vector

1

เวกเตอรในระบบ

พิด

กัดฉาก 2

มติิ

การเท

ากันข

องเวก

เตอร

การบ

วกและลบเวกเตอร

การคู

ณเวกเตอรดว

ยสเกล

าร

การข

นานก

นัของเวก

เตอร

เวกเตอร 1

หนว

ย

ผลคูณ

เชิงสเกล

าร

ผลคูณ

เชิงเว

กเตอร

การป

ระยุก

ตของเวก

เตอรทางเร

ขาคณ

ิต

โจทย

ปญหา

เวกเตอรในระบบ

พิด

กัดฉาก 3

มติิ

ลักษณ

ะของเวก

เตอร

นิเสธ

เวกเตอร

ขนาดขอ

งเวกเต

อร

2

เวกเตอร

1. ลักษณะของเวกเตอร ถาเรากําหนดจดุ A และ จดุ B ในระนาบ และลากลูกศรเช่ือมจากจุด A ไปยังจุด B ดังภาพ ถาเราตองการศึกษาท้ังทิศทางและขนาดของ AB ส่ิงท่ีเราศึกษานี้ เรียกวา “เวกเตอร” เราใช

สัญลักษณ AB แทน เวกเตอร AB (หรือใชสัญลักษณ u แทนเวกเตอร AB ก็ได) ขนาด (ความยาวของลูกศร) เวกเตอร AB ทิศทาง (ทิศทางของลูกศร)

2. เวกเตอรในระบบพิกัดฉาก

A

B จุด A เรียกวา “จุดเร่ิมตน” จุด B เรียกวา “จุดส้ินสุด”

เวกเตอร 1 หนวย คือ เวกเตอรท่ีมีความยาวหรือขนาดเทากับ 1 หนวย

เวกเตอร 1 หนวย เปนเวกเตอรสําคัญท่ีเรานําไปใชสรางเวกเตอรอ่ืน

3

2.1 เวกเตอรในระบบพิกัดฉาก 2 มิติ ระบบพิกัดฉาก 2 มิติประกอบไปดวย แกน X และ แกน Y แกน x แกนนอน แกน y แกนตัง้

ให i แทนเวกเตอร 1 หนวย ท่ีมีทิศทางไปตามแกน +X

และ j แทนเวกเตอร 1 หนวย ท่ีมีทิศทางไปตามแกน +Y

เราสามารถสรางเวกเตอรใดๆในระบบพิกดัฉาก 2 มิติ นี้ โดยใช เวกเตอร i และ เวกเตอร j เชน

2.1.1 เวกเตอรท่ีมีจดุเร่ิมตนท่ีจดุกาํเนิด และจุดส้ินสุดท่ี (a,b) เม่ือ ,a b R∈

ตัดกันท่ีจุด (0,0)

Y

X (0,0)

•

Y

X •i

j

4

เราสามารถเขียน เวกเตอร OA ใหอยูในรูปของเวกเตอร i และ เวกเตอร j ไดดังนี ้

OA OB BA

OA ai b j

= +

= +

บางคร้ังเราใช สัญลักษณ ab

⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦

แทนเวกเตอร ai b j+

a

OA ai b jb

⎡ ⎤= + = ⎢ ⎥

⎣ ⎦

ตัวอยาง เชน

1. ให O เปนจุดกําเนิด (0,0) และ A เปนจุด (3,4) และ B เปนจดุ (-4,5) จงหาOA และ OB

วิธีทํา

1) เวกเตอร 3 4OA i j= +

2) เวกเตอร 4 5OB i j= − +

2.1.2 เวกเตอรท่ีมีจดุเร่ิมตนท่ีไมใชจุดกําเนิด คือมีจุดเร่ิมตนท่ี (a,b) และจุดส้ินสุดท่ี (c,d) ดังนี ้

•

• ( , )a b(0, )b

( ,0)a(0,0)

A

B•

ai

b j

Y

X

5

เราสามารถเขียน เวกเตอร PQ ใหอยูในรูปของเวกเตอร i และ เวกเตอร j ไดดังนี ้

( ) ( )

PQ PR RQ

PQ c a i d b j

= +

= − + −

( )

( ) ( )( )c a

PQ c a i d b jd b

−⎡ ⎤= − + − = ⎢ ⎥−⎣ ⎦

หลักการจํา คา X (จุดปลาย-จุดตน)

PQ = คา Y (จุดปลาย-จุดตน) ตัวอยาง เชน

1. ให P(1,2) และ Q(-5,4) เปนจุดในระนาบ จงหา เวกเตอร PQ วิธีทํา คา X (จุดปลาย-จุดตน)

PQ = คา Y (จุดปลาย-จุดตน)

•

Y

X

( , )c d

( ,0)a

Q

B•( )c a i−

( )d b j−

( , )c dQ

( , )a bP•

6

5 14 2

66 2

2

PQ

PQ i j

− −⎡ ⎤= ⎢ ⎥−⎣ ⎦

−⎡ ⎤= = − +⎢ ⎥

⎣ ⎦

2.2 เวกเตอรในระบบพิกัดฉาก 3 มิติ

ระบบพิกัดฉาก 3 มิติ ประกอบไปดวย แกน X , แกน Y และ แกน Z โดยแกนท้ัง 3 ตัดกันท่ีจุด (0,0,0) ให i แทนเวกเตอร 1 หนวย ท่ีมีทิศทางไปตามแกน +X

j แทนเวกเตอร 1 หนวย ท่ีมีทิศทางไปตามแกน +Y และ k แทนเวกเตอร 1 หนวย ท่ีมีทิศทางไปตามแกน +Z ดังรูป

