Úvod do modelovÁnÍ v mechaniceÚvod do modelování v mechanice (umm) vedle reálné (skute...

Přednáška č. 9

ÚVOD DO MODELOVÁNÍ V MECHANICE

Ing. Jan Vimmr, Ph.D.

MODELOVÁNÍ PROUDĚNÍ TEKUTINs aplikacemi v biomechanice a

ve vnit řní aerodynamice

Úvod do modelování v mechanice (UMM)

Obsah p řednášky:

1. Základní pojmy

2. Proudění tekutin a jeho rozdělení

3. Laminární izotermické proud ění nestla čitelné Newtonovy kapaliny

4. Aplikace v biomechanice

- proudění krve 2D a 3D modely femorálního a koronárního bypassu

- ukázky vybraných numerických výsledků

5. Proud ění stla čitelné nevazké a tepeln ě nevodivé tekutiny

6. Numerické řešení modelové skalární lineární hyperbolické PDR v 1D

7. Aplikace – transsonické a supersonické proudění nevazké tekutiny v kanále

8. Laminární proud ění stla čitelné Newtonovy tekutiny

9. Ukázky vybraných aplikací laminárního proudění ve vnitřní aerodynamice

Úvod do modelování v mechanice (UMM)Základní pojmyVšechny látky se skládají z atomů, které se sdružují v molekuly.Tuhé látky – veliké mezimolekulární síly → pravidelné uspořádání atomů do

krystalické mřížky (krystalická struktura látky)– mezi molekulami, popř. atomy v krystalické mřížce působí síly

přitažlivé (kohézní) a odpudivé (adhézní) → částice kmitají kolemrovnovážné polohy

Tekutiny – látky, které nemají vlastní tvar a přijímají tvar nádoby, v níž se nacházejí– kapaliny – vytvářejí kapky (voda, olej, …), nemění samovolně svůj

objem (molekuly netvoří stálou mřížku, ale působí mezi nimi ještě přitažlivé síly, které způsobují soudržnostkapaliny), jsou obecně málo stlačitelné, při pohybu(proudění) kladou odpor proti pohybu, tj. jsou vazké

– plyny ( i páry) – soudržnost mezi molekulami téměř nulová → molekulyplynu se snaží vyplnit prostor, v němž se nacházejí →jsou rozpínavé

– vzdálenosti mezi molekulami plynů jsou velké oproti kapalinám → jsou stlačitelné, málo vazké.


Vedle reálné (skute čné) tekutiny , která je stlačitelná a vazká, zavádíme pojemideální (dokonalá) tekutina , která je nestlačitelná a nevazká, tj. bez vnitřního tření.Ideální tekutinu chápeme jako aproximaci reálné tekutiny.

Tekutinu považujeme za spojité prost ředí – kontinuum

Síly působící na tekutinu – vnit řní (dány vzájemným působením atomů a molekul)– vnější (vyvolány vnějším silovým polem)

– objemové (setrvačné síly, např. odstředivá síla, gravitační síly)

– plošné (tlakové síly, tečné (smykové) síly,kapilární síly)

Viskozita tekutin – projevuje se při proudění reálných tekutin odporem proti pohybu– první formulace viskozity: Newton (1687) – potvrzena

experimentálně


Představme si proudění ve vodorovném směru x podél desky jako pohyb tenkých vrstev tekutiny o tloušťce dy, rovnoběžných s deskou. Takové proudění ve vrstvách se nazývá laminární . Na desce je rychlost tekutiny nulová (ulpívá na ní). Rychlost ostatních vrstev se zvětšuje se vzdáleností od desky (brzdící účinek desky se zmenšuje). Jednotlivé vrstvy tekutiny vzájemně po sobě klouzají → dochází k jejich vzájemnému posuvu. Mezi vrstvami působí smykové (třecí) síly vyvolané viskozitou tekutiny.

Tečné (smykové) nap ětí od viskozity je podle Newtona určeno vztahem[ ]Paτ

dy

duητ =

dy

du

dy

dxtg ≡=α


… gradient rychlosti v kolmém směru na pohyb tekutiny

… dynamická viskozita tekutiny

Zavádí se pojem: kinematická viskozita

Viskozita tekutin je definována Newtonovým vztahem za předpokladu laminárního proudění. Dynamická a kinematická viskozita závisí na teplotě tekutiny. U plyn ůroste viskozita s teplotou. U kapalin s rostoucí tep lotou viskozita klesá.

Newtonské kapaliny – vyhovují Newtonovu zákonuviskozity

Nenewtonské kapaliny – závislost smykovéhonapětí na gradientu rychlostinelze vyjádřit Newtonovým vztahem (např. krev při proudění nízkými rychlostmi v menších arteriích se chová jako pseudoplastická kapalina)

.

dy

du

η [ ]11 −−⋅≡⋅ smkgsPa

[ ]1−s

[ ]12 −= smρην

τ dydu /


Proud ění tekutin a jeho rozd ěleníProud ění – pohyb tekutinyHydrodynamika – nauka o proudění kapalinAerodynamika (vnitřní, vnější) – nauka o proudění plynů

Rozdělení proud ění– podle fyzikální vlastnosti tekutin:

1. proud ění ideální kapalinya) potenciální proudění (nevířivé) – částice tekutiny se pohybují po křivočarých

trajektoriích tak, že se vůči pozorovateli neotáčejí kolem vlastní osy

b) vířivé proudění – částice tekutiny se vůči pozorovateli natáčejí kolem vlastních os


2. proud ění reálných (vazkých) tekutina) laminární – částice tekutiny se pohybují ve vrstvách (lamina – vrstva)

b) turbulentní – částice tekutiny mají kromě postupné rychlosti turbulentní(fluktuační) rychlost, jíž se přemisťují po průřezu – promíchávají se.

