. E. (2014). Diseño de Situaciones de Aprendizaje para el Desarrollo de la
Competencia Matemática en alumnos de nivel medio superior. Trabajo aceptado para ser
presentado como taller en XLVII Congreso Nacional de la Sociedad Matemática Mexicana,
Del 26 al 31 de octubre. Durango.
de Guzmán, M. (2001). Apolonio ¿262 a.C. - 190 a.C.? Obtenido de Centro Virtual de Divulgación
de las Matemáticas:
http://virtual.uptc.edu.co/ova/estadistica/docs/autores/pag/mat/Apolonio-1.asp.htm
Denyer, M., Furnémont, J., & Poulain, R. (2007). Capítulo V. Evaluación del dominio de
competencias. En Las competencias en la educación, un balance. (págs. 17-44). México:
Fondo de Cultura Económica.
ENLACE-MS. (2014). Manual para docentes y directivos. Recuperado el 20 de 08 de 2014, de
Educación Media Superior:
http://www.enlace.sep.gob.mx/content/ms/docs/2014/Manual_Docente_ENLACEMS_2014
González Urbaneja, P. M. (2007). Raíces históricas y trascendencia de la Geometría Analítica.
SIGMA, 205-236.
González Urbaneja, P. M. (s/f). Apolonio ¿ 262 a.C. - 190 a.C ? Obtenido de Universidad
Pedaogógica y Tecnológica de Colombia:
http://virtual.uptc.edu.co/ova/estadistica/docs/autores/pag/mat/Apolonio-1.asp.htm
Gutiérrez-Chiñas, A. (2012). Planeación diaria de la clase: guía para el docente. México: Trillas.
IIDEAC. (26 de 04 de 2013). Formato de planeación-conceptos. Ciudad México, México.
Jaime, A., & Gutiérrez, A. (1990). Una propuesta de fundamentación para la enseñanza de la
geometría: el modelo de Van Hiele. Sevilla: S. Llinares, M.V. Sánchez.
Jiménez, R. (2010). Matemáticas III Geometría Analítica. Enfoque por competencias. México:
Pearson.
Kerlegand Bañales, C. (2008). Desarrollo de dos propiedades de la circunferencia usando el
modelo de Van Hiele y la visualización. Obtenido de Matemática Educativa-CICATA:
http://www.matedu.cicata.ipn.mx/tesis/maestria/kerlegand_2008.pdf
Lehman, C. H. (1989). Geometría Analítica. México, D.F.: Limusa.
Lezama, F. J. (Julio de 2003). Centro de Investigación y de Estudios Avanzados del Instituto
Politécnico Nacional. Recuperado el 23 de 02 de 2015, de Departamento de Matemática
Educativa: http://www.matedu.cicata.ipn.mx/tesis/doctorado/lezama_2003.pdf
Martínez, J. E., & Dávila, S. (2014). Diseño de una situación de aprendizaje para el tema de elipse
en alumnos de bachillerato basada en el modelo de Van Hiele. Trabajo aceptado para ser
presentado como taller en el XLVII Congreso Nacional de la Sociedad Matemática
Mexicana, Del 26 al 31 de octubre. Durango.
Mata, F. (2006). Análisis sobre el razonamiento del aprendizaje de los conceptos de la geometría
analítica: El caso particular de las secciones cónicas aplicando el modelo de Van Hiele.
Recuperado el 22 de Marzo de 2014, de Matemática Educativa-CICATA:
http://www.matedu.cicata.ipn.mx/tesis/maestria/mata_2006.pdf
Meyer, D. (03 de 2010). Las clases de matemáticas requieren una nueva imagen. Recuperado el 06
de 06 de 2014, de TED.com:
https://www.ted.com/talks/dan_meyer_math_curriculum_makeover#t-7321
Ministerio de Educación, DIGECUR. (2012). Curriculum Nacional Base, Nivel Medio Ciclo
Diversificado, Bachillerato en Ciencias y Letras con orientación en Educación (Primera
ed.). Recuperado el 23 de 09 de 2014, de Universidad del Valle de Guatemala:
http://www.uvg.edu.gt/facultades/educacion/maestros-
innovadores/documentos/curriculo/Bach_orientacion_educacion.pdf
Molfino Vigo, V. (2006). Lugares Geom{etricos: ¿Cuál es su rol en la enseñanza de la
demostración en geometría? Obtenido de Matemática Educativa-CICATA:
http://www.matedu.cicata.ipn.mx/tesis/maestria/molfino_2006.pdf
Montaño, J. (2010). Diseño y desarrollo de secuencias didácticas para las cónicas, utilizando el
software geogebra. Recuperado el 25 de Marzo de 2014, de
http://www.matematicaeducativa.com/libros/tesis_jaime_alberto_montano.pdf
OCDE. (2013). Marcos y pruebas de evaluación de PISA 2012. Matemáticas, Lectura y Ciencias.