Z

Y

X

(0,0,0) •

Z

Y

X

j•i

k

7

ถาเรากําหนดจุดเร่ิมตนของ เวกเตอร PQ คือ จุด P = (a,b,c)

และกําหนดจุดส้ินสุดของ เวกเตอร PQ คือ จุด Q = (d,e,f)

เราสามารถเขียน เวกเตอร PQ ใหอยูในรูปของเวกเตอร ,i j และ k ไดดังนี้

( )( ) ( ) ( ) ( )( )

d aPQ e b d a i e b j f c k

f c

−⎡ ⎤⎢ ⎥= − = − + − + −⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦

หลักการจํา คา X (จุดปลาย-จุดตน)

PQ = คา Y (จุดปลาย-จุดตน) คา Z (จุดปลาย-จุดตน) ตัวอยาง เชน

1. ให O เปนจุดกําเนิด (0,0,0) , จุด P คือ (1,2,3) และ จุด Q คือ (-1,-2,-3)

ในระบบพิกัดฉาก 3 มิติ จงหาเวกเตอร PQ วิธีทํา คา X (จุดปลาย-จุดตน)

PQ = คา Y (จุดปลาย-จุดตน) คา Z (จุดปลาย-จุดตน)

8

1 12 23 3

24 2 4 66

PQ

PQ i j k

− −⎡ ⎤⎢ ⎥= − −⎢ ⎥⎢ ⎥− −⎣ ⎦−⎡ ⎤

⎢ ⎥= − = − − −⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦

3. การเทากันของเวกเตอร ขนาดเทากัน เวกเตอร 2 เวกเตอรจะเทากนั เม่ือ ทิศทางเดียวกนั ในระบบพกิัดฉาก 2 มิติ

ให u ai b j= + และ v ci d j= + ,

u va cb d

=

⎡ ⎤ ⎡ ⎤=⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ก็ตอเม่ือ

,a cb d

==

ในระบบพกิัดฉาก 3 มิติ

ให u ai b j ck= + + และ v d i e j f k= + + ,

u va db ec f

=

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥=⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

ก็ตอเม่ือ

,,

a db ec f

===


1. จงหาคา x,y และ z ซ่ึงทําให 3 2 4xi j k i y j zk+ + = + − วิธีทํา

9

3 2 44

32

xi j k i y j zkx

yz

+ + = + −

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎣ ⎦ ⎣ ⎦

4, 3, 2x y z∴ = = = − อธิบาย การเทากันของเวกเตอร 2 เวกเตอร โดยรูปภาพ ไดดังนี้ เชน (3,3) v (6,3)

(5,5) (3, 4) (2,1)

4. นิเสธของเวกเตอร ให u เปนเวกเตอรในระบบพกิัดฉาก นเิสธของ u เขียนแทนดวยสัญลักษณ u− โดยมีความหมายดังนี้

x=4 y=3 -z=2 z=-2

• (3,0)(0,0) u

Y

X

•

จากรูป

3u i= และ

(6 3) (3 3)

3

v i j

v i

u v

= − + −

=

∴ =

(0,0)

Y

X •

•

u

v จากรูป

2u i j= + และ

(5 3) (5 4)

2

v i j

v i j

u v

= − + −

= +

∴ =

10

ในระบบพกิัดฉาก 2 มิติ ในระบบพิกัดฉาก 3 มิติ

ให ( )

u ai b j

u ai b j

u ai b j

= +

− = − +

− = − − ให ( )

u ai b j ck

u ai b j ck

u ai b j ck

= + +

− = − + +

− = − − −


1. ให 3 4u i j= − จงหา u− วิธีทํา

3 4

(3 4 )

3 4

u i j

u i j

u i j

= −

− = − −

∴ − = − +

2. ให 3 2u i j k= − + จงหา u− วิธีทํา

3 2

(3 2 )

3 2

u i j k

u i j k

u i j k

= − +

− = − − +

∴− = − + −

5. การบวกและการลบเวกเตอร เราสามารถอธิบายการ บวก เวกเตอร 2 เวกเตอร ดวยแผนภาพดังตอไปนี้ เราสามารถอธิบายการ ลบ เวกเตอร 2 เวกเตอร ดวยแผนภาพดังตอไปนี้

u

vu v+

11

5.1 การบวกเวกเตอร ระบบพิกัดฉาก 2 มิติ

ถากําหนดให u ai b j= + และ v ci d j= + เราสามารถหาเวกเตอร

( ) ( )a c a c

u v a c i b d jb d b d

+⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ = + = = + + +⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥+⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

ระบบพิกัดฉาก 3 มิติ

ถากําหนดให u ai b j ck= + + และ v d i e j f k= + + เราสามารถหาเวกเตอร

( ) ( ) ( )a d a d

u v b e b e a d i b e j c f kc f c f

+⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥+ = + = + = + + + + +⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥+⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

5.2 การลบเวกเตอร


ถากําหนดให u ai b j= + และ v ci d j= + เราสามารถหาเวกเตอร

( ) ( )

( ) ( )

a c a cu v a c i b d j

b d b d

c a c av u c a i d b j

d b d b

−⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤− = − = = − + −⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

−⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤− = − = = − + −⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦


ถากําหนดให u ai b j ck= + + และ v d i e j f k= + + เราสามารถหาเวกเตอร

u

v u v−

u

vv u−

12

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

a d a du v b e b e a d i b e j c f k

c f c f

d a d av u e b e b d a i e b j f c k

f c f c

−⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− = − = − = − + − + −⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

−⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− = − = − = − + − + −⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