– podle kinematických hledisek:1. uspo řádání proud ění v prostoru

a) proudění třírozměrné (prostorové) – rychlost u = u (x, y, z)b) proudění dvourozměrné (rovinné) – rychlost u = u (x, y)c) proudění jednorozměrné – u = u (x)

2. rozložení rychlosti v prostorua) rovnoměrné proudění – vyvinuté proudění v trubicib) nerovnoměrné proudění – rychlost proudění v prostoru se mění, např. obtékání

profilu v jeho blízkosti


3. Závislost proud ění na časea) ustálené (stacionární) proudění – veličiny proudového pole (rychlost, tlak,

hustota, teplota) se nemění s časemb) neustálené (nestacionární) proudění – veličiny proudového pole se mění

s časem

Částice tekutiny – elementární objem tekutiny vymezený uzavřenou kontrolníplochou

Při popisu pohybu tekutiny můžeme užít dva přístupy:Lagrange ův popis – sledujeme pohyb určité částice tekutiny (analogie k

vyšetřování pohybu hmotného bodu v mechanice tuhýchtěles)

Eulerův popis – sledujeme proudění tekutiny v určitém místě (např. změnu rychlostia tlaku). Tímto místem protékají různé částice tekutiny, což vedeke složitějšímu vyjádření zrychlení částice tekutiny ve sledovanémmístě. Tento přístup se v mechanice tekutin užívá častěji.

Výchozí systém rovnic popisujících proudění reálných tekutin ve 3D je vyvozen ze základních fyzikálních zákonů zachování:


a) zákon zachování hmotnosti → rovnice kontinuity (1 rce)b) zákon zachování hybnosti → pohybové Navierovy –

Stokesovy rovnice (3 rce)c) zákon zachování celkové energie → energetická rovnice (1 rce)

Rozdíl v kinematice laminárního a turbulentního pro udění → plyne z časových průběhů rychlostí

Laminární proud ění– nedochází k promíchávání sousedních

vrstev tekutiny

Turbulentní proud ění– časově střední hodnota rychlosti– turbulentní (fluktuační) složka rychlosti

(je malá, časově proměnná velikostíi směrem)

→ turbulence je nahodilý jev, který sevyhodnocuje statickými metodami

su

u′

Systém pěti nelineárních PDR


Řešení laminárního proud ění– jednodušší ve srovnání s turbulentním– uplatňuje se Newtonův vztah pro smykové napětí– obecně pomocí numerických metod (metoda konečných objemů nebo metoda

konečných diferencí)– speciální případy lze řešit exaktně (analyticky) – viz dále

Výskyt laminárního proud ění– proudění v úzkých plochých kanálech (malé průtokové rychlosti),

např. zařízení hydraulických mechanismů a strojů – těsnící mezery, ložiska s hydrodynamickým mazacím filmem, …

– proudění krve v arteriích

Úvod do modelování v mechanice (UMM)Laminární izotermické proud ění nestla čitelné Newtonovy kapalinyNestlačitelná kapalina → hustota kapaliny Izotermické proudění Newtonovy kapaliny → dynamická viskozita kapaliny

Matematický model proudění ve 3D je tvořen soustavou rovnic (1) – (4):

- rovnice kontinuity (1)

- pohybové (2)Navierovy– Stokesovy (3)rovnice

(4)

kde t je čas, p je tlak, je vektor rychlosti kapaliny a je vektor prostorových souřadnic.

Nelineární systém PDR (1) – (4) obecně nazýváme systém Navierových-Stokeso-vých (NS) rovnic pro izotermické proud ění nestla čitelné Newtonovy kapaliny .

konst=ρkonst=η

0=∂∂+

∂∂+

∂∂

z

w

y

v

x

u

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

∂∂+

∂∂+

∂∂=

∂∂+

∂∂+

∂∂+

∂∂+

∂∂

∂∂+

∂∂+

∂∂=

∂∂+

∂∂+

∂∂+

∂∂+

∂∂

∂∂+

∂∂+

∂∂=

∂∂+

∂∂+

∂∂+

∂∂+

∂∂

2

2

2

2

2

22

2

2

2

2

2

22

2

2

2

2

2

22

1

1

1

z

w

y

w

x

w

z

p

z

w

y

vw

x

uw

t

w

z

v

y

v

x

v

z

vw

y

p

y

v

x

uv

t

v

z

u

y

u

x

u

z

uw

y

uv

x

p

x

u

t

u

ρη

ρ

ρη

ρ

ρη

ρ

( )Twvu ,,=v ( )Tzyx ,,=y

Úvod do modelování v mechanice (UMM)Omezíme se dále na ustálené(plně vyvinuté) proud ění mezi dvěma rovnob ěžnými nekonečněširokými a nekonečně dlouhými deskami ve vodorovném sm ěru . Vertikální vzdálenost desek je 2H.Proudění ve vodorovném směru → Dosadíme do rovnice

kontinuity (1) → , neboť ve směru x je složka rychlosti u

konstantní.