Madrid: Ministerio de Educación Cultura y Deporte.
OCDE. (2013). MÉXICO –Nota País–Resultados de PISA 2012. Recuperado el 12 de Mayo de
2014, de Programme for international studient assessment:
http://www.oecd.org/pisa/keyfindings/PISA-2012-results-mexico-ESP.pdf
OCDE. (s.f.). El programa PISA de la OCDE: Qué es y para qué sirve. Recuperado el 30 de 09 de
2014, de Programme for International Student Assessment-OCDE:
http://www.oecd.org/pisa/39730818.pdf
Papa Pablo III. (1536). Apollonius, Conics. Obtenido de IBIBLIO:
http://www.ibiblio.org/expo/vatican.exhibit/exhibit/d-mathematics/images/math07a.jpg
Pérez, A. (2005). Curvas con historia: de las cónicas a las ecuaciones de las flores. Obtenido de
MATEMÁTICAS ANTONIO PÉREZ SANZ:
http://platea.pntic.mec.es/~aperez4/curvashistoria.pdf
Pérez, I. (2012). Estudio de las aplicaciones de las cónicas mediado por la modelación desde una
visión analítica. Obtenido de SINAB - Universidad Nacional de Colombia:
http:bdigital.unal.edu.co/7098
Perrenoud, P. (2007). Diez nuevas competencias para enseñar. México: Graó.
Pivara, V. M., Morales, B., & Gutiérrez, S. (28 de Agosto de 2013). Situaciones de Aprendizaje
Pautas metodológicas para el desarrollo de competencias en el aula. Recuperado el 17 de
Septiembre de 2014, de Universidad del Valle de Guatemala:
http://www.uvg.edu.gt/facultades/educacion/maestros-
innovadores/documentos/aprendizaje/Situaciones_aprendizaje.pdf
Poder Ejecutivo Federal, Presidencia de la República. (2007). Plan de Nacional de Desarrollo
2007-2012. México.
Rico, L. (2006). La competencia matemática en PISA. Obtenido de
http://funes.uniandes.edu.co/529/1/RicoL07-2777.PDF
Rodríguez, Y., & Sarmiento, B. (S.f.). Trisección de un ángulo con la concoide de Nicomedes.
Obtenido de Matvirtual: http://www.matvirtual.com/articulos/Trisectriz_Nicomedes.pdf
Roegiers, X., & Peyser, A. (s/f). La comunidad de prácticas curriculares Centroamericana y el
trabajo de evaluación de competencias. Obtenido de International Bureau of Education:
http://www.ibe.unesco.org/sites/default/files/evaluacion_de_competencias.pdf
Santa, Z. (2007). Uso del dobaldo de papel en la construcción de la secciones cónicas e
identificación de sus características. Medellin, Colombia: Trabajo de grado para optar al
título: “Licenciado en Educación Matemáticas y Física".
Santa, Z. (2011). La elipse como lugar geométrico a través de la geometría del doblado de papel en
el contexto Van Hiele. Colombia: Trabajo de investigación para optar al título de Magíster
en Educación, en la línea de Educación Matemática.
Santa, Z. M., & Jaramillo, C. M. (2011). Construcción de las secciones cónicas mediante el
doblado. 10º Encuentro Colombiano de Matemática Educativa.