ขอสังเกต

1) ( )u v u v− = + − 2) ( )v u v u− = + −


1. ถา 5 3u i j= + และ 2v i j= + จงหา ,u v u v+ − และ v u− วิธีทํา

5 2 5 2 77 4

3 1 3 1 4

5 2 5 2 33 2

3 1 3 1 2

2 5 2 5 33 2

1 3 1 3 2

u v i j

u v i j

v u i j

+⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ = + = = = +⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥+⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

−⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤− = − = = = +⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

− −⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤− = − = = = − −⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− −⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

u

v

v−

u v−

( )u v+ −

เทากัน

13

2. ถา u i j k= + + และ 2 2v i j k= + − จงหา ,u v u v+ − และ

v u− วิธีทํา

1 2 1 2 31 2 1 2 3 3 31 1 1 1 0

1 2 1 2 11 2 1 2 1 21 1 1 1 2

2 1 2 12 1 2 1

1 1 1

u v i j

u v i j k

v u

+⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥+ = + = + = = +⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− −⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

− −⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− = − = − = − = − − +⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− +⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

−⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥− = − = −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥− −⎣ ⎦ ⎣ ⎦

11 2

1 2i j k

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥= = + −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥− −⎣ ⎦ ⎣ ⎦

3. ให 4 3 5AB i j k= − + โดยมีจดุ A(2,1,3) เปนจุดเร่ิมตน จงหาจดุส้ินสุด B

วิธีทํา 1) กําหนดใหจุด B=(a,b,c) สวน จุด A=(2,1,3)

คา X (จุดปลาย-จุดตน) AB = คา Y (จุดปลาย-จุดตน) คา Z (จุดปลาย-จุดตน)

213

aAB b

c

−⎡ ⎤⎢ ⎥= −⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦

14

2) จากโจทย

44 3 5 3

5AB i j k

⎡ ⎤⎢ ⎥= − + = −⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

2 41 33 5

abc

−⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥∴ − = −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎣ ⎦ ⎣ ⎦

จะได……… 2 4..............(1)a − =

1 3..............(2)3 5................(3)

bc

− = −− =

3) จุด B = (6,-2,8)

4. จากรูป จงหาวา ?FE = วิธีทํา

( )

FE FA AB BC CD DE

FE e a b c d

FE a b c d e

= + + + +

= − + + + +

∴ = + + + −

5. ในรูป ABC ถา AD เปนเสนมัธยฐาน BA a= และ BD b= จงหา CA


แกสมการได 6

28

abc

== −=

e

a

b

c

d

A

B C

D

EF

15

( )

[( ) ( )]

( 2 )

2

CA CB BA

CA CD DB BA

CA b b a

CA b a

CA a b

= +

= + +

= − + − +

= − +

∴ = −

6. ขนาดของเวกเตอร ขนาดของเวกเตอรใดๆ คือ ความยาวของลูกศรของเวกเตอรนั้นๆ

เราใชสัญลักษณ u แทน ขนาดของเวกเตอร u

ในระบบพกิัดฉาก 2 มิติ ในระบบพิกัดฉาก 3 มิติ

ถา 2 2

u ai b j

u a b

= +

= + ถา 2 2 2

u ai b j ck

u a b c

= + +

= + +


1. กําหนดให 3 4u i j= + จงหา u วิธีทํา

2 2

3 4

3 4

9 16

25

5

u i j

u

u

u

u

= +

= +

= +

=

∴ =

2. กําหนดให 2 3u i j k= + + จงหา u วิธีทํา

16

2 2 2

2 3

1 2 3

1 4 9

14

u i j k

u

u

u

= + +

= + +

= + +

∴ =

7. การคูณเวกเตอรดวยสเกลาร ให k R∈ ในระบบพกิัดฉาก 2 มิติ ในระบบพิกัดฉาก 3 มิติ

ถา ( )

u ai b j

ku k ai b j

ku kai kb j

= +

= +

= + ถา ( )

u ai b j ck

ku k ai b j ck

ku kai kb j kck

= + +

= + +

= + +

อธิบายโดยใชแผนภาพ ไดดงันี้

ถา 2 2

2 2

k ku u

k ku u

= ⇒ =

= − ⇒ = −

เวกเตอร 2u คือ เวกเตอรท่ีมีทิศทางเดียวกับ u และมีขนาดเปน 2 เทาของเวกเตอร u

เวกเตอร 2u− คือ เวกเตอรท่ีมีทิศตรงขามกับ u และมีขนาดเปน 2 เทาของเวกเตอร u

ถา , 0k R k∈ >

เวกเตอร ku คือ เวกเตอรท่ีมีทิศทางเดียวกับ u และมีขนาดเปน k เทาของเวกเตอร u

ถา , 0k R k∈ <

เวกเตอร ku คือ เวกเตอรท่ีมีทิศตรงขามกับ u และมีขนาดเปน k เทาของเวกเตอร u

••u

2u2u−

17


1. ให 2 3u i j k= − + จงหา 3u และ 12

u

วิธีทํา 1) หา 3u

2 3

3 3(2 3 )

3 (3)(2) (3)(3) (3)(1)

3 6 9 3

u i j k

u i j k

u i j k

u i j k

= − +

= − +

= − +

∴ = − +

2) หา 12

u

2 31 1 (2 3 )2 21 1 1 1( )(2) ( )(3) ( )(1)2 2 2 2

1 3 12 2 2

u i j k

u i j k

u i j k

u i j k

= − +

= − +

= − +

∴ = − +

2. กําหนดให A(2,5) และ B(-1,4) จงหา 5AB

วิธีทํา 1) หาเวกเตอร AB

1 2 3

34 5 1

AB i j− − −⎡ ⎤ ⎡ ⎤

= = = − −⎢ ⎥ ⎢ ⎥− −⎣ ⎦ ⎣ ⎦

2) หาเวกเตอร 5AB

5 5( 3 )