Proudění je ustálené (stacionární) →

Dosazením uvedených předpokladů do NS rovnic (2) – (4) dostáváme:

p není funkcí y

p není funkcí z

konstx

p

x

p

z

u

y

u

x

p =∂∂

⇒=∂∂

⇒

∂∂+

∂∂=

∂∂

02

2

2

2

2

2

η

( )xpp =⇒

., 00 →=≠ wvu

( )zyuux

u,=⇒=

∂∂

0

0=∂∂

t

u

0=∂∂

y

p

0=∂∂

z

p

⇒

⇒


Jedná se o rovinné proud ění (v rovinách rovnoběžných s rovinou jsou stejnérychlostní poměry) … rychlost u není funkcí z

Konečně dostáváme

(5)

Rovnice (5) představuje matematický model nejjednoduššího laminárního proudění nestlačitelné Newtonovy kapaliny.

( )yuu =

,konstdy

ud

dx

dp ==2

2

η ( )xpp =

xy⇒

Příklad: Couetteovo proud ění – proudění způsobené pouze pohybem horní desky

rychlostí U = konst

Rovnice (5) přejde na tvar: , okrajové podmínky:

Řešení: (6)

Couetteovo proud ění je způsobené pohybem jedné stěny a rychlostní profil je lineární . Dále určíme hodnotu smykového nap ětí na st ěně (WSS – wall shearstress):


( )

+±=H

yUyu 1

2

02

2

=dy

ud

0=⇒dx

dp

( )( ) UHu

Hu

±==− 0

H

U

dy

duHyw 2

ηητ ±== ±=

Příklad: Proudění způsobené pouze tlakovým gradientem , kdy obě desky

jsou fixovány.

Řešíme rovnici (5): , okrajové podmínky:

Protože , musí být rozložení

tlaku ve směru osy x přímkové .

Kapalina proudí ve směru

tlakového spádu

Tedy:


21 pp >⇒

( ) 121 px

l

ppxp +−−=

≠ 0dx

dp

( )( ) 0

0

==−

Hu

Hukonst

dy

ud

dx

dp ==2

2

η

konstdx

dp =

021 <−−=l

pp

dx

dp

Řešení: (7)

Rychlostní profil je v tomto případě, kdy proudění je způsobeno pouze tlakovým gradientem, parabola . Rychlost u je nezávislá na poloze ve všech průřezech je stejné parabolické rozložení rychlosti plně vyvinuté proud ění.

Průtočné množství (průtočný objem) kapaliny v mezeře definujeme

vztahem: (8)

Pro střední rychlost kapaliny v mezeře platí:

(9)


( )l

ppH

dx

dpHuyu max

2122

220

−≡−=≡=ηη,0

10 =⇒== yy

dx

dp

dy

du

η

⇒x

[ ]13 −smQ

( ) ( ) ( )l

ppyH

dx

dpyHyu 212222

2

1

2

1 −−≡−−=ηη

⇒

( )( )

dAyuQA∫=

avgu ( )( )

dAyuAA

Qu

A

avg ∫== 1

( ) maxavg

u

H

H

avg uudx

dpHdyb

dx

dpyH

Hbu

max

3

2

23

2

2

1

2

1 222 =⇒

−=⋅−−= ∫

− ��ηη

Smykové nap ětí na st ěně mezery:

(10)


( ) maxwHyHyw uH

ppl

H

dx

dpH

dx

dpy

dy

du ητητ 221 ∓∓ =⇒−≡±=== ±=±=

Příklad: Zobecn ěné Couetteovo proud ění - proudění v mezeře je způsobeno

kromě tlakového gradientu také

pohybem horní desky rychlostí U = konst.

Řešíme rovnici (5): , okrajové podmínky:

Řešení: (11)

Rychlostní profil je v případě zobecněného Couetteova proudění sečtením rychlostních profilů (6) a (7) z předchozích příkladů


( ) ( )

+±−−=H

yU

dx

dpyHyu 1

22

1 22

η

( )0≠dxdp /

( )( ) UHu

Hu

±==− 0

konstdx

ud

dx

dp ==2

2

η

Pro střední rychlost platí:

(12)

Smykové nap ětí na st ěně mezery:

(13)


( )( )

( ) bdyH

yU

dx

dpyH

HbdAyu

Au

H

HA

avg ∫∫−

+±−−== 122

1

2

11 22

η

avgu

UHdx

dpH

H

U

dx

dpy

dy

duwHyHyw 22

ητη

ηητ ±±=⇒

±== ±=±=

23

2 Uuu maxavg ±=⇒

Úvod do modelování v mechanice (UMM)Příklad: Ustálené laminární proudění Newtonovy kapaliny ve vodorovné válcové

trubce s vnitřním poloměrem R a s nedeformovatelnými stěnami

V tomto případě platí:

Řešení tohoto problému provedeme ve válcových sou řadnicíchkde

Rovnováha sil působících na vytknutý objemový element proudící tekutiny:

(14)

Tečné napětí je podle (14) přímo úměrné poloměru r pro

Dosadíme do (14) Newtonův vztah a dostaneme:

, okrajové podmínky:

( ) 00 === wvzyuu ,,,

konstx

p

z

u

y

u =∂∂=

∂∂+

∂∂

⇒2

2

2

2

η

,,, ϕrx( )ruuzyr =⇒+= 222

dx

dprr

dx

dprrprpr

22012 22

12

2 =⇒=⋅⇒=⋅+⋅−⋅⋅ τππτπππτ

konstdx

dp =

dr

duητ =

dx

dpr

dr

du

η2= ( ) 0=Ru

τ

01

21 <−−= pp

dx

dp21 pp >


Řešení: (15)

Rychlostní profil je v tomto případě rota ční paraboloid .

Maximální rychlost v trubce je:

Průtočný objem (průtok kapaliny trubicí):

(16)

Vztah (16) odvodil francouzský lékař Poiseuille (1840), který studoval prouděníkrve v žilách. Nezávisle na něm odvodil tento vztah německý fyzik Hagen (1839) →vztah (16) pro průtočný objem označujeme jako Hagenova-Poiseuilleova formule .