SEP. (2011). Programas de estudio 2011 Guía para el maestro Educación Básica Secundaria
Matemáticas. Recuperado el 13 de 10 de 2014, de Secretaría de Educación Pública:
http://basica.sep.gob.mx/reformaintegral/sitio/pdf/secundaria/plan/MatematicasSec11.pdf
SEP. (2013). Programa de estudio Matemáticas III. Obtenido de Dirección General del
Bachillerato: http://www.dgb.sep.gob.mx/02-m1/03-iacademica/01-
programasdeestudio/cfb_3sem/MATEMATICAS-III.pdf
SEP. (2013). Programa de estudio Matemáticas III. Obtenido de http://www.dgb.sep.gob.mx/02-
m1/03-iacademica/01-programasdeestudio/cfb_3sem/MATEMATICAS-III.pdf
SEP-ENLACE-MS. (2014). Resultado Prueba ENLACE 2014 San Luis Potosí. México.
SEP-SEMS. (2008). Acuerdo 444 Marco curricular común del SNB. Recuperado el 06 de 06 de
2014, de www.sems.gob.mx:
http://www.sems.gob.mx/work/models/sems/Resource/10905/1/images/Acuerdo_444_marc
o_curricular_comun_SNB.pdf
Tapia, F. J. (2002). Apolonio, el geómetra de la antigüedad. Apuntes de historia de las matemáticas,
Vol. 1, N°.1., 19-31.
UANL. (1957). Apuntes de Geometría Analítica. Monterrey, N.L.: UANL.
Van Hiele, P. M. (1957). El problema de la comprensión (en conexión con la comprensión de los
escolares en el aprendizaje de la geometría). Universidad Real de Utrecht: Utrecht,
Holanda (Tesis Doctoral): (Traducción de trabajo al español de la tesis doctoral realizada
para el proyecto de investigación "Diseño y evaluación de una propuesta curricular de
aprendizaje de la Geometría en Enseñanza Media basada en el Modelo de Razonamiento de
Van Hiele").
Varela, M. d. (2010). Geometría Analítica para el desarrollo de competencias. San Luis Potosí:
Colgeio de Bachilleres de San Luis Potosí.
Vilcachagua, J. A. (2010). Cónicas y su aplicación a la arquitectura. Obtenido de Aplicaciones de
las cónicas a la arquitectura: http://mateunfv.blogspot.mx/2010/09/jankarlo-alania-
vilcachagua.html
Villamizar, F. (2014). Propuesta didáctica para introducir una curva cónica mediante un entorno
digital interactivo: El caso de la elipse. México, D.F.: CINVESTAV.
Anexos
Anexo 1
Encuesta para profesores de matemáticas de nivel medio superior
La presente encuesta forma parte de un estudio de caso sobre la enseñanza de la elipse a nivel
medio superior. Sus respuestas servirán para el análisis de las estrategias utilizadas por los
profesores en servicio. Sus respuestas serán confidenciales y sólo se publicarán tendencias o en su
caso, extractos anónimos de las mismas.
Nombre:
Institución en la que enseña:
Profesión:
Años de servicio en la docencia:
1.- ¿Por qué considera que es importante enseñar a los alumnos el tema de la elipse?
2.- ¿Cuál(es) de las siguientes proposiciones NO corresponden a una elipse? Márquelas con una
X
( ) El lugar geométrico de los puntos de un plano que equidistan de una recta llamada
directriz y un punto exterior a ella llamado foco.
( ) Sus elementos son: V y V´ los vértices, F y F´ los focos, P un punto cualquiera, 2a es la
longitud del eje mayor, 2c es la distancia focal, 2b es la longitud del eje menor.
( ) Su excentricidad es igual a la unidad.
( ) La longitud del lado recto es siempre 4 veces la distancia focal.
( ) La ecuación ordinaria con centro en el origen y eje mayor coincidente con el eje x es
𝑥2
𝑎2+
𝑦2
𝑏2= 1
( ) La ecuación general es Ax2+Cy2+Dx+Ey+F=0 siempre y cuando x*y = 0, A ≠ C y A, C >0.