5 15 5 )

AB i j

AB i j

= − −

= − −

3) หา 5AB

18

2 25 ( 15) ( 5)

5 225 25 250 5 10

AB

AB

= − + −

= + = =

สมบัติของการคูณเวกเตอรดวยสเกลาร

ถา ,u v เปนเวกเตอรใดๆ และ ,a b R∈

1) ( )a b u au bv± = ±

2) ( )a u v au av± = ±

3) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

a bu b au ab u

bu bu

= =

− = −

4) ถา 0au = แลว 0a = หรือ 0u =

8. การขนานกนัของเวกเตอร

เวกเตอร 2 เวกเตอร จะขนานกัน กต็อเม่ือ เวกเตอรท้ัง 2 มี ทิศทางเดยีวกัน หรือ ทิศตรงขามกัน

เวกเตอร u ขนานกับ v เราใชสัญลักษณ u v ก็ตอเม่ือ เราสามารถเขียน v ku

u kv

=

= , เม่ือ

k R∈ และ , 0u v ≠

u v u v

1 2

u v

19


1. ให 4 2 3u i j k= + − และ 8 6 6v i j k= + − จงตรวจสอบวา u v หรือไม

วิธีทํา 1) เลือกเขียน……………. v ku=

8 6 6 (4 3 3 )

8 6 6 4 3 34 8....................(1)3 6....................(2)

i j k k i j k

i j k ki k j kkkk

+ − = + −

+ − = + −==

2) หาคา k ท่ีทําให v ku= ได คือ k=2

u v∴

2. จงหาคา x ท่ีทําใหเวกเตอร 2x⎡ ⎤

⎢ ⎥⎣ ⎦

กับ 4

3⎡ ⎤⎢ ⎥−⎣ ⎦

ขนานกัน


1) เลือกเขียน 4

2 3x

k⎡ ⎤ ⎡ ⎤

=⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎣ ⎦ ⎣ ⎦

42 3

4 ..........(1)2 3 ........(2)

x kk

x kk

⎡ ⎤ ⎡ ⎤=⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎣ ⎦ ⎣ ⎦

== −

นํา 2

3k −

= แทนคาใน (1) แลวหาคา x 2 84( )

3 3x − −

= =

2k =

23

k −=

20

แบบฝกหัด 1. กําหนดจุดบนระนาบ O(0,0) , A(1,3) , B(6,7) และ C(5,-2) จงพิจารณาขอ

ใดตอไปนี้ถูกตอง

1.1) 3OA i j= + 1.2) 6 7BO i j= + 1.3) 5 4AC i j= − + 1.4) 9CB i j= +

21

1.5) 41AB = 1.6) 10 8AB BA i j+ = + 1.7) 4 5AB BC i j+ = − 1.8) 7 10OA OB i j+ = +

22

1.9) OA AB BO i j+ + = − 2. ให ABCD เปนรูปส่ีเหล่ียมดานขนาน มีเสนทแยงมุมตัดกันท่ีจุด E ดังรูป จงหาเวกเตอร

ท่ีเทากับเวกเตอรท่ีกําหนดใหตอไปนี้ 2.1) AB , BC , AE 2.2) ED , BC− , AE−

A

B C

D

E

23

3. จงเขียนเวกเตอร PQ ใหอยูในรูปผลบวก ลบ ของเวกเตอร a , b หรือ c 3.1) 3.2) 3.3)

P

Q

a

b

a

b

cP

Q

P

Q

a

b

24

3.4) 4. จงวาดรูปคราวๆของเวกเตอรตอไปนี้

4.1) 23

⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦

4.2) 41

−⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎣ ⎦

4.3) 35

−⎡ ⎤⎢ ⎥−⎣ ⎦

a

b

cP

Q

25

4.4) 32

⎡ ⎤⎢ ⎥−⎣ ⎦

5. จงหาเวกเตอรท่ีมีจุดเร่ิมตนท่ี (0,0) มีความยาว 4 หนวย และทํามุม 30− ° กับแกน x 6. จงเขียนเวกเตอรตอไปนี้ในระบบพิกัดฉาก

6.1) 21

1⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎣ ⎦

26

6.2) 11

−1⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦

6.3) 23

1⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

6.4) 2

−1⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥ 0⎣ ⎦

27

7. กําหนด 31

CD−⎡ ⎤

= ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ และ (2,3)C = จงหา D

8. กําหนด 25

EF−⎡ ⎤

= ⎢ ⎥−⎣ ⎦ และ (3, 4)F = − จงหา E

28

9. กําหนด ( 1,3), ( , ), (4,6)A B x y C− และ 5

4AB

−⎡ ⎤= ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ จงหาเวกเตอร

BC

10. กําหนด ( 4 ) (5 6 ) (4 5 )bi j i j a i j+ + + = + ดังนั้น a และ b มีคาเทากับเทาใด

29

11. ถา 0 18

,10 22

OA OB ⎡ ⎤ ⎡ ⎤

= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ P เปนจุดๆหน่ึงบน AB จงหา OP เม่ือ

: 1: 3AP PB =

12. จงหา z ถา 2 3z u w− = ขณะท่ี (1, 2,3), (4,0 4)u w= = −

30

13. จงพิจารณาวาจุด (0, 2, 5), (3, 4, 4)− − และ (2,2,1) อยูบนเสนตรงเดียวกันหรือไม

14. ให 2u ai j= − และ 2 3v i j= − จงหาคา a เม่ือ u v

31

15. ให 2

,3 2

p q 1⎡ ⎤ ⎡ ⎤

= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎣ ⎦ ⎣ ⎦ และ a9⎡ ⎤

= ⎢ ⎥4⎣ ⎦ จงเขียน a ใหอยูในรูปของ p

และ q

16. จงหาขนาดของเวกเตอรตอไปนี้

3 41 , 1 , 03 2 1

1 −⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ −⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

