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Università degli studi di Cagliari
Dipartimento di Ingegneria Strutturale
Corso di aggiornamento
Unità 4 PIASTRE IN C.A. E INSTABILITÀ
RELATORE: Ing. Igino MURA
25-26 Giugno 2010
- Analisi delle piastre:
- Il metodo del telaio equivalente
PRESCRIZIONI GENERALI DELLE NTC
SULL’ANALISI DELLE STRUTTURE
PIASTRE DI SOLAI DI SPESSORE UNIFORME
Con piastre di solaio di spessore uniforme, in C.A. ordinario, si
indicano piastre semplicemente sopportate dai pilastri senza
travature.
Per questo motivo risultano:
• semplici da realizzare richiedendo un minimo di casseforme;
• richiedono spessori minimi;
• forniscono l’intradosso piano che facilita la realizzazione
degli impianti.
Tuttavia l’assenza di travi comporta che:
• devono far fronte alle elevate forze di taglio concentrate alla
sommità dei pilastri;
• devono trasmettere momenti flettenti ai pilastri nei bordi e
negli spigoli;
• sono molto deformabili e soggette a elevati spostamenti di
inflessione.
ANALISI ELASTICA COL METODO DEL
TELAIO EQUIVALENTE L’analisi elastica si può condurre, in via approssimata con il
cosiddetto Metodo del Telaio Equivalente (Equivalent Frame
Method)
Questo metodo fornisce una accettabile rappresentazione del
sistema costituito da una assegnata striscia di piastra e dei pilastri
ai quali risulta connessa. Le strisce di piastra ed i pilastri
corrispondenti devono essere considerate secondo ambedue le
direzioni portanti.
Invece di un telaio a tutta altezza normalmente si considera
una serie di sottotelai, rappresentati dalle assegnate strisce di
piastra e dai pilastri connessi, sovrastanti e sottostanti, soggetti
alla più sfavorevole condizione di carico.
I momenti finali possono essere soggetti a ridistribuzione.
a) strisce interne
b) strisce di bordo
ESEMPIO DI DEFINIZIONE DEL TELAIO
EQUIVALENTE
Pianta del solaio
Definizione della linea degli appoggi” in direzione X
Definizione della linea degli appoggi” in direzione Y
Individuazione dei punti di demarcazione per la definizione delle zone appartenenti alle strisce in direzione X
Superfici per il progetto delle strisce in direzione X
Superfici per il progetto delle strisce in direzione Y
Individuazione delle sezioni caratteristiche per il progetto
delle strisce B ed E.
Originale della striscia di piastra
“Raddrizzamento” della striscia
Idealizzazione delle larghezze della striscia caricata per il
progetto
Vista in sezione del “Telaio Equivalente”
RIPARTIZIONE DEL MOMENTO
I momenti ottenuti dalla risoluzione del telaio equivalente
rappresentano il momento risultante totale riferito alla striscia
considerata.
Ovviamente la distribuzione dei momenti sulla larghezza della striscia non risulta uniforme, non essendo la striscia
sostenuta in modo uguale su tutta la sua larghezza, ma essendo al
contrario appoggiata solo nel punto centrale sul pilastro.
Per assicurare che la distribuzione delle armature corrisponda
approssimativamente alla distribuzione dei momenti che potremo
calcolare con una analisi rigorosa della soletta, la striscia di piastra
viene suddivisa in due strisce di uguale larghezza:
• una prima striscia centrata sul pilastro;
• una seconda striscia mediana (divisa in due parti
uguali, una da ciascun lato).
striscia
sul pilastro striscia
mediana momento negat. sui pilastri di bordo Msu,edge 100%
(*) 0%
momento negat. sui pilastri interni Msu,int 75% 25%
momento posit. nelle campate Msp 55% 45%
I momenti vengono ripartiti sulle due strisce secondo la
tabella precedente. (*) Il momento deve risultare comunque
inferiore a 0.18⋅⋅⋅⋅be⋅⋅⋅⋅d2⋅⋅⋅⋅fck , come verrà chiarito quando si parlerà
dei pilastri di bordo
MOMENTI MINIMI PER RESISTENZA A
PUNZONAMENTO
La larghezza delle “strisce sui pilastri” e delle “strisce
mediane”, unitamente alla distribuzione dei ferri delle armature
devono essere scelti in modo da riflettere il comportamento della
piastra. Occorre considerare valori minimi del momento al fine di
garantire il raggiungimento della resistenza al punzonamento nella
connessione piastra-pilastro (vedi di seguito: taglio).