3.- Enumere la secuencia de temas que sigue para enseñar el tema de la elipse. No incluya los
que no considera en su curso. (1 para el primero, 2 para el segundo y así sucesivamente)
( ) Demostración de las ecuaciones ordinarias de la elipse.
( ) Aplicaciones de la elipse en el contexto
( ) Ejercicios para encontrar los elementos dada la elipse.
( ) Construcción de la elipse mediante un método. ¿Cuál?____________________
( ) Resolución de problemas.
( ) Ejercicios para encontrar la ecuación de la elipse dados sus elementos.
( ) Exposición de la definición de elipse y sus elementos.
( ) Investigaciones dirigidas.
( ) Otro: _____________________________________
4.- ¿Elija hasta tres de las principales fuentes que considera para modificar o actualizar la
planeación de sus cursos? (Coloque 1 a la principal, 2 a la segunda, 3 a la tercera)
( ) Indicaciones de la RIEMS
( ) Retroalimentación de las autoridades escolares.
( ) Cumplimiento total del programa
( ) Actualización pedagógica
( ) Adoptar un nuevo libro de texto
( ) Resultados de evaluaciones estandarizadas. (ENLACE, PISA)
( ) Resultados de los alumnos en sus exámenes.
( ) Retroalimentación de los alumnos.
( ) Retroalimentación de las academias
( ) Otra: _____________________________
5.- Con la forma de enseñar la elipse, ¿Qué competencias disciplinares de la RIEMS considera se
desarrollan principalmente? Elija hasta tres opciones. (Coloque 1 a la principal, 2 a la segunda, 3
a la tercera)
( ) Expresa ideas y conceptos mediante representaciones lingüísticas, matemáticas o
gráficas.
( ) Sigue instrucciones y procedimientos de manera reflexiva, comprendiendo cómo cada
uno de sus pasos contribuye al alcance de un objetivos.
( ) Construye hipótesis, diseña y aplica modelos para probar su validez.
( ) Utiliza las tecnologías de la información y comunicación para procesar e interpretar
información.
( ) Elige las fuentes de información más relevantes para un propósito específico y
discrimina entre ellas de acuerdo a su relevancia y confiabilidad.
( ) Define metas y da seguimiento a sus procesos de construcción de conocimientos.
( ) Propone la manera de solucionar un problema y desarrolla un proyecto en equipo,
definiendo un curso de acción con pasos específicos.
( ) Aporta puntos de vista con apertura y considera los de otras personas de manera
reflexiva.
( ) Asume actitud constructiva, congruente con los conocimientos y habilidades con los
que cuenta dentro de distintos equipos de trabajo.
6.- Con la forma que usted utiliza para enseñar la elipse, ¿Qué capacidades matemáticas
considera se desarrollan principalmente en sus alumnos y con qué estrategias?
Capacidades matemáticas
No se
desarrolla.
Sí se
desarrolla.
¿Qué activad realiza para promover el desarrollo de esta capacidad?
Comunicación
Matematización
Representación
Razonamiento y argumentación
Diseño de estrategias para resolver problemas
Utilización de operaciones y un lenguaje simbólico, formal y técnico
Utilización de herramientas matemáticas
7.- ¿Qué material(es) didáctico(s) utiliza para la enseñanza del tema de la elipse? Marque con
una X todos los que utiliza.
( ) Libro de texto
( ) Pizarrón
( ) Cañón de proyección
( ) Software para graficación
( ) Software especializado como GEOGEBRA, REGLA Y COMPÁS, CABRI.
( ) Problemarios adicionales al libro de texto.
( ) Maquetas
( ) Geoplano
( ) Material de manipulación (Cartulina, tijeras,…)
( ) Juego de Geometría (Compás, regla, escuadras…)
( ) Otros: _____________________________________________________
8.- ¿Cuántas horas clase dedica a la enseñanza de la elipse? ____________
9.- Mencione los tres últimos cursos de actualización a los que haya asistido y califique su
relación o utilidad para modificar su planeación de la enseñanza de la elipse.
Nombre del curso Mes y año en que se cursó
Utilidad
Alta Mediana Baja Nula
1
2
3
10.- ¿Qué libro de texto utiliza para la materia Matemáticas III?