32

17. จงพิจารณาวาเวกเตอร 2,23

3

u v

1⎡ ⎤ ⎢ ⎥4⎡ ⎤= = ⎢ ⎥⎢ ⎥ −⎣ ⎦ ⎢ ⎥

⎢ ⎥⎣ ⎦ ขนานกันหรือไม

18. ถา 12u ai j= + และ 13u = จงหา a

33

9.เวกเตอร 1 หนวย

เวกเตอร 1 หนวย คือ เวกเตอรใดๆที่มีขนาดของเวกเตอรเทากับ 1 หนวย

เวกเตอร 1 หนวย ท่ีมีทิศเดยีวกับ u คือ uu


1. จงหาเวกเตอร 1 หนวยท่ีมีทิศเดียวกับ 3 4u i j= + วิธีทํา

เวกเตอร 1 หนวย ท่ีมีทิศเดยีวกับ u uu

=

2 2

3 43 4

3 45

3 45 5

i j

i j

i j

+=

+

+=

= +

2. จงหาเวกเตอร 1 หนวยท่ีมีทิศเดียวกับ 4 4 2u i j k= + − วิธีทํา

34

2 2 2

4 4 24 4 ( 2)

4 4 26

4 4 26 6 62 2 13 3 3

u i j ku

i j k

i j k

i j k

+ −=

+ + −

+ − =

= + −

= + −

3. กําหนดให 2 3u i j= − และ 3 4v i j= + จงหาเวกเตอรท่ีมีทิศเดียวกับ u

แตมีขนาดเทากับ v วิธีทํา

1) หาเวกเตอร 1 หนวย ท่ีมีทิศเดียวกับ u

2 2

2 32 ( 3)

2 313

2 313 13

u i ju

i j

i j

−=

+ −

− =

= −

2) หา v 2 23 4 25 5v = + = =

3) หาเวกเตอรท่ีมีทิศเดียวกับ u แตมีขนาดเทากับ v

เวกเตอรท่ีมีทิศเดียวกับ u แตมีขนาดเทากับ v u vu

=

35

2 3 (5)13 13

10 1513 13

i j

i j

⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎝ ⎠

= −

4. ให ,u v และ w เปนเวกเตอรท่ีไมขนานกัน จงหาเวกเตอรท่ีมีทิศทางเดียวกับ

u w+ และมีขนาดเทากับ v วิธีทํา

1) หาเวกเตอร 1 หนวย ท่ีมีทิศทางเดียวกับ u w+ คือ

u wu w

+

+

2) หาเวกเตอรท่ีมีทิศทางเดียวกับ u w+ และขนาดเทากับ v คือ

(เวกเตอร 1 หนวย ท่ีมีทิศทางเดียวกับ u w+ )(ขนาดของเวกเตอร u )

u w vu w

+

+

5. ให 6 3 2u i j k= − + − ถา v มีทิศตรงขามกับ u และ 12

v = แลวจง

หา v วิธีทํา

1) หานิเสธของเวกเตอร u u= −

( 6 3 2 )

6 3 2

i j k

i j k

= − − + −

= − +

2) เวกเตอร 1 หนวยท่ีมีทิศทางเดียวกับ เวกเตอร ( )u− คือ

36

2 2 2

( ) 6 3 26 ( 3) 2

6 3 249

6 3 27 7 7

u i j ku

i j k

i j k

− − +=

− + − +

− + =

= − +

2) หาเวกเตอร v

( )

1 6 3 22 7 7 7

3 3 17 14 7

uv vu

i j k

i j k

−=

−

⎛ ⎞⎛ ⎞ = − +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

= − +

10.ผลคูณเชิงสเกลาร

ให ,u v เปนเวกเตอรใดๆ ผลคูณเชิงสเกลารของ u และ v เขียนแทนดวยสัญลักษณ

u v⋅ โดยมีวิธีการหาคาดังนี ้ ระบบพิกัดฉาก 2 มิติ

ถา ,a c

u ai b j v ci d jb d

⎡ ⎤ ⎡ ⎤= = + = = +⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎣ ⎦ ⎣ ⎦

แลว ( )a c

u v ai b j ci d j ac bdb d

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⋅ = = + )( + = +⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎣ ⎦ ⎣ ⎦

37


ถา ,

a du b ai b j ck v e di e j f k

c f

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥= = + + = = + +⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

แลว

( )a d

u v b e ai b j ck di e j f k ad be cfc f

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⋅ = ⋅ = + + )( + + = + + ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

หรือ

cosu v u v θ⋅ =

เม่ือ θ คือมุมระหวางเวกเตอร u และ v ตัวอยาง เชน

1. กําหนดให 3 2 , 3 5 8u i j k v i j k= − + 6 = − − + จงหามุมระหวาง

เวกเตอร u และ v วิธีทํา

1) ใชสูตร cosu v u v θ⋅ =

cos u v

u vθ ⋅

∴ =

2) หา u v⋅

38

3 32 5 (3)( 3) ( 2)( 3) (6)(8)6

( 9) 6 48 45

u v −⎡ ⎤ ⎡ ⎤

⎢ ⎥ ⎢ ⎥⋅ = − ⋅ − = − + − − +⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ 8⎣ ⎦ ⎣ ⎦