Momenti minimi per resistenza a taglio da punzonamento
caso Larghezza
striscia
Momento
Totale negativo
Momento
Totale positivo
Pilastro interno 0.3⋅lp 0.0375⋅VSd⋅lp ---
Pilastro al bordo
in direz. ort. 0.3⋅lp 0.0375⋅VSd⋅lp 0.0375⋅VSd⋅lp
Pilastro al bordo
in direz. parall. 0.15⋅lp 0.0375⋅VSd⋅lp ---
Pilastro di
spigolo 0.15⋅lp 0.0750⋅VSd⋅lp 0.0750⋅VSd⋅lp
N.B. Per i momenti in direzione x lp= ly, per quelli in direzione y
lp= lx. VSd= forza tagliante di progetto, alla connessione piastra-pilastro
PIASTRE CON PANNELLI (drop panel)
Striscia mediana
Dimensione del pannello
Se la soletta ha pannelli di irrigidimento (drop panels) allora la
larghezza della striscia sul pilastro è assunta pari alla larghezza del
pannello, posto che questo non deve essere inferiore a lx / 3.
La striscia sul pilastro deve essere simmetrica rispetto al inasto
interno. Se le dimensioni del pannello adiacente sono diverse, lo spessore
della striscia sul pilastro si assume a partire dalla dimensione maggiore.
DISTRIBUZIONE DELL’ARMATURA In generale le armature richieste in ogni ‘striscia di pilastri’ e ‘strisce
centrali’ devono essere distribuite uniformemente nella striscia.
Si fa eccezione per le armature occorrenti ad assorbire il momento
negativo nei pilastri interni delle strisce sui pilastri per le piastre di
uniforme spessore senza pannelli di irrigidimento:
In questo caso i 2/3 dell’armatura sono posizionati in una striscia
pari a metà della larghezza della striscia sui pilastri, in modo simmetrico
rispetto all’asse della colonna; il rimanente 1/3 è posizionato nella
rimanente metà della larghezza della striscia.
Come agevolmente si comprende, ai fini della distribuzione delle
armature superiori (momento negativo) in prossimità dei pilastri interni, la
piastra deve considerarsi suddivisa in tre strisce (vedi figura).
La distribuzione a collasso della fessurazione, sperimentalmente
verificata in un test con piastra di spessore uniforme a 4 campi, sembra
giustificare l’approccio precedente.
MOMENTO TRASFERITO AI PILASTRI
Il momento Mt viene trasferito dalla piastra ai pilastri
mediante tre differenti azioni:
flessione torsione taglio
Nei pilastri interni il meccanismo è favorito dalla coppia di
compressione (effetto ’push-push’) esercitata dalla piastra continua.
Nei pilastri di bordo non esiste la continuità della piastra; le
fessurazioni flessionale e torsionale della piastra, in prossimità delle
superfici laterali del pilastro, riducono la capacità di trasferire momento.
Il momento trasferito comprende una componente MMMMffff
equilibrata dall’acciaio che attraversa la superficie della colonna
(parallela al bordo) a contatto con la piastra, e le due componenti MMMMtttt
equilibrate dall’acciaio distribuito sulle superfici “r” in ambedue le
pareti laterali della colonna , che sono trasferiti al pilastro come
torsionei sulle superfici laterali.
La larghezza di piastra sulla quale si attua il trasferimento del
momento è pari a ccccxxxx + 2·r2·r2·r2·r, , , , dove rrrr è pari a ccccy per le piastre y per le piastre y per le piastre y per le piastre di
spessore sino a 300 mm, e pari a 1.671.671.671.67···· ccccy y y y per le piastre di
spessori più elevati. Occorre ovviamente disporre adeguate armature di torsione
lungo la suddetta larghezza di piastra. In genere soddisfano allo
scopo armature ad “U” in prossimità del bordo.
Occorre porre una limitazione al momento MMMMt,maxt,maxt,maxt,max trasferito
ad un pilastro di bordo per assicurare che la sezione della piastra non
risulti iper-armata. Questo limite, come in precedenza anticipato, è
pari a :
MMMMt,maxt,maxt,maxt,max = 0.18····bbbbeeee····dddd2222····ffffckckckck Il momento massimo che può essere trasferito è funzione della
larghezza efficace di piastra bbbbeeee che dipende dalla forma del pilastro e
dalla sua posizione relativa rispetto alla piastra:
Il momento MMMMt,maxt,maxt,maxt,max è di origine sperimentale.
Esso trova una giustificazione nell’assunzione di un limite al valore
dello spessore di zona compressa nel calcestruzzo della piastra.