Z této formule plyne, že největší vliv na změnu proudění kapaliny má poloměr trubice. Má-li být průtočný objem kapaliny trubicí konstantní, tak 1%-ní zmenšenípoloměru trubice vyžaduje 4 %-ní přírůstek tlakového spádu.

Př.: Hypertenze (vysoký krevní tlak) je vyvolán zúžením krevních cév.

( ) ( ) ( )l

pprR

dx

dprRru 212222

4

1

4

1 −−≡−−=ηη

( )l

ppR

dx

dpRuru max

2122

440

−≡−=≡=ηηmaxu

( )( )

( )∫∫ −=⇒==R

A dx

dpRQdrrrudAruQ

0

4

82

ηππ

Úvod do modelování v mechanice (UMM)Pro střední rychlost kapaliny v trubici platí:

(17)

Smykové nap ětí na st ěně trubice: (18)

Smyková rychlost Newtonovy kapaliny na stěně trubice:

Rozběhová dráha laminárního proudu kapaliny v trubiciVstup do trubice – kapalina má rychlostní profil odpovídající dokonalé kapalině. Vzdálenost , na níž se vyvine rychlostní profil ve tvaru paraboloidu, se nazývározběhová dráha laminárního proudu a platí pro ní Boussinesqův vztah

(19)

kde je Reynoldsovo číslo . Ze vztahu (19) je zřejmé, že k ustálení rychlostního profilu dojde daleko od vstupního průřezu → v krátkých trubkách se laminárnírychlostní profil nevyvine, a proto u nich Hagenův – Poiseuilleův vztah neplatí.

,uR

Re,Re,R

x avgr

ηρ2

06502

=≥

maxavgavg uudx

dpR

R

Qu

2

1

8

2

2=⇒⋅−==

ηπ

avgu

dx

dpR

dr

duRrw 2

== =ητ

[ ]14

2−

= −=== sR

u

dx

dpR

dr

du avgRr η

γɺ

rx

Re

Úvod do modelování v mechanice (UMM)Aplikace v biomechanice

– proud ění krve v cévách p řemost ěných bypassovým št ěpem

Kardiovaskulární choroby (infarkt, mrtvice) – jsou příčinou 50% předčasných úmrtí v ČR

Ateroskleróza– kornatění tepen vlivem usazování cholesterolu ve vnitřní vrstvě cévy → zúžení

průsvitu cévy → snížení průtoku krve → nedostatečné prokrvení tkáně (ischemie).V případě srdce (ischemická choroba srdeční) může tento stav vést k infarktumyokardu (lokálnímu odumření srdečního svalu).

– její výskyt ovlivněn lokálním charakterem proudění, nejčastěji v místech větvenícévy (bifurkace)

Úvod do modelování v mechanice (UMM)– při 50 – 70% zúžení průsvitu cévy (stenóza) – léčba medikamenty a úpravou

životosprávy– při větší stenóze – balónková angioplastika (nechirurgický zákrok)

– aplikace bypassových št ěpů (chirurgický zákrok)– syntetické (polymery)– autologní (žilní, arteriální)

stehenní (femorální)bypass

Sekven ční bypass – vícenásobné přemostění nativní artérie

kyčelní bypass sekvenční aorto-koronární bypass

dvojitý aorto-koronárníbypass

Úvod do modelování v mechanice (UMM)Základní typy anastomóz (spojení mezi bypassovým štěpem a arterií)

Životnost bypassových štěpů je omezena. Příčiny selhání: ztráta průchodnosti implantovaného bypassového štěpu v oblasti anostomózy při hojení narušené cévnístěny chirurgickým zákrokem

end-to-end side-to-sideend-to-side

Ztrátu průchodnosti bypassového štěpu, resp. proces narušení cévní stěny ovlivňuje lokální charakter proudění (výskyt recirkulačních zón, nízké hodnoty smykového napětí na stěně – WSS, …)

Úvod do modelování v mechanice (UMM)→ Snaha o lepší pochopení souvislostí mezi ztrátou průchodnosti bypassovýchštěpů a lokálním charakterem proudění vede k dlouhodobému výzkumu této problematiky. Proto je žádoucí zabývat se matematickým modelováním a numerickými simulacemi proudění krve v modelech bypassu a ověřovat numerickévýsledky experimentálně s cílem optimalizace tvaru bypassových št ěpů vedoucík prodloužení jejich životnosti .


Výpočetní sítě – 2D modelů bypassu (se stenózou, s okluzí, dvoucestný):

Výpočetní sítě – 3D modelů bypassu (s okluzí, se stenózou):

Ukázka vybraných numerických výsledk ů proud ění krve idealizovanými modely bypassu


2D koronární bypass s okluzí (Re=230, D=6,8mm, α=45°) – profily rychlostí

2D koronární bypass se stenózou (Re=230, D=6,8mm, α=45°) – profily rychlostí


2D koronární bypass s okluzí (Re=230, D=6,8mm, α=45°) – izo čáry rychlosti

2D koronární bypass se stenózou (Re=230, D=6,8mm, α=45°) – izo čáry rychlosti




2D koronární bypass se stenózou (Re=230, D=6,8mm, α =70°) – profily rychlostí




2D koronární bypass se stenózou (Re=230, D=6,8mm, α =70°) – izočáry rychlosti


2D koronární bypass se stenózou (Re=230, D=6,8mm, α=20°, d(št ěp)=0,5D) – profily rychlostí