= − + + =

3) หา u และ v 2 2 2

2 2 2

3 ( 2) 6 49 7

( 3) ( 5) 8 98 7 2

u

v

= + − + = =

= − + − + = =

4) หา cosθ จาก

cos

49cos7 (7 2)

1cos2

u vu v

θ

θ

θ

⋅=

=⋅

∴ =

สมบัติของผลคูณเชิงสเกลาร

ให ,u v เปนเวกเตอรใดๆ และ a R∈

1) u v v u⋅ = ⋅

2) ( )u v w u v u w⋅ + = ⋅ + ⋅

3) ( ) ( )( ) ( )( )a u v au v u av⋅ = =

4) 0 0u⋅ =

45θ = °

39

5) 2

u u u⋅ =

6) 2 2 2

( ) ( ) 2( )u v u v u v u u v v+ ⋅ + = + = + ⋅ +

7) 2 2 2

( ) ( ) 2( )u v u v u v u u v v− ⋅ − = − = − ⋅ +

8) u v⊥ ก็ตอเม่ือ 0u v⋅ = เม่ือ , 0u v ≠


1. ให u และ v เปนเวกเตอร 1 หนวย ซ่ึงทํามุมกัน 23π

จงหาคาของ u v+


1) จาก 2

( )( )u v u v u v+ = + +

2 22

u u v u u v v v

u u v v

= ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅

= + +

2) หา ,u v และ u v⋅

จากโจทย 1, 1u v= =

cos

2(1)(1)cos3

12

u v u v θ

π

⋅ =

=

=

3) หา u v+

40

2 22

2 2 2

2

2

2

11 2( ) 12

1 1 1

1

1

u v u u v v

u v

u v

u v

u v

+ = + ⋅ +

−+ = + +

+ = − +

+ =

∴ + =

2. กําหนดให 8, 2u v= = และ 9u v+ = จงหา u v− วิธีทํา

1) หา u v⋅ จาก

[ ]

[ ]

2 2 2

2 2 2

2 2 2

2 2 2

2

2

121 9 8 221 81 64 421 132

132

u v u u v v

u v u v u v

u v u v u v

u v

u v

u v

u v

+ = + ⋅ +

⋅ = + − +

⎡ ⎤⋅ = + − +⎢ ⎥⎣ ⎦

⎡ ⎤⋅ = − −⎣ ⎦

⋅ = − −

⋅ =

∴ ⋅ =

2) หา u v− จาก

41

2 2 2

2 2 2

2

2

2

138 2( ) 22

64 13 4

55

55

u v u u v v

u v

u v

u v

u v

− = − ⋅ +

− = − +

− = − +

− =

∴ − =

11.ผลคูณเชิงเวกเตอร

ให ,u v เปนเวกเตอรใดๆ ผลคูณเชิงเวกเตอรของ u และ v เขียนแทนดวยสัญลักษณ

u v× โดยมีวิธีการหาคาดังนี ้

ถา u ai b j ck= + + และ v di e j f k= + + แลว

( ) ( ) ( )

i j k i ju v a b c a b

d e f d e

bf i cd j ae k dbk eci fa j

bf ec i cd fa j ae db k

× =

= + + − − −

= − + − + −


1. ให 2u i j k= − + และ 3 2v i j k= + − จงหา u v× และ v u× วิธีทํา

1) หา u v×

42

( 2)( 2) (1)(3) (1)(1) (1)(1) ( 2)(1)

4 3 ( 6 ) ( 2

i j k i ju v

i j k k i j

i j k k i

× = 1 − 2 1 1 − 2

3 1 − 2 3 1

= − − + + − (3)(−2) − − −

= + + − − − − − )

3 5 7

j

i j k = + +

2) หา v u×

(1)(1) ( 2)(1) (3)( 2) ( 2)( 2) (1)(3)

2 6 4 3

i j k i jv u

i j k k i j

i j k k i j

× = 3 1 − 2 3 1

1 − 2 1 1 − 2

= + − + − − (1)(1) − − − −

= − − − − −

3 5 7i j k = − − −

ขอสังเกต จากตัวอยางนี้สามารถอธิบายการหา u v× และ v u× ดวยแผนภาพดังนี ้

สูตรท่ีควรจํา sinu v u v θ× =

u

v

u v×

v u×

43

2. ถา 2u i j k= + − และ 3 2 4v i j k= − − + และ θ เปนมุมระหวาง

u และ v จงหา sinθ วิธีทํา

1) จากสูตร sinu v u v θ× =

sinu v

u vθ

×=

2) หา ,u v และ u v× 2 2 2

2 2 2

( 3) ( 2) 4 29

2 1 ( 1) 6

v

u

= − + − + =

= + + − =

(1)(4) ( 1)( 3) (2)( 2) ( 2)( 1) (4)(2)