Assumendo x=kd come ampiezza di zona compressa del
calcestruzzo l’espressione del momento relativo ad una sezione
in C.A. di larghezza be e distanza delle armature dal lembo
compresso d risulta:
MMMMt,maxt,maxt,maxt,max = 0.80····kdkdkdkd· b· b· b· beeee((((0.85···· ffffckckckck /1.5)(dddd-0.4····kd) = kd) = kd) = kd) = 18·b·b·b·beeee·d·d·d·d2222·f·f·f·fckckckck
se si assume k=0.5k=0.5k=0.5k=0.5.
REDISTRIBUZIONE DEI MOMENTI
Se il momento elastico MMMMsusususu derivato dall’analisi eccedesse
MMMMt,maxt,maxt,maxt,max , il primo deve essere ridotto ad un valore non superiore al
secondo e, in egual misura, si deve operare la redistribuzione
incrementando il momento in campata.
Se l’analisi elastica è effettuata con il metodo del grigliato o col
metodo degli elementi finiti la riduzione del momento non deve superare
il 30%.
Se invece si utilizza il metodo del telaio equivalente la riduzione
non deve superare il 50%.
La differenza risulta dal fatto che l’ultimo metodo è il più
cautelativo.
Se il momento ridotto, nel rispetto delle precedenti limitazioni,
supera ancora il valore MMMMt,maxt,maxt,maxt,max occorre modificare la struttura in modo
sostanziale valutando le seguenti opzioni:
• introdurre travi nel bordo;
• ridurre la campata;
• ridurre i carichi;
• modificare l’ubicazione del pilastro e/o aggiungere una
parte a sbalzo;
• aumentare la resistenza del calcestruzzo;
• aumentare lo spessore della piastra.
PUNZONAMENTO
In assenza di travi, per trasferire i carichi dalla piastra al pilastro, si
creano delle concentrazioni delle forze di taglio alla sommità del
pilastro alle quali la piastra deve essere in grado di resistere.
Se la forza di taglio supera la resistenza che la piastra può opporre, la
piastra può essere “spinta in basso” in prossimità del pilastro. Questo tipo
di collasso è chiamato punzonamento (la colonna può essere considerata
come un “punzone” per la piastra).
La superficie di collasso della piastra intorno al pilastro può forma un
tronco di cono o un tronco di piramide.
La linea di collasso nel lembo superiore della piastra è detto
perimetro critico.
Il progetto si fonda sulla risultante totale del taglio agente sulle
facce del pilastro in una assegnata direzione.
Qualora al pilastro venga trasferito momento flettente la
distribuzione dell’azione tagliante risulta non uniforme e pertanto occorre
considerare una azione di taglio efficace . Si considera una azione convenzionale VVVVSdSdSdSd,eff ,eff ,eff ,eff ==== ββββ⋅⋅⋅⋅VVVVSdSdSdSd per mettere in conto le concentrazioni
locali.
Nel caso di una soluzione effettuata con il metodo del telaio
equivalente si deve considerare la direzione più sfavorevole.
Forza di taglio efficace per piastre piane V V V VSdSdSdSd,eff ,eff ,eff ,eff ==== ββββ⋅⋅⋅⋅VVVVSdSdSdSd
condizione ββββ
Se non esiste alcuna possibilità che al pilastro possa essere
trasferito momento flettente
1.0
Pilastri interni 1.15
Pilastri al bordo 1.40
Pilastri di spigolo 1.50
Per prevenire il collasso per punzonamento la piastra può essere
dotata di armature a taglio o, fatto equivalente, la sommità del pilastro
può essere dotato di ingrossamento (capitello) ovvero lo spessore della
piastra può essere adeguatamente aumentato con pannelli di
irrigidimento (drop panels).
Il punzonamento sarà discusso per esteso come argomento
successivo.
CALCOLO DEGLI SPOSTAMENTI
E’ evidente che a parita di luce e rigidezza le inflessioni al centro di
un pannello di piastra piana, appoggiata su pilastri, sono molto maggiori di
quelle di un uguale pannello di piastra appoggiato con continuità sui bordi.
Inoltre al variare del rapporto fra le luci la piastra appoggiata sui pilastri è
ulteriormanta sfavorita in quanto le sue inflessioni crescono con il cubo del
lato maggiore mentre quelle della piastra supportata sui bordi cresce con il
cubo del lato più corto.
Una accettabile approssimazione per calcolare la inflessione a breve
termine aaaammmm consiste nel sommare le inflessioni nella direzione delle due
campate aaaaxxxx e aaaayyyy calcolate con il metodo del telaio equivalente.
aaaammmm = = = = aaaaxxxx + + + + aaaayyyy