2D koronární bypass se stenózou (Re=230, D=6,8mm, α=20°, d(št ěp)=D) – profily rychlostí

2D koronární bypass se stenózou (Re=230, D=6,8mm, α =20°, d(št ěp)=1,5D) – profily rychlostí


2D koronární bypass se stenózou (Re=230, D=6,8mm, α=20°, d(št ěp)=0,5D) – izočáry rychlosti

2D koronární bypass se stenózou (Re=230, D=6,8mm, α=20°, d(št ěp)=D) – izočáry rychlosti

2D koronární bypass se stenózou (Re=230, D=6,8mm, α =20°, d(št ěp)=1,5D) – izočáry rychlosti


2D koronární bypass se stenózou (Re=230, D=6,8mm, α=20°, d(št ěp)=0,5D) – izočáry rychlosti

2D koronární bypass se stenózou (Re=230, D=6,8mm, α=20°, d(št ěp)=D) – izočáry rychlosti

2D koronární bypass se stenózou (Re=230, D=6,8mm, α =20°, d(št ěp)=1,5D) – izočáry rychlosti

Časové průběhy průtočného množství odpovídají pravé koronární artérii a jsou získány z in-vivo měřeníprovedených u průměrného pacienta za klidových podmínek. Patrné střídání 2 fází srdečního tepu - systoly a diastoly.

Úvod do modelování v mechanice (UMM)2D koronární bypass s dvoucestným štěpem (Re=230, D=6,8mm, α=45°) – profily rychlostí

Úvod do modelování v mechanice (UMM)2D koronární bypass s dvoucestným štěpem (Re=230, D=6,8mm, α=45°) – izo čáry rychlosti


3D koronární bypass s okluzí(Re=230, D=6,8mm, α=45°),newtonská kapalina

3D koronární bypass s okluzí(Re=230, D=6,8mm, α =45°),nenewtonská kapalina

3D femorální bypass s okluzí(Re=125, D=3,3mm, α =45°),newtonská kapalina

3D femorální bypass s okluzí(Re=125, D=3,3mm, α =45°),nenewtonská kapalina


3D model reálného sekvenčního aorto-koronárního bypassu získaného ze snímků počítačové tomografie (CT) ve spolupráci

s Kardiochirurgickým oddělením FN v Plzni

Úvod do modelování v mechanice (UMM)Proud ění stla čitelné nevazké a tepeln ě nevodivé tekutinyMatematický model proudění je ve 3D tvořen soustavou rovnic (1) – (5):

- rovnice kontinuity (1)

(2)

- pohybové Eulerovy (3)

rovnice(4)

- energetická rovnice (5)

kde t je čas, ρ je hustota tekutiny, p je tlak, je vektor rychlosti tekutiny,

je vektor prostorových souřadnic a E je celková energie vztažená na jednotku objemu proudící tekutiny. Nelineární systém PDR (1) – (5) obecněnazýváme konzervativní systém Eulerových rovnic pro proud ění stla čitelnénevazké a tepeln ě nevodivé tekutiny.

( )Tw,v,u=v

( )Tz,y,x=y

( )[ ] ( )[ ] ( )[ ]0=

∂+∂+

∂+∂+

∂+∂+

∂∂

z

wpE

y

vpE

x

upE

t

E

( ) ( ) ( )0=

∂∂+

∂∂+

∂∂+

∂∂

z

w

y

v

x

u

t

ρρρρ

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

=∂∂+

∂∂+

∂∂+

∂∂+

∂∂

=∂

∂+∂∂+

∂∂+

∂∂+

∂∂

=∂

∂+∂

∂+∂∂+

∂∂+

∂∂

0

0

0

2

2

2

z

p

z

w

y

vw

x

uw

t

w

z

vw

y

p

y

v

x

uv

t

v

z

uw

y

uv

x

p

x

u

t

u

ρρρρ

ρρρρ

ρρρρ

Úvod do modelování v mechanice (UMM)Konzervativní systém Eulerových rovnic (1) – (5) ve 3D můžeme vyjádřit v kompakt-ním tvaru nelineární vektorovou PDR

(6)

kde je vektor konzervativních proměnných

… kartézské složky nevazkého toku

Celková energie E vztažená na jednotku objemu proudící tekutiny:

(7)

kde je měrná vnitřní energie systému.

Konzervativní systém Eulerových rovnic (1) – (5) obsahuje více neznámých nežrovnic → 6 neznámých : a 5 rovnic .

( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )

++=++=++=

T

T

T

wpE,pw,vw,uw,u

vpE,vw,pv,uv,v

upE,uw,uv,pu,u

2

2

2

ρρρρρρρρρρρρ

wh

wg

wf

( ) ( ) ( )0

whwgwfw =∂

∂+∂

∂+∂

∂+∂∂

zyxt

( )TE,w,v,u, ρρρρ=w

( ) [ ]21222

2

1 −−

+++== smkgwvueE ερρ

E,p,w,v,u,ρ

ε

Úvod do modelování v mechanice (UMM)Termodynamické úvahy – tekutina jako ideální plyn

Proudění stlačitelné tekutiny je provázeno termodynamickými změnami proudícího média → systém Eulerových rovnic doplníme o termickou stavovou rovnici

definující termodynamické vlastnosti uvažované tekutiny.

Budeme potřebovat ještě kalorickou stavovou rovnici vyjadřující měr-nou vnitřní energii systému.

V řadě aplikací lze stlačitelnou tekutinu považovat za ideální plyn .