11.- ¿Qué uso le da al libro de texto en su proceso de enseñanza? Elija tres opciones. (Coloque 1
a la principal, 2 a la segunda, 3 a la tercera)
( ) Se encarga la lectura previa del tema a los estudiantes.
( ) Se usan los ejercicios propuestos para asignar la tarea.
( ) Se hace lectura comentada en el salón de clase.
( ) Se encarga la lectura o solución de ejercicios en grupos en el salón de clase.
( ) Se utiliza por el profesor para la preparación de los temas.
12.- Mencione las dificultades que observa en los estudiantes cuando ven el tema de elipse. Elija
tres opciones. (Coloque 1 a la principal, 2 a la segunda, 3 a la tercera)
( ) Falta de interés en la materia.
( ) Deficientes conocimientos previos de álgebra.
( ) Deficientes conocimientos previos de geometría
( ) Incapacidad para relacionar los conceptos geométricos con el lenguaje algebraico.
( ) El enfoque de competencias de la RIEMS
( ) Problemas psicológicos
( ) Otras______________________________________________________________
13.- ¿Qué estrategias de evaluación utiliza? Elija tres opciones. (Coloque 1 a la principal, 2 a la
segunda, 3 a la tercera)
( ) Exámenes.
( ) Rúbricas.
( ) Portafolios de evidencias
( ) Tareas
( ) Investigaciones.
( ) Proyectos.
( ) Problemarios.
( ) Otros: _______________________________________________________
14.- ¿Tiene algún comentario adicional sobre esta encuesta?
Muchas gracias por su participación.
Anexo 2
“Una plaza de San Pedro en la Alameda
Juan Sarabia de San Luis Potosí”
Asignatura: Geometría
Analítica Grado:
3er
Semestre Bloque:
VII Aplica los elementos y las
ecuaciones de la Elipse
Competencia a
desarrollar:
Conducta Aprendizaje Esperado:
Proceso: Emplear las
Matemáticas.
Capacidad: Diseño de estrategias
para resolver problemas.
Nivel MVH: 3 Clasificación. Emplear las propiedades de la elipse utilizando
reglas lógicas del razonamiento deductivo en la
solución de un problema contextualizado en el
ámbito profesional.
Matemática
Contenido:
Espacio y Forma
Geometría analítica: Elipse
Contexto:
Situación profesional
Situación:
El nuevo presidente municipal del ayuntamiento de San Luis Potosí se caracteriza
por su admiración por los monumentos emblemáticos del mundo y ha tenido la
intención de replicarlos en la ciudad capital. Así hoy luce una réplica de la torre
Eiffel en una glorieta del parque Tangamanga, una réplica de la muralla China en la
presa de San José y remodeló el centro de espectáculos el Domo con el estilo del
Coliseo Romano. Ahora considera un nuevo proyecto. Está planeando construir una
réplica de la Plaza de San Pedro ubicada en la Ciudad del Vaticano en Roma
utilizando la Alameda Juan Sarabia en el centro histórico de la capital.
Como además de excéntrico el presidente municipal es un poco populista, convocó
a estudiantes de las preparatorias a un concurso para que realizaran un plano que
represente la adaptación de la réplica sobre la Alameda. El plano debe presentarse
en un pliego de papel albanene para poderlo mostrar al cabildo con la finalidad de
obtener su apoyo y gestionar los recursos necesarios. El premio para el plano mejor
realizado que respete las proporciones originales de la Plaza sobre la Alameda es de
$5,000 y una tablet además de ser invitado de honor a la ceremonia de inauguración.
Tus compañeros y tú han decidido participar en el concurso para utilizar los recursos
en una fiesta de fin de año, por lo que comienza a investigar y recopilar información
sobre la Plaza de San Pedro y la Alameda Juan Sarabia y se plantean varias
preguntas:
¿Qué dimensiones y forma tiene la plaza de San Pedro?, ¿cómo adaptarla
proporcionalmente a la alameda? ¿Cómo realizar un dibujo a escala de la plaza de
San Pedro?
Evidencia: Pliego de papel albanene con el plano que presente una adaptación proporcional de la
plaza de San Pedro sobre la Alameda Juan Sarabia.