4 3 4 ( 3 ) 2

i j k i ju v

i j k k i j

i j k k i

× = 2 1 −1 2 1

− 3 − 2 4 − 3 − 2

= + − − + − − (−3)(1) − − − −

= + − − − − 8

2 5

j

i j k

−

= − −2 2 22 ( 5) ( 1) 4 25 1 30u v∴ × = + − + − = + + =

3) หา sinθ

30 5sin6 29 29

u v

u vθ

×= = =

44

สมบัติของผลคูณเชิงเวกเตอร

ให ,u v และ w เปนเวกเตอรใดๆ ในระบบพิกดัฉาก 3 มิติ และ a R∈

1) ( )u v v u× = − ×

2) ( ) ( ) ( )u v w u v u w× + = × + ×

3) ( ) ( ) ( )a u v au v u av× = × = ×

4) 0u u× =

5) ( ) ( )u v w u v w⋅ × = × ⋅

6) u v u× ⊥ และ u v v× ⊥ เสมอ เม่ือ , 0u v ≠ ขอควรจํา

1) ถา 1 1 1 2 2 2,u a i b j c k v a i b j c k= + + = + + และ

3 3 3w a i b j c k= + +

1 1 1

2 2 2

3 3 3

( ) ( )a b c

u v w u v w a b ca b c

⋅ × = × ⋅ =


1. กําหนดให ,a b เปนเวกเตอรใดๆ จงตรวจสอบวา

( ) ( ) 2( )a b a b a b− × + = × หรือไม


45

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

0 ( ) ( ) 0

a b a b a b a a b b

a a b a a b b b

b a a b

a b a

⎡ ⎤ ⎡ ⎤− × + = − × + − ×⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎡ ⎤ ⎡ ⎤ = × − × + × − ×⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎡ ⎤ ⎡ ⎤ = − × + × −⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎡ ⎤ = × + ×⎣ ⎦

2

b

a b

⎡ ⎤⎣ ⎦⎡ ⎤ = ×⎣ ⎦

2. ถา 2 3a i j k= + + และ 2 2b i j k= − + − และ 4π

คือมุม

ระหวางเวกเตอร a และ b แลวขนาดของ a b× เทากับ 3 7 หนวยใชหรือไม วิธีทํา

1) จาก sina b a b θ× =

2) หา ,a b 2 2 2

2 2 2

2 3 1 4 9 1 14

( 1) 2 ( 2) 1 4 4 9 3

a

b

= + + = + + =

= − + + − = + + = =

3) หา a b×

sin

( 14)(3)sin4

1(3 14)( )2

3 7

a b a b

a b

a b

a b

θ

π

× =

× =

× =

∴ × =

46

3. กําหนด 3 , 2u i k v j xk= + = + และ 3w i j k= − + − ถา

,u v และ w อยูในระนาบเดียวกันแลว จํานวนจริง x มีคาเทากับเทาใด วิธีทํา

1) ถา ,u v และ w อยูบนระนาบเดียวกันแลว

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) 0

u v w u w v v u w v w u

w u v w v u

⋅ × = ⋅ × = ⋅ × = ⋅ ×

= ⋅ × = ⋅ × =

2) เลือก ( ) 0u v w⋅ × = หา1 0 3 1 0

( )

(1)(2)( 1) (0)( ) ( 3) (3)(0)(1) (3) (1)( )(1) ( 1)(0)(0)2 0 0 18 0

u v w x

x xx

⋅ × = 0 2 0 2

− 3 1 −1 − 3 1

= − + − + − (−3)(2) − − − = − + + + − − 16 x = −

16 0x∴ − = 16x = 12.การประยุกตของเวกเตอรทางเรขาคณิต เปนการนําเวกเตอรมาใชแกปญหาโจทยทางเรขาคณิต เชน ในเร่ืองของพ้ืนท่ีของรูปรางใน 2มิติ และรูปทรงใน 3 มิติ เปนตน ตัวอยาง เชน

1. ถา ABC เปนรูปสามเหล่ียมใดๆ โดยท่ี ,AB u AC v= = และ BC w=

จงพิสูจนวาพื้นท่ีของสามเหล่ียม ABC เทากับ 21 ( )( ) ( )

2v v w w v w⋅ ⋅ − ⋅


v w

u

θ

47

พื้นท่ี 12

ABC v w= ×

2 2 2

2 2 2

2 2 2 2 2

2

1 sin21 sin21 (1 cos )21 cos21 ( )( ) ( )2

v w

v w

v w

v w u w

v v w w v w

θ

θ

θ

θ

=

=

= −

= −

= ⋅ ⋅ − ⋅

2. ให u และ v เปนเวกเตอร และ θ เปนมุมระหวาง u และ v ถา u v+ ต้ังฉาก

กับ 2u v− และ 2u v+ ต้ั งฉ ากกับ 2u v− และ 2u = แล ว

cosθ มีคาเทากับเทาใด

u

v v

2u v− u v+

u

v v

u 2u v− 2u v+

48


1. u v+ ต้ังฉากกับ 2u v− แสดงวา

22

( )( 2 ) 0

2 2 0

2 0...........................(1)

u v u v

u u v u v u v v

u u v v

+ − =

⋅ + ⋅ − ⋅ − ⋅ =

− ⋅ − =

2. 2u v+ ต้ังฉากกับ 2u v− แสดงวา

22

( 2 )(2 ) 0

2 4 2 0

2 3 2 0...........................(2)

u v u v

u u v u u v v v

u u v v

+ − =

⋅ + ⋅ − ⋅ − ⋅ =

+ ⋅ − =

3. หา v

นําสมการ (1)x3 223 3 6 0...........................(3)u u v v− ⋅ − =

นํา (3)-(2) 225 8 0u v− =

แทนคา 2u = 225( 2) 8 0v− =

2

2

10 8

108

52

v

v

v

=

=

∴ =

4. หา u v⋅ จากสมการ (1) 22 2 0u u v v− ⋅ − =

แทนคา 2u = และ 5

2v =

49

2

2 5( 2) 2 02

52 025 122 2

u v

u v

u v

⎛ ⎞− ⋅ − =⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠

− ⋅ − =

−⋅ = − =

5. หา cosθ จาก cosu v u v θ⋅ =

แทนคา 1 5, 2,

2 2u v u v−

⋅ = = =

1 5( 2)( ) cos2 2

1 2 1cos2 5 21cos

10

θ

θ

θ

−=

− ⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠−

=

3. กําหนดให 3 4u i j= + และ 2v i j= − จงหาพ.ท.รูปสามเหล่ียมท่ีลอมรอบ

ดวยเวกเตอร ,u v และ u v− วิธีทํา

1. พื้นท่ีสามเหล่ียม ABC12

u v= ×

uu v−

v

50

12

1 012

1 (0) (0) 3 8 (0) (0)21 11(11)2 2

i j k

i j k

i j k k i j

= 3 4 0

2 −1 0

= 3 4 0 3 4

2 −1 0 2 −1

= + − − − −

= =

5. ให 3 4u i j k= + − , 2v i j k= − + และ w i j k= + − จงหาปริมาตรของ

รูปทรงส่ีเหล่ียมดานขนาน ซ่ึงมีดานเกดิจาก ,u v และ w วิธีทํา

1) ปริมาตรรูปทรงส่ีเหล่ียมดานขนานซ่ึงเกิดจาก ,u v และ ( )w u v w= ⋅ ×

2)