(8)

r je měrná plynová konstanta , pro vzduch:

je univerzální plynová konstanta

M je relativní molekulová hmotnost , pro vzduch:

( )T,pp ρ=

( )ρεε ,p=

M

Rr,Trp == ρ

11287 −−= KkgJr

113148 −−= KmolJ,R19628 −= molkg,M

...konstc,konstc,cc vpvp ==>> 0 měrné tepelné kapacity při konstantním tlaku a při konstantním objemu

→

Mayerův vztah: vp ccr −= (9)


ρκε p

Tcv 1

1

−==

11 −=

−=⇒

κκκ r

c,r

c vp

ρκκ p

Tch p 1−==

41,=κ

1>=v

p

c

cκ (10)

(11)

(12)

(13)

Poissonova adiabatická konstanta:

Pro vzduch (dvouatomový plyn) platí:

Měrná vnit řní energie a měrná enthalpie h:ε

Úvod do modelování v mechanice (UMM)Rychlost zvuku v ideálním plynu a Machovo čísloRychlost zvuku – další veličina charakterizující rozdíl mezi dynamikou

stlačitelných a nestlačitelných tekutin.

Z akustiky je známo, že šíření zvuku je provázeno podélným vlněním vzdušniny. Je to postupné zhušťování a zřeďování prostředí, které se šíří z místa zdroje v kulových vlnoplochách. Šíření zvuku v ideálním plynu považujeme za děj izoentropický(adiabatický) , tj. bez výměny tepla s okolím.Zvuk je způsoben malou tlakovou poruchou vycházející z místa zdroje → příčina změny hustoty → změna stavu plynu → rychlost zvuku je funkcí stavových veličin.

Rychlost zvuku v proudícím plynu – rychlost šíření malé tlakové poruchyrelativně k rychlosti proudícího plynu.

(14)

Okamžitý místní stav proudu stlačitelné tekutiny charakterizuje Machovo číslo Ma(bezrozměrová veličina)

(15)

Trp

a κρ

κ ≡=

a

wvu

a

||Ma

222 ++== v

a

Úvod do modelování v mechanice (UMM)Proudění stlačitelné nevazké tekutiny v 1D je tedy popsáno rovnicemi:

Vztah pro tlak (19) získáme dosazením rovnice (12 ) do vztahu pro energii (18).

Konzervativní systém Eulerových rovnic v 1D (16) můžeme vyjádřit ve tvaru:

kde je Jacobiova matice nevazkého toku .( ) ( )wwf

wA∂

∂=

( ) ( ) ( )( )TT upE,pu,u,E,u, ++== 2ρρρρ wfw

( ) ( ) 0w

wAww

wwfw =

∂∂+

∂∂≡

∂∂⋅

∂∂+

∂∂

xtxt

( )0

wfw =∂

∂+∂∂

xt

+= 2

2

1uTcE vρ

( )

−−= 2

2

11 uEp ρκ

(16)

(17)

(18)

(19)

(20)

)( wf

Numerické řešení zjednodušeného skalárního modelu v 1DUvažujme počáteční úlohu pro skalární lineární hyperbolickou PDR v 1D

(21)

(22)

kde je řešení rovnice (21) a je počátečnípodmínka.

…. je rovnice charakteristické p římky (tzv. charakteristiky ), podélníž se šíří veličina u konstantní rychlostí

Numerické řešení počáteční úlohy (21) – (22) provedeme pomocí metody kone čných diferencí. Rovnom ěrná kartézská sí ť:

( ) ( )xu,xu 00 =

00 >∈∈=∂∂+

∂∂ + t,x,a,

x

ua

t

uRR

( ) ( ) RR →∞× ;:t,xu 0 ( ) ( )RR →∈ 1Cxu0

konstatx =−


a

01 >−= + ii xxx∆

01 >−=∆ + nn ttt

[ ]{ }0210 N∈=±±=== n,tnt...;,,,i,xix;t,xM nini ∆∆

… krok v prostorové souřadnici

… krok v časové souřadnici

Rozvineme funkci definovanou na n-té časové hladině do Taylorovy řady v okolí bodu x:

Podobně rozvineme funkci do Taylorovy řady v okolí bodu x:

Dále rozvineme funkci definovanou v bodě do Taylorovy řady v čase:( )tt,xu i ∆+

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )2

3

33

2

22

32

tOt

t,xutt,xu

...t

t,xu

!

t

t

t,xu

!

t

t

t,xutt,xutt,xu

ii

iiiii

∆∆

∆∆∆∆

+∂

∂+=

=+∂

∂+∂

∂+∂

∂+=+

( )nt,xxu ∆−

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )43

33

2

22

32xO

x

t,xu

!

x

x

t,xu

!

x

x

t,xuxt,xut,xxu nnn

nn ∆∆∆∆∆ +∂

∂−∂

∂+∂

∂−=−

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )43

33

2

22

32xO

x

t,xu

!

x

x

t,xu

!

x

x

t,xuxt,xut,xxu nnn

nn ∆∆∆∆∆ +∂

∂+∂

∂+∂

∂+=+

( )nt,xxu ∆+

(23)

(25)

(24)


ix

Odečtením rozvoje (24) od (23) dostaneme centrální diferen ční formuli druhého řádu p řesnosti , která aproximuje první derivaci funkce podle x:

(26)

Sečtením rozvojů (23) a (24) dostaneme centrální diferen ční formuli druhého řádu přesnosti , která aproximuje druhou derivaci funkce podle x:

(27)

Z rozvoje (25) vyjádříme dop řednou diferen ční formuli prvního řádu p řesnosti, která aproximuje první derivaci funkce podle času t :

(28)