Indicadores:
Forma:
-Se presenta en pliego de papel albanene. (60 x 91 cm)
-Se muestra la forma de la Plaza y su correspondencia con la Alameda.
-Trazado utilizando plumones o estilógrafos (No impresos en plotter ni otro
tipo de impresoras).
Fondo:
-Existe semejanza geométrica entre la Plaza de San Pedro y el plano.
-La Plaza es representada con una elipse construida indicando en el plano sus
elementos básicos.
-Se muestra la escala utilizada.
Descripción de Actividades de Enseñanza, Aprendizaje y Evaluación.
Momento Sesión Actividades
Enseñanza-Aprendizaje-Evaluación Recursos Tiempo
Presentación de
la Situación de
Aprendizaje.
1
Presentación de la situación problema
por parte del profesor.
Comunicación del Aprendizaje
esperado.
Situación problema.
Evidencia.
Indicadores de desempeño.
Actividades propuestas.
Presentación PPT.
10 min.
Evaluación Diagnóstica.
Distinguir formas geométricas en
imagen aérea de la Plaza de San Pedro.
Descripción de las figuras geométricas
encontradas.
Imagen aérea de la
Plaza de San Pedro.
Formato para
describir las figuras
geométricas.
15 min.
Investigación en equipos.
Búsqueda de las características de la
Plaza de San Pedro.
Búsqueda de las características de la
Alameda J. Sarabia.
Computadoras o
teléfonos móviles
con acceso a
internet.
30 min.
Interactividad 2 Recapitulación de conocimientos. Presentación PPT. 10 min.
El profesor retoma los conceptos
abordados en la sesión 1.
Manos a la obra.
Construcción empírica de propiedades
de la elipse mediante un diseño
instruccional utilizando la imagen aérea
proporcionada en la sesión 1:
- Medir la distancia entre las
fuentes.
- Medir la distancia entre la fuente
1 y un pilar.
- Medir la distancia entre la fuente
2 y un pilar.
- Sumar las dos distancias
anteriores.
- Realizar el mismo proceso para
un pilar diferente.
- Comparación de resultados.
Imagen aérea de la
Plaza de San Pedro.
Formato con
instrucción y
preguntas.
Juego de geometría.
25 min.
Investigación en equipos.
Búsqueda de diversas formas para el
trazado de una elipse.
Reporte de investigación por equipo.
Computadoras o
teléfonos móviles
con acceso a
internet.
20 min.
Evaluación formativa.
El profesor en todo momento estará al pendiente para guiar y resolver dudas.
3
Recapitulación de conocimientos.
El profesor retoma los conceptos
abordados en la sesión 2.
Presentación PPT.
10 min.
Construcción del plano.
En equipos se reúnen para la
construcción del plano utilizando la
forma de trazado más adecuada.
Pliego papel
albanen.
Herramientas para
la construcción de
la plaza.
45 min.
Evaluación formativa.
El profesor en todo momento estará al pendiente para guiar y resolver dudas.
Socialización de
la evidencia 4
Primer ronda de exposiciones.
En equipos mostrarán el diseño del
plano y expondrán el proceso de
solución de la situación, las fuentes
bibliográficas, los obstáculos y la
conclusión a la que llegaron, se
recomienda entre 10 a 15 minutos de
Presentaciones
PPT.
Planos en papel
albanene. 60 min.
exposición por equipo.
Se sugiere utilizar una rúbrica de
autoevaluación y coevaluación.
5
Segunda ronda de exposiciones.
En equipos mostrarán el diseño del
plano y expondrán el proceso de
solución de la situación, las fuentes
bibliográficas, los obstáculos y la
conclusión a la que llegaron, se
recomienda entre 10 a 15 minutos de
exposición por equipo.
Se sugiere utilizar una rúbrica de
autoevaluación y coevaluación.
Presentaciones
PPT.
Planos en papel
albanene.
60 min.
6
Institucionalización de la elipse.
El profesor procede a explicar en
términos formales el concepto de
elipse.
Presentación PPT.
35 min.
Evaluación Sumativa.
El profesor procede a la entrega de calificaciones. 20 min.