3 4 1( )u v w

−⋅ × = 2 −1 1

1 1 −1

3 4 1 4

3 4 2 1 3 89

− 3 = 2 −1 1 2 −1

1 1 −1 1 1

= + − − − + =

6. จงหาพื้นท่ีของรูปส่ีเหล่ียมดานขนานซ่ึงมีจุดยอด 3 จุดท่ี P(1,3,-2),Q(2,1,4) และ R(-3,1,6)


1) หาเวกเตอร PQ และ PR

51

(2 1) (1 3) (4 ( 2))

2 6

( 3 1) (1 3) (6 ( 2))

4 2 8

PQ i j k

i j k

PR i j k

i j k

= − + − + − −

= − +

= − − + − + − −

= − − +

2) พื้นท่ีส่ีเหล่ียมดานขนานท่ีมีจุดยอด P(1,3,-2),Q(2,1,4) และ R(-3,1,6) คือ

1 1 1 2 62 2

4 2 8

1 1 2 6 1 22

4 2 8 4 2

1 16 24 2 8 12 82

i j kPQ PR

i j k i j

i j k k i j

× = −

− −

= − −

− − − −

= − − − − + −

2 2 2

1 4 32 1021 ( 4) ( 32) ( 10)21 114022 285

i j k = − − −

= − + − + −

=

=

52

แบบฝกหัด

1. จงแสดงวา 1 3 32 4 4

u i j k= − + เปนเวกเตอร 1 หนวย

2. จงหาเวกเตอร 1 หนวย ทิศทางเดียวกับเวกเตอร v ตอไปนี ้

2.1) ( 3, 4)v = −

53

2.2) (2,5)v = 2.3) v i j= + 2.4) 3 4v i j= + 2.5) 2 3v i j k= + −

54

3. จงหาคา u และ v ตอไปนี้วาต้ังฉากกันหรือไม

3.1) (3, 1), (2,6)u v= − = 3.2) (2,1), ( 1,1)u v= = − 3.3) 2 3 4 , 3u i j k v i j k= − + = + +

55

3.4) 2 , 3 2 4u i j k v i j k= + + = − −

4. กําหนด 3 2 2 , 2 2u i j k v i j k= + + = − + จงหา

4.1) เวกเตอร 1 หนวยท่ีมีทิศทางเดียวกบัเวกเตอร ,u v 4.2) u v⋅

56

4.3) มุมระหวางเวกเตอร u และเวกเตอร v

5. จงหาเวกเตอรท่ีต้ังฉากกับเวกเตอร ,u v ตอไปนี้

5.1) , 2 2 2u i j k v i j k= + + = + + 5.2) 2 3 , 2 3u i j k v i j k= + − = + + 5.3) 2 , 2u i k v j k= + = +

57

6. จงแสดงวา 3 2 , 5 3 , 2 4A i j k B i j k C i j k= − + = − + + = + − ประกอบกันเปนรูปสามเหล่ียมมุมฉาก

58

7. จงหามุมระหวางเวกเตอร 2 2 , 4 2 2A i j k B i j k= + + = − −

8. จากเวกเตอรตอไปนี้ 3 4 5 , 9 7 3 , 2 2A i j k B i j k C i j k= + − = − + = + − จงหา

8.1) 2 , ,A B C A B A B− + ⋅ ×

59

8.2) ( )A B C× + และ (2 )A B C⋅ +

60

8.3) 2 , 2B A A B× × 8.4) A B C× ×

61

9. กําหนดให A,B และ C เปนสามเหล่ียมรูปหนึ่ง ท่ีมี AB เปนฐาน , AC และ BC เปนดานประกอบมุมยอด ถาลากเสนต้ังฉากจากจุดกึ่งกลางของเวกเตอร แตละอันใหตัดกันท่ีจุด x ซ่ึงอยูภายในรูปสามเหล่ียม ถาจดุ A มีพิกัด (3,-2) จุด B มีพิกัด (6,2)

และจุด C มีพิกัด (5,4) จงเขียนเวกเตอร CX ในรูปของ ai b j+

62

10. สามเหล่ียม ABC มีเวกเตอร AB,AC และ BC เปนดานประกอบมุมยอด

และมี : : 1: 2 :1AB AC BC = ท่ีจุด A ลาก AA BC′ ⊥ และที่จุด B

ลาก BB AC′ ⊥ จงแสดงการหาคาของ AABB

′′ โดยละเอียด

63

11. จงหาพื้นท่ีของส่ีเหล่ียมดานขนานและมีจดุ (1,1,1),(2,3,4) และ (7,7,5) เปนจุดยอด

64

12. จงหาปริมาตรของทรงส่ีเหล่ียมดานขนานท่ีมีเวกเตอร (1,1,2),(0,2,3) และ (2,0,1) เปนเวกเตอรประชิด

vector

Education