Přesné řešení počáteční úlohy (21) – (22) je aproximováno v síťových

bodech po částech konstantní funkcí

( ) ( ) ( ) ( )2

2xO

x

t,xxut,xxut,x

x

u nnn ∆

∆∆∆ +−−+=

∂∂

( ) ( ) ( ) ( ) ( )222

2 2xO

x

t,xxut,xut,xxut,x

x

u nnnn ∆

∆∆∆ +−+−+=

∂∂

( ) ( ) ( ) ( )tOt

t,xutt,xut,x

t

u iii ∆

∆∆ +−+=

∂∂

( ) ( )tn,xiut,xuU nini ∆∆=≈

( )tO ∆

( )2xO ∆ ( )nt,xu

( )t,xu i

( )t,xu[ ]ni t,x

(29)


( )2xO ∆ ( )nt,xu

Aproximací časové a prostorové derivace v rovnici (21) pomocí vztahů (28) a (26) v síťových bodech dostaneme:

Jedná se o Eulerovo FTCS explicitní diferen ční schéma pro nalezení numerického řešení ve vnit řních bodech sítě.Pozor!Toto schéma je ale nestabilní a proto pro numerické řešení nepoužitelné.

podmín ěně stabilní (a tudíž pro numerické řešení použitelné) numerické schéma dostaneme tak, že za v (30) dosadíme aritmetický průměr:

( ) ( ) ( ) ( )x

t,xut,xua

t

t,xut,xu nininini

∆∆ 2111 −++ −−=−

( ) ( ) ( ) ( )[ ],t,xut,xux

tat,xut,xu nininini 111 2 −++ −−=⇒

∆∆

( )ni

ni

ni

ni UU

x

taUU 11

1

2 −++ −−=

∆∆

⇒niU

211

ni

nin

i

UUU −+ +=

niU [ ]ni t,x

[ ]ni t,x

(30)


respektive

Laxovo-Friedrichsovo (LF) schéma

(31)

Jedná se o explicitní diferen ční schéma prvního řádu p řesnosti v prostoru i čase , které je podmín ěně stabilní s podmínkou stability

(32)

Dále odvodíme Laxovo-Wendroffovo (LW) schéma . Uděláme Taylorův rozvoj funkce v čase

kam dosadíme

a dostaneme

( ) ( )ni

ni

ni

ni

ni UU

x

taUUU 1111

1

22

1−+−+

+ −−+=∆∆

a

xt

∆∆ ≤

( ) ( ) ( )32

22

2tO

t

ut

t

utt,xutt,xu ∆∆∆∆ +

∂∂+

∂∂+=+

( ) ( ) ( )32

22

2

2tO

x

ut

a

x

utat,xutt,xu ∆∆∆∆ +

∂∂+

∂∂−=+

2

22

2

2

x

ua

t

u

xa

x

u

ta

t

u,

x

ua

t

u

∂∂=

∂∂

∂∂−=

∂∂

∂∂−=

∂∂

∂∂−=

∂∂

( )tt,xu ∆+

( )t,xO ∆∆


Aproximací prostorových derivací pomocí centrálních diferenčních formulí (26) a (27)druhého řádu přesnosti získáme v síťových bodech :

(33)

Jedná se o explicitní diferen ční schéma druhého řádu p řesnosti v prostoru ičase , které je podmín ěně stabilní s podmínkou stability

(34)

Poznámka: a) Uvedená diferenční schémata (31) a (33) slouží pro nalezení numerického řešení

ve vnitřních bodech kartézské sítě. V bodech na hranici výpočtovéoblasti musíme splnit předepsané okrajové podmínky .

b) Obecně diferenční schémata prvního řádu p řesnosti (např. LF schéma (31)) jsou příliš disipativní a potlačují amplitudy řešení. Naopak schémata druhého řádu přesnosti (např. LW schéma (33)) nejsou disipativní, ale způsobují silné oscilace v řešení, které mohou vést až k nestabilitě výpočtu.

( ) ( )ni

ni

ni

ni

ni

ni

ni UUU

x

taUU

x

taUU 112

22

111 2

22 −+−++ +−+−−=

∆∆

∆∆

a

xt

∆∆ ≤

( )22 t,xO ∆∆

[ ]ni t,xniU

( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )[ ],t,xut,xut,xux

tat,xut,xu

x

tat,xut,xu ninininininini 112

22

111 222 −+−++ +−+−−=

∆∆

∆∆

[ ]ni t,x


Příklad: Řešte transportní PDR

Počáteční podmínky:

Okrajové podmínky:

,x

ua

t

u0=

∂∂+

∂∂

( )( ) 0

000

====

t,Lu......Lx

t,u.......x

( )

( )

( ) ,,xu

,x

sin,xu

,,xu

00

60

501000

00

=

−=

=

π 11050 ≤≤ x

400110 ≤≤ x

500 ≤≤ x

tj. v čase t = 0 je vygenerovaná porucha (počáteční podmínka), která se šíří v 1D trubici délky L uzavřené na obou koncích.


1250 −= msa

Úvod do modelování v mechanice (UMM)Řešení:LF schéma (31): LW schéma (33):250,

x

ta ==

∆∆σ 250,

x

ta ==

∆∆σ

s,t 50= s,t 50=

00505 ,t,x == ∆∆


0 0.5 1 1.5 2 2.5 30

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Aplikace – transsonické proud ění v rovinném GAMM kanále (10% výdu ť)

0 0.5 1 1.5 2 2.5 30

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

1

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

1.1

1.2

1.3

0 0.5 1 1.5 2 2.5 30

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

5

6

7

8

9

10

11

12

x 104

0 0.5 1 1.5 2 2.5 30

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

240

250

260

270

280

290

300

310

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

Ma

p

T

walllowerMa −

wallupperMa −

Bezrozměrové okrajové podmínky: 67507370011 ,Ma,p,,,p inletoutletinletinletinlet =⇒==== αρ

Úvod do modelování v mechanice (UMM)Aplikace – supersonické proud ění v rovinném GAMM kanále (10% výdu ť)

Bezrozměrové okrajové podmínky: 65,1,1,0,1 ==== inletinletinletinlet Mavu ρ

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 40

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

2.2

Ma

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

0.5

1

1.5

2

2.5

walllowerMa −

wallupperMa −

Úvod do modelování v mechanice (UMM)Aplikace – supersonické proud ění v rovinném GAMM kanále (4% výdu ť)

Bezrozměrové okrajové podmínky: 65,1,1,0,1 ==== inletinletinletinlet Mavu ρ

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 40

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

1.3

1.4

1.5

1.6

1.7

1.8

1.9

2

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 41

1.2

1.4

1.6

1.8

2

2.2

Ma

walllowerMa −wallupperMa −

Laminární proud ění stla čitelné Newtonovy tekutinyMatematický model proudění ve 2D je popsán nelineárním systémem Navierových-Stokesových (NS) rovnic zapsaných v kompaktním tvaru vektorovou PDR

(35)

kde

t je čas, je hustota tekutiny, je vektor rychlosti tekutiny, je vektor prostorových souřadnic, T je teplota a k je součinitel tepelné vodivosti tekutiny. Pro celkovou energii E vztaženou na jednotku objemu proudící tekutiny platí:

( )

++= 22

2

1vuE ερ

( ) ( ) ( ) ( )yxyxt

VV

∂∂+

∂∂=

∂∂+

∂∂+

∂∂ wgwfwgwfw

( )( ) ( )( )( ) ( )( )

( )

( )

∂∂++=

∂∂++=

++=

++=

=

T

yyyxyyyxV

T

xyxxxyxxV

T

T

T

y

Tkvu,,,

x

Tkvu,,,

vpE,pv,vu,v

upE,vu,pu,u

E,v,u,

ττττ

ττττ

ρρρ

ρρρ

ρρρ

0

0

2

2

wg

wf

wg

wf

w je vektor konzervativních proměnných

kartézské složky nevazkého toku

kartézské složky vazkého toku

ρ ( )Tv,u=v ( )Ty,x=y

(36)


který získáme dosazením rovnice (12) do (36). Poissonova konstanta pro dvouatomový plyn je Pro složky tenzoru vazkých napětí platí:

Součinitel tepelné vodivosti tekutiny k lze vyjádřit ve tvaru

kde je měrná tepelná kapacita při konstantním tlaku a Pr je Prandtlovo číslo . V případě laminárního proudění platí .Dynamická viskozita tekutiny se často ve výpočtech uvažuje konstantní. PomocíSutherlandova vztahu lze vyjádřit její závislost na teplotě

Tlak p je dán v případě ideálního plynu vztahem

∂∂−

∂∂=

y

v

x

uxx 2

3

2ητ

( ) ( ) ,vuEp

+−−= 22

2

11 ρκ

κ720,Pr =

∂∂−

∂∂=

x

u

y

vyy 2

3

2ητ

∂∂−

∂∂==

x

v

y

uyxxy ηττ

Pr

ck p η

=

( ) 62

3

10110

4571 −⋅+

⋅=T

T,Tη

pc

41,=κκ

η

(37)


Úvod do modelování v mechanice (UMM)Aplikace – laminární transsonické proud ění plynu v rovinném modelu

těsnící mezery ve šroubovém kompresoru bez vst řikování

2D model těsnící mezery mezi hlavou zubu hlavního rotoru a skříní kompresoru

1…hlavní rotor

2…vedlejší rotor

3…komora pracovní-ho prostoru

5…uvažovaná těsnícímezera


Izočáry Machova čísla

20350 ,p/p,mH inletoutlet == µ

Gradienty hustoty ve směru osy x

Šlíry

Úvod do modelování v mechanice (UMM)1820200 ,p/p,mH inletoutlet == µ

Šlíry

(ÚT AVČR)

Izočáry Machova čísla

Gradienty hustoty ve směru osy x

Úvod do modelování v mechanice (UMM)Aplikace – laminární transsonické proud ění plynu ve 2D kaskád ě

DCA8% profil ů

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

−0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4−2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

−0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4−2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2

Bezrozměrové okrajové podmínky:+ periodické okrajové podmínky

Zobrazeny izočáry Machova čísla ve dvou různých časových okamžicích

0v ===== walloutletinletinletinlet ,,p,,,p 480211 �αρ

74406450 ,Ma,Re inletref ==⇒

Úvod do modelování v mechanice (UMM)Aplikace – laminární subsonické proud ění plynu v symetrickém

rovinném kanálu se dv ěma DCA8% profily

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

0.5 1 1.5 2 2.5 3

−0.5

0

0.5

1

1.5

2

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

0.5 1 1.5 2 2.5 3

−0.5

0

0.5

1

1.5

2

Bezrozměrové okrajové podmínky:+ symetrické okrajové podmínky

Zobrazeny izočáry Machova čísla ve dvou různých časových okamžicích

0v ==== wallinletinletinletoutlet ,,,,p/p �016750 αρ

7025812 ,Ma,Re inletref ==⇒

Úvod do modelovÁnÍ v mechaniceÚvod do modelování v mechanice (umm) vedle reálné (skute...

